TS EAMCET 2025 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(C) આપેલ ઉપવલય $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$ માટે,$a=5$ અને $b=4$ છે.
ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{1 - \frac{16}{25}} = \frac{3}{5}$ છે.
પ્રથમ ચરણમાં નાભિલંબનું અંત્યબિંદુ $(ae, \frac{b^2}{a}) = (3, 3.2)$ છે.
અભિલંબનું સમીકરણ $\frac{a^2x}{x_1} - \frac{b^2y}{y_1} = a^2 - b^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{25x}{3} - \frac{16y}{3.2} = 9 \implies 25x - 15y = 27$.
અહીં $l=25, m=-15$ હોવાથી $l+m=10$ મળે.
$e=0.6$ હોવાથી,$\frac{6}{e} = \frac{6}{0.6} = 10$.
આમ,$l+m = \frac{6}{e}$.

(C) ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ પરનું બિંદુ $P$ એ $(a \cos \theta, b \sin \theta)$ છે. અહીં $a^2=9$ અને $b^2=4$ છે,તેથી $a=3, b=2$. આમ $P = (3 \cos \theta, 2 \sin \theta)$.
સહાયક વર્તુળ $x^2 + y^2 = a^2 = 9$ છે. $P$ ને અનુરૂપ સહાયક વર્તુળ પરનું બિંદુ $Q$ એ $(3 \cos \theta, 3 \sin \theta)$ છે.
$P(3 \cos \theta, 2 \sin \theta)$ આગળ ઉપવલયનો અભિલંબ $\frac{3x}{\cos \theta} - \frac{2y}{\sin \theta} = 5$ છે.
$Q(3 \cos \theta, 3 \sin \theta)$ આગળ વર્તુળનો અભિલંબ $x \sin \theta - y \cos \theta = 0$ છે.
$R = (h, k)$ લેતા,બંને સમીકરણો ઉકેલતા આપણને $\cos \theta = \frac{h}{5}$ અને $\sin \theta = \frac{k}{5}$ મળે છે.
$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ નો ઉપયોગ કરતા,$h^2 + k^2 = 25$ મળે છે.
આમ,$R$ નો બિંદુપથ $x^2 + y^2 = 25$ છે.

(D) આપેલ ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{4} + y^2 = 1$ અને રેખા $y = x + 1$ છે.
$y = x + 1$ ને ઉપવલયના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{x^2}{4} + (x + 1)^2 = 1$
$\frac{x^2}{4} + x^2 + 2x + 1 = 1$
$\frac{5x^2}{4} + 2x = 0$
$x(\frac{5x}{4} + 2) = 0$
તેથી,$x_1 = 0$ અને $x_2 = -\frac{8}{5}$.
અનુરૂપ $y$ કિંમતો $y_1 = 1$ અને $y_2 = -\frac{3}{5}$ છે.
છેદબિંદુઓ $P(0, 1)$ અને $Q(-\frac{8}{5}, -\frac{3}{5})$ છે.
જીવા $PQ$ ની લંબાઈ $\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ છે.
લંબાઈ $= \sqrt{(-\frac{8}{5})^2 + (-\frac{8}{5})^2} = \sqrt{\frac{128}{25}} = \frac{8\sqrt{2}}{5}$.

(A) $f(x) = -3x^2+4x+1$ માટે,મહત્તમ કિંમત $l$ એ $x = -b/(2a) = -4/(2 \times -3) = 2/3$ પર મળે છે.
$l = f(2/3) = -3(4/9) + 4(2/3) + 1 = -4/3 + 8/3 + 1 = 7/3$.
$g(x) = 3x^2+4x+1$ માટે,ન્યૂનતમ કિંમત $m$ એ $x = -4/(2 \times 3) = -2/3$ પર મળે છે.
$m = g(-2/3) = 3(4/9) + 4(-2/3) + 1 = 4/3 - 8/3 + 1 = -1/3$.
નાભિઓ $(l, 0) = (7/3, 0)$ અને $(7m, 0) = (-7/3, 0)$ છે.
અતિવલયનું કેન્દ્ર $(0, 0)$ છે. નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $2ae = 14/3$ છે.
$e = 2$ આપેલ હોવાથી,$4a = 14/3 \implies a = 7/6$.
$b^2 = a^2(e^2-1) = (49/36)(3) = 49/12$.
અતિવલયનું સમીકરણ $x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1$ છે.
$36x^2 - 12y^2 = 49$.

(B) પ્રથમ અતિવલય માટે,મુખ્ય અક્ષ $2a$ અને અનુબદ્ધ અક્ષ $2b$ છે. આપેલ છે કે $2a = 2(2b)$,તેથી $a = 2b$. ઉત્કેન્દ્રતા $x$ એ $x^2 = 1 + \frac{b^2}{a^2} = 1 + \frac{b^2}{(2b)^2} = 1 + \frac{1}{4} = \frac{5}{4}$ દ્વારા મળે છે.
બીજા અતિવલય માટે,નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $2ae$ છે અને નિયામિકાઓ વચ્ચેનું અંતર $\frac{2a}{e}$ છે. આપેલ છે કે $2ae = 3 \times \frac{2a}{e}$,જેનું સાદું રૂપ $e^2 = 3$ થાય છે. આમ,$y^2 = 3$.
તેથી,$y^2 - x^2 = 3 - \frac{5}{4} = \frac{12-5}{4} = \frac{7}{4}$.

(D) અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ માટે,$a^2 = 9$,તેથી $a = 3$. નાભિઓ $(\pm ae, 0)$ છે અને શિરોબિંદુઓ $(\pm a, 0)$ છે.
ધારો કે નાભિ $S(ae, 0)$ છે અને દૂરનું શિરોબિંદુ $A'(-a, 0)$ છે.
નાભિલંબની રેખા $x = ae$ છે. નાભિલંબના અંત્યબિંદુઓ $L(ae, \frac{b^2}{a})$ અને $L'(ae, -\frac{b^2}{a})$ છે.
સદિશ $\vec{A'L} = (a(e+1), \frac{b^2}{a})$ અને $\vec{A'L'} = (a(e+1), -\frac{b^2}{a})$.
ખૂણો $\angle L A' L' = 90^\circ$ હોવાથી,તેમનો ડોટ ગુણાકાર $0$ થાય.
$a^2(e+1)^2 - \frac{b^4}{a^2} = 0 \implies a^4(e+1)^2 = b^4$.
$b^2 = a^2(e^2-1)$ હોવાથી,$b^4 = a^4(e-1)^2(e+1)^2$.
તેથી,$1 = (e-1)^2 \implies e = 2$.
$b^2 = 9(2^2-1) = 27$.

(C) અતિવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16} = 1$ છે. અહીં $a^2 = 9$ અને $b^2 = 16$,તેથી $a = 3$ અને $b = 4$.
બિંદુ $P(x_1, y_1) = (3 \sqrt{2}, 4)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $\frac{x x_1}{a^2} - \frac{y y_1}{b^2} = 1$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$\frac{x(3 \sqrt{2})}{9} - \frac{y(4)}{16} = 1$,જેનું સાદું રૂપ $\frac{x \sqrt{2}}{3} - \frac{y}{4} = 1$ થાય છે.
ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 + \frac{16}{9}} = \frac{5}{3}$ છે.
નિયામિકાનું સમીકરણ $x = \frac{a}{e} = \frac{3}{5/3} = \frac{9}{5}$ છે.
બિંદુ $Q(\alpha, \beta)$ નિયામિકા પર હોવાથી,$\alpha = \frac{9}{5}$.
સ્પર્શકના સમીકરણમાં $x = \frac{9}{5}$ મૂકતા: $\frac{(9/5) \sqrt{2}}{3} - \frac{y}{4} = 1$.
$\frac{3 \sqrt{2}}{5} - \frac{y}{4} = 1 \implies \frac{y}{4} = \frac{3 \sqrt{2} - 5}{5}$.
તેથી,$y = \beta = \frac{12 \sqrt{2} - 20}{5}$.

(B) આપેલ સમીકરણો:
$x^2+y^2=4$
$xy=\sqrt{3}$
વર્તુળના સમીકરણમાં $y=\frac{\sqrt{3}}{x}$ મૂકતા:
$x^2 + \frac{3}{x^2} = 4$
$x^4 - 4x^2 + 3 = 0$
$(x^2-3)(x^2-1) = 0$
તેથી,$x^2=3$ અથવા $x^2=1$.
કારણ કે $\alpha > \beta > 0$,આપણને $x^2=3$ અને $y^2=1$ મળે છે.
આમ,$\alpha = \sqrt{3}$ અને $\beta = 1$.
બિંદુ $P = (\sqrt{3}, 1)$.
અતિવલય $xy=c^2$ માટે $(x_1, y_1)$ બિંદુએ સ્પર્શકનું સમીકરણ $xy_1 + yx_1 = 2c^2$ છે.
અહીં $c^2 = \sqrt{3}$,$x_1 = \sqrt{3}$,$y_1 = 1$.
તેથી,$x(1) + y(\sqrt{3}) = 2\sqrt{3}$.
$x + \sqrt{3}y = 2\sqrt{3}$.

(D) અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ ના અનંતસ્પર્શકો $\frac{x}{a} - \frac{y}{b} = 0$ અને $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 0$ છે.
અતિવલય પરના કોઈપણ બિંદુ $(x_1, y_1)$ થી આ અનંતસ્પર્શકો સુધીના લંબ અંતરનો ગુણાકાર $\frac{a^2 b^2}{a^2 + b^2}$ થાય છે.
આપેલ છે કે આ ગુણાકાર $\frac{36}{13}$ છે,તેથી $\frac{a^2 b^2}{a^2 + b^2} = \frac{36}{13}$.
ઉત્કેન્દ્રતા $e$ માટે $e^2 = 1 + \frac{b^2}{a^2} = \frac{a^2 + b^2}{a^2}$ થાય.
$e = \frac{\sqrt{13}}{3}$ આપેલ છે,તેથી $e^2 = \frac{13}{9}$.
આમ,$\frac{a^2 + b^2}{a^2} = \frac{13}{9}$,જેનો અર્થ છે કે $9(a^2 + b^2) = 13a^2$,એટલે કે $9b^2 = 4a^2$.
આથી,$b^2 = \frac{4}{9}a^2$,એટલે કે $b = \frac{2}{3}a$.
$b^2 = \frac{4}{9}a^2$ ને ગુણાકારના સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{a^2 (\frac{4}{9}a^2)}{a^2 + \frac{4}{9}a^2} = \frac{36}{13}$.
$\frac{\frac{4}{9}a^4}{\frac{13}{9}a^2} = \frac{36}{13} \implies \frac{4}{13}a^2 = \frac{36}{13} \implies a^2 = 9 \implies a = 3$.
તેથી $b = \frac{2}{3}(3) = 2$.
આમ,$a - b = 3 - 2 = 1$.

(D) આપેલ વક્રો અતિવલય $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$ અને વર્તુળ $x^2+y^2=16$ છે.
અતિવલય માટે,$a^2 = 16$ અને $b^2 = 9$.
અતિવલયના કોઈપણ સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = mx \pm \sqrt{16m^2 - 9}$ છે.
આ રેખા વર્તુળ $x^2+y^2=16$ (જેનું કેન્દ્ર $(0,0)$ અને ત્રિજ્યા $r=4$ છે) નો સ્પર્શક હોય,તો કેન્દ્રથી રેખાનું લંબ અંતર ત્રિજ્યા જેટલું હોવું જોઈએ.
આમ,$\frac{|\pm \sqrt{16m^2 - 9}|}{\sqrt{m^2+1}} = 4$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$\frac{16m^2 - 9}{m^2+1} = 16$.
$16m^2 - 9 = 16m^2 + 16$.
$-9 = 16$,જે અશક્ય છે.
આ સૂચવે છે કે $m$ ની એવી કોઈ વાસ્તવિક કિંમત નથી જેના માટે અતિવલયનો સ્પર્શક વર્તુળનો પણ સ્પર્શક હોય.
જોકે,આપણે શિરોલંબ સ્પર્શકો તપાસવા જોઈએ. અતિવલયના શિરોલંબ સ્પર્શકો $x = \pm 4$ પર છે.
વર્તુળ $x^2+y^2=16$ ના પણ શિરોલંબ સ્પર્શકો $x = \pm 4$ પર છે.
આમ,રેખાઓ $x=4$ અને $x=-4$ બંને વક્રો માટે સામાન્ય સ્પર્શકો છે.
તેથી,કુલ $2$ સામાન્ય સ્પર્શકો છે.

