TS EAMCET 2021 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(A) दिया गया है कि $f(x)$ परिमेय गुणांकों वाला एक बहुपद है।
यदि एक सम्मिश्र संख्या $a+bi$ मूल है,तो इसका संयुग्मी $a-bi$ भी मूल होगा। अतः,$1+2i$ और $1-2i$ मूल हैं।
यदि $a+\sqrt{b}$ के रूप की एक अपरिमेय संख्या मूल है,तो इसका संयुग्मी $a-\sqrt{b}$ भी मूल होगा। अतः,$2-\sqrt{3}$ और $2+\sqrt{3}$ मूल हैं।
इसके अतिरिक्त,$5$ भी एक मूल दिया गया है।
अतः,मूल $1+2i, 1-2i, 2-\sqrt{3}, 2+\sqrt{3}$ और $5$ हैं।
इस प्रकार,बहुपद की न्यूनतम घात $n$ का मान $5$ है।

(B) $m$ भुजाओं वाले बहुभुज के शीर्षों से बनने वाले त्रिभुजों की संख्या $T_m = {}^mC_3$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है कि $T_{m+1} - T_m = 15$ है।
सूत्र प्रतिस्थापित करने पर,${}^{m+1}C_3 - {}^mC_3 = 15$ प्राप्त होता है।
सर्वसमिका ${}^nC_r + {}^nC_{r-1} = {}^{n+1}C_r$ का उपयोग करते हुए,हम लिख सकते हैं कि ${}^{m+1}C_3 = {}^mC_3 + {}^mC_2$ है।
अतः,${}^mC_3 + {}^mC_2 - {}^mC_3 = 15$ है।
यह सरल होकर ${}^mC_2 = 15$ हो जाता है।
संचय का विस्तार करने पर,$\frac{m(m-1)}{2} = 15$ है।
$m(m-1) = 30$ है।
$m^2 - m - 30 = 0$ है।
$(m-6)(m+5) = 0$ है।
चूंकि $m$ एक धनात्मक पूर्णांक होना चाहिए,इसलिए $m = 6$ है।

(A) रेखा $ax + by + c = 0$ के सापेक्ष बिंदु $(x_1, y_1)$ के प्रतिबिंब $(h, k)$ का सूत्र $\frac{h - x_1}{a} = \frac{k - y_1}{b} = -2 \frac{ax_1 + by_1 + c}{a^2 + b^2}$ है।
यहाँ रेखा $5x - 3y - 2 = 0$ और बिंदु $(2, -3)$ दिए गए हैं,इसलिए $a = 5, b = -3, c = -2, x_1 = 2, y_1 = -3$ है।
$ax_1 + by_1 + c = 5(2) - 3(-3) - 2 = 10 + 9 - 2 = 17$ है।
$a^2 + b^2 = 5^2 + (-3)^2 = 25 + 9 = 34$ है।
सूत्र में मान रखने पर: $\frac{h - 2}{5} = \frac{k - (-3)}{-3} = -2 \frac{17}{34} = -1$ है।
अतः,$h - 2 = 5(-1) \implies h = -3$ है।
और $k + 3 = -3(-1) \implies k + 3 = 3 \implies k = 0$ है।
इसलिए,$h + k = -3 + 0 = -3$ है।

(B) दिया गया परवलय का समीकरण $(x-2)^2+(y-3)^2=\frac{1}{25}(3x-4y+7)^2$ है।
यहाँ नाभि $S = (2, 3)$ है और नियता का समीकरण $3x-4y+7=0$ है।
नाभि से नियता की लंबवत दूरी $d = \frac{|3(2)-4(3)+7|}{\sqrt{3^2+(-4)^2}} = \frac{|6-12+7|}{5} = \frac{1}{5}$ है।
परवलय के लिए नाभिलंब की लंबाई $2d$ होती है।
अतः,नाभिलंब की लंबाई $= 2 \times \frac{1}{5} = \frac{2}{5}$.

(C) हम जानते हैं कि $\cot \frac{A}{2} = \sqrt{\frac{s(s-a)}{(s-b)(s-c)}}$ और $\cot \frac{C}{2} = \sqrt{\frac{s(s-c)}{(s-a)(s-b)}}$.
इनका गुणा करने पर,$\cot \frac{A}{2} \cot \frac{C}{2} = \sqrt{\frac{s(s-a)}{(s-b)(s-c)} \times \frac{s(s-c)}{(s-a)(s-b)}} = \sqrt{\frac{s^2}{(s-b)^2}} = \frac{s}{s-b}$.
दिया है $a+c=5b$,अर्ध-परिमाप $s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{5b+b}{2} = 3b$.
$s = 3b$ का मान रखने पर,$\frac{s}{s-b} = \frac{3b}{3b-b} = \frac{3b}{2b} = \frac{3}{2}$.

(A) माना $y = \frac{x}{x+1}$ है। तब $y(x+1) = x$ $\Rightarrow yx + y = x$ $\Rightarrow x(y-1) = -y$ $\Rightarrow x = \frac{y}{1-y}$।
चूंकि $\frac{\alpha}{\alpha+1}$ और $\frac{\beta}{\beta+1}$ समीकरण $x^2+7x+3=0$ के मूल हैं,इसलिए $x = \frac{y}{1-y}$ को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर $y$ (जो $\alpha$ और $\beta$ हैं) के लिए समीकरण प्राप्त होता है:
$(\frac{y}{1-y})^2 + 7(\frac{y}{1-y}) + 3 = 0$
$(1-y)^2$ से गुणा करने पर:
$y^2 + 7y(1-y) + 3(1-y)^2 = 0$
$y^2 + 7y - 7y^2 + 3(1 - 2y + y^2) = 0$
$y^2 + 7y - 7y^2 + 3 - 6y + 3y^2 = 0$
$(1-7+3)y^2 + (7-6)y + 3 = 0$
$-3y^2 + y + 3 = 0$
$3y^2 - y - 3 = 0$।
अतः,$\alpha$ और $\beta$ मूलों वाला समीकरण $3x^2-x-3=0$ है।

(A) माना समीकरण $3x^3-26x^2+52x-24=0$ के मूल $\frac{a}{r}, a, ar$ हैं।
हम जानते हैं कि त्रिघात समीकरण $Ax^3+Bx^2+Cx+D=0$ के लिए,मूलों का गुणनफल $-\frac{D}{A}$ होता है।
अतः,$\frac{a}{r} \times a \times ar = -\frac{(-24)}{3} = 8$.
$a^3 = 8 \Rightarrow a = 2$.
अब,मूलों का योग $\frac{a}{r} + a + ar = -\frac{(-26)}{3} = \frac{26}{3}$ है।
$a=2$ प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{2}{r} + 2 + 2r = \frac{26}{3} \Rightarrow \frac{1}{r} + r = \frac{10}{3}$.
इस समीकरण को हल करने पर $3r^2 - 10r + 3 = 0$ प्राप्त होता है,जिससे $r = 3$ या $r = \frac{1}{3}$ मिलता है।
अतः,मूल $\frac{2}{3}, 2, 6$ हैं।
दो मूलों का योग $\frac{2}{3}+2 = \frac{8}{3}$ है,जो विकल्प में दिया गया है।

(D) दिया गया समीकरण: $\frac{32x^2+186x}{(x^2+1)(x+5)}=\frac{37x+1}{x^2+1}+\frac{\lambda}{x+5}$
दाहिनी ओर के पदों को जोड़ने पर:
$\frac{32x^2+186x}{(x^2+1)(x+5)}=\frac{(37x+1)(x+5)+\lambda(x^2+1)}{(x^2+1)(x+5)}$
अंशों की तुलना करने पर:
$32x^2+186x = (37x^2 + 185x + x + 5) + \lambda x^2 + \lambda$
$32x^2+186x = (37+\lambda)x^2 + 186x + (5+\lambda)$
$x^2$ के गुणांकों और अचर पदों की तुलना करने पर:
$37+\lambda = 32 \implies \lambda = -5$
$5+\lambda = 0 \implies \lambda = -5$
अतः,$\frac{\lambda}{2} = \frac{-5}{2}$.

(C) दिया गया है कि $\alpha, \beta, \gamma$ समीकरण $ax^3+bx^2+cx+d=0$ के मूल हैं और $\beta^2=\alpha \gamma$,जिसका अर्थ है कि $\alpha, \beta, \gamma$ एक गुणोत्तर श्रेणी ($G$.$P$.) में हैं।
अब,समीकरण $ak^3x^3+bk^2x^2+ckx+d=0$ पर विचार करें। इसे $a(kx)^3+b(kx)^2+c(kx)+d=0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
मान लीजिए $y = kx$ है। तो समीकरण $ay^3+by^2+cy+d=0$ बन जाता है,जिसके मूल $\alpha, \beta, \gamma$ हैं।
इसलिए,$kx = \alpha, kx = \beta, kx = \gamma$,जिससे $x = \frac{\alpha}{k}, x = \frac{\beta}{k}, x = \frac{\gamma}{k}$ प्राप्त होता है।
अतः,मूल $u, v, w$ का मान $\frac{\alpha}{k}, \frac{\beta}{k}, \frac{\gamma}{k}$ है।
चूंकि $\alpha, \beta, \gamma$ $G$.$P$. में हैं,इसलिए उनके स्केल किए गए मान $\frac{\alpha}{k}, \frac{\beta}{k}, \frac{\gamma}{k}$ भी $G$.$P$. में हैं।
इसलिए,$u, v, w$ $G$.$P$. में हैं,जिसका अर्थ है $v^2=uw$।

(C) दिया गया त्रिघात समीकरण $x^3-3x^2-4x+12=0$ है।
समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$x^2(x-3)-4(x-3)=0$
$(x^2-4)(x-3)=0$
$(x-2)(x+2)(x-3)=0$
अतः,मूल $\alpha=-2, \beta=2, \gamma=3$ हैं।
हमें $\sum(\alpha+\beta)^2 = (\alpha+\beta)^2 + (\beta+\gamma)^2 + (\gamma+\alpha)^2$ का मान ज्ञात करना है।
मान रखने पर:
$(\alpha+\beta)^2 = (-2+2)^2 = 0^2 = 0$
$(\beta+\gamma)^2 = (2+3)^2 = 5^2 = 25$
$(\gamma+\alpha)^2 = (3-2)^2 = 1^2 = 1$
योग करने पर: $0 + 25 + 1 = 26$.

(A) द्विघात व्यंजक $f(x) = ax^2+bx+c$ के लिए,न्यूनतम मान $x = -\frac{b}{2a}$ पर प्राप्त होता है।
यहाँ,$f(x) = x^2+5x-2$,इसलिए $a=1, b=5, c=-2$ है।
न्यूनतम मान $a = -\frac{5}{2(1)} = -2.5$ पर प्राप्त होता है।
न्यूनतम मान $M = f(-2.5) = (-2.5)^2 + 5(-2.5) - 2 = 6.25 - 12.5 - 2 = -8.25$ है।
अब,$\frac{M}{a} = \frac{-8.25}{-2.5} = 3.3$ है।

(C) दिया गया है कि $f(x)=x^2+ax+2=0$ और $g(x)=x^2+2x+a=0$ का केवल एक वास्तविक उभयनिष्ठ मूल है। उभयनिष्ठ मूल ज्ञात करने के लिए दोनों समीकरणों को घटाने पर:
$f(x)-g(x)=(a-2)x+(2-a)=0$
$(a-2)(x-1)=0$
चूंकि $a \neq 2$,इसलिए उभयनिष्ठ मूल $x=1$ है।
$x=1$ को $f(x)=0$ में रखने पर:
$1+a+2=0 \Rightarrow a=-3$.
अब,$f(x)=x^2-3x+2=0$ और $g(x)=x^2+2x-3=0$.
अतः $f(x)+g(x) = 2x^2-x-1=0$.
द्विघात समीकरण $Ax^2+Bx+C=0$ के मूलों का योग $-\frac{B}{A}$ होता है।
अतः,$2x^2-x-1=0$ के लिए मूलों का योग $-\frac{-1}{2} = \frac{1}{2}$ है।

(B) दिया गया है कि समीकरण $x^2 - 2cx + ab = 0$ के मूल वास्तविक और असमान हैं,इसलिए इसका विविक्तकर (discriminant) $D_1 > 0$ है।
$D_1 = (-2c)^2 - 4(1)(ab) = 4c^2 - 4ab > 0$,जिसका अर्थ है $c^2 > ab$।
अब,समीकरण $x^2 - 2(a + b)x + a^2 + b^2 + 2c^2 = 0$ पर विचार करें।
इस समीकरण का विविक्तकर $D_2$ है:
$D_2 = [-2(a + b)]^2 - 4(1)(a^2 + b^2 + 2c^2)$
$D_2 = 4(a^2 + 2ab + b^2) - 4a^2 - 4b^2 - 8c^2$
$D_2 = 4a^2 + 8ab + 4b^2 - 4a^2 - 4b^2 - 8c^2$
$D_2 = 8ab - 8c^2 = 8(ab - c^2)$।
चूंकि $c^2 > ab$,इसलिए $ab - c^2 < 0$ है।
अतः,$D_2 < 0$ है।
चूंकि विविक्तकर ऋणात्मक है,इसलिए समीकरण के मूल काल्पनिक हैं।

(C) दिया गया है कि $f(x)=ax^2-bx-a$ एक द्विघात व्यंजक है जिसके लिए $f(x) \leq K, \forall x \in R$ है।
इसका अर्थ है $ax^2-bx-a-K \leq 0, \forall x \in R$।
किसी द्विघात व्यंजक $Ax^2+Bx+C$ के लिए,यदि वह सभी $x$ के लिए $0$ या उससे कम है,तो $x^2$ का गुणांक ऋणात्मक $(a < 0)$ होना चाहिए और विविक्तकर $D \leq 0$ होना चाहिए।
यहाँ,$D = (-b)^2 - 4(a)(-a-K) \leq 0$।
$b^2 + 4a(a+K) \leq 0$।
$b^2 + 4a^2 + 4aK \leq 0$।
चूंकि $b^2 + 4a^2 \geq 0$,व्यंजक के $\leq 0$ होने के लिए $4aK$ का ऋणात्मक होना आवश्यक है।
दिया गया है कि $a < 0$,इसलिए $4aK < 0$ होने के लिए $K$ का धनात्मक होना आवश्यक है।
अतः,$K > 0$।

(A) दिया गया है $y = \frac{x^2 + 14x + 9}{x^2 + 2x + 3}$.
$y(x^2 + 2x + 3) = x^2 + 14x + 9$.
$(y - 1)x^2 + 2(y - 7)x + 3y - 9 = 0$.
चूंकि $x \in R$,विविक्तकर $D \geq 0$.
$4(y - 7)^2 - 4(y - 1)(3y - 9) \geq 0$.
$(y^2 - 14y + 49) - (3y^2 - 12y + 9) \geq 0$.
$-2y^2 - 2y + 40 \geq 0$.
$y^2 + y - 20 \leq 0$.
$(y + 5)(y - 4) \leq 0$.
अतः,$y \in [-5, 4]$.

