TS EAMCET 2024 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(D) दी गई रेखाएँ $L_1: \lambda x+4 y+2=0$,$L_2: 3 x+4 y-3=0$,$L_3: 2 x+\mu y+6=0$,$L_4: 2 x+y+3=0$ हैं।
चूँकि $L_1 \parallel L_2$,उनकी ढाल समान होनी चाहिए: $-\frac{\lambda}{4} = -\frac{3}{4} \Rightarrow \lambda = 3$.
चूँकि $L_3 \parallel L_4$,उनकी ढाल समान होनी चाहिए: $-\frac{2}{\mu} = -\frac{2}{1} \Rightarrow \mu = 1$.
$a_1 x+b_1 y+c_1=0$,$a_1 x+b_1 y+c_2=0$,$a_2 x+b_2 y+d_1=0$ और $a_2 x+b_2 y+d_2=0$ रेखाओं द्वारा निर्मित समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल $\frac{|(c_1-c_2)(d_1-d_2)|}{|a_1 b_2 - a_2 b_1|}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$L_1: 3x+4y+2=0$,$L_2: 3x+4y-3=0$,$L_3: 2x+y+6=0$,$L_4: 2x+y+3=0$.
$c_1=2, c_2=-3, d_1=6, d_2=3$.
$a_1=3, b_1=4, a_2=2, b_2=1$.
क्षेत्रफल $= \frac{|(2 - (-3))(6 - 3)|}{|(3)(1) - (2)(4)|} = \frac{|5 \times 3|}{|3 - 8|} = \frac{15}{|-5|} = \frac{15}{5} = 3$.
अतः,क्षेत्रफल $3$ वर्ग इकाई है।

(C) माना $Q = (h, k)$ है। रेखा $x-y+2=0$ के सापेक्ष बिंदु $P(2, 3)$ का प्रतिबिंब $\frac{h-2}{1} = \frac{k-3}{-1} = -2 \frac{2-3+2}{1^2+(-1)^2} = -1$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,$h=1$ और $k=4$ है। इसलिए,$Q = (1, 4)$ है।
माना $R = (x_1, y_1)$ है। रेखा $2x+y-2=0$ के सापेक्ष बिंदु $P(2, 3)$ का प्रतिबिंब $\frac{x_1-2}{2} = \frac{y_1-3}{1} = -2 \frac{2(2)+3-2}{2^2+1^2} = -2$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,$x_1=-2$ और $y_1=1$ है। इसलिए,$R = (-2, 1)$ है।
अब,रेखा $x+y+2=0$ के सापेक्ष $Q(1, 4)$ और $R(-2, 1)$ की स्थिति की जाँच करें:
$Q(1, 4)$ के लिए,$1+4+2 = 7 > 0$ है।
$R(-2, 1)$ के लिए,$-2+1+2 = 1 > 0$ है।
चूँकि दोनों मान धनात्मक हैं,इसलिए $Q$ और $R$ रेखा $x+y+2=0$ के एक ही ओर स्थित हैं।

(D) माना वर्ग के शीर्ष $A(4,3)$ और $C(1,-2)$ विकर्ण के अंतिम बिंदु हैं। वर्ग के विकर्ण और किसी भी भुजा के बीच का कोण $45^{\circ}$ होता है।
विकर्ण $AC$ की ढाल $= \frac{3 - (-2)}{4 - 1} = \frac{5}{3}$.
माना भुजा की ढाल $m$ है। तब,$\tan 45^{\circ} = \left| \frac{m - 5/3}{1 + m(5/3)} \right|$.
$1 = \left| \frac{3m - 5}{3 + 5m} \right|$.
इससे दो स्थितियाँ प्राप्त होती हैं:
स्थिति $1$: $\frac{3m - 5}{3 + 5m} = 1$ $\Rightarrow 3m - 5 = 3 + 5m$ $\Rightarrow 2m = -8$ $\Rightarrow m = -4$.
$(1,-2)$ से गुजरने वाली और $-4$ ढाल वाली भुजा का समीकरण $y - (-2) = -4(x - 1)$ $\Rightarrow y + 2 = -4x + 4$ $\Rightarrow 4x + y - 2 = 0$ है।
स्थिति $2$: $\frac{3m - 5}{3 + 5m} = -1$ $\Rightarrow 3m - 5 = -3 - 5m$ $\Rightarrow 8m = 2$ $\Rightarrow m = \frac{1}{4}$.
$(1,-2)$ से गुजरने वाली और $\frac{1}{4}$ ढाल वाली भुजा का समीकरण $y - (-2) = \frac{1}{4}(x - 1)$ $\Rightarrow 4y + 8 = x - 1$ $\Rightarrow x - 4y - 9 = 0$ है।
विकल्पों के साथ तुलना करने पर,$x - 4y - 9 = 0$ प्राप्त होता है।

(D) दी गई रेखा $x+y-2=0$ है।
$X$-अंतःखंड '$a$' ज्ञात करने के लिए,$y=0$ रखें: $x+0-2=0 \Rightarrow x=2$। अतः,$a=2$।
रेखा को अंतःखंड रूप में $\frac{x}{2} + \frac{y}{2} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
रेखा का अभिलंब रूप $x \cos \beta + y \sin \beta = p$ होता है।
$x+y=2$ की तुलना $x \cos \beta + y \sin \beta = p$ से करने पर,हम $\sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}$ से भाग देते हैं:
$\frac{1}{\sqrt{2}}x + \frac{1}{\sqrt{2}}y = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$।
यहाँ,$\cos \beta = \frac{1}{\sqrt{2}}$ और $\sin \beta = \frac{1}{\sqrt{2}}$,इसलिए $\beta = 45^{\circ}$।
लंबवत दूरी $p = \sqrt{2}$ है।
अब,$a \tan \beta + p^2$ की गणना करें:
$a \tan \beta + p^2 = 2 \tan(45^{\circ}) + (\sqrt{2})^2 = 2(1) + 2 = 4$।

(B) चरण $1$: समीकरण $2x^2 - 3xy + 4y^2 + 5y - 6 = 0$ से प्रथम-घात वाले पदों को हटाने के लिए मूल बिंदु को $(h, k)$ पर स्थानांतरित करें। $x = X + h$ और $y = Y + k$ लें। समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर,$X$ और $Y$ के गुणांक शून्य होने चाहिए।
$4h - 3k = 0$ और $-3h + 8k + 5 = 0$।
हल करने पर,$h = -\frac{15}{23}$ और $k = -\frac{20}{23}$ प्राप्त होता है।
अतः बिंदु $(a, b) = (-\frac{15}{23}, -\frac{20}{23})$ है।
चरण $2$: $a = -\frac{15}{23}$ और $b = -\frac{20}{23}$ को $ax^2 + 23abxy + by^2 = 0$ में रखें।
$-\frac{15}{23}x^2 + 23(-\frac{15}{23})(-\frac{20}{23})xy - \frac{20}{23}y^2 = 0$।
$-23$ से गुणा करने पर,$15x^2 - 300xy + 20y^2 = 0$,अर्थात $3x^2 - 60xy + 4y^2 = 0$ प्राप्त होता है।
चरण $3$: अक्षों को $\theta$ कोण से घुमाकर $xy$-पद को हटाने के लिए,सूत्र $\tan 2\theta = \frac{B}{A - C}$ है,जहाँ समीकरण $Ax^2 + Bxy + Cy^2 = 0$ है।
यहाँ $A = 3, B = -60, C = 4$ है।
$\tan 2\theta = \frac{-60}{3 - 4} = \frac{-60}{-1} = 60$।

(B) रेखाओं $x-3y+3=0$ और $2x+y-8=0$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $(a, b)$ है।
समीकरणों को हल करने पर: $x=3, y=2$,अतः $(a, b) = (3, 2)$.
चूंकि $(3, 2)$ रेखा $kx+y+k=0$ पर स्थित है,इसलिए $3k+2+k=0 \Rightarrow k = -\frac{1}{2}$.
रेखा $L$ का समीकरण $3x-2y-1=0$ है।
मूल बिंदु से लंबवत दूरी $p = \frac{1}{\sqrt{13}}$.
बिंदु $(2, 3)$ से $3x-2y-1=0$ की लंबवत दूरी $\frac{|3(2)-2(3)-1|}{\sqrt{13}} = \frac{1}{\sqrt{13}} = p$ है।

(B) रेखाओं के युग्म का समीकरण $ax^2+4xy+2y^2=0$ है। इसे $Ax^2+2Hxy+By^2=0$ से तुलना करने पर,$A=a$,$H=2$,और $B=2$ प्राप्त होता है।
रेखाओं के बीच का कोण $\theta$ सूत्र $\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{H^2-AB}}{A+B} \right|$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $\theta = 45^{\circ}$ है,इसलिए $\tan 45^{\circ} = 1$ है।
$1 = \left| \frac{2\sqrt{4-2a}}{a+2} \right|$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$1 = \frac{4(4-2a)}{(a+2)^2}$ प्राप्त होता है।
$(a+2)^2 = 16-8a \Rightarrow a^2+4a+4 = 16-8a$.
$a^2+12a-12 = 0$.
द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर,$a = \frac{-12 \pm \sqrt{144+48}}{2} = -6 \pm 4\sqrt{3}$ प्राप्त होता है।

(B) माना बिंदु $P$ के निर्देशांक $(h, k)$ हैं।
दी गई शर्त के अनुसार,$P$ की $(1, 1)$ से दूरी और रेखा $x-y+2=0$ से दूरी का अनुपात $1: \sqrt{2}$ है।
$\frac{\sqrt{(h-1)^2+(k-1)^2}}{\frac{|h-k+2|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$
$\frac{\sqrt{2} \sqrt{(h-1)^2+(k-1)^2}}{|h-k+2|} = \frac{1}{\sqrt{2}}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$\frac{2((h-1)^2+(k-1)^2)}{(h-k+2)^2} = \frac{1}{2}$
$4(h^2-2h+1+k^2-2k+1) = (h-k+2)^2$
$4(h^2+k^2-2h-2k+2) = h^2+k^2+4-2hk+4h-4k$
$4h^2+4k^2-8h-8k+8 = h^2+k^2-2hk+4h-4k+4$
$3h^2+3k^2+2hk-12h-4k+4 = 0$
$(h, k)$ को $(x, y)$ से प्रतिस्थापित करने पर,बिंदु पथ $3x^2+3y^2+2xy-12x-4y+4=0$ है।

(D) माना बिंदु $P$ $(x, y)$ है।
प्रश्न के अनुसार,$P(x, y)$ से $(4, 3)$ की दूरी,$P(x, y)$ से रेखा $x + 2y - 1 = 0$ की लंबवत दूरी के बराबर है।
दूरी सूत्र और लंबवत दूरी सूत्र का उपयोग करने पर:
$\sqrt{(x - 4)^2 + (y - 3)^2} = \frac{|x + 2y - 1|}{\sqrt{1^2 + 2^2}}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(x - 4)^2 + (y - 3)^2 = \frac{(x + 2y - 1)^2}{5}$
$5(x^2 - 8x + 16 + y^2 - 6y + 9) = x^2 + 4y^2 + 1 + 4xy - 2x - 4y$
$5x^2 - 40x + 80 + 5y^2 - 30y + 45 = x^2 + 4y^2 + 4xy - 2x - 4y + 1$
$4x^2 + y^2 - 4xy - 38x - 26y + 124 = 0$

(D) वर्ग का केंद्र $x+2y-3=0$ और $2x-y-1=0$ का प्रतिच्छेदन बिंदु है। हल करने पर,हमें $(1,1)$ प्राप्त होता है।
वर्ग का क्षेत्रफल $16$ है,इसलिए भुजा की लंबाई $s = \sqrt{16} = 4$ है।
केंद्र $(1,1)$ से प्रत्येक भुजा की दूरी $d = s/2 = 2$ है।
भुजाएँ दी गई रेखाओं $x+2y-3=0$ और $2x-y-1=0$ के समानांतर हैं।
मान लीजिए भुजाओं के समीकरण $x+2y+C_1=0$ और $2x-y+C_2=0$ हैं।
$(1,1)$ से $x+2y+C_1=0$ की दूरी $\frac{|1+2(1)+C_1|}{\sqrt{1^2+2^2}} = 2$ $\Rightarrow |3+C_1| = 2\sqrt{5}$ $\Rightarrow C_1 = -3 \pm 2\sqrt{5}$ है।
$(1,1)$ से $2x-y+C_2=0$ की दूरी $\frac{|2(1)-1+C_2|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}} = 2$ $\Rightarrow |1+C_2| = 2\sqrt{5}$ $\Rightarrow C_2 = -1 \pm 2\sqrt{5}$ है।
भुजाओं का एक युग्म चुनने पर,हमें $(2x-y-1-2\sqrt{5})(x+2y-3+2\sqrt{5})=0$ प्राप्त होता है।

(A) माना $f(x, y) = 2x^2+axy+3y^2+bx+cy-3=0$. चूँकि $(2,-1)$ प्रतिच्छेदन बिंदु है,आंशिक अवकलज $\frac{\partial f}{\partial x}$ और $\frac{\partial f}{\partial y}$ बिंदु $(2,-1)$ पर शून्य होंगे।
$\frac{\partial f}{\partial x} = 4x+ay+b = 0 \implies 4(2)+a(-1)+b = 0 \implies a-b=8$....$(i)$
$\frac{\partial f}{\partial y} = ax+6y+c = 0 \implies a(2)+6(-1)+c = 0 \implies 2a+c=6$....(ii)
साथ ही,बिंदु $(2,-1)$ मूल समीकरण को संतुष्ट करता है:
$8-2a+3+2b-c-3 = 0 \implies 2a-2b+c = 8$....(iii)
$(i)$ से,$b = a-8$. (iii) में रखने पर:
$2a-2(a-8)+c = 8 \implies c = -8$.
(ii) में $c=-8$ रखने पर:
$2a-8 = 6 \implies a = 7$.
$(i)$ से,$b = 7-8 = -1$.
अतः,$3a+2b+c = 3(7)+2(-1)+(-8) = 21-2-8 = 11$.

(B) रेखाओं का युग्म $Ax^2 + 2Hxy + By^2 = 0$,रेखा $lx + my + n = 0$ के साथ एक समबाहु त्रिभुज बनाता है यदि $\frac{A+B}{1} = \frac{H}{lm} = \frac{A-B}{l^2-m^2}$ हो।
दिए गए रेखाओं के युग्म $ax^2 - 96bxy + ky^2 = 0$ के लिए,$A = a$,$2H = -96b$,और $B = k$ है।
रेखा $2x + by + 5 = 0$ है,इसलिए $l = 2$ और $m = b$ है।
शर्त $\frac{a+k}{1} = \frac{-48b}{2b} = \frac{a-k}{4-b^2}$ का उपयोग करने पर।
$\frac{a+k}{1} = -24$ से,हमें $a+k = -24$ प्राप्त होता है।
$\frac{-48b}{2b} = \frac{a-k}{4-b^2}$ से,हमें $-24 = \frac{a-k}{4-b^2}$ प्राप्त होता है,इसलिए $a-k = -96 + 24b^2$।
हल करने पर,हमें $a+3k = 192$ प्राप्त होता है।

(D) वृत्तों $S_1: x^2+y^2-2x-3=0$ और $S_2: x^2+y^2-2y=0$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले वृत्त का समीकरण $S_1 + \lambda S_2 = 0$ है।
$(1+\lambda)x^2 + (1+\lambda)y^2 - 2x - 2\lambda y - 3 = 0$.
केंद्र $C = (\frac{1}{1+\lambda}, \frac{\lambda}{1+\lambda})$ और त्रिज्या $r = \sqrt{\frac{1+\lambda^2+3+3\lambda}{(1+\lambda)^2}}$ है।
चूंकि $x+y+1=0$ स्पर्शरेखा है,केंद्र से रेखा की लंबवत दूरी $r$ के बराबर है।
हल करने पर $\lambda=1$ या $\lambda=-2$ प्राप्त होता है।
$\lambda=1$ के लिए,$2x^2+2y^2-2x-2y-3=0$ प्राप्त होता है।

(A) माना बिंदु $A(1, 1), B(-2, 2)$ और $C(2, -2)$ हैं।
वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ है।
बिंदुओं को समीकरण में रखने पर:
$(1, 1)$ के लिए: $2g + 2f + c = -2$ $(i)$
$(-2, 2)$ के लिए: $-4g + 4f + c = -8$ $(ii)$
$(2, -2)$ के लिए: $4g - 4f + c = -8$ $(iii)$
$(ii)$ से $(iii)$ घटाने पर: $-8g + 8f = 0 \Rightarrow g = f$ प्राप्त होता है।
$g = f$ को $(i)$ और $(ii)$ में रखने पर: $4g + c = -2$ और $c = -8$ प्राप्त होता है।
$c = -8$ को $4g + c = -2$ में रखने पर: $g = \frac{3}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः केंद्र $\left(-\frac{3}{2}, -\frac{3}{2}\right)$ है।
रेखा $3x - 4y + 1 = 0$ से लंबवत दूरी $d = \frac{|3(-\frac{3}{2}) - 4(-\frac{3}{2}) + 1|}{5} = \frac{1}{2}$ है।