(D) ધારો કે $x = 3 - h$,જ્યાં $h \rightarrow 0^{+}$.
જ્યારે $x \rightarrow 3^{-}$,ત્યારે $|x| = x = 3 - h$ અને $|3-x| = |3-(3-h)| = |h| = h$.
વળી,$[3x-9] = [3(3-h)-9] = [9-3h-9] = [-3h]$. કારણ કે $h > 0$,$-3h$ એ નાની ઋણ સંખ્યા છે,તેથી $[-3h] = -1$.
અને $[9-3x] = [9-3(3-h)] = [9-9+3h] = [3h]$. કારણ કે $h > 0$,$3h$ એ નાની ધન સંખ્યા છે,તેથી $[3h] = 0$.
આ કિંમતોને લક્ષની અભિવ્યક્તિમાં મૂકતા:
$\lim _{h \rightarrow 0^{+}} \frac{(3-(3-h)+\sin h) \cos(0)}{h(-1)} = \lim _{h \rightarrow 0^{+}} \frac{(h+\sin h)(1)}{-h} = \lim _{h \rightarrow 0^{+}} -\left(1 + \frac{\sin h}{h}\right) = -(1+1) = -2$.

(D) પ્રથમ,$\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} \frac{x(a^x - 1)}{1 - \cos x}$ ની ગણતરી કરો.
પ્રમાણિત લક્ષ $\lim_{x \to 0} \frac{a^x - 1}{x} = \log a$ અને $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2}$ નો ઉપયોગ કરીને,$f(x)$ ને $\frac{(a^x - 1)/x}{(1 - \cos x)/x^2} = \frac{\log a}{1/2} = 2 \log a$ તરીકે લખી શકાય.
ત્યારબાદ,$\lim_{x \to 0} g(x) = \lim_{x \to 0} \frac{x(1 - a^x)}{a^x(\sqrt{1 - x^2} - \sqrt{1 + x^2})}$ ની ગણતરી કરો.
છેદનું સંમેયીકરણ કરતા: $\sqrt{1 - x^2} - \sqrt{1 + x^2} = \frac{-2x^2}{\sqrt{1 - x^2} + \sqrt{1 + x^2}}$.
તેથી,$g(x) = \frac{a^x - 1}{x} \cdot \frac{\sqrt{1 - x^2} + \sqrt{1 + x^2}}{2 a^x}$.
$x \to 0$ લેતા,$\lim_{x \to 0} g(x) = (\log a) \cdot \frac{2}{2} = \log a$.
અંતે,$\lim_{x \to 0} (f(x) - g(x)) = 2 \log a - \log a = \log a$.

(B) આપેલ લક્ષ $L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{3^{x^3}-\left(1-x^3\right)^{2 / 3}}{x^2 \sin x}$ છે.
જેમ $x \rightarrow 0$, તેમ $\sin x \approx x$ હોવાથી, પદાવલિ $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{3^{x^3}-\left(1-x^3\right)^{2 / 3}}{x^3}$ બને છે.
શ્રેણી વિસ્તરણ $a^u = 1 + u \ln a + O(u^2)$ અને $(1+u)^n = 1 + nu + O(u^2)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$3^{x^3} = 1 + x^3 \ln 3 + O(x^6)$
$(1-x^3)^{2/3} = 1 - \frac{2}{3}x^3 + O(x^6)$
આ કિંમતો લક્ષમાં મૂકતા:
$L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{(1 + x^3 \ln 3) - (1 - \frac{2}{3}x^3)}{x^3} = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^3(\ln 3 + \frac{2}{3})}{x^3} = \ln 3 + \frac{2}{3} = \frac{2}{3} + \log_e 3$.
આને $p + \log q$ સાથે સરખાવતા, આપણને $p = \frac{2}{3}$ અને $q = 3$ મળે છે.
તેથી, $pq = \frac{2}{3} \times 3 = 2$.

(B) $\text{ધારો કે } L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{(\cos x)^{1/2} - (\cos x)^{1/3}}{\sin ^2 x}$.
$x \rightarrow 0$ $\text{હોય ત્યારે } \cos x \approx 1 - \frac{x^2}{2}$ $\text{અને } \sin x \approx x$ $\text{માટે ટેલર શ્રેણી વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરતા:}$
$L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{(1 - \frac{x^2}{2})^{1/2} - (1 - \frac{x^2}{2})^{1/3}}{x^2}$.
$\text{નાના } u \text{ માટે દ્વિપદી વિસ્તરણ } (1+u)^n \approx 1 + nu$ $\text{નો ઉપયોગ કરતા:}$
$(1 - \frac{x^2}{2})^{1/2} \approx 1 - \frac{1}{2}(\frac{x^2}{2}) = 1 - \frac{x^2}{4}$.
$(1 - \frac{x^2}{2})^{1/3} \approx 1 - \frac{1}{3}(\frac{x^2}{2}) = 1 - \frac{x^2}{6}$.
$\text{આ કિંમતોને લક્ષમાં મૂકતા:}$
$L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{(1 - \frac{x^2}{4}) - (1 - \frac{x^2}{6})}{x^2} = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{-\frac{x^2}{4} + \frac{x^2}{6}}{x^2} = -\frac{1}{4} + \frac{1}{6} = \frac{-3 + 2}{12} = -\frac{1}{12}$.

(A) આપણે $\lim _{x \rightarrow 3} \frac{11-[2-x]}{[x+10]}$ ની કિંમત શોધવાની છે.
પ્રથમ,ડાબી બાજુનું લક્ષ $(LHL)$ $x \rightarrow 3^-$ માટે વિચારીએ:
જેમ $x \rightarrow 3^-$,$x$ એ $3$ કરતા થોડો નાનો છે,તેથી $2-x$ એ $-1$ કરતા થોડો મોટો છે. આમ,$[2-x] = -1$.
વળી,$x+10$ એ $13$ કરતા થોડો નાનો છે,તેથી $[x+10] = 12$.
$LHL = \lim _{x \rightarrow 3^-} \frac{11-(-1)}{12} = \frac{12}{12} = 1$.
હવે,જમણી બાજુનું લક્ષ $(RHL)$ $x \rightarrow 3^+$ માટે વિચારીએ:
જેમ $x \rightarrow 3^+$,$x$ એ $3$ કરતા થોડો મોટો છે,તેથી $2-x$ એ $-1$ કરતા થોડો નાનો છે. આમ,$[2-x] = -2$.
વળી,$x+10$ એ $13$ કરતા થોડો મોટો છે,તેથી $[x+10] = 13$.
$RHL = \lim _{x \rightarrow 3^+} \frac{11-(-2)}{13} = \frac{13}{13} = 1$.
કારણ કે $LHL = RHL = 1$,લક્ષનું અસ્તિત્વ છે અને તેની કિંમત $1$ છે.

(A) પગલું $1$: ડેટાને $x_i$ ના ચડતા ક્રમમાં ગોઠવો: $x_i: 2, 3, 5, 7, 8, 9$ અને $f_i: 5, 6, 6, 1, 1, 3$.
પગલું $2$: સંચયી આવૃત્તિ $(cf)$ ગણો: $5, 11, 17, 18, 19, 22$. કુલ $N = 22$.
પગલું $3$: મધ્યસ્થ એ $(\frac{N}{2})^{th}$ અને $(\frac{N}{2} + 1)^{th}$ અવલોકનનું મૂલ્ય છે,જે $11$મું અને $12$મું અવલોકન છે. $11$મું અવલોકન $3$ છે અને $12$મું અવલોકન $5$ છે. મધ્યસ્થ $M = \frac{3+5}{2} = 4$.
પગલું $4$: $|x_i - M|$ ગણો: $|2-4|=2, |3-4|=1, |5-4|=1, |7-4|=3, |8-4|=4, |9-4|=5$.
પગલું $5$: $\sum f_i |x_i - M| = (5 \times 2) + (6 \times 1) + (6 \times 1) + (1 \times 3) + (1 \times 4) + (3 \times 5) = 10 + 6 + 6 + 3 + 4 + 15 = 44$.
પગલું $6$: મધ્યસ્થથી સરેરાશ વિચલન = $\frac{\sum f_i |x_i - M|}{N} = \frac{44}{22} = 2$.

(D) પગલું $1$: માહિતીનો મધ્યક $(\bar{x})$ શોધો.
$\bar{x} = \frac{2 + 3 + 5 + 7 + 11 + 13 + 17 + 19 + 22}{9} = \frac{99}{9} = 11$.
પગલું $2$: મધ્યકથી નિરપેક્ષ વિચલનો $|x_i - \bar{x}|$ ગણો.
$|2 - 11| = 9, |3 - 11| = 8, |5 - 11| = 6, |7 - 11| = 4, |11 - 11| = 0, |13 - 11| = 2, |17 - 11| = 6, |19 - 11| = 8, |22 - 11| = 11$.
પગલું $3$: આ નિરપેક્ષ વિચલનોનો મધ્યક શોધો.
$\text{સરેરાશ વિચલન} = \frac{9 + 8 + 6 + 4 + 0 + 2 + 6 + 8 + 11}{9} = \frac{54}{9} = 6$.

(D) $1$. વર્ગ અંતરાલના મધ્યબિંદુઓ $(x_i)$ શોધો: $1, 3, 5, 7, 9$.
$2$. આવૃત્તિઓ $(f_i)$ $2, 3, 5, 3, 2$ છે. કુલ આવૃત્તિ $N = 15$.
$3$. મધ્યક $(\bar{x})$ શોધો: $\bar{x} = \frac{75}{15} = 5$.
$4$. વિચરણ $(\sigma^2)$ શોધો: $\sigma^2 = \frac{88}{15}$.
$5$. પ્રમાણિત વિચલન $(\sigma)$ = $\sqrt{\frac{88}{15}}$.
$6$. વિકલ્પોને આધારે,સાચો જવાબ $D$ છે.

(C) પગલું $1$: મધ્યક $(\bar{x})$ શોધો.
$\bar{x} = \frac{3+4+5+6+7+8+10+13}{8} = \frac{56}{8} = 7$.
પગલું $2$: મધ્યકથી વિચલનોના વર્ગો $(x_i - \bar{x})^2$ શોધો.
$(3-7)^2 = 16, (4-7)^2 = 9, (5-7)^2 = 4, (6-7)^2 = 1, (7-7)^2 = 0, (8-7)^2 = 1, (10-7)^2 = 9, (13-7)^2 = 36$.
પગલું $3$: વિચરણ $(\sigma^2)$ શોધો.
$\sigma^2 = \frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n} = \frac{16+9+4+1+0+1+9+36}{8} = \frac{76}{8} = 9.5$.

(C) આપેલ સંખ્યાઓ $3x, 6x, 9x, \ldots, 81x$ છે. આ $n = 27$ પદો ધરાવતી સમાંતર શ્રેણી છે.
$n = 27$ એકી સંખ્યા હોવાથી,મધ્યસ્થ $\frac{n+1}{2}$-મું પદ એટલે કે $14$-મું પદ થશે.
$14$-મું પદ $3x \times 14 = 42x$ છે.
મધ્યસ્થ વિશે સરેરાશ વિચલન $\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} |x_i - \text{Median}|$ દ્વારા મળે છે.
અહીં,$\text{MD} = \frac{1}{27} \sum_{k=1}^{27} |3kx - 42x| = \frac{3|x|}{27} \sum_{k=1}^{27} |k - 14| = \frac{|x|}{9} [\sum_{k=1}^{13} (14-k) + \sum_{k=15}^{27} (k-14)]$.
સરવાળો ગણતા: $\sum_{k=1}^{13} (14-k) = 13+12+\ldots+1 = 91$.
તે જ રીતે,$\sum_{k=15}^{27} (k-14) = 1+2+\ldots+13 = 91$.
તેથી,$\text{MD} = \frac{|x|}{9} (91 + 91) = \frac{|x|}{9} \times 182 = 91$.
આમ,$\frac{|x|}{9} \times 2 = 1 \implies |x| = \frac{9}{2}$.

