TS EAMCET 2024 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(D) माना $x-2 = t$,इसलिए $x = t+2$। इस मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{3(t+2)^4 - 2(t+2)^2 + 1}{t^4} = A + \frac{B}{t} + \frac{C}{t^2} + \frac{D}{t^3} + \frac{E}{t^4}$
अंश का विस्तार करने पर:
$3(t^4 + 8t^3 + 24t^2 + 32t + 16) - 2(t^2 + 4t + 4) + 1 = 3t^4 + 24t^3 + 72t^2 + 96t + 48 - 2t^2 - 8t - 8 + 1 = 3t^4 + 24t^3 + 70t^2 + 88t + 41$
$t^4$ से विभाजित करने पर:
$3 + \frac{24}{t} + \frac{70}{t^2} + \frac{88}{t^3} + \frac{41}{t^4} = A + \frac{B}{t} + \frac{C}{t^2} + \frac{D}{t^3} + \frac{E}{t^4}$
गुणांकों की तुलना करने पर,हमें $A=3, B=24, C=70, D=88, E=41$ प्राप्त होता है।
अब,$2A + 3B - C - D + E = 2(3) + 3(24) - 70 - 88 + 41 = 6 + 72 - 70 - 88 + 41 = -39$।

(D) दिया गया आंशिक भिन्न अपघटन: $\frac{x^2}{2 x^4+7 x^2+6}=\frac{A x+B}{x^2+a}+\frac{C x+D}{a x^2+3}$ है।
सबसे पहले,हर का गुणनखंड करें: $2 x^4+7 x^2+6 = (x^2+2)(2 x^2+3)$।
इसे दिए गए रूप के साथ तुलना करने पर,हम $a=2$ प्राप्त करते हैं।
अब,भिन्न को इस प्रकार व्यक्त करें: $\frac{x^2}{(x^2+2)(2 x^2+3)} = \frac{P}{x^2+2} + \frac{Q}{2 x^2+3}$।
आंशिक भिन्नों का उपयोग करते हुए: $x^2 = P(2 x^2+3) + Q(x^2+2)$।
$x^2 = -2$ के लिए: $-2 = P(-4+3) \implies -2 = -P \implies P = 2$।
$x^2 = -3/2$ के लिए: $-3/2 = Q(-3/2+2) \implies -3/2 = Q(1/2) \implies Q = -3$।
अतः,$\frac{x^2}{2 x^4+7 x^2+6} = \frac{2}{x^2+2} - \frac{3}{2 x^2+3}$।
$\frac{A x+B}{x^2+2} + \frac{C x+D}{2 x^2+3}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $A=0, B=2, C=0, D=-3$ प्राप्त होता है।
$A+B+C-2 D = 0+2+0-2(-3) = 2+6 = 8$ की गणना करने पर।
चूंकि $a=2$,$4a = 4(2) = 8$ है।
इसलिए,$A+B+C-2 D = 4 a$।

(A) दी गई व्यंजक $\frac{x^4}{(x^2+1)(x-2)}$ है।
बहुपद विभाजन करने पर: $x^4 = (x^2+1)(x^2-1) + 1$.
अतः,$\frac{x^4}{(x^2+1)(x-2)} = \frac{(x^2+1)(x^2-1)+1}{(x^2+1)(x-2)} = \frac{x^2-1}{x-2} + \frac{1}{(x^2+1)(x-2)}$.
आगे,$\frac{x^2-1}{x-2} = \frac{x^2-4+3}{x-2} = x+2 + \frac{3}{x-2}$.
अब,$\frac{1}{(x^2+1)(x-2)}$ को आंशिक भिन्नों में विभाजित करने पर:
$\frac{1}{(x^2+1)(x-2)} = \frac{1}{5} \left( \frac{1}{x-2} - \frac{x+2}{x^2+1} \right) = \frac{1}{5(x-2)} - \frac{x+2}{5(x^2+1)}$.
इन्हें जोड़ने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{x^4}{(x^2+1)(x-2)} = x+2 + \frac{3}{x-2} + \frac{1}{5(x-2)} - \frac{x+2}{5(x^2+1)} = x+2 + \frac{16}{5(x-2)} - \frac{x+2}{5(x^2+1)}$.
$f(x) + \frac{Ax+B}{x^2+1} + \frac{C}{x-2}$ के साथ तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$f(x) = x+2$,$A = -\frac{1}{5}$,$B = -\frac{2}{5}$,$C = \frac{16}{5}$.
$f(14) + 2A - B = (14+2) + 2(-\frac{1}{5}) - (-\frac{2}{5}) = 16 - \frac{2}{5} + \frac{2}{5} = 16$.
चूंकि $5C = 5 \times \frac{16}{5} = 16$,इसलिए उत्तर $5C$ है।

