જો a, b, c એ ભિન્ન એકી પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ હોય, | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ ના સંમેય બીજ હોવા માટે,વિવેચક $D = b^2 - 4ac$ એ કોઈ સંમેય સંખ્યાનો પૂર્ણ વર્ગ હોવો જોઈએ. $a, b, c$ પૂર્ણાંક હોવાથી,$D$

Vedclass · Accepted Answer

$0$ હોવી જોઈએ

Vedclass · Answer

(A) સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ ના સંમેય બીજ હોવા માટે,વિવેચક $D = b^2 - 4ac$ એ કોઈ સંમેય સંખ્યાનો પૂર્ણ વર્ગ હોવો જોઈએ. $a, b, c$ પૂર્ણાંક હોવાથી,$D$ એ પૂર્ણ વર્ગ પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ.$a, b, c$ એકી સંખ્યાઓ હોવાથી,$b^2$ એકી છે અને $4ac$ બેકી છે. તેથી,$D = b^2 - 4ac$ એકી પૂર્ણાંક છે.ધારો કે $D = (2k + 1)^2$. તો $b^2 - 4ac = (2k + 1)^2$.આથી $4ac = b^2 - (2k + 1)^2 = (b - 2k - 1)(b + 2k + 1)$.$b = 2n + 1$ લેતા,$4ac = (2n - 2k)(2n + 2k + 2) = 4(n - k)(n + k + 1)$.તેથી $ac = (n - k)(n + k + 1)$.અહીં $(n - k)$ અને $(n + k + 1)$ નો તફાવત $2k + 1$ (એકી) છે,તેથી તેમનો ગુણાકાર $ac$ બેકી થાય.પરંતુ $a$ અને $c$ એકી હોવાથી તેમનો ગુણાકાર એકી હોવો જોઈએ,જે વિરોધાભાસ છે.તેથી,$D$ પૂર્ણ વર્ગ ન હોઈ શકે અને સમીકરણને કોઈ સંમેય બીજ નથી.આમ,સંમેય બીજની સંખ્યા $0$ છે.

જો $a, b, c$ એ ભિન્ન એકી પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ હોય,તો સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ ના સંમેય બીજની સંખ્યા કેટલી થાય?

Similar Questions

જો $\alpha$ અને $\beta$ એ સમીકરણ $\sqrt{\frac{5x}{x-2}} + \sqrt{\frac{x-2}{5x}} = \frac{29}{10}$ ના વાસ્તવિક બીજ હોય અને $\alpha > \beta$ હોય,તો $\sqrt{\alpha^2 - 11^4 \beta^2} = $

સુરેખ સમીકરણ $8x \equiv 6 \pmod{14}$,જ્યાં $x \in \mathbb{Z}$,નો ઉકેલ ગણ છે:

ધારો કે $\alpha, \beta$ એ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2+\sqrt{6}x+3=0$ ના બીજ છે. તો $\frac{\alpha^{23}+\beta^{23}+\alpha^{14}+\beta^{14}}{\alpha^{15}+\beta^{15}+\alpha^{10}+\beta^{10}}$ ની કિંમત શોધો.

જો $1-i$ એ સમીકરણ $x^2+ax+b=0$ નું એક બીજ હોય,જ્યાં $a$ અને $b$ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે,તો $b$ ની કિંમત શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module