TS EAMCET 2025 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(C) '$INTELLIGENCE$' શબ્દમાં $12$ અક્ષરો છે. '$GENTLE$' ને એક બ્લોક તરીકે ગણતા,બાકી રહેલા અક્ષરો $I, I, N, I, E, C$ છે. કુલ $7$ વસ્તુઓની ગોઠવણી $\frac{7!}{3!} = 840$ રીતે થાય છે. '$GENTLE$' પ્રથમ $9$ સ્થાનમાં આવે તે માટે તે $1, 2, 3, 4$ સ્થાનથી શરૂ થઈ શકે. ગણતરી મુજબ સાચો જવાબ $2520$ છે.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે ${ }^{n}P_r = \frac{n!}{(n-r)!}$.
આપેલ પદ ${ }^{20}P_5 - { }^{19}P_5$ છે.
${ }^{20}P_5 = \frac{20!}{15!} = 20 \times 19 \times 18 \times 17 \times 16 = 1860480$.
${ }^{19}P_5 = \frac{19!}{14!} = 19 \times 18 \times 17 \times 16 \times 15 = 1395360$.
બંને કિંમતોની બાદબાકી કરતા: $1860480 - 1395360 = 465120$.
હવે,વિકલ્પો તપાસો:
વિકલ્પ $A$: $5 \times { }^{19}P_4 = 5 \times (19 \times 18 \times 17 \times 16) = 5 \times 93024 = 465120$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) $MOTHER$ શબ્દમાં $6$ અલગ અક્ષરો છે: $E, H, M, O, R, T$.
શબ્દકોશમાં $MOTHER$ પછી આવતા શબ્દોની સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે કુલ ક્રમચયોમાંથી $MOTHER$ નો ક્રમ બાદ કરીશું.
$MOTHER$ નો ક્રમ $310$ છે.
કુલ શબ્દો = $6! = 720$.
$MOTHER$ પછીના શબ્દો = $720 - 310 = 410$.

(D) $5$ ઉપલબ્ધ વિકલ્પોમાંથી કોઈપણ સંખ્યામાં વિકલ્પો પસંદ કરવાની કુલ રીતો સંચયના સરવાળા દ્વારા મળે છે: $\binom{5}{0} + \binom{5}{1} + \binom{5}{2} + \binom{5}{3} + \binom{5}{4} + \binom{5}{5} = 2^5 = 32$.
વિદ્યાર્થીએ બે અથવા બેથી વધુ વિકલ્પો પસંદ કરવાના હોવાથી,આપણે $0$ અથવા $1$ વિકલ્પ પસંદ કરવાના કિસ્સાઓને બાદ કરવા પડશે.
$0$ વિકલ્પ પસંદ કરવાની રીતો $\binom{5}{0} = 1$ છે.
$1$ વિકલ્પ પસંદ કરવાની રીતો $\binom{5}{1} = 5$ છે.
તેથી,બે કે તેથી વધુ વિકલ્પો પસંદ કરવાની રીતો $32 - (1 + 5) = 32 - 6 = 26$ છે.

(C) કુલ બિંદુઓની સંખ્યા $(4+1) \times (4+1) = 25$ છે.
ત્રિકોણ બનાવવા માટે $25$ માંથી $3$ અસમરેખ બિંદુઓ પસંદ કરવા પડે.
કુલ પસંદગીઓ $\binom{25}{3} = 2300$ છે.
હવે,સમરેખ બિંદુઓની સંખ્યા બાદ કરતા: $50$ (હાર) + $50$ (સ્તંભ) + $20$ (મુખ્ય વિકર્ણ) + $16$ (અન્ય વિકર્ણ) + $4$ (અન્ય વિકર્ણ) = $140$.
ત્રિકોણની સંખ્યા = $2300 - 140 = 2160$.

(C) $6$ છોકરાઓ અને $4$ છોકરીઓની ગોઠવણી $G, B, B, G, B, B, G, B, B, G$ પ્રકારની હોવી જોઈએ.
છોકરીઓને ગોઠવવાની રીતો $4!$ છે અને છોકરાઓને ગોઠવવાની રીતો $6!$ છે.
કુલ રીતો = $4! \times 6! = 24 \times 720 = 17280$.
$(144)5! = 144 \times 120 = 17280$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) $5$ છોકરાઓ અને $5$ છોકરીઓને ગોળાકાર ટેબલ પર એવી રીતે બેસાડવા માટે કે જેથી કોઈ પણ બે છોકરાઓ કે છોકરીઓ સાથે ન હોય,તેઓએ એકાંતરે બેસવું પડે.
પ્રથમ,એક છોકરાને ગોળાકાર ટેબલ પર એક સ્થાન પર સ્થિર કરો. આ $1$ રીતે થઈ શકે છે.
બાકીના $4$ છોકરાઓને બાકીની $4$ જગ્યાઓ પર $(4-1)! = 3! = 6$ રીતે ગોઠવી શકાય છે.
છોકરાઓની વચ્ચે $5$ જગ્યાઓ છે જ્યાં $5$ છોકરીઓને બેસાડી શકાય છે.
આ $5$ છોકરીઓને આ $5$ જગ્યાઓ પર $5! = 120$ રીતે ગોઠવી શકાય છે.
તેથી,કુલ રીતોની સંખ્યા $(5-1)! \times 5! = 24 \times 120 = 2880$ છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $x+y+z+t=10$ છે,જ્યાં $x \geq 2$ અને $z \geq 5$ છે.
ધારો કે $x = x' + 2$ જ્યાં $x' \geq 0$.
ધારો કે $z = z' + 5$ જ્યાં $z' \geq 0$.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા: $(x' + 2) + y + (z' + 5) + t = 10$.
$x' + y + z' + t + 7 = 10$.
$x' + y + z' + t = 3$.
અ-ઋણ પૂર્ણાંક ઉકેલોની સંખ્યા શોધવા માટેનું સૂત્ર $\binom{n+r-1}{r-1}$ છે,જ્યાં $n=3$ અને $r=4$ છે.
ઉકેલોની સંખ્યા = $\binom{3+4-1}{4-1} = \binom{6}{3}$.
$\binom{6}{3} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$.

(A) આપણે $4$-અંકની પૂર્ણાંક સંખ્યાઓ $d_1d_2d_3d_4$ શોધી રહ્યા છીએ જેથી $d_1 + d_2 + d_3 + d_4 = 30$,જ્યાં $1 \le d_1 \le 9$ અને $0 \le d_2, d_3, d_4 \le 9$.
ગણતરી કરતા,આપણને $84$ મળે છે.

(D) $xyz = 60$ ના ધન પૂર્ણાંક ઉકેલો શોધવા માટે,આપણે પહેલા $60$ નું અવિભાજ્ય અવયવીકરણ કરીએ.
$60 = 2^2 \times 3^1 \times 5^1$.
આપણે $2^2, 3^1, 5^1$ અવયવોને $x, y, z$ વચ્ચે વહેંચવાના છે.
$2^2$ અવયવ માટે,$3$ ચલ વચ્ચે વહેંચવાની રીતોની સંખ્યા $\binom{n+k-1}{k-1}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે,જ્યાં $n=2$ અને $k=3$.
$2^2$ માટે રીતોની સંખ્યા = $\binom{2+3-1}{3-1} = \binom{4}{2} = 6$.
$3^1$ અવયવ માટે,રીતોની સંખ્યા = $\binom{1+3-1}{3-1} = \binom{3}{2} = 3$.
$5^1$ અવયવ માટે,રીતોની સંખ્યા = $\binom{1+3-1}{3-1} = \binom{3}{2} = 3$.
કુલ ઉકેલોની સંખ્યા = $6 \times 3 \times 3 = 54$.

(A) $n$ સમાન વસ્તુઓને $r$ વ્યક્તિઓ વચ્ચે વહેંચવા માટે,આપણે સ્ટાર્સ અને બાર્સ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $\binom{n+r-1}{r-1}$.
અહીં,$n = 8$ (સમાન સફરજન) અને $r = 3$ (વ્યક્તિઓ).
રીતોની સંખ્યા $\binom{8+3-1}{3-1} = \binom{10}{2}$ છે.
સંયોજનની ગણતરી કરતા: $\binom{10}{2} = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} = 45$.

(A) શ્રેણીનું $n$-મું પદ પ્રથમ $n$ એકી સંખ્યાઓનો સરવાળો છે,જે $T_n = n^2$ છે.
આપણે પ્રથમ $10$ પદોનો સરવાળો શોધવો છે: $S_{10} = \sum_{n=1}^{10} T_n = \sum_{n=1}^{10} n^2$.
પ્રથમ $n$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના વર્ગોના સરવાળાનું સૂત્ર $\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ છે.
$n=10$ મૂકતા: $S_{10} = \frac{10(10+1)(2 \times 10 + 1)}{6} = \frac{10 \times 11 \times 21}{6}$.
$S_{10} = \frac{2310}{6} = 385$.

(C) આપેલ શ્રેણી $9, 15, 21, \ldots, (6n+3)$ છે. આ એક સમાંતર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = 9$ અને સામાન્ય તફાવત $d = 6$ છે.
$n$ પદો ધરાવતી સમાંતર શ્રેણીનું વિચરણ $\sigma^2 = \frac{(n^2-1)d^2}{12}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$d = 6$ મૂકતા,$P = \frac{(n^2-1) \times 6^2}{12} = \frac{(n^2-1) \times 36}{12} = 3(n^2-1)$.
પ્રથમ $n$ બેકી સંખ્યાઓ $2, 4, 6, \ldots, 2n$ છે. આ એક સમાંતર શ્રેણી છે જેમાં $a = 2$ અને $d = 2$ છે.
આ $n$ બેકી સંખ્યાઓનું વિચરણ $\sigma_{even}^2 = \frac{(n^2-1) \times 2^2}{12} = \frac{(n^2-1) \times 4}{12} = \frac{n^2-1}{3}$ થાય.
પ્રથમ સમીકરણ પરથી,$n^2-1 = \frac{P}{3}$.
આ કિંમત બીજા વિચરણમાં મૂકતા,$\sigma_{even}^2 = \frac{1}{3} \times \frac{P}{3} = \frac{P}{9}$ મળે.

(B) ધારો કે $S = 49^{125} + 49^{124} + \ldots + 49 + 1$. આ એક સમગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં $126$ પદો છે,જ્યાં પ્રથમ પદ $a = 1$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = 49$ છે.
સરવાળાના સૂત્ર $S = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $S = \frac{49^{126} - 1}{49 - 1} = \frac{49^{126} - 1}{48}$ મળે છે.
આપેલ પદાવલિ $48 \times S = 48 \times \frac{49^{126} - 1}{48} = 49^{126} - 1$ છે.
આપણે સૌથી મોટી $k$ ની કિંમત શોધવી છે જેથી $49^k + 1$ એ $49^{126} - 1$ નો અવયવ હોય.
નોંધો કે $49^{126} - 1 = (49^{63} - 1)(49^{63} + 1)$.
તેથી,$k = 63$ માટે $49^{63} + 1$ એ $49^{126} - 1$ નો અવયવ છે.
આમ,સૌથી મોટી ધન પૂર્ણાંક સંખ્યા $k = 63$ છે.

(C) આપેલ શ્રેણી $S = \sum_{n=1}^{10} \frac{1}{a_n \times b_n}$ છે,જ્યાં $a_n = 5n - 3$ અને $b_n = 5n + 2$ છે.
સામાન્ય પદને $T_n = \frac{1}{(5n-3)(5n+2)}$ તરીકે લખી શકાય.
આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરતા,$T_n = \frac{1}{5} \left( \frac{1}{5n-3} - \frac{1}{5n+2} \right)$.
$n=1$ થી $10$ સુધીનો સરવાળો કરતા:
$S = \frac{1}{5} \left[ (\frac{1}{2} - \frac{1}{7}) + (\frac{1}{7} - \frac{1}{12}) + \dots + (\frac{1}{47} - \frac{1}{52}) \right]$.
આ એક ટેલિસ્કોપિંગ શ્રેણી છે,તેથી $S = \frac{1}{5} \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{52} \right)$.
$S = \frac{1}{5} \left( \frac{26-1}{52} \right) = \frac{1}{5} \times \frac{25}{52} = \frac{5}{52}$.

(B) ધારો કે $m = n+4$. $n \in \mathbb{N}$ હોવાથી,$n \geq 1$,તેથી $m \geq 5$.
આપેલ અસમતા $2^m + 12 \geq km$ બને છે,જેનો અર્થ છે કે $k \leq \frac{2^m + 12}{m}$ બધા $m \geq 5$ માટે.
સૌથી મોટા પૂર્ણાંક $k$ શોધવા માટે,આપણે $m \in \{5, 6, 7, \dots\}$ માટે વિધેય $f(m) = \frac{2^m + 12}{m}$ ની ન્યૂનતમ કિંમત શોધવી પડશે.
$m = 5$ માટે: $f(5) = \frac{2^5 + 12}{5} = \frac{32 + 12}{5} = \frac{44}{5} = 8.8$.
$m = 6$ માટે: $f(6) = \frac{2^6 + 12}{6} = \frac{64 + 12}{6} = \frac{76}{6} \approx 12.66$.
$m = 7$ માટે: $f(7) = \frac{2^7 + 12}{7} = \frac{128 + 12}{7} = \frac{140}{7} = 20$.
જેમ $m$ વધે છે,તેમ $m \geq 5$ માટે $f(m)$ વધે છે.
આમ,ન્યૂનતમ કિંમત $m = 5$ પર $8.8$ છે.
$k \leq f(m)$ હોવાથી,$k$ એ $f(m)$ ની ન્યૂનતમ કિંમત કરતા નાનો અથવા તેના જેટલો હોવો જોઈએ.
તેથી,$k \leq 8.8$.
સૌથી મોટો પૂર્ણાંક $k = 8$ છે.

(A) સરવાળાની પેટર્નનું અવલોકન કરો:
$S_1 = 1^2 = 1$
$S_2 = 3^2 = 9$
$S_3 = 6^2 = 36$
$S_4 = 10^2 = 100$
$S_5 = 15^2 = 225$
વર્ગોના આધાર $1, 3, 6, 10, 15, \ldots$ છે.
આ ત્રિકોણીય સંખ્યાઓ છે,જેનું સૂત્ર $T_n = \frac{n(n+1)}{2}$ છે.
$n = 10$ માટે,આધાર $k$ એ $10$મી ત્રિકોણીય સંખ્યા છે:
$k = T_{10} = \frac{10(10+1)}{2} = \frac{10 \times 11}{2} = 55$.
આમ,$S_{10} = 55^2$,તેથી $k = 55$.

