WBJEE 2024 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(D) मान लीजिए कि एकसमान प्लेट को $2a$ और $2b$ भुजाओं वाले एक बड़े आयत के रूप में माना जाता है,जिसमें से $a$ और $b$ भुजाओं वाला एक छोटा आयत हटा दिया गया है।
हटाए गए आयत का द्रव्यमान $m_1$ है और शेष छायांकित प्लेट का द्रव्यमान $m_2$ है।
हटाए गए आयत का क्षेत्रफल $A_1 = a \times b$ है। अतः,$m_1 = \sigma ab$.
पूर्ण आयत का क्षेत्रफल $A = 2a \times 2b = 4ab$ है। शेष प्लेट का क्षेत्रफल $A_2 = 4ab - ab = 3ab$ है। अतः,$m_2 = 3\sigma ab = 3m_1$.
पूर्ण आयत का द्रव्यमान केंद्र मूल बिंदु $(0,0)$ पर है।
हटाए गए आयत का द्रव्यमान केंद्र $(a/2, b/2)$ पर है।
द्रव्यमान केंद्र के लिए अध्यारोपण के सिद्धांत का उपयोग करते हुए: शेष भाग के द्रव्यमान केंद्र की स्थिति $\vec{R} = \frac{M\vec{R}_{full} - m_1\vec{r}_1}{M - m_1}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,पूर्ण आयत का केंद्र $(0,0)$ पर है। इसका द्रव्यमान $M = 4m_1$ है।
हटाए गए भाग का केंद्र $(a/2, b/2)$ पर है।
$X_{cm} = \frac{4m_1(0) - m_1(a/2)}{3m_1} = -a/6$.
$Y_{cm} = \frac{4m_1(0) - m_1(b/2)}{3m_1} = -b/6$.
अतः,स्थिति $(-\frac{a}{6}, -\frac{b}{6})$ है।

(B) पृथ्वी के केंद्र से $R$ दूरी पर स्थित $m$ द्रव्यमान के उपग्रह का जड़त्व आघूर्ण $I = m R^2$ होता है।
कोणीय संवेग $(J)$ के पदों में उपग्रह की गतिज ऊर्जा $(K)$ का सूत्र $K = \frac{J^2}{2 I}$ है।
$I = m R^2$ रखने पर,हमें $K = \frac{J^2}{2 m R^2}$ प्राप्त होता है।
वृत्ताकार कक्षा में उपग्रह के लिए,कुल ऊर्जा $(E)$ और गतिज ऊर्जा $(K)$ के बीच संबंध $E = -K$ होता है।
अतः,$E = -\frac{J^2}{2 m R^2}$ होगा।
इस प्रकार,सही विकल्प $B$ है।

(B) $P(v)$ बनाम $v$ वक्र के नीचे का कुल क्षेत्रफल कणों की कुल संख्या $N$ का प्रतिनिधित्व करता है।
ग्राफ से,क्षेत्रफल $0$ से $v_0$ तक एक त्रिभुज है और $v_0$ से $2 v_0$ तक एक आयत है।
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times v_0 \times a + (2 v_0 - v_0) \times a = \frac{1}{2} v_0 a + v_0 a = \frac{3}{2} v_0 a$.
चूंकि कुल क्षेत्रफल $N$ के बराबर है,हमारे पास $\frac{3}{2} v_0 a = N$ है,जिसका अर्थ है $v_0 a = \frac{2}{3} N$.
हमें $1.2 v_0$ और $1.8 v_0$ के बीच गति वाले कणों की संख्या ज्ञात करनी है। यह इन सीमाओं के बीच वक्र के नीचे के क्षेत्रफल के अनुरूप है।
चूंकि $v > v_0$ के लिए $P(v) = a$ है,इसलिए यह क्षेत्रफल $(1.8 v_0 - 1.2 v_0) = 0.6 v_0$ चौड़ाई और $a$ ऊंचाई वाला एक आयत है।
कणों की संख्या $= 0.6 v_0 \times a = 0.6 (v_0 a) = 0.6 \times (\frac{2}{3} N) = 0.4 N$.

(A) ब्लॉक के गति शुरू करने के लिए,लगाए गए बल $F$ का क्षैतिज घटक सीमांत घर्षण बल के बराबर होना चाहिए।
$1$. बल $F$ को घटकों में वियोजित करें:
क्षैतिज घटक: $F_{x} = F \cos 30^{\circ}$
ऊर्ध्वाधर घटक: $F_{y} = F \sin 30^{\circ}$
$2$. अभिलंब प्रतिक्रिया बल $N$ निर्धारित करें:
ब्लॉक पर कार्य करने वाले ऊर्ध्वाधर बल हैं: भार $mg$ नीचे की ओर,अभिलंब प्रतिक्रिया $N$ ऊपर की ओर,और लगाए गए बल का ऊर्ध्वाधर घटक $F \sin 30^{\circ}$ ऊपर की ओर।
$N + F \sin 30^{\circ} = mg$
$N = mg - F \sin 30^{\circ}$
यहाँ $m = 10 \ kg$ और $g = 10 \ ms^{-2}$ दिया गया है,इसलिए $mg = 100 \ N$ है।
$N = 100 - F \sin 30^{\circ} = 100 - 0.5F$
$3$. गति के लिए शर्त लागू करें:
सीमांत घर्षण $f_{L} = \mu_{s} N$ है।
ब्लॉक तब गति शुरू करेगा जब $F \cos 30^{\circ} = \mu_{s} N$ हो।
$F \cos 30^{\circ} = 0.25(100 - 0.5F)$
$F \frac{\sqrt{3}}{2} = 25 - 0.125F$
$F(0.866 + 0.125) = 25$
$F(0.991) = 25$
$F = \frac{25}{0.991} \approx 25.22 \ N$
अतः,$F \approx 25.2 \ N$ पर ब्लॉक गति करना शुरू कर देगा।

