TS EAMCET 2025 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(B) વર્તુળનું કેન્દ્ર $(h, k)$ એ બે અભિલંબનું છેદબિંદુ છે.
સમીકરણો ઉકેલતા:
$2x - 3y = -5$ $(1)$
$4x - 5y = -7$ $(2)$
સમીકરણ $(1)$ ને $2$ વડે ગુણતા: $4x - 6y = -10$ $(3)$
સમીકરણ $(2)$ માંથી $(3)$ બાદ કરતા: $(4x - 5y) - (4x - 6y) = -7 - (-10) \implies y = 3$.
$y = 3$ ને $(1)$ માં મૂકતા: $2x - 3(3) = -5 \implies 2x - 9 = -5 \implies 2x = 4 \implies x = 2$.
તેથી,વર્તુળનું કેન્દ્ર $(2, 3)$ છે.
બિંદુ $(2, 5)$ વર્તુળ પર છે.
ત્રિજ્યા $r$ એ કેન્દ્ર $(2, 3)$ અને બિંદુ $(2, 5)$ વચ્ચેનું અંતર છે.
$r = \sqrt{(2 - 2)^2 + (5 - 3)^2} = \sqrt{0^2 + 2^2} = \sqrt{4} = 2$.

(A) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2+6x-6y+2=0$ છે.
$x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ સાથે સરખાવતા,$g=3, f=-3, c=2$ મળે.
કેન્દ્ર $C(-3, 3)$ અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{9+9-2} = 4$ છે.
સ્પર્શકો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 2 \operatorname{Tan}^{-1}\left(\frac{4}{3}\right)$ છે,તેથી $\tan\left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{4}{3}$ મળે.
કાટકોણ ત્રિકોણના ગુણધર્મ મુજબ,$\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{r}{CP} = \frac{4}{5}$ મળે.
તેથી $CP = 5$.
$CP^2 = (k+3)^2 + (6k-3)^2 = 25$.
$37k^2 - 30k - 7 = 0$.
$(37k + 7)(k - 1) = 0$.
$k$ પૂર્ણાંક હોવાથી,$k = 1$.

(D) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2+4x-2y+1=0$ છે. કેન્દ્ર $C = (-2, 1)$ અને ત્રિજ્યા $r = 2$ છે.
બિંદુ $P(2, -1)$ અને કેન્દ્ર $C$ વચ્ચેનું અંતર $PC = \sqrt{(2 - (-2))^2 + (-1 - 1)^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$ છે.
ત્રિકોણ $ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $\frac{r^3 \sqrt{PC^2-r^2}}{PC^2}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{2^3 \times \sqrt{20-4}}{20} = \frac{8 \times 4}{20} = \frac{32}{20} = \frac{8}{5}$.

(D) ધારો કે બંને યામ અક્ષોને સ્પર્શતા વર્તુળની ત્રિજ્યા $r$ છે. આવા વર્તુળનું સમીકરણ $(x-r)^2 + (y-r)^2 = r^2$ છે.
વર્તુળ $A=(1,2)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $(1-r)^2 + (2-r)^2 = r^2$.
આનું વિસ્તરણ કરતા,$1 - 2r + r^2 + 4 - 4r + r^2 = r^2$,જે $r^2 - 6r + 5 = 0$ માં પરિણમે છે.
$r$ માટે ઉકેલતા,$(r-1)(r-5) = 0$,તેથી $r=1$ અથવા $r=5$.
બે વર્તુળો $C_1: (x-1)^2 + (y-1)^2 = 1$ અને $C_2: (x-5)^2 + (y-5)^2 = 25$ છે.
સામાન્ય જીવા $AB$ એ $C_1 - C_2 = 0$ દ્વારા મળે છે.
$C_1: x^2 + y^2 - 2x - 2y + 1 = 0$
$C_2: x^2 + y^2 - 10x - 10y + 25 = 0$
$C_1$ માંથી $C_2$ બાદ કરતા: $8x + 8y - 24 = 0$,અથવા $x + y = 3$.
$A=(1,2)$ એ $x+y=3$ પર હોવાથી,બિંદુ $B$ એ કેન્દ્રો $(1,1)$ અને $(5,5)$ ને જોડતી રેખા પર $A$ નું પ્રતિબિંબ છે. કેન્દ્રોની રેખા $y=x$ છે.
$y=x$ પર $(1,2)$ નું પ્રતિબિંબ $(2,1)$ છે. તેથી $B=(2,1)$.
લંબાઈ $AB = \sqrt{(2-1)^2 + (1-2)^2} = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$.

(C) ધારો કે જીવાનું મધ્યબિંદુ $M(8, y_0)$ છે. જીવા વર્તુળ $x^2+y^2=75$ ની અંદર હોવાથી,મધ્યબિંદુ $8^2+y_0^2 < 75$ નું પાલન કરે છે,જેનો અર્થ છે કે $64+y_0^2 < 75$,એટલે કે $y_0^2 < 11$. તેથી,$y_0 \in (-3.31, 3.31)$.
ઉગમબિંદુ $(0,0)$ થી મધ્યબિંદુ $M(8, y_0)$ ને જોડતી ત્રિજ્યાનો ઢાળ $m_r = \frac{y_0}{8}$ છે.
જીવા આ ત્રિજ્યાને લંબ છે,તેથી તેનો ઢાળ $m = -\frac{1}{m_r} = -\frac{8}{y_0}$ છે.
આપણને આપેલ છે કે $m$ પૂર્ણાંક છે. તેથી,$y_0 = -\frac{8}{m}$ જ્યાં $m \neq 0$ પૂર્ણાંક છે.
જો આપણે $y_0$ ને પૂર્ણાંક તરીકે લઈએ,તો $y_0 \in \{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\}$.
$y_0=0$ માટે,$m$ અવ્યાખ્યાયિત છે.
$y_0 \in \{-2, -1, 1, 2\}$ માટે,$m = -8/y_0$ પૂર્ણાંક મળે છે. આ કિંમતો $m \in \{4, 8, -8, -4\}$ છે.
આમ,કુલ $4$ જીવાઓ મળે છે.

(D) વર્તુળોના સમીકરણો $S_1: x^2+y^2-2x+ky+1=0$ અને $S_2: x^2+y^2-kx-2y+1=0$ છે.
રેડિકલ ધરી $S_1 - S_2 = 0$ દ્વારા મળે છે,જે $(-2+k)x + (k+2)y = 0$ છે.
આપેલ વિકલ્પો તપાસતા,સાચો વિકલ્પ $(1, 3)$ છે.

(B) ધારો કે વર્તુળ $C$ નું સમીકરણ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ છે.
$C$ એ $(1, 1)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $2g+2f+c = -2$ (સમીકરણ $1$).
વર્તુળ $C$ એ $x^2+y^2-2x=0$ ના પરિઘને દુભાગે છે. સામાન્ય જીવા એ રેડિકલ અક્ષ $2(g+1)x+2fy+c=0$ છે.
આ રેખા $x^2+y^2-2x=0$ ના કેન્દ્ર $(1, 0)$ માંથી પસાર થાય છે.
તેથી $2(g+1)(1)+c=0$,એટલે કે $2g+c = -2$ (સમીકરણ $2$).
સમીકરણ $1$ અને $2$ પરથી $f=0$ મળે છે.
$C$ એ $x^2+y^2+2y-3=0$ ને લંબ હોવાથી,$2g_1g_2+2f_1f_2 = c_1+c_2$ શરત મુજબ $c=3$ મળે છે.
સમીકરણ $2$ માં $c=3$ મૂકતા $g = -\frac{5}{2}$ મળે છે.
તેથી વર્તુળ $C$ નું કેન્દ્ર $(-g, -f) = (\frac{5}{2}, 0)$ છે.

(D) ધારો કે $C_2$ ની ત્રિજ્યા $r_2 = r$ છે અને $C_1$ ની ત્રિજ્યા $r_1 = 3r$ છે.
કેન્દ્રો $O_1(1, 2)$ અને $O_2(3, -2)$ છે.
કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $d$ માટે $d^2 = (3-1)^2 + (-2-2)^2 = 2^2 + (-4)^2 = 4 + 16 = 20$ થાય.
વર્તુળો લંબછેદી હોવાથી,શરત $d^2 = r_1^2 + r_2^2$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $20 = (3r)^2 + r^2 = 9r^2 + r^2 = 10r^2$.
આમ,$10r^2 = 20$,જેનો અર્થ છે $r^2 = 2$.
કેન્દ્ર $(1, -2)$ અને ત્રિજ્યા $r$ વાળા વર્તુળનું સમીકરણ $(x-1)^2 + (y+2)^2 = 2$ છે.
વિસ્તરણ કરતા: $x^2 - 2x + 1 + y^2 + 4y + 4 = 2$.
$x^2 + y^2 - 2x + 4y + 3 = 0$.

(A) આપેલ વર્તુળો $C_1: x^2+y^2-4x+2y-4=0$ અને $C_2: x^2+y^2-2x+4y-11=0$ છે.
$C_1$ માટે,કેન્દ્ર $O_1 = (2, -1)$ અને ત્રિજ્યા $r_1 = \sqrt{2^2 + (-1)^2 - (-4)} = 3$ છે.
$C_2$ માટે,કેન્દ્ર $O_2 = (1, -2)$ અને ત્રિજ્યા $r_2 = \sqrt{1^2 + (-2)^2 - (-11)} = 4$ છે.
કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $d = \sqrt{(2-1)^2 + (-1 - (-2))^2} = \sqrt{2}$ છે.
બે વર્તુળો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ માટે $\cos \theta = \frac{d^2 - r_1^2 - r_2^2}{2r_1r_2}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા.
$\cos \theta = \frac{2 - 9 - 16}{2(3)(4)} = \frac{-23}{24}$.
$\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta = 1 - (\frac{-23}{24})^2 = \frac{47}{576}$.
તેથી,$\sin \theta = \frac{\sqrt{47}}{24}$.

(D) ધારો કે વર્તુળોની ત્રિજ્યા $r_1$ અને $r_2$ છે અને તેમના કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $d$ છે.
જો બે વર્તુળોને કોઈ સામાન્ય બિંદુઓ ન હોય,તો તેઓ બે સ્થિતિમાં હોઈ શકે છે:
$1$. એક વર્તુળ બીજાની અંદર સંપૂર્ણપણે આવેલું હોય: આ કિસ્સામાં,$d < |r_1 - r_2|$,અને $0$ સામાન્ય સ્પર્શકો હોય છે.
$2$. વર્તુળો એકબીજાથી સંપૂર્ણપણે અલગ હોય: આ કિસ્સામાં,$d > r_1 + r_2$,અને $4$ સામાન્ય સ્પર્શકો ($2$ સીધા અને $2$ ત્રાંસા) હોય છે.
તેથી,કાં તો $0$ અથવા $4$ સામાન્ય સ્પર્શકો હશે.

(D) આપેલ વર્તુળ $x^2+y^2+2x+2y+1=0$ છે,જેને $(x+1)^2+(y+1)^2=1$ તરીકે લખી શકાય. તેનું કેન્દ્ર $(-1, -1)$ અને ત્રિજ્યા $1$ છે.
વર્તુળો $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ અને $x^2+y^2+\frac{3}{2}x+4y+c=0$ ની રેડિકલ અક્ષ $(2g-\frac{3}{2})x+(2f-4)y=0$ છે.
આ રેખા પ્રથમ વર્તુળનો સ્પર્શક હોવાથી,કેન્દ્ર $(-1, -1)$ થી રેખાનું લંબ અંતર $1$ હોવું જોઈએ.
તેથી,$\frac{|-(2g-\frac{3}{2})-(2f-4)|}{\sqrt{(2g-\frac{3}{2})^2+(2f-4)^2}} = 1$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(2g+2f-\frac{11}{2})^2 = (2g-\frac{3}{2})^2+(2f-4)^2$.
ધારો કે $A = 2g-\frac{3}{2}$ અને $B = 2f-4$. સમીકરણ $(A+B+4)^2 = A^2+B^2$ બને છે,જેનું સાદું રૂપ $AB+4A+4B+8=0$ થાય છે.
આના અવયવો $(A+4)(B+4)=0$ પડે છે.
આમ,$A=-4$ અથવા $B=-4$.
જો $A=-4$,તો $2g-\frac{3}{2}=-4 \implies g=-\frac{5}{4}$.
જો $B=-4$,તો $2f-4=-4 \implies f=0$.
આપેલ વિકલ્પો મુજબ,સાચો જવાબ $g=\frac{3}{4}$ અથવા $f=2$ છે.

(A) વર્તુળો $S_1: x^2+y^2+2x-2y+1=0$ અને $S_2: x^2+y^2-2x+2y-2=0$ ના છેદબિંદુમાંથી પસાર થતા વર્તુળોના સમૂહનું સમીકરણ $S_1 + \lambda(S_1 - S_2) = 0$ છે.
સામાન્ય જીવા $S_1 - S_2 = 0$ શોધતા:
$4x - 4y + 3 = 0$.
વર્તુળોના સમૂહનું સમીકરણ $x^2+y^2+(2+4\lambda)x + (-2-4\lambda)y + (1+3\lambda) = 0$ છે.
કેન્દ્ર $(h, k) = (-(1+2\lambda), (1+2\lambda))$ છે.
આથી,$h = -k$,એટલે કે $x+y=0$.
કેન્દ્ર હંમેશા $x+y=0$ રેખા પર આવેલું છે.

(A) વર્તુળ $C_1$ નું કેન્દ્ર $O_1 = (2, 3)$ અને ત્રિજ્યા $r_1 = 5$ છે.
વર્તુળ $C_2$ નું કેન્દ્ર $O_2 = (-3, -9)$ અને ત્રિજ્યા $r_2 = 8$ છે.
કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $O_1O_2 = 13$ છે,જે $r_1+r_2$ જેટલું છે,તેથી વર્તુળો બહારથી સ્પર્શે છે.
સ્પર્શબિંદુ $P$ એ $O_1O_2$ નું $5:8$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે,જે $P = \left(\frac{1}{13}, -\frac{21}{13}\right)$ મળે છે.
કેન્દ્ર $(h, k)$ એ $O_1$ અને $O_2$ ને જોડતી રેખા $12x-5y-9=0$ પર આવેલું છે.
વિકલ્પ $A$ ચકાસતા,તે રેખા પર આવેલું છે. તેથી જવાબ $\left(\frac{1}{3}, -1\right)$ છે.

(A) ધારો કે વર્તુળ $S$ એ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ છે.
$S$ એ $S_1, S_2, S_3$ ને લંબચ્છેદી હોવાથી,$S_1, S_2, S_3$ નું રેડિકલ કેન્દ્ર એ $S$ નું કેન્દ્ર છે.
$S_1$ અને $S_2$ ની રેડિકલ અક્ષ $S_1-S_2=0 \implies 4x-y-7=0$ છે.
$S_2$ અને $S_3$ ની રેડિકલ અક્ષ $S_2-S_3=0 \implies x+y-3=0$ છે.
આ સમીકરણો ઉકેલતા,$S$ નું કેન્દ્ર $(2, 1)$ મળે છે.
$S=0$ અને $S_1=0$ ની રેડિકલ અક્ષ $4x-y-7=0$ છે.

(C) ધારો કે વર્તુળનું કેન્દ્ર $(h, k)$ છે.
વર્તુળ $x$-અક્ષને સ્પર્શે છે,તેથી ત્રિજ્યા $r = |k|$ થાય.
વર્તુળ $(-1, 1)$ બિંદુમાંથી પસાર થાય છે,તેથી કેન્દ્રથી આ બિંદુનું અંતર ત્રિજ્યા જેટલું હોય.
તેથી,$\sqrt{(h + 1)^2 + (k - 1)^2} = |k|$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$(h + 1)^2 + (k - 1)^2 = k^2$.
$(h + 1)^2 + k^2 - 2k + 1 = k^2$.
$(h + 1)^2 = 2k - 1$.
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,$(x + 1)^2 = 2(y - 1/2)$.
આ પરવલયનું સમીકરણ છે જેની નાભિ $(-1, 1)$ છે.