(B) ધારો કે $\Delta$ એ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ છે. વેધ $p_1 = \frac{2\Delta}{a}$,$p_2 = \frac{2\Delta}{b}$,અને $p_3 = \frac{2\Delta}{c}$ છે.
તેથી,$\frac{1}{p_1^2} + \frac{1}{p_2^2} + \frac{1}{p_3^2} = \frac{a^2 + b^2 + c^2}{4\Delta^2}$.
અહીં $a=4, b=5, c=6$,અર્ધ-પરિમિતિ $s = 7.5$.
હેરોનના સૂત્ર મુજબ,$\Delta = \frac{15\sqrt{7}}{4}$.
તેથી $4\Delta^2 = \frac{1575}{4}$.
અંશ $a^2 + b^2 + c^2 = 16 + 25 + 36 = 77$.
પરિણામ $\frac{77}{1575/4} = \frac{308}{1575} = \frac{44}{225}$.

(A) ત્રિકોણની બાજુઓ $a=3, b=5, c=7$ છે.
કોસાઇનના નિયમ મુજબ,$\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} = \frac{3^2 + 5^2 - 7^2}{2(3)(5)} = \frac{9 + 25 - 49}{30} = -\frac{1}{2}$.
તેથી,$C = 120^\circ$.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\Delta = \frac{1}{2}ab \sin C = \frac{1}{2}(3)(5) \sin(120^\circ) = \frac{15\sqrt{3}}{4}$.
પરિત્રિજ્યા $R = \frac{abc}{4\Delta} = \frac{3 \times 5 \times 7}{4 \times (\frac{15\sqrt{3}}{4})} = \frac{7}{\sqrt{3}}$.

(D) આપેલ સમીકરણો:
$c^2 - a^2 = \sqrt{3}bc - b^2$ $(1)$
$b^2 - a^2 = c^2 - ac$ $(2)$
$(1)$ પરથી,$a^2 = c^2 + b^2 - \sqrt{3}bc$.
કોસાઇનના નિયમ મુજબ,$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$.
સરખાવતા,$2bc \cos A = \sqrt{3}bc \implies \cos A = \frac{\sqrt{3}}{2} \implies A = 30^{\circ}$.
$(2)$ પરથી,$a^2 = b^2 - c^2 + ac$.
સાઇનના નિયમ મુજબ,$a = 2R \sin A$,$b = 2R \sin B$,$c = 2R \sin C$.
આ કિંમતો $(2)$ માં મૂકતા: $\sin^2 B - \sin^2 A = \sin^2 C - \sin A \sin C$.
$A = 30^{\circ}$ લેતા,$\sin A = 1/2$.
$\sin^2 B - 1/4 = \sin^2 C - \frac{1}{2} \sin C$.
$B = 180^{\circ} - (A+C) = 150^{\circ} - C$ હોવાથી,$\sin B = \sin(150^{\circ}-C) = \frac{1}{2} \cos C + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin C$.
આ કિંમત મૂકીને $C$ માટે ઉકેલતા $C = 90^{\circ}$ મળે છે.

(C) કોસાઇનના નિયમનો ઉપયોગ કરીને,આપણે $\cos A, \cos B, \cos C$ ના મૂલ્યો શોધીએ છીએ:
$\cos A = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} = \frac{25+49-9}{2(5)(7)} = \frac{65}{70} = \frac{13}{14}$
$\cos B = \frac{a^2+c^2-b^2}{2ac} = \frac{9+49-25}{2(3)(7)} = \frac{33}{42} = \frac{11}{14}$
$\cos C = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab} = \frac{9+25-49}{2(3)(5)} = \frac{-15}{30} = -\frac{1}{2}$
હેરોનના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને,ક્ષેત્રફળ $\Delta = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$ જ્યાં $s = \frac{3+5+7}{2} = 7.5 = \frac{15}{2}$.
$\Delta = \sqrt{\frac{15}{2}(\frac{15}{2}-3)(\frac{15}{2}-5)(\frac{15}{2}-7)} = \sqrt{\frac{15}{2} \cdot \frac{9}{2} \cdot \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{675}{16}} = \frac{15\sqrt{3}}{4}$.
કારણ કે $\cot A = \frac{b^2+c^2-a^2}{4\Delta}$,તેથી:
$\cot A + \cot B + \cot C = \frac{a^2+b^2+c^2}{4\Delta} = \frac{9+25+49}{4(\frac{15\sqrt{3}}{4})} = \frac{83}{15\sqrt{3}}$.

(D) આપેલ છે કે $A, B, C$ સમાંતર શ્રેણીમાં છે,તેથી $2B = A + C$. $A + B + C = 180^{\circ}$ હોવાથી,$3B = 180^{\circ}$,એટલે કે $B = 60^{\circ}$.
બહિર ત્રિજ્યાઓના સૂત્ર $r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$,$r_2 = \frac{\Delta}{s-b}$,અને $r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$ નો ઉપયોગ કરતા,શરત $r_3^2 = r_1 r_2 + r_2 r_3 + r_3 r_1$ પરથી સાદું રૂપ આપતા $b = a$ મળે છે.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે ત્રિકોણની બહિર ત્રિજ્યાઓ $r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$,$r_2 = \frac{\Delta}{s-b}$,અને $r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $r_1=4, r_2=8, r_3=24$.
વ્યસ્ત લેતા,$\frac{1}{r_1} = \frac{s-a}{\Delta} = \frac{1}{4}$,$\frac{1}{r_2} = \frac{s-b}{\Delta} = \frac{1}{8}$,અને $\frac{1}{r_3} = \frac{s-c}{\Delta} = \frac{1}{24}$.
આનો સરવાળો કરતા,$\frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2} + \frac{1}{r_3} = \frac{3s-(a+b+c)}{\Delta} = \frac{3s-2s}{\Delta} = \frac{s}{\Delta} = \frac{1}{r}$.
તેથી,$\frac{1}{r} = \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{24} = \frac{6+3+1}{24} = \frac{10}{24} = \frac{5}{12}$,જેનો અર્થ છે કે $r = \frac{12}{5}$.
હવે,$\frac{s-a}{\Delta} = \frac{1}{4} \implies s-a = \frac{\Delta}{4} = \frac{rs}{4} = \frac{(12/5)s}{4} = \frac{3s}{5} \implies a = s - \frac{3s}{5} = \frac{2s}{5}$.
તે જ રીતે,$s-b = \frac{\Delta}{8} = \frac{(12/5)s}{8} = \frac{3s}{10} \implies b = s - \frac{3s}{10} = \frac{7s}{10}$.
અને $s-c = \frac{\Delta}{24} = \frac{(12/5)s}{24} = \frac{s}{10} \implies c = s - \frac{s}{10} = \frac{9s}{10}$.
આમ,$a:b:c = \frac{2s}{5} : \frac{7s}{10} : \frac{9s}{10} = 4:7:9$.

(A) ત્રિકોણ $ABC$ માં,બહિર ત્રિજ્યાઓ $r_2 = s \tan \left(\frac{B}{2}\right)$ અને $r_3 = s \tan \left(\frac{C}{2}\right)$ છે.
$r_2 + r_3 = a \cot \left(\frac{A}{2}\right)$ થાય છે.
સાઇનના નિયમ મુજબ,$a = 4R \sin \left(\frac{A}{2}\right) \cos \left(\frac{A}{2}\right)$ છે.
તેથી,$(r_2 + r_3) \operatorname{cosec}^2 \left(\frac{A}{2}\right) = 4R \sin \left(\frac{A}{2}\right) \cos \left(\frac{A}{2}\right) \cdot \frac{1}{\sin^2 \left(\frac{A}{2}\right)} = 4R \cot \left(\frac{A}{2}\right)$.

(D) આગળ કાટખૂણો ધરાવતા ત્રિકોણ $ABC$ માં,બાજુઓ $a$ ($A$ ની સામે),$c$ ($C$ ની સામે),અને $b$ (કર્ણ,$B$ ની સામે) છે.
આપેલ છે કે $a = 13$ અને $c = 84$.
કર્ણ $b = \sqrt{a^2 + c^2} = \sqrt{13^2 + 84^2} = \sqrt{169 + 7056} = \sqrt{7225} = 85$.
કાટકોણ ત્રિકોણની અંતઃત્રિજ્યા $r = \frac{a + c - b}{2} = \frac{13 + 84 - 85}{2} = \frac{12}{2} = 6$.
કાટકોણ ત્રિકોણની પરિત્રિજ્યા $R = \frac{b}{2} = \frac{85}{2} = 42.5$.
તેથી,$r + R = 6 + 42.5 = 48.5$.

(C) ત્રિકોણ $ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $\Delta = \frac{1}{2} a p_1 = \frac{1}{2} b p_2 = \frac{1}{2} c p_3$ છે.
તેથી,$\frac{1}{p_1} = \frac{a}{2\Delta}, \frac{1}{p_2} = \frac{b}{2\Delta}, \frac{1}{p_3} = \frac{c}{2\Delta}$.
બહિઃત્રિજ્યાઓ $r_1 = \frac{\Delta}{s-a}, r_2 = \frac{\Delta}{s-b}, r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$ છે.
આમ,$\frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2} + \frac{1}{r_3} = \frac{1}{r} = \frac{1}{4} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12} = \frac{1}{2}$.
ગણતરી કરતા,$\frac{1}{p_1^2} + \frac{1}{p_2^2} + \frac{1}{p_3^2} = \frac{25}{288}$ મળે છે.

(A) ત્રિકોણ $ABC$ માં,$AD$ એ $\angle A$ નો દ્વિભાજક છે.
સમાન વૃત્તખંડના ખૂણાઓ સમાન હોવાથી,$\triangle ABD \sim \triangle AEC$ થાય છે.
આથી,$\frac{AD}{AE} = \frac{c}{b}$ મળે છે.
$DE = AE - AD$ હોવાથી,સાદુરૂપ આપતા $DE \cos \frac{A}{2} = \frac{a^2}{2(b+c)}$ મળે છે.

(A) આપેલ છે $\tan \frac{C}{2} = \sqrt{\frac{7}{9}} = \frac{\sqrt{7}}{3}$.
સૂત્ર $\tan \frac{C}{2} = \sqrt{\frac{(s-a)(s-b)}{s(s-c)}}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\tan^2 \frac{C}{2} = \frac{(s-a)(s-b)}{s(s-c)} = \frac{7}{9}$.
અહીં $a=5, b=4$ છે,તેથી $s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{9+c}{2}$.
તેથી $s-a = \frac{c-1}{2}$ અને $s-b = \frac{c+1}{2}$.
સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા: $\frac{(\frac{c-1}{2})(\frac{c+1}{2})}{s(s-c)} = \frac{c^2-1}{4s(s-c)} = \frac{7}{9}$.
ક્ષેત્રફળના સૂત્ર $\Delta = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$ પરથી,$r = \frac{\Delta}{s} = \sqrt{\frac{(s-a)(s-b)(s-c)}{s}}$.
$\tan \frac{C}{2} = \frac{r}{s-c}$ પરથી,$r = (s-c) \tan \frac{C}{2}$.
ગણતરી કરતા $c=6$ મળે છે. તેથી $s = \frac{5+4+6}{2} = 7.5$.
$r = (s-c) \tan \frac{C}{2} = (7.5 - 6) \times \frac{\sqrt{7}}{3} = 1.5 \times \frac{\sqrt{7}}{3} = \frac{3}{2} \times \frac{\sqrt{7}}{3} = \frac{\sqrt{7}}{2}$.

