TS EAMCET 2024 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(B) मान लीजिए $x_1, x_2, x_3$ उन $3$ व्यक्तियों द्वारा प्राप्त सिक्कों की संख्या है।
हमारे पास शर्त है $x_1 + x_2 + x_3 = 15$ जहाँ $x_i \geq 3$ है।
मान लीजिए $y_i = x_i - 3$,तो $y_i \geq 0$ होगा।
समीकरण में $x_i = y_i + 3$ प्रतिस्थापित करने पर:
$(y_1 + 3) + (y_2 + 3) + (y_3 + 3) = 15$
$y_1 + y_2 + y_3 = 6$
अऋणात्मक पूर्णांक हलों की संख्या $\binom{n+r-1}{r-1}$ सूत्र द्वारा दी जाती है,जहाँ $n = 6$ और $r = 3$ है।
तरीकों की संख्या $= \binom{6+3-1}{3-1} = \binom{8}{2} = 28$.

(A) एक संख्या $6$ से विभाज्य होती है यदि वह $2$ और $3$ दोनों से विभाज्य हो।
$2$ से विभाज्यता के लिए,इकाई का अंक $2, 4$ या $6$ होना चाहिए।
$3$ से विभाज्यता के लिए,अंकों का योग $3$ से विभाज्य होना चाहिए।
स्थिति $I$: इकाई का अंक $2$ है। शेष $3$ अंकों का योग $3k - 2$ होना चाहिए। संभव समुच्चय $\{1, 4, 6\}, \{1, 5, 6\}, \{3, 4, 5\}$ हैं। कुल $= 3 \times 6 = 18$।
स्थिति $II$: इकाई का अंक $4$ है। शेष $3$ अंकों का योग $3k - 4$ होना चाहिए। संभव समुच्चय $\{1, 2, 6\}, \{1, 5, 6\}, \{2, 3, 6\}$ हैं। कुल $= 3 \times 6 = 18$।
स्थिति $III$: इकाई का अंक $6$ है। शेष $3$ अंकों का योग $3k - 6$ होना चाहिए। संभव समुच्चय $\{1, 2, 3\}, \{1, 3, 5\}, \{2, 3, 4\}, \{3, 4, 5\}$ हैं। कुल $= 4 \times 6 = 24$।
कुल संख्या $= 18 + 18 + 24 = 60$।

(D) सबसे पहले,$831600$ का अभाज्य गुणनखंडन ज्ञात करें:
$831600 = 2^4 \times 3^3 \times 5^2 \times 7^1 \times 11^1$.
दो गुणनखंडों के परस्पर अभाज्य होने के लिए,प्रत्येक अभाज्य घात गुणनखंड (जैसे $2^4, 3^3, 5^2, 7^1, 11^1$) को पूरी तरह से दो गुणनखंडों में से एक में होना चाहिए।
यहाँ $5$ अलग-अलग अभाज्य घात गुणनखंड हैं।
इनमें से प्रत्येक $5$ गुणनखंड को या तो पहले गुणनखंड में या दूसरे गुणनखंड में रखा जा सकता है,जिससे $2^5 = 32$ तरीके मिलते हैं।
चूंकि दो गुणनखंडों का क्रम मायने नहीं रखता (क्योंकि $A$ और $B$ में विभाजित करना $B$ और $A$ में विभाजित करने के समान है),इसलिए हम $2!$ से विभाजित करते हैं।
तरीकों की संख्या $= \frac{2^5}{2} = \frac{32}{2} = 16$.

(C) माना $S = \frac{1}{3 \cdot 6} + \frac{1}{6 \cdot 9} + \frac{1}{9 \cdot 12} + \dots$ $9$ पदों तक।
$n$-वाँ पद $T_n = \frac{1}{(3n)(3n+3)} = \frac{1}{9n(n+1)}$ है।
हम $T_n = \frac{1}{9} \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right)$ लिख सकते हैं।
$n=1$ से $9$ तक योग करने पर:
$S = \frac{1}{9} \sum_{n=1}^{9} \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right)$.
यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है:
$S = \frac{1}{9} \left[ (1 - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + \dots + (\frac{1}{9} - \frac{1}{10}) \right]$.
$S = \frac{1}{9} \left( 1 - \frac{1}{10} \right) = \frac{1}{9} \left( \frac{9}{10} \right) = \frac{1}{10}$.

