TS EAMCET 2025 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(C) मान लीजिए गोले का केंद्र मूल बिंदु $(0, 0)$ है।
गोले की त्रिज्या $R_s = 10 \ cm$ है।
गोला बेलन के संपर्क में है,इसलिए बेलन का केंद्र गोले के केंद्र से $R_s + L/2$ की दूरी पर है,जहाँ $L = 40 \ cm$ बेलन की लंबाई है।
गोले के केंद्र से बेलन के केंद्र की दूरी,$x_c = 10 \ cm + 20 \ cm = 30 \ cm$ है।
गोले का द्रव्यमान,$m_s = 0.5 \ kg$ है।
बेलन का द्रव्यमान,$m_c = 2 \ kg$ है।
गोले के केंद्र से निकाय का द्रव्यमान केंद्र $X_{cm}$ इस प्रकार दिया गया है:
$X_{cm} = \frac{m_s \cdot x_s + m_c \cdot x_c}{m_s + m_c}$
$X_{cm} = \frac{0.5 \cdot 0 + 2 \cdot 30}{0.5 + 2}$
$X_{cm} = \frac{60}{2.5} = 24 \ cm$.

(D) मान लीजिए कि टक्कर के बाद $m$ और $2m$ द्रव्यमान वाले पिंडों के वेग क्रमशः $v_1$ और $v_2$ हैं।
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार: $mv + (2m)(0) = mv_1 + 2mv_2$,जो सरल होकर $v = v_1 + 2v_2$ (समीकरण $1$) हो जाता है।
प्रत्यावस्थान गुणांक $e$ को $e = \frac{v_2 - v_1}{u_1 - u_2}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
यहाँ $u_1 = v$ और $u_2 = 0$ दिया गया है,इसलिए $e = \frac{v_2 - v_1}{v}$,जिसका अर्थ है $v_1 = v_2 - ev$ (समीकरण $2$)।
समीकरण $2$ को समीकरण $1$ में रखने पर: $v = (v_2 - ev) + 2v_2$.
$v(1+e) = 3v_2$,इसलिए $v_2 = \frac{v(1+e)}{3}$.
अब,$v_2$ का मान समीकरण $2$ में रखने पर: $v_1 = \frac{v(1+e)}{3} - ev = \frac{v + ev - 3ev}{3} = \frac{v(1-2e)}{3}$.
वेगों का अनुपात $v_1/v_2 = \frac{v(1-2e)/3}{v(1+e)/3} = \frac{1-2e}{1+e}$ है।

(D) जब एक गेंद को $H$ ऊँचाई से गिराया जाता है और प्रत्यावस्थान गुणांक $e$ होता है,तो पहले उछाल के बाद प्राप्त ऊँचाई $h_1 = e^2 H$,दूसरे उछाल के बाद $h_2 = e^4 H$ आदि होती है।
गेंद द्वारा तय की गई कुल दूरी $D$ प्रारंभिक गिरावट और उछालों (ऊपर और नीचे) की अनंत श्रृंखला के योग के बराबर होती है:
$D = H + 2h_1 + 2h_2 + 2h_3 + ...$
$D = H + 2(e^2 H + e^4 H + e^6 H + ...)$
$D = H + 2e^2 H (1 + e^2 + e^4 + ...)$
अनंत गुणोत्तर श्रेणी के योग के सूत्र $S = \frac{a}{1-r}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $a = 1$ और $r = e^2$:
$D = H + 2e^2 H \left( \frac{1}{1 - e^2} \right)$
$D = H \left( 1 + \frac{2e^2}{1 - e^2} \right) = H \left( \frac{1 - e^2 + 2e^2}{1 - e^2} \right) = H \left( \frac{1 + e^2}{1 - e^2} \right)$
यहाँ $H = 42 \ m$ और $e = 0.4$ दिया गया है:
$e^2 = (0.4)^2 = 0.16$
$D = 42 \times \left( \frac{1 + 0.16}{1 - 0.16} \right) = 42 \times \left( \frac{1.16}{0.84} \right)$
$D = 42 \times \frac{116}{84} = 42 \times \frac{116}{2 \times 42} = \frac{116}{2} = 58 \ m$.

(B) सही मिलान इस प्रकार हैं:
$A$. भाप का इंजन $\text{ऊष्मागतिकी}$ $\text{के}$ $\text{नियमों}$ $(II)$ पर कार्य करता है।
$B$. इलेक्ट्रॉन सूक्ष्मदर्शी $\text{इलेक्ट्रॉनों}$ $\text{की}$ $\text{तरंग}$ $\text{प्रकृति}$ $(III)$ का उपयोग करता है।
$C$. गैर-परावर्तक कोटिंग्स $\text{प्रकाश}$ $\text{के}$ $\text{व्यतिकरण}$ $(IV)$ पर आधारित हैं।
$D$. टोकामक $\text{प्लाज्मा}$ $\text{के}$ $\text{चुंबकीय}$ $\text{परिरोध}$ $(I)$ का उपयोग करता है।
अतः, सही क्रम $A-II, B-III, C-IV, D-I$ है।

(C) सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g'}}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$g'$ पृथ्वी की सतह से $h$ ऊँचाई पर गुरुत्वीय त्वरण है,जो $g' = g (\frac{R_E}{R_E + h} )^2$ है।
अतः,$T \propto \frac{1}{\sqrt{g'}} \propto \frac{R_E + h}{R_E}$ है।
ऊँचाई $h_1 = 2 R_E$ पर,आवर्तकाल $T_1 \propto \frac{R_E + 2 R_E}{R_E} = \frac{3 R_E}{R_E} = 3$ है।
ऊँचाई $h_2 = 3 R_E$ पर,आवर्तकाल $T_2 \propto \frac{R_E + 3 R_E}{R_E} = \frac{4 R_E}{R_E} = 4$ है।
आवर्तकाल का अनुपात $\frac{T_1}{T_2} = \frac{3}{4}$ या $3: 4$ है।

(C) $\text{ऊर्जा संरक्षण के नियम का उपयोग करते हुए, सतह पर कुल ऊर्जा अधिकतम ऊँचाई } h \text{ पर कुल ऊर्जा के बराबर होती है।}$
$\text{सतह पर: } E_i = K_i + U_i = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{R}$
$\text{अधिकतम ऊँचाई पर: } E_f = K_f + U_f = 0 - \frac{GMm}{R+h}$
$E_i = E_f \text{ को बराबर करने पर: } \frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{R} = - \frac{GMm}{R+h}$
$m \text{ से भाग देने पर और } GM = gR^2 \text{ का उपयोग करने पर: } \frac{v^2}{2} - gR = - \frac{gR^2}{R+h}$
$\text{पुनर्व्यवस्थित करने पर: } \frac{gR^2}{R+h} = gR - \frac{v^2}{2} = gR(1 - \frac{v^2}{2gR})$
$\frac{R}{R+h} = 1 - \frac{v^2}{2gR} = 1 - \frac{(8000)^2}{2 \times 10 \times 6400 \times 10^3} = 1 - \frac{64 \times 10^6}{128 \times 10^6} = 1 - 0.5 = 0.5$
$\frac{R}{R+h} = 0.5 \implies R+h = 2R \implies h = R$
$\text{चूंकि } R = 6400 \,km, \text{ इसलिए अधिकतम ऊँचाई } h = 6400 \,km \text{ है।}$

(A) ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार, पृथ्वी की सतह पर कुल ऊर्जा अनंत पर कुल ऊर्जा के बराबर होनी चाहिए।
माना पिंड का द्रव्यमान $m$ है और पृथ्वी का द्रव्यमान $M$ है।
प्रारंभिक वेग $v = \sqrt{5} V_{e}$ है, जहाँ $V_{e} = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ है।
कुल प्रारंभिक ऊर्जा $E_{i} = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{R}$ है।
$v = \sqrt{5} V_{e}$ प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है $E_{i} = \frac{1}{2}m(5 V_{e}^2) - \frac{GMm}{R} = \frac{5}{2}m(\frac{2GM}{R}) - \frac{GMm}{R} = \frac{5GMm}{R} - \frac{GMm}{R} = \frac{4GMm}{R}$।
अनंत पर, स्थितिज ऊर्जा $0$ होती है। माना अंतिम वेग $v_{f}$ है।
कुल अंतिम ऊर्जा $E_{f} = \frac{1}{2}mv_{f}^2 + 0$ है।
$E_{i} = E_{f}$ को बराबर करने पर, हमें मिलता है $\frac{4GMm}{R} = \frac{1}{2}mv_{f}^2$।
$v_{f}^2 = \frac{8GM}{R} = 4 \times (\frac{2GM}{R}) = 4 V_{e}^2$।
अतः, $v_{f} = 2 V_{e}$।

(A) ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,अनंत पर उल्कापिंड की कुल ऊर्जा पृथ्वी की सतह पर कुल ऊर्जा के बराबर होती है।
अनंत पर स्थितिज ऊर्जा $0$ है और गतिज ऊर्जा $\frac{1}{2}mv^2$ है।
पृथ्वी की सतह पर स्थितिज ऊर्जा $-\frac{GMm}{R}$ है और गतिज ऊर्जा $\frac{1}{2}mv_f^2$ है,जहाँ $v_f$ अंतिम चाल है।
अतः,$\frac{1}{2}mv^2 + 0 = \frac{1}{2}mv_f^2 - \frac{GMm}{R}$।
हम जानते हैं कि पलायन वेग $v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$,जिसका अर्थ है $v_e^2 = \frac{2GM}{R}$,या $\frac{GM}{R} = \frac{v_e^2}{2}$।
इस मान को ऊर्जा समीकरण में रखने पर: $\frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}mv_f^2 - m(\frac{v_e^2}{2})$।
$\frac{m}{2}$ से भाग देने पर हमें $v^2 = v_f^2 - v_e^2$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$v_f^2 = v^2 + v_e^2$,जिसका अर्थ है $v_f = \sqrt{v^2 + v_e^2}$।

(A) पृथ्वी के केंद्र से $r$ दूरी पर स्थित उपग्रह की कक्षीय गति $v_0 = \sqrt{\frac{GM}{r}}$ द्वारा दी जाती है।
पृथ्वी की सतह के निकट एक पिंड के लिए,$r_1 = R = 6400 \ km$,इसलिए $v_1 = \sqrt{\frac{GM}{R}} = 8 \ km s^{-1}$ है।
$h = 19,200 \ km$ की ऊँचाई पर स्थित पिंड के लिए,केंद्र से दूरी $r_2 = R + h = 6400 + 19,200 = 25,600 \ km$ है।
इस ऊँचाई पर कक्षीय गति $v_2 = \sqrt{\frac{GM}{r_2}}$ है।
अनुपात लेने पर: $\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{R}{r_2}} = \sqrt{\frac{6400}{25600}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$।
अतः,$v_2 = \frac{v_1}{2} = \frac{8 \ km s^{-1}}{2} = 4 \ km s^{-1}$।

(A) न्यूटन के सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण के नियम के अनुसार,ब्रह्मांड का प्रत्येक कण दूसरे कण को एक ऐसे बल से आकर्षित करता है जो उनके द्रव्यमानों के गुणनफल के सीधे आनुपातिक और उनके केंद्रों के बीच की दूरी के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती होता है।
किन्हीं दो वस्तुओं के बीच उनके द्रव्यमान के कारण लगने वाले इस पारस्परिक आकर्षण बल को गुरुत्वाकर्षण बल कहा जाता है।

(C) दो बिंदु द्रव्यमानों के बीच गुरुत्वाकर्षण बल न्यूटन के गुरुत्वाकर्षण के नियम द्वारा दिया जाता है,$F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}$।
$1$. यह एक संरक्षी बल है,जिसका अर्थ है कि इसके द्वारा किया गया कार्य पथ पर निर्भर नहीं करता है।
$2$. दो द्रव्यमानों के बीच यह हमेशा एक आकर्षक बल होता है।
$3$. यह एक केंद्रीय बल है,क्योंकि यह दो पिंडों के केंद्रों को जोड़ने वाली रेखा के अनुदिश कार्य करता है।
$4$. यह एक गैर-संपर्क बल (या दूरी पर कार्य करने वाला बल) है,जिसका अर्थ है कि इसके लिए पिंडों के बीच भौतिक संपर्क की आवश्यकता नहीं होती है।
इसलिए,यह कथन कि 'केंद्रीय बल नहीं है' गलत है।

(B) एकपरमाणुक गैस के लिए,$\text{स्वतंत्रता की कोटि (degrees of freedom)}$ $f = 3$ होती है।
नियत आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C_V = \frac{f}{2}R = \frac{3}{2}R$ द्वारा दी जाती है।
नियत दाब पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C_P = C_V + R = \frac{3}{2}R + R = \frac{5}{2}R$ होती है।
दिया गया है $R = 8.3 \,J \,mol^{-1} \,K^{-1}$।
$R$ का मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $C_P = \frac{5}{2} \times 8.3 = 2.5 \times 8.3 = 20.75 \,J \,mol^{-1} \,K^{-1}$।

(D) $1$. प्रत्येक गैस के लिए मोल की संख्या $(n)$ की गणना करें:
$n_{O_2} = \frac{64 \ g}{32 \ g/mol} = 2 \ mol$
$n_{N_2} = \frac{28 \ g}{28 \ g/mol} = 1 \ mol$
$n_{CO_2} = \frac{132 \ g}{44 \ g/mol} = 3 \ mol$
$2$. प्रारंभ में कुल मोल की संख्या $n_{total} = 2 + 1 + 3 = 6 \ mol$ है।
$3$. आदर्श गैस समीकरण के अनुसार,$PV = nRT$। चूंकि $V, R, T$ स्थिर हैं,इसलिए $P \propto n$ होगा।
$4$. अतः,$P = k \times 6$,जहाँ $k$ एक स्थिरांक है।
$5$. ऑक्सीजन को हटाने के बाद,शेष मोल $n_{remaining} = 1 (N_2) + 3 (CO_2) = 4 \ mol$ हैं।
$6$. नया दाब $P'$ होगा $P' = k \times 4$।
$7$. अनुपात लेने पर: $\frac{P'}{P} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$।
$8$. इस प्रकार,$P' = \frac{2 P}{3}$।

