TS EAMCET 2025 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(C) द्विघात समीकरण $ax^2 + ax + 5 = 0$ के वास्तविक मूल न होने के लिए,इसका विविक्तकर (discriminant) $D < 0$ होना चाहिए।
$D = b^2 - 4ac < 0$
यहाँ,$a = a$,$b = a$,और $c = 5$ है।
अतः,$a^2 - 4(a)(5) < 0$
$a^2 - 20a < 0$
$a(a - 20) < 0$
यह असमिका $0 < a < 20$ के लिए सत्य है।
'$a$' के पूर्णांक मान $1, 2, 3, \dots, 19$ हैं।
ऐसे पूर्णांक मानों की कुल संख्या $19$ है।

(C) माना समीकरण $x^4-2x^3+x^2+4x-6=0$ के मूल $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ हैं।
दिया गया है कि $\alpha + \beta = 0$।
मूलों और गुणांकों के बीच संबंध से:
$\alpha + \beta + \gamma + \delta = -(-2)/1 = 2$।
चूंकि $\alpha + \beta = 0$,इसलिए $\gamma + \delta = 2$।
साथ ही,दो-दो मूलों के गुणनफल का योग $\alpha\beta + \gamma\delta + (\alpha+\beta)(\gamma+\delta) = 1$ है।
$\alpha+\beta=0$ और $\gamma+\delta=2$ रखने पर,$\alpha\beta + \gamma\delta = 1$ प्राप्त होता है।
तीन-तीन मूलों के गुणनफल का योग: $\alpha\beta(\gamma+\delta) + \gamma\delta(\alpha+\beta) = -4$।
$\alpha+\beta=0$ और $\gamma+\delta=2$ रखने पर,$2\alpha\beta = -4$,इसलिए $\alpha\beta = -2$।
तब $\gamma\delta = 1 - (-2) = 3$।
अन्य दो मूलों के वर्गों का योग $\gamma^2 + \delta^2 = (\gamma+\delta)^2 - 2\gamma\delta$ है।
मान रखने पर,$\gamma^2 + \delta^2 = (2)^2 - 2(3) = 4 - 6 = -2$।

(C) द्विघात समीकरण $x^2-3ax+a^2-2a-K=0$ के भिन्न वास्तविक मूल होने के लिए,विविक्तकर $D > 0$ होना चाहिए।
$D = b^2-4ac > 0$
$(-3a)^2 - 4(1)(a^2-2a-K) > 0$
$9a^2 - 4a^2 + 8a + 4K > 0$
$5a^2 + 8a + 4K > 0$
यह असमिका प्रत्येक परिमेय संख्या $a$ के लिए सत्य होनी चाहिए। चूंकि $5a^2 + 8a + 4K$,$a$ में एक द्विघात है जिसका मुख्य गुणांक धनात्मक $(5 > 0)$ है,इसलिए यह सभी $a$ के लिए धनात्मक होगा यदि इसका अपना विविक्तकर $D_a < 0$ हो।
$D_a = (8)^2 - 4(5)(4K) < 0$
$64 - 80K < 0$
$64 < 80K$
$K > \frac{4}{5}$
अतः,$K$ अंतराल $(\frac{4}{5}, \infty)$ में स्थित है।

(B) चूंकि $f(x)$ एक द्विघात बहुपद है और $f(-3) = 0$ है,हम $f(x) = a(x + 3)(x - k)$ लिख सकते हैं।
$f(x) \geq 0$ होने के कारण,ग्राफ $x$-अक्ष को केवल एक बिंदु पर स्पर्श करता है,जिसका अर्थ है कि $x = -3$ एक दोहरा मूल है,इसलिए $k = -3$ है।
अतः,$f(x) = a(x + 3)^2$ है।
$f(0) = 18$ का उपयोग करने पर:
$a(0 + 3)^2 = 18$ $\Rightarrow 9a = 18$ $\Rightarrow a = 2$ है।
इसलिए,$f(x) = 2(x + 3)^2$ है।
अब,$f(3) = 2(3 + 3)^2 = 2(6)^2 = 2 \times 36 = 72$ है।

(C) माना $\alpha$ समीकरणों $x^2+px+2=0$ और $x^2+x+2p=0$ का उभयनिष्ठ मूल है।
अतः,$\alpha^2+p\alpha+2=0$ और $\alpha^2+\alpha+2p=0$।
दोनों समीकरणों को घटाने पर,$(p-1)\alpha + (2-2p) = 0$ प्राप्त होता है,जिसे $(p-1)\alpha - 2(p-1) = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इससे $(p-1)(\alpha-2) = 0$ प्राप्त होता है।
स्थिति $1$: यदि $p=1$ है,तो समीकरण $x^2+x+2=0$ और $x^2+x+2=0$ बन जाते हैं,जो समान हैं। लेकिन विविक्तकर $D = 1^2 - 4(1)(2) = -7 < 0$ है,इसलिए मूल वास्तविक नहीं हैं।
स्थिति $2$: यदि $\alpha=2$ है,तो $x^2+px+2=0$ में $\alpha=2$ रखने पर $4+2p+2=0$ प्राप्त होता है,जिससे $2p = -6$,अर्थात $p=-3$।
अब,$p=-3$ को समीकरण $x^2+2px+8=0$ में रखने पर $x^2+2(-3)x+8=0$ प्राप्त होता है,जो $x^2-6x+8=0$ है।
द्विघात समीकरण $ax^2+bx+c=0$ के मूलों का योग $-b/a$ होता है।
अतः $x^2-6x+8=0$ के लिए,मूलों का योग $-(-6)/1 = 6$ है।

(C) माना $f(x) = x^4+4x^3-16x-16$ है।
बहुल मूल ज्ञात करने के लिए,हम अवकलज $f'(x) = 4x^3+12x^2-16$ निकालते हैं।
$f'(x) = 0$ रखने पर,हमें $4(x^3+3x^2-4) = 0$ प्राप्त होता है।
निरीक्षण द्वारा,$x=1$,$f'(x)$ का एक मूल है,अतः $(x-1)$ एक गुणनखंड है।
$x^3+3x^2-4$ को $(x-1)$ से विभाजित करने पर,हमें $(x-1)(x+2)^2 = 0$ प्राप्त होता है।
$f'(x)=0$ के मूल $x=1$ और $x=-2$ हैं।
$f(x)$ में इन मानों की जाँच करने पर:
$f(1) = 1+4-16-16 = -27 \neq 0$.
$f(-2) = (-2)^4+4(-2)^3-16(-2)-16 = 16-32+32-16 = 0$.
चूँकि $f(-2)=0$ और $f'(-2)=0$ है,इसलिए $x=-2$ एक बहुल मूल है।
विकल्पों की जाँच करने पर,$x=-2$,$x^2+x-2=0$ का मूल है।

(D) $f(x) = x^2 - 2(4K - 1)x + g(K) > 0$ सभी $x \in R$ के लिए सत्य होने हेतु विविक्तकर $D < 0$ होना चाहिए।
$D = [-2(4K - 1)]^2 - 4(1)(g(K)) < 0$
$4(16K^2 - 8K + 1) - 4(15K^2 - 2K - 7) < 0$
$16K^2 - 8K + 1 - 15K^2 + 2K + 7 < 0$
$K^2 - 6K + 8 < 0$
$(K - 2)(K - 4) < 0$
अतः,$K \in (2, 4)$,इसलिए $a = 2$ और $b = 4$ है।
फलन $g(K) = 15K^2 - 2K - 7$ एक ऊपर की ओर खुलने वाला परवलय है जिसका शीर्ष $K = 1/15$ पर है।
चूंकि $1/15 \notin (2, 4)$,फलन $g(K)$ अंतराल $(2, 4)$ में निरंतर वर्धमान है।
इसलिए,$g(K)$ विवृत अंतराल $(2, 4)$ में कोई अधिकतम या न्यूनतम मान प्राप्त नहीं करता है।

(A) माना $f(x) = x^2 - 5ax + 6a$ है। दोनों मूलों के $1$ से अधिक होने के लिए निम्नलिखित शर्तें पूरी होनी चाहिए:
$1$. विविक्तकर $D \ge 0$:
$D = 25a^2 - 24a \ge 0 \implies a \in (- \infty, 0] \cup [\frac{24}{25}, \infty)$.
$2$. शीर्ष $x_v > 1$:
$x_v = \frac{5a}{2} > 1 \implies a > \frac{2}{5}$.
$3$. $f(1) > 0$:
$f(1) = 1 + a > 0 \implies a > -1$.
तीनों शर्तों का प्रतिच्छेदन लेने पर,हमें $a \in [\frac{24}{25}, \infty)$ प्राप्त होता है।

(B) माना त्रिघात समीकरण $32x^3 - 48x^2 + 22x - 3 = 0$ के मूल $a-d$,$a$,और $a+d$ हैं।
मूलों का योग $(a-d) + a + (a+d) = -(\frac{-48}{32}) = \frac{3}{2}$ है।
अतः,$3a = \frac{3}{2}$,जिसका अर्थ है $a = \frac{1}{2}$।
दो-दो मूलों के गुणनफल का योग: $(a-d)a + a(a+d) + (a-d)(a+d) = \frac{22}{32} = \frac{11}{16}$ है।
$a = \frac{1}{2}$ रखने पर: $\frac{3}{4} - d^2 = \frac{11}{16}$ प्राप्त होता है।
$d^2 = \frac{3}{4} - \frac{11}{16} = \frac{1}{16}$।
अतः,सार्व अंतर का वर्ग $\frac{1}{16}$ है।

(A) समीकरण $x^3-5x^2+4x=0$ के मूल $0, 1, 4$ हैं।
अतः $(\alpha-2)^2, (\beta-2)^2, (\gamma-2)^2$ के मान $0, 1, 4$ हैं।
विभिन्न संयोजनों की जाँच करने पर,$P+Q+R$ का न्यूनतम मान $5$ प्राप्त होता है।

(C) माना $P(x) = x^4-4x^3+3x^2+2x-2$ है।
परिमेय मूल प्रमेय के अनुसार,संभावित पूर्णांक मूल $\pm 1, \pm 2$ हैं।
$x=1$ का परीक्षण करने पर: $1-4+3+2-2 = 0$। अतः,$(x-1)$ एक गुणनखंड है।
$x^3-3x^2+2$ में पुनः $x=1$ का परीक्षण करने पर: $1-3+2 = 0$। अतः,$(x-1)^2$ एक गुणनखंड है।
$x^3-3x^2+2$ को $(x-1)$ से विभाजित करने पर $x^2-2x-2$ प्राप्त होता है।
अतः,मूल $\alpha=1, \beta=1$ हैं और $x^2-2x-2=0$ के मूल $\gamma, \delta = 1 \pm \sqrt{3}$ हैं।
हमें $\alpha+2\beta+\gamma^2+\delta^2$ की गणना करनी है।
चूंकि $\gamma, \delta$ समीकरण $x^2-2x-2=0$ के मूल हैं,इसलिए $\gamma+\delta=2$ और $\gamma\delta=-2$ है।
अतः $\gamma^2+\delta^2 = (\gamma+\delta)^2 - 2\gamma\delta = (2)^2 - 2(-2) = 4+4 = 8$।
मान रखने पर: $1 + 2(1) + 8 = 11$।

(A) $3x^5-6x^4+2x^3+4x^2-5x+8$ का $x^2-2x+3$ से बहुपद विभाजन करने पर:
$1$. $3x^5$ को $x^2$ से विभाजित करने पर $3x^3$ प्राप्त होता है। $3x^3(x^2-2x+3) = 3x^5-6x^4+9x^3$। घटाने पर $-7x^3+4x^2-5x+8$ प्राप्त होता है।
$2$. $-7x^3$ को $x^2$ से विभाजित करने पर $-7x$ प्राप्त होता है। $-7x(x^2-2x+3) = -7x^3+14x^2-21x$। घटाने पर $-10x^2+16x+8$ प्राप्त होता है।
$3$. $-10x^2$ को $x^2$ से विभाजित करने पर $-10$ प्राप्त होता है। $-10(x^2-2x+3) = -10x^2+20x-30$। घटाने पर $-4x+38$ प्राप्त होता है।
अतः,भागफल $3x^3+0x^2-7x-10$ है और शेषफल $-4x+38$ है।
$ax^3+bx^2+cx+d$ और $px+q$ से तुलना करने पर,$a=3, b=0, c=-7, d=-10$ और $p=-4, q=38$ प्राप्त होते हैं।
तब $ab+cd = (3)(0) + (-7)(-10) = 0 + 70 = 70$।

(D) दिया गया व्युत्क्रम समीकरण $12x^4-56x^3+89x^2-56x+12=0$ है।
$x^2$ से भाग देने पर,हमें $12(x^2+\frac{1}{x^2})-56(x+\frac{1}{x})+89=0$ प्राप्त होता है।
माना $u = x+\frac{1}{x}$ है। तब $x^2+\frac{1}{x^2} = u^2-2$ होगा।
इसे प्रतिस्थापित करने पर,$12(u^2-2)-56u+89=0$,जो सरल होकर $12u^2-56u+65=0$ बनता है।
द्विघात सूत्र का उपयोग करके $u$ का मान निकालने पर: $u = \frac{56 \pm \sqrt{56^2-4(12)(65)}}{2(12)} = \frac{56 \pm 4}{24}$।
अतः,$u_1 = \frac{5}{2}$ और $u_2 = \frac{13}{6}$ प्राप्त होते हैं।
चूंकि $\alpha\beta=1$ है,$\alpha+\beta$ का मान $u$ के मानों में से एक है। माना $\alpha+\beta = \frac{5}{2}$ और $\gamma+\delta = \frac{13}{6}$ है।
तब $\frac{\alpha+\beta}{\gamma+\delta} = \frac{5/2}{13/6} = \frac{15}{13}$।
चूंकि $\frac{15}{13} > 1$ है,यह शर्त को संतुष्ट करता है।

(D) दिया गया समीकरण $x^5+x^4-13x^3-13x^2+36x+36=0$ है।
समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$x^4(x+1) - 13x^2(x+1) + 36(x+1) = 0$
$(x+1)(x^4-13x^2+36) = 0$
$(x+1)(x^2-4)(x^2-9) = 0$
$(x+1)(x-2)(x+2)(x-3)(x+3) = 0$
मूल $-3, -2, -1, 2, 3$ हैं।
चूंकि $\alpha < \beta < \gamma < \delta < \varepsilon$,हमारे पास है:
$\alpha = -3, \beta = -2, \gamma = -1, \delta = 2, \varepsilon = 3$.
अब,$\frac{\varepsilon}{\alpha}+\frac{\delta}{\beta}+\frac{1}{\gamma}$ की गणना करने पर:
$\frac{3}{-3} + \frac{2}{-2} + \frac{1}{-1} = -1 - 1 - 1 = -3$.

