TS EAMCET 2025 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(C) ધારો કે ગોળાનું કેન્દ્ર ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ છે.
ગોળાની ત્રિજ્યા $R_s = 10 \ cm$ છે.
ગોળો નળાકાર સાથે સંપર્કમાં છે,તેથી નળાકારનું કેન્દ્ર ગોળાના કેન્દ્રથી $R_s + L/2$ અંતરે છે,જ્યાં $L = 40 \ cm$ એ નળાકારની લંબાઈ છે.
ગોળાના કેન્દ્રથી નળાકારના કેન્દ્રનું અંતર,$x_c = 10 \ cm + 20 \ cm = 30 \ cm$.
ગોળાનું દળ,$m_s = 0.5 \ kg$.
નળાકારનું દળ,$m_c = 2 \ kg$.
ગોળાના કેન્દ્રથી સિસ્ટમનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $X_{cm}$ નીચે મુજબ મળે છે:
$X_{cm} = \frac{m_s \cdot x_s + m_c \cdot x_c}{m_s + m_c}$
$X_{cm} = \frac{0.5 \cdot 0 + 2 \cdot 30}{0.5 + 2}$
$X_{cm} = \frac{60}{2.5} = 24 \ cm$.

(D) ધારો કે અથડામણ પછી $m$ અને $2m$ દળ ધરાવતા પદાર્થોના વેગ અનુક્રમે $v_1$ અને $v_2$ છે.
રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $mv + (2m)(0) = mv_1 + 2mv_2$,જેનું સાદું રૂપ $v = v_1 + 2v_2$ (સમીકરણ $1$) થાય છે.
પ્રત્યવસ્થાન ગુણાંક $e$ ની વ્યાખ્યા મુજબ $e = \frac{v_2 - v_1}{u_1 - u_2}$ છે.
અહીં $u_1 = v$ અને $u_2 = 0$ આપેલ છે,તેથી $e = \frac{v_2 - v_1}{v}$,જેનો અર્થ છે કે $v_1 = v_2 - ev$ (સમીકરણ $2$).
સમીકરણ $2$ ને સમીકરણ $1$ માં મૂકતા: $v = (v_2 - ev) + 2v_2$.
$v(1+e) = 3v_2$,તેથી $v_2 = \frac{v(1+e)}{3}$.
હવે,$v_2$ ની કિંમત સમીકરણ $2$ માં મૂકતા: $v_1 = \frac{v(1+e)}{3} - ev = \frac{v + ev - 3ev}{3} = \frac{v(1-2e)}{3}$.
વેગનો ગુણોત્તર $v_1/v_2 = \frac{v(1-2e)/3}{v(1+e)/3} = \frac{1-2e}{1+e}$ થાય છે.

(D) જ્યારે એક દડાને $H$ ઊંચાઈએથી છોડવામાં આવે અને પ્રત્યવસ્થાન ગુણાંક $e$ હોય,ત્યારે પ્રથમ ઉછાળા પછી પ્રાપ્ત થતી ઊંચાઈ $h_1 = e^2 H$,બીજા ઉછાળા પછી $h_2 = e^4 H$ વગેરે થાય છે.
દડા દ્વારા કાપવામાં આવેલું કુલ અંતર $D$ એ પ્રારંભિક પતન અને અનંત ઉછાળાઓ (ઉપર અને નીચે) ના સરવાળા જેટલું હોય છે:
$D = H + 2h_1 + 2h_2 + 2h_3 + ...$
$D = H + 2(e^2 H + e^4 H + e^6 H + ...)$
$D = H + 2e^2 H (1 + e^2 + e^4 + ...)$
અનંત ભૂમિતિ શ્રેણીના સરવાળાના સૂત્ર $S = \frac{a}{1-r}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $a = 1$ અને $r = e^2$:
$D = H + 2e^2 H \left( \frac{1}{1 - e^2} \right)$
$D = H \left( 1 + \frac{2e^2}{1 - e^2} \right) = H \left( \frac{1 - e^2 + 2e^2}{1 - e^2} \right) = H \left( \frac{1 + e^2}{1 - e^2} \right)$
અહીં $H = 42 \ m$ અને $e = 0.4$ આપેલ છે:
$e^2 = (0.4)^2 = 0.16$
$D = 42 \times \left( \frac{1 + 0.16}{1 - 0.16} \right) = 42 \times \left( \frac{1.16}{0.84} \right)$
$D = 42 \times \frac{116}{84} = 42 \times \frac{116}{2 \times 42} = \frac{116}{2} = 58 \ m$.

(B) સાચી જોડી નીચે મુજબ છે:
$A$. સ્ટીમ એન્જિન $\text{થર્મોડાયનેમિક્સના}$ $\text{નિયમો}$ $(II)$ પર કાર્ય કરે છે.
$B$. ઇલેક્ટ્રોન માઇક્રોસ્કોપ $\text{ઇલેક્ટ્રોનની}$ $\text{તરંગ}$ $\text{પ્રકૃતિ}$ $(III)$ નો ઉપયોગ કરે છે.
$C$. નોન-રિફ્લેક્ટિંગ કોટિંગ્સ $\text{પ્રકાશના}$ $\text{વ્યતિકરણ}$ $(IV)$ પર આધારિત છે.
$D$. ટોકામેક $\text{પ્લાઝ્માના}$ $\text{ચુંબકીય}$ $\text{નિયંત્રણ}$ $(I)$ નો ઉપયોગ કરે છે.
તેથી, સાચો ક્રમ $A-II, B-III, C-IV, D-I$ છે.

(C) સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g'}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$g'$ એ પૃથ્વીની સપાટીથી $h$ ઊંચાઈએ ગુરુત્વપ્રવેગ છે,જે $g' = g (\frac{R_E}{R_E + h} )^2$ છે.
તેથી,$T \propto \frac{1}{\sqrt{g'}} \propto \frac{R_E + h}{R_E}$.
ઊંચાઈ $h_1 = 2 R_E$ પર,આવર્તકાળ $T_1 \propto \frac{R_E + 2 R_E}{R_E} = \frac{3 R_E}{R_E} = 3$ છે.
ઊંચાઈ $h_2 = 3 R_E$ પર,આવર્તકાળ $T_2 \propto \frac{R_E + 3 R_E}{R_E} = \frac{4 R_E}{R_E} = 4$ છે.
આવર્તકાળનો ગુણોત્તર $\frac{T_1}{T_2} = \frac{3}{4}$ અથવા $3: 4$ થાય છે.

(C) $\text{ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા, સપાટી પરની કુલ ઉર્જા એ મહત્તમ ઊંચાઈ } h \text{ પરની કુલ ઉર્જા જેટલી હોય છે.}$
$\text{સપાટી પર: } E_i = K_i + U_i = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{R}$
$\text{મહત્તમ ઊંચાઈ પર: } E_f = K_f + U_f = 0 - \frac{GMm}{R+h}$
$E_i = E_f \text{ ને સરખાવતા: } \frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{R} = - \frac{GMm}{R+h}$
$m \text{ વડે ભાગતા અને } GM = gR^2 \text{ નો ઉપયોગ કરતા: } \frac{v^2}{2} - gR = - \frac{gR^2}{R+h}$
$\text{ગોઠવણી કરતા: } \frac{gR^2}{R+h} = gR - \frac{v^2}{2} = gR(1 - \frac{v^2}{2gR})$
$\frac{R}{R+h} = 1 - \frac{v^2}{2gR} = 1 - \frac{(8000)^2}{2 \times 10 \times 6400 \times 10^3} = 1 - \frac{64 \times 10^6}{128 \times 10^6} = 1 - 0.5 = 0.5$
$\frac{R}{R+h} = 0.5 \implies R+h = 2R \implies h = R$
$\text{કારણ કે } R = 6400 \,km, \text{ તેથી મહત્તમ ઊંચાઈ } h = 6400 \,km \text{ થાય.}$

(A) ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ, પૃથ્વીની સપાટી પરની કુલ ઉર્જા અનંત અંતરે રહેલી કુલ ઉર્જા જેટલી હોવી જોઈએ.
ધારો કે પદાર્થનું દળ $m$ છે અને પૃથ્વીનું દળ $M$ છે.
પ્રારંભિક ઝડપ $v = \sqrt{5} V_{e}$ છે, જ્યાં $V_{e} = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$.
કુલ પ્રારંભિક ઉર્જા $E_{i} = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{R}$.
$v = \sqrt{5} V_{e}$ મૂકતા, આપણને મળે $E_{i} = \frac{1}{2}m(5 V_{e}^2) - \frac{GMm}{R} = \frac{5}{2}m(\frac{2GM}{R}) - \frac{GMm}{R} = \frac{5GMm}{R} - \frac{GMm}{R} = \frac{4GMm}{R}$.
અનંત અંતરે, સ્થિતિ ઉર્જા $0$ છે. ધારો કે અંતિમ ઝડપ $v_{f}$ છે.
કુલ અંતિમ ઉર્જા $E_{f} = \frac{1}{2}mv_{f}^2 + 0$.
$E_{i} = E_{f}$ સરખાવતા, આપણને મળે $\frac{4GMm}{R} = \frac{1}{2}mv_{f}^2$.
$v_{f}^2 = \frac{8GM}{R} = 4 \times (\frac{2GM}{R}) = 4 V_{e}^2$.
તેથી, $v_{f} = 2 V_{e}$.

(A) ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,અનંત અંતરે ઉલ્કાપિંડની કુલ ઉર્જા અને પૃથ્વીની સપાટી પરની કુલ ઉર્જા સમાન હોય છે.
અનંત અંતરે સ્થિતિ ઉર્જા $0$ છે અને ગતિ ઉર્જા $\frac{1}{2}mv^2$ છે.
પૃથ્વીની સપાટી પર સ્થિતિ ઉર્જા $-\frac{GMm}{R}$ છે અને ગતિ ઉર્જા $\frac{1}{2}mv_f^2$ છે,જ્યાં $v_f$ એ અંતિમ ઝડપ છે.
તેથી,$\frac{1}{2}mv^2 + 0 = \frac{1}{2}mv_f^2 - \frac{GMm}{R}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે નિષ્ક્રમણ ઝડપ $v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$,જેનો અર્થ છે કે $v_e^2 = \frac{2GM}{R}$,અથવા $\frac{GM}{R} = \frac{v_e^2}{2}$.
આ કિંમતને ઉર્જાના સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}mv_f^2 - m(\frac{v_e^2}{2})$.
$\frac{m}{2}$ વડે ભાગતા આપણને $v^2 = v_f^2 - v_e^2$ મળે છે.
તેથી,$v_f^2 = v^2 + v_e^2$,જેનો અર્થ છે કે $v_f = \sqrt{v^2 + v_e^2}$.

(A) પૃથ્વીના કેન્દ્રથી $r$ અંતરે રહેલા ઉપગ્રહની કક્ષીય ઝડપ $v_0 = \sqrt{\frac{GM}{r}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પૃથ્વીની સપાટીની નજીકના પદાર્થ માટે,$r_1 = R = 6400 \ km$,તેથી $v_1 = \sqrt{\frac{GM}{R}} = 8 \ km s^{-1}$.
$h = 19,200 \ km$ ની ઊંચાઈએ રહેલા પદાર્થ માટે,કેન્દ્રથી અંતર $r_2 = R + h = 6400 + 19,200 = 25,600 \ km$ થાય.
આ ઊંચાઈએ કક્ષીય ઝડપ $v_2 = \sqrt{\frac{GM}{r_2}}$ છે.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{R}{r_2}} = \sqrt{\frac{6400}{25600}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$.
તેથી,$v_2 = \frac{v_1}{2} = \frac{8 \ km s^{-1}}{2} = 4 \ km s^{-1}$.

(A) ન્યુટનના સાર્વત્રિક ગુરુત્વાકર્ષણના નિયમ અનુસાર,બ્રહ્માંડનો દરેક પદાર્થ બીજા દરેક પદાર્થને એક એવા બળથી આકર્ષે છે જે તેમના દળના ગુણાકારના સમપ્રમાણમાં અને તેમની વચ્ચેના અંતરના વર્ગના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે.
કોઈપણ બે પદાર્થો વચ્ચે તેમના દળને કારણે લાગતા આ પરસ્પર આકર્ષણ બળને ગુરુત્વાકર્ષણ બળ કહેવામાં આવે છે.

(C) બે બિંદુવત દ્રવ્યમાન વચ્ચેનું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ ન્યૂટનના ગુરુત્વાકર્ષણના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે,$F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}$.
$1$. તે એક સંરક્ષી બળ છે,જેનો અર્થ છે કે તેના દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય માર્ગ પર આધારિત નથી.
$2$. બે દ્રવ્યમાન વચ્ચે તે હંમેશા આકર્ષી બળ હોય છે.
$3$. તે એક કેન્દ્રીય બળ છે,કારણ કે તે બે પદાર્થોના કેન્દ્રોને જોડતી રેખા પર કાર્ય કરે છે.
$4$. તે બિન-સંપર્ક બળ (અથવા અંતર પર કાર્ય કરતું બળ) છે,જેનો અર્થ છે કે તેને પદાર્થો વચ્ચે ભૌતિક સંપર્કની જરૂર નથી.
તેથી,'કેન્દ્રીય બળ નથી' તે વિધાન ખોટું છે.

(B) એકપરમાણ્વીય વાયુ માટે,$\text{મુક્તિના અંશો (degrees of freedom)}$ $f = 3$ છે.
અચળ કદે મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_V = \frac{f}{2}R = \frac{3}{2}R$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અચળ દબાણે મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_P = C_V + R = \frac{3}{2}R + R = \frac{5}{2}R$ છે.
આપેલ છે કે $R = 8.3 \,J \,mol^{-1} \,K^{-1}$.
$R$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને મળે છે $C_P = \frac{5}{2} \times 8.3 = 2.5 \times 8.3 = 20.75 \,J \,mol^{-1} \,K^{-1}$.

(D) $1$. દરેક વાયુ માટે મોલની સંખ્યા $(n)$ ગણો:
$n_{O_2} = \frac{64 \ g}{32 \ g/mol} = 2 \ mol$
$n_{N_2} = \frac{28 \ g}{28 \ g/mol} = 1 \ mol$
$n_{CO_2} = \frac{132 \ g}{44 \ g/mol} = 3 \ mol$
$2$. શરૂઆતમાં કુલ મોલની સંખ્યા $n_{total} = 2 + 1 + 3 = 6 \ mol$ છે.
$3$. આદર્શ વાયુ સમીકરણ મુજબ,$PV = nRT$. અહીં $V, R, T$ અચળ હોવાથી,$P \propto n$ થાય.
$4$. તેથી,$P = k \times 6$,જ્યાં $k$ અચળાંક છે.
$5$. ઓક્સિજન દૂર કર્યા પછી,બાકી રહેલા મોલ $n_{remaining} = 1 (N_2) + 3 (CO_2) = 4 \ mol$ છે.
$6$. નવું દબાણ $P'$ એ $P' = k \times 4$ થશે.
$7$. ગુણોત્તર લેતા: $\frac{P'}{P} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.
$8$. આમ,$P' = \frac{2 P}{3}$.