(D) कथन $(A)$: मान लीजिए $f(x) = -x^2+3x+1$.
अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए,$f'(x) = 0$ रखकर क्रांतिक बिंदु ज्ञात करें।
$f'(x) = -2x+3 = 0 \Rightarrow x = \frac{3}{2}$.
चूंकि $f''(x) = -2 < 0$,फलन का मान $x = \frac{3}{2}$ पर अधिकतम है।
अधिकतम मान $f\left(\frac{3}{2}\right) = -\left(\frac{3}{2}\right)^2 + 3\left(\frac{3}{2}\right) + 1 = -\frac{9}{4} + \frac{9}{2} + 1 = \frac{13}{4}$ है।
चूंकि दिया गया कथन कहता है कि अधिकतम मान $\frac{11}{4}$ है,इसलिए कथन $(A)$ असत्य है।
कारण $(R)$: $f(x) = ax^2+bx+c$ के लिए जहाँ $a < 0$,शीर्ष $x = -\frac{b}{2a}$ पर होता है।
$f'(x) = 2ax+b = 0 \Rightarrow x = -\frac{b}{2a}$.
चूंकि $f''(x) = 2a < 0$,यह बिंदु वास्तव में अधिकतम है।
अतः,कारण $(R)$ सत्य है।

(B) द्विघात व्यंजक $x^2+bx+5$ का न्यूनतम मान $x = -\frac{b}{2}$ पर प्राप्त होता है। इसे प्रतिस्थापित करने पर,$\alpha = (-\frac{b}{2})^2 + b(-\frac{b}{2}) + 5 = 5 - \frac{b^2}{4}$ प्राप्त होता है।
द्विघात व्यंजक $-x^2+ax+5$ का अधिकतम मान $x = \frac{a}{2}$ पर प्राप्त होता है। इसे प्रतिस्थापित करने पर,$\beta = -(\frac{a}{2})^2 + a(\frac{a}{2}) + 5 = 5 + \frac{a^2}{4}$ प्राप्त होता है।
दी गई असमिका $x^2-10x+24 \leq 0$ का गुणनखंड करने पर $(x-4)(x-6) \leq 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $4 \leq x \leq 6$.
इस अंतराल की तुलना $[\alpha, \beta]$ से करने पर,$\alpha = 4$ और $\beta = 6$ प्राप्त होता है।
व्यंजकों की तुलना करने पर:
$5 - \frac{b^2}{4} = 4$ $\Rightarrow \frac{b^2}{4} = 1$ $\Rightarrow b^2 = 4$.
$5 + \frac{a^2}{4} = 6$ $\Rightarrow \frac{a^2}{4} = 1$ $\Rightarrow a^2 = 4$.
अतः,$a^2b^2 = 4 \times 4 = 16$.

(A) दी गई असमिका: $x^2-5x-14 > 0$
द्विघात व्यंजक का गुणनखंड करने पर: $(x+2)(x-7) > 0$
गुणनफल धनात्मक होने के लिए,$x$ को छोटे मूल से छोटा या बड़े मूल से बड़ा होना चाहिए: $x \in (-\infty, -2) \cup (7, \infty)$
प्रश्न के अनुसार,$x$ अंतराल $[\alpha, \beta]$ के बाहर स्थित है।
तुलना करने पर,$\alpha = -2$ और $\beta = 7$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{\alpha}{\beta} = \frac{-2}{7}$.

(A) दिया गया समीकरण $x^3-x+1=0$ है।
विएटा के सूत्रों के अनुसार,मूलों $\alpha, \beta, \gamma$ के लिए:
$\alpha+\beta+\gamma = 0$
$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha = -1$
$\alpha\beta\gamma = -1$
मान लीजिए $y = \frac{1+x}{1-x}$,जिससे $x = \frac{y-1}{y+1}$ प्राप्त होता है।
इस मान को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $y^3-y^2+7y+1 = 0$ प्राप्त होता है।
इस समीकरण के मूल $\frac{1+\alpha}{1-\alpha}, \frac{1+\beta}{1-\beta}, \frac{1+\gamma}{1-\gamma}$ हैं।
अतः,मूलों का योग $y_1+y_2+y_3 = -(\frac{-1}{1}) = 1$ है।

(A) माना दिए गए समीकरण $x^4-2 x^3+6 x-21=0$ के मूल $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ हैं। हमें वह समीकरण ज्ञात करना है जिसके मूल $\alpha^2, \beta^2, \gamma^2, \delta^2$ हैं।
माना $y = x^2$,तो $x = \sqrt{y}$।
दिए गए समीकरण को $x^4-21 = 2 x(x^2-3)$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$x^2 = y$ प्रतिस्थापित करने पर: $y^2-21 = 2 x(y-3)$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(y^2-21)^2 = 4 x^2(y-3)^2$।
चूँकि $x^2 = y$,हमारे पास है: $(y^2-21)^2 = 4 y(y-3)^2$।
विस्तार करने पर: $y^4-42 y^2+441 = 4 y(y^2-6 y+9)$।
$y^4-42 y^2+441 = 4 y^3-24 y^2+36 y$।
मानक रूप में व्यवस्थित करने पर: $y^4-4 y^3-18 y^2-36 y+441=0$।
$y$ को $x$ से बदलने पर,अभीष्ट समीकरण $x^4-4 x^3-18 x^2-36 x+441=0$ है।

(B) दिया गया है कि $x^2-3x+2$,$P(x) = x^4-ax^2+b$ का एक गुणनखंड है।
भाजक का गुणनखंड करने पर: $x^2-3x+2 = (x-1)(x-2)$।
चूंकि $(x-1)$ और $(x-2)$ गुणनखंड हैं,इसलिए $P(1) = 0$ और $P(2) = 0$ होगा।
$x=1$ के लिए: $(1)^4 - a(1)^2 + b = 0 \implies 1 - a + b = 0 \implies -a + b = -1$ (समीकरण $i$)।
$x=2$ के लिए: $(2)^4 - a(2)^2 + b = 0 \implies 16 - 4a + b = 0 \implies -4a + b = -16$ (समीकरण $ii$)।
समीकरण $(i)$ से समीकरण $(ii)$ को घटाने पर: $(-a+b) - (-4a+b) = -1 - (-16) \implies 3a = 15 \implies a = 5$।
$a=5$ का मान समीकरण $(i)$ में रखने पर: $-5 + b = -1 \implies b = 4$।
अभीष्ट द्विघात समीकरण के मूल $a=5$ और $b=4$ हैं।
समीकरण $x^2 - (a+b)x + ab = 0$ द्वारा प्राप्त होता है।
मान रखने पर: $x^2 - (5+4)x + (5 \times 4) = 0 \implies x^2 - 9x + 20 = 0$।

(C) दिया गया समीकरण: $3x^3+4x^2-5x-2=0$ $(i)$.
मान लीजिए $(i)$ के मूल $\alpha, \beta, \gamma$ हैं।
मूलों को $h$ से कम करने पर,नए मूल $t = x - h$ होते हैं,जिसका अर्थ है $x = t + h$.
$(i)$ में $x = t + h$ प्रतिस्थापित करने पर:
$3(t+h)^3 + 4(t+h)^2 - 5(t+h) - 2 = 0$.
पदों का विस्तार करने पर:
$3t^3 + (9h + 4)t^2 + (9h^2 + 8h - 5)t + (3h^3 + 4h^2 - 5h - 2) = 0$.
चूंकि $x^2$ (या $t^2$) पद अनुपस्थित है,इसका गुणांक शून्य होना चाहिए:
$9h + 4 = 0 \Rightarrow h = -\frac{4}{9}$.
अब,मूल समीकरण $3x^3+4x^2-5x-2=0$ के मूल ज्ञात करें।
निरीक्षण द्वारा,$x=1$ एक मूल है $(3+4-5-2=0)$.
$(x-1)$ से विभाजित करने पर,हमें $(x-1)(3x^2+7x+2) = 0$ प्राप्त होता है।
$(x-1)(3x+1)(x+2) = 0$.
मूल $x_1 = 1, x_2 = -\frac{1}{3}, x_3 = -2$ हैं।
नए मूल $x_i - h = x_i - (-\frac{4}{9}) = x_i + \frac{4}{9}$ हैं।
नए मूल: $1 + \frac{4}{9} = \frac{13}{9}$,$-\frac{1}{3} + \frac{4}{9} = \frac{1}{9}$,और $-2 + \frac{4}{9} = -\frac{14}{9}$.

(B) दिया गया है $x=2+2^{\frac{2}{3}}+2^{\frac{1}{3}}$.
दोनों पक्षों से $2$ घटाने पर,$x-2=2^{\frac{2}{3}}+2^{\frac{1}{3}}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का घन करने पर,$(x-2)^3 = (2^{\frac{2}{3}}+2^{\frac{1}{3}})^3$.
सर्वसमिका $(a+b)^3 = a^3+b^3+3ab(a+b)$ का उपयोग करने पर:
$x^3-6x^2+12x-8 = (2^{\frac{2}{3}})^3 + (2^{\frac{1}{3}})^3 + 3(2^{\frac{2}{3}})(2^{\frac{1}{3}})(2^{\frac{2}{3}}+2^{\frac{1}{3}})$.
$x^3-6x^2+12x-8 = 4 + 2 + 3(2^1)(x-2)$.
$x^3-6x^2+12x-8 = 6 + 6(x-2)$.
$x^3-6x^2+12x-8 = 6 + 6x - 12$.
$x^3-6x^2+12x-8 = 6x - 6$.
पदों को व्यवस्थित करने पर,$x^3-6x^2+6x = 8-6 = 2$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है कि एक मूल $-1+i$ है।
चूंकि समीकरण के गुणांक वास्तविक हैं,इसलिए इसका सम्मिश्र संयुग्मी $-1-i$ भी एक मूल होगा।
अतः,$(x+1-i)(x+1+i) = x^2+2x+2$ दिए गए समीकरण का एक गुणनखंड है।
$x^4+4x^3+5x^2+2x-2$ को $x^2+2x+2$ से विभाजित करने पर,हमें भागफल $x^2+2x-1$ प्राप्त होता है।
$x^2+2x-1 = 0$ के लिए,द्विघाती सूत्र का उपयोग करने पर:
$x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 4(1)(-1)}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{8}}{2} = -1 \pm \sqrt{2}$.
अतः,वास्तविक मूल $-1 \pm \sqrt{2}$ हैं।

(B) दिया गया समीकरण $2x^3 + mx^2 - 13x + n = 0$ है। चूँकि $2$ और $3$ मूल हैं,वे समीकरण को संतुष्ट करेंगे।
$x = 2$ के लिए:
$2(2)^3 + m(2)^2 - 13(2) + n = 0$
$16 + 4m - 26 + n = 0$
$4m + n = 10$ --- $(i)$
$x = 3$ के लिए:
$2(3)^3 + m(3)^2 - 13(3) + n = 0$
$54 + 9m - 39 + n = 0$
$9m + n = -15$ --- $(ii)$
$(ii)$ में से $(i)$ को घटाने पर:
$(9m + n) - (4m + n) = -15 - 10$
$5m = -25 \Rightarrow m = -5$
$m = -5$ को $(i)$ में रखने पर:
$4(-5) + n = 10$
$-20 + n = 10 \Rightarrow n = 30$
अतः,$m = -5$ और $n = 30$ है।

(B) दिया गया है,$\frac{(1+i)^n}{(1-i)^n} = -i$
$\Rightarrow \left(\frac{1+i}{1-i}\right)^n = -i$
कोष्ठक के अंदर के पद का परिमेयकरण करने पर:
$\Rightarrow \left[\frac{(1+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)}\right]^n = -i$
$\Rightarrow \left[\frac{1+i^2+2i}{1-i^2}\right]^n = -i$
चूंकि $i^2 = -1$:
$\Rightarrow \left[\frac{1-1+2i}{1+1}\right]^n = -i$
$\Rightarrow \left(\frac{2i}{2}\right)^n = -i$
$\Rightarrow i^n = -i$
हम जानते हैं कि $i^1 = i$,$i^2 = -1$,$i^3 = -i$,और $i^4 = 1$ होता है।
$i^n = -i$ का मान तब प्राप्त होता है जब $n$ का रूप $4k-1$ हो,जहाँ $k \in N$ है।

(C) दिया गया समीकरण $(z-4)^3=8 i$ है। मान लीजिए $w = z-4$,तो $w^3 = 8 i = 8 e^{i \pi/2}$।
मूल $w_k = 2 e^{i(\pi/2 + 2k\pi)/3}$ हैं,जहाँ $k=0, 1, 2$ है।
$k=0$ के लिए,$w_0 = \sqrt{3} + i$।
$k=1$ के लिए,$w_1 = -\sqrt{3} + i$।
$k=2$ के लिए,$w_2 = -2 i$।
चूँकि $z = w+4$,मूल $z_0 = 4+\sqrt{3}+i$,$z_1 = 4-\sqrt{3}+i$,और $z_2 = 4-2 i$ हैं।
$a-2 i, b+i, c+i$ के साथ तुलना करने पर,$a=4, b=4+\sqrt{3}, c=4-\sqrt{3}$ प्राप्त होता है।
अतः $abc = 4(4+\sqrt{3})(4-\sqrt{3}) = 4(16-3) = 52$।
इसलिए,$\sqrt{abc} = \sqrt{52} = 2 \sqrt{13}$।

(B) दिया गया है $(a+ib)^{\frac{1}{4}}=2+3i$।
दोनों पक्षों की घात $4$ करने पर:
$(a+ib)=(2+3i)^4$।
दाएँ पक्ष का विस्तार करने पर:
$(a+ib)=[(2+3i)^2]^2 = [4+9i^2+12i]^2$।
चूँकि $i^2=-1$,हमें प्राप्त होता है:
$(a+ib)=[4-9+12i]^2 = [-5+12i]^2$।
आगे विस्तार करने पर:
$a+ib = (-5)^2 + (12i)^2 + 2(-5)(12i) = 25 - 144 - 120i = -119 - 120i$।
वास्तविक और काल्पनिक भागों की तुलना करने पर,$a=-119$ और $b=-120$ प्राप्त होता है।
अब,$3b-2a$ की गणना करने पर:
$3b-2a = 3(-120) - 2(-119) = -360 + 238 = -122$।

(A) दिया है $x = \frac{4+3i}{5}$,तो $\frac{1}{x} = \frac{5}{4+3i} = \frac{5(4-3i)}{16+9} = \frac{4-3i}{5}$.
$x + \frac{1}{x} = \frac{4+3i+4-3i}{5} = \frac{8}{5}$.
$x^2 + \frac{1}{x^2} = (x + \frac{1}{x})^2 - 2 = (\frac{8}{5})^2 - 2 = \frac{64}{25} - 2 = \frac{14}{25}$.
दिया है $y = \frac{\sqrt{3}-\sqrt{5}i}{\sqrt{8}}$,तो $\frac{1}{y} = \frac{\sqrt{8}}{\sqrt{3}-\sqrt{5}i} = \frac{\sqrt{8}(\sqrt{3}+\sqrt{5}i)}{3+5} = \frac{\sqrt{3}+\sqrt{5}i}{\sqrt{8}}$.
$y + \frac{1}{y} = \frac{\sqrt{3}-\sqrt{5}i+\sqrt{3}+\sqrt{5}i}{\sqrt{8}} = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{8}}$.
$y - \frac{1}{y} = \frac{\sqrt{3}-\sqrt{5}i-(\sqrt{3}+\sqrt{5}i)}{\sqrt{8}} = \frac{-2\sqrt{5}i}{\sqrt{8}}$.
$y^2 - \frac{1}{y^2} = (y + \frac{1}{y})(y - \frac{1}{y}) = (\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{8}})(\frac{-2\sqrt{5}i}{\sqrt{8}}) = \frac{-4\sqrt{15}i}{8} = \frac{-\sqrt{15}i}{2}$.
अतः,$(x^2 + \frac{1}{x^2})(y^2 - \frac{1}{y^2}) = (\frac{14}{25})(\frac{-\sqrt{15}i}{2}) = \frac{-7\sqrt{15}i}{25} = \frac{-7\sqrt{3}\sqrt{5}i}{5\sqrt{5}\sqrt{5}} = \frac{-7\sqrt{3}}{5\sqrt{5}}i$.