(C) गैस के अणु की औसत स्थानांतरणीय गतिज ऊर्जा $(K_{avg})$ का सूत्र $K_{avg} = \frac{3}{2} k_B T$ है,जहाँ $k_B$ बोल्ट्जमैन नियतांक है और $T$ परम तापमान है।
चूँकि हाइड्रोजन और ऑक्सीजन दोनों के लिए तापमान $T$ समान है,इसलिए औसत स्थानांतरणीय गतिज ऊर्जा केवल तापमान पर निर्भर करती है।
अतः,हाइड्रोजन और ऑक्सीजन की औसत स्थानांतरणीय गतिज ऊर्जा का अनुपात $1: 1$ है।

(C) गैस की rms चाल का सूत्र $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ है।
चूंकि $v_{rms} \propto \sqrt{T}$,यदि चाल $v$ से बढ़कर $\sqrt{3}v$ हो जाती है,तो तापमान $T_1$ से बढ़कर $T_2$ हो जाता है,जहाँ $\frac{v_{rms2}}{v_{rms1}} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}} = \sqrt{3}$ है।
अतः,$\frac{T_2}{T_1} = 3$,जिसका अर्थ है $T_2 = 3T_1$।
नियत आयतन पर द्विपरमाणुक गैस के लिए आवश्यक ऊष्मा $Q = n C_v \Delta T$ है।
द्विपरमाणुक गैस के लिए स्वतंत्रता की कोटि $f = 5$ है,इसलिए $C_v = \frac{5}{2}R$।
दिया गया है $n = 4 \ mol$,$Q = 83.1 \ kJ = 83100 \ J$,और $R = 8.31 \ J \ mol^{-1} \ K^{-1}$।
मान रखने पर: $83100 = 4 \times \frac{5}{2} \times 8.31 \times (3T_1 - T_1)$।
$83100 = 10 \times 8.31 \times 2T_1$।
$83100 = 166.2 \times T_1$।
$T_1 = \frac{83100}{166.2} = 500 \ K$।
सेल्सियस में बदलने पर: $T_1(^{\circ}C) = 500 - 273 = 227^{\circ}C$।

(C) गैस के अणुओं की रूट मीन स्क्वायर (rms) चाल का सूत्र $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ है।
इसका अर्थ है कि $v_{rms} \propto \sqrt{T}$, जहाँ $T$ केल्विन में परम तापमान है।
दिया गया है $T_1 = 77^{\circ} C = 77 + 273 = 350 \,K$ और $v_1 = 50 \,ms^{-1}$।
दिया गया है $T_2 = 150.5^{\circ} C = 150.5 + 273 = 423.5 \,K$।
अनुपात $\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$ का उपयोग करने पर, हमें प्राप्त होता है:
$v_2 = v_1 \times \sqrt{\frac{T_2}{T_1}} = 50 \times \sqrt{\frac{423.5}{350}}$।
$v_2 = 50 \times \sqrt{1.21} = 50 \times 1.1 = 55 \,ms^{-1}$।
अतः, सही विकल्प $C$ है।

(B) गैस के अणुओं की वर्ग माध्य मूल (rms) चाल का सूत्र $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ है,जहाँ $T$ केल्विन में निरपेक्ष तापमान है।
चूँकि $v_{rms} \propto \sqrt{T}$,अंतिम rms चाल $(v_2)$ और प्रारंभिक rms चाल $(v_1)$ का अनुपात $\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$ होता है।
प्रारंभिक तापमान $T_1 = 127^{\circ} C = 127 + 273 = 400 \ K$.
अंतिम तापमान $T_2 = 527^{\circ} C = 527 + 273 = 800 \ K$.
इन मानों को अनुपात के सूत्र में रखने पर: $\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{800}{400}} = \sqrt{2}$.
अतः,rms चाल प्रारंभिक चाल की $\sqrt{2}$ गुना हो जाती है।

(D) लिफ्ट में किसी व्यक्ति का आभासी भार $W'$ निकालने का सूत्र $W' = m(g + a)$ है,जहाँ $a$ लिफ्ट का त्वरण है।
जब लिफ्ट मंदन के साथ ऊपर जा रही होती है,तो त्वरण $a$ को ऋणात्मक लिया जाता है।
दिया गया है: द्रव्यमान $m = 60 \ kg$,गुरुत्वीय त्वरण $g = 9.8 \ ms^{-2}$,और मंदन $a = -2.8 \ ms^{-2}$।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$W' = 60 \times (9.8 - 2.8)$
$W' = 60 \times 7.0$
$W' = 420 \ N$.
अतः,व्यक्ति का आभासी भार $420 \ N$ है।

(C) निकाय का कुल द्रव्यमान $M = 8 \text{ ton} + 2 \text{ ton} = 10 \text{ ton} = 10000 \text{ kg}$ है।
ब्रेकिंग बल $F = 25000 \text{ N}$ है।
ट्रक का मंदन $a = F / M = 25000 / 10000 = 2.5 \text{ m/s}^2$ है।
$m = 2000 \text{ kg}$ द्रव्यमान का ब्लॉक गति की दिशा में $F_p = m \times a = 2000 \times 2.5 = 5000 \text{ N}$ का छद्म बल (pseudo force) अनुभव करता है।
उपलब्ध अधिकतम स्थैतिक घर्षण बल $f_{max} = \mu \times m \times g = 0.3 \times 2000 \times 10 = 6000 \text{ N}$ है।
चूंकि ब्लॉक को स्थिर रखने के लिए आवश्यक बल $(5000 \text{ N})$ अधिकतम स्थैतिक घर्षण $(6000 \text{ N})$ से कम है, इसलिए ब्लॉक नहीं फिसलेगा।
अतः, ब्लॉक पर कार्य करने वाला घर्षण बल छद्म बल के बराबर होगा, जो कि $5000 \text{ N}$ है।

(C) ब्लॉक एक क्षैतिज सतह पर है। ब्लॉक पर कार्य करने वाले बल हैं:
$1$. भार $mg$ नीचे की ओर।
$2$. अभिलंब प्रतिक्रिया $N$ ऊपर की ओर।
$3$. क्षैतिज के साथ $45^{\circ}$ पर कार्य करने वाला बल $F$।
$F$ को घटकों में विभाजित करने पर: $F_x = F \cos 45^{\circ}$ और $F_y = F \sin 45^{\circ}$।
ऊर्ध्वाधर संतुलन के लिए: $N + F \sin 45^{\circ} = mg$।
अतः, $N = mg - F \sin 45^{\circ} = \sqrt{2} \times 10 - F \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 10\sqrt{2} - \frac{F}{\sqrt{2}}$।
ब्लॉक तब गति करना शुरू करता है जब बल का क्षैतिज घटक सीमांत घर्षण के बराबर होता है: $F \cos 45^{\circ} = \mu N$।
मान रखने पर: $F \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 0.25 \times (10\sqrt{2} - \frac{F}{\sqrt{2}})$।
$\sqrt{2}$ से गुणा करने पर: $F = 0.25 \times (10 \times 2 - F) = 0.25 \times (20 - F)$।
$F = 5 - 0.25F$।
$1.25F = 5$।
$F = \frac{5}{1.25} = 4 \,N$।

(B) बल द्वारा प्रदान की गई शक्ति $P = \vec{F} \cdot \vec{v}$ द्वारा दी जाती है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम $(\vec{F} = m\vec{a})$ के अनुसार,बल $\vec{F}$ त्वरण $\vec{a}$ के समानुपाती होता है,इसलिए यह शर्त कि वेग $\vec{v}$ और त्वरण $\vec{a}$ परस्पर लंबवत हैं,यह दर्शाती है कि $\vec{F} \cdot \vec{v} = 0$ है।
अतः,कण को दी गई शक्ति शून्य $(P = 0)$ है।
चूंकि शक्ति गतिज ऊर्जा के परिवर्तन की दर $(P = \frac{dK}{dt})$ है,इसलिए $P = 0$ का अर्थ है कि गतिज ऊर्जा $K$ नियत है।
इस प्रकार,गति के दौरान कण की गतिज ऊर्जा नियत रहती है।

(B) मान लीजिए कि दो ब्लॉकों का द्रव्यमान $M_1 = m$ और $M_2 = n$ है। मान लीजिए $m > n$ है।
एटवुड मशीन में ब्लॉकों का त्वरण $a = \frac{|M_1 - M_2|}{M_1 + M_2} g = \frac{m-n}{m+n} g$ द्वारा दिया जाता है।
ब्लॉक $1$ का त्वरण $a_1 = a$ (नीचे की ओर) और ब्लॉक $2$ का त्वरण $a_2 = a$ (ऊपर की ओर) है।
नीचे की दिशा को धनात्मक लेने पर,द्रव्यमान केंद्र का त्वरण $a_{cm}$ इस प्रकार होगा:
$a_{cm} = \frac{M_1 a_1 + M_2 a_2}{M_1 + M_2} = \frac{m(a) + n(-a)}{m+n} = \frac{(m-n)a}{m+n}$.
$a$ का मान रखने पर:
$a_{cm} = \frac{(m-n)}{m+n} \cdot \left( \frac{m-n}{m+n} g \right) = \left( \frac{m-n}{m+n} \right)^2 g$.

(D) माना द्रव्यमान $m_1 = 4 \ kg$ (बाईं ओर),$m_2 = 3 \ kg$ (ऊपरी दाईं ओर),और $m_3 = 3 \ kg$ (निचली दाईं ओर) हैं।
दाईं ओर का कुल द्रव्यमान $M_R = m_2 + m_3 = 3 \ kg + 3 \ kg = 6 \ kg$ है।
बाईं ओर का द्रव्यमान $M_L = 4 \ kg$ है।
चूंकि $M_R > M_L$,निकाय दाईं ओर $a$ त्वरण के साथ गति करेगा।
त्वरण $a = \frac{(M_R - M_L)g}{M_R + M_L} = \frac{(6 - 4)g}{6 + 4} = \frac{2g}{10} = 0.2g$ है।
निचले $3 \ kg$ ब्लॉक के लिए,गति का समीकरण $T_1 - m_3g = m_3a$ है।
$T_1 = m_3(g + a) = 3(g + 0.2g) = 3(1.2g) = 3.6g$।
पूरे निकाय के लिए,घिरनी से गुजरने वाली डोरी में तनाव $T_2 = \frac{2 M_L M_R g}{M_L + M_R} = \frac{2(4)(6)g}{4 + 6} = \frac{48g}{10} = 4.8g$ है।
तनावों का अनुपात $\frac{T_1}{T_2} = \frac{3.6g}{4.8g} = \frac{36}{48} = \frac{3}{4}$ है।

(A) माना बल $F$ है। न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,$F = ma$,इसलिए $m = F/a$ है।
द्रव्यमान $P$ के लिए,$P = F/18$ है।
द्रव्यमान $Q$ के लिए,$Q = F/9$ है।
द्रव्यमान $R$ के लिए,$R = F/6$ है।
जब वही बल $F$ संयुक्त द्रव्यमान $(P+Q+R)$ पर लगाया जाता है,तो त्वरण $a'$ का मान $a' = F / (P+Q+R)$ होगा।
$P, Q$ और $R$ के मान रखने पर:
$a' = F / (F/18 + F/9 + F/6) = F / [F(1/18 + 2/18 + 3/18)]$.
$a' = 1 / (6/18) = 1 / (1/3) = 3 \ m/s^2$.
अतः,त्वरण $3 \ m/s^2$ है।

(B) हवा के प्रतिरोध के साथ गुरुत्वाकर्षण के तहत गिरने वाले पिंड के लिए,त्वरण स्थिर नहीं होता है। हालाँकि,हम स्थिर त्वरण वाली गति के लिए औसत वेग की अवधारणा का उपयोग कर सकते हैं।
दिया गया है: प्रारंभिक वेग $u = 0 \ m/s$,अंतिम वेग $v = 18 \ m/s$,और विस्थापन $s = 20 \ m$.
औसत वेग $v_{avg} = \frac{u + v}{2} = \frac{0 + 18}{2} = 9 \ m/s$.
लिया गया समय $t = \frac{s}{v_{avg}} = \frac{20 \ m}{9 \ m/s} \approx 2.22 \ s$.
निकटतम मान लेने पर,लिया गया समय लगभग $2.2 \ s$ है।

(C) घर्षण वाले झुके हुए पथ पर अधिकतम गति $v_{max}$ का सूत्र है: $v_{max} = \sqrt{rg \left( \frac{\tan \theta + \mu}{1 - \mu \tan \theta} \right)}$।
दिया गया है: त्रिज्या $r = 75 \ m$,कोण $\tan \theta = 0.2$,घर्षण गुणांक $\mu = 0.1$,और गुरुत्वीय त्वरण $g = 10 \ m/s^2$ है।
मान रखने पर:
$v_{max} = \sqrt{75 \times 10 \times \left( \frac{0.2 + 0.1}{1 - (0.1 \times 0.2)} \right)}$
$v_{max} = \sqrt{750 \times \left( \frac{0.3}{1 - 0.02} \right)}$
$v_{max} = \sqrt{750 \times \left( \frac{0.3}{0.98} \right)}$
$v_{max} = \sqrt{750 \times 0.3061} \approx \sqrt{229.57} \approx 15.15 \ m/s$।
निकटतम विकल्प के अनुसार,अधिकतम अनुमेय गति $15 \ m/s$ है।

