કોઈપણ પૂર્ણાંક n માટે,સંકલન int_0^pi e^{cos^2 | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) ધારો કે $I = \int_0^\pi e^{\cos^2 x} \cos^3((2n+1)x) \, dx \quad \dots(1)$ગુણધર્મ $\int_0^a f(x) \, dx = \int_0^a f(a-x) \, dx$ નો ઉપયોગ કરતા:$I =

Vedclass · Accepted Answer

$0$

Vedclass · Answer

(C) ધારો કે $I = \int_0^\pi e^{\cos^2 x} \cos^3((2n+1)x) \, dx \quad \dots(1)$ગુણધર્મ $\int_0^a f(x) \, dx = \int_0^a f(a-x) \, dx$ નો ઉપયોગ કરતા:$I = \int_0^\pi e^{\cos^2(\pi-x)} \cos^3((2n+1)(\pi-x)) \, dx$કારણ કે $\cos(\pi-x) = -\cos x$,તેથી $\cos^2(\pi-x) = \cos^2 x$ થાય.વળી,$\cos((2n+1)(\pi-x)) = \cos((2n+1)\pi - (2n+1)x)$.$(2n+1)$ એ એકી પૂર્ણાંક હોવાથી,$\cos((2n+1)\pi - 	heta) = -\cos 	heta$ થાય.તેથી,$\cos^3((2n+1)\pi - (2n+1)x) = (-\cos((2n+1)x))^3 = -\cos^3((2n+1)x)$.આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:$I = \int_0^\pi e^{\cos^2 x} (-\cos^3((2n+1)x)) \, dx$$I = -\int_0^\pi e^{\cos^2 x} \cos^3((2n+1)x) \, dx \quad \dots(2)$$(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા:$I + I = 0 \implies 2I = 0 \implies I = 0$.

કોઈપણ પૂર્ણાંક $n$ માટે,સંકલન $\int_0^\pi e^{\cos^2 x} \cos^3(2n+1)x \, dx$ નું મૂલ્ય શોધો.

Similar Questions

જો $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{96 x^2 \cos^2 x}{1+e^x} dx = \pi(\alpha \pi^2 + \beta)$,જ્યાં $\alpha, \beta \in \mathbb{Z}$,તો $(\alpha + \beta)^2$ ની કિંમત શોધો:

ધારો કે $L = \sqrt[3]{2012} + \sqrt[3]{2013} + \ldots + \sqrt[3]{3011}$,$R = \sqrt[3]{2013} + \sqrt[3]{2014} + \ldots + \sqrt[3]{3012}$,અને $I = \int_{2012}^{3012} \sqrt[3]{x} \, dx$. તો,

$\int_{\frac{-\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{1+e^x} d x=$

$\int_0^{\pi /2} \frac{\sqrt{\cot x}}{\sqrt{\cot x} + \sqrt{\tan x}} \, dx = $

સંકલન $\int_0^\pi \frac{(x+3) \sin x}{1+3 \cos ^2 x} d x$ ની કિંમત શોધો:

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module