WBJEE 2024 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(D) ધારો કે સમાન પ્લેટને $2a$ અને $2b$ બાજુઓ ધરાવતા મોટા લંબચોરસ તરીકે ગણવામાં આવે છે,જેમાંથી $a$ અને $b$ બાજુઓ ધરાવતો નાનો લંબચોરસ દૂર કરવામાં આવ્યો છે.
દૂર કરેલા લંબચોરસનું દળ $m_1$ અને બાકી રહેલી છાયાંકિત પ્લેટનું દળ $m_2$ છે.
દૂર કરેલા લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ $A_1 = a \times b$ છે. તેથી,$m_1 = \sigma ab$.
પૂર્ણ લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ $A = 2a \times 2b = 4ab$ છે. બાકી રહેલી પ્લેટનું ક્ષેત્રફળ $A_2 = 4ab - ab = 3ab$ છે. તેથી,$m_2 = 3\sigma ab = 3m_1$.
પૂર્ણ લંબચોરસનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર ઉગમબિંદુ $(0,0)$ પર છે.
દૂર કરેલા લંબચોરસનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(a/2, b/2)$ પર છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર માટે સુપરપોઝિશનના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરતા: બાકી રહેલા ભાગના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું સ્થાન $\vec{R} = \frac{M\vec{R}_{full} - m_1\vec{r}_1}{M - m_1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,પૂર્ણ લંબચોરસનું કેન્દ્ર $(0,0)$ પર છે. તેનું દળ $M = 4m_1$ છે.
દૂર કરેલા ભાગનું કેન્દ્ર $(a/2, b/2)$ પર છે.
$X_{cm} = \frac{4m_1(0) - m_1(a/2)}{3m_1} = -a/6$.
$Y_{cm} = \frac{4m_1(0) - m_1(b/2)}{3m_1} = -b/6$.
આમ,સ્થાન $(-\frac{a}{6}, -\frac{b}{6})$ છે.

(B) પૃથ્વીના કેન્દ્રથી $R$ અંતરે રહેલા $m$ દળના ઉપગ્રહની જડત્વની ચાકમાત્રા $I = m R^2$ થાય છે.
કોણીય વેગમાન $(J)$ ના સ્વરૂપમાં ઉપગ્રહની ગતિઊર્જા $(K)$ નું સૂત્ર $K = \frac{J^2}{2 I}$ છે.
$I = m R^2$ મૂકતા,આપણને $K = \frac{J^2}{2 m R^2}$ મળે છે.
વર્તુળાકાર કક્ષામાં રહેલા ઉપગ્રહ માટે,કુલ ઊર્જા $(E)$ અને ગતિઊર્જા $(K)$ વચ્ચેનો સંબંધ $E = -K$ છે.
તેથી,$E = -\frac{J^2}{2 m R^2}$ થાય.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) $P(v)$ વિરુદ્ધ $v$ ના આલેખ હેઠળનું કુલ ક્ષેત્રફળ કુલ કણોની સંખ્યા $N$ દર્શાવે છે.
આલેખ પરથી,ક્ષેત્રફળ એ $0$ થી $v_0$ સુધીનો ત્રિકોણ અને $v_0$ થી $2 v_0$ સુધીનો લંબચોરસ છે.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times v_0 \times a + (2 v_0 - v_0) \times a = \frac{1}{2} v_0 a + v_0 a = \frac{3}{2} v_0 a$.
કુલ ક્ષેત્રફળ $N$ બરાબર હોવાથી,આપણી પાસે $\frac{3}{2} v_0 a = N$ છે,જેનો અર્થ છે કે $v_0 a = \frac{2}{3} N$.
આપણે $1.2 v_0$ અને $1.8 v_0$ ની વચ્ચે ઝડપ ધરાવતા કણોની સંખ્યા શોધવાની છે. આ આ મર્યાદાઓ વચ્ચેના વક્ર હેઠળના ક્ષેત્રફળને અનુરૂપ છે.
$v > v_0$ માટે $P(v) = a$ હોવાથી,આ ક્ષેત્રફળ એ $(1.8 v_0 - 1.2 v_0) = 0.6 v_0$ પહોળાઈ અને $a$ ઊંચાઈ ધરાવતો લંબચોરસ છે.
કણોની સંખ્યા $= 0.6 v_0 \times a = 0.6 (v_0 a) = 0.6 \times (\frac{2}{3} N) = 0.4 N$.

(A) બ્લોક ગતિની શરૂઆત કરે તે માટે,લાગુ પાડેલા બળ $F$ નો સમક્ષિતિજ ઘટક સીમાંત ઘર્ષણ બળ જેટલો હોવો જોઈએ.
$1$. બળ $F$ ના ઘટકો પાડો:
સમક્ષિતિજ ઘટક: $F_{x} = F \cos 30^{\circ}$
શિરોલંબ ઘટક: $F_{y} = F \sin 30^{\circ}$
$2$. લંબ પ્રતિક્રિયા બળ $N$ નક્કી કરો:
બ્લોક પર લાગતા શિરોલંબ બળો નીચે મુજબ છે: વજનબળ $mg$ નીચેની તરફ,લંબ પ્રતિક્રિયા $N$ ઉપરની તરફ અને લાગુ પાડેલા બળનો શિરોલંબ ઘટક $F \sin 30^{\circ}$ ઉપરની તરફ.
$N + F \sin 30^{\circ} = mg$
$N = mg - F \sin 30^{\circ}$
અહીં $m = 10 \ kg$ અને $g = 10 \ ms^{-2}$ આપેલ છે,તેથી $mg = 100 \ N$.
$N = 100 - F \sin 30^{\circ} = 100 - 0.5F$
$3$. ગતિ માટેની શરત લાગુ પાડો:
સીમાંત ઘર્ષણ $f_{L} = \mu_{s} N$ છે.
બ્લોક ત્યારે ગતિ શરૂ કરશે જ્યારે $F \cos 30^{\circ} = \mu_{s} N$ થાય.
$F \cos 30^{\circ} = 0.25(100 - 0.5F)$
$F \frac{\sqrt{3}}{2} = 25 - 0.125F$
$F(0.866 + 0.125) = 25$
$F(0.991) = 25$
$F = \frac{25}{0.991} \approx 25.22 \ N$
આમ,$F \approx 25.2 \ N$ માટે બ્લોક ગતિની શરૂઆત કરશે.