(C) सदिश $\vec{A}$ का $\vec{B}$ की दिशा में घटक $\frac{\vec{A} \cdot \vec{B}}{|\vec{B}|}$ द्वारा दिया जाता है।
सदिश $\vec{B}$ का $\vec{A}$ की दिशा में घटक $\frac{\vec{A} \cdot \vec{B}}{|\vec{A}|}$ द्वारा दिया जाता है।
प्रश्न के अनुसार,$\vec{A}$ का $\vec{B}$ की दिशा में घटक,$\vec{B}$ के $\vec{A}$ की दिशा में घटक का दोगुना है:
$\frac{\vec{A} \cdot \vec{B}}{|\vec{B}|} = 2 \left( \frac{\vec{A} \cdot \vec{B}}{|\vec{A}|} \right)$.
मान लीजिए कि $\vec{A} \cdot \vec{B} \neq 0$,तो दोनों पक्षों को $(\vec{A} \cdot \vec{B})$ से विभाजित करने पर:
$\frac{1}{|\vec{B}|} = \frac{2}{|\vec{A}|}$.
परिमाणों का अनुपात $\frac{|\vec{A}|}{|\vec{B}|}$ ज्ञात करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$\frac{|\vec{A}|}{|\vec{B}|} = 2$.
अतः,अनुपात $2: 1$ है।

(C) माना ब्लॉक का बाहरी आयतन $V = 1000 \text{ ml} = 10^{-3} \text{ m}^3$ है।
लकड़ी का विशिष्ट गुरुत्व $\rho_w / \rho_{water} = 0.75$ है।
अतः,लकड़ी के पदार्थ का घनत्व $\rho_w = 0.75 \times 1000 \text{ kg/m}^3 = 750 \text{ kg/m}^3$ है।
माना गुहा का आयतन $V_c$ है। वास्तविक लकड़ी के पदार्थ का आयतन $V_m = V - V_c$ होगा।
ब्लॉक का द्रव्यमान $M = \rho_w \times V_m = 750 \times (10^{-3} - V_c)$ होगा।
प्लवन के नियम के अनुसार,ब्लॉक का भार उसके द्वारा विस्थापित पानी के भार के बराबर होता है।
ब्लॉक अपने आधे आयतन को पानी में डुबोकर तैरता है,इसलिए $V_{displaced} = \frac{V}{2} = 500 \text{ ml} = 5 \times 10^{-4} \text{ m}^3$ है।
विस्थापित पानी का भार = $\rho_{water} \times V_{displaced} \times g = 1000 \times 5 \times 10^{-4} \times g = 0.5g$ है।
ब्लॉक का भार = $M \times g = 750 \times (10^{-3} - V_c) \times g$ है।
दोनों को बराबर करने पर: $0.5g = 750 \times (10^{-3} - V_c) \times g$ है।
$0.5 = 0.75 - 750 \times V_c$ है।
$750 \times V_c = 0.25$ है।
$V_c = \frac{0.25}{750} = \frac{1}{3000} \text{ m}^3$ है।
$V_c = \frac{1}{3000} \times 10^6 \text{ ml} = 333.33 \text{ ml}$ है।

(C) मान लीजिए घन की भुजा $a = 40 \ cm = 0.4 \ m$ है। घन का आयतन $V = a^3 = (0.4)^3 = 0.064 \ m^3$ है।
पानी का घनत्व $\rho_w = 1000 \ kg/m^3$ है।
प्रारंभ में,घन अपने आयतन के $\frac{1}{4}$ भाग के साथ तैरता है। प्लवनशीलता के नियम के अनुसार,घन का भार विस्थापित पानी के भार के बराबर होता है:
$m_{cube} \cdot g = \rho_w \cdot V_{immersed} \cdot g$
$m_{cube} = 1000 \cdot (\frac{1}{4} \cdot 0.064) = 1000 \cdot 0.016 = 16 \ kg$.
जब $M$ द्रव्यमान की डिस्क को घन पर रखा जाता है,तो कुल भार $(m_{cube} + M)g$ हो जाता है। नया डूबा हुआ आयतन $V$ का $\frac{2}{5}$ भाग है:
$(m_{cube} + M)g = \rho_w \cdot (\frac{2}{5} \cdot V) \cdot g$
$16 + M = 1000 \cdot (\frac{2}{5} \cdot 0.064)$
$16 + M = 1000 \cdot 0.0256 = 25.6$
$M = 25.6 - 16 = 9.6 \ kg$.

(B) टोरिसेली के नियम के अनुसार बहिःस्राव का वेग $v = \sqrt{2gh}$ है।
दिया गया है: $h = 20 \ cm = 0.2 \ m$,$g = 10 \ m \ s^{-2}$.
$v = \sqrt{2 \times 10 \times 0.2} = \sqrt{4} = 2 \ m \ s^{-1}$.
प्रति सेकंड बाहर निकलने वाले पानी का आयतन $Q = A \times v$ है,जहाँ $A = 1 \ mm^2 = 1 \times 10^{-6} \ m^2$.
$Q = 1 \times 10^{-6} \ m^2 \times 2 \ m \ s^{-1} = 2 \times 10^{-6} \ m^3 \ s^{-1}$.
$t = 0.6 \ s$ समय में बाहर आने वाले पानी का द्रव्यमान $m = \rho \times Q \times t$ है।
$m = 1000 \ kg \ m^{-3} \times 2 \times 10^{-6} \ m^3 \ s^{-1} \times 0.6 \ s$.
$m = 1000 \times 1.2 \times 10^{-6} \ kg = 1.2 \times 10^{-3} \ kg = 1.2 \ g$.

(D) मान लीजिए कि तल पर बुलबुले का पृष्ठीय क्षेत्रफल $A_1$ है और शीर्ष पर $A_2$ है। दिया गया है कि $A_2 = A_1 + 1.25 A_1 = 2.25 A_1$.
चूंकि बुलबुला गोलाकार है,$A = 4 \pi r^2$,जिसका अर्थ है $r \propto \sqrt{A}$। अतः,$r_2 = \sqrt{2.25} r_1 = 1.5 r_1$.
आयतन $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ है,इसलिए $V_2 = (1.5)^3 V_1 = 3.375 V_1$.
चूंकि तापमान समान है,बॉयल का नियम लागू होता है: $P_1 V_1 = P_2 V_2$.
यहाँ,$P_2 = P_{atm} = 10 \ m$ पानी का स्तंभ।
$P_1 = P_{atm} + h = 10 + h$,जहाँ $h$ टंकी की गहराई है।
मान रखने पर: $(10 + h) V_1 = 10 \times (3.375 V_1)$.
$10 + h = 33.75$.
$h = 33.75 - 10 = 23.75 \ m$.

(D) $r$ त्रिज्या के साबुन के बुलबुले को फुलाने में किया गया कार्य $W = T \times \Delta A$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है और $\Delta A$ सतह के क्षेत्रफल में परिवर्तन है।
चूंकि साबुन के बुलबुले की दो सतहें (आंतरिक और बाहरी) होती हैं,इसलिए सतह के क्षेत्रफल में परिवर्तन $\Delta A = 2 \times (4 \pi r^2) = 8 \pi r^2$ होता है।
दिया गया है: व्यास $d = 3 \ cm$,इसलिए त्रिज्या $r = 1.5 \ cm = 1.5 \times 10^{-2} \ m$.
पृष्ठ तनाव $T = 0.035 \ N/m$.
मान रखने पर:
$W = 0.035 \times 8 \times \pi \times (1.5 \times 10^{-2})^2$
$W = 0.035 \times 8 \times 3.14159 \times 2.25 \times 10^{-4}$
$W = 0.28 \times 3.14159 \times 2.25 \times 10^{-4}$
$W \approx 1.979 \times 10^{-4} \ J$
$W \approx 198 \times 10^{-6} \ J = 198 \ \mu J$.
अतः,सही विकल्प $D$ है.

(A) साबुन के बुलबुले की त्रिज्या को $r_1$ से $r_2$ तक बढ़ाने में किया गया कार्य $W = T \times \Delta A$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है और $\Delta A$ सतह के क्षेत्रफल में परिवर्तन है। चूँकि साबुन के बुलबुले में दो सतहें होती हैं,क्षेत्रफल में परिवर्तन $\Delta A = 2 \times (4\pi r_2^2 - 4\pi r_1^2) = 8\pi(r_2^2 - r_1^2)$ है।
$W_1$ के लिए ($r$ से $2r$): $W_1 = 8\pi T ((2r)^2 - r^2) = 8\pi T (4r^2 - r^2) = 8\pi T (3r^2) = 24\pi T r^2$.
$W_2$ के लिए ($2r$ से $3r$): $W_2 = 8\pi T ((3r)^2 - (2r)^2) = 8\pi T (9r^2 - 4r^2) = 8\pi T (5r^2) = 40\pi T r^2$.
अतः,अनुपात $W_1: W_2 = (24\pi T r^2) : (40\pi T r^2) = 24:40 = 3:5$.

(B) फिल्म का क्षेत्रफल बढ़ाने में किया गया कार्य $W = T \times \Delta A$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है और $\Delta A$ सतह के क्षेत्रफल में परिवर्तन है।
चूंकि एक पतली फिल्म की दो सतहें होती हैं,इसलिए कुल क्षेत्रफल में परिवर्तन $\Delta A = 2 \times l \times (d_2 - d_1)$ है।
दिया गया है: $l = 8 \ cm = 0.08 \ m$,$d_1 = 0.6 \ cm = 0.006 \ m$,$d_2 = 0.8 \ cm = 0.008 \ m$,और $T = 0.07 \ N/m$.
दूरी में परिवर्तन $\Delta d = d_2 - d_1 = 0.8 \ cm - 0.6 \ cm = 0.2 \ cm = 0.002 \ m$.
$\Delta A = 2 \times 0.08 \ m \times 0.002 \ m = 0.00032 \ m^2$.
किया गया कार्य $W = 0.07 \ N/m \times 0.00032 \ m^2 = 0.0000224 \ J$.
$W = 22.4 \times 10^{-6} \ J = 22.4 \ \mu J$.

(B) मान लीजिए प्रत्येक छोटी बूंद की त्रिज्या $r$ है और बड़ी बूंद की त्रिज्या $R$ है। चूंकि कुल आयतन स्थिर रहता है,हमारे पास $n \times (4/3) \pi r^3 = (4/3) \pi R^3$ है,जिससे $R = n^{1/3} r$ प्राप्त होता है।
$n$ बूंदों का प्रारंभिक सतह क्षेत्रफल $A_i = n \times 4 \pi r^2$ है।
बड़ी बूंद का अंतिम सतह क्षेत्रफल $A_f = 4 \pi R^2 = 4 \pi (n^{1/3} r)^2 = 4 \pi n^{2/3} r^2$ है।
चूंकि $n > 1$ के लिए $n^{2/3} < n$ होता है,इसलिए अंतिम सतह क्षेत्रफल $A_f$ प्रारंभिक सतह क्षेत्रफल $A_i$ से कम है। अतः,सतह का क्षेत्रफल घटता है।
सतह ऊर्जा $U = T \times A$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है। चूंकि सतह का क्षेत्रफल घटता है,इसलिए निकाय की सतह ऊर्जा कम हो जाती है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,सतह ऊर्जा में हुई कमी ऊष्मा के रूप में मुक्त होती है। इसलिए,सतह का क्षेत्रफल घटता है और ऊष्मा मुक्त होती है।

(D) दोनों सिरों पर खुली केशिका नली के लिए,जल स्तंभ मेनिस्कस पर पृष्ठ तनाव बलों द्वारा समर्थित होता है।
जब $h$ लंबाई का जल स्तंभ एक केशिका नली में रखा जाता है,तो पृष्ठ तनाव के कारण होने वाला दाबांतर जल स्तंभ के हाइड्रोस्टेटिक दबाव को संतुलित करना चाहिए।
दोनों सिरों पर खुली नली के लिए,यदि नली ऊर्ध्वाधर है तो पानी को सहारा नहीं दिया जा सकता क्योंकि ऊपर और नीचे के मेनिस्कस पर दबाव वायुमंडलीय दबाव के बराबर होगा,और गुरुत्वाकर्षण पानी को नीचे खींच लेगा।
अतः,जल स्तंभ गुरुत्वाकर्षण के कारण नीचे गिर जाएगा।
इसलिए,बिना गिरे रह सकने वाले जल स्तंभ की अधिकतम लंबाई $0 \ cm$ है।

(C) $r$ त्रिज्या और $\rho$ घनत्व वाले गोले का सीमांत वेग $v_t$,जो $\sigma$ घनत्व और $\eta$ श्यानता वाले द्रव में गिर रहा है,सूत्र $v_t = \frac{2}{9} \frac{r^2 g (\rho - \sigma)}{\eta}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि दोनों गोले एक ही धातु के बने हैं और एक ही द्रव में गिर रहे हैं,इसलिए $\rho, \sigma, g,$ और $\eta$ स्थिर हैं। अतः,$v_t \propto r^2$.
द्रव्यमान $m = \frac{4}{3} \pi r^3 \rho$ होने के कारण,$r^3 \propto m$,जिसका अर्थ है $r \propto m^{1/3}$.
इसे $v_t$ के समानुपाती संबंध में रखने पर,हमें $v_t \propto (m^{1/3})^2 = m^{2/3}$ प्राप्त होता है।
मान लीजिए $m_1 = 8 \ g$ के लिए $v_1 = 3 \ cm s^{-1}$ है और $m_2 = 64 \ g$ के लिए सीमांत वेग $v_2$ है।
अतः,$\frac{v_2}{v_1} = \left( \frac{m_2}{m_1} \right)^{2/3} = \left( \frac{64}{8} \right)^{2/3} = (8)^{2/3} = (2^3)^{2/3} = 2^2 = 4$.
इसलिए,$v_2 = 4 \times v_1 = 4 \times 3 \ cm s^{-1} = 12 \ cm s^{-1}$.