(C) વાયુના અણુની સરેરાશ સ્થાનાંતરીય ગતિઊર્જા $(K_{avg})$ નું સૂત્ર $K_{avg} = \frac{3}{2} k_B T$ છે,જ્યાં $k_B$ એ બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે અને $T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
હાઇડ્રોજન અને ઓક્સિજન બંને માટે તાપમાન $T$ સમાન હોવાથી,સરેરાશ સ્થાનાંતરીય ગતિઊર્જા માત્ર તાપમાન પર આધાર રાખે છે.
તેથી,હાઇડ્રોજન અને ઓક્સિજનની સરેરાશ સ્થાનાંતરીય ગતિઊર્જાનો ગુણોત્તર $1: 1$ છે.

(C) વાયુની rms ઝડપનું સૂત્ર $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ છે.
અહીં $v_{rms} \propto \sqrt{T}$ હોવાથી,જો ઝડપ $v$ થી વધીને $\sqrt{3}v$ થાય,તો તાપમાન $T_1$ થી વધીને $T_2$ થાય છે,જ્યાં $\frac{v_{rms2}}{v_{rms1}} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}} = \sqrt{3}$.
તેથી,$\frac{T_2}{T_1} = 3$,જેનો અર્થ છે કે $T_2 = 3T_1$.
અચળ કદ પર દ્વિપરમાણ્વીય વાયુ માટે જરૂરી ઉષ્મા $Q = n C_v \Delta T$ છે.
દ્વિપરમાણ્વીય વાયુ માટે મુક્તિના અંશો $f = 5$ છે,તેથી $C_v = \frac{5}{2}R$.
આપેલ છે કે $n = 4 \ mol$,$Q = 83.1 \ kJ = 83100 \ J$,અને $R = 8.31 \ J \ mol^{-1} \ K^{-1}$.
કિંમતો મૂકતા: $83100 = 4 \times \frac{5}{2} \times 8.31 \times (3T_1 - T_1)$.
$83100 = 10 \times 8.31 \times 2T_1$.
$83100 = 166.2 \times T_1$.
$T_1 = \frac{83100}{166.2} = 500 \ K$.
સેલ્સિયસમાં ફેરવતા: $T_1(^{\circ}C) = 500 - 273 = 227^{\circ}C$.

(C) વાયુના અણુઓની રૂટ મીન સ્ક્વેર (rms) ઝડપનું સૂત્ર $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ છે.
આનો અર્થ એ છે કે $v_{rms} \propto \sqrt{T}$, જ્યાં $T$ એ કેલ્વિનમાં નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
આપેલ છે કે $T_1 = 77^{\circ} C = 77 + 273 = 350 \,K$ અને $v_1 = 50 \,ms^{-1}$.
આપેલ છે કે $T_2 = 150.5^{\circ} C = 150.5 + 273 = 423.5 \,K$.
ગુણોત્તર $\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$ નો ઉપયોગ કરતા, આપણને મળે છે:
$v_2 = v_1 \times \sqrt{\frac{T_2}{T_1}} = 50 \times \sqrt{\frac{423.5}{350}}$.
$v_2 = 50 \times \sqrt{1.21} = 50 \times 1.1 = 55 \,ms^{-1}$.
આમ, સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) વાયુના અણુઓની rms ઝડપનું સૂત્ર $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ છે,જ્યાં $T$ એ કેલ્વિનમાં નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
કારણ કે $v_{rms} \propto \sqrt{T}$,અંતિમ rms ઝડપ $(v_2)$ અને પ્રારંભિક rms ઝડપ $(v_1)$ નો ગુણોત્તર $\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$ થાય.
પ્રારંભિક તાપમાન $T_1 = 127^{\circ} C = 127 + 273 = 400 \ K$.
અંતિમ તાપમાન $T_2 = 527^{\circ} C = 527 + 273 = 800 \ K$.
આ કિંમતોને ગુણોત્તરના સૂત્રમાં મૂકતા: $\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{800}{400}} = \sqrt{2}$.
તેથી,rms ઝડપ પ્રારંભિક ઝડપ કરતા $\sqrt{2}$ ગણી થાય છે.

(D) લિફ્ટમાં રહેલી વ્યક્તિનું આભાસી વજન $W'$ શોધવાનું સૂત્ર $W' = m(g + a)$ છે,જ્યાં $a$ એ લિફ્ટનો પ્રવેગ છે.
જ્યારે લિફ્ટ પ્રતિપ્રવેગ સાથે ઉપર જતી હોય,ત્યારે પ્રવેગ $a$ ઋણ લેવામાં આવે છે.
આપેલ છે: દળ $m = 60 \ kg$,ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 9.8 \ ms^{-2}$,અને પ્રતિપ્રવેગ $a = -2.8 \ ms^{-2}$.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$W' = 60 \times (9.8 - 2.8)$
$W' = 60 \times 7.0$
$W' = 420 \ N$.
તેથી,માણસનું આભાસી વજન $420 \ N$ છે.

(C) સિસ્ટમનું કુલ દળ $M = 8 \text{ ton} + 2 \text{ ton} = 10 \text{ ton} = 10000 \text{ kg}$.
બ્રેકિંગ બળ $F = 25000 \text{ N}$.
ટ્રકનો પ્રતિપ્રવેગ $a = F / M = 25000 / 10000 = 2.5 \text{ m/s}^2$.
$m = 2000 \text{ kg}$ દળ ધરાવતો બ્લોક ગતિની દિશામાં $F_p = m \times a = 2000 \times 2.5 = 5000 \text{ N}$ જેટલું આભાસી બળ અનુભવે છે.
મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ બળ $f_{max} = \mu \times m \times g = 0.3 \times 2000 \times 10 = 6000 \text{ N}$ છે.
બ્લોકને સ્થિર રાખવા માટે જરૂરી બળ $(5000 \text{ N})$ એ મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ બળ $(6000 \text{ N})$ કરતા ઓછું હોવાથી, બ્લોક સરકશે નહીં.
તેથી, બ્લોક પર લાગતું ઘર્ષણ બળ આભાસી બળ જેટલું જ એટલે કે $5000 \text{ N}$ હશે.

(C) બ્લોક આડી સપાટી પર છે. બ્લોક પર લાગતા બળો નીચે મુજબ છે:
$1$. વજનબળ $mg$ નીચેની તરફ.
$2$. લંબબળ $N$ ઉપરની તરફ.
$3$. આડી સપાટી સાથે $45^{\circ}$ ના ખૂણે લાગતું બળ $F$.
$F$ ના ઘટકો લેતા: $F_x = F \cos 45^{\circ}$ અને $F_y = F \sin 45^{\circ}$.
શિરોલંબ સંતુલન માટે: $N + F \sin 45^{\circ} = mg$.
તેથી, $N = mg - F \sin 45^{\circ} = \sqrt{2} \times 10 - F \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 10\sqrt{2} - \frac{F}{\sqrt{2}}$.
જ્યારે બળનો આડો ઘટક સીમાંત ઘર્ષણ બળ જેટલો થાય ત્યારે બ્લોક ગતિ કરવાનું શરૂ કરે છે: $F \cos 45^{\circ} = \mu N$.
કિંમતો મૂકતા: $F \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 0.25 \times (10\sqrt{2} - \frac{F}{\sqrt{2}})$.
$\sqrt{2}$ વડે ગુણતા: $F = 0.25 \times (10 \times 2 - F) = 0.25 \times (20 - F)$.
$F = 5 - 0.25F$.
$1.25F = 5$.
$F = \frac{5}{1.25} = 4 \,N$.

(B) બળ દ્વારા આપવામાં આવતો પાવર $P = \vec{F} \cdot \vec{v}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ $(\vec{F} = m\vec{a})$ મુજબ,બળ $\vec{F}$ એ પ્રવેગ $\vec{a}$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે,તેથી વેગ $\vec{v}$ અને પ્રવેગ $\vec{a}$ પરસ્પર લંબ હોવાની શરત સૂચવે છે કે $\vec{F} \cdot \vec{v} = 0$.
તેથી,કણ પર આપવામાં આવતો પાવર શૂન્ય $(P = 0)$ છે.
પાવર એ ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફારનો દર $(P = \frac{dK}{dt})$ હોવાથી,$P = 0$ નો અર્થ એ છે કે ગતિઊર્જા $K$ અચળ છે.
આમ,ગતિ દરમિયાન કણની ગતિઊર્જા અચળ રહે છે.

(B) ધારો કે બે બ્લોકનું દળ $M_1 = m$ અને $M_2 = n$ છે. ધારો કે $m > n$ છે.
એટવુડ મશીનમાં બ્લોક્સનો પ્રવેગ $a = \frac{|M_1 - M_2|}{M_1 + M_2} g = \frac{m-n}{m+n} g$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બ્લોક $1$ નો પ્રવેગ $a_1 = a$ (નીચેની તરફ) અને બ્લોક $2$ નો પ્રવેગ $a_2 = a$ (ઉપરની તરફ) છે.
નીચેની દિશાને ધન લેતા,દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો પ્રવેગ $a_{cm}$ નીચે મુજબ મળે:
$a_{cm} = \frac{M_1 a_1 + M_2 a_2}{M_1 + M_2} = \frac{m(a) + n(-a)}{m+n} = \frac{(m-n)a}{m+n}$.
$a$ ની કિંમત મૂકતા:
$a_{cm} = \frac{(m-n)}{m+n} \cdot \left( \frac{m-n}{m+n} g \right) = \left( \frac{m-n}{m+n} \right)^2 g$.

(D) ધારો કે દળ $m_1 = 4 \ kg$ (ડાબી બાજુ),$m_2 = 3 \ kg$ (ઉપરની જમણી બાજુ),અને $m_3 = 3 \ kg$ (નીચેની જમણી બાજુ) છે.
જમણી બાજુનું કુલ દળ $M_R = m_2 + m_3 = 3 \ kg + 3 \ kg = 6 \ kg$ છે.
ડાબી બાજુનું દળ $M_L = 4 \ kg$ છે.
$M_R > M_L$ હોવાથી,સિસ્ટમ જમણી તરફ $a$ પ્રવેગ સાથે ગતિ કરશે.
પ્રવેગ $a = \frac{(M_R - M_L)g}{M_R + M_L} = \frac{(6 - 4)g}{6 + 4} = \frac{2g}{10} = 0.2g$ મળે.
નીચેના $3 \ kg$ ના બ્લોક માટે,ગતિનું સમીકરણ $T_1 - m_3g = m_3a$ છે.
$T_1 = m_3(g + a) = 3(g + 0.2g) = 3(1.2g) = 3.6g$.
આખી સિસ્ટમ માટે,ગરગડી પરથી પસાર થતી દોરીમાં તણાવ $T_2 = \frac{2 M_L M_R g}{M_L + M_R} = \frac{2(4)(6)g}{4 + 6} = \frac{48g}{10} = 4.8g$ છે.
તણાવનો ગુણોત્તર $\frac{T_1}{T_2} = \frac{3.6g}{4.8g} = \frac{36}{48} = \frac{3}{4}$ થાય.

(A) ધારો કે બળ $F$ છે. ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,$F = ma$,તેથી $m = F/a$.
દળ $P$ માટે,$P = F/18$.
દળ $Q$ માટે,$Q = F/9$.
દળ $R$ માટે,$R = F/6$.
જ્યારે સમાન બળ $F$ ને સંયુક્ત દળ $(P+Q+R)$ પર લગાડવામાં આવે છે,ત્યારે પ્રવેગ $a'$ એ $a' = F / (P+Q+R)$ દ્વારા મળે છે.
$P, Q$ અને $R$ ની કિંમતો મૂકતા:
$a' = F / (F/18 + F/9 + F/6) = F / [F(1/18 + 2/18 + 3/18)]$.
$a' = 1 / (6/18) = 1 / (1/3) = 3 \ m/s^2$.
આમ,પ્રવેગ $3 \ m/s^2$ છે.

(B) હવાના અવરોધ સાથે ગુરુત્વાકર્ષણ હેઠળ પડતા પદાર્થ માટે,પ્રવેગ અચળ હોતો નથી. જો કે,આપણે અચળ પ્રવેગી ગતિ માટે સરેરાશ વેગના ખ્યાલનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.
આપેલ છે: પ્રારંભિક વેગ $u = 0 \ m/s$,અંતિમ વેગ $v = 18 \ m/s$,અને સ્થાનાંતર $s = 20 \ m$.
સરેરાશ વેગ $v_{avg} = \frac{u + v}{2} = \frac{0 + 18}{2} = 9 \ m/s$.
લાગતો સમય $t = \frac{s}{v_{avg}} = \frac{20 \ m}{9 \ m/s} \approx 2.22 \ s$.
નજીકની કિંમત લેતા,લાગતો સમય આશરે $2.2 \ s$ છે.

(C) ઘર્ષણ ધરાવતા ઢળતા માર્ગ પર મહત્તમ ઝડપ $v_{max}$ શોધવાનું સૂત્ર: $v_{max} = \sqrt{rg \left( \frac{\tan \theta + \mu}{1 - \mu \tan \theta} \right)}$ છે.
આપેલ છે: ત્રિજ્યા $r = 75 \ m$,ખૂણો $\tan \theta = 0.2$,ઘર્ષણાંક $\mu = 0.1$,અને ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 10 \ m/s^2$.
કિંમતો મૂકતા:
$v_{max} = \sqrt{75 \times 10 \times \left( \frac{0.2 + 0.1}{1 - (0.1 \times 0.2)} \right)}$
$v_{max} = \sqrt{750 \times \left( \frac{0.3}{1 - 0.02} \right)}$
$v_{max} = \sqrt{750 \times \left( \frac{0.3}{0.98} \right)}$
$v_{max} = \sqrt{750 \times 0.3061} \approx \sqrt{229.57} \approx 15.15 \ m/s$.
નજીકના વિકલ્પ મુજબ,મહત્તમ અનુમતિપાત્ર ઝડપ $15 \ m/s$ છે.