(A) આપેલ છે કે $\operatorname{Sinh}^{-1} x = \log(1+\sqrt{2})$.
વ્યાખ્યા $\operatorname{Sinh}^{-1} x = \log(x + \sqrt{x^2+1})$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $x + \sqrt{x^2+1} = 1+\sqrt{2}$ મળે છે.
પદોની સરખામણી કરતા,$x = 1$ મળે છે.
આપેલ છે કે $\operatorname{Cosh}^{-1} y = \log(1+\sqrt{2})$.
વ્યાખ્યા $\operatorname{Cosh}^{-1} y = \log(y + \sqrt{y^2-1})$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $y + \sqrt{y^2-1} = 1+\sqrt{2}$ મળે છે.
આના પરથી $y = \sqrt{2}$ મળે છે.
હવે,આપણે $\operatorname{Tan}^{-1}(x+y) = \operatorname{Tan}^{-1}(1+\sqrt{2})$ શોધવાનું છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan(67.5^{\circ}) = \tan(\frac{135^{\circ}}{2}) = \frac{1-\cos(135^{\circ})}{\sin(135^{\circ})} = \frac{1 - (-1/\sqrt{2})}{1/\sqrt{2}} = \sqrt{2}+1$.
તેથી,$\operatorname{Tan}^{-1}(1+\sqrt{2}) = 67.5^{\circ} = 67 \frac{1}{2}^{\circ}$.

(B) આપેલ છે કે $x = \log_e 3$,તેથી $e^x = 3$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\tanh 2x = \frac{e^{2x} - e^{-2x}}{e^{2x} + e^{-2x}}$ અને $\operatorname{sech} 2x = \frac{2}{e^{2x} + e^{-2x}}$.
તેથી,$\tanh 2x + \operatorname{sech} 2x = \frac{e^{2x} - e^{-2x} + 2}{e^{2x} + e^{-2x}}$.
$e^x = 3$ હોવાથી,$e^{2x} = 9$ અને $e^{-2x} = \frac{1}{9}$ મળે.
આ કિંમતો મૂકતા:
$\tanh 2x + \operatorname{sech} 2x = \frac{9 - \frac{1}{9} + 2}{9 + \frac{1}{9}} = \frac{98}{82} = \frac{49}{41}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) ધારો કે $A$ ના યામ $(a, 0)$ અને $B$ ના યામ $(0, b)$ છે,જ્યાં $a, b > 0$.
$(a, 0)$ અને $(0, b)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ છે.
રેખા $(4, 9)$ માંથી પસાર થતી હોવાથી,$\frac{4}{a} + \frac{9}{b} = 1$ મળે.
આપણે $S = a + b$ નું ન્યૂનતમ મૂલ્ય શોધવું છે.
સમીકરણ $\frac{4}{a} + \frac{9}{b} = 1$ પરથી,$b = \frac{9a}{a-4}$ મળે.
તેથી,$S(a) = a + \frac{9a}{a-4}$.
ન્યૂનતમ મૂલ્ય માટે,$a$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા: $S'(a) = 1 - \frac{36}{(a-4)^2}$.
$S'(a) = 0$ લેતા,$(a-4)^2 = 36$,તેથી $a-4 = 6$ (કારણ કે $a > 4$),જે $a = 10$ આપે છે.
ત્યારબાદ $b = \frac{9(10)}{10-4} = 15$.
ન્યૂનતમ મૂલ્ય $S = a + b = 10 + 15 = 25$ થાય.

(C) ધારો કે $f(n) = 2^{4n+3} + 3^{3n+1}$.
$n = 1$ માટે,$f(1) = 2^{4(1)+3} + 3^{3(1)+1} = 2^7 + 3^4 = 128 + 81 = 209$.
$n = 2$ માટે,$f(2) = 2^{4(2)+3} + 3^{3(2)+1} = 2^{11} + 3^7 = 2048 + 2187 = 4235$.
આપણે $209$ અને $4235$ નો ગુરુત્તમ સામાન્ય અવયવ $(GCD)$ શોધીએ.
$209 = 11 \times 19$.
$4235 = 5 \times 7 \times 11^2$.
સામાન્ય અવયવ $11$ છે.
$11$ એ એકી અવિભાજ્ય સંખ્યા હોવાથી,$P = 11$ શરતનું પાલન કરે છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{2025}$ છે.
આને $\frac{x+y}{xy} = \frac{1}{2025}$ તરીકે લખી શકાય,જેનો અર્થ છે $xy - 2025x - 2025y = 0$.
બંને બાજુ $2025^2$ ઉમેરતા,આપણને $xy - 2025x - 2025y + 2025^2 = 2025^2$ મળે છે.
આના અવયવો $(x - 2025)(y - 2025) = 2025^2$ થાય છે.
ધારો કે $X = x - 2025$ અને $Y = y - 2025$. તો $XY = 2025^2$.
$2025 = 3^4 \times 5^2$ હોવાથી,$2025^2 = 3^8 \times 5^4$ થાય.
$2025^2$ ના ભાજકોની સંખ્યા $(8+1)(4+1) = 9 \times 5 = 45$ છે.
$x, y > 0$ હોવાથી,$x > 2025$ અને $y > 2025$ હોવા જોઈએ,તેથી $X, Y > 0$.
આમ,ધન પૂર્ણાંક ઉકેલોની સંખ્યા $45$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $||2x-3|-4|=2$ છે.
આ બે કિસ્સાઓ સૂચવે છે:
કિસ્સો $1$: $|2x-3|-4 = 2 \implies |2x-3| = 6$.
આના બે ભાગ પડે છે:
$2x-3 = 6 \implies 2x = 9 \implies x = 4.5$.
$2x-3 = -6 \implies 2x = -3 \implies x = -1.5$.
કિસ્સો $2$: $|2x-3|-4 = -2 \implies |2x-3| = 2$.
આના બે ભાગ પડે છે:
$2x-3 = 2 \implies 2x = 5 \implies x = 2.5$.
$2x-3 = -2 \implies 2x = 1 \implies x = 0.5$.
બીજો $4.5, -1.5, 2.5, 0.5$ છે.
બીજનો સરવાળો $4.5 - 1.5 + 2.5 + 0.5 = 6$ થાય છે.

(D) ધારો કે $x-3 = y$,તેથી $x = y+3$.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા:
$\frac{(y+3)^3+3}{y^3} = \frac{y^3+9y^2+27y+27+3}{y^3} = \frac{y^3+9y^2+27y+30}{y^3} = 1 + \frac{9}{y} + \frac{27}{y^2} + \frac{30}{y^3}$.
આને $a + \frac{b}{y} + \frac{c}{y^2} + \frac{d}{y^3}$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$a = 1, b = 9, c = 27, d = 30$.
હવે,$(a+d)-(b+c)$ ની ગણતરી કરતા:
$(1+30) - (9+27) = 31 - 36 = -5$.

(D) આપેલ આંશિક અપૂર્ણાંક વિઘટન: $\frac{x^2-3}{(x+2)(x^2+1)} = \frac{A}{x+2} + \frac{Bx+C}{x^2+1}$.
બંને બાજુ $(x+2)(x^2+1)$ વડે ગુણતા: $x^2-3 = A(x^2+1) + (Bx+C)(x+2)$.
$A$ શોધવા માટે,$x = -2$ લેતા: $(-2)^2 - 3 = A((-2)^2 + 1) \implies 4-3 = A(4+1) \implies 1 = 5A \implies A = \frac{1}{5}$.
જમણી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા: $x^2-3 = (A+B)x^2 + (2B+C)x + (A+2C)$.
$x^2$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા: $A+B = 1 \implies \frac{1}{5} + B = 1 \implies B = \frac{4}{5}$.
$x$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા: $2B+C = 0 \implies 2(\frac{4}{5}) + C = 0 \implies C = -\frac{8}{5}$.
હવે $3A+2B-C = 3(\frac{1}{5}) + 2(\frac{4}{5}) - (-\frac{8}{5}) = \frac{3}{5} + \frac{8}{5} + \frac{8}{5} = \frac{19}{5}$.

(C) આપેલ આંશિક અપૂર્ણાંક વિઘટન: $\frac{x+3}{(x+1)(x^2+2)} = \frac{a}{x+1} + \frac{bx+c}{x^2+2}$.
બંને બાજુ $(x+1)(x^2+2)$ વડે ગુણતા: $x+3 = a(x^2+2) + (bx+c)(x+1)$.
જમણી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા: $x+3 = ax^2 + 2a + bx^2 + bx + cx + c$.
$x$ ના ઘાતાંક મુજબ પદોને ગોઠવતા: $x+3 = (a+b)x^2 + (b+c)x + (2a+c)$.
બંને બાજુ સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$1$) $a+b = 0 \implies b = -a$
$2$) $b+c = 1$
$3$) $2a+c = 3$
$(2)$ માં $b = -a$ મૂકતા: $-a+c = 1 \implies c = a+1$.
$(3)$ માં $c = a+1$ મૂકતા: $2a + (a+1) = 3 \implies 3a = 2 \implies a = \frac{2}{3}$.
તેથી $b = -\frac{2}{3}$ અને $c = \frac{2}{3} + 1 = \frac{5}{3}$.
અંતે,$a-b+c = \frac{2}{3} - (-\frac{2}{3}) + \frac{5}{3} = \frac{2}{3} + \frac{2}{3} + \frac{5}{3} = \frac{9}{3} = 3$.

(B) ધારો કે $y = x^2$. પદાવલિ $\frac{y+1}{(y+2)(y+3)} = \frac{Ay+B}{y+2} + \frac{Cy+D}{y+3}$ બને છે.
$\frac{y+1}{(y+2)(y+3)}$ માટે આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{y+1}{(y+2)(y+3)} = \frac{P}{y+2} + \frac{Q}{y+3}$.
$y+1 = P(y+3) + Q(y+2)$.
$y = -2$ માટે,$-2+1 = P(-2+3) \implies P = -1$.
$y = -3$ માટે,$-3+1 = Q(-3+2) \implies -2 = -Q \implies Q = 2$.
તેથી,$\frac{y+1}{(y+2)(y+3)} = \frac{-1}{y+2} + \frac{2}{y+3}$.
$y = x^2$ પાછું મૂકતા,આપણને $\frac{-1}{x^2+2} + \frac{2}{x^2+3}$ મળે છે.
આને $\frac{Ax+B}{x^2+2} + \frac{Cx+D}{x^2+3}$ સાથે સરખાવતા,$A=0, B=-1, C=0, D=2$ મળે છે.
તેથી,$A+B+C+D = 0 + (-1) + 0 + 2 = 1$.

(B) આપેલ આંશિક અપૂર્ણાંક વિઘટન: $\frac{x+1}{x^3(x-1)} = \frac{a}{x} + \frac{b}{x^2} + \frac{c}{x^3} + \frac{d}{x-1}$.
બંને બાજુ $x^3(x-1)$ વડે ગુણતા: $x+1 = ax^2(x-1) + bx(x-1) + c(x-1) + dx^3$.
જમણી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા: $x+1 = a(x^3 - x^2) + b(x^2 - x) + c(x-1) + dx^3$.
$x$ ના ઘાતાંક મુજબ ગોઠવતા: $x+1 = (a+d)x^3 + (b-a)x^2 + (c-b)x - c$.
સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
અચળ પદ: $-c = 1 \implies c = -1$.
$x$ નો સહગુણક: $c - b = 1 \implies -1 - b = 1 \implies b = -2$.
$x^2$ નો સહગુણક: $b - a = 0 \implies a = b = -2$.
$x^3$ નો સહગુણક: $a + d = 0 \implies d = -a = 2$.
કિંમતો તપાસતા: $a = -2, b = -2, c = -1, d = 2$.
આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $a = b = 2c = -d$ કારણ કે $-2 = -2 = 2(-1) = -(2)$.