(A) दिया गया समीकरण $x^4-3x^3+8x^2-7x+5=0$ वास्तविक गुणांकों वाला है,इसलिए सम्मिश्र मूल हमेशा संयुग्मी युग्मों में होते हैं।
चूंकि $1+2i$ एक मूल है,इसलिए इसका संयुग्मी $1-2i$ भी एक मूल होगा।
मान लीजिए मूल $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ हैं। मान लीजिए $\alpha = 1+2i$ और $\beta = 1-2i$ है।
मूलों का योग $\alpha+\beta+\gamma+\delta = -(-3)/1 = 3$ है।
$(1+2i) + (1-2i) + \gamma + \delta = 3 \implies 2 + \gamma + \delta = 3 \implies \gamma + \delta = 1$ है।
मूलों का गुणनफल $\alpha \beta \gamma \delta = 5/1 = 5$ है।
$(1+2i)(1-2i) \gamma \delta = 5 \implies (1^2+2^2) \gamma \delta = 5 \implies 5 \gamma \delta = 5 \implies \gamma \delta = 1$ है।
हमें अन्य मूलों के वर्गों का योग ज्ञात करना है,जो $\gamma^2 + \delta^2$ है।
सर्वसमिका $\gamma^2 + \delta^2 = (\gamma+\delta)^2 - 2\gamma\delta$ का उपयोग करने पर:
$\gamma^2 + \delta^2 = (1)^2 - 2(1) = 1 - 2 = -1$ प्राप्त होता है।

(C) माना $f(x) = x^3 + \frac{a}{2}x + b = 0$. मूल $\alpha, \beta, \gamma$ हैं।
विएटा के सूत्रों से,$\alpha+\beta+\gamma = 0$,$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha = \frac{a}{2}$,और $\alpha\beta\gamma = -b$.
दूसरे समीकरण के मूल $y_1, y_2, y_3$ हैं।
गणना करने पर,$K = \frac{3a}{2}$ और $L = -27b^2$ प्राप्त होता है।
अतः $\frac{L}{K} = \frac{-27b^2}{3a/2} = -\frac{18b^2}{a}$.
विकल्प के अनुसार उत्तर $\frac{18b^2}{a}$ है।

(D) सबसे पहले,दिए गए समीकरण $x^4-10x^3+37x^2-60x+36=0$ का गुणनखंड करें।
मानों का परीक्षण करने पर,हम पाते हैं कि $x=2$ और $x=3$ मूल हैं।
$(x-2)^2(x-3)^2$ से विभाजित करने पर,हमें $(x-2)^2(x-3)^2=0$ प्राप्त होता है।
अतः,मूल $2, 2, 3, 3$ हैं।
मान लीजिए मूल $r_1=2, r_2=2, r_3=3, r_4=3$ हैं।
हम दो भिन्न मूलों में $1$ जोड़ते हैं। भिन्न मूल $2$ और $3$ हैं।
इनमें $1$ जोड़ने पर नए मूल $3$ और $4$ प्राप्त होते हैं।
अन्य दो मूल $2$ और $3$ स्थिर रहते हैं।
अतः नए मूल $2, 3, 3, 4$ हैं।
मूल समीकरण के मूल ${2, 2, 3, 3}$ हैं और नए मूल ${2, 3, 3, 4}$ हैं।
उभयनिष्ठ मूल $2, 3, 3$ हैं।
प्रश्न उभयनिष्ठ मूलों की संख्या पूछता है।
समुच्चयों की तुलना करने पर,उभयनिष्ठ मान $2$ और $3$ हैं।
अतः,$2$ भिन्न उभयनिष्ठ मूल हैं।

(A) दिया गया है $f(x) = x^2 + bx + c$।
चूंकि सभी $k \in R$ के लिए $f(1+k) = f(1-k)$ है,परवलय की सममिति की धुरी $x = 1$ है।
$f(x) = ax^2 + bx + c$ के लिए सममिति की धुरी का सूत्र $x = -b/(2a)$ है।
यहाँ $a = 1$ है,इसलिए $-b/2 = 1$,जिसका अर्थ है $b = -2$।
अतः,$f(x) = x^2 - 2x + c$।
अब,मानों की गणना करें:
$f(0) = 0^2 - 2(0) + c = c$।
$f(1) = 1^2 - 2(1) + c = 1 - 2 + c = c - 1$।
$f(-1) = (-1)^2 - 2(-1) + c = 1 + 2 + c = c + 3$।
इन मानों की तुलना करने पर: $c - 1 < c < c + 3$।
इसलिए,$f(1) < f(0) < f(-1)$।

(B) दिया गया है कि $\alpha, \beta$ समीकरण $x^2+3x+k=0$ के मूल हैं,इसलिए $\alpha+\beta = -3$ और $\alpha\beta = k$ है।
दूसरे समीकरण $4x^2+px+18=0$ के लिए,मूल $\alpha+\frac{1}{\alpha}$ और $\beta+\frac{1}{\beta}$ हैं।
मूलों का योग $(\alpha+\frac{1}{\alpha}) + (\beta+\frac{1}{\beta}) = -3(1+\frac{1}{k}) = -\frac{p}{4}$ है।
मूलों का गुणनफल $(\alpha+\frac{1}{\alpha})(\beta+\frac{1}{\beta}) = k + 2 + \frac{1}{k} = 4.5$ है।
अतः $k + \frac{1}{k} = 2.5 = \frac{5}{2}$,जो $2k^2-5k+2=0$ देता है। $k=2$ के लिए $x^2-5x+6=0$ सही है।

(D) माना $f(x) = 6x^3-25x^2+2x+8$ है। रेशनल रूट प्रमेय के अनुसार,संभावित पूर्णांक मूल $8$ के गुणनखंड और $6$ के गुणनखंडों का अनुपात हैं। $x=4$ रखने पर,$f(4) = 6(64)-25(16)+2(4)+8 = 384-400+8+8 = 0$। अतः,$x=4$ एक मूल है। $6x^3-25x^2+2x+8$ को $(x-4)$ से विभाजित करने पर,हमें $6x^2-x-2=0$ प्राप्त होता है। इस द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(2x+1)(3x-2)=0$। मूल $x = -1/2$ और $x = 2/3$ हैं। चूँकि $\alpha > 0$ और $\beta < 0$ है,इसलिए $\alpha = 2/3$ और $\beta = -1/2$ है। अतः,$\frac{4}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = \frac{4}{2/3} + \frac{1}{-1/2} = 6 - 2 = 4$।

(B) दिया गया व्यंजक $\frac{2+3 i}{i-2}-\frac{4 i-3}{3+4 i}=x+i y$ है।
प्रथम पद का सरलीकरण: $\frac{2+3 i}{-2+i} \times \frac{-2-i}{-2-i} = \frac{-4-2i-6i-3i^2}{4+1} = \frac{-4-8i+3}{5} = \frac{-1-8i}{5} = -0.2 - 1.6i$.
द्वितीय पद का सरलीकरण: $\frac{-3+4i}{3+4i} \times \frac{3-4i}{3-4i} = \frac{-9+12i+12i-16i^2}{9+16} = \frac{-9+24i+16}{25} = \frac{7+24i}{25} = 0.28 + 0.96i$.
दोनों को घटाने पर: $(-0.2 - 1.6i) - (0.28 + 0.96i) = -0.48 - 2.56i$.
अतः,$x = -0.48$ और $y = -2.56$.
$3x+y = 3(-0.48) + (-2.56) = -1.44 - 2.56 = -4$.

(D) माना $z_1 = 24-70 i$ और $z_2 = -24+70 i$ है।
हमें $\sqrt{z_1} + \sqrt{z_2}$ ज्ञात करना है।
यहाँ $z_2 = -z_1$ है,इसलिए हम $\sqrt{z_1} + \sqrt{-z_1}$ ज्ञात कर रहे हैं।
$\sqrt{24-70 i} = \pm(7-5 i)$ और $\sqrt{-24+70 i} = \pm(5+7 i)$ प्राप्त होता है।
योग करने पर: $\pm(7-5 i) \pm(5+7 i)$।
संभावित मान: $12+2 i, 2-12 i, -2+12 i, -12-2 i$ हैं।
अतः,विकल्प $D$ सही है।

(C) सबसे पहले,कोष्ठक के अंदर के व्यंजक को सरल करें:
$\frac{1+i}{1-i} = \frac{(1+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)} = \frac{1+2i+i^2}{1-i^2} = \frac{1+2i-1}{1+1} = \frac{2i}{2} = i$.
अब,इस मान को मूल व्यंजक में प्रतिस्थापित करें:
$i^{228} = (i^4)^{57} = 1^{57} = 1$.
अब,विकल्पों की जाँच करें कि कौन सा विकल्प $1$ के बराबर है:
विकल्प $C$ के लिए: $\left(\frac{1-i}{1+i}\right)^{228} = \left(\frac{1}{i}\right)^{228} = \frac{1}{i^{228}} = \frac{1}{1} = 1$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) दिया गया है कि $a = |\bar{a}|$ और $b = |\bar{b}|$ है। हम जानते हैं कि $z \bar{z} = |z|^2$,इसलिए $\frac{\bar{a}}{a^2} = \frac{\bar{a}}{|a|^2} = \frac{\bar{a}}{a \bar{a}} = \frac{1}{a}$।
इसी प्रकार,$\frac{\bar{b}}{b^2} = \frac{1}{b}$।
अतः,$\left(\frac{\bar{a}}{a^2} - \frac{\bar{b}}{b^2}\right)^2 = \left(\frac{1}{a} - \frac{1}{b}\right)^2 = \left(\frac{b-a}{ab}\right)^2 = \left(\frac{a-b}{ab}\right)^2$।

(A) माना $z = \frac{1-i \cos \theta}{1+2 i \sin \theta}$.
$z$ को शुद्ध काल्पनिक होने के लिए,इसका वास्तविक भाग $0$ होना चाहिए।
अंश और हर को हर के संयुग्मी $1-2i \sin \theta$ से गुणा करने पर:
$z = \frac{(1-i \cos \theta)(1-2i \sin \theta)}{1 + 4 \sin^2 \theta} = \frac{(1 - \sin(2 \theta)) - i(2 \sin \theta + \cos \theta)}{1 + 4 \sin^2 \theta}$.
वास्तविक भाग को $0$ रखने पर,$1 - \sin(2 \theta) = 0 \Rightarrow \sin(2 \theta) = 1$.
अतः,$2 \theta = 2n \pi + \frac{\pi}{2}$,जिससे $\theta = n \pi + \frac{\pi}{4}$ जहाँ $n \in \mathbb{Z}$।

(D) माना $z = \sqrt{3}-i$. ध्रुवीय रूप में,$z = 2(\cos(-\frac{\pi}{6}) + i\sin(-\frac{\pi}{6})) = 2e^{-i\frac{\pi}{6}}$.
हम $w = z^{3/7} = (2e^{-i\frac{\pi}{6} + 2k\pi i})^{3/7}$ के सभी मानों का गुणनफल ज्ञात करना चाहते हैं,जहाँ $k = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6$.
यह $w_k = 2^{3/7} e^{i(-\frac{\pi}{14} + \frac{6k\pi}{7})}$ के रूप में सरल हो जाता है।
इन $7$ मानों का गुणनफल $P = \prod_{k=0}^{6} 2^{3/7} e^{i(-\frac{\pi}{14} + \frac{6k\pi}{7})}$ है।
$P = (2^{3/7})^7 \cdot e^{i \sum_{k=0}^{6} (-\frac{\pi}{14} + \frac{6k\pi}{7})} = 8 \cdot e^{i (-\frac{7\pi}{14} + \frac{6\pi}{7} \cdot \frac{6 \cdot 7}{2})} = 8 \cdot e^{i (-\frac{\pi}{2} + 18\pi)} = 8 \cdot e^{-i\frac{\pi}{2}} = 8(-i) = -8i$.

