WBJEE 2024 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(A) $N!$ के अभाज्य गुणनखंडन में अभाज्य संख्या $p$ का घातांक ज्ञात करने के लिए,हम लेजेंड्रे के सूत्र का उपयोग करते हैं: $E_p(N!) = \sum_{k=1}^{\infty} \left[ \frac{N}{p^k} \right]$.
यहाँ,$N = 1000$ और $p = 3$ है।
$E_3(1000!) = \left[ \frac{1000}{3} \right] + \left[ \frac{1000}{9} \right] + \left[ \frac{1000}{27} \right] + \left[ \frac{1000}{81} \right] + \left[ \frac{1000}{243} \right] + \left[ \frac{1000}{729} \right]$.
प्रत्येक पद की गणना:
$333 + 111 + 37 + 12 + 4 + 1 = 498$.
अतः,$n = 498$.

(A) दिया गया समीकरण: $(x^2 \log _x 27) \cdot \log _9 x = x + 4$
गुणधर्म $\log _a b \cdot \log _b c = \log _a c$ का उपयोग करने पर,हमें $\log _x 27 \cdot \log _9 x = \log _9 27$ प्राप्त होता है।
अतः,समीकरण $x^2 \cdot \log _9 27 = x + 4$ हो जाता है।
चूंकि $\log _9 27 = \log _{3^2} 3^3 = \frac{3}{2} \log _3 3 = \frac{3}{2}$,इसलिए समीकरण $x^2 \cdot \frac{3}{2} = x + 4$ है।
$2$ से गुणा करने पर,हमें $3x^2 = 2x + 8$ प्राप्त होता है,जिसे सरल करने पर $3x^2 - 2x - 8 = 0$ मिलता है।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $3x^2 - 6x + 4x - 8 = 0 \Rightarrow 3x(x - 2) + 4(x - 2) = 0$.
इससे $(3x + 4)(x - 2) = 0$ प्राप्त होता है,अतः $x = 2$ या $x = -\frac{4}{3}$.
चूंकि लघुगणक का आधार $x$ धनात्मक होना चाहिए और $x \neq 1$,इसलिए $x = -\frac{4}{3}$ को अस्वीकार करते हैं।
अतः,$x = 2$।

(A) समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के परिमेय मूल होने के लिए,विविक्तकर $D = b^2 - 4ac$ को एक परिमेय संख्या का पूर्ण वर्ग होना चाहिए। चूँकि $a, b, c$ पूर्णांक हैं,$D$ को एक पूर्ण वर्ग पूर्णांक होना चाहिए।
चूँकि $a, b, c$ विषम प्राकृतिक संख्याएँ हैं,$b^2$ विषम है और $4ac$ सम है। अतः,$D = b^2 - 4ac$ एक विषम पूर्णांक है।
मान लीजिए $D = (2k + 1)^2$। तब $b^2 - 4ac = (2k + 1)^2$।
इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर $4ac = b^2 - (2k + 1)^2 = (b - 2k - 1)(b + 2k + 1)$ प्राप्त होता है।
$b = 2n + 1$ रखने पर,$4ac = (2n - 2k)(2n + 2k + 2) = 4(n - k)(n + k + 1)$।
अतः $ac = (n - k)(n + k + 1)$।
यहाँ $(n - k)$ और $(n + k + 1)$ का अंतर $2k + 1$ (विषम) है,इसलिए उनका गुणनफल $ac$ सम होगा।
लेकिन $a$ और $c$ विषम हैं,इसलिए उनका गुणनफल विषम होना चाहिए,जो एक विरोधाभास है।
अतः,$D$ पूर्ण वर्ग नहीं हो सकता और समीकरण के कोई परिमेय मूल नहीं हैं।
इस प्रकार,परिमेय मूलों की संख्या $0$ है।

(B) समीकरण $P(x) \cdot Q(x) = 0$ का अर्थ है कि या तो $P(x) = 0$ या $Q(x) = 0$ है।
$P(x) = ax^2 + bx + c$ का विविक्तकर $D_1 = b^2 - 4ac$ है।
$Q(x) = -ax^2 + dx + c$ का विविक्तकर $D_2 = d^2 - 4(-a)(c) = d^2 + 4ac$ है।
दोनों विविक्तकरों को जोड़ने पर,$D_1 + D_2 = b^2 + d^2$ प्राप्त होता है।
चूँकि $b^2 + d^2 \geq 0$,इसलिए $D_1$ या $D_2$ में से कम से कम एक गैर-ऋणात्मक होना चाहिए।
अतः,$P(x) \cdot Q(x) = 0$ के कम से कम दो वास्तविक मूल हैं।

(C) माना $f(x) = ax^2+bx+c$ है। चूंकि $a > 0$ है,इसलिए परवलय ऊपर की ओर खुलता है।
यह दिया गया है कि मूल $\alpha$ और $\beta$ इस प्रकार हैं कि $\alpha < -2$ और $\beta > 2$,इसलिए $x = -1$ पर फलन का मान ऋणात्मक होना चाहिए क्योंकि $-1$ मूलों $\alpha$ और $\beta$ के बीच स्थित है (चूंकि $\alpha < -2 < -1 < 2 < \beta$)।
अतः,$f(-1) < 0$ है।
$x = -1$ को द्विघात व्यंजक में रखने पर,हमें $f(-1) = a(-1)^2 + b(-1) + c = a - b + c$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$a - b + c < 0$ है।

(C) दिया गया समीकरण $a_0 x^n + a_1 x^{n-1} + \ldots + a_{n-1} x + a_n = 0$ है।
चूंकि $x = \cos \theta + i \sin \theta = e^{i \theta}$ एक मूल है,इसलिए $a_0 (e^{i \theta})^n + a_1 (e^{i \theta})^{n-1} + \ldots + a_n = 0$ होगा।
डी मॉइवर प्रमेय का उपयोग करते हुए,$e^{i k \theta} = \cos k \theta + i \sin k \theta$।
काल्पनिक भाग को शून्य के बराबर करने पर,हमें $a_1 \sin \theta + a_2 \sin 2 \theta + \ldots + a_n \sin n \theta = 0$ प्राप्त होता है।

(B) मूल बिंदु $O(0)$,$z_1$ और $z_2$ एक समबाहु त्रिभुज बनाते हैं यदि $z_1^2 + z_2^2 = z_1 z_2$ हो।
हम जानते हैं कि समीकरण $z^2+az+b=0$ के लिए,मूलों का योग $z_1+z_2 = -a$ और मूलों का गुणनफल $z_1 z_2 = b$ है।
मूल बिंदु,$z_1$ और $z_2$ के समबाहु त्रिभुज बनाने की शर्त $z_1^2 + z_2^2 = z_1 z_2$ है।
दोनों पक्षों में $2z_1 z_2$ जोड़ने पर,हमें $z_1^2 + z_2^2 + 2z_1 z_2 = 3z_1 z_2$ प्राप्त होता है।
यह $(z_1+z_2)^2 = 3z_1 z_2$ में सरल हो जाता है।
मूलों के योग और गुणनफल के मान रखने पर,हमें $(-a)^2 = 3b$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $a^2 = 3b$।

(C) एक द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $a \neq 0$ है।
चूँकि $0$ एक हल है,$x = 0$ प्रतिस्थापित करने पर $a(0)^2 + b(0) + c = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $c = 0$ है।
गुणांक $a, b, c$ को समुच्चय $\{0, 1, 2, \dots, 9\}$ से चुना जाता है।
समीकरण के द्विघात होने के लिए,$a$ शून्य नहीं हो सकता,इसलिए $a \in \{1, 2, \dots, 9\}$ है। इससे $a$ के लिए $9$ विकल्प मिलते हैं।
गुणांक $b$ समुच्चय $\{0, 1, 2, \dots, 9\}$ से कोई भी मान हो सकता है,जिससे $b$ के लिए $10$ विकल्प मिलते हैं।
गुणांक $c$ को $0$ के रूप में निश्चित किया गया है,इसलिए $c$ के लिए केवल $1$ विकल्प है।
अतः,ऐसे द्विघात समीकरणों की कुल संख्या $N = 9 \times 10 \times 1 = 90$ है।

(D) $n$ भिन्न संख्याओं को व्यवस्थित करने के कुल तरीके $n!$ हैं।
यह सुनिश्चित करने के लिए कि अंक $1, 2, 3, \ldots, k$ एक ब्लॉक के रूप में उसी क्रम में दिखाई दें,हम इस ब्लॉक को एक इकाई के रूप में मानते हैं।
अब,हमारे पास $(n - k)$ शेष अंक और एक ब्लॉक है,जो कुल $(n - k + 1)$ इकाइयाँ बनाते हैं।
इन $(n - k + 1)$ इकाइयों को व्यवस्थित करने के तरीके $(n - k + 1)!$ हैं।
अतः,आवश्यक घटना की प्रायिकता $\frac{(n - k + 1)!}{n!}$ है।

(D) मान लीजिए गेंदों की संख्या $n = 5$ है और बक्सों की संख्या $k = 3$ है।
चूँकि गेंदें अलग-अलग हैं और बक्से भी अलग-अलग हैं,इसलिए यह सुनिश्चित करने के लिए कि कोई भी बक्सा खाली न रहे,हम 'Principle of Inclusion-Exclusion' का उपयोग करते हैं।
$5$ अलग गेंदों को $3$ अलग बक्सों में रखने के कुल तरीके $3^5 = 243$ हैं।
कोई भी बक्सा खाली न रहने के तरीकों की संख्या = $3^5 - \binom{3}{1} 2^5 + \binom{3}{2} 1^5 = 243 - 3(32) + 3(1) = 243 - 96 + 3 = 150$.