(D) આપેલ આંશિક અપૂર્ણાંક વિઘટન: $\frac{3x+1}{(x-1)^2(x^2+1)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{(x-1)^2} + \frac{Cx+D}{x^2+1}$.
બંને બાજુ $(x-1)^2(x^2+1)$ વડે ગુણતા: $3x+1 = A(x-1)(x^2+1) + B(x^2+1) + (Cx+D)(x-1)^2$.
$x=1$ લેતા: $3(1)+1 = B(1^2+1) \implies 4 = 2B \implies B=2$.
જમણી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા: $3x+1 = A(x^3-x^2+x-1) + 2(x^2+1) + (Cx+D)(x^2-2x+1)$.
$x^3$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા: $0 = A+C \implies C = -A$.
$x^2$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા: $0 = -A+2+D-2C = -A+2+D+2A = A+D+2 \implies D = -A-2$.
અચળ પદોની સરખામણી કરતા: $1 = -A+2+D \implies -A+D = -1$.
$D = -A-2$ મૂકતા: $-A-A-2 = -1 \implies -2A = 1 \implies A = -1/2$.
તેથી $C = 1/2$ અને $D = -(-1/2)-2 = 1/2-2 = -3/2$.
આપણે $2(A-C+B+D) = 2(-1/2 - 1/2 + 2 - 3/2) = 2(-1 + 2 - 1.5) = 2(-0.5) = -1$ ની ગણતરી કરવાની છે.

(C) ધારો કે બંદર ઉગમબિંદુ $O(0,0)$ પર છે.
$2 \text{ hours}$ પછી,પ્રથમ જહાજ $A$ બંદરથી $8 \times 2 = 16 \text{ km}$ ના અંતરે $E 50^{\circ} N$ દિશામાં છે.
બીજું જહાજ $B$ બંદરથી $12 \times 2 = 24 \text{ km}$ ના અંતરે $S 20^{\circ} E$ દિશામાં છે.
બંને દિશાઓ વચ્ચેનો ખૂણો નીચે મુજબ ગણવામાં આવે છે:
$E 50^{\circ} N$ દિશા એ પૂર્વ ધરીથી ઉત્તર તરફ $50^{\circ}$ છે.
$S 20^{\circ} E$ દિશા એ દક્ષિણ ધરીથી પૂર્વ તરફ $20^{\circ}$ છે.
પૂર્વ ધરી અને દક્ષિણ ધરી વચ્ચેનો ખૂણો $90^{\circ}$ છે.
તેથી,બંને જહાજો વચ્ચેનો કુલ ખૂણો $\theta = 50^{\circ} + (90^{\circ} - 20^{\circ}) = 50^{\circ} + 70^{\circ} = 120^{\circ}$ છે.
$\triangle OAB$ માં કોસાઇનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $OA = 16$,$OB = 24$,અને $\angle AOB = 120^{\circ}$:
$AB^2 = OA^2 + OB^2 - 2(OA)(OB) \cos(120^{\circ})$
$AB^2 = 16^2 + 24^2 - 2(16)(24)(-0.5)$
$AB^2 = 256 + 576 + 384 = 1216$
$AB = \sqrt{1216} = \sqrt{64 \times 19} = 8 \sqrt{19} \text{ km}$.

(C) ચતુષ્ફલકના શિરોબિંદુઓ $O(0,0,0), A(3,1,4), B(1,3,2)$ અને $C(0,4,-2)$ છે.
ચતુષ્ફલકનું મધ્યકેન્દ્ર $G$ તેના શિરોબિંદુઓની સરેરાશ દ્વારા મળે છે: $G = \left(\frac{0+3+1+0}{4}, \frac{0+1+3+4}{4}, \frac{0+4+2-2}{4}\right) = \left(1, 2, 1\right)$.
બાજુ $ABC$ નું મધ્યકેન્દ્ર $G_1$ એ શિરોબિંદુઓ $A, B$ અને $C$ ની સરેરાશ દ્વારા મળે છે: $G_1 = \left(\frac{3+1+0}{3}, \frac{1+3+4}{3}, \frac{4+2-2}{3}\right) = \left(\frac{4}{3}, \frac{8}{3}, \frac{4}{3}\right)$.
આપણે $GG_1$ રેખાખંડને $1:2$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરતું બિંદુ $P$ શોધવાનું છે. વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$P = \left(\frac{m x_2 + n x_1}{m+n}, \frac{m y_2 + n y_1}{m+n}, \frac{m z_2 + n z_1}{m+n}\right)$ જ્યાં $m=1, n=2$,$G(1,2,1)$ અને $G_1(\frac{4}{3}, \frac{8}{3}, \frac{4}{3})$ છે:
$x = \frac{1(\frac{4}{3}) + 2(1)}{1+2} = \frac{\frac{4}{3} + 2}{3} = \frac{10}{9}$.
$y = \frac{1(\frac{8}{3}) + 2(2)}{1+2} = \frac{\frac{8}{3} + 4}{3} = \frac{20}{9}$.
$z = \frac{1(\frac{4}{3}) + 2(1)}{1+2} = \frac{\frac{4}{3} + 2}{3} = \frac{10}{9}$.
આમ,બિંદુ $\left(\frac{10}{9}, \frac{20}{9}, \frac{10}{9}\right)$ છે.

(A) ધારો કે બિંદુઓ $A(2, p, 2)$ અને $B(p, -2, p)$ છે. બિંદુ $P\left(\frac{8}{5}, -\frac{1}{5}, \frac{8}{5}\right)$ એ $AB$ નું $m:n$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$P$ નો $y$-યામ નીચે મુજબ મળે છે:
$\frac{m(-2) + n(p)}{m+n} = -\frac{1}{5}$
$-10m + 5np = -m - n$
$9m = n(5p + 1) \implies \frac{m}{n} = \frac{5p+1}{9}$
$P$ ના $x$-યામનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{m(p) + n(2)}{m+n} = \frac{8}{5}$
$5mp + 10n = 8m + 8n$
$m(5p - 8) = -2n \implies \frac{m}{n} = \frac{-2}{5p-8} = \frac{2}{8-5p}$
બંને ગુણોત્તરને સરખાવતા:
$\frac{5p+1}{9} = \frac{2}{8-5p}$
$(5p+1)(8-5p) = 18$
$40p - 25p^2 + 8 - 5p = 18$
$25p^2 - 35p + 10 = 0$
$5p^2 - 7p + 2 = 0$
$(5p-2)(p-1) = 0$
$p$ પૂર્ણાંક હોવાથી,$p = 1$.
તેથી $\frac{m}{n} = \frac{5(1)+1}{9} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$.
આપણે $\frac{3m+n}{3n} = \frac{3(m/n) + 1}{3} = \frac{3(2/3) + 1}{3} = \frac{2+1}{3} = 1$ શોધવાનું છે.
$p=1$ હોવાથી,જવાબ $p$ છે.

(B) ચેસબોર્ડમાં $8 \times 8 = 64$ ચોરસ હોય છે. $64$ માંથી $3$ ચોરસ પસંદ કરવાની કુલ રીતો $\binom{64}{3} = \frac{64 \times 63 \times 62}{3 \times 2 \times 1} = 41664$ છે.
એક હરોળમાં $3$ ચોરસ સાથે હોય તે માટે,$8$ ચોરસની દરેક હરોળમાં $3$ ક્રમિક ચોરસ પસંદ કરવાની $8 - 3 + 1 = 6$ રીતો છે. $8$ હરોળ હોવાથી,હરોળ માટે કુલ રીતો $8 \times 6 = 48$ છે.
તે જ રીતે,સ્તંભો માટે,$8$ સ્તંભો છે અને દરેક સ્તંભમાં $6$ રીતો છે,તેથી $8 \times 6 = 48$ રીતો છે.
સાનુકૂળ પરિણામોની કુલ સંખ્યા $48 + 48 = 96$ છે.
સંભાવના $\frac{96}{41664} = \frac{1}{434}$ છે.

(D) $52$ પત્તામાંથી $3$ પત્તા પસંદ કરવાના કુલ પ્રકારો $^{52}C_3 = 22100$ છે.
સાનુકૂળ પરિણામોની ગણતરી કરતા,કુલ સાનુકૂળ પ્રકારો $576$ મળે છે.
તેથી,સંભાવના = $\frac{576}{22100} = \frac{144}{5525}$.

(D) આપેલ અસમતા $x + \frac{10}{x} \leq 11$ છે.
અહીં $x \in \{1, 2, 3, \ldots, 50\}$ હોવાથી $x$ હંમેશા ધન છે.
$x$ વડે ગુણતા,$x^2 + 10 \leq 11x$,જેનું સાદું રૂપ $x^2 - 11x + 10 \leq 0$ થાય છે.
અવયવ પાડતા,$(x - 1)(x - 10) \leq 0$ મળે છે.
આ અસમતા $1 \leq x \leq 10$ માટે સાચી છે.
આ શરતનું પાલન કરતી પૂર્ણાંક સંખ્યાઓ $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$ છે.
આવી કુલ $10$ સંખ્યાઓ છે.
કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $50$ છે.
તેથી સંભાવના $\frac{10}{50} = \frac{1}{5}$ થાય.

(A) જ્યારે સિક્કાને $7$ વાર ઉછાળવામાં આવે ત્યારે કુલ પરિણામોની સંખ્યા $2^7 = 128$ છે.
આપણે બરાબર $3$ છાપ મળે અને કોઈ પણ બે છાપ ક્રમિક ન હોય તેવી રીતે પસંદ કરવાની છે.
ધારો કે $4$ કાંટા (tails) $T, T, T, T$ છે. આ $5$ ખાલી જગ્યાઓ બનાવે છે જ્યાં છાપ મૂકી શકાય: $\_ T \_ T \_ T \_ T \_$.
કોઈ પણ બે છાપ ક્રમિક ન હોય તે માટે,આપણે આ $5$ ઉપલબ્ધ જગ્યાઓમાંથી $3$ જગ્યાઓ પસંદ કરવી પડશે.
$5$ માંથી $3$ જગ્યાઓ પસંદ કરવાની રીતો $\binom{5}{3} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$ છે.
આમ,સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $10$ છે.
સંભાવના $\frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામો}}{\text{કુલ પરિણામો}} = \frac{10}{128} = \frac{5}{64}$ છે.

(D) બિંદુ $(x_1, y_1, z_1)$ નું સમતલ $Ax + By + Cz + D = 0$ થી અંતર $d = \frac{|Ax_1 + By_1 + Cz_1 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
બિંદુ $(1, 1, \lambda)$ નું સમતલ $3x + 4y - 12z + 13 = 0$ થી અંતર $d_1$ છે:
$d_1 = \frac{|3(1) + 4(1) - 12(\lambda) + 13|}{\sqrt{3^2 + 4^2 + (-12)^2}} = \frac{|3 + 4 - 12\lambda + 13|}{\sqrt{9 + 16 + 144}} = \frac{|20 - 12\lambda|}{13}$.
બિંદુ $(-3, 0, 1)$ નું સમતલથી અંતર $d_2$ છે:
$d_2 = \frac{|3(-3) + 4(0) - 12(1) + 13|}{\sqrt{3^2 + 4^2 + (-12)^2}} = \frac{|-9 + 0 - 12 + 13|}{13} = \frac{|-8|}{13} = \frac{8}{13}$.
બિંદુઓ સમાન અંતરે હોવાથી,$d_1 = d_2$,તેથી $\frac{|20 - 12\lambda|}{13} = \frac{8}{13}$.
આનો અર્થ એ છે કે $|20 - 12\lambda| = 8$,જે બે કિસ્સાઓ આપે છે:
કિસ્સો $1$: $20 - 12\lambda = 8 \implies 12\lambda = 12 \implies \lambda = 1$.
કિસ્સો $2$: $20 - 12\lambda = -8 \implies 12\lambda = 28 \implies \lambda = \frac{28}{12} = \frac{7}{3}$.
આમ,$\lambda$ ની કિંમતો $1$ અને $\frac{7}{3}$ છે.

(D) સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n}$ એ સદિશો $\vec{AB}$ અને $\vec{AC}$ ના સદિશ ગુણાકાર દ્વારા મળે છે.
$\vec{AB} = (6-2, -3-1, 2-(-1)) = (4, -4, 3)$.
$\vec{AC} = (-3-2, 12-1, 4-(-1)) = (-5, 11, 5)$.
$\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 4 & -4 & 3 \\ -5 & 11 & 5 \end{vmatrix} = \hat{i}(-20-33) - \hat{j}(20+15) + \hat{k}(44-20) = -53\hat{i} - 35\hat{j} + 24\hat{k}$.
સમતલનું સમીકરણ $-53(x-2) - 35(y-1) + 24(z+1) = 0$ છે.
$-53x + 106 - 35y + 35 + 24z + 24 = 0$.
$-53x - 35y + 24z + 165 = 0$.
$53x + by + cz + d = 0$ સ્વરૂપમાં લાવવા માટે $-1$ વડે ગુણતા:
$53x + 35y - 24z - 165 = 0$.
અહીં,$b = 35$,$c = -24$,અને $d = -165$.
તેથી,$\frac{d}{b+c} = \frac{-165}{35 - 24} = \frac{-165}{11} = -15$.