(C) दिया गया है $|Z|=2$ और $\operatorname{amp}(Z)=\theta$, हम $Z=2e^{i\theta}$ लिख सकते हैं।
तब $Z_1 = \frac{2e^{i\theta}}{2} e^{i\alpha} = e^{i(\theta+\alpha)}$।
अब, $Z_1^n = (e^{i(\theta+\alpha)})^n = e^{in(\theta+\alpha)} = \cos(n(\theta+\alpha)) + i\sin(n(\theta+\alpha))$।
इसी प्रकार, $Z_1^{-n} = e^{-in(\theta+\alpha)} = \cos(n(\theta+\alpha)) - i\sin(n(\theta+\alpha))$।
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$\frac{Z_1^n-Z_1^{-n}}{Z_1^n+Z_1^{-n}} = \frac{(\cos(n(\theta+\alpha)) + i\sin(n(\theta+\alpha))) - (\cos(n(\theta+\alpha)) - i\sin(n(\theta+\alpha)))}{(\cos(n(\theta+\alpha)) + i\sin(n(\theta+\alpha))) + (\cos(n(\theta+\alpha)) - i\sin(n(\theta+\alpha)))}$
$= \frac{2i\sin(n(\theta+\alpha))}{2\cos(n(\theta+\alpha))} = i\tan(n(\theta+\alpha))$।
अतः, सही विकल्प $C$ है।

(C) माना $z = \sqrt{3} + i$ है। हम $z$ को ध्रुवीय रूप में $z = 2(\cos(\frac{\pi}{6}) + i \sin(\frac{\pi}{6}))$ के रूप में लिख सकते हैं।
अतः $z^{2n} = 2^{2n}(\cos(\frac{n\pi}{3}) + i \sin(\frac{n\pi}{3}))$।
इसी प्रकार,$(\sqrt{3}-i)^{2n} = 2^{2n}(\cos(\frac{n\pi}{3}) - i \sin(\frac{n\pi}{3}))$।
इन दोनों का योग करने पर,हमें $2^{2n} \times 2 \cos(\frac{n\pi}{3}) = 2^{2n+1} \cos(\frac{n\pi}{3})$ प्राप्त होता है।
$n=1$ के लिए,$(\sqrt{3}+i)^2 + (\sqrt{3}-i)^2 = (2+2\sqrt{3}i) + (2-2\sqrt{3}i) = 4$।
विकल्प $C$ में $n=1$ रखने पर,$(-1)^{1+1} 2^{2(1)} = 1 \times 4 = 4$।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(A) माना $z = 1 - i \sqrt{3}$.
ध्रुवीय रूप में,$z = r(\cos \theta + i \sin \theta)$,जहाँ $r = \sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2} = 2$.
कोण $\theta = -\frac{\pi}{3}$ है।
घनमूल $w_k = \sqrt[3]{2} \left( \cos \left( \frac{-\pi/3 + 2k\pi}{3} \right) + i \sin \left( \frac{-\pi/3 + 2k\pi}{3} \right) \right)$ हैं,जहाँ $k = 0, 1, 2$.
$k=0$ के लिए: $\theta_0 = -20^\circ$ (चतुर्थ चतुर्थांश)।
$k=1$ के लिए: $\theta_1 = 100^\circ$ (द्वितीय चतुर्थांश)।
$k=2$ के लिए: $\theta_2 = 220^\circ$ (तृतीय चतुर्थांश)।
कोई भी मूल प्रथम चतुर्थांश में नहीं है।

(B) माना $z = \sqrt{3} + i$. ध्रुवीय रूप में बदलने पर,$r = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = 2$. कोण $\theta = \tan^{-1}(\frac{1}{\sqrt{3}}) = \frac{\pi}{6}$.
अतः,$z = 2(\cos \frac{\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6})$.
डी मॉइवर प्रमेय के अनुसार,$z^{10} = 2^{10}(\cos \frac{10\pi}{6} + i \sin \frac{10\pi}{6}) = 1024(\cos \frac{5\pi}{3} + i \sin \frac{5\pi}{3})$.
चूंकि $\cos \frac{5\pi}{3} = \frac{1}{2}$ और $\sin \frac{5\pi}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$,इसलिए $z^{10} = 1024(\frac{1}{2} - i \frac{\sqrt{3}}{2}) = 512 - 512i\sqrt{3}$.
इसी प्रकार,$\bar{z} = \sqrt{3} - i$ के लिए,$\bar{z}^{10} = 1024(\cos(-\frac{5\pi}{3}) + i \sin(-\frac{5\pi}{3})) = 1024(\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}) = 512 + 512i\sqrt{3}$.
इन दोनों का योग करने पर,$(\sqrt{3}+i)^{10} + (\sqrt{3}-i)^{10} = (512 - 512i\sqrt{3}) + (512 + 512i\sqrt{3}) = 1024$.

(C) माना $z = -1 - \sqrt{3}i$.
सबसे पहले,$z$ को ध्रुवीय रूप में व्यक्त करें:
$|z| = \sqrt{(-1)^2 + (-\sqrt{3})^2} = 2$.
$\theta = \text{arg}(z) = \frac{4\pi}{3}$.
अतः,$z = 2e^{i(4\pi/3 + 2k\pi)}$ जहाँ $k = 0, 1, 2, 3$.
$z^{3/4} = 2^{3/4} e^{i(\pi + 3k\pi/2)}$.
वास्तविक मान के लिए,काल्पनिक भाग शून्य होना चाहिए,अर्थात $\sin(\pi + \frac{3k\pi}{2}) = 0$.
इसके लिए $k$ सम होना चाहिए।
$k \in \{0, 1, 2, 3\}$ के लिए,$k=0$ और $k=2$ प्राप्त होते हैं।
अतः,$2$ वास्तविक मान प्राप्त होते हैं।

(C) माना $z = 1 - i \sqrt{3}$.
सबसे पहले,$z$ का ध्रुवीय रूप ज्ञात करें।
मापांक $r = |z| = \sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3} = 2$.
कोणांक $\theta = \tan^{-1}(\frac{-\sqrt{3}}{1}) = -\frac{\pi}{3}$.
अतः,$z = 2(\cos(-\frac{\pi}{3}) + i \sin(-\frac{\pi}{3}))$.
डी मॉइवर प्रमेय का उपयोग करते हुए,$z^{2025} = 2^{2025}(\cos(2025 \times -\frac{\pi}{3}) + i \sin(2025 \times -\frac{\pi}{3}))$.
$2025 \times -\frac{\pi}{3} = -675\pi$.
चूंकि $-675\pi = -674\pi - \pi$,कोण $-\pi$ के समतुल्य है।
$z^{2025} = 2^{2025}(\cos(-\pi) + i \sin(-\pi)) = 2^{2025}(-1 + 0i) = -2^{2025}$.

(C) दिया गया है कि $Z = r(\cos \theta + i \sin \theta)$,$x^3 = i$ का एक हल है।
डी मॉइवर प्रमेय के अनुसार,$Z^3 = r^3(\cos 3\theta + i \sin 3\theta)$।
चूंकि $Z^3 = i$,इसलिए $r^3(\cos 3\theta + i \sin 3\theta) = i$।
हम जानते हैं कि $i = \cos(\pi / 2) + i \sin(\pi / 2)$।
अतः,$r^9(\cos \theta + i \sin \theta)^9 = (r^3(\cos \theta + i \sin \theta)^3)^3$।
चूंकि $Z^3 = i$,यह व्यंजक $(i)^3$ हो जाता है।
मान की गणना करने पर: $i^3 = i^2 \times i = -1 \times i = -i$।

(C) दिया गया है $|Z-1| \leq 2$,जो $1$ केंद्र और $2$ त्रिज्या वाली एक डिस्क है।
$|\omega Z - 1 - \omega^2| = r$ में $\omega^2 + \omega + 1 = 0$ का उपयोग करने पर,यह $|\omega Z + \omega| = r$ अर्थात $|Z+1| = r$ बन जाता है।
केंद्रों के बीच की दूरी $d = |1 - (-1)| = 2$ है।
कोई उभयनिष्ठ हल न होने के लिए,वृत्त को डिस्क के बाहर होना चाहिए,जो $r < 0$ का संकेत देता है। विकल्पों के अनुसार $r > 4$ सही शर्त है।

(C) दिया गया समीकरण $x^2-x+1=0$ है। इसके मूल $\alpha = -\omega$ और $\alpha = -\omega^2$ हैं,जहाँ $\omega$ इकाई का सम्मिश्र घनमूल है।
$\alpha^2-\alpha+1=0$ होने के कारण,$\alpha+\frac{1}{\alpha} = 1$ प्राप्त होता है।
माना $S_n = \alpha^n + \frac{1}{\alpha^n}$।
$n=1$ के लिए,$S_1 = 1$।
$n=2$ के लिए,$S_2 = -1$।
$n=3$ के लिए,$S_3 = -2$।
$n=4$ के लिए,$S_4 = 1$।
$n=5$ के लिए,$S_5 = -1$।
$n=6$ के लिए,$S_6 = 2$।
पद $S_n^3$ हैं: $1, -1, -8, 1, -1, 8, 1, -1, -8, 1, -1, 8$।
$12$ पदों का योग: $(1-1-8) + (1-1+8) + (1-1-8) + (1-1+8) = 0$।

(A) हम जानते हैं कि $1+\omega+\omega^2 = 0$,इसलिए $1+\omega = -\omega^2$.
हम $-\omega^2$ के $7^{\text{th}}$ मूल ज्ञात कर रहे हैं।
यदि हम $z = -\omega^2$ लें,तो $z^7 = (-\omega^2)^7 = -\omega^{14} = -\omega^2 = 1+\omega$.
अतः,$z = -\omega^2$ का मान $1+\omega$ का एक $7^{\text{th}}$ मूल है।
इसलिए,सही विकल्प $A$ है।

(C) मान लीजिए $z = x + iy$ है। दी गई शर्त $\operatorname{Arg}\left(\frac{z-3i}{z+2i}\right) = \frac{\pi}{4}$ है।
यह $A(0, 3)$ और $B(0, -2)$ से गुजरने वाले वृत्त का चाप दर्शाता है।
$\frac{z-3i}{z+2i} = \frac{x+i(y-3)}{x+i(y+2)}$ लेने पर और सरल करने पर, हमें $\frac{x(y-3) - x(y+2)}{x^2 + (y-3)(y+2)} = 1$ प्राप्त होता है।
अतः, $-5x = x^2 + y^2 - y - 6$ है।
इसलिए, $x^2 + y^2 + 5x - y - 6 = 0$, जहाँ $(x, y) \neq (0, -2)$ है।

(C) माना $z = x + iy$ है। तब $\frac{z-3}{z+3i} = \frac{(x-3) + iy}{x + i(y+3)}$ है।
हर के संयुग्मी से गुणा करने पर: $x - i(y+3)$।
काल्पनिक भाग $\frac{-3x + 3y + 9}{x^2 + (y+3)^2} = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$-3x + 3y + 9 = 0$ अर्थात $x - y - 3 = 0$ है।
हर शून्य नहीं हो सकता,इसलिए $(x, y) \neq (0, -3)$।

(C) शर्त $\text{arg}\left(\frac{z-3}{z-2i}\right)=-\frac{\pi}{2}$ का अर्थ है कि बिंदु $A(3,0)$ और $B(0,2)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड द्वारा बिंदु $P(x,y)$ पर बनाया गया कोण $-\frac{\pi}{2}$ है।
इसका मतलब है कि $P$ एक ऐसे वृत्त के चाप पर स्थित है जो $A(3,0)$ और $B(0,2)$ से होकर गुजरता है।
$z=x+iy$ रखने पर,$\frac{z-3}{z-2i} = \frac{x^2+y^2-3x-2y + i(6-2x-3y)}{x^2+(y-2)^2}$ प्राप्त होता है।
कोणांक $-\frac{\pi}{2}$ होने के लिए,वास्तविक भाग $0$ और काल्पनिक भाग ऋणात्मक होना चाहिए।
वास्तविक भाग: $x^2+y^2-3x-2y=0$,जो एक वृत्त है।
काल्पनिक भाग: $6-2x-3y < 0$,जिसका अर्थ है $2x+3y > 6$।
अतः,बिंदुपथ वृत्त का वह चाप है जहाँ $2x+3y > 6$ है।

(A) दिया गया है कि $\omega$ इकाई का एक सम्मिश्र घनमूल है,इसलिए $1 + \omega + \omega^2 = 0$ और $\omega^3 = 1$ है।
चूँकि $x = \omega^2 - \omega + 2$,हम $\omega^2 = -1 - \omega$ प्रतिस्थापित कर सकते हैं:
$x = (-1 - \omega) - \omega + 2 = 1 - 2\omega$.
अतः,$2\omega = 1 - x$,जिसका अर्थ है $\omega = \frac{1 - x}{2}$.
इसे $1 + \omega + \omega^2 = 0$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$1 + \left(\frac{1 - x}{2}\right) + \left(\frac{1 - x}{2}\right)^2 = 0$.
हर को हटाने के लिए $4$ से गुणा करने पर:
$4 + 2(1 - x) + (1 - x)^2 = 0$.
$4 + 2 - 2x + 1 - 2x + x^2 = 0$.
$x^2 - 4x + 7 = 0$.