(D) वृत्त $x^2+y^2+2x-6y+1=0$ के लिए,केंद्र $C_1 = (-1, 3)$ और त्रिज्या $r_1 = \sqrt{(-1)^2 + 3^2 - 1} = 3$ है।
वृत्त $x^2+y^2-4x+2y+4=0$ के लिए,केंद्र $C_2 = (2, -1)$ और त्रिज्या $r_2 = \sqrt{2^2 + (-1)^2 - 4} = 1$ है।
आंतरिक समानता केंद्र $(h, k)$ केंद्रों $C_1$ और $C_2$ को जोड़ने वाले रेखाखंड को $r_1 : r_2 = 3 : 1$ के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर,$(h, k) = \left( \frac{3(2) + 1(-1)}{3+1}, \frac{3(-1) + 1(3)}{3+1} \right) = \left( \frac{5}{4}, 0 \right)$।
अतः,$h = \frac{5}{4}$,जिसका अर्थ है $4h = 5$।

(B) माना वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ है।
चूंकि बिंदु $(-1, 1), (0, -1)$ और $(1, 0)$ वृत्त पर स्थित हैं:
$(-1, 1)$ के लिए: $1 + 1 - 2g + 2f + c = 0 \Rightarrow -2g + 2f + c = -2 \dots (i)$
$(0, -1)$ के लिए: $0 + 1 + 0 - 2f + c = 0 \Rightarrow -2f + c = -1 \dots (ii)$
$(1, 0)$ के लिए: $1 + 0 + 2g + 0 + c = 0 \Rightarrow 2g + c = -1 \dots (iii)$
समीकरण $(ii)$ और $(iii)$ को जोड़ने पर,$2c = -2 \Rightarrow c = -1$ प्राप्त होता है।
$c = -1$ को $(iii)$ में रखने पर,$2g - 1 = -1 \Rightarrow g = 0$।
$c = -1$ को $(ii)$ में रखने पर,$-2f - 1 = -1 \Rightarrow f = 0$।
वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 - 1 = 0$ है।
चूंकि $(1, k)$ वृत्त पर स्थित है: $1^2 + k^2 - 1 = 0$ $\Rightarrow k^2 = 0$ $\Rightarrow k = 0$।

(B) माना वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ है।
चूंकि बिंदु $(2,0)$ और $(1,2)$ वृत्त पर स्थित हैं:
$4 + 4g + c = 0 \Rightarrow 4g + c = -4$ $(i)$
$1 + 4 + 2g + 4f + c = 0 \Rightarrow 2g + 4f + c = -5$ $(ii)$
वृत्त के सापेक्ष बिंदु $(0,2)$ की शक्ति $S(0,2) = 0^2 + 2^2 + 2g(0) + 2f(2) + c = 4 + 4f + c$ है।
शक्ति $4$ दी गई है,इसलिए $4 + 4f + c = 4 \Rightarrow 4f + c = 0$ $(iii)$
समीकरण $(ii)$ से $(iii)$ घटाने पर: $(2g + 4f + c) - (4f + c) = -5 - 0$ $\Rightarrow 2g = -5$ $\Rightarrow g = -\frac{5}{2}$.
$g$ का मान $(i)$ में रखने पर: $4(-\frac{5}{2}) + c = -4$ $\Rightarrow -10 + c = -4$ $\Rightarrow c = 6$.
$c$ का मान $(iii)$ में रखने पर: $4f + 6 = 0 \Rightarrow f = -\frac{6}{4} = -\frac{3}{2}$.
त्रिज्या $r = \sqrt{g^2 + f^2 - c} = \sqrt{(-\frac{5}{2})^2 + (-\frac{3}{2})^2 - 6} = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{9}{4} - 6} = \sqrt{\frac{34}{4} - 6} = \sqrt{\frac{17}{2} - 6} = \sqrt{\frac{5}{2}}$.

(C) वृत्त का दिया गया समीकरण $x^2+y^2-4x+4y+4=0$ है।
केंद्र $O(2, -2)$ और त्रिज्या $r=2$ है।
बिंदु $P(3, 3)$ और केंद्र $O(2, -2)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $y+2 = \frac{3+2}{3-2}(x-2)$ अर्थात $y=5x-12$ है।
प्रतिलोम बिंदु $Q(a, b)$ इस रेखा पर स्थित है,इसलिए $b=5a-12$ होगा।
सूत्र $OQ \cdot OP = r^2$ का उपयोग करने पर,$OP = \sqrt{26}$ प्राप्त होता है।
अतः $OQ \cdot \sqrt{26} = 4 \Rightarrow OQ = \frac{4}{\sqrt{26}}$।
चूंकि $Q(a, b)$,$OP$ पर स्थित है और $OQ = \frac{4}{\sqrt{26}}$ है,गणना करने पर $a=\frac{28}{13}$ और $b=-\frac{16}{13}$ प्राप्त होता है।
अतः $a+5b = \frac{28}{13} + 5(-\frac{16}{13}) = \frac{28-80}{13} = -4$।

(B) माना वृत्त का समीकरण $x^2+y^2+2gx+2fy+C=0$ है।
चूँकि वृत्त $(-1,-1)$ से गुजरता है,$2-2g-2f+C=0$,अर्थात $2g+2f-C=2$ $... (i)$.
बिंदु $(2,0)$ की शक्ति $-4$ है,इसलिए $4+4g+C=-4$,अर्थात $C=-8-4g$ $... (ii)$.
$(1,1)$ से स्पर्श रेखा की लंबाई $2$ है,इसलिए $2+2g+2f+C=4$,अर्थात $2g+2f+C=2$ $... (iii)$.
समीकरण $(ii)$ को $(iii)$ में रखने पर: $2g+2f-8-4g=2$,अर्थात $f-g=5$ $... (iv)$.
समीकरण $(ii)$ को $(i)$ में रखने पर: $2g+2f+8+4g=2$,अर्थात $3g+f=-3$ $... (v)$.
$(iv)$ और $(v)$ को हल करने पर,$g=-2$ और $f=3$ प्राप्त होता है। समीकरण $(ii)$ से $C=0$.
त्रिज्या $r = \sqrt{g^2+f^2-C} = \sqrt{4+9-0} = \sqrt{13}$.

(D) वृत्त का समीकरण $x^2+y^2-4x+2y-4=0$ है। वृत्त का केंद्र $C(2, -1)$ है।
माना $M(a, b)$ जीवा $AB$ का मध्य-बिंदु है। रेखा $CM$ जीवा $AB$ पर लंब है।
रेखा $x+y+1=0$ की प्रवणता $m_1 = -1$ है।
चूंकि $CM \perp AB$,इसलिए $CM$ की प्रवणता $m_2 = -\frac{1}{m_1} = 1$ होगी।
$C(2, -1)$ से गुजरने वाली और $1$ प्रवणता वाली रेखा $CM$ का समीकरण $y - (-1) = 1(x - 2)$ है,जो $y = x - 3$ या $x - y = 3$ में सरल हो जाता है।
चूंकि $M(a, b)$ रेखा $x+y+1=0$ और $x-y=3$ दोनों पर स्थित है,हम समीकरणों को हल करते हैं:
$a+b = -1$
$a-b = 3$
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर $2a = 2$,जिससे $a = 1$ प्राप्त होता है।
$a=1$ को $a-b=3$ में रखने पर,$1-b=3$,जिससे $b = -2$ प्राप्त होता है।
अतः,$a-b = 1 - (-2) = 3$.

(C) वृत्त का केंद्र $(-g, -f)$ है।
चूंकि रेखा $x-2y-6=0$ अभिलंब है,यह केंद्र से होकर गुजरती है:
$-g - 2(-f) - 6 = 0$ $\Rightarrow -g + 2f = 6$ $\Rightarrow g = 2f - 6$.
रेखा $y=2$ वृत्त को स्पर्श करती है,इसलिए केंद्र $(-g, -f)$ से रेखा $y=2$ की दूरी त्रिज्या $r$ के बराबर है।
$r = |-f - 2| = \sqrt{g^2 + f^2 + 8}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(f+2)^2 = g^2 + f^2 + 8$.
$f^2 + 4f + 4 = g^2 + f^2 + 8 \Rightarrow 4f - 4 = g^2$.
$g = 2f - 6$ को समीकरण में रखने पर:
$4f - 4 = (2f - 6)^2 = 4f^2 - 24f + 36$.
$4f^2 - 28f + 40 = 0 \Rightarrow f^2 - 7f + 10 = 0$.
$(f-2)(f-5) = 0 \Rightarrow f = 2$ या $f = 5$.
यदि $f = 2$,तो $g = -2$. त्रिज्या $r = |-2 - 2| = 4$.
यदि $f = 5$,तो $g = 4$. त्रिज्या $r = |-5 - 2| = 7$.

(B) वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 - 4x + 6y + 4 = 0$ है।
केंद्र $C = (2, -3)$ और त्रिज्या $r = 3$ है।
चूंकि रेखा $4x - 3y + p = 0$ वृत्त को स्पर्श करती है,केंद्र से रेखा की लंबवत दूरी त्रिज्या के बराबर होगी।
$\frac{|4(2) - 3(-3) + p|}{5} = 3 \Rightarrow |17 + p| = 15$.
$p + 3 > 0$ होने के कारण,$p = -2$ प्राप्त होता है।
स्पर्श बिंदु $(h, k)$ ज्ञात करने पर,$h = -2/5$ और $k = -6/5$ प्राप्त होते हैं।
अतः,$h - 2k = -2/5 - 2(-6/5) = 2$.

(C) दिए गए वृत्त $S_1 \equiv x^2 + y^2 + 2x + 2y + 1 = 0$ और $S_2 \equiv x^2 + y^2 - 2x - 2y + 1 = 0$ हैं।
$S_1$ का केंद्र $C_1 = (-1, -1)$ और त्रिज्या $r_1 = 1$ है।
$S_2$ का केंद्र $C_2 = (1, 1)$ और त्रिज्या $r_2 = 1$ है।
केंद्रों के बीच की दूरी $C_1 C_2 = 2\sqrt{2}$ है।
अनुप्रस्थ उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु $P$,$C_1 C_2$ को $1:1$ के अनुपात में विभाजित करता है,अतः $P = (0, 0)$ है।
$(0, 0)$ से $S_1$ पर स्पर्श रेखाओं का युग्म $T^2 = S_1 S_{11}$ द्वारा दिया जाता है।
$(x + y + 1)^2 = (x^2 + y^2 + 2x + 2y + 1)(1)$.
$x^2 + y^2 + 1 + 2xy + 2x + 2y = x^2 + y^2 + 2x + 2y + 1$.
$2xy = 0 \Rightarrow xy = 0$.

(A) वृत्त का समीकरण $x^2+y^2-2x-2y-1=0$ है।
केंद्र $C = (1, 1)$ और त्रिज्या $r = \sqrt{3}$ है।
प्राचलिक निर्देशांक $x = 1 + \sqrt{3}\cos\theta$ और $y = 1 + \sqrt{3}\sin\theta$ हैं।
$P(\frac{\pi}{4})$ के लिए,$x_1 = 1 + \frac{\sqrt{6}}{2}, y_1 = 1 + \frac{\sqrt{6}}{2}$।
$Q(\frac{\pi}{3})$ के लिए,$x_2 = 1 + \frac{\sqrt{3}}{2}, y_2 = 1 + \frac{3}{2}$।
जीवा $PQ$ का ढाल $m = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} = \frac{3-\sqrt{6}}{\sqrt{3}-\sqrt{6}} = 2+\sqrt{2}-\sqrt{3}-\sqrt{6}$।
चूंकि स्पर्श रेखा जीवा के समानांतर है,इसलिए इसका ढाल $2+\sqrt{2}-\sqrt{3}-\sqrt{6}$ होगा।

(A) बिंदु $(1, 1)$ और $(2, 0)$ वृत्त $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ पर स्थित हैं।
$(1, 1)$ रखने पर: $1 + 1 + 2g + 2f + c = 0 \Rightarrow 2g + 2f + c = -2$ ...$(i)$
$(2, 0)$ रखने पर: $4 + 0 + 4g + 0 + c = 0 \Rightarrow 4g + c = -4$ ...$(ii)$
$(ii)$ में से $(i)$ घटाने पर: $(4g + c) - (2g + 2f + c) = -4 - (-2)$ $\Rightarrow 2g - 2f = -2$ $\Rightarrow f = g + 1$.
$(ii)$ से,$c = -4 - 4g$.
वृत्त का केंद्र $(-g, -f) = (-g, -(g + 1))$ है और त्रिज्या $r = \sqrt{g^2 + f^2 - c} = \sqrt{2g^2 + 6g + 5}$ है।
केंद्र $(-g, -g - 1)$ से रेखा $3x - y - 1 = 0$ की दूरी त्रिज्या $r$ के बराबर है:
$\left|\frac{3(-g) - (-g - 1) - 1}{\sqrt{3^2 + (-1)^2}}\right| = r$ $\Rightarrow \left|\frac{-2g}{\sqrt{10}}\right| = \sqrt{2g^2 + 6g + 5}$.
$\frac{4g^2}{10} = 2g^2 + 6g + 5 \Rightarrow 8g^2 + 30g + 25 = 0$.
$(4g + 5)(2g + 5) = 0 \Rightarrow g = -\frac{5}{4}$ या $g = -\frac{5}{2}$.

(C) दिया गया वृत्त $x^2+y^2+2x-2y+1=0$ है,जिसे $(x+1)^2+(y-1)^2=1$ के रूप में लिखा जा सकता है। केंद्र $C(-1, 1)$ और त्रिज्या $r=1$ है।
चूंकि स्पर्श रेखाएँ $x+y+k=0$ और $x+ay+b=0$ लंबवत हैं,उनकी ढाल $m_1 = -1$ और $m_2 = -1/a$ के लिए $m_1 m_2 = -1$ होगा। अतः,$(-1)(-1/a) = -1$,जिससे $a = -1$ प्राप्त होता है।
केंद्र $(-1, 1)$ से स्पर्श रेखा $x+y+k=0$ की दूरी त्रिज्या $r=1$ के बराबर है:
$\frac{|-1+1+k|}{\sqrt{1^2+1^2}} = 1 \Rightarrow |k| = \sqrt{2}$. चूंकि $k > 1$,इसलिए $k = \sqrt{2}$.
केंद्र $(-1, 1)$ से स्पर्श रेखा $x-y+b=0$ की दूरी भी $r=1$ है:
$\frac{|-1-1+b|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}} = 1 \Rightarrow |b-2| = \sqrt{2}$.
इससे $b-2 = \sqrt{2}$ या $b-2 = -\sqrt{2}$ प्राप्त होता है। चूंकि $b > 1$,हम $b = 2+\sqrt{2}$ लेते हैं।
अंत में,$b-k = (2+\sqrt{2}) - \sqrt{2} = 2$.

(C) वृत्त का समीकरण $x^2+y^2=125$ है।
दिया गया है कि $P(8, \beta)$ जीवा का मध्यबिंदु है।
मध्यबिंदु $(x_1, y_1)$ वाली जीवा का समीकरण $T=S_1$ होता है,जो $xx_1+yy_1=x_1^2+y_1^2$ है।
$(8, \beta)$ प्रतिस्थापित करने पर,$8x+\beta y = 64+\beta^2$,या $8x+\beta y - (64+\beta^2) = 0$ प्राप्त होता है।
इस जीवा की ढाल $m = -\frac{8}{\beta}$ है।
$m$ के पूर्णांक होने के लिए,$\beta$ को $8$ का विभाजक होना चाहिए। अतः,$\beta \in \{ \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8 \}$।
चूंकि बिंदु $P(8, \beta)$ वृत्त के अंदर स्थित होना चाहिए,$8^2+\beta^2 < 125$,जिसका अर्थ है $64+\beta^2 < 125$,अर्थात $\beta^2 < 61$।
मानों की जाँच करने पर:
यदि $\beta = \pm 1$,$\beta^2 = 1 < 61$ (मान्य,$m = \mp 8$)।
यदि $\beta = \pm 2$,$\beta^2 = 4 < 61$ (मान्य,$m = \mp 4$)।
यदि $\beta = \pm 4$,$\beta^2 = 16 < 61$ (मान्य,$m = \mp 2$)।
यदि $\beta = \pm 8$,$\beta^2 = 64 > 61$ (अमान्य)।
अतः,$\beta$ के संभावित मान $\pm 1, \pm 2, \pm 4$ हैं,जो कुल $6$ मान देते हैं।

(B) दो वृत्तों $C_1: x^2+y^2-2x+2y+1=0$ और $C_2: x^2+y^2-2x-2y-2=0$ की उभयनिष्ठ जीवा का समीकरण $C_1 - C_2 = 0$ द्वारा दिया जाता है।
$(x^2+y^2-2x+2y+1) - (x^2+y^2-2x-2y-2) = 0$
$4y + 3 = 0 \Rightarrow y = -\frac{3}{4}$.
चूंकि यह उभयनिष्ठ जीवा वृत्त $S$ का व्यास है,इसलिए वृत्त $S$ का केंद्र रेखा $y = -\frac{3}{4}$ पर स्थित होना चाहिए।
दिए गए विकल्पों में से,$y$-निर्देशांक $-\frac{3}{4}$ वाले बिंदु $\left(\frac{1}{2}, -\frac{3}{4}\right)$,$\left(1, -\frac{3}{4}\right)$,और $\left(-\frac{1}{2}, -\frac{3}{4}\right)$ हैं।
वृत्त $S$ का केंद्र $(1, -\frac{3}{4})$ है।