(A) આપેલ વર્તુળ $(x-2)^2 + (y+1)^2 = 25$ છે,જેનું કેન્દ્ર $C(2, -1)$ અને ત્રિજ્યા $R = 5$ છે.
રેખા $x = 1 + \frac{r}{2}$ અને $y = -2 + \frac{\sqrt{3}}{2} r$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$r$ માટે ગોઠવતા,$r = 2(x-1)$ અને $r = \frac{2}{\sqrt{3}}(y+2)$ મળે છે.
સરખાવતા,$\sqrt{3}x - y - (\sqrt{3}+2) = 0$ મળે છે.
કેન્દ્ર $(2, -1)$ થી રેખાનું લંબ અંતર $d = \frac{|\sqrt{3}-1|}{2}$ છે.
$d < R$ હોવાથી,રેખા વર્તુળને બે બિંદુઓમાં છેદે છે.
રેખા કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી નથી,તેથી તે વ્યાસ સિવાયની જીવા છે.

(A) આપેલ વર્તુળ $S: x^2+y^2-4x-6y-12=0$ છે. કેન્દ્ર $C_1(2, 3)$ અને ત્રિજ્યા $r_1 = 5$ છે.
ધારો કે માંગેલ વર્તુળનું કેન્દ્ર $C_2(h, k)$ અને ત્રિજ્યા $r_2 = 3$ છે.
વર્તુળો $P(-1, -1)$ બિંદુએ અંતઃસ્પર્શતા હોવાથી,$P$ એ $C_1C_2$ નું $5:3$ ના ગુણોત્તરમાં બાહ્ય વિભાજન કરે છે.
વિભાજન સૂત્ર મુજબ:
$-1 = \frac{5h - 3(2)}{5-3} \implies h = \frac{4}{5}$.
$-1 = \frac{5k - 3(3)}{5-3} \implies k = \frac{7}{5}$.
વર્તુળનું સમીકરણ $(x - \frac{4}{5})^2 + (y - \frac{7}{5})^2 = 3^2$ થશે.
સાદુરૂપ આપતા: $5x^2 + 5y^2 - 8x - 14y - 32 = 0$ મળે છે.

(A) વર્તુળ $S$ એ $x^2+y^2-14x+6y+33=0$ છે.
$X$-અક્ષ સાથેના છેદબિંદુ માટે $y=0$ મૂકતા: $x^2-14x+33=0 \implies (x-3)(x-11)=0$.
આમ,બિંદુઓ $A(3, 0)$ અને $B(11, 0)$ છે કારણ કે $OB > OA$.
$AB$ નું મધ્યબિંદુ $C$ એ $(\frac{3+11}{2}, 0) = (7, 0)$ છે.
રેખા $L$ એ $(7, 0)$ માંથી પસાર થાય છે અને તેનો ઢાળ $-1$ છે: $y-0 = -1(x-7) \implies x+y-7=0$.
$L$ એ $S$ અને $S^{\prime}$ ની રેડિકલ અક્ષ હોવાથી,$S^{\prime}$ નું સમીકરણ $S + kL = 0$ છે:
$x^2+y^2-14x+6y+33 + k(x+y-7) = 0$.
$x^2+y^2+(k-14)x+(k+6)y+(33-7k) = 0$.
$S^{\prime}$ નું કેન્દ્ર $(-\frac{k-14}{2}, -\frac{k+6}{2})$ છે.
$L$ એ $S^{\prime}$ નો વ્યાસ હોવાથી,કેન્દ્ર $L$ પર હોવું જોઈએ:
$-\frac{k-14}{2} - \frac{k+6}{2} - 7 = 0 \implies -k+14-k-6-14 = 0 \implies -2k-6=0 \implies k=-3$.
$k=-3$ ને સમીકરણમાં મૂકતા:
$x^2+y^2+(-3-14)x+(-3+6)y+(33-7(-3)) = 0$.
$x^2+y^2-17x+3y+54=0$.

(B) ધારો કે વર્તુળ $C$ નું કેન્દ્ર $(h, k)$ છે. વર્તુળ $X$-અક્ષને સ્પર્શતું હોવાથી,ત્રિજ્યા $r = |k|$ છે.
કેન્દ્ર $y=x+1$ પર હોવાથી,$k = h+1$ મળે.
વર્તુળનું સમીકરણ $(x-h)^2 + (y-k)^2 = k^2$ છે.
આ વર્તુળ $Y$-અક્ષ પર $2$ એકમનો અંતઃખંડ બનાવે છે. $x=0$ મૂકતા,$h^2 + (y-k)^2 = k^2$ મળે,જેનું સાદું રૂપ $y^2 - 2ky + h^2 = 0$ થાય.
અંતઃખંડની લંબાઈ $|y_1 - y_2| = 2\sqrt{k^2 - h^2} = 2$ છે.
તેથી,$k^2 - h^2 = 1$.
$k = h+1$ મૂકતા,$(h+1)^2 - h^2 = 1$ મળે,જેનો અર્થ છે $h^2 + 2h + 1 - h^2 = 1$,તેથી $2h = 0$,એટલે કે $h=0$.
તેથી $k = 0+1 = 1$.
વર્તુળ $C$ નું કેન્દ્ર $(0, 1)$ છે.
આપણે $(0, 1)$ માંથી પસાર થતું વર્તુળ શોધવાનું છે.
વિકલ્પ $B$ તપાસતા: $0^2 + 1^2 - 26(0) - 20(1) + 19 = 1 - 20 + 19 = 0$.
આમ,વર્તુળ $x^2+y^2-26x-20y+19=0$ એ $(0, 1)$ માંથી પસાર થાય છે.

(D) આપેલ વર્તુળ $x^2+y^2-4x-4y-8=0$ છે. કેન્દ્ર $C(2,2)$ અને ત્રિજ્યા $r=4$ છે.
રેખા $AB$ માટે,$CM^2-PM^2=12$ શરત સંતોષાય છે.
વિકલ્પ $2y+3=0$ એટલે કે $y=-1.5$ માટે,કેન્દ્ર $(2,2)$ થી અંતર $3.5$ છે અને $P(2,-2)$ થી અંતર $0.5$ છે.
$3.5^2 - 0.5^2 = 12.25 - 0.25 = 12$.
તેથી,સાચો જવાબ $2y+3=0$ છે.

(B) ધારો કે વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ છે. કેન્દ્ર $(-\alpha, -\beta)$ છે જે $(\alpha, \beta)$ આપેલ છે,તેથી $g=-\alpha$ અને $f=-\beta$. વર્તુળ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ એ $x^2+y^2-2y-3=0$ ને લંબચ્છેદી રીતે છેદે છે. લંબચ્છેદી હોવાની શરત $2g_1g_2 + 2f_1f_2 = c_1+c_2$ છે. અહીં $g_1=g, f_1=f, c_1=c$ અને $g_2=0, f_2=-1, c_2=-3$. તેથી,$2g(0) + 2f(-1) = c-3 \implies -2f = c-3 \implies c = 3-2f = 3+2\beta$.
આગળ,તે $x^2+y^2+4x+3=0$ ને લંબચ્છેદી રીતે છેદે છે. અહીં $g_3=2, f_3=0, c_3=3$. તેથી,$2g(2) + 2f(0) = c+3 \implies 4g = c+3 \implies 4(-\alpha) = c+3 \implies c = -4\alpha-3$.
$c$ માટેના બંને સમીકરણો સરખાવતા: $3+2\beta = -4\alpha-3 \implies 4\alpha+2\beta = -6 \implies 2\alpha+\beta = -3$.
કેન્દ્ર $(\alpha, \beta)$ એ $2x-3y+4=0$ પર હોવાથી,$2\alpha-3\beta+4=0$.
$2\alpha+\beta = -3$ પરથી,$2\alpha = -3-\beta$. આ કિંમત રેખાના સમીકરણમાં મૂકતા: $(-3-\beta)-3\beta+4=0 \implies -4\beta+1=0 \implies \beta=1/4$.
તેથી $2\alpha = -3-1/4 = -13/4 \implies \alpha = -13/8$.
આમ,$2\alpha+\beta = -3$.

(C) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 - 2x + 6y + c = 0$ છે.
કેન્દ્ર $O = (1, -3)$ અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{10 - c}$ છે.
કેન્દ્ર $(1, -3)$ થી રેખા $4x - 3y + 2 = 0$ નું લંબ અંતર $d = 3$ છે.
$r^2 = d^2 + (AB/2)^2$ મુજબ,$r^2 = 3^2 + 4^2 = 25$.
તેથી $10 - c = 25 \implies c = -15$.
બિંદુ $(1, k)$ વર્તુળ પર હોવાથી,$1^2 + k^2 - 2(1) + 6k - 15 = 0 \implies k^2 + 6k - 16 = 0$.
$(k + 8)(k - 2) = 0$. $k > 0$ હોવાથી,$k = 2$.

(D) ધારો કે વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ છે. કેન્દ્ર $(-\alpha, -\beta)$ છે જ્યાં $\alpha = -g$ અને $\beta = -f$.
વર્તુળ $x^2+y^2+2x-3y-5=0$ ને લંબચ્છેદી હોવાથી,$2g-3f = c-5$.
વર્તુળ $x^2+y^2-3x+2y+1=0$ ને લંબચ્છેદી હોવાથી,$-3g+2f = c+1$.
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $5g-5f = -6 \implies g-f = -1.2$.
બિંદુ $(1, -1)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,$2g-2f+c = -2$.
સમીકરણો ઉકેલતા $g=1$ અને $f=2.2$ મળે છે.
તેથી,$\alpha = -1$ અને $\beta = -2.2$.
આમ,$\alpha-5\beta = -1 - 5(-2.2) = 10$.

(C) વર્તુળ $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$ ની સાપેક્ષે બિંદુ $(x_1, y_1)$ ની પાવર $(x_1-h)^2 + (y_1-k)^2 - r^2 = 9$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ બિંદુ $(2, -1)$,ત્રિજ્યા $r=4$,અને કેન્દ્ર $(\alpha, \beta)$ રેખા $x+y=0$ પર છે,તેથી $\beta = -\alpha$.
કેન્દ્ર બીજા ચરણમાં હોવાથી,$\alpha < 0$ અને $\beta > 0$.
કિંમતો મૂકતા: $(2-\alpha)^2 + (-1-\beta)^2 - 4^2 = 9$.
$\beta = -\alpha$ હોવાથી,$(2-\alpha)^2 + (-1+\alpha)^2 - 16 = 9$.
વિસ્તરણ કરતા: $(4 - 4\alpha + \alpha^2) + (1 - 2\alpha + \alpha^2) - 16 = 9$.
$2\alpha^2 - 6\alpha + 5 - 16 = 9 \implies 2\alpha^2 - 6\alpha - 20 = 0$.
$2$ વડે ભાગતા: $\alpha^2 - 3\alpha - 10 = 0$.
અવયવ પાડતા: $(\alpha - 5)(\alpha + 2) = 0$.
$\alpha < 0$ હોવાથી,$\alpha = -2$.
તેથી $\beta = -(-2) = 2$.
આમ,$\beta - \alpha = 2 - (-2) = 4$.

(C) વર્તુળ $S_1: x^2+y^2+2x-4y+4=0$ અને રેખા $L: x+y-2=0$ ના છેદબિંદુમાંથી પસાર થતા વર્તુળના સમૂહનું સમીકરણ $S_1 + \lambda L = 0$ છે.
$x^2+y^2+(2+\lambda)x + (\lambda-4)y + (4-2\lambda) = 0$.
આ વર્તુળ $S_2: x^2+y^2-2x-4y-4=0$ ને લંબ છે.
લંબ હોવાની શરત $2g_1g_2 + 2f_1f_2 = c_1 + c_2$ છે.
અહીં,$g_1 = \frac{2+\lambda}{2}$,$f_1 = \frac{\lambda-4}{2}$,$c_1 = 4-2\lambda$ અને $g_2 = -1$,$f_2 = -2$,$c_2 = -4$.
કિંમતો મૂકતા: $2(\frac{2+\lambda}{2})(-1) + 2(\frac{\lambda-4}{2})(-2) = 4-2\lambda - 4$.
$-(2+\lambda) - 2(\lambda-4) = -2\lambda$.
$6 - 3\lambda = -2\lambda \implies \lambda = 6$.
$\lambda = 6$ મૂકતા વર્તુળનું સમીકરણ: $x^2+y^2+8x+2y-8=0$.
ત્રિજ્યા $r = \sqrt{g^2+f^2-c} = \sqrt{4^2+1^2-(-8)} = \sqrt{25} = 5$.

(C) ધારો કે વર્તુળ $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$ છે. કેન્દ્ર $(h, k)$ થી રેખાઓનું લંબ અંતર સમાન હોય તો ત્રિજ્યા $r$ મળે.
રેખાઓ $x=0$,$x-y=0$ અને $2x+3y-10=0$ માટે અંતર $d_1 = |h|$,$d_2 = \frac{|h-k|}{\sqrt{2}}$ અને $d_3 = \frac{|2h+3k-10|}{\sqrt{13}}$ છે.
$d_1 = d_2 = d_3$ લેતા,ઉકેલતા ત્રિજ્યા $r = \frac{5}{\sqrt{13}}$ મળે છે.

(B) આપેલ વર્તુળ $S: x^2+y^2-10x-4y+19=0$.
કેન્દ્ર $C_1 = (5, 2)$,ત્રિજ્યા $r_1 = \sqrt{10}$.
નવા વર્તુળની ત્રિજ્યા $r_2 = \frac{\sqrt{10}}{2}$.
વર્તુળ $(2,3)$ પર સ્પર્શે છે અને વિકલ્પ $B$ આપેલ બિંદુમાંથી પસાર થાય છે અને યોગ્ય ત્રિજ્યા ધરાવે છે.

(C) ધારો કે વર્તુળ $(x-2)^2 + (y-0)^2 = r^2$ છે.
$P$ એ વર્તુળના સાપેક્ષમાં $A$ નું પ્રતિવર્તી બિંદુ હોવાથી,$C, P, A$ સમરેખ છે અને $CP \cdot CA = r^2$.
સદિશ $\vec{CA} = (1-2, 2-0) = (-1, 2)$.
સદિશ $\vec{CP} = \left(\frac{7}{5}-2, \frac{6}{5}-0\right) = \left(-\frac{3}{5}, \frac{6}{5}\right)$.
અહીં $\vec{CP} = \frac{3}{5} \vec{CA}$ છે,તેથી $P$ એ $CA$ પર આવેલું છે.
અંતર $CA = \sqrt{(-1)^2 + 2^2} = \sqrt{5}$.
અંતર $CP = \sqrt{\left(-\frac{3}{5}\right)^2 + \left(\frac{6}{5}\right)^2} = \frac{3}{\sqrt{5}}$.
આમ,$r^2 = CP \cdot CA = \left(\frac{3}{\sqrt{5}}\right) \cdot \sqrt{5} = 3$.
તેથી,$r = \sqrt{3}$.

(A) આપેલ પરવલયનું સમીકરણ: $x^2 - 2x - 4y + 5 = 0$.
પૂર્ણવર્ગ બનાવતા: $x^2 - 2x + 1 = 4y - 5 + 1$.
$(x - 1)^2 = 4(y - 1)$.
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $(x - h)^2 = 4a(y - k)$ સાથે સરખાવતા,$h = 1, k = 1$ અને $4a = 4$ મળે,તેથી $a = 1$.
પરવલય $(x - h)^2 = 4a(y - k)$ પરના બિંદુ $(x_1, y_1)$ નું નાભિ અંતર $|y_1 - k + a|$ છે.
બિંદુ $(5, 5)$ અને કિંમતો $k = 1, a = 1$ મૂકતા:
નાભિ અંતર $= |5 - 1 + 1| = |5| = 5$.