(C) સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n}$ એ સદિશ $\vec{PF}$ છે.
$\vec{PF} = (1-2, -2-0, 0-(-3)) = (-1, -2, 3)$.
સમતલનું સમીકરણ $ax+by-3z+d=0$ હોવાથી,અભિલંબ સદિશ $(a, b, -3)$ છે.
$(a, b, -3)$ ની સરખામણી $k(-1, -2, 3)$ સાથે કરતા,આપણને $k(-1) = a$,$k(-2) = b$ અને $k(3) = -3$ મળે છે.
આમ,$k = -1$.
તેથી,$a = -1(-1) = 1$ અને $b = -1(-2) = 2$.
સમતલનું સમીકરણ $x+2y-3z+d=0$ છે.
બિંદુ $F(1,-2,0)$ સમતલ પર હોવાથી,$1 + 2(-2) - 3(0) + d = 0$.
$1 - 4 + d = 0 \implies -3 + d = 0 \implies d = 3$.
આપણે $a+b+d = 1 + 2 + 3 = 6$ શોધવાનું છે.

(C) આપેલ સમતલો $P_1: -4x - 2y + 2z + \alpha = 0$ અને $P_2: 2x + y - z + 1 = 0$ છે.
પ્રથમ,$P_1$ ને $-2$ વડે ભાગતા: $2x + y - z - \frac{\alpha}{2} = 0$.
ધારો કે $k = -\frac{\alpha}{2}$. સમતલો $2x + y - z + k = 0$ અને $2x + y - z + 1 = 0$ છે.
બે સમાંતર સમતલો $Ax + By + Cz + D_1 = 0$ અને $Ax + By + Cz + D_2 = 0$ વચ્ચેનું અંતર $d = \frac{|D_1 - D_2|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$ દ્વારા મળે છે.
અહીં,$d = 2$,$A = 2$,$B = 1$,$C = -1$,$D_1 = k$,અને $D_2 = 1$.
$2 = \frac{|k - 1|}{\sqrt{2^2 + 1^2 + (-1)^2}} = \frac{|k - 1|}{\sqrt{6}}$.
$|k - 1| = 2\sqrt{6}$.
$k - 1 = 2\sqrt{6}$ અથવા $k - 1 = -2\sqrt{6}$.
$k = 1 + 2\sqrt{6}$ અથવા $k = 1 - 2\sqrt{6}$.
કારણ કે $k = -\frac{\alpha}{2}$,તેથી $\alpha = -2k$.
$\alpha_1 = -2(1 + 2\sqrt{6}) = -2 - 4\sqrt{6}$ અને $\alpha_2 = -2(1 - 2\sqrt{6}) = -2 + 4\sqrt{6}$.
$\alpha$ ના મૂલ્યોનો ગુણાકાર $\alpha_1 \alpha_2 = (-2 - 4\sqrt{6})(-2 + 4\sqrt{6}) = (-2)^2 - (4\sqrt{6})^2 = 4 - 16(6) = 4 - 96 = -92$ થાય.

(D) રેખા $A(1, 2, 1)$ અને $B(2, -1, -1)$ માંથી પસાર થાય છે. દિશા સદિશ $\vec{v} = B - A = \bar{i} - 3\bar{j} - 2\bar{k}$ છે. રેખાનું સમીકરણ $\vec{r} = (1 + t)\bar{i} + (2 - 3t)\bar{j} + (1 - 2t)\bar{k}$ છે.
સમતલ $P(1, 0, 0)$,$Q(0, 2, 0)$ અને $R(0, 0, 3)$ માંથી પસાર થાય છે. સમતલનું અંતઃખંડ સ્વરૂપ $\frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{3} = 1$ છે,જે $6x + 3y + 2z = 6$ થાય છે.
રેખાના યામ સમતલના સમીકરણમાં મૂકતા: $6(1 + t) + 3(2 - 3t) + 2(1 - 2t) = 6$.
$6 + 6t + 6 - 9t + 2 - 4t = 6$.
$14 - 7t = 6 \implies 7t = 8 \implies t = \frac{8}{7}$.
$t = \frac{8}{7}$ ને રેખાના સમીકરણમાં મૂકતા: $x = \frac{15}{7}, y = -\frac{10}{7}, z = -\frac{9}{7}$.
છેદબિંદુ $\frac{1}{7}(15\bar{i} - 10\bar{j} - 9\bar{k})$ છે.

(A) રેખા પરના કોઈપણ બિંદુ $P$ નો સ્થાન સદિશ $\vec{p} = (1)\bar{i} + (t-3)\bar{j} + (-2t)\bar{k}$ છે.
ધારો કે સમતલ $\pi: \vec{r} \cdot (2\bar{i} + 3\bar{j} + 5\bar{k}) = 0$ છે. બિંદુ $P$ નું સમતલથી અંતર $d = \frac{|(1)(2) + (t-3)(3) + (-2t)(5)|}{\sqrt{2^2 + 3^2 + 5^2}} = \frac{|2 + 3t - 9 - 10t|}{\sqrt{38}} = \frac{|-7t - 7|}{\sqrt{38}}$ છે.
ન્યૂનતમ અંતર માટે,અંશને શૂન્ય લેતા: $-7t - 7 = 0 \implies t = -1$.
$t = -1$ ને રેખાના સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $P$ નો સ્થાન સદિશ મળે છે: $\vec{p} = \bar{i} - 4\bar{j} + 2\bar{k}$.
સદિશ $\vec{AP} = \vec{p} - \vec{a} = (\bar{i} - 4\bar{j} + 2\bar{k}) - (\bar{i} - 3\bar{j}) = -\bar{j} + 2\bar{k}$.
$P(\bar{i} - 4\bar{j} + 2\bar{k})$ માંથી પસાર થતા અને $\vec{AP} = -\bar{j} + 2\bar{k}$ ને લંબ સમતલનું સમીકરણ $\vec{r} \cdot (-\bar{j} + 2\bar{k}) = \vec{p} \cdot (-\bar{j} + 2\bar{k})$ છે.
ડોટ પ્રોડક્ટની ગણતરી કરતા: $(\bar{i} - 4\bar{j} + 2\bar{k}) \cdot (-\bar{j} + 2\bar{k}) = (-4)(-1) + (2)(2) = 4 + 4 = 8$.
આમ,સમીકરણ $\bar{r} \cdot (-\bar{j} + 2\bar{k}) = 8$ છે.

(B) જ્યારે ત્રણ પાસા ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ પરિણામોની સંખ્યા $6^3 = 216$ છે.
ત્રણ પાસા પરના અંકોનો સરવાળો $3$ થી $18$ ની વચ્ચે હોઈ શકે છે.
આ શ્રેણીમાં અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ $3, 5, 7, 11, 13, 17$ છે.
દરેક સરવાળો મેળવવાની રીતોની ગણતરી કરતા:
સરવાળો $= 3$: $1$ રીત.
સરવાળો $= 5$: $6$ રીતો.
સરવાળો $= 7$: $15$ રીતો.
સરવાળો $= 11$: $27$ રીતો.
સરવાળો $= 13$: $21$ રીતો.
સરવાળો $= 17$: $3$ રીતો.
કુલ સાનુકૂળ પરિણામો $= 1 + 6 + 15 + 27 + 21 + 3 = 73$.
સંભાવના $\frac{73}{216}$ છે.

(C) ચેસબોર્ડમાં $8 \times 8 = 64$ ચોરસ હોય છે. બે ચોરસ પસંદ કરવાની કુલ રીતો $\binom{64}{2} = \frac{64 \times 63}{2} = 2016$ છે.
જો બે ચોરસ આડા અથવા ઊભા પાસપાસે હોય તો તેમની બાજુ સામાન્ય હોય છે.
આડી પાસપાસેની જોડીઓની સંખ્યા: દરેક હરોળમાં $7$ જોડીઓ છે,અને $8$ હરોળ છે,તેથી $8 \times 7 = 56$.
ઊભી પાસપાસેની જોડીઓની સંખ્યા: દરેક સ્તંભમાં $7$ જોડીઓ છે,અને $8$ સ્તંભ છે,તેથી $8 \times 7 = 56$.
કુલ પાસપાસેની જોડીઓ = $56 + 56 = 112$.
જે જોડીઓમાં કોઈ સામાન્ય બાજુ નથી તેની સંખ્યા $2016 - 112 = 1904$ છે.
સંભાવના $\frac{1904}{2016}$ છે.
બંનેને $112$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{1904 \div 112}{2016 \div 112} = \frac{17}{18}$ મળે છે.

(B) શ્રેણિક $P$ માં $9$ ઘટકો છે: $5$ એકી $(1, 3, 5, 7, 9)$ અને $4$ બેકી $(2, 4, 6, 8)$.
$3$ ઘટકો પસંદ કરવાની કુલ રીતો $\binom{9}{3} = 84$ છે.
ઘટના $A$: $3$ ઘટકોનો સરવાળો એકી હોય. આ ત્યારે થાય જો આપણે ($3$ એકી) અથવા ($1$ એકી,$2$ બેકી) પસંદ કરીએ.
$A$ માટેની રીતો = $\binom{5}{3} + \binom{5}{1} \times \binom{4}{2} = 10 + 30 = 40$.
તેથી,$P(A) = \frac{40}{84} = \frac{10}{21}$.
ઘટના $B$: હાર અથવા સ્તંભમાં $3$ ઘટકો પસંદ કરવા. કુલ $6$ રીતો છે.
$P(B) = \frac{6}{84} = \frac{1}{14}$.
$P(A|B)$ માટે,આપણે હાર અથવા સ્તંભમાં એવા ઘટકો જોઈએ જેનો સરવાળો એકી હોય.
હાર: $R_2(4,5,6)$ નો સરવાળો $15$ (એકી) છે.
સ્તંભ: $C_2(2,5,8)$ નો સરવાળો $15$ (એકી) છે.
આવા $2$ સેટ છે.
તેથી,$P(A \cap B) = \frac{2}{84}$.
$P(A|B) = \frac{2/84}{6/84} = \frac{1}{3}$.
$P(A) + P(A|B) = \frac{10}{21} + \frac{1}{3} = \frac{17}{21}$.

(C) આપેલ છે: $P(A) = \frac{1}{2}, P(B) = \frac{1}{3}, P(A \cap B) = \frac{1}{4}$.
પ્રથમ,આપણે $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{1/4}{1/3} = \frac{3}{4}$ શોધીએ.
ત્યારબાદ,$P(A^c \cap B^c) = P((A \cup B)^c) = 1 - P(A \cup B)$ શોધીએ.
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} = \frac{6+4-3}{12} = \frac{7}{12}$.
તેથી,$P(A^c \cap B^c) = 1 - \frac{7}{12} = \frac{5}{12}$.
વળી,$P(B^c) = 1 - P(B) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.
તેથી,$P(A^c|B^c) = \frac{P(A^c \cap B^c)}{P(B^c)} = \frac{5/12}{2/3} = \frac{5}{12} \times \frac{3}{2} = \frac{5}{8}$.
અંતે,$P(A^c|B^c) + P(A|B) = \frac{5}{8} + \frac{3}{4} = \frac{5+6}{8} = \frac{11}{8}$.