(B) माना छेद के ऊपर पानी के स्तर की ऊँचाई $h = H - z$ है। बहिःस्राव का वेग $v = \sqrt{2gh}$ है।
पानी को जमीन तक पहुँचने में लगा समय $t = \sqrt{\frac{2z}{g}}$ है।
क्षैतिज परास $R = v \cdot t = \sqrt{2g(H-z)} \cdot \sqrt{\frac{2z}{g}} = 2\sqrt{z(H-z)}$ द्वारा दी जाती है।
$R$ को अधिकतम करने के लिए,हम $R^2 = 4(zH - z^2)$ को अधिकतम करते हैं।
$z$ के सापेक्ष अवकलन करने और शून्य के बराबर रखने पर:
$\frac{d}{dz}(4zH - 4z^2) = 4H - 8z = 0$.
$8z = 4H \Rightarrow z = \frac{H}{2}$.
अतः,जब छेद बर्तन की आधी ऊँचाई पर होता है तो परास अधिकतम होती है।

(D) माना वस्तु का कुल आयतन $V$ है,इसका घनत्व $d$ है और पानी का घनत्व $\sigma$ है।
तैरती हुई वस्तु के लिए,भार उत्प्लावन बल के बराबर होता है: $Vdg = V(1 - \frac{1}{n})\sigma g$.
अतः,$d = (\frac{n-1}{n})\sigma$.
जब वस्तु डूबी होती है,तो शुद्ध ऊपर की ओर बल $F_{net} = F_B - mg = V\sigma g - Vdg = V\sigma g - V(\frac{n-1}{n})\sigma g = V\sigma g (1 - \frac{n-1}{n}) = V\sigma g (\frac{1}{n})$.
त्वरण $a$ का मान $a = \frac{F_{net}}{m} = \frac{V\sigma g / n}{Vd} = \frac{\sigma g / n}{(\frac{n-1}{n})\sigma} = \frac{g}{n-1}$ है।
गति के समीकरण $h = \frac{1}{2}at^2$ का उपयोग करते हुए,हमारे पास $h = \frac{1}{2} (\frac{g}{n-1}) t^2$ है।
$t$ के लिए हल करने पर,हमें $t = \sqrt{\frac{2h(n-1)}{g}}$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$t \propto \sqrt{n-1}$.

(B) प्लेट पर कार्य करने वाला श्यान बल $F$,न्यूटन के श्यानता के नियम द्वारा दिया जाता है: $F = \eta A \frac{dv}{dx}$.
यहाँ,$\eta = 1.55 \,Ns\, m^{-2}$ श्यानता गुणांक है,$A = 10^{-2} \,m^2$ प्लेट का क्षेत्रफल है,$v = 3 \times 10^{-2} \,ms^{-1}$ वेग है,और $h = dx = 2 \times 10^{-3} \,m$ तेल की परत की मोटाई है।
मान रखने पर: $F = 1.55 \times 10^{-2} \times \frac{3 \times 10^{-2}}{2 \times 10^{-3}}$.
$F = 1.55 \times 10^{-2} \times 1.5 \times 10^1$.
$F = 1.55 \times 1.5 \times 10^{-1} = 2.325 \times 10^{-1} = 0.2325 \,N$.

(B) एक विकृत पिंड में संचित प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा को पिंड को विरूपित करने में किए गए कार्य के रूप में परिभाषित किया जाता है।
हुक के नियम का पालन करने वाले पदार्थ के लिए,ऊर्जा घनत्व (प्रति इकाई आयतन ऊर्जा) $u = \frac{1}{2} \times \text{प्रतिबल} \times \text{विकृति}$ द्वारा दी जाती है।
कुल प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा $(U)$ ज्ञात करने के लिए,हम ऊर्जा घनत्व को पिंड के कुल आयतन $(V)$ से गुणा करते हैं।
अतः,$U = u \times V = \frac{1}{2} \times \text{प्रतिबल} \times \text{विकृति} \times V$.

(A) मूल बिंदु के परितः कण का कोणीय संवेग $\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p} = \vec{r} \times (m\vec{v})$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $\vec{r} = x(t) \hat{i} + b \hat{j}$ और $\vec{v} = v \hat{i}$ दिया गया है।
$\vec{L} = (x(t) \hat{i} + b \hat{j}) \times (m v \hat{i}) = x(t) m v (\hat{i} \times \hat{i}) + b m v (\hat{j} \times \hat{i})$.
चूँकि $\hat{i} \times \hat{i} = 0$ और $\hat{j} \times \hat{i} = -\hat{k}$,हमें $\vec{L} = -b m v \hat{k}$ प्राप्त होता है।
कोणीय संवेग का परिमाण $|\vec{L}| = | -b m v | = b m v$ है।
चूँकि $b$,$m$,और $v$ सभी नियतांक हैं,कोणीय संवेग का परिमाण $|\vec{L}|$ स्थिर रहता है और यह कोण $\theta$ पर निर्भर नहीं करता है।
इसलिए,$|\vec{L}|$ और $\theta$ के बीच का ग्राफ एक क्षैतिज सीधी रेखा होगा।