(A) दो वृत्त $x^2+y^2+2g_1x+2f_1y+c_1=0$ और $x^2+y^2+2g_2x+2f_2y+c_2=0$ लंबकोणीय रूप से प्रतिच्छेद करते हैं यदि $2(g_1g_2+f_1f_2) = c_1+c_2$ हो।
प्रथम युग्म के लिए: $2(g(-3) + f(-3)) = 6 - 6 = 0$,अतः $g+f=0$,जिसका अर्थ है $f=-g$।
वृत्त $S$ का समीकरण $x^2+y^2+2gx-2gy+6=0$ है। त्रिज्या $r_1 = \sqrt{g^2+(-g)^2-6} = \sqrt{2g^2-6}$ है।
दूसरा वृत्त $x^2+y^2+6x+6y+2=0$ है,जिसका केंद्र $C_2(-3, -3)$ और त्रिज्या $r_2 = \sqrt{3^2+3^2-2} = \sqrt{16} = 4$ है।
केंद्रों $C_1(-g, g)$ और $C_2(-3, -3)$ के बीच की दूरी $d^2 = (-g+3)^2 + (g+3)^2 = 2g^2+18$ है।
कोज्या नियम का उपयोग करने पर: $\cos \theta = \frac{r_1^2+r_2^2-d^2}{2r_1r_2}$।
$\cos 60^{\circ} = \frac{1}{2} = \frac{(2g^2-6) + 16 - (2g^2+18)}{8r_1} = -\frac{1}{r_1}$।
अतः,$r_1 = 2$ प्राप्त होता है।

(A) माना वृत्त का समीकरण $x^2+y^2+2gx+2fy+C=0 \quad (i)$ है।
चूंकि वृत्त $(1,1)$ से गुजरता है,$2g+2f+C=-2 \quad (ii)$।
दो वृत्तों के लंबकोणीय होने की शर्त $2g_1g_2+2f_1f_2=C_1+C_2$ है।
वृत्त $x^2+y^2+4x-5=0$ के लिए,$4g=C-5 \quad (iii)$।
वृत्त $x^2+y^2-4y+3=0$ के लिए,$-4f=C+3 \quad (iv)$।
$(iii)$ और $(iv)$ से,$g+f=-2 \quad (v)$।
$(ii)$ और $(v)$ को हल करने पर,$g=-\frac{3}{4}$ और $f=-\frac{5}{4}$ प्राप्त होता है।
अतः,केंद्र $(-g, -f) = \left(\frac{3}{4}, \frac{5}{4}\right)$ है।

(A) माना अभीष्ट वृत्त का समीकरण $x^2+y^2-2px-2qy+C=0$ है।
चूंकि यह वृत्त दिए गए वृत्तों को लंबकोणीय रूप से काटता है,हम शर्त $2g_1g_2 + 2f_1f_2 = c_1 + c_2$ का उपयोग करते हैं।
प्रथम वृत्त $x^2+y^2-2x-4y+4=0$ के लिए: $2(-p)(-1) + 2(-q)(-2) = C+4 \Rightarrow 2p+4q = C+4$ $(i)$.
द्वितीय वृत्त $x^2+y^2+2x-4y+1=0$ के लिए: $2(-p)(1) + 2(-q)(-2) = C+1 \Rightarrow -2p+4q = C+1$ $(ii)$.
तृतीय वृत्त $x^2+y^2-4x-2y-11=0$ के लिए: $2(-p)(-2) + 2(-q)(-1) = C-11 \Rightarrow 4p+2q = C-11$ $(iii)$.
$(i)$ में से $(ii)$ घटाने पर: $(2p+4q) - (-2p+4q) = (C+4) - (C+1)$ $\Rightarrow 4p = 3$ $\Rightarrow p = 3/4$.
$p=3/4$ को $(i)$ और $(iii)$ में रखने पर:
$(i)$ $\Rightarrow 2(3/4) + 4q = C+4$ $\Rightarrow 3/2 + 4q = C+4$ $\Rightarrow 4q - C = 5/2$.
$(iii)$ $\Rightarrow 4(3/4) + 2q = C-11$ $\Rightarrow 3 + 2q = C-11$ $\Rightarrow 2q - C = -14$.
इन दोनों को घटाने पर: $(4q-C) - (2q-C) = 5/2 - (-14)$ $\Rightarrow 2q = 33/2$ $\Rightarrow q = 33/4$.
अतः,$p+q = 3/4 + 33/4 = 36/4 = 9$.

(B) वृत्त $x^2+y^2+2x-6y-6=0$ के लिए,केंद्र $C_1 = (-1, 3)$ और त्रिज्या $r_1 = 4$ है।
वृत्त $x^2+y^2-6x-2y+k=0$ के लिए,केंद्र $C_2 = (3, 1)$ और त्रिज्या $r_2 = \sqrt{10-k}$ है।
केंद्रों के बीच की दूरी $d^2 = C_1C_2^2 = (3 - (-1))^2 + (1 - 3)^2 = 20$ है।
कोसाइन नियम का उपयोग करने पर: $d^2 = r_1^2 + r_2^2 - 2r_1r_2 \cos \theta$.
मान रखने पर: $20 = 16 + (10-k) - 2(4)(\sqrt{10-k})(\frac{-5}{24})$.
$k - 6 = \frac{5}{3}\sqrt{10-k}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(k-6)^2 = \frac{25}{9}(10-k)$.
$9k^2 - 83k + 74 = 0$.
$(k-1)(9k-74) = 0$.
चूंकि $k$ पूर्णांक नहीं है,इसलिए $k = \frac{74}{9}$.

(B) माना वृत्त का समीकरण $S \equiv x^2+y^2+2gx+2fy=0$ है (क्योंकि यह मूल बिंदु $(0,0)$ से गुजरता है)।
वृत्त $S_1 \equiv x^2+y^2+6x-15=0$ के लिए,$2g_1=6, 2f_1=0, c_1=-15$ है। लंबकोणीयता की शर्त $2gg_1+2ff_1=c+c_1$ है,जो $2g(3)+2f(0)=0-15$ $\Rightarrow 6g=-15$ $\Rightarrow g=-\frac{5}{2}$ देती है।
वृत्त $S_2 \equiv x^2+y^2-8y-10=0$ के लिए,$2g_2=0, 2f_2=-8, c_2=-10$ है। लंबकोणीयता की शर्त $2gg_2+2ff_2=c+c_2$ है,जो $2g(0)+2f(-4)=0-10$ $\Rightarrow -8f=-10$ $\Rightarrow f=\frac{5}{4}$ देती है।
$g$ और $f$ के मानों को $S$ के समीकरण में रखने पर,हमें $x^2+y^2+2(-\frac{5}{2})x+2(\frac{5}{4})y=0$ प्राप्त होता है।
$2$ से गुणा करने पर,हमें $2x^2+2y^2-10x+5y=0$ प्राप्त होता है।

(A) $(3, -7)$ और $(-5, 3)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड के समत्रिभाजन बिंदु $P$ और $Q$ हैं।
विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर:
$P = \left( \frac{1}{3}, -\frac{11}{3} \right)$
$Q = \left( -\frac{7}{3}, -\frac{1}{3} \right)$
चूंकि $PQ$,$R$ पर $90^{\circ}$ का कोण बनाता है,इसलिए $PQ$ वृत्त का व्यास है।
वृत्त का समीकरण: $(x - \frac{1}{3})(x + \frac{7}{3}) + (y + \frac{11}{3})(y + \frac{1}{3}) = 0$
$x^2 + y^2 + 2x + 4y + \frac{4}{9} = 0$
त्रिज्या $= \sqrt{1^2 + 2^2 - \frac{4}{9}} = \frac{\sqrt{41}}{3}$.

(A) दिए गए वृत्त $C_1: x^2+y^2-2x-8y+8=0$ हैं,जिसका केंद्र $C_1(1, 4)$ और त्रिज्या $r_1 = 3$ है।
दूसरा वृत्त $C_2: x^2+y^2-8x+15=0$ है,जिसका केंद्र $C_2(4, 0)$ और त्रिज्या $r_2 = 1$ है।
बाह्य केंद्र $P$ केंद्रों $C_1(1, 4)$ और $C_2(4, 0)$ को $3:1$ के अनुपात में बाह्य रूप से विभाजित करता है।
$P = \left(\frac{11}{2}, -2\right)$।
स्पर्श रेखा की ढाल $m$ मान लें। $P$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $2mx - 2y - 11m - 4 = 0$ है।
$C_2(4, 0)$ से इस रेखा की दूरी $r_2 = 1$ है:
$\left|\frac{-3m-4}{\sqrt{4m^2+4}}\right| = 1$
$(3m+4)^2 = 4(m^2+1)$
$5m^2 + 24m + 12 = 0$।
मूलों के योग के सूत्र के अनुसार,$m_1+m_2 = -\frac{24}{5}$।

(D) वृत्तों के समीकरण $S_1: x^2+y^2-4x+6y+4=0$ और $S_2: x^2+y^2+2x-2y-2=0$ हैं।
$S_1$ के लिए,केंद्र $C_1 = (2, -3)$ और त्रिज्या $r_1 = \sqrt{2^2+(-3)^2-4} = 3$ है।
$S_2$ के लिए,केंद्र $C_2 = (-1, 1)$ और त्रिज्या $r_2 = \sqrt{(-1)^2+1^2-(-2)} = 2$ है।
केंद्रों के बीच की दूरी $C_1C_2 = \sqrt{(2 - (-1))^2 + (-3 - 1)^2} = 5$ है।
चूंकि $r_1 + r_2 = 3 + 2 = 5 = C_1C_2$,वृत्त एक-दूसरे को बिंदु $P$ पर बाह्य रूप से स्पर्श करते हैं।
संपर्क बिंदु $P$,$C_1C_2$ को $3:2$ के अनुपात में विभाजित करता है।
$P = \left( \frac{1}{5}, -\frac{3}{5} \right)$।
$P$ पर उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा दोनों वृत्तों की मूल अक्ष (radical axis) है,जो $S_1 - S_2 = 0$ द्वारा दी जाती है।
$(x^2+y^2-4x+6y+4) - (x^2+y^2+2x-2y-2) = 0$
$-6x + 8y + 6 = 0$
$-2$ से विभाजित करने पर,$3x - 4y - 3 = 0$ प्राप्त होता है।
$ax+by+c=0$ के साथ तुलना करने पर,$a=3, b=-4, c=-3$ है।
अतः,$\frac{a}{c} = \frac{3}{-3} = -1$।

(B) वृत्त $x^2+y^2-4x-8y+16=0$ के लिए,केंद्र $C_1 = (2, 4)$ और त्रिज्या $r_1 = 2$ है।
वृत्त $x^2+y^2-6x-16y+64=0$ के लिए,केंद्र $C_2 = (3, 8)$ और त्रिज्या $r_2 = 3$ है।
माना उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा $mx-y+c=0$ है।
केंद्र से स्पर्श रेखा की लंबवत दूरी त्रिज्या के बराबर होती है:
$\left|\frac{2m-4+c}{\sqrt{1+m^2}}\right| = 2 \Rightarrow c = 2\sqrt{1+m^2}-2m+4$
$\left|\frac{3m-8+c}{\sqrt{1+m^2}}\right| = 3 \Rightarrow c = 3\sqrt{1+m^2}-3m+8$
$c$ के लिए दोनों समीकरणों की तुलना करने पर:
$2\sqrt{1+m^2}-2m+4 = 3\sqrt{1+m^2}-3m+8$
$\sqrt{1+m^2} = m-4$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$1+m^2 = m^2-8m+16$
$8m = 15 \Rightarrow m = \frac{15}{8}$.

(B) वृत्तों के समीकरण $C_1: x^2+y^2-6x+5=0$ और $C_2: x^2+y^2+4y-5=0$ हैं।
दोनों समीकरणों को घटाने पर उभयनिष्ठ जीवा का समीकरण प्राप्त होता है: $(x^2+y^2-6x+5) - (x^2+y^2+4y-5) = 0$,जो सरल होकर $-6x-4y+10=0$ या $3x+2y-5=0$ हो जाता है।
$C_1$ का केंद्र $(3, 0)$ है और इसकी त्रिज्या $r_1 = \sqrt{3^2+0^2-5} = 2$ है।
केंद्र $(3, 0)$ से रेखा $3x+2y-5=0$ की दूरी $d = \frac{|3(3)+2(0)-5|}{\sqrt{3^2+2^2}} = \frac{4}{\sqrt{13}}$ है।
उभयनिष्ठ जीवा की लंबाई $2\sqrt{r_1^2-d^2} = 2\sqrt{2^2 - (\frac{4}{\sqrt{13}})^2} = 2\sqrt{4 - \frac{16}{13}} = 2\sqrt{\frac{36}{13}} = \frac{12}{\sqrt{13}}$ है।

(B) चूंकि वृत्त $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ प्रत्येक दिए गए वृत्त को व्यास के सिरों पर काटता है,इसलिए उभयनिष्ठ जीवा संबंधित वृत्त के केंद्र से होकर गुजरेगी।
$x^2+y^2=4$ के लिए,केंद्र $(0,0)$ है। उभयनिष्ठ जीवा $2gx+2fy+c+4=0$ है। चूंकि यह $(0,0)$ से गुजरती है,इसलिए $c+4=0$,अर्थात $c=-4$ प्राप्त होता है।
$x^2+y^2-6x-8y+10=0$ के लिए,केंद्र $(3,4)$ है। उभयनिष्ठ जीवा $(2g+6)x+(2f+8)y+(c-10)=0$ है। $(3,4)$ और $c=-4$ रखने पर,$3(2g+6)+4(2f+8)-14=0$ प्राप्त होता है,जो $3g+4f+18=0$ $(i)$ में सरल हो जाता है।
$x^2+y^2+2x-4y-2=0$ के लिए,केंद्र $(-1,2)$ है। उभयनिष्ठ जीवा $(2g-2)x+(2f+4)y+(c+2)=0$ है। $(-1,2)$ और $c=-4$ रखने पर,$-1(2g-2)+2(2f+4)-2=0$ प्राप्त होता है,जो $g-2f-4=0$ $(ii)$ में सरल हो जाता है।
$(i)$ और $(ii)$ को हल करने पर,$f=-3$ और $g=-2$ प्राप्त होते हैं।
अतः,$g+f+c = -2-3-4 = -9$।

(D) माना दिए गए वृत्त $S_1: 2x^2+2y^2-2x+6y-3=0$ और $S_2: x^2+y^2+4x+2y+1=0$ हैं।
$S_1$ को $x^2+y^2-x+3y-\frac{3}{2}=0$ के रूप में लिखें।
उभयनिष्ठ जीवा का समीकरण $S_1 - 2S_2 = 0$ है:
$(2x^2+2y^2-2x+6y-3) - 2(x^2+y^2+4x+2y+1) = 0$
$-10x + 2y - 5 = 0 \Rightarrow 10x - 2y + 5 = 0$.
$S_1$ और $S_2$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले वृत्तों का परिवार $S_1 + \lambda S_2 = 0$ है:
$(2+\lambda)x^2 + (2+\lambda)y^2 + (4\lambda-2)x + (2\lambda+6)y + (\lambda-3) = 0$.
$(2+\lambda)$ से विभाजित करने पर,केंद्र $(h, k) = \left(-\frac{2\lambda-1}{\lambda+2}, -\frac{\lambda+3}{\lambda+2}\right)$ प्राप्त होता है।
चूंकि केंद्र उभयनिष्ठ जीवा $10x - 2y + 5 = 0$ पर स्थित है:
$10\left(-\frac{2\lambda-1}{\lambda+2}\right) - 2\left(-\frac{\lambda+3}{\lambda+2}\right) + 5 = 0$.
$-13\lambda + 26 = 0 \Rightarrow \lambda = 2$.
$\lambda = 2$ का मान रखने पर: $4x^2+4y^2+6x+10y-1=0$ प्राप्त होता है।

(D) दिए गए वृत्त $C_1: x^2+y^2-4x-12=0$ और $C_2: x^2+y^2+4x-12=0$ हैं।
उनके केंद्र $A(-2, 0)$ और $B(2, 0)$ हैं, और दोनों की त्रिज्या $r = \sqrt{2^2+0^2+12} = 4$ है।
उभयनिष्ठ जीवा समीकरणों को घटाने पर प्राप्त होती है: $(x^2+y^2+4x-12) - (x^2+y^2-4x-12) = 0$, जो $8x = 0$ अर्थात $x = 0$ ($y$-अक्ष) देता है।
प्रतिच्छेदन बिंदु $C$ और $D$, $x=0$ को $x^2+y^2-4x-12=0$ में रखने पर प्राप्त होते हैं, जो $y^2 = 12$ देता है, इसलिए $y = \pm 2\sqrt{3}$। अतः, $C(0, 2\sqrt{3})$ और $D(0, -2\sqrt{3})$ हैं।
समचतुर्भुज के विकर्ण $AB$ (लंबाई $d_1 = 4$) और $CD$ (लंबाई $d_2 = 4\sqrt{3}$) हैं।
समचतुर्भुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times d_1 \times d_2 = \frac{1}{2} \times 4 \times 4\sqrt{3} = 8\sqrt{3}$ वर्ग इकाई है।