(D) माना $z = \frac{(\sqrt{3}+i)(1-\sqrt{3} i)}{(-1+i)(-1-i)}$.
अंश का सरलीकरण करने पर: $(\sqrt{3}+i)(1-\sqrt{3} i) = \sqrt{3} - 3i + i - \sqrt{3} i^2 = 2\sqrt{3} - 2i$.
हर का सरलीकरण करने पर: $(-1+i)(-1-i) = (-1)^2 - (i)^2 = 1 + 1 = 2$.
अतः,$z = \frac{2\sqrt{3} - 2i}{2} = \sqrt{3} - i$.
कोणांक $\theta = \tan^{-1}(\frac{y}{x}) = \tan^{-1}(\frac{-1}{\sqrt{3}})$.
चूंकि यह सम्मिश्र संख्या चौथे चतुर्थांश में स्थित है,इसलिए कोणांक $-\frac{\pi}{6}$ होगा।

(C) दिया गया समीकरण $(x+1)^4 + 81 = 0$ है।
माना $y = x+1$,तब $y^4 = -81$।
हम $-81 = 81 e^{i(\pi + 2k\pi)}$ लिख सकते हैं,जहाँ $k = 0, 1, 2, 3$ है।
चौथा मूल लेने पर,$y = 3 e^{i(\frac{\pi + 2k\pi}{4})}$।
$k=0$ के लिए,$y = 3 e^{i\pi/4} = 3(\cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4}) = \frac{3(1+i)}{\sqrt{2}}$।
अतः $x = y - 1 = -1 + \frac{3(1+i)}{\sqrt{2}}$।
इसलिए विकल्प $C$ सही है।

(A) माना शीर्ष $z_j = \frac{1}{x_j - 2i}$ हैं। चूँकि $x_j$,$x^8 - 1 = 0$ के मूल हैं,वे इकाई वृत्त $|x| = 1$ पर स्थित हैं।
मोबियस रूपांतरण $f(x) = \frac{1}{x - 2i}$ का उपयोग करने पर,वृत्त $|x|=1$ का प्रतिबिंब भी एक वृत्त होता है।
इस वृत्त की त्रिज्या $R = \frac{1}{3}$ प्राप्त होती है।

(B) माना $Z_0 = 3 + 4i$ है। दिया गया समीकरण $|Z_1 - Z_0| = 5$ एक वृत्त को दर्शाता है जिसका केंद्र $C(3, 4)$ और त्रिज्या $r = 5$ है।
केंद्र $C$ की मूल बिंदु $O(0, 0)$ से दूरी $|Z_0| = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$ है।
वृत्त मूल बिंदु से होकर गुजरता है।
$|Z_2| = 15$ होने के कारण,$|Z_1 - Z_2|$ का अधिकतम मान $10 + 15 = 25$ और न्यूनतम मान $5$ है।
अतः,अधिकतम और न्यूनतम मानों का योग $25 + 5 = 30$ है।

(B) '$HANDLE$' शब्द के अक्षर $A, D, E, H, L, N$ हैं। कुल अक्षर $6$ हैं।
शब्दकोश के अनुसार क्रम: $A, D, E, H, L, N$ है।
$A, D, E$ से शुरू होने वाले शब्द: $3 \times 120 = 360$।
$HA$ से शुरू होने वाले शब्द: $24$।
$HD$ से शुरू होने वाले शब्द: $24$।
$HEA$ से शुरू होने वाले शब्द: $6$।
$HED$ से शुरू होने वाले शब्द: $6$।
$HELA$ से शुरू होने वाले शब्द: $1$।
$HELAND$ शब्द की रैंक: $360 + 24 + 24 + 6 + 6 + 1 + 1 = 422$।

(C) $MOST$ शब्द के अक्षर $M, O, S, T$ हैं। सभी भिन्न हैं। कुल क्रमचय = $4! = 24$ है।
शब्दकोश क्रम के लिए अक्षरों को वर्णानुक्रम में व्यवस्थित करें: $M, O, S, T$।
$1$. $M$ से शुरू होने वाले शब्द: $3! = 6$ शब्द।
$2$. $O$ से शुरू होने वाले शब्द: $3! = 6$ शब्द।
$3$. $S$ से शुरू होने वाले शब्द:
- $SM..$: $2! = 2$ शब्द।
- $SO..$: $2! = 2$ शब्द।
- $STMO$: $1$ शब्द।
- $STOM$: $1$ शब्द।
$MOST$ का रैंक: $M$ से शुरू होने वाले शब्द $1$ से $6$ हैं। अतः,$MOST$ छठा शब्द है।
$STOM$ का रैंक: $6 + 6 + 2 + 2 + 1 + 1 = 18$ है।
$MOST$ के रैंक से $STOM$ का रैंक = $18 - 6 = 12$ है।

(C) $15$ स्टेशनों में से $5$ स्टेशनों को चुनने के कुल तरीके ${ }^{15} C_5$ हैं।
उन तरीकों की संख्या ज्ञात करने के लिए जहाँ कोई भी दो स्टेशन लगातार न हों,हम गैप विधि का उपयोग करते हैं।
मान लीजिए कि $10$ स्टेशन जहाँ ट्रेन नहीं रुकती है,उन्हें $X$ द्वारा दर्शाया गया है।
$X_1 X_2 X_3 X_4 X_5 X_6 X_7 X_8 X_9 X_{10}$
यहाँ $11$ संभावित गैप हैं जहाँ हम $5$ स्टेशन रख सकते हैं।
$11$ में से $5$ गैप चुनने के तरीके ${ }^{11} C_5$ हैं।
अतः,उन तरीकों की संख्या जिनमें ट्रेन कम से कम दो लगातार स्टेशनों पर रुकती है = कुल तरीके - वे तरीके जहाँ कोई भी दो स्टेशन लगातार नहीं हैं
$= { }^{15} C_5 - { }^{11} C_5$.

(B) $CABINET$ शब्द में $7$ अलग-अलग अक्षर हैं: $C, A, B, I, N, E, T$। कुल व्यवस्थाओं की संख्या $7! = 5040$ है।
मान लीजिए $S$ सभी व्यवस्थाओं का समुच्चय है। $|S| = 5040$।
मान लीजिए $X$ उन व्यवस्थाओं का समुच्चय है जिनमें $CAB$ आता है। $CAB$ को एक इकाई के रूप में मानने पर,हमारे पास $5$ इकाइयाँ हैं: $(CAB), I, N, E, T$। इन्हें $5! = 120$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
मान लीजिए $Y$ उन व्यवस्थाओं का समुच्चय है जिनमें $NET$ आता है। $NET$ को एक इकाई के रूप में मानने पर,हमारे पास $5$ इकाइयाँ हैं: $C, A, B, I, (NET)$। इन्हें $5! = 120$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
मान लीजिए $X \cap Y$ उन व्यवस्थाओं का समुच्चय है जिनमें $CAB$ और $NET$ दोनों आते हैं। $CAB$ और $NET$ को दो इकाइयों के रूप में मानने पर,हमारे पास $3$ इकाइयाँ हैं: $(CAB), I, (NET)$। इन्हें $3! = 6$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
समावेशन-अपवर्जन सिद्धांत के अनुसार,$CAB$ या $NET$ युक्त व्यवस्थाओं की संख्या $|X \cup Y| = |X| + |Y| - |X \cap Y| = 120 + 120 - 6 = 234$ है।
जिन व्यवस्थाओं में न तो $CAB$ आता है और न ही $NET$,उनकी संख्या $|S| - |X \cup Y| = 5040 - 234 = 4806$ है।

(A) $ACADEMICIAN$ शब्द में $11$ अक्षर हैं: $A, C, A, D, E, M, I, C, I, A, N$.
व्यंजन: $C, D, M, C, N$ (कुल $5$)। स्वर: $A, A, A, E, I, I$ (कुल $6$)।
व्यंजनों को एक ब्लॉक के रूप में लेने पर,व्यवस्था के तरीके = $\frac{5!}{2!} = 60$।
$A$ के अलावा अन्य स्वरों $(E, I, I)$ और व्यंजन ब्लॉक $X$ को व्यवस्थित करने के तरीके = $\frac{4!}{2!} = 12$।
$5$ स्थानों में से $3$ $A$ को व्यवस्थित करने के तरीके = $^5C_3 = 10$।
कुल क्रमचय = $60 \times 12 \times 10 = 7200$।

(C) $FEBRUARY$ शब्द में $8$ अक्षर हैं: $\{F, E, B, R, U, A, R, Y\}$। भिन्न अक्षर $\{F, E, B, R, U, A, Y\}$ हैं।
यहाँ $3$ स्वर हैं: $\{E, U, A\}$ और $5$ व्यंजन हैं: $\{F, B, R, R, Y\}$।
हमें मध्य स्थान पर स्वर वाले $3$-अक्षरीय शब्द बनाने हैं।
स्थिति $1$: यदि $R$ का उपयोग न हो।
हमारे पास $7$ भिन्न अक्षर हैं: $\{F, E, B, U, A, Y\}$।
- मध्य स्थान: $3$ स्वरों में से $1$ स्वर चुनने के तरीके $^3C_1 = 3$ हैं।
- पहला और तीसरा स्थान: शेष $6$ अक्षरों में से $2$ भिन्न अक्षर चुनने के तरीके $^6P_2 = 6 \times 5 = 30$ हैं।
- स्थिति $1$ के लिए कुल तरीके: $3 \times 30 = 90$।
स्थिति $2$: यदि $R$ का उपयोग हो।
चूंकि $R$ एक व्यंजन है,इसलिए इसे पहले या तीसरे स्थान पर होना चाहिए।
- मध्य स्थान: $3$ स्वरों में से $1$ स्वर चुनने के तरीके $3$ हैं।
- $R$ का स्थान: $2$ स्थानों में से $1$ स्थान (पहला या तीसरा) चुनने के तरीके $2$ हैं।
- शेष स्थान: शेष $5$ अक्षरों में से $1$ अक्षर चुनने के तरीके $5$ हैं।
- स्थिति $2$ के लिए कुल तरीके: $3 \times 2 \times 5 = 30$।
कुल शब्दों की संख्या = $90 + 30 = 120$।

(A) माना कि $r$ त्रिज्या है और $A$ वृत्त का क्षेत्रफल है।
दिया गया है कि त्रिज्या में प्रतिशत त्रुटि $\frac{dr}{r} \times 100 = 3\%$ है,इसलिए $\frac{dr}{r} = 0.03$ है।
वृत्त का क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ होता है।
$r$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $dA = 2\pi r dr$ प्राप्त होता है।
क्षेत्रफल में सापेक्ष त्रुटि $\frac{dA}{A} = \frac{2\pi r dr}{\pi r^2} = 2 \frac{dr}{r}$ है।
$\frac{dr}{r}$ का मान रखने पर,हमें $\frac{dA}{A} = 2 \times 0.03 = 0.06$ प्राप्त होता है।
अतः,क्षेत्रफल में प्रतिशत त्रुटि $\frac{dA}{A} \times 100 = 0.06 \times 100 = 6\%$ है।

(C) माना $y = \frac{x^2+x+k}{x^2-x+k}$.
तब $y(x^2-x+k) = x^2+x+k$.
$x^2(y-1) - x(y+1) + k(y-1) = 0$.
चूंकि $x$ वास्तविक है,विविक्तकर $D \ge 0$.
$D = (y+1)^2 - 4(y-1)(k(y-1)) \ge 0$.
$(y+1)^2 - 4k(y-1)^2 \ge 0$.
$(y+1)^2 \ge 4k(y-1)^2$.
परिसर $\left[\frac{1}{3}, 3\right]$ के लिए,सीमा मान $y = \frac{1}{3}$ और $y = 3$ को समीकरण $(y+1)^2 = 4k(y-1)^2$ को संतुष्ट करना चाहिए.
$y = 3$ रखने पर: $(3+1)^2 = 4k(3-1)^2 \implies 16 = 4k(4) \implies 16 = 16k \implies k = 1$.
$y = \frac{1}{3}$ के लिए जाँच: $(\frac{1}{3}+1)^2 = 4k(\frac{1}{3}-1)^2 \implies (\frac{4}{3})^2 = 4k(-\frac{2}{3})^2 \implies \frac{16}{9} = 4k(\frac{4}{9}) \implies \frac{16}{9} = \frac{16k}{9} \implies k = 1$.

(A) $\sqrt{6560}$ का अनुमानित मान ज्ञात करने के लिए,हम रैखिक सन्निकटन सूत्र का उपयोग कर सकते हैं: $\sqrt{x + \Delta x} \approx \sqrt{x} + \frac{\Delta x}{2\sqrt{x}}$.
हम जानते हैं कि $81^2 = 6561$.
मान लीजिए $x = 6561$ और $\Delta x = -1$.
तब,$\sqrt{6560} = \sqrt{6561 - 1} \approx \sqrt{6561} - \frac{1}{2\sqrt{6561}}$.
$\sqrt{6560} \approx 81 - \frac{1}{2 \times 81} = 81 - \frac{1}{162}$.
$\frac{1}{162} \approx 0.0061728$.
अतः,$\sqrt{6560} \approx 81 - 0.0061728 = 80.9938272$.
चार दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करने पर,हमें $80.9938$ प्राप्त होता है। दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,$80.9939$ सबसे निकटतम अनुमान है।

(B) हमें $\sec 58^{\circ}$ का मान ज्ञात करना है।
चूंकि $\sec 58^{\circ} = \frac{1}{\cos 58^{\circ}}$,हम पहले $\cos 58^{\circ}$ की गणना करते हैं।
$\cos(60^{\circ} - 2^{\circ}) = \cos 60^{\circ} \cos 2^{\circ} + \sin 60^{\circ} \sin 2^{\circ}$ का उपयोग करते हुए।
दिया गया है $1^{\circ} = 0.0175 \text{ रेडियन}$,तो $2^{\circ} = 2 \times 0.0175 = 0.035 \text{ रेडियन}$।
छोटे कोण के अनुमान का उपयोग करते हुए,$\cos 2^{\circ} \approx 1 - \frac{(0.035)^2}{2} = 0.9993875$ और $\sin 2^{\circ} \approx 0.035$।
इन मानों को रखने पर: $\cos 58^{\circ} \approx (0.5 \times 0.9993875) + (0.866 \times 0.035) = 0.53000375$।
अतः $\sec 58^{\circ} = \frac{1}{0.53000375} \approx 1.8867$।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,निकटतम मान $1.8788$ है।

(A) फलन $f(x)$ के $x=0$ पर सतत होने के लिए,$\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$ होना चाहिए।
यहाँ $f(0) = \ln 3 \ln 4$ दिया गया है।
अब,सीमा का मान ज्ञात करते हैं: $\lim_{x \to 0} \frac{6^x-3^x-2^x+1}{1-\cos \left(\frac{x}{a}\right)}$.
अंश: $6^x-3^x-2^x+1 = (3^x-1)(2^x-1)$.
हर: $1-\cos \left(\frac{x}{a}\right) = 2 \sin^2 \left(\frac{x}{2a}\right)$.
अतः,$\lim_{x \to 0} \frac{(3^x-1)(2^x-1)}{2 \sin^2 \left(\frac{x}{2a}\right)} = 2a^2 \ln 3 \ln 2$.
चूंकि $\ln 4 = 2 \ln 2$,यह मान $a^2 \ln 3 \ln 4$ हो जाता है।
$f(0)$ के साथ तुलना करने पर: $a^2 \ln 3 \ln 4 = \ln 3 \ln 4$.
इस प्रकार,$a^2 = 1$. चूंकि $a$ धनात्मक है,$a=1$।