$(A)$ रेनॉल्ड्स संख्या $(Re)$ एक विमाहीन राशि है जिसका उपयोग द्रव के प्रवाह के प्रकार की भविष्यवाणी करने के लिए किया जाता है।
पाइप में प्रवाह के लिए, मानदंड सामान्यतः इस प्रकार परिभाषित हैं:
$1$. यदि $Re < 2000$ है, तो प्रवाह सुव्यवस्थित या लामिनार होता है।
$2$. यदि $2000 < Re < 3000$ है, तो प्रवाह संक्रमण अवस्था में होता है।
$3$. यदि $Re > 3000$ है, तो प्रवाह अशांत (turbulent) होता है।
सुव्यवस्थित प्रवाह के लिए शर्त $(Re < 2000)$ के साथ दिए गए विकल्पों की तुलना करने पर:
- विकल्प $A$: $900 < 2000$ (सुव्यवस्थित)
- विकल्प $B$: $2100$ (संक्रमण)
- विकल्प $C$: $2900$ (संक्रमण)
- विकल्प $D$: $4000$ (अशांत)
अतः, सही विकल्प $A$ है।

(B) स्टोक्स के नियम के अनुसार,$\eta$ श्यानता वाले तरल में $v$ टर्मिनल वेग से गति करने वाली $r$ त्रिज्या की गोलाकार वस्तु पर लगने वाला श्यान बल $F = 6 \pi \eta r v$ होता है।
दिया गया है:
व्यास $d = 1 \ mm = 10^{-3} \ m$,इसलिए त्रिज्या $r = 0.5 \times 10^{-3} \ m$.
टर्मिनल वेग $v = 0.7 \ ms^{-1}$.
श्यानता गुणांक $\eta = 2 \times 10^{-5} \ Pa \cdot s$.
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$F = 6 \times 3.14 \times (2 \times 10^{-5}) \times (0.5 \times 10^{-3}) \times 0.7$
$F = 6 \times 3.14 \times 10^{-5} \times 0.5 \times 10^{-3} \times 0.7$
$F = 6 \times 0.5 \times 0.7 \times 3.14 \times 10^{-8}$
$F = 2.1 \times 3.14 \times 10^{-8}$
$F = 6.594 \times 10^{-8} \ N \approx 6.6 \times 10^{-8} \ N$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(B) बल्क मापांक $B$ को $B = -\frac{\Delta P}{\Delta V/V}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
दिया गया है: $B = 60 \ GPa = 60 \times 10^9 \ Pa$,$\Delta P = 10^7 \ Pa$,$r = 36 \ cm = 0.36 \ m$.
गोले का आयतन $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ है,इसलिए आयतन में आंशिक परिवर्तन $\frac{\Delta V}{V} = 3 \frac{\Delta r}{r}$ होता है।
इस मान को बल्क मापांक के सूत्र में रखने पर: $B = -\frac{\Delta P}{3 \Delta r / r}$.
$\Delta r$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर: $\Delta r = -\frac{\Delta P \cdot r}{3B}$.
परिमाण लेने पर: $|\Delta r| = \frac{10^7 \times 0.36}{3 \times 60 \times 10^9}$.
$|\Delta r| = \frac{3.6 \times 10^6}{180 \times 10^9} = \frac{3.6}{180} \times 10^{-3} = 0.02 \times 10^{-3} \ m = 2 \times 10^{-5} \ m$.
सेमी में बदलने पर: $2 \times 10^{-5} \times 10^2 \ cm = 2 \times 10^{-3} \ cm$.

(C) माना तार की मूल त्रिज्या $r$ और लंबाई $L$ है। अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ है।
अवकलन करने पर,$\Delta A = 2 \pi r \Delta r$ प्राप्त होता है।
प्वासों अनुपात $\sigma$ की परिभाषा के अनुसार $\sigma = -\frac{\Delta r / r}{\Delta L / L}$,इसलिए $\frac{\Delta r}{r} = -\sigma \frac{\Delta L}{L}$।
इस मान को क्षेत्रफल परिवर्तन के समीकरण में रखने पर: $\Delta A = 2 \pi r^2 (-\sigma \frac{\Delta L}{L}) = -2 A \sigma \frac{\Delta L}{L}$।
परिमाण लेने पर,$|\Delta A| = 2 A \sigma \frac{\Delta L}{L}$,जिससे $\frac{\Delta L}{L} = \frac{\Delta A}{2 A \sigma}$ प्राप्त होता है।
यंग मापांक $Y$ की परिभाषा के अनुसार $Y = \frac{F/A}{\Delta L/L}$,इसलिए $F = Y A \frac{\Delta L}{L}$।
$\frac{\Delta L}{L}$ का मान रखने पर: $F = Y A (\frac{\Delta A}{2 A \sigma}) = \frac{Y \Delta A}{2 \sigma}$।

(C) खींची गई छड़ में प्रति इकाई आयतन संचित ऊर्जा $(u)$ का सूत्र है: $u = \frac{1}{2} \times \text{stress} \times \text{strain}$।
हम जानते हैं कि $\text{stress} = \frac{F}{A}$ और $\text{strain} = \frac{\text{stress}}{Y} = \frac{F}{AY}$।
इन मानों को सूत्र में रखने पर, $u = \frac{1}{2} \times \frac{F}{A} \times \frac{F}{AY} = \frac{F^2}{2A^2Y}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है: $F = 9 \times 10^4 \,N$, $A = 3 \,cm^2 = 3 \times 10^{-4} \,m^2$, और $Y = 2 \times 10^{11} \,Nm^{-2}$।
प्रतिबल (stress) की गणना: $\sigma = \frac{9 \times 10^4}{3 \times 10^{-4}} = 3 \times 10^8 \,Nm^{-2}$।
अब, $u = \frac{1}{2} \times \sigma \times \frac{\sigma}{Y} = \frac{\sigma^2}{2Y}$।
$u = \frac{(3 \times 10^8)^2}{2 \times 2 \times 10^{11}} = \frac{9 \times 10^{16}}{4 \times 10^{11}} = 2.25 \times 10^5 \,Jm^{-3}$।

(A) तार को खींचने में किया गया कार्य इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $W = \frac{1}{2} \times \text{Stress} \times \text{Strain} \times \text{Volume}$.
दिया गया है: विकृति $(\epsilon) = 10^{-3}$,यंग मापांक $(Y) = 2 \times 10^{11} \ Nm^{-2}$,द्रव्यमान $(m) = 2.96 \ kg$,घनत्व $(\rho) = 7.4 \ g \ cm^{-3} = 7400 \ kg \ m^{-3}$.
सबसे पहले,तार का आयतन $(V)$ ज्ञात करें: $V = \frac{m}{\rho} = \frac{2.96}{7400} = 4 \times 10^{-4} \ m^3$.
इसके बाद,प्रतिबल ज्ञात करें: $\text{Stress} = Y \times \epsilon = (2 \times 10^{11}) \times (10^{-3}) = 2 \times 10^8 \ Nm^{-2}$.
अब,किए गए कार्य की गणना करें: $W = \frac{1}{2} \times (2 \times 10^8) \times (10^{-3}) \times (4 \times 10^{-4})$.
$W = 10^8 \times 10^{-3} \times 4 \times 10^{-4} = 4 \times 10^1 = 40 \ J = 0.04 \ kJ$.

(B) तार का विस्तार $\Delta L$,$\Delta L = \frac{FL}{AY}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $F$ बल है,$L$ लंबाई है,$A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है और $Y$ यंग मापांक है।
चूंकि तार समान पदार्थ से बने हैं,इसलिए $Y_A = Y_B = Y$ होगा। बल $F$ भी समान है।
हम जानते हैं कि द्रव्यमान $m = \rho A L$,जहाँ $\rho$ घनत्व है। पदार्थ समान होने के कारण,$\rho_A = \rho_B = \rho$ होगा।
अतः,$L = \frac{m}{\rho A}$।
इस मान को विस्तार के सूत्र में रखने पर: $\Delta L = \frac{F}{\rho A^2 Y} \cdot m$।
विस्तार के अनुपात के लिए: $\frac{\Delta L_A}{\Delta L_B} = \frac{m_A}{m_B} \cdot \left( \frac{A_B}{A_A} \right)^2$।
दिया गया है कि $\frac{m_A}{m_B} = \frac{2}{3}$ और $\frac{A_A}{A_B} = \frac{1}{2}$,इसलिए $\frac{A_B}{A_A} = 2$ होगा।
अतः,$\frac{\Delta L_A}{\Delta L_B} = \frac{2}{3} \cdot (2)^2 = \frac{2}{3} \cdot 4 = \frac{8}{3}$।

(D) माना दोनों छड़ों की लंबाई $L_1$ और $L_2$,घनत्व $\rho$ और यंग मापांक $Y$ है।
समान द्रव्यमान होने के कारण,$m_1 = m_2 \implies \rho A_1 L_1 = \rho A_2 L_2 \implies A_1 L_1 = A_2 L_2$।
वृत्ताकार छड़ के लिए,$A_1 = \pi (0.5)^2 = \frac{\pi}{4} \ cm^2$।
वर्गाकार छड़ के लिए,$A_2 = 1^2 = 1 \ cm^2$।
लंबाई में वृद्धि $\Delta L = \frac{FL}{AY}$ होती है।
अनुपात $\frac{\Delta L_1}{\Delta L_2} = \frac{L_1}{A_1} \times \frac{A_2}{L_2} = \frac{L_1}{L_2} \times \frac{A_2}{A_1}$।
समीकरण $A_1 L_1 = A_2 L_2$ से,$\frac{L_1}{L_2} = \frac{A_2}{A_1}$।
अतः,अनुपात $= (\frac{A_2}{A_1})^2 = (\frac{1}{\pi/4})^2 = (\frac{4}{\pi})^2 = \frac{16}{\pi^2}$।

(A) दिया गया है: प्रारंभिक वेग $u = 20 \,ms^{-1}$, अधिकतम ऊँचाई पर अंतिम वेग $v = 0 \,ms^{-1}$ और त्वरण $a = -g = -10 \,ms^{-2}$ है।
गति के तीसरे समीकरण का उपयोग करते हुए: $v^2 = u^2 + 2as$।
मान रखने पर: $0^2 = (20)^2 + 2(-10)h$।
$0 = 400 - 20h$।
$20h = 400$।
$h = 20 \,m$।
नोट: प्रश्न में दिया गया $18 \,ms^{-1}$ का मान अधिकतम ऊँचाई ज्ञात करने के लिए अप्रासंगिक है, क्योंकि ऊर्ध्वाधर प्रक्षेपण के शिखर पर अंतिम वेग हमेशा $0 \,ms^{-1}$ होता है।

(B) विराम अवस्था से मुक्त रूप से गिरती हुई वस्तु के लिए,$t$ समय में तय की गई दूरी $s = \frac{1}{2}gt^2$ द्वारा दी जाती है।
अतः,$s$ दूरी तय करने में लगा समय $t = \sqrt{\frac{2s}{g}}$ है।
माना पहले $5 \ m$ $(s_1 = 5 \ m)$ तय करने में लगा समय $t_1$ है। तो $t_1 = \sqrt{\frac{2(5)}{g}} = \sqrt{\frac{10}{g}}$।
माना पहले $10 \ m$ $(s_2 = 10 \ m)$ तय करने में लगा समय $t_2$ है। तो $t_2 = \sqrt{\frac{2(10)}{g}} = \sqrt{\frac{20}{g}}$।
माना पहले $15 \ m$ $(s_3 = 15 \ m)$ तय करने में लगा समय $t_3$ है। तो $t_3 = \sqrt{\frac{2(15)}{g}} = \sqrt{\frac{30}{g}}$।
पहले $5 \ m$ तय करने में लगा समय $T_1 = t_1 = \sqrt{\frac{10}{g}}$ है।
दूसरे $5 \ m$ तय करने में लगा समय $T_2 = t_2 - t_1 = \sqrt{\frac{20}{g}} - \sqrt{\frac{10}{g}} = \sqrt{\frac{10}{g}}(\sqrt{2} - 1)$ है।
तीसरे $5 \ m$ तय करने में लगा समय $T_3 = t_3 - t_2 = \sqrt{\frac{30}{g}} - \sqrt{\frac{20}{g}} = \sqrt{\frac{10}{g}}(\sqrt{3} - \sqrt{2})$ है।
अनुपात $T_1 : T_2 : T_3$ का मान $\sqrt{\frac{10}{g}} : \sqrt{\frac{10}{g}}(\sqrt{2} - 1) : \sqrt{\frac{10}{g}}(\sqrt{3} - \sqrt{2})$ है।
सरल करने पर,हमें $1 : (\sqrt{2} - 1) : (\sqrt{3} - \sqrt{2})$ प्राप्त होता है।

(C) चरण $1$: मुक्त पतन के लिए लिया गया समय $(t_1)$ और प्राप्त वेग $(v)$ की गणना करें।
मुक्त पतन के लिए,प्रारंभिक वेग $u = 0$,दूरी $s_1 = 20 \ m$,और $g = 10 \ m/s^2$ है।
$v^2 = u^2 + 2gs_1$ का उपयोग करने पर,$v^2 = 0 + 2 \times 10 \times 20 = 400$,इसलिए $v = 20 \ m/s$।
$v = u + gt_1$ का उपयोग करने पर,$20 = 0 + 10t_1$,इसलिए $t_1 = 2 \ s$।
चरण $2$: एकसमान गति के लिए लिया गया समय $(t_2)$ की गणना करें।
शेष दूरी $s_2 = 2000 \ m - 20 \ m = 1980 \ m$ है।
वेग $v = 20 \ m/s$ स्थिर है।
समय $t_2 = s_2 / v = 1980 / 20 = 99 \ s$।
चरण $3$: कुल समय की गणना करें।
कुल समय $T = t_1 + t_2 = 2 \ s + 99 \ s = 101 \ s$।