(C) સદિશ $\vec{A}$ નો $\vec{B}$ ની દિશામાં ઘટક $\frac{\vec{A} \cdot \vec{B}}{|\vec{B}|}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સદિશ $\vec{B}$ નો $\vec{A}$ ની દિશામાં ઘટક $\frac{\vec{A} \cdot \vec{B}}{|\vec{A}|}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$\vec{A}$ નો $\vec{B}$ ની દિશામાં ઘટક એ $\vec{B}$ ના $\vec{A}$ ની દિશામાં ઘટક કરતા બમણો છે:
$\frac{\vec{A} \cdot \vec{B}}{|\vec{B}|} = 2 \left( \frac{\vec{A} \cdot \vec{B}}{|\vec{A}|} \right)$.
ધારો કે $\vec{A} \cdot \vec{B} \neq 0$,તો બંને બાજુને $(\vec{A} \cdot \vec{B})$ વડે ભાગતા:
$\frac{1}{|\vec{B}|} = \frac{2}{|\vec{A}|}$.
માનનો ગુણોત્તર $\frac{|\vec{A}|}{|\vec{B}|}$ શોધવા માટે પદોને ગોઠવતા:
$\frac{|\vec{A}|}{|\vec{B}|} = 2$.
આમ,ગુણોત્તર $2: 1$ છે.

(C) ધારો કે બ્લોકનું કુલ બાહ્ય કદ $V = 1000 \text{ ml} = 10^{-3} \text{ m}^3$ છે.
લાકડાની વિશિષ્ટ ઘનતા $\rho_w / \rho_{water} = 0.75$ છે.
તેથી,લાકડાના દ્રવ્યની ઘનતા $\rho_w = 0.75 \times 1000 \text{ kg/m}^3 = 750 \text{ kg/m}^3$ છે.
ધારો કે પોલાણનું કદ $V_c$ છે. લાકડાના વાસ્તવિક દ્રવ્યનું કદ $V_m = V - V_c$ થશે.
બ્લોકનું દળ $M = \rho_w \times V_m = 750 \times (10^{-3} - V_c)$ થશે.
પ્લવનના નિયમ મુજબ,બ્લોકનું વજન તેના દ્વારા વિસ્થાપિત પાણીના વજન જેટલું હોય છે.
બ્લોક તેના અડધા કદ જેટલા પાણીમાં તરે છે,તેથી $V_{displaced} = \frac{V}{2} = 500 \text{ ml} = 5 \times 10^{-4} \text{ m}^3$.
વિસ્થાપિત પાણીનું વજન = $\rho_{water} \times V_{displaced} \times g = 1000 \times 5 \times 10^{-4} \times g = 0.5g$.
બ્લોકનું વજન = $M \times g = 750 \times (10^{-3} - V_c) \times g$.
બંનેને સરખાવતા: $0.5g = 750 \times (10^{-3} - V_c) \times g$.
$0.5 = 0.75 - 750 \times V_c$.
$750 \times V_c = 0.25$.
$V_c = \frac{0.25}{750} = \frac{1}{3000} \text{ m}^3$.
$V_c = \frac{1}{3000} \times 10^6 \text{ ml} = 333.33 \text{ ml}$.

(C) ધારો કે સમઘનની બાજુ $a = 40 \ cm = 0.4 \ m$ છે. સમઘનનું કદ $V = a^3 = (0.4)^3 = 0.064 \ m^3$ છે.
પાણીની ઘનતા $\rho_w = 1000 \ kg/m^3$ છે.
શરૂઆતમાં,સમઘન તેના કદના $\frac{1}{4}$ ભાગ સાથે તરે છે. તરવાના નિયમ મુજબ,સમઘનનું વજન એ સ્થાનાંતરિત પાણીના વજન જેટલું હોય છે:
$m_{cube} \cdot g = \rho_w \cdot V_{immersed} \cdot g$
$m_{cube} = 1000 \cdot (\frac{1}{4} \cdot 0.064) = 1000 \cdot 0.016 = 16 \ kg$.
જ્યારે $M$ દળની તકતી સમઘન પર મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ વજન $(m_{cube} + M)g$ થાય છે. નવું ડૂબેલું કદ $V$ નો $\frac{2}{5}$ ભાગ છે:
$(m_{cube} + M)g = \rho_w \cdot (\frac{2}{5} \cdot V) \cdot g$
$16 + M = 1000 \cdot (\frac{2}{5} \cdot 0.064)$
$16 + M = 1000 \cdot 0.0256 = 25.6$
$M = 25.6 - 16 = 9.6 \ kg$.

(B) ટોરીસેલીના નિયમ મુજબ બહાર આવતા પાણીનો વેગ $v = \sqrt{2gh}$ છે.
આપેલ છે: $h = 20 \ cm = 0.2 \ m$,$g = 10 \ m \ s^{-2}$.
$v = \sqrt{2 \times 10 \times 0.2} = \sqrt{4} = 2 \ m \ s^{-1}$.
પ્રતિ સેકન્ડ બહાર આવતા પાણીનું કદ $Q = A \times v$ છે,જ્યાં $A = 1 \ mm^2 = 1 \times 10^{-6} \ m^2$.
$Q = 1 \times 10^{-6} \ m^2 \times 2 \ m \ s^{-1} = 2 \times 10^{-6} \ m^3 \ s^{-1}$.
$t = 0.6 \ s$ સમયમાં બહાર આવતા પાણીનું દળ $m = \rho \times Q \times t$ છે.
$m = 1000 \ kg \ m^{-3} \times 2 \times 10^{-6} \ m^3 \ s^{-1} \times 0.6 \ s$.
$m = 1000 \times 1.2 \times 10^{-6} \ kg = 1.2 \times 10^{-3} \ kg = 1.2 \ g$.

(D) ધારો કે તળિયે પરપોટાનું ક્ષેત્રફળ $A_1$ છે અને ઉપરની સપાટી પર $A_2$ છે. આપેલ છે કે $A_2 = A_1 + 1.25 A_1 = 2.25 A_1$.
પરપોટો ગોળાકાર હોવાથી,$A = 4 \pi r^2$,જેનો અર્થ છે કે $r \propto \sqrt{A}$. તેથી,$r_2 = \sqrt{2.25} r_1 = 1.5 r_1$.
કદ $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ હોવાથી,$V_2 = (1.5)^3 V_1 = 3.375 V_1$.
તાપમાન સમાન હોવાથી,બોઈલનો નિયમ લાગુ પડે છે: $P_1 V_1 = P_2 V_2$.
અહીં,$P_2 = P_{atm} = 10 \ m$ પાણીનો સ્તંભ.
$P_1 = P_{atm} + h = 10 + h$,જ્યાં $h$ એ ટાંકીની ઊંડાઈ છે.
કિંમતો મૂકતા: $(10 + h) V_1 = 10 \times (3.375 V_1)$.
$10 + h = 33.75$.
$h = 33.75 - 10 = 23.75 \ m$.

(D) $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતો સાબુનો પરપોટો ફુલાવવા માટે કરવામાં આવતું કાર્ય $W = T \times \Delta A$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે અને $\Delta A$ એ સપાટીના ક્ષેત્રફળમાં થતો ફેરફાર છે.
સાબુના પરપોટાને બે સપાટી (અંદરની અને બહારની) હોવાથી,સપાટીના ક્ષેત્રફળમાં થતો ફેરફાર $\Delta A = 2 \times (4 \pi r^2) = 8 \pi r^2$ થાય છે.
આપેલ છે: વ્યાસ $d = 3 \ cm$,તેથી ત્રિજ્યા $r = 1.5 \ cm = 1.5 \times 10^{-2} \ m$.
પૃષ્ઠતાણ $T = 0.035 \ N/m$.
કિંમતો મૂકતા:
$W = 0.035 \times 8 \times \pi \times (1.5 \times 10^{-2})^2$
$W = 0.035 \times 8 \times 3.14159 \times 2.25 \times 10^{-4}$
$W = 0.28 \times 3.14159 \times 2.25 \times 10^{-4}$
$W \approx 1.979 \times 10^{-4} \ J$
$W \approx 198 \times 10^{-6} \ J = 198 \ \mu J$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) સાબુના પરપોટાની ત્રિજ્યા $r_1$ થી $r_2$ સુધી વધારવા માટે કરવામાં આવતું કાર્ય $W = T \times \Delta A$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે અને $\Delta A$ એ સપાટીના ક્ષેત્રફળમાં થતો ફેરફાર છે. સાબુના પરપોટાને બે સપાટી હોવાથી,ક્ષેત્રફળમાં થતો ફેરફાર $\Delta A = 2 \times (4\pi r_2^2 - 4\pi r_1^2) = 8\pi(r_2^2 - r_1^2)$ છે.
$W_1$ માટે ($r$ થી $2r$): $W_1 = 8\pi T ((2r)^2 - r^2) = 8\pi T (4r^2 - r^2) = 8\pi T (3r^2) = 24\pi T r^2$.
$W_2$ માટે ($2r$ થી $3r$): $W_2 = 8\pi T ((3r)^2 - (2r)^2) = 8\pi T (9r^2 - 4r^2) = 8\pi T (5r^2) = 40\pi T r^2$.
તેથી,ગુણોત્તર $W_1: W_2 = (24\pi T r^2) : (40\pi T r^2) = 24:40 = 3:5$.

(B) પડનું ક્ષેત્રફળ વધારવા માટે કરવામાં આવેલ કાર્ય $W = T \times \Delta A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે અને $\Delta A$ એ સપાટીના ક્ષેત્રફળમાં થતો ફેરફાર છે.
પાતળા પડને બે સપાટી હોવાથી,કુલ ક્ષેત્રફળમાં ફેરફાર $\Delta A = 2 \times l \times (d_2 - d_1)$ થાય.
આપેલ છે: $l = 8 \ cm = 0.08 \ m$,$d_1 = 0.6 \ cm = 0.006 \ m$,$d_2 = 0.8 \ cm = 0.008 \ m$,અને $T = 0.07 \ N/m$.
અંતરમાં ફેરફાર $\Delta d = d_2 - d_1 = 0.8 \ cm - 0.6 \ cm = 0.2 \ cm = 0.002 \ m$.
$\Delta A = 2 \times 0.08 \ m \times 0.002 \ m = 0.00032 \ m^2$.
કરવામાં આવેલ કાર્ય $W = 0.07 \ N/m \times 0.00032 \ m^2 = 0.0000224 \ J$.
$W = 22.4 \times 10^{-6} \ J = 22.4 \ \mu J$.

(B) ધારો કે દરેક નાના ટીપાની ત્રિજ્યા $r$ છે અને મોટા ટીપાની ત્રિજ્યા $R$ છે. કુલ કદ અચળ રહેતું હોવાથી,$n \times (4/3) \pi r^3 = (4/3) \pi R^3$,જે આપણને $R = n^{1/3} r$ આપે છે.
$n$ ટીપાંનું પ્રારંભિક સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $A_i = n \times 4 \pi r^2$ છે.
મોટા ટીપાનું અંતિમ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $A_f = 4 \pi R^2 = 4 \pi (n^{1/3} r)^2 = 4 \pi n^{2/3} r^2$ છે.
$n > 1$ માટે $n^{2/3} < n$ હોવાથી,અંતિમ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $A_f$ એ પ્રારંભિક સપાટીના ક્ષેત્રફળ $A_i$ કરતા ઓછું છે. આમ,સપાટીનું ક્ષેત્રફળ ઘટે છે.
સપાટી ઉર્જા $U = T \times A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે. સપાટીનું ક્ષેત્રફળ ઘટતું હોવાથી,સિસ્ટમની સપાટી ઉર્જા ઘટે છે.
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,સપાટી ઉર્જામાં થયેલો ઘટાડો ઉષ્મા તરીકે મુક્ત થાય છે. તેથી,સપાટીનું ક્ષેત્રફળ ઘટે છે અને ઉષ્મા મુક્ત થાય છે.

(D) બંને છેડે ખુલ્લી કેશનળી માટે,પાણીનો સ્તંભ મેનિસ્કસ પરના પૃષ્ઠતાણના બળો દ્વારા આધારિત હોય છે.
જ્યારે $h$ લંબાઈનો પાણીનો સ્તંભ કેશનળીમાં રાખવામાં આવે છે,ત્યારે પૃષ્ઠતાણને કારણે થતો દબાણનો તફાવત પાણીના સ્તંભના હાઇડ્રોસ્ટેટિક દબાણને સંતુલિત કરવો જોઈએ.
બંને છેડે ખુલ્લી નળી માટે,જો નળી શિરોલંબ હોય તો પાણીને ટેકો આપી શકાતો નથી કારણ કે ઉપર અને નીચેના મેનિસ્કસ પરનું દબાણ વાતાવરણીય દબાણ જેટલું જ હોય છે,અને ગુરુત્વાકર્ષણ પાણીને નીચે ખેંચશે.
તેથી,પાણીનો સ્તંભ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે નીચે પડી જશે.
આથી,નીચે પડ્યા વગર રહી શકે તેવા પાણીના સ્તંભની મહત્તમ લંબાઈ $0 \ cm$ છે.

(C) પ્રવાહીમાં પડતા $r$ ત્રિજ્યા અને $\rho$ ઘનતા ધરાવતા ગોળાનો ટર્મિનલ વેગ $v_t$,જેની પ્રવાહીની ઘનતા $\sigma$ અને સ્નિગ્ધતા $\eta$ છે,તે સૂત્ર $v_t = \frac{2}{9} \frac{r^2 g (\rho - \sigma)}{\eta}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને ગોળા એક જ ધાતુના બનેલા છે અને એક જ પ્રવાહીમાં પડે છે,તેથી $\rho, \sigma, g,$ અને $\eta$ અચળ છે. આમ,$v_t \propto r^2$.
દળ $m = \frac{4}{3} \pi r^3 \rho$ હોવાથી,$r^3 \propto m$,જેનો અર્થ છે કે $r \propto m^{1/3}$.
આને $v_t$ ના પ્રમાણસરતામાં મૂકતા,આપણને $v_t \propto (m^{1/3})^2 = m^{2/3}$ મળે છે.
ધારો કે $m_1 = 8 \ g$ માટે $v_1 = 3 \ cm s^{-1}$ અને $m_2 = 64 \ g$ માટે ટર્મિનલ વેગ $v_2$ છે.
તેથી,$\frac{v_2}{v_1} = \left( \frac{m_2}{m_1} \right)^{2/3} = \left( \frac{64}{8} \right)^{2/3} = (8)^{2/3} = (2^3)^{2/3} = 2^2 = 4$.
તેથી,$v_2 = 4 \times v_1 = 4 \times 3 \ cm s^{-1} = 12 \ cm s^{-1}$.