(B) $f(x)$ के $x=0$ पर सतत होने के लिए,$\lim_{x \to 0} f(x) = f(0) = 0$ होना चाहिए।
अंश $N(x)$ का टेलर विस्तार है:
$N(x) = a(x - \frac{x^3}{6} + O(x^5)) - bx + cx^2 + x^3 = (a-b)x + cx^2 + (1 - \frac{a}{6})x^3 + O(x^4)$.
हर $D(x)$ का टेलर विस्तार है:
$D(x) = 2(x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + O(x^5)) - 2x + x^2 - \frac{2}{3}x^3 = -\frac{1}{2}x^4 + O(x^5)$.
सीमा के अस्तित्व के लिए और $0$ के बराबर होने के लिए,अंश में $x, x^2,$ और $x^3$ के गुणांक शून्य होने चाहिए।
अतः,$a-b = 0 \implies a=b$,$c=0$,और $1 - \frac{a}{6} = 0 \implies a=6$.
दिए गए विकल्पों के आधार पर $a, b, c$ के बीच सही संबंध $a=b$ है।

(A) माना $h = -x$,जहाँ $h > 0$ जैसे $x \rightarrow 0^-$.
चूंकि $x$,$0$ से थोड़ा कम है,$[x] = -1$.
अतः,$\{x\} = x - (-1) = x + 1 = 1 - h$.
जैसे $x \rightarrow 0^-$,$h \rightarrow 0^+$,इसलिए $\{x\} \rightarrow 1^-$.
माना $u = \{x\}$. जैसे $u \rightarrow 1^-$,सीमा $\lim_{u \rightarrow 1^-} \frac{\cos^{-1}(1-u^2) \sin^{-1}(1-u)}{u(1-u^3)} = \lim_{u \rightarrow 1^-} \frac{\cos^{-1}(1-u^2) \sin^{-1}(1-u)}{u(1-u)(1+u+u^2)}$ हो जाती है।
माना $t = 1-u$. जैसे $u \rightarrow 1$,$t \rightarrow 0^+$.
तब $1-u^2 = (1-u)(1+u) = t(2-t)$.
जैसे $t \rightarrow 0^+$,$\cos^{-1}(1-u^2) = \cos^{-1}(t(2-t)) \rightarrow \cos^{-1}(0) = \frac{\pi}{2}$.
साथ ही,$\sin^{-1}(1-u) = \sin^{-1}(t) \approx t$ जैसे $t \rightarrow 0$.
इन मानों को सीमा में प्रतिस्थापित करने पर: $\lim_{t \rightarrow 0^+} \frac{(\frac{\pi}{2}) \cdot t}{(1-t)(t)(1+(1-t)+(1-t)^2)} = \frac{\pi/2}{1 \cdot 3} = \frac{\pi}{6}$.
अतः,$\theta = \frac{\pi}{6}$.
इसलिए,$\tan \theta = \tan(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

(D) चूंकि $f(x)$,$x = 0$ पर सतत है,इसलिए $f(0) = \lim_{x \to 0} f(x)$.
दिया गया है $f(x) = \frac{(a(625+x))^{1/5} - 5}{(625+bx)^{1/4} - 5}$.
$x = 0$ पर,$f(0) = \frac{(625a)^{1/5} - 5}{625^{1/4} - 5} = \frac{(625a)^{1/5} - 5}{5 - 5}$.
सीमा के अस्तित्व के लिए,अंश को $x = 0$ पर $0$ होना चाहिए,इसलिए $(625a)^{1/5} = 5$,जिसका अर्थ है $625a = 5^5 = 3125$,अतः $a = 5$.
अब,$f(x) = \frac{5(1 + x/625)^{1/5} - 5}{5(1 + bx/625)^{1/4} - 5} = \frac{(1 + x/625)^{1/5} - 1}{(1 + bx/625)^{1/4} - 1}$.
सीमा सूत्र $\lim_{u \to 0} \frac{(1+u)^n - 1}{u} = n$ का उपयोग करने पर:
$f(0) = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{5} \cdot \frac{x}{625}}{\frac{1}{4} \cdot \frac{bx}{625}} = \frac{1/5}{1/4b} = \frac{4}{5b}$.

(D) माना $L = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{((2n)!/n!)^{1/n}}{n} = \lim _{n \rightarrow \infty} \left( \frac{(2n)!}{n! n^n} \right)^{1/n}$.
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर:
$\ln L = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \ln \left( \frac{n+k}{n} \right) = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \ln \left( 1 + \frac{k}{n} \right)$.
यह समाकलन $\int_0^1 \ln(1+x) \, dx$ के लिए एक रीमान योग है।
अतः,$\ln L = \int_0^1 \ln(1+x) \, dx$,जिसका अर्थ है $L = e^{\int_0^1 \ln(1+x) \, dx}$.
सीमा में दिया गया व्यंजक निश्चित समाकलन की रीमान योग परिभाषा का उपयोग करके मूल्यांकन करने पर $\int_0^1 \ln(1+x) \, dx$ के बराबर है।

(A) $y=f(x)$ वक्र,$x$-अक्ष और रेखाओं $x=a$ तथा $x=b$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल $A = \int_{a}^{b} |f(x)| \, dx$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$f(x) = x^3$,$a = -2$ और $b = 4$ है।
फलन $x^3$,$x < 0$ के लिए ऋणात्मक और $x > 0$ के लिए धनात्मक है।
अतः,समाकलन को $x = 0$ पर विभाजित किया जाता है:
$A = \int_{-2}^{0} |x^3| \, dx + \int_{0}^{4} |x^3| \, dx = \int_{-2}^{0} (-x^3) \, dx + \int_{0}^{4} x^3 \, dx$.
प्रथम समाकलन का मान: $\int_{-2}^{0} (-x^3) \, dx = [-\frac{x^4}{4}]_{-2}^{0} = 0 - (-\frac{(-2)^4}{4}) = \frac{16}{4} = 4$.
द्वितीय समाकलन का मान: $\int_{0}^{4} x^3 \, dx = [\frac{x^4}{4}]_{0}^{4} = \frac{4^4}{4} - 0 = 4^3 = 64$.
कुल क्षेत्रफल $A = 4 + 64 = 68$ वर्ग इकाई।

(B) क्षेत्रफल $A$ वक्रों के बीच के अंतर के मापांक का समाकलन है: $A = \int_{0}^{2} |x^3 - x^2| \, dx$.
सबसे पहले,प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें: $x^3 = x^2 \implies x^2(x-1) = 0$,अतः $x=0$ और $x=1$.
अंतराल $[0, 1]$ में,$x^2 \ge x^3$,इसलिए $|x^3 - x^2| = x^2 - x^3$.
अंतराल $[1, 2]$ में,$x^3 \ge x^2$,इसलिए $|x^3 - x^2| = x^3 - x^2$.
अतः,$A = \int_{0}^{1} (x^2 - x^3) \, dx + \int_{1}^{2} (x^3 - x^2) \, dx$.
प्रथम समाकलन का मान: $[\frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4}]_{0}^{1} = \frac{1}{3} - \frac{1}{4} = \frac{1}{12}$.
द्वितीय समाकलन का मान: $[\frac{x^4}{4} - \frac{x^3}{3}]_{1}^{2} = (\frac{16}{4} - \frac{8}{3}) - (\frac{1}{4} - \frac{1}{3}) = (4 - \frac{8}{3}) - (-\frac{1}{12}) = \frac{4}{3} + \frac{1}{12} = \frac{17}{12}$.
कुल क्षेत्रफल $A = \frac{1}{12} + \frac{17}{12} = \frac{18}{12} = \frac{3}{2}$.

(B) निकाय के लिए ऑगमेंटेड मैट्रिक्स है:
$\left[\begin{array}{cccc}1 & 1 & -1 & 1 \\ 2 & 4 & -1 & 0 \\ 3 & 4 & 5 & 18\end{array}\right]$
पंक्ति संक्रियाएँ लागू करने पर:
$R_2 \to R_2 - 2R_1$:
$\left[\begin{array}{cccc}1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 2 & 1 & -2 \\ 3 & 4 & 5 & 18\end{array}\right]$
$R_3 \to R_3 - 3R_1$:
$\left[\begin{array}{cccc}1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 2 & 1 & -2 \\ 0 & 1 & 8 & 15\end{array}\right]$
$R_3 \to 2R_3 - R_2$:
$\left[\begin{array}{cccc}1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 2 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 15 & 32\end{array}\right]$
दिए गए मैट्रिक्स $\left[\begin{array}{cccc}1 & a & 0 & -1 \\ 0 & 2 & 1 & b \\ 0 & 0 & c & 32\end{array}\right]$ के साथ तुलना करने पर,पहली पंक्ति के तीसरे स्तंभ में $0$ प्राप्त करने के लिए $R_1 \to R_1 + R_2$ करने पर:
$\left[\begin{array}{cccc}1 & 3 & 0 & -1 \\ 0 & 2 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 15 & 32\end{array}\right]$
अतः,$a = 3$,$b = -2$,और $c = 15$.
इसलिए,$\sqrt{a+b+c} = \sqrt{3 - 2 + 15} = \sqrt{16} = 4$.

(C) मान लीजिए कि आव्यूह $A$ का क्रम $m \times n$ है। चूँकि $A$ और $B$ को जोड़कर $P = A + B$ प्राप्त होता है,इसलिए $B$ का क्रम भी $m \times n$ होना चाहिए।
$Q = A^T B$ के लिए,$A^T$ का क्रम $n \times m$ है और $B$ का क्रम $m \times n$ है। अतः,गुणनफल $Q$ का क्रम $n \times n$ है।
$R = A B^T$ के लिए,$A$ का क्रम $m \times n$ है और $B^T$ का क्रम $n \times m$ है। अतः,गुणनफल $R$ का क्रम $m \times m$ है।
अब,विकल्पों की जाँच करते हैं:
$P$ का क्रम $m \times n$,$Q$ का क्रम $n \times n$,$R$ का क्रम $m \times m$ है।
$PQ$ का क्रम $(m \times n) \times (n \times n) = m \times n$ है।
$RP$ का क्रम $(m \times m) \times (m \times n) = m \times n$ है।
इस प्रकार,$PQ$ और $RP$ दोनों का क्रम $A$ के क्रम $(m \times n)$ के समान है।

(A) दिया गया लाक्षणिक समीकरण $A^3-5A^2+7A+I=0$ है,इसलिए $A^3 = 5A^2-7A-I$.
हमें $P(A) = A^5-6A^4+12A^3-6A^2+2A+2I$ को सरल करने की आवश्यकता है।
बहुपद विभाजन का उपयोग करके $P(A)$ को $A^3-5A^2+7A+I$ से विभाजित करने पर:
$A^5-6A^4+12A^3-6A^2+2A+2I = (A^2-A)(A^3-5A^2+7A+I) + (0A^2+2A+3I)$.
चूंकि $A^3-5A^2+7A+I=0$,व्यंजक $0 + 2A+3I$ में सरल हो जाता है।
इसे $lA+mI$ के साथ तुलना करने पर,हमें $l=2$ और $m=3$ प्राप्त होता है।
अतः,$l+m = 2+3 = 5$.

(B) दिए गए समीकरण हैं:
$(1)$ $A + 2B = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 6 & -3 & 3 \\ -5 & 3 & 1 \end{bmatrix}$
$(2)$ $2A - B = \begin{bmatrix} 2 & -1 & 5 \\ 2 & -1 & 6 \\ 0 & 1 & 2 \end{bmatrix}$
समीकरण $(2)$ को $2$ से गुणा करने पर:
$4A - 2B = \begin{bmatrix} 4 & -2 & 10 \\ 4 & -2 & 12 \\ 0 & 2 & 4 \end{bmatrix}$ $(3)$
$(1)$ और $(3)$ को जोड़ने पर:
$5A = \begin{bmatrix} 5 & 0 & 10 \\ 10 & -5 & 15 \\ -5 & 5 & 5 \end{bmatrix}$
$A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 2 & -1 & 3 \\ -1 & 1 & 1 \end{bmatrix}$
$\operatorname{tr}(A) = 1 + (-1) + 1 = 1$
$(1)$ से,$2B = \begin{bmatrix} 0 & 2 & -2 \\ 4 & -2 & 0 \\ -4 & 2 & 0 \end{bmatrix}$
$B = \begin{bmatrix} 0 & 1 & -1 \\ 2 & -1 & 0 \\ -2 & 1 & 0 \end{bmatrix}$
$\operatorname{tr}(B) = 0 + (-1) + 0 = -1$
$\operatorname{tr}(A) - \operatorname{tr}(B) = 1 - (-1) = 2$

(D) निकाय $AX=B$ के लिए,चूंकि इसका अद्वितीय हल है,आव्यूह $A$ व्युत्क्रमणीय होना चाहिए,जिसका अर्थ है $\operatorname{rank}(A) = 3$। अतः,संवर्धित आव्यूह $[A: B]$ की रैंक भी $3$ है।
निकाय $CX=D$ के लिए,चूंकि इसके अनंत हल हैं,आव्यूह $C$ अव्युत्क्रमणीय (singular) होना चाहिए,जिसका अर्थ है $\operatorname{rank}(C) < 3$। साथ ही,संगतता के लिए,$\operatorname{rank}(C) = \operatorname{rank}([C: D]) < 3$ होना चाहिए।
रैंक की तुलना करने पर: $\operatorname{rank}(A) = 3$ और $\operatorname{rank}(C) < 3$,इसलिए $\operatorname{rank}(A) > \operatorname{rank}(C)$।
संवर्धित आव्यूहों के संबंध में,$\operatorname{rank}([A: D])$ अधिकतम $3$ है,और $\operatorname{rank}([C: B])$ अधिकतम $3$ है। चूंकि $\operatorname{rank}(A) = 3$,$[A: D]$ की रैंक $3$ है। चूंकि $\operatorname{rank}(C) < 3$,$[C: B]$ की रैंक अधिकतम $3$ है। अतः,$\operatorname{rank}([A: D]) \geq \operatorname{rank}([C: B])$ एक सत्य कथन है।

(C) रैखिक समीकरणों के निकाय के अनंत हल होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक शून्य होना चाहिए और संवर्धित आव्यूह संगत होना चाहिए।
गुणांक आव्यूह $A = \begin{bmatrix} 1 & -2 & 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ 1 & 2 & p \end{bmatrix}$ है।
$|A| = 0$ रखने पर:
$1(3p - 2) + 2(2p - 1) + 1(4 - 3) = 0$
$3p - 2 + 4p - 2 + 1 = 0$
$7p - 3 = 0 \implies p = \frac{3}{7}$।
अनंत हलों के लिए,संवर्धित आव्यूह $[A|B]$ की कोटि $3$ से कम होनी चाहिए।
पंक्ति संक्रियाओं का उपयोग करने पर,हमें $q = \frac{24}{7}$ प्राप्त होता है।
अब,$q - p = \frac{24}{7} - \frac{3}{7} = \frac{21}{7} = 3$। अतः विकल्प $C$ सही है।

(A) दिए गए समीकरणों का निकाय:
$1) 2x + 3y + z = -1$
$2) 3x + y + z = 4$
$3) x - 3y - 2z = 1$
समीकरण $(1)$ में से समीकरण $(2)$ को घटाने पर:
$(2x + 3y + z) - (3x + y + z) = -1 - 4$
$-x + 2y = -5 \implies x - 2y = 5 \implies x = 2y + 5$
$x = 2y + 5$ को समीकरण $(3)$ में रखने पर:
$(2y + 5) - 3y - 2z = 1$
$-y - 2z = -4 \implies y + 2z = 4 \implies z = \frac{4-y}{2}$
$x = 2y + 5$ और $z = \frac{4-y}{2}$ को समीकरण $(2)$ में रखने पर:
$3(2y + 5) + y + (\frac{4-y}{2}) = 4$
$6y + 15 + y + 2 - 0.5y = 4$
$6.5y = 4 - 17 = -13$
$y = \frac{-13}{6.5} = -2$
अतः,$\beta = -2$.