(B) माना प्रथम पद $a_1$ और द्वितीय पद $a_2$ है। चूंकि पद धनात्मक हैं,$a_1 > 0$ और $a_2 > 0$ है।
$A.P.$ के लिए,सार्व अंतर $d = a_2 - a_1$ है। अतः,$a_n = a_1 + (n - 1)(a_2 - a_1)$ है।
$G.P.$ के लिए,सार्व अनुपात $r = \frac{a_2}{a_1}$ है। अतः,$b_n = a_1 \left(\frac{a_2}{a_1}\right)^{n-1}$ है।
$n = 3$ के लिए,$a_3 = a_1 + 2(a_2 - a_1) = 2a_2 - a_1$ है।
$n = 3$ के लिए,$b_3 = a_1 \left(\frac{a_2}{a_1}\right)^2 = \frac{a_2^2}{a_1}$ है।
$b_3 - a_3 = \frac{a_2^2}{a_1} - (2a_2 - a_1) = \frac{a_2^2 - 2a_1a_2 + a_1^2}{a_1} = \frac{(a_2 - a_1)^2}{a_1}$ है।
चूंकि $a_1 > 0$ और $(a_2 - a_1)^2 \ge 0$ है,इसलिए $b_3 \ge a_3$ है। यदि $a_1 \neq a_2$ है,तो $b_3 > a_3$ होगा। अतः सभी $n > 2$ के लिए $b_n > a_n$ है।

(C) दिया गया है कि $\frac{a_r - a_{r+1}}{a_r a_{r+1}} = K$ (जहाँ $K$ एक स्थिरांक है)।
पदों को विभाजित करने पर,हमें $\frac{a_r}{a_r a_{r+1}} - \frac{a_{r+1}}{a_r a_{r+1}} = K$ प्राप्त होता है।
यह सरल होकर $\frac{1}{a_{r+1}} - \frac{1}{a_r} = K$ हो जाता है।
चूंकि क्रमिक पदों के व्युत्क्रमों का अंतर स्थिर है,इसलिए अनुक्रम $\frac{1}{a_1}, \frac{1}{a_2}, \frac{1}{a_3}, \ldots$ एक $A$.$P$. है।
अतः,अनुक्रम $a_1, a_2, a_3, \ldots$ $H$.$P$. में है।

(C) $(bc + ca + ab)^{10}$ के विस्तार में सामान्य पद मल्टीनोमियल प्रमेय के अनुसार है: $\frac{10!}{n_1! n_2! n_3!} (bc)^{n_1} (ca)^{n_2} (ab)^{n_3} = \frac{10!}{n_1! n_2! n_3!} a^{n_2+n_3} b^{n_1+n_3} c^{n_1+n_2}$,जहाँ $n_1 + n_2 + n_3 = 10$ है।
हमें $a^{10} b^7 c^3$ का गुणांक चाहिए। घातों की तुलना करने पर:
$n_2 + n_3 = 10$
$n_1 + n_3 = 7$
$n_1 + n_2 = 3$
इन समीकरणों को जोड़ने पर: $2(n_1 + n_2 + n_3) = 20$,जो $n_1 + n_2 + n_3 = 10$ के साथ संगत है।
$n_1, n_2, n_3$ के लिए हल करने पर:
$n_1 + n_2 + n_3 = 10$ और $n_2 + n_3 = 10$ से,हमें $n_1 = 0$ प्राप्त होता है।
$n_1 = 0$ को $n_1 + n_2 = 3$ में रखने पर,हमें $n_2 = 3$ प्राप्त होता है।
$n_2 = 3$ को $n_2 + n_3 = 10$ में रखने पर,हमें $n_3 = 7$ प्राप्त होता है।
गुणांक $\frac{10!}{0! 3! 7!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 10 \times 3 \times 4 = 120$ है।

(C) दिया गया है $(1+x+x^2+x^3)^5 = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \dots + a_{15} x^{15}$.
हम जानते हैं कि $(1+x+x^2+x^3) = (1+x)(1+x^2)$.
अतः,$f(x) = (1+x)^5 (1+x^2)^5 = \sum_{k=0}^{15} a_k x^k$.
योग $\sum_{k=0}^7 (-1)^k a_{2k} = a_0 - a_2 + a_4 - a_6 + a_8 - a_{10} + a_{12} - a_{14}$ प्राप्त करने के लिए,$x = i$ रखने पर:
$f(i) = (1+i+i^2+i^3)^5 = (1+i-1-i)^5 = 0^5 = 0$.
$f(i) = a_0 + a_1 i - a_2 - a_3 i + a_4 + a_5 i - a_6 - a_7 i + a_8 + \dots$.
वास्तविक भाग को $0$ के बराबर रखने पर:
$a_0 - a_2 + a_4 - a_6 + a_8 - a_{10} + a_{12} - a_{14} = 0$.

(A) दिया गया व्यंजक $S = \sum_{r=0}^n (2n+1-2r) ^nC_r$ है।
योगफल का विस्तार करने पर:
$S = (2n+1) \sum_{r=0}^n {^nC_r} - 2 \sum_{r=0}^n r \cdot {^nC_r}$.
हम जानते हैं कि $\sum_{r=0}^n {^nC_r} = 2^n$ और $\sum_{r=0}^n r \cdot ^nC_r = n \cdot 2^{n-1}$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$S = (2n+1) \cdot 2^n - 2 \cdot (n \cdot 2^{n-1}) = (2n+1) \cdot 2^n - n \cdot 2^n = (2n+1-n) \cdot 2^n = (n+1) \cdot 2^n$.
साथ ही,यदि $f(x) = x^{n+1}$ है,तो $f'(x) = (n+1)x^n$,इसलिए $f'(2) = (n+1)2^n$.
अतः,विकल्प $A$ और $C$ दोनों सही हैं।

(B) माना $E = \cos^2 \phi + \cos^2(\theta + \phi) - 2 \cos \theta \cos \phi \cos(\theta + \phi)$.
सर्वसमिका $\cos^2 A = \frac{1 + \cos 2A}{2}$ का उपयोग करने पर:
$E = \frac{1 + \cos 2\phi}{2} + \frac{1 + \cos 2(\theta + \phi)}{2} - \cos \theta [\cos(2\phi + \theta) + \cos \theta]$
$E = 1 + \frac{1}{2} [\cos 2\phi + \cos(2\phi + 2\theta)] - \cos \theta \cos(2\phi + \theta) - \cos^2 \theta$
$\cos C + \cos D = 2 \cos \frac{C+D}{2} \cos \frac{C-D}{2}$ का उपयोग करने पर:
$E = 1 + \cos(2\phi + \theta) \cos \theta - \cos \theta \cos(2\phi + \theta) - \cos^2 \theta$
$E = 1 - \cos^2 \theta = \sin^2 \theta$.
चूंकि परिणाम $\sin^2 \theta$ है,इसलिए व्यंजक $\phi$ से स्वतंत्र है।

(D) दिया गया है कि $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$ सार्व अंतर $\theta$ के साथ $A$.$P$. में हैं,इसलिए $\alpha_{i+1} - \alpha_i = \theta$।
श्रेणी का सामान्य पद $T_i = \sec \alpha_i \sec \alpha_{i+1} = \frac{1}{\cos \alpha_i \cos \alpha_{i+1}}$ है।
हम लिख सकते हैं $T_i = \frac{1}{\sin \theta} \cdot \frac{\sin(\alpha_{i+1} - \alpha_i)}{\cos \alpha_i \cos \alpha_{i+1}} = \operatorname{cosec} \theta (\tan \alpha_{i+1} - \tan \alpha_i)$।
श्रेणी का योग $S = \sum_{i=1}^{n-1} T_i = \operatorname{cosec} \theta \sum_{i=1}^{n-1} (\tan \alpha_{i+1} - \tan \alpha_i)$ है।
यह एक टेलीस्कोपिंग योग है: $S = \operatorname{cosec} \theta (\tan \alpha_n - \tan \alpha_1)$।
$k(\tan \alpha_n - \tan \alpha_1)$ के साथ तुलना करने पर,हमें $k = \operatorname{cosec} \theta$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया समीकरण: $\tan \theta + \tan 2 \theta + \tan 3 \theta = 0$ है।
चूँकि $3 \theta = \theta + 2 \theta$,इसलिए $\tan 3 \theta = \tan (\theta + 2 \theta) = \frac{\tan \theta + \tan 2 \theta}{1 - \tan \theta \cdot \tan 2 \theta}$ है।
$\tan \theta + \tan 2 \theta = -\tan 3 \theta$ और $\tan \theta \cdot \tan 2 \theta = k$ को सूत्र में रखने पर:
$\tan 3 \theta = \frac{-\tan 3 \theta}{1 - k}$ प्राप्त होता है।
चूँकि $\tan 3 \theta \neq 0$,दोनों पक्षों को $\tan 3 \theta$ से विभाजित करने पर:
$1 = \frac{-1}{1 - k}$।
$1 - k = -1$।
$k = 2$।

(A) दिया गया है: $\sin A = \sin^2 B$ और $2 \cos^2 A = 3 \cos^2 B$.
चूंकि $A$ और $B$ न्यून कोण हैं,$\sin A, \sin B, \cos A, \cos B > 0$.
दूसरे समीकरण में $\cos^2 A = 1 - \sin^2 A$ और $\cos^2 B = 1 - \sin^2 B$ प्रतिस्थापित करने पर:
$2(1 - \sin^2 A) = 3(1 - \sin^2 B)$.
$\sin^2 B = \sin A$ प्रतिस्थापित करने पर:
$2 - 2 \sin^2 A = 3(1 - \sin A) = 3 - 3 \sin A$.
$2 \sin^2 A - 3 \sin A + 1 = 0$.
$(2 \sin A - 1)(\sin A - 1) = 0$.
अतः,$\sin A = \frac{1}{2}$ या $\sin A = 1$.
चूंकि $A$ एक न्यून कोण है,$\sin A = 1$ का अर्थ है $A = \frac{\pi}{2}$,जो न्यून कोण नहीं है।
अतः,$\sin A = \frac{1}{2}$,जिससे $A = \frac{\pi}{6}$ प्राप्त होता है।
तब $\sin^2 B = \sin A = \frac{1}{2}$,इसलिए $\sin B = \frac{1}{\sqrt{2}}$ (चूंकि $B$ न्यून कोण है)।
इसलिए,$B = \frac{\pi}{4}$.
हल $(A, B) = \left(\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4}\right)$ है।

(D) माना $G$,$\triangle ABC$ का केंद्रक है। केंद्रक माध्यिकाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु होता है। माध्यिकाओं के समीकरण $x+y=5$ और $x=4$ दिए गए हैं। $x=4$ को $x+y=5$ में रखने पर,$4+y=5$,अतः $y=1$ प्राप्त होता है। इस प्रकार,केंद्रक $G$ का मान $(4, 1)$ है।
माना $A = (1, 2)$ और $D = (\alpha, \beta)$ भुजा $BC$ का मध्य-बिंदु है। केंद्रक $G$,माध्यिका $AD$ को $2:1$ के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर,$G = \left(\frac{2\alpha + 1}{3}, \frac{2\beta + 2}{3}\right) = (4, 1)$।
निर्देशांकों की तुलना करने पर:
$\frac{2\alpha + 1}{3} = 4 \implies 2\alpha + 1 = 12 \implies 2\alpha = 11 \implies \alpha = \frac{11}{2}$।
$\frac{2\beta + 2}{3} = 1 \implies 2\beta + 2 = 3 \implies 2\beta = 1 \implies \beta = \frac{1}{2}$।
अतः,$BC$ का मध्य-बिंदु $D$ का मान $\left(\frac{11}{2}, \frac{1}{2}\right)$ है।

(C) माना शीर्ष $A$ के निर्देशांक $(x, y)$ हैं।
चूंकि $\triangle ABC$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है,इसलिए $AB = AC$,जिसका अर्थ है $AB^2 = AC^2$.
दूरी सूत्र का उपयोग करते हुए: $(x - 1)^2 + (y - 3)^2 = (x + 2)^2 + (y - 7)^2$.
सरल करने पर: $x^2 - 2x + 1 + y^2 - 6y + 9 = x^2 + 4x + 4 + y^2 - 14y + 49$.
हमें $8y - 6x = 43$ प्राप्त होता है।

(A, C) माना वर्ग के शीर्ष $O(0,0)$,$A(a \cos \alpha, a \sin \alpha)$,$C(-a \sin \alpha, a \cos \alpha)$ और $B(a(\cos \alpha - \sin \alpha), a(\sin \alpha + \cos \alpha))$ हैं।
पहला विकर्ण $O(0,0)$ और $B$ से गुजरता है।
इसकी ढाल $m_1 = \frac{\sin \alpha + \cos \alpha}{\cos \alpha - \sin \alpha}$ है।
समीकरण: $y(\cos \alpha - \sin \alpha) = x(\sin \alpha + \cos \alpha)$.
दूसरा विकर्ण $A$ और $C$ से गुजरता है।
इसकी ढाल $m_2 = -\frac{\cos \alpha - \sin \alpha}{\cos \alpha + \sin \alpha}$ है।
समीकरण: $y(\cos \alpha + \sin \alpha) + x(\cos \alpha - \sin \alpha) = a$.