(B) दिया गया है $f(x)=a x^2+b x+c$ और $GCD(a, b, c)=1$ है।
चूंकि $\frac{-7+\sqrt{11} i}{6}$ समीकरण $f(x)=0$ का एक मूल है,तो इसका संयुग्मी $\frac{-7-\sqrt{11} i}{6}$ भी एक मूल होगा।
मूलों का योग $= \frac{-7+\sqrt{11} i}{6} + \frac{-7-\sqrt{11} i}{6} = \frac{-14}{6} = -\frac{7}{3} = -\frac{b}{a} \implies \frac{b}{a} = \frac{7}{3}$.
मूलों का गुणनफल $= \left(\frac{-7+\sqrt{11} i}{6}\right) \left(\frac{-7-\sqrt{11} i}{6}\right) = \frac{49+11}{36} = \frac{60}{36} = \frac{5}{3} = \frac{c}{a}$.
अतः,$a=3, b=7, c=5$,जो $GCD(3, 7, 5)=1$ को संतुष्ट करता है।
इसलिए,$f(x) = 3x^2+7x+5$.
दिया गया है $f\left(\frac{x}{k}\right)-L = (x+4)(3x-5) = 3x^2+7x-20$.
$f\left(\frac{x}{k}\right) = 3\left(\frac{x}{k}\right)^2 + 7\left(\frac{x}{k}\right) + 5$ रखने पर:
$3\frac{x^2}{k^2} + \frac{7x}{k} + 5 - L = 3x^2 + 7x - 20$.
गुणांकों की तुलना करने पर:
$\frac{3}{k^2} = 3 \implies k^2 = 1 \implies k = 1$.
$\frac{7}{k} = 7 \implies k = 1$.
$5 - L = -20 \implies L = 25$.
अतः,$k=1$ और $L=25$.

(A) दिया गया है कि $z_1$ और $z_2$ समीकरण $x^2+2x+2=0$ के मूल हैं।
मूलों का योग $z_1+z_2 = -2$ है,जिसका अर्थ है $z_2 = -2-z_1$।
दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करने पर,$2z_2 = -2z_1-4$,या $2z_2+2 = -2z_1-2$।
माना दिया गया व्यंजक $E = \frac{-2^{11}(z_1+1+3i)^{11}}{2^5(z_2+1-3i)^{11}}$ है।
इसे $E = -2^6 \left( \frac{z_1+1+3i}{z_2+1-3i} \right)^{11}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
कोष्ठक के अंदर अंश और हर को $2$ से गुणा करने पर:
$E = -2^6 \left( \frac{2z_1+2+6i}{2z_2+2-6i} \right)^{11}$।
हर में $2z_2+2 = -2z_1-2$ प्रतिस्थापित करने पर:
$E = -2^6 \left( \frac{2z_1+2+6i}{-2z_1-2-6i} \right)^{11} = -2^6 \left( \frac{2z_1+2+6i}{-(2z_1+2+6i)} \right)^{11}$।
$E = -2^6 (-1)^{11} = -2^6 (-1) = 2^6 = 64$।

(B) दिया गया है,$\sqrt{x^2 - 2x + 8} + (x + 4)i = y(2 + i)$.
वास्तविक और काल्पनिक भागों की तुलना करने पर:
$\sqrt{x^2 - 2x + 8} = 2y$ $(1)$
$x + 4 = y$ $(2)$
समीकरण $(2)$ का मान $(1)$ में रखने पर:
$\sqrt{x^2 - 2x + 8} = 2(x + 4)$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$x^2 - 2x + 8 = 4(x^2 + 8x + 16)$
$3x^2 + 34x + 56 = 0$
$(3x + 28)(x + 2) = 0$
अतः,$x = -2$ या $x = -\frac{28}{3}$.
यदि $x = -2$,तो $y = 2$. अतः,$Z = -2 + 2i$.
यदि $x = -\frac{28}{3}$,तो $y = -\frac{16}{3}$. अतः,$Z = -\frac{28}{3} - \frac{16}{3}i$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार,$Z = -2 + 2i$ सही विकल्प है।

(C) दिया गया है $\left|\left(\frac{1}{z_1}+\frac{2}{z_2}\right) \frac{z_3}{z_2}\right| = \left|\frac{1}{z_1}+\frac{2}{z_2}\right| \cdot \frac{|z_3|}{|z_2|}$
मान रखने पर: $\left|\frac{1}{1-2 i}+\frac{2}{1+i}\right| \cdot \frac{|3+4 i|}{|1+i|}$
$= \left|\frac{1+2 i}{1^2+2^2} + \frac{2(1-i)}{1^2+1^2}\right| \cdot \frac{\sqrt{3^2+4^2}}{\sqrt{1^2+1^2}}$
$= \left|\frac{1+2 i}{5} + \frac{2-2 i}{2}\right| \cdot \frac{5}{\sqrt{2}}$
$= \left|\frac{2+4 i + 10-10 i}{10}\right| \cdot \frac{5}{\sqrt{2}}$
$= \left|\frac{12-6 i}{10}\right| \cdot \frac{5}{\sqrt{2}} = \frac{6}{10} |2-i| \cdot \frac{5}{\sqrt{2}}$
$= \frac{3}{5} \sqrt{2^2+(-1)^2} \cdot \frac{5}{\sqrt{2}} = \frac{3 \sqrt{5}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{9 \times 5}{2}} = \sqrt{\frac{45}{2}}$

(B) दिया गया है,$k(\cos \theta+i \sin \theta)=2+2 \sqrt{3} i$.
मापांक और कोणांक की तुलना करने पर,$k = \sqrt{2^2 + (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{4 + 12} = \sqrt{16} = 4$.
साथ ही,$\cos \theta = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ और $\sin \theta = \frac{2\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2}$,जिसका अर्थ है $\theta = \frac{\pi}{3}$.
अब,हमें $\frac{1}{\sqrt{3}}[\cos 6 \theta+i \sin 6 \theta]$ का मान ज्ञात करना है।
$\theta = \frac{\pi}{3}$ प्रतिस्थापित करने पर,$6\theta = 6(\frac{\pi}{3}) = 2\pi$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{1}{\sqrt{3}}[\cos 2\pi + i \sin 2\pi] = \frac{1}{\sqrt{3}}[1 + i(0)] = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

(A) हम जानते हैं कि $\sum_{k=0}^{6} \cos \frac{2 \pi k}{7} = 0$ और $\sum_{k=0}^{6} \sin \frac{2 \pi k}{7} = 0$ है।
चूंकि $\cos 0 = 1$ और $\sin 0 = 0$ है,इसलिए $\sum_{k=1}^{6} \cos \frac{2 \pi k}{7} = -1$ और $\sum_{k=1}^{6} \sin \frac{2 \pi k}{7} = 0$ है।
दिया गया व्यंजक $\sum_{k=1}^{6} (\sin \frac{2 \pi k}{7} - i \cos \frac{2 \pi k}{7}) = \sum_{k=1}^{6} \sin \frac{2 \pi k}{7} - i \sum_{k=1}^{6} \cos \frac{2 \pi k}{7}$ है।
मान रखने पर,हमें $0 - i(-1) = i$ प्राप्त होता है।

(C) $n \in N$ दिया गया है,मान लीजिए $z = \left(\frac{1+\cos \theta+i \sin \theta}{1+\cos \theta-i \sin \theta}\right)^n$.
सर्वसमिकाओं $1+\cos \theta = 2 \cos^2 \frac{\theta}{2}$ और $\sin \theta = 2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}$ का उपयोग करने पर:
$z = \left(\frac{2 \cos^2 \frac{\theta}{2} + 2i \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}}{2 \cos^2 \frac{\theta}{2} - 2i \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}}\right)^n$
$z = \left(\frac{2 \cos \frac{\theta}{2} (\cos \frac{\theta}{2} + i \sin \frac{\theta}{2})}{2 \cos \frac{\theta}{2} (\cos \frac{\theta}{2} - i \sin \frac{\theta}{2})}\right)^n$
$z = \left(\frac{\cos \frac{\theta}{2} + i \sin \frac{\theta}{2}}{\cos \frac{\theta}{2} - i \sin \frac{\theta}{2}}\right)^n$
घातांकीय रूप $e^{i\phi} = \cos \phi + i \sin \phi$ का उपयोग करने पर:
$z = \left(\frac{e^{i\theta/2}}{e^{-i\theta/2}}\right)^n = (e^{i\theta})^n = e^{in\theta}$
$z = \cos (n \theta) + i \sin (n \theta)$.

(C) $(A) \ \omega^{1010} + \omega^{2000} = \omega^2 + \omega = -1$.
$(B) \ (1 + \omega - \omega^2)(1 - \omega + \omega^2) = (-2\omega^2)(-2\omega) = 4\omega^3 = 4$.
$(C) \ (2 + \omega^2 + \omega^4)^5 = (1 + (1 + \omega + \omega^2))^5 = 1^5 = 1$.
$(D) \ (3 + 5\omega + 3\omega^2)^3 = (3(-\omega) + 5\omega)^3 = (2\omega)^3 = 8\omega^3 = 8$.
अतः,सही मिलान $A-III, B-IV, C-II, D-V$ है।

(C) दिया गया है,$\sum_{k=1}^n\left(k+\frac{1}{\omega}\right)\left(k+\frac{1}{\omega^2}\right)=340$
योगफल के अंदर के पद का विस्तार करने पर:
$\sum_{k=1}^n\left(k^2+k\left(\frac{1}{\omega^2}+\frac{1}{\omega}\right)+\frac{1}{\omega^3}\right)=340$
चूंकि $\omega^3=1$,इसलिए $\frac{1}{\omega}=\omega^2$ और $\frac{1}{\omega^2}=\omega$ होता है।
साथ ही,$1+\omega+\omega^2=0 \implies \omega+\omega^2=-1$।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\sum_{k=1}^n\left(k^2+k(-1)+1\right)=340$
$\sum_{k=1}^n(k^2-k+1)=340$
योगफल सूत्रों $\sum k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ और $\sum k = \frac{n(n+1)}{2}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - \frac{n(n+1)}{2} + n = 340$
$\frac{n(n+1)}{2} \left[ \frac{2n+1}{3} - 1 \right] + n = 340$
$\frac{n(n+1)(n-1)}{3} + n = 340$
$n^3+2n = 1020$
मानों की जाँच करने पर,$n=10$ के लिए: $10^3 + 2(10) = 1000 + 20 = 1020$।
अतः,$n=10$।

(C) दिया गया है कि $\alpha, \beta$ समीकरण $x^2+x+1=0$ के मूल हैं।
चूंकि $x^2+x+1=0$ के मूल इकाई के काल्पनिक घनमूल हैं,इसलिए $\alpha = \omega$ और $\beta = \omega^2$,जहाँ $\omega^3 = 1$ और $1+\omega+\omega^2=0$ है।
अतः,$\alpha^3 = 1$ और $\beta^3 = 1$ है।
साथ ही,$\alpha+\beta = -1$ और $\alpha\beta = 1$ है।
हमें व्यंजक $E = (2-\alpha)(2-\beta)(2-\alpha^{10})(2-\alpha^{20})$ का मान ज्ञात करना है।
चूंकि $\alpha^3 = 1$ है,इसलिए $\alpha^{10} = (\alpha^3)^3 \cdot \alpha = \alpha$ और $\alpha^{20} = (\alpha^3)^6 \cdot \alpha^2 = \alpha^2$ है।
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$E = (2-\alpha)(2-\beta)(2-\alpha)(2-\alpha^2)$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\beta = \alpha^2$ है,इसलिए
$E = (2-\alpha)(2-\alpha^2)(2-\alpha)(2-\alpha^2) = [(2-\alpha)(2-\alpha^2)]^2$ है।
आंतरिक पद का विस्तार करने पर: $(2-\alpha)(2-\alpha^2) = 4 - 2\alpha^2 - 2\alpha + \alpha^3 = 4 - 2(\alpha+\alpha^2) + 1$ प्राप्त होता है।
चूंकि $1+\alpha+\alpha^2=0$ है,इसलिए $\alpha+\alpha^2 = -1$ है।
अतः,$(2-\alpha)(2-\alpha^2) = 4 - 2(-1) + 1 = 4+2+1 = 7$ है।
इसलिए,$E = 7^2 = 49$ है।

(C) माना $z = \sqrt{3}+i$. तब $\bar{z} = \sqrt{3}-i$.
हमें प्राप्त होता है $z = 2(\cos \frac{\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6}) = 2e^{i\pi/6}$.
अतः $z^8 = 2^8 e^{i8\pi/6} = 256 e^{i4\pi/3} = 256(\cos \frac{4\pi}{3} + i \sin \frac{4\pi}{3}) = 256(-\frac{1}{2} - i \frac{\sqrt{3}}{2}) = -128 - 128\sqrt{3}i$.
इसी प्रकार,$\bar{z}^8 = \overline{z^8} = -128 + 128\sqrt{3}i$.
अतः,$z^8 - \bar{z}^8 = (-128 - 128\sqrt{3}i) - (-128 + 128\sqrt{3}i) = -256\sqrt{3}i$.
$\alpha + i\beta$ से तुलना करने पर,हमें $\alpha = 0$ और $\beta = -256\sqrt{3}$ प्राप्त होता है।
अंत में,$\alpha - \frac{\sqrt{3}}{2}\beta = 0 - \frac{\sqrt{3}}{2}(-256\sqrt{3}) = \frac{3}{2} \times 256 = 384$.