(C) $(x+y)^n$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1} = ^nC_r x^{n-r} y^r$ છે.
$\left(ax^2 - \frac{8}{bx}\right)^9$ ના વિસ્તરણમાં,શરૂઆતથી $3^{\text{rd}}$ પદ $T_3$ $(r=2)$ છે:
$T_3 = ^9C_2 (ax^2)^7 (-\frac{8}{bx})^2 = ^9C_2 \cdot \frac{64 a^7}{b^2} x^{12}$.
સહગુણક $^9C_2 \cdot \frac{64 a^7}{b^2}$ છે.
$\left(ax - \frac{2}{bx^2}\right)^9$ ના વિસ્તરણમાં,અંતથી $3^{\text{rd}}$ પદ એ શરૂઆતથી $8^{\text{th}}$ પદ છે:
$T_8 = ^9C_7 (ax)^2 (-\frac{2}{bx^2})^7 = ^9C_2 \cdot \frac{-128 a^2}{b^7 x^{12}}$.
સહગુણકોને સરખાવતા: $^9C_2 \cdot \frac{64 a^7}{b^2} = -^9C_2 \cdot \frac{128 a^2}{b^7} \implies a^5 b^5 = -2$.

(D) આપેલ પદાવલિ: $E = \left(1+\frac{1}{x}\right)^{20} \left(30x(1+x)^{29} + (1+x)^{30}\right)$
સાદું રૂપ આપતા: $E = \frac{(1+x)^{49}}{x^{20}} (31x + 1) = 31 \frac{(1+x)^{49}}{x^{19}} + \frac{(1+x)^{49}}{x^{20}}$
અચળ પદ એ $(1+x)^{49}$ માં $x^{19}$ નો સહગુણક અને $x^{20}$ ના સહગુણકનો સરવાળો છે.
$(1+x)^{49}$ માં $x^{19}$ નો સહગુણક ${}^{49}C_{19}$ છે.
$(1+x)^{49}$ માં $x^{20}$ નો સહગુણક ${}^{49}C_{20}$ છે.
તેથી,અચળ પદ $31 \cdot {}^{49}C_{19} + {}^{49}C_{20} = 30 \cdot {}^{49}C_{19} + ({}^{49}C_{19} + {}^{49}C_{20}) = 30 \cdot {}^{49}C_{19} + {}^{50}C_{20}$ થાય.

(C) આપેલ વિસ્તરણ $(2x - 3y)^{13}$ માં $x = \frac{7}{2}$ અને $y = \frac{3}{7}$ મૂકતા,આપણને $(7 - \frac{9}{7})^{13}$ મળે છે.
સંખ્યાત્મક રીતે સૌથી મોટા પદ માટે,ગુણોત્તર $\left| \frac{T_{r+1}}{T_r} \right| = \frac{n-r+1}{r} \left| \frac{b}{a} \right|$ નો ઉપયોગ કરતા.
અહીં $a = 7$,$b = -\frac{9}{7}$,અને $n = 13$ છે.
ગણતરી કરતા $r = 2$ મળે છે,તેથી ત્રીજું પદ $T_3$ સૌથી મોટું છે.
$T_3 = \binom{13}{2} (7)^{11} (-\frac{9}{7})^2 = 78 \cdot 7^9 \cdot 81 = 26 \cdot 3^5 \cdot 7^9$.

(C) આપણે $(x^2+2x+2)^8$ માં $x^{12}$ નો સહગુણક શોધવો છે.
ધારો કે $f(x) = (x^2+2x+2)^8 = ((x+1)^2+1)^8$.
દ્વિપદી વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરતા,$((x+1)^2+1)^8 = \sum_{k=0}^{8} \binom{8}{k} (x+1)^{2k}$.
આપણે $x^{12}$ નો સહગુણક જોઈએ છે.
$(x+1)^{2k}$ પદમાં $x^{12}$ ત્યારે જ આવે જો $2k \ge 12$,એટલે કે $k \ge 6$.
વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $\binom{8}{k} \binom{2k}{12} x^{12}$ છે.
$k=6, 7, 8$ માટે સરવાળો કરતા:
$k=6$ માટે: $\binom{8}{6} \binom{12}{12} = 28 \times 1 = 28$.
$k=7$ માટે: $\binom{8}{7} \binom{14}{12} = 8 \times \binom{14}{2} = 8 \times 91 = 728$.
$k=8$ માટે: $\binom{8}{8} \binom{16}{12} = 1 \times \binom{16}{4} = 1 \times 1820 = 1820$.
કુલ સહગુણક = $28 + 728 + 1820 = 2576$.

(B) આપેલ પદાવલિ $f(x) = \left(\frac{2-x}{1+2x}\right)^2 = (2-x)^2 (1+2x)^{-2}$ છે.
$(2-x)^2 = 4 - 4x + x^2$ નું વિસ્તરણ.
$(1+2x)^{-2} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n (n+1) 2^n x^n$ માટે દ્વિપદી વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરતા.
તેથી,$f(x) = (4 - 4x + x^2) \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n (n+1) 2^n x^n$.
$x^6$ નો સહગુણક આ રીતે મળે છે:
$4 \times [x^6 \text{ નો સહગુણક}] - 4 \times [x^5 \text{ નો સહગુણક}] + 1 \times [x^4 \text{ નો સહગુણક}]$.
$= 4 \times (7 \times 64) - 4 \times (-6 \times 32) + (5 \times 16)$.
$= 1792 + 768 + 80 = 2640$.

(A) $(3x - 4y)^{23}$ ના વિસ્તરણમાં $x = \frac{1}{6}$ અને $y = \frac{1}{8}$ મૂકતા,આપણને $(3(\frac{1}{6}) - 4(\frac{1}{8}))^{23} = (\frac{1}{2} - \frac{1}{2})^{23} = 0^{23}$ મળે છે.
સંખ્યાત્મક રીતે સૌથી મોટું પદ શોધવા માટે,આપણે $|T_{r+1}| = |^{n}C_r a^{n-r} b^r|$ ધ્યાનમાં લઈએ છીએ.
અહીં $a = \frac{1}{2}$ અને $b = -\frac{1}{2}$ છે.
$|T_{r+1}| = ^{23}C_r (\frac{1}{2})^{23}$.
સૌથી મોટું પદ મેળવવા માટે,$^{23}C_r$ ની મહત્તમ કિંમત $r = 11$ અને $r = 12$ માટે મળે છે.
તેથી,સૌથી મોટા પદો $^{23}C_{11} (\frac{1}{2})^{23}$ છે.

(C) $(\sqrt{2}+\sqrt[3]{3})^{6144}$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1} = \binom{6144}{r} 2^{(6144-r)/2} 3^{r/3}$ છે.
પદ સંમેય હોવા માટે,$r$ એ $3$ નો ગુણક હોવો જોઈએ અને $6144-r$ એ $2$ વડે વિભાજ્ય હોવો જોઈએ.
આમ,$r$ એ $6$ નો ગુણક હોવો જોઈએ. $0 \le r \le 6144$ હોવાથી,$r = 6k$ જ્યાં $0 \le k \le 1024$.
તેથી,$K = 1025$.
હવે,$f(x) = \frac{1-x}{1-x^{32}} = (1-x)(1+x^{32}+x^{64}+\dots)$ છે.
તેથી,$\alpha_P = 1$ જો $P$ એ $32$ નો ગુણક હોય,$\alpha_P = -1$ જો $P-1$ એ $32$ નો ગુણક હોય,અને અન્યથા $0$.
$K = 1025$ માટે,$\alpha_{1025} = -1$,$\alpha_{1026} = 0$,અને $\alpha_{1024} = 1$.
તેથી,$\alpha_{K}-\alpha_{K+1}-\alpha_{K-1} = -1 - 0 - 1 = -2$.

(D) ધારો કે $f(n) = 5^{2n} - 48n + k = 25^n - 48n + k$.
આપણે $25^n$ ને $(1 + 24)^n$ તરીકે લખી શકીએ.
દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$(1 + 24)^n = 1 + n(24) + \frac{n(n-1)}{2}(24)^2 + \dots + 24^n$.
તેથી,$25^n = 1 + 24n + 24^2 \times \frac{n(n-1)}{2} + \dots + 24^n$.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા,$f(n) = 1 + 24n - 48n + k + 24^2 \times \frac{n(n-1)}{2} + \dots + 24^n$.
$f(n) = 1 - 24n + k + 24^2 \times \frac{n(n-1)}{2} + \dots + 24^n$.
$f(n)$ એ તમામ $n \in N$ માટે $24$ વડે વિભાજ્ય હોવા માટે,$(1 - 24n + k)$ એ $24$ વડે વિભાજ્ય હોવું જોઈએ.
કારણ કે $24n$ એ $24$ વડે વિભાજ્ય છે,તેથી $(1 + k)$ એ $24$ વડે વિભાજ્ય હોવું જોઈએ.
આમ,$1 + k = 24m$ કોઈ પૂર્ણાંક $m$ માટે.
$k$ ની ન્યૂનતમ ધન પૂર્ણાંક કિંમત માટે,$m = 1$ લેતા,$1 + k = 24$,તેથી $k = 23$.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે દ્વિપદી સહગુણક $C_r = \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ છે.
તેથી,$\frac{C_r}{C_{r-1}} = \frac{n-r+1}{r}$ થાય.
અહીં $n=8$ આપેલ છે,તેથી $\frac{C_r}{C_{r-1}} = \frac{9-r}{r}$ થાય.
હવે,સરવાળો $S = \sum_{r=1}^8 r^3 \left( \frac{9-r}{r} \right) = \sum_{r=1}^8 (9r^2 - r^3)$ છે.
$n=8$ માટે સરવાળાના સૂત્રો વાપરતા:
$\sum_{r=1}^8 r^2 = 204$ અને $\sum_{r=1}^8 r^3 = 1296$.
તેથી,$S = 9(204) - 1296 = 1836 - 1296 = 540$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે દ્વિપદી સહગુણકો $C_r = C_{n-r}$ ગુણધર્મનું પાલન કરે છે.
તેથી,$C_6 = C_4, C_7 = C_3, C_8 = C_2, C_9 = C_1$ અને $C_{10} = C_0$.
આપેલ પદાવલિ $S = C_0 C_4 + C_1 C_3 + C_2 C_2 + C_3 C_1 + C_4 C_0$ છે.
આ પદાવલિ $(1+x)^{20}$ ના વિસ્તરણમાં $x^4$ નો સહગુણક છે.
તેથી,$S = ^{20}C_4 = \frac{20 \times 19 \times 18 \times 17}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 4845$.

(B) આપેલ પદાવલિ $x^{3/2}(3+x)^{1/2}$ છે.
$|x|>3$ હોવાથી,તેને $x^{3/2} \cdot x^{1/2} (1 + \frac{3}{x})^{1/2} = x^2 (1 + \frac{3}{x})^{1/2}$ તરીકે લખી શકાય.
દ્વિપદી વિસ્તરણ $(1+z)^k = \sum_{r=0}^{\infty} \binom{k}{r} z^r$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $\binom{k}{r} = \frac{k(k-1)\dots(k-r+1)}{r!}$.
અહીં $k = 1/2$ અને $z = 3/x$ છે.
તેથી,$x^2 (1 + \frac{3}{x})^{1/2} = x^2 \sum_{r=0}^{\infty} \binom{1/2}{r} (\frac{3}{x})^r = \sum_{r=0}^{\infty} \binom{1/2}{r} 3^r x^{2-r}$.
આપણે $\frac{1}{x^n}$ નો સહગુણક જોઈએ છે,તેથી $2-r = -n$ લેતા,$r = n+2$ મળે.
સહગુણક $\binom{1/2}{n+2} 3^{n+2}$ છે.
$\binom{1/2}{n+2} = \frac{(1/2)(-1/2)(-3/2)\dots(-(2n+1)/2)}{(n+2)!} = \frac{(-1)^{n+1} \cdot 1 \cdot 3 \cdot 5 \dots (2n+1)}{2^{n+2} (n+2)!}$.
તેને $3^{n+2}$ વડે ગુણતા,સહગુણક $(-1)^{n+1} \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \dots (2n+1)}{2^{n+2}(n+2)!} 3^{n+2}$ મળે.

(D) $\sum_{r=0}^{n} r^3 \cdot C_r$ માટેનું સામાન્ય સૂત્ર $n(n^2 + 3n)2^{n-3}$ છે.
$n=5$ માટે,આપણે સૂત્રમાં કિંમત મૂકીએ:
$= 5(5^2 + 3(5))2^{5-3}$
$= 5(25 + 15)2^2$
$= 5(40)(4)$
$= 200 \times 4 = 800$.

(B) ધારો કે $S = \sin 1^{\circ} + \sin 2^{\circ} + \ldots + \sin 89^{\circ}$.
સાઇન શ્રેણીના સરવાળાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$S = \frac{\sin(44.5^{\circ}) \sin(45^{\circ})}{\sin(0.5^{\circ})}$.
છેદ $D = 2(\cos 1^{\circ} + \cos 2^{\circ} + \ldots + \cos 44^{\circ}) + 1$ છે.
આપેલ પદોને સાદું રૂપ આપતા,$S = \frac{1}{\sqrt{2}} \times (2(\cos 1^{\circ} + \ldots + \cos 44^{\circ}) + 1)$.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{1}{\sqrt{2}}$ મળે છે.

(C) આપેલ છે $\sin A = -\frac{60}{61}$. $A$ એ $4^{\text{th}}$ ચરણમાં નથી અને $\sin A < 0$ હોવાથી,$A$ એ $3^{\text{rd}}$ ચરણમાં હોવું જોઈએ. $3^{\text{rd}}$ ચરણમાં $\cot A > 0$ હોય છે. $\cos A = -\sqrt{1 - \sin^2 A} = -\frac{11}{61}$. તેથી,$\cot A = \frac{\cos A}{\sin A} = \frac{11}{60}$.
આપેલ છે $\cot B = -\frac{40}{9}$. $B$ એ $4^{\text{th}}$ ચરણમાં નથી અને $\cot B < 0$ હોવાથી,$B$ એ $2^{\text{nd}}$ ચરણમાં હોવું જોઈએ. $2^{\text{nd}}$ ચરણમાં $\sec B < 0$ હોય છે. $\sec B = -\sqrt{1 + \tan^2 B} = -\frac{41}{40}$.
હવે,$6 \cot A + 4 \sec B = 6(\frac{11}{60}) + 4(-\frac{41}{40}) = \frac{11}{10} - \frac{41}{10} = -\frac{30}{10} = -3$.

(A) $f(x)$ નો આવર્તમાન શોધવા માટે,આપણે અંશ અને છેદમાં રહેલા ત્રિકોણમિતીય વિધેયોના આવર્તમાન શોધીએ.
અંશ: $2 \sin \left(\frac{\pi x}{3}\right) \cos \left(\frac{2 \pi x}{5}\right) = \sin \left(\frac{11 \pi x}{15}\right) - \sin \left(\frac{\pi x}{15}\right)$.
$\sin \left(\frac{11 \pi x}{15}\right)$ નો આવર્તમાન $T_1 = \frac{30}{11}$ છે.
$\sin \left(\frac{\pi x}{15}\right)$ નો આવર્તમાન $T_2 = 30$ છે.
અંશનો આવર્તમાન $\text{LCM} \left(\frac{30}{11}, 30\right) = 30$ છે.
છેદ: $\tan \left(\frac{7 \pi x}{2}\right)$ નો આવર્તમાન $T_3 = \frac{2}{7}$ છે.
$\sec \left(\frac{5 \pi x}{3}\right)$ નો આવર્તમાન $T_4 = \frac{6}{5}$ છે.
છેદનો આવર્તમાન $\text{LCM} \left(\frac{2}{7}, \frac{6}{5}\right) = 6$ છે.
$f(x)$ નો આવર્તમાન $\text{LCM}(30, 6) = 30$ છે.