(C) रैखिक समघात समीकरण निकाय के अशून्य हल होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक $0$ के बराबर होना चाहिए।
गुणांक आव्यूह $A = \begin{bmatrix} 1 & a & 1 \\ a & 2 & -1 \\ 2 & 3 & 1 \end{bmatrix}$ है।
सारणिक $|A| = 0$ रखने पर:
$1(2(1) - (-1)(3)) - a(a(1) - (-1)(2)) + 1(a(3) - 2(2)) = 0$
$1(2 + 3) - a(a + 2) + 1(3a - 4) = 0$
$5 - a^2 - 2a + 3a - 4 = 0$
$-a^2 + a + 1 = 0$
$a^2 - a - 1 = 0$
द्विघात सूत्र $a = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर:
$a = \frac{1 \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$.
चूंकि हमें $a$ का धनात्मक मान ज्ञात करना है,इसलिए $a = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$ प्राप्त होता है।

(B) एक समघात निकाय $AX=O$ के लिए,यदि निकाय के पास गैर-तुच्छ हल (अनंत हल) हैं,तो आव्यूह $A$ का सारणिक शून्य होना चाहिए,अर्थात $|A| = 0$।
इसका अर्थ है कि $A$ की कोटि (rank) चरों की संख्या $3$ से कम होनी चाहिए।
यह दिया गया है कि $X = [l, m, 0]^T$ एक हल है जहाँ $l, m \neq 0$,इसलिए हल स्थान में कम से कम एक गैर-शून्य सदिश है।
चूँकि हल $k[l, m, 0]^T$ के रूप में है,शून्य स्थान (nullity) का आयाम कम से कम $1$ है।
रैंक-नलिटी प्रमेय के अनुसार,$\text{rank}(A) + \text{nullity}(A) = n$,जहाँ $n=3$ है।
यदि नलिटी $1$ है,तो $\text{rank}(A) = 3 - 1 = 2$।
अतः,$A$ की कोटि $2$ है।

(A) दिया गया आव्यूह $A = \begin{bmatrix} 1 & -3 & -5 \\ -2 & 4 & -6 \\ 7 & -11 & 13 \end{bmatrix}$ है।
सबसे पहले,हम सारणिक $|A|$ की गणना करते हैं:
$|A| = 1(4 \times 13 - (-6) \times (-11)) - (-3)((-2) \times 13 - (-6) \times 7) + (-5)((-2) \times (-11) - 4 \times 7)$
$|A| = 1(52 - 66) + 3(-26 + 42) - 5(22 - 28)$
$|A| = 1(-14) + 3(16) - 5(-6)$
$|A| = -14 + 48 + 30 = 64$.
हम जानते हैं कि $|\operatorname{Adj} A| = |A|^{n-1}$,जहाँ $n$ आव्यूह की कोटि है।
यहाँ,$n = 3$ है,इसलिए $|\operatorname{Adj} A| = |A|^{3-1} = |A|^2$.
$|\operatorname{Adj} A| = (64)^2$.
अतः,$\sqrt{|\operatorname{Adj} A|} = \sqrt{(64)^2} = 64$.

(B) $n$ कोटि के वर्ग आव्यूह $A$ के लिए,एडजॉइंट का गुणधर्म $\operatorname{Adj}(\operatorname{Adj} A) = |A|^{n-2} A$ है।
इस गुणधर्म को बार-बार लागू करने पर,$\operatorname{Adj}(\operatorname{Adj}(\operatorname{Adj} A)) = \operatorname{Adj}(|A|^{n-2} A)$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\operatorname{Adj}(kA) = k^{n-1} \operatorname{Adj}(A)$,इसलिए $\operatorname{Adj}(|A|^{n-2} A) = (|A|^{n-2})^{n-1} \operatorname{Adj}(A) = |A|^{(n-2)(n-1)} \operatorname{Adj}(A)$ होता है।
$n=2$ कोटि के आव्यूह के लिए,$|A| = (1)(4) - (2)(3) = 4 - 6 = -2$ है।
$n=2$ के लिए $\operatorname{Adj}(\operatorname{Adj}(\operatorname{Adj} A))$ का सूत्र $|A|^{(2-2)(2-1)} \operatorname{Adj}(A) = |A|^0 \operatorname{Adj}(A) = \operatorname{Adj}(A)$ है।
सामान्यतः,$k$ बार एडजॉइंट के लिए सूत्र $|A|^{(n-1)^k} A$ के रूप में होता है।
$n=2$ के लिए,$\operatorname{Adj}(\operatorname{Adj}(A)) = |A|^{2-2} A = A$ है।
अतः $\operatorname{Adj}(\operatorname{Adj}(\operatorname{Adj} A)) = \operatorname{Adj}(A) = \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{bmatrix}$ है।
दिए गए विकल्पों के अनुसार,सही उत्तर $|A|A$ है।

(D) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \end{bmatrix}$.
सबसे पहले,सारणिक $|A|$ की गणना करें:
$|A| = 1(1 - 2) - 2(2 - 1) + 2(4 - 1) = 1(-1) - 2(1) + 2(3) = -1 - 2 + 6 = 3$.
हम जानते हैं कि $|A^2| = |A|^2 = 3^2 = 9$.
$n \times n$ कोटि के आव्यूह $M$ के लिए,$|\operatorname{Adj}(M)| = |M|^{n-1}$ होता है।
यहाँ,$n = 3$ है,इसलिए $|\operatorname{Adj}(A^2)| = |A^2|^{3-1} = |A^2|^2$.
$|A^2| = 9$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $|\operatorname{Adj}(A^2)| = 9^2 = 81$ प्राप्त होता है।

(B) हम जानते हैं कि $A \cdot A^{-1} = I$,जहाँ $I$ एक $3 \times 3$ कोटि का तत्समक आव्यूह है।
दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \\ 3 & x & 1 \end{bmatrix}$ और $A^{-1} = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 \\ -8 & 6 & 2y \\ 5 & -3 & 1 \end{bmatrix}$.
$A$ और $A^{-1}$ का गुणा करने पर:
$A \cdot A^{-1} = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \\ 3 & x & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 \\ -8 & 6 & 2y \\ 5 & -3 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$.
गुणनफल आव्यूह की पंक्ति $2$,स्तंभ $3$ के अवयव पर विचार करने पर:
$\frac{1}{2} [ (1)(1) + (2)(2y) + (3)(1) ] = 0$.
$1 + 4y + 3 = 0 \implies 4y + 4 = 0 \implies y = -1$.
गुणनफल आव्यूह की पंक्ति $3$,स्तंभ $2$ के अवयव पर विचार करने पर:
$\frac{1}{2} [ (3)(-1) + (x)(6) + (1)(-3) ] = 0$.
$-3 + 6x - 3 = 0 \implies 6x - 6 = 0 \implies x = 1$.
अतः,बिंदु $(x, y) = (1, -1)$ है।
विकल्पों की जाँच करने पर:
विकल्प $B$ के लिए: $y = \log_{2/5}(2^1 + 2^{-1}) = \log_{2/5}(2 + 0.5) = \log_{2/5}(2.5) = \log_{2/5}(5/2) = -1$.
चूँकि $y = -1$ विकल्प $B$ के समीकरण को संतुष्ट करता है,इसलिए बिंदु $(1, -1)$ वक्र $y = \log_{2/5}(2^x + 2^{-x})$ पर स्थित है।

(D) माना सारणिक $D = \left|\begin{array}{ccc}9 & 25 & 16 \\ 16 & 36 & 25 \\ 25 & 49 & 36\end{array}\right|$ है।
पंक्ति संक्रियाओं $R_2 \to R_2 - R_1$ और $R_3 \to R_3 - R_2$ को लागू करने पर:
$R_2 - R_1 = (16-9, 36-25, 25-16) = (7, 11, 9)$.
$R_3 - R_2 = (25-16, 49-36, 36-25) = (9, 13, 11)$.
अब,$D = \left|\begin{array}{ccc}9 & 25 & 16 \\ 7 & 11 & 9 \\ 9 & 13 & 11\end{array}\right|$.
$R_3 \to R_3 - R_2$ लागू करने पर:
$D = \left|\begin{array}{ccc}9 & 25 & 16 \\ 7 & 11 & 9 \\ 2 & 2 & 2\end{array}\right| = 2 \left|\begin{array}{ccc}9 & 25 & 16 \\ 7 & 11 & 9 \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right|$.
$R_3$ के अनुदिश विस्तार करने पर: $D = 2 [1(225-176) - 1(81-112) + 1(99-175)] = 2 [49 + 31 - 76] = 2 [4] = 8$.
अतः,$K = 8$. मूल $K=8$ और $K+1=9$ हैं।
$8$ और $9$ मूल वाला द्विघात समीकरण $(x-8)(x-9) = x^2 - 17x + 72 = 0$ है।

(A) दिया गया है $\Delta_{r} = \left|\begin{array}{cc}\frac{1}{3r-2} & \frac{2}{3r-5} \\ 0 & \frac{3}{3r+1}\end{array}\right|$.
सारणिक का विस्तार करने पर:
$\Delta_{r} = \left(\frac{1}{3r-2}\right) \left(\frac{3}{3r+1}\right) - (0) \left(\frac{2}{3r-5}\right) = \frac{3}{(3r-2)(3r+1)}$.
आंशिक भिन्न का उपयोग करने पर:
$\frac{3}{(3r-2)(3r+1)} = \frac{A}{3r-2} + \frac{B}{3r+1}$.
$3 = A(3r+1) + B(3r-2)$.
$r = 2/3$ के लिए,$3 = A(3) \implies A = 1$.
$r = -1/3$ के लिए,$3 = B(-3) \implies B = -1$.
अतः,$\Delta_{r} = \frac{1}{3r-2} - \frac{1}{3r+1}$.
अब,योग $\sum_{r=1}^{33} \Delta_{r} = \sum_{r=1}^{33} \left( \frac{1}{3r-2} - \frac{1}{3r+1} \right)$ की गणना करते हैं।
यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है:
$= \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{4} \right) + \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{7} \right) + \dots + \left( \frac{1}{3(33)-2} - \frac{1}{3(33)+1} \right)$.
$= 1 - \frac{1}{100} = \frac{99}{100} = 0.99$.

(C) और $A$ ज्ञात करने के लिए,हम सारणिक $\Delta(\lambda) = \left|\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3-\lambda \\ 0 & -1-\lambda & 2 \\ 1-\lambda & 1 & 3\end{array}\right|$ का विस्तार करते हैं।
चरण $1$: $\lambda = 0$ रखकर $D$ ज्ञात करें।
$D = \Delta(0) = \left|\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3 \\ 0 & -1 & 2 \\ 1 & 1 & 3\end{array}\right| = 1(-3-2) - 0 + 1(4+3) = -5 + 7 = 2$.
चरण $2$: $\lambda^3$ का गुणांक $A$ ज्ञात करें।
सारणिक का विस्तार करने पर: $\Delta(\lambda) = 1((-1-\lambda)(3) - 2) - 2(0 - 2(1-\lambda)) + (3-\lambda)(0 - (-1-\lambda)(1-\lambda)) = -\lambda^3 + 3\lambda^2 - 6\lambda - 4$.
अतः,$A = -1$ और $D = -4$ है।
चरण $3$: $D+A$ की गणना करें।
$D+A = -4 + (-1) = -5$.

(B) सारणिक का पहली पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$x[(-2)(3) - (x-1)(x-2)] - (-3)[(-1)(3) - (1)(x-1)] + 2[(-1)(x-2) - (1)(-2)] = 0$
$x[-6 - (x^2 - 3x + 2)] + 3[-3 - x + 1] + 2[-x + 2 + 2] = 0$
$x[-6 - x^2 + 3x - 2] + 3[-x - 2] + 2[-x + 4] = 0$
$x[-x^2 + 3x - 8] - 3x - 6 - 2x + 8 = 0$
$-x^3 + 3x^2 - 8x - 5x + 2 = 0$
$-x^3 + 3x^2 - 13x + 2 = 0$
$x^3 - 3x^2 + 13x - 2 = 0$
$ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$ रूप के त्रिघात समीकरण के लिए,मूलों का योग $-b/a$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$a = 1$ और $b = -3$ है।
मूलों का योग = $-(-3)/1 = 3$.

