एक व्यक्ति के $7$ रिश्तेदार हैं,जिनमें से $4$ महिलाएँ और $3$ पुरुष हैं; उसकी पत्नी के $7$ अन्य रिश्तेदार हैं,जिनमें से $3$ महिलाएँ और $4$ पुरुष हैं। वे $3$ महिलाओं और $3$ पुरुषों को पार्टी में इस प्रकार आमंत्रित कर सकते हैं कि $3$ व्यक्ति के रिश्तेदार और $3$ पत्नी के रिश्तेदार हों,तो इसके कुल कितने तरीके हैं?

मान लीजिए $S$,$4$-अंकीय संख्याओं $abcd$ का समुच्चय है जहाँ $a > b > c > d$ है और $P$,$5$-अंकीय संख्याओं का समुच्चय है जिनके अंकों का गुणनफल $20$ है। तो $n(S) + n(P)$ का मान ज्ञात कीजिए:

$5$ अंकों की ऐसी कितनी संख्याएँ हैं जो $5$ से विभाज्य नहीं हैं और जिनमें अलग-अलग विषम अंकों का उपयोग किया गया है?

मान लीजिए $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ है। मान लीजिए $x$ समुच्चय $S$ के अंकों का उपयोग करके बनाई गई $9$-अंकीय संख्याओं की संख्या है,जिसमें केवल एक अंक दोहराया जाता है और वह ठीक दो बार दोहराया जाता है। मान लीजिए $y$ समुच्चय $S$ के अंकों का उपयोग करके बनाई गई $9$-अंकीय संख्याओं की संख्या है,जिसमें केवल दो अंक दोहराए जाते हैं और उनमें से प्रत्येक ठीक दो बार दोहराया जाता है। तो,

$12! + 13! + 14!$ को विभाजित करने वाली भिन्न अभाज्य संख्याओं की संख्या है

यदि $a_n = \sum_{r=0}^n \frac{1}{{}^n C_r}$ है,तो $\sum_{r=0}^n \frac{r}{{}^n C_r} = $