જો $K = \left|\begin{array}{ll}3 & 4 \\ 5 & 4\end{array}\right| + \left|\begin{array}{cc}1 & -1 \\ 5 & 4\end{array}\right| + \left|\begin{array}{cc}\frac{1}{3} & \frac{1}{4} \\ 5 & 4\end{array}\right| + \left|\begin{array}{cc}\frac{1}{9} & -\frac{1}{16} \\ 5 & 4\end{array}\right| + \ldots \infty \text{ સુધી}$,તો $K = $

ધારો કે $M=\begin{bmatrix} \sin^4 \theta & -1-\sin^2 \theta \\ 1+\cos^2 \theta & \cos^4 \theta \end{bmatrix} = \alpha I + \beta M^{-1}$,જ્યાં $\alpha = \alpha(\theta)$ અને $\beta = \beta(\theta)$ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે,અને $I$ એ $2 \times 2$ એકમ શ્રેણિક છે. જો $\alpha^*$ એ ગણ $\{\alpha(\theta) : \theta \in [0, 2\pi)\}$ ની ન્યૂનતમ કિંમત હોય અને $\beta^*$ એ ગણ $\{\beta(\theta) : \theta \in [0, 2\pi)\}$ ની ન્યૂનતમ કિંમત હોય,તો $\alpha^* + \beta^*$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $J_{n, m}=\int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{x^{n}}{x^{m}-1} d x, \quad \forall n>m$ અને $n, m \in N$. શ્રેણિક $A=\left[a_{i j}\right]_{3 \times 3}$ ધ્યાનમાં લો જ્યાં $a_{i j}=J_{6+i, 3}-J_{i+3,3}$ જો $i \leq j$ અને $a_{i j}=0$ જો $i>j$. તો $\left|\operatorname{adj} A^{-1}\right|$ શું થાય?

માત્ર $0$ અથવા $1$ ઘટકો ધરાવતા $2$ ક્રમના તમામ નિશ્ચાયકોના ગણમાંથી એક નિશ્ચાયક યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરવામાં આવે છે. પસંદ કરેલા નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય ધન હોય તેની સંભાવના કેટલી છે?

નીચેનામાંથી કયું વિધાન સત્ય નથી?

ધારો કે $A=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}$. તો $A^{2025}-A^{2020}$ બરાબર શું થાય?