(C) वृत्त का समीकरण $S \equiv x^2+y^2-2x+4y+1=0$ है। केंद्र $C$ $(1, -2)$ है।
रेखा $lx+my+n=0$ और वृत्त $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ के लिए,ध्रुव $(x_1, y_1)$ संबंध $\frac{x_1+g}{l} = \frac{y_1+f}{m} = \frac{gx_1+fy_1+c}{-n}$ को संतुष्ट करता है।
यहाँ $g=-1, f=2, c=1, l=1, m=-5, n=-7$ है।
अतः,$\frac{a-1}{1} = \frac{b+2}{-5} = \frac{-a+2b+1}{7}$।
हल करने पर,$a=0$ और $b=3$ प्राप्त होता है।
ध्रुव $P$ $(0, 3)$ है।
दूरी $PC = \sqrt{(0-1)^2 + (3-(-2))^2} = \sqrt{1+25} = \sqrt{26}$।
विकल्प $C$ की जाँच करने पर: $\sqrt{0^3+3^3-1} = \sqrt{26}$।
अतः,$PC = \sqrt{a^3+b^3-1}$।

(B) आयत के शीर्ष $(4, 5), (4, -2), (-2, 5)$ और $(-2, -2)$ हैं।
व्यास रूप में वृत्त का समीकरण: $(x-4)(x+2) + (y-5)(y+2) = 0$.
सरल करने पर: $x^2 + y^2 - 2x - 3y - 18 = 0$.
माना ध्रुव $(h, k)$ है। ध्रुवीय रेखा का समीकरण: $(h-1)x + (k-1.5)y - (h + 1.5k + 18) = 0$.
इसे रेखा $0x + 1y + 2 = 0$ से तुलना करने पर,$h=1$ और $k=\frac{-32}{7}$ प्राप्त होता है।
अतः ध्रुव $\left(1, \frac{-32}{7}\right)$ है।

(A) माना $C$ त्रिभुज का तीसरा शीर्ष है। चूँकि $S(0,0)$ परिकेंद्र है,जीवा $AB$ द्वारा केंद्र $S$ पर अंतरित कोण $\angle ASB = 2\theta$ है,जहाँ $\theta = \angle ACB$ तीसरे शीर्ष पर बना कोण है।
$AS$ की ढाल = $\frac{2-0}{1-0} = 2$.
$BS$ की ढाल = $\frac{1-0}{2-0} = \frac{1}{2}$.
दो रेखाओं के बीच के कोण के सूत्र का उपयोग करते हुए,$\tan(2\theta) = \left|\frac{2 - 1/2}{1 + 2(1/2)}\right| = \frac{3/2}{2} = \frac{3}{4}$.
हम जानते हैं कि $\tan(2\theta) = \frac{2\tan\theta}{1 - \tan^2\theta}$.
अतः,$\frac{2\tan\theta}{1 - \tan^2\theta} = \frac{3}{4}$.
$3\tan^2\theta + 8\tan\theta - 3 = 0$.
$(3\tan\theta - 1)(\tan\theta + 3) = 0$.
चूँकि त्रिभुज न्यूनकोण है,$\theta$ न्यूनकोण होना चाहिए,इसलिए $\tan\theta = \frac{1}{3}$.
अतः,तीसरे शीर्ष पर अंतरित कोण $\tan^{-1}\left(\frac{1}{3}\right)$ है।

(A) दिया गया समीकरण $25[(x-2)^2+(y+5)^2]=(3x+4y-1)^2$ है। यह $SP^2 = e^2 PM^2$ के रूप में है,जहाँ $S(2, -5)$ नाभि है और $3x+4y-1=0$ नियता है,जहाँ $e=1$ है।
$I$. शीर्ष: शीर्ष,नाभि $S(2, -5)$ और नियता पर नाभि के प्रक्षेप का मध्यबिंदु है। $S(2, -5)$ का $3x+4y-1=0$ पर प्रक्षेप $P' = (x, y)$ है,जहाँ $\frac{x-2}{3} = \frac{y+5}{4} = -\frac{3(2)+4(-5)-1}{3^2+4^2} = \frac{3}{5}$ है। अतः $x = \frac{19}{5}$ और $y = -\frac{13}{5}$ है। शीर्ष $S(2, -5)$ और $(\frac{19}{5}, -\frac{13}{5})$ का मध्यबिंदु है,जो $(\frac{29}{10}, \frac{-38}{10})$ है। अतः,$I-B$.
$II$. नाभिलंब की लंबाई: नाभि $(2, -5)$ से नियता $3x+4y-1=0$ की दूरी $d = \frac{|3(2)+4(-5)-1|}{5} = 3$ है। नाभिलंब की लंबाई $2d = 6$ है। अतः,$II-E$.
$III$. नियता: $3x+4y-1=0$ दी गई है। अतः,$III-C$.
$IV$. नाभिलंब का एक सिरा: नाभिलंब नाभि $(2, -5)$ से गुजरने वाली और नियता के समानांतर रेखा है,यानी $3x+4y+14=0$ है। इस रेखा और परवलय का प्रतिच्छेदन बिंदु $(\frac{-2}{5}, \frac{-16}{5})$ है। अतः,$IV-D$.

(B) माना नाभि $(2,3)$ से नियता $x-y+3=0$ पर डाले गए लंब का पाद $(h, k)$ है।
नाभि से गुजरने वाली और नियता के लंबवत रेखा का समीकरण $\frac{x-2}{1} = \frac{y-3}{-1} = \lambda$ है,जिससे $x = 2+\lambda$ और $y = 3-\lambda$ प्राप्त होता है।
नियता के समीकरण में मान रखने पर: $(2+\lambda) - (3-\lambda) + 3 = 0$ $\Rightarrow 2\lambda + 2 = 0$ $\Rightarrow \lambda = -1$.
अतः,लंब का पाद $(1, 4)$ है।
शीर्ष,नाभि $(2,3)$ और लंब के पाद $(1,4)$ का मध्यबिंदु है,जो $(\frac{2+1}{2}, \frac{3+4}{2}) = (\frac{3}{2}, \frac{7}{2})$ है।
शीर्ष पर स्पर्श रेखा नियता $x-y+3=0$ के समानांतर होती है,इसलिए इसका समीकरण $x-y+c=0$ है।
शीर्ष $(\frac{3}{2}, \frac{7}{2})$ का मान रखने पर: $\frac{3}{2} - \frac{7}{2} + c = 0$ $\Rightarrow -2 + c = 0$ $\Rightarrow c = 2$.
अतः,शीर्ष पर स्पर्श रेखा का समीकरण $x-y+2=0$ है।

(C) नियता $x+y+1=0$ की ढाल $-1$ है। चूँकि परवलय का अक्ष नियता के लंबवत होता है,इसलिए अक्ष की ढाल $1$ है।
शीर्ष $(1, 1)$ दिया गया है,अतः अक्ष का समीकरण $y-1=1(x-1)$ है,जो $y=x$ में सरल हो जाता है।
बिंदु $(c, d)$ ज्ञात करने के लिए,हम नियता और अक्ष के समीकरणों को हल करते हैं:
$x+y+1=0$ और $y=x$।
$y=x$ को नियता के समीकरण में रखने पर: $x+x+1=0$ $\Rightarrow 2x=-1$ $\Rightarrow x=-\frac{1}{2}$।
अतः,$c=-\frac{1}{2}$ और $d=-\frac{1}{2}$ प्राप्त होते हैं।
शीर्ष $(1, 1)$ नाभि $(a, b)$ और बिंदु $(c, d)$ का मध्य-बिंदु है।
मध्य-बिंदु सूत्र का उपयोग करने पर: $1=\frac{a+c}{2}$ $\Rightarrow 1=\frac{a-1/2}{2}$ $\Rightarrow 2=a-\frac{1}{2}$ $\Rightarrow a=\frac{5}{2}$।
इसी प्रकार,$1=\frac{b+d}{2}$ $\Rightarrow 1=\frac{b-1/2}{2}$ $\Rightarrow 2=b-\frac{1}{2}$ $\Rightarrow b=\frac{5}{2}$।
अंत में,$a+b+c+d = \frac{5}{2} + \frac{5}{2} - \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 5 - 1 = 4$।

(C) दिया गया परवलय $y^2=4ax$ है। चूंकि $P(9,9)$ परवलय पर स्थित है,इसलिए $81=4 \times a \times 9$,जिससे $a=\frac{9}{4}$ प्राप्त होता है।
हम जानते हैं कि नाभिलंब जीवा के अंतिम बिंदु $P(at^2, 2at)$ और $Q(\frac{a}{t^2}, -\frac{2a}{t})$ होते हैं।
$P(9,9)$ की तुलना $(at^2, 2at)$ से करने पर,$2at=9$ $\Rightarrow 2(\frac{9}{4})t=9$ $\Rightarrow t=2$ प्राप्त होता है।
अतः,$Q = (\frac{a}{t^2}, -\frac{2a}{t}) = (\frac{9/4}{4}, -\frac{2(9/4)}{2}) = (\frac{9}{16}, -\frac{9}{4})$.
इसलिए,$p=\frac{9}{16}$ और $q=-\frac{9}{4}$.
अतः $p-q = \frac{9}{16} - (-\frac{9}{4}) = \frac{9}{16} + \frac{36}{16} = \frac{45}{16}$.

(C) परवलय $x^2=12y$ है,जो $x^2=4ay$ के रूप में है,जहाँ $4a=12$,इसलिए $a=3$ है। नाभि $(0,3)$ है।
चूँकि जीवा नाभि $(0,3)$ और बिंदु $(3,0)$ से होकर गुजरती है,इसका समीकरण $\frac{x}{3} + \frac{y}{3} = 1$ है,जो $y = 3-x$ में सरल होता है।
$y = 3-x$ को परवलय समीकरण $x^2 = 12y$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$x^2 = 12(3-x)$
$x^2 = 36 - 12x$
$x^2 + 12x - 36 = 0$.
मान लीजिए बिंदुओं $P$ और $Q$ के भुज $x_1$ और $x_2$ हैं। ये द्विघात समीकरण $x^2 + 12x - 36 = 0$ के मूल हैं।
मूलों के योग के गुणधर्म से,$x_1 + x_2 = -12$ और मूलों का गुणनफल $x_1 x_2 = -36$ है।
भुजों के व्युत्क्रमों का योग $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_1 + x_2}{x_1 x_2}$ है।
मान रखने पर: $\frac{-12}{-36} = \frac{1}{3}$।

(D) दिए गए परवलय $S \equiv y^2 - 4ax = 0$ और $S' \equiv y^2 + 4ax = 0$ हैं।
माना $P$ परवलय $S' = 0$ पर एक बिंदु $P = \left(-\frac{t^2}{4a}, t\right)$ है।
$P$ से अक्षों पर लंब के पाद $A = \left(-\frac{t^2}{4a}, 0\right)$ और $B = (0, t)$ हैं।
रेखा $AB$ का समीकरण $\frac{x}{-t^2/4a} + \frac{y}{t} = 1$ अर्थात $4ax - ty + t^2 = 0$ है।
परवलय $S \equiv y^2 = 4ax$ के बिंदु $Q(at_1^2, 2at_1)$ पर स्पर्शरेखा का समीकरण $y t_1 = x + at_1^2$ है।
तुलना करने पर,हमें $t_1 = \frac{t}{2}$ प्राप्त होता है।

(A) माना $I = \int \sqrt{\operatorname{cosec} x + 1} dx = \int \sqrt{\frac{1}{\sin x} + 1} dx = \int \sqrt{\frac{1 + \sin x}{\sin x}} dx$.
$\sin x = \frac{2 \tan(x/2)}{1 + \tan^2(x/2)}$ और $1 + \sin x = (\sin(x/2) + \cos(x/2))^2$ का उपयोग करके,हम $u = \tan(x/2)$ और $dx = \frac{2}{1+u^2} du$ प्रतिस्थापन करते हैं।
समाकलन $I = \int \sqrt{\frac{(1+u)^2}{2u}} \cdot \frac{2}{1+u^2} du = \sqrt{2} \int \frac{1+u}{\sqrt{u}(1+u^2)} du$ बन जाता है।
माना $v = \sqrt{u}$,तो $dv = \frac{1}{2\sqrt{u}} du$,इसलिए $du = 2v dv$.
$I = 2\sqrt{2} \int \frac{1+v^2}{1+v^4} dv = \sqrt{2} \int \frac{1+1/v^2}{v^2+1/v^2} dv = \sqrt{2} \int \frac{d(v-1/v)}{(v-1/v)^2 + 2} + \sqrt{2} \int \frac{d(v+1/v)}{(v+1/v)^2 - 2}$.
इसका मूल्यांकन करने पर $I = 2 \tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{2\tan(x/2)}}{1-\tan(x/2)}\right) + c$ प्राप्त होता है।
अतः,$k = 2$ और $f(x) = \frac{\sqrt{2\tan(x/2)}}{1-\tan(x/2)}$.
$x = \pi/6$ के लिए,$\tan(x/2) = \tan(\pi/12) = 2 - \sqrt{3}$.
$f(\pi/6) = \frac{\sqrt{2(2-\sqrt{3})}}{1-(2-\sqrt{3})} = \frac{\sqrt{4-2\sqrt{3}}}{\sqrt{3}-1} = \frac{\sqrt{(\sqrt{3}-1)^2}}{\sqrt{3}-1} = 1$.
इसलिए,$\frac{1}{k} f(\pi/6) = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$.

(B) समाकलन $I = \int \frac{1}{x^m (x^m+1)^{1/m}} dx$ को हल करने के लिए,रेडिकल से $x^m$ को बाहर निकालें:
$I = \int \frac{1}{x^m \cdot x (1 + x^{-m})^{1/m}} dx = \int \frac{1}{x^{m+1} (1 + x^{-m})^{1/m}} dx$.
माना $u = 1 + x^{-m}$. तब $du = -m x^{-m-1} dx = -m x^{-(m+1)} dx$.
अतः,$dx / x^{m+1} = -du / m$.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int \frac{1}{u^{1/m}} \cdot \left(-\frac{du}{m}\right) = -\frac{1}{m} \int u^{-1/m} du$.
$u$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:
$I = -\frac{1}{m} \cdot \frac{u^{1 - 1/m}}{1 - 1/m} + C = -\frac{1}{m} \cdot \frac{u^{(m-1)/m}}{(m-1)/m} + C = -\frac{1}{m-1} u^{(m-1)/m} + C$.
$u = 1 + x^{-m} = \frac{x^m+1}{x^m}$ वापस रखने पर:
$I = -\frac{1}{m-1} \left(\frac{x^m+1}{x^m}\right)^{(m-1)/m} + C = -\frac{1}{m-1} \left(\frac{(x^m+1)^{1/m}}{x}\right)^{m-1} + C$.
यह विकल्प $B$ से मेल खाता है।

(D) हमारे पास $I = \int \frac{1}{x^4+8x^2+9} dx$ है। अंश और हर को $x^2$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है $I = \frac{1}{6} \int \frac{(1+3/x^2)}{(x-3/x)^2+14} dx - \frac{1}{6} \int \frac{(1-3/x^2)}{(x+3/x)^2+2} dx$.
माना $t = x-3/x$ और $u = x+3/x$ है। तब $dt = (1+3/x^2) dx$ और $du = (1-3/x^2) dx$ होगा।
$I = \frac{1}{6} \int \frac{dt}{t^2+(\sqrt{14})^2} - \frac{1}{6} \int \frac{du}{u^2+(\sqrt{2})^2}$.
$I = \frac{1}{6} \left[ \frac{1}{\sqrt{14}} \tan^{-1} \left( \frac{x-3/x}{\sqrt{14}} \right) - \frac{1}{\sqrt{2}} \tan^{-1} \left( \frac{x+3/x}{\sqrt{2}} \right) \right] + c$.
दिए गए रूप से तुलना करने पर,$k=6$,$f(x) = \frac{x-3/x}{\sqrt{14}}$,और $g(x) = \frac{x+3/x}{\sqrt{2}}$ है।
अब,$f(\sqrt{3}) = \frac{\sqrt{3}-3/\sqrt{3}}{\sqrt{14}} = 0$ और $g(1) = \frac{1+3/1}{\sqrt{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}$ है।
अतः,$\sqrt{\frac{k}{2} + f(\sqrt{3}) + g(1)} = \sqrt{\frac{6}{2} + 0 + 2\sqrt{2}} = \sqrt{3+2\sqrt{2}} = \sqrt{(\sqrt{2}+1)^2} = \sqrt{2}+1$.

(A) माना $I = \int \frac{\sec x}{3(\sec x+\tan x)+2} dx$.
अंश और हर को $(\sec x - \tan x)$ से गुणा करने पर:
$I = \int \frac{\sec x(\sec x - \tan x)}{3(\sec^2 x - \tan^2 x) + 2(\sec x - \tan x)} dx$.
चूंकि $\sec^2 x - \tan^2 x = 1$,इसलिए:
$I = \int \frac{\sec^2 x - \sec x \tan x}{3 + 2(\sec x - \tan x)} dx$.
माना $u = \sec x - \tan x$. तब $du = (\sec x \tan x - \sec^2 x) dx$,अर्थात $-du = (\sec^2 x - \sec x \tan x) dx$.
$I = \int \frac{-du}{3 + 2u} = -\frac{1}{2} \ln|3 + 2u| + C = -\frac{1}{2} \ln|3 + 2(\sec x - \tan x)| + C$.
अर्ध-कोण सर्वसमिकाओं $\sec x = \frac{1+\tan^2(x/2)}{1-\tan^2(x/2)}$ और $\tan x = \frac{2\tan(x/2)}{1-\tan^2(x/2)}$ का उपयोग करने पर:
$I = -\frac{1}{2} \ln \left| \frac{3(1-\tan^2(x/2)) + 2(1+\tan^2(x/2)) - 4\tan(x/2)}{1-\tan^2(x/2)} \right| + C$.
$I = -\frac{1}{2} \ln \left| \frac{5 - 4\tan(x/2) - \tan^2(x/2)}{(1-\tan(x/2))(1+\tan(x/2))} \right| + C$.
$I = -\frac{1}{2} \ln \left| \frac{(5+\tan(x/2))(1-\tan(x/2))}{(1-\tan(x/2))(1+\tan(x/2))} \right| + C$.
$I = -\frac{1}{2} \ln \left| \frac{5+\tan(x/2)}{1+\tan(x/2)} \right| + C = \frac{1}{2} \ln \left| \frac{1+\tan(x/2)}{5+\tan(x/2)} \right| + C$.