(C) गेंद पर कार्य करने वाले बल डोरी में तनाव $T$ और नीचे की ओर कार्य करने वाला गुरुत्वाकर्षण बल $mg$ हैं।
मान लीजिए कि क्षैतिज वृत्त का केंद्र $O$ है। $O$ के सापेक्ष गेंद का स्थिति सदिश $\vec{r}$ क्षैतिज तल में है।
गुरुत्वाकर्षण बल $\vec{F}_g = m\vec{g}$ गेंद से नीचे की ओर ऊर्ध्वाधर दिशा में कार्य करता है।
बिंदु $O$ के परितः टॉर्क $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,गुरुत्वाकर्षण बल $\vec{F}_g$,$O$ से गुजरने वाली ऊर्ध्वाधर अक्ष के समानांतर है और स्थिति सदिश $\vec{r}$ क्षैतिज है,इसलिए गुरुत्वाकर्षण के कारण टॉर्क $\vec{\tau}_g = \vec{r} \times (m\vec{g})$ होता है।
हालाँकि,स्थिर कोणीय वेग के साथ एक क्षैतिज वृत्त में गति करने वाले कण के लिए,केंद्र $O$ के परितः कुल टॉर्क शून्य होना चाहिए क्योंकि कोणीय संवेग $\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p}$ का परिमाण और दिशा स्थिर रहती है (सदिश $\vec{L}$ ऊर्ध्वाधर अक्ष की दिशा में होता है)। इसलिए,$\frac{d\vec{L}}{dt} = \vec{\tau}_{net} = 0$ होने के कारण,$O$ के परितः कुल टॉर्क शून्य है।

(A) चूंकि कटोरे की सतह चिकनी है,इसलिए गोले को लुढ़काने के लिए कोई घर्षण नहीं है। गोला केवल सतह पर फिसलेगा।
यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,स्थितिज ऊर्जा में हुई हानि गतिज ऊर्जा में हुई वृद्धि के बराबर होती है।
गोले के द्रव्यमान केंद्र की ऊँचाई में परिवर्तन $h = R - r$ है।
खोई हुई स्थितिज ऊर्जा = $mgh = mg(R - r)$।
चूंकि गोला फिसल रहा है (लुढ़क नहीं रहा है),इसलिए इसकी कुल गतिज ऊर्जा पूरी तरह से स्थानांतरणीय है: $K = \frac{1}{2} mv^2$।
अतः,सबसे निचले बिंदु पर कुल गतिज ऊर्जा $K = mg(R - r)$ होगी।

(B, C) मान लीजिए कि छड़ $OX$ अक्ष के साथ $\theta$ कोण बनाती है। सिरे $A$ का वेग $v_A = 3 \ m/s$ ($OX$ के अनुदिश) और सिरे $B$ का वेग $v_B = 4 \ m/s$ ($OY$ के अनुदिश नीचे की ओर) है।
छड़ की लंबाई स्थिर रहने की शर्त के अनुसार,छड़ के अनुदिश वेग के घटक दोनों सिरों के लिए समान होने चाहिए:
$v_A \cos \theta = v_B \sin \theta \implies 3 \cos \theta = 4 \sin \theta \implies \tan \theta = \frac{3}{4}$.
अतः,$\sin \theta = \frac{3}{5}$ और $\cos \theta = \frac{4}{5}$ है।
कोणीय वेग $\omega = \frac{v_A \sin \theta + v_B \cos \theta}{\ell} = \frac{3(3/5) + 4(4/5)}{1} = \frac{9/5 + 16/5}{1} = \frac{25}{5} = 5 \ rad/s$ है।
चूंकि छड़ इस प्रकार घूम रही है कि $A$ दाईं ओर और $B$ नीचे की ओर जा रहा है,इसलिए यह घूर्णन दक्षिणावर्त है।
घूर्णन गतिज ऊर्जा $(KE)_{rot} = \frac{1}{2} I \omega^2 = \frac{1}{2} (\frac{1}{12} m \ell^2) \omega^2 = \frac{1}{2} \times \frac{1}{12} \times 4 \times (1)^2 \times (5)^2 = \frac{25}{6} \ J$ है।
अतः,कथन $B$ और $C$ सही हैं।

(C) संतुलन बिंदु वहाँ होते हैं जहाँ बल $F = -\frac{dV}{dx} = 0$ होता है,जो $V(x)$ बनाम $x$ ग्राफ में उन बिंदुओं के अनुरूप है जहाँ ढलान शून्य है (अर्थात वक्र के शिखर और घाटियाँ)।
ग्राफ को देखने पर,ऐसे तीन बिंदु हैं: दो स्थानीय अधिकतम (शिखर) और एक स्थानीय न्यूनतम (घाटी)।
$1$. स्थानीय न्यूनतम पर,स्थितिज ऊर्जा न्यूनतम होती है,इसलिए $\frac{d^2V}{dx^2} > 0$। यह एक स्थिर संतुलन बिंदु का प्रतिनिधित्व करता है।
$2$. स्थानीय अधिकतम पर,स्थितिज ऊर्जा अधिकतम होती है,इसलिए $\frac{d^2V}{dx^2} < 0$। यह एक अस्थिर संतुलन बिंदु का प्रतिनिधित्व करता है।
चूंकि दो शिखर (अस्थिर) और एक घाटी (स्थिर) हैं,इसलिए कुल तीन संतुलन बिंदु हैं: एक स्थिर और दो अस्थिर।