(B) हम जानते हैं कि $x^4+x^2+1 = (x^2+x+1)(x^2-x+1)$। इसकी तुलना $(x^2+ax+1)(x^2-ax+1) = x^4+(2-a^2)x^2+1$ से करने पर,हमें $2-a^2=1$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $a^2=1$। अतः,$a=1$।
दिया गया है $\frac{1}{x^4+x^2+1} = \frac{Ax+B}{x^2+ax+1} + \frac{Cx+D}{x^2-ax+1}$।
दोनों पक्षों को $(x^2+ax+1)(x^2-ax+1)$ से गुणा करने पर,हमें $1 = (Ax+B)(x^2-ax+1) + (Cx+D)(x^2+ax+1)$ प्राप्त होता है।
$RHS$ का विस्तार करने पर: $1 = (A+C)x^3 + (-aA+B+aC+D)x^2 + (A-aB+C+aD)x + (B+D)$।
गुणांकों की तुलना करने पर:
$1$) $A+C=0 \Rightarrow C=-A$
$2$) $B+D=1$
$3$) $-aA+B+aC+D = 0 \Rightarrow -aA+B-aA+D = 0 \Rightarrow -2aA + (B+D) = 0 \Rightarrow -2aA+1=0 \Rightarrow A = \frac{1}{2a}$। अतः $C = -\frac{1}{2a}$।
$4$) $A-aB+C+aD = 0 \Rightarrow (A+C) - a(B-D) = 0 \Rightarrow 0 - a(B-D) = 0 \Rightarrow B=D$।
चूंकि $B+D=1$ और $B=D$,हमें $B=D=\frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
अब,$A+B-C+D = \frac{1}{2a} + \frac{1}{2} - (-\frac{1}{2a}) + \frac{1}{2} = \frac{1}{a} + 1$।
चूंकि $a=1$,$A+B-C+D = 1+1 = 2 = 2a$।

(B) पहली असमिका के लिए: $x^2-4x \leq 12$
$x^2-4x-12 \leq 0$
$(x-6)(x+2) \leq 0$
अतः,$x \in [-2, 6]$ ... $(i)$
दूसरी असमिका के लिए: $x^2-2x \geq 15$
$x^2-2x-15 \geq 0$
$(x-5)(x+3) \geq 0$
अतः,$x \in (-\infty, -3] \cup [5, \infty)$ ... $(ii)$
$(i)$ और $(ii)$ का सर्वनिष्ठ (intersection) लेने पर:
$[-2, 6] \cap ((-\infty, -3] \cup [5, \infty)) = [5, 6]$
इसलिए,उभयनिष्ठ हल समुच्चय $[5, 6]$ है.

(D) $3^x+3^{1-x}-4 < 0$
$\Rightarrow 3^x+\frac{3}{3^x}-4 < 0$
माना $3^x=t$,जहाँ $t > 0$ है।
$\Rightarrow t+\frac{3}{t}-4 < 0$
$\Rightarrow t^2-4t+3 < 0$
$\Rightarrow (t-1)(t-3) < 0$
यह असमिका $1 < t < 3$ के लिए सत्य है।
$t=3^x$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $1 < 3^x < 3$ प्राप्त होता है।
$\Rightarrow 3^0 < 3^x < 3^1$
चूँकि आधार $3 > 1$ है,इसलिए असमिका का चिह्न वही रहेगा:
$0 < x < 1$
अतः,हल समुच्चय $x \in (0,1)$ है।

(C) वर्गमूल को परिभाषित करने के लिए,हमारे पास $x^2+x-2 \ge 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $(x+2)(x-1) \ge 0$। अतः,$x \in (-\infty, -2] \cup [1, \infty)$।
स्थिति $1$: यदि $1-x < 0$,अर्थात $x > 1$,तो असमिका $\sqrt{x^2+x-2} > 1-x$ हमेशा सत्य है क्योंकि बायां पक्ष गैर-ऋणात्मक है और दायां पक्ष ऋणात्मक है।
स्थिति $2$: यदि $1-x \ge 0$,अर्थात $x \le 1$,तो दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $x^2+x-2 > (1-x)^2$।
$x^2+x-2 > 1-2x+x^2$।
$x-2 > 1-2x$ $\Rightarrow 3x > 3$ $\Rightarrow x > 1$।
इसे शर्त $x \le 1$ के साथ जोड़ने पर,इस स्थिति से कोई हल नहीं मिलता है।
हालाँकि,डोमेन $x \in (-\infty, -2] \cup [1, \infty)$ को देखते हुए,$x > 1$ के लिए असमिका सत्य है।
$x \le -2$ की जाँच करने पर: यदि $x = -2$,तो $\sqrt{4-2-2} = 0$ और $1-(-2) = 3$। $0 > 3$ असत्य है।
अतः,हल समुच्चय $(1, \infty)$ है।