(C) माना $I = \int e^{-2 x}(\tan 2 x - 2 \sec^2 2 x \tan 2 x) dx$.
फलन $f(x) = \tan 2 x$ लें।
तब $f'(x) = 2 \sec^2 2 x$.
$2x = t$ रखने पर,$2 dx = dt$,अतः $dx = \frac{1}{2} dt$.
$I = \frac{1}{2} \int e^{-t} (\tan t - 2 \sec^2 t \tan t) dt$.
$f(t) = \tan t - \sec^2 t$ लें।
तब $f'(t) = \sec^2 t - 2 \sec^2 t \tan t$.
अतः,$I = \frac{1}{2} \int e^{-t} (f'(t) - f(t)) dt$.
सूत्र $\int e^{kt} (f'(t) + k f(t)) dt = e^{kt} f(t) + C$ का उपयोग करने पर,जहाँ $k = -1$:
$I = \frac{1}{2} (-e^{-t} f(t)) + C = -\frac{1}{2} e^{-t} (\tan t - \sec^2 t) + C$.
$t = 2x$ प्रतिस्थापित करने पर:
$I = -\frac{1}{2} e^{-2 x} (\tan 2 x - \sec^2 2 x) + C = \frac{1}{2} e^{-2 x} (\sec^2 2 x - \tan 2 x) + C$.

(B) माना $I = \int \frac{dx}{4+3 \cot x} = \int \frac{\sin x dx}{4 \sin x + 3 \cos x}$ है।
हम अंश को $A(4 \cos x - 3 \sin x) + B(4 \sin x + 3 \cos x)$ के रूप में व्यक्त करते हैं,जहाँ $4 \cos x - 3 \sin x$ हर $4 \sin x + 3 \cos x$ का अवकलन है।
$\sin x$ और $\cos x$ के गुणांकों की तुलना करने पर:
$4B - 3A = 1$ और $3B + 4A = 0$ प्राप्त होता है।
$3B + 4A = 0$ से,हमें $A = -\frac{3B}{4}$ मिलता है।
पहले समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $4B - 3(-\frac{3B}{4}) = 1 \Rightarrow 4B + \frac{9B}{4} = 1 \Rightarrow \frac{25B}{4} = 1 \Rightarrow B = \frac{4}{25}$।
अतः $A = -\frac{3}{25}$ है।
इस प्रकार,$I = \int \frac{-\frac{3}{25}(4 \cos x - 3 \sin x) + \frac{4}{25}(4 \sin x + 3 \cos x)}{4 \sin x + 3 \cos x} dx$ है।
$I = -\frac{3}{25} \int \frac{4 \cos x - 3 \sin x}{4 \sin x + 3 \cos x} dx + \frac{4}{25} \int dx$ है।
$I = -\frac{3}{25} \ln |4 \sin x + 3 \cos x| + \frac{4}{25} x + C$ है।

(C) दिया गया है $f(x) = \int \frac{2 \sin x \cos x + 2 \cos x}{4 \sin^2 x + 5 \sin x + 1} \, dx$.
हर का गुणनखंड करने पर: $4 \sin^2 x + 5 \sin x + 1 = (4 \sin x + 1)(\sin x + 1)$.
अतः,$f(x) = \int \frac{2 \cos x (\sin x + 1)}{(4 \sin x + 1)(\sin x + 1)} \, dx = \int \frac{2 \cos x}{4 \sin x + 1} \, dx$.
मान लीजिए $u = 4 \sin x + 1$,तब $du = 4 \cos x \, dx$,जिसका अर्थ है $\cos x \, dx = \frac{du}{4}$.
$f(x) = \int \frac{2}{u} \cdot \frac{du}{4} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} \, du = \frac{1}{2} \ln |4 \sin x + 1| + C$.
दिया गया है $f(0) = 0$,इसलिए $0 = \frac{1}{2} \ln |4 \sin(0) + 1| + C \implies 0 = \frac{1}{2} \ln(1) + C \implies C = 0$.
इस प्रकार,$f(x) = \frac{1}{2} \ln |4 \sin x + 1|$.
अब,$f\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2} \ln |4 \sin(\frac{\pi}{6}) + 1| = \frac{1}{2} \ln |4(\frac{1}{2}) + 1| = \frac{1}{2} \ln(3)$.

(A) माना $I = \int \frac{d x}{(x+1) \sqrt{x^2+4}}$.
$x+1 = \frac{1}{t}$ प्रतिस्थापित करने पर,$x = \frac{1}{t} - 1 = \frac{1-t}{t}$ और $dx = -\frac{1}{t^2} dt$ प्राप्त होता है।
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \int \frac{-\frac{1}{t^2} dt}{\frac{1}{t} \sqrt{(\frac{1-t}{t})^2 + 4}} = -\int \frac{dt}{t \sqrt{\frac{1-2t+t^2+4t^2}{t^2}}} = -\int \frac{dt}{\sqrt{5t^2-2t+1}}$.
हर में पूर्ण वर्ग बनाने पर:
$5t^2 - 2t + 1 = 5(t^2 - \frac{2}{5}t + \frac{1}{5}) = 5((t-\frac{1}{5})^2 + \frac{4}{25}) = 5(t-\frac{1}{5})^2 + \frac{4}{5}$.
$I = -\int \frac{dt}{\sqrt{5(t-\frac{1}{5})^2 + \frac{4}{5}}} = -\frac{1}{\sqrt{5}} \int \frac{dt}{\sqrt{(t-\frac{1}{5})^2 + (\frac{2}{5})^2}}$.
सूत्र $\int \frac{du}{\sqrt{u^2+a^2}} = \sinh^{-1}(\frac{u}{a})$ का उपयोग करने पर:
$I = -\frac{1}{\sqrt{5}} \sinh^{-1}(\frac{t-\frac{1}{5}}{2/5}) + C = -\frac{1}{\sqrt{5}} \sinh^{-1}(\frac{5t-1}{2}) + C$.
$t = \frac{1}{x+1}$ वापस रखने पर:
$I = -\frac{1}{\sqrt{5}} \sinh^{-1}(\frac{\frac{5}{x+1}-1}{2}) + C = -\frac{1}{\sqrt{5}} \sinh^{-1}(\frac{5-x-1}{2(x+1)}) + C = -\frac{1}{\sqrt{5}} \sinh^{-1}(\frac{4-x}{2(x+1)}) + C$.

(A) माना $I = \int \frac{x^5+x}{x^8+1} dx$.
अंश और हर को $x^6$ से विभाजित करने पर:
$I = \int \frac{\frac{1}{x} + \frac{1}{x^5}}{x^2 + \frac{1}{x^6}} dx$. यह विधि जटिल है।
वैकल्पिक विधि: माना $x^2 = t$,तब $2x dx = dt$.
$I = \frac{1}{2} \int \frac{t^2+1}{t^4+1} dt$.
अंश और हर को $t^2$ से विभाजित करने पर:
$I = \frac{1}{2} \int \frac{1 + \frac{1}{t^2}}{t^2 + \frac{1}{t^2}} dt$.
माना $t - \frac{1}{t} = u$,तब $(1 + \frac{1}{t^2}) dt = du$.
साथ ही,$t^2 + \frac{1}{t^2} = (t - \frac{1}{t})^2 + 2 = u^2 + 2$.
$I = \frac{1}{2} \int \frac{du}{u^2 + 2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \tan^{-1} \left(\frac{u}{\sqrt{2}}\right) + c$.
$u = t - \frac{1}{t} = \frac{t^2-1}{t} = \frac{x^4-1}{x^2}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \frac{1}{2\sqrt{2}} \tan^{-1} \left(\frac{x^4-1}{\sqrt{2}x^2}\right) + c$.

(D) हमारे पास $I = \int \frac{(1-4 \sin^2 x) \cos x}{\cos (3x+2)} dx$ है।
सर्वसमिका $1 - 4 \sin^2 x = 1 - 4(1 - \cos^2 x) = 4 \cos^2 x - 3$ का उपयोग करते हुए।
अतः,$I = \int \frac{(4 \cos^2 x - 3) \cos x}{\cos (3x+2)} dx = \int \frac{4 \cos^3 x - 3 \cos x}{\cos (3x+2)} dx$।
त्रिकोणमितीय सूत्र $\cos 3x = 4 \cos^3 x - 3 \cos x$ का उपयोग करने पर,हमें $I = \int \frac{\cos 3x}{\cos (3x+2)} dx$ प्राप्त होता है।
माना $t = 3x+2$,तब $dt = 3 dx$,इसलिए $dx = \frac{dt}{3}$।
साथ ही,$3x = t-2$।
$I = \int \frac{\cos(t-2)}{\cos t} \cdot \frac{dt}{3} = \frac{1}{3} \int \frac{\cos t \cos 2 + \sin t \sin 2}{\cos t} dt$।
$I = \frac{1}{3} \int (\cos 2 + \sin 2 \tan t) dt = \frac{1}{3} [t \cos 2 + \sin 2 \ln |\sec t|] + c$।
$t = 3x+2$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $I = \frac{1}{3} [(3x+2) \cos 2 + \sin 2 \ln |\sec (3x+2)|] + c = x \cos 2 + \frac{1}{3} \sin 2 \ln |\sec (3x+2)| + c'$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है $I = \int(\sqrt{1-\sin x}+\sqrt{1+\sin x}) dx$.
चूंकि $1-\sin x = (\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2})^2$ और $1+\sin x = (\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2})^2$,इसलिए $\sqrt{1-\sin x} = |\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2}|$ और $\sqrt{1+\sin x} = |\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2}|$.
$\frac{5 \pi}{2} < x < \frac{7 \pi}{2}$ के लिए,$\frac{5 \pi}{4} < \frac{x}{2} < \frac{7 \pi}{4}$ होता है।
इस अंतराल में,$\cos \frac{x}{2} < 0$ और $\sin \frac{x}{2} < 0$,और विशेष रूप से $\cos \frac{x}{2} < \sin \frac{x}{2}$ है।
अतः,$\sqrt{1-\sin x} = \sin \frac{x}{2} - \cos \frac{x}{2}$ और $\sqrt{1+\sin x} = -(\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2})$.
$I = \int (\sin \frac{x}{2} - \cos \frac{x}{2} - \cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2}) dx = \int -2 \cos \frac{x}{2} dx = -4 \sin \frac{x}{2} + C$.
इसलिए $f(x) = -4 \sin \frac{x}{2}$.
तब $f'(x) = -2 \cos \frac{x}{2}$.
$f'(\frac{8 \pi}{3}) = -2 \cos \frac{4 \pi}{3} = -2 (-\frac{1}{2}) = 1$.

(C) खंडशः समाकलन $\int u \, dv = uv - \int v \, du$ का बार-बार उपयोग करने पर:
$\int x^3 \sin 3x \, dx = x^3 \left( \frac{-\cos 3x}{3} \right) - \int 3x^2 \left( \frac{-\cos 3x}{3} \right) dx = -\frac{x^3 \cos 3x}{3} + \int x^2 \cos 3x \, dx$
$= -\frac{x^3 \cos 3x}{3} + \left( x^2 \frac{\sin 3x}{3} - \int 2x \frac{\sin 3x}{3} \, dx \right)$
$= -\frac{x^3 \cos 3x}{3} + \frac{x^2 \sin 3x}{3} - \frac{2}{3} \int x \sin 3x \, dx$
अब,$\int x \sin 3x \, dx = x \left( \frac{-\cos 3x}{3} \right) - \int 1 \left( \frac{-\cos 3x}{3} \right) dx = -\frac{x \cos 3x}{3} + \frac{\sin 3x}{9}$
मान प्रतिस्थापित करने पर:
$\int x^3 \sin 3x \, dx = -\frac{x^3 \cos 3x}{3} + \frac{x^2 \sin 3x}{3} - \frac{2}{3} \left( -\frac{x \cos 3x}{3} + \frac{\sin 3x}{9} \right)$
$= -\frac{x^3 \cos 3x}{3} + \frac{x^2 \sin 3x}{3} + \frac{2x \cos 3x}{9} - \frac{2 \sin 3x}{27}$
$= \cos 3x \left( -\frac{x^3}{3} + \frac{2x}{9} \right) + \sin 3x \left( \frac{x^2}{3} - \frac{2}{27} \right) + c$
$f(x) \cos 3x + g(x) \sin 3x + c$ से तुलना करने पर,$f(x) = -\frac{x^3}{3} + \frac{2x}{9}$ और $g(x) = \frac{x^2}{3} - \frac{2}{27}$ प्राप्त होता है।
अतः $27(f(x) + x g(x)) = 27 \left( -\frac{x^3}{3} + \frac{2x}{9} + x \left( \frac{x^2}{3} - \frac{2}{27} \right) \right)$
$= 27 \left( -\frac{x^3}{3} + \frac{2x}{9} + \frac{x^3}{3} - \frac{2x}{27} \right) = 27 \left( \frac{6x - 2x}{27} \right) = 4x$

(D) हम जानते हैं कि $\int e^x(g(x) + g'(x)) dx = e^x g(x) + c$ होता है।
दिया गया है कि $\int e^x(x^3+x^2-x+4) dx = e^x f(x) + c$,इसलिए $f(x) + f'(x) = x^3+x^2-x+4$ होगा।
मान लीजिए $f(x) = x^3 - 2x^2 + 3x + 1$,तो $f'(x) = 3x^2 - 4x + 3$ होगा।
योग करने पर: $f(x) + f'(x) = x^3 - 2x^2 + 3x + 1 + 3x^2 - 4x + 3 = x^3 + x^2 - x + 4$।
यह दिए गए व्यंजक से मेल खाता है।
अतः,$f(1) = 1^3 - 2(1)^2 + 3(1) + 1 = 1 - 2 + 3 + 1 = 3$।

(C) माना $I = \int_{-\frac{\pi}{8}}^{\frac{\pi}{8}} \frac{\sin ^4(4 x)}{1+e^{4 x}} d x$ ....$(i)$
गुणधर्म $\int_a^b f(x) d x = \int_a^b f(a+b-x) d x$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $a = -\frac{\pi}{8}$ और $b = \frac{\pi}{8}$,हमें $a+b = 0$ प्राप्त होता है।
$I = \int_{-\frac{\pi}{8}}^{\frac{\pi}{8}} \frac{\sin ^4(-4 x)}{1+e^{-4 x}} d x = \int_{-\frac{\pi}{8}}^{\frac{\pi}{8}} \frac{\sin ^4(4 x)}{1+\frac{1}{e^{4 x}}} d x = \int_{-\frac{\pi}{8}}^{\frac{\pi}{8}} \frac{e^{4 x} \sin ^4(4 x)}{e^{4 x}+1} d x$ ....(ii)
$(i)$ और (ii) को जोड़ने पर:
$2I = \int_{-\frac{\pi}{8}}^{\frac{\pi}{8}} \frac{(1+e^{4 x}) \sin ^4(4 x)}{1+e^{4 x}} d x = \int_{-\frac{\pi}{8}}^{\frac{\pi}{8}} \sin ^4(4 x) d x$
चूँकि $\sin^4(4x)$ एक सम फलन है,$2I = 2 \int_0^{\frac{\pi}{8}} \sin ^4(4 x) d x$,इसलिए $I = \int_0^{\frac{\pi}{8}} \sin ^4(4 x) d x$ प्राप्त होता है।
माना $4x = t$,तो $4 dx = dt$,अर्थात $dx = \frac{1}{4} dt$. जब $x=0, t=0$; जब $x=\frac{\pi}{8}, t=\frac{\pi}{2}$.
$I = \frac{1}{4} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin ^4 t d t$.
वालिस के सूत्र $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^n t dt = \frac{(n-1)!!}{n!!} \times \frac{\pi}{2}$ (जहाँ $n$ सम है) का उपयोग करते हुए:
$I = \frac{1}{4} \times \left( \frac{3 \times 1}{4 \times 2} \times \frac{\pi}{2} \right) = \frac{1}{4} \times \frac{3 \pi}{16} = \frac{3 \pi}{64}$.