(D) अनुप्रयुक्त वोल्टेज $V = 50 \sqrt{2} \sin \omega t$ द्वारा दिया गया है। शिखर वोल्टेज $V_0 = 50 \sqrt{2} \ V$ है,इसलिए $rms$ वोल्टेज $V_{rms} = \frac{V_0}{\sqrt{2}} = 50 \ V$ है।
श्रेणी $LCR$ परिपथ में,$rms$ वोल्टेज के बीच संबंध $V_{rms}^2 = V_R^2 + (V_L - V_C)^2$ है।
दिया गया है: $V_R = 30 \ V$,$V_C = 90 \ V$,और $V_{rms} = 50 \ V$।
मान रखने पर: $50^2 = 30^2 + (V_L - 90)^2$।
$2500 = 900 + (V_L - 90)^2$।
$(V_L - 90)^2 = 1600$।
$V_L - 90 = \pm 40$।
स्थिति $1$: $V_L = 90 + 40 = 130 \ V$।
स्थिति $2$: $V_L = 90 - 40 = 50 \ V$।
प्रेरक पर शिखर वोल्टेज $(V_L)_{peak} = V_L \sqrt{2}$ होता है।
यदि $V_L = 50 \ V$ लें,तो $(V_L)_{peak} = 50 \sqrt{2} \ V$ प्राप्त होता है।

(C, D) श्रेणी $\text{LCR}$ परिपथ में,प्रतिबाधा $Z$ का सूत्र $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ है।
अनुनाद (बिंदु $C$) पर,$X_L = X_C$ होता है,इसलिए $Z$ न्यूनतम होता है।
अनुनाद आवृत्ति से कम आवृत्तियों के लिए (भाग $AC$),$X_C > X_L$ होता है,जिसका अर्थ है कि परिपथ धारिता (capacitive) है।
अनुनाद आवृत्ति से अधिक आवृत्तियों के लिए (भाग $BC$),$X_L > X_C$ होता है,जिसका अर्थ है कि परिपथ प्रेरक (inductive) है।
इसलिए,भाग $AC$ में प्रतिबाधा $Z$ धारिता (capacitive) है और भाग $BC$ में प्रेरक (inductive) है।

(D) दिए गए परिपथ में,बाईं ओर के दो संधारित्र श्रेणीक्रम (series) में जुड़े हुए हैं। मान लीजिए उनकी तुल्य धारिता $C_s$ है।
$C_s = \frac{C \times C}{C + C} = \frac{C^2}{2C} = \frac{C}{2}$.
अब,यह तुल्य संधारित्र $C_s$,मध्य जंक्शन और बिंदु $N$ के बीच जुड़े तीसरे संधारित्र $C$ के साथ समांतर क्रम (parallel) में है।
इसलिए,बिंदुओं $P$ और $N$ के बीच कुल तुल्य धारिता $C_{eq}$ है:
$C_{eq} = C_s + C = \frac{C}{2} + C = \frac{3C}{2}$.

(C) अधिकतम शक्ति स्थानांतरण प्रमेय (Maximum Power Transfer Theorem) के अनुसार,बाहरी परिपथ में शक्ति तब अधिकतम होती है जब बाहरी प्रतिरोध $R_{\text{ext}}$ सेल के आंतरिक प्रतिरोध $r$ के बराबर हो,अर्थात $R_{\text{ext}} = r$।
सबसे पहले,हम टर्मिनलों $A$ और $B$ के बीच समतुल्य बाहरी प्रतिरोध $R_{\text{ext}}$ निर्धारित करते हैं। परिपथ में $R$ प्रतिरोध वाले तीन प्रतिरोधक समानांतर क्रम में जुड़े हुए हैं।
समानांतर में तीन $R$ प्रतिरोधकों के लिए,समतुल्य प्रतिरोध $R_{\text{ext}}$ इस प्रकार है:
$\frac{1}{R_{\text{ext}}} = \frac{1}{R} + \frac{1}{R} + \frac{1}{R} = \frac{3}{R}$
इसलिए,$R_{\text{ext}} = \frac{R}{3}$।
अधिकतम शक्ति स्थानांतरण के लिए $R_{\text{ext}} = r$ रखने पर:
$\frac{R}{3} = r$
$R = 3r$
अतः,$R$ का वह मान जिसके लिए शक्ति अधिकतम है,$3r$ है।

(C) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,उत्सर्जित इलेक्ट्रॉनों की अधिकतम गतिज ऊर्जा $K$ है:
$K = \frac{hc}{\lambda} - \phi$
जब $q$ आवेश और $m$ द्रव्यमान वाला इलेक्ट्रॉन चुंबकीय क्षेत्र $B$ के लंबवत गति करता है,तो वह $R$ त्रिज्या के वृत्ताकार पथ पर चलता है,जिसका सूत्र है:
$R = \frac{mv}{qB} = \frac{\sqrt{2mK}}{qB}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$R^2 = \frac{2mK}{q^2 B^2}$
$B^2$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$B^2 = \frac{2mK}{q^2 R^2}$
$K$ का मान रखने पर:
$B^2 = \frac{2m}{q^2 R^2} \left( \frac{hc}{\lambda} - \phi \right)$
$B^2 = \left( \frac{2mhc}{q^2 R^2} \right) \frac{1}{\lambda} - \left( \frac{2m\phi}{q^2 R^2} \right)$
यह $y = mx + c$ के रूप की एक सीधी रेखा का समीकरण है,जहाँ $y = B^2$,$x = \frac{1}{\lambda}$,ढाल $m = \frac{2mhc}{q^2 R^2}$ (धनात्मक),और अंतःखंड $c = -\frac{2m\phi}{q^2 R^2}$ (ऋणात्मक) है।
अतः,ग्राफ एक सीधी रेखा है जिसकी ढाल धनात्मक है और y-अंतःखंड ऋणात्मक है। यह ग्राफ $C$ के अनुरूप है।