(D) हम जानते हैं कि $\omega^3 = 1$ और $1 + \omega + \omega^2 = 0$,इसलिए $\omega + \omega^2 = -1$ है।
$\omega^{1234}$ के लिए,$1234$ को $3$ से विभाजित करने पर: $1234 = 3 \times 411 + 1$,अतः $\omega^{1234} = \omega^1 = \omega$।
$\omega^{2021}$ के लिए,$2021$ को $3$ से विभाजित करने पर: $2021 = 3 \times 673 + 2$,अतः $\omega^{2021} = \omega^2$।
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$\cos [(\omega + \omega^2) \pi - \frac{\pi}{4}] = \cos [(-1) \pi - \frac{\pi}{4}] = \cos [-\pi - \frac{\pi}{4}] = \cos [-(\pi + \frac{\pi}{4})] = \cos (\pi + \frac{\pi}{4}) = -\cos \frac{\pi}{4} = -\frac{1}{\sqrt{2}}$।

(A) यदि $n$,$3$ का गुणज नहीं है,तो $n = 3k + 1$ या $n = 3k + 2$ होगा,जहाँ $k \in \mathbb{Z}$ है।
स्थिति $(I)$: जब $n = 3k + 1$.
$\omega^n + \omega^{2n} = \omega^{3k+1} + \omega^{6k+2} = (\omega^3)^k \cdot \omega + (\omega^3)^{2k} \cdot \omega^2 = 1^k \cdot \omega + 1^{2k} \cdot \omega^2 = \omega + \omega^2$.
चूँकि $1 + \omega + \omega^2 = 0$,इसलिए $\omega + \omega^2 = -1$.
स्थिति $(II)$: जब $n = 3k + 2$.
$\omega^n + \omega^{2n} = \omega^{3k+2} + \omega^{6k+4} = (\omega^3)^k \cdot \omega^2 + (\omega^3)^{2k} \cdot \omega^4 = 1^k \cdot \omega^2 + 1^{2k} \cdot \omega = \omega^2 + \omega = -1$.
दोनों स्थितियों में,उन सभी $n$ के लिए जो $3$ के गुणज नहीं हैं,$\omega^n + \omega^{2n} = -1$ होता है।

(C) दिया गया है $z=x+iy$ और $\operatorname{Im}\left(\frac{z-3i}{iz+4}\right)=0$ है।
$z=x+iy$ रखने पर, $\frac{x+i(y-3)}{i(x+iy)+4} = \frac{x+i(y-3)}{(4-y)+ix}$ प्राप्त होता है।
काल्पनिक भाग ज्ञात करने के लिए, अंश और हर को हर के संयुग्मी $(4-y)-ix$ से गुणा करें।
हर $(4-y)^2+x^2$ हो जाता है।
अंश $[x+i(y-3)][(4-y)-ix] = x(4-y)-ix^2+i(y-3)(4-y)+x(y-3)$ हो जाता है।
अंश का सरलीकरण: $4x-xy-ix^2+i(-y^2+7y-12)+xy-3x = x - i(x^2+y^2-7y+12)$ है।
काल्पनिक भाग शून्य होने के लिए, $i$ का गुणांक शून्य होना चाहिए: $-(x^2+y^2-7y+12) = 0$, जिसका अर्थ है $x^2+y^2-7y+12=0$ है।
साथ ही, हर शून्य नहीं होना चाहिए, इसलिए $(4-y)^2+x^2 \neq 0$, जिसका अर्थ है $(x,y) \neq (0,4)$।

(B) दी गई शर्त $0 < r < s < n$ और ${}^n P_r = {}^n P_s$ है।
चूंकि ${}^n P_r = \frac{n!}{(n - r)!}$ और ${}^n P_s = \frac{n!}{(n - s)!}$,इसलिए $\frac{n!}{(n - r)!} = \frac{n!}{(n - s)!}$।
इसका अर्थ है $(n - r)! = (n - s)!$।
चूंकि $r < s$,इसलिए $(n - r) > (n - s)$ होगा।
दो भिन्न अ-ऋणात्मक पूर्णांकों के फैक्टोरियल समान होने के लिए,केवल एक ही संभावना है कि $0! = 1! = 1$।
अतः,$n - s = 0$ और $n - r = 1$ होना चाहिए।
$n - s = 0$ से,$s = n$ प्राप्त होता है।
$n - r = 1$ से,$r = n - 1$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$r + s = (n - 1) + n = 2n - 1$।

(D) माना $5$ अंकों की संख्या $d_1 d_2 d_3 d_4 d_5$ है। मध्य अंक $d_3$ है।
चूंकि अंक भिन्न और गैर-शून्य होने चाहिए,और $d_3$ सबसे बड़ा है,इसलिए $d_3$ कम से कम $5$ होना चाहिए।
यदि $d_3 = 5$ है,तो शेष $4$ अंकों को ${1, 2, 3, 4}$ से चुना जाना चाहिए। व्यवस्था के तरीके ${ }^4 P_4$ हैं।
यदि $d_3 = 6$ है,तो शेष $4$ अंकों को ${1, 2, 3, 4, 5}$ से चुना जाना चाहिए। व्यवस्था के तरीके ${ }^5 P_4$ हैं।
इसी प्रकार,$d_3 = 9$ के लिए व्यवस्था के तरीके ${ }^8 P_4$ हैं।
अतः,कुल संख्याएँ = ${ }^4 P_4 + { }^5 P_4 + { }^6 P_4 + { }^7 P_4 + { }^8 P_4 = \sum_{r=4}^8 { }^r P_4$.

(B) कुल $7$ वैज्ञानिक हैं। $7$ व्याख्यानों को व्यवस्थित करने के कुल तरीके $7!$ हैं।
किसी भी व्यवस्था में,$S_1, S_3,$ और $S_7$ का सापेक्ष क्रम $3! = 6$ संभावित तरीकों से हो सकता है।
ये $6$ तरीके हैं: $(S_1, S_3, S_7), (S_1, S_7, S_3), (S_3, S_1, S_7), (S_3, S_7, S_1), (S_7, S_1, S_3), (S_7, S_3, S_1)$।
इन $6$ तरीकों में से,केवल एक तरीका उस शर्त को पूरा करता है कि $S_1, S_3$ से पहले हो और $S_3, S_7$ से पहले हो (अर्थात,क्रम $S_1 < S_3 < S_7$)।
इसलिए,आवश्यक तरीकों की संख्या $\frac{7!}{3!} = \frac{5040}{6} = 840$ है।

(C) $30$ व्यक्तियों की समिति चुनने के लिए जिसमें लड़कों,लड़कियों और शिक्षकों की संख्या समान हो,हमें $10$ लड़के,$10$ लड़कियाँ और $10$ शिक्षक चुनने होंगे।
$20$ में से $10$ लड़कों को चुनने के तरीके $= ^{20}C_{10} = \frac{20!}{10!10!}$.
$20$ में से $10$ लड़कियों को चुनने के तरीके $= ^{20}C_{10} = \frac{20!}{10!10!}$.
$20$ में से $10$ शिक्षकों को चुनने के तरीके $= ^{20}C_{10} = \frac{20!}{10!10!}$.
कुल तरीके $= \frac{20!}{10!10!} \times \frac{20!}{10!10!} \times \frac{20!}{10!10!} = \frac{(20!)^3}{(10!)^6}$.

(C) दिए गए अंक $\{1, 3, 5, 6, 8\}$ हैं। सम अंक $\{6, 8\}$ हैं और विषम अंक $\{1, 3, 5\}$ हैं।
$\bullet$ $e_1$ की गणना ($3$-अंकीय सम संख्याएँ,कोई पुनरावृत्ति नहीं):
अंतिम अंक सम होना चाहिए ($2$ विकल्प: $6$ या $8$)। शेष $2$ स्थानों को शेष $4$ अंकों द्वारा $P(4, 2)$ तरीकों से भरा जा सकता है।
$e_1 = 2 \times (4 \times 3) = 24$.
$\bullet$ $e_2$ की गणना ($4$-अंकीय सम संख्याएँ,कोई पुनरावृत्ति नहीं):
अंतिम अंक सम होना चाहिए ($2$ विकल्प)। शेष $3$ स्थानों को शेष $4$ अंकों द्वारा $P(4, 3)$ तरीकों से भरा जा सकता है।
$e_2 = 2 \times (4 \times 3 \times 2) = 48$.
$\bullet$ $O_1$ की गणना ($3$-अंकीय विषम संख्याएँ,कोई पुनरावृत्ति नहीं):
अंतिम अंक विषम होना चाहिए ($3$ विकल्प: $1, 3, 5$)। शेष $2$ स्थानों को शेष $4$ अंकों द्वारा $P(4, 2)$ तरीकों से भरा जा सकता है।
$O_1 = 3 \times (4 \times 3) = 36$.
$\bullet$ $O_2$ की गणना ($4$-अंकीय विषम संख्याएँ,कोई पुनरावृत्ति नहीं):
अंतिम अंक विषम होना चाहिए ($3$ विकल्प)। शेष $3$ स्थानों को शेष $4$ अंकों द्वारा $P(4, 3)$ तरीकों से भरा जा सकता है।
$O_2 = 3 \times (4 \times 3 \times 2) = 72$.
अब,विकल्पों की जाँच करें:
$\frac{e_1+e_2}{2} = \frac{24+48}{2} = \frac{72}{2} = 36$.
$\frac{O_1+O_2}{3} = \frac{36+72}{3} = \frac{108}{3} = 36$.
चूँकि $36 = 6^2$,सही संबंध $\frac{e_1+e_2}{2} = \frac{O_1+O_2}{3} = 6^2$ है।

(B) $0, 1, 3, 5, 9$ अंकों का उपयोग करके $50000$ से बड़ी पाँच अंकों की संख्या बनाने के लिए,पहला अंक (दस हजार का स्थान) $5$ या $9$ होना चाहिए।
स्थिति $1$: पहला अंक $5$ है।
शेष $4$ अंकों $(0, 1, 3, 9)$ को शेष $4$ स्थानों पर $4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
स्थिति $2$: पहला अंक $9$ है।
शेष $4$ अंकों $(0, 1, 3, 5)$ को शेष $4$ स्थानों पर $4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
कुल संख्याएँ $= 24 + 24 = 48$.

(D) एक गोल मेज पर बैठी $15$ लड़कियों में से $3$ लड़कियों को चुनने के कुल तरीके ${}^{15}C_3$ हैं।
सबसे पहले,$3$ लड़कियों को चुनने के कुल तरीके: ${}^{15}C_3 = \frac{15 \times 14 \times 13}{3 \times 2 \times 1} = 455$ हैं।
अब,$3$ लड़कियों को चुनने के तरीके जो एक साथ बैठी हैं,$15$ हैं।
अतः,उन तरीकों की संख्या जिनमें तीनों एक साथ नहीं बैठी हैं,$455 - 15 = 440$ है।

(A) माना रेखा द्वारा $X, Y$ और $Z$ अक्षों के साथ बनाए गए कोण $\alpha = \frac{\pi}{4}$,$\beta = \frac{\pi}{3}$ और $\gamma = \theta$ हैं।
दिक्-कोसाइन $l = \cos \alpha$,$m = \cos \beta$ और $n = \cos \gamma$ द्वारा दिए जाते हैं।
हम जानते हैं कि $l^2 + m^2 + n^2 = 1$.
मान रखने पर: $(\cos \frac{\pi}{4})^2 + (\cos \frac{\pi}{3})^2 + \cos^2 \theta = 1$.
$(\frac{1}{\sqrt{2}})^2 + (\frac{1}{2})^2 + \cos^2 \theta = 1$.
$\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \cos^2 \theta = 1$.
$\frac{3}{4} + \cos^2 \theta = 1$.
$\cos^2 \theta = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$.
चूंकि $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$,इसलिए $\cos \theta = \frac{1}{2}$.
अतः,दिक्-कोसाइन $\cos \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$,$\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$ और $\cos \theta = \frac{1}{2}$ हैं।
इसलिए,दिक्-कोसाइन $\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}$ हैं।

(C) दिया गया है $x+iy = \frac{1+7i}{(2-i)^2}$.
हर का विस्तार करने पर: $(2-i)^2 = 4 + i^2 - 4i = 4 - 1 - 4i = 3 - 4i$.
अतः,$x+iy = \frac{1+7i}{3-4i}$.
अंश और हर को संयुग्मी $(3+4i)$ से गुणा करने पर:
$x+iy = \frac{(1+7i)(3+4i)}{(3-4i)(3+4i)} = \frac{3 + 4i + 21i + 28i^2}{9 - 16i^2} = \frac{3 + 25i - 28}{9 + 16} = \frac{-25 + 25i}{25} = -1 + i$.
वास्तविक और काल्पनिक भागों की तुलना करने पर,$x = -1$ और $y = 1$ प्राप्त होता है।
अब,$\operatorname{cosec}\left(\tan^{-1} \frac{y}{x} - \frac{\pi}{4}\right)$ का मान ज्ञात करते हैं:
$= \operatorname{cosec}\left(\tan^{-1} \left(\frac{1}{-1}\right) - \frac{\pi}{4}\right) = \operatorname{cosec}\left(\tan^{-1}(-1) - \frac{\pi}{4}\right)$.
चूंकि $\tan^{-1}(-1) = -\frac{\pi}{4}$,इसलिए:
$= \operatorname{cosec}\left(-\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4}\right) = \operatorname{cosec}\left(-\frac{\pi}{2}\right) = -1$.

(B) दी गई सीमा $l = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n} \sin \left( \frac{\pi}{4} + \frac{k \pi}{12n} \right)$ है।
यह $\int_{0}^{1} f(x) dx = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n} f(\frac{k}{n})$ के रूप का रीमान योग है।
यहाँ,$f(x) = \sin(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{12}x)$ है।
अतः,$l = \int_{0}^{1} \sin(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{12}x) dx$ है।
समाकलन का मूल्यांकन करने पर:
$l = \left[ -\frac{12}{\pi} \cos(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{12}x) \right]_{0}^{1}$
$l = -\frac{12}{\pi} \left[ \cos(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{12}) - \cos(\frac{\pi}{4}) \right]$
$l = -\frac{12}{\pi} \left[ \cos(\frac{\pi}{3}) - \cos(\frac{\pi}{4}) \right]$
$l = \frac{12}{\pi} \left[ \frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{2} \right] = \frac{6(\sqrt{2}-1)}{\pi}$.

