જો બે વર્તુળો જે (0, a) અને (0, -a) બિંદુઓમાં | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) ધારો કે વર્તુળોનું સમીકરણ $x^2+y^2+2gx+2fy+d=0 \quad \ldots(1)$ છે.આ વર્તુળો $(0, a)$ અને $(0, -a)$ માંથી પસાર થતા હોવાથી,$a^2+2fa+d=0 \quad \ldot

Vedclass · Accepted Answer

$c^2=a^2(2+m^2)$

Vedclass · Answer

(B) ધારો કે વર્તુળોનું સમીકરણ $x^2+y^2+2gx+2fy+d=0 \quad \ldots(1)$ છે.આ વર્તુળો $(0, a)$ અને $(0, -a)$ માંથી પસાર થતા હોવાથી,$a^2+2fa+d=0 \quad \ldots(2)$ અને $a^2-2fa+d=0 \quad \ldots(3)$ મળે.$(2)$ અને $(3)$ ઉકેલતા,$f=0$ અને $d=-a^2$ મળે છે.આ કિંમતો $(1)$ માં મૂકતા,$x^2+y^2+2gx-a^2=0 \quad \ldots(4)$ મળે.રેખા $y=mx+c$ આ વર્તુળને સ્પર્શતી હોવાથી,કેન્દ્ર $(-g, 0)$ થી રેખા $mx-y+c=0$ નું લંબ અંતર ત્રિજ્યા $\sqrt{g^2+a^2}$ જેટલું થાય.તેથી,$\frac{|-mg+c|}{\sqrt{1+m^2}} = \sqrt{g^2+a^2}$.બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$(c-mg)^2 = (1+m^2)(g^2+a^2)$.વિસ્તરણ કરતા,$g^2 + 2mcg + a^2(1+m^2) - c^2 = 0$.ધારો કે $g_1$ અને $g_2$ આ સમીકરણના બીજ છે.તેથી બીજનો ગુણાકાર $g_1g_2 = a^2(1+m^2)-c^2 \quad \ldots(5)$ થાય.બે વર્તુળો $x^2+y^2+2g_1x-a^2=0$ અને $x^2+y^2+2g_2x-a^2=0$ છે.વર્તુળો લંબરૂપે છેદવા માટે,$2g_1g_2 = -2a^2$,એટલે કે $g_1g_2 = -a^2 \quad \ldots(6)$.$(5)$ અને $(6)$ પરથી,$-a^2 = a^2(1+m^2) - c^2$.તેથી,$c^2 = a^2(2+m^2)$.

જો બે વર્તુળો જે $(0, a)$ અને $(0, -a)$ બિંદુઓમાંથી પસાર થાય છે અને $y = mx + c$ રેખાને સ્પર્શે છે,તે એકબીજાને લંબરૂપે છેદે,તો:

Similar Questions

વર્તુળનું સમીકરણ જે બિંદુ $(1, 1)$ માંથી પસાર થાય છે અને આપેલ વર્તુળો $x^2 + y^2 + 2x + 4y + 6 = 0$ અને $x^2 + y^2 + 4x + 6y + 2 = 0$ ને લંબચ્છેદી છે,તે છે:

બે વર્તૂળો $x^{2} + y^{2} = ax$ અને $x^{2} + y^{2} = c^{2}$ $(c > 0)$ એકબીજાને ક્યારે સ્પર્શેં?

બે વર્તુળો $x^2+y^2-8x+2y=0$ અને $x^2+y^2-2x-16y+25=0$ ના સામાન્ય સ્પર્શકોની સંખ્યા કેટલી છે?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module