(B) दिया गया संबंध: $t = 2x^2 + 3x$।
वेग $v$ ज्ञात करने के लिए,$t$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{dt}{dx} = 4x + 3$।
चूंकि $v = \frac{dx}{dt}$,इसलिए $v = \frac{1}{4x + 3} = (4x + 3)^{-1}$।
त्वरण $a$ ज्ञात करने के लिए,$v$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $a = \frac{dv}{dt} = \frac{dv}{dx} \cdot \frac{dx}{dt} = \frac{dv}{dx} \cdot v$।
$\frac{dv}{dx} = -1(4x + 3)^{-2} \cdot 4 = -\frac{4}{(4x + 3)^2}$।
अतः,$a = -\frac{4}{(4x + 3)^2} \cdot \frac{1}{4x + 3} = -\frac{4}{(4x + 3)^3}$।
दिया गया विस्थापन $x = 25 \ cm = 0.25 \ m = \frac{1}{4} \ m$।
$x = \frac{1}{4}$ को त्वरण के सूत्र में रखने पर: $a = -\frac{4}{(4(1/4) + 3)^3} = -\frac{4}{(1 + 3)^3} = -\frac{4}{4^3} = -\frac{4}{64} = -\frac{1}{16} \ ms^{-2}$।

(D) $n^{th}$ सेकंड में कण का विस्थापन सूत्र $S_n = u + \frac{a}{2}(2n - 1)$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $u$ प्रारंभिक वेग है और $a$ एकसमान त्वरण है।
तीसरे सेकंड के लिए $(n=3)$: $10 = u + \frac{a}{2}(2(3) - 1) \implies 10 = u + 2.5a$ --- (समीकरण $1$)
पांचवें सेकंड के लिए $(n=5)$: $18 = u + \frac{a}{2}(2(5) - 1) \implies 18 = u + 4.5a$ --- (समीकरण $2$)
समीकरण $2$ में से समीकरण $1$ को घटाने पर: $(18 - 10) = (u + 4.5a) - (u + 2.5a) \implies 8 = 2a \implies a = 4 \ ms^{-2}$।
$a = 4$ का मान समीकरण $1$ में रखने पर: $10 = u + 2.5(4) \implies 10 = u + 10 \implies u = 0 \ ms^{-1}$।
समय $t$ पर वेग $v = u + at$ द्वारा दिया जाता है।
$t = 4 \ s$ पर: $v = 0 + (4)(4) = 16 \ ms^{-1}$।

(C) जब इंडक्टर में लोहे की छड़ डाली जाती है,तो कॉइल का स्व-प्रेरकत्व $L$ बढ़ जाता है क्योंकि कोर की पारगम्यता (permeability) बढ़ जाती है।
परिपथ का प्रेरणिक प्रतिघात (inductive reactance) $X_L = \omega L$ द्वारा दिया जाता है।
जैसे $L$ बढ़ता है,$X_L$ भी बढ़ता है।
श्रेणी परिपथ का कुल प्रतिबाधा (impedance) $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2}$ है,जहाँ $R$ बल्ब का प्रतिरोध है।
चूंकि $X_L$ बढ़ता है,इसलिए परिपथ की कुल प्रतिबाधा $Z$ बढ़ जाती है।
परिपथ में धारा $I = V/Z$ द्वारा दी जाती है।
जैसे $Z$ बढ़ता है,बल्ब से प्रवाहित होने वाली धारा $I$ कम हो जाती है।
चूंकि बल्ब में व्यय होने वाली शक्ति $P = I^2 R$ है,इसलिए धारा में कमी के कारण शक्ति कम हो जाती है और इस प्रकार बल्ब की चमक कम हो जाती है।

(B) दिया गया है: प्रतिरोध $R = 100 \sqrt{3} \Omega$,वोल्टेज $V = 100 \sin(200t) \text{ V}$,कलान्तर $\phi = 30^{\circ}$.
वोल्टेज समीकरण की तुलना $V = V_m \sin(\omega t)$ से करने पर,कोणीय आवृत्ति $\omega = 200 \text{ rad/s}$ प्राप्त होती है।
$RC$ श्रेणी परिपथ में,कलान्तर $\phi$ का सूत्र $\tan \phi = \frac{X_C}{R}$ है,जहाँ $X_C = \frac{1}{\omega C}$ है।
मान रखने पर: $\tan 30^{\circ} = \frac{1}{\omega C R}$.
चूंकि $\tan 30^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{3}}$,इसलिए $\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1}{200 \times C \times 100 \sqrt{3}}$.
दोनों पक्षों से $\sqrt{3}$ को हटाने पर: $1 = \frac{1}{200 \times 100 \times C}$.
$C = \frac{1}{20000} \text{ F} = 0.5 \times 10^{-4} \text{ F} = 50 \times 10^{-6} \text{ F} = 50 \mu \text{F}$.
अतः,धारिता $50 \mu \text{F}$ है।

(B) $LCR$ श्रेणी परिपथ में,कुल प्रतिबाधा $Z$ का मान $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ होता है।
परिपथ के शुद्ध रूप से प्रतिरोधी होने के लिए,कुल प्रतिघात शून्य होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि प्रेरणिक प्रतिघात धारितीय प्रतिघात के बराबर होना चाहिए।
अतः,$X_L - X_C = 0$,जिसका अर्थ है $X_L = X_C$.
इस स्थिति में,परिपथ अनुनाद (resonance) में होता है,और प्रतिबाधा $Z$ का मान $R$ के बराबर हो जाता है।

(B) तात्कालिक वोल्टेज $V$ को $V = V_0 \sin(\omega t)$ द्वारा दर्शाया जाता है,जहाँ $V_0$ शिखर वोल्टेज है और $\omega = 2\pi f$ है।
दिया गया है $f = 50 \ Hz$,इसलिए $\omega = 2 \times \pi \times 50 = 100\pi \ rad/s$.
हमें वह समय $t$ ज्ञात करना है जब $V = \frac{V_0}{2}$ हो।
इसे समीकरण में रखने पर: $\frac{V_0}{2} = V_0 \sin(100\pi t)$.
$\sin(100\pi t) = \frac{1}{2}$.
चूंकि $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$,इसलिए $100\pi t = \frac{\pi}{6}$.
$t = \frac{\pi}{6 \times 100\pi} = \frac{1}{600} \ s$.

(A) $LR$ श्रेणी परिपथ में,प्रेरक के सिरों पर वोल्टेज $(V_L)$ और प्रतिरोधक के सिरों पर वोल्टेज $(V_R)$ के बीच $90^{\circ}$ का कलांतर होता है।
$ac$ आपूर्ति का कुल वोल्टेज $(V)$,व्यक्तिगत वोल्टेज के फेजर योग द्वारा दिया जाता है:
$V = \sqrt{V_L^2 + V_R^2}$
दिया गया है:
$V_L = 180 \ V$
$V_R = 240 \ V$
मान रखने पर:
$V = \sqrt{(180)^2 + (240)^2}$
$V = \sqrt{32400 + 57600}$
$V = \sqrt{90000}$
$V = 300 \ V$
अतः,$ac$ आपूर्ति का वोल्टेज $300 \ V$ है।

(C) जब ट्रांसफार्मर के कोर को बदलते चुंबकीय क्षेत्र में रखा जाता है,तो उसमें भंवर धाराएं (eddy currents) उत्पन्न होती हैं,जो ऊष्मा के रूप में ऊर्जा की हानि करती हैं।
इस हानि को कम करने के लिए,कोर को एक साथ जुड़ी हुई पतली,इंसुलेटेड धातु की शीटों का उपयोग करके बनाया जाता है,जिसे लैमिनेटेड कोर कहा जाता है।
यह लैमिनेशन भंवर धाराओं के मार्ग में विद्युत प्रतिरोध को बढ़ाता है,जिससे उनकी तीव्रता और संबंधित ऊर्जा का क्षय काफी कम हो जाता है।

(C) हाइड्रोजन परमाणु में स्पेक्ट्रल रेखा की आवृत्ति $f = R c \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $R$ रिडबर्ग नियतांक है और $c$ प्रकाश की गति है।
लाइमैन श्रेणी के लिए,$n_1 = 1$। पहली रेखा $n_2 = 2$ और दूसरी रेखा $n_2 = 3$ है।
$f_1 = R c \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right) = \frac{3}{4} R c$
$f_2 = R c \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{3^2} \right) = \frac{8}{9} R c$
अंतर $f = f_2 - f_1 = R c \left( \frac{8}{9} - \frac{3}{4} \right) = \frac{5}{36} R c$। अतः,$R c = \frac{36 f}{5}$।
बामर श्रेणी के लिए,$n_1 = 2$। पहली रेखा $n_2 = 3$ और दूसरी रेखा $n_2 = 4$ है।
$f'_1 = R c \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right) = \frac{5}{36} R c$
$f'_2 = R c \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{4^2} \right) = \frac{3}{16} R c$
अंतर $f' = f'_2 - f'_1 = R c \left( \frac{3}{16} - \frac{5}{36} \right) = \frac{7}{144} R c$।
$R c = \frac{36 f}{5}$ रखने पर,$f' = \frac{7}{144} \times \frac{36 f}{5} = \frac{7 f}{20}$।

(C) हाइड्रोजन परमाणु में संक्रमण के लिए तरंगदैर्ध्य $\lambda$ रिडबर्ग सूत्र द्वारा दी जाती है: $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$,जहाँ $R$ रिडबर्ग नियतांक है।
बामर श्रेणी की दूसरी रेखा के लिए,$n_1 = 2$ और $n_2 = 4$ है। अतः,$\frac{1}{\lambda_B} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{4^2} \right) = R \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{16} \right) = R \left( \frac{3}{16} \right)$। इसलिए,$\lambda_B = \frac{16}{3R}$।
लाइमन श्रेणी की पहली रेखा के लिए,$n_1 = 1$ और $n_2 = 2$ है। अतः,$\frac{1}{\lambda_L} = R \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right) = R \left( 1 - \frac{1}{4} \right) = R \left( \frac{3}{4} \right)$। इसलिए,$\lambda_L = \frac{4}{3R}$।
तरंगदैर्ध्य का अनुपात $\frac{\lambda_B}{\lambda_L} = \frac{16/3R}{4/3R} = \frac{16}{4} = 4:1$ है।

(C) हाइड्रोजन परमाणु की $n$-वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा $(K)$ का सूत्र $K_n = \frac{13.6 \text{ eV}}{n^2}$ है।
तीसरी उत्तेजित अवस्था के लिए,मुख्य क्वांटम संख्या $n_1 = 3 + 1 = 4$ है।
चौथी उत्तेजित अवस्था के लिए,मुख्य क्वांटम संख्या $n_2 = 4 + 1 = 5$ है।
तीसरी उत्तेजित अवस्था में गतिज ऊर्जा $K_4 = \frac{13.6}{4^2} = \frac{13.6}{16}$ है।
चौथी उत्तेजित अवस्था में गतिज ऊर्जा $K_5 = \frac{13.6}{5^2} = \frac{13.6}{25}$ है।
गतिज ऊर्जाओं का अनुपात $\frac{K_4}{K_5} = \frac{13.6/16}{13.6/25} = \frac{25}{16}$ है।
अतः,अनुपात $25: 16$ है।

(C) कक्षा में एक इलेक्ट्रॉन की कुल ऊर्जा $E$ उसकी गतिज ऊर्जा $K$ और स्थितिज ऊर्जा $U$ के योग द्वारा दी जाती है। एक बद्ध प्रणाली के लिए,जैसे कि परमाणु में इलेक्ट्रॉन,कुल ऊर्जा ऋणात्मक $(E < 0)$ होती है।
यदि कुल ऊर्जा $E$ धनात्मक $(E > 0)$ है,तो इसका अर्थ है कि गतिज ऊर्जा स्थितिज ऊर्जा के परिमाण से अधिक है। ऐसे मामले में,इलेक्ट्रॉन नाभिक से बंधा नहीं होता है और स्थिर-वैद्युत बल के प्रभाव से बाहर निकल जाता है।
इसलिए,इलेक्ट्रॉन एक बंद कक्षा का पालन नहीं करेगा और अनंत की ओर चला जाएगा।

(C) हाइड्रोजन परमाणु को उसकी मूल अवस्था $(n=1)$ से आयनित करने के लिए आवश्यक ऊर्जा उसकी आयनन ऊर्जा के बराबर होती है, जो $E = 13.6 \, eV$ है।
आपतित विकिरण की अधिकतम तरंगदैर्ध्य $(\lambda_{max})$ ज्ञात करने के लिए, हम $E = \frac{hc}{\lambda}$ संबंध का उपयोग करते हैं।
मान रखने पर: $13.6 \, eV = \frac{1240 \, eV \cdot nm}{\lambda}$।
$\lambda = \frac{1240}{13.6} \, nm \approx 91.17 \, nm$।
इसे एंगस्ट्रॉम $(Å)$ में बदलने पर: $91.17 \, nm = 911.7 \, Å \approx 912 \, Å$।
अतः, आवश्यक अधिकतम तरंगदैर्ध्य लगभग $912 \, Å$ है।