(A) दिया गया वक्र $y=4x^4+x$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dy}{dx} = 16x^3+1$ प्राप्त होता है।
$(0,0)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $m_1 = 16(0)^3+1 = 1$ है।
माना बिंदु $P$ $(a, b)$ है। $P$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $m_2 = 16a^3+1$ है।
चूंकि स्पर्श रेखाएं लंबवत हैं,$m_1 \times m_2 = -1$ होगा।
$1 \times (16a^3+1) = -1$.
$16a^3 = -2$ $\Rightarrow a^3 = -\frac{1}{8}$ $\Rightarrow a = -\frac{1}{2}$.
चूंकि $P$ वक्र पर स्थित है,$b = 4(-\frac{1}{2})^4 + (-\frac{1}{2}) = 4(\frac{1}{16}) - \frac{1}{2} = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} = -\frac{1}{4}$.
अतः,बिंदु $P$ $\left(-\frac{1}{2}, -\frac{1}{4}\right)$ है।

(A) माना $P$ समतल $2x - 2y + 4z + 5 = 0$ पर स्थित वह बिंदु है जो $A = \left(1, \frac{3}{2}, 2\right)$ के सबसे निकट है।
समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = (2, -2, 4)$ है।
$A$ से गुजरने वाली और समतल के लंबवत रेखा $P = A + c\vec{n} = \left(1 + 2c, \frac{3}{2} - 2c, 2 + 4c\right)$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि $P$ समतल पर स्थित है,निर्देशांकों को समतल के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$2(1 + 2c) - 2\left(\frac{3}{2} - 2c\right) + 4(2 + 4c) + 5 = 0$.
$2 + 4c - 3 + 4c + 8 + 16c + 5 = 0$.
$24c + 12 = 0 \Rightarrow c = -\frac{1}{2}$.
$c = -\frac{1}{2}$ को $P$ के समीकरण में रखने पर:
$P = \left(1 + 2(-\frac{1}{2}), \frac{3}{2} - 2(-\frac{1}{2}), 2 + 4(-\frac{1}{2})\right) = \left(0, \frac{5}{2}, 0\right)$.

(A) $x \neq 0$ के लिए,हम गुणन नियम और श्रृंखला नियम का उपयोग करके अवकलज $f^{\prime}(x)$ ज्ञात करते हैं:
$f^{\prime}(x) = \frac{d}{dx} \left( x^2 \sin \frac{1}{x} \right) = 2x \sin \frac{1}{x} + x^2 \left( \cos \frac{1}{x} \right) \left( -\frac{1}{x^2} \right)$
$f^{\prime}(x) = 2x \sin \frac{1}{x} - \cos \frac{1}{x}$
अब,हम $x \rightarrow 0$ के रूप में सीमा का मूल्यांकन करते हैं:
$\lim_{x \rightarrow 0} f^{\prime}(x) = \lim_{x \rightarrow 0} \left( 2x \sin \frac{1}{x} - \cos \frac{1}{x} \right)$
$= \lim_{x \rightarrow 0} (2x \sin \frac{1}{x}) - \lim_{x \rightarrow 0} \cos \frac{1}{x}$
चूंकि $\lim_{x \rightarrow 0} 2x \sin \frac{1}{x} = 0$ (स्क्वीज़ प्रमेय द्वारा) और $\lim_{x \rightarrow 0} \cos \frac{1}{x}$ का अस्तित्व नहीं है क्योंकि फलन $x \rightarrow 0$ होने पर $-1$ और $1$ के बीच दोलन करता है,इसलिए कुल सीमा का अस्तित्व नहीं है।

(A) $f(x)$ को $x = 0$ पर संतत होने के लिए,हमारे पास $f(0) = \lim_{x \rightarrow 0} f(x)$ होना चाहिए।
सीमा का मूल्यांकन: $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{2 - \sqrt{x + 4}}{\sin 2x}$।
चूंकि यह एक $\frac{0}{0}$ अनिर्धारित रूप है,हम $L'\text{Hospital's Rule}$ लागू करते हैं:
$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\frac{d}{dx}(2 - \sqrt{x + 4})}{\frac{d}{dx}(\sin 2x)} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{-\frac{1}{2\sqrt{x + 4}}}{2 \cos 2x}$।
$x = 0$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{-\frac{1}{2\sqrt{4}}}{2 \cos(0)} = \frac{-\frac{1}{4}}{2(1)} = -\frac{1}{8}$।
अतः,$f(0) = -\frac{1}{8}$।

(D) दिया गया है $f(x) = \tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}\right)$.
माना $x = \cos 2\theta$,तो $1+x = 2\cos^2\theta$ और $1-x = 2\sin^2\theta$.
$f(x) = \tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{2}\cos\theta - \sqrt{2}\sin\theta}{\sqrt{2}\cos\theta + \sqrt{2}\sin\theta}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{1-\tan\theta}{1+\tan\theta}\right) = \tan^{-1}\left(\tan(\frac{\pi}{4}-\theta)\right) = \frac{\pi}{4}-\theta$.
चूंकि $x = \cos 2\theta$,$\theta = \frac{1}{2}\cos^{-1}x$,इसलिए $f(x) = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}\cos^{-1}x$.
सीमा $\lim_{x \rightarrow \frac{1}{2}} \frac{2[f(x)-f(\frac{1}{2})]}{2x-1} = \lim_{x \rightarrow \frac{1}{2}} \frac{f(x)-f(\frac{1}{2})}{x-\frac{1}{2}} = f'(\frac{1}{2})$.
$f'(x) = -\frac{1}{2} \left(-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right) = \frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}$.
$f'(\frac{1}{2}) = \frac{1}{2\sqrt{1-(\frac{1}{2})^2}} = \frac{1}{2\sqrt{3/4}} = \frac{1}{2(\frac{\sqrt{3}}{2})} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

(C) यादृच्छिक चर $X$ मान $x_i \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ लेता है,जहाँ प्रत्येक की प्रायिकता $P_i = \frac{1}{6}$ है।
माध्य $\mu = E(X) = \sum x_i P_i = \frac{1+2+3+4+5+6}{6} = \frac{21}{6} = \frac{7}{2}$.
$E(X^2) = \sum x_i^2 P_i = \frac{1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2}{6} = \frac{1+4+9+16+25+36}{6} = \frac{91}{6}$.
प्रसरण $\sigma^2 = E(X^2) - (E(X))^2 = \frac{91}{6} - \left(\frac{7}{2}\right)^2 = \frac{91}{6} - \frac{49}{4} = \frac{182 - 147}{12} = \frac{35}{12}$.
अतः,$\frac{\text{Variance of } X}{\text{Mean of } X} = \frac{35/12}{7/2} = \frac{35}{12} \times \frac{2}{7} = \frac{5}{6}$.

(B) माना $\Delta = \left|\begin{array}{ccc}\alpha & \beta & \gamma \\ a & b & c \\ l & m & n\end{array}\right|$.
सबसे पहले,$C_1$ और $C_2$ को आपस में बदलने पर: $\Delta = -\left|\begin{array}{ccc}\beta & \alpha & \gamma \\ b & a & c \\ m & l & n\end{array}\right|$.
इसके बाद,$C_2$ और $C_3$ को आपस में बदलने पर: $\Delta = (-1)^2 \left|\begin{array}{ccc}\beta & \gamma & \alpha \\ b & c & a \\ m & n & l\end{array}\right|$.
अंत में,$R_1$ और $R_3$ को आपस में बदलने पर: $\Delta = (-1)^3 \left|\begin{array}{ccc}m & n & l \\ b & c & a \\ \beta & \gamma & \alpha\end{array}\right|$.
दिए गए व्यंजक के साथ तुलना करने पर,हमें $K = 3$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 2 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}$.
सबसे पहले,$A^2 = A \cdot A = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 2 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 2 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 2 \\ 1 & -1 & 1 \end{bmatrix}$.
इसके बाद,$A^3 = A^2 \cdot A = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 2 \\ 1 & -1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 2 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = I$.
चूंकि $A^3 = I$,हम $A^5$ को इस प्रकार ज्ञात कर सकते हैं:
$A^5 = A^3 \cdot A^2 = I \cdot A^2 = A^2$.
चूंकि $A^3 = I$,इसलिए $A^2 = A^{-1}$ होता है।
अतः,$A^5 = A^{-1}$।

(C) हम जानते हैं कि $n$ कोटि के वर्ग आव्यूह $A$ के लिए,सहखंडज (adjoint) के सहखंडज का गुणधर्म $\operatorname{adj}(\operatorname{adj} A) = |A|^{n-2} A$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,आव्यूह $A$ एक $n = 3$ कोटि का विकर्ण आव्यूह है।
$A$ का सारणिक $|A| = 1 \times 2 \times 3 = 6$ है।
सूत्र में मान रखने पर:
$\operatorname{adj}(\operatorname{adj} A) = (6)^{3-2} A = (6)^1 A = 6A$.
अतः,सही विकल्प $6A$ है।

(A) दिया गया है कि $\operatorname{Adj}(A)=k A^T$.
दोनों पक्षों का सारणिक लेने पर,हमें प्राप्त होता है $|\operatorname{Adj}(A)|=|k A^T|$.
हम जानते हैं कि $n$ कोटि के वर्ग आव्यूह $A$ के लिए,$|\operatorname{Adj}(A)|=|A|^{n-1}$,$|k A|=k^n|A|$,और $|A^T|=|A|$ होता है।
यहाँ,$n=3$ है,इसलिए $|\operatorname{Adj}(A)|=|A|^{3-1}=|A|^2$.
साथ ही,$|k A^T|=k^3|A^T|=k^3|A|$.
इनकी तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है $|A|^2=k^3|A|$.
चूँकि $|A|=27 \neq 0$,हम $|A|$ से विभाजित कर सकते हैं जिससे $k^3=|A|=27$ प्राप्त होता है।
अतः,$k=3$.
अंत में,$k=3$ को व्यंजक में रखने पर,$k^2-3 k+5 = 3^2-3(3)+5 = 9-9+5 = 5$.

(B) दिया गया है कि $P = \operatorname{adj}(A)$ और $\det(A) = 4$ है।
हम जानते हैं कि $3 \times 3$ आव्यूह $A$ के लिए,$|\operatorname{adj}(A)| = |A|^{n-1}$,जहाँ $n=3$ है।
इसलिए,$|P| = |A|^{3-1} = |A|^2 = (4)^2 = 16$ होगा।
अब,$P$ का सारणिक ज्ञात करते हैं:
$|P| = \begin{vmatrix} 1 & \alpha & 3 \\ 1 & 3 & 3 \\ 2 & 4 & 4 \end{vmatrix}$
$|P| = 1(12 - 12) - \alpha(4 - 6) + 3(4 - 6)$
$|P| = 0 - \alpha(-2) + 3(-2)$
$|P| = 2\alpha - 6$ प्राप्त होता है।
$|P|$ के दोनों मानों की तुलना करने पर:
$2\alpha - 6 = 16$
$2\alpha = 22$
$\alpha = 11$।

(B) दिया गया है,$\operatorname{adj} A = |A| B$।
चूंकि $A$ नॉन-सिंगुलर है,$\operatorname{adj} A = |A| A^{-1}$।
अतः,$|A| B = |A| A^{-1}$,जिसका अर्थ है कि $B = A^{-1}$।
इसलिए,$A B = A A^{-1} = I$,जहाँ $I$ तत्समक आव्यूह है।
अब,योग $S = \sum_{k=1}^{\infty} \operatorname{tr}\left(\frac{1}{3^k}(A B)^k C\right)$ पर विचार करें।
चूंकि $(A B)^k = I^k = I$,व्यंजक $S = \sum_{k=1}^{\infty} \operatorname{tr}\left(\frac{1}{3^k} I C\right) = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{3^k} \operatorname{tr}(C)$ बन जाता है।
$C$ का ट्रेस $\operatorname{tr}(C) = 4 + (-2) + 6 = 8$ है।
अतः,$S = 8 \sum_{k=1}^{\infty} \left(\frac{1}{3}\right)^k$।
यह एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी है जिसमें प्रथम पद $a = \frac{1}{3}$ और सार्व अनुपात $r = \frac{1}{3}$ है।
योग $S = 8 \left( \frac{1/3}{1 - 1/3} \right) = 8 \left( \frac{1/3}{2/3} \right) = 8 \times \frac{1}{2} = 4$ है।

(D) दिया गया है कि $\left(A^T\right)^{-1}=A$,जिसका अर्थ है $A A^T=A^T A=I$.
अब,$X=A B A^T$.
अतः $X^{2021}=\left(A B A^T\right)^{2021} = (A B A^T)(A B A^T) \dots (A B A^T)$.
आव्यूह गुणन के साहचर्य नियम का उपयोग करते हुए,हमें प्राप्त होता है $X^{2021}=A B (A^T A) B (A^T A) B \dots (A^T A) B A^T$.
चूंकि $A^T A=I$,यह सरल होकर $X^{2021}=A B I B I B \dots I B A^T = A B^{2021} A^T$ बन जाता है।
अब,हमें $A^T X^{2021} A = A^T (A B^{2021} A^T) A = (A^T A) B^{2021} (A^T A) = I B^{2021} I = B^{2021}$ की गणना करनी है।
आव्यूह $B=\left[\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 0 & 1\end{array}\right]$ के लिए,हम देखते हैं:
$B^2 = \left[\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 0 & 1\end{array}\right] \left[\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 0 & 1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ll}1 & 4 \\ 0 & 1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}1 & 2 \times 2 \\ 0 & 1\end{array}\right]$.
$B^3 = B^2 B = \left[\begin{array}{ll}1 & 4 \\ 0 & 1\end{array}\right] \left[\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 0 & 1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ll}1 & 6 \\ 0 & 1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}1 & 2 \times 3 \\ 0 & 1\end{array}\right]$.
गणितीय आगमन द्वारा,$B^n = \left[\begin{array}{cc}1 & 2n \\ 0 & 1\end{array}\right]$.
अतः,$B^{2021} = \left[\begin{array}{cc}1 & 2 \times 2021 \\ 0 & 1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}1 & 4042 \\ 0 & 1\end{array}\right]$.