(D) दी गई श्रेणी $S_n = 1 \cdot 3 \cdot 5 + 3 \cdot 5 \cdot 7 + 5 \cdot 7 \cdot 9 + \dots$ $n$ पदों तक है।
$n=2$ के लिए,योग $S_2 = (1 \cdot 3 \cdot 5) + (3 \cdot 5 \cdot 7) = 15 + 105 = 120$ है।
दिए गए सूत्र के अनुसार,$S_n = n(n+1) f(n)$ है।
$n=2$ रखने पर:
$S_2 = 2(2+1) f(2) = 2(3) f(2) = 6 f(2)$।
दोनों मानों की तुलना करने पर:
$6 f(2) = 120$।
$f(2) = \frac{120}{6} = 20$।

(A) माना $f(n) = 81^n + 20n - 1$ है।
$n=1$ के लिए,$f(1) = 81 + 20 - 1 = 100$ है।
$n=2$ के लिए,$f(2) = 81^2 + 20(2) - 1 = 6561 + 40 - 1 = 6600$ है।
सभी $n \in N$ के लिए $f(n)$ को विभाजित करने वाला सबसे बड़ा पूर्णांक $k$,$f(1)$ और $f(2)$ का महत्तम समापवर्तक $(GCD)$ है,जो $\gcd(100, 6600) = 100$ है।
अतः,$k = 100 = 2^2 \times 5^2$ है।
$k = 2^2 \times 5^2$ के सभी धनात्मक भाजकों का योग $S$ इस प्रकार है:
$S = (1 + 2 + 2^2) \times (1 + 5 + 5^2) = (7) \times (31) = 217$ है।
इसलिए,$S - k = 217 - 100 = 117$ है।

(C) प्रत्येक कथन के लिए $n = 1$ की जाँच करते हैं:
$(A)$ $(2(1) + 7) < (1 + 3)^2 \implies 9 < 16$,जो सत्य है।
$(B)$ $1^2 > \frac{1^3}{3} \implies 1 > \frac{1}{3}$,जो सत्य है।
$(C)$ $n = 1$ के लिए,$3 \cdot 5^3 + 2^4 = 375 + 16 = 391$,जो $23$ से विभाज्य है। लेकिन $n = 2$ के लिए,$3 \cdot 5^5 + 2^7 = 9503$ जो $23$ से विभाज्य नहीं है।
$(D)$ $n = 1$ के लिए,$2 = \frac{1(5-1)}{2} = 2$,जो सत्य है।
अतः,वह कथन जो सभी $n \in N$ के लिए सत्य नहीं है,वह $(C)$ है।

(C) हम जानते हैं कि $(1+y)^n = 1 + ny + \frac{n(n-1)y^2}{2!} + \frac{n(n-1)(n-2)y^3}{3!} + \dots$
दिया गया व्यंजक: $\left(5x + \frac{7}{x}\right)^{-3/2} = (5x)^{-3/2} \left(1 + \frac{7}{5x^2}\right)^{-3/2}$.
माना $y = \frac{7}{5x^2}$ और $n = -3/2$.
चौथा पद $T_4$,$y^3$ वाला पद है:
$T_4 = (5x)^{-3/2} \times \frac{n(n-1)(n-2)}{3!} y^3$.
मान रखने पर:
$T_4 = (5x)^{-3/2} \times \frac{(-3/2)(-5/2)(-7/2)}{6} \left(\frac{7}{5x^2}\right)^3$.
$T_4 = -\frac{7^4}{2^4 \times 5^{7/2} x^{15/2}}$.
अब,$\left(x^7 \sqrt{5x}\right) T_4 = x^7 \cdot 5^{1/2} x^{1/2} \cdot \left(-\frac{7^4}{2^4 \cdot 5^{7/2} x^{15/2}}\right) = -\frac{7^4}{2^4 \cdot 5^3}$.