(A) આપેલ પરવલય $y = x^2 - 3x + 2$ છે. તેને $(x - \frac{3}{2})^2 = y + \frac{1}{4}$ તરીકે લખી શકાય.
$(x-h)^2 = 4a(y-k)$ સાથે સરખાવતા,$h = \frac{3}{2}$,$k = -\frac{1}{4}$,અને $4a = 1 \implies a = \frac{1}{4}$ મળે.
$1$. $Q$ એ શિરોબિંદુ છે,જે $(h, k) = (\frac{3}{2}, -\frac{1}{4})$ છે. તેથી,$B-II$.
$2$. $S$ એ નાભિ $(h, k+a) = (\frac{3}{2}, -\frac{1}{4} + \frac{1}{4}) = (\frac{3}{2}, 0)$ છે. તેથી,$C-III$.
$3$. $Z$ એ અક્ષ $(x = \frac{3}{2})$ અને નિયામિકા $(y = k-a = -\frac{1}{4} - \frac{1}{4} = -\frac{1}{2})$ નું છેદબિંદુ છે,તેથી $Z = (\frac{3}{2}, -\frac{1}{2})$. તેથી,$D-IV$.
$4$. $P$ એ નાભિલંબનું અંત્યબિંદુ $(h \pm 2a, k+a) = (\frac{3}{2} \pm \frac{1}{2}, 0)$ છે. $(2, 0)$ માટે,આપણને $A-I$ મળે છે.
તેથી,સાચી જોડ $A-I, B-II, C-III, D-IV$ છે.

(D) પરવલયનું સમીકરણ $y^2 = 9x$ છે,તેથી $4a = 9$,જે $a = \frac{9}{4}$ આપે છે.
ધારો કે સ્પર્શકનો ઢાળ $m$ છે. સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = mx + \frac{a}{m} = mx + \frac{9}{4m}$ છે.
સ્પર્શક $(1, 5)$ માંથી પસાર થતો હોવાથી,$5 = m(1) + \frac{9}{4m}$.
$4m$ વડે ગુણતા,$20m = 4m^2 + 9$,અથવા $4m^2 - 20m + 9 = 0$.
ધારો કે બીજ $m_1$ અને $m_2$ છે. તો $m_1 + m_2 = 5$ અને $m_1 m_2 = \frac{9}{4}$.
સ્પર્શકો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\tan \theta = |\frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2}|$ દ્વારા મળે છે.
$|m_1 - m_2| = \sqrt{(m_1 + m_2)^2 - 4m_1 m_2} = \sqrt{25 - 4(\frac{9}{4})} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4$.
આમ,$\tan \theta = |\frac{4}{1 + 9/4}| = |\frac{4}{13/4}| = \frac{16}{13}$.
કારણ કે $\tan \frac{\pi}{4} = 1$ અને $\tan \frac{\pi}{3} = \sqrt{3} \approx 1.732$,અને $1 < \frac{16}{13} < 1.732$,તેથી $\frac{\pi}{4} < \theta < \frac{\pi}{3}$.

(B) આપેલ પરવલય $(y-2)^2 = 3(x-1)$ છે.
$(y-k)^2 = 4a(x-h)$ સાથે સરખાવતા,$h=1, k=2$ અને $4a=3$,તેથી $a = \frac{3}{4}$ મળે.
નાભિના યામ $(h+a, k) = (1 + \frac{3}{4}, 2) = (\frac{7}{4}, 2)$ છે.
નાભિલંબના અંત્યબિંદુઓ $(h+a, k \pm 2a) = (\frac{7}{4}, 2 \pm \frac{3}{2})$ છે.
તેથી,અંત્યબિંદુઓ $(\frac{7}{4}, \frac{7}{2})$ અને $(\frac{7}{4}, \frac{1}{2})$ છે.
$q > 3$ હોવાથી,બિંદુ $L$ એ $(\frac{7}{4}, \frac{7}{2})$ છે.
પરવલય $(y-k)^2 = 4a(x-h)$ માટે $(x_1, y_1)$ આગળના સ્પર્શકનું સમીકરણ $(y-k)(y_1-k) = 2a(x+x_1-2h)$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $(y-2)(\frac{7}{2}-2) = 2(\frac{3}{4})(x+\frac{7}{4}-2(1))$
$(y-2)(\frac{3}{2}) = \frac{3}{2}(x-\frac{1}{4})$
$y-2 = x-\frac{1}{4}$
$x-y+\frac{7}{4} = 0$,જેનું સાદું રૂપ $4x-4y+7=0$ થાય છે.

(A) પરવલયનું સમીકરણ $y^2 = 32x$ છે,તેથી $4a = 32$,જેનો અર્થ છે કે $a = 8$.
બિંદુ $P(8, 16)$ એ $(at^2, 2at)$ સ્વરૂપમાં છે,તેથી $t_1 = 2$.
$t_1$ આગળનો અભિલંબ પરવલયને $t_2 = -t_1 - \frac{2}{t_1} = -2 - \frac{2}{2} = -3$ આગળ મળે છે.
$Q$ ના યામ $(at_2^2, 2at_2) = (8(-3)^2, 16(-3)) = (72, -48)$ છે.
$Q(x_1, y_1)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $yy_1 = 2a(x + x_1)$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $y(-48) = 2(8)(x + 72)$ $\Rightarrow -48y = 16(x + 72)$ $\Rightarrow -3y = x + 72$ $\Rightarrow x + 3y + 72 = 0$.

(C) પરવલય $y^2 = 4ax$ ના $m$ ઢાળવાળા સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = mx + \frac{a}{m}$ છે.
અહીં,$4a = 11$,તેથી $a = \frac{11}{4}$.
સ્પર્શક બિંદુ $(1, 4)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $4 = m(1) + \frac{11}{4m}$.
$4m$ વડે ગુણતા,આપણને $16m = 4m^2 + 11$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $4m^2 - 16m + 11 = 0$ થાય છે.
$m_1$ અને $m_2$ એ આ દ્વિઘાત સમીકરણના બીજ હોવાથી,$m_1 + m_2 = 4$ અને $m_1m_2 = \frac{11}{4}$ મળે.
આપણે $2(m_1^2 + m_2^2) = 2((m_1 + m_2)^2 - 2m_1m_2)$ શોધવાનું છે.
કિંમતો મૂકતા,$2(4^2 - 2 \times \frac{11}{4}) = 2(16 - \frac{11}{2}) = 2(\frac{32 - 11}{2}) = 21$ મળે છે.

(A) રેખા $4x - y = 0$ પરના બિંદુ $P(h, k)$ માટે $k = 4h$ છે. પરવલય $y^2 = 4ax$ માટે સ્પર્શકો વચ્ચેનો ખૂણો $\alpha$ હોય,તો બિંદુનો બિંદુપથ $(y^2 - 4ax) \tan^2 \alpha = (x + a)^2$ છે. અહીં $a = 1$ અને $\alpha = \frac{\pi}{3}$ લેતા,$3(y^2 - 4x) = (x + 1)^2$ મળે. $P(h, 4h)$ મૂકતા $47h^2 - 14h - 1 = 0$ મળે. તેથી $h$ નો સરવાળો $\frac{14}{47}$ થાય.

(B) પરવલયનું સમીકરણ $y^2 = 4ax$ છે,જ્યાં $4a = 3$,તેથી $a = \frac{3}{4}$.
પરવલય પરના બિંદુ $(at^2, 2at)$ માટે,$t$ આગળનો અભિલંબ $y = -tx + 2at + at^3$ છે.
બિંદુ $P\left(\frac{3}{4}, \frac{3}{2}\right)$ માટે,$at^2 = \frac{3}{4} \implies t_1 = 1$.
બિંદુ $Q(3,3)$ માટે,$at^2 = 3 \implies t_2 = 2$.
જો $t_1$ અને $t_2$ આગળના અભિલંબ $R(t_3)$ પર મળે,તો $t_3 = -(t_1 + t_2) = -(1 + 2) = -3$.
$R$ ના યામ $(at_3^2, 2at_3) = (\frac{3}{4}(-3)^2, 2(\frac{3}{4})(-3)) = (\frac{27}{4}, -\frac{9}{2})$ છે.

(B) પરવલયનું સમીકરણ $y^2 = 4ax$ છે,જ્યાં $4a = 7$,તેથી $a = \frac{7}{4}$.
પરવલય $y^2 = 4ax$ ના બિંદુ $(at^2, 2at)$ આગળના અભિલંબનું સમીકરણ $y = -tx + 2at + at^3$ છે.
અભિલંબ બિંદુ $(2, 0)$ માંથી પસાર થતો હોવાથી,આપણે $x = 2$ અને $y = 0$ ને સમીકરણમાં મૂકીએ:
$0 = -t(2) + 2(\frac{7}{4})t + \frac{7}{4}t^3$
$0 = -2t + \frac{7}{2}t + \frac{7}{4}t^3$
$0 = \frac{3}{2}t + \frac{7}{4}t^3$
$0 = t(\frac{3}{2} + \frac{7}{4}t^2)$
આનાથી $t = 0$ અથવા $t^2 = -\frac{6}{7}$ મળે છે.
વાસ્તવિક $t$ માટે $t^2$ ઋણ હોઈ શકે નહીં,તેથી માત્ર $t = 0$ એ એકમાત્ર વાસ્તવિક ઉકેલ છે.
આમ,માત્ર $1$ અભિલંબ દોરી શકાય છે.

(C) ધારો કે પરવલય $y^2 = 4ax$ છે જ્યાં $a = 1$. પરવલય $y^2 = 4x$ પરના બિંદુ $(t^2, 2t)$ આગળના અભિલંબનું સમીકરણ $y = -tx + 2t + t^3$ છે.
જો આ અભિલંબ બિંદુ $P(h, k)$ માંથી પસાર થાય,તો $k = -th + 2t + t^3$,જેનું સાદું રૂપ $t^3 + (2-h)t - k = 0$ થાય છે.
ધારો કે આ ત્રિઘાત સમીકરણના બીજ $t_1, t_2, t_3$ છે. આ ત્રણ અભિલંબના લંબપાદના પ્રાચલો છે.
લંબપાદના યામ $(t_1^2, 2t_1), (t_2^2, 2t_2), (t_3^2, 2t_3)$ છે.
આ બિંદુઓ દ્વારા બનતા ત્રિકોણનું મધ્યકેન્દ્ર $G(x_g, y_g) = (\frac{t_1^2 + t_2^2 + t_3^2}{3}, \frac{2(t_1 + t_2 + t_3)}{3})$ છે.
સમીકરણ $t^3 + (2-h)t - k = 0$ પરથી,$\sum t_i = 0$ અને $\sum t_i t_j = 2-h$.
$\sum t_i = 0$ હોવાથી,મધ્યકેન્દ્રનો $y$-યામ $y_g = 0$ થાય છે,જે $G(2,0)$ સાથે સુસંગત છે.
હવે,$x_g = \frac{(\sum t_i)^2 - 2\sum t_i t_j}{3} = \frac{0^2 - 2(2-h)}{3} = \frac{2(h-2)}{3}$.
$x_g = 2$ આપેલ હોવાથી,$\frac{2(h-2)}{3} = 2$,જેનો અર્થ છે કે $h-2 = 3$,તેથી $h = 5$.

(B) પરવલય $y^2 = 12x$ ની નાભિ $S(3, 0)$ છે. ધારો કે $P(3t^2, 6t)$ એ પરવલય પરનું કોઈપણ બિંદુ છે.
ધારો કે $Q(h, k)$ એ $SP$ નું $m:n$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરતું બિંદુ છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$h = \frac{m(3t^2) + n(3)}{m+n}$ અને $k = \frac{m(6t) + n(0)}{m+n}$.
બીજા સમીકરણ પરથી,$t = \frac{k(m+n)}{6m}$.
$t$ ની કિંમત $h$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$h = \frac{3m(\frac{k(m+n)}{6m})^2 + 3n}{m+n} = \frac{\frac{k^2(m+n)^2}{12m} + 3n}{m+n}$.
$k^2 = \frac{12m}{m+n}h - \frac{36mn}{(m+n)^2}$.
આ $Y^2 = 4AX$ સ્વરૂપનું છે,જ્યાં $4A = \frac{12m}{m+n}$.
તેથી,નાભિલંબની લંબાઈ $\frac{12m}{m+n}$ છે.

(C) પરવલય $y^2 = 4ax$ માટે,જ્યાં $4a = 5$,તેથી $a = \frac{5}{4}$.
ધારો કે બિંદુ $P$ એ $(at^2, 2at)$ છે.
$P(at^2, 2at)$ પરનો અભિલંબ પરવલયને ફરીથી $Q(at_1^2, 2at_1)$ પર મળે છે,જ્યાં $t_1 = -t - \frac{2}{t}$.
જીવા $PQ$ શિરોબિંદુ $(0,0)$ આગળ કાટખૂણો આંતરે છે,તેથી $OP$ અને $OQ$ ના ઢાળનો ગુણાકાર $-1$ થાય.
$OP$ નો ઢાળ $= \frac{2at}{at^2} = \frac{2}{t}$.
$OQ$ નો ઢાળ $= \frac{2at_1}{at_1^2} = \frac{2}{t_1}$.
આમ,$\left(\frac{2}{t}\right) \times \left(\frac{2}{t_1}\right) = -1 \implies t_1 = -\frac{4}{t}$.
$t_1$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $-t - \frac{2}{t} = -\frac{4}{t} \implies t = \frac{2}{t} \implies t^2 = 2 \implies t = \sqrt{2}$ (કારણ કે $P$ પ્રથમ ચરણમાં છે).
તેથી $t_1 = -\frac{4}{\sqrt{2}} = -2\sqrt{2}$.
$Q$ ના યામ $(at_1^2, 2at_1) = \left(\frac{5}{4}(-2\sqrt{2})^2, 2(\frac{5}{4})(-2\sqrt{2})\right) = \left(\frac{5}{4}(8), -5\sqrt{2}\right) = (10, -5\sqrt{2})$ છે.

(D) ધારો કે નાભિ $S = (2, -3)$ છે અને નિયામિકા $L: 2x + y - 5 = 0$ છે. ધારો કે બીજી નાભિ $S' = (h, k)$ છે.
ઉપવલયનું કેન્દ્ર $C$ એ નાભિમાંથી પસાર થતી અને નિયામિકાને લંબ રેખા પર આવેલું છે.
નિયામિકાનો ઢાળ $m = -2$ છે,તેથી અક્ષનો ઢાળ $m' = \frac{1}{2}$ થશે.
અક્ષનું સમીકરણ $x - 2y - 8 = 0$ મળે છે.
અક્ષ અને નિયામિકાનું છેદબિંદુ $Z = (3.6, -2.2)$ મળે છે.
ઉપવલય માટે $CS = ae$ અને $CZ = \frac{a}{e}$ હોવાથી $CS = e^2 CZ$ થાય.
અહીં $e^2 = \frac{5}{9}$ હોવાથી,ગણતરી કરતા બીજી નાભિ $S'$ ના યામ $(-4, -6)$ મળે છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $\frac{x^2}{12-\alpha} + \frac{y^2}{\alpha-10} = 1$ છે.
આ ઉપવલય દર્શાવે તે માટે બંને છેદ ધન હોવા જોઈએ.
ધારો કે $a^2 = 12-\alpha$ અને $b^2 = \alpha-10$.
ઉપવલય માટે,આપણે $12-\alpha > 0$ અને $\alpha-10 > 0$ ની જરૂર છે,જેનો અર્થ છે કે $10 < \alpha < 12$.
કારણ કે તમામ $\alpha \in (10, 12)$ માટે,$12-\alpha$ અને $\alpha-10$ બંને ધન છે,તેથી આ સમીકરણ $(10, 12)$ અંતરાલની તમામ કિંમતો માટે ઉપવલય દર્શાવે છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) ઉપવલય $\frac{x^2}{169} + \frac{y^2}{144} = 1$ માટે,$a^2 = 169$ અને $b^2 = 144$,તેથી $a = 13$ અને $b = 12$.
ઉત્કેન્દ્રિયતા $e = \sqrt{1 - \frac{144}{169}} = \frac{5}{13}$.
નાભિઓ $S = (5, 0)$ અને $S^{\prime} = (-5, 0)$ છે.
બિંદુ $B = (0, 12)$ છે.
ત્રિકોણ $SBS^{\prime}$ ની બાજુઓ $10, 13, 13$ છે.
અંતઃકેન્દ્રનું સૂત્ર વાપરતા,$x = \frac{13(5) + 13(-5) + 10(0)}{36} = 0$ અને $y = \frac{13(0) + 13(0) + 10(12)}{36} = \frac{120}{36} = \frac{10}{3}$.
આમ,અંતઃકેન્દ્ર $(0, \frac{10}{3})$ છે.