(B) $1$. प्रारंभिक स्थिति: संधारित्र में $d/2$ मोटाई और $K$ नियतांक वाला एक परावैद्युत है। धारिता $C_i$ दो संधारित्रों के श्रेणी संयोजन द्वारा दी जाती है: एक परावैद्युत के साथ $(C_1 = \frac{2K\epsilon_0 A}{d})$ और एक हवा के साथ $(C_2 = \frac{2\epsilon_0 A}{d})$।
$C_i = \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2} = \frac{\frac{2K\epsilon_0 A}{d} \cdot \frac{2\epsilon_0 A}{d}}{\frac{2\epsilon_0 A}{d}(K+1)} = \frac{2K\epsilon_0 A}{d(K+1)}$।
$2$. संधारित्र पर आवेश: $Q = C_i V = \frac{2K\epsilon_0 A V}{d(K+1)}$।
$3$. बैटरी को हटाने के बाद,आवेश $Q$ स्थिर रहता है।
$4$. अंतिम स्थिति: परावैद्युत को हटा दिया जाता है,इसलिए संधारित्र एक वायु-भरे समांतर प्लेट संधारित्र में बदल जाता है जिसकी धारिता $C_f = \frac{\epsilon_0 A}{d}$ है।
$5$. अंतिम विभवांतर $V_f = \frac{Q}{C_f} = \frac{2K\epsilon_0 A V}{d(K+1)} \cdot \frac{d}{\epsilon_0 A} = V \left( \frac{2K}{K+1} \right)$।

(D) हवा के साथ प्रारंभिक धारिता $C_0 = 4 \mu F$ है।
परावैद्युत $(K = 5)$ भरने के बाद,नई धारिता $C = K C_0 = 5 \times 4 \mu F = 20 \mu F$ है।
संधारित्र पर आवेश $Q = C V = 20 \mu F \times 100 \ V = 2000 \mu C = 2 \times 10^{-3} \ C$ है।
चूंकि संधारित्र बैटरी से डिस्कनेक्ट है,इसलिए आवेश $Q$ स्थिर रहता है।
परावैद्युत के साथ संचित प्रारंभिक ऊर्जा: $U_i = \frac{Q^2}{2C} = \frac{(2 \times 10^{-3})^2}{2 \times 20 \times 10^{-6}} = \frac{4 \times 10^{-6}}{40 \times 10^{-6}} = 0.1 \ J$।
परावैद्युत को हटाने के बाद अंतिम धारिता: $C_f = C_0 = 4 \mu F$।
संचित अंतिम ऊर्जा: $U_f = \frac{Q^2}{2C_f} = \frac{(2 \times 10^{-3})^2}{2 \times 4 \times 10^{-6}} = \frac{4 \times 10^{-6}}{8 \times 10^{-6}} = 0.5 \ J$।
बाह्य बल द्वारा किया गया कार्य $W = U_f - U_i = 0.5 \ J - 0.1 \ J = 0.4 \ J$।

(A) पहले संधारित्र में संचित प्रारंभिक ऊर्जा: $U_i = \frac{1}{2} C_1 V^2 = \frac{1}{2} \times 10 \times 10^{-6} \times (220)^2 = 5 \times 10^{-6} \times 48400 = 0.242 \text{ J} = 242 \text{ mJ}$.
जब इसे दूसरे संधारित्र से जोड़ा जाता है,तो आवेश $Q = C_1 V = 10 \times 10^{-6} \times 220 = 2.2 \times 10^{-3} \text{ C}$ का पुनर्वितरण होता है।
उभयनिष्ठ विभव $V'$ इस प्रकार है: $V' = \frac{Q}{C_1 + C_2} = \frac{2.2 \times 10^{-3}}{10 \times 10^{-6} + 12 \times 10^{-6}} = \frac{2.2 \times 10^{-3}}{22 \times 10^{-6}} = 100 \text{ V}$.
निकाय में संचित अंतिम ऊर्जा: $U_f = \frac{1}{2} (C_1 + C_2) (V')^2 = \frac{1}{2} \times 22 \times 10^{-6} \times (100)^2 = 11 \times 10^{-6} \times 10000 = 0.11 \text{ J} = 110 \text{ mJ}$.
ऊर्जा की हानि: $\Delta U = U_i - U_f = 242 \text{ mJ} - 110 \text{ mJ} = 132 \text{ mJ}$.

(B) वाक् संकेत मानव आवाज के संकेत होते हैं जिनकी आवृत्ति सीमा आमतौर पर $20 \ Hz$ से $20 \ kHz$ तक होती है। हालाँकि,व्यावसायिक टेलीफोनिक संचार के लिए,पूरी श्रव्य सीमा को प्रसारित करना आवश्यक नहीं है। संचरण में स्पष्टता और दक्षता सुनिश्चित करने के लिए,आवृत्ति सीमा को सीमित कर दिया जाता है। व्यावसायिक टेलीफोनी में वाक् संकेतों के लिए पर्याप्त मानक आवृत्ति सीमा $300 \ Hz$ से $3100 \ Hz$ है।

(C) कोएक्सियल केबल ट्रांसमिशन लाइन का एक प्रकार है जिसमें एक आंतरिक कंडक्टर के चारों ओर एक ट्यूबलर इंसुलेटिंग परत और उसके ऊपर एक ट्यूबलर कंडक्टिंग शील्ड होती है।
इसका उपयोग केबल टेलीविजन,ब्रॉडबैंड इंटरनेट और अन्य उच्च-आवृत्ति सिग्नल ट्रांसमिशन के लिए व्यापक रूप से किया जाता है।
कोएक्सियल केबल की फ्रीक्वेंसी बैंडविड्थ आमतौर पर $750 \text{ MHz}$ तक होती है।
इसलिए,सही विकल्प $C$ है।

(A) वाहक तरंग की आवृत्ति $f_c = 1 \text{ MHz} = 1000 \text{ kHz}$ है।
संदेश संकेत की आवृत्ति $f_m = 28 \text{ kHz}$ है।
साइड बैंड की आवृत्तियाँ अपर साइड बैंड $(USB)$ और लोअर साइड बैंड $(LSB)$ के सूत्रों द्वारा दी जाती हैं:
$USB = f_c + f_m = 1000 \text{ kHz} + 28 \text{ kHz} = 1028 \text{ kHz}$.
$LSB = f_c - f_m = 1000 \text{ kHz} - 28 \text{ kHz} = 972 \text{ kHz}$.
अतः,साइड बैंड की आवृत्तियाँ $1028 \text{ kHz}$ और $972 \text{ kHz}$ हैं।

(B) $h$ ऊंचाई वाले ट्रांसमिटिंग एंटीना की रेंज $d$ का सूत्र $d = \sqrt{2Rh}$ है,जहाँ $R$ पृथ्वी की त्रिज्या है।
दिया गया है: $h = 980 \ m = 0.98 \ km$ और $R = 6400 \ km$।
सूत्र में मान रखने पर:
$d = \sqrt{2 \times 6400 \times 0.98}$
$d = \sqrt{12800 \times 0.98}$
$d = \sqrt{12544}$
$d = 112 \ km$।
अतः,ट्रांसमिटिंग एंटीना की रेंज $112 \ km$ है।

(D) वायुमंडल की वह परत जो रेडियो तरंगों,जिनमें उच्च आवृत्ति वाली तरंगें भी शामिल हैं,को परावर्तित करती है,उसे आयनमंडल (Ionosphere) कहा जाता है,जो तापमंडल (Thermosphere) का एक हिस्सा है।
रात के दौरान,आयनमंडल अधिक स्थिर हो जाता है और इन तरंगों को परावर्तित करने में अधिक प्रभावी होता है,जिससे लंबी दूरी का संचार संभव हो पाता है।
इसलिए,सही उत्तर तापमंडल (Thermosphere) है।

(C) $h$ ऊँचाई वाले ट्रांसमिटिंग एंटीना के लिए रेडियो क्षितिज की दूरी $d$ का सूत्र $d = \sqrt{2Rh}$ है,जहाँ $R$ पृथ्वी की त्रिज्या है।
दिया गया है: $h = 39.2 \ m = 39.2 \times 10^{-3} \ km$ और $R = 6400 \ km$.
सूत्र में मान रखने पर:
$d = \sqrt{2 \times 6400 \times 39.2 \times 10^{-3}}$
$d = \sqrt{12800 \times 0.0392}$
$d = \sqrt{501.76}$
$d = 22.4 \ km$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(A) तार का कुल प्रतिरोध $R = 36 \Omega$ है।
जब तार को अर्धवृत्ताकार लूप में मोड़ा जाता है,तो तार व्यास के साथ दो समान भागों में विभाजित हो जाता है।
प्रत्येक आधे भाग का प्रतिरोध $R' = \frac{R}{2} = \frac{36}{2} = 18 \Omega$ होता है।
ये दो आधे भाग व्यास के सिरों के बीच समानांतर क्रम में जुड़े होते हैं।
तुल्य प्रतिरोध $R_{eq}$ के लिए सूत्र: $\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R'} + \frac{1}{R'}$.
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{18} + \frac{1}{18} = \frac{2}{18} = \frac{1}{9}$.
अतः,$R_{eq} = 9 \Omega$.

(D) माना सेल का विद्युत वाहक बल $(EMF)$ $E$ है और इसका आंतरिक प्रतिरोध $r$ है। परिपथ में प्रवाहित धारा $I = 2 \ A$ है।
जब धारा सामान्य दिशा में प्रवाहित होती है,तो टर्मिनल विभवांतर $V_1 = E - Ir$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए मानों को रखने पर: $20 = E - 2r$ --- (समीकरण $1$).
जब धारा की दिशा उलट दी जाती है,तो सेल चार्ज हो रहा होता है,इसलिए टर्मिनल विभवांतर $V_2 = E + Ir$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए मानों को रखने पर: $30 = E + 2r$ --- (समीकरण $2$).
समीकरण $2$ में से समीकरण $1$ को घटाने पर: $(E + 2r) - (E - 2r) = 30 - 20$.
$4r = 10$.
$r = 2.5 \ \Omega$.
अतः,सेल का आंतरिक प्रतिरोध $2.5 \ \Omega$ है।

(A) आवेश वाहकों की गतिशीलता $\mu$ को अपवाह वेग $v_d$ और आरोपित विद्युत क्षेत्र $E$ के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
सूत्र: $\mu = \frac{v_d}{E}$
दिया गया है:
अपवाह वेग $v_d = 0.3 \ m s^{-1}$
विद्युत क्षेत्र $E = 2 \ V m^{-1}$
गणना:
$\mu = \frac{0.3}{2} = 0.15 \ m^2 V^{-1} s^{-1}$
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(C) अनुगमन वेग $v_d$ का सूत्र $v_d = \frac{I}{neA}$ है,जहाँ $I$ विद्युत धारा है,$n$ इलेक्ट्रॉन घनत्व है,$e$ इलेक्ट्रॉन का आवेश है,और $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है।
चूंकि दोनों तार एक ही बैटरी से समानांतर क्रम में जुड़े हैं,इसलिए दोनों तारों के सिरों पर विभवांतर $V$ समान होगा।
ओम के नियम का उपयोग करते हुए,$I = \frac{V}{R}$,जहाँ $R = \rho \frac{L}{A}$ है। अतः,$I = \frac{VA}{\rho L}$।
इसे अनुगमन वेग के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: $v_d = \frac{VA}{neA\rho L} = \frac{V}{ne\rho L}$।
चूंकि दोनों तार समान पदार्थ से बने हैं,इसलिए $n$,$e$ और $\rho$ स्थिर हैं। साथ ही,$V$ भी स्थिर है।
इसलिए,$v_d \propto \frac{1}{L}$।
लंबाई का अनुपात $L_1 : L_2 = 2 : 3$ है।
अतः,अनुगमन वेग का अनुपात $\frac{v_{d1}}{v_{d2}} = \frac{L_2}{L_1} = \frac{3}{2}$ होगा।

(A) विभवमापी तार का प्रति इकाई लंबाई प्रतिरोध $\lambda = \frac{R}{L} = \frac{5 \ \Omega}{10 \ m} = 0.5 \ \Omega/m$ है।
$6.6 \ m$ $(660 \ cm)$ लंबाई के तार के खंड का प्रतिरोध $R' = 0.5 \ \Omega/m \times 6.6 \ m = 3.3 \ \Omega$ है।
इस खंड पर विभवांतर $V' = I \times R'$ है,जहाँ $I$ विभवमापी तार में प्रवाहित धारा है।
दिया गया है $V' = 1.1 \ V$,तो $1.1 = I \times 3.3$,जिससे $I = \frac{1.1}{3.3} = \frac{1}{3} \ A$ प्राप्त होता है।
परिपथ में धारा $I = \frac{E}{R + r}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $E = 2.2 \ V$,$R = 5 \ \Omega$,और $r$ आंतरिक प्रतिरोध है।
मान रखने पर: $\frac{1}{3} = \frac{2.2}{5 + r}$.
$5 + r = 3 \times 2.2 = 6.6$.
$r = 6.6 - 5 = 1.6 \ \Omega$.

(C) प्राथमिक परिपथ में कुल प्रतिरोध $R_{total} = R_{wire} + R_{series} = 8 \ \Omega + 242 \ \Omega = 250 \ \Omega$ है।
पोटेंशियोमीटर तार से प्रवाहित होने वाली धारा $I = \frac{V}{R_{total}} = \frac{2.5 \ V}{250 \ \Omega} = 0.01 \ A$ है।
पूरे तार पर विभव पतन $V_{wire} = I \times R_{wire} = 0.01 \ A \times 8 \ \Omega = 0.08 \ V$ है।
विभव प्रवणता $k$ प्रति इकाई लंबाई विभव पतन है: $k = \frac{V_{wire}}{L} = \frac{0.08 \ V}{2.5 \ m} = 0.032 \ V/m$।
$l = 20 \ cm = 0.2 \ m$ की लंबाई पर विभवांतर $V' = k \times l = 0.032 \ V/m \times 0.2 \ m = 0.0064 \ V = 6.4 \ mV$ है।

(A) मूविंग कॉइल गैल्वेनोमीटर की वोल्टेज संवेदनशीलता $(V_s)$ का सूत्र $V_s = \frac{NBA}{kR}$ है,जहाँ $N$ फेरों की संख्या है,$B$ चुंबकीय क्षेत्र है,$A$ क्षेत्रफल है,$k$ मरोड़ स्थिरांक है और $R$ प्रतिरोध है।
वोल्टेज संवेदनशीलता का अनुपात: $\frac{V_{sA}}{V_{sB}} = \frac{4}{3}$.
प्रतिरोध का अनुपात: $\frac{R_A}{R_B} = \frac{3}{4}$.
क्षेत्रफल का अनुपात: $\frac{A_A}{A_B} = \frac{1}{2}$.
चूँकि $B$ और $k$ स्थिर हैं,हमारे पास है $\frac{V_{sA}}{V_{sB}} = \frac{N_A A_A R_B}{N_B A_B R_A}$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{4}{3} = \frac{N_A}{N_B} \times (\frac{1}{2}) \times (\frac{4}{3})$.
$\frac{4}{3} = \frac{N_A}{N_B} \times \frac{2}{3}$.
$\frac{N_A}{N_B} = \frac{4}{3} \times \frac{3}{2} = 2$.
यदि $N_A = 200$,तो $N_B = \frac{N_A}{2} = \frac{200}{2} = 100$.