(B) ધારો કે કાણાની ઉપર પાણીના સ્તરની ઊંચાઈ $h = H - z$ છે. બહાર આવતા પાણીનો વેગ $v = \sqrt{2gh}$ છે.
પાણીને જમીન સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય $t = \sqrt{\frac{2z}{g}}$ છે.
ક્ષૈતિજ અવધિ $R = v \cdot t = \sqrt{2g(H-z)} \cdot \sqrt{\frac{2z}{g}} = 2\sqrt{z(H-z)}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$R$ ને મહત્તમ કરવા માટે,આપણે $R^2 = 4(zH - z^2)$ ને મહત્તમ કરીએ છીએ.
$z$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા અને તેને શૂન્ય સાથે સરખાવતા:
$\frac{d}{dz}(4zH - 4z^2) = 4H - 8z = 0$.
$8z = 4H \Rightarrow z = \frac{H}{2}$.
આમ,જ્યારે કાણું પાત્રની અડધી ઊંચાઈએ હોય ત્યારે અવધિ મહત્તમ હોય છે.

(D) ધારો કે પદાર્થનું કુલ કદ $V$ છે,તેની ઘનતા $d$ છે અને પાણીની ઘનતા $\sigma$ છે.
તરતા પદાર્થ માટે,વજન એ ઉત્પ્લાવક બળ જેટલું હોય છે: $Vdg = V(1 - \frac{1}{n})\sigma g$.
આમ,$d = (\frac{n-1}{n})\sigma$.
જ્યારે પદાર્થ ડૂબેલો હોય,ત્યારે ચોખ્ખું ઉપરની તરફનું બળ $F_{net} = F_B - mg = V\sigma g - Vdg = V\sigma g - V(\frac{n-1}{n})\sigma g = V\sigma g (1 - \frac{n-1}{n}) = V\sigma g (\frac{1}{n})$.
પ્રવેગ $a$ એ $a = \frac{F_{net}}{m} = \frac{V\sigma g / n}{Vd} = \frac{\sigma g / n}{(\frac{n-1}{n})\sigma} = \frac{g}{n-1}$ દ્વારા મળે છે.
ગતિના સમીકરણ $h = \frac{1}{2}at^2$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $h = \frac{1}{2} (\frac{g}{n-1}) t^2$ મળે છે.
$t$ માટે ઉકેલતા,$t = \sqrt{\frac{2h(n-1)}{g}}$ મળે છે.
તેથી,$t \propto \sqrt{n-1}$.

(B) પ્લેટ પર લાગતું સ્નિગ્ધ બળ $F$ ન્યૂટનના સ્નિગ્ધતાના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $F = \eta A \frac{dv}{dx}$.
અહીં,$\eta = 1.55 \,Ns\, m^{-2}$ એ સ્નિગ્ધતા ગુણાંક છે,$A = 10^{-2} \,m^2$ એ પ્લેટનું ક્ષેત્રફળ છે,$v = 3 \times 10^{-2} \,ms^{-1}$ એ વેગ છે,અને $h = dx = 2 \times 10^{-3} \,m$ એ તેલના સ્તરની જાડાઈ છે.
કિંમતો મૂકતા: $F = 1.55 \times 10^{-2} \times \frac{3 \times 10^{-2}}{2 \times 10^{-3}}$.
$F = 1.55 \times 10^{-2} \times 1.5 \times 10^1$.
$F = 1.55 \times 1.5 \times 10^{-1} = 2.325 \times 10^{-1} = 0.2325 \,N$.

(B) વિકૃતિ પામેલા પદાર્થમાં સંગ્રહિત સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિઊર્જા એ પદાર્થને વિકૃત કરવા માટે કરેલા કાર્ય તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
હુકના નિયમનું પાલન કરતા પદાર્થ માટે,ઊર્જા ઘનતા (એકમ કદ દીઠ ઊર્જા) $u = \frac{1}{2} \times \text{સ્ટ્રેસ} \times \text{સ્ટ્રેન}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કુલ સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિઊર્જા $(U)$ શોધવા માટે,આપણે ઊર્જા ઘનતાને પદાર્થના કુલ કદ $(V)$ સાથે ગુણીએ છીએ.
તેથી,$U = u \times V = \frac{1}{2} \times \text{સ્ટ્રેસ} \times \text{સ્ટ્રેન} \times V$.

(A) ઉગમબિંદુની સાપેક્ષે કણનું કોણીય વેગમાન $\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p} = \vec{r} \times (m\vec{v})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $\vec{r} = x(t) \hat{i} + b \hat{j}$ અને $\vec{v} = v \hat{i}$ આપેલ છે.
$\vec{L} = (x(t) \hat{i} + b \hat{j}) \times (m v \hat{i}) = x(t) m v (\hat{i} \times \hat{i}) + b m v (\hat{j} \times \hat{i})$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\hat{i} \times \hat{i} = 0$ અને $\hat{j} \times \hat{i} = -\hat{k}$,તેથી $\vec{L} = -b m v \hat{k}$ મળે છે.
કોણીય વેગમાનનું મૂલ્ય $|\vec{L}| = | -b m v | = b m v$ થાય.
અહીં $b$,$m$,અને $v$ ત્રણેય અચળ હોવાથી,કોણીય વેગમાનનું મૂલ્ય $|\vec{L}|$ અચળ રહે છે અને તે ખૂણા $\theta$ પર આધારિત નથી.
તેથી,$|\vec{L}|$ વિરુદ્ધ $\theta$ નો આલેખ એક આડી સીધી રેખા મળશે.