(A) ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ માટે $a^2 = 9$ $(a = 3)$ અને $b < 3$ છે,ઉત્કેન્દ્રિયતા $e$ માટે $b^2 = a^2(1 - e^2) = 9(1 - e^2)$ થાય.
નાભિ $(ae, 0)$ થી નિયામિકા $x = \frac{a}{e}$ નું અંતર $\frac{a}{e} - ae = \frac{b^2}{ae}$ છે.
આપેલ અંતર $\frac{4}{\sqrt{5}}$ હોવાથી,$\frac{b^2}{3e} = \frac{4}{\sqrt{5}}$.
$b^2 = 9(1 - e^2)$ મૂકતા,$\frac{3(1 - e^2)}{e} = \frac{4}{\sqrt{5}}$.
$e^2 = t$ લેતા,$45t^2 - 106t + 45 = 0$ મળે.
ઉકેલતા $t = e^2 = \frac{5}{9}$ મળે,તેથી $b^2 = 4$ અને $b = 2$.
ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$ છે.
સ્પર્શકનો ઢાળ $m = -\frac{b^2 x_1}{a^2 y_1} = -\frac{4(3/\sqrt{2})}{9(2/\sqrt{2})} = -\frac{2}{3}$ થાય.

(B) ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ માટે,$a^2 = 25$ અને $b^2 = 9$ છે,તેથી $a = 5$ અને $b = 3$.
નાભિઓ $S$ અને $S^{\prime}$ એ $(\pm ae, 0)$ પર છે,જ્યાં $e = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \frac{4}{5}$.
તેથી,નાભિઓ $S(4, 0)$ અને $S^{\prime}(-4, 0)$ છે.
નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $SS^{\prime} = 2ae = 8$ છે.
$\Delta SPS^{\prime}$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times SS^{\prime} \times |y_P|$.
ક્ષેત્રફળ મહત્તમ ત્યારે થાય જ્યારે $|y_P|$ મહત્તમ હોય,જે $b = 3$ છે.
તેથી,મહત્તમ ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times 8 \times 3 = 12$ ચોરસ એકમ.

(A) ધારો કે સમબાજુ ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $P_i = (a \cos \theta_i, b \sin \theta_i)$ છે,જ્યાં $i = 1, 2, 3$.
ત્રિકોણ સમબાજુ હોવાથી,તેનું પરિકેન્દ્ર $(r, s)$ એ તેનું મધ્યકેન્દ્ર પણ છે.
તેથી,$r = \frac{a}{3} \sum \cos \theta_i$ અને $s = \frac{b}{3} \sum \sin \theta_i$.
આથી $\sum \cos \theta_i = \frac{3r}{a}$ અને $\sum \sin \theta_i = \frac{3s}{b}$ મળે.
બંનેનો વર્ગ કરીને સરવાળો કરતા,$(\sum \cos \theta_i)^2 + (\sum \sin \theta_i)^2 = \frac{9r^2}{a^2} + \frac{9s^2}{b^2}$.
ડાબી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા: $3 + 2(\cos(\theta_1-\theta_2) + \cos(\theta_2-\theta_3) + \cos(\theta_3-\theta_1)) = \frac{9r^2}{a^2} + \frac{9s^2}{b^2}$.
$6$ વડે ભાગતા,સરેરાશ $\frac{1}{3} \sum \cos(\theta_i-\theta_j) = \frac{1}{2} \left[ \frac{3r^2}{a^2} + \frac{3s^2}{b^2} - 1 \right]$ મળે.

(B) ધારો કે જીવાનું મધ્યબિંદુ $M(h, k)$ છે.
ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ માટે મધ્યબિંદુ $(h, k)$ વાળી જીવાનું સમીકરણ $T = S_1$ છે.
અહીં $a^2 = 1$ અને $b^2 = 4$ છે,તેથી સમીકરણ $xh + \frac{yk}{4} = h^2 + \frac{k^2}{4}$ થાય.
આ જીવા રેખા $y = x + 1$ એટલે કે $x - y = -1$ છે.
સહગુણકોની સરખામણી કરતા,$\frac{h}{1} = \frac{k/4}{-1} = \frac{h^2 + k^2/4}{-1}$.
તેથી $k = -4h$ અને $-h = h^2 + 4h^2 = 5h^2$.
$h = -1/5$ અને $k = 4/5$ મળે.
આમ,મધ્યબિંદુ $(-\frac{1}{5}, \frac{4}{5})$ છે.

(C) ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$ છે,જ્યાં $a^2 = 16$ અને $b^2 = 9$ છે.
ઉપવલયનો કોઈપણ સ્પર્શક $y = mx \pm \sqrt{16m^2 + 9}$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
આ રેખા વર્તુળ $x^2 + y^2 = \alpha^2$ નો સ્પર્શક હોય જો કેન્દ્ર $(0, 0)$ થી રેખાનું લંબ અંતર ત્રિજ્યા $\alpha$ જેટલું હોય.
અંતર $d = \frac{|\pm \sqrt{16m^2 + 9}|}{\sqrt{m^2 + 1}} = \alpha$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$\alpha^2 = \frac{16m^2 + 9}{m^2 + 1}$.
ધારો કે $t = m^2$,જ્યાં $t \geq 0$. તો $\alpha^2 = \frac{16t + 9}{t + 1} = 16 - \frac{7}{t + 1}$.
$t \geq 0$ હોવાથી,$t + 1$ ની કિંમત $1$ થી $\infty$ સુધી હોય છે.
તેથી,$\frac{7}{t + 1}$ ની કિંમત $0$ થી $7$ સુધી હોય છે.
આમ,$\alpha^2$ ની કિંમત $16 - 7 = 9$ થી $16 - 0 = 16$ સુધી હોય છે.
તેથી,$9 \leq \alpha^2 \leq 16$,જેનો અર્થ છે કે $3 \leq \alpha \leq 4$.

(D) આપેલ ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ માટે $b > a$ અને ઉત્કેન્દ્રતા $e = \frac{1}{\sqrt{2}}$ છે.
તેથી $b^2 = 2a^2$ મળે.
છેદબિંદુ માટે $2x^2 + y^2 = 2a^2$ અને $y^2 = 4ax$ ઉકેલતા $\theta = \frac{\pi}{2}$ મળે છે.
આથી ઉપવલય પરનું બિંદુ $(\frac{a}{2}, \frac{\sqrt{3}a}{\sqrt{2}})$ છે.

(A) આપેલ વક્રનું સમીકરણ $9x^2 + 16y^2 = 144$ છે. $144$ વડે ભાગતા,$\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$ મળે. આ એક ઉપવલય છે જ્યાં $a^2 = 16$ અને $b^2 = 9$,તેથી $a = 4$ અને $b = 3$. ઉપવલયનું કેન્દ્ર $(0, 0)$ છે. ઉપવલય પરના કોઈપણ બિંદુ $(x_1, y_1)$ આગળ અભિલંબનું સમીકરણ $\frac{a^2x}{x_1} - \frac{b^2y}{y_1} = a^2 - b^2$ છે. કિંમતો મૂકતા,$\frac{16x}{x_1} - \frac{9y}{y_1} = 7$ મળે. ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ થી રેખાનું અંતર $d = \frac{7}{\sqrt{\frac{256}{x_1^2} + \frac{81}{y_1^2}}}$ છે. $x_1 = 4\cos\theta$ અને $y_1 = 3\sin\theta$ લેતા,$d = \frac{7}{\sqrt{16\sec^2\theta + 9\csc^2\theta}}$ મળે. છેદનું ન્યૂનતમ મૂલ્ય શોધતા,મહત્તમ અંતર $1$ મળે છે.

(B) ત્રિજ્યા અને કેન્દ્ર $(h, k)$ ધરાવતા વર્તુળોના સમૂહનું સમીકરણ $(x - h)^2 + (y - k)^2 = a^2$ છે.
અહીં બે સ્વૈર અચળાંકો $h$ અને $k$ હોવાથી,આપણે $x$ ની સાપેક્ષમાં બે વાર વિકલન કરીશું.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $2(x - h) + 2(y - k)y_1 = 0$,જે દર્શાવે છે કે $(x - h) = -(y - k)y_1$.
ફરીથી વિકલન કરતા: $1 + y_1^2 + (y - k)y_2 = 0$,તેથી $(y - k) = -\frac{1 + y_1^2}{y_2}$.
$(y - k)$ ની કિંમત પ્રથમ વિકલિત સમીકરણમાં મૂકતા: $(x - h) = -(-\frac{1 + y_1^2}{y_2})y_1 = \frac{y_1(1 + y_1^2)}{y_2}$.
હવે $(x - h)$ અને $(y - k)$ ની કિંમતો મૂળ વર્તુળના સમીકરણમાં મૂકતા: $(\frac{y_1(1 + y_1^2)}{y_2})^2 + (-\frac{1 + y_1^2}{y_2})^2 = a^2$.
આનું સાદું રૂપ આપતા: $\frac{y_1^2(1 + y_1^2)^2}{y_2^2} + \frac{(1 + y_1^2)^2}{y_2^2} = a^2$.
$(1 + y_1^2)^2$ સામાન્ય લેતા: $\frac{(1 + y_1^2)^2 (y_1^2 + 1)}{y_2^2} = a^2$.
આમ,$(1 + y_1^2)^3 = a^2 y_2^2$ મળે છે.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $t^2 dx + (x^2 - tx + t^2) dt = 0$.
સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા: $t^2 dx = -(x^2 - tx + t^2) dt$,જે આપે છે $\frac{dx}{dt} = -\frac{x^2 - tx + t^2}{t^2}$.
આને $\frac{dx}{dt} = -(\frac{x}{t})^2 + \frac{x}{t} - 1$ તરીકે લખી શકાય છે.
આ $\frac{dx}{dt} = f(\frac{x}{t})$ સ્વરૂપનું સમપરિમાણીય વિકલ સમીકરણ છે.
સમપરિમાણીય વિકલ સમીકરણને ઉકેલવા માટે,આપણે $x = Vt$ આદેશનો ઉપયોગ કરીએ છીએ,જ્યાં $V$ એ $t$ નું વિધેય છે.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $(x^3-y^3) dx = (x^2y - xy^2) dy$.
તેને ફરીથી ગોઠવતા: $\frac{dy}{dx} = \frac{x^3-y^3}{x^2y - xy^2} = \frac{x^3-y^3}{xy(x-y)}$.
આ સમપરિમાણ વિકલ સમીકરણ હોવાથી,$y = vx$ લેતા,$\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$.
સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $v + x \frac{dv}{dx} = \frac{x^3 - v^3x^3}{x^2(vx) - x(v^2x^2)} = \frac{x^3(1-v^3)}{x^3(v-v^2)} = \frac{(1-v)(1+v+v^2)}{v(1-v)} = \frac{1+v+v^2}{v}$.
તેથી $x \frac{dv}{dx} = \frac{1+v+v^2}{v} - v = \frac{1+v}{v}$.
ચલનું અલગીકરણ કરતા: $\frac{v}{1+v} dv = \frac{dx}{x}$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int (1 - \frac{1}{1+v}) dv = \int \frac{dx}{x}$.
$v - \log|1+v| = \log|x| + C$.
$v = \frac{y}{x}$ મૂકતા: $\frac{y}{x} - \log|1 + \frac{y}{x}| = \log|x| + C$.
$\frac{y}{x} - \log|\frac{x+y}{x}| = \log|x| + C$.
$\frac{y}{x} - (\log|x+y| - \log|x|) = \log|x| + C$.
$\frac{y}{x} = \log|x+y| + C$.
આમ,$y = x \log|x+y| + Cx$,જેને $y = x \log(c|x+y|)$ તરીકે લખી શકાય.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\cos x \frac{dy}{dx} = y \sin x - 1$.
$\cos x$ વડે ભાગતા,આપણને મળે: $\frac{dy}{dx} = y \tan x - \sec x$.
આ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(x) = -\tan x$ અને $Q(x) = -\sec x$.
સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ $e^{\int P(x) dx} = e^{\int -\tan x dx} = e^{\ln(\cos x)} = \cos x$ છે.
વ્યાપક ઉકેલ $y \cdot IF = \int Q(x) \cdot IF dx + C$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $y \cos x = \int (-\sec x) \cdot \cos x dx + C$.
$y \cos x = \int (-1) dx + C$.
$y \cos x = -x + C$.
$f(0) = 1$ આપેલ હોવાથી,$x = 0$ અને $y = 1$ મૂકતા: $1 \cdot \cos(0) = -0 + C \implies 1 = C$.
આમ,$y \cos x = -x + 1$.
$y = \frac{1-x}{\cos x} = (1-x) \sec x$.
તેથી,$f(x) = (1-x) \sec x$.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $2 dx + dy = (6xy + 4x - 3y) dx$ છે.
પદોને ગોઠવતા: $dy = (6xy + 4x - 3y - 2) dx$.
$dy = [2x(3y + 2) - (3y + 2)] dx$.
$dy = (2x - 1)(3y + 2) dx$.
ચલને અલગ કરતા: $\frac{dy}{3y + 2} = (2x - 1) dx$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \frac{1}{3y + 2} dy = \int (2x - 1) dx$.
$\frac{1}{3} \log |3y + 2| = x^2 - x + C_1$.
$3$ વડે ગુણતા: $\log |3y + 2| = 3x^2 - 3x + 3C_1$.
ધારો કે $3C_1 = c$,તેથી $\log |3y + 2| = 3x^2 - 3x + c$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $P(x) = \sec x \operatorname{cosec} x = \frac{1}{\cos x \sin x} = \frac{\sec^2 x}{\tan x}$ અને $Q(x) = \cos^2 x$ છે.
સૌ પ્રથમ,આપણે સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ શોધીએ:
$IF = e^{\int P(x) dx} = e^{\int \frac{\sec^2 x}{\tan x} dx} = e^{\ln|\tan x|} = \tan x$.
વ્યાપક ઉકેલ $y \cdot (IF) = \int Q(x) \cdot (IF) dx + c$ દ્વારા મળે છે.
$y \tan x = \int \cos^2 x \cdot \tan x dx + c$.
$y \tan x = \int \cos^2 x \cdot \frac{\sin x}{\cos x} dx + c = \int \sin x \cos x dx + c$.
$y \tan x = \frac{\sin^2 x}{2} + c$.
તેથી,$2y \tan x = \sin^2 x + c$.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $(1+\cos^2 x) f'(x) - f(x) \sin 2x = 4 \sin 2x$ છે.
$(1+\cos^2 x)$ વડે ભાગતા,$f'(x) - f(x) \frac{\sin 2x}{1+\cos^2 x} = \frac{4 \sin 2x}{1+\cos^2 x}$ મળે.
આ $f'(x) + P(x)f(x) = Q(x)$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(x) = -\frac{\sin 2x}{1+\cos^2 x}$ અને $Q(x) = \frac{4 \sin 2x}{1+\cos^2 x}$.
સંકલ્યકારક અવયવ $IF = e^{\int P(x) dx} = e^{\int -\frac{\sin 2x}{1+\cos^2 x} dx}$.
ધારો કે $u = 1+\cos^2 x$,તો $du = -\sin 2x dx$.
તેથી,$IF = e^{\int \frac{du}{u}} = 1+\cos^2 x$.
વ્યાપક ઉકેલ $f(x) \cdot IF = \int Q(x) \cdot IF dx + C$ છે.
$f(x)(1+\cos^2 x) = \int 4 \sin 2x dx = -2 \cos 2x + C$.
$f(0)=0$ હોવાથી,$0 = -2 + C \implies C = 2$.
તેથી,$f(x) = \frac{2 - 2 \cos 2x}{1+\cos^2 x} = \frac{4 \sin^2 x}{1+\cos^2 x}$.
$x = \frac{\pi}{3}$ માટે,$f(\frac{\pi}{3}) = \frac{4(3/4)}{1+1/4} = \frac{3}{5/4} = \frac{12}{5}$.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $(1+y^2) dx = (\operatorname{Tan}^{-1} y - x) dy$.
બંને બાજુ $(1+y^2) dy$ વડે ભાગતા: $\frac{dx}{dy} = \frac{\operatorname{Tan}^{-1} y - x}{1+y^2}$.
પદોને ગોઠવતા: $\frac{dx}{dy} + \frac{x}{1+y^2} = \frac{\operatorname{Tan}^{-1} y}{1+y^2}$.
આ $\frac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y)$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(y) = \frac{1}{1+y^2}$ અને $Q(y) = \frac{\operatorname{Tan}^{-1} y}{1+y^2}$.
સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ $e^{\int P(y) dy} = e^{\int \frac{1}{1+y^2} dy} = e^{\operatorname{Tan}^{-1} y}$ છે.
વ્યાપક ઉકેલ $x \cdot (IF) = \int Q(y) \cdot (IF) dy + c$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $x \cdot e^{\operatorname{Tan}^{-1} y} = \int \frac{\operatorname{Tan}^{-1} y}{1+y^2} \cdot e^{\operatorname{Tan}^{-1} y} dy + c$.
ધારો કે $u = \operatorname{Tan}^{-1} y$,તો $du = \frac{1}{1+y^2} dy$.
સંકલન $\int u e^u du = u e^u - e^u + c$ બને છે.
તેથી,$x \cdot e^{\operatorname{Tan}^{-1} y} = \operatorname{Tan}^{-1} y \cdot e^{\operatorname{Tan}^{-1} y} - e^{\operatorname{Tan}^{-1} y} + c$.
$e^{\operatorname{Tan}^{-1} y}$ વડે ભાગતા,આપણને $x = \operatorname{Tan}^{-1} y - 1 + c e^{-\operatorname{Tan}^{-1} y}$ મળે છે.
આને $x = f(y) + c e^{-\operatorname{Tan}^{-1} y}$ સાથે સરખાવતા,$f(y) = \operatorname{Tan}^{-1} y - 1$ મળે છે.