$(A)$ રેનોલ્ડ્સ નંબર $(Re)$ એ પ્રવાહીના પ્રવાહના પ્રકારને નક્કી કરવા માટે વપરાતી પરિમાણરહિત સંખ્યા છે.
પાઈપમાં વહેતા પ્રવાહ માટેના માપદંડો નીચે મુજબ છે:
$1$. જો $Re < 2000$ હોય, તો પ્રવાહ સુરેખ અથવા લેમિનર હોય છે.
$2$. જો $2000 < Re < 3000$ હોય, તો પ્રવાહ સંક્રમણ અવસ્થામાં હોય છે.
$3$. જો $Re > 3000$ હોય, તો પ્રવાહ અશાંત (turbulent) હોય છે.
સુરેખ પ્રવાહ માટેની શરત $(Re < 2000)$ મુજબ:
- વિકલ્પ $A$: $900 < 2000$ (સુરેખ)
- વિકલ્પ $B$: $2100$ (સંક્રમણ)
- વિકલ્પ $C$: $2900$ (સંક્રમણ)
- વિકલ્પ $D$: $4000$ (અશાંત)
તેથી, સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) સ્ટોક્સના નિયમ મુજબ,$\eta$ સ્નિગ્ધતા ધરાવતા પ્રવાહીમાં $v$ ટર્મિનલ વેગથી ગતિ કરતા $r$ ત્રિજ્યાના ગોળાકાર પદાર્થ પર લાગતું સ્નિગ્ધ બળ $F = 6 \pi \eta r v$ છે.
આપેલ છે:
વ્યાસ $d = 1 \ mm = 10^{-3} \ m$,તેથી ત્રિજ્યા $r = 0.5 \times 10^{-3} \ m$.
ટર્મિનલ વેગ $v = 0.7 \ ms^{-1}$.
સ્નિગ્ધતા ગુણાંક $\eta = 2 \times 10^{-5} \ Pa \cdot s$.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$F = 6 \times 3.14 \times (2 \times 10^{-5}) \times (0.5 \times 10^{-3}) \times 0.7$
$F = 6 \times 3.14 \times 10^{-5} \times 0.5 \times 10^{-3} \times 0.7$
$F = 6 \times 0.5 \times 0.7 \times 3.14 \times 10^{-8}$
$F = 2.1 \times 3.14 \times 10^{-8}$
$F = 6.594 \times 10^{-8} \ N \approx 6.6 \times 10^{-8} \ N$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) બલ્ક મોડ્યુલસ $B$ ને $B = -\frac{\Delta P}{\Delta V/V}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
આપેલ છે: $B = 60 \ GPa = 60 \times 10^9 \ Pa$,$\Delta P = 10^7 \ Pa$,$r = 36 \ cm = 0.36 \ m$.
ગોળાનું કદ $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ છે,તેથી કદમાં થતો આંશિક ફેરફાર $\frac{\Delta V}{V} = 3 \frac{\Delta r}{r}$ થાય.
આ કિંમત બલ્ક મોડ્યુલસના સૂત્રમાં મૂકતા: $B = -\frac{\Delta P}{3 \Delta r / r}$.
$\Delta r$ માટે સૂત્ર બનાવતા: $\Delta r = -\frac{\Delta P \cdot r}{3B}$.
માનાંક લેતા: $|\Delta r| = \frac{10^7 \times 0.36}{3 \times 60 \times 10^9}$.
$|\Delta r| = \frac{3.6 \times 10^6}{180 \times 10^9} = \frac{3.6}{180} \times 10^{-3} = 0.02 \times 10^{-3} \ m = 2 \times 10^{-5} \ m$.
સેમીમાં ફેરવતા: $2 \times 10^{-5} \times 10^2 \ cm = 2 \times 10^{-3} \ cm$.

(C) ધારો કે તારની મૂળ ત્રિજ્યા $r$ અને લંબાઈ $L$ છે. આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ છે.
વિકલન લેતા,$\Delta A = 2 \pi r \Delta r$ મળે.
પોઈસન ગુણોત્તર $\sigma$ ની વ્યાખ્યા મુજબ $\sigma = -\frac{\Delta r / r}{\Delta L / L}$,તેથી $\frac{\Delta r}{r} = -\sigma \frac{\Delta L}{L}$.
આ કિંમત ક્ષેત્રફળના ફેરફારના સમીકરણમાં મૂકતા: $\Delta A = 2 \pi r^2 (-\sigma \frac{\Delta L}{L}) = -2 A \sigma \frac{\Delta L}{L}$.
માનાંક લેતા,$|\Delta A| = 2 A \sigma \frac{\Delta L}{L}$,જે આપણને $\frac{\Delta L}{L} = \frac{\Delta A}{2 A \sigma}$ આપે છે.
યંગ મોડ્યુલસ $Y$ ની વ્યાખ્યા મુજબ $Y = \frac{F/A}{\Delta L/L}$,તેથી $F = Y A \frac{\Delta L}{L}$.
$\frac{\Delta L}{L}$ ની કિંમત મૂકતા: $F = Y A (\frac{\Delta A}{2 A \sigma}) = \frac{Y \Delta A}{2 \sigma}$.

(C) ખેંચાયેલા સળિયામાં એકમ કદ દીઠ સંગ્રહિત ઉર્જા $(u)$ નું સૂત્ર: $u = \frac{1}{2} \times \text{stress} \times \text{strain}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\text{stress} = \frac{F}{A}$ અને $\text{strain} = \frac{\text{stress}}{Y} = \frac{F}{AY}$.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા, $u = \frac{1}{2} \times \frac{F}{A} \times \frac{F}{AY} = \frac{F^2}{2A^2Y}$ મળે છે.
આપેલ છે: $F = 9 \times 10^4 \,N$, $A = 3 \,cm^2 = 3 \times 10^{-4} \,m^2$, અને $Y = 2 \times 10^{11} \,Nm^{-2}$.
સ્ટ્રેસની ગણતરી: $\sigma = \frac{9 \times 10^4}{3 \times 10^{-4}} = 3 \times 10^8 \,Nm^{-2}$.
હવે, $u = \frac{1}{2} \times \sigma \times \frac{\sigma}{Y} = \frac{\sigma^2}{2Y}$.
$u = \frac{(3 \times 10^8)^2}{2 \times 2 \times 10^{11}} = \frac{9 \times 10^{16}}{4 \times 10^{11}} = 2.25 \times 10^5 \,Jm^{-3}$.

(A) તારને ખેંચવા માટે કરવામાં આવતું કાર્ય નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $W = \frac{1}{2} \times \text{Stress} \times \text{Strain} \times \text{Volume}$.
આપેલ છે: વિકૃતિ $(\epsilon) = 10^{-3}$,યંગ મોડ્યુલસ $(Y) = 2 \times 10^{11} \ Nm^{-2}$,દળ $(m) = 2.96 \ kg$,ઘનતા $(\rho) = 7.4 \ g \ cm^{-3} = 7400 \ kg \ m^{-3}$.
સૌ પ્રથમ,તારનું કદ $(V)$ શોધો: $V = \frac{m}{\rho} = \frac{2.96}{7400} = 4 \times 10^{-4} \ m^3$.
ત્યારબાદ,પ્રતિબળ શોધો: $\text{Stress} = Y \times \epsilon = (2 \times 10^{11}) \times (10^{-3}) = 2 \times 10^8 \ Nm^{-2}$.
હવે,કાર્યની ગણતરી કરો: $W = \frac{1}{2} \times (2 \times 10^8) \times (10^{-3}) \times (4 \times 10^{-4})$.
$W = 10^8 \times 10^{-3} \times 4 \times 10^{-4} = 4 \times 10^1 = 40 \ J = 0.04 \ kJ$.

(B) તારની લંબાઈમાં થતો વધારો $\Delta L$ એ $\Delta L = \frac{FL}{AY}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $F$ એ બળ છે,$L$ એ લંબાઈ છે,$A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે અને $Y$ એ યંગ મોડ્યુલસ છે.
તાર સમાન દ્રવ્યના બનેલા હોવાથી,$Y_A = Y_B = Y$ થાય. બળ $F$ પણ સમાન છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે દળ $m = \rho A L$,જ્યાં $\rho$ એ ઘનતા છે. દ્રવ્ય સમાન હોવાથી,$\rho_A = \rho_B = \rho$ થાય.
તેથી,$L = \frac{m}{\rho A}$.
આ કિંમતને લંબાઈમાં થતા વધારાના સૂત્રમાં મૂકતા: $\Delta L = \frac{F}{\rho A^2 Y} \cdot m$.
લંબાઈમાં થતા વધારાના ગુણોત્તર માટે: $\frac{\Delta L_A}{\Delta L_B} = \frac{m_A}{m_B} \cdot \left( \frac{A_B}{A_A} \right)^2$.
આપેલ છે કે $\frac{m_A}{m_B} = \frac{2}{3}$ અને $\frac{A_A}{A_B} = \frac{1}{2}$,તેથી $\frac{A_B}{A_A} = 2$ થાય.
તેથી,$\frac{\Delta L_A}{\Delta L_B} = \frac{2}{3} \cdot (2)^2 = \frac{2}{3} \cdot 4 = \frac{8}{3}$.

(D) ધારો કે બંને સળિયાની લંબાઈ $L_1$ અને $L_2$,ઘનતા $\rho$ અને યંગ મોડ્યુલસ $Y$ છે.
સમાન દળ હોવાથી,$m_1 = m_2 \implies \rho A_1 L_1 = \rho A_2 L_2 \implies A_1 L_1 = A_2 L_2$.
વર્તુળાકાર સળિયા માટે,$A_1 = \pi (0.5)^2 = \frac{\pi}{4} \ cm^2$.
ચોરસ સળિયા માટે,$A_2 = 1^2 = 1 \ cm^2$.
લંબાઈમાં વધારો $\Delta L = \frac{FL}{AY}$ છે.
ગુણોત્તર $\frac{\Delta L_1}{\Delta L_2} = \frac{L_1}{A_1} \times \frac{A_2}{L_2} = \frac{L_1}{L_2} \times \frac{A_2}{A_1}$.
સમીકરણ $A_1 L_1 = A_2 L_2$ પરથી,$\frac{L_1}{L_2} = \frac{A_2}{A_1}$.
તેથી,ગુણોત્તર $= (\frac{A_2}{A_1})^2 = (\frac{1}{\pi/4})^2 = (\frac{4}{\pi})^2 = \frac{16}{\pi^2}$.

(A) આપેલ છે: પ્રારંભિક વેગ $u = 20 \,ms^{-1}$, મહત્તમ ઊંચાઈએ અંતિમ વેગ $v = 0 \,ms^{-1}$ અને પ્રવેગ $a = -g = -10 \,ms^{-2}$.
ગતિના ત્રીજા સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $v^2 = u^2 + 2as$.
કિંમતો મૂકતા: $0^2 = (20)^2 + 2(-10)h$.
$0 = 400 - 20h$.
$20h = 400$.
$h = 20 \,m$.
નોંધ: પ્રશ્નમાં આપેલી $18 \,ms^{-1}$ ની કિંમત મહત્તમ ઊંચાઈ શોધવા માટે બિનજરૂરી છે, કારણ કે શિરોલંબ પ્રક્ષેપણના શિખર પર અંતિમ વેગ હંમેશા $0 \,ms^{-1}$ હોય છે.

(B) સ્થિર સ્થિતિમાંથી મુક્ત પતન કરતા પદાર્થ માટે,$t$ સમયમાં કાપેલું અંતર $s = \frac{1}{2}gt^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,$s$ અંતર કાપવા માટે લાગતો સમય $t = \sqrt{\frac{2s}{g}}$ છે.
ધારો કે પ્રથમ $5 \ m$ $(s_1 = 5 \ m)$ કાપવા માટેનો સમય $t_1$ છે. તો $t_1 = \sqrt{\frac{2(5)}{g}} = \sqrt{\frac{10}{g}}$.
ધારો કે પ્રથમ $10 \ m$ $(s_2 = 10 \ m)$ કાપવા માટેનો સમય $t_2$ છે. તો $t_2 = \sqrt{\frac{2(10)}{g}} = \sqrt{\frac{20}{g}}$.
ધારો કે પ્રથમ $15 \ m$ $(s_3 = 15 \ m)$ કાપવા માટેનો સમય $t_3$ છે. તો $t_3 = \sqrt{\frac{2(15)}{g}} = \sqrt{\frac{30}{g}}$.
પ્રથમ $5 \ m$ કાપવા માટે લાગતો સમય $T_1 = t_1 = \sqrt{\frac{10}{g}}$.
બીજા $5 \ m$ કાપવા માટે લાગતો સમય $T_2 = t_2 - t_1 = \sqrt{\frac{20}{g}} - \sqrt{\frac{10}{g}} = \sqrt{\frac{10}{g}}(\sqrt{2} - 1)$.
ત્રીજા $5 \ m$ કાપવા માટે લાગતો સમય $T_3 = t_3 - t_2 = \sqrt{\frac{30}{g}} - \sqrt{\frac{20}{g}} = \sqrt{\frac{10}{g}}(\sqrt{3} - \sqrt{2})$.
ગુણોત્તર $T_1 : T_2 : T_3$ એ $\sqrt{\frac{10}{g}} : \sqrt{\frac{10}{g}}(\sqrt{2} - 1) : \sqrt{\frac{10}{g}}(\sqrt{3} - \sqrt{2})$ છે.
સાદુરૂપ આપતા,આપણને $1 : (\sqrt{2} - 1) : (\sqrt{3} - \sqrt{2})$ મળે છે.

(C) પગલું $1$: મુક્ત પતન માટે લાગતો સમય $(t_1)$ અને પ્રાપ્ત થયેલ વેગ $(v)$ ની ગણતરી કરો.
મુક્ત પતન માટે,પ્રારંભિક વેગ $u = 0$,અંતર $s_1 = 20 \ m$,અને $g = 10 \ m/s^2$.
$v^2 = u^2 + 2gs_1$ નો ઉપયોગ કરતા,$v^2 = 0 + 2 \times 10 \times 20 = 400$,તેથી $v = 20 \ m/s$.
$v = u + gt_1$ નો ઉપયોગ કરતા,$20 = 0 + 10t_1$,તેથી $t_1 = 2 \ s$.
પગલું $2$: સમાન ગતિ માટે લાગતો સમય $(t_2)$ ની ગણતરી કરો.
બાકીનું અંતર $s_2 = 2000 \ m - 20 \ m = 1980 \ m$ છે.
વેગ $v = 20 \ m/s$ અચળ છે.
સમય $t_2 = s_2 / v = 1980 / 20 = 99 \ s$.
પગલું $3$: કુલ સમયની ગણતરી કરો.
કુલ સમય $T = t_1 + t_2 = 2 \ s + 99 \ s = 101 \ s$.