(D) आपतित फोटॉन की ऊर्जा $E = \frac{hc}{\lambda}$ द्वारा दी जाती है।
$hc \approx 12400 \ \text{eV} \cdot \mathring{A}$ का उपयोग करने पर,$E = \frac{12400}{4770} \ \text{eV} \approx 2.6 \ \text{eV}$ प्राप्त होता है।
प्रकाश-विद्युत उत्सर्जन होने के लिए,आपतित फोटॉन की ऊर्जा धातु के कार्य फलन $(\phi)$ से अधिक या उसके बराबर होनी चाहिए $(E \ge \phi)$।
$E = 2.6 \ \text{eV}$ की तुलना कार्य फलनों से करने पर:
धातु $A$ के लिए: $2.6 \ \text{eV} < 4.2 \ \text{eV}$ (उत्सर्जन नहीं होगा)
धातु $B$ के लिए: $2.6 \ \text{eV} < 3.7 \ \text{eV}$ (उत्सर्जन नहीं होगा)
धातु $C$ के लिए: $2.6 \ \text{eV} < 3.2 \ \text{eV}$ (उत्सर्जन नहीं होगा)
धातु $D$ के लिए: $2.6 \ \text{eV} > 2.3 \ \text{eV}$ (उत्सर्जन होगा)
अतः,केवल धातु $D$ से ही इलेक्ट्रॉनों का उत्सर्जन होगा।

(C) मान लीजिए कि समय $t$ पर शीर्ष से छड़ की दूरी $x = vt$ है।
प्लेटों और छड़ द्वारा निर्मित समद्विबाहु त्रिभुज में,छड़ की लंबाई $\ell$ की गणना त्रिकोणमिति का उपयोग करके की जा सकती है।
कोण $\theta$ के द्विभाजक द्वारा निर्मित समकोण त्रिभुज पर विचार करते हुए,हमारे पास है:
$\frac{\ell/2}{x} = \tan \frac{\theta}{2}$
$\ell = 2x \tan \frac{\theta}{2} = 2vt \tan \frac{\theta}{2}$.
चुंबकीय क्षेत्र $B$ में वेग $v$ से गतिमान $\ell$ लंबाई के चालक में प्रेरित गतिकीय emf $\varepsilon = B \ell v$ द्वारा दिया जाता है।
$t = 1 \text{ s}$ पर $\ell$ का मान रखने पर:
$\ell = 2v(1) \tan \frac{\theta}{2} = 2v \tan \frac{\theta}{2}$.
अतः,प्रेरित emf है:
$\varepsilon = B(2v \tan \frac{\theta}{2})v = 2Bv^2 \tan \frac{\theta}{2}$.

(D) अनुदैर्ध्य तरंगों को ध्रुवीकृत नहीं किया जा सकता है। ध्रुवीकरण केवल अनुप्रस्थ तरंगों (transverse waves) का एक गुण है,जहाँ दोलन तरंग प्रसार की दिशा के लंबवत होते हैं। अनुदैर्ध्य तरंगों में,दोलन तरंग प्रसार की दिशा के समानांतर होते हैं। चूंकि प्रसार की दिशा के सापेक्ष दोलन की दिशा में कोई विषमता नहीं होती है,इसलिए अनुदैर्ध्य तरंगों को कंपन के एक ही तल तक सीमित नहीं किया जा सकता है।

(B) दिया गया विद्युत क्षेत्र $\vec{E} = E_0 \hat{n} e^{i k_0[(x+y+z) - ct]}$ है।
इसे मानक रूप $\vec{E} = E_0 \hat{n} e^{i(\vec{k} \cdot \vec{r} - \omega t)}$ के साथ तुलना करने पर,हम तरंग सदिश $\vec{k} = k_0(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})$ प्राप्त करते हैं।
तरंग सदिश का परिमाण $k = |k_0(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})| = k_0 \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = k_0 \sqrt{3}$ है।
माध्यम में तरंग की गति $v = \frac{\omega}{k} = \frac{k_0 c}{k_0 \sqrt{3}} = \frac{c}{\sqrt{3}}$ है।
अपवर्तनांक $n = \frac{c}{v} = \sqrt{3}$ है।
चूंकि तरंग अनुप्रस्थ है,$\vec{E} \cdot \vec{k} = 0$,जिसका अर्थ है $\hat{n} \cdot (\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) = 0$।
यह दिया गया है कि $\vec{E}$ $x-z$ तल में ध्रुवीकृत है,इसलिए $\hat{n}$ को $x-z$ तल में होना चाहिए,अर्थात $\hat{n} = a\hat{i} + b\hat{k}$।
$\hat{n} \cdot (\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) = 0$ से,हमें $a + b = 0$ प्राप्त होता है,इसलिए $a = -b$।
$\hat{n}$ का सामान्यीकरण करने पर,हमें $\hat{n} = \frac{\hat{i} - \hat{k}}{\sqrt{2}}$ प्राप्त होता है।
अतः,विकल्प $B$ और $C$ दोनों सही हैं।