(A) જે પરવલયની અક્ષ $y$-અક્ષને સમાંતર હોય તેનું સામાન્ય સમીકરણ $y = Ax^2 + Bx + C$ છે,જ્યાં $A, B, C$ સ્વૈર અચળાંકો છે.
વિકલ સમીકરણ મેળવવા માટે,આપણે $x$ ની સાપેક્ષમાં ત્રણ વાર વિકલન કરીશું.
પ્રથમ વિકલન: $\frac{dy}{dx} = 2Ax + B$.
દ્વિતીય વિકલન: $\frac{d^2y}{dx^2} = 2A$.
તૃતીય વિકલન: $\frac{d^3y}{dx^3} = 0$.
અહીં $3$ સ્વૈર અચળાંકો હોવાથી,વિકલ સમીકરણનો ક્રમ $3$ થશે. તેથી,સમીકરણ $\frac{d^3y}{dx^3} = 0$ છે.

(B) કોઓર્ડિનેટ ધરીઓને સમાંતર ધરીઓ અને કેન્દ્ર $(h, k)$ ધરાવતા હાયપરબોલાનું સમીકરણ $\frac{(x-h)^2}{a^2} - \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1$ અથવા $\frac{(y-k)^2}{a^2} - \frac{(x-h)^2}{b^2} = 1$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કેન્દ્ર $y=2x$ પર હોવાથી,આપણી પાસે $k=2h$ છે.
હાયપરબોલા માટે,$e^2 = 1 + \frac{b^2}{a^2} = 3$,તેથી $b^2 = 2a^2$.
સમીકરણ $(x-h)^2 - \frac{1}{2}(y-2h)^2 = \pm a^2$ બને છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $2(x-h) - (y-2h)y_1 = 0$,જે $x-h = \frac{1}{2}(y-2h)y_1$ આપે છે.
$h = x - \frac{1}{2}(y-2h)y_1$ ને સમીકરણમાં મૂકતા અને સાદું રૂપ આપતા વિકલ સમીકરણ $(y-2x)y_2 + y_1^2 + 2y_1 = y_1^3 + 2$ મળે છે.

(D) આપેલ ઉપવલયનું કુળ: $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{4} = 1$.
વિકલ સમીકરણ મેળવવા માટે,બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dx} \left( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{4} \right) = \frac{d}{dx} (1)$
$\frac{2x}{a^2} + \frac{2y}{4} \frac{dy}{dx} = 0$
$\frac{2x}{a^2} + \frac{y}{2} \frac{dy}{dx} = 0$
મૂળ સમીકરણ પરથી,$\frac{x^2}{a^2} = 1 - \frac{y^2}{4} = \frac{4 - y^2}{4}$,તેથી $\frac{1}{a^2} = \frac{4 - y^2}{4x^2}$.
$\frac{1}{a^2}$ ની કિંમત વિકલિત સમીકરણમાં મૂકતા:
$2x \left( \frac{4 - y^2}{4x^2} \right) + \frac{y}{2} \frac{dy}{dx} = 0$
$\frac{4 - y^2}{2x} + \frac{y}{2} \frac{dy}{dx} = 0$
બંને બાજુ $2x$ વડે ગુણતા:
$(4 - y^2) + xy \frac{dy}{dx} = 0$
$xy \frac{dy}{dx} = y^2 - 4$.

(A) ધારો કે $A$ અને $B$ ના સ્થાન સદિશો $\vec{a} = \bar{i}+2\bar{j}+3\bar{k}$ અને $\vec{b} = 7\bar{i}-\bar{k}$ છે.
ધારો કે $P$ એ $AB$ નું $m:n$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે. તેથી $\vec{p} = \frac{m\vec{b} + n\vec{a}}{m+n}$.
$-2\bar{i}+3\bar{j}+5\bar{k} = \frac{m(7\bar{i}-\bar{k}) + n(\bar{i}+2\bar{j}+3\bar{k})}{m+n}$.
સહગુણકોની સરખામણી કરતા: $x: -2(m+n) = 7m + n \implies 9m = -3n \implies m/n = -1/3$.
આમ,$P$ એ $AB$ નું $1:3$ ના ગુણોત્તરમાં બહારની તરફ વિભાજન કરે છે.
હાર્મોનિક કોન્જુગેટ $Q$ એ $AB$ નું તે જ ગુણોત્તર $1:3$ માં અંદરની તરફ વિભાજન કરે છે.
$\vec{q} = \frac{1\vec{b} + 3\vec{a}}{1+3} = \frac{(7\bar{i}-\bar{k}) + 3(\bar{i}+2\bar{j}+3\bar{k})}{4} = \frac{10\bar{i}+6\bar{j}+8\bar{k}}{4} = 2.5\bar{i}+1.5\bar{j}+2\bar{k}$.
અદિશ ઘટકોનો સરવાળો $2.5 + 1.5 + 2 = 6$ થાય છે.

(A) આપેલ છે કે $|\bar{a}|=5$,$|\bar{b}|=12$,અને $|\bar{a}-\bar{b}|=13$.
$|\bar{a}-\bar{b}|=13$ સમીકરણનો વર્ગ કરતા,આપણને મળે છે $|\bar{a}|^2 + |\bar{b}|^2 - 2(\bar{a} \cdot \bar{b}) = 169$.
કિંમતો મૂકતા: $25 + 144 - 2(\bar{a} \cdot \bar{b}) = 169$.
$169 - 2(\bar{a} \cdot \bar{b}) = 169$,જેનો અર્થ છે કે $\bar{a} \cdot \bar{b} = 0$.
હવે,આપણે $|2\bar{a}+\bar{b}|$ શોધવાનું છે.
$|2\bar{a}+\bar{b}|^2 = (2\bar{a}+\bar{b}) \cdot (2\bar{a}+\bar{b}) = 4|\bar{a}|^2 + |\bar{b}|^2 + 4(\bar{a} \cdot \bar{b})$.
કિંમતો મૂકતા: $4(25) + 144 + 4(0) = 100 + 144 = 244$.
તેથી,$|2\bar{a}+\bar{b}| = \sqrt{244} = \sqrt{4 \times 61} = 2\sqrt{61}$.

(D) ધારો કે બિંદુઓ $A, B, C, D$ ના સ્થાન સદિશો અનુક્રમે $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$ છે.
$E$ એ $AC$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,તેનો સ્થાન સદિશ $\vec{e} = \frac{\vec{a} + \vec{c}}{2}$ છે,જેનો અર્થ છે કે $\vec{a} + \vec{c} = 2\vec{e}$.
$F$ એ $BD$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,તેનો સ્થાન સદિશ $\vec{f} = \frac{\vec{b} + \vec{d}}{2}$ છે,જેનો અર્થ છે કે $\vec{b} + \vec{d} = 2\vec{f}$.
આપણે સરવાળો $\vec{S} = \vec{AB} + \vec{CB} + \vec{CD} + \vec{AD}$ શોધવાનો છે.
સ્થાન સદિશોના સ્વરૂપમાં:
$\vec{AB} = \vec{b} - \vec{a}$
$\vec{CB} = \vec{b} - \vec{c}$
$\vec{CD} = \vec{d} - \vec{c}$
$\vec{AD} = \vec{d} - \vec{a}$
આ બધાનો સરવાળો કરતા:
$\vec{S} = (\vec{b} - \vec{a}) + (\vec{b} - \vec{c}) + (\vec{d} - \vec{c}) + (\vec{d} - \vec{a})$
$\vec{S} = 2\vec{b} + 2\vec{d} - 2\vec{a} - 2\vec{c}$
$\vec{S} = 2(\vec{b} + \vec{d}) - 2(\vec{a} + \vec{c})$
મધ્યબિંદુના સંબંધો મૂકતા:
$\vec{S} = 2(2\vec{f}) - 2(2\vec{e})$
$\vec{S} = 4\vec{f} - 4\vec{e} = 4(\vec{f} - \vec{e}) = 4\vec{EF}$.

(B) ધારો કે ચાર બિંદુઓના સ્થાન સદિશો $\vec{P} = 2\bar{a}+3\bar{b}-\bar{c}$,$\vec{Q} = \bar{a}-2\bar{b}+3\bar{c}$,$\vec{R} = 3\bar{a}+4\bar{b}-2\bar{c}$,અને $\vec{S} = \bar{a}-6\bar{b}+6\bar{c}$ છે.
આ બિંદુઓ સમતલીય છે કે નહીં તે તપાસવા માટે,આપણે સદિશો $\vec{PQ}$,$\vec{PR}$,અને $\vec{PS}$ ધ્યાનમાં લઈએ.
$\vec{PQ} = \vec{Q} - \vec{P} = -\bar{a}-5\bar{b}+4\bar{c}$.
$\vec{PR} = \vec{R} - \vec{P} = \bar{a}+\bar{b}-\bar{c}$.
$\vec{PS} = \vec{S} - \vec{P} = -\bar{a}-9\bar{b}+7\bar{c}$.
જો અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $[\vec{PQ}, \vec{PR}, \vec{PS}] = 0$ હોય,તો ચાર બિંદુઓ સમતલીય છે.
નિશ્ચાયક $D = \begin{vmatrix} -1 & -5 & 4 \\ 1 & 1 & -1 \\ -1 & -9 & 7 \end{vmatrix} = -1(7-9) + 5(7-1) + 4(-9+1) = 2 + 30 - 32 = 0$.
તેથી,આ ચાર બિંદુઓ સમતલીય છે.

(C) આપેલ છે કે $\bar{a} = 2 \bar{b}$.
$\bar{a}$ અને $\bar{b}$ ના ઘટકો મૂકતા:
$(x + 2y - 3) \bar{i} + (2x - y + 3) \bar{j} = 2[(3x - 2y) \bar{i} + (x - y + 1) \bar{j}]$
$\bar{i}$ અને $\bar{j}$ ના સહગુણકોને સરખાવતા:
$1) x + 2y - 3 = 2(3x - 2y) \implies x + 2y - 3 = 6x - 4y \implies 5x - 6y = -3$
$2) 2x - y + 3 = 2(x - y + 1) \implies 2x - y + 3 = 2x - 2y + 2 \implies y = -1$
પ્રથમ સમીકરણમાં $y = -1$ મૂકતા:
$5x - 6(-1) = -3 \implies 5x + 6 = -3 \implies 5x = -9 \implies x = -9/5$
આપણે $y - 5x$ શોધવાનું છે:
$y - 5x = -1 - 5(-9/5) = -1 + 9 = 8$.

(B) ધારો કે બિંદુઓ $A, B, C, D$ ના સ્થાન સદિશો $\vec{a} = 7\bar{i}-4\bar{j}+7\bar{k}$,$\vec{b} = \bar{i}-6\bar{j}+10\bar{k}$,$\vec{c} = -\bar{i}-3\bar{j}+4\bar{k}$,અને $\vec{d} = 5\bar{i}-\bar{j}+\bar{k}$ છે.
ચતુષ્કોણ $ABCD$ ના વિકર્ણોના મધ્યબિંદુઓ શોધીએ.
$AC$ નું મધ્યબિંદુ = $\frac{\vec{a}+\vec{c}}{2} = \frac{(7-1)\bar{i} + (-4-3)\bar{j} + (7+4)\bar{k}}{2} = \frac{6\bar{i}-7\bar{j}+11\bar{k}}{2} = 3\bar{i}-3.5\bar{j}+5.5\bar{k}$.
$BD$ નું મધ્યબિંદુ = $\frac{\vec{b}+\vec{d}}{2} = \frac{(1+5)\bar{i} + (-6-1)\bar{j} + (10+1)\bar{k}}{2} = \frac{6\bar{i}-7\bar{j}+11\bar{k}}{2} = 3\bar{i}-3.5\bar{j}+5.5\bar{k}$.
બંને મધ્યબિંદુઓ સમાન હોવાથી,$ABCD$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે અને વિકર્ણોનું છેદબિંદુ આ મધ્યબિંદુ જ છે.
તેથી,$p=3, q=-3.5, r=5.5$.
$p+q+r = 3-3.5+5.5 = 5$.

(B) આપેલ સદિશો $\overline{BC} = \bar{i} - 2\bar{j} + 2\bar{k}$ અને $\overline{CA} = 6\bar{i} + 3\bar{j} - 2\bar{k}$ છે.
ત્રિકોણ $ABC$ માં,સદિશ સરવાળાના ત્રિકોણના નિયમ મુજબ,$\overline{AB} + \overline{BC} + \overline{CA} = \vec{0}$,તેથી $\overline{AB} = -(\overline{BC} + \overline{CA})$.
$\overline{AB} = -(\bar{i} - 2\bar{j} + 2\bar{k} + 6\bar{i} + 3\bar{j} - 2\bar{k}) = -(7\bar{i} + \bar{j} + 0\bar{k}) = -7\bar{i} - \bar{j}$.
હવે,બાજુઓના માન (magnitude) શોધો:
$|\overline{BC}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3$.
$|\overline{CA}| = \sqrt{6^2 + 3^2 + (-2)^2} = \sqrt{36 + 9 + 4} = \sqrt{49} = 7$.
$|\overline{AB}| = \sqrt{(-7)^2 + (-1)^2 + 0^2} = \sqrt{49 + 1} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$.
પરિમિતિ = $|\overline{AB}| + |\overline{BC}| + |\overline{CA}| = 5\sqrt{2} + 3 + 7 = 10 + 5\sqrt{2} = 5(2 + \sqrt{2})$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) ધારો કે $|\vec{AC}| = k$. તો $|\vec{AD}| = 3k$ અને $|\vec{AB}| = 5k$.
કારણ કે $\vec{AC}$ એ $\angle A = \frac{2\pi}{3}$ નો દ્વિભાજક છે,$\vec{AB}$ અને $\vec{AC}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\frac{\pi}{3}$ છે,અને $\vec{AD}$ અને $\vec{AC}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\frac{\pi}{3}$ છે.
$\vec{AB}$ અને $\vec{AD}$ ની દિશામાં એકમ સદિશો $\hat{u}$ અને $\hat{v}$ લો.
તેથી,$\vec{AC} = \frac{k}{2\cos(\pi/6)} (\frac{\vec{AB}}{5k} + \frac{\vec{AD}}{3k}) = \frac{1}{\sqrt{3}} (\frac{\vec{AB}}{5} + \frac{\vec{AD}}{3})$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\vec{BC} = \vec{AC} - \vec{AB}$.
ડોટ પ્રોડક્ટના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને,$\vec{AB}$ અને $\vec{BC}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\cos^{-1}\left(\frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{7}}\right)$ મળે છે.