(B) આપેલ સંબંધ: $t = 2x^2 + 3x$.
વેગ $v$ શોધવા માટે,$t$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{dt}{dx} = 4x + 3$.
$v = \frac{dx}{dt}$ હોવાથી,$v = \frac{1}{4x + 3} = (4x + 3)^{-1}$.
પ્રવેગ $a$ શોધવા માટે,$v$ નું $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $a = \frac{dv}{dt} = \frac{dv}{dx} \cdot \frac{dx}{dt} = \frac{dv}{dx} \cdot v$.
$\frac{dv}{dx} = -1(4x + 3)^{-2} \cdot 4 = -\frac{4}{(4x + 3)^2}$.
તેથી,$a = -\frac{4}{(4x + 3)^2} \cdot \frac{1}{4x + 3} = -\frac{4}{(4x + 3)^3}$.
આપેલ સ્થાનાંતર $x = 25 \ cm = 0.25 \ m = \frac{1}{4} \ m$.
$x = \frac{1}{4}$ ને પ્રવેગના સૂત્રમાં મૂકતા: $a = -\frac{4}{(4(1/4) + 3)^3} = -\frac{4}{(1 + 3)^3} = -\frac{4}{4^3} = -\frac{4}{64} = -\frac{1}{16} \ ms^{-2}$.

(D) $n^{th}$ સેકન્ડમાં કણનું સ્થાનાંતર નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $S_n = u + \frac{a}{2}(2n - 1)$,જ્યાં $u$ એ પ્રારંભિક વેગ છે અને $a$ એ અચળ પ્રવેગ છે.
ત્રીજી સેકન્ડ માટે $(n=3)$: $10 = u + \frac{a}{2}(2(3) - 1) \implies 10 = u + 2.5a$ --- (સમીકરણ $1$)
પાંચમી સેકન્ડ માટે $(n=5)$: $18 = u + \frac{a}{2}(2(5) - 1) \implies 18 = u + 4.5a$ --- (સમીકરણ $2$)
સમીકરણ $2$ માંથી સમીકરણ $1$ બાદ કરતા: $(18 - 10) = (u + 4.5a) - (u + 2.5a) \implies 8 = 2a \implies a = 4 \ ms^{-2}$.
$a = 4$ ની કિંમત સમીકરણ $1$ માં મૂકતા: $10 = u + 2.5(4) \implies 10 = u + 10 \implies u = 0 \ ms^{-1}$.
$t$ સમયે વેગ $v = u + at$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$t = 4 \ s$ સમયે: $v = 0 + (4)(4) = 16 \ ms^{-1}$.

(C) જ્યારે ઇન્ડક્ટરમાં લોખંડનો સળિયો દાખલ કરવામાં આવે છે,ત્યારે કોઇલનું આત્મ-પ્રેરકત્વ $L$ વધે છે કારણ કે કોરની પરમિયેબિલિટી વધે છે.
પરિપથનો ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L = \omega L$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જેમ $L$ વધે છે,તેમ $X_L$ વધે છે.
શ્રેણી પરિપથનો કુલ ઇમ્પિડન્સ $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2}$ છે,જ્યાં $R$ એ બલ્બનો અવરોધ છે.
$X_L$ વધતું હોવાથી,પરિપથનો કુલ ઇમ્પિડન્સ $Z$ વધે છે.
પરિપથમાં વહેતો પ્રવાહ $I = V/Z$ દ્વારા મળે છે.
જેમ $Z$ વધે છે,તેમ બલ્બમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I$ ઘટે છે.
બલ્બમાં વપરાતો પાવર $P = I^2 R$ હોવાથી,પ્રવાહમાં ઘટાડો થવાથી પાવર ઘટે છે અને તેથી બલ્બનો પ્રકાશ ઘટે છે.

(B) આપેલ છે: અવરોધ $R = 100 \sqrt{3} \Omega$,વોલ્ટેજ $V = 100 \sin(200t) \text{ V}$,કળા તફાવત $\phi = 30^{\circ}$.
વોલ્ટેજ સમીકરણને $V = V_m \sin(\omega t)$ સાથે સરખાવતા,કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 200 \text{ rad/s}$ મળે છે.
$RC$ શ્રેણી પરિપથમાં,કળા તફાવત $\phi$ નું સૂત્ર $\tan \phi = \frac{X_C}{R}$ છે,જ્યાં $X_C = \frac{1}{\omega C}$.
કિંમતો મૂકતા: $\tan 30^{\circ} = \frac{1}{\omega C R}$.
$\tan 30^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ હોવાથી,$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1}{200 \times C \times 100 \sqrt{3}}$.
બંને બાજુથી $\sqrt{3}$ દૂર કરતા: $1 = \frac{1}{200 \times 100 \times C}$.
$C = \frac{1}{20000} \text{ F} = 0.5 \times 10^{-4} \text{ F} = 50 \times 10^{-6} \text{ F} = 50 \mu \text{F}$.
આમ,કેપેસિટન્સ $50 \mu \text{F}$ છે.

(B) $LCR$ શ્રેણી પરિપથમાં,કુલ ઈમ્પિડન્સ $Z$ એ $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પરિપથ શુદ્ધ અવરોધક બને તે માટે,ચોખ્ખો રિએક્ટન્સ શૂન્ય હોવો જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ એ કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ જેટલો હોવો જોઈએ.
તેથી,$X_L - X_C = 0$,જેનો અર્થ છે કે $X_L = X_C$.
આ સ્થિતિમાં,પરિપથ અનુનાદ (resonance) માં છે તેમ કહેવાય છે,અને ઈમ્પિડન્સ $Z$ એ $R$ જેટલો થાય છે.

(B) તત્કાલીન વોલ્ટેજ $V$ એ $V = V_0 \sin(\omega t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $V_0$ એ મહત્તમ વોલ્ટેજ છે અને $\omega = 2\pi f$ છે.
આપેલ છે કે $f = 50 \ Hz$,તેથી $\omega = 2 \times \pi \times 50 = 100\pi \ rad/s$.
આપણે તે સમય $t$ શોધવો છે જ્યારે $V = \frac{V_0}{2}$ હોય.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{V_0}{2} = V_0 \sin(100\pi t)$.
$\sin(100\pi t) = \frac{1}{2}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$,તેથી $100\pi t = \frac{\pi}{6}$.
$t = \frac{\pi}{6 \times 100\pi} = \frac{1}{600} \ s$.

(A) $LR$ શ્રેણી પરિપથમાં,ઇન્ડક્ટર પરનો વોલ્ટેજ $(V_L)$ અને રઝિસ્ટર પરનો વોલ્ટેજ $(V_R)$ એકબીજાથી $90^{\circ}$ ના કળા તફાવત પર હોય છે.
$ac$ સપ્લાયનો કુલ વોલ્ટેજ $(V)$ એ વ્યક્તિગત વોલ્ટેજના ફેઝર સરવાળા દ્વારા મળે છે:
$V = \sqrt{V_L^2 + V_R^2}$
આપેલ છે:
$V_L = 180 \ V$
$V_R = 240 \ V$
કિંમતો મૂકતા:
$V = \sqrt{(180)^2 + (240)^2}$
$V = \sqrt{32400 + 57600}$
$V = \sqrt{90000}$
$V = 300 \ V$
તેથી,$ac$ સપ્લાયનો વોલ્ટેજ $300 \ V$ છે.

(C) જ્યારે ટ્રાન્સફોર્મરના કોરને બદલાતા ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં રાખવામાં આવે છે,ત્યારે તેમાં એડી કરંટ ઉત્પન્ન થાય છે,જે ગરમીના સ્વરૂપમાં ઉર્જાનો વ્યય કરે છે.
આ નુકસાનને ઘટાડવા માટે,કોરને એકબીજા સાથે જોડાયેલી પાતળી,ઇન્સ્યુલેટેડ ધાતુની શીટ્સનો ઉપયોગ કરીને બનાવવામાં આવે છે,જેને લેમિનેટેડ કોર કહેવામાં આવે છે.
આ લેમિનેશન એડી કરંટના માર્ગમાં વિદ્યુત અવરોધ વધારે છે,જેનાથી તેમની તીવ્રતા અને ઉર્જાનો વ્યય નોંધપાત્ર રીતે ઘટે છે.

(C) હાઇડ્રોજન પરમાણુમાં વર્ણપટ રેખાની આવૃત્તિ $f = R c \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $R$ એ રિડબર્ગ અચળાંક છે અને $c$ એ પ્રકાશની ગતિ છે.
લાયમેન શ્રેણી માટે,$n_1 = 1$. પ્રથમ રેખા $n_2 = 2$ અને બીજી રેખા $n_2 = 3$ છે.
$f_1 = R c \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right) = \frac{3}{4} R c$
$f_2 = R c \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{3^2} \right) = \frac{8}{9} R c$
તફાવત $f = f_2 - f_1 = R c \left( \frac{8}{9} - \frac{3}{4} \right) = \frac{5}{36} R c$. તેથી,$R c = \frac{36 f}{5}$.
બામર શ્રેણી માટે,$n_1 = 2$. પ્રથમ રેખા $n_2 = 3$ અને બીજી રેખા $n_2 = 4$ છે.
$f'_1 = R c \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right) = \frac{5}{36} R c$
$f'_2 = R c \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{4^2} \right) = \frac{3}{16} R c$
તફાવત $f' = f'_2 - f'_1 = R c \left( \frac{3}{16} - \frac{5}{36} \right) = \frac{7}{144} R c$.
$R c = \frac{36 f}{5}$ મૂકતા,$f' = \frac{7}{144} \times \frac{36 f}{5} = \frac{7 f}{20}$.

(C) હાઇડ્રોજન પરમાણુમાં સંક્રમણ માટેની તરંગલંબાઇ $\lambda$ રીડબર્ગ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$,જ્યાં $R$ એ રીડબર્ગ અચળાંક છે.
બામર શ્રેણીની બીજી રેખા માટે,$n_1 = 2$ અને $n_2 = 4$ છે. તેથી,$\frac{1}{\lambda_B} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{4^2} \right) = R \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{16} \right) = R \left( \frac{3}{16} \right)$. એટલે કે,$\lambda_B = \frac{16}{3R}$.
લાયમન શ્રેણીની પ્રથમ રેખા માટે,$n_1 = 1$ અને $n_2 = 2$ છે. તેથી,$\frac{1}{\lambda_L} = R \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right) = R \left( 1 - \frac{1}{4} \right) = R \left( \frac{3}{4} \right)$. એટલે કે,$\lambda_L = \frac{4}{3R}$.
તરંગલંબાઇનો ગુણોત્તર $\frac{\lambda_B}{\lambda_L} = \frac{16/3R}{4/3R} = \frac{16}{4} = 4:1$ થાય છે.

(C) હાઇડ્રોજન પરમાણુની $n$-મી કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનની ગતિઊર્જા $(K)$ નું સૂત્ર $K_n = \frac{13.6 \text{ eV}}{n^2}$ છે.
ત્રીજી ઉત્તેજિત અવસ્થા માટે,મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક $n_1 = 3 + 1 = 4$ છે.
ચોથી ઉત્તેજિત અવસ્થા માટે,મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક $n_2 = 4 + 1 = 5$ છે.
ત્રીજી ઉત્તેજિત અવસ્થામાં ગતિઊર્જા $K_4 = \frac{13.6}{4^2} = \frac{13.6}{16}$ છે.
ચોથી ઉત્તેજિત અવસ્થામાં ગતિઊર્જા $K_5 = \frac{13.6}{5^2} = \frac{13.6}{25}$ છે.
ગતિઊર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{K_4}{K_5} = \frac{13.6/16}{13.6/25} = \frac{25}{16}$ થાય.
આમ,ગુણોત્તર $25: 16$ છે.

(C) કક્ષામાં રહેલા ઇલેક્ટ્રોનની કુલ ઉર્જા $E$ એ તેની ગતિ ઉર્જા $K$ અને સ્થિતિ ઉર્જા $U$ ના સરવાળા દ્વારા આપવામાં આવે છે. બંધિત તંત્ર માટે,જેમ કે પરમાણુમાં રહેલો ઇલેક્ટ્રોન,કુલ ઉર્જા ઋણ $(E < 0)$ હોય છે.
જો કુલ ઉર્જા $E$ ધન $(E > 0)$ હોય,તો તેનો અર્થ એ છે કે ગતિ ઉર્જા એ સ્થિતિ ઉર્જાના મૂલ્ય કરતા વધારે છે. આવા કિસ્સામાં,ઇલેક્ટ્રોન ન્યુક્લિયસ સાથે બંધાયેલો રહેતો નથી અને સ્થિત-વિદ્યુત બળની અસરથી મુક્ત થઈ જાય છે.
તેથી,ઇલેક્ટ્રોન બંધ કક્ષાને અનુસરશે નહીં અને અનંત અંતરે દૂર જશે.

(C) હાઇડ્રોજન પરમાણુને તેની ધરા-સ્થિતિ $(n=1)$ માંથી આયનીકૃત કરવા માટે જરૂરી ઉર્જા તેની આયનીકરણ ઉર્જા જેટલી હોય છે, જે $E = 13.6 \, eV$ છે.
આપાત વિકિરણની મહત્તમ તરંગલંબાઇ $(\lambda_{max})$ શોધવા માટે, આપણે $E = \frac{hc}{\lambda}$ સંબંધનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
કિંમતો મૂકતા: $13.6 \, eV = \frac{1240 \, eV \cdot nm}{\lambda}$.
$\lambda = \frac{1240}{13.6} \, nm \approx 91.17 \, nm$.
આને એંગસ્ટ્રોમ $(Å)$ માં ફેરવતા: $91.17 \, nm = 911.7 \, Å \approx 912 \, Å$.
આમ, જરૂરી મહત્તમ તરંગલંબાઇ આશરે $912 \, Å$ છે.