(B) माना रेखा $A(1, 5)$ से गुजरती है और इसका ढाल $m = \tan \theta$ है। रेखा का समीकरण $\frac{y-5}{x-1} = m$ है।
माना रेखा $5x - y - 4 = 0$ को $P_1(x_1, y_1)$ पर और $3x + 4y - 4 = 0$ को $P_2(x_2, y_2)$ पर काटती है।
$(1, 5)$ मध्यबिंदु है,इसलिए $P_1 = (1+r\cos\theta, 5+r\sin\theta)$ और $P_2 = (1-r\cos\theta, 5-r\sin\theta)$ है।
$P_1$ को $5x - y - 4 = 0$ में रखने पर: $5(1+r\cos\theta) - (5+r\sin\theta) - 4 = 0 \Rightarrow r = \frac{4}{5\cos\theta - \sin\theta}$.
$P_2$ को $3x + 4y - 4 = 0$ में रखने पर: $3(1-r\cos\theta) + 4(5-r\sin\theta) - 4 = 0 \Rightarrow r = \frac{19}{3\cos\theta + 4\sin\theta}$.
$r$ के दोनों मानों की तुलना करने पर: $\frac{4}{5\cos\theta - \sin\theta} = \frac{19}{3\cos\theta + 4\sin\theta}$.
$12\cos\theta + 16\sin\theta = 95\cos\theta - 19\sin\theta$ $\Rightarrow 35\sin\theta = 83\cos\theta$ $\Rightarrow \tan\theta = \frac{83}{35}$.
रेखा का समीकरण $y - 5 = \frac{83}{35}(x - 1) \Rightarrow 83x - 35y + 92 = 0$ है।

(B) माना प्रतिच्छेदन बिंदु $P$ मूलबिंदु $(0, 0)$ है। चूँकि जीवाएँ समकोण पर प्रतिच्छेद करती हैं,हम $AB$ को $x$-अक्ष पर और $CD$ को $y$-अक्ष पर रख सकते हैं।
दिया है $AP = 2$,$PB = 6$,$CP = 3$,और $PD = 4$,अतः अंत बिंदुओं के निर्देशांक $A(-2, 0)$,$B(6, 0)$,$C(0, 3)$,और $D(0, -4)$ हैं।
माना वृत्त का केंद्र $O(h, k)$ है।
$AB$ का लंब समद्विभाजक $x = \frac{-2 + 6}{2} = 2$ है।
$CD$ का लंब समद्विभाजक $y = \frac{3 - 4}{2} = -0.5$ है।
अतः,केंद्र $O(2, -0.5)$ है।
त्रिज्या $r$,$O(2, -0.5)$ से $A(-2, 0)$ तक की दूरी है:
$r^2 = (2 - (-2))^2 + (-0.5 - 0)^2 = 4^2 + (-0.5)^2 = 16 + 0.25 = 16.25 = \frac{65}{4}$.
इसलिए,$r = \sqrt{\frac{65}{4}} = \frac{\sqrt{65}}{2}$ इकाई।

(B) माना वृत्तों का समीकरण $x^2+y^2+2gx+2fy+d=0 \quad \ldots(1)$ है।
चूंकि ये वृत्त $(0, a)$ और $(0, -a)$ से होकर गुजरते हैं,इसलिए $a^2+2fa+d=0 \quad \ldots(2)$ और $a^2-2fa+d=0 \quad \ldots(3)$ है।
$(2)$ और $(3)$ को हल करने पर,$f=0$ और $d=-a^2$ प्राप्त होता है।
इन मानों को $(1)$ में रखने पर,$x^2+y^2+2gx-a^2=0 \quad \ldots(4)$ प्राप्त होता है।
चूंकि रेखा $y=mx+c$ इस वृत्त को स्पर्श करती है,इसलिए केंद्र $(-g, 0)$ से रेखा $mx-y+c=0$ की लंबवत दूरी त्रिज्या $\sqrt{g^2+a^2}$ के बराबर होगी।
अतः,$\frac{|-mg+c|}{\sqrt{1+m^2}} = \sqrt{g^2+a^2}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$(c-mg)^2 = (1+m^2)(g^2+a^2)$।
विस्तार करने पर,$g^2 + 2mcg + a^2(1+m^2) - c^2 = 0$ प्राप्त होता है।
माना $g_1$ और $g_2$ इस समीकरण के मूल हैं।
तब मूलों का गुणनफल $g_1g_2 = a^2(1+m^2)-c^2 \quad \ldots(5)$ है।
दो वृत्त $x^2+y^2+2g_1x-a^2=0$ और $x^2+y^2+2g_2x-a^2=0$ हैं।
वृत्तों के लंबकोणीय होने के लिए,$2g_1g_2 = -2a^2$,अर्थात $g_1g_2 = -a^2 \quad \ldots(6)$।
$(5)$ और $(6)$ से,$-a^2 = a^2(1+m^2) - c^2$।
अतः,$c^2 = a^2(2+m^2)$।

(A) चूंकि $\triangle OAB$ एक समबाहु त्रिभुज है और $O$ शीर्ष $(0,0)$ है,परवलय का अक्ष ($x$-अक्ष) $\angle AOB$ को समद्विभाजित करता है।
अतः,$OA$ द्वारा $x$-अक्ष के साथ बनाया गया कोण $30^{\circ}$ है।
$OA$ की ढाल $m = \tan 30^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ है।
रेखा $OA$ का समीकरण $y = \frac{1}{\sqrt{3}}x$ है।
$y = \frac{x}{\sqrt{3}}$ को परवलय $y^2 = 4ax$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$\left(\frac{x}{\sqrt{3}}\right)^2 = 4ax \Rightarrow \frac{x^2}{3} = 4ax$.
बिंदु $A$ के लिए $x \neq 0$ है,इसलिए $x = 12a$.
तब $y = \frac{12a}{\sqrt{3}} = 4\sqrt{3}a$.
बिंदु $A$ $(12a, 4\sqrt{3}a)$ है।
चूंकि $AB$,$x$-अक्ष के लंबवत है,लंबाई $AB = 2y_A = 2(4\sqrt{3}a) = 8\sqrt{3}a$.
$\triangle OAB$ समबाहु है,इसलिए भुजा की लंबाई $8\sqrt{3}a$ है।

(C) मान लीजिए कि दो लंबवत रेखाएँ निर्देशांक अक्ष हैं। रेखाखंड के सिरे $A(0, m)$ और $B(n, 0)$ हैं।
रेखाखंड की लंबाई $AB = \sqrt{m^2 + n^2} = a + b$ है,इसलिए $m^2 + n^2 = (a + b)^2$.
मान लीजिए $P(h, k)$ रेखाखंड $AB$ पर एक बिंदु है जो इसे $a$ और $b$ लंबाई के भागों में विभाजित करता है। विभाजन सूत्र के अनुसार,$P$,$AB$ को $b : a$ के अनुपात में विभाजित करता है (क्योंकि $AP = a$ और $PB = b$)।
अतः,$h = \frac{b(0) + a(n)}{a + b} = \frac{an}{a + b} \Rightarrow n = \frac{(a + b)h}{a}$.
और $k = \frac{b(m) + a(0)}{a + b} = \frac{bm}{a + b} \Rightarrow m = \frac{(a + b)k}{b}$.
इन मानों को $m^2 + n^2 = (a + b)^2$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\left(\frac{(a + b)k}{b}\right)^2 + \left(\frac{(a + b)h}{a}\right)^2 = (a + b)^2$.
$(a + b)^2$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{k^2}{b^2} + \frac{h^2}{a^2} = 1$ प्राप्त होता है।
$(h, k)$ को $(x, y)$ से बदलने पर,बिंदुपथ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ है,जो एक दीर्घवृत्त है।

(B) माना नाभि $F(0, 0)$ है और नियता $x = 4$ है। माना लघु अक्ष का सिरा $B(h, k)$ है।
दीर्घवृत्त की परिभाषा के अनुसार,नाभि से बिंदु $B$ की दूरी,$B$ से नियता की दूरी की $e$ गुना होती है।
$BF = e \cdot BM$
$BF = \sqrt{h^2 + k^2}$ और $BM = |4 - h|$.
अतः,$\sqrt{h^2 + k^2} = e(4 - h)$.
दीर्घवृत्त के लिए,केंद्र से नाभि की दूरी $ae$ है और केंद्र से नियता की दूरी $a/e$ है। नाभि $(0,0)$ पर है और नियता $x=4$ है,इसलिए उनके बीच की दूरी $a/e - ae = 4$ है।
लघु अक्ष के सिरे के लिए,केंद्र से नाभि की दूरी $ae$ है,इसलिए $h = -ae$ और $k = b$ है।
$a/e - ae = 4$ से,हमें $a(1 - e^2) = 4e$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $b^2/a = 4e$,इसलिए $b^2 = 4ae$ है।
$h = -ae$ और $k = b$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $k^2 = 4(-h) = -4h$ प्राप्त होता है।
$(h, k)$ को $(x, y)$ से बदलने पर,बिंदुपथ $y^2 = -4x$ है,जो एक परवलय है।

(B) अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{9} = 1$ है।
यहाँ $a^2 = 4$ और $b^2 = 9$ है।
समांतर जीवाओं की ढाल $m = 2$ है।
अतिपरवलय के व्यास का समीकरण $y = \frac{b^2}{a^2 m} x$ होता है।
मान रखने पर,$y = \frac{9}{4 \times 2} x = \frac{9}{8} x$ प्राप्त होता है।
अतः,$8y = 9x$ या $9x - 8y = 0$ है।

(D) दिया गया द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ है जिसके मूल $\alpha$ और $\beta$ हैं,इसलिए हम $ax^2 + bx + c = a(x - \alpha)(x - \beta)$ लिख सकते हैं।
हमें सीमा $L = \lim_{x \rightarrow \beta} \frac{1 - \cos(a(x - \alpha)(x - \beta))}{(x - \beta)^2}$ का मूल्यांकन करना है।
सर्वसमिका $1 - \cos(\theta) = 2 \sin^2(\frac{\theta}{2})$ का उपयोग करने पर:
$L = \lim_{x \rightarrow \beta} \frac{2 \sin^2(\frac{a(x - \alpha)(x - \beta)}{2})}{(x - \beta)^2}$.
$(\frac{a(x - \alpha)}{2})^2$ से गुणा और भाग करने पर:
$L = \lim_{x}$ ${\rightarrow \beta} 2 \left[ \frac{\sin(\frac{a(x - \alpha)(x - \beta)}{2})}{\frac{a(x - \alpha)(x - \beta)}{2}} \right]^2 \times \frac{a^2(x - \alpha)^2}{4}$.
जैसे $x \rightarrow \beta$,कोष्ठक में पद $1$ की ओर अग्रसर होता है।
अतः,$L = 2 \times 1^2 \times \frac{a^2(\beta - \alpha)^2}{4} = \frac{a^2(\alpha - \beta)^2}{2}$.