(C) કુલ પત્તાની સંખ્યા $52$ છે.
પત્તા બદલી સાથે ખેંચવામાં આવતા હોવાથી,ઘટનાઓ $A$ અને $B$ સ્વતંત્ર છે.
ઘટના $A$ એ પ્રથમ ખેંચાણમાં મુખમુદ્રાવાળું પત્તું ખેંચવાની ઘટના છે. પત્તાના પેકમાં $12$ મુખમુદ્રાવાળા પત્તા હોય છે ($4$ ગલ્લો,$4$ રાણી,$4$ રાજા).
તેથી,$P(A) = \frac{12}{52} = \frac{3}{13}$.
ઘટના $B$ એ બીજા ખેંચાણમાં ફુલ્લીનું પત્તું ખેંચવાની ઘટના છે. પત્તાના પેકમાં $13$ ફુલ્લીના પત્તા હોય છે.
તેથી,$P(B) = \frac{13}{52} = \frac{1}{4}$.
ઘટનાઓ સ્વતંત્ર હોવાથી,$P(B|A) = P(B) = \frac{1}{4}$.
આપણે $P(\overline{B}|A)$ શોધવાનું છે.
પૂરક ઘટનાના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$P(\overline{B}|A) = 1 - P(B|A)$.
$P(\overline{B}|A) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) પાત્રમાં કુલ દડાની સંખ્યા = $7 + 5 + 3 = 15$.
આપેલ છે કે પ્રથમ દડો લાલ અને બીજો દડો સફેદ છે,તેથી આ બે દડા પાત્રમાંથી દૂર કરવામાં આવે છે.
પાત્રમાં બાકી રહેલા દડાની સંખ્યા = $15 - 2 = 13$.
બાકી રહેલા દડાઓ:
લાલ દડા = $7 - 1 = 6$.
સફેદ દડા = $5 - 1 = 4$.
કાળા દડા = $3$.
કુલ બાકી રહેલા દડા = $6 + 4 + 3 = 13$.
આપણે ત્રીજો દડો લાલ ન હોય તેની સંભાવના શોધવાની છે.
લાલ ન હોય તેવા દડાની સંખ્યા = $4 \text{ (સફેદ)} + 3 \text{ (કાળા)} = 7$.
તેથી,ત્રીજો દડો લાલ ન હોય તેની સંભાવના = $\frac{\text{લાલ ન હોય તેવા દડાની સંખ્યા}}{\text{કુલ બાકી રહેલા દડા}} = \frac{7}{13}$.

(C) આપેલ છે કે $P(B) = 0.4$ અને $P(A \cap \bar{B}) = 0.5$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $P(A) = P(A \cap B) + P(A \cap \bar{B})$.
ધારો કે $P(A \cap B) = x$. તો $P(A) = x + 0.5$.
વળી,$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = (x + 0.5) + 0.4 - x = 0.9$.
હવે,પદ $P\left(\frac{B}{A \cup \bar{B}}\right)$ ધ્યાનમાં લો.
વ્યાખ્યા મુજબ,$P\left(\frac{B}{A \cup \bar{B}}\right) = \frac{P(B \cap (A \cup \bar{B}))}{P(A \cup \bar{B})}$.
કારણ કે $B \cap (A \cup \bar{B}) = (B \cap A) \cup (B \cap \bar{B}) = (B \cap A) \cup \emptyset = A \cap B$,તેથી $P(B \cap (A \cup \bar{B})) = P(A \cap B) = x$.
વળી,$P(A \cup \bar{B}) = P(A) + P(\bar{B}) - P(A \cap \bar{B}) = (x + 0.5) + (1 - 0.4) - 0.5 = x + 0.6$.
આ કિંમતો આપેલ સમીકરણમાં મૂકતા: $0.9 + \frac{x}{x + 0.6} = 1.15$.
$\frac{x}{x + 0.6} = 1.15 - 0.9 = 0.25 = \frac{1}{4}$.
$4x = x + 0.6 \implies 3x = 0.6 \implies x = 0.2$.
તેથી,$P(A) = x + 0.5 = 0.2 + 0.5 = 0.7$.

(B) ધારો કે $U_A, U_B,$ અને $U_C$ એ અનુક્રમે પાત્ર $A, B,$ અને $C$ પસંદ કરવાની ઘટનાઓ છે. કારણ કે પાત્ર યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરવામાં આવે છે,$P(U_A) = P(U_B) = P(U_C) = \frac{1}{3}$.
ધારો કે $W$ એ સફેદ દડો કાઢવાની ઘટના છે.
શરતી સંભાવનાઓ નીચે મુજબ છે:
$P(W|U_A) = \frac{6}{6+2} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$
$P(W|U_B) = \frac{5}{5+3} = \frac{5}{8}$
$P(W|U_C) = \frac{4}{4+4} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$
સંપૂર્ણ સંભાવનાના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$P(W) = P(U_A)P(W|U_A) + P(U_B)P(W|U_B) + P(U_C)P(W|U_C)$
$P(W) = \frac{1}{3} \times \frac{3}{4} + \frac{1}{3} \times \frac{5}{8} + \frac{1}{3} \times \frac{1}{2}$
$P(W) = \frac{1}{3} \times (\frac{6}{8} + \frac{5}{8} + \frac{4}{8}) = \frac{1}{3} \times \frac{15}{8} = \frac{5}{8}$.

(A) બેયઝના પ્રમેય મુજબ,સંભાવના $P(B_2|A)$ નીચે મુજબ મળે છે:
$P(B_2|A) = \frac{P(B_2) \times P(A|B_2)}{P(B_1) \times P(A|B_1) + P(B_2) \times P(A|B_2) + P(B_3) \times P(A|B_3)}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$P(B_2|A) = \frac{0.30 \times 0.04}{(0.25 \times 0.05) + (0.30 \times 0.04) + (0.45 \times 0.03)}$
$P(B_2|A) = \frac{0.012}{0.0125 + 0.012 + 0.0135}$
$P(B_2|A) = \frac{0.012}{0.038}$
$P(B_2|A) = \frac{12}{38} = \frac{6}{19}$
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) પોઈસન વિતરણનું સંભાવના દળ વિધેય $P(X=k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $P(X=3) = P(X=5)$,તેથી $\frac{e^{-\lambda} \lambda^3}{3!} = \frac{e^{-\lambda} \lambda^5}{5!}$.
બંને બાજુથી $e^{-\lambda}$ અને $\lambda^3$ ને દૂર કરતા,આપણને $\frac{1}{6} = \frac{\lambda^2}{120}$ મળે છે.
આમ,$\lambda^2 = \frac{120}{6} = 20$,જેનો અર્થ છે કે $\lambda = \sqrt{20}$.
હવે,આપણે $P(X=4) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^4}{4!}$ શોધવાનું છે.
$\lambda = \sqrt{20}$ અને $\lambda^2 = 20$ મૂકતા,આપણને $P(X=4) = \frac{e^{-\sqrt{20}} (20)^2}{24} = \frac{400}{24 e^{\sqrt{20}}} = \frac{50}{3 e^{\sqrt{20}}}$ મળે છે.

(A) ધારો કે $E_1, E_2, E_3$ એ ઘટનાઓ છે કે ટાયર અનુક્રમે $C_1, C_2, C_3$ કંપનીઓ દ્વારા પૂરું પાડવામાં આવે છે. ધારો કે $D$ એ ઘટના છે કે પસંદ કરેલ ટાયર ખામીયુક્ત છે.
આપેલ સંભાવનાઓ છે:
$P(E_1) = 0.40, P(E_2) = 0.35, P(E_3) = 0.25$
$P(D|E_1) = 0.02, P(D|E_2) = 0.03, P(D|E_3) = 0.04$
બેયઝના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,ખામીયુક્ત ટાયર $C_2$ દ્વારા પૂરું પાડવામાં આવ્યું હોવાની સંભાવના $P(E_2|D) = \frac{P(E_2)P(D|E_2)}{P(E_1)P(D|E_1) + P(E_2)P(D|E_2) + P(E_3)P(D|E_3)}$
$P(E_2|D) = \frac{0.35 \times 0.03}{(0.40 \times 0.02) + (0.35 \times 0.03) + (0.25 \times 0.04)}$
$P(E_2|D) = \frac{0.0105}{0.008 + 0.0105 + 0.0100} = \frac{0.0105}{0.0285}$
$P(E_2|D) = \frac{105}{285} = \frac{21}{57} = \frac{7}{19}$

(C) ધારો કે $B_1$ અને $B_2$ એ અનુક્રમે પ્રથમ અને બીજા બોક્સને પસંદ કરવાની ઘટનાઓ છે. બોક્સ યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરવામાં આવે છે,તેથી $P(B_1) = P(B_2) = \frac{1}{2}$.
ધારો કે $E$ એ કાળો દડો પસંદ કરવાની ઘટના છે.
ધારો કે $n_1$ અને $n_2$ એ અનુક્રમે પ્રથમ અને બીજા બોક્સમાં કાળા દડાની સંખ્યા છે. દરેક બોક્સમાં $10$ દડા હોવાથી,$P(E|B_1) = \frac{n_1}{10}$ અને $P(E|B_2) = \frac{n_2}{10}$.
બેયઝના પ્રમેય મુજબ,જો દડો કાળો હોય તો તે બીજા બોક્સમાંથી હોય તેની સંભાવના:
$P(B_2|E) = \frac{P(B_2)P(E|B_2)}{P(B_1)P(E|B_1) + P(B_2)P(E|B_2)} = \frac{\frac{1}{2} \times \frac{n_2}{10}}{\frac{1}{2} \times \frac{n_1}{10} + \frac{1}{2} \times \frac{n_2}{10}} = \frac{n_2}{n_1 + n_2}$.
આપેલ છે કે $P(B_2|E) = \frac{1}{5}$,તેથી $\frac{n_2}{n_1 + n_2} = \frac{1}{5}$,જેનો અર્થ છે કે $5n_2 = n_1 + n_2$,એટલે કે $n_1 = 4n_2$.
$n_1$ અને $n_2$ એ $0$ થી $10$ ની વચ્ચેના પૂર્ણાંકો હોવાથી,આપણે $n_2$ માટે શક્ય કિંમતો ચકાસીએ:
જો $n_2 = 1$,તો $n_1 = 4$.
જો $n_2 = 2$,તો $n_1 = 8$.
આમ,$n_1$ ની કિંમત $4$ અથવા $8$ હોઈ શકે છે.

(B) પોઈસન વિતરણ માટે,સંભાવના દળ વિધેય $P(X=k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}$ છે.
આપેલ છે કે $\frac{P(X=5)}{P(X=2)} = \frac{1}{7500}$,તેથી $\frac{\frac{e^{-\lambda} \lambda^5}{5!}}{\frac{e^{-\lambda} \lambda^2}{2!}} = \frac{\lambda^3}{5 \times 4 \times 3} = \frac{\lambda^3}{60} = \frac{1}{7500}$.
આમ,$\lambda^3 = \frac{60}{7500} = \frac{1}{125}$.
ઘનમૂળ લેતા,$\lambda = \frac{1}{5}$ મળે છે.
બીજી શરત ચકાસતા: $\frac{P(X=5)}{P(X=3)} = \frac{\frac{e^{-\lambda} \lambda^5}{5!}}{\frac{e^{-\lambda} \lambda^3}{3!}} = \frac{\lambda^2}{5 \times 4} = \frac{\lambda^2}{20}$.
$\lambda = \frac{1}{5}$ મૂકતા,$\frac{(1/5)^2}{20} = \frac{1/25}{20} = \frac{1}{500}$ મળે છે.
આ શરત સંતોષાય છે. તેથી,વિતરણનો મધ્યક $\lambda = \frac{1}{5}$ છે.

(C) આપેલ છે કે $X \sim B(n, p)$ જ્યાં $n=7$. સંભાવના વિધેય $P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$ છે.
$P(X=3) = P(X=5)$ આપેલ હોવાથી:
$\binom{7}{3} p^3 (1-p)^{7-3} = \binom{7}{5} p^5 (1-p)^{7-5}$
$\binom{7}{3} p^3 (1-p)^4 = \binom{7}{5} p^5 (1-p)^2$
અહીં $\binom{7}{3} = 35$ અને $\binom{7}{5} = 21$ હોવાથી:
$35 p^3 (1-p)^4 = 21 p^5 (1-p)^2$
બંને બાજુ $7 p^3 (1-p)^2$ વડે ભાગતા:
$5 (1-p)^2 = 3 p^2$
$5 (1 - 2p + p^2) = 3 p^2$
$5 - 10p + 5p^2 = 3p^2$
$2p^2 - 10p + 5 = 0$
દ્વિઘાત સૂત્ર $p = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$p = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 40}}{4} = \frac{10 \pm \sqrt{60}}{4} = \frac{5 \pm \sqrt{15}}{2}$
$0 \le p \le 1$ હોવાથી,$p = \frac{5 - \sqrt{15}}{2}$ મળે.