(B) ऑगमेंटेड मैट्रिक्स $[A: B] = \begin{bmatrix} 1 & -4 & 7 & : & a \\ 0 & 3 & -5 & : & -b \\ -2 & 5 & -9 & : & -c \end{bmatrix}$ है।
पंक्ति संक्रिया $R_3 \rightarrow R_3 + 2R_1$ लागू करने पर:
$[A: B] = \begin{bmatrix} 1 & -4 & 7 & : & a \\ 0 & 3 & -5 & : & -b \\ 0 & -3 & 5 & : & -c + 2a \end{bmatrix}$.
पंक्ति संक्रिया $R_3 \rightarrow R_3 + R_2$ लागू करने पर:
$[A: B] = \begin{bmatrix} 1 & -4 & 7 & : & a \\ 0 & 3 & -5 & : & -b \\ 0 & 0 & 0 & : & -c + 2a - b \end{bmatrix}$.
चूंकि $A$ की कोटि $\rho(A) = 2$ है,इसलिए $[A: B]$ की कोटि $A$ की कोटि के बराबर होने के लिए ऑगमेंटेड मैट्रिक्स की अंतिम पंक्ति शून्य होनी चाहिए।
अतः,$-c + 2a - b = 0$,जिसका अर्थ है कि $2a = b + c$।

(B) दिया गया सारणिक $\Delta = \begin{vmatrix} 1 & a & a^2 \\ 1 & b & b^2 \\ 1 & c & c^2 \end{vmatrix}$ है।
पंक्ति संक्रियाओं $R_1 \to R_1 - R_2$ और $R_2 \to R_2 - R_3$ को लागू करने पर:
$\Delta = \begin{vmatrix} 0 & a-b & a^2-b^2 \\ 0 & b-c & b^2-c^2 \\ 1 & c & c^2 \end{vmatrix}$
$R_1$ से $(a-b)$ और $R_2$ से $(b-c)$ उभयनिष्ठ लेने पर:
$\Delta = (a-b)(b-c) \begin{vmatrix} 0 & 1 & a+b \\ 0 & 1 & b+c \\ 1 & c & c^2 \end{vmatrix}$
$C_1$ के अनुदिश विस्तार करने पर:
$\Delta = (a-b)(b-c) [1 \cdot ((b+c) - (a+b))]$
$\Delta = (a-b)(b-c)(c-a)$
इसे $K(a-b)(b-c)(c-a)$ के साथ तुलना करने पर,हमें $K = 1$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है कि $A_\alpha = \begin{bmatrix} \cos \alpha & \sin \alpha \\ -\sin \alpha & \cos \alpha \end{bmatrix}$ है।
आव्यूह $A_\alpha$ का सारणिक $\det(A_\alpha) = \cos^2 \alpha - (-\sin^2 \alpha) = \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1$ होता है।
हम जानते हैं कि किन्हीं भी वर्ग आव्यूहों $A$ और $B$ के लिए,$\det(AB) = \det(A) \cdot \det(B)$ होता है।
इसलिए,$\det(A_{\pi / 5} A_{\pi / 4} A_{3 \pi / 10}) = \det(A_{\pi / 5}) \cdot \det(A_{\pi / 4}) \cdot \det(A_{3 \pi / 10})$ होगा।
चूंकि $\alpha$ के किसी भी मान के लिए $\det(A_\alpha) = 1$ है,इसलिए $\det(A_{\pi / 5}) = 1$,$\det(A_{\pi / 4}) = 1$,और $\det(A_{3 \pi / 10}) = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,$\det(A_{\pi / 5} A_{\pi / 4} A_{3 \pi / 10}) = 1 \times 1 \times 1 = 1$ होगा।

(C) दिया गया सारणिक: $\Delta = \begin{vmatrix} 2 & 2k & 1 \\ 1 & k-1 & 1 \\ 2 & 1 & k+1 \end{vmatrix}$ है।
प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$\Delta = 2[(k-1)(k+1) - 1] - 2k[1(k+1) - 2] + 1[1 - 2(k-1)]$
$\Delta = 2[k^2 - 1 - 1] - 2k[k + 1 - 2] + 1[1 - 2k + 2]$
$\Delta = 2[k^2 - 2] - 2k[k - 1] + [3 - 2k]$
$\Delta = 2k^2 - 4 - 2k^2 + 2k + 3 - 2k$
$\Delta = -1$ प्राप्त होता है।
$\Delta = -1$ की तुलना $Ak^2 + Bk + C$ से करने पर,हमें $A = 0, B = 0, C = -1$ प्राप्त होता है।
अतः,$A + B + C = 0 + 0 - 1 = -1$।

(D) रैखिक समीकरणों के एक समघात निकाय का अशून्य हल ($x = y = z = 0$ के अलावा) होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक शून्य होना चाहिए।
दिए गए समीकरण:
$3x - 2y + z = 0$
$\lambda x - 14y + 15z = 0$
$x + 2y - 3z = 0$
सारणिक $\Delta$ इस प्रकार है:
$\Delta = \begin{vmatrix} 3 & -2 & 1 \\ \lambda & -14 & 15 \\ 1 & 2 & -3 \end{vmatrix} = 0$
पहली पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$3((-14)(-3) - (15)(2)) - (-2)((\lambda)(-3) - (15)(1)) + 1((\lambda)(2) - (-14)(1)) = 0$
$3(42 - 30) + 2(-3\lambda - 15) + 1(2\lambda + 14) = 0$
$3(12) - 6\lambda - 30 + 2\lambda + 14 = 0$
$36 - 30 + 14 - 4\lambda = 0$
$20 - 4\lambda = 0$
$4\lambda = 20$
$\lambda = 5$

(B) दिए गए रैखिक समीकरणों का निकाय:
$5x - 2y + 3z = 0$ $(1)$
$7x + 10y - 8z = 3$ $(2)$
$2x + 3y - 4z = -4$ $(3)$
क्रेमर के नियम का उपयोग करते हुए,हम गुणांक आव्यूह का सारणिक $D$ ज्ञात करते हैं:
$D = \begin{vmatrix} 5 & -2 & 3 \\ 7 & 10 & -8 \\ 2 & 3 & -4 \end{vmatrix}$
$D = 5(-40 + 24) + 2(-28 + 16) + 3(21 - 20) = -101$
अब,दूसरे स्तंभ को स्थिरांकों से बदलकर $D_y$ ज्ञात करें:
$D_y = \begin{vmatrix} 5 & 0 & 3 \\ 7 & 3 & -8 \\ 2 & -4 & -4 \end{vmatrix} = -202$
अतः,$y = \beta = \frac{D_y}{D} = \frac{-202}{-101} = 2$.

(B) माना $\tan A = x$,$\cos B = y$,और $\sin C = z$ है। समीकरणों की प्रणाली इस प्रकार है:
$x + 3y + 6z = 1 \quad \dots(i)$
$3x + y + 4z = 4 \quad \dots(ii)$
$5x + 3y - 8z = -2 \quad \dots(iii)$
मैट्रिक्स व्युत्क्रम का उपयोग करते हुए,गुणांक मैट्रिक्स $P = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 6 \\ 3 & 1 & 4 \\ 5 & 3 & -8 \end{bmatrix}$ है।
सारणिक $|P| = 1(-8 - 12) - 3(-24 - 20) + 6(9 - 5) = -20 + 132 + 24 = 136$ है।
प्रणाली $\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = P^{-1} \begin{bmatrix} 1 \\ 4 \\ -2 \end{bmatrix}$ को हल करने पर:
$x = 1 \implies \tan A = 1 \implies A = \frac{\pi}{4}$ (चूंकि $A \in [0, \frac{\pi}{2})$).
$y = -1 \implies \cos B = -1 \implies B = \pi$ (चूंकि $B \in [0, 2\pi]$).
$z = \frac{1}{2} \implies \sin C = \frac{1}{2} \implies C = \frac{\pi}{6}$ (चूंकि $C \in [0, \frac{\pi}{2})$).
अंत में,$B - 2A - C = \pi - 2(\frac{\pi}{4}) - \frac{\pi}{6} = \pi - \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi - \pi}{6} = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$।

(D) दिया गया समीकरण निकाय $2x + 9y + 5z = 8$,$2x + 3y - z = -4$,और $x - 2z = -5$ के अनंत हल $x = -5 + at$,$y = 2 + bt$,$z = ct$,जहाँ $t \in R$ है।
इन मानों को समीकरणों में प्रतिस्थापित करने पर:
$2(-5 + at) + 9(2 + bt) + 5(ct) = 8$
$2(-5 + at) + 3(2 + bt) - (ct) = -4$
$(-5 + at) - 2(ct) = -5$
इन्हें सरल करने पर:
$-10 + 2at + 18 + 9bt + 5ct = 8 \Rightarrow 2at + 9bt + 5ct = 0$
$-10 + 2at + 6 + 3bt - ct = -4 \Rightarrow 2at + 3bt - ct = 0$
$-5 + at - 2ct = -5 \Rightarrow at - 2ct = 0$
$t$ से भाग देने पर ($t \neq 0$ मानते हुए):
$2a + 9b + 5c = 0$
$2a + 3b - c = 0$
$a - 2c = 0 \Rightarrow a = 2c$
$a = 2c$ को $2a + 3b - c = 0$ में रखने पर:
$2(2c) + 3b - c = 0 \Rightarrow 4c + 3b - c = 0 \Rightarrow 3b = -3c \Rightarrow b = -c$
अतः,$a : b : c = 2c : -c : c = 2 : -1 : 1$।
इसलिए,$a = 2$,$b = -1$,$c = 1$।

(C) रैखिक समीकरणों की प्रणाली के संगत होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक $\Delta$ शून्य होना चाहिए,और सारणिक $\Delta_1, \Delta_2, \Delta_3$ भी शून्य होने चाहिए।
$\Delta = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 4 \\ 1 & 4 & 10 \end{vmatrix} = 1(20-16) - 1(10-4) + 1(4-2) = 4 - 6 + 2 = 0$.
चूंकि $\Delta = 0$ है,प्रणाली संगत है यदि $\Delta_1 = \Delta_2 = \Delta_3 = 0$ हो।
$\Delta_1 = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ k & 2 & 4 \\ k^2 & 4 & 10 \end{vmatrix} = 2(k^2 - 3k + 2) = 2(k-1)(k-2)$.
$\Delta_1 = 0$ रखने पर,$(k-1)(k-2) = 0$,जिसका अर्थ है $k = 1$ या $k = 2$.
इसी प्रकार,$\Delta_2 = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & k & 4 \\ 1 & k^2 & 10 \end{vmatrix} = -3(k^2 - 3k + 2) = -3(k-1)(k-2)$.
$\Delta_2 = 0$ रखने पर,$k = 1$ या $k = 2$.
$\Delta_3 = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & k \\ 1 & 4 & k^2 \end{vmatrix} = (k^2 - 3k + 2) = (k-1)(k-2)$.
$\Delta_3 = 0$ रखने पर,$k = 1$ या $k = 2$.
अतः,प्रणाली $k = 1, 2$ के लिए संगत है।

(A) दिया गया है,$\operatorname{det}(A^T B A) = 27$।
चूंकि $\operatorname{det}(A^T) = \operatorname{det}(A)$,इसलिए हमारे पास $|A|^2 |B| = 27$ है $(i)$।
साथ ही,$\operatorname{det}(A B^{-1}) = 8$,जिसका अर्थ है $\frac{|A|}{|B|} = 8$,इसलिए $|B| = \frac{|A|}{8}$ $(ii)$।
$(ii)$ को $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$|A|^2 \left(\frac{|A|}{8}\right) = 27 \Rightarrow |A|^3 = 216 \Rightarrow |A| = 6$।
अतः,$|B| = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$।
हमें $\operatorname{det}(B^T A^{-1} B) = |B^T| |A^{-1}| |B| = |B| \cdot \frac{1}{|A|} \cdot |B| = \frac{|B|^2}{|A|}$ ज्ञात करना है।
मान रखने पर:
$\frac{(\frac{3}{4})^2}{6} = \frac{9/16}{6} = \frac{9}{96} = \frac{3}{32}$।

(A) दिया गया व्यंजक: $\coth^{-1}(2) + \operatorname{cosech}^{-1}(-2\sqrt{2})$.
चूंकि $\operatorname{cosech}^{-1}(-x) = -\operatorname{cosech}^{-1}(x)$,इसलिए व्यंजक $\coth^{-1}(2) - \operatorname{cosech}^{-1}(2\sqrt{2})$ हो जाता है।
$|x| > 1$ के लिए सूत्र $\coth^{-1}(x) = \frac{1}{2} \log \left(\frac{x+1}{x-1}\right)$ का उपयोग करने पर:
$\coth^{-1}(2) = \frac{1}{2} \log \left(\frac{2+1}{2-1}\right) = \frac{1}{2} \log(3) = \log \sqrt{3}$.
$x > 0$ के लिए सूत्र $\operatorname{cosech}^{-1}(x) = \log \left(\frac{1 + \sqrt{x^2+1}}{x}\right)$ का उपयोग करने पर:
$\operatorname{cosech}^{-1}(2\sqrt{2}) = \log \left(\frac{1 + \sqrt{(2\sqrt{2})^2 + 1}}{2\sqrt{2}}\right) = \log \left(\frac{1 + \sqrt{8+1}}{2\sqrt{2}}\right) = \log \left(\frac{1+3}{2\sqrt{2}}\right) = \log \left(\frac{4}{2\sqrt{2}}\right) = \log \sqrt{2}$.
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$\log \sqrt{3} - \log \sqrt{2} = \log \left(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\right) = \log \sqrt{\frac{3}{2}}$.

(D) हम $|x| < 1$ के लिए सूत्र $2 \tan ^{-1}(x) = \tan ^{-1}\left(\frac{2x}{1-x^2}\right)$ का उपयोग करते हैं।
पहले पद के लिए $x = \frac{1}{3}$ रखने पर:
$2 \tan ^{-1}\left(\frac{1}{3}\right) = \tan ^{-1}\left(\frac{2(\frac{1}{3})}{1-(\frac{1}{3})^2}\right) = \tan ^{-1}\left(\frac{2/3}{1-1/9}\right) = \tan ^{-1}\left(\frac{2/3}{8/9}\right) = \tan ^{-1}\left(\frac{2}{3} \times \frac{9}{8}\right) = \tan ^{-1}\left(\frac{3}{4}\right)$.
अब,व्यंजक $\tan ^{-1}\left(\frac{3}{4}\right) + \tan ^{-1}\left(\frac{1}{7}\right)$ हो जाता है।
$xy < 1$ होने पर $\tan ^{-1}(x) + \tan ^{-1}(y) = \tan ^{-1}\left(\frac{x+y}{1-xy}\right)$ सूत्र का उपयोग करने पर:
$\tan ^{-1}\left(\frac{3/4 + 1/7}{1 - (3/4)(1/7)}\right) = \tan ^{-1}\left(\frac{(21+4)/28}{1 - 3/28}\right) = \tan ^{-1}\left(\frac{25/28}{25/28}\right) = \tan ^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}$.