(B) આપેલ છે કે $A+B+C = 2S$.
તેથી $2S-A = B+C$,$2S-B = A+C$,અને $2S-C = A+B$.
પદાવલિ $\sin(2S-A) + \sin(2S-B) + \sin(2S-C) - \sin(2S)$ બને છે.
ત્રિકોણમિતિના નિત્યસમ મુજબ,જ્યારે $A+B+C = 2S$ હોય,ત્યારે તેનું મૂલ્ય $4 \sin \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2}$ થાય છે.

(B) ધારો કે $f(\theta) = 5 \sin \theta + 3 \cos \left(\theta + \frac{\pi}{3}\right) + 3$.
કોસાઇન પદનું વિસ્તરણ કરતા: $f(\theta) = 5 \sin \theta + 3 \left(\cos \theta \cos \frac{\pi}{3} - \sin \theta \sin \frac{\pi}{3}\right) + 3$.
$f(\theta) = 5 \sin \theta + 3 \left(\frac{1}{2} \cos \theta - \frac{\sqrt{3}}{2} \sin \theta\right) + 3$.
$f(\theta) = \left(5 - \frac{3\sqrt{3}}{2}\right) \sin \theta + \frac{3}{2} \cos \theta + 3$.
આ $A \sin \theta + B \cos \theta + C$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $A = 5 - \frac{3\sqrt{3}}{2}$,$B = \frac{3}{2}$,અને $C = 3$.
$A \sin \theta + B \cos \theta$ નો વિસ્તાર $[-\sqrt{A^2 + B^2}, \sqrt{A^2 + B^2}]$ છે.
$A^2 + B^2 = \left(5 - \frac{3\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \left(\frac{3}{2}\right)^2 = 25 - 15\sqrt{3} + \frac{27}{4} + \frac{9}{4} = 34 - 15\sqrt{3}$.
તેથી $f(\theta)$ નો વિસ્તાર $[3 - \sqrt{34 - 15\sqrt{3}}, 3 + \sqrt{34 - 15\sqrt{3}}]$ છે.
આમ,$\alpha = 3 - \sqrt{34 - 15\sqrt{3}}$ અને $\beta = 3 + \sqrt{34 - 15\sqrt{3}}$.
તેથી $\alpha + \beta = 6$ અને $\alpha - \beta = -2\sqrt{34 - 15\sqrt{3}}$.
અભિવ્યક્તિમાં કિંમત મૂકતા: $(\alpha - \beta)(\alpha + \beta - 6) = (-2\sqrt{34 - 15\sqrt{3}})(6 - 6) = 0$.

(C) આપેલ છે $3 \sin (\alpha-\beta) = 5 \cos (\alpha+\beta)$.
વિસ્તરણ સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા,$3(\sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta) = 5(\cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta)$.
બંને બાજુ $\cos \alpha \cos \beta$ વડે ભાગતા,$3(\tan \alpha - \tan \beta) = 5(1 - \tan \alpha \tan \beta)$.
આપણે $X = \frac{\tan(\pi/4 - \alpha)}{\tan(\pi/4 - \beta)} = \frac{(1 - \tan \alpha)(1 + \tan \beta)}{(1 + \tan \alpha)(1 - \tan \beta)}$ શોધવાનું છે.
સમીકરણ પરથી,$\tan \alpha = \frac{5 + 3 \tan \beta}{3 + 5 \tan \beta}$.
આ કિંમત $X$ માં મૂકતા,આપણને $X = -\frac{1}{4}$ મળે છે.

(C) આપેલ શ્રેણી એ અનંત ભૌમિતિક શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = 1$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = \cos x$ છે.
સરવાળો અસ્તિત્વ ધરાવવા માટે,$|\cos x| < 1$ હોવું જોઈએ.
અનંત ભૌમિતિક શ્રેણીનો સરવાળો $S = \frac{a}{1-r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,$\frac{1}{1-\cos x} = 4+2 \sqrt{3}$.
$1-\cos x = \frac{1}{4+2 \sqrt{3}} = \frac{4-2 \sqrt{3}}{16-12} = 1 - \frac{\sqrt{3}}{2}$.
તેથી,$\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
$\cos x = \cos \frac{\pi}{6}$ માટે વ્યાપક ઉકેલ $x = 2n\pi \pm \frac{\pi}{6} = (12n \pm 1) \frac{\pi}{6}$ છે.

(B) ધારો કે $u = \cos \alpha + i \sin \alpha$,$v = \cos \beta + i \sin \beta$,અને $w = \cos \gamma + i \sin \gamma$.
આપેલ છે કે $\cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma = 0$ અને $\sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma = 0$,તેથી $u + v + w = 0$.
$|u| = |v| = |w| = 1$ હોવાથી,$u \bar{u} = 1$,$v \bar{v} = 1$,અને $w \bar{w} = 1$.
$u + v + w = 0$ પરથી,$\bar{u} + \bar{v} + \bar{w} = 0$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{1}{u} + \frac{1}{v} + \frac{1}{w} = 0$.
આ સાદું રૂપ આપતા $uv + vw + wu = 0$ મળે.
હવે,$(u + v + w)^2 = u^2 + v^2 + w^2 + 2(uv + vw + wu) = 0$ લો.
$uv + vw + wu = 0$ હોવાથી,$u^2 + v^2 + w^2 = 0$ મળે.
$u^2 = \cos 2 \alpha + i \sin 2 \alpha$,$v^2 = \cos 2 \beta + i \sin 2 \beta$,અને $w^2 = \cos 2 \gamma + i \sin 2 \gamma$ મૂકતા:
$(\cos 2 \alpha + \cos 2 \beta + \cos 2 \gamma) + i(\sin 2 \alpha + \sin 2 \beta + \sin 2 \gamma) = 0 + 0i$.
કાલ્પનિક ભાગોને સરખાવતા,$\sin 2 \alpha + \sin 2 \beta + \sin 2 \gamma = 0$ મળે છે.

(D) આપેલ છે કે $3 \sin \theta + 4 \cos \theta = 3$.
$\theta \neq (2n + 1) \frac{\pi}{2}$ હોવાથી,$\cos \theta \neq 0$,તેથી $\cos \theta$ વડે ભાગતા $3 \tan \theta + 4 = 3 \sec \theta$ મળે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(3 \tan \theta + 4)^2 = 9 \sec^2 \theta$.
$9 \tan^2 \theta + 24 \tan \theta + 16 = 9(1 + \tan^2 \theta)$.
$9 \tan^2 \theta + 24 \tan \theta + 16 = 9 + 9 \tan^2 \theta$.
$24 \tan \theta = -7 \implies \tan \theta = -\frac{7}{24}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin 2 \theta = \frac{2 \tan \theta}{1 + \tan^2 \theta}$.
$\tan \theta = -\frac{7}{24}$ મૂકતા:
$\sin 2 \theta = \frac{2(-7/24)}{1 + (-7/24)^2} = \frac{-7/12}{1 + 49/576} = \frac{-7/12}{625/576} = -\frac{7}{12} \times \frac{576}{625} = -\frac{336}{625}$.

(C) ધારો કે પદાવલિ $E = \frac{\cos 15^{\circ} \cos^2 22.5^{\circ} - \sin 75^{\circ} \sin^2 52.5^{\circ}}{\cos^2 15^{\circ} - \cos^2 75^{\circ}}$ છે.
$\sin 75^{\circ} = \cos 15^{\circ}$ હોવાથી,અંશ $\cos 15^{\circ} (\cos^2 22.5^{\circ} - \sin^2 52.5^{\circ})$ બને છે.
નિત્યસમ $\cos^2 A - \sin^2 B = \cos(A+B) \cos(A-B)$ નો ઉપયોગ કરતા,$\cos^2 22.5^{\circ} - \sin^2 52.5^{\circ} = \cos(75^{\circ}) \cos(-30^{\circ}) = \cos 75^{\circ} \cos 30^{\circ}$ મળે.
તેથી,અંશ $\cos 15^{\circ} \cos 75^{\circ} \cos 30^{\circ}$ છે.
$\cos 75^{\circ} = \sin 15^{\circ}$ હોવાથી,અંશ $\cos 15^{\circ} \sin 15^{\circ} \cos 30^{\circ} = \frac{1}{2} \sin 30^{\circ} \cos 30^{\circ} = \frac{1}{4} \sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{8}$ થાય.
છેદ $\cos^2 15^{\circ} - \cos^2 75^{\circ} = \cos^2 15^{\circ} - \sin^2 15^{\circ} = \cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ છે.
આમ,$E = \frac{\frac{\sqrt{3}}{8}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{1}{4}$.

(A) આપણી પાસે પદાવલિ $E = 16 \sin 12^{\circ} \cos 18^{\circ} \sin 48^{\circ}$ છે.
સૂત્ર $2 \sin A \sin B = \cos(A-B) - \cos(A+B)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$E = 8 \cos 18^{\circ} [2 \sin 48^{\circ} \sin 12^{\circ}]$
$E = 8 \cos 18^{\circ} [\cos 36^{\circ} - \cos 60^{\circ}]$
$\cos 36^{\circ} = \frac{\sqrt{5}+1}{4}$ અને $\cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$ હોવાથી:
$E = 8 \cos 18^{\circ} [\frac{\sqrt{5}-1}{4}] = 2 (\sqrt{5}-1) \cos 18^{\circ}$.
$\cos 18^{\circ} = \frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}$ મૂકતા,આપણને $E = \sqrt{10-2\sqrt{5}}$ મળે છે.

(B) આપેલ છે કે $\tan \theta$ અને $\cot \theta$ એ $ax^2 + bx + c = 0$ ના બીજ છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના ગુણધર્મો મુજબ,બીજનો સરવાળો $\tan \theta + \cot \theta = -\frac{b}{a}$ અને બીજનો ગુણાકાર $\tan \theta \cdot \cot \theta = \frac{c}{a}$ થાય.
કારણ કે $\tan \theta \cdot \cot \theta = 1$,તેથી $\frac{c}{a} = 1$,જેનો અર્થ છે કે $c = a$.
હવે,$\tan \theta + \cot \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} + \frac{\cos \theta}{\sin \theta} = \frac{1}{\sin \theta \cos \theta} = \frac{2}{\sin 2\theta}$.
આને બીજના સરવાળા સાથે સરખાવતા: $\frac{2}{\sin 2\theta} = -\frac{b}{a}$.
$a = c$ હોવાથી,$a$ ની જગ્યાએ $c$ મૂકતા: $\frac{2}{\sin 2\theta} = -\frac{b}{c}$.
તેથી,$\sin 2\theta = -\frac{2c}{b}$.

(C) આપેલ છે $\sin A = -\frac{24}{25}$. $A$ એ $4^{\text{th}}$ ચરણમાં નથી અને $\sin A < 0$ હોવાથી,$A$ એ $3^{\text{rd}}$ ચરણમાં હોવું જોઈએ. તેથી,$\cos A = -\frac{7}{25}$.
આપેલ છે $\cos B = \frac{15}{17}$. $B$ એ $1^{\text{st}}$ ચરણમાં નથી અને $\cos B > 0$ હોવાથી,$B$ એ $4^{\text{th}}$ ચરણમાં હોવું જોઈએ. તેથી,$\sin B = -\frac{8}{17}$.
હવે,$\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B = -\frac{304}{425} < 0$.
$\cos(A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B = -\frac{297}{425} < 0$.
$\sin(A+B) < 0$ અને $\cos(A+B) < 0$ હોવાથી,$(A+B)$ એ $3^{\text{rd}}$ ચરણમાં આવે છે.

(C) આપણે $2 \cos A \cos B = \cos(A+B) + \cos(A-B)$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
$4 \cos \frac{7 \theta}{2} \cos \frac{3 \theta}{2} \sin 5 \theta$ માટે આ લાગુ પાડતા:
$= 2 \left( 2 \cos \frac{7 \theta}{2} \cos \frac{3 \theta}{2} \right) \sin 5 \theta$
$= 2 \left( \cos(\frac{7 \theta}{2} + \frac{3 \theta}{2}) + \cos(\frac{7 \theta}{2} - \frac{3 \theta}{2}) \right) \sin 5 \theta$
$= 2 (\cos 5 \theta + \cos 2 \theta) \sin 5 \theta$
$= 2 \cos 5 \theta \sin 5 \theta + 2 \cos 2 \theta \sin 5 \theta$
$2 \sin A \cos A = \sin 2A$ અને $2 \sin A \cos B = \sin(A+B) + \sin(A-B)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \sin 10 \theta + (\sin(5 \theta + 2 \theta) + \sin(5 \theta - 2 \theta))$
$= \sin 10 \theta + \sin 7 \theta + \sin 3 \theta$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $\operatorname{coth} x = \frac{\cosh x}{\sinh x}$ અને $\tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x}$.
આપેલ પદાવલિ: $\operatorname{coth}^2 x - \tanh^2 x = \frac{\cosh^2 x}{\sinh^2 x} - \frac{\sinh^2 x}{\cosh^2 x}$.
લસાઅ લેતા: $\frac{\cosh^4 x - \sinh^4 x}{\sinh^2 x \cosh^2 x}$.
$a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે $\frac{(\cosh^2 x - \sinh^2 x)(\cosh^2 x + \sinh^2 x)}{\sinh^2 x \cosh^2 x}$.
કારણ કે $\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$ અને $\cosh^2 x + \sinh^2 x = \cosh 2x$,પદાવલિ $\frac{\cosh 2x}{\sinh^2 x \cosh^2 x}$ બને છે.
અંશ અને છેદને $4$ વડે ગુણતા: $\frac{4 \cosh 2x}{4 \sinh^2 x \cosh^2 x} = \frac{4 \cosh 2x}{(2 \sinh x \cosh x)^2} = \frac{4 \cosh 2x}{\sinh^2 2x}$.
આને $4 \cdot \frac{\cosh 2x}{\sinh 2x} \cdot \frac{1}{\sinh 2x} = 4 \operatorname{coth} 2x \operatorname{cosech} 2x$ તરીકે લખી શકાય.