(C) દડા પર લાગતા બળો દોરીમાં તણાવ $T$ અને નીચેની તરફ લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $mg$ છે.
ધારો કે સમક્ષિતિજ વર્તુળનું કેન્દ્ર $O$ છે. $O$ ની સાપેક્ષે દડાનો સ્થાન સદિશ $\vec{r}$ સમક્ષિતિજ સમતલમાં છે.
ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $\vec{F}_g = m\vec{g}$ દડામાંથી નીચેની તરફ શિરોલંબ દિશામાં લાગે છે.
બિંદુ $O$ ની સાપેક્ષે ટોર્ક $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $\vec{F}_g$ એ $O$ માંથી પસાર થતી શિરોલંબ અક્ષને સમાંતર છે અને સ્થાન સદિશ $\vec{r}$ સમક્ષિતિજ છે,તેથી ગુરુત્વાકર્ષણ બળને કારણે ટોર્ક $\vec{\tau}_g = \vec{r} \times (m\vec{g})$ થાય છે.
જોકે,અચળ કોણીય વેગ સાથે સમક્ષિતિજ વર્તુળમાં ગતિ કરતા કણ માટે,કેન્દ્ર $O$ ની સાપેક્ષે કુલ ટોર્ક શૂન્ય હોવું જોઈએ કારણ કે કોણીય વેગમાન $\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p}$ નું મૂલ્ય અને દિશા અચળ રહે છે (સદિશ $\vec{L}$ શિરોલંબ અક્ષની દિશામાં હોય છે). તેથી,$\frac{d\vec{L}}{dt} = \vec{\tau}_{net} = 0$ હોવાથી,$O$ ની સાપેક્ષે કુલ ટોર્ક શૂન્ય છે.

(A) વાટકાની સપાટી લીસી હોવાથી,ગોળાને ગબડાવવા માટે કોઈ ઘર્ષણ બળ લાગતું નથી. ગોળો ફક્ત સપાટી પર સરકશે.
યાંત્રિક ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,સ્થિતિઊર્જામાં થતો ઘટાડો એ ગતિઊર્જામાં થતા વધારા બરાબર હોય છે.
ગોળાના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની ઊંચાઈમાં થતો ફેરફાર $h = R - r$ છે.
ગુમાવેલી સ્થિતિઊર્જા = $mgh = mg(R - r)$.
ગોળો સરકતો હોવાથી (ગબડતો નથી),તેની કુલ ગતિઊર્જા સંપૂર્ણપણે સ્થાનાંતરિત છે: $K = \frac{1}{2} mv^2$.
તેથી,સૌથી નીચલા બિંદુ પર કુલ ગતિઊર્જા $K = mg(R - r)$ થશે.

(B, C) ધારો કે સળિયો $OX$ અક્ષ સાથે $\theta$ ખૂણો બનાવે છે. છેડા $A$ નો વેગ $v_A = 3 \ m/s$ ($OX$ ની દિશામાં) અને છેડા $B$ નો વેગ $v_B = 4 \ m/s$ ($OY$ ની દિશામાં નીચે તરફ) છે.
સળિયાની લંબાઈ અચળ રહેવાની શરત મુજબ,સળિયાની દિશામાં વેગના ઘટકો સમાન હોવા જોઈએ:
$v_A \cos \theta = v_B \sin \theta \implies 3 \cos \theta = 4 \sin \theta \implies \tan \theta = \frac{3}{4}$.
તેથી,$\sin \theta = \frac{3}{5}$ અને $\cos \theta = \frac{4}{5}$.
કોણીય વેગ $\omega = \frac{v_A \sin \theta + v_B \cos \theta}{\ell} = \frac{3(3/5) + 4(4/5)}{1} = \frac{9/5 + 16/5}{1} = \frac{25}{5} = 5 \ rad/s$.
સળિયો એવી રીતે ફરે છે કે $A$ જમણી તરફ અને $B$ નીચે તરફ જાય છે,તેથી આ ભ્રમણ ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં છે.
ચાકગતિ ઉર્જા $(KE)_{rot} = \frac{1}{2} I \omega^2 = \frac{1}{2} (\frac{1}{12} m \ell^2) \omega^2 = \frac{1}{2} \times \frac{1}{12} \times 4 \times (1)^2 \times (5)^2 = \frac{25}{6} \ J$.
આમ,વિધાન $B$ અને $C$ સાચા છે.

(C) સંતુલન બિંદુઓ ત્યાં હોય છે જ્યાં બળ $F = -\frac{dV}{dx} = 0$ હોય,જે $V(x)$ વિરુદ્ધ $x$ ના આલેખમાં જ્યાં ઢાળ શૂન્ય હોય તે બિંદુઓને અનુરૂપ છે (એટલે કે વક્રના શિખરો અને ખીણો).
આલેખ જોતા,આવા ત્રણ બિંદુઓ છે: બે સ્થાનિક મહત્તમ (શિખરો) અને એક સ્થાનિક ન્યૂનતમ (ખીણ).
$1$. સ્થાનિક ન્યૂનતમ બિંદુએ,સ્થિતિ ઊર્જા ન્યૂનતમ હોય છે,તેથી $\frac{d^2V}{dx^2} > 0$. આ એક સ્થાયી સંતુલન બિંદુ દર્શાવે છે.
$2$. સ્થાનિક મહત્તમ બિંદુએ,સ્થિતિ ઊર્જા મહત્તમ હોય છે,તેથી $\frac{d^2V}{dx^2} < 0$. આ એક અસ્થાયી સંતુલન બિંદુ દર્શાવે છે.
આમ,બે શિખરો (અસ્થાયી) અને એક ખીણ (સ્થાયી) હોવાથી,કુલ ત્રણ સંતુલન બિંદુઓ છે: એક સ્થાયી અને બે અસ્થાયી.