(C) ભૂલોની સંખ્યા એ $\lambda = n \times p_{error}$ પેરામીટર સાથે પોઈસન વિતરણને અનુસરે છે.
અહીં $n = 40$ પાના છે અને ભૂલનો દર દર $10$ પાના દીઠ $1$ છે,તેથી ભૂલોની સરેરાશ સંખ્યા $\lambda = 40 \times \frac{1}{10} = 4$ છે.
$X$ ભૂલો હોવાની સંભાવના $P(X = k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણને ભૂલો વધુમાં વધુ $2$ હોય તેની સંભાવના જોઈએ છે,જે $p = P(X \le 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)$ છે.
$p = e^{-4} \left( \frac{4^0}{0!} + \frac{4^1}{1!} + \frac{4^2}{2!} \right) = e^{-4} (1 + 4 + 8) = 13 e^{-4}$.
આપણને $e^2 p$ શોધવાનું કહેવામાં આવ્યું છે.
$e^2 p = e^2 \times 13 e^{-4} = 13 e^{-2}$.

(B) દ્વિપદી વિતરણ માટે,મધ્યક $np = \frac{4}{3}$ અને વિચરણ $npq = \frac{10}{9}$ છે.
વિચરણને મધ્યક વડે ભાગતા,આપણને $q = \frac{npq}{np} = \frac{10/9}{4/3} = \frac{10}{9} \times \frac{3}{4} = \frac{5}{6}$ મળે છે.
$p + q = 1$ હોવાથી,$p = 1 - \frac{5}{6} = \frac{1}{6}$ મળે.
$np = \frac{4}{3}$ માં $p = \frac{1}{6}$ મૂકતા,$n(\frac{1}{6}) = \frac{4}{3}$,જેનો અર્થ છે કે $n = 8$.
આપણે $P(X \geq 6) = P(X=6) + P(X=7) + P(X=8)$ શોધવાનું છે.
સંભાવના વિધેય $P(X=k) = \binom{8}{k} (\frac{1}{6})^k (\frac{5}{6})^{8-k}$ છે.
$P(X=6) = \binom{8}{6} (\frac{1}{6})^6 (\frac{5}{6})^2 = 28 \times \frac{25}{6^8} = \frac{700}{6^8}$.
$P(X=7) = \binom{8}{7} (\frac{1}{6})^7 (\frac{5}{6})^1 = 8 \times \frac{5}{6^8} = \frac{40}{6^8}$.
$P(X=8) = \binom{8}{8} (\frac{1}{6})^8 (\frac{5}{6})^0 = 1 \times \frac{1}{6^8} = \frac{1}{6^8}$.
આનો સરવાળો કરતા,$P(X \geq 6) = \frac{700 + 40 + 1}{6^8} = \frac{741}{6^8}$.

(A) ધારો કે $X$ એ $n = 5$ એકમોના નમૂનામાં ખામીયુક્ત એકમોની સંખ્યા છે.
એકમ ખામીયુક્ત હોવાની સંભાવના $p = \frac{1}{8}$ છે,અને એકમ ખામીયુક્ત ન હોવાની સંભાવના $q = 1 - p = \frac{7}{8}$ છે.
પ્રયોગો સ્વતંત્ર હોવાથી,$X$ એ દ્વિપદી વિતરણ $B(n, p) = B(5, \frac{1}{8})$ ને અનુસરે છે.
વધુમાં વધુ એક ખામીયુક્ત એકમ હોવાની સંભાવના $P(X \le 1) = P(X = 0) + P(X = 1)$ છે.
દ્વિપદી સંભાવના સૂત્ર $P(X = k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$P(X = 0) = \binom{5}{0} (\frac{1}{8})^0 (\frac{7}{8})^5 = 1 \times 1 \times (\frac{7}{8})^5 = \frac{16807}{32768}$.
$P(X = 1) = \binom{5}{1} (\frac{1}{8})^1 (\frac{7}{8})^4 = 5 \times \frac{1}{8} \times \frac{2401}{4096} = \frac{12005}{32768}$.
$P(X \le 1) = \frac{16807 + 12005}{32768} = \frac{28812}{32768} = \frac{7203}{8192}$.
આપેલા વિકલ્પોમાંથી કોઈ પણ ગણતરી કરેલ પરિણામ $\frac{7203}{8192}$ સાથે મેળ ખાતું નથી.

(D) ધારો કે $X_1, X_2, X_3$ એ ત્રણ પાસાઓ પર આવતી સંખ્યાઓ દર્શાવતા યાદચ્છિક ચલ છે.
દરેક $X_i$ એ $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ ગણમાંથી સમાન સંભાવના $P(X_i = k) = \frac{1}{6}$ સાથે કિંમતો લઈ શકે છે.
એક પાસાનો મધ્યક (અપેક્ષિત મૂલ્ય) $E[X_i] = \sum_{k=1}^{6} k \cdot P(X_i = k) = \frac{1+2+3+4+5+6}{6} = \frac{21}{6} = 3.5$ છે.
ધારો કે $S$ એ ત્રણ પાસાઓ પર આવતી સંખ્યાઓનો સરવાળો છે,તેથી $S = X_1 + X_2 + X_3$.
અપેક્ષાની સુરેખતાના ગુણધર્મ મુજબ,સરવાળાનો મધ્યક $E[S] = E[X_1 + X_2 + X_3] = E[X_1] + E[X_2] + E[X_3]$ થાય.
એક પાસાના મધ્યકની કિંમત મૂકતા,આપણને $E[S] = 3.5 + 3.5 + 3.5 = 10.5$ મળે છે.
તેથી,સંખ્યાઓના સરવાળાનો મધ્યક $10.5$ છે.

(D) જ્યારે બે પાસા ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ પરિણામોની સંખ્યા $6 \times 6 = 36$ છે.
બે પાસા પરની સંખ્યાઓનો સરવાળો બેકી અથવા એકી હોઈ શકે છે.
સરવાળો બેકી હોય તેવા પરિણામોની સંખ્યા $18$ છે,અને સરવાળો એકી હોય તેવા પરિણામોની સંખ્યા $18$ છે.
આમ,$P(\text{સરવાળો બેકી}) = \frac{18}{36} = \frac{1}{2}$ અને $P(\text{સરવાળો એકી}) = \frac{18}{36} = \frac{1}{2}$.
ધારો કે $X$ એ $A$ દ્વારા મેળવેલા પોઈન્ટ દર્શાવતો યાદચ્છિક ચલ છે.
જો સરવાળો બેકી હોય,તો $X = \frac{1}{2}$ સંભાવના $\frac{1}{2}$ સાથે.
જો સરવાળો એકી હોય,તો $X = 1$ સંભાવના $\frac{1}{2}$ સાથે.
$X$ નો અંકગણિતીય મધ્યક (અપેક્ષિત મૂલ્ય) $E(X) = \sum x_i p_i = (\frac{1}{2} \times \frac{1}{2}) + (1 \times \frac{1}{2}) = \frac{1}{4} + \frac{1}{2} = \frac{3}{4}$ છે.

(B) સંભાવના વિતરણ માટે,બધી સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ થવો જોઈએ: $\sum_{k=0}^{\infty} P(X=k) = 1$.
આપેલ પદ મૂકતા: $c \sum_{k=0}^{\infty} \frac{2k+3}{3^k} = 1$.
ધારો કે $S = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{2k+3}{3^k} = 3 \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{3^k} + 2 \sum_{k=0}^{\infty} \frac{k}{3^k}$.
પ્રથમ ભાગ એક ભૂમિતિ શ્રેણી છે: $3 \times \frac{1}{1 - 1/3} = 3 \times \frac{3}{2} = \frac{9}{2}$.
બીજો ભાગ એક અંકગણિત-ભૂમિતિ શ્રેણી છે: $\sum_{k=0}^{\infty} k x^k = \frac{x}{(1-x)^2}$. $x = 1/3$ માટે,આ $\frac{1/3}{(1-1/3)^2} = \frac{1/3}{4/9} = \frac{3}{4}$ થાય.
તેથી,$S = \frac{9}{2} + 2 \times \frac{3}{4} = \frac{9}{2} + \frac{3}{2} = 6$.
કારણ કે $c \times S = 1$,તેથી $c = 1/6$.
હવે,$P(X=3) = \frac{(2(3)+3)c}{3^3} = \frac{9c}{27} = \frac{c}{3}$.
$c = 1/6$ મૂકતા,આપણને $P(X=3) = \frac{1/6}{3} = \frac{1}{18}$ મળે છે.

(C) પગલું $1$: $k$ ની કિંમત શોધો. સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ થવો જોઈએ.
$3k + k + k + 2k + k = 1 \implies 8k = 1 \implies k = \frac{1}{8}$.
પગલું $2$: મધ્યક $E(X) = \sum x_i P(X=x_i)$ ની ગણતરી કરો.
$E(X) = 2(3k) + 3(k) + 5(k) + 7(2k) + 12(k) = 6k + 3k + 5k + 14k + 12k = 40k$.
કારણ કે $k = \frac{1}{8}$,$E(X) = 40 \times \frac{1}{8} = 5$.
પગલું $3$: $E(X^2) = \sum x_i^2 P(X=x_i)$ ની ગણતરી કરો.
$E(X^2) = 2^2(3k) + 3^2(k) + 5^2(k) + 7^2(2k) + 12^2(k) = 12k + 9k + 25k + 98k + 144k = 288k$.
કારણ કે $k = \frac{1}{8}$,$E(X^2) = 288 \times \frac{1}{8} = 36$.
પગલું $4$: વિચરણ $Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$ ની ગણતરી કરો.
$Var(X) = 36 - (5)^2 = 36 - 25 = 11$.
પગલું $5$: પ્રમાણિત વિચલન $\sigma = \sqrt{Var(X)} = \sqrt{11}$.

(A) અસતત યાદચ્છિક ચલ માટે,બધી સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ હોવો જોઈએ.
તેથી,$P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) = 1$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $3k^3 + 2k^2 + (7 - 19k) = 1$.
$3k^3 + 2k^2 - 19k + 6 = 0$.
કિંમતો ચકાસતા,જો $k = \frac{1}{3}$ લઈએ,તો $3(\frac{1}{27}) + 2(\frac{1}{9}) - 19(\frac{1}{3}) + 6 = \frac{1}{9} + \frac{2}{9} - \frac{57}{9} + \frac{54}{9} = 0$.
આમ,$k = \frac{1}{3}$ એ સમીકરણનું બીજ છે.
હવે,$P(X=3) = 7 - 19k = 7 - 19(\frac{1}{3}) = 7 - \frac{19}{3} = \frac{21 - 19}{3} = \frac{2}{3}$.

(C) ધારો કે $X$ એ $3$ પ્રયત્નોમાં પસંદ થયેલ ગણિતના પુસ્તકોની સંખ્યા દર્શાવતો યાદચ્છિક ચલ છે.
કુલ પુસ્તકોની સંખ્યા = $3 + 2 = 5$.
એક પ્રયત્નમાં ગણિતનું પુસ્તક પસંદ કરવાની સંભાવના $p = \frac{3}{5}$ છે.
ભૌતિકવિજ્ઞાનનું પુસ્તક પસંદ કરવાની સંભાવના $q = 1 - p = 1 - \frac{3}{5} = \frac{2}{5}$ છે.
પુસ્તકોને દરેક પસંદગી પછી પાછા મૂકવામાં આવતા હોવાથી,પ્રયત્નો સ્વતંત્ર છે અને યાદચ્છિક ચલ $X$ એ દ્વિપદી વિતરણ $B(n, p)$ ને અનુસરે છે,જ્યાં $n = 3$ અને $p = \frac{3}{5}$ છે.
દ્વિપદી વિતરણનો મધ્યક $E[X] = np$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $E[X] = 3 \times \frac{3}{5} = \frac{9}{5}$ મળે છે.