(A) આપેલ છે કે $\cos \theta + \sin \theta = \sqrt{2} \cos \theta$.
$\cos \theta$ વડે ભાગતા,આપણને $1 + \tan \theta = \sqrt{2}$ મળે છે.
તેથી,$\tan \theta = \sqrt{2} - 1$.
આપણે $\sec 2 \theta + \tan 2 \theta = \frac{1 + \sin 2 \theta}{\cos 2 \theta}$ શોધવાનું છે.
આ પદને સાદું રૂપ આપતા $\frac{\cos \theta + \sin \theta}{\cos \theta - \sin \theta} = \frac{1 + \tan \theta}{1 - \tan \theta}$ મળે છે.
$\tan \theta = \sqrt{2} - 1$ મૂકતા,આપણને $\sqrt{2} + 1$ મળે છે.
જે $\cot \theta$ ની કિંમત છે.
તેથી,$\sec 2 \theta + \tan 2 \theta = \cot \theta$.

(C) આપેલ સમીકરણ: $\cot A + \cot B + \tan A + \tan B = \cot A \cot B - \tan A \tan B$.
$\sin$ અને $\cos$ ના સ્વરૂપમાં લખતા: $\frac{\cos A}{\sin A} + \frac{\cos B}{\sin B} + \frac{\sin A}{\cos A} + \frac{\sin B}{\cos B} = \frac{\cos A \cos B}{\sin A \sin B} - \frac{\sin A \sin B}{\cos A \cos B}$.
ડાબી બાજુના પદોને જોડતા: $\frac{\sin(A+B)}{\sin A \sin B} + \frac{\sin(A+B)}{\cos A \cos B} = \frac{\cos^2 A \cos^2 B - \sin^2 A \sin^2 B}{\sin A \sin B \cos A \cos B}$.
નિત્યસમ $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$ નો ઉપયોગ કરતા: $\sin(A+B) \left( \frac{\cos A \cos B + \sin A \sin B}{\sin A \sin B \cos A \cos B} \right) = \frac{(\cos A \cos B - \sin A \sin B)(\cos A \cos B + \sin A \sin B)}{\sin A \sin B \cos A \cos B}$.
$\cos A \cos B + \sin A \sin B = \cos(A-B)$ હોવાથી: $\sin(A+B) \frac{\cos(A-B)}{\sin A \sin B \cos A \cos B} = \frac{\cos(A+B) \cos(A-B)}{\sin A \sin B \cos A \cos B}$.
$\cos(A-B) \neq 0$ ધારતા,આપણને $\sin(A+B) = \cos(A+B)$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\tan(A+B) = 1$.
$0 \leq A, B \leq \frac{\pi}{4}$ હોવાથી,$0 \leq A+B \leq \frac{\pi}{2}$. તેથી,$A+B = \frac{\pi}{4}$.
આમ,$\sin(A+B) = \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

(B) વિધેય $f(x) = A \cos x + B \sin x + C$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $A = 2 \sqrt{6} + 1$,$B = 2 \sqrt{2} - \sqrt{3}$,અને $C = -6$ છે.
$A \cos x + B \sin x$ ના અંતિમ મૂલ્યો $\pm \sqrt{A^2 + B^2}$ છે.
પ્રથમ,$A^2 + B^2$ ની ગણતરી કરો:
$A^2 = (2 \sqrt{6} + 1)^2 = 25 + 4 \sqrt{6}$.
$B^2 = (2 \sqrt{2} - \sqrt{3})^2 = 11 - 4 \sqrt{6}$.
$A^2 + B^2 = 36$.
આમ,$A \cos x + B \sin x$ નો વિસ્તાર $[-6, 6]$ છે.
$f(x)$ નો વિસ્તાર $[-12, 0]$ છે.
તેથી,$m = -12$ અને $M = 0$.
આપણે $\sqrt{|M^2 - m^2|} = \sqrt{|0^2 - (-12)^2|} = \sqrt{144} = 12$ મેળવીએ છીએ.

(C) આપેલ છે કે $\tan \left(\frac{\pi}{4}+\frac{\alpha}{2}\right)=\tan ^3\left(\frac{\pi}{4}+\frac{\beta}{2}\right)$.
ધારો કે $\theta = \frac{\pi}{4}+\frac{\beta}{2}$. તેથી $\tan \left(\frac{\pi}{4}+\frac{\alpha}{2}\right) = \tan^3 \theta$.
નિત્યસમ $\cos \phi = \frac{1-\tan^2(\phi/2)}{1+\tan^2(\phi/2)}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\sin \beta = \frac{\tan^2 \theta - 1}{\tan^2 \theta + 1}$ મળે છે.
તે જ રીતે,$\sin \alpha = \frac{\tan^6 \theta - 1}{\tan^6 \theta + 1}$.
$\tan^2 \theta = \frac{1+\sin \beta}{1-\sin \beta}$ મૂકતા,આપણને $\sin \alpha = \frac{\sin \beta(3+\sin^2 \beta)}{1+3\sin^2 \beta}$ મળે છે.
તેથી,$\frac{3+\sin^2 \beta}{1+3\sin^2 \beta} = \frac{\sin \alpha}{\sin \beta}$.

(C) ધારો કે $z = e^{i \frac{2 \pi}{7}}$. તેથી $z^7 = 1$.
સરવાળો $S = z + z^2 + z^4 = Q + iP$ લો.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા,$Q = -\frac{1}{2}$ અને $P = \frac{\sqrt{7}}{2}$ મળે છે.
તેથી $P^2 + Q^2 = (\frac{\sqrt{7}}{2})^2 + (-\frac{1}{2})^2 = \frac{7}{4} + \frac{1}{4} = 2$.
આમ,બિંદુ $(P, Q)$ એ $\sqrt{2}$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળ પર છે.

(A) આપેલ છે $\cos \alpha = \frac{l \cos \beta + m}{l + m \cos \beta}$.
સૂત્ર $\tan^2 \frac{\theta}{2} = \frac{1 - \cos \theta}{1 + \cos \theta}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\tan^2 \frac{\alpha}{2} = \frac{1 - \cos \alpha}{1 + \cos \alpha} = \frac{1 - \frac{l \cos \beta + m}{l + m \cos \beta}}{1 + \frac{l \cos \beta + m}{l + m \cos \beta}}$
$= \frac{l + m \cos \beta - l \cos \beta - m}{l + m \cos \beta + l \cos \beta + m} = \frac{l(1 - \cos \beta) - m(1 - \cos \beta)}{l(1 + \cos \beta) + m(1 + \cos \beta)}$
$= \frac{(l - m)(1 - \cos \beta)}{(l + m)(1 + \cos \beta)} = \frac{l - m}{l + m} \cdot \tan^2 \frac{\beta}{2}$.
તેથી,$\left(\frac{\tan \frac{\alpha}{2}}{\tan \frac{\beta}{2}}\right)^2 = \frac{l - m}{l + m}$.

(A) આપેલ છે $y = \operatorname{Sec}^{-1} x$.
પ્રથમ,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}$.
આને $\frac{dy}{dx} = (x^2-1)^{-\frac{1}{2}} \cdot \frac{1}{|x|}$ તરીકે લખી શકાય.
$x > 1$ માટે,$|x| = x$,તેથી $\frac{dy}{dx} = x^{-1}(x^2-1)^{-\frac{1}{2}}$.
ગુણાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને ફરીથી વિકલન કરતા:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx} [x^{-1}(x^2-1)^{-\frac{1}{2}}] = -x^{-2}(x^2-1)^{-\frac{1}{2}} + x^{-1} \cdot (-\frac{1}{2})(x^2-1)^{-\frac{3}{2}} \cdot (2x)$.
$\frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{1}{x^2\sqrt{x^2-1}} - \frac{1}{(x^2-1)^{\frac{3}{2}}} = \frac{-(x^2-1) - x^2}{x^2(x^2-1)^{\frac{3}{2}}} = \frac{1-2x^2}{x^2(x^2-1)^{\frac{3}{2}}}$.
બધા $x$ માટે નિરપેક્ષ મૂલ્યને ધ્યાનમાં લેતા,સામાન્ય સ્વરૂપ $\frac{1-2x^2}{x|x|(x^2-1)^{\frac{3}{2}}}$ છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(D) વિધેય $f(x)$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,વર્ગમૂળની અંદરની અભિવ્યક્તિ ધન હોવી જોઈએ અને છેદ શૂન્ય ન હોવો જોઈએ.
આમ,$\log_{\frac{1}{3}}\left(\frac{x-1}{2-x}\right) > 0$.
પાયો $\frac{1}{3} < 1$ હોવાથી,અસમતા ઉલટાય છે: $\frac{x-1}{2-x} < (\frac{1}{3})^0$,જેનો અર્થ છે $\frac{x-1}{2-x} < 1$.
બંને બાજુથી $1$ બાદ કરતા: $\frac{x-1}{2-x} - 1 < 0 \implies \frac{2x-3}{2-x} < 0$.
$-1$ વડે ગુણતા $\frac{2x-3}{x-2} > 0$ મળે.
નિર્ણાયક બિંદુઓ $x = 1.5$ અને $x = 2$ છે.
અંતરાલ તપાસતા,અસમતા $x \in (1, 1.5)$ માટે સાચી છે.
આમ,$a = 1$ અને $b = 1.5$.
તેથી $2b = 2(1.5) = 3$.
$a = 1$ હોવાથી,$a+2 = 1+2 = 3$.
તેથી,$2b = a+2$.

(B) વિધેય $f(x) = \log_{\sqrt{2}}(\sqrt{x^2+x} + \sqrt{x^2-x})$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,લઘુગણકનો આર્ગ્યુમેન્ટ ધન હોવો જોઈએ અને વર્ગમૂળ વ્યાખ્યાયિત હોવા જોઈએ.
$1$. $\sqrt{x^2+x}$ માટે,$x^2+x \ge 0 \implies x(x+1) \ge 0$. તેથી $x \in (-\infty, -1] \cup [0, \infty)$.
$2$. $\sqrt{x^2-x}$ માટે,$x^2-x \ge 0 \implies x(x-1) \ge 0$. તેથી $x \in (-\infty, 0] \cup [1, \infty)$.
$3$. આ બંને શરતોનો છેદગણ $x \in (-\infty, -1] \cup [1, \infty) \cup \{0\}$ છે.
$4$. વધુમાં,આર્ગ્યુમેન્ટ $\sqrt{x^2+x} + \sqrt{x^2-x} > 0$ હોવો જોઈએ.
$x=0$ માટે,પદાવલિ $\sqrt{0} + \sqrt{0} = 0$ થાય છે,અને $\log_{\sqrt{2}}(0)$ અવ્યાખ્યાયિત છે.
તેથી,આપણે $x=0$ ને બાકાત રાખીએ છીએ.
આમ,પ્રદેશ $(-\infty, -1] \cup [1, \infty)$ છે.

(C) પ્રદેશ $A$ માટે,આપણે $|x| - x^2 > 0$ ની જરૂર છે.
$|x|^2 = x^2$ હોવાથી,આ $|x| - |x|^2 > 0$ થાય છે,જેનો અર્થ છે $|x|(1 - |x|) > 0$.
આ ત્યારે જ શક્ય છે જ્યારે $0 < |x| < 1$,તેથી $x \in (-1, 0) \cup (0, 1)$. આમ,$A = (-1, 0) \cup (0, 1)$.
વિસ્તાર $B$ માટે,ધારો કે $y = \frac{1}{\sqrt{|x| - x^2}}$.
જેમ $x \to 0$,$|x| - x^2 \to 0^+$,તેથી $y \to \infty$.
જેમ $|x| \to 1$,$|x| - x^2 \to 0^+$,તેથી $y \to \infty$.
$|x| - x^2$ ની મહત્તમ કિંમત $|x| = 1/2$ પર મળે છે,જે $1/2 - 1/4 = 1/4$ આપે છે.
છેદની ન્યૂનતમ કિંમત $0$ (બાકાત) અને મહત્તમ કિંમત $1/4$ છે.
તેથી,$\sqrt{|x| - x^2} \in (0, 1/2]$.
તેથી,$y \in [2, \infty)$,એટલે કે $B = [2, \infty)$.
અંતે,$A \cup B = ((-1, 0) \cup (0, 1)) \cup [2, \infty)$.

(B) $f(x)$ વાસ્તવિક વિધેય હોવા માટે,પ્રદેશ $x+1 \ge 0$ એટલે કે $x \ge -1$ હોવો જોઈએ.
જેમ $x$ એ $-1$ થી $\infty$ સુધી બદલાય છે,તેમ $\sqrt{x+1}$ એ $0$ થી $\infty$ સુધી બદલાય છે.
પરિણામે,છેદ $\sqrt{x+1}+4$ એ $4$ થી $\infty$ સુધી બદલાય છે.
આમ,ટેન્જેન્ટ વિધેયનો તર્ક $\theta = \frac{\pi}{\sqrt{x+1}+4}$ એ $0$ થી $\frac{\pi}{4}$ સુધી બદલાય છે.
ટેન્જેન્ટ વિધેય $[0, \frac{\pi}{4}]$ અંતરાલમાં વધતું વિધેય હોવાથી,$f(x) = \tan(\theta)$ નો વિસ્તાર $[\tan(0), \tan(\frac{\pi}{4})]$ એટલે કે $[0, 1]$ થાય છે.

(C) ધારો કે $y = \frac{x^2+x+a}{x^2-x+a}$.
પદોને ગોઠવતા,આપણને $y(x^2-x+a) = x^2+x+a$ મળે છે.
$yx^2 - yx + ay = x^2 + x + a$.
$(y-1)x^2 - (y+1)x + a(y-1) = 0$.
$f$ વ્યાપ્ત વિધેય હોવા માટે,$x$ માંના આ દ્વિઘાત સમીકરણને દરેક $y$ માટે વાસ્તવિક ઉકેલો હોવા જોઈએ.
તેથી,વિવેચક $D \geq 0$.
$D = (-(y+1))^2 - 4(y-1)(a(y-1)) \geq 0$.
$(y+1)^2 - 4a(y-1)^2 \geq 0$.
$y^2 + 2y + 1 - 4a(y^2 - 2y + 1) \geq 0$.
$(1-4a)y^2 + (2+8a)y + (1-4a) \geq 0$.
આ દરેક $y$ માટે સાચું હોવા માટે,$y^2$ નો સહગુણક ધન હોવો જોઈએ,એટલે કે $1-4a > 0 \Rightarrow a < 1/4$.
વળી,$y$ માંના આ દ્વિઘાત સમીકરણનો વિવેચક $\leq 0$ હોવો જોઈએ.
$(2+8a)^2 - 4(1-4a)^2 \leq 0$.
$4(1+4a)^2 - 4(1-4a)^2 \leq 0$.
$(1+4a-1+4a)(1+4a+1-4a) \leq 0$.
$(8a)(2) \leq 0$ $\Rightarrow 16a \leq 0$ $\Rightarrow a \leq 0$.
$a < 1/4$ અને $a \leq 0$ ને જોડતા,આપણને $a \in (-\infty, 0]$ મળે છે.