(A) पोटेंशियोमीटर में,संतुलन लंबाई $l$ सेल के टर्मिनल विभवांतर $V$ के सीधे आनुपातिक होती है।
प्रारंभ में,जब सेल ओपन सर्किट में होता है,तो संतुलन लंबाई $l_1 = kE$ होती है,जहाँ $E$ सेल का $EMF$ है और $k$ विभव प्रवणता है।
जब समानांतर में $R$ का बाहरी प्रतिरोध जोड़ा जाता है,तो टर्मिनल विभवांतर $V = E \left( \frac{R}{R + r} \right)$ हो जाता है,जहाँ $r$ आंतरिक प्रतिरोध है।
नई संतुलन लंबाई $l_2 = kV = kE \left( \frac{R}{R + r} \right)$ है।
यह दिया गया है कि संतुलन लंबाई $10 \%$ कम हो जाती है,इसलिए $l_2 = l_1 - 0.1l_1 = 0.9l_1$।
$l_1$ और $l_2$ के व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर: $kE \left( \frac{R}{R + r} \right) = 0.9 kE$।
दोनों पक्षों को $kE$ से विभाजित करने पर: $\frac{R}{R + r} = 0.9 = \frac{9}{10}$।
तिर्यक गुणा करने पर $10R = 9(R + r) = 9R + 9r$ प्राप्त होता है।
अतः,$R = 9r$,जिसका अर्थ है $r = \frac{R}{9}$।

(D) इलेक्ट्रिक मोटर की शक्ति $P$ को $P = \frac{V^2}{R}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $V$ वोल्टेज है और $R$ मोटर का प्रतिरोध है।
सबसे पहले,हम प्रारंभिक स्थितियों का उपयोग करके प्रतिरोध $R$ की गणना करते हैं: $P_1 = 242 \ W$ और $V_1 = 220 \ V$।
$R = \frac{V_1^2}{P_1} = \frac{220 \times 220}{242} = \frac{48400}{242} = 200 \ \Omega$।
अब,जब मोटर को $V_2 = 200 \ V$ पर संचालित किया जाता है,तो मोटर द्वारा ली गई धारा $I$ ओम के नियम द्वारा दी जाती है: $I = \frac{V_2}{R}$।
$I = \frac{200 \ V}{200 \ \Omega} = 1 \ A$।
अतः,ली गई धारा $1 \ A$ है।

(A) बिंदुओं $C$ और $D$ के बीच विभवांतर ज्ञात करने के लिए,हमें पहले $C$ और $D$ के बीच के प्रतिरोधक से बहने वाली धारा निर्धारित करनी होगी।
जंक्शन $C$ पर किरचॉफ का धारा नियम $(KCL)$ लागू करने पर:
जंक्शन में प्रवेश करने वाली धाराओं का योग जंक्शन से बाहर निकलने वाली धाराओं के योग के बराबर होना चाहिए।
मान लीजिए $I_{BC}$ वह धारा है जो $B$ से $C$ की ओर बहती है,$I_{CF}$ वह धारा है जो $C$ से $F$ की ओर बहती है,$I_{CG}$ वह धारा है जो $C$ से $G$ की ओर बहती है,और $I_{CD}$ वह धारा है जो $C$ से $D$ की ओर बहती है।
सबसे पहले,जंक्शन $B$ पर $KCL$ का उपयोग करके $I_{BC}$ ज्ञात करें:
$I_{AB} + I_{EB} = I_{BC}$
$4 \ A + 1.8 \ A = I_{BC}$
$I_{BC} = 5.8 \ A$
अब,जंक्शन $C$ पर $KCL$ लागू करें:
$I_{BC} = I_{CF} + I_{CG} + I_{CD}$
$5.8 \ A = 1.3 \ A + 1 \ A + I_{CD}$
$5.8 \ A = 2.3 \ A + I_{CD}$
$I_{CD} = 5.8 \ A - 2.3 \ A = 3.5 \ A$
$C$ और $D$ के बीच विभवांतर ओम के नियम द्वारा दिया जाता है:
$V_{CD} = I_{CD} \times R_{CD}$
$V_{CD} = 3.5 \ A \times 8 \ \Omega = 28 \ V$.

(A) माना जंक्शन $A$ पर विभव $V_A = 3 \text{ V}$ है और जंक्शन $C$ पर विभव $V_C = 0 \text{ V}$ है।
माना जंक्शन $B$ पर विभव $V_B$ है।
जंक्शन $B$ पर किरचॉफ का धारा नियम $(KCL)$ लागू करने पर:
$\frac{V_B - V_A}{6} + \frac{V_B - V_C}{12} + \frac{V_B - V_C}{12} = 0$
$\frac{V_B - 3}{6} + \frac{V_B}{12} + \frac{V_B}{12} = 0$
$12$ से गुणा करने पर:
$2(V_B - 3) + V_B + V_B = 0$
$2V_B - 6 + 2V_B = 0$
$4V_B = 6 \implies V_B = 1.5 \text{ V}$.
$A$ और $B$ के बीच $6 \Omega$ के प्रतिरोधक से होकर बहने वाली धारा $I = \frac{V_A - V_B}{6} = \frac{3 - 1.5}{6} = \frac{1.5}{6} = 0.25 \text{ A}$ है।

(B) दिया गया है:
अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल,$A = 6 \times 10^{-7} \ m^2$
विभव प्रवणता,$x = \frac{V}{L} = 0.15 \ Vm^{-1}$
धारा,$I = 0.3 \ A$
ओम के नियम के अनुसार,$L$ लंबाई पर विभवांतर $V = I \times R$ है,जहाँ $R = \rho \frac{L}{A}$ है।
$V$ के समीकरण में $R$ का मान रखने पर,हमें $V = I \times \rho \frac{L}{A}$ प्राप्त होता है।
विभव प्रवणता के लिए व्यवस्थित करने पर: $\frac{V}{L} = \frac{I \times \rho}{A}$.
दिए गए मानों को रखने पर: $0.15 = \frac{0.3 \times \rho}{6 \times 10^{-7}}$.
$\rho$ के लिए हल करने पर: $\rho = \frac{0.15 \times 6 \times 10^{-7}}{0.3}$.
$\rho = 0.5 \times 6 \times 10^{-7} = 3 \times 10^{-7} \ \Omega \ m$.

(D) मान लीजिए बाएं अंतराल का प्रतिरोध $R_L$ है और दाहिने अंतराल का प्रतिरोध $R_R$ है।
प्रथम स्थिति में,दाहिने अंतराल में दो समान प्रतिरोधक $r$ श्रेणीक्रम में हैं,इसलिए $R_R = r + r = 2r$।
संतुलन बिंदु $l_1 = 50 \ cm$ पर है।
मीटर ब्रिज के सूत्र का उपयोग करने पर: $\frac{R_L}{R_R} = \frac{l_1}{100 - l_1} \implies \frac{R_L}{2r} = \frac{50}{50} = 1 \implies R_L = 2r$।
दूसरी स्थिति में,दाहिने अंतराल से एक प्रतिरोधक $r$ हटा दिया जाता है,इसलिए नया दाहिना प्रतिरोध $R_R' = r$ हो जाता है।
इस हटाए गए प्रतिरोधक $r$ को $R_L$ के साथ समांतर क्रम में जोड़ा जाता है।
नया बायां प्रतिरोध $R_L' = \frac{R_L \cdot r}{R_L + r} = \frac{2r \cdot r}{2r + r} = \frac{2r^2}{3r} = \frac{2}{3}r$ होगा।
मान लीजिए नया संतुलन बिंदु $l_2$ है।
तब $\frac{R_L'}{R_R'} = \frac{l_2}{100 - l_2} \implies \frac{(2/3)r}{r} = \frac{l_2}{100 - l_2} \implies \frac{2}{3} = \frac{l_2}{100 - l_2}$।
$2(100 - l_2) = 3l_2 \implies 200 - 2l_2 = 3l_2 \implies 5l_2 = 200 \implies l_2 = 40 \ cm$।

(A) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉन की अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{max} = E - \Phi$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $E$ आपतित फोटॉन की ऊर्जा है और $\Phi$ सामग्री का कार्य फलन है।
दिया गया है $E = 4.5 \ eV$ और $\Phi = 3 \ eV$,इसलिए $K_{max} = 4.5 \ eV - 3 \ eV = 1.5 \ eV$ है।
इस ऊर्जा को जूल में बदलने पर: $K_{max} = 1.5 \times 1.6 \times 10^{-19} \ J = 2.4 \times 10^{-19} \ J$ प्राप्त होता है।
डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का सूत्र $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mK_{max}}}$ है,जहाँ $h = 6.63 \times 10^{-34} \ J \cdot s$ और $m = 9.1 \times 10^{-31} \ kg$ है।
मान रखने पर: $\lambda = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{\sqrt{2 \times 9.1 \times 10^{-31} \times 2.4 \times 10^{-19}}} = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{\sqrt{43.68 \times 10^{-50}}} = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{6.61 \times 10^{-25}} \approx 1.0 \times 10^{-9} \ m$ प्राप्त होता है।
चूंकि $1 \ Å = 10^{-10} \ m$ होता है,इसलिए $\lambda \approx 10 \ Å$ है।

(B) हाइड्रोजन परमाणु की $n$-वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन की स्थितिज ऊर्जा $U = -27.2 / n^2 \text{ eV}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है $U = -6.8 \text{ eV}$,इसलिए $-27.2 / n^2 = -6.8$,जिसका अर्थ है $n^2 = 27.2 / 6.8 = 4$,अर्थात $n = 2$ है।
$n$-वीं कक्षा की त्रिज्या $r_n = n^2 r_0$ है। $n = 2$ के लिए,$r_2 = 2^2 r_0 = 4 r_0$ है।
बोहर के क्वांटाइजेशन प्रतिबंध के अनुसार,कक्षा की परिधि डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य का एक पूर्णांक गुणज होती है: $2 \pi r_n = n \lambda$।
मान रखने पर,$2 \pi (4 r_0) = 2 \lambda$।
$\lambda$ के लिए हल करने पर,हमें $\lambda = (8 \pi r_0) / 2 = 4 \pi r_0$ प्राप्त होता है।

(C) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का सूत्र $\lambda = \frac{h}{p}$ है,जहाँ $p = \sqrt{2mK}$ और $K$ गतिज ऊर्जा है।
अतः,$\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mK}}$,जिसका अर्थ है $K = \frac{h^2}{2m\lambda^2}$।
दिया गया है: $h = 6.6 \times 10^{-34} \text{ J s}$,$m = 9 \times 10^{-31} \text{ kg}$,और $\lambda = 6600 \times 10^{-10} \text{ m} = 6.6 \times 10^{-7} \text{ m}$।
मान रखने पर:
$K = \frac{(6.6 \times 10^{-34})^2}{2 \times 9 \times 10^{-31} \times (6.6 \times 10^{-7})^2}$
$K = \frac{6.6^2 \times 10^{-68}}{18 \times 10^{-31} \times 6.6^2 \times 10^{-14}}$
$K = \frac{10^{-68}}{18 \times 10^{-45}} = \frac{1}{18} \times 10^{-23} \approx 0.0556 \times 10^{-23} \text{ J} = 5.56 \times 10^{-25} \text{ J}$।
चूंकि किया गया कार्य प्राप्त गतिज ऊर्जा के बराबर होता है,इसलिए किया गया कार्य $5.56 \times 10^{-25} \text{ J}$ है।

(C) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,फोटोइलेक्ट्रॉनों की अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{max} = E - \phi$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $E$ आपतित फोटॉन की ऊर्जा है और $\phi$ पदार्थ का कार्य फलन (work function) है।
चूँकि $K_{max} = e V_s$,जहाँ $V_s$ निरोधी विभव है,हमारे पास $e V_s = E - \phi$ है।
प्रथम स्थिति के लिए: $e(1.7 \ V) = 3.1 \ eV - \phi$,जिसका अर्थ है $\phi = 3.1 \ eV - 1.7 \ eV = 1.4 \ eV$ है।
द्वितीय स्थिति के लिए: $e V_s' = 2.5 \ eV - \phi$ है।
$\phi$ का मान रखने पर: $e V_s' = 2.5 \ eV - 1.4 \ eV = 1.1 \ eV$ प्राप्त होता है।
अतः,निरोधी विभव $V_s' = 1.1 \ V$ होगा।