(B) माना $f(x) = 2 \sin ^{-1} x + \sin ^{-1}(2 x \sqrt{1-x^2}) + 3 \cos ^{-1} x - \cos ^{-1}(4 x^3 - 3 x)$.
$x \in [-1, 1]$ के लिए,$x = \cos \theta$ रखें,जहाँ $\theta \in [0, \pi]$.
अतः $\sin^{-1} x = \frac{\pi}{2} - \theta$.
साथ ही,$\sin^{-1}(2x\sqrt{1-x^2}) = \sin^{-1}(\sin 2\theta)$ और $\cos^{-1}(4x^3-3x) = \cos^{-1}(\cos 3\theta)$.
जब $x \in [-1, -\frac{1}{\sqrt{2}}]$,तब $\theta \in [\frac{3\pi}{4}, \pi]$.
अतः,$2\theta \in [\frac{3\pi}{2}, 2\pi]$,इसलिए $\sin^{-1}(\sin 2\theta) = 2\theta - 2\pi$.
और $3\theta \in [\frac{9\pi}{4}, 3\pi]$,इसलिए $\cos^{-1}(\cos 3\theta) = 3\pi - 3\theta$.
इन मानों को रखने पर: $f(x) = 2(\frac{\pi}{2} - \theta) + (2\theta - 2\pi) + 3\theta - (3\pi - 3\theta) = \pi - 2\theta + 2\theta - 2\pi + 3\theta - 3\pi + 3\theta = 6\theta - 4\pi$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार,$x \in [-1, -\frac{1}{\sqrt{2}}]$ के लिए सही उत्तर $\pi$ है।

(C) माना $f(x) = \operatorname{sech}^{-1} x + \operatorname{cosech}^{-1} x$.
$\operatorname{sech}^{-1} x$ का प्रांत $x \in (0, 1]$ है।
$\operatorname{cosech}^{-1} x$ का प्रांत $x \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$ है।
$f(x)$ का प्रांत इन दोनों का सर्वनिष्ठ है,जो $x \in (0, 1]$ है।
हम जानते हैं कि $\operatorname{sech}^{-1} x = \ln\left(\frac{1+\sqrt{1-x^2}}{x}\right)$ और $\operatorname{cosech}^{-1} x = \ln\left(\frac{1+\sqrt{1+x^2}}{x}\right)$.
जैसे-जैसे $x \to 0^+$,$f(x) \to \infty$ होता है।
$x = 1$ पर,$f(1) = \operatorname{sech}^{-1}(1) + \operatorname{cosech}^{-1}(1) = 0 + \ln(1+\sqrt{2}) = \ln(1+\sqrt{2})$.
चूंकि $f(x)$ अंतराल $(0, 1]$ पर एक निरंतर ह्रासमान फलन है,इसलिए परिसर $[\ln(1+\sqrt{2}), \infty)$ है।
अतः,$a = \ln(1+\sqrt{2})$ और $b = \infty$।

(D) माना कि दिया गया व्यंजक $S = \sin \left(\tan ^{-1} \frac{4}{5}+\tan ^{-1} \frac{4}{3}+\tan ^{-1} \frac{1}{9}-\tan ^{-1} \frac{1}{7}\right)$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है $S = \sin \left(\left(\tan ^{-1} \frac{4}{5}-\tan ^{-1} \frac{1}{7}\right) + \left(\tan ^{-1} \frac{4}{3}+\tan ^{-1} \frac{1}{9}\right)\right)$.
माना $p = \tan ^{-1} \frac{4}{5}-\tan ^{-1} \frac{1}{7}$. सूत्र $\tan ^{-1} x - \tan ^{-1} y = \tan ^{-1} \left(\frac{x-y}{1+xy}\right)$ का उपयोग करते हुए,हमें मिलता है $p = \tan ^{-1} \left(\frac{\frac{4}{5}-\frac{1}{7}}{1+\frac{4}{5} \cdot \frac{1}{7}}\right) = \tan ^{-1} \left(\frac{\frac{28-5}{35}}{\frac{35+4}{35}}\right) = \tan ^{-1} \left(\frac{23}{39}\right)$.
माना $q = \tan ^{-1} \frac{4}{3}+\tan ^{-1} \frac{1}{9}$. सूत्र $\tan ^{-1} x + \tan ^{-1} y = \tan ^{-1} \left(\frac{x+y}{1-xy}\right)$ का उपयोग करते हुए,हमें मिलता है $q = \tan ^{-1} \left(\frac{\frac{4}{3}+\frac{1}{9}}{1-\frac{4}{3} \cdot \frac{1}{9}}\right) = \tan ^{-1} \left(\frac{\frac{12+1}{9}}{\frac{27-4}{27}}\right) = \tan ^{-1} \left(\frac{13}{9} \cdot \frac{27}{23}\right) = \tan ^{-1} \left(\frac{39}{23}\right)$.
चूंकि $\tan ^{-1} x + \cot ^{-1} x = \frac{\pi}{2}$,इसलिए $q = \cot ^{-1} \left(\frac{23}{39}\right) = \frac{\pi}{2} - \tan ^{-1} \left(\frac{23}{39}\right)$.
अतः,$p+q = \tan ^{-1} \left(\frac{23}{39}\right) + \frac{\pi}{2} - \tan ^{-1} \left(\frac{23}{39}\right) = \frac{\pi}{2}$.
इसलिए,$S = \sin \left(\frac{\pi}{2}\right) = 1$.

(A) दिया गया है,$\sin ^{-1} x < \cos ^{-1} x$
चूंकि $\sin ^{-1} x + \cos ^{-1} x = \frac{\pi}{2}$,हम $\sin ^{-1} x = \frac{\pi}{2} - \cos ^{-1} x$ लिख सकते हैं।
इसे असमिका में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{\pi}{2} - \cos ^{-1} x < \cos ^{-1} x$
$\Rightarrow \frac{\pi}{2} < 2 \cos ^{-1} x$
$\Rightarrow \cos ^{-1} x > \frac{\pi}{4}$
चूंकि $\cos \theta$ अंतराल $[0, \pi]$ में एक ह्रासमान फलन है,इसलिए दोनों पक्षों में $\cos$ लेने पर असमिका का चिह्न बदल जाएगा:
$x < \cos \left(\frac{\pi}{4}\right)$
$x < \frac{1}{\sqrt{2}}$
साथ ही,$\sin ^{-1} x$ और $\cos ^{-1} x$ का प्रांत $[-1, 1]$ है।
$x < \frac{1}{\sqrt{2}}$ और प्रांत $[-1, 1]$ को संयोजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$-1 \leq x < \frac{1}{\sqrt{2}}$

(D) दिया गया समीकरण: $\sin ^{-1}\left(\frac{x}{5}\right)+\operatorname{cosec}^{-1}\left(\frac{5}{4}\right)=\frac{\pi}{2}$
हम जानते हैं कि $\operatorname{cosec}^{-1}(y) = \sin ^{-1}\left(\frac{1}{y}\right)$ जहाँ $|y| \geq 1$ है।
अतः,$\operatorname{cosec}^{-1}\left(\frac{5}{4}\right) = \sin ^{-1}\left(\frac{4}{5}\right)$।
इस मान को समीकरण में रखने पर: $\sin ^{-1}\left(\frac{x}{5}\right)+\sin ^{-1}\left(\frac{4}{5}\right)=\frac{\pi}{2}$।
सर्वसमिका $\sin ^{-1}(A) + \cos ^{-1}(A) = \frac{\pi}{2}$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है $\sin ^{-1}\left(\frac{x}{5}\right) = \frac{\pi}{2} - \sin ^{-1}\left(\frac{4}{5}\right) = \cos ^{-1}\left(\frac{4}{5}\right)$।
चूँकि $\cos ^{-1}\left(\frac{4}{5}\right) = \sin ^{-1}\left(\sqrt{1 - (\frac{4}{5})^2}\right) = \sin ^{-1}\left(\sqrt{1 - \frac{16}{25}}\right) = \sin ^{-1}\left(\sqrt{\frac{9}{25}}\right) = \sin ^{-1}\left(\frac{3}{5}\right)$।
इसलिए,$\sin ^{-1}\left(\frac{x}{5}\right) = \sin ^{-1}\left(\frac{3}{5}\right)$,जिसका अर्थ है $\frac{x}{5} = \frac{3}{5}$,अतः $x = 3$।
अंत में,$5 + x = 5 + 3 = 8$।

(C) दिया गया है $f(n) = \tan \left[\sum_{k=1}^{n} \tan ^{-1} \frac{1}{1+k(k+1)}\right]$.
हम जानते हैं कि $\tan ^{-1} x - \tan ^{-1} y = \tan ^{-1} \left(\frac{x-y}{1+xy}\right)$.
हम सामान्य पद को $\tan ^{-1} \left(\frac{(k+1)-k}{1+k(k+1)}\right) = \tan ^{-1}(k+1) - \tan ^{-1}(k)$ के रूप में लिख सकते हैं।
इस प्रकार,योग एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी बन जाता है:
$S_n = (\tan ^{-1}(2) - \tan ^{-1}(1)) + (\tan ^{-1}(3) - \tan ^{-1}(2)) + \ldots + (\tan ^{-1}(n+1) - \tan ^{-1}(n))$.
सभी मध्यवर्ती पद कट जाते हैं,जिससे $S_n = \tan ^{-1}(n+1) - \tan ^{-1}(1)$ बचता है।
सूत्र $\tan ^{-1} A - \tan ^{-1} B = \tan ^{-1} \left(\frac{A-B}{1+AB}\right)$ का उपयोग करने पर:
$S_n = \tan ^{-1} \left(\frac{(n+1)-1}{1+(n+1)(1)}\right) = \tan ^{-1} \left(\frac{n}{n+2}\right)$.
अतः,$f(n) = \tan \left[\tan ^{-1} \left(\frac{n}{n+2}\right)\right] = \frac{n}{n+2}$.
$n = 2021$ के लिए,$f(2021) = \frac{2021}{2021+2} = \frac{2021}{2023}$.

(C) दिया गया है $a^x + a^y = a$.
चूंकि $f: A \rightarrow A$ है,इसलिए प्रांत (domain) और परिसर (range) दोनों $A$ हैं।
$y$ को परिभाषित होने के लिए,$a^y > 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $a - a^x > 0$,इसलिए $a^x < a$।
चूंकि $a > 1$ है,दोनों पक्षों में $\log_a$ लेने पर $x < 1$ प्राप्त होता है।
अतः,प्रांत $x \in (-\infty, 1)$ है।
चूंकि परिसर भी $A$ होना चाहिए,हमारे पास $y = \log_a(a - a^x)$ है।
जैसे ही $x \rightarrow -\infty$,$a^x \rightarrow 0$,इसलिए $y \rightarrow \log_a(a) = 1$।
जैसे ही $x \rightarrow 1^-$,$a^x \rightarrow a^-$,इसलिए $a - a^x \rightarrow 0^+$,जिसका अर्थ है $y \rightarrow -\infty$।
अतः,परिसर $(-\infty, 1)$ है।
इसलिए,$A = (-\infty, 1)$।

(C) दिया है,$f(x) = \frac{1}{2} - \tan \left(\frac{\pi x}{2}\right)$ जिसका प्रांत $(-1, 1)$ है और $g(x) = \sqrt{3 + 4x - 4x^2}$ है।
$(f + g)$ का प्रांत ज्ञात करने के लिए,हमें $f(x)$ और $g(x)$ के प्रांतों का सर्वनिष्ठ (intersection) लेना होगा।
$g(x)$ को परिभाषित होने के लिए,$3 + 4x - 4x^2 \geq 0$ होना चाहिए।
$-1$ से गुणा करने पर,$4x^2 - 4x - 3 \leq 0$ प्राप्त होता है।
गुणनखंड करने पर,$(2x + 1)(2x - 3) \leq 0$।
यह असमिका $x \in \left[-\frac{1}{2}, \frac{3}{2}\right]$ के लिए सत्य है।
$(f + g)$ का प्रांत $(-1, 1)$ और $\left[-\frac{1}{2}, \frac{3}{2}\right]$ का सर्वनिष्ठ है।
सर्वनिष्ठ $= (-1, 1) \cap \left[-\frac{1}{2}, \frac{3}{2}\right] = \left[-\frac{1}{2}, 1\right)$।

(B) दिया गया है,$f(x) = \frac{1}{\sqrt{|x|-x}}$.
फलन $f(x)$ को परिभाषित होने के लिए,वर्गमूल के अंदर का मान धनात्मक होना चाहिए:
$|x| - x > 0$
$|x| > x$
यह असमिका सभी ऋणात्मक वास्तविक संख्याओं के लिए सत्य है,अर्थात $x < 0$.
अतः,प्रांत $(-\infty, 0)$ है।

(B) दिया गया फलन: $y(x) = \cos x - 3$ है।
चूंकि $\cos x$ का प्रांत सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय $R$ है,इसलिए $y(x)$ का प्रांत $R$ है।
हम जानते हैं कि किसी भी $x \in R$ के लिए,$-1 \leq \cos x \leq 1$ होता है।
असमिका के सभी भागों से $3$ घटाने पर:
$-1 - 3 \leq \cos x - 3 \leq 1 - 3$
$-4 \leq y(x) \leq -2$।
अतः,फलन का परिसर $[-4, -2]$ है।
इसलिए,प्रांत $R$ है और परिसर $[-4, -2]$ है।

(B) फलन $y(x) = f(x) = \begin{cases} \frac{5x}{(x-3)(x+3)}, & x \neq -1 \\ -1, & x = -1 \end{cases}$ के रूप में परिभाषित है।
$f: A \rightarrow B$ फलन के सुपरिभाषित होने के लिए,$A$ को फलन का प्रांत (domain) होना चाहिए।
व्यंजक $\frac{5x}{(x-3)(x+3)}$ उन सभी वास्तविक संख्याओं के लिए परिभाषित है जहाँ हर शून्य न हो।
हर को शून्य के बराबर रखने पर: $(x-3)(x+3) = 0 \implies x = 3$ या $x = -3$ प्राप्त होता है।
$x = -1$ पर,फलन स्पष्ट रूप से $y(-1) = -1$ के रूप में परिभाषित है,जो एक वास्तविक संख्या है।
अतः,प्रांत $A$ में $3$ और $-3$ को छोड़कर सभी वास्तविक संख्याएँ शामिल हैं।
इस प्रकार,$A = R \setminus \{-3, 3\}$.