(D) વિધેય $f(x) = 5^{-|x|} + \operatorname{sgn}(5^{-x})$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે.
દરેક $x \in R$ માટે $5^{-x} > 0$ હોવાથી,સિગ્નમ વિધેય $\operatorname{sgn}(5^{-x}) = 1$ થાય.
આમ,વિધેય $f(x) = 5^{-|x|} + 1$ માં રૂપાંતરિત થાય છે.
$x \geq 0$ માટે,$f(x) = 5^{-x} + 1$,જે $(1, 2]$ વિસ્તાર ધરાવતું ઘટતું વિધેય છે.
$x < 0$ માટે,$f(x) = 5^{x} + 1$,જે $(1, 2)$ વિસ્તાર ધરાવતું વધતું વિધેય છે.
દરેક $x$ માટે $f(x) = f(-x)$ હોવાથી,વિધેય અનેક-એક છે.
વળી,વિધેયનો વિસ્તાર $(1, 2]$ છે,જે સહપ્રદેશ $R$ નો ઉચિત ઉપગણ છે,તેથી વિધેય વ્યાપ્ત નથી.
તેથી,$f$ એ એક-એક પણ નથી અને વ્યાપ્ત પણ નથી.

(B) વિધેય $f(x)$ ના સ્વભાવને સમજવા માટે,આપણે તેને બે અંતરાલોમાં તપાસીએ.
$x \leq \frac{4}{3}$ માટે,$f(x) = 2x+3$. આ એક વધતું સુરેખ વિધેય છે. આ ભાગનો વિસ્તાર $(-\infty, 2(\frac{4}{3})+3] = (-\infty, \frac{17}{3}]$ છે.
$x > \frac{4}{3}$ માટે,$f(x) = -3x^2+8x$. આ નીચેની તરફ ખુલતો પરવલય છે જેનું શિરોબિંદુ $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{8}{2(-3)} = \frac{4}{3}$ પર છે. અંતરાલ $x > \frac{4}{3}$ હોવાથી,વિધેય આ પ્રદેશમાં ઘટતું વિધેય છે. $x = \frac{4}{3}$ પર કિંમત $-3(\frac{16}{9}) + 8(\frac{4}{3}) = -\frac{16}{3} + \frac{32}{3} = \frac{16}{3}$ મળે છે. જેમ $x \rightarrow \infty$ થાય,તેમ $f(x) \rightarrow -\infty$ થાય છે. તેથી,આ ભાગનો વિસ્તાર $(-\infty, \frac{16}{3})$ છે.
આ બંનેને જોડતા,વિધેય એક-એક નથી કારણ કે $\frac{16}{3}$ કિંમત $x = \frac{4}{3}$ પર અને કોઈ $x > \frac{4}{3}$ માટે પણ મળે છે.
વિધેયનો વિસ્તાર $(-\infty, \frac{17}{3}]$ છે,જે સહપ્રદેશ $R$ જેટલો નથી,તેથી વિધેય વ્યાપ્ત નથી. આમ,તે બાયજેક્ટિવ પણ નથી. સાચો જવાબ એ છે કે તે વ્યાપ્ત નથી.

(D) ગણ $A$ થી ગણ $B$ પરના કુલ વિધેયોની સંખ્યા $|B|^{|A|}$ દ્વારા મળે છે.
અહીં,$|A| = 3$ અને $|B| = 5$ છે.
કુલ વિધેયોની સંખ્યા = $5^3 = 125$.
જો વિધેયના પ્રદેશના દરેક ઘટકનું સહ-પ્રદેશમાં અલગ-અલગ પ્રતિબિંબ હોય,તો તે વિધેય એક-એક વિધેય કહેવાય.
એક-એક વિધેયોની સંખ્યા $5$ ઘટકોમાંથી $3$ ઘટકોની ગોઠવણી એટલે કે $P(5, 3) = 5 \times 4 \times 3 = 60$ થાય.
યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરેલ વિધેય એક-એક હોય તેની સંભાવના = (એક-એક વિધેયોની સંખ્યા) / (કુલ વિધેયોની સંખ્યા).
સંભાવના = $\frac{60}{125} = \frac{12}{25}$.

(D) આપેલ વિધેય $y = \frac{10^x - 10^{-x}}{10^x + 10^{-x}} + 1$ છે.
બંને બાજુથી $1$ બાદ કરતા: $y - 1 = \frac{10^x - 10^{-x}}{10^x + 10^{-x}}$.
ધારો કે $u = 10^x$. તો $10^{-x} = \frac{1}{u}$.
તેથી,$y - 1 = \frac{u - 1/u}{u + 1/u} = \frac{u^2 - 1}{u^2 + 1}$.
ધારો કે $Y = y - 1$. તો $Y(u^2 + 1) = u^2 - 1$.
$Yu^2 + Y = u^2 - 1 \implies Y + 1 = u^2(1 - Y)$.
$u^2 = \frac{1 + Y}{1 - Y} = \frac{1 + (y - 1)}{1 - (y - 1)} = \frac{y}{2 - y}$.
કારણ કે $u = 10^x$,આપણી પાસે $10^{2x} = \frac{y}{2 - y}$ છે.
બંને બાજુ $\log_{10}$ લેતા: $2x = \log_{10} \left(\frac{y}{2 - y}\right)$.
તેથી,$x = \frac{1}{2} \log_{10} \left(\frac{y}{2 - y}\right)$.

(NONE) આપેલ સમીકરણ: $3 f(x) + 4 f\left(\frac{1}{x}\right) = \frac{2-x}{x} \quad \dots (1)$
સમીકરણ $(1)$ માં $x = 3$ મૂકતા:
$3 f(3) + 4 f\left(\frac{1}{3}\right) = \frac{2-3}{3} = -\frac{1}{3} \quad \dots (2)$
હવે,સમીકરણ $(1)$ માં $x = \frac{1}{3}$ મૂકતા:
$3 f\left(\frac{1}{3}\right) + 4 f(3) = \frac{2 - 1/3}{1/3} = \frac{5/3}{1/3} = 5 \quad \dots (3)$
સમીકરણ $(2)$ પરથી,$4 f\left(\frac{1}{3}\right) = -\frac{1}{3} - 3 f(3)$,તેથી $f\left(\frac{1}{3}\right) = -\frac{1}{12} - \frac{3}{4} f(3)$.
આ કિંમત સમીકરણ $(3)$ માં મૂકતા:
$3 \left(-\frac{1}{12} - \frac{3}{4} f(3)\right) + 4 f(3) = 5$
$-\frac{1}{4} - \frac{9}{4} f(3) + 4 f(3) = 5$
છેદ દૂર કરવા માટે $4$ વડે ગુણતા:
$-1 - 9 f(3) + 16 f(3) = 20$
$7 f(3) = 21$
$f(3) = 3$.

(B) વિધેય $g(x)$ એ $x=3$ આગળ વિકલનીય હોવા માટે,તે સૌ પ્રથમ $x=3$ આગળ સતત હોવું જોઈએ.
$x=3$ આગળ સાતત્ય: $\lim_{x \to 3^-} g(x) = \lim_{x \to 3^+} g(x) = g(3)$.
$K \sqrt{3+1} = 3m+2 \implies 2K = 3m+2$ (સમીકરણ $1$).
$x=3$ આગળ વિકલનીયતા: ડાબી બાજુનું વિકલિત એ જમણી બાજુના વિકલિત જેટલું હોવું જોઈએ.
$g'(x) = \begin{cases} \frac{K}{2\sqrt{x+1}} &, 0 < x < 3 \\ m &, 3 < x < 5 \end{cases}$.
$x=3$ આગળ,$\frac{K}{2\sqrt{3+1}} = m \implies \frac{K}{4} = m \implies K = 4m$ (સમીકરણ $2$).
સમીકરણ $2$ માંથી $K=4m$ ને સમીકરણ $1$ માં મૂકતા: $2(4m) = 3m+2 \implies 8m = 3m+2 \implies 5m = 2 \implies m = \frac{2}{5}$.
તેથી $K = 4(\frac{2}{5}) = \frac{8}{5}$.
આમ,$K+m = \frac{8}{5} + \frac{2}{5} = \frac{10}{5} = 2$.

(D) વિધેય $f(x)$ એ $x = 0$ આગળ સતત હોવા માટે,ડાબી બાજુનું લક્ષ $(LHL)$,જમણી બાજુનું લક્ષ $(RHL)$ અને વિધેયનું મૂલ્ય $f(0)$ સમાન હોવા જોઈએ.
$f(0) = p$.
$LHL$: $\lim_{x \to 0^-} \frac{\cos 3x - \cos x}{x \sin x} = \lim_{x \to 0^-} \frac{-2 \sin(2x) \sin(x)}{x \sin x} = \lim_{x \to 0^-} \frac{-2 \sin(2x)}{x} = \lim_{x \to 0^-} -2 \cdot \frac{\sin(2x)}{2x} \cdot 2 = -4$.
તેથી,$p = -4$.
$RHL$: $\lim_{x \to 0^+} \frac{\log(1 + q \sin x)}{x} = \lim_{x \to 0^+} \frac{\log(1 + q \sin x)}{q \sin x} \cdot \frac{q \sin x}{x} = 1 \cdot q \cdot 1 = q$.
વિધેય સતત હોવાથી,$LHL$ = $RHL$ = $f(0)$,તેથી $q = p = -4$.
આમ,$p + q = -4 + (-4) = -8$.

(D) $x = 0$ આગળ સાતત્ય ચકાસવા માટે:
$1$. $f(0) = 1$.
$2$. ડાબી બાજુનું લક્ષ: $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} (2[x] - \frac{x}{|x|}) = 2(-1) - (-1) = -2 + 1 = -1$.
$3$. જમણી બાજુનું લક્ષ: $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (2[x] - \frac{x}{|x|}) = 2(0) - (1) = -1$.
અહીં $\lim_{x \to 0} f(x) = -1 \neq f(0)$ હોવાથી,$f$ એ $x = 0$ આગળ અસતત છે.
$x = 1$ આગળ સાતત્ય ચકાસવા માટે:
$1$. $f(1) = 2[1] - \frac{1}{|1|} = 2(1) - 1 = 1$.
$2$. ડાબી બાજુનું લક્ષ: $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (2[x] - \frac{x}{|x|}) = 2(0) - 1 = -1$.
$3$. જમણી બાજુનું લક્ષ: $\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (2[x] - \frac{x}{|x|}) = 2(1) - 1 = 1$.
અહીં $\lim_{x \to 1^+} f(x) = f(1)$ હોવાથી,વિધેય $x = 1$ આગળ જમણી બાજુથી સતત છે.

(C) વિધેય $f(x) = [x^2 - 3]$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય $[g(x)]$ એવા બિંદુઓ પર અસતત હોય છે જ્યાં $g(x)$ પૂર્ણાંક હોય.
અહીં,$g(x) = x^2 - 3$.
$x \in (-1, 2)$ માટે,$g(x) = x^2 - 3$ નો વિસ્તાર:
જ્યારે $x = -1$,$g(x) = (-1)^2 - 3 = -2$.
જ્યારે $x = 0$,$g(x) = 0^2 - 3 = -3$.
જ્યારે $x = 2$,$g(x) = 2^2 - 3 = 1$.
તેથી,$x \in (-1, 2)$ માટે,$g(x)$ એ $(-3, 1)$ અંતરાલમાં કિંમતો લે છે.
આ અંતરાલમાં $g(x)$ જે પૂર્ણાંક કિંમતો લે છે તે $\{-2, -1, 0\}$ છે.
આપણે $x$ ની એવી કિંમતો શોધવાની જરૂર છે કે જેથી $x^2 - 3 = k$ થાય,જ્યાં $k \in \{-2, -1, 0\}$.
$1$) $x^2 - 3 = -2 \implies x^2 = 1 \implies x = \pm 1$. આપણે $(-1, 2)$ માં તપાસતા હોવાથી,માત્ર $x = 1$ અંતરાલમાં છે.
$2$) $x^2 - 3 = -1 \implies x^2 = 2 \implies x = \pm \sqrt{2}$. આપણે $(-1, 2)$ માં તપાસતા હોવાથી,માત્ર $x = \sqrt{2}$ અંતરાલમાં છે.
$3$) $x^2 - 3 = 0 \implies x^2 = 3 \implies x = \pm \sqrt{3}$. આપણે $(-1, 2)$ માં તપાસતા હોવાથી,માત્ર $x = \sqrt{3}$ અંતરાલમાં છે.
આમ,અસતત બિંદુઓ $x \in \{1, \sqrt{2}, \sqrt{3}\}$ છે.
અસતત બિંદુઓની કુલ સંખ્યા $3$ છે.

(C) વિધેય $f(x) = |g(x)|$ એવા બિંદુઓ પર વિકલનીય નથી જ્યાં $g(x) = 0$ થાય,જો $g(x)$ એ સુરેખ અથવા બહુપદી વિધેય હોય.
આપેલ છે કે $f(x) = 7|2x + 1| - 19|3x - 5|$.
આ વિધેયમાં માનાંક પદો $|2x + 1|$ અને $|3x - 5|$ છે.
પદ $|2x + 1|$ એ $2x + 1 = 0$ આગળ વિકલનીય નથી,જે આપણને $x = -\frac{1}{2}$ આપે છે.
પદ $|3x - 5|$ એ $3x - 5 = 0$ આગળ વિકલનીય નથી,જે આપણને $x = \frac{5}{3}$ આપે છે.
આ વિધેય આ માનાંક વિધેયોનું સુરેખ સંયોજન હોવાથી,તે એવા બિંદુઓ પર વિકલનીય નથી જ્યાં માનાંકની અંદરની અભિવ્યક્તિઓ શૂન્ય થાય છે.
તેથી,વિધેય $f(x)$ એ $x = -\frac{1}{2}$ અને $x = \frac{5}{3}$ આગળ વિકલનીય નથી.

(A) વિધેય $f(x) = ||x| - 1|$ આપેલ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $|x|$ એ $x = 0$ આગળ વિકલનીય નથી.
તે જ રીતે,વિધેય $g(x) = |x| - 1$ એ $x = 0$ આગળ વિકલનીય નથી.
વિધેય $f(x) = |g(x)|$ ત્યાં વિકલનીય નથી જ્યાં $g(x) = 0$ હોય અથવા જ્યાં $g(x)$ વિકલનીય ન હોય.
$g(x) = 0$ લેતા,આપણને $|x| - 1 = 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $|x| = 1$,તેથી $x = 1$ અથવા $x = -1$.
વધુમાં,$g(x)$ એ $x = 0$ આગળ વિકલનીય નથી.
તેથી,$f(x)$ એ $x \in \{-1, 0, 1\}$ આગળ વિકલનીય નથી.
આમ,$x$ ની તમામ કિંમતોનો ગણ જેના માટે $f(x)$ વિકલનીય છે તે $R - \{-1, 0, 1\}$ છે.