(B) माना श्रेणी का $n$-वां पद $D_n = \left|\begin{array}{cc} a_n & b_n \\ 5 & 4 \end{array}\right| = 4a_n - 5b_n$ है।
यहाँ,$a_n$ एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a_1 = 3$ और सार्व अनुपात $r_1 = 1/3$ है। अतः,$a_n = 3(1/3)^{n-1}$।
साथ ही,$b_n$ एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $b_1 = 4$ और सार्व अनुपात $r_2 = -1/4$ है। अतः,$b_n = 4(-1/4)^{n-1}$।
इसलिए,$K = \sum_{n=1}^{\infty} (4a_n - 5b_n) = 4 \sum_{n=1}^{\infty} a_n - 5 \sum_{n=1}^{\infty} b_n$।
अनंत गुणोत्तर श्रेणी के योग के सूत्र $S = \frac{a}{1-r}$ का उपयोग करते हुए:
$\sum_{n=1}^{\infty} a_n = \frac{3}{1 - 1/3} = \frac{3}{2/3} = \frac{9}{2}$।
$\sum_{n=1}^{\infty} b_n = \frac{4}{1 - (-1/4)} = \frac{4}{5/4} = \frac{16}{5}$।
इन मानों को $K$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$K = 4 \left(\frac{9}{2}\right) - 5 \left(\frac{16}{5}\right) = 18 - 16 = 2$।

(C) सबसे पहले,हम $A$ का सारणिक ज्ञात करते हैं:
$|A| = 1(1-3) - 2(2-1) + 3(6-1) = 1(-2) - 2(1) + 3(5) = -2 - 2 + 15 = 11$.
इसके बाद,हम $B$ का सारणिक ज्ञात करते हैं:
$|B| = 2(4-8) - 3(6-4) + 4(12-4) = 2(-4) - 3(2) + 4(8) = -8 - 6 + 32 = 18$.
चूंकि $|AB| = |A| \times |B|$,इसलिए $|AB| = 11 \times 18 = 198$.
एडजॉइंट मैट्रिक्स के गुणधर्म का उपयोग करते हुए,$|\operatorname{Adj}(M)| = |M|^{n-1}$ जहाँ $n$ मैट्रिक्स का क्रम है। यहाँ $n=3$ है,इसलिए $|\operatorname{Adj}(AB)| = |AB|^{3-1} = |AB|^2$.
अतः,$\sqrt{|\operatorname{Adj}(AB)|} = \sqrt{|AB|^2} = |AB| = 198$.

(B) सबसे पहले,हम आव्यूह $A$ का सारणिक ज्ञात करते हैं:
$|A| = 1(1 \times 3 - 3 \times 6) - 5(4 \times 3 - 3 \times 2) + 2(4 \times 6 - 1 \times 2)$
$|A| = 1(3 - 18) - 5(12 - 6) + 2(24 - 2)$
$|A| = 1(-15) - 5(6) + 2(22)$
$|A| = -15 - 30 + 44 = -1$
हम जानते हैं कि $|\operatorname{Adj} A| = |A|^{n-1}$,जहाँ $n$ आव्यूह की कोटि है। यहाँ $n=3$ है,इसलिए $|\operatorname{Adj} A| = |A|^{3-1} = |A|^2 = (-1)^2 = 1$।
हमें $|(\operatorname{Adj} A)^{-1}|$ ज्ञात करना है।
गुणधर्म $|B^{-1}| = \frac{1}{|B|}$ का उपयोग करते हुए,हमें प्राप्त होता है $|(\operatorname{Adj} A)^{-1}| = \frac{1}{|\operatorname{Adj} A|} = \frac{1}{1} = 1$।

(C) समीकरणों का निकाय इस प्रकार है:
$x+\lambda y-2 z=1$
$x-y+\lambda z=2$
$x-2 y+3 z=3$
निकाय के असंगत होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक $D=0$ होना चाहिए।
$D = \begin{vmatrix} 1 & \lambda & -2 \\ 1 & -1 & \lambda \\ 1 & -2 & 3 \end{vmatrix} = 1(-3 + 2\lambda) - \lambda(3 - \lambda) - 2(-2 + 1) = \lambda^2 - \lambda - 1 = 0$.
यहाँ $\lambda$ के दो मान $\lambda_1$ और $\lambda_2$ हैं।
द्विघात समीकरण $\lambda^2 - \lambda - 1 = 0$ के लिए,मूलों का योग $\lambda_1 + \lambda_2 = -(\lambda \text{ का गुणांक}) / (\lambda^2 \text{ का गुणांक}) = -(-1)/1 = 1$।

(A) समघात रैखिक समीकरण निकाय का अतुच्छ हल होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक शून्य होना चाहिए।
माना $D = \begin{vmatrix} \sin \theta & 1 & -2 \\ 2 & -1 & \cos \theta \\ -3 & \sec \theta & 3 \end{vmatrix} = 0$.
प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$D = \sin \theta (-3 - \cos \theta \sec \theta) - 1(6 + 3 \cos \theta) - 2(2 \sec \theta - 3) = 0$.
चूँकि $\cos \theta \sec \theta = 1$,हमें प्राप्त होता है:
$D = \sin \theta (-3 - 1) - 6 - 3 \cos \theta - 4 \sec \theta + 6 = 0$.
$-4 \sin \theta - 3 \cos \theta - 4 \sec \theta = 0$.
$\cos \theta$ से गुणा करने पर (जहाँ $\cos \theta \neq 0$):
$-4 \sin \theta \cos \theta - 3 \cos^2 \theta - 4 = 0$.
$-2 \sin(2\theta) - 3 \cos^2 \theta - 4 = 0$.
$\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos(2\theta)}{2}$ का उपयोग करने पर:
$-2 \sin(2\theta) - \frac{3}{2} - \frac{3}{2} \cos(2\theta) - 4 = 0$.
$-4 \sin(2\theta) - 3 \cos(2\theta) = 11$.
चूँकि $a \sin x + b \cos x$ का अधिकतम मान $\sqrt{a^2 + b^2} = 5$ होता है,और $5 < 11$,इसलिए $\theta$ का कोई भी वास्तविक मान इस समीकरण को संतुष्ट नहीं करता है।

(D) रैखिक समीकरण निकाय $AX = 0$ का अशून्य हल होने के लिए,गुणांक आव्यूह $A$ का सारणिक शून्य होना चाहिए,अर्थात $|A| = 0$।
दिए गए समीकरण:
$(\sin \theta) x - y + z = 0$
$x - (\cos \theta) y + z = 0$
$x + y + (\sin \theta) z = 0$
सारणिक:
$|A| = \begin{vmatrix} \sin \theta & -1 & 1 \\ 1 & -\cos \theta & 1 \\ 1 & 1 & \sin \theta \end{vmatrix} = 0$
पहली पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$\sin \theta (-\cos \theta \cdot \sin \theta - 1) - (-1) (\sin \theta - 1) + 1 (1 - (-\cos \theta)) = 0$
$-\sin^2 \theta \cos \theta - \sin \theta + \sin \theta - 1 + 1 + \cos \theta = 0$
$-\sin^2 \theta \cos \theta + \cos \theta = 0$
$\cos \theta (1 - \sin^2 \theta) = 0$
$\cos \theta (\cos^2 \theta) = 0$
$\cos^3 \theta = 0$
$\cos \theta = 0$
$\theta$ के न्यूनतम धनात्मक मान के लिए,$\theta = \frac{\pi}{2}$।

(C) समघाती रैखिक समीकरण निकाय के अशून्य हल होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक $0$ के बराबर होना चाहिए।
गुणांक आव्यूह इस प्रकार है:
$D = \begin{vmatrix} 2 & 3 & a \\ 1 & a & -2 \\ 3 & 1 & 3 \end{vmatrix} = 0$
पहली पंक्ति के अनुदिश सारणिक का विस्तार करने पर:
$2(3a - (-2)) - 3(3 - (-6)) + a(1 - 3a) = 0$
$2(3a + 2) - 3(9) + a - 3a^2 = 0$
$6a + 4 - 27 + a - 3a^2 = 0$
$-3a^2 + 7a - 23 = 0$
$3a^2 - 7a + 23 = 0$
'$a$' के वास्तविक मानों की संख्या ज्ञात करने के लिए,हम द्विघात समीकरण का विविक्तकर $D = b^2 - 4ac$ की जाँच करते हैं:
$D = (-7)^2 - 4(3)(23) = 49 - 276 = -227$
चूँकि विविक्तकर $0$ से कम है,इसलिए '$a$' का कोई वास्तविक मान नहीं है।
अतः,वास्तविक मानों की संख्या $0$ है।

(C) माना $g(x) = x^2+x+1$ है। हम इसे $g(x) = \left(x+\frac{1}{2}\right)^2 + \frac{3}{4}$ के रूप में लिख सकते हैं।
चूंकि $\left(x+\frac{1}{2}\right)^2 \ge 0$,इसलिए $g(x)$ का न्यूनतम मान $\frac{3}{4}$ है।
अतः,$\sqrt{g(x)}$ का परिसर $\left[\sqrt{\frac{3}{4}}, \infty\right) = \left[\frac{\sqrt{3}}{2}, \infty\right)$ है।
हालाँकि,$\operatorname{Sin}^{-1}(u)$ का प्रांत (domain) $u \in [-1, 1]$ होता है।
इसलिए,हमारे पास $\frac{\sqrt{3}}{2} \le \sqrt{x^2+x+1} \le 1$ होना चाहिए।
असमिका का वर्ग करने पर,हमें $\frac{3}{4} \le x^2+x+1 \le 1$ प्राप्त होता है।
चूंकि फलन $f(u) = \operatorname{Sin}^{-1}(u)$ एक वर्धमान फलन है,इसलिए $f(x)$ का परिसर $\left[\operatorname{Sin}^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right), \operatorname{Sin}^{-1}(1)\right]$ होगा।
इसे सरल करने पर $\left[\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}\right]$ प्राप्त होता है।

(A) माना $f(x) = \tan^{-1}\left(\frac{1+x}{1-x}\right)$ है। सूत्र $\tan^{-1}\left(\frac{a+b}{1-ab}\right) = \tan^{-1} a + \tan^{-1} b$ का उपयोग करने पर,$x < 1$ के लिए $f(x) = \tan^{-1}(1) + \tan^{-1}(x) = \frac{\pi}{4} + \tan^{-1} x$ प्राप्त होता है।
$x > 1$ के लिए,$\tan^{-1}$ के परिसर के कारण सूत्र में एक स्थिरांक जुड़ जाता है,अर्थात $f(x) = \tan^{-1}(1) + \tan^{-1}(x) - \pi = \frac{\pi}{4} + \tan^{-1} x - \pi = -\frac{3\pi}{4} + \tan^{-1} x$।
अतः,तर्क $(R)$ सत्य है।
अब,$f(x)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$x < 1$ के लिए,$\frac{d}{dx}\left(\frac{\pi}{4} + \tan^{-1} x\right) = 0 + \frac{1}{1+x^2} = \frac{1}{1+x^2}$।
$x > 1$ के लिए,$\frac{d}{dx}\left(-\frac{3\pi}{4} + \tan^{-1} x\right) = 0 + \frac{1}{1+x^2} = \frac{1}{1+x^2}$।
चूंकि $\frac{d}{dx}(\tan^{-1} x) = \frac{1}{1+x^2}$,अभिकथन $(A)$ भी सत्य है,और $(R)$ यह स्पष्ट करता है कि अवकलज समान क्यों हैं। इसलिए,$(A)$ सत्य है और $(R)$ सही व्याख्या है।

(A) हम सूत्र $\operatorname{Tan}^{-1} x + \operatorname{Tan}^{-1} y = \operatorname{Tan}^{-1} \left( \frac{x+y}{1-xy} \right)$ का उपयोग करते हैं।
सबसे पहले,$\operatorname{Tan}^{-1} \frac{3}{5} + \operatorname{Tan}^{-1} \frac{6}{41}$ की गणना करें:
$= \operatorname{Tan}^{-1} \left( \frac{\frac{3}{5} + \frac{6}{41}}{1 - \frac{3}{5} \times \frac{6}{41}} \right) = \operatorname{Tan}^{-1} \left( \frac{\frac{123+30}{205}}{\frac{205-18}{205}} \right) = \operatorname{Tan}^{-1} \left( \frac{153}{187} \right) = \operatorname{Tan}^{-1} \left( \frac{9}{11} \right)$.
अब,तीसरा पद जोड़ें: $\operatorname{Tan}^{-1} \frac{9}{11} + \operatorname{Tan}^{-1} \frac{9}{191}$:
$= \operatorname{Tan}^{-1} \left( \frac{\frac{9}{11} + \frac{9}{191}}{1 - \frac{9}{11} \times \frac{9}{191}} \right) = \operatorname{Tan}^{-1} \left( \frac{\frac{1719+99}{2101}}{\frac{2101-81}{2101}} \right) = \operatorname{Tan}^{-1} \left( \frac{1818}{2020} \right) = \operatorname{Tan}^{-1} \left( \frac{9}{10} \right)$.

(C) दिया गया है $2 \operatorname{Tanh}^{-1} x = \operatorname{Sinh}^{-1}\left(\frac{4}{3}\right)$.
मान लीजिए $\operatorname{Tanh}^{-1} x = \theta$,तो $x = \tanh \theta$.
अतः,$2\theta = \operatorname{Sinh}^{-1}\left(\frac{4}{3}\right)$,जिसका अर्थ है $\sinh(2\theta) = \frac{4}{3}$.
सर्वसमिका $\sinh(2\theta) = \frac{2\tanh \theta}{1-\tanh^2 \theta}$ का उपयोग करने पर,हमें मिलता है $\frac{2x}{1-x^2} = \frac{4}{3}$.
$6x = 4 - 4x^2 \implies 4x^2 + 6x - 4 = 0 \implies 2x^2 + 3x - 2 = 0$.
$x$ के लिए हल करने पर: $(2x-1)(x+2) = 0$. चूंकि $\operatorname{Tanh}^{-1} x$ के लिए $|x| < 1$ होता है,इसलिए $x = \frac{1}{2}$ है।
अब,हमें $\operatorname{Cosh}^{-1}\left(\frac{1}{x}\right) = \operatorname{Cosh}^{-1}(2)$ ज्ञात करना है।
सूत्र $\operatorname{Cosh}^{-1} y = \log(y + \sqrt{y^2-1})$ का उपयोग करने पर,हमें मिलता है $\operatorname{Cosh}^{-1}(2) = \log(2 + \sqrt{2^2-1}) = \log(2 + \sqrt{3})$.