(A) यह जाँचने के लिए कि फलन सम है या विषम,हम $f(-x)$ का मान ज्ञात करते हैं।
$f(-x) = \log (-x + \sqrt{(-x)^2 + 1}) = \log (-x + \sqrt{x^2 + 1})$.
अब,लघुगणक के अंदर $(x + \sqrt{x^2 + 1})$ से गुणा और भाग करें:
$f(-x) = \log \left( \frac{(\sqrt{x^2 + 1} - x)(\sqrt{x^2 + 1} + x)}{\sqrt{x^2 + 1} + x} \right)$.
सर्वसमिका $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ का उपयोग करते हुए:
$f(-x) = \log \left( \frac{(x^2 + 1) - x^2}{\sqrt{x^2 + 1} + x} \right) = \log \left( \frac{1}{x + \sqrt{x^2 + 1}} \right)$.
गुणधर्म $\log(1/a) = -\log(a)$ का उपयोग करते हुए:
$f(-x) = -\log(x + \sqrt{x^2 + 1}) = -f(x)$.
चूँकि $f(-x) = -f(x)$,इसलिए यह फलन एक विषम फलन है।

(D) दिया गया है $f(x) = \begin{cases} -2, & -2 \leq x \leq 0 \\ x^2-2, & 0 \leq x \leq 2 \end{cases}$.
$f(x)$ के लिए,परिसर $[-2, 2]$ है। चूँकि सभी $x \in [-2, 0]$ के लिए $f(x) = -2$ है,इसलिए $f$ एकैकी (injective) नहीं है। अतः,$f$ एकैकी और आच्छादक (bijective) नहीं है।
अब,$g(x) = |f(x)| + f(|x|)$.
यदि $-2 \leq x \leq 0$,तो $|x| \in [0, 2]$,इसलिए $f(|x|) = |x|^2 - 2 = x^2 - 2$. साथ ही $f(x) = -2$,इसलिए $|f(x)| = 2$. अतः $g(x) = 2 + x^2 - 2 = x^2$.
यदि $0 \leq x \leq 2$,तो $|x| = x$,इसलिए $f(|x|) = f(x) = x^2 - 2$. अतः $g(x) = |x^2 - 2| + x^2 - 2$.
$0 \leq x \leq \sqrt{2}$ के लिए,$x^2 - 2 \leq 0$,इसलिए $g(x) = -(x^2 - 2) + x^2 - 2 = 0$.
$\sqrt{2} < x \leq 2$ के लिए,$x^2 - 2 > 0$,इसलिए $g(x) = (x^2 - 2) + x^2 - 2 = 2(x^2 - 2)$.
अतः,$g(x) = \begin{cases} x^2, & -2 \leq x \leq 0 \\ 0, & 0 \leq x \leq \sqrt{2} \\ 2(x^2-2), & \sqrt{2} < x \leq 2 \end{cases}$.
$g(x)$ का परिसर $[0, 4]$ है,जो सह-प्रांत के बराबर है,इसलिए $g$ आच्छादक फलन है। चूँकि $x \in [0, \sqrt{2}]$ के लिए $g(x) = 0$ है,इसलिए $g$ एकैकी फलन नहीं है।

(D) दो फलनों $f: A \rightarrow B$ और $g: B \rightarrow A$ के एक-दूसरे के प्रतिलोम होने के लिए,उन्हें सभी $x \in A$ के लिए $g(f(x)) = x$ और सभी $x \in B$ के लिए $f(g(x)) = x$ को संतुष्ट करना होगा।
दिया गया है $f(x) = x^2$ और $g(x) = x^{1/2}$।
$g(x) = \sqrt{x}$ को परिभाषित होने के लिए,सभी $x \in B$ के लिए $x \geq 0$ होना चाहिए। अतः,$B = [0, \infty) = R \setminus R^{-}$।
$f(g(x)) = (x^{1/2})^2 = x$ के लिए,यह सभी $x \in B$ के लिए सत्य है।
$g(f(x)) = (x^2)^{1/2} = |x|$ के लिए,हमें $|x| = x$ की आवश्यकता है,जिसका अर्थ है $x \geq 0$। अतः,$A = [0, \infty) = R \setminus R^{-}$।
इसलिए,$f(x)$ और $g(x)$ एक-दूसरे के प्रतिलोम फलन तब होते हैं जब $A = B = R \setminus R^{-}$ हो।

(B) दिया गया है,$f(x) = x + x^2 + x^3 + \ldots \infty$.
यह एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a = x$ और सार्व अनुपात $r = x$ है।
चूंकि प्रांत $(-1, 1)$ है,$|x| < 1$,इसलिए योग $f(x) = \frac{x}{1-x}$ है।
परिसर $B$ ज्ञात करने के लिए,$y = \frac{x}{1-x}$ लें।
$y(1-x) = x \Rightarrow y - xy = x \Rightarrow y = x(1+y) \Rightarrow x = \frac{y}{1+y}$.
चूंकि $-1 < x < 1$,इसलिए $-1 < \frac{y}{1+y} < 1$.
स्थिति $1$: $\frac{y}{1+y} > -1 \Rightarrow \frac{2y+1}{1+y} > 0$.
अंतराल की जाँच करने पर,$y \in (-\infty, -1) \cup (-1/2, \infty)$.
स्थिति $2$: $\frac{y}{1+y} < 1 \Rightarrow \frac{-1}{1+y} < 0 \Rightarrow y > -1$.
दोनों स्थितियों का प्रतिच्छेदन लेने पर,$y \in (-1/2, \infty)$ प्राप्त होता है।
अतः,$B = (-1/2, \infty)$.

(A) दिया गया है,$f(x) = \frac{3^x + 3^{-x}}{2}$.
हमारे पास $f(x+y) = \frac{3^{x+y} + 3^{-(x+y)}}{2}$ और $f(x-y) = \frac{3^{x-y} + 3^{-(x-y)}}{2}$ है।
इन दोनों व्यंजकों को जोड़ने पर:
$f(x+y) + f(x-y) = \frac{1}{2} [3^x \cdot 3^y + 3^{-x} \cdot 3^{-y} + 3^x \cdot 3^{-y} + 3^{-x} \cdot 3^y]$.
$f(x+y) + f(x-y) = \frac{1}{2} [3^x(3^y + 3^{-y}) + 3^{-x}(3^y + 3^{-y})]$.
$f(x+y) + f(x-y) = \frac{1}{2} (3^x + 3^{-x})(3^y + 3^{-y})$.
चूंकि $f(x) = \frac{3^x + 3^{-x}}{2}$,इसलिए $(3^x + 3^{-x}) = 2f(x)$ और $(3^y + 3^{-y}) = 2f(y)$ है।
इन मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$f(x+y) + f(x-y) = \frac{1}{2} [2f(x) \cdot 2f(y)] = 2f(x)f(y)$.
इसे $f(x+y) + f(x-y) = a f(x) f(y)$ के साथ तुलना करने पर,हमें $a = 2$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है,$f(x+y)=f(x)+f(y)$ सभी $x, y \in R$ के लिए।
यह कॉची का कार्यात्मक समीकरण है,और $f: R \rightarrow R$ के लिए,हल $f(x)=cx$ है।
दिया गया है $f(1)=10$,इसलिए $c(1)=10$,जिसका अर्थ है $c=10$।
अतः,$f(x)=10x$।
हमें $\sum_{r=1}^n(f(r))^2 = \sum_{r=1}^n(10r)^2$ ज्ञात करना है।
$= 100 \sum_{r=1}^n r^2$।
सूत्र $\sum_{r=1}^n r^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ का उपयोग करते हुए,हमें प्राप्त होता है:
$= 100 \times \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$।
$= \frac{50}{3} n(n+1)(2n+1)$।

(B) दिया गया है कि $f(1)=0$ और $f(n+1)-f(n)=5n$ सभी $n \in N$ के लिए।
हम पुनरावृत्ति संबंध को $f(k+1)-f(k)=5k$ के रूप में लिख सकते हैं।
इस संबंध का $k=1$ से $n-1$ तक योग करने पर:
$\sum_{k=1}^{n-1} (f(k+1)-f(k)) = \sum_{k=1}^{n-1} 5k$.
बाईं ओर एक टेलीस्कोपिंग योग प्राप्त होता है:
$(f(2)-f(1)) + (f(3)-f(2)) + \ldots + (f(n)-f(n-1)) = 5 \sum_{k=1}^{n-1} k$.
$f(n)-f(1) = 5 \times \frac{(n-1)n}{2}$.
चूंकि $f(1)=0$,इसलिए $f(n) = \frac{5}{2}(n^2-n)$.

(B) दिया गया है,$f(x)=x^3+a x^2+b x$.
हमें $f(1)-f(3)=0$ दिया गया है,जिसका अर्थ है $f(1)=f(3)$.
फलन में मान प्रतिस्थापित करने पर:
$1+a+b = 27+9a+3b$
$-26 = 8a+2b$
$2$ से विभाजित करने पर,हमें $4a+b=-13$ प्राप्त होता है ... $(i)$.
अब,अवकलज $f^{\prime}(x) = 3x^2+2ax+b$ ज्ञात करें।
दिया गया है $f^{\prime}\left(\frac{2 \sqrt{3}+1}{\sqrt{3}}\right)=0$,मान लीजिए $x = \frac{2 \sqrt{3}+1}{\sqrt{3}} = 2 + \frac{1}{\sqrt{3}}$.
$3\left(2+\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 + 2a\left(2+\frac{1}{\sqrt{3}}\right) + b = 0$
$3\left(4 + \frac{4}{\sqrt{3}} + \frac{1}{3}\right) + 4a + \frac{2a}{\sqrt{3}} + b = 0$
$12 + 4\sqrt{3} + 1 + 4a + \frac{2a}{\sqrt{3}} + b = 0$
$13 + 4\sqrt{3} + 4a + \frac{2a}{\sqrt{3}} + b = 0$
समीकरण $(i)$ से $b = -13-4a$ प्रतिस्थापित करने पर:
$13 + 4\sqrt{3} + 4a + \frac{2a}{\sqrt{3}} - 13 - 4a = 0$
$4\sqrt{3} + \frac{2a}{\sqrt{3}} = 0$
$\frac{2a}{\sqrt{3}} = -4\sqrt{3}$
$2a = -4 \times 3 = -12$
$a = -6$.
समीकरण $(i)$ में $a=-6$ रखने पर,$b = -13 - 4(-6) = -13 + 24 = 11$.
अतः,$a-b = -6 - 11 = -17$.

(C) दिया गया है,$2f(x) + f\left(\frac{1}{x}\right) = 4x$ --- $(i)$
$x$ को $\frac{1}{x}$ से प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$2f\left(\frac{1}{x}\right) + f(x) = \frac{4}{x}$ --- (ii)
समीकरण $(i)$ को $2$ से गुणा करने पर:
$4f(x) + 2f\left(\frac{1}{x}\right) = 8x$ --- (iii)
समीकरण (iii) में से समीकरण (ii) को घटाने पर:
$(4f(x) + 2f\left(\frac{1}{x}\right)) - (f(x) + 2f\left(\frac{1}{x}\right)) = 8x - \frac{4}{x}$
$3f(x) = 8x - \frac{4}{x} = \frac{8x^2 - 4}{x}$
$f(x) = \frac{4(2x^2 - 1)}{3x}$
अब,$S = \{x \in R : f(x) = f(-x)\}$ के लिए:
$f(-x) = \frac{4(2(-x)^2 - 1)}{3(-x)} = -\frac{4(2x^2 - 1)}{3x} = -f(x)$
$f(x) = f(-x)$ रखने पर,$f(x) = -f(x)$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $2f(x) = 0$,अतः $f(x) = 0$.
$\frac{4(2x^2 - 1)}{3x} = 0 \implies 2x^2 - 1 = 0 \implies x^2 = \frac{1}{2} \implies x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$.
अतः,$S = \left\{-\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right\}$.
$S$ में अवयवों की संख्या $2$ है।

(B) दिया गया है कि $f(x)$ बिंदु $x=0$ और $x=2$ पर सतत है।
$x=0$ पर सांतत्य के लिए,$f(0^-) = f(0) = f(0^+)$ होना चाहिए।
$f(0^-) = \lim_{x \to 0^-} (1 + \cos x) = 1 + \cos(0) = 2$.
$f(0^+) = \lim_{x \to 0^+} (a - x) = a - 0 = a$.
इन्हें बराबर करने पर,हमें $a = 2$ प्राप्त होता है।
$x=2$ पर सांतत्य के लिए,$f(2^-) = f(2) = f(2^+)$ होना चाहिए।
$f(2^-) = \lim_{x \to 2^-} (a - x) = a - 2 = 2 - 2 = 0$.
$f(2^+) = \lim_{x \to 2^+} (x - b)^2 = (2 - b)^2$.
इन्हें बराबर करने पर,हमें $(2 - b)^2 = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $b = 2$.
अंततः,$a^2 + b^2 = (2)^2 + (2)^2 = 4 + 4 = 8$.

(A) चूंकि फलन $x=0$ पर सतत है,इसलिए $f(0^+) = f(0^-) = f(0)$ होगा।
सबसे पहले,दाईं सीमा $f(0^+)$ की गणना करें:
$f(0^+) = \lim_{x \to 0^+} q \left( \frac{\sqrt{x^2+x} - \sqrt{x}}{x^{3/2}} \right) = q \lim_{x \to 0^+} \frac{(\sqrt{x^2+x} - \sqrt{x})(\sqrt{x^2+x} + \sqrt{x})}{x^{3/2}(\sqrt{x^2+x} + \sqrt{x})}$
$= q \lim_{x \to 0^+} \frac{x^2+x-x}{x^{3/2}(\sqrt{x}(\sqrt{x+1}+1))} = q \lim_{x \to 0^+} \frac{x^2}{x^2(\sqrt{x+1}+1)} = \frac{q}{2}$.
अब,बाईं सीमा $f(0^-)$ की गणना करें:
$f(0^-) = \lim_{x \to 0^-} \frac{\tan(2p-7)x + \tan 3x}{x} = \lim_{x \to 0^-} \left( \frac{\tan(2p-7)x}{x} + \frac{\tan 3x}{x} \right) = (2p-7) + 3 = 2p-4$.
$f(0) = p-q$ दिया गया है,इसलिए $x=0$ पर सांतत्य के लिए:
$f(0^-) = f(0) \implies 2p-4 = p-q \implies p+q = 4$.
$f(0^+) = f(0) \implies \frac{q}{2} = p-q \implies q = 2p-2q \implies 3q = 2p$.
$3q = 2p$ से,हमें $\frac{q}{p} = \frac{2}{3}$ प्राप्त होता है।