(B) दिया गया है कि $AB = AC$ है।
दूरी सूत्र का उपयोग करते हुए,$AB^2 = AC^2$।
$AB^2 = (2 - (-1))^2 + (3 - k)^2 + (k - (-1))^2 = 3^2 + (3 - k)^2 + (k + 1)^2 = 9 + 9 - 6k + k^2 + k^2 + 2k + 1 = 2k^2 - 4k + 19$।
$AC^2 = (2 - 4)^2 + (3 - (-3))^2 + (k - 2)^2 = (-2)^2 + 6^2 + (k - 2)^2 = 4 + 36 + k^2 - 4k + 4 = k^2 - 4k + 44$।
$AB^2 = AC^2$ को बराबर करने पर:
$2k^2 - 4k + 19 = k^2 - 4k + 44$।
$k^2 = 25$।
चूंकि $k > 0$ है,इसलिए $k = 5$ है।
अब,भुजाओं की लंबाई की गणना करते हैं:
$AB^2 = 2(5)^2 - 4(5) + 19 = 50 - 20 + 19 = 49 \Rightarrow AB = 7$।
$AC^2 = 49 \Rightarrow AC = 7$।
$BC^2 = (-1 - 4)^2 + (5 - (-3))^2 + (-1 - 2)^2 = (-5)^2 + 8^2 + (-3)^2 = 25 + 64 + 9 = 98$।
चूंकि $AB^2 + AC^2 = 49 + 49 = 98 = BC^2$ है,त्रिभुज पाइथागोरस प्रमेय को संतुष्ट करता है।
अतः,$\triangle ABC$ एक समकोण समद्विबाहु त्रिभुज है।

(D) $3$ पासे फेंकने पर कुल परिणामों की संख्या $n(S) = 6 \times 6 \times 6 = 216$ है।
योग $10$ प्राप्त करने वाले परिणामों $(x, y, z)$ की सूची,जहाँ $1 \le x, y, z \le 6$ है:
$(1,3,6), (1,4,5), (1,5,4), (1,6,3), (2,2,6), (2,3,5), (2,4,4), (2,5,3), (2,6,2), (3,1,6), (3,2,5), (3,3,4), (3,4,3), (3,5,2), (3,6,1), (4,1,5), (4,2,4), (4,3,3), (4,4,2), (4,5,1), (5,1,4), (5,2,3), (5,3,2), (5,4,1), (6,1,3), (6,2,2), (6,3,1)$।
इनकी गणना करने पर,$n(E) = 27$ प्राप्त होता है।
प्रायिकता $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{27}{216} = \frac{1}{8}$ है।

(C) $52$ ताश के पत्तों में,प्रत्येक सूट में $A, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J, Q, K$ होते हैं।
संयुक्त संख्याएँ $\{4, 6, 8, 9, 10\}$ हैं (प्रत्येक सूट में $5$,कुल $20$)।
$3$ के गुणज $\{3, 6, 9\}$ हैं (प्रत्येक सूट में $3$,कुल $12$)।
$C \cap M = \{6, 9\}$ (प्रत्येक सूट में $2$,कुल $8$)।
$C \setminus M = \{4, 8, 10\}$ (प्रत्येक सूट में $3$,कुल $12$)।
$M \setminus C = \{3\}$ (प्रत्येक सूट में $1$,कुल $4$)।
अनुकूल परिणाम $= (12 \times 4) + (12 \times 8) + (4 \times 8) + \binom{8}{2} = 48 + 96 + 32 + 28 = 204$।
कुल परिणाम $= \binom{52}{2} = 1326$।
प्रायिकता $= \frac{204}{1326} = \frac{102}{663}$।