(A) उत्सर्जित प्रकाश-इलेक्ट्रॉनों की अधिकतम गतिज ऊर्जा $(K_{max})$ का सूत्र है: $K_{max} = \frac{1}{2} m v_{max}^2$।
यहाँ $m = 9 \times 10^{-31} \text{ kg}$ और $v_{max} = 8 \times 10^5 \text{ m/s}$ दिया गया है।
$K_{max} = \frac{1}{2} \times (9 \times 10^{-31}) \times (8 \times 10^5)^2$।
$K_{max} = 0.5 \times 9 \times 10^{-31} \times 64 \times 10^{10} = 288 \times 10^{-21} \text{ J}$।
इस ऊर्जा को इलेक्ट्रॉन-वोल्ट (eV) में बदलने के लिए,इलेक्ट्रॉन के आवेश $(e = 1.6 \times 10^{-19} \text{ C})$ से विभाजित करें:
$K_{max} \text{ (eV में)} = \frac{288 \times 10^{-21}}{1.6 \times 10^{-19}} = 180 \times 10^{-2} = 1.8 \text{ eV}$।
निरोधी विभव $(V_s)$ और अधिकतम गतिज ऊर्जा के बीच संबंध है: $K_{max} = e V_s$।
अतः,$V_s = \frac{K_{max}}{e} = 1.8 \text{ V}$।

(C) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार, उत्सर्जित प्रकाश-इलेक्ट्रॉनों की अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{max} = h\nu - \phi_0$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है, $\nu$ आपतित विकिरण की आवृत्ति है और $\phi_0$ कार्य फलन है।
चूंकि $K_{max} = eV_s$, जहाँ $e$ इलेक्ट्रॉन का आवेश है और $V_s$ निरोधी विभव है, हम लिख सकते हैं:
$eV_s = h\nu - \phi_0$
$V_s = (\frac{h}{e})\nu - \frac{\phi_0}{e}$
यह समीकरण एक सीधी रेखा $y = mx + c$ के रूप में है, जहाँ $y = V_s$, $x = \nu$, और ढाल $m = \frac{h}{e}$ है।
दिया गया है $h = 6.6 \times 10^{-34} \text{ Js}$ और $e = 1.6 \times 10^{-19} \text{ C}$.
ढाल $m = \frac{6.6 \times 10^{-34}}{1.6 \times 10^{-19}} = 4.125 \times 10^{-15} \text{ JsC}^{-1}$.
अतः, सही विकल्प $C$ है।

(C) कुंडली से गुजरने वाला चुंबकीय फ्लक्स $\phi = 2t^2 + 3t - 2$ द्वारा दिया गया है।
फैराडे के विद्युत चुंबकीय प्रेरण के नियम के अनुसार,प्रेरित विद्युत वाहक बल $(e)$ $e = -\frac{d\phi}{dt}$ है।
$e = -\frac{d}{dt}(2t^2 + 3t - 2) = -(4t + 3)$।
प्रेरित $EMF$ का परिमाण $|e| = 4t + 3$ है।
$t = 3 \ s$ पर,प्रेरित $EMF$ $|e| = 4(3) + 3 = 12 + 3 = 15 \ V$ है।
कुंडली में प्रेरित धारा $I = \frac{|e|}{R} = \frac{15 \ V}{7.5 \ \Omega} = 2 \ A$ है।
कुंडली में प्रेरित शक्ति $(P)$ $P = I^2 R = (2)^2 \times 7.5 = 4 \times 7.5 = 30 \ W$ है।

(B) कुंडली से गुजरने वाला चुंबकीय फ्लक्स $\phi = NBA \cos \theta$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\theta$ क्षेत्रफल सदिश और चुंबकीय क्षेत्र के बीच का कोण है।
यह दिया गया है कि कुंडली का तल चुंबकीय क्षेत्र के साथ $\frac{\pi}{6}$ का कोण बनाता है,इसलिए क्षेत्रफल सदिश और चुंबकीय क्षेत्र के बीच का कोण $\theta_1 = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3} = 60^\circ$ है।
प्रारंभिक फ्लक्स $\phi_1 = NBA \cos(60^\circ) = 250 \times 2 \times (120 \times 10^{-4}) \times 0.5 = 3 \ Wb$ है।
जब कुंडली का तल चुंबकीय क्षेत्र के समानांतर होता है,तो क्षेत्रफल सदिश चुंबकीय क्षेत्र के लंबवत होता है,इसलिए $\theta_2 = 90^\circ$ है।
अंतिम फ्लक्स $\phi_2 = NBA \cos(90^\circ) = 0 \ Wb$ है।
फ्लक्स में परिवर्तन $\Delta \phi = |\phi_2 - \phi_1| = 3 \ Wb$ है।
प्रेरित $EMF$ $\varepsilon = \frac{\Delta \phi}{\Delta t} = \frac{3}{100 \times 10^{-3}} = 30 \ V$ है।
प्रेरित धारा $I = \frac{\varepsilon}{R} = \frac{30}{8} = 3.75 \ A$ है।

(A) दिया गया है: क्षेत्रफल $A = 3 \times 10^{-2} \, m^2$, फेरों की संख्या $N = 900$, प्रतिरोध $R = 1.8 \, \Omega$, चुंबकीय क्षेत्र $B = 3.5 \times 10^{-5} \, T$, समय $t = 0.5 \, s$.
प्रारंभिक चुंबकीय फ्लक्स $\phi_i = N B A \cos(0^{\circ}) = N B A$.
अंतिम चुंबकीय फ्लक्स $\phi_f = N B A \cos(180^{\circ}) = -N B A$.
फ्लक्स में परिवर्तन $\Delta \phi = \phi_f - \phi_i = -2 N B A$.
प्रेरित $EMF$ $\varepsilon = -\frac{\Delta \phi}{\Delta t} = \frac{2 N B A}{t}$.
प्रेरित धारा $I = \frac{\varepsilon}{R} = \frac{2 N B A}{R t}$.
मान रखने पर: $I = \frac{2 \times 900 \times 3.5 \times 10^{-5} \times 3 \times 10^{-2}}{1.8 \times 0.5}$.
$I = \frac{1800 \times 10.5 \times 10^{-7}}{0.9} = 2000 \times 10.5 \times 10^{-7} = 21000 \times 10^{-7} = 2.1 \times 10^{-3} \, A = 2.1 \, mA$.

(D) एक कुंडली से संबद्ध चुंबकीय फ्लक्स $\phi$ का सूत्र $\phi = N \vec{B} \cdot \vec{A} = N B A \cos \theta$ है,जहाँ $\theta$ चुंबकीय क्षेत्र सदिश $\vec{B}$ और क्षेत्रफल सदिश $\vec{A}$ के बीच का कोण है।
क्षेत्रफल सदिश $\vec{A}$ हमेशा कुंडली के तल के लंबवत होता है।
चूंकि कुंडली का तल चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ के समानांतर है,इसलिए क्षेत्रफल सदिश $\vec{A}$ और चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ के बीच का कोण $90^\circ$ होगा।
अतः,$\theta = 90^\circ$ है।
इस मान को सूत्र में रखने पर: $\phi = N B A \cos(90^\circ) = N B A (0) = 0$.
इस प्रकार,कुंडली से संबद्ध चुंबकीय फ्लक्स शून्य है।

(A) फैराडे के विद्युत चुंबकीय प्रेरण के नियम के अनुसार, प्रेरित विद्युत वाहक बल $(EMF)$ $\varepsilon = -\frac{d\phi}{dt}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $\phi = (5t^2 + 4t + 2) \times 10^{-3} \text{ Wb}$ दिया गया है।
समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d\phi}{dt} = (10t + 4) \times 10^{-3} \text{ Wb/s}$ प्राप्त होता है।
$t = 6 \text{ s}$ पर, प्रेरित $EMF$ का परिमाण:
$|\varepsilon| = |10(6) + 4| \times 10^{-3} = 64 \times 10^{-3} \text{ V}$ है।
प्रेरित धारा $I = \frac{|\varepsilon|}{R}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
यहाँ $R = 16 \Omega$ दिया गया है, इसलिए:
$I = \frac{64 \times 10^{-3}}{16} = 4 \times 10^{-3} \text{ A} = 4 \text{ mA}$।
अतः, सही विकल्प $A$ है।

(A) स्व-प्रेरकत्व $(L)$ के कारण कुंडली में प्रेरित emf $(e)$ का सूत्र है: $e = -L \frac{di}{dt}$.
दिए गए मान हैं:
प्रेरित emf,$e = 2.8 \ mV = 2.8 \times 10^{-3} \ V$.
धारा में परिवर्तन,$di = 8 \ A - 3 \ A = 5 \ A$.
समय अंतराल,$dt = 0.2 \ s$.
इन मानों को सूत्र में रखने पर (चूंकि हम केवल परिमाण की गणना कर रहे हैं,इसलिए ऋणात्मक चिह्न को छोड़ देते हैं):
$2.8 \times 10^{-3} = L \times \frac{5}{0.2}$.
$2.8 \times 10^{-3} = L \times 25$.
$L = \frac{2.8 \times 10^{-3}}{25}$.
$L = 0.112 \times 10^{-3} \ H$.
$L = 112 \times 10^{-6} \ H = 112 \ \mu H$.
अतः,लूप का स्व-प्रेरकत्व $112 \ \mu H$ है।

(D) माध्यम में विद्युत चुम्बकीय तरंग की गति $v = \frac{1}{\sqrt{\mu \epsilon}} = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \mu_r \epsilon_0 \epsilon_r}}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि $c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \epsilon_0}} = 3 \times 10^8 \text{ m/s}$,हम लिख सकते हैं $v = \frac{c}{\sqrt{\mu_r \epsilon_r}}$.
यहाँ $\epsilon_r = 8$ और $\mu_r = 200$ दिया गया है,इसलिए अपवर्तनांक $n = \sqrt{\mu_r \epsilon_r} = \sqrt{200 \times 8} = \sqrt{1600} = 40$.
अतः,गति $v = \frac{3 \times 10^8}{40} = 0.075 \times 10^8 = 7.5 \times 10^6 \text{ m/s}$.
तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{v}{f}$ द्वारा प्राप्त होती है।
यहाँ $f = 100 \text{ MHz} = 10^8 \text{ Hz}$ दिया गया है।
इसलिए,$\lambda = \frac{7.5 \times 10^6}{10^8} = 7.5 \times 10^{-2} \text{ m} = 7.5 \text{ cm}$.

(D) एक गैर-परावर्तक (पूर्णतः अवशोषक) सतह पर विद्युत चुंबकीय तरंगों द्वारा लगाया गया बल $F$ सूत्र $F = \frac{P}{c}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $P$ तरंगों की शक्ति है और $c$ निर्वात में प्रकाश की गति है।
दिया गया है,शक्ति $P = 600 \ W$.
प्रकाश की गति $c = 3 \times 10^8 \ m/s$.
मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है $F = \frac{600}{3 \times 10^8} \ N$.
$F = 200 \times 10^{-8} \ N$.
$F = 2 \times 10^{-6} \ N$.
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) विस्थापन धारा $I_d$ का सूत्र $I_d = \epsilon_0 \frac{d\Phi_E}{dt}$ है,जहाँ $\epsilon_0$ मुक्त स्थान की विद्युतशीलता है और $\frac{d\Phi_E}{dt}$ विद्युत फ्लक्स में परिवर्तन की दर है।
दिया गया है: $\epsilon_0 = 8.854 \times 10^{-12} \text{ F/m}$ और $\frac{d\Phi_E}{dt} = 9 \pi \times 10^3 \text{ Vm s}^{-1}$।
मान रखने पर: $I_d = (8.854 \times 10^{-12}) \times (9 \times 3.14159 \times 10^3)$।
$I_d \approx 8.854 \times 10^{-12} \times 28.27 \times 10^3 \approx 250.3 \times 10^{-9} \text{ A} = 0.25 \mu \text{A}$।

(C) विद्युतचुंबकीय तरंग की तीव्रता $I$ और विद्युत क्षेत्र के आयाम $E_0$ के बीच संबंध इस प्रकार है: $I = \frac{1}{2} c \epsilon_0 E_0^2$.
दिया गया है: $I = \frac{15}{\pi} \text{ W m}^{-2}$, $c = 3 \times 10^8 \text{ m s}^{-1}$, और $\epsilon_0 = \frac{1}{36\pi} \times 10^{-9} \text{ F m}^{-1}$.
मान रखने पर: $\frac{15}{\pi} = \frac{1}{2} \times (3 \times 10^8) \times (\frac{1}{36\pi} \times 10^{-9}) \times E_0^2$.
$\frac{15}{\pi} = \frac{3 \times 10^{-1}}{72\pi} \times E_0^2$.
$\frac{15}{\pi} = \frac{1}{240\pi} \times E_0^2$.
$E_0^2 = 15 \times 240 = 3600$.
$E_0 = \sqrt{3600} = 60 \text{ N C}^{-1}$.

(D) एक समांतर प्लेट संधारित्र में विस्थापन धारा $I$ का सूत्र $I = \varepsilon_0 \frac{d\phi_E}{dt}$ है,जहाँ $\phi_E$ विद्युत फ्लक्स है।
प्लेटों के क्षेत्रफल $A$ से गुजरने वाला विद्युत फ्लक्स $\phi_E = E_{field} \cdot A$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $E_{field}$ प्लेटों के बीच का विद्युत क्षेत्र है।
इस मान को विस्थापन धारा के सूत्र में रखने पर,हमें $I = \varepsilon_0 \frac{d}{dt}(E_{field} \cdot A)$ प्राप्त होता है।
चूंकि क्षेत्रफल $A$ स्थिर है,इसलिए $I = \varepsilon_0 A \frac{dE_{field}}{dt}$ होगा।
यहाँ विद्युत क्षेत्र के परिवर्तन की दर $E$ दी गई है,इसलिए $\frac{dE_{field}}{dt} = E$ रखने पर।
इस प्रकार,$I = \varepsilon_0 A E$ प्राप्त होता है।
क्षेत्रफल $A$ के लिए हल करने पर,$A = \frac{I}{\varepsilon_0 E}$ प्राप्त होता है।