(C) माना $x = 2 \sin \theta$,तब $dx = 2 \cos \theta \, d\theta$।
जब $x = -2$,तो $\theta = -\frac{\pi}{2}$ और जब $x = 2$,तो $\theta = \frac{\pi}{2}$।
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} (2 \sin \theta)^4 (4 - 4 \sin^2 \theta)^{7/2} (2 \cos \theta) \, d\theta$
$I = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} 16 \sin^4 \theta (4 \cos^2 \theta)^{7/2} (2 \cos \theta) \, d\theta$
$I = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} 16 \sin^4 \theta (2^7 \cos^7 \theta) (2 \cos \theta) \, d\theta$
$I = 16 \times 2^8 \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \sin^4 \theta \cos^8 \theta \, d\theta$
चूंकि फलन सम है,$I = 2 \times 2^{12} \int_{0}^{\pi/2} \sin^4 \theta \cos^8 \theta \, d\theta = 2^{13} \int_{0}^{\pi/2} \sin^4 \theta \cos^8 \theta \, d\theta$।
वालिस के सूत्र का उपयोग करने पर:
$I = 2^{13} \times \frac{(3 \times 1) \times (7 \times 5 \times 3 \times 1)}{12 \times 10 \times 8 \times 6 \times 4 \times 2} \times \frac{\pi}{2}$
$I = 2^{13} \times \frac{315}{46080} \times \pi = 28 \pi$।

(C) दिया गया है $9 > m > l > s > n > r > 2$ ... $(i)$
$\int_{-2 \pi}^{2 \pi} \sin ^m x \cos ^n x \, dx = 4 \int_0^\pi \sin ^m x \cos ^n x \, dx$ के लिए,$[-2\pi, 2\pi]$ पर समाकलन $4 \int_0^{\pi} f(x) dx$ तभी होता है यदि $m$ सम संख्या हो। अतः,$m = 8$.
$\int_{-\pi}^\pi \sin ^r x \cos ^s x \, dx = 4 \int_0^{\pi / 2} \sin ^r x \cos ^s x \, dx$ के लिए,यह तभी संभव है यदि $r$ और $s$ दोनों सम संख्याएँ हों। शर्तों $9 > m > l > s > n > r > 2$ और $m=8$ को देखते हुए,हमारे पास $8 > l > s > n > r > 2$ है।
$\int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \sin ^l x \cos ^m x \, dx = 0$ के लिए,फलन विषम होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि $l$ एक विषम संख्या है।
$m=8$ के साथ,शेष पूर्णांक $7, 6, 5, 4, 3$ हैं।
चूंकि $l$ विषम है और $l < 8$,इसलिए $l=7$.
चूंकि $s$ सम है और $s < 7$,इसलिए $s=6$.
चूंकि $n < 6$ और $n > r > 2$,इसलिए $n=5, r=4$ प्राप्त होता है।
विकल्पों की जाँच करने पर:
$(s-2)(s+2) = (6-2)(6+2) = 4 \times 8 = 32$.
$ln - 3 = (7 \times 5) - 3 = 35 - 3 = 32$.
अतः,$(s-2)(s+2) = ln - 3$ सत्य है।

(B) माना $I = \frac{3}{25} \int_0^{25 \pi} \sqrt{|\cos x - \cos^3 x|} \, dx$ है।
चूंकि फलन $f(x) = \sqrt{|\cos x - \cos^3 x|}$ का आवर्तकाल $\pi$ है,हम लिख सकते हैं:
$I = \frac{3}{25} \times 25 \int_0^{\pi} \sqrt{|\cos x(1 - \cos^2 x)|} \, dx = 3 \int_0^{\pi} \sqrt{|\cos x| \sin^2 x} \, dx = 3 \int_0^{\pi} \sin x \sqrt{|\cos x|} \, dx$।
$x = \frac{\pi}{2}$ पर समाकलन को विभाजित करने पर:
$I = 3 \left( \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin x \sqrt{\cos x} \, dx + \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \sin x \sqrt{-\cos x} \, dx \right)$।
पहले भाग के लिए,$u = \cos x$ लें,$du = -\sin x \, dx$:
$3 \int_0^1 u^{1/2} \, du = 3 \left[ \frac{u^{3/2}}{3/2} \right]_0^1 = 3 \times \frac{2}{3} = 2$।
दूसरे भाग के लिए,$u = \cos x$ लें,$du = -\sin x \, dx$:
$3 \int_{-1}^0 \sqrt{-u} \, du = 3 \int_0^1 \sqrt{v} \, dv = 3 \left[ \frac{v^{3/2}}{3/2} \right]_0^1 = 2$।
अतः,$I = 2 + 2 = 4$।

(B) माना $I = \int_{\frac{-3}{4}}^{\frac{\pi-6}{8}} \log (\sin (4 x+3)) \, dx$ है।
$t = 4x + 3$ प्रतिस्थापित करने पर,$dt = 4 \, dx$,जिसका अर्थ है $dx = \frac{dt}{4}$।
जब $x = \frac{-3}{4}$,तब $t = 4(\frac{-3}{4}) + 3 = 0$।
जब $x = \frac{\pi-6}{8}$,तब $t = 4(\frac{\pi-6}{8}) + 3 = \frac{\pi-6}{2} + 3 = \frac{\pi}{2} - 3 + 3 = \frac{\pi}{2}$।
अतः,समाकलन $I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \log (\sin t) \frac{dt}{4} = \frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \log (\sin t) \, dt$ हो जाता है।
मानक निश्चित समाकलन गुणधर्म $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \log (\sin t) \, dt = -\frac{\pi}{2} \log 2$ का उपयोग करने पर:
$I = \frac{1}{4} \times (-\frac{\pi}{2} \log 2) = -\frac{\pi}{8} \log 2$।

(A) माना $I = \int_{\pi/5}^{3\pi/10} \frac{dx}{\sec^2 x + (\tan^{2022} x - 1)(\sec^2 x - 1)}$.
चूंकि $\sec^2 x = 1 + \tan^2 x$ और $\sec^2 x - 1 = \tan^2 x$,हमारे पास है:
$I = \int_{\pi/5}^{3\pi/10} \frac{dx}{1 + \tan^2 x + (\tan^{2022} x - 1)\tan^2 x}$
$I = \int_{\pi/5}^{3\pi/10} \frac{dx}{1 + \tan^2 x + \tan^{2024} x - \tan^2 x} = \int_{\pi/5}^{3\pi/10} \frac{dx}{1 + \tan^{2024} x}$ ... $(i)$
गुणधर्म $\int_a^b f(x) dx = \int_a^b f(a+b-x) dx$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $a = \pi/5$ और $b = 3\pi/10$,$a+b = \pi/2$:
$I = \int_{\pi/5}^{3\pi/10} \frac{dx}{1 + \tan^{2024}(\pi/2 - x)} = \int_{\pi/5}^{3\pi/10} \frac{dx}{1 + \cot^{2024} x}$
$I = \int_{\pi/5}^{3\pi/10} \frac{\tan^{2024} x}{1 + \tan^{2024} x} dx$ ... (ii)
$(i)$ और (ii) को जोड़ने पर:
$2I = \int_{\pi/5}^{3\pi/10} \frac{1 + \tan^{2024} x}{1 + \tan^{2024} x} dx = \int_{\pi/5}^{3\pi/10} dx = \frac{3\pi}{10} - \frac{\pi}{5} = \frac{\pi}{10}$
अतः,$I = \frac{\pi}{20}$.

(D) हम जानते हैं कि $1 - \cos 4x = 2 \sin^2(2x)$.
अतः,$\sqrt{1 - \cos 4x} = \sqrt{2 \sin^2(2x)} = \sqrt{2} |\sin 2x|$.
समाकलन $\int_0^{32 \pi} \sqrt{2} |\sin 2x| \, dx = \sqrt{2} \int_0^{32 \pi} |\sin 2x| \, dx$ हो जाता है।
चूंकि $|\sin 2x|$ एक आवर्ती फलन है जिसका आवर्तकाल $\frac{\pi}{2}$ है,और अंतराल $[0, 32 \pi]$ में $\frac{32 \pi}{\pi/2} = 64$ आवर्तकाल हैं।
अतः,$\int_0^{32 \pi} |\sin 2x| \, dx = 64 \int_0^{\pi/2} \sin 2x \, dx$.
समाकलन का मान ज्ञात करने पर: $64 \left[ -\frac{\cos 2x}{2} \right]_0^{\pi/2} = 64 \left( -\frac{\cos \pi}{2} - (-\frac{\cos 0}{2}) \right) = 64 \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \right) = 64$.
अचर $\sqrt{2}$ से गुणा करने पर,अंतिम उत्तर $64 \sqrt{2}$ प्राप्त होता है।

(C) माना $I = \int_0^{16} \frac{\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}} dx$.
बीजगणितीय सरलीकरण द्वारा,हम समाकल्य को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$\frac{\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}} = \frac{\sqrt{x}+1-1}{1+\sqrt{x}} = 1 - \frac{1}{1+\sqrt{x}}$.
अतः,$I = \int_0^{16} 1 dx - \int_0^{16} \frac{1}{1+\sqrt{x}} dx = 16 - \int_0^{16} \frac{1}{1+\sqrt{x}} dx$.
$\int_0^{16} \frac{1}{1+\sqrt{x}} dx$ का मान ज्ञात करने के लिए,$t = 1+\sqrt{x}$ प्रतिस्थापित करें,जिससे $\sqrt{x} = t-1$ और $x = (t-1)^2$ प्राप्त होता है,जो हमें $dx = 2(t-1) dt$ देता है।
जब $x=0$,तब $t=1$. जब $x=16$,तब $t=1+\sqrt{16}=5$.
अतः,$\int_0^{16} \frac{1}{1+\sqrt{x}} dx = \int_1^5 \frac{2(t-1)}{t} dt = 2 \int_1^5 (1 - \frac{1}{t}) dt = 2 [t - \ln|t|]_1^5$.
$= 2 [(5 - \ln 5) - (1 - \ln 1)] = 2 [4 - \ln 5] = 8 - 2 \ln 5$.
इस प्रकार,$I = 16 - (8 - 2 \ln 5) = 8 + 2 \ln 5$.

(D) माना $I = \int_0^\pi (\sin^3 x + \cos^2 x)^2 dx$.
गुणधर्म $\int_0^{2a} f(x) dx = 2 \int_0^a f(x) dx$ का उपयोग करते हुए,यदि $f(2a-x) = f(x)$ है,तो हम देखते हैं कि $(\sin^3(\pi-x) + \cos^2(\pi-x))^2 = (\sin^3 x + \cos^2 x)^2$.
अतः,$I = 2 \int_0^{\pi/2} (\sin^6 x + \cos^4 x + 2 \sin^3 x \cos^2 x) dx$.
वालिस के सूत्र $\int_0^{\pi/2} \sin^n x dx = \int_0^{\pi/2} \cos^n x dx = \frac{(n-1)!!}{n!!} \cdot \frac{\pi}{2}$ (जब $n$ सम हो) या $\frac{(n-1)!!}{n!!}$ (जब $n$ विषम हो) का उपयोग करते हुए:
$I = 2 [ \int_0^{\pi/2} \sin^6 x dx + \int_0^{\pi/2} \cos^4 x dx + 2 \int_0^{\pi/2} \sin^3 x \cos^2 x dx ]$.
$I = 2 [ (\frac{5 \cdot 3 \cdot 1}{6 \cdot 4 \cdot 2} \cdot \frac{\pi}{2}) + (\frac{3 \cdot 1}{4 \cdot 2} \cdot \frac{\pi}{2}) + 2 \int_0^{\pi/2} (1-\cos^2 x) \cos^2 x \sin x dx ]$.
माना $u = \cos x$,तो $du = -\sin x dx$.
$2 \int_0^{\pi/2} (1-\cos^2 x) \cos^2 x \sin x dx = 2 \int_0^1 (u^2 - u^4) du = 2 [\frac{u^3}{3} - \frac{u^5}{5}]_0^1 = 2(\frac{1}{3} - \frac{1}{5}) = 2(\frac{2}{15}) = \frac{4}{15}$.
$I = 2 [ \frac{5\pi}{32} + \frac{3\pi}{16} ] + \frac{4}{15} = 2 [ \frac{5\pi + 6\pi}{32} ] + \frac{4}{15} = \frac{11\pi}{16} + \frac{4}{15}$.

(B) माना $I = \int_{-\frac{\pi}{15}}^{\frac{\pi}{15}} \frac{\cos 5 x}{1+e^{5 x}} d x$.
गुणधर्म $\int_{-a}^{a} f(x) dx = \int_{0}^{a} [f(x) + f(-x)] dx$ का उपयोग करते हुए:
$I = \int_{0}^{\frac{\pi}{15}} \left( \frac{\cos 5x}{1+e^{5x}} + \frac{\cos(-5x)}{1+e^{-5x}} \right) dx$.
चूंकि $\cos(-5x) = \cos(5x)$ और $\frac{1}{1+e^{-5x}} = \frac{e^{5x}}{e^{5x}+1}$,व्यंजक इस प्रकार होगा:
$I = \int_{0}^{\frac{\pi}{15}} \left( \frac{\cos 5x}{1+e^{5x}} + \frac{e^{5x} \cos 5x}{1+e^{5x}} \right) dx$.
$I = \int_{0}^{\frac{\pi}{15}} \frac{\cos 5x (1+e^{5x})}{1+e^{5x}} dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{15}} \cos 5x dx$.
$I = \left[ \frac{\sin 5x}{5} \right]_{0}^{\frac{\pi}{15}} = \frac{1}{5} \left( \sin \frac{\pi}{3} - \sin 0 \right)$.
$I = \frac{1}{5} \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = \frac{\sqrt{3}}{10}$.

(C) दिया गया समीकरण: $\frac{dy}{dx} = \left(\frac{d^2y}{dx^2} + 2\right)^{1/2} + \frac{d^2y}{dx^2} + 5$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\frac{dy}{dx} - \frac{d^2y}{dx^2} - 5 = \left(\frac{d^2y}{dx^2} + 2\right)^{1/2}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\left(\frac{dy}{dx} - \frac{d^2y}{dx^2} - 5\right)^2 = \frac{d^2y}{dx^2} + 2$
बाएँ पक्ष का विस्तार करने पर: $\left(\frac{dy}{dx}\right)^2 + \left(\frac{d^2y}{dx^2}\right)^2 + 25 - 2\frac{dy}{dx}\frac{d^2y}{dx^2} - 10\frac{dy}{dx} + 10\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d^2y}{dx^2} + 2$
समीकरण को सरल करने पर: $\left(\frac{d^2y}{dx^2}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2 - 2\frac{dy}{dx}\frac{d^2y}{dx^2} - 10\frac{dy}{dx} + 9\frac{d^2y}{dx^2} + 23 = 0$
यहाँ उच्चतम अवकलज $\frac{d^2y}{dx^2}$ है,इसलिए कोटि $2$ है।
उच्चतम अवकलज की अधिकतम घात $2$ है,इसलिए घात $2$ है।

(A) दिया गया है $y = \sin ax + \cos bx$।
सबसे पहले,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$y' = \frac{d}{dx}(\sin ax) + \frac{d}{dx}(\cos bx) = a \cos ax - b \sin bx$।
इसके बाद,द्वितीय अवकलज प्राप्त करने के लिए पुनः अवकलन करने पर:
$y'' = \frac{d}{dx}(a \cos ax - b \sin bx) = -a^2 \sin ax - b^2 \cos bx$।
अब,$y''$ और $y$ का मान $y'' + b^2 y$ में रखने पर:
$y'' + b^2 y = (-a^2 \sin ax - b^2 \cos bx) + b^2(\sin ax + \cos bx)$।
$y'' + b^2 y = -a^2 \sin ax - b^2 \cos bx + b^2 \sin ax + b^2 \cos bx$।
$y'' + b^2 y = (b^2 - a^2) \sin ax$।

(B) दिया गया व्यापक हल: $y = A e^{-x} + B \cos x$ ... $(i)$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{dy}{dx} = -A e^{-x} - B \sin x$ ... $(ii)$
पुनः अवकलन करने पर: $\frac{d^2y}{dx^2} = A e^{-x} - B \cos x$ ... $(iii)$
$(i)$ और $(ii)$ से,$B$ को विलुप्त करने पर: $y \sin x + \frac{dy}{dx} \cos x = A e^{-x} (\sin x - \cos x)$ ... $(iv)$
$(i)$ और $(iii)$ से,$B$ को विलुप्त करने पर: $y + \frac{d^2y}{dx^2} = 2 A e^{-x}$ ... $(v)$
$(iv)$ और $(v)$ से,$A$ को विलुप्त करने पर: $y \sin x + \frac{dy}{dx} \cos x = \frac{1}{2} (y + \frac{d^2y}{dx^2}) (\sin x - \cos x)$
$2$ से गुणा करने पर: $2y \sin x + 2 \frac{dy}{dx} \cos x = (y + \frac{d^2y}{dx^2}) (\sin x - \cos x)$
पदों को व्यवस्थित करने पर: $(\cos x - \sin x) \frac{d^2y}{dx^2} + 2 \cos x \frac{dy}{dx} + (\sin x + \cos x) y = 0$.

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{d y}{d x}+\frac{\sin (2 x+y)}{\cos x}+2=0$ है ....$(i)$
माना $2 x+y=t$. $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$2+\frac{d y}{d x}=\frac{d t}{d x}$,अतः $\frac{d y}{d x}=\frac{d t}{d x}-2$.
इस मान को समीकरण $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$(\frac{d t}{d x}-2) + \frac{\sin t}{\cos x} + 2 = 0$
$\frac{d t}{d x} + \frac{\sin t}{\cos x} = 0$
$\frac{d t}{\sin t} = -\frac{d x}{\cos x}$
$\operatorname{cosec} t \, dt = -\sec x \, dx$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int \operatorname{cosec} t \, dt = -\int \sec x \, dx$
$\ln|\operatorname{cosec} t - \cot t| = -\ln|\sec x + \tan x| + C_1$
$\ln|\operatorname{cosec} t - \cot t| + \ln|\sec x + \tan x| = C_1$
$\ln|(\sec x + \tan x)(\operatorname{cosec} t - \cot t)| = C_1$
$(\sec x + \tan x)(\operatorname{cosec} t - \cot t) = e^{C_1} = C$
$t = 2x+y$ का मान वापस रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(\sec x + \tan x)[\operatorname{cosec}(2x+y) - \cot(2x+y)] = C$.