(D) લાગુ પાડવામાં આવેલ વોલ્ટેજ $V = 50 \sqrt{2} \sin \omega t$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. પીક વોલ્ટેજ $V_0 = 50 \sqrt{2} \ V$ છે,તેથી $rms$ વોલ્ટેજ $V_{rms} = \frac{V_0}{\sqrt{2}} = 50 \ V$ થાય.
શ્રેણી $LCR$ સર્કિટમાં,$rms$ વોલ્ટેજ વચ્ચેનો સંબંધ $V_{rms}^2 = V_R^2 + (V_L - V_C)^2$ છે.
આપેલ છે: $V_R = 30 \ V$,$V_C = 90 \ V$,અને $V_{rms} = 50 \ V$.
કિંમતો મૂકતા: $50^2 = 30^2 + (V_L - 90)^2$.
$2500 = 900 + (V_L - 90)^2$.
$(V_L - 90)^2 = 1600$.
$V_L - 90 = \pm 40$.
કિસ્સો $1$: $V_L = 90 + 40 = 130 \ V$.
કિસ્સો $2$: $V_L = 90 - 40 = 50 \ V$.
ઇન્ડક્ટર પરનો પીક વોલ્ટેજ $(V_L)_{peak} = V_L \sqrt{2}$ થાય.
જો $V_L = 50 \ V$ લઈએ,તો $(V_L)_{peak} = 50 \sqrt{2} \ V$ મળે.

(C, D) શ્રેણી $\text{LCR}$ પરિપથમાં,ઈમ્પીડન્સ $Z$ નું સૂત્ર $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ છે.
અનુનાદ (બિંદુ $C$) પર,$X_L = X_C$ થાય છે,તેથી $Z$ ન્યૂનતમ હોય છે.
અનુનાદ આવૃત્તિ કરતા ઓછી આવૃત્તિઓ માટે (ભાગ $AC$),$X_C > X_L$ હોય છે,જેનો અર્થ છે કે પરિપથ કેપેસિટિવ છે.
અનુનાદ આવૃત્તિ કરતા વધારે આવૃત્તિઓ માટે (ભાગ $BC$),$X_L > X_C$ હોય છે,જેનો અર્થ છે કે પરિપથ ઇન્ડક્ટિવ છે.
તેથી,ભાગ $AC$ માં ઈમ્પીડન્સ $Z$ કેપેસિટિવ છે અને ભાગ $BC$ માં ઇન્ડક્ટિવ છે.

(D) આપેલ સર્કિટમાં,ડાબી બાજુના બે કેપેસિટર્સ શ્રેણીમાં જોડાયેલા છે. ધારો કે તેમનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_s$ છે.
$C_s = \frac{C \times C}{C + C} = \frac{C^2}{2C} = \frac{C}{2}$.
હવે,આ સમતુલ્ય કેપેસિટર $C_s$ એ મધ્ય જંકશન અને બિંદુ $N$ વચ્ચે જોડાયેલા ત્રીજા કેપેસિટર $C$ સાથે સમાંતર જોડાણમાં છે.
તેથી,બિંદુઓ $P$ અને $N$ વચ્ચેનું કુલ સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq}$ નીચે મુજબ છે:
$C_{eq} = C_s + C = \frac{C}{2} + C = \frac{3C}{2}$.

(C) મહત્તમ પાવર ટ્રાન્સફર પ્રમેય મુજબ,બાહ્ય સર્કિટમાં પાવર ત્યારે મહત્તમ હોય છે જ્યારે બાહ્ય અવરોધ $R_{\text{ext}}$ એ સેલના આંતરિક અવરોધ $r$ જેટલો હોય,એટલે કે $R_{\text{ext}} = r$.
પ્રથમ,આપણે ટર્મિનલ $A$ અને $B$ વચ્ચેનો સમતુલ્ય બાહ્ય અવરોધ $R_{\text{ext}}$ શોધીએ. સર્કિટમાં $R$ અવરોધ ધરાવતા ત્રણ અવરોધકો સમાંતર જોડાણમાં છે.
સમાંતરમાં ત્રણ $R$ અવરોધકો માટે,સમતુલ્ય અવરોધ $R_{\text{ext}}$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\frac{1}{R_{\text{ext}}} = \frac{1}{R} + \frac{1}{R} + \frac{1}{R} = \frac{3}{R}$
તેથી,$R_{\text{ext}} = \frac{R}{3}$.
મહત્તમ પાવર ટ્રાન્સફર માટે $R_{\text{ext}} = r$ લેતા:
$\frac{R}{3} = r$
$R = 3r$
આમ,$R$ નું મૂલ્ય જેના માટે પાવર મહત્તમ છે તે $3r$ છે.

(C) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,ઉત્સર્જિત ઇલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા $K$ નીચે મુજબ છે:
$K = \frac{hc}{\lambda} - \phi$
જ્યારે $q$ વિદ્યુતભાર અને $m$ દળ ધરાવતો ઇલેક્ટ્રોન ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ ને લંબ રૂપે ગતિ કરે છે,ત્યારે તે $R$ ત્રિજ્યાના વર્તુળાકાર પથ પર ગતિ કરે છે,જેનું સૂત્ર છે:
$R = \frac{mv}{qB} = \frac{\sqrt{2mK}}{qB}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$R^2 = \frac{2mK}{q^2 B^2}$
$B^2$ માટે ગોઠવતા:
$B^2 = \frac{2mK}{q^2 R^2}$
$K$ નું સમીકરણ મૂકતા:
$B^2 = \frac{2m}{q^2 R^2} \left( \frac{hc}{\lambda} - \phi \right)$
$B^2 = \left( \frac{2mhc}{q^2 R^2} \right) \frac{1}{\lambda} - \left( \frac{2m\phi}{q^2 R^2} \right)$
આ $y = mx + c$ સ્વરૂપની સીધી રેખાનું સમીકરણ છે,જ્યાં $y = B^2$,$x = \frac{1}{\lambda}$,ઢાળ $m = \frac{2mhc}{q^2 R^2}$ (ધન),અને અંતઃખંડ $c = -\frac{2m\phi}{q^2 R^2}$ (ઋણ) છે.
આમ,આલેખ ધન ઢાળ અને ઋણ y-અંતઃખંડ ધરાવતી સીધી રેખા છે. આ આલેખ $C$ ને અનુરૂપ છે.