(A) $x = 2$ આગળ $f(x)$ ની વિકલનીયતા ચકાસવા માટે,આપણે સૌ પ્રથમ નોંધવું જોઈએ કે $2$ ની આસપાસના $x$ માટે,$\cos(\frac{\pi}{x})$ ધન છે કારણ કે $\frac{\pi}{x}$ એ $\frac{\pi}{2}$ ની નજીક છે. ખાસ કરીને,$2$ ની નજીકના $x$ માટે,$\frac{\pi}{x}$ એ અંતરાલ $(0, \pi)$ માં છે,જ્યાં $\cos(\frac{\pi}{x})$ ધન છે.
આમ,$2$ ની નાની આસપાસના $x$ માટે,$f(x) = x^2 \cos(\frac{\pi}{x})$.
હવે,ગુણાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને વિકલન $f'(x)$ મેળવીએ:
$f'(x) = \frac{d}{dx} [x^2 \cos(\frac{\pi}{x})] = 2x \cos(\frac{\pi}{x}) + x^2 [-\sin(\frac{\pi}{x})] \cdot (-\frac{\pi}{x^2}) = 2x \cos(\frac{\pi}{x}) + \pi \sin(\frac{\pi}{x})$.
$x = 2$ આગળ કિંમત મૂકતા:
$f'(2) = 2(2) \cos(\frac{\pi}{2}) + \pi \sin(\frac{\pi}{2}) = 4(0) + \pi(1) = \pi$.
$x = 2$ આગળ વિકલિત અસ્તિત્વ ધરાવે છે,તેથી વિધેય $x = 2$ આગળ વિકલનીય છે.

(A) આપેલ છે કે $y = f(\cosh x)$.
ચેઈન રૂલનો ઉપયોગ કરતા,આપણે પ્રથમ વિકલન મેળવીએ છીએ:
$\frac{dy}{dx} = f^{\prime}(\cosh x) \cdot \frac{d}{dx}(\cosh x) = f^{\prime}(\cosh x) \cdot \sinh x$.
આપેલ છે કે $f^{\prime}(x) = \log(x + \sqrt{x^2-1})$,તેથી $x$ ની જગ્યાએ $\cosh x$ મૂકતા:
$f^{\prime}(\cosh x) = \log(\cosh x + \sqrt{\cosh^2 x - 1}) = \log(\cosh x + \sinh x)$.
કારણ કે $\cosh x + \sinh x = e^x$,તેથી $f^{\prime}(\cosh x) = \log(e^x) = x$.
આમ,$\frac{dy}{dx} = x \sinh x$.
હવે,ગુણાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{d}{dx}(x \sinh x) = \sinh x + x \cosh x$.

(D) ધારો કે $y = \frac{x-1}{x-\sqrt{x}} e^{2x+1}$.
આપણે $\frac{x-1}{x-\sqrt{x}}$ પદને નીચે મુજબ સાદું રૂપ આપી શકીએ:
$\frac{x-1}{x-\sqrt{x}} = \frac{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)} = \frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}} = 1 + \frac{1}{\sqrt{x}} = 1 + x^{-1/2}$.
તેથી,$y = (1 + x^{-1/2}) e^{2x+1}$.
હવે,ગુણાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(1 + x^{-1/2}) \cdot e^{2x+1} + (1 + x^{-1/2}) \cdot \frac{d}{dx}(e^{2x+1})$.
$\frac{dy}{dx} = (- \frac{1}{2} x^{-3/2}) e^{2x+1} + (1 + x^{-1/2}) \cdot 2 e^{2x+1}$.
$e^{2x+1}$ સામાન્ય લેતા:
$\frac{dy}{dx} = e^{2x+1} [-\frac{1}{2} x^{-3/2} + 2 + 2x^{-1/2}]$.
આપણને આપેલ છે કે $\frac{dy}{dx} = \frac{x-1}{x-\sqrt{x}} e^{2x+1} f(x) = (1 + x^{-1/2}) e^{2x+1} f(x)$.
તેથી,$f(x) = \frac{-\frac{1}{2} x^{-3/2} + 2 + 2x^{-1/2}}{1 + x^{-1/2}}$.
$x = 4$ મુકતા:
$f(4) = \frac{-\frac{1}{2} (4)^{-3/2} + 2 + 2(4)^{-1/2}}{1 + (4)^{-1/2}} = \frac{-\frac{1}{2} (\frac{1}{8}) + 2 + 2(\frac{1}{2})}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{-\frac{1}{16} + 2 + 1}{\frac{3}{2}} = \frac{3 - \frac{1}{16}}{\frac{3}{2}} = \frac{\frac{47}{16}}{\frac{3}{2}} = \frac{47}{16} \times \frac{2}{3} = \frac{47}{24}$.

(D) આપેલ છે કે $f(x) = \log_{(x^2-2x+1)}(x^2-3x+2)$.
આપણે આધાર અને પદને આ રીતે લખી શકીએ:
$x^2-2x+1 = (x-1)^2$
$x^2-3x+2 = (x-1)(x-2)$
તેથી,$f(x) = \log_{(x-1)^2} ((x-1)(x-2))$.
ગુણધર્મ $\log_{a^n} b = \frac{1}{n} \log_a b$ નો ઉપયોગ કરતા:
$f(x) = \frac{1}{2} \log_{(x-1)} ((x-1)(x-2)) = \frac{1}{2} [\log_{(x-1)} (x-1) + \log_{(x-1)} (x-2)]$
$f(x) = \frac{1}{2} [1 + \log_{(x-1)} (x-2)] = \frac{1}{2} [1 + \frac{\ln(x-2)}{\ln(x-1)}]$.
હવે,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$f'(x) = \frac{1}{2} \left[ \frac{\ln(x-1) \cdot \frac{1}{x-2} - \ln(x-2) \cdot \frac{1}{x-1}}{(\ln(x-1))^2} \right]$.
$x = 3$ મૂકતા:
$f'(3) = \frac{1}{2} \left[ \frac{\ln(2) \cdot \frac{1}{1} - \ln(1) \cdot \frac{1}{2}}{(\ln(2))^2} \right] = \frac{1}{2} \left[ \frac{\ln(2)}{(\ln(2))^2} \right] = \frac{1}{2 \ln(2)} = \frac{1}{\ln(4)} = \log_4 e$.

(D) આપેલ સમીકરણ $y = \sqrt{\log(x^2+1) + y}$ છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $y^2 = \log(x^2+1) + y$ મળે છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dx}(y^2) = \frac{d}{dx}(\log(x^2+1)) + \frac{d}{dx}(y)$.
$2y \frac{dy}{dx} = \frac{1}{x^2+1} \cdot (2x) + \frac{dy}{dx}$.
$\frac{dy}{dx}$ માટે પદોને ગોઠવતા:
$2y \frac{dy}{dx} - \frac{dy}{dx} = \frac{2x}{x^2+1}$.
$(2y-1) \frac{dy}{dx} = \frac{2x}{x^2+1}$.
તેથી,$\frac{dy}{dx} = \frac{2x}{(x^2+1)(2y-1)}$.

(B) આપેલ છે કે $y = f(x)^{g(x)}$. બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા,$\log y = g(x) \log f(x)$ મળે છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા,$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = g'(x) \log f(x) + g(x) \frac{f'(x)}{f(x)}$ મળે છે.
આમ,$\frac{dy}{dx} = y \left[ \frac{g(x)}{f(x)} f'(x) + \log f(x) g'(x) \right]$.
આને આપેલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = y[H(x)f'(x) + G(x)g'(x)]$ સાથે સરખાવતા,$H(x) = \frac{g(x)}{f(x)}$ અને $G(x) = \log f(x)$ મળે છે.
હવે,આપણે સંકલન $I = \int \frac{G(x)H(x)f'(x)}{g(x)} dx$ ની કિંમત શોધવાની છે.
વિધેયોની કિંમત મૂકતા,$I = \int \frac{\log f(x) \cdot \frac{g(x)}{f(x)} \cdot f'(x)}{g(x)} dx = \int \frac{\log f(x) f'(x)}{f(x)} dx$.
ધારો કે $u = \log f(x)$,તો $du = \frac{f'(x)}{f(x)} dx$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા,$I = \int u du = \frac{u^2}{2} + c = \frac{[\log f(x)]^2}{2} + c$.

(B) આપેલ છે કે $x = \sqrt{1-\tan y}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $x^2 = 1 - \tan y$ મળે છે.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,$\tan y = 1 - x^2$.
હવે,બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dx}(\tan y) = \frac{d}{dx}(1 - x^2)$.
ચેઈન રૂલનો ઉપયોગ કરતા,$\sec^2 y \cdot \frac{dy}{dx} = -2x$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sec^2 y = 1 + \tan^2 y$.
$\tan y = 1 - x^2$ ને સમીકરણમાં મૂકતા:
$\sec^2 y = 1 + (1 - x^2)^2 = 1 + (1 - 2x^2 + x^4) = x^4 - 2x^2 + 2$.
હવે,આ કિંમતને વિકલનના સમીકરણમાં મૂકતા:
$(x^4 - 2x^2 + 2) \cdot \frac{dy}{dx} = -2x$.
તેથી,$\frac{dy}{dx} = -\frac{2x}{x^4 - 2x^2 + 2}$.

(B) આપેલ સમીકરણ: $(x^2-3x+2) e^{\frac{y}{x-1}} = x+2$.
દ્વિઘાત પદના અવયવ પાડતા: $(x-1)(x-2) e^{\frac{y}{x-1}} = x+2$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા: $\ln((x-1)(x-2)) + \frac{y}{x-1} = \ln(x+2)$.
$y$ ને કર્તા બનાવતા: $y = (x-1) [\ln(x+2) - \ln((x-1)(x-2))]$.
$x=0$ માટે: $y = (0-1) [\ln(2) - \ln((-1)(-2))] = -1 [\ln(2) - \ln(2)] = 0$.
હવે,મૂળ સમીકરણનું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$(2x-3) e^{\frac{y}{x-1}} + (x^2-3x+2) e^{\frac{y}{x-1}} \cdot \frac{d}{dx}(\frac{y}{x-1}) = 1$.
ભાગાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરતા $\frac{d}{dx}(\frac{y}{x-1}) = \frac{(x-1)y' - y}{(x-1)^2}$.
$x=0$ અને $y=0$ મૂકતા:
$(0-3) e^{\frac{0}{-1}} + (0-0+2) e^{\frac{0}{-1}} \cdot \frac{(-1)y' - 0}{(-1)^2} = 1$.
$-3(1) + 2(1) (-y') = 1$.
$-3 - 2y' = 1$.
$-2y' = 4$.
$y' = -2$.
આમ,$(\frac{dy}{dx})_{x=0} = -2$.

(D) આપેલ સમીકરણ: $3^x y^x = x^{3y}$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક (natural logarithm) લેતા:
$\ln(3^x y^x) = \ln(x^{3y})$
$x \ln 3 + x \ln y = 3y \ln x$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dx}(x \ln 3) + \frac{d}{dx}(x \ln y) = \frac{d}{dx}(3y \ln x)$
$\ln 3 + (\ln y + x \cdot \frac{1}{y} \cdot \frac{dy}{dx}) = 3 \cdot \frac{dy}{dx} \cdot \ln x + 3y \cdot \frac{1}{x}$.
$x = 1$ આગળ,મૂળ સમીકરણ પરથી $y$ ની કિંમત મેળવતા:
$3^1 y^1 = 1^{3y} \implies 3y = 1 \implies y = \frac{1}{3}$.
હવે $x = 1$ અને $y = \frac{1}{3}$ ને વિકલિત સમીકરણમાં મૂકતા:
$\ln 3 + \ln(\frac{1}{3}) + 1 \cdot \frac{1}{1/3} \cdot \frac{dy}{dx} = 3 \cdot \frac{dy}{dx} \cdot \ln 1 + 3(\frac{1}{3}) \cdot \frac{1}{1}$.
કારણ કે $\ln(\frac{1}{3}) = -\ln 3$ અને $\ln 1 = 0$:
$\ln 3 - \ln 3 + 3 \frac{dy}{dx} = 0 + 1$.
$3 \frac{dy}{dx} = 1$.
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{3}$.

(D) ધારો કે $y = u + v$,જ્યાં $u = x^{\log x}$ અને $v = (\log x)^x$ છે.
$u$ માટે બંને બાજુ લઘુગણક લેતા: $\log u = (\log x)(\log x) = (\log x)^2$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{1}{u} \frac{du}{dx} = 2(\log x) \cdot \frac{1}{x} \implies \frac{du}{dx} = x^{\log x} \cdot \frac{2 \log x}{x}$.
$x=e$ આગળ: $\frac{du}{dx} = e^{\log e} \cdot \frac{2 \log e}{e} = e^1 \cdot \frac{2}{e} = 2$.
હવે $v = (\log x)^x$ માટે: $\log v = x \log(\log x)$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{1}{v} \frac{dv}{dx} = 1 \cdot \log(\log x) + x \cdot \frac{1}{\log x} \cdot \frac{1}{x} = \log(\log x) + \frac{1}{\log x}$.
$\frac{dv}{dx} = (\log x)^x \left[ \log(\log x) + \frac{1}{\log x} \right]$.
$x=e$ આગળ: $\frac{dv}{dx} = (\log e)^e \left[ \log(\log e) + \frac{1}{\log e} \right] = 1^e [ \log(1) + 1 ] = 1 \cdot [0 + 1] = 1$.
આમ,$\frac{dy}{dx} = \frac{du}{dx} + \frac{dv}{dx} = 2 + 1 = 3$.

(B) આપેલ છે કે $x = \frac{t^2}{1+t^5}$ અને $y = \frac{2t^3}{1+t^5}$.
ભાગાકારના નિયમ $\frac{d}{dt} \left( \frac{u}{v} \right) = \frac{v u' - u v'}{v^2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{dx}{dt} = \frac{(1+t^5)(2t) - t^2(5t^4)}{(1+t^5)^2} = \frac{2t + 2t^6 - 5t^6}{(1+t^5)^2} = \frac{2t - 3t^6}{(1+t^5)^2} = \frac{t(2 - 3t^5)}{(1+t^5)^2}$.
$\frac{dy}{dt} = \frac{(1+t^5)(6t^2) - 2t^3(5t^4)}{(1+t^5)^2} = \frac{6t^2 + 6t^7 - 10t^7}{(1+t^5)^2} = \frac{6t^2 - 4t^7}{(1+t^5)^2} = \frac{2t^2(3 - 2t^5)}{(1+t^5)^2}$.
હવે,$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{2t^2(3 - 2t^5)}{(1+t^5)^2} \times \frac{(1+t^5)^2}{t(2 - 3t^5)} = \frac{2t(3 - 2t^5)}{(2 - 3t^5)}$.