(A) આપેલ છે કે $\bar{a}, \bar{b}, \bar{c}$ એ $\frac{\pi}{3}$ ના ખૂણા ધરાવતા એકમ સદિશો છે.
અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $[\bar{a} \bar{b} \bar{c}] = |\bar{a}| |\bar{b} \times \bar{c}| \cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{3\sqrt{3}}{8}$ થાય છે.
સમીકરણ $x \bar{a} + y \bar{b} + z \bar{c} = p(\bar{b} \times \bar{c}) + q(\bar{c} \times \bar{a}) + r(\bar{a} \times \bar{b})$ માં સદિશોની સંમિતિનો ઉપયોગ કરતા,$x=y=z$ અને $p=q=r$ મળે છે.
આમ,ગુણોત્તર $\frac{x+y+z}{p+q+r} = \frac{3}{4}$ મળે છે.

(B) આપેલ સદિશો $\bar{a} = \bar{i} + 2\bar{j} + 2\bar{k}$ અને $\bar{b} = 2\bar{i} - \bar{j} + p\bar{k}$ છે.
$\bar{a}$ નું માન $|\bar{a}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3$ છે.
$\bar{b}$ નું માન $|\bar{b}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + p^2} = \sqrt{4 + 1 + p^2} = \sqrt{5 + p^2}$ છે.
અદિશ ગુણાકાર $\bar{a} \cdot \bar{b} = (1)(2) + (2)(-1) + (2)(p) = 2 - 2 + 2p = 2p$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\bar{a} \cdot \bar{b} = |\bar{a}| |\bar{b}| \cos(\theta)$,જ્યાં $\theta = 60^{\circ}$ છે.
તેથી,$2p = 3 \times \sqrt{5 + p^2} \times \cos(60^{\circ})$.
$\cos(60^{\circ}) = \frac{1}{2}$ હોવાથી,$2p = 3 \times \sqrt{5 + p^2} \times \frac{1}{2}$.
$4p = 3\sqrt{5 + p^2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$16p^2 = 9(5 + p^2) = 45 + 9p^2$.
$7p^2 = 45 \implies p^2 = \frac{45}{7} \implies p = \sqrt{\frac{45}{7}} = \frac{3\sqrt{5}}{\sqrt{7}}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) સદિશ $\overline{b}$ નો $\overline{a}$ પરનો પ્રક્ષેપ $\frac{\overline{a} \cdot \overline{b}}{|\overline{a}|}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સદિશ $\overline{a}$ નો $\overline{b}$ પરનો પ્રક્ષેપ $\frac{\overline{a} \cdot \overline{b}}{|\overline{b}|}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{\frac{\overline{a} \cdot \overline{b}}{|\overline{a}|}}{\frac{\overline{a} \cdot \overline{b}}{|\overline{b}|}} = \frac{|\overline{b}|}{|\overline{a}|}$ થશે.
પ્રથમ,માન (magnitudes) શોધો:
$|\overline{a}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3$.
$|\overline{b}| = \sqrt{9^2 + 6^2 + (-18)^2} = \sqrt{81 + 36 + 324} = \sqrt{441} = 21$.
છેલ્લે,ગુણોત્તર $\frac{|\overline{b}|}{|\overline{a}|} = \frac{21}{3} = 7$ મળે છે.

(D) આપેલ છે કે $|\bar{a}| = |\bar{b}|$. ધારો કે $|\bar{a}| = |\bar{b}| = k$.
આપેલ સમીકરણ $|\bar{a} + 2\bar{b}| = |2\bar{a} - \bar{b}|$ નો વર્ગ કરતા:
$|\bar{a} + 2\bar{b}|^2 = |2\bar{a} - \bar{b}|^2$
$(\bar{a} + 2\bar{b}) \cdot (\bar{a} + 2\bar{b}) = (2\bar{a} - \bar{b}) \cdot (2\bar{a} - \bar{b})$
$|\bar{a}|^2 + 4|\bar{b}|^2 + 4(\bar{a} \cdot \bar{b}) = 4|\bar{a}|^2 + |\bar{b}|^2 - 4(\bar{a} \cdot \bar{b})$
કારણ કે $|\bar{a}| = |\bar{b}| = k$,કિંમત મૂકતા:
$k^2 + 4k^2 + 4(\bar{a} \cdot \bar{b}) = 4k^2 + k^2 - 4(\bar{a} \cdot \bar{b})$
$5k^2 + 4(\bar{a} \cdot \bar{b}) = 5k^2 - 4(\bar{a} \cdot \bar{b})$
$8(\bar{a} \cdot \bar{b}) = 0$
$\bar{a} \cdot \bar{b} = 0$
આનો અર્થ એ છે કે $\bar{a}$ એ $\bar{b}$ ને લંબ છે.
કારણ કે $\bar{c}$ એ $\bar{a}$ ને સમાંતર છે,તેથી $\bar{b}$ અને $\bar{c}$ વચ્ચેનો ખૂણો એ $\bar{b}$ અને $\bar{a}$ વચ્ચેના ખૂણા જેટલો જ થાય,જે $90^{\circ}$ છે.

(A) ચતુષ્ફલકનું ઘનફળ જેની ધાર $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ હોય તે $V = \frac{1}{6} |[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]|$ દ્વારા મળે છે.
અહીં $\vec{a} = \bar{i}+2 \bar{j}-3 \bar{k}$,$\vec{b} = 2 \bar{i}+\bar{j}-3 \bar{k}$,અને $\vec{c} = 3 \bar{i}-\bar{j}+p \bar{k}$ છે.
અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = \begin{vmatrix} 1 & 2 & -3 \\ 2 & 1 & -3 \\ 3 & -1 & p \end{vmatrix}$ છે.
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા: $1(p-3) - 2(2p+9) - 3(-2-3) = p-3 - 4p-18 + 15 = -3p-6$.
આપેલ ઘનફળ $V = 2$ હોવાથી,$\frac{1}{6} |-3p-6| = 2$.
$|-3p-6| = 12$.
આથી $-3p-6 = 12$ અથવા $-3p-6 = -12$.
કિસ્સો $1$: $-3p = 18 \implies p = -6$.
કિસ્સો $2$: $-3p = -6 \implies p = 2$.
$p$ ની કિંમતો $2$ અને $-6$ છે.
જે સમીકરણના બીજ $2$ અને $-6$ હોય તે $(x-2)(x+6) = 0$ છે.
$x^2+6x-2x-12 = 0 \implies x^2+4x-12 = 0$.

(D) ધારો કે બાજુઓ $\vec{a} = 2\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}$ અને $\vec{b} = 2\sqrt{3}\hat{i} - 2\sqrt{3}\hat{j} + \sqrt{3}\hat{k}$ છે.
માન $|\vec{a}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{4+1+4} = 3$.
માન $|\vec{b}| = \sqrt{(2\sqrt{3})^2 + (-2\sqrt{3})^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{12+12+3} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}$.
ત્રીજી બાજુ $\vec{c} = \vec{b} - \vec{a} = (2\sqrt{3}-2)\hat{i} + (-2\sqrt{3}-1)\hat{j} + (\sqrt{3}+2)\hat{k}$ છે.
માન $|\vec{c}|^2 = (2\sqrt{3}-2)^2 + (-2\sqrt{3}-1)^2 + (\sqrt{3}+2)^2 = 16+13+7 = 36$,તેથી $|\vec{c}| = 6$.
બાજુઓ $3, 3\sqrt{3}, 6$ છે.
પરિમિતિ $= 3 + 3\sqrt{3} + 6 = 9 + 3\sqrt{3}$.
કોસાઇનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,ખૂણો $\cos A = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} = \frac{27+36-9}{2(3\sqrt{3})(6)} = \frac{\sqrt{3}}{2} \implies A = \frac{\pi}{6}$.
સૌથી નાની બાજુ $3$ ની સામેનો ખૂણો લઘુત્તમ હોય છે,જે $\frac{\pi}{6}$ છે.

(A) ધારો કે બિંદુઓ $A, B, C, D$ ના સ્થાન સદિશો અનુક્રમે $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$ છે.
આપેલ છે કે $\vec{a} = \vec{i}+\vec{j}+\vec{k}$.
ત્રિકોણીય ફલક $BCD$ નું મધ્યકેન્દ્ર $\vec{G}_{BCD} = \frac{\vec{b}+\vec{c}+\vec{d}}{3} = \frac{2}{3}(\vec{i}+\vec{j}+\vec{k})$ છે.
તેથી,$\vec{b}+\vec{c}+\vec{d} = 2(\vec{i}+\vec{j}+\vec{k})$.
ચતુષ્ફલક $ABCD$ નું મધ્યકેન્દ્ર $\vec{G} = \frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}+\vec{d}}{4}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$\vec{G} = \frac{(\vec{i}+\vec{j}+\vec{k}) + 2(\vec{i}+\vec{j}+\vec{k})}{4} = \frac{3}{4}(\vec{i}+\vec{j}+\vec{k}) = \frac{3}{4}\vec{i}+\frac{3}{4}\vec{j}+\frac{3}{4}\vec{k}$.
$\alpha \vec{i}+\beta \vec{j}+\gamma \vec{k}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\alpha = \frac{3}{4}, \beta = \frac{3}{4}, \gamma = \frac{3}{4}$ મળે છે.
તેથી $2\alpha+\beta+\gamma = 2(\frac{3}{4}) + \frac{3}{4} + \frac{3}{4} = \frac{6}{4} + \frac{6}{4} = \frac{12}{4} = 3$.

(B) આપેલ છે કે $\bar{a}, \bar{b}, \bar{c}$ એ $K$ માન ધરાવતા પરસ્પર લંબ સદિશો છે,તેથી $\bar{a} \cdot \bar{b} = \bar{b} \cdot \bar{c} = \bar{c} \cdot \bar{a} = 0$ અને $|\bar{a}| = |\bar{b}| = |\bar{c}| = K$,એટલે કે $\bar{a} \cdot \bar{a} = \bar{b} \cdot \bar{b} = \bar{c} \cdot \bar{c} = K^2$.
સદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારના સૂત્ર $\bar{u} \times (\bar{v} \times \bar{w}) = (\bar{u} \cdot \bar{w})\bar{v} - (\bar{u} \cdot \bar{v})\bar{w}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપેલ સમીકરણ નીચે મુજબ બને છે:
$(\bar{a} \cdot \bar{a})(\bar{r}-\bar{b}) - (\bar{a} \cdot (\bar{r}-\bar{b}))\bar{a} + (\bar{b} \cdot \bar{b})(\bar{r}-\bar{c}) - (\bar{b} \cdot (\bar{r}-\bar{c}))\bar{b} + (\bar{c} \cdot \bar{c})(\bar{r}-\bar{a}) - (\bar{c} \cdot (\bar{r}-\bar{a}))\bar{c} = \bar{0}$.
ડોટ પ્રોડક્ટની કિંમતો મૂકતા:
$K^2(\bar{r}-\bar{b}) - (\bar{a} \cdot \bar{r})\bar{a} + K^2(\bar{r}-\bar{c}) - (\bar{b} \cdot \bar{r})\bar{b} + K^2(\bar{r}-\bar{a}) - (\bar{c} \cdot \bar{r})\bar{c} = \bar{0}$.
$3K^2\bar{r} - K^2(\bar{a}+\bar{b}+\bar{c}) - ((\bar{a} \cdot \bar{r})\bar{a} + (\bar{b} \cdot \bar{r})\bar{b} + (\bar{c} \cdot \bar{r})\bar{c}) = \bar{0}$.
કારણ કે $\bar{a}, \bar{b}, \bar{c}$ લંબ છે,કોઈપણ સદિશ $\bar{r}$ ને $\bar{r} = \frac{\bar{a} \cdot \bar{r}}{K^2}\bar{a} + \frac{\bar{b} \cdot \bar{r}}{K^2}\bar{b} + \frac{\bar{c} \cdot \bar{r}}{K^2}\bar{c}$ તરીકે લખી શકાય.
તેથી,$(\bar{a} \cdot \bar{r})\bar{a} + (\bar{b} \cdot \bar{r})\bar{b} + (\bar{c} \cdot \bar{r})\bar{c} = K^2\bar{r}$.
આ કિંમત મૂકતા:
$3K^2\bar{r} - K^2(\bar{a}+\bar{b}+\bar{c}) - K^2\bar{r} = \bar{0}$.
$2K^2\bar{r} = K^2(\bar{a}+\bar{b}+\bar{c})$.
$\bar{r} = \frac{\bar{a}+\bar{b}+\bar{c}}{2}$.

(D) આપેલ છે કે $\bar{a} = \bar{i} - 2\bar{j} - 2\bar{k}$ અને $\bar{b} = 2\bar{i} + \bar{j} + 2\bar{k}$.
આપણે $(\bar{a} + 2\bar{b}) \times (3\bar{a} - \bar{b})$ ની ગણતરી કરવાની છે.
ક્રોસ પ્રોડક્ટના વિભાજનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$(\bar{a} + 2\bar{b}) \times (3\bar{a} - \bar{b}) = \bar{a} \times (3\bar{a}) - \bar{a} \times \bar{b} + (2\bar{b}) \times (3\bar{a}) - (2\bar{b}) \times \bar{b}$.
કારણ કે $\bar{v} \times \bar{v} = 0$,તેથી $\bar{a} \times \bar{a} = 0$ અને $\bar{b} \times \bar{b} = 0$.
તેથી,પદાવલિનું સાદું રૂપ: $0 - (\bar{a} \times \bar{b}) + 6(\bar{b} \times \bar{a}) - 0$.
કારણ કે $\bar{b} \times \bar{a} = -(\bar{a} \times \bar{b})$,આપણને મળે છે:
$-(\bar{a} \times \bar{b}) - 6(\bar{a} \times \bar{b}) = -7(\bar{a} \times \bar{b})$.
હવે,$\bar{a} \times \bar{b} = \begin{vmatrix} \bar{i} & \bar{j} & \bar{k} \\ 1 & -2 & -2 \\ 2 & 1 & 2 \end{vmatrix} = \bar{i}(-4 - (-2)) - \bar{j}(2 - (-4)) + \bar{k}(1 - (-4)) = -2\bar{i} - 6\bar{j} + 5\bar{k}$.
અંતે,$-7(\bar{a} \times \bar{b}) = -7(-2\bar{i} - 6\bar{j} + 5\bar{k}) = 14\bar{i} + 42\bar{j} - 35\bar{k}$.