(D) આપાત ફોટોનની ઉર્જા $E = \frac{hc}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$hc \approx 12400 \ \text{eV} \cdot \mathring{A}$ નો ઉપયોગ કરતા,$E = \frac{12400}{4770} \ \text{eV} \approx 2.6 \ \text{eV}$ મળે છે.
ફોટોઈલેક્ટ્રિક ઉત્સર્જન થવા માટે,આપાત ફોટોનની ઉર્જા ધાતુના વર્ક ફંક્શન $(\phi)$ કરતા વધારે અથવા તેના જેટલી હોવી જોઈએ $(E \ge \phi)$.
$E = 2.6 \ \text{eV}$ ની સરખામણી વર્ક ફંક્શન સાથે કરતા:
ધાતુ $A$ માટે: $2.6 \ \text{eV} < 4.2 \ \text{eV}$ (ઉત્સર્જન થશે નહીં)
ધાતુ $B$ માટે: $2.6 \ \text{eV} < 3.7 \ \text{eV}$ (ઉત્સર્જન થશે નહીં)
ધાતુ $C$ માટે: $2.6 \ \text{eV} < 3.2 \ \text{eV}$ (ઉત્સર્જન થશે નહીં)
ધાતુ $D$ માટે: $2.6 \ \text{eV} > 2.3 \ \text{eV}$ (ઉત્સર્જન થશે)
તેથી,માત્ર ધાતુ $D$ માંથી જ ઇલેક્ટ્રોનનું ઉત્સર્જન થશે.

(C) ધારો કે સમય $t$ પર શિરોબિંદુથી સળિયાનું અંતર $x = vt$ છે.
પ્લેટો અને સળિયા દ્વારા બનતા સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણમાં,સળિયાની લંબાઈ $\ell$ ત્રિકોણમિતિનો ઉપયોગ કરીને ગણી શકાય છે.
ખૂણા $\theta$ ના દ્વિભાજક દ્વારા બનતા કાટકોણ ત્રિકોણને ધ્યાનમાં લેતા,આપણી પાસે છે:
$\frac{\ell/2}{x} = \tan \frac{\theta}{2}$
$\ell = 2x \tan \frac{\theta}{2} = 2vt \tan \frac{\theta}{2}$.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં વેગ $v$ થી ગતિ કરતા $\ell$ લંબાઈના વાહકમાં પ્રેરિત ગતિકીય emf $\varepsilon = B \ell v$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$t = 1 \text{ s}$ પર $\ell$ નું મૂલ્ય મૂકતા:
$\ell = 2v(1) \tan \frac{\theta}{2} = 2v \tan \frac{\theta}{2}$.
તેથી,પ્રેરિત emf:
$\varepsilon = B(2v \tan \frac{\theta}{2})v = 2Bv^2 \tan \frac{\theta}{2}$.

(D) લંબગત તરંગોનું ધ્રુવીભવન (polarization) થઈ શકતું નથી. ધ્રુવીભવન એ માત્ર અનુપ્રસ્થ તરંગો (transverse waves) નો ગુણધર્મ છે,જેમાં દોલનો તરંગ પ્રસરણની દિશાને લંબ રૂપે થાય છે. લંબગત તરંગોમાં,દોલનો તરંગ પ્રસરણની દિશાને સમાંતર થાય છે. પ્રસરણની દિશાની સાપેક્ષમાં દોલનની દિશામાં કોઈ અસમપ્રમાણતા ન હોવાથી,લંબગત તરંગોને એક જ સમતલમાં મર્યાદિત કરી શકાતા નથી.

(B) આપેલ વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E} = E_0 \hat{n} e^{i k_0[(x+y+z) - ct]}$ છે.
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\vec{E} = E_0 \hat{n} e^{i(\vec{k} \cdot \vec{r} - \omega t)}$ સાથે સરખાવતા,આપણે તરંગ સદિશ $\vec{k} = k_0(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})$ મેળવીએ છીએ.
તરંગ સદિશનું મૂલ્ય $k = |k_0(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})| = k_0 \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = k_0 \sqrt{3}$ છે.
માધ્યમમાં તરંગની ઝડપ $v = \frac{\omega}{k} = \frac{k_0 c}{k_0 \sqrt{3}} = \frac{c}{\sqrt{3}}$ છે.
વક્રીભવનાંક $n = \frac{c}{v} = \sqrt{3}$ છે.
તરંગ લંબગત હોવાથી,$\vec{E} \cdot \vec{k} = 0$,જે સૂચવે છે કે $\hat{n} \cdot (\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) = 0$.
આપેલ છે કે $\vec{E}$ એ $x-z$ સમતલમાં ધ્રુવીભૂત છે,તેથી $\hat{n}$ એ $x-z$ સમતલમાં હોવું જોઈએ,એટલે કે $\hat{n} = a\hat{i} + b\hat{k}$.
$\hat{n} \cdot (\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) = 0$ પરથી,આપણને $a + b = 0$ મળે છે,તેથી $a = -b$.
$\hat{n}$ નું નોર્મલાઇઝેશન કરતા,આપણને $\hat{n} = \frac{\hat{i} - \hat{k}}{\sqrt{2}}$ મળે છે.
આમ,વિકલ્પ $B$ અને $C$ બંને સાચા છે.