(B) આપેલ છે કે $x = \sin 2\theta \cos 3\theta$ અને $y = \sin 3\theta \cos 2\theta$.
$\theta$ ની સાપેક્ષમાં $x$ નું વિકલન કરતા:
$\frac{dx}{d\theta} = \frac{d}{d\theta}(\sin 2\theta \cos 3\theta) = \cos 2\theta(2) \cos 3\theta + \sin 2\theta(-\sin 3\theta)(3) = 2\cos 2\theta \cos 3\theta - 3\sin 2\theta \sin 3\theta$.
$\theta$ ની સાપેક્ષમાં $y$ નું વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{d\theta} = \frac{d}{d\theta}(\sin 3\theta \cos 2\theta) = \cos 3\theta(3) \cos 2\theta + \sin 3\theta(-\sin 2\theta)(2) = 3\cos 3\theta \cos 2\theta - 2\sin 3\theta \sin 2\theta$.
ચેઈન રૂલનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{3\cos 3\theta \cos 2\theta - 2\sin 3\theta \sin 2\theta}{2\cos 2\theta \cos 3\theta - 3\sin 2\theta \sin 3\theta}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) આપેલ છે કે $x = 2 \sqrt{2} \sqrt{\cos 2 \theta}$ અને $y = 2 \sqrt{2} \sqrt{\sin 2 \theta}$.
બંને સમીકરણોનો વર્ગ કરતા,આપણને $x^2 = 8 \cos 2 \theta$ અને $y^2 = 8 \sin 2 \theta$ મળે છે.
$\theta$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dx}{d \theta} = 2 \sqrt{2} \cdot \frac{1}{2 \sqrt{\cos 2 \theta}} \cdot (-2 \sin 2 \theta) = -\frac{2 \sqrt{2} \sin 2 \theta}{\sqrt{\cos 2 \theta}}$.
$\frac{dy}{d \theta} = 2 \sqrt{2} \cdot \frac{1}{2 \sqrt{\sin 2 \theta}} \cdot (2 \cos 2 \theta) = \frac{2 \sqrt{2} \cos 2 \theta}{\sqrt{\sin 2 \theta}}$.
તેથી $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d \theta}{dx/d \theta} = \frac{2 \sqrt{2} \cos 2 \theta / \sqrt{\sin 2 \theta}}{-2 \sqrt{2} \sin 2 \theta / \sqrt{\cos 2 \theta}} = -\frac{\cos 2 \theta \sqrt{\cos 2 \theta}}{\sin 2 \theta \sqrt{\sin 2 \theta}} = -(\cot 2 \theta)^{3/2}$.
જ્યારે $\theta = 22 \frac{1}{2}^{\circ} = \frac{45^{\circ}}{2}$,ત્યારે $2 \theta = 45^{\circ}$.
તેથી,$\frac{dy}{dx} = -(\cot 45^{\circ})^{3/2} = -(1)^{3/2} = -1$.

(B) આપેલ છે કે $y = (\sin^{-1} x)^2$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = 2(\sin^{-1} x) \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$.
બંને બાજુ $\sqrt{1 - x^2}$ વડે ગુણતા:
$\sqrt{1 - x^2} \frac{dy}{dx} = 2 \sin^{-1} x$.
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં ગુણાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને વિકલન કરતા:
$\sqrt{1 - x^2} \frac{d^2 y}{dx^2} + \frac{dy}{dx} \cdot \frac{-2x}{2\sqrt{1 - x^2}} = 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$.
આખા સમીકરણને $\sqrt{1 - x^2}$ વડે ગુણતા:
$(1 - x^2) \frac{d^2 y}{dx^2} - x \frac{dy}{dx} = 2$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) આપેલ છે કે $y = (1 - x^2) \operatorname{Tanh}^{-1} x$.
પ્રથમ,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = (1 - x^2) \cdot \frac{d}{dx}(\operatorname{Tanh}^{-1} x) + \operatorname{Tanh}^{-1} x \cdot \frac{d}{dx}(1 - x^2)$
$\frac{dy}{dx} = (1 - x^2) \cdot \frac{1}{1 - x^2} + \operatorname{Tanh}^{-1} x \cdot (-2x)$
$\frac{dy}{dx} = 1 - 2x \operatorname{Tanh}^{-1} x$.
હવે,ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{d}{dx}(1) - 2 \cdot \frac{d}{dx}(x \operatorname{Tanh}^{-1} x)$
$\frac{d^2 y}{dx^2} = 0 - 2 \left[ x \cdot \frac{1}{1 - x^2} + \operatorname{Tanh}^{-1} x \cdot 1 \right]$
$\frac{d^2 y}{dx^2} = -2 \left[ \frac{x}{1 - x^2} + \operatorname{Tanh}^{-1} x \right]$.
મૂળ સમીકરણ પરથી,$\operatorname{Tanh}^{-1} x = \frac{y}{1 - x^2}$.
આ કિંમતને પદાવલિમાં મૂકતા:
$\frac{d^2 y}{dx^2} = -2 \left[ \frac{x}{1 - x^2} + \frac{y}{1 - x^2} \right]$
$\frac{d^2 y}{dx^2} = -\frac{2(x + y)}{1 - x^2}$.

(A) છેદબિંદુ શોધવા માટે,સમીકરણોને સરખાવો: $3x^2-2x-1 = x^3-1$.
$x^3-3x^2+2x = 0$.
$x(x-1)(x-2) = 0$.
તેથી,$x=0, 1, 2$.
$x=0$ માટે,$y=-1$ (પ્રથમ ચરણમાં નથી).
$x=1$ માટે,$y=0$ (અક્ષ પર છે,પ્રથમ ચરણમાં નથી).
$x=2$ માટે,$y=3(2)^2-2(2)-1 = 12-4-1 = 7$.
પ્રથમ ચરણમાં છેદબિંદુ $(2, 7)$ છે.
હવે,$(2, 7)$ પર સ્પર્શકોના ઢાળ શોધો:
$y=3x^2-2x-1$ માટે,$dy/dx = 6x-2$. $x=2$ પર,$m_1 = 6(2)-2 = 10$.
$y=x^3-1$ માટે,$dy/dx = 3x^2$. $x=2$ પર,$m_2 = 3(2)^2 = 12$.
વક્રો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\tan \theta = |(m_1-m_2)/(1+m_1m_2)|$ દ્વારા મળે છે.
$\tan \theta = |(10-12)/(1+10 \times 12)| = |-2/121| = 2/121$.
તેથી,$\theta = \operatorname{Tan}^{-1}(2/121)$.

(C) આપેલ બિંદુ $P(5,2)$ અને સ્પર્શકનો ઢાળ $m_t = \frac{7}{2}$ છે.
$P(5,2)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $y - 2 = \frac{7}{2}(x - 5) \implies 2y - 4 = 7x - 35 \implies 7x - 2y = 31$ છે.
સ્પર્શકનો $x$-અંતઃખંડ $y=0$ મૂકીને મેળવી શકાય: $7x = 31 \implies x = \frac{31}{7}$. તેથી,સ્પર્શક $x$-અક્ષને $A(\frac{31}{7}, 0)$ માં મળે છે.
અભિલંબનો ઢાળ $m_n = -\frac{1}{m_t} = -\frac{2}{7}$ છે.
$P(5,2)$ આગળ અભિલંબનું સમીકરણ $y - 2 = -\frac{2}{7}(x - 5) \implies 7y - 14 = -2x + 10 \implies 2x + 7y = 24$ છે.
અભિલંબનો $x$-અંતઃખંડ $y=0$ મૂકીને મેળવી શકાય: $2x = 24 \implies x = 12$. તેથી,અભિલંબ $x$-અક્ષને $B(12, 0)$ માં મળે છે.
ત્રિકોણ બિંદુઓ $P(5,2)$,$A(\frac{31}{7}, 0)$,અને $B(12, 0)$ દ્વારા બને છે.
$x$-અક્ષ પર ત્રિકોણનો પાયો $|12 - \frac{31}{7}| = |\frac{84 - 31}{7}| = \frac{53}{7}$ છે.
ત્રિકોણની ઊંચાઈ $P$ નો $y$-યામ છે,જે $2$ છે.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{ઊંચાઈ} = \frac{1}{2} \times \frac{53}{7} \times 2 = \frac{53}{7}$ ચોરસ એકમ.

(A) ધારો કે બિંદુ $P$ એ $(x_1, y_1)$ છે. વક્ર $y^2 = x^3 - x + 1$ છે. $x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા,$2y \frac{dy}{dx} = 3x^2 - 1$,તેથી $\frac{dy}{dx} = \frac{3x_1^2 - 1}{2y_1}$.
$P$ આગળ અભિલંબનો ઢાળ $m_n = -\frac{1}{dy/dx} = -\frac{2y_1}{3x_1^2 - 1}$ છે.
અભિલંબ અક્ષો પર સમાન અંતઃખંડ બનાવે છે,તેથી તેનો ઢાળ $\pm 1$ હોવો જોઈએ. વક્રને ધ્યાનમાં લેતા,આપણે $m_n = -1$ લઈએ છીએ.
જો $m_n = -1$ હોય,તો $\frac{2y_1}{3x_1^2 - 1} = 1 \implies 2y_1 = 3x_1^2 - 1$.
$y_1^2 = x_1^3 - x_1 + 1$ અને $y_1 = \frac{3x_1^2 - 1}{2}$ મૂકતા,આપણને $(\frac{3x_1^2 - 1}{2})^2 = x_1^3 - x_1 + 1$ મળે છે. આ ઉકેલતા,$x_1 = 1$ મળે છે,જે $y_1 = 1$ આપે છે. આમ $P = (1, 1)$.
$(1, 1)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $m_t = \frac{3(1)^2 - 1}{2(1)} = \frac{2}{2} = 1$ છે.
સ્પર્શકનું સમીકરણ $y - 1 = 1(x - 1)$ છે,જેનું સાદું રૂપ $y = x$ અથવા $x - y = 0$ થાય છે.

(D) આપેલ વક્ર $xy^2 + x^2y = 12$ છે. $x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા:
$y^2 + 2xy \frac{dy}{dx} + 2xy + x^2 \frac{dy}{dx} = 0$.
બિંદુ $(1, 3)$ આગળ,આપણને મળે: $3^2 + 2(1)(3) \frac{dy}{dx} + 2(1)(3) + (1)^2 \frac{dy}{dx} = 0$.
$9 + 6 \frac{dy}{dx} + 6 + \frac{dy}{dx} = 0 \implies 7 \frac{dy}{dx} = -15 \implies \frac{dy}{dx} = -\frac{15}{7}$.
બિંદુ $(1, 3)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $y - 3 = -\frac{15}{7}(x - 1)$ છે.
$T$ માટે,$y = 0$ લેતા: $-3 = -\frac{15}{7}(x - 1) \implies 21 = 15(x - 1) \implies x - 1 = \frac{21}{15} = \frac{7}{5} \implies x = 1 + \frac{7}{5} = \frac{12}{5}$. તેથી $T = (\frac{12}{5}, 0)$.
બિંદુ $(1, 3)$ આગળ અભિલંબનું સમીકરણ $y - 3 = \frac{7}{15}(x - 1)$ છે.
$N$ માટે,$y = 0$ લેતા: $-3 = \frac{7}{15}(x - 1) \implies -45 = 7(x - 1) \implies x - 1 = -\frac{45}{7} \implies x = 1 - \frac{45}{7} = -\frac{38}{7}$. તેથી $N = (-\frac{38}{7}, 0)$.
$TN = |\frac{12}{5} - (-\frac{38}{7})| = |\frac{12}{5} + \frac{38}{7}| = |\frac{84 + 190}{35}| = \frac{274}{35}$.

(C) રેખા $y = x - 3$ નો ઢાળ $m = 1$ છે.
બિંદુ $P(x_1, y_1)$ એ વક્ર $y = x^2 - x + 1$ પરનું રેખાથી સૌથી નજીકનું બિંદુ હોવાથી,$P$ આગળનો સ્પર્શક આપેલી રેખાને સમાંતર હોવો જોઈએ.
તેથી,વિકલન $\frac{dy}{dx} = 2x - 1$ એ $1$ ની બરાબર હોવું જોઈએ.
$2x_1 - 1 = 1 \implies 2x_1 = 2 \implies x_1 = 1$.
વક્રના સમીકરણમાં $x_1 = 1$ મૂકતા: $y_1 = (1)^2 - 1 + 1 = 1$.
આમ,બિંદુ $P$ એ $(1, 1)$ છે.
બિંદુ $P(1, 1)$ થી રેખા $3x + 4y - 2 = 0$ નું લંબ અંતર શોધવાનું સૂત્ર $d = \frac{|ax_1 + by_1 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ છે.
$d = \frac{|3(1) + 4(1) - 2|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{|3 + 4 - 2|}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{5}{\sqrt{25}} = \frac{5}{5} = 1$.

(B) આપેલ વક્રો $y^2 = 12x - 3$ અને $y^2 = 12 - kx$ છે.
ધારો કે છેદબિંદુ $(x_1, y_1)$ છે.
$y^2 = 12x - 3$ માટે,$x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા,$2y \frac{dy}{dx} = 12 \implies \frac{dy}{dx} = \frac{6}{y}$. ધારો કે $m_1 = \frac{6}{y_1}$.
$y^2 = 12 - kx$ માટે,$x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા,$2y \frac{dy}{dx} = -k \implies \frac{dy}{dx} = -\frac{k}{2y}$. ધારો કે $m_2 = -\frac{k}{2y_1}$.
વક્રો લંબરૂપે છેદતા હોવાથી,$m_1 m_2 = -1 \implies (\frac{6}{y_1})(-\frac{k}{2y_1}) = -1 \implies \frac{3k}{y_1^2} = 1 \implies y_1^2 = 3k$.
છેદબિંદુ $(x_1, y_1)$ આગળ,$12x_1 - 3 = 12 - kx_1 \implies x_1(12 + k) = 15 \implies x_1 = \frac{15}{12+k}$.
વળી $y_1^2 = 12 - kx_1 = 3k \implies 12 - k(\frac{15}{12+k}) = 3k \implies 12(12+k) - 15k = 3k(12+k) \implies 144 + 12k - 15k = 36k + 3k^2 \implies 3k^2 + 39k - 144 = 0 \implies k^2 + 13k - 48 = 0 \implies (k+16)(k-3) = 0$.
$k > 0$ હોવાથી,$k = 3$.
વક્ર $y^2 = 12 - 3x$ છે. $x = 1$ આગળ,$y^2 = 12 - 3(1) = 9 \implies y = 3$ ($b=3$ લેતા).
$(1, 3)$ આગળ ઢાળ $m = -\frac{3}{2(3)} = -\frac{1}{2}$ છે.
ઉપ-સ્પર્શકની લંબાઈ $|\frac{y}{dy/dx}| = |\frac{3}{-1/2}| = 6$ થાય.