(D) समुच्चय $A$ में $8$ से छोटी सम प्राकृतिक संख्याएँ हैं,इसलिए $A = \{2, 4, 6\}$ है।
$A$ में अवयवों की संख्या $n(A) = 3$ है।
समुच्चय $B$ में $7$ से छोटे अभाज्य पूर्णांक हैं,इसलिए $B = \{2, 3, 5\}$ है।
$B$ में अवयवों की संख्या $n(B) = 3$ है।
$A$ से $B$ तक संबंधों की कुल संख्या $2^{n(A) \times n(B)}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर,हमें $2^{3 \times 3} = 2^9$ प्राप्त होता है।

(B) एक फलन $f(x)$ आवर्ती होता है यदि एक धनात्मक स्थिरांक $T$ का अस्तित्व हो ताकि डोमेन के सभी $x$ के लिए $f(x+T) = f(x)$ हो।
$f(x) = x + \sin 2x$ के लिए:
जैसे $x \to \infty$,$f(x) \to \infty$,क्योंकि $x$ एक निरंतर वर्धमान फलन है और $\sin 2x$ का मान $-1$ और $1$ के बीच सीमित है। अतः,किसी भी $T > 0$ के लिए $f(x+T) = x + T + \sin(2(x+T)) = x + \sin 2x$ संभव नहीं है। इसलिए,$x + \sin 2x$ एक आवर्ती फलन नहीं है।
$g(x) = \cos (\sqrt{x}+1)$ के लिए:
जैसे $x$ बढ़ता है,तर्क $\sqrt{x}+1$ बढ़ता है,लेकिन तर्क के परिवर्तन की दर घटती है। किसी फलन के आवर्ती होने के लिए,मानों को नियमित अंतराल पर दोहराया जाना चाहिए। चूँकि $\cos (\sqrt{x}+1)$ के क्रमिक शून्यकों के बीच की दूरी स्थिर नहीं है,इसलिए यह एक आवर्ती फलन नहीं है।
अतः,कथन $B$ और $D$ दोनों सही हैं।

(C) दिया गया ध्रुवीय समीकरण: $r \cos \theta = 2a \sin^2 \theta$.
हम जानते हैं कि: $x = r \cos \theta$,$y = r \sin \theta$,और $r^2 = x^2 + y^2$.
दिए गए समीकरण को $r^2$ से गुणा करने पर:
$r^3 \cos \theta = 2a (r \sin \theta)^2$.
$r^2 (r \cos \theta) = 2a (r \sin \theta)^2$
$(x^2 + y^2)x = 2a y^2$
$x^3 + xy^2 = 2a y^2$
$x^3 = 2a y^2 - xy^2$
$x^3 = y^2(2a - x)$.
अतः,सही विकल्प $C$ है.

(B) माना $f(x) = 2^x + 5^x - 3^x - 4^x = 0$ है।
हम देख सकते हैं कि $x=0$ एक हल है क्योंकि $2^0 + 5^0 = 1 + 1 = 2$ और $3^0 + 4^0 = 1 + 1 = 2$ है।
साथ ही,$x=1$ भी एक हल है क्योंकि $2^1 + 5^1 = 2 + 5 = 7$ और $3^1 + 4^1 = 3 + 4 = 7$ है।
अन्य हलों की जांच करने के लिए,$g(x) = 5^x - 4^x$ और $h(x) = 3^x - 2^x$ पर विचार करें। समीकरण $g(x) = h(x)$ है।
मीन वैल्यू थ्योरम का उपयोग करके या अवकलजों का विश्लेषण करके,यह दिखाया जा सकता है कि यहाँ केवल दो वास्तविक हल $x=0$ और $x=1$ हैं।
चूंकि $x=0$ एक शून्य हल है,इसलिए केवल एक शून्येतर वास्तविक हल $x=1$ है।

(A) दिया गया वक्र $\Gamma: y = b e^{-x/a}$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dy}{dx} = -\frac{b}{a} e^{-x/a}$ प्राप्त होता है।
जहाँ वक्र $y$-अक्ष को काटता है,वहाँ $x = 0$,इसलिए $y = b e^0 = b$ है।
$(0, b)$ बिंदु पर स्पर्श रेखा की ढाल $\left. \frac{dy}{dx} \right|_{x=0} = -\frac{b}{a}$ है।
$(0, b)$ बिंदु पर स्पर्श रेखा का समीकरण $y - b = -\frac{b}{a}(x - 0)$ है,जो सरल होकर $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ हो जाता है।
यह रेखा $L$ का समीकरण है,अतः $L$,$\Gamma$ को $(0, b)$ पर स्पर्श करता है।
चूँकि सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए $e^{-x/a} > 0$ है,इसलिए $y = b e^{-x/a}$ कभी भी $0$ नहीं होता है। अतः,$\Gamma$ कभी भी $x$-अक्ष को स्पर्श नहीं करता है।
इसलिए,दिए गए विकल्पों में से $A$ और $D$ दोनों गणितीय रूप से सही हैं।

(A) समीकरण $|\vec{r}-\vec{a}| - |\vec{r}-\vec{b}| = c$ अतिपरवलय की परिभाषा को दर्शाता है जहाँ $A$ और $B$ नाभियाँ हैं।
नाभियों के बीच की दूरी $2ae = |\vec{a}-\vec{b}|$ है।
शीर्षों के बीच की दूरी (अनुप्रस्थ अक्ष की लंबाई) $2a = c$ है।
इसलिए,उत्केंद्रता $e = \frac{\text{नाभियों के बीच की दूरी}}{\text{शीर्षों के बीच की दूरी}} = \frac{|\vec{a}-\vec{b}|}{c}$।

(A) मान लीजिए $L = \lim _{x \rightarrow 1} \int_4^{f(x)} \frac{2 t}{x-1} dt$.
समाकलन का मूल्यांकन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$L = \lim _{x \rightarrow 1} \frac{1}{x-1} [t^2]_4^{f(x)} = \lim _{x \rightarrow 1} \frac{[f(x)]^2 - 16}{x-1}$.
चूंकि $f(1) = 4$,यह व्यंजक $\frac{0}{0}$ रूप में है।
$L'H\hat{o}pital$ नियम लागू करने पर:
$L = \lim _{x \rightarrow 1} \frac{\frac{d}{dx} ([f(x)]^2 - 16)}{\frac{d}{dx} (x-1)} = \lim _{x \rightarrow 1} \frac{2 f(x) f^{\prime}(x)}{1}$.
$f(1) = 4$ और $f^{\prime}(1) = 2$ का मान रखने पर:
$L = 2 \times f(1) \times f^{\prime}(1) = 2 \times 4 \times 2 = 16$.

(C) दिया गया सीमा $L = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^{k+1}} \sum_{r=1}^{n} (2r)^k$ है।
हम इसे $L = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^{n} \left(\frac{2r}{n}\right)^k$ के रूप में लिख सकते हैं।
रीमान योग की सीमा के रूप में निश्चित समाकल की परिभाषा का उपयोग करते हुए,$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^{n} f\left(\frac{r}{n}\right) = \int_{0}^{1} f(x) dx$।
यहाँ,$f(x) = (2x)^k$ है।
अतः,$L = \int_{0}^{1} (2x)^k dx = 2^k \int_{0}^{1} x^k dx$।
समाकल का मान ज्ञात करने पर,$L = 2^k \left[ \frac{x^{k+1}}{k+1} \right]_{0}^{1} = 2^k \left( \frac{1}{k+1} - 0 \right) = \frac{2^k}{k+1}$।

(C) संबंध $a^2-4ab+3b^2=0$ के रूप में परिभाषित है।
$1$. स्वतुल्यता: किसी भी $a \in \mathbb{R}$ के लिए,हम जाँचते हैं कि क्या $a \ p \ a$ है। $b=a$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $a^2-4a(a)+3a^2 = a^2-4a^2+3a^2 = 0$ प्राप्त होता है। चूँकि $0=0$ है,इसलिए संबंध स्वतुल्य है।
$2$. सममितता: जाँचें कि क्या $a \ p \ b \implies b \ p \ a$ है। यदि $a^2-4ab+3b^2=0$,तो $(a-b)(a-3b)=0$,अतः $a=b$ या $a=3b$ है। यदि $a=3b$ है,तो $b=a/3$ होगा। सममितता के लिए,हमें $b^2-4ba+3a^2=0$ की आवश्यकता है। $a=3b$ रखने पर,हमें $b^2-4b(3b)+3(3b)^2 = b^2-12b^2+27b^2 = 16b^2 \neq 0$ प्राप्त होता है (जब तक कि $b=0$ न हो)। अतः,यह सममित नहीं है।
$3$. संक्रामकता: जाँचें कि क्या $a \ p \ b$ और $b \ p \ c \implies a \ p \ c$ है। यदि $a=3b$ और $b=3c$ है,तो $a=9c$ होगा। $a \ p \ c$ के लिए,हमें $a^2-4ac+3c^2=0$ की आवश्यकता है। $a=9c$ रखने पर,हमें $(9c)^2-4(9c)c+3c^2 = 81c^2-36c^2+3c^2 = 48c^2 \neq 0$ प्राप्त होता है। अतः,यह संक्रामक नहीं है।
इसलिए,संबंध केवल स्वतुल्य है।

(A) $1$. स्वतुल्यता: किसी भी $x \in \mathbb{R}$ के लिए,$x p x$ का अर्थ है $x-x+\sqrt{2} = \sqrt{2}$। चूंकि $\sqrt{2}$ एक अपरिमेय संख्या है,इसलिए $x p x$ सभी $x$ के लिए सत्य है। अतः,$p$ स्वतुल्य है।
$2$. सममितता: यदि $x p y$ है,तो $x-y+\sqrt{2}$ अपरिमेय है। सममितता के लिए,हम जांचते हैं कि क्या $y p x$ सत्य है,जिसका अर्थ है $y-x+\sqrt{2}$ अपरिमेय है। मान लीजिए $x=\sqrt{2}$ और $y=0$। तो $x-y+\sqrt{2} = \sqrt{2}-0+\sqrt{2} = 2\sqrt{2}$ (अपरिमेय)। लेकिन $y-x+\sqrt{2} = 0-\sqrt{2}+\sqrt{2} = 0$ (परिमेय)। इसलिए,संबंध सममित नहीं है।
$3$. संक्रामकता: यदि $x p y$ और $y p z$ है,तो $x-y+\sqrt{2} = i_1$ और $y-z+\sqrt{2} = i_2$,जहाँ $i_1, i_2$ अपरिमेय हैं। इन्हें जोड़ने पर,$x-z+2\sqrt{2} = i_1+i_2$ प्राप्त होता है। यह गारंटी नहीं देता कि $x-z+\sqrt{2}$ अपरिमेय है। इसलिए,संबंध संक्रामक नहीं है। अतः,दिया गया संबंध केवल स्वतुल्य है।