(A) ત્રણ વિદ્યુતભારોને કારણે $x$ અંતરે આવેલા બિંદુ $P$ પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર:
$E = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \left[ \frac{q}{(x-a)^2} - \frac{2q}{x^2} + \frac{q}{(x+a)^2} \right]$
$E = \frac{q}{4 \pi \epsilon_0} \left[ \frac{(x+a)^2 - 2(x^2-a^2) + (x-a)^2}{x^2(x^2-a^2)} \right]$
$E = \frac{q}{4 \pi \epsilon_0} \left[ \frac{x^2 + 2ax + a^2 - 2x^2 + 2a^2 + x^2 - 2ax + a^2}{x^2(x^2-a^2)} \right]$
$E = \frac{q}{4 \pi \epsilon_0} \left[ \frac{4a^2}{x^2(x^2-a^2)} \right]$
$x \gg a$ હોવાથી,આપણે $x^2 - a^2 \approx x^2$ લઈ શકીએ:
$E = \frac{q}{4 \pi \epsilon_0} \left[ \frac{4a^2}{x^2(x^2)} \right] = \frac{4Q}{4 \pi \epsilon_0 x^4}$
$qa^2 = Q$ આપેલ હોવાથી,$E = \frac{4Q}{4 \pi \epsilon_0 x^4}$ મળે.
આને $E = \frac{\alpha Q}{4 \pi \epsilon_0 x^\beta}$ સાથે સરખાવતા,$\alpha = 4$ અને $\beta = 4$ મળે.
તેથી,$\alpha = \beta$.

(C) ગોસના નિયમ મુજબ,કોઈપણ બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi$ એ સપાટીની અંદર રહેલા કુલ વિદ્યુતભાર $Q_{\text{enclosed}}$ અને શૂન્યાવકાશની પરમિટિવિટી $\epsilon_0$ ના ગુણોત્તર જેટલું હોય છે.
ગાણિતિક રીતે,$\phi = \frac{Q_{\text{enclosed}}}{\epsilon_0}$.
અહીં વિદ્યુતભાર $Q$ સમઘનના કેન્દ્રમાં મૂકવામાં આવ્યો હોવાથી,આખો વિદ્યુતભાર સમઘનની અંદર બંધાયેલો છે.
તેથી,સમઘનની છ સપાટીઓમાંથી પસાર થતું કુલ ફ્લક્સ $\phi = \frac{Q}{\epsilon_0}$ થશે.

(A, B, D) $1$. ગૌસનો નિયમ કુલંબના નિયમ અને સુપરપોઝિશનના સિદ્ધાંત પરથી તારવવામાં આવ્યો છે. તેથી,તે સ્થિતવિદ્યુતશાસ્ત્રના આ બંને મૂળભૂત સિદ્ધાંતોને સમાવે છે.
$2$. ક્ષેત્રફળ ઘટક $d\vec{s}$ (અથવા $d\vec{A}$) ને સપાટીને લંબ,બહારની તરફ નિર્દેશ કરતા સદિશ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. તે બે સ્થાનાંતર સદિશોના ક્રોસ પ્રોડક્ટ (દા.ત.,$d\vec{l}_1 \times d\vec{l}_2$) તરીકે વ્યાખ્યાયિત હોવાથી,તે સ્યુડો-સદિશ (અથવા અક્ષીય સદિશ) તરીકે વર્તે છે કારણ કે તેની દિશા સપાટીની કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ પર આધાર રાખે છે,માત્ર સ્થાન પર નહીં.

(B) ચુંબકીય બળ $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ચુંબકીય બળ $\vec{F}$ એ વેગ $\vec{v}$ ને લંબ હોવાથી,તેમનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય: $\vec{F} \cdot \vec{v} = 0$.
$(F_1 \hat{i} + F_2 \hat{j}) \cdot (v_1 \hat{i} + v_2 \hat{j}) = F_1 v_1 + F_2 v_2 = 0 \Rightarrow \frac{F_1}{F_2} = -\frac{v_2}{v_1} \quad (I)$.
વળી,$\vec{F}$ એ $\vec{B}$ ને પણ લંબ છે,તેથી $\vec{F} \cdot \vec{B} = 0$.
ધારો કે $\vec{B} = B_1 \hat{i} + B_2 \hat{j} + B_3 \hat{k}$. તો $(F_1 \hat{i} + F_2 \hat{j}) \cdot (B_1 \hat{i} + B_2 \hat{j} + B_3 \hat{k}) = F_1 B_1 + F_2 B_2 = 0 \Rightarrow \frac{F_1}{F_2} = -\frac{B_2}{B_1} \quad (II)$.
$(I)$ અને $(II)$ ની સરખામણી કરતા,આપણને $\frac{v_2}{v_1} = \frac{B_2}{B_1}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{v_1}{v_2} = \frac{B_1}{B_2}$.
આમ,$\vec{B} = B_1 \hat{i} + B_2 \hat{j} + B_3 \hat{k}$ એ $\frac{v_1}{v_2} = \frac{B_1}{B_2}$ શરતનું પાલન કરે છે.