(A) जब दो पासे फेंके जाते हैं,तो कुल संभावित परिणामों की संख्या $6^2 = 36$ होती है।
दो संख्याएँ सह-अभाज्य होती हैं यदि उनका महत्तम समापवर्तक $(GCD)$ $1$ हो।
उन परिणामों को ज्ञात करना आसान है जहाँ संख्याएँ सह-अभाज्य नहीं हैं (अर्थात $\text{GCD} > 1$)।
वे युग्म $(x, y)$ जिनके लिए $\text{GCD}(x, y) > 1$ है,वे हैं:
$\{(2,2), (2,4), (2,6), (3,3), (3,6), (4,2), (4,4), (4,6), (5,5), (6,2), (6,3), (6,4), (6,6)\}$।
ऐसे परिणामों की संख्या $13$ है।
अनुकूल परिणामों की संख्या (जहाँ संख्याएँ सह-अभाज्य हैं) $36 - 13 = 23$ है।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $\frac{23}{36}$ है।

(C) $5$ पुरुषों को $5$ पत्नियों के साथ मिलाने के कुल तरीके $5! = 120$ हैं।
जिन तरीकों से कोई भी पुरुष अपनी पत्नी के साथ नहीं मिलता है,वह $5$ वस्तुओं का अव्यवस्था (derangement) है,जिसे $D_5$ द्वारा दर्शाया जाता है।
अव्यवस्था का सूत्र $D_n = n! \left( 1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} - \dots + \frac{(-1)^n}{n!} \right)$ है।
$n = 5$ के लिए:
$D_5 = 5! \left( 1 - 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{6} + \frac{1}{24} - \frac{1}{120} \right) = 120 \left( \frac{60 - 20 + 5 - 1}{120} \right) = 44$.
अतः,प्रायिकता कि कोई भी पुरुष अपनी पत्नी के साथ नहीं मिलता है,$\frac{D_5}{5!} = \frac{44}{120} = \frac{11}{30}$ है।

(A) दी गई संख्याएँ $S = \{2, 3, 5, 7, 11, 13\}$ हैं।
$6$ में से $3$ पर्चियाँ चुनने के कुल तरीके $^6C_3 = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$ हैं।
हम संख्याओं को $3$ से भाग देने पर प्राप्त शेषफल के आधार पर वर्गीकृत करते हैं:
- शेषफल $0$: ${3}$ (संख्या $n_0 = 1$)
- शेषफल $1$: ${7, 13}$ (संख्या $n_1 = 2$)
- शेषफल $2$: ${2, 5, 11}$ (संख्या $n_2 = 3$)
$3$ संख्याओं का योग $3$ से विभाज्य होने के लिए,शेषफलों के संभावित संयोजन $(r_1, r_2, r_3)$ हैं:
$1$. $(0, 1, 2)$: प्रत्येक समूह से एक संख्या चुनें। तरीकों की संख्या $= 1 \times 2 \times 3 = 6$.
$2$. $(0, 0, 0)$: संभव नहीं है क्योंकि हमारे पास शेषफल $0$ वाली केवल एक संख्या है।
$3$. $(1, 1, 1)$: संभव नहीं है क्योंकि हमारे पास शेषफल $1$ वाली केवल दो संख्याएँ हैं।
$4$. $(2, 2, 2)$: शेषफल $2$ वाले समूह से तीनों संख्याएँ चुनें। तरीकों की संख्या $= ^3C_3 = 1$.
कुल अनुकूल परिणाम $= 6 + 1 = 7$.
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $= \frac{7}{20}$ है।

(B) $PROBABILITY$ शब्द में $11$ अक्षर हैं: $P(1), R(1), O(1), B(2), A(1), I(2), L(1), T(1), Y(1)$। कुल $8$ भिन्न अक्षर हैं: $\{P, R, O, B, A, I, L, T, Y\}$।
$11$ अक्षरों में से $4$ अक्षर चुनने के कुल तरीके ${}^{11}C_4 = 330$ हैं।
कम से कम एक अक्षर दोहराए जाने की प्रायिकता ज्ञात करने के लिए,हम पूरक घटना का उपयोग करेंगे: सभी $4$ अक्षर भिन्न हों।
$8$ भिन्न अक्षरों में से $4$ अक्षर चुनने के तरीके ${}^{8}C_4 = 70$ हैं।
सभी अक्षरों के भिन्न होने की प्रायिकता $P(\text{distinct}) = \frac{70}{330} = \frac{7}{33}$ है।
अतः,कम से कम एक अक्षर के दोहराए जाने की प्रायिकता $1 - \frac{7}{33} = \frac{26}{33}$ है। दिए गए विकल्पों के अनुसार,सही विकल्प $B$ है।