(B) $1$. પ્રારંભિક સ્થિતિ: કેપેસિટર પાસે $d/2$ જાડાઈ અને $K$ અચળાંક ધરાવતું ડાયલેક્ટ્રિક છે. કેપેસિટન્સ $C_i$ એ બે કેપેસિટરના શ્રેણી જોડાણ દ્વારા મળે છે: એક ડાયલેક્ટ્રિક સાથે $(C_1 = \frac{2K\epsilon_0 A}{d})$ અને એક હવા સાથે $(C_2 = \frac{2\epsilon_0 A}{d})$.
$C_i = \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2} = \frac{\frac{2K\epsilon_0 A}{d} \cdot \frac{2\epsilon_0 A}{d}}{\frac{2\epsilon_0 A}{d}(K+1)} = \frac{2K\epsilon_0 A}{d(K+1)}$.
$2$. કેપેસિટર પરનો વીજભાર: $Q = C_i V = \frac{2K\epsilon_0 A V}{d(K+1)}$.
$3$. બેટરીને દૂર કર્યા પછી,વીજભાર $Q$ અચળ રહે છે.
$4$. અંતિમ સ્થિતિ: ડાયલેક્ટ્રિક દૂર કરવામાં આવે છે,તેથી કેપેસિટર હવા ભરેલું સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટર બને છે જેનું કેપેસિટન્સ $C_f = \frac{\epsilon_0 A}{d}$ છે.
$5$. અંતિમ સ્થિતિમાનનો તફાવત $V_f = \frac{Q}{C_f} = \frac{2K\epsilon_0 A V}{d(K+1)} \cdot \frac{d}{\epsilon_0 A} = V \left( \frac{2K}{K+1} \right)$.

(D) હવા સાથેનું પ્રારંભિક કેપેસિટન્સ $C_0 = 4 \mu F$ છે.
ડાયલેક્ટ્રિક $(K = 5)$ ભર્યા પછી,નવું કેપેસિટન્સ $C = K C_0 = 5 \times 4 \mu F = 20 \mu F$ થાય છે.
કેપેસિટર પરનો ચાર્જ $Q = C V = 20 \mu F \times 100 \ V = 2000 \mu C = 2 \times 10^{-3} \ C$ છે.
કેપેસિટર બેટરીથી ડિસ્કનેક્ટ થયેલ હોવાથી,ચાર્જ $Q$ અચળ રહે છે.
ડાયલેક્ટ્રિક સાથે સંગ્રહિત પ્રારંભિક ઉર્જા: $U_i = \frac{Q^2}{2C} = \frac{(2 \times 10^{-3})^2}{2 \times 20 \times 10^{-6}} = \frac{4 \times 10^{-6}}{40 \times 10^{-6}} = 0.1 \ J$.
ડાયલેક્ટ્રિક દૂર કર્યા પછીનું અંતિમ કેપેસિટન્સ: $C_f = C_0 = 4 \mu F$.
સંગ્રહિત અંતિમ ઉર્જા: $U_f = \frac{Q^2}{2C_f} = \frac{(2 \times 10^{-3})^2}{2 \times 4 \times 10^{-6}} = \frac{4 \times 10^{-6}}{8 \times 10^{-6}} = 0.5 \ J$.
બાહ્ય બળ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય $W = U_f - U_i = 0.5 \ J - 0.1 \ J = 0.4 \ J$.

(A) પ્રથમ કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત પ્રારંભિક ઉર્જા: $U_i = \frac{1}{2} C_1 V^2 = \frac{1}{2} \times 10 \times 10^{-6} \times (220)^2 = 5 \times 10^{-6} \times 48400 = 0.242 \text{ J} = 242 \text{ mJ}$.
જ્યારે તેને બીજા કેપેસિટર સાથે જોડવામાં આવે છે,ત્યારે ચાર્જ $Q = C_1 V = 10 \times 10^{-6} \times 220 = 2.2 \times 10^{-3} \text{ C}$ નું પુનઃવિતરણ થાય છે.
સામાન્ય પોટેન્શિયલ $V'$ આ મુજબ મળે: $V' = \frac{Q}{C_1 + C_2} = \frac{2.2 \times 10^{-3}}{10 \times 10^{-6} + 12 \times 10^{-6}} = \frac{2.2 \times 10^{-3}}{22 \times 10^{-6}} = 100 \text{ V}$.
સિસ્ટમમાં સંગ્રહિત અંતિમ ઉર્જા: $U_f = \frac{1}{2} (C_1 + C_2) (V')^2 = \frac{1}{2} \times 22 \times 10^{-6} \times (100)^2 = 11 \times 10^{-6} \times 10000 = 0.11 \text{ J} = 110 \text{ mJ}$.
ઉર્જાનો વ્યય: $\Delta U = U_i - U_f = 242 \text{ mJ} - 110 \text{ mJ} = 132 \text{ mJ}$.

(B) વાણી સંકેતો એ માનવ અવાજના સંકેતો છે જે સામાન્ય રીતે $20 \ Hz$ થી $20 \ kHz$ ની આવૃત્તિ શ્રેણી ધરાવે છે. જો કે,વ્યાવસાયિક ટેલિફોનિક સંચાર માટે,સમગ્ર શ્રાવ્ય શ્રેણીનું પ્રસારણ કરવું જરૂરી નથી. પ્રસારણમાં સ્પષ્ટતા અને કાર્યક્ષમતા સુનિશ્ચિત કરવા માટે,આવૃત્તિ શ્રેણીને મર્યાદિત કરવામાં આવે છે. વ્યાવસાયિક ટેલિફોનીમાં વાણી સંકેતો માટે પૂરતી પ્રમાણભૂત આવૃત્તિ શ્રેણી $300 \ Hz$ થી $3100 \ Hz$ છે.

(C) કોએક્સિયલ કેબલ એ ટ્રાન્સમિશન લાઇનનો એક પ્રકાર છે જેમાં અંદરના વાહકની આસપાસ નળાકાર ઇન્સ્યુલેટીંગ લેયર અને તેની ઉપર નળાકાર વાહક કવચ હોય છે.
તેનો ઉપયોગ કેબલ ટેલિવિઝન,બ્રોડબેન્ડ ઇન્ટરનેટ અને અન્ય હાઇ-ફ્રીક્વન્સી સિગ્નલ ટ્રાન્સમિશન માટે વ્યાપકપણે થાય છે.
કોએક્સિયલ કેબલની ફ્રીક્વન્સી બેન્ડવિડ્થ સામાન્ય રીતે $750 \text{ MHz}$ સુધીની હોય છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) કેરિયર વેવની આવૃત્તિ $f_c = 1 \text{ MHz} = 1000 \text{ kHz}$ છે.
મેસેજ સિગ્નલની આવૃત્તિ $f_m = 28 \text{ kHz}$ છે.
સાઇડ બેન્ડની આવૃત્તિઓ અપર સાઇડ બેન્ડ $(USB)$ અને લોઅર સાઇડ બેન્ડ $(LSB)$ ના સૂત્રો દ્વારા મળે છે:
$USB = f_c + f_m = 1000 \text{ kHz} + 28 \text{ kHz} = 1028 \text{ kHz}$.
$LSB = f_c - f_m = 1000 \text{ kHz} - 28 \text{ kHz} = 972 \text{ kHz}$.
તેથી,સાઇડ બેન્ડની આવૃત્તિઓ $1028 \text{ kHz}$ અને $972 \text{ kHz}$ છે.

(B) $h$ ઊંચાઈ ધરાવતા ટ્રાન્સમિટિંગ એન્ટેનાની રેન્જ $d$ શોધવાનું સૂત્ર $d = \sqrt{2Rh}$ છે,જ્યાં $R$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે.
આપેલ છે: $h = 980 \ m = 0.98 \ km$ અને $R = 6400 \ km$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$d = \sqrt{2 \times 6400 \times 0.98}$
$d = \sqrt{12800 \times 0.98}$
$d = \sqrt{12544}$
$d = 112 \ km$.
તેથી,ટ્રાન્સમિટિંગ એન્ટેનાની રેન્જ $112 \ km$ છે.

(D) વાતાવરણનું જે સ્તર રેડિયો તરંગોને,જેમાં ઉચ્ચ આવૃત્તિવાળા તરંગોનો પણ સમાવેશ થાય છે,પરાવર્તિત કરે છે તેને આયનોસ્ફિયર (આયનાવરણ) કહેવામાં આવે છે,જે ઉષ્માવરણ (Thermosphere) નો એક ભાગ છે.
રાત્રિ દરમિયાન,આયનાવરણ વધુ સ્થિર બને છે અને આ તરંગોને પરાવર્તિત કરવામાં વધુ અસરકારક સાબિત થાય છે,જેનાથી લાંબા અંતરનું સંચાર શક્ય બને છે.
તેથી,સાચો જવાબ ઉષ્માવરણ (Thermosphere) છે.

(C) $h$ ઊંચાઈ ધરાવતા ટ્રાન્સમિટિંગ એન્ટેના માટે રેડિયો ક્ષિતિજનું અંતર $d$ શોધવાનું સૂત્ર $d = \sqrt{2Rh}$ છે,જ્યાં $R$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે.
આપેલ છે: $h = 39.2 \ m = 39.2 \times 10^{-3} \ km$ અને $R = 6400 \ km$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$d = \sqrt{2 \times 6400 \times 39.2 \times 10^{-3}}$
$d = \sqrt{12800 \times 0.0392}$
$d = \sqrt{501.76}$
$d = 22.4 \ km$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) તારનો કુલ અવરોધ $R = 36 \Omega$ છે.
જ્યારે તારને અર્ધવર્તુળાકાર લૂપમાં વાળવામાં આવે છે,ત્યારે તાર વ્યાસની સાથે બે સમાન ભાગોમાં વહેંચાઈ જાય છે.
દરેક અર્ધ ભાગનો અવરોધ $R' = \frac{R}{2} = \frac{36}{2} = 18 \Omega$ થાય છે.
આ બે અર્ધ ભાગો વ્યાસના છેડાઓ વચ્ચે સમાંતર જોડાણમાં જોડાયેલા છે.
સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ માટેનું સૂત્ર: $\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R'} + \frac{1}{R'}$.
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{18} + \frac{1}{18} = \frac{2}{18} = \frac{1}{9}$.
તેથી,$R_{eq} = 9 \Omega$.

(D) ધારો કે કોષનું ઈલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ $(EMF)$ $E$ છે અને તેનો આંતરિક અવરોધ $r$ છે. પરિપથમાં વહેતો પ્રવાહ $I = 2 \ A$ છે.
જ્યારે પ્રવાહ સામાન્ય દિશામાં વહે છે,ત્યારે ટર્મિનલ વોલ્ટેજ $V_1 = E - Ir$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $20 = E - 2r$ --- (સમીકરણ $1$).
જ્યારે પ્રવાહની દિશા ઉલટાવવામાં આવે છે,ત્યારે કોષ ચાર્જ થઈ રહ્યો છે,તેથી ટર્મિનલ વોલ્ટેજ $V_2 = E + Ir$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $30 = E + 2r$ --- (સમીકરણ $2$).
સમીકરણ $2$ માંથી સમીકરણ $1$ બાદ કરતા: $(E + 2r) - (E - 2r) = 30 - 20$.
$4r = 10$.
$r = 2.5 \ \Omega$.
આમ,કોષનો આંતરિક અવરોધ $2.5 \ \Omega$ છે.

(A) ચાર્જ કેરિયર્સની મોબિલિટી $\mu$ ને ડ્રિફ્ટ વેગ $v_d$ અને લાગુ કરેલા વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ ના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
સૂત્ર: $\mu = \frac{v_d}{E}$
આપેલ છે:
ડ્રિફ્ટ વેગ $v_d = 0.3 \ m s^{-1}$
વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = 2 \ V m^{-1}$
ગણતરી:
$\mu = \frac{0.3}{2} = 0.15 \ m^2 V^{-1} s^{-1}$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) ડ્રિફ્ટ વેગ $v_d$ નું સૂત્ર $v_d = \frac{I}{neA}$ છે,જ્યાં $I$ એ વિદ્યુતપ્રવાહ,$n$ એ ઇલેક્ટ્રોન ઘનતા,$e$ એ ઇલેક્ટ્રોનનો વીજભાર અને $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે.
બંને તાર સમાન બેટરી સાથે સમાંતર જોડાણમાં હોવાથી,બંને તાર વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V$ સમાન રહેશે.
ઓમના નિયમ મુજબ,$I = \frac{V}{R}$,જ્યાં $R = \rho \frac{L}{A}$. તેથી,$I = \frac{VA}{\rho L}$.
આ કિંમત ડ્રિફ્ટ વેગના સૂત્રમાં મૂકતા: $v_d = \frac{VA}{neA\rho L} = \frac{V}{ne\rho L}$.
બંને તાર સમાન દ્રવ્યના હોવાથી,$n$,$e$ અને $\rho$ અચળ છે. વળી,$V$ પણ અચળ છે.
તેથી,$v_d \propto \frac{1}{L}$.
લંબાઈનો ગુણોત્તર $L_1 : L_2 = 2 : 3$ છે.
તેથી,ડ્રિફ્ટ વેગનો ગુણોત્તર $\frac{v_{d1}}{v_{d2}} = \frac{L_2}{L_1} = \frac{3}{2}$ થશે.

(A) પોટેન્શિયોમીટરના તારનો એકમ લંબાઈ દીઠ અવરોધ $\lambda = \frac{R}{L} = \frac{5 \ \Omega}{10 \ m} = 0.5 \ \Omega/m$ છે.
$6.6 \ m$ $(660 \ cm)$ લંબાઈના તારના ટુકડાનો અવરોધ $R' = 0.5 \ \Omega/m \times 6.6 \ m = 3.3 \ \Omega$ થાય.
આ ટુકડા પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V' = I \times R'$ છે,જ્યાં $I$ એ પોટેન્શિયોમીટરના તારમાં વહેતો પ્રવાહ છે.
આપેલ છે કે $V' = 1.1 \ V$,તેથી $1.1 = I \times 3.3$,જે આપણને $I = \frac{1.1}{3.3} = \frac{1}{3} \ A$ આપે છે.
પરિપથમાં પ્રવાહ $I = \frac{E}{R + r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $E = 2.2 \ V$,$R = 5 \ \Omega$,અને $r$ એ આંતરિક અવરોધ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{3} = \frac{2.2}{5 + r}$.
$5 + r = 3 \times 2.2 = 6.6$.
$r = 6.6 - 5 = 1.6 \ \Omega$.