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $(3x^2-2xy)dy+(y^2-2xy)dx=0$
पदों को व्यवस्थित करने पर: $\frac{dy}{dx} = \frac{2xy-y^2}{3x^2-2xy}$
यह एक समघातीय अवकल समीकरण है। माना $y=vx$,तब $\frac{dy}{dx} = v+x\frac{dv}{dx}$.
इन मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $v+x\frac{dv}{dx} = \frac{2v-v^2}{3-2v}$
$x\frac{dv}{dx} = \frac{2v-v^2}{3-2v} - v = \frac{2v-v^2-3v+2v^2}{3-2v} = \frac{v^2-v}{3-2v}$
चरों को पृथक करने पर: $\frac{3-2v}{v^2-v} dv = \frac{dx}{x}$
आंशिक भिन्न का उपयोग करने पर: $\frac{3-2v}{v(v-1)} = \frac{A}{v} + \frac{B}{v-1} \Rightarrow 3-2v = A(v-1) + Bv$.
$v=0$ के लिए,$A=-3$. $v=1$ के लिए,$B=-1$.
अतः,$\int (\frac{-3}{v} - \frac{1}{v-1}) dv = \int \frac{dx}{x}$
$-3\ln|v| - \ln|v-1| = \ln|x| + \ln|c|$
$\ln|v^3(v-1)|^{-1} = \ln|cx| \Rightarrow v^3(v-1) = \frac{1}{cx}$
$v=\frac{y}{x}$ रखने पर: $(\frac{y}{x})^3(\frac{y}{x}-1) = \frac{1}{cx} \Rightarrow \frac{y^3(y-x)}{x^4} = \frac{1}{cx} \Rightarrow y^3(y-x) = \frac{x^3}{c}$
अतः,$xy-x^2=cy^3$ अभीष्ट हल है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{d y}{d x}=\frac{2 y^2+1}{2 y^3-4 x y+y}$ है।
व्युत्क्रम लेने पर,$\frac{d x}{d y}=\frac{2 y^3-4 x y+y}{2 y^2+1} = \frac{y(2 y^2+1) - 4 x y}{2 y^2+1} = y - \frac{4 x y}{2 y^2+1}$ प्राप्त होता है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,$\frac{d x}{d y} + \left(\frac{4 y}{2 y^2+1}\right) x = y$ प्राप्त होता है।
यह $\frac{d x}{d y} + P(y) x = Q(y)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(y) = \frac{4 y}{2 y^2+1}$ और $Q(y) = y$ है।
समाकलन गुणक $IF = e^{\int P(y) d y} = e^{\int \frac{4 y}{2 y^2+1} d y} = e^{\ln(2 y^2+1)} = 2 y^2+1$ है।
व्यापक हल $x(IF) = \int Q(y)(IF) d y + C$ है।
$x(2 y^2+1) = \int y(2 y^2+1) d y + C = \int (2 y^3+y) d y + C$ प्राप्त होता है।
$x(2 y^2+1) = \frac{2 y^4}{4} + \frac{y^2}{2} + C = \frac{y^4}{2} + \frac{y^2}{2} + C$ प्राप्त होता है।
$2$ से गुणा करने पर,$2 x(2 y^2+1) = y^4+y^2+2C$,जो सरल होकर $4 x y^2+2 x = y^4+y^2+C$ हो जाता है।

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $(9x - 3y + 5) dy = (3x - y + 1) dx$
$\frac{dy}{dx} = \frac{3x - y + 1}{3(3x - y) + 5}$
माना $v = 3x - y$. तब $\frac{dv}{dx} = 3 - \frac{dy}{dx}$,अर्थात $\frac{dy}{dx} = 3 - \frac{dv}{dx}$.
समीकरण में मान रखने पर: $3 - \frac{dv}{dx} = \frac{v + 1}{3v + 5}$
$\frac{dv}{dx} = 3 - \frac{v + 1}{3v + 5} = \frac{8v + 14}{3v + 5}$
चरों को अलग करने पर: $\frac{3v + 5}{8v + 14} dv = dx$
समाकलन करने पर: $\int \frac{3v + 5}{8v + 14} dv = \int dx$
इसे हल करने पर: $\frac{3}{8} v - \frac{1}{64} \ln |8v + 14| = x + C$
$v = 3x - y$ रखने पर: $\frac{3}{8}(3x - y) - \frac{1}{64} \ln |24x - 8y + 14| = x + C$
दोनों पक्षों को $64$ से गुणा करने पर: $24(3x - y) - \ln |24x - 8y + 14| = 64x + C'$
$72x - 24y - \ln |2(12x - 4y + 7)| = 64x + C'$
$8x - 24y - \ln |12x - 4y + 7| = C''$
$2$ से विभाजित करने पर: $4x - 12y - \frac{1}{2} \ln |12x - 4y + 7| = C$,जो विकल्प $B$ के अनुरूप है।

(A) दिया गया व्यापक हल: $y = \sin x + A \cos x$ $(i)$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{dy}{dx} = \cos x - A \sin x$ (ii)
$(i)$ से,$A \cos x = y - \sin x$,अतः $A = \frac{y - \sin x}{\cos x}$.
$A$ का मान (ii) में रखने पर: $\frac{dy}{dx} = \cos x - (\frac{y - \sin x}{\cos x}) \sin x$
$\frac{dy}{dx} = \cos x - y \tan x + \sin x \tan x$
$\frac{dy}{dx} + y \tan x = \cos x + \sin x \tan x = \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos x} = \frac{1}{\cos x} = \sec x$
इसे मानक रैखिक रूप $\frac{dy}{dx} + f(x)y = Q(x)$ से तुलना करने पर,हमें $f(x) = \tan x$ प्राप्त होता है।
समाकलन गुणक ($I$.$F$.) $e^{\int f(x) dx} = e^{\int \tan x dx} = e^{\ln |\sec x|} = \sec x$ है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण $(6x^2 - 2xy - 18x + 3y)dx - (x^2 - 3x)dy = 0$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $(6x^2 - 18x)dx + (3y - 2xy)dx - (x^2 - 3x)dy = 0$.
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: $(6x^2 - 18x)dx + 3ydx - 2xydx - x^2dy + 3xdy = 0$.
पदों को समूहित करने पर: $(6x^2 - 18x)dx + 3(ydx + xdy) - (2xydx + x^2dy) = 0$.
प्रत्येक भाग का समाकलन करने पर: $\int (6x^2 - 18x)dx + 3\int d(xy) - \int d(x^2y) = 0$.
इससे हमें प्राप्त होता है: $2x^3 - 9x^2 + 3xy - x^2y + c = 0$.

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = \frac{2x-5y+3}{5x+2y-3}$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $(5x+2y-3)dy = (2x-5y+3)dx$
$(5x+2y-3)dy - (2x-5y+3)dx = 0$
$5x dy + 2y dy - 3 dy - 2x dx + 5y dx - 3 dx = 0$
पदों को समूहित करने पर: $5(x dy + y dx) + (2y dy - 2x dx) - (3 dy + 3 dx) = 0$
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: $5 d(xy) + d(y^2) - d(x^2) - 3 d(x+y) = 0$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $5xy + y^2 - x^2 - 3(x+y) = C$
चूंकि वक्र बिंदु $(1,1)$ से गुजरता है,$x=1$ और $y=1$ रखने पर:
$5(1)(1) + (1)^2 - (1)^2 - 3(1+1) = C$
$5 + 1 - 1 - 6 = C \Rightarrow C = -1$
$C$ का मान समीकरण में रखने पर: $5xy + y^2 - x^2 - 3x - 3y = -1$
पुनर्व्यवस्थित करने पर: $x^2 - 5xy - y^2 + 3x + 3y - 1 = 0$
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(B) दिए गए स्थिति सदिश: $\vec{A} = \hat{i}-2 \hat{j}+\hat{k}$,$\vec{B} = 2 \hat{i}+\hat{j}-\hat{k}$,$\vec{C} = \hat{i}-\hat{j}-2 \hat{k}$.
$D$,$BC$ का मध्य बिंदु है,इसलिए $\vec{D} = \frac{\vec{B}+\vec{C}}{2} = \frac{(2+1)\hat{i} + (1-1)\hat{j} + (-1-2)\hat{k}}{2} = \frac{3}{2}\hat{i} - \frac{3}{2}\hat{k}$.
$E$,$CA$ का मध्य बिंदु है,इसलिए $\vec{E} = \frac{\vec{C}+\vec{A}}{2} = \frac{(1+1)\hat{i} + (-1-2)\hat{j} + (-2+1)\hat{k}}{2} = \hat{i} - \frac{3}{2}\hat{j} - \frac{1}{2}\hat{k}$.
अब,$\overrightarrow{DE} = \vec{E} - \vec{D} = (1 - \frac{3}{2})\hat{i} + (-\frac{3}{2} - 0)\hat{j} + (-\frac{1}{2} - (-\frac{3}{2}))\hat{k} = -\frac{1}{2}\hat{i} - \frac{3}{2}\hat{j} + \hat{k}$.
$\overrightarrow{DE}$ की दिशा में इकाई सदिश ज्ञात करने के लिए,हम इसका परिमाण निकालते हैं: $|\overrightarrow{DE}| = \sqrt{(-\frac{1}{2})^2 + (-\frac{3}{2})^2 + 1^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{9}{4} + 1} = \sqrt{\frac{10}{4} + 1} = \sqrt{\frac{14}{4}} = \frac{\sqrt{14}}{2}$.
इकाई सदिश $\frac{\overrightarrow{DE}}{|\overrightarrow{DE}|} = \frac{-\frac{1}{2}\hat{i} - \frac{3}{2}\hat{j} + \hat{k}}{\frac{\sqrt{14}}{2}} = \frac{-\hat{i} - 3\hat{j} + 2\hat{k}}{\sqrt{14}}$ है।

(B) स्थिति सदिश $\vec{A} = \hat{i}+\hat{j}$,$\vec{B} = \hat{j}+\hat{k}$,$\vec{C} = \hat{k}+\hat{i}$,$\vec{D} = \hat{i}-\hat{j}$,$\vec{E} = \hat{j}-\hat{k}$ हैं।
रेखा $AB$ का समीकरण $\vec{r} = \vec{A} + \lambda(\vec{B}-\vec{A}) = (\hat{i}+\hat{j}) + \lambda(-\hat{i}+\hat{k})$ है।
अतः,$x = 1-\lambda, y = 1, z = \lambda$.
$C, D, E$ से गुजरने वाले समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = (\vec{D}-\vec{C}) \times (\vec{E}-\vec{C})$ है।
$\vec{D}-\vec{C} = -\hat{j}-\hat{k}$ और $\vec{E}-\vec{C} = -\hat{i}+\hat{j}-2\hat{k}$.
$\vec{n} = 3\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$.
समतल का समीकरण $3x + y - z = 0$ प्राप्त होता है।
रेखा के निर्देशांक समतल में रखने पर: $3(1-\lambda) + 1 - \lambda = 0 \Rightarrow 4 = 4\lambda \Rightarrow \lambda = \frac{1}{2}$.
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $\frac{1}{2}\hat{i} + \hat{j} + \frac{1}{2}\hat{k}$ है।

(D) मान लीजिए तीन बिंदुओं के स्थिति सदिश $\vec{P} = \lambda \vec{a}-2 \vec{b}+\vec{c}$,$\vec{Q} = 2 \vec{a}+\lambda \vec{b}-2 \vec{c}$,और $\vec{R} = 4 \vec{a}+7 \vec{b}-8 \vec{c}$ हैं।
चूंकि बिंदु संरेख हैं,सदिश $\vec{PQ}$ और $\vec{QR}$ समानांतर होने चाहिए,अर्थात किसी अदिश $k$ के लिए $\vec{PQ} = k \vec{QR}$.
$\vec{PQ} = \vec{Q} - \vec{P} = (2-\lambda) \vec{a} + (\lambda+2) \vec{b} - 3 \vec{c}$.
$\vec{QR} = \vec{R} - \vec{Q} = 2 \vec{a} + (7-\lambda) \vec{b} - 6 \vec{c}$.
$\vec{PQ} = k \vec{QR}$ होने के कारण:
$(2-\lambda) \vec{a} + (\lambda+2) \vec{b} - 3 \vec{c} = k [2 \vec{a} + (7-\lambda) \vec{b} - 6 \vec{c}]$.
चूंकि $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ असमतलीय हैं,वे रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं। गुणांकों की तुलना करने पर:
$\vec{c}$ के लिए: $-3 = -6k \Rightarrow k = \frac{1}{2}$.
$\vec{a}$ के लिए: $2-\lambda = 2k = 2(\frac{1}{2}) = 1 \Rightarrow \lambda = 1$.
$\vec{b}$ के लिए: $\lambda+2 = k(7-\lambda) = \frac{1}{2}(7-\lambda) \Rightarrow 2\lambda+4 = 7-\lambda \Rightarrow 3\lambda = 3 \Rightarrow \lambda = 1$.
$\lambda = 1$ के लिए दोनों शर्तें संतुष्ट होती हैं।

(C) माना बिंदुओं $A$ और $B$ के स्थिति सदिश क्रमशः $\vec{a} = 2 \hat{i}-3 \hat{j}+\hat{k}$ और $\vec{b} = \hat{i}+2 \hat{j}-3 \hat{k}$ हैं।
बिंदु $C$,$AB$ को $3:2$ के अनुपात में विभाजित करता है। विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर,$C$ का स्थिति सदिश:
$\vec{c} = \frac{3\vec{b} + 2\vec{a}}{3+2} = \frac{3(\hat{i}+2 \hat{j}-3 \hat{k}) + 2(2 \hat{i}-3 \hat{j}+\hat{k})}{5}$
$\vec{c} = \frac{(3+4)\hat{i} + (6-6)\hat{j} + (-9+2)\hat{k}}{5} = \frac{7}{5} \hat{i} + 0 \hat{j} - \frac{7}{5} \hat{k}$
बिंदु $D$ का स्थिति सदिश $\vec{d} = 3 \hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k}$ दिया गया है।
सदिश $\overrightarrow{CD} = \vec{d} - \vec{c} = (3 \hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k}) - (\frac{7}{5} \hat{i} + 0 \hat{j} - \frac{7}{5} \hat{k})$
$\overrightarrow{CD} = (3 - \frac{7}{5}) \hat{i} + (-1 - 0) \hat{j} + (2 + \frac{7}{5}) \hat{k} = \frac{8}{5} \hat{i} - \hat{j} + \frac{17}{5} \hat{k} = \frac{1}{5} (8 \hat{i} - 5 \hat{j} + 17 \hat{k})$
$\overrightarrow{CD}$ का परिमाण $|\overrightarrow{CD}| = \frac{1}{5} \sqrt{8^2 + (-5)^2 + 17^2} = \frac{1}{5} \sqrt{64 + 25 + 289} = \frac{1}{5} \sqrt{378} = \frac{1}{5} \sqrt{9 \times 42} = \frac{3 \sqrt{42}}{5}$ है।
$\overrightarrow{CD}$ की दिशा में इकाई सदिश $\frac{\overrightarrow{CD}}{|\overrightarrow{CD}|} = \frac{\frac{1}{5} (8 \hat{i} - 5 \hat{j} + 17 \hat{k})}{\frac{3 \sqrt{42}}{5}} = \frac{1}{3 \sqrt{42}} (8 \hat{i} - 5 \hat{j} + 17 \hat{k})$ होगा।

(D) हम जानते हैं कि $|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 2(\vec{c} \cdot \vec{a}) + 2(\vec{b} \cdot \vec{c})$.
चूंकि $\vec{c}$,$\vec{a}$ और $\vec{b}$ के समतल के लंबवत है,इसलिए $\vec{c} \cdot \vec{a} = 0$ और $\vec{c} \cdot \vec{b} = 0$ है।
साथ ही,$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}| \cos(\frac{\pi}{4}) = 3 \times 2\sqrt{2} \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 6$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}|^2 = 3^2 + (2\sqrt{2})^2 + 5^2 + 2(6) + 0 + 0$
$|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}|^2 = 9 + 8 + 25 + 12 = 54$ है।
अतः,$|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}| = \sqrt{54} = 3\sqrt{6}$ है।

(C) माना $\vec{a} = 4 \hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k}$ और $\vec{b} = \hat{i}+3 \hat{j}-2 \hat{k}$ है।
अदिश गुणनफल $\vec{a} \cdot \vec{b} = (4)(1) + (-1)(3) + (2)(-2) = 4 - 3 - 4 = -3$ है।
परिमाण $|\vec{a}| = \sqrt{4^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{21}$ और $|\vec{b}| = \sqrt{1^2 + 3^2 + (-2)^2} = \sqrt{14}$ है।
$\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|} = \frac{-3}{\sqrt{21} \sqrt{14}} = \frac{-3}{7 \sqrt{6}}$ है।
$\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta = 1 - \frac{9}{294} = \frac{285}{294}$ होने के कारण,$\sin \theta = \frac{\sqrt{285}}{7 \sqrt{6}}$ प्राप्त होता है।
$\sin 2 \theta = 2 \sin \theta \cos \theta = 2 \left( \frac{\sqrt{285}}{7 \sqrt{6}} \right) \left( \frac{-3}{7 \sqrt{6}} \right) = -\frac{\sqrt{285}}{49}$ होता है।