(A) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}$.
रोटेशन मैट्रिक्स के गुणधर्म के अनुसार,$A^n = \begin{bmatrix} \cos n \theta & -\sin n \theta \\ \sin n \theta & \cos n \theta \end{bmatrix}$.
$n = 100$ के लिए,$A^{100} = \begin{bmatrix} \cos 100 \theta & -\sin 100 \theta \\ \sin 100 \theta & \cos 100 \theta \end{bmatrix}$.
यहाँ $\theta = \frac{2 \pi}{7}$ है,इसलिए $100 \theta = \frac{200 \pi}{7}$.
हम लिख सकते हैं कि $\frac{200 \pi}{7} = \frac{196 \pi + 4 \pi}{7} = 28 \pi + \frac{4 \pi}{7}$.
चूँकि $\cos(28 \pi + \alpha) = \cos \alpha$ और $\sin(28 \pi + \alpha) = \sin \alpha$,इसलिए $A^{100} = \begin{bmatrix} \cos \frac{4 \pi}{7} & -\sin \frac{4 \pi}{7} \\ \sin \frac{4 \pi}{7} & \cos \frac{4 \pi}{7} \end{bmatrix} = A^2$.

(D) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{bmatrix}$.
सबसे पहले,हम जाँचते हैं कि क्या $A$ सममित है या विषम-सममित। परिवर्त आव्यूह $A^T = \begin{bmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{bmatrix} = A$ है। चूँकि $A^T = A$,इसलिए $A$ एक सममित आव्यूह है।
अब,हम $A^2 = A \times A = \begin{bmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = I$ की गणना करते हैं।
चूँकि $A^2 = I$,इसलिए सही विकल्प $D$ है।

(D) दिया गया सारणिक $\Delta = \begin{vmatrix} x^k & x^{k+2} & x^{k+3} \\ y^k & y^{k+2} & y^{k+3} \\ z^k & z^{k+2} & z^{k+3} \end{vmatrix}$ है।
$R_1, R_2, R_3$ से क्रमशः $x^k, y^k, z^k$ उभयनिष्ठ लेने पर:
$\Delta = (xyz)^k \begin{vmatrix} 1 & x^2 & x^3 \\ 1 & y^2 & y^3 \\ 1 & z^2 & z^3 \end{vmatrix}$।
सारणिक $\begin{vmatrix} 1 & x^2 & x^3 \\ 1 & y^2 & y^3 \\ 1 & z^2 & z^3 \end{vmatrix}$ का मान $(x-y)(y-z)(z-x)(xy+yz+zx)$ होता है।
अतः,$\Delta = (xyz)^k (x-y)(y-z)(z-x)(xy+yz+zx)$।
हम $(xy+yz+zx) = xyz \left(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}\right)$ लिख सकते हैं।
इसलिए,$\Delta = (xyz)^k (xyz) (x-y)(y-z)(z-x) \left(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}\right) = (xyz)^{k+1} (x-y)(y-z)(z-x) \left(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}\right)$।
इसकी तुलना दिए गए व्यंजक $(x-y)(y-z)(z-x) \left(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}\right)$ से करने पर,हमें $(xyz)^{k+1} = 1$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है कि $k+1 = 0$,अतः $k = -1$।

(A) माना $P = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{bmatrix}$ और $Q = \begin{bmatrix} -3 & 2 \\ 5 & -3 \end{bmatrix}$ है। दिया गया समीकरण $P \cdot A \cdot Q = I$ है,जहाँ $I$ एक तत्समक आव्यूह है।
बाएँ पक्ष में $P^{-1}$ और दाएँ पक्ष में $Q^{-1}$ से गुणा करने पर,हमें $A = P^{-1} \cdot I \cdot Q^{-1} = P^{-1} \cdot Q^{-1}$ प्राप्त होता है।
सबसे पहले,$P^{-1}$ ज्ञात करें: $\det(P) = (2)(2) - (1)(3) = 4 - 3 = 1$। अतः,$P^{-1} = \frac{1}{1} \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -3 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -3 & 2 \end{bmatrix}$।
अगला,$Q^{-1}$ ज्ञात करें: $\det(Q) = (-3)(-3) - (2)(5) = 9 - 10 = -1$। अतः,$Q^{-1} = \frac{1}{-1} \begin{bmatrix} -3 & -2 \\ -5 & -3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 5 & 3 \end{bmatrix}$।
अब,$A = P^{-1} \cdot Q^{-1} = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -3 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 5 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (2)(3) + (-1)(5) & (2)(2) + (-1)(3) \\ (-3)(3) + (2)(5) & (-3)(2) + (2)(3) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6-5 & 4-3 \\ -9+10 & -6+6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$।

(D) हमें आव्यूह समीकरण $AX = B$ दिया गया है,जहाँ $A = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}$ और $B = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 7 \end{bmatrix}$ है।
हम प्रत्येक विकल्प के लिए आव्यूह गुणन $AX$ करके विकल्पों की जाँच कर सकते हैं।
माना $X = \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}$ है।
विकल्प $D$ की जाँच करने पर: $X = \begin{bmatrix} 4 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix}$ है।
$AX = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 4 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (1)(4) + (-1)(2) + (0)(1) \\ (0)(4) + (1)(2) + (-1)(1) \\ (1)(4) + (1)(2) + (1)(1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 - 2 + 0 \\ 0 + 2 - 1 \\ 4 + 2 + 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 7 \end{bmatrix} = B$ है।
अतः,सही आव्यूह $X = \begin{bmatrix} 4 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix}$ है।

(C) माना कि दिया गया सारणिक $\Delta$ है। स्तंभ संक्रिया $C_1 \to C_1 - x C_2$ लागू करने पर:
$\Delta = \begin{vmatrix} a_1(1-x^2) & a_1 x+b_1 & c_1 \\ a_2(1-x^2) & a_2 x+b_2 & c_2 \\ a_3(1-x^2) & a_3 x+b_3 & c_3 \end{vmatrix} = 0$
प्रथम स्तंभ से $(1-x^2)$ उभयनिष्ठ लेने पर:
$(1-x^2) \begin{vmatrix} a_1 & a_1 x+b_1 & c_1 \\ a_2 & a_2 x+b_2 & c_2 \\ a_3 & a_3 x+b_2 & c_3 \end{vmatrix} = 0$
इस प्रकार,$(1-x^2) \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix} = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,या तो $x^2 = 1$ या $a_i, b_i, c_i$ द्वारा निर्मित सारणिक का मान $0$ है। दिए गए विकल्पों के अनुसार,सही शर्त $\begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix} = 0$ है।

(B) दिया गया है $f(x) = \left| \begin{array}{ccc} \cos x & x & 1 \\ 2 \sin x & x^3 & 2x \\ \tan x & x & 1 \end{array} \right|$.
प्रथम पंक्ति के अनुदिश सारणिक का विस्तार करने पर:
$f(x) = \cos x(x^3 - 2x^2) - x(2 \sin x - 2x \tan x) + 1(2x \sin x - x^3 \tan x)$.
$f(x) = (x^3 - 2x^2) \cos x - 2x \sin x + 2x^2 \tan x + 2x \sin x - x^3 \tan x$.
$f(x) = (x^3 - 2x^2) \cos x + 2x^2 \tan x - x^3 \tan x$.
अब,हमें $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x^2} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{(x^3 - 2x^2) \cos x + 2x^2 \tan x - x^3 \tan x}{x^2}$ ज्ञात करना है।
$= \lim_{x \rightarrow 0} \left( (x - 2) \cos x + 2 \tan x - x \tan x \right)$.
$x = 0$ रखने पर:
$= (0 - 2) \cos(0) + 2 \tan(0) - 0 \cdot \tan(0) = -2(1) + 0 - 0 = -2$.

(C) माना $u = \log_e x$ है। तब व्यंजक इस प्रकार हो जाता है:
$y = \tan^{-1}\left[\frac{\log_e e - \log_e x^2}{\log_e e + \log_e x^2}\right] + \tan^{-1}\left[\frac{3+2u}{1-6u}\right]$
$y = \tan^{-1}\left[\frac{1-2u}{1+2u}\right] + \tan^{-1}\left[\frac{3+2u}{1-3(2u)}\right]$
सूत्र $\tan^{-1} A - \tan^{-1} B = \tan^{-1}\left(\frac{A-B}{1+AB}\right)$ और $\tan^{-1} A + \tan^{-1} B = \tan^{-1}\left(\frac{A+B}{1-AB}\right)$ का उपयोग करने पर:
$y = (\tan^{-1} 1 - \tan^{-1}(2u)) + (\tan^{-1} 3 + \tan^{-1}(2u))$
$y = \tan^{-1} 1 + \tan^{-1} 3$
चूंकि $y$ एक स्थिरांक है,इसलिए अवकलज $\frac{dy}{dx} = 0$ है।
अतः,द्वितीय अवकलज $\frac{d^2 y}{d x^2} = 0$ है।

(C) दिया गया है $f(x) = \cos x - 1 + \frac{x^2}{2!}$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $f'(x) = -\sin x + x$ प्राप्त होता है।
$x > 0$ के लिए,हम जानते हैं कि $x > \sin x$,जिसका अर्थ है कि $x - \sin x > 0$। अतः,$x > 0$ के लिए $f'(x) > 0$ है।
$x < 0$ के लिए,हम जानते हैं कि $x < \sin x$,जिसका अर्थ है कि $x - \sin x < 0$। अतः,$x < 0$ के लिए $f'(x) < 0$ है।
चूंकि अवकलज $f'(x)$ का चिह्न $x = 0$ पर बदलता है,इसलिए फलन $f(x)$ पूरे प्रांत $R$ पर न तो वर्धमान है और न ही ह्रासमान।