(C) પ્રાથમિક પરિપથમાં કુલ અવરોધ $R_{total} = R_{wire} + R_{series} = 8 \ \Omega + 242 \ \Omega = 250 \ \Omega$ છે.
પોટેન્શિયોમીટરના તારમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I = \frac{V}{R_{total}} = \frac{2.5 \ V}{250 \ \Omega} = 0.01 \ A$ છે.
આખા તાર પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો ઘટાડો $V_{wire} = I \times R_{wire} = 0.01 \ A \times 8 \ \Omega = 0.08 \ V$ છે.
પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ $k$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો ઘટાડો છે: $k = \frac{V_{wire}}{L} = \frac{0.08 \ V}{2.5 \ m} = 0.032 \ V/m$.
$l = 20 \ cm = 0.2 \ m$ લંબાઈ પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V' = k \times l = 0.032 \ V/m \times 0.2 \ m = 0.0064 \ V = 6.4 \ mV$ થાય.

(A) મૂવિંગ કોઈલ ગેલ્વેનોમીટરની વોલ્ટેજ સંવેદનશીલતા $(V_s)$ નું સૂત્ર $V_s = \frac{NBA}{kR}$ છે,જ્યાં $N$ એ આંટાની સંખ્યા છે,$B$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર છે,$A$ એ ક્ષેત્રફળ છે,$k$ એ ટોર્સનલ અચળાંક છે અને $R$ એ અવરોધ છે.
વોલ્ટેજ સંવેદનશીલતાનો ગુણોત્તર: $\frac{V_{sA}}{V_{sB}} = \frac{4}{3}$.
અવરોધનો ગુણોત્તર: $\frac{R_A}{R_B} = \frac{3}{4}$.
ક્ષેત્રફળનો ગુણોત્તર: $\frac{A_A}{A_B} = \frac{1}{2}$.
અહીં $B$ અને $k$ અચળ હોવાથી,$\frac{V_{sA}}{V_{sB}} = \frac{N_A A_A R_B}{N_B A_B R_A}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\frac{4}{3} = \frac{N_A}{N_B} \times (\frac{1}{2}) \times (\frac{4}{3})$.
$\frac{4}{3} = \frac{N_A}{N_B} \times \frac{2}{3}$.
$\frac{N_A}{N_B} = \frac{4}{3} \times \frac{3}{2} = 2$.
$N_A = 200$ આપેલ હોવાથી,$N_B = \frac{N_A}{2} = \frac{200}{2} = 100$.

(A) પોટેન્શિયોમીટરમાં,સંતુલન લંબાઈ $l$ એ કોષના ટર્મિનલ પોટેન્શિયલ તફાવત $V$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
શરૂઆતમાં,જ્યારે કોષ ઓપન સર્કિટમાં હોય,ત્યારે સંતુલન લંબાઈ $l_1 = kE$ છે,જ્યાં $E$ એ કોષનું $EMF$ છે અને $k$ એ પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ છે.
જ્યારે સમાંતરમાં $R$ જેટલો બાહ્ય અવરોધ જોડવામાં આવે છે,ત્યારે ટર્મિનલ પોટેન્શિયલ તફાવત $V = E \left( \frac{R}{R + r} \right)$ થાય છે,જ્યાં $r$ એ આંતરિક અવરોધ છે.
નવી સંતુલન લંબાઈ $l_2 = kV = kE \left( \frac{R}{R + r} \right)$ છે.
આપેલ છે કે સંતુલન લંબાઈમાં $10 \%$ નો ઘટાડો થાય છે,તેથી $l_2 = l_1 - 0.1l_1 = 0.9l_1$.
$l_1$ અને $l_2$ ના સમીકરણો મૂકતા: $kE \left( \frac{R}{R + r} \right) = 0.9 kE$.
બંને બાજુ $kE$ વડે ભાગતા: $\frac{R}{R + r} = 0.9 = \frac{9}{10}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા $10R = 9(R + r) = 9R + 9r$ મળે છે.
તેથી,$R = 9r$,જેનો અર્થ છે કે $r = \frac{R}{9}$.

(D) ઇલેક્ટ્રિક મોટરનો પાવર $P$ એ $P = \frac{V^2}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $V$ એ વોલ્ટેજ છે અને $R$ એ મોટરનો અવરોધ છે.
પ્રથમ,આપણે પ્રારંભિક શરતોનો ઉપયોગ કરીને અવરોધ $R$ ની ગણતરી કરીએ છીએ: $P_1 = 242 \ W$ અને $V_1 = 220 \ V$.
$R = \frac{V_1^2}{P_1} = \frac{220 \times 220}{242} = \frac{48400}{242} = 200 \ \Omega$.
હવે,જ્યારે મોટરને $V_2 = 200 \ V$ પર ચલાવવામાં આવે છે,ત્યારે મોટર દ્વારા ખેંચાતો પ્રવાહ $I$ ઓહ્મના નિયમ દ્વારા મળે છે: $I = \frac{V_2}{R}$.
$I = \frac{200 \ V}{200 \ \Omega} = 1 \ A$.
આમ,ખેંચાતો પ્રવાહ $1 \ A$ છે.

(A) બિંદુઓ $C$ અને $D$ વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત શોધવા માટે,આપણે પહેલા $C$ અને $D$ વચ્ચેના અવરોધમાંથી વહેતો પ્રવાહ નક્કી કરવો પડશે.
જંકશન $C$ પર કિર્ચોફનો પ્રવાહનો નિયમ $(KCL)$ લાગુ કરતા:
જંકશનમાં પ્રવેશતા પ્રવાહોનો સરવાળો એ જંકશનમાંથી બહાર નીકળતા પ્રવાહોના સરવાળા જેટલો હોવો જોઈએ.
ધારો કે $I_{BC}$ એ $B$ થી $C$ તરફ વહેતો પ્રવાહ છે,$I_{CF}$ એ $C$ થી $F$ તરફ વહેતો પ્રવાહ છે,$I_{CG}$ એ $C$ થી $G$ તરફ વહેતો પ્રવાહ છે,અને $I_{CD}$ એ $C$ થી $D$ તરફ વહેતો પ્રવાહ છે.
પહેલા,જંકશન $B$ પર $KCL$ નો ઉપયોગ કરીને $I_{BC}$ શોધો:
$I_{AB} + I_{EB} = I_{BC}$
$4 \ A + 1.8 \ A = I_{BC}$
$I_{BC} = 5.8 \ A$
હવે,જંકશન $C$ પર $KCL$ લાગુ કરો:
$I_{BC} = I_{CF} + I_{CG} + I_{CD}$
$5.8 \ A = 1.3 \ A + 1 \ A + I_{CD}$
$5.8 \ A = 2.3 \ A + I_{CD}$
$I_{CD} = 5.8 \ A - 2.3 \ A = 3.5 \ A$
$C$ અને $D$ વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત ઓહ્મના નિયમ દ્વારા મળે છે:
$V_{CD} = I_{CD} \times R_{CD}$
$V_{CD} = 3.5 \ A \times 8 \ \Omega = 28 \ V$.

(A) ધારો કે જંકશન $A$ પરનું સ્થિતિમાન $V_A = 3 \text{ V}$ અને જંકશન $C$ પરનું સ્થિતિમાન $V_C = 0 \text{ V}$ છે.
ધારો કે જંકશન $B$ પરનું સ્થિતિમાન $V_B$ છે.
જંકશન $B$ પર કિર્ચોફનો પ્રવાહનો નિયમ $(KCL)$ લાગુ પાડતા:
$\frac{V_B - V_A}{6} + \frac{V_B - V_C}{12} + \frac{V_B - V_C}{12} = 0$
$\frac{V_B - 3}{6} + \frac{V_B}{12} + \frac{V_B}{12} = 0$
$12$ વડે ગુણતા:
$2(V_B - 3) + V_B + V_B = 0$
$2V_B - 6 + 2V_B = 0$
$4V_B = 6 \implies V_B = 1.5 \text{ V}$.
$A$ અને $B$ વચ્ચેના $6 \Omega$ ના અવરોધમાંથી પસાર થતો વિદ્યુતપ્રવાહ $I = \frac{V_A - V_B}{6} = \frac{3 - 1.5}{6} = \frac{1.5}{6} = 0.25 \text{ A}$ છે.

(B) આપેલ છે:
આડછેદનું ક્ષેત્રફળ,$A = 6 \times 10^{-7} \ m^2$
પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ,$x = \frac{V}{L} = 0.15 \ Vm^{-1}$
પ્રવાહ,$I = 0.3 \ A$
ઓમના નિયમ મુજબ,$L$ લંબાઈ પરનો સ્થિતિમાનનો તફાવત $V = I \times R$ છે,જ્યાં $R = \rho \frac{L}{A}$.
$V$ ના સમીકરણમાં $R$ મૂકતા,આપણને $V = I \times \rho \frac{L}{A}$ મળે છે.
પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ માટે ગોઠવતા: $\frac{V}{L} = \frac{I \times \rho}{A}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $0.15 = \frac{0.3 \times \rho}{6 \times 10^{-7}}$.
$\rho$ માટે ઉકેલતા: $\rho = \frac{0.15 \times 6 \times 10^{-7}}{0.3}$.
$\rho = 0.5 \times 6 \times 10^{-7} = 3 \times 10^{-7} \ \Omega \ m$.

(D) ધારો કે ડાબા ગેપનો અવરોધ $R_L$ છે અને જમણા ગેપનો અવરોધ $R_R$ છે.
પ્રથમ કિસ્સામાં,જમણા ગેપમાં બે સમાન અવરોધો $r$ શ્રેણીમાં છે,તેથી $R_R = r + r = 2r$.
સંતુલન બિંદુ $l_1 = 50 \ cm$ પર છે.
મીટર બ્રિજના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{R_L}{R_R} = \frac{l_1}{100 - l_1} \implies \frac{R_L}{2r} = \frac{50}{50} = 1 \implies R_L = 2r$.
બીજા કિસ્સામાં,જમણા ગેપમાંથી એક અવરોધ $r$ દૂર કરવામાં આવે છે,તેથી નવો જમણો અવરોધ $R_R' = r$ થાય છે.
આ દૂર કરેલ અવરોધ $r$ ને $R_L$ સાથે સમાંતર જોડવામાં આવે છે.
નવો ડાબો અવરોધ $R_L' = \frac{R_L \cdot r}{R_L + r} = \frac{2r \cdot r}{2r + r} = \frac{2r^2}{3r} = \frac{2}{3}r$ થાય છે.
ધારો કે નવું સંતુલન બિંદુ $l_2$ છે.
તેથી $\frac{R_L'}{R_R'} = \frac{l_2}{100 - l_2} \implies \frac{(2/3)r}{r} = \frac{l_2}{100 - l_2} \implies \frac{2}{3} = \frac{l_2}{100 - l_2}$.
$2(100 - l_2) = 3l_2 \implies 200 - 2l_2 = 3l_2 \implies 5l_2 = 200 \implies l_2 = 40 \ cm$.

(A) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{max} = E - \Phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $E$ એ આપાત ફોટોનની ઉર્જા છે અને $\Phi$ એ પદાર્થનું વર્ક ફંક્શન છે.
આપેલ છે કે $E = 4.5 \ eV$ અને $\Phi = 3 \ eV$,તેથી $K_{max} = 4.5 \ eV - 3 \ eV = 1.5 \ eV$.
આ ઉર્જાને જૂલમાં ફેરવતા: $K_{max} = 1.5 \times 1.6 \times 10^{-19} \ J = 2.4 \times 10^{-19} \ J$.
ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ નું સૂત્ર $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mK_{max}}}$ છે,જ્યાં $h = 6.63 \times 10^{-34} \ J \cdot s$ અને $m = 9.1 \times 10^{-31} \ kg$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\lambda = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{\sqrt{2 \times 9.1 \times 10^{-31} \times 2.4 \times 10^{-19}}} = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{\sqrt{43.68 \times 10^{-50}}} = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{6.61 \times 10^{-25}} \approx 1.0 \times 10^{-9} \ m$.
$1 \ Å = 10^{-10} \ m$ હોવાથી,$\lambda \approx 10 \ Å$ મળે છે.

(B) હાઇડ્રોજન પરમાણુની $n$-મી કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનની સ્થિતિ ઊર્જા $U = -27.2 / n^2 \text{ eV}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $U = -6.8 \text{ eV}$,તેથી $-27.2 / n^2 = -6.8$,જેનો અર્થ છે કે $n^2 = 27.2 / 6.8 = 4$,એટલે કે $n = 2$.
$n$-મી કક્ષાની ત્રિજ્યા $r_n = n^2 r_0$ છે. $n = 2$ માટે,$r_2 = 2^2 r_0 = 4 r_0$.
બોહરની ક્વોન્ટાઇઝેશન શરત મુજબ,કક્ષાનો પરિઘ એ ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇનો પૂર્ણાંક ગુણાંક છે: $2 \pi r_n = n \lambda$.
કિંમતો મૂકતા,$2 \pi (4 r_0) = 2 \lambda$.
$\lambda$ માટે ઉકેલતા,આપણને $\lambda = (8 \pi r_0) / 2 = 4 \pi r_0$ મળે છે.

(C) ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\lambda$ નું સૂત્ર $\lambda = \frac{h}{p}$ છે,જ્યાં $p = \sqrt{2mK}$ અને $K$ એ ગતિઊર્જા છે.
તેથી,$\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mK}}$,જેનો અર્થ છે કે $K = \frac{h^2}{2m\lambda^2}$.
આપેલ છે: $h = 6.6 \times 10^{-34} \text{ J s}$,$m = 9 \times 10^{-31} \text{ kg}$,અને $\lambda = 6600 \times 10^{-10} \text{ m} = 6.6 \times 10^{-7} \text{ m}$.
કિંમતો મૂકતા:
$K = \frac{(6.6 \times 10^{-34})^2}{2 \times 9 \times 10^{-31} \times (6.6 \times 10^{-7})^2}$
$K = \frac{6.6^2 \times 10^{-68}}{18 \times 10^{-31} \times 6.6^2 \times 10^{-14}}$
$K = \frac{10^{-68}}{18 \times 10^{-45}} = \frac{1}{18} \times 10^{-23} \approx 0.0556 \times 10^{-23} \text{ J} = 5.56 \times 10^{-25} \text{ J}$.
કારણ કે કરવામાં આવેલ કાર્ય એ મેળવેલી ગતિઊર્જા જેટલું હોય છે,તેથી કરવામાં આવેલ કાર્ય $5.56 \times 10^{-25} \text{ J}$ છે.