(A) तीन आवेशों के कारण $x$ दूरी पर स्थित बिंदु $P$ पर विद्युत क्षेत्र:
$E = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \left[ \frac{q}{(x-a)^2} - \frac{2q}{x^2} + \frac{q}{(x+a)^2} \right]$
$E = \frac{q}{4 \pi \epsilon_0} \left[ \frac{(x+a)^2 - 2(x^2-a^2) + (x-a)^2}{x^2(x^2-a^2)} \right]$
$E = \frac{q}{4 \pi \epsilon_0} \left[ \frac{x^2 + 2ax + a^2 - 2x^2 + 2a^2 + x^2 - 2ax + a^2}{x^2(x^2-a^2)} \right]$
$E = \frac{q}{4 \pi \epsilon_0} \left[ \frac{4a^2}{x^2(x^2-a^2)} \right]$
चूंकि $x \gg a$,हम $x^2 - a^2 \approx x^2$ मान सकते हैं:
$E = \frac{q}{4 \pi \epsilon_0} \left[ \frac{4a^2}{x^2(x^2)} \right] = \frac{4Q}{4 \pi \epsilon_0 x^4}$
$qa^2 = Q$ दिया गया है,अतः $E = \frac{4Q}{4 \pi \epsilon_0 x^4}$ प्राप्त होता है।
इसकी तुलना $E = \frac{\alpha Q}{4 \pi \epsilon_0 x^\beta}$ से करने पर,हमें $\alpha = 4$ और $\beta = 4$ प्राप्त होता है।
अतः,$\alpha = \beta$।

(C) गॉस के नियम के अनुसार,किसी भी बंद सतह से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $\phi$,सतह के अंदर मौजूद कुल आवेश $Q_{\text{enclosed}}$ और मुक्त स्थान की विद्युतशीलता $\epsilon_0$ के अनुपात के बराबर होता है।
गणितीय रूप से,$\phi = \frac{Q_{\text{enclosed}}}{\epsilon_0}$।
चूंकि आवेश $Q$ घन के केंद्र में रखा गया है,इसलिए पूरा आवेश घन के भीतर परिबद्ध है।
अतः,घन की छह सतहों से गुजरने वाला कुल फ्लक्स $\phi = \frac{Q}{\epsilon_0}$ होगा।

(A, B, D) $1$. गॉस का नियम कूलम्ब के नियम और अध्यारोपण के सिद्धांत से व्युत्पन्न होता है। इसलिए,यह स्वाभाविक रूप से स्थिरवैद्युतिकी के इन दोनों मूलभूत सिद्धांतों को समाहित करता है।
$2$. क्षेत्रफल अवयव $d\vec{s}$ (या $d\vec{A}$) को सतह के लंबवत,बाहर की ओर इंगित करने वाले सदिश के रूप में परिभाषित किया जाता है। चूंकि इसे दो विस्थापन सदिशों के क्रॉस उत्पाद (जैसे,$d\vec{l}_1 \times d\vec{l}_2$) के रूप में परिभाषित किया गया है,यह एक छद्म-सदिश (या अक्षीय सदिश) के रूप में व्यवहार करता है क्योंकि इसकी दिशा सतह की निर्देशांक प्रणाली पर निर्भर करती है,न कि केवल स्थिति पर।

(B) चुंबकीय बल $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि चुंबकीय बल $\vec{F}$ वेग $\vec{v}$ के लंबवत होता है,इसलिए उनका डॉट गुणनफल शून्य होना चाहिए: $\vec{F} \cdot \vec{v} = 0$.
$(F_1 \hat{i} + F_2 \hat{j}) \cdot (v_1 \hat{i} + v_2 \hat{j}) = F_1 v_1 + F_2 v_2 = 0 \Rightarrow \frac{F_1}{F_2} = -\frac{v_2}{v_1} \quad (I)$.
साथ ही,$\vec{F}$ चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ के भी लंबवत है,इसलिए $\vec{F} \cdot \vec{B} = 0$.
मान लीजिए $\vec{B} = B_1 \hat{i} + B_2 \hat{j} + B_3 \hat{k}$ है। तब $(F_1 \hat{i} + F_2 \hat{j}) \cdot (B_1 \hat{i} + B_2 \hat{j} + B_3 \hat{k}) = F_1 B_1 + F_2 B_2 = 0 \Rightarrow \frac{F_1}{F_2} = -\frac{B_2}{B_1} \quad (II)$.
$(I)$ और $(II)$ की तुलना करने पर,हमें $\frac{v_2}{v_1} = \frac{B_2}{B_1}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\frac{v_1}{v_2} = \frac{B_1}{B_2}$.
अतः,$\vec{B} = B_1 \hat{i} + B_2 \hat{j} + B_3 \hat{k}$ स्थिति $\frac{v_1}{v_2} = \frac{B_1}{B_2}$ को संतुष्ट करता है।