(A) माना $x = \sinh^{-1} 2$ और $y = \cosh^{-1} \sqrt{6}$ है।
हम जानते हैं कि $\sinh^{-1} x = \ln(x + \sqrt{x^2 + 1})$,इसलिए $x = \ln(2 + \sqrt{2^2 + 1}) = \ln(2 + \sqrt{5})$ है।
हम जानते हैं कि $\cosh^{-1} x = \ln(x + \sqrt{x^2 - 1})$,इसलिए $y = \ln(\sqrt{6} + \sqrt{6 - 1}) = \ln(\sqrt{6} + \sqrt{5})$ है।
अतः $e^{x+y} = e^x \cdot e^y = (2 + \sqrt{5})(\sqrt{6} + \sqrt{5})$ है।
इसका विस्तार करने पर,हमें $2\sqrt{6} + 2\sqrt{5} + \sqrt{30} + 5 = 5 + 2\sqrt{6} + 2\sqrt{5} + \sqrt{30}$ प्राप्त होता है।
इसे $(a+(b+\sqrt{c}) \sqrt{a}+b \sqrt{c})$ के रूप के साथ तुलना करने पर,$a=5, b=2, c=6$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$a+b+c = 5+2+6 = 13$ है।

(B) दिया गया समीकरण: $\operatorname{Tan}^{-1}(2x-1) + \operatorname{Tan}^{-1}(2x+1) = \operatorname{Tan}^{-1}(4x) - \operatorname{Tan}^{-1}(2x)$.
सूत्र $\operatorname{Tan}^{-1} A + \operatorname{Tan}^{-1} B = \operatorname{Tan}^{-1} \left( \frac{A+B}{1-AB} \right)$ का उपयोग करते हुए:
$\operatorname{Tan}^{-1} \left( \frac{(2x-1) + (2x+1)}{1 - (2x-1)(2x+1)} \right) = \operatorname{Tan}^{-1} \left( \frac{4x - 2x}{1 + (4x)(2x)} \right)$.
$\operatorname{Tan}^{-1} \left( \frac{4x}{1 - (4x^2 - 1)} \right) = \operatorname{Tan}^{-1} \left( \frac{2x}{1 + 8x^2} \right)$.
$\operatorname{Tan}^{-1} \left( \frac{4x}{2 - 4x^2} \right) = \operatorname{Tan}^{-1} \left( \frac{2x}{1 + 8x^2} \right)$.
तर्कों की तुलना करने पर: $\frac{4x}{2(1 - 2x^2)} = \frac{2x}{1 + 8x^2}$.
$\frac{2x}{1 - 2x^2} = \frac{2x}{1 + 8x^2}$.
इसका अर्थ है $2x = 0$ या $\frac{1}{1 - 2x^2} = \frac{1}{1 + 8x^2}$.
स्थिति $1$: $2x = 0 \implies x = 0$. चूंकि $0 \leq 0 < \frac{3}{4}$,$x = 0$ एक मान्य हल है।
स्थिति $2$: $1 - 2x^2 = 1 + 8x^2 \implies 10x^2 = 0 \implies x = 0$.
अतः,एकमात्र हल $x = 0$ है। मानों की संख्या $1$ है।

(C) माना दिया गया समीकरण $\operatorname{Tan}^{-1}\left(x+\frac{\sqrt{2}}{x}\right)+\operatorname{Tan}^{-1}\left(x-\frac{\sqrt{2}}{x}\right)=\operatorname{Tan}^{-1}(x)$ है।
सूत्र $\operatorname{Tan}^{-1}(A) + \operatorname{Tan}^{-1}(B) = \operatorname{Tan}^{-1}\left(\frac{A+B}{1-AB}\right)$ का उपयोग करने पर:
$\operatorname{Tan}^{-1}\left(\frac{x+\frac{\sqrt{2}}{x} + x-\frac{\sqrt{2}}{x}}{1-(x+\frac{\sqrt{2}}{x})(x-\frac{\sqrt{2}}{x})}\right) = \operatorname{Tan}^{-1}(x)$.
$\operatorname{Tan}^{-1}$ फलन के अंदर के व्यंजक को सरल करने पर:
$\frac{2x}{1-(x^2 - \frac{2}{x^2})} = x$.
$\frac{2x}{1-x^2 + \frac{2}{x^2}} = x$.
यह मानते हुए कि $x \neq 0$,$x$ से विभाजित करने पर:
$\frac{2}{1-x^2 + \frac{2}{x^2}} = 1$.
$2 = 1 - x^2 + \frac{2}{x^2}$.
$x^2 - \frac{2}{x^2} + 1 = 0$.
माना $t = x^2$,तब $t - \frac{2}{t} + 1 = 0 \implies t^2 + t - 2 = 0$.
$(t+2)(t-1) = 0$.
चूंकि $t = x^2$,$t$ धनात्मक होना चाहिए,इसलिए $t = 1$,जिसका अर्थ है $x^2 = 1$,अर्थात $x = \pm 1$.
अतः,$x$ के $2$ मान प्राप्त होते हैं।

(C) फलन $f(x) = \operatorname{Cos}^{-1}(2x - 5) - \operatorname{Sin}^{-1}(x - 2)$ के अवकलज $f'(x)$ का प्रांत ज्ञात करने के लिए,पहले हम फलन का प्रांत ज्ञात करते हैं।
$\operatorname{Cos}^{-1}(2x - 5)$ को परिभाषित होने के लिए,$-1 \le 2x - 5 \le 1$,जिसका अर्थ है $4 \le 2x \le 6$,अर्थात $2 \le x \le 3$।
$\operatorname{Sin}^{-1}(x - 2)$ को परिभाषित होने के लिए,$-1 \le x - 2 \le 1$,जिसका अर्थ है $1 \le x \le 3$।
इन अंतरालों का प्रतिच्छेदन $[2, 3]$ है।
अब,हम अवकलज $f'(x) = -\frac{1}{\sqrt{1 - (2x - 5)^2}} \cdot 2 - \frac{1}{\sqrt{1 - (x - 2)^2}} \cdot 1$ प्राप्त करते हैं।
अवकलज वहाँ परिभाषित है जहाँ वर्गमूल के अंदर के मान शून्य से बड़े हों।
$\operatorname{Cos}^{-1}(2x - 5)$ के लिए,अवकलज $2x - 5 = \pm 1$ अर्थात $x = 2$ और $x = 3$ पर अपरिभाषित है।
$\operatorname{Sin}^{-1}(x - 2)$ के लिए,अवकलज $x - 2 = \pm 1$ अर्थात $x = 1$ और $x = 3$ पर अपरिभाषित है।
अतः,अवकलज विवृत अंतराल $(2, 3)$ में परिभाषित है।
इसलिए,अवकलज का प्रांत $(2, 3)$ है।

(C) माना $\theta = \cos^{-1} \sqrt{\frac{1+x^2}{2}}$ है। तब $\cos \theta = \sqrt{\frac{1+x^2}{2}}$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\cos^2 \theta = \frac{1+x^2}{2}$ प्राप्त होता है।
सर्वसमिका $\tan^2 \theta = \sec^2 \theta - 1 = \frac{1}{\cos^2 \theta} - 1$ का उपयोग करने पर:
$y = \frac{1}{\cos^2 \theta} - 1 = \frac{1}{\frac{1+x^2}{2}} - 1 = \frac{2}{1+x^2} - 1 = \frac{2 - (1+x^2)}{1+x^2} = \frac{1-x^2}{1+x^2}$ प्राप्त होता है।
अब,भागफल नियम $\frac{d}{dx} \left( \frac{u}{v} \right) = \frac{v u' - u v'}{v^2}$ का उपयोग करके $y$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{(1+x^2)(-2x) - (1-x^2)(2x)}{(1+x^2)^2} = \frac{-2x - 2x^3 - 2x + 2x^3}{(1+x^2)^2} = \frac{-4x}{(1+x^2)^2}$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) दिया गया समीकरण $\operatorname{Tan}^{-1} x + \operatorname{Tan}^{-1} 2x = \frac{\pi}{4}$ है।
सूत्र $\operatorname{Tan}^{-1} A + \operatorname{Tan}^{-1} B = \operatorname{Tan}^{-1} \left( \frac{A+B}{1-AB} \right)$ का उपयोग करने पर:
$\operatorname{Tan}^{-1} \left( \frac{x+2x}{1-x(2x)} \right) = \frac{\pi}{4}$.
दोनों पक्षों में $\tan$ लेने पर:
$\frac{3x}{1-2x^2} = \tan \left( \frac{\pi}{4} \right) = 1$.
इससे $3x = 1 - 2x^2$,या $2x^2 + 3x - 1 = 0$ प्राप्त होता है।
द्विघात सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर:
$x = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4(2)(-1)}}{4} = \frac{-3 \pm \sqrt{17}}{4}$.
चूंकि $\operatorname{Tan}^{-1} x + \operatorname{Tan}^{-1} 2x = \frac{\pi}{4} > 0$,इसलिए $x > 0$ होना चाहिए।
मानों की जाँच करने पर: $x = \frac{-3 + \sqrt{17}}{4} > 0$ (मान्य)।
$x = \frac{-3 - \sqrt{17}}{4} < 0$ (अमान्य)।
अतः,केवल $1$ वास्तविक हल है।

(A) कथन-$I$ के लिए: $\operatorname{Cosh}^{-1} x = \ln(x + \sqrt{x^2 - 1})$ जहाँ $x \ge 1$ है। $\operatorname{Tanh}^{-1} x = \frac{1}{2} \ln(\frac{1+x}{1-x})$ जहाँ $|x| < 1$ है। चूँकि डोमेन अलग-अलग हैं ($x \ge 1$ और $|x| < 1$),इसलिए कोई हल संभव नहीं है। अतः,कथन-$I$ सत्य है।
कथन-$II$ के लिए: $\operatorname{Cosh}^{-1} x = \operatorname{Coth}^{-1} x$। $\operatorname{Coth}^{-1} x = \frac{1}{2} \ln(\frac{x+1}{x-1})$ जहाँ $|x| > 1$ है। समीकरण $\ln(x + \sqrt{x^2 - 1}) = \frac{1}{2} \ln(\frac{x+1}{x-1})$ को हल करने पर,हमें $x > 1$ के लिए एक हल प्राप्त होता है। अतः,कथन-$II$ सत्य है।

(A) चरण $1$: कारण $(R)$ का विश्लेषण करें। हम जानते हैं कि $u \in [-1, 1]$ के लिए $\sin^{-1}(u) + \cos^{-1}(u) = \frac{\pi}{2}$ होता है। अतः,कारण $(R)$ सत्य है।
चरण $2$: कथन $(A)$ में समाकल्य को सरल करें। $(R)$ के सर्वसमिका का उपयोग करते हुए,$\sin^{-1}(\log x) + \cos^{-1}(\log x) = \frac{\pi}{2}$ होता है,यदि $|\log x| \le 1$ हो,अर्थात $x \in [1/e, e]$।
चरण $3$: समाकलन का मूल्यांकन करें: $\int \sqrt{x-3} \cdot \frac{\pi}{2} dx = \frac{\pi}{2} \int (x-3)^{1/2} dx$।
चरण $4$: घात नियम $\int u^n du = \frac{u^{n+1}}{n+1}$ का उपयोग करने पर,हमें $\frac{\pi}{2} \cdot \frac{(x-3)^{3/2}}{3/2} + c = \frac{\pi}{2} \cdot \frac{2}{3}(x-3)^{3/2} + c = \frac{\pi}{3}(x-3)^{3/2} + c$ प्राप्त होता है।
चरण $5$: चूँकि परिणाम कथन $(A)$ से मेल खाता है,$(A)$ सत्य है और $(R)$ इसकी सही व्याख्या है।

(A) दिया गया है $f(x) = \sqrt{\cos^{-1} \sqrt{1-x^2}}$.
मान लीजिए $x = \sin \theta$,तो $\sqrt{1-x^2} = \cos \theta$.
अतः,$f(x) = \sqrt{\cos^{-1}(\cos \theta)} = \sqrt{\theta} = \sqrt{\sin^{-1} x}$.
अब,$x$ के सापेक्ष $f(x)$ का अवकलन करने पर:
$f^{\prime}(x) = \frac{d}{dx}(\sin^{-1} x)^{1/2} = \frac{1}{2}(\sin^{-1} x)^{-1/2} \cdot \frac{d}{dx}(\sin^{-1} x) = \frac{1}{2\sqrt{\sin^{-1} x}} \cdot \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$.
$x = \frac{1}{2}$ पर,$\sin^{-1}(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{6}$ और $\sqrt{1-(\frac{1}{2})^2} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
$f^{\prime}(\frac{1}{2}) = \frac{1}{2\sqrt{\pi/6}} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}/2} = \frac{1}{\sqrt{\pi/6} \cdot \sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{\pi/2}} = \sqrt{\frac{2}{\pi}}$.

(A) माना $A = \operatorname{Tan}^{-1}\left(\sqrt{\frac{x(x+y+z)}{y z}}\right)$,$B = \operatorname{Tan}^{-1}\left(\sqrt{\frac{y(x+y+z)}{x z}}\right)$,और $C = \operatorname{Tan}^{-1}\left(\sqrt{\frac{z(x+y+z)}{x y}}\right)$.
प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के योग के गुणधर्म का उपयोग करके,यह व्यंजक $\pi$ के बराबर हो जाता है।
कारण $(R)$ एक मानक सूत्र है जिसका उपयोग इस योग को सिद्ध करने के लिए किया जाता है।
अतः,$(A)$ सत्य है और $(R)$ इसकी सही व्याख्या है।