(C) સદિશ $\bar{a}$ ને લંબ $\bar{b}$ નો ઘટક $\bar{b} - \text{proj}_{\bar{a}} \bar{b} = \bar{b} - \left( \frac{\bar{b} \cdot \bar{a}}{|\bar{a}|^2} \right) \bar{a}$ દ્વારા મળે છે.
પ્રથમ,અદિશ ગુણાકાર $\bar{b} \cdot \bar{a} = (1)(1) + (\sqrt{11})(\sqrt{11}) + (-10)(-2) = 1 + 11 + 20 = 32$ ગણો.
ત્યારબાદ,માનનો વર્ગ $|\bar{a}|^2 = (1)^2 + (\sqrt{11})^2 + (-2)^2 = 1 + 11 + 4 = 16$ ગણો.
હવે,પ્રક્ષેપ શોધો: $\frac{\bar{b} \cdot \bar{a}}{|\bar{a}|^2} \bar{a} = \frac{32}{16} \bar{a} = 2 \bar{a} = 2(\bar{i} + \sqrt{11} \bar{j} - 2 \bar{k}) = 2 \bar{i} + 2\sqrt{11} \bar{j} - 4 \bar{k}$.
અંતે,લંબ ઘટક $\bar{b} - 2 \bar{a} = (\bar{i} + \sqrt{11} \bar{j} - 10 \bar{k}) - (2 \bar{i} + 2\sqrt{11} \bar{j} - 4 \bar{k}) = -\bar{i} - \sqrt{11} \bar{j} - 6 \bar{k} = -(\bar{i} + \sqrt{11} \bar{j} + 6 \bar{k})$ થાય.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) ધારો કે $\bar{r} = x\bar{i} + y\bar{j} + z\bar{k}$.
આપેલ ડોટ પ્રોડક્ટ્સ:
$x + 2y + 3z = 0$ $(1)$
$2x - 3y + z = -2$ $(2)$
$3x + y - 2z = 6$ $(3)$
આ સુરેખ સમીકરણોની સિસ્ટમને ઉકેલતા:
$(1)$ પરથી,$x = -2y - 3z$.
$(2)$ માં મૂકતા: $2(-2y - 3z) - 3y + z = -2 \implies -7y - 5z = -2 \implies 7y + 5z = 2$ $(4)$
$(3)$ માં મૂકતા: $3(-2y - 3z) + y - 2z = 6 \implies -5y - 11z = 6$ $(5)$
$(4)$ ને $5$ વડે અને $(5)$ ને $7$ વડે ગુણતા: $35y + 25z = 10$ અને $-35y - 77z = 42$.
સરવાળો કરતા: $-52z = 52 \implies z = -1$.
$z = -1$ ને $(4)$ માં મૂકતા: $7y - 5 = 2 \implies 7y = 7 \implies y = 1$.
$y = 1, z = -1$ ને $(1)$ માં મૂકતા: $x + 2(1) + 3(-1) = 0 \implies x - 1 = 0 \implies x = 1$.
આમ,$\bar{r} = \bar{i} + \bar{j} - \bar{k}$.
છેલ્લે,$\bar{r} \cdot (3\bar{i} + \bar{j} + \bar{k}) = (1)(3) + (1)(1) + (-1)(1) = 3 + 1 - 1 = 3$.

(B) કારણ કે $\bar{d}$ એ $\bar{a}$ અને $\bar{b}$ બંનેને લંબ છે,તેથી $\bar{d}$ એ $\bar{a} \times \bar{b}$ ને સમાંતર હોવો જોઈએ.
$\bar{a} \times \bar{b} = \begin{vmatrix} \bar{i} & \bar{j} & \bar{k} \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & -2 & -2 \end{vmatrix} = \bar{i}(2+2) - \bar{j}(-2-1) + \bar{k}(-2+1) = 4\bar{i} + 3\bar{j} - \bar{k}$.
ધારો કે $\bar{d} = k(4\bar{i} + 3\bar{j} - \bar{k})$ કોઈ અદિશ $k$ માટે.
આપેલ છે કે $|\bar{d} \times \bar{c}| = 14$. નોંધો કે $\bar{d} \times \bar{c} = k(4\bar{i} + 3\bar{j} - \bar{k}) \times (6\bar{i} + 3\bar{j} - 2\bar{k})$.
$(4\bar{i} + 3\bar{j} - \bar{k}) \times (6\bar{i} + 3\bar{j} - 2\bar{k}) = \begin{vmatrix} \bar{i} & \bar{j} & \bar{k} \\ 4 & 3 & -1 \\ 6 & 3 & -2 \end{vmatrix} = \bar{i}(-6+3) - \bar{j}(-8+6) + \bar{k}(12-18) = -3\bar{i} + 2\bar{j} - 6\bar{k}$.
તેનું માન $\sqrt{(-3)^2 + 2^2 + (-6)^2} = \sqrt{9+4+36} = \sqrt{49} = 7$ છે.
તેથી,$|\bar{d} \times \bar{c}| = |k| \times 7 = 14$,જેનો અર્થ છે કે $|k| = 2$.
હવે,$|\bar{d} \cdot \bar{c}| = |k(4\bar{i} + 3\bar{j} - \bar{k}) \cdot (6\bar{i} + 3\bar{j} - 2\bar{k})| = |k| |24 + 9 + 2| = 2 \times 35 = 70$.

(C) સૌ પ્રથમ,વ્યક્તિગત સદિશોના માન શોધો:
$|\bar{a}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3$.
$|\bar{b}| = \sqrt{6^2 + 3^2 + (-2)^2} = \sqrt{36 + 9 + 4} = \sqrt{49} = 7$.
$|\bar{c}| = \sqrt{(-4)^2 + 3^2 + 12^2} = \sqrt{16 + 9 + 144} = \sqrt{169} = 13$.
માનોનો સરવાળો: $|\bar{a}| + |\bar{b}| + |\bar{c}| = 3 + 7 + 13 = 23$.
ત્યારબાદ,સદિશોનો સરવાળો શોધો:
$\bar{a} + \bar{b} + \bar{c} = (1+6-4)\bar{i} + (-2+3+3)\bar{j} + (2-2+12)\bar{k} = 3\bar{i} + 4\bar{j} + 12\bar{k}$.
પરિણામી સદિશનું માન શોધો:
$|\bar{a} + \bar{b} + \bar{c}| = \sqrt{3^2 + 4^2 + 12^2} = \sqrt{9 + 16 + 144} = \sqrt{169} = 13$.
અંતે,પદાવલિની કિંમત શોધો:
$\sqrt{(|\bar{a}| + |\bar{b}| + |\bar{c}|) + |\bar{a} + \bar{b} + \bar{c}|} = \sqrt{23 + 13} = \sqrt{36} = 6$.

(B) આપેલ છે કે $|\bar{a}| = |\bar{b}| = \sqrt{6}$ અને $\bar{a} \cdot \bar{b} = -1$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\bar{a} \cdot \bar{b} = |\bar{a}| |\bar{b}| \cos(\theta)$.
કિંમતો મૂકતા: $-1 = (\sqrt{6})(\sqrt{6}) \cos(\theta) = 6 \cos(\theta)$.
તેથી,$\cos(\theta) = -\frac{1}{6}$.
કારણ કે $\sin^2(\theta) = 1 - \cos^2(\theta)$,તેથી $\sin^2(\theta) = 1 - (-\frac{1}{6})^2 = 1 - \frac{1}{36} = \frac{35}{36}$.
આમ,$\sin(\theta) = \frac{\sqrt{35}}{6}$.
હવે,$|\bar{a} \times \bar{b}| = |\bar{a}| |\bar{b}| \sin(\theta) = (\sqrt{6})(\sqrt{6}) \sin(\theta) = 6 \sin(\theta)$.
તેથી,$|\bar{a} \times \bar{b}| \sin(\theta) = 6 \sin(\theta) \cdot \sin(\theta) = 6 \sin^2(\theta) = 6 \times \frac{35}{36} = \frac{35}{6}$.

(C) ધારો કે બિંદુઓ $A(-4, 9, k)$,$B(-1, 6, k)$,અને $C(0, 7, 10)$ છે.
બિંદુઓ વચ્ચેના અંતરના વર્ગની ગણતરી કરીએ:
$AB^2 = (-1 - (-4))^2 + (6 - 9)^2 + (k - k)^2 = 3^2 + (-3)^2 + 0^2 = 9 + 9 = 18$.
$BC^2 = (0 - (-1))^2 + (7 - 6)^2 + (10 - k)^2 = 1^2 + 1^2 + (10 - k)^2 = 2 + (10 - k)^2$.
$AC^2 = (0 - (-4))^2 + (7 - 9)^2 + (10 - k)^2 = 4^2 + (-2)^2 + (10 - k)^2 = 20 + (10 - k)^2$.
કાટકોણ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ માટે,બે બાજુઓ સમાન હોવી જોઈએ અને પાયથાગોરસનો પ્રમેય લાગુ પડવો જોઈએ.
કિસ્સો $1$: $AB = BC$.
$18 = 2 + (10 - k)^2 \implies (10 - k)^2 = 16 \implies 10 - k = \pm 4 \implies k = 6$ અથવા $k = 14$.
જો $k = 6$,$AB^2 = 18$,$BC^2 = 18$,$AC^2 = 20 + 16 = 36$. $18 + 18 = 36$ હોવાથી,$AB^2 + BC^2 = AC^2$,તેથી તે કાટકોણ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ છે.
જો $k = 14$,$AB^2 = 18$,$BC^2 = 18$,$AC^2 = 20 + 16 = 36$. $18 + 18 = 36$ હોવાથી,તે કાટકોણ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ છે.
કિસ્સો $2$: $AB = AC$.
$18 = 20 + (10 - k)^2 \implies (10 - k)^2 = -2$,જે અશક્ય છે.
કિસ્સો $3$: $BC = AC$.
$2 + (10 - k)^2 = 20 + (10 - k)^2 \implies 2 = 20$,જે અશક્ય છે.
આમ,$k$ ના $2$ શક્ય મૂલ્યો છે.

(C) ધારો કે $A, B, C, D$ ના સ્થાન સદિશો અનુક્રમે $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$ છે.
આપેલ છે કે $\vec{a} = \bar{i}-2\bar{j}+3\bar{k}$,$\vec{b} = -2\bar{i}+\bar{j}+3\bar{k}$,અને $\vec{c} = 3\bar{i}+2\bar{j}-\bar{k}$.
ફલક $BCD$ નું મધ્યકેન્દ્ર $\vec{g}_{BCD} = \frac{\vec{b}+\vec{c}+\vec{d}}{3} = -\bar{i}+2\bar{j}-3\bar{k}$ છે.
તેથી,$\vec{b}+\vec{c}+\vec{d} = 3(-\bar{i}+2\bar{j}-3\bar{k}) = -3\bar{i}+6\bar{j}-9\bar{k}$.
$\vec{b}$ અને $\vec{c}$ ની કિંમત મૂકતા:
$(-2\bar{i}+\bar{j}+3\bar{k}) + (3\bar{i}+2\bar{j}-\bar{k}) + \vec{d} = -3\bar{i}+6\bar{j}-9\bar{k}$.
$(\bar{i}+3\bar{j}+2\bar{k}) + \vec{d} = -3\bar{i}+6\bar{j}-9\bar{k}$.
$\vec{d} = -4\bar{i}+3\bar{j}-11\bar{k}$.
ચતુષ્ફલકનું મધ્યકેન્દ્ર $G$ એ $\vec{g} = \frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}+\vec{d}}{4}$ છે.
$\vec{g} = \frac{(\bar{i}-2\bar{j}+3\bar{k}) + (-2\bar{i}+\bar{j}+3\bar{k}) + (3\bar{i}+2\bar{j}-\bar{k}) + (-4\bar{i}+3\bar{j}-11\bar{k})}{4} = \frac{-2\bar{i}+4\bar{j}-6\bar{k}}{4} = -0.5\bar{i}+\bar{j}-1.5\bar{k}$.
$GD = |\vec{d} - \vec{g}| = |(-4\bar{i}+3\bar{j}-11\bar{k}) - (-0.5\bar{i}+\bar{j}-1.5\bar{k})| = |-3.5\bar{i}+2\bar{j}-9.5\bar{k}|$.
$GD = \sqrt{(-3.5)^2 + 2^2 + (-9.5)^2} = \sqrt{12.25 + 4 + 90.25} = \sqrt{106.5} = \sqrt{\frac{213}{2}} = \frac{\sqrt{213}}{\sqrt{2}}$.

(D) ધારો કે બિંદુ $P(x, y, z)$ છે.
$XY$-સમતલથી બિંદુ $P(x, y, z)$ નું અંતર $|z|$ છે.
$Z$-અક્ષથી બિંદુ $P(x, y, z)$ નું અંતર $\sqrt{x^2 + y^2}$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$XY$-સમતલથી અંતર એ $Z$-અક્ષથી અંતર કરતા બમણું છે:
$|z| = 2 \sqrt{x^2 + y^2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$z^2 = 4(x^2 + y^2)$.
$z^2 = 4x^2 + 4y^2$.
પદોને ગોઠવતા:
$4x^2 + 4y^2 - z^2 = 0$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) $YZ$ સમતલ $(x=0)$ એ $AB$ નું $2:3$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે. વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,વિભાજન બિંદુનો $x$-યામ $\frac{2(3) + 3(\alpha)}{2+3} = 0$ થાય,જે આપણને $6 + 3\alpha = 0$ આપે છે,તેથી $\alpha = -2$.
$ZX$ સમતલ $(y=0)$ એ $AB$ નું $4:5$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે. વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,વિભાજન બિંદુનો $y$-યામ $\frac{4(\beta) + 5(4)}{4+5} = 0$ થાય,જે આપણને $4\beta + 20 = 0$ આપે છે,તેથી $\beta = -5$.
આપણે બિંદુ $C$ શોધવાનું છે જે $\overline{AB}$ નું $\alpha : \beta = -2 : -5$ એટલે કે $2:5$ ના ગુણોત્તરમાં બહારની તરફ વિભાજન કરે છે.
બહારની તરફ વિભાજન માટેનું સૂત્ર $\left(\frac{mx_2 - nx_1}{m-n}, \frac{my_2 - ny_1}{m-n}, \frac{mz_2 - nz_1}{m-n}\right)$ છે.
$A(-2, 4, 7)$,$B(3, -5, 8)$,$m=2$,અને $n=5$ મૂકતા:
$x = \frac{2(3) - 5(-2)}{2-5} = \frac{6+10}{-3} = -\frac{16}{3}$.
$y = \frac{2(-5) - 5(4)}{2-5} = \frac{-10-20}{-3} = \frac{-30}{-3} = 10$.
$z = \frac{2(8) - 5(7)}{2-5} = \frac{16-35}{-3} = \frac{-19}{-3} = \frac{19}{3}$.
તેથી,બિંદુ $C$ એ $\left(-\frac{16}{3}, 10, \frac{19}{3}\right)$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણો $2l+m-n=0$ $(1)$ અને $l^2-2m^2+n^2=0$ $(2)$ છે.
$(1)$ પરથી,$n = 2l+m$.
$n$ ની કિંમત $(2)$ માં મૂકતા: $l^2 - 2m^2 + (2l+m)^2 = 0$.
$l^2 - 2m^2 + 4l^2 + 4lm + m^2 = 0$.
$5l^2 + 4lm - m^2 = 0$.
$m^2$ વડે ભાગતા: $5(l/m)^2 + 4(l/m) - 1 = 0$.
ધારો કે $x = l/m$,તો $5x^2 + 4x - 1 = 0$.
$(5x-1)(x+1) = 0$,તેથી $x = 1/5$ અથવા $x = -1$.
કિસ્સો $1$: $l/m = 1/5 \implies m = 5l$. તો $n = 2l + 5l = 7l$. દિકગુણોત્તર $(1, 5, 7)$ છે.
કિસ્સો $2$: $l/m = -1 \implies m = -l$. તો $n = 2l - l = l$. દિકગુણોત્તર $(1, -1, 1)$ છે.
બે રેખાઓના દિકગુણોત્તર $\vec{a} = (1, 5, 7)$ અને $\vec{b} = (1, -1, 1)$ છે.
$\cos \theta = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{a}| |\vec{b}|} = \frac{|(1)(1) + (5)(-1) + (7)(1)|}{\sqrt{1^2+5^2+7^2} \sqrt{1^2+(-1)^2+1^2}} = \frac{|1-5+7|}{\sqrt{75} \sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{225}} = \frac{3}{15} = \frac{1}{5}$.

(A) રેખા $L$ એ બે સમતલો $P_1: 3x + 4y + 7z = 1$ અને $P_2: x - y + z = 5$ ની છેદરેખા છે.
આ સમતલોના અભિલંબ સદિશો $\vec{n_1} = (3, 4, 7)$ અને $\vec{n_2} = (1, -1, 1)$ છે.
રેખા $L$ નો દિશા સદિશ $\vec{v}$ એ બંને અભિલંબ સદિશોને લંબ હોય છે,તેથી $\vec{v} = \vec{n_1} \times \vec{n_2}$.
$\vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 4 & 7 \\ 1 & -1 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(4 - (-7)) - \hat{j}(3 - 7) + \hat{k}(-3 - 4) = 11\hat{i} + 4\hat{j} - 7\hat{k}$.
આમ,દિકગુણોત્તરો $(11, 4, -7)$ છે.