(B) વિધાન $(i)$ ખોટું છે કારણ કે ન્યુક્લિયસનું દળ હંમેશા તેના વ્યક્તિગત ન્યુક્લિયોન્સના દળના સરવાળા કરતા ઓછું હોય છે. આ દળ તફાવત,જેને દળ ક્ષતિ કહેવાય છે,તે ન્યુક્લિયસ બનતી વખતે મુક્ત થતી બંધન ઉર્જાને અનુરૂપ છે. તેથી,ન્યુક્લિયસની દળ ઉર્જા તેના વ્યક્તિગત પ્રોટોન અને ન્યુટ્રોનની કુલ દળ ઉર્જા કરતા ઓછી હોય છે.
વિધાન $(ii)$ સાચું છે. ન્યુક્લિયસને તેના ઘટક ન્યુક્લિયોન્સમાં અલગ કરવા માટે,પ્રબળ ન્યુક્લિયર બળની વિરુદ્ધ કાર્ય કરવું પડે છે,જેના માટે બંધન ઉર્જા જેટલી ઉર્જા આપવી જરૂરી છે.
વિધાન $(iii)$ સાચું છે. ન્યુક્લિયોન દીઠ બંધન ઉર્જા એ ન્યુક્લિયર સ્થિરતાનું પ્રમાણભૂત માપ છે; ઉચ્ચ મૂલ્યો સૂચવે છે કે ન્યુક્લિયોન્સ વધુ મજબૂતીથી જોડાયેલા છે.
વિધાન $(iv)$ સાચું છે. ન્યુક્લિયર વિખંડનમાં,એક ભારે ન્યુક્લિયસ ન્યુક્લિયોન દીઠ ઉચ્ચ બંધન ઉર્જા ધરાવતા હળવા ન્યુક્લિયસમાં વિભાજિત થાય છે,જેના પરિણામે ઉર્જા મુક્ત થાય છે.
આમ,વિધાનો $(ii)$,$(iii)$ અને $(iv)$ સાચા છે.

(D) પ્રથમ લેન્સ $L_1$ માટે,વસ્તુ અંતર $u_1 = -4f$ અને કેન્દ્રલંબાઈ $f_1 = f$ છે. લેન્સના સૂત્ર $\frac{1}{v_1} - \frac{1}{u_1} = \frac{1}{f_1}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{v_1} - \frac{1}{-4f} = \frac{1}{f} \Rightarrow \frac{1}{v_1} = \frac{1}{f} - \frac{1}{4f} = \frac{3}{4f} \Rightarrow v_1 = \frac{4f}{3}$.
આ પ્રતિબિંબ બીજા લેન્સ $L_2$ માટે વસ્તુ તરીકે કાર્ય કરે છે. લેન્સ વચ્ચેનું અંતર $d = \frac{f}{2}$ છે.
બીજા લેન્સ માટે વસ્તુ અંતર $u_2 = v_1 - d = \frac{4f}{3} - \frac{f}{2} = \frac{8f - 3f}{6} = \frac{5f}{6}$ થાય.
વસ્તુ $L_2$ ની ડાબી બાજુએ હોવાથી,$u_2 = -\frac{5f}{6}$ લેવાય.
$L_2$ માટે લેન્સના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા $(f_2 = f)$:
$\frac{1}{v_2} - \frac{1}{u_2} = \frac{1}{f_2} \Rightarrow \frac{1}{v_2} - \frac{1}{-5f/6} = \frac{1}{f} \Rightarrow \frac{1}{v_2} + \frac{6}{5f} = \frac{1}{f}$.
$\frac{1}{v_2} = \frac{1}{f} - \frac{6}{5f} = \frac{5 - 6}{5f} = -\frac{1}{5f} \Rightarrow v_2 = -5f$.
ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે અંતિમ પ્રતિબિંબ $L_2$ ની ડાબી બાજુએ $5f$ અંતરે રચાય છે.

(D) શરૂઆતમાં,ખાલી ટાંકી સાથે,વસ્તુ અંતર $u = -45 \ cm$ અને પ્રતિબિંબ અંતર $v = +36 \ cm$ છે. લેન્સના સૂત્ર $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{f} = \frac{1}{36} - \frac{1}{-45} = \frac{1}{36} + \frac{1}{45} = \frac{5+4}{180} = \frac{9}{180} = \frac{1}{20} \Rightarrow f = 20 \ cm$.
જ્યારે પ્રવાહીને $40 \ cm$ ઊંડાઈ સુધી ભરવામાં આવે છે,ત્યારે નિશાનની આભાસી ઊંડાઈ $d' = \frac{40}{\mu}$ થાય છે. લેન્સથી પ્રવાહીની સપાટી સુધીનું બાકીનું અંતર $45 - 40 = 5 \ cm$ છે. આમ,નવું વસ્તુ અંતર $u' = -(\frac{40}{\mu} + 5) \ cm$ છે. નવું પ્રતિબિંબ અંતર $v' = +48 \ cm$ છે.
ફરીથી લેન્સના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{f} = \frac{1}{v'} - \frac{1}{u'}$
$\frac{1}{20} = \frac{1}{48} - \frac{1}{-(\frac{40}{\mu} + 5)} = \frac{1}{48} + \frac{1}{\frac{40}{\mu} + 5}$
$\frac{1}{\frac{40}{\mu} + 5} = \frac{1}{20} - \frac{1}{48} = \frac{12 - 5}{240} = \frac{7}{240}$
$\frac{40}{\mu} + 5 = \frac{240}{7} \approx 34.286$
$\frac{40}{\mu} = 34.286 - 5 = 29.286$
$\mu = \frac{40}{29.286} \approx 1.366$.

(A) ધારો કે $\hat{t}$ એ સપાટીને લંબ દિશામાં એકમ સદિશ છે.
ધારો કે $\hat{n}_1$ એ આપાત કિરણની દિશામાં એકમ સદિશ છે અને $\hat{n}_2$ એ પરાવર્તિત કિરણની દિશામાં એકમ સદિશ છે.
પરાવર્તનના નિયમ મુજબ,આપાતકોણ અને પરાવર્તનકોણ સમાન હોય છે,જે $\theta$ છે.
આપણે $\hat{n}_1$ અને $\hat{n}_2$ ને લંબ $\hat{t}$ ની સમાંતર અને લંબ ઘટકોમાં વિભાજિત કરી શકીએ છીએ.
$\hat{n}_1 = -\cos \theta \hat{t} + \sin \theta \hat{u}$,જ્યાં $\hat{u}$ એ સપાટીને સમાંતર એકમ સદિશ છે.
$\hat{n}_2 = \cos \theta \hat{t} + \sin \theta \hat{u}$.
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $\hat{n}_2 - \hat{n}_1 = 2 \cos \theta \hat{t}$.
કારણ કે $\hat{n}_1 \cdot \hat{t} = \cos(180^\circ - \theta) = -\cos \theta$,તેથી $\cos \theta = -(\hat{n}_1 \cdot \hat{t})$.
આ કિંમત બાદબાકીના સમીકરણમાં મૂકતા: $\hat{n}_2 - \hat{n}_1 = -2(\hat{n}_1 \cdot \hat{t}) \hat{t}$.
તેથી,$\hat{n}_2 = \hat{n}_1 - 2(\hat{n}_1 \cdot \hat{t}) \hat{t}$.