(B) कथन $(i)$ गलत है क्योंकि नाभिक का द्रव्यमान हमेशा उसके व्यक्तिगत न्यूक्लियॉन के द्रव्यमान के योग से कम होता है। यह द्रव्यमान अंतर,जिसे द्रव्यमान क्षति कहा जाता है,नाभिक के निर्माण के समय मुक्त होने वाली बंधन ऊर्जा के अनुरूप होता है। इसलिए,नाभिक की द्रव्यमान ऊर्जा उसके व्यक्तिगत प्रोटॉन और न्यूट्रॉन की कुल द्रव्यमान ऊर्जा से कम होती है।
कथन $(ii)$ सत्य है। एक नाभिक को उसके घटक न्यूक्लियॉन में अलग करने के लिए,प्रबल नाभिकीय बल के विरुद्ध कार्य करना पड़ता है,जिसके लिए बंधन ऊर्जा के बराबर ऊर्जा इनपुट की आवश्यकता होती है।
कथन $(iii)$ सत्य है। प्रति न्यूक्लियॉन बंधन ऊर्जा नाभिकीय स्थिरता का एक मानक माप है; उच्च मान इंगित करते हैं कि न्यूक्लियॉन अधिक मजबूती से बंधे हुए हैं।
कथन $(iv)$ सत्य है। नाभिकीय विखंडन में,एक भारी नाभिक प्रति न्यूक्लियॉन उच्च बंधन ऊर्जा वाले हल्के नाभिकों में विभाजित हो जाता है,जिसके परिणामस्वरूप ऊर्जा मुक्त होती है।
अतः,कथन $(ii)$,$(iii)$ और $(iv)$ सही हैं।

(D) पहले लेंस $L_1$ के लिए,वस्तु की दूरी $u_1 = -4f$ और फोकस दूरी $f_1 = f$ है। लेंस सूत्र $\frac{1}{v_1} - \frac{1}{u_1} = \frac{1}{f_1}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{v_1} - \frac{1}{-4f} = \frac{1}{f} \Rightarrow \frac{1}{v_1} = \frac{1}{f} - \frac{1}{4f} = \frac{3}{4f} \Rightarrow v_1 = \frac{4f}{3}$.
यह प्रतिबिंब दूसरे लेंस $L_2$ के लिए वस्तु का कार्य करता है। लेंसों के बीच की दूरी $d = \frac{f}{2}$ है।
दूसरे लेंस के लिए वस्तु की दूरी $u_2 = v_1 - d = \frac{4f}{3} - \frac{f}{2} = \frac{8f - 3f}{6} = \frac{5f}{6}$ है।
चूंकि वस्तु $L_2$ के बाईं ओर है,इसलिए $u_2 = -\frac{5f}{6}$ होगा।
$L_2$ के लिए लेंस सूत्र का उपयोग करने पर $(f_2 = f)$:
$\frac{1}{v_2} - \frac{1}{u_2} = \frac{1}{f_2} \Rightarrow \frac{1}{v_2} - \frac{1}{-5f/6} = \frac{1}{f} \Rightarrow \frac{1}{v_2} + \frac{6}{5f} = \frac{1}{f}$.
$\frac{1}{v_2} = \frac{1}{f} - \frac{6}{5f} = \frac{5 - 6}{5f} = -\frac{1}{5f} \Rightarrow v_2 = -5f$.
ऋणात्मक चिह्न यह दर्शाता है कि अंतिम प्रतिबिंब $L_2$ के बाईं ओर $5f$ की दूरी पर बनता है।

(D) प्रारंभ में,खाली टैंक के साथ,वस्तु की दूरी $u = -45 \ cm$ और प्रतिबिंब की दूरी $v = +36 \ cm$ है। लेंस सूत्र $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{f} = \frac{1}{36} - \frac{1}{-45} = \frac{1}{36} + \frac{1}{45} = \frac{5+4}{180} = \frac{9}{180} = \frac{1}{20} \Rightarrow f = 20 \ cm$.
जब द्रव को $40 \ cm$ की गहराई तक भरा जाता है,तो निशान की आभासी गहराई $d' = \frac{40}{\mu}$ होती है। लेंस से द्रव की सतह तक की शेष दूरी $45 - 40 = 5 \ cm$ है। अतः,नई वस्तु दूरी $u' = -(\frac{40}{\mu} + 5) \ cm$ है। नई प्रतिबिंब दूरी $v' = +48 \ cm$ है।
पुनः लेंस सूत्र का उपयोग करने पर: $\frac{1}{f} = \frac{1}{v'} - \frac{1}{u'}$
$\frac{1}{20} = \frac{1}{48} - \frac{1}{-(\frac{40}{\mu} + 5)} = \frac{1}{48} + \frac{1}{\frac{40}{\mu} + 5}$
$\frac{1}{\frac{40}{\mu} + 5} = \frac{1}{20} - \frac{1}{48} = \frac{12 - 5}{240} = \frac{7}{240}$
$\frac{40}{\mu} + 5 = \frac{240}{7} \approx 34.286$
$\frac{40}{\mu} = 34.286 - 5 = 29.286$
$\mu = \frac{40}{29.286} \approx 1.366$.