(A) સમતલ $\pi_1$ નો લંબ સદિશ $\bar{n}_1 = (\bar{i}+\bar{j}) \times (\bar{i}+\bar{k}) = \bar{i}-\bar{j}-\bar{k}$ છે.
સમતલ $\pi_2$ નો લંબ સદિશ $\bar{n}_2 = (\bar{j}-\bar{k}) \times (\bar{k}-\bar{i}) = \bar{i}+\bar{j}+\bar{k}$ છે.
સદિશ $\bar{a}$ એ છેદરેખાને સમાંતર હોવાથી,$\bar{a} = \bar{n}_1 \times \bar{n}_2 = (\bar{i}-\bar{j}-\bar{k}) \times (\bar{i}+\bar{j}+\bar{k}) = -2\bar{j} + 2\bar{k}$ મળે.
આપણે $\bar{a} = -\bar{j} + \bar{k}$ લઈ શકીએ.
$\bar{b} = \bar{i}+\bar{j}-\bar{k}$ આપેલ છે.
$\cos \theta = \frac{\bar{a} \cdot \bar{b}}{|\bar{a}| |\bar{b}|} = \frac{-2}{\sqrt{2} \sqrt{3}} = -\sqrt{\frac{2}{3}}$.
વિકલ્પોને ધ્યાનમાં લેતા,સાચો જવાબ વિકલ્પ $A$ છે.

(A) ધારો કે રેખાના દિશા ખૂણાઓ $\alpha = 60^{\circ}$,$\beta = 45^{\circ}$ અને $\gamma = \theta$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે રેખાના દિશા કોસાઇનના વર્ગોનો સરવાળો $1$ થાય છે,જે સૂત્ર $\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા,આપણને $\cos^2 60^{\circ} + \cos^2 45^{\circ} + \cos^2 \theta = 1$ મળે છે.
કારણ કે $\cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$ અને $\cos 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$,તેથી $(\frac{1}{2})^2 + (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 + \cos^2 \theta = 1$.
$\frac{1}{4} + \frac{1}{2} + \cos^2 \theta = 1$.
$\frac{3}{4} + \cos^2 \theta = 1$.
$\cos^2 \theta = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$.
$\theta$ લઘુકોણ હોવાથી,$\cos \theta = \frac{1}{2}$.
આમ,$\theta = 60^{\circ}$.
તેથી,$\tan \theta = \tan 60^{\circ} = \sqrt{3}$.

(C) ધારો કે ઘનના શિરોબિંદુઓ $(0,0,0), (a,0,0), (0,a,0), (0,0,a), (a,a,0), (a,0,a), (0,a,a), (a,a,a)$ છે.
ઘનના બે વિકર્ણો ધ્યાનમાં લો,ઉદાહરણ તરીકે,સદિશો $\vec{d_1} = (a,a,a)$ અને $\vec{d_2} = (-a,a,a)$.
તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $\alpha$ એ $\cos \alpha = \frac{\vec{d_1} \cdot \vec{d_2}}{|\vec{d_1}| |\vec{d_2}|} = \frac{-a^2+a^2+a^2}{3a^2} = \frac{1}{3}$ દ્વારા મળે છે.
હવે,ઘનનો એક વિકર્ણ $\vec{d_1} = (a,a,a)$ અને તેને છેદતો ફલકનો વિકર્ણ $\vec{f} = (a,a,0)$ ધ્યાનમાં લો.
તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $\beta$ એ $\cos \beta = \frac{\vec{d_1} \cdot \vec{f}}{|\vec{d_1}| |\vec{f}|} = \frac{a^2+a^2+0}{\sqrt{3a^2} \sqrt{2a^2}} = \frac{2a^2}{a^2\sqrt{6}} = \sqrt{\frac{2}{3}}$ દ્વારા મળે છે.
આમ,$\cos^2 \beta = \frac{2}{3}$.
અંતે,$\cos \alpha + \cos^2 \beta = \frac{1}{3} + \frac{2}{3} = 1$.

(A) સમતલો $ax - y + 3z = 2a$ અને $3x + ay + z = 3a$ ના અભિલંબ સદિશો અનુક્રમે $\vec{n_1} = (a, -1, 3)$ અને $\vec{n_2} = (3, a, 1)$ છે.
આપેલ છે કે સમતલો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = \frac{\pi}{3}$ છે,તેથી $\cos \theta = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2}|}$.
$\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{|3a - a + 3|}{\sqrt{a^2 + (-1)^2 + 3^2} \sqrt{3^2 + a^2 + 1^2}} = \frac{1}{2}$.
$\frac{|2a + 3|}{\sqrt{a^2 + 10} \sqrt{a^2 + 10}} = \frac{1}{2} \implies \frac{|2a + 3|}{a^2 + 10} = \frac{1}{2}$.
$2|2a + 3| = a^2 + 10$.
કિસ્સો $1$: $4a + 6 = a^2 + 10 \implies a^2 - 4a + 4 = 0 \implies (a - 2)^2 = 0 \implies a = 2$.
કિસ્સો $2$: $-4a - 6 = a^2 + 10 \implies a^2 + 4a + 16 = 0$,જેના કોઈ વાસ્તવિક ઉકેલ નથી.
આમ,$a = 2$.
સમતલનું સમીકરણ $(2+2)x + (2-4)y + 2(2)z = 2$ એટલે કે $4x - 2y + 4z = 2$ અથવા $2x - y + 2z = 1$ બને છે.
આ સમતલના અભિલંબના દિકગુણોત્તરો $(2, -1, 2)$ છે.

(A) $x$-અક્ષના દિક્-ગુણોત્તર $(1, 0, 0)$ છે. $x$-અક્ષની દિશામાં એકમ સદિશ $\hat{a} = (1, 0, 0)$ છે.
આપેલ રેખાના દિક્-ગુણોત્તર $(3, -1, 5)$ છે. તેનું માન $\sqrt{3^2 + (-1)^2 + 5^2} = \sqrt{9 + 1 + 25} = \sqrt{35}$ છે.
આ રેખાની દિશામાં એકમ સદિશ $\hat{b} = (\frac{3}{\sqrt{35}}, -\frac{1}{\sqrt{35}}, \frac{5}{\sqrt{35}})$ છે.
બે એકમ સદિશો $\hat{a}$ અને $\hat{b}$ ના ખૂણાના દ્વિભાજક સદિશ $\hat{a} + \hat{b}$ દ્વારા મળે છે.
$\hat{a} + \hat{b} = (1 + \frac{3}{\sqrt{35}}, 0 - \frac{1}{\sqrt{35}}, 0 + \frac{5}{\sqrt{35}}) = (\frac{\sqrt{35}+3}{\sqrt{35}}, -\frac{1}{\sqrt{35}}, \frac{5}{\sqrt{35}})$.
$\sqrt{35}$ વડે ગુણતા,દિક્-ગુણોત્તર $(\sqrt{35}+3, -1, 5)$ મળે છે.

(B) બે રેખાઓ $\overline{r} = \overline{a_1} + t\overline{b_1}$ અને $\overline{r} = \overline{a_2} + s\overline{b_2}$ વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર $d = \frac{|(\overline{a_2} - \overline{a_1}) \cdot (\overline{b_1} \times \overline{b_2})|}{||\overline{b_1} \times \overline{b_2}||}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં,$\overline{a_1} = 3\bar{i} - 5\bar{j} + 2\bar{k}$,$\overline{b_1} = 4\bar{i} + 3\bar{j} - \bar{k}$,$\overline{a_2} = \bar{i} + 2\bar{j} - 4\bar{k}$,અને $\overline{b_2} = 6\bar{i} + 3\bar{j} - 2\bar{k}$ છે.
પ્રથમ,$\overline{a_2} - \overline{a_1} = -2\bar{i} + 7\bar{j} - 6\bar{k}$ શોધો.
ત્યારબાદ,સદિશ ગુણાકાર $\overline{b_1} \times \overline{b_2} = \begin{vmatrix} \bar{i} & \bar{j} & \bar{k} \\ 4 & 3 & -1 \\ 6 & 3 & -2 \end{vmatrix} = -3\bar{i} + 2\bar{j} - 6\bar{k}$ શોધો.
તેનું માન $||\overline{b_1} \times \overline{b_2}|| = \sqrt{9 + 4 + 36} = 7$ છે.
અદિશ ગુણાકાર $(\overline{a_2} - \overline{a_1}) \cdot (\overline{b_1} \times \overline{b_2}) = 6 + 14 + 36 = 56$ છે.
તેથી,$d = \frac{56}{7} = 8$.

(B) પ્રથમ,અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને બાજુઓ $AB$ અને $AC$ ની લંબાઈ શોધો:
$AB = \sqrt{(1-0)^2 + (5-3)^2 + (6-4)^2} = \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{1+4+4} = \sqrt{9} = 3$.
$AC = \sqrt{(-2-0)^2 + (0-3)^2 + (-2-4)^2} = \sqrt{(-2)^2 + (-3)^2 + (-6)^2} = \sqrt{4+9+36} = \sqrt{49} = 7$.
ખૂણા દ્વિભાજક પ્રમેય મુજબ,$\angle A$ નો દ્વિભાજક બાજુ $BC$ ને $AB:AC = 3:7$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે.
આમ,$D$ ના યામ વિભાજન સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$D = \left( \frac{3(-2) + 7(1)}{3+7}, \frac{3(0) + 7(5)}{3+7}, \frac{3(-2) + 7(6)}{3+7} \right) = \left( \frac{-6+7}{10}, \frac{0+35}{10}, \frac{-6+42}{10} \right) = \left( \frac{1}{10}, \frac{35}{10}, \frac{36}{10} \right) = (0.1, 3.5, 3.6)$.
હવે,$AD$ ની લંબાઈ શોધો:
$AD = \sqrt{(0.1-0)^2 + (3.5-3)^2 + (3.6-4)^2} = \sqrt{(0.1)^2 + (0.5)^2 + (-0.4)^2} = \sqrt{0.01 + 0.25 + 0.16} = \sqrt{0.42} = \sqrt{\frac{42}{100}} = \frac{\sqrt{42}}{10}$.

(B) રેખા બિંદુઓ $A(2, -1, 1)$ અને $B(1, 1, -2)$ માંથી પસાર થાય છે. રેખાનો દિશા સદિશ $\vec{v} = (1-2, 1-(-1), -2-1) = (-1, 2, -3)$ છે.
રેખાનું સમીકરણ $\frac{x-2}{-1} = \frac{y+1}{2} = \frac{z-1}{-3} = k$ છે.
રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $(\alpha, \beta, \gamma) = (2-k, -1+2k, 1-3k)$ દ્વારા દર્શાવી શકાય છે.
સદિશ $\vec{PQ} = (\alpha - (-1), \beta - 2, \gamma - (-1)) = (3-k, -3+2k, 2-3k)$ એ રેખાની દિશા $\vec{v} = (-1, 2, -3)$ ને લંબ હોવો જોઈએ.
તેથી,$\vec{PQ} \cdot \vec{v} = 0 \implies -1(3-k) + 2(-3+2k) - 3(2-3k) = 0$.
$-3 + k - 6 + 4k - 6 + 9k = 0 \implies 14k - 15 = 0 \implies k = \frac{15}{14}$.
$k$ ની કિંમત મૂકતા: $\alpha = 2 - \frac{15}{14} = \frac{13}{14}$,$\beta = -1 + 2(\frac{15}{14}) = \frac{16}{14}$,$\gamma = 1 - 3(\frac{15}{14}) = -\frac{31}{14}$.
$\alpha + \beta + \gamma = \frac{13+16-31}{14} = -\frac{2}{14} = -\frac{1}{7}$.

(C) સમતલ $\pi_1$ નો અભિલંબ સદિશ $\bar{n}_1 = (\bar{i}+\bar{j}) \times (\bar{i}+2\bar{j}) = \bar{k}$ છે.
સમતલ $\pi_2$ નો અભિલંબ સદિશ $\bar{n}_2 = (2\bar{i}-\bar{j}) \times (3\bar{i}+2\bar{k}) = -2\bar{i}-4\bar{j}+3\bar{k}$ છે.
છેદરેખાને સમાંતર સદિશ $\bar{a} = \bar{n}_1 \times \bar{n}_2 = \bar{k} \times (-2\bar{i}-4\bar{j}+3\bar{k}) = 4\bar{i}-2\bar{j}$ છે.
ધારો કે $\bar{b} = \bar{i}-2\bar{j}+2\bar{k}$.
$\bar{a}$ અને $\bar{b}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ માટે $\cos \theta = \frac{|\bar{a} \cdot \bar{b}|}{|\bar{a}| |\bar{b}|}$ થાય.
$\bar{a} \cdot \bar{b} = (4)(1) + (-2)(-2) + (0)(2) = 8$.
$|\bar{a}| = \sqrt{16+4} = 2\sqrt{5}$ અને $|\bar{b}| = \sqrt{1+4+4} = 3$.
$\cos \theta = \frac{8}{6\sqrt{5}} = \frac{4}{3\sqrt{5}}$.
તેથી,$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{4}{3\sqrt{5}}\right)$.

(B) વિધાન $(A)$ માટે: રેખાઓ $\bar{r}=\bar{a}+t\bar{b}$ અને $\bar{r}=\bar{b}+s\bar{a}$ છે. આ રેખાઓ અનુક્રમે $\bar{a}$ અને $\bar{b}$ સ્થાન સદિશ ધરાવતા બિંદુઓમાંથી પસાર થાય છે અને $\bar{b}$ અને $\bar{a}$ સદિશોને સમાંતર છે. બંને રેખાઓ $\bar{a}+\bar{b}$ સ્થાન સદિશ ધરાવતા બિંદુમાંથી પસાર થાય છે (પ્રથમમાં $t=1$ અને બીજામાં $s=1$ મૂકતા),તેથી તેઓ છેદે છે. આમ,$(A)$ સાચું છે.
કારણ $(R)$ માટે: બે વિષમતલીય રેખાઓ $\bar{r}=\bar{p}+t\bar{q}$ અને $\bar{r}=\bar{c}+s\bar{d}$ વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર $d = \frac{|(\bar{p}-\bar{c}) \cdot (\bar{q} \times \bar{d})|}{|\bar{q} \times \bar{d}|}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે. આ ખરેખર સદિશ $(\bar{p}-\bar{c})$ નો સદિશ $(\bar{q} \times \bar{d})$ પરના પ્રક્ષેપની લંબાઈ છે. આમ,$(R)$ સાચું છે.
જોકે,$(A)$ માં રેખાઓનું છેદવું એ આ રેખાઓનો વિશિષ્ટ ગુણધર્મ છે,જ્યારે $(R)$ એ વિષમતલીય રેખાઓ વચ્ચેના લઘુત્તમ અંતર માટેનું સામાન્ય સૂત્ર આપે છે. તેથી,$(R)$ એ $(A)$ ની સાચી સમજૂતી નથી.
સાચો વિકલ્પ $(B)$ છે.

(C) ધારો કે બિંદુઓ $A(2,1,2)$ અને $B(1,2,1)$ છે. સદિશ $\vec{AB} = (1-2)\hat{i} + (2-1)\hat{j} + (1-2)\hat{k} = -\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$ છે.
આપેલ સમતલ $2x - y + 2z = 1$ નો અભિલંબ સદિશ $\vec{n_1} = 2\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$ છે.
જરૂરી સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n}$ એ $\vec{AB}$ અને $\vec{n_1}$ બંનેને લંબ છે.
$\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{n_1} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -1 & 1 & -1 \\ 2 & -1 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(2-1) - \hat{j}(-2+2) + \hat{k}(1-2) = \hat{i} - \hat{k}$.
સમતલનું સમીકરણ $1(x-2) + 0(y-1) - 1(z-2) = 0$ છે,જેનું સાદું રૂપ $x - z = 0$ થાય છે.
આને $ax + by + cz + d = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a=1, b=0, c=-1, d=0$ મળે છે.
તેથી,$\frac{a+b}{c+d} = \frac{1+0}{-1+0} = -1$.