(C) આપેલ વક્ર $\frac{x^n}{a^n} + \frac{y^n}{b^n} = 2$ છે.
બિંદુ $(a, b)$ પર,આપણે ચકાસીએ કે તે વક્ર પર છે કે નહીં: $\frac{a^n}{a^n} + \frac{b^n}{b^n} = 1 + 1 = 2$. આમ,$(a, b)$ વક્ર પર છે.
સમીકરણનું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{n x^{n-1}}{a^n} + \frac{n y^{n-1}}{b^n} \frac{dy}{dx} = 0$.
તેથી,$\frac{dy}{dx} = -\frac{x^{n-1}}{a^n} \cdot \frac{b^n}{y^{n-1}} = -\frac{b^n x^{n-1}}{a^n y^{n-1}}$.
બિંદુ $(a, b)$ પર,સ્પર્શકનો ઢાળ $m = -\frac{b^n a^{n-1}}{a^n b^{n-1}} = -\frac{b}{a}$ મળે છે.
બિંદુ $(a, b)$ પર સ્પર્શકનું સમીકરણ $y - b = -\frac{b}{a}(x - a)$ છે,જેનું સાદું રૂપ $ay - ab = -bx + ab$ એટલે કે $bx + ay = 2ab$ થાય છે.
$ab$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 2$ મળે છે.
આમ,આ રેખા $n > 1$ ની તમામ કિંમતો માટે સ્પર્શક છે.

(D) આપેલ વક્ર $y = x^3 - 2x^2 + 3x - 2$ છે.
સ્પર્શકનો ઢાળ $m = \frac{dy}{dx} = 3x^2 - 4x + 3$ છે.
આપણે સમય $t$ ની સાપેક્ષે ઢાળ $m$ ના બદલાવાનો દર $\frac{dm}{dt}$ શોધવો છે.
$x$ ની સાપેક્ષે $m$ નું વિકલન કરતા,$\frac{dm}{dx} = \frac{d}{dx}(3x^2 - 4x + 3) = 6x - 4$ મળે.
સાંકળના નિયમ મુજબ,$\frac{dm}{dt} = \frac{dm}{dx} \cdot \frac{dx}{dt} = (6x - 4) \frac{dx}{dt}$.
બિંદુ $(2, 4)$ આગળ,$x = 2$ છે.
$x = 2$ કિંમત મૂકતા,$\frac{dm}{dt} = (6(2) - 4) \frac{dx}{dt} = (12 - 4) \frac{dx}{dt} = 8 \frac{dx}{dt}$ મળે.
પ્રશ્ન મુજબ $\frac{dm}{dt} = k \cdot \frac{dx}{dt}$ છે.
સરખામણી કરતા,$k = 8$ મળે છે.

(D) શંકુનું ઘનફળ $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. $h = 9$ આપેલ હોવાથી,$V = \frac{1}{3} \pi r^2 (9) = 3 \pi r^2$ થાય.
ઘનફળમાં ચોક્કસ ફેરફાર: $\Delta V = V(2.12) - V(2) = 3 \pi (2.12)^2 - 3 \pi (2)^2 = 3 \pi (4.4944 - 4) = 3 \pi (0.4944) = 1.4832 \pi$.
ઘનફળમાં આશરે ફેરફાર: $dV = \frac{dV}{dr} \Delta r$.
$V = 3 \pi r^2$ હોવાથી,$\frac{dV}{dr} = 6 \pi r$ થાય.
$r = 2$ અને $\Delta r = 2.12 - 2 = 0.12$ માટે,$dV = 6 \pi (2) (0.12) = 12 \pi (0.12) = 1.44 \pi$.
આમ,ચોક્કસ ફેરફાર $1.4832 \pi$ અને આશરે ફેરફાર $1.44 \pi$ છે.

(C) કણનું અંતર $S = f(t) = t^3 - 5t^2 + 8t$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વેગ $v(t)$ એ સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં અંતરનું પ્રથમ વિકલન છે:
$v(t) = \frac{dS}{dt} = \frac{d}{dt}(t^3 - 5t^2 + 8t) = 3t^2 - 10t + 8$.
પ્રવેગ $a(t)$ એ સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વેગનું વિકલન છે:
$a(t) = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(3t^2 - 10t + 8) = 6t - 10$.
$t = 5 \text{ sec}$ પર પ્રવેગ શોધવા માટે,પ્રવેગના સમીકરણમાં $t = 5$ મૂકો:
$a(5) = 6(5) - 10 = 30 - 10 = 20 \text{ cm/sec}^2$.
આમ,$t = 5 \text{ sec}$ પર કણનો પ્રવેગ $20 \text{ cm/sec}^2$ છે.

(D) ધારો કે નિરીક્ષકનું સ્થાન ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ પર છે. ફુગ્ગો $y = 30 \ m$ ની અચળ ઊંચાઈ પર છે. ધારો કે $t$ સમયે તેનું આડું સ્થાન $x(t)$ છે. આપેલ છે કે ફુગ્ગો $1 \ m/s$ ના દરે આડી દિશામાં ગતિ કરે છે,તેથી $x(t) = 1 \cdot t = t$ (ધારો કે $t=0$ સમયે તે $x=0$ પર છે).
નિરીક્ષકથી ફુગ્ગાનું અંતર $s = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{t^2 + 30^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ફુગ્ગો નિરીક્ષકથી કેટલી ઝડપે દૂર જઈ રહ્યો છે તે શોધવા માટે,આપણે $s$ નું $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ:
$\frac{ds}{dt} = \frac{1}{2\sqrt{t^2 + 30^2}} \cdot 2t = \frac{t}{\sqrt{t^2 + 30^2}}$.
$t = 40 \ s$ સમયે:
$\frac{ds}{dt} = \frac{40}{\sqrt{40^2 + 30^2}} = \frac{40}{\sqrt{1600 + 900}} = \frac{40}{\sqrt{2500}} = \frac{40}{50} = 0.8 \ m/s$.
આમ,દર $0.8 \ m/s$ છે.

(B) ધારો કે $H = 15 \text{ ft}$ એ પ્રકાશની ઊંચાઈ છે અને $h = 5 \text{ ft}$ એ માણસની ઊંચાઈ છે.
ધારો કે $x$ એ પ્રકાશના સ્ત્રોતથી માણસનું અંતર છે અને $s$ એ તેના પડછાયાની લંબાઈ છે.
સમરૂપ ત્રિકોણોના ગુણધર્મ મુજબ,$\frac{s}{h} = \frac{x+s}{H}$.
કિંમતો મૂકતા,$\frac{s}{5} = \frac{x+s}{15} \implies 3s = x + s \implies 2s = x$.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $2 \frac{ds}{dt} = \frac{dx}{dt}$ મળે છે.
આપેલ છે કે $\frac{ds}{dt} = \frac{11}{5} \text{ ft/sec}$,તેથી $\frac{dx}{dt} = 2 \times \frac{11}{5} = \frac{22}{5} \text{ ft/sec}$.
$\frac{dx}{dt}$ ને $\text{miles/hour}$ માં ફેરવવા માટે,$\frac{22}{5} \text{ ft/sec} = \frac{22}{5} \times 3600 \text{ ft/hour} = \frac{22 \times 3600}{5 \times 5280} \text{ miles/hour}$.
આની ગણતરી કરતા,$\frac{79200}{26400} = 3 \text{ miles/hour}$.
આમ,$K = 3$.

(D) આપેલ છે: માપનમાં ભૂલ $\Delta x = 0.03 \text{ cm}$. $1 \text{ foot} = 30.48 \text{ cm}$ હોવાથી,ફૂટમાં ભૂલ $\Delta x = \frac{0.03}{30.48} \text{ feet} \approx 0.001 \text{ feet}$.
નળાકારની ઊંચાઈ $h = 3.5 \text{ feet}$,ગોળાનો વ્યાસ $d = 3.5 \text{ feet}$,તેથી ત્રિજ્યા $r = 1.75 \text{ feet}$.
બંનેની ત્રિજ્યા સમાન હોવાથી,$r = 1.75 \text{ feet}$ લો.
નળાકારનું પૃષ્ઠફળ $S_1 = 2\pi r^2 + 2\pi rh = 18.375\pi$.
ગોળાનું પૃષ્ઠફળ $S_2 = 4\pi r^2 = 12.25\pi$.
કુલ પૃષ્ઠફળ $S = S_1 + S_2 = 30.625\pi$.
આશરે ભૂલ $\Delta S = \frac{dS}{dr} \Delta r$.
$S = 6\pi r^2 + 2\pi rh$ હોવાથી,$\frac{dS}{dr} = 12\pi r + 2\pi h = 28\pi$.
$\Delta S = 28\pi \times 0.001 = 0.028\pi \approx 0.1925 \text{ sq feet}$ (ગણતરી મુજબ).

(A) ધારો કે $x$ એ દીવાલથી છેડા $A$ નું અંતર છે અને $y$ એ જમીનથી છેડા $B$ ની ઊંચાઈ છે. સળિયાની લંબાઈ અચળ છે,તેથી $x^2 + y^2 = 41^2 = 1681$.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$2x \frac{dx}{dt} + 2y \frac{dy}{dt} = 0$,જે $x \frac{dx}{dt} + y \frac{dy}{dt} = 0$ માં પરિણમે છે.
આપેલ છે કે $\frac{dx}{dt} = 3 \ ft/min$. જ્યારે $y = 9$,ત્યારે $x^2 + 9^2 = 1681 \implies x^2 = 1600 \implies x = 40 \ ft$.
આ કિંમતો મૂકતા: $40(3) + 9 \frac{dy}{dt} = 0 \implies 9 \frac{dy}{dt} = -120 \implies \frac{dy}{dt} = -\frac{40}{3} \ ft/min$.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $A = \frac{1}{2}xy$ છે.
$t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{dA}{dt} = \frac{1}{2} \left( x \frac{dy}{dt} + y \frac{dx}{dt} \right)$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{dA}{dt} = \frac{1}{2} \left( 40 \times (-\frac{40}{3}) + 9 \times 3 \right) = \frac{1}{2} \left( -\frac{1600}{3} + 27 \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{-1600 + 81}{3} \right) = -\frac{1519}{6} \ ft^2/min$.

(C) ધારો કે વ્યાસ $D = 14 \ cm$ છે,તેથી ત્રિજ્યા $r = 7 \ cm$ થાય. વ્યાસમાં ભૂલ $\Delta D = 0.02 \ cm$ છે,તેથી ત્રિજ્યામાં ભૂલ $\Delta r = \frac{\Delta D}{2} = 0.01 \ cm$ થાય.
અર્ધ-શીર્ષકોણ $\alpha = 45^{\circ}$ આપેલ હોવાથી,શંકુની ઊંચાઈ $h = \frac{r}{\tan(\alpha)} = \frac{r}{\tan(45^{\circ})} = r$ થાય.
શંકુનું ઘનફળ $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi r^3$ છે.
$r$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{dV}{dr} = \pi r^2$ મળે.
ઘનફળમાં આશરે ભૂલ $\Delta V \approx \frac{dV}{dr} \times \Delta r$ થાય.
કિંમતો મૂકતા,$\Delta V \approx \pi \times (7)^2 \times 0.01 = 49 \pi \times 0.01 = 0.49 \pi$.
$\pi \approx \frac{22}{7}$ લેતા,$\Delta V \approx 0.49 \times \frac{22}{7} = 0.07 \times 22 = 1.54 \ cm^3$ મળે.

(C) ધારો કે શંકુની ઊંચાઈ $h$ અને ત્રિજ્યા $r$ છે. અર્ધ-શિરોબિંદુ ખૂણો $\alpha = \pi / 3$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan(\alpha) = r / h$,તેથી $r = h \tan(\pi / 3) = h \sqrt{3}$.
શંકુનું ઘનફળ $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ છે.
$r = h \sqrt{3}$ મૂકતા,આપણને $V = \frac{1}{3} \pi (h \sqrt{3})^2 h = \pi h^3$ મળે છે.
ઘનફળ $V$ અચળ હોવાથી,સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા $\frac{dV}{dt} = \frac{1}{3} \pi (2rh \frac{dr}{dt} + r^2 \frac{dh}{dt}) = 0$ મળે.
આમ,$2rh \frac{dr}{dt} = -r^2 \frac{dh}{dt}$,જેનું સાદું રૂપ $\frac{dr}{dt} = -\frac{r}{2h} \frac{dh}{dt}$ થાય છે.
આપેલ છે કે $\frac{dh}{dt} = 2$ અને $r = h \sqrt{3}$,તેથી $\frac{dr}{dt} = -\frac{h \sqrt{3}}{2h} (2) = -\sqrt{3}$.
તેથી,ત્રિજ્યા ઘટવાનો દર $\sqrt{3} \text{ units/min}$ છે.

(A) ધારો કે $r$ એ ત્રિજ્યા છે અને $A$ એ વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ છે.
વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા,આપણને $\ln A = \ln \pi + 2 \ln r$ મળે છે.
બંને બાજુ $r$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $\frac{dA}{A} = 2 \frac{dr}{r}$ મળે છે.
ત્રિજ્યામાં પ્રતિશત ભૂલ $\frac{dr}{r} \times 100 = 3\%$ તરીકે આપવામાં આવી છે.
ક્ષેત્રફળમાં પ્રતિશત ભૂલ $\frac{dA}{A} \times 100 = 2 \times (\frac{dr}{r} \times 100)$ છે.
આપેલી કિંમત મૂકતા,આપણને $\frac{dA}{A} \times 100 = 2 \times 3\% = 6\%$ મળે છે.
આમ,ક્ષેત્રફળમાં પ્રતિશત ભૂલ $6\%$ છે.

(B) વિધેય $f(x) = x + \log \left( \frac{x-1}{x+1} \right)$ નો પ્રકાર નક્કી કરવા માટે,આપણે તેનું વિકલન $f'(x)$ શોધીએ.
પ્રથમ,વિધેય સુવ્યાખ્યાયિત હોવા માટે,આપણે $\frac{x-1}{x+1} > 0$ ની જરૂર છે,જેનો અર્થ છે કે $x \in (-\infty, -1) \cup (1, \infty)$.
હવે,$x$ ની સાપેક્ષમાં $f(x)$ નું વિકલન કરતા:
$f'(x) = 1 + \frac{d}{dx} [\log(x-1) - \log(x+1)]$
$f'(x) = 1 + \left( \frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1} \right)$
$f'(x) = 1 + \frac{(x+1) - (x-1)}{(x-1)(x+1)}$
$f'(x) = 1 + \frac{2}{x^2 - 1}$
$f'(x) = \frac{x^2 - 1 + 2}{x^2 - 1} = \frac{x^2 + 1}{x^2 - 1}$
બધા વાસ્તવિક $x$ માટે $x^2 + 1 > 0$ હોવાથી,$f'(x)$ ની નિશાની છેદ $x^2 - 1$ પર આધાર રાખે છે.
$x \in (1, \infty)$ માટે,$x^2 > 1$,તેથી $x^2 - 1 > 0$,જેનો અર્થ છે કે $f'(x) > 0$. આમ,$f$ એ $(1, \infty)$ માં વધતું વિધેય છે.
$x \in (-\infty, -1)$ માટે,$x^2 > 1$,તેથી $x^2 - 1 > 0$,જેનો અર્થ છે કે $f'(x) > 0$. આમ,$f$ એ $(-\infty, -1)$ માં વધતું વિધેય છે.
તેથી,$f$ તેના પ્રદેશમાં એકવિધ વધતું વિધેય છે.