(A) मान लीजिए $\hat{t}$ सतह के अभिलंब की दिशा में इकाई सदिश है।
मान लीजिए $\hat{n}_1$ आपतित किरण की दिशा में इकाई सदिश है और $\hat{n}_2$ परावर्तित किरण की दिशा में इकाई सदिश है।
परावर्तन की ज्यामिति से,आपतन कोण परावर्तन कोण के बराबर होता है,जो $\theta$ है।
हम $\hat{n}_1$ और $\hat{n}_2$ को अभिलंब $\hat{t}$ के समानांतर और लंबवत घटकों में विभाजित कर सकते हैं।
$\hat{n}_1 = -\cos \theta \hat{t} + \sin \theta \hat{u}$,जहाँ $\hat{u}$ सतह के समानांतर एक इकाई सदिश है।
$\hat{n}_2 = \cos \theta \hat{t} + \sin \theta \hat{u}$.
दोनों समीकरणों को घटाने पर: $\hat{n}_2 - \hat{n}_1 = 2 \cos \theta \hat{t}$.
चूंकि $\hat{n}_1 \cdot \hat{t} = \cos(180^\circ - \theta) = -\cos \theta$,इसलिए $\cos \theta = -(\hat{n}_1 \cdot \hat{t})$.
इस मान को घटाने वाले समीकरण में रखने पर: $\hat{n}_2 - \hat{n}_1 = -2(\hat{n}_1 \cdot \hat{t}) \hat{t}$.
अतः,$\hat{n}_2 = \hat{n}_1 - 2(\hat{n}_1 \cdot \hat{t}) \hat{t}$.

(B) दिए गए परिपथ में,ऊपरी डायोड फॉरवर्ड बायस में है क्योंकि इसका p-सिरा बैटरी के धनात्मक टर्मिनल से जुड़ा है। निचला डायोड रिवर्स बायस में है क्योंकि इसका n-सिरा बैटरी के धनात्मक टर्मिनल से जुड़ा है।
फॉरवर्ड बायस में डायोड के लिए,प्रतिरोध $0 \ \Omega$ है। अतः,धारा केवल $10 \ \Omega$ प्रतिरोध वाली ऊपरी शाखा से प्रवाहित होती है।
रिवर्स बायस में डायोड के लिए,प्रतिरोध $\infty$ है,इसलिए निचली शाखा से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है।
ओम के नियम का उपयोग करते हुए,सेल द्वारा आपूर्ति की गई धारा $I$ है:
$I = \frac{V}{R} = \frac{2 \ V}{10 \ \Omega} = 0.2 \ A$.

(D) आइए लॉजिक गेट्स के आउटपुट को चरण-दर-चरण ट्रैक करें।
चरण $1$: पहला $AND$ गेट $X_0$ और $X_1$ इनपुट लेता है,जिससे आउटपुट $Y_1 = X_0 X_1$ प्राप्त होता है।
चरण $2$: पहला $OR$ गेट $Y_1$ और $X_2$ इनपुट लेता है,जिससे आउटपुट $Y_2 = X_0 X_1 + X_2$ प्राप्त होता है।
चरण $3$: अगला $AND$ गेट $Y_2$ और $X_3$ इनपुट लेता है,जिससे आउटपुट $Y_3 = (X_0 X_1 + X_2) X_3 = X_0 X_1 X_3 + X_2 X_3$ प्राप्त होता है।
चरण $4$: अगला $OR$ गेट $Y_3$ और $X_4$ इनपुट लेता है,जिससे आउटपुट $Y_4 = X_0 X_1 X_3 + X_2 X_3 + X_4$ प्राप्त होता है।
इस पैटर्न को जारी रखते हुए,$n$ सम होने पर,अंतिम आउटपुट $Q$ इस रूप में होगा: $Q = X_0 X_1 X_3 X_5 \ldots X_{n-1} + X_2 X_3 X_5 \ldots X_{n-1} + X_4 X_5 \ldots X_{n-1} + \ldots + X_{n-2} X_{n-1} + X_n$.

(C) एकल-स्लिट प्रयोग में $n^{th}$ क्रम के विवर्तन निम्निष्ठ के लिए शर्त $a \sin \theta = n \lambda$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $a$ स्लिट की चौड़ाई है और $\theta$ विवर्तन कोण है।
$\lambda_1$ के $2^{nd}$ क्रम के निम्निष्ठ के लिए,हमारे पास $a \sin \theta_1 = 2 \lambda_1$ है।
$\lambda_2$ के $3^{rd}$ क्रम के निम्निष्ठ के लिए,हमारे पास $a \sin \theta_2 = 3 \lambda_2$ है।
चूंकि निम्निष्ठ संपाती हैं,इसलिए विवर्तन कोण समान हैं,अर्थात $\theta_1 = \theta_2 = \theta$।
अतः,$2 \lambda_1 = 3 \lambda_2$।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \frac{3}{2}$ प्राप्त होता है।

(D) परावर्तित प्रकाश के लिए,विनाशी व्यतिकरण (अदीप्त फ्रिंज) की शर्त इस प्रकार है:
$2 \mu t \cos r = n \lambda$
जहाँ $\mu$ अपवर्तनांक है,$t$ मोटाई है,$r$ अपवर्तन कोण है,और $n$ एक पूर्णांक है $(n = 1, 2, 3, ...)$।
न्यूनतम मोटाई के लिए,हम $n = 1$ लेते हैं:
$2 \mu t \cos r = \lambda$
दिए गए मान:
$\lambda = 6000 \text{ Å} = 6000 \times 10^{-10} \text{ m} = 6 \times 10^{-7} \text{ m}$
$\mu = 1.5$
$r = 60^{\circ} \Rightarrow \cos 60^{\circ} = 0.5$
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$2 \times 1.5 \times t \times 0.5 = 6 \times 10^{-7}$
$1.5 \times t = 6 \times 10^{-7}$
$t = \frac{6 \times 10^{-7}}{1.5} = 4 \times 10^{-7} \text{ m}$