(D) माना $\vec{a} = 2 \hat{i} - 2 \hat{j} + \hat{k}$ और $\vec{b} = \hat{i} + 2 \hat{j} + 2 \hat{k}$ है।
सबसे पहले,परिमाण ज्ञात करें: $|\vec{a}| = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2} = 3$ और $|\vec{b}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = 3$ है।
चूंकि $|\vec{a}| = |\vec{b}|$ है,इसलिए आंतरिक कोण समद्विभाजक $\vec{v} = \vec{a} + \vec{b}$ द्वारा दिया जाता है।
$\vec{v} = (2 \hat{i} - 2 \hat{j} + \hat{k}) + (\hat{i} + 2 \hat{j} + 2 \hat{k}) = 3 \hat{i} + 3 \hat{k}$ है।
समद्विभाजक की दिशा में इकाई सदिश $\hat{u} = \frac{\vec{v}}{|\vec{v}|} = \frac{3 \hat{i} + 3 \hat{k}}{\sqrt{3^2 + 3^2}} = \frac{3 \hat{i} + 3 \hat{k}}{3 \sqrt{2}} = \frac{\hat{i} + \hat{k}}{\sqrt{2}}$ है।
इस दिशा में $\sqrt{2}$ परिमाण वाला सदिश $\sqrt{2} \times \hat{u} = \sqrt{2} \times \frac{\hat{i} + \hat{k}}{\sqrt{2}} = \hat{i} + \hat{k}$ है।

(D) सदिश $\vec{r}$,$\vec{a} = 2 \hat{i} - \hat{j}$ और $\vec{b} = \hat{j} + 2 \hat{k}$ द्वारा निर्धारित समतल के लंबवत है। अतः,$\vec{r}$,$\vec{a} \times \vec{b}$ के समांतर है।
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(-2 - 0) - \hat{j}(4 - 0) + \hat{k}(2 - 0) = -2 \hat{i} - 4 \hat{j} + 2 \hat{k}$.
माना $\vec{r} = \lambda(-2 \hat{i} - 4 \hat{j} + 2 \hat{k}) = 2\lambda(-\hat{i} - 2 \hat{j} + \hat{k})$.
$\vec{v} = 2 \hat{i} + \hat{j} + 2 \hat{k}$ पर $\vec{r}$ का प्रक्षेप $\frac{|\vec{r} \cdot \vec{v}|}{|\vec{v}|} = 1$ द्वारा दिया जाता है।
$|\vec{v}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 1 + 4} = 3$.
$\vec{r} \cdot \vec{v} = \lambda(-2 \hat{i} - 4 \hat{j} + 2 \hat{k}) \cdot (2 \hat{i} + \hat{j} + 2 \hat{k}) = \lambda(-4 - 4 + 4) = -4\lambda$.
अतः,$\frac{|-4\lambda|}{3} = 1 \Rightarrow |\lambda| = \frac{3}{4}$.
$|\vec{r}| = |\lambda| \sqrt{(-2)^2 + (-4)^2 + 2^2} = \frac{3}{4} \sqrt{4 + 16 + 4} = \frac{3}{4} \sqrt{24} = \frac{3}{4} \times 2 \sqrt{6} = \frac{3 \sqrt{6}}{2}$.

(C) दिया गया है कि $|\vec{a}|=3, |\vec{b}|=4$ और $|\vec{a}+\vec{b}|=\sqrt{37}$ है।
सर्वसमिका $|\vec{a}+\vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + 2\vec{a} \cdot \vec{b}$ का उपयोग करने पर:
$37 = 3^2 + 4^2 + 2\vec{a} \cdot \vec{b}$
$37 = 9 + 16 + 2\vec{a} \cdot \vec{b}$
$37 = 25 + 2\vec{a} \cdot \vec{b} \Rightarrow 2\vec{a} \cdot \vec{b} = 12 \Rightarrow \vec{a} \cdot \vec{b} = 6$.
चूँकि $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta$,इसलिए $6 = 3 \cdot 4 \cos \theta \Rightarrow \cos \theta = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$ है।
अतः,$\theta = 60^{\circ}$ और $\sin \theta = \sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ है।
अब,$|\vec{a}-\vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2\vec{a} \cdot \vec{b}$ का उपयोग करने पर:
$k^2 = 9 + 16 - 12 = 13$ प्राप्त होता है।
अंत में,$\frac{4}{13}(k \sin \theta)^2 = \frac{4}{13} \cdot k^2 \sin^2 \theta = \frac{4}{13} \cdot 13 \cdot (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = 4 \cdot \frac{3}{4} = 3$ है।

(D) दिया गया है $\vec{a}=2 \hat{i}-\hat{j}$,$\vec{b}=2 \hat{j}-\hat{k}$,$\vec{c}=-\hat{i}+2 \hat{k}$.
माना $\vec{d} = x \hat{i} + y \hat{j} + z \hat{k}$ एक इकाई सदिश है ताकि $x^2+y^2+z^2=1$.
चूंकि $\vec{d} \perp \vec{c}$,इसलिए $\vec{d} \cdot \vec{c} = 0 \Rightarrow -x + 2z = 0 \Rightarrow x = 2z$.
चूंकि $\vec{a}, \vec{b}, \vec{d}$ समतलीय हैं,उनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य है: $[\vec{a} \vec{b} \vec{d}] = 0$.
$\begin{vmatrix} 2 & -1 & 0 \\ 0 & 2 & -1 \\ x & y & z \end{vmatrix} = 0$.
सारणिक का विस्तार करने पर: $2(2z + y) - (-1)(0 + x) = 0 \Rightarrow 4z + 2y + x = 0$.
$x = 2z$ रखने पर: $4z + 2y + 2z = 0 \Rightarrow 2y = -6z \Rightarrow y = -3z$.
अब,इकाई सदिश की शर्त $x^2+y^2+z^2=1$ का उपयोग करने पर: $(2z)^2 + (-3z)^2 + z^2 = 1 \Rightarrow 4z^2 + 9z^2 + z^2 = 1 \Rightarrow 14z^2 = 1 \Rightarrow z^2 = \frac{1}{14}$.
हमें $|\vec{d} \cdot \vec{b}| = |(x \hat{i} + y \hat{j} + z \hat{k}) \cdot (2 \hat{j} - \hat{k})| = |2y - z|$ ज्ञात करना है।
$y = -3z$ रखने पर: $|2(-3z) - z| = |-7z| = 7|z|$.
चूंकि $z^2 = \frac{1}{14}$,इसलिए $|z| = \frac{1}{\sqrt{14}}$.
अतः,$|\vec{d} \cdot \vec{b}| = 7 \times \frac{1}{\sqrt{14}} = \frac{7}{\sqrt{14}} = \sqrt{\frac{49}{14}} = \sqrt{\frac{7}{2}}$.

(A) दिए गए सदिश $\vec{a} = 4 \hat{i} + 5 \hat{j} - 3 \hat{k}$ और $\vec{b} = 6 \hat{i} - 2 \hat{j} - 2 \hat{k}$ हैं।
$\vec{a}$ के समांतर $\vec{b}$ के घटक का परिमाण ज्ञात करने का सूत्र $\frac{|\vec{b} \cdot \vec{a}|}{|\vec{a}|}$ है।
सबसे पहले,अदिश गुणनफल $\vec{b} \cdot \vec{a} = (6)(4) + (-2)(5) + (-2)(-3) = 24 - 10 + 6 = 20$ की गणना करें।
इसके बाद,$\vec{a}$ का परिमाण $|\vec{a}| = \sqrt{4^2 + 5^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 25 + 9} = \sqrt{50} = 5 \sqrt{2}$ ज्ञात करें।
अब,इन मानों को सूत्र में रखने पर:
परिमाण $= \frac{|20|}{5 \sqrt{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = \frac{4 \sqrt{2}}{2} = 2 \sqrt{2}$.

(B) दिया गया है $\vec{a}=\hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k}$ और $\vec{b}=3 \hat{i}-3 \hat{j}+3 \hat{k}$.
माना $\vec{c}=x \hat{i}+y \hat{j}+z \hat{k}$.
$\vec{a} \times \vec{c}=\vec{b}$ से,हमें प्राप्त होता है:
$\begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & 1 \\ x & y & z \end{vmatrix} = 3 \hat{i}-3 \hat{j}+3 \hat{k}$
$(2z-y) \hat{i} - (z-x) \hat{j} + (y-2x) \hat{k} = 3 \hat{i}-3 \hat{j}+3 \hat{k}$
घटकों की तुलना करने पर:
$2z-y=3$ $(i)$
$x-z=-3 \Rightarrow z-x=3$ (ii)
$y-2x=3$ (iii)
दिया गया है $\vec{a} \cdot \vec{c}=3$,अतः $x+2y+z=3$ (iv).
(ii) से,$z=x+3$. (iv) में प्रतिस्थापित करने पर: $x+2y+x+3=3 \Rightarrow 2x+2y=0 \Rightarrow y=-x$.
(iii) में $y=-x$ रखने पर: $-x-2x=3 \Rightarrow -3x=3 \Rightarrow x=-1$.
अतः $y=1$ और $z=2$. इस प्रकार,$\vec{c}=-\hat{i}+\hat{j}+2 \hat{k}$.
अब,$\vec{c} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -1 & 1 & 2 \\ 3 & -3 & 3 \end{vmatrix} = (3+6) \hat{i} - (-3-6) \hat{j} + (3-3) \hat{k} = 9 \hat{i}+9 \hat{j}$.
हमें $\vec{a} \cdot (\vec{c} \times \vec{b} - \vec{b} - \vec{c}) = \vec{a} \cdot (\vec{c} \times \vec{b}) - \vec{a} \cdot \vec{b} - \vec{a} \cdot \vec{c}$ की गणना करनी है।
$\vec{a} \cdot (\vec{c} \times \vec{b}) = (\hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k}) \cdot (9 \hat{i}+9 \hat{j}) = 9+18=27$.
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(3) + (2)(-3) + (1)(3) = 3-6+3=0$.
$\vec{a} \cdot \vec{c} = 3$.
अतः,$27 - 0 - 3 = 24$.

(A) दिया गया है कि $|\vec{a}|=|\vec{b}|=|\vec{c}|=\sqrt{2}$ और किन्हीं दो सदिशों के बीच का कोण $\frac{\pi}{3}$ है।
$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}| \cos(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{2} \times \sqrt{2} \times \frac{1}{2} = 1$.
इसी प्रकार,$\vec{b} \cdot \vec{c} = 1$ और $\vec{c} \cdot \vec{a} = 1$.
सदिश त्रिक गुणन सूत्र $\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = (\vec{a} \cdot \vec{c})\vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{c}$ का उपयोग करते हुए:
$\vec{x} = (\vec{a} \cdot \vec{c})\vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{c} = 1 \cdot \vec{b} - 1 \cdot \vec{c} = \vec{b} - \vec{c}$.
अब,$|\vec{x}|^2 = |\vec{b} - \vec{c}|^2 = |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 - 2(\vec{b} \cdot \vec{c}) = 2 + 2 - 2(1) = 2$.
इसी प्रकार,$\vec{y} = \vec{b} \times (\vec{c} \times \vec{a}) = (\vec{b} \cdot \vec{a})\vec{c} - (\vec{b} \cdot \vec{c})\vec{a} = 1 \cdot \vec{c} - 1 \cdot \vec{a} = \vec{c} - \vec{a}$.
अब,$|\vec{y}|^2 = |\vec{c} - \vec{a}|^2 = |\vec{c}|^2 + |\vec{a}|^2 - 2(\vec{c} \cdot \vec{a}) = 2 + 2 - 2(1) = 2$.
चूंकि $|\vec{x}|^2 = 2$ और $|\vec{y}|^2 = 2$,इसलिए $|\vec{x}| = |\vec{y}| = \sqrt{2}$ है।

(C) चूंकि $\vec{d}$,$\vec{a}$ और $\vec{b}$ के समतल पर लंब है,इसलिए यह $\vec{a} \times \vec{b}$ के समानांतर होना चाहिए।
अतः,$\vec{d} = \lambda(\vec{a} \times \vec{b})$.
सबसे पहले,सदिश गुणनफल $\vec{a} \times \vec{b}$ की गणना करें:
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & -2 \\ 1 & -2 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(1 - 4) - \hat{j}(1 - (-2)) + \hat{k}(-2 - 1) = -3\hat{i} - 3\hat{j} - 3\hat{k}$.
हम $\vec{d} = \mu(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})$ लिख सकते हैं जहाँ $\mu = -3\lambda$.
दिया गया है कि $\vec{d} \cdot \vec{c} = 2$,अतः $\vec{c} = 2\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$ रखने पर:
$\mu(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) \cdot (2\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}) = 2$
$\mu(2 + 1 - 1) = 2 \Rightarrow 2\mu = 2 \Rightarrow \mu = 1$.
इसलिए,$\vec{d} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$.
इसका परिमाण $|\vec{d}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}$ है।

(A) सबसे पहले,सदिश गुणनफल $\vec{v} = \vec{b} \times \vec{c}$ की गणना करें:
$\vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -1 & 2 \\ 1 & 2 & -1 \end{vmatrix} = \hat{i}(1-4) - \hat{j}(-1-2) + \hat{k}(2+1) = -3\hat{i} + 3\hat{j} + 3\hat{k}$
इसका परिमाण $|\vec{v}| = \sqrt{(-3)^2 + 3^2 + 3^2} = \sqrt{9+9+9} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}$ है।
मान लीजिए $\vec{a}$ और $\vec{v}$ के बीच का कोण $\theta$ है। दिया गया है $\cos \theta = \sqrt{\frac{2}{3}}$,इसलिए $\sin \theta = \sqrt{1 - \cos^2 \theta} = \sqrt{1 - \frac{2}{3}} = \sqrt{\frac{1}{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$।
सदिश गुणनफल का परिमाण $|\vec{a} \times \vec{v}| = |\vec{a}| |\vec{v}| \sin \theta$ होता है।
चूंकि $|\vec{a}| = 1$,इसलिए $|\vec{a} \times \vec{v}| = 1 \cdot (3\sqrt{3}) \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = 3$।

(B) दिया गया है कि $\vec{a} \perp \vec{b}$ और $\vec{a} \perp \vec{c}$,इसलिए $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ और $\vec{a} \cdot \vec{c} = 0$ है।
दिया गया है कि $|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}|=\sqrt{|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2+|\vec{c}|^2}$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2+|\vec{c}|^2+2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) = |\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2+|\vec{c}|^2$।
चूंकि $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ और $\vec{a} \cdot \vec{c} = 0$ है,यह समीकरण $2(\vec{b} \cdot \vec{c}) = 0$ में बदल जाता है,इसलिए $\vec{b} \cdot \vec{c} = 0$ है।
अब,सदिश त्रिक गुणन पर विचार करें: $(\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c} = (\vec{a} \cdot \vec{c})\vec{b} - (\vec{b} \cdot \vec{c})\vec{a}$।
$\vec{a} \cdot \vec{c} = 0$ और $\vec{b} \cdot \vec{c} = 0$ होने के कारण,हमें $(\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c} = \vec{0}$ प्राप्त होता है,इसलिए $|(\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c}| = 0$ है।
आगे,अदिश त्रिक गुणन $|(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}| = |[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]|$ है।
$\vec{a} \perp \vec{b}$,$\vec{a} \perp \vec{c}$ और $\vec{b} \perp \vec{c}$ होने के कारण,सदिश $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ परस्पर लंबवत हैं।
अतः,$|(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}| = |\vec{a}| |\vec{b}| |\vec{c}|$ है।
इसलिए,$|(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}|+|(\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c}| = |\vec{a}| |\vec{b}| |\vec{c}| + 0 = |\vec{a}| |\vec{b}| |\vec{c}|$।

(A) माना $\vec{a} = 2 \hat{i}-5 \hat{j}+3 \hat{k}$ और $\vec{b} = 4 \hat{i}+\hat{j}-6 \hat{k}$ बिंदु $A$ और $B$ के स्थिति सदिश हैं।
चूंकि $P$ और $Q$ रेखा $AB$ को त्रिभाजित करते हैं,स्थिति सदिश $\vec{p} = \frac{2}{3}\vec{a} + \frac{1}{3}\vec{b}$ और $\vec{q} = \frac{1}{3}\vec{a} + \frac{2}{3}\vec{b}$ होंगे।
$PQ$ को $2:3$ के अनुपात में विभाजित करने वाले बिंदु $R$ का स्थिति सदिश $\vec{r}$ ज्ञात करने के लिए विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए: $\vec{r} = \frac{3\vec{p} + 2\vec{q}}{5} = \frac{3(\frac{2}{3}\vec{a} + \frac{1}{3}\vec{b}) + 2(\frac{1}{3}\vec{a} + \frac{2}{3}\vec{b})}{5} = \frac{8\vec{a} + 7\vec{b}}{15}$.
सदिशों का मान रखने पर: $\vec{r} = \frac{8(2 \hat{i}-5 \hat{j}+3 \hat{k}) + 7(4 \hat{i}+\hat{j}-6 \hat{k})}{15} = \frac{44\hat{i}-33\hat{j}-18\hat{k}}{15}$.