(C) આઈન્સ્ટાઈનના પ્રકાશ-વિદ્યુત સમીકરણ મુજબ,ફોટોઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{max} = E - \phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $E$ એ આપાત ફોટોનની ઊર્જા છે અને $\phi$ એ પદાર્થનું વર્ક ફંક્શન છે.
કારણ કે $K_{max} = e V_s$,જ્યાં $V_s$ એ સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ છે,તેથી $e V_s = E - \phi$ મળે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે: $e(1.7 \ V) = 3.1 \ eV - \phi$,જેનો અર્થ છે કે $\phi = 3.1 \ eV - 1.7 \ eV = 1.4 \ eV$.
બીજા કિસ્સા માટે: $e V_s' = 2.5 \ eV - \phi$.
$\phi$ ની કિંમત મૂકતા: $e V_s' = 2.5 \ eV - 1.4 \ eV = 1.1 \ eV$.
તેથી,સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_s' = 1.1 \ V$ થાય.

(A) ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા $(K_{max})$ નું સૂત્ર: $K_{max} = \frac{1}{2} m v_{max}^2$ છે.
અહીં $m = 9 \times 10^{-31} \text{ kg}$ અને $v_{max} = 8 \times 10^5 \text{ m/s}$ આપેલ છે.
$K_{max} = \frac{1}{2} \times (9 \times 10^{-31}) \times (8 \times 10^5)^2$.
$K_{max} = 0.5 \times 9 \times 10^{-31} \times 64 \times 10^{10} = 288 \times 10^{-21} \text{ J}$.
આ ઊર્જાને ઈલેક્ટ્રોન-વોલ્ટ (eV) માં ફેરવવા માટે,ઈલેક્ટ્રોનના વીજભાર $(e = 1.6 \times 10^{-19} \text{ C})$ વડે ભાગતા:
$K_{max} \text{ (eV માં)} = \frac{288 \times 10^{-21}}{1.6 \times 10^{-19}} = 180 \times 10^{-2} = 1.8 \text{ eV}$.
સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $(V_s)$ અને મહત્તમ ગતિઊર્જા વચ્ચેનો સંબંધ: $K_{max} = e V_s$.
તેથી,$V_s = \frac{K_{max}}{e} = 1.8 \text{ V}$.

(C) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ, ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{max} = h\nu - \phi_0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $h$ પ્લાન્કનો અચળાંક છે, $\nu$ આપાત વિકિરણની આવૃત્તિ છે અને $\phi_0$ વર્ક ફંક્શન છે.
કારણ કે $K_{max} = eV_s$, જ્યાં $e$ એ ઈલેક્ટ્રોનનો વીજભાર છે અને $V_s$ એ સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ છે, આપણે લખી શકીએ:
$eV_s = h\nu - \phi_0$
$V_s = (\frac{h}{e})\nu - \frac{\phi_0}{e}$
આ સમીકરણ સુરેખ રેખા $y = mx + c$ ના સ્વરૂપમાં છે, જ્યાં $y = V_s$, $x = \nu$, અને ઢાળ $m = \frac{h}{e}$ છે.
આપેલ છે કે $h = 6.6 \times 10^{-34} \text{ Js}$ અને $e = 1.6 \times 10^{-19} \text{ C}$.
ઢાળ $m = \frac{6.6 \times 10^{-34}}{1.6 \times 10^{-19}} = 4.125 \times 10^{-15} \text{ JsC}^{-1}$.
આમ, સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) કોઈલમાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = 2t^2 + 3t - 2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ફેરાડેના વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત વિદ્યુતચાલક બળ $(e)$ $e = -\frac{d\phi}{dt}$ છે.
$e = -\frac{d}{dt}(2t^2 + 3t - 2) = -(4t + 3)$.
પ્રેરિત $EMF$ નું મૂલ્ય $|e| = 4t + 3$ છે.
$t = 3 \ s$ સમયે,પ્રેરિત $EMF$ $|e| = 4(3) + 3 = 12 + 3 = 15 \ V$ થાય.
કોઈલમાં પ્રેરિત પ્રવાહ $I = \frac{|e|}{R} = \frac{15 \ V}{7.5 \ \Omega} = 2 \ A$ છે.
કોઈલમાં ઉત્પન્ન થતો પાવર $(P)$ $P = I^2 R = (2)^2 \times 7.5 = 4 \times 7.5 = 30 \ W$ છે.

(B) કોઈલમાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = NBA \cos \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\theta$ એ એરિયા વેક્ટર અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર વચ્ચેનો ખૂણો છે.
આપેલ છે કે કોઈલનું સમતલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર સાથે $\frac{\pi}{6}$ નો ખૂણો બનાવે છે,તેથી એરિયા વેક્ટર અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર વચ્ચેનો ખૂણો $\theta_1 = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3} = 60^\circ$ થાય.
પ્રારંભિક ફ્લક્સ $\phi_1 = NBA \cos(60^\circ) = 250 \times 2 \times (120 \times 10^{-4}) \times 0.5 = 3 \ Wb$.
જ્યારે કોઈલનું સમતલ ચુંબકીય ક્ષેત્રને સમાંતર હોય,ત્યારે એરિયા વેક્ટર ચુંબકીય ક્ષેત્રને લંબ હોય છે,તેથી $\theta_2 = 90^\circ$.
અંતિમ ફ્લક્સ $\phi_2 = NBA \cos(90^\circ) = 0 \ Wb$.
ફ્લક્સમાં ફેરફાર $\Delta \phi = |\phi_2 - \phi_1| = 3 \ Wb$.
પ્રેરિત $EMF$ $\varepsilon = \frac{\Delta \phi}{\Delta t} = \frac{3}{100 \times 10^{-3}} = 30 \ V$.
પ્રેરિત પ્રવાહ $I = \frac{\varepsilon}{R} = \frac{30}{8} = 3.75 \ A$.

(A) આપેલ છે: ક્ષેત્રફળ $A = 3 \times 10^{-2} \, m^2$, આંટાની સંખ્યા $N = 900$, અવરોધ $R = 1.8 \, \Omega$, ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = 3.5 \times 10^{-5} \, T$, સમય $t = 0.5 \, s$.
પ્રારંભિક ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi_i = N B A \cos(0^{\circ}) = N B A$.
અંતિમ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi_f = N B A \cos(180^{\circ}) = -N B A$.
ફ્લક્સમાં ફેરફાર $\Delta \phi = \phi_f - \phi_i = -2 N B A$.
પ્રેરિત $EMF$ $\varepsilon = -\frac{\Delta \phi}{\Delta t} = \frac{2 N B A}{t}$.
પ્રેરિત પ્રવાહ $I = \frac{\varepsilon}{R} = \frac{2 N B A}{R t}$.
કિંમતો મૂકતા: $I = \frac{2 \times 900 \times 3.5 \times 10^{-5} \times 3 \times 10^{-2}}{1.8 \times 0.5}$.
$I = \frac{1800 \times 10.5 \times 10^{-7}}{0.9} = 2000 \times 10.5 \times 10^{-7} = 21000 \times 10^{-7} = 2.1 \times 10^{-3} \, A = 2.1 \, mA$.

(D) કોઈલ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi$ નું સૂત્ર $\phi = N \vec{B} \cdot \vec{A} = N B A \cos \theta$ છે,જ્યાં $\theta$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશ $\vec{B}$ અને ક્ષેત્રફળ સદિશ $\vec{A}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
ક્ષેત્રફળ સદિશ $\vec{A}$ હંમેશા કોઈલના સમતલને લંબ હોય છે.
અહીં આપેલ છે કે કોઈલનું સમતલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ ને સમાંતર છે,તેથી ક્ષેત્રફળ સદિશ $\vec{A}$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ વચ્ચેનો ખૂણો $90^\circ$ થશે.
તેથી,$\theta = 90^\circ$.
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા: $\phi = N B A \cos(90^\circ) = N B A (0) = 0$.
આમ,કોઈલ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ શૂન્ય છે.

(A) ફેરાડેના વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણના નિયમ મુજબ, પ્રેરિત વિદ્યુતચાલક બળ $(EMF)$ $\varepsilon = -\frac{d\phi}{dt}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $\phi = (5t^2 + 4t + 2) \times 10^{-3} \text{ Wb}$ આપેલ છે.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d\phi}{dt} = (10t + 4) \times 10^{-3} \text{ Wb/s}$.
$t = 6 \text{ s}$ સમયે, પ્રેરિત $EMF$ નું મૂલ્ય:
$|\varepsilon| = |10(6) + 4| \times 10^{-3} = 64 \times 10^{-3} \text{ V}$.
પ્રેરિત પ્રવાહ $I = \frac{|\varepsilon|}{R}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં $R = 16 \Omega$ આપેલ છે, તેથી:
$I = \frac{64 \times 10^{-3}}{16} = 4 \times 10^{-3} \text{ A} = 4 \text{ mA}$.
આમ, સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) આત્મ-પ્રેરકત્વ $(L)$ ને કારણે કોઈલ (ગૂંચળા) માં પ્રેરિત emf $(e)$ નું સૂત્ર: $e = -L \frac{di}{dt}$ છે.
આપેલ કિંમતો:
પ્રેરિત emf,$e = 2.8 \ mV = 2.8 \times 10^{-3} \ V$.
પ્રવાહમાં ફેરફાર,$di = 8 \ A - 3 \ A = 5 \ A$.
સમયગાળો,$dt = 0.2 \ s$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા (અહીં આપણે માત્ર મૂલ્યની ગણતરી કરતા હોવાથી ઋણ નિશાનીને અવગણીએ છીએ):
$2.8 \times 10^{-3} = L \times \frac{5}{0.2}$.
$2.8 \times 10^{-3} = L \times 25$.
$L = \frac{2.8 \times 10^{-3}}{25}$.
$L = 0.112 \times 10^{-3} \ H$.
$L = 112 \times 10^{-6} \ H = 112 \ \mu H$.
તેથી,લૂપનું આત્મ-પ્રેરકત્વ $112 \ \mu H$ છે.

(D) માધ્યમમાં વિદ્યુતચુંબકીય તરંગની ઝડપ $v = \frac{1}{\sqrt{\mu \epsilon}} = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \mu_r \epsilon_0 \epsilon_r}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કારણ કે $c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \epsilon_0}} = 3 \times 10^8 \text{ m/s}$,આપણે લખી શકીએ $v = \frac{c}{\sqrt{\mu_r \epsilon_r}}$.
અહીં $\epsilon_r = 8$ અને $\mu_r = 200$ આપેલ છે,તેથી વક્રીભવનાંક $n = \sqrt{\mu_r \epsilon_r} = \sqrt{200 \times 8} = \sqrt{1600} = 40$.
આમ,ઝડપ $v = \frac{3 \times 10^8}{40} = 0.075 \times 10^8 = 7.5 \times 10^6 \text{ m/s}$.
તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{v}{f}$ દ્વારા મળે છે.
અહીં $f = 100 \text{ MHz} = 10^8 \text{ Hz}$ આપેલ છે.
તેથી,$\lambda = \frac{7.5 \times 10^6}{10^8} = 7.5 \times 10^{-2} \text{ m} = 7.5 \text{ cm}$.

(D) પરાવર્તન ન કરતી (સંપૂર્ણ શોષક) સપાટી પર વિદ્યુતચુંબકીય તરંગો દ્વારા લાગતું બળ $F$ નું સૂત્ર $F = \frac{P}{c}$ છે,જ્યાં $P$ એ તરંગોનો પાવર છે અને $c$ એ શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ છે.
આપેલ છે,પાવર $P = 600 \ W$.
પ્રકાશની ઝડપ $c = 3 \times 10^8 \ m/s$.
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે $F = \frac{600}{3 \times 10^8} \ N$.
$F = 200 \times 10^{-8} \ N$.
$F = 2 \times 10^{-6} \ N$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) સ્થાનાંતર પ્રવાહ $I_d$ નું સૂત્ર $I_d = \epsilon_0 \frac{d\Phi_E}{dt}$ છે,જ્યાં $\epsilon_0$ એ શૂન્યાવકાશની પરમિટિવિટી છે અને $\frac{d\Phi_E}{dt}$ એ વિદ્યુત ફ્લક્સમાં થતા ફેરફારનો દર છે.
આપેલ છે કે $\epsilon_0 = 8.854 \times 10^{-12} \text{ F/m}$ અને $\frac{d\Phi_E}{dt} = 9 \pi \times 10^3 \text{ Vm s}^{-1}$.
કિંમતો મૂકતા: $I_d = (8.854 \times 10^{-12}) \times (9 \times 3.14159 \times 10^3)$.
$I_d \approx 8.854 \times 10^{-12} \times 28.27 \times 10^3 \approx 250.3 \times 10^{-9} \text{ A} = 0.25 \mu \text{A}$.

(C) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગની તીવ્રતા $I$ અને વિદ્યુતક્ષેત્રના કંપવિસ્તાર $E_0$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે: $I = \frac{1}{2} c \epsilon_0 E_0^2$.
આપેલ છે: $I = \frac{15}{\pi} \text{ W m}^{-2}$, $c = 3 \times 10^8 \text{ m s}^{-1}$, અને $\epsilon_0 = \frac{1}{36\pi} \times 10^{-9} \text{ F m}^{-1}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{15}{\pi} = \frac{1}{2} \times (3 \times 10^8) \times (\frac{1}{36\pi} \times 10^{-9}) \times E_0^2$.
$\frac{15}{\pi} = \frac{3 \times 10^{-1}}{72\pi} \times E_0^2$.
$\frac{15}{\pi} = \frac{1}{240\pi} \times E_0^2$.
$E_0^2 = 15 \times 240 = 3600$.
$E_0 = \sqrt{3600} = 60 \text{ N C}^{-1}$.

(D) સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરમાં સ્થાનાંતર પ્રવાહ $I$ નું સૂત્ર $I = \varepsilon_0 \frac{d\phi_E}{dt}$ છે,જ્યાં $\phi_E$ એ વિદ્યુત ફ્લક્સ છે.
પ્લેટોના ક્ષેત્રફળ $A$ માંથી પસાર થતું વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi_E = E_{field} \cdot A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $E_{field}$ એ પ્લેટો વચ્ચેનું વિદ્યુતક્ષેત્ર છે.
આ કિંમત સ્થાનાંતર પ્રવાહના સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને $I = \varepsilon_0 \frac{d}{dt}(E_{field} \cdot A)$ મળે છે.
ક્ષેત્રફળ $A$ અચળ હોવાથી,$I = \varepsilon_0 A \frac{dE_{field}}{dt}$ થાય.
અહીં વિદ્યુતક્ષેત્રના ફેરફારનો દર $E$ આપેલ છે,તેથી $\frac{dE_{field}}{dt} = E$ મૂકતા.
આમ,$I = \varepsilon_0 A E$ મળે છે.
ક્ષેત્રફળ $A$ માટે સૂત્ર બનાવતા,$A = \frac{I}{\varepsilon_0 E}$ મળે છે.