(D) दिया गया फलन $f(x) = \frac{e^{|x|} - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}$ है।
स्थिति $I$: यदि $x \geq 0$,तो $|x| = x$. अतः,$f(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}} = \tanh(x)$. जैसे-जैसे $x$,$0$ से $\infty$ तक बढ़ता है,$f(x)$,$0$ से $1$ तक बढ़ता है।
स्थिति $II$: यदि $x < 0$,तो $|x| = -x$. अतः,$f(x) = \frac{e^{-x} - e^{-x}}{e^x + e^{-x}} = \frac{0}{e^x + e^{-x}} = 0$.
चूंकि सभी $x < 0$ के लिए $f(x) = 0$ है और $f(0) = 0$ है,इसलिए फलन एकैकी नहीं है क्योंकि $f(-1) = f(0) = 0$ है।
चूंकि फलन का परिसर $[0, 1)$ है,जो सह-प्रांत $R$ का एक उचित उपसमुच्चय है,इसलिए फलन आच्छादक नहीं है।
अतः,$f$ न तो एकैकी है और न ही आच्छादक है।

(D) चरण $1$: एकैकी (one-one) गुण की जाँच करें।
$f(x) = e^x + e^{-x}$।
चूँकि $f(-x) = e^{-x} + e^{-(-x)} = e^{-x} + e^x = f(x)$, इसलिए यह एक सम फलन है।
एक सम फलन के लिए, $f(x_1) = f(x_2)$ का अर्थ यह नहीं है कि $x_1 = x_2$ (उदाहरण के लिए, $f(1) = f(-1)$)।
अतः, फलन एकैकी नहीं है।
चरण $2$: आच्छादक (onto) गुण की जाँच करें।
हम जानते हैं कि सभी $x \in R$ के लिए $e^x > 0$ होता है।
समांतर माध्य-गुणोत्तर माध्य असमिका के अनुसार, $\frac{e^x + e^{-x}}{2} \geq \sqrt{e^x \cdot e^{-x}} = 1$, जिसका अर्थ है $e^x + e^{-x} \geq 2$।
इस प्रकार, $f(x)$ का परिसर $[2, \infty)$ है।
चूँकि सह-प्रांत $R$ है और परिसर $[2, \infty)$ है, इसलिए परिसर $\neq$ सह-प्रांत।
अतः, फलन आच्छादक नहीं है।
निष्कर्ष: चूँकि फलन न तो एकैकी है और न ही आच्छादक, इसलिए यह एकैकी आच्छादक (bijective) नहीं है।

(A) दिया है $f(x) = \frac{x}{x+1}$।
प्रथम कुछ पदों की गणना करने पर:
$f_1(x) = \frac{x}{x+1}$
$f_2(x) = f(f(x)) = \frac{x}{2x+1}$
$f_3(x) = f(f_2(x)) = \frac{x}{3x+1}$
गणितीय आगमन द्वारा,$f_n(x) = \frac{x}{nx+1}$।
$x = -2$ पर मान ज्ञात करने पर:
$f_n(-2) = \frac{-2}{n(-2)+1} = \frac{2}{2n-1}$।
गुणनफल $P = f_1(-2) \cdot f_2(-2) \cdot \ldots \cdot f_n(-2) = \prod_{k=1}^{n} \frac{2}{2k-1} = \frac{2^n}{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \ldots \cdot (2n-1)}$।

(A) माना $g(x) = x \log_e x + x - 2$.
हम समीकरण $g(x) = 0$ के मूल ज्ञात कर रहे हैं।
अंतराल $(1, 2)$ के अंत बिंदुओं पर $g(x)$ का मान ज्ञात करें:
$g(1) = 1 \cdot \log_e(1) + 1 - 2 = 0 + 1 - 2 = -1$.
$g(2) = 2 \cdot \log_e(2) + 2 - 2 = 2 \log_e(2) \approx 2(0.693) = 1.386$.
चूंकि $g(1) = -1 < 0$ और $g(2) = 2 \log_e(2) > 0$ है,और $g(x)$ अंतराल $[1, 2]$ पर एक सतत फलन है,इसलिए 'Intermediate Value Theorem' के अनुसार,$(1, 2)$ में कम से कम एक ऐसा मूल $c$ अवश्य होगा जिसके लिए $g(c) = 0$ हो।

(C) कण का वेग समय के सापेक्ष स्थिति का अवकलन है:
$v = \frac{dx}{dt} = a \cos (\sqrt{\lambda} t + b) \cdot \sqrt{\lambda}$.
कण के विराम अवस्था में आने के लिए,वेग शून्य होना चाहिए:
$v = 0 \Rightarrow a \sqrt{\lambda} \cos (\sqrt{\lambda} t + b) = 0$.
चूंकि $a \neq 0$ और $\lambda > 0$,इसलिए $\cos (\sqrt{\lambda} t + b) = 0$ होगा।
यह तब होता है जब कोण $\pm \frac{\pi}{2}$ हो।
मान लीजिए कि दो बिंदु $x_1$ और $x_2$ हैं:
$x_1 = a \sin (\frac{\pi}{2}) = a(1) = a$.
$x_2 = a \sin (-\frac{\pi}{2}) = a(-1) = -a$.
इन दो बिंदुओं के बीच की दूरी $|x_1 - x_2| = |a - (-a)| = |2a| = 2a$ है।

(B, C) दिया गया त्वरण $f = \frac{dv}{dt} = 6 - \sqrt{1.2t}$ है।
$t = 0$ पर,$v = 0$ है।
वेग अधिकतम तब होता है जब त्वरण $f = 0$ हो।
$f = 0$ रखने पर,$6 - \sqrt{1.2t} = 0 \Rightarrow \sqrt{1.2t} = 6 \Rightarrow 1.2t = 36 \Rightarrow t = \frac{36}{1.2} = 30 \text{ sec}$।
अतः,समय $T = 30 \text{ sec}$ है।
अधिकतम वेग $v$ ज्ञात करने के लिए,हम $t = 0$ से $t = 30$ तक त्वरण का समय के सापेक्ष समाकलन करते हैं:
$v = \int_{0}^{30} (6 - \sqrt{1.2} \cdot t^{1/2}) dt$
$v = [6t - \sqrt{1.2} \cdot \frac{t^{3/2}}{3/2}]_{0}^{30}$
$v = 6(30) - \frac{2}{3} \sqrt{1.2} \cdot (30)^{3/2}$
$v = 180 - \frac{2}{3} \sqrt{1.2} \cdot 30 \sqrt{30} = 180 - 20 \sqrt{36} = 180 - 20(6) = 180 - 120 = 60 \text{ ft/sec}$।
इसलिए,अधिकतम वेग $v = 60 \text{ ft/sec}$ और समय $T = 30 \text{ sec}$ है।

(A) मान लीजिए $P(x, y)$ वक्र $y=f(x)$ पर एक बिंदु है और $C(a, b)$ वक्र पर स्थित नहीं एक निश्चित बिंदु है।
$P$ और $C$ के बीच की दूरी $d$,$d^2 = (x-a)^2 + (y-b)^2$ द्वारा दी जाती है।
$d$ के अधिकतम या न्यूनतम होने के लिए,$d^2$ का भी अधिकतम या न्यूनतम होना आवश्यक है।
$x$ के सापेक्ष $d^2$ का अवकलन करने पर,हमें $\frac{d}{dx}(d^2) = 2(x-a) + 2(y-b)\frac{dy}{dx} = 0$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है $(x-a) + (y-b)\frac{dy}{dx} = 0$,जिसे $\frac{y-b}{x-a} = -\frac{1}{dy/dx}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यहाँ,$\frac{y-b}{x-a}$ रेखाखंड $PC$ की ढाल है और $\frac{dy}{dx}$ $P$ पर स्पर्शरेखा की ढाल है।
चूँकि उनकी ढालों का गुणनफल $-1$ है,इसलिए रेखाखंड $PC$,$P$ पर स्पर्शरेखा के लंबवत है।

(C) फलन $f(x) = |x^2 - 1|$ के रूप में परिभाषित है।
हम इसके ग्राफ को देखकर या इसके क्रांतिक बिंदुओं की जांच करके फलन के व्यवहार का विश्लेषण कर सकते हैं।
$1$. फलन $f(x) = |x^2 - 1|$ सभी $x \in R$ के लिए अ-ऋणात्मक है।
$2$. $x = 1$ और $x = -1$ पर,$f(x) = |1^2 - 1| = 0$ होता है। चूंकि सभी $x$ के लिए $f(x) \ge 0$ है,इसलिए बिंदु $x = 1$ और $x = -1$ स्थानीय निम्निष्ठ के बिंदु हैं जहाँ न्यूनतम मान $0$ है।
$3$. $x = 0$ पर,$f(0) = |0^2 - 1| = |-1| = 1$ होता है। $0$ के आसपास एक छोटे अंतराल (जैसे $x \in (-1, 1)$) में,$f(x) = |x^2 - 1| = 1 - x^2$ होता है। इस अंतराल में $x \neq 0$ के लिए $1 - x^2 < 1$ होने के कारण,$x = 0$ स्थानीय उच्चिष्ठ का बिंदु है।
अतः,$f$ का $x = \pm 1$ पर स्थानीय निम्निष्ठ और $x = 0$ पर स्थानीय उच्चिष्ठ है।

(B) फलन $f(x) = x(x - 1)(x - 2) \dots (x - 100)$ है।
यह $101$ घात वाला एक बहुपद है।
फलन के शून्य $x = 0, 1, 2, \dots, 100$ हैं।
चूंकि अग्रणी गुणांक धनात्मक है और घात विषम है,इसलिए ग्राफ $-\infty$ से शुरू होकर $+\infty$ तक जाता है।
किन्हीं दो क्रमागत शून्यों $x = k$ और $x = k+1$ के बीच,रोले के प्रमेय के अनुसार कम से कम एक स्थानीय चरम बिंदु (extremum) होना चाहिए।
यहाँ $(k, k+1)$ रूप के $100$ अंतराल हैं,जहाँ $k = 0, 1, \dots, 99$ है।
प्रत्येक अंतराल में ठीक एक स्थानीय चरम बिंदु होता है।
चूंकि फलन $(0, 1)$ में धनात्मक,$(1, 2)$ में ऋणात्मक,$(2, 3)$ में धनात्मक है,इसलिए स्थानीय चरम बिंदु स्थानीय उच्चिष्ठ और स्थानीय निम्निष्ठ के बीच बदलते रहते हैं।
अंतराल $(0, 1), (1, 2), (2, 3), \dots, (99, 100)$ हैं।
स्थानीय उच्चिष्ठ $(0, 1), (2, 3), \dots, (98, 99)$ अंतरालों में प्राप्त होते हैं।
ऐसे अंतरालों की संख्या $50$ है (अर्थात $k = 0, 2, \dots, 98$)।
अतः,$50$ स्थानीय उच्चिष्ठ हैं।

(A) माना $t = \log _e(x+\sqrt{1+x^2})$ है।
अतः,$dt = \frac{1}{x+\sqrt{1+x^2}} \cdot (1 + \frac{2x}{2\sqrt{1+x^2}}) dx = \frac{1}{x+\sqrt{1+x^2}} \cdot \frac{\sqrt{1+x^2}+x}{\sqrt{1+x^2}} dx = \frac{dx}{\sqrt{1+x^2}}$ है।
इस मान को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \int t \, dt = \frac{t^2}{2} + c$।
$t$ का मान वापस रखने पर,हमें $I = \frac{(\log _e(x+\sqrt{1+x^2}))^2}{2} + c$ प्राप्त होता है।
इसकी तुलना $f(g(x)) + c$ से करने पर,हमें $f(x) = \frac{x^2}{2}$ और $g(x) = \log _e(x+\sqrt{1+x^2})$ प्राप्त होता है।

(C) माना $I = \int_0^\pi e^{\cos^2 x} \cos^3((2n+1)x) \, dx \quad \dots(1)$
गुणधर्म $\int_0^a f(x) \, dx = \int_0^a f(a-x) \, dx$ का उपयोग करने पर:
$I = \int_0^\pi e^{\cos^2(\pi-x)} \cos^3((2n+1)(\pi-x)) \, dx$
चूँकि $\cos(\pi-x) = -\cos x$,इसलिए $\cos^2(\pi-x) = \cos^2 x$ होता है।
साथ ही,$\cos((2n+1)(\pi-x)) = \cos((2n+1)\pi - (2n+1)x)$।
$(2n+1)$ एक विषम पूर्णांक है,इसलिए $\cos((2n+1)\pi - \theta) = -\cos \theta$ होता है।
अतः,$\cos^3((2n+1)\pi - (2n+1)x) = (-\cos((2n+1)x))^3 = -\cos^3((2n+1)x)$।
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \int_0^\pi e^{\cos^2 x} (-\cos^3((2n+1)x)) \, dx$
$I = -\int_0^\pi e^{\cos^2 x} \cos^3((2n+1)x) \, dx \quad \dots(2)$
$(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर:
$I + I = 0 \implies 2I = 0 \implies I = 0$.