(B) આપેલ સર્કિટમાં,ઉપરનો ડાયોડ ફોરવર્ડ બાયસમાં છે કારણ કે તેનો p-ભાગ બેટરીના ધન ટર્મિનલ સાથે જોડાયેલ છે. નીચેનો ડાયોડ રિવર્સ બાયસમાં છે કારણ કે તેનો n-ભાગ બેટરીના ધન ટર્મિનલ સાથે જોડાયેલ છે.
ફોરવર્ડ બાયસમાં રહેલા ડાયોડ માટે,અવરોધ $0 \ \Omega$ છે. તેથી,પ્રવાહ ફક્ત $10 \ \Omega$ ના અવરોધ ધરાવતી ઉપરની શાખામાંથી વહે છે.
રિવર્સ બાયસમાં રહેલા ડાયોડ માટે,અવરોધ $\infty$ છે,તેથી નીચેની શાખામાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી.
ઓહ્મના નિયમનો ઉપયોગ કરીને,કોષ દ્વારા પૂરો પાડવામાં આવતો પ્રવાહ $I$ નીચે મુજબ છે:
$I = \frac{V}{R} = \frac{2 \ V}{10 \ \Omega} = 0.2 \ A$.

(D) ચાલો લોજિક ગેટ્સના આઉટપુટને સ્ટેપ બાય સ્ટેપ સમજીએ.
પગલું $1$: પ્રથમ $AND$ ગેટ $X_0$ અને $X_1$ ઇનપુટ લે છે,જેનું આઉટપુટ $Y_1 = X_0 X_1$ મળે છે.
પગલું $2$: પ્રથમ $OR$ ગેટ $Y_1$ અને $X_2$ ઇનપુટ લે છે,જેનું આઉટપુટ $Y_2 = X_0 X_1 + X_2$ મળે છે.
પગલું $3$: પછીનો $AND$ ગેટ $Y_2$ અને $X_3$ ઇનપુટ લે છે,જેનું આઉટપુટ $Y_3 = (X_0 X_1 + X_2) X_3 = X_0 X_1 X_3 + X_2 X_3$ મળે છે.
પગલું $4$: પછીનો $OR$ ગેટ $Y_3$ અને $X_4$ ઇનપુટ લે છે,જેનું આઉટપુટ $Y_4 = X_0 X_1 X_3 + X_2 X_3 + X_4$ મળે છે.
આ પેટર્ન ચાલુ રાખતા,$n$ બેકી સંખ્યા હોય ત્યારે,અંતિમ આઉટપુટ $Q$ આ સ્વરૂપમાં હશે: $Q = X_0 X_1 X_3 X_5 \ldots X_{n-1} + X_2 X_3 X_5 \ldots X_{n-1} + X_4 X_5 \ldots X_{n-1} + \ldots + X_{n-2} X_{n-1} + X_n$.

(C) એક સ્લિટના પ્રયોગમાં $n^{th}$ ક્રમના વિવર્તન ન્યૂનતમ માટેની શરત $a \sin \theta = n \lambda$ છે,જ્યાં $a$ એ સ્લિટની પહોળાઈ છે અને $\theta$ એ વિવર્તનનો ખૂણો છે.
$\lambda_1$ ના $2^{nd}$ ક્રમના ન્યૂનતમ માટે,આપણી પાસે $a \sin \theta_1 = 2 \lambda_1$ છે.
$\lambda_2$ ના $3^{rd}$ ક્રમના ન્યૂનતમ માટે,આપણી પાસે $a \sin \theta_2 = 3 \lambda_2$ છે.
જ્યારે ન્યૂનતમ સંપાત થાય છે,ત્યારે વિવર્તનના ખૂણા સમાન હોય છે,એટલે કે $\theta_1 = \theta_2 = \theta$.
તેથી,$2 \lambda_1 = 3 \lambda_2$.
પદોને ગોઠવતા,આપણને $\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \frac{3}{2}$ મળે છે.

(D) પરાવર્તિત પ્રકાશ માટે,વિનાશક વ્યતિકરણ (અપ્રકાશિત શલાકા) ની શરત નીચે મુજબ છે:
$2 \mu t \cos r = n \lambda$
જ્યાં $\mu$ એ વક્રીભવનાંક છે,$t$ એ જાડાઈ છે,$r$ એ વક્રીભવન કોણ છે,અને $n$ એ પૂર્ણાંક છે $(n = 1, 2, 3, ...)$.
લઘુત્તમ જાડાઈ માટે,આપણે $n = 1$ લઈએ છીએ:
$2 \mu t \cos r = \lambda$
આપેલ કિંમતો:
$\lambda = 6000 \text{ Å} = 6000 \times 10^{-10} \text{ m} = 6 \times 10^{-7} \text{ m}$
$\mu = 1.5$
$r = 60^{\circ} \Rightarrow \cos 60^{\circ} = 0.5$
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$2 \times 1.5 \times t \times 0.5 = 6 \times 10^{-7}$
$1.5 \times t = 6 \times 10^{-7}$
$t = \frac{6 \times 10^{-7}}{1.5} = 4 \times 10^{-7} \text{ m}$