(D) फलन $f(x) = \sin x$ पर विचार करें। अंतराल $[0, \pi/2]$ पर,जॉर्डन की असमिका के अनुसार हम जानते हैं कि $\sin x \geq \frac{2x}{\pi}$ है।
चूंकि $R > 0$ है,हमारे पास $-R \sin x \leq -R \frac{2x}{\pi}$ है।
अतः,$e^{-R \sin x} \leq e^{-2Rx/\pi}$ है।
दोनों पक्षों का $0$ से $\pi/2$ तक समाकलन करने पर $\int_0^{\pi/2} e^{-R \sin x} dx \leq \int_0^{\pi/2} e^{-2Rx/\pi} dx = \frac{\pi}{2R}(1 - e^{-R})$ प्राप्त होता है।
हालाँकि,समाकलन $I(R)$ को $0$ से $R$ तक परिभाषित किया गया है। बड़े $R$ के लिए,समाकलन का व्यवहार $x=0$ के निकट के क्षेत्र द्वारा निर्धारित होता है जहाँ $\sin x \approx x$ होता है।
विकास दरों और समाकलन की सीमाओं की तुलना करने पर,यह देखा गया है कि सामान्य $R > 0$ के लिए,$I(R)$ और व्यंजक $\frac{\pi}{2R}(1 - e^{-R})$ के मान सभी $R$ के लिए एक सुसंगत असमिका नहीं बनाए रखते हैं,जिससे वे सीधे तौर पर तुलना करने योग्य नहीं हैं।

(C) सबसे पहले,ध्यान दें कि $f(a) + f(-a) = \frac{e^a}{1+e^a} + \frac{e^{-a}}{1+e^{-a}} = \frac{e^a}{1+e^a} + \frac{1}{e^a+1} = \frac{e^a+1}{e^a+1} = 1$।
मान लीजिए $t = f(-a)$,तो $f(a) = 1-t$।
अब,$l_1 = \int_{t}^{1-t} x g(x(1-x)) dx$।
गुणधर्म $\int_{A}^{B} h(x) dx = \int_{A}^{B} h(A+B-x) dx$ का उपयोग करने पर:
$l_1 = \int_{t}^{1-t} (t + (1-t) - x) g((t + (1-t) - x)(1 - (t + (1-t) - x))) dx$
$l_1 = \int_{t}^{1-t} (1-x) g((1-x)(1-(1-x))) dx = \int_{t}^{1-t} (1-x) g(x(1-x)) dx$।
$l_1$ के दोनों व्यंजकों को जोड़ने पर:
$2l_1 = \int_{t}^{1-t} (x + 1 - x) g(x(1-x)) dx = \int_{t}^{1-t} g(x(1-x)) dx$।
चूंकि $l_2 = \int_{t}^{1-t} g(x(1-x)) dx$,इसलिए $2l_1 = l_2$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{l_2}{l_1} = 2$।

(C) दी गई असमिका: $\frac{1}{\sqrt{a}} \int_{1}^{a} (\frac{3}{2} \sqrt{x} + 1 - \frac{1}{\sqrt{x}}) dx < 4$
सबसे पहले,समाकलन का मान ज्ञात करें: $\int_{1}^{a} (\frac{3}{2} x^{1/2} + 1 - x^{-1/2}) dx$
$= [\frac{3}{2} \cdot \frac{x^{3/2}}{3/2} + x - \frac{x^{1/2}}{1/2}]_{1}^{a}$
$= [x^{3/2} + x - 2x^{1/2}]_{1}^{a}$
$= (a^{3/2} + a - 2a^{1/2}) - (1^{3/2} + 1 - 2(1)^{1/2})$
$= a^{3/2} + a - 2a^{1/2} - (1 + 1 - 2) = a^{3/2} + a - 2a^{1/2}$
अब असमिका में मान रखने पर:
$\frac{1}{a^{1/2}} (a^{3/2} + a - 2a^{1/2}) < 4$
$a + a^{1/2} - 2 < 4$
$a + a^{1/2} - 6 < 0$
माना $t = a^{1/2}$,जहाँ $t > 0$:
$t^2 + t - 6 < 0$
$(t + 3)(t - 2) < 0$
चूँकि $t > 0$,$t + 3$ हमेशा धनात्मक है,इसलिए $t - 2 < 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $t < 2$.
अतः,$a^{1/2} < 2 \Rightarrow a < 4$.
चूँकि समाकलन $a > 0$ के लिए परिभाषित है,इसलिए अंतराल $(0, 4)$ है।

(A) माना $f(x) = \int_0^{x^2} \frac{t^2-5t+4}{2+e^t} dt$.
चरम बिंदु ज्ञात करने के लिए,हम लीबनिज इंटीग्रल नियम का उपयोग करके अवकलज $f'(x)$ की गणना करते हैं:
$f'(x) = \frac{(x^2)^2 - 5(x^2) + 4}{2 + e^{x^2}} \cdot \frac{d}{dx}(x^2)$.
$f'(x) = \frac{x^4 - 5x^2 + 4}{2 + e^{x^2}} \cdot (2x)$.
$f'(x) = \frac{(x^2-1)(x^2-4)}{2 + e^{x^2}} \cdot (2x)$.
$f'(x) = \frac{(x-1)(x+1)(x-2)(x+2)(2x)}{2 + e^{x^2}}$.
$f'(x) = 0$ रखने पर,हमें $x = 0, 1, -1, 2, -2$ प्राप्त होता है।
अतः,चरम बिंदु $0, \pm 1, \pm 2$ हैं।

(B) दिया गया वक्र $x = 4 - y^2$ है,जो बाईं ओर खुलने वाला एक परवलय है जिसका शीर्ष $(4, 0)$ पर है।
$Y$-अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,हम $x = 0$ रखते हैं:
$0 = 4 - y^2 \Rightarrow y^2 = 4 \Rightarrow y = \pm 2$.
अतः,वक्र $Y$-अक्ष को $(0, 2)$ और $(0, -2)$ पर काटता है।
वक्र और $Y$-अक्ष द्वारा परिबद्ध क्षेत्र $X$-अक्ष के सापेक्ष सममित है।
क्षेत्रफल $= \int_{-2}^{2} x \, dy = \int_{-2}^{2} (4 - y^2) \, dy$.
सममिति के कारण,क्षेत्रफल $= 2 \int_{0}^{2} (4 - y^2) \, dy$.
$= 2 \left[ 4y - \frac{y^3}{3} \right]_{0}^{2}$.
$= 2 \left( (4(2) - \frac{2^3}{3}) - (0 - 0) \right)$.
$= 2 \left( 8 - \frac{8}{3} \right) = 2 \left( \frac{24 - 8}{3} \right) = 2 \left( \frac{16}{3} \right) = \frac{32}{3} \text{ वर्ग इकाई}$.

(B) दिया गया है $U(x) = \frac{Lx+M}{x^2-2Bx+C}$.
इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर,$U(x)(x^2-2Bx+C) = Lx+M$ प्राप्त होता है।
गुणन नियम का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$U_1(x^2-2Bx+C) + U(2x-2B) = L$.
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$U_2(x^2-2Bx+C) + U_1(2x-2B) + U_1(2x-2B) + U(2) = 0$.
व्यंजक को सरल करने पर:
$U_2(x^2-2Bx+C) + U_1(4x-4B) + 2U = 0$.
इसे $PU_2 + QU_1 + RU = 0$ के साथ तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$P = x^2-2Bx+C$,$Q = 4(x-B)$,और $R = 2$.

(B) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + y f'(x) = f(x) f'(x)$ है।
यह $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = f'(x)$ और $Q(x) = f(x) f'(x)$ है।
समाकलन गुणक ($I$.$F$.) $e^{\int P(x) dx} = e^{\int f'(x) dx} = e^{f(x)}$ है।
हल $y \cdot (I.F.) = \int Q(x) \cdot (I.F.) dx + C$ द्वारा दिया जाता है।
$y e^{f(x)} = \int f(x) f'(x) e^{f(x)} dx + C$.
मान लीजिए $t = f(x)$,तब $dt = f'(x) dx$.
$y e^{f(x)} = \int t e^t dt + C = e^t(t-1) + C$.
$t = f(x)$ वापस रखने पर,हमें $y e^{f(x)} = e^{f(x)}(f(x)-1) + C$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि $\lim_{x \rightarrow \infty} f(x) = 0$ और $\lim_{x \rightarrow \infty} y(x) = 0$,इन सीमाओं को समीकरण में रखने पर:
$0 \cdot e^0 = e^0(0-1) + C \Rightarrow 0 = -1 + C \Rightarrow C = 1$.
अतः,$y e^{f(x)} = e^{f(x)}(f(x)-1) + 1$.
$e^{f(x)}$ से भाग देने पर,हमें $y = f(x) - 1 + e^{-f(x)}$ प्राप्त होता है।
पुनर्व्यवस्थित करने पर $y + 1 = f(x) + e^{-f(x)}$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $x y^{\prime}+y-e^x=0$
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: $x \frac{d y}{d x}+y=e^x$
गुणन नियम का उपयोग करने पर: $\frac{d}{d x}(x y)=e^x$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर: $\int d(x y)=\int e^x d x$
परिणाम प्राप्त होता है: $x y=e^x+C$
प्रारंभिक शर्त $y(a)=b$ का उपयोग करने पर: $a b=e^a+C \Rightarrow C=a b-e^a$
$C$ का मान समीकरण में रखने पर: $x y=e^x+a b-e^a$
अतः,$y(x)=\frac{e^x+a b-e^a}{x}$
अंत में,सीमा का मान ज्ञात करने पर: $\lim _{x \rightarrow 1} y(x)=\frac{e^1+a b-e^a}{1}=e+a b-e^a$

(A) माना इकाई सदिश $\vec{r} = x\hat{i} + y\hat{j}$ है। चूँकि यह एक इकाई सदिश है,$x^2 + y^2 = 1$।
दिया गया है $\vec{a} = \hat{i} + \hat{j}$ और $\vec{b} = 3\hat{i} - 4\hat{j}$।
$\vec{r}$ और $\vec{a}$ के बीच का कोण $45^{\circ}$ है,इसलिए $\vec{r} \cdot \vec{a} = |\vec{r}||\vec{a}| \cos 45^{\circ} = 1 \cdot \sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = 1$।
अतः,$x + y = 1 \implies y = 1 - x$।
$\vec{r}$ और $\vec{b}$ के बीच का कोण $60^{\circ}$ है,इसलिए $\vec{r} \cdot \vec{b} = |\vec{r}||\vec{b}| \cos 60^{\circ} = 1 \cdot \sqrt{3^2 + (-4)^2} \cdot \frac{1}{2} = 5 \cdot \frac{1}{2} = \frac{5}{2}$।
अतः,$3x - 4y = \frac{5}{2} \implies 6x - 8y = 5$।
दूसरे समीकरण में $y = 1 - x$ प्रतिस्थापित करने पर: $6x - 8(1 - x) = 5 \implies 6x - 8 + 8x = 5 \implies 14x = 13 \implies x = \frac{13}{14}$।
तब $y = 1 - \frac{13}{14} = \frac{1}{14}$।
अतः,इकाई सदिश $\frac{13}{14}\hat{i} + \frac{1}{14}\hat{j}$ है।

(B) दिए गए समीकरण $l+m+n=0 \Rightarrow l = -(m+n)$ हैं।
दूसरे समीकरण में $l$ का मान रखने पर: $2(-(m+n))m + 2mn - (-(m+n))n = 0$.
$-2m^2 - 2mn + 2mn + n^2 + mn = 0$.
$-2m^2 + mn + n^2 = 0 \Rightarrow 2m^2 - mn - n^2 = 0$.
$n^2$ से भाग देने पर: $2(\frac{m}{n})^2 - (\frac{m}{n}) - 1 = 0$.
माना $x = \frac{m}{n}$,तो $2x^2 - x - 1 = 0 \Rightarrow (2x+1)(x-1) = 0$.
अतः,$\frac{m}{n} = 1$ या $\frac{m}{n} = -\frac{1}{2}$.
स्थिति $1$: यदि $m=n$,तो $l = -2n$. दिक्-अनुपात $(-2, 1, 1)$ प्राप्त होते हैं।
स्थिति $2$: यदि $m = -\frac{1}{2}n$,तो $l = -\frac{1}{2}n$. दिक्-अनुपात $(-1, -1, 2)$ प्राप्त होते हैं।
माना $\vec{a} = -2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ और $\vec{b} = -\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$.
$\cos \theta = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{a}||\vec{b}|} = \frac{|2-1+2|}{\sqrt{6}\sqrt{6}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.
अतः,$\theta = \frac{\pi}{3}$. विकल्पों के अनुसार,संपूरक कोण $\frac{2\pi}{3}$ है।

(A) मान लीजिए कि घन के शीर्ष $O(0,0,0)$,$A(a,0,0)$,$B(a,a,0)$,$C(a,a,a)$,$D(0,a,a)$,$E(0,0,a)$,$F(a,0,a)$,और $G(0,a,0)$ हैं।
घन के दो विकर्णों पर विचार करें,उदाहरण के लिए,$(0,0,0)$ को $(a,a,a)$ से जोड़ने वाला विकर्ण और $(a,0,0)$ को $(0,a,a)$ से जोड़ने वाला विकर्ण।
पहले विकर्ण की दिशा में सदिश $\vec{v_1} = a\hat{i} + a\hat{j} + a\hat{k}$ है।
दूसरे विकर्ण की दिशा में सदिश $\vec{v_2} = -a\hat{i} + a\hat{j} + a\hat{k}$ है।
इन दो सदिशों के बीच का कोण $\theta$,$\cos \theta = \frac{|\vec{v_1} \cdot \vec{v_2}|}{|\vec{v_1}| |\vec{v_2}|}$ द्वारा दिया जाता है।
$\vec{v_1} \cdot \vec{v_2} = (a)(-a) + (a)(a) + (a)(a) = -a^2 + a^2 + a^2 = a^2$.
$|\vec{v_1}| = \sqrt{a^2 + a^2 + a^2} = a\sqrt{3}$.
$|\vec{v_2}| = \sqrt{(-a)^2 + a^2 + a^2} = a\sqrt{3}$.
$\cos \theta = \frac{a^2}{(a\sqrt{3})(a\sqrt{3})} = \frac{a^2}{3a^2} = \frac{1}{3}$.
अतः,$\theta = \cos ^{-1}\left(\frac{1}{3}\right)$।

(B) दिए गए समतलों $P_1: 2x - y + 3z + 5 = 0$ और $P_2: x + y + z - 1 = 0$ की प्रतिच्छेदन रेखा से गुजरने वाले किसी भी समतल का समीकरण $P_1 + \lambda P_2 = 0$ द्वारा दिया जाता है।
$(2x - y + 3z + 5) + \lambda(x + y + z - 1) = 0$
$(2 + \lambda)x + (-1 + \lambda)y + (3 + \lambda)z + (5 - \lambda) = 0$.
चूंकि समतल को प्रतिच्छेदन रेखा के परितः $90^{\circ}$ घुमाया गया है,इसलिए नया समतल मूल समतल $2x - y + 3z + 5 = 0$ के लंबवत होना चाहिए।
अभिलंब सदिश $\vec{n_1} = (2 + \lambda, -1 + \lambda, 3 + \lambda)$ और $\vec{n_2} = (2, -1, 3)$ हैं।
लंबवत समतलों के लिए,उनके अभिलंबों का अदिश गुणनफल शून्य होता है:
$(2 + \lambda)(2) + (-1 + \lambda)(-1) + (3 + \lambda)(3) = 0$
$4 + 2\lambda + 1 - \lambda + 9 + 3\lambda = 0$
$4\lambda + 14 = 0 \Rightarrow \lambda = -\frac{14}{4} = -\frac{7}{2}$.
$\lambda = -\frac{7}{2}$ को समीकरण में रखने पर:
$(2 - \frac{7}{2})x + (-1 - \frac{7}{2})y + (3 - \frac{7}{2})z + (5 + \frac{7}{2}) = 0$
$-\frac{3}{2}x - \frac{9}{2}y - \frac{1}{2}z + \frac{17}{2} = 0$
$-2$ से गुणा करने पर,हमें $3x + 9y + z - 17 = 0$ प्राप्त होता है,अर्थात $3x + 9y + z = 17$।

(C) शतरंज बोर्ड में $64$ वर्ग होते हैं। दो अलग-अलग वर्गों को चुनने के कुल तरीके $\binom{64}{2} = \frac{64 \times 63}{2} = 2016$ हैं।
दो वर्गों की एक भुजा उभयनिष्ठ होती है यदि वे क्षैतिज या लंबवत रूप से आसन्न (adjacent) हों।
$8 \times 8$ ग्रिड में,$8$ पंक्तियाँ और $8$ कॉलम होते हैं।
प्रत्येक पंक्ति में आसन्न वर्गों के $7$ जोड़े होते हैं,इसलिए $8 \times 7 = 56$ क्षैतिज जोड़े।
प्रत्येक कॉलम में आसन्न वर्गों के $7$ जोड़े होते हैं,इसलिए $8 \times 7 = 56$ लंबवत जोड़े।
कुल अनुकूल जोड़े = $56 + 56 = 112$।
प्रायिकता = $\frac{112}{2016} = \frac{1}{18}$।

(D) हमें दिया गया है कि दो पूर्णांक $r$ और $s$ को समुच्चय $\{1, 2, \ldots, n\}$ से बिना प्रतिस्थापन के निकाला जाता है।
हमें सप्रतिबंध प्रायिकता $P(r \leq k \mid s \leq k)$ ज्ञात करनी है।
सप्रतिबंध प्रायिकता की परिभाषा के अनुसार,$P(r \leq k \mid s \leq k) = \frac{P(r \leq k \cap s \leq k)}{P(s \leq k)}$.
सबसे पहले,$s \leq k$ होने की प्रायिकता $P(s \leq k) = \frac{k}{n}$ है।
इसके बाद,$r \leq k$ और $s \leq k$ दोनों होने की प्रायिकता समुच्चय $\{1, 2, \ldots, k\}$ से दो अलग-अलग पूर्णांक चुनने की प्रायिकता है,जो कुल समुच्चय $\{1, 2, \ldots, n\}$ से दो अलग-अलग पूर्णांक चुनने के कुल तरीकों के सापेक्ष है।
अतः,$P(r \leq k \cap s \leq k) = \frac{k(k-1)}{n(n-1)}$.
इसलिए,सप्रतिबंध प्रायिकता $P(r \leq k \mid s \leq k) = \frac{\frac{k(k-1)}{n(n-1)}}{\frac{k}{n}} = \frac{k(k-1)}{n(n-1)} \times \frac{n}{k} = \frac{k-1}{n-1}$ है।

(B) माना $q = 1-p$ पट (tail) आने की प्रायिकता है। पहली बार चित सम उछाल पर आने का अर्थ है कि परिणामों का क्रम $(T, H), (T, T, T, H), (T, T, T, T, T, H), \dots$ है।
इस घटना की प्रायिकता $P = qp + q^3p + q^5p + \dots$ है।
यह एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a = qp$ और सार्व अनुपात $r = q^2$ है।
चूंकि $0 < p < 1$,इसलिए $0 < q < 1$,अतः $|q^2| < 1$ है।
श्रेणी का योग $P = \frac{a}{1-r} = \frac{qp}{1-q^2}$ है।
दिया गया है कि $P = \frac{2}{5}$,अतः $\frac{qp}{1-q^2} = \frac{2}{5}$।
$q = 1-p$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{(1-p)p}{1-(1-p)^2} = \frac{2}{5}$।
हर का सरलीकरण करने पर: $1 - (1 - 2p + p^2) = 2p - p^2 = p(2-p)$।
अतः,$\frac{p(1-p)}{p(2-p)} = \frac{2}{5}$।
$p$ को काटने पर (चूंकि $p \neq 0$),हमें प्राप्त होता है $\frac{1-p}{2-p} = \frac{2}{5}$।
वज्र-गुणन करने पर: $5(1-p) = 2(2-p) \Rightarrow 5 - 5p = 4 - 2p$।
$1 = 3p \Rightarrow p = \frac{1}{3}$।