(B) $(a+b)^n$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{r+1} = {}^nC_r a^{n-r} b^r$ द्वारा दिया जाता है।
$7^{\text{th}}$ पद के लिए,$r = 6$.
$T_7 = {}^8C_6 \left(\frac{5}{p^3}\right)^{2} \left(-\frac{3q}{7}\right)^6 = 700$.
${}^8C_6 = 28$.
$28 \times \frac{25}{p^6} \times \frac{3^6 q^6}{7^6} = 700$.
$\frac{q^6}{p^6} = \frac{700 \times 7^6}{28 \times 25 \times 3^6} = \frac{7^6}{3^6}$.
$\frac{q}{p} = \frac{7}{3}$ $\Rightarrow 3q = 7p$ $\Rightarrow 9q^2 = 49p^2$.

(C) माना $f(n) = 3^{2n+2}-8n-9 = 9(9^n)-8n-9$.
द्विपद प्रमेय का उपयोग करते हुए,$9^n = (1+8)^n = 1 + 8n + \frac{n(n-1)}{2}(64) + \dots$.
इस मान को प्रतिस्थापित करने पर:
$f(n) = 9[1 + 8n + 32n(n-1) + \dots] - 8n - 9$
$f(n) = 9 + 72n + 288n(n-1) + \dots - 8n - 9$
$f(n) = 64n + 288n(n-1) + \dots$
यहाँ $64 = 2^6$ है,इसलिए $p$ का अधिकतम मान $6$ है।

(C) दिया गया विस्तार $(3x - 16y)^{15}$ है।
$x = \frac{2}{3}$ और $y = \frac{3}{2}$ रखने पर:
$3x = 2$ और $16y = 24$ प्राप्त होता है।
अतः व्यंजक $(2 - 24)^{15} = 2^{15}(1 - 12)^{15}$ हो जाता है।
यहाँ $n = 15$ और $\alpha = -12$ है।
संख्यात्मक रूप से सबसे बड़े पद $T_{r+1}$ के लिए शर्त $r \le \frac{(n+1)|\alpha|}{|\alpha|+1}$ है।
$r \le \frac{16 \times 12}{13} = 14.76$ प्राप्त होता है।
अतः $r = 14$ लेने पर,$15$ वां पद संख्यात्मक रूप से सबसे बड़ा पद है।

(C) माना $f(x) = (1+x+x^2+x^3)^{100} = \sum_{r=0}^{300} a_r x^r$.
$x=1$ रखने पर,$S = \sum_{r=0}^{300} a_r = f(1) = (1+1+1^2+1^3)^{100} = 4^{100}$.
$f(x)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$f'(x) = 100(1+x+x^2+x^3)^{99} \cdot (1+2x+3x^2) = \sum_{r=1}^{300} r \cdot a_r x^{r-1}$.
$x=1$ रखने पर:
$\sum_{r=0}^{300} r \cdot a_r = f'(1) = 100(4^{99}) \cdot (1+2+3) = 100 \cdot 4^{99} \cdot 6 = 600 \cdot 4^{99}$.
चूंकि $S = 4^{100}$,इसलिए $4^{99} = \frac{S}{4}$.
अतः,$\sum_{r=0}^{300} r \cdot a_r = 600 \cdot \frac{S}{4} = 150 S$.

(A) $(x-2y+3z)^6$ के विस्तार में सामान्य पद मल्टीनोमियल प्रमेय के अनुसार $\frac{6!}{a!b!c!} x^a (-2y)^b (3z)^c$ है,जहाँ $a+b+c=6$ है।
$xy^2z^3$ पद के लिए,$a=1, b=2, c=3$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,गुणांक $\frac{6!}{1! \times 2! \times 3!} \times (-2)^2 \times (3)^3$ होगा।
गणना करने पर: $\frac{720}{1 \times 2 \times 6} \times 4 \times 27 = 60 \times 4 \times 27 = 240 \times 27 = 6480$।

(B) श्रेणी का सामान्य पद $T_r = 2r \frac{C_r}{C_{r-1}}$ है।
गुणधर्म $\frac{C_r}{C_{r-1}} = \frac{n-r+1}{r}$ का उपयोग करने पर:
$T_r = 2r \left( \frac{n-r+1}{r} \right) = 2(n-r+1)$.
योगफल $\sum_{r=1}^n T_r = \sum_{r=1}^n 2(n-r+1) = n(n+1)$ है।
दिया गया है कि $n(n+1) = 650$,इसलिए $n = 25$.
अतः,$^nC_2 = ^{25}C_2 = \frac{25 \times 24}{2} = 300$.

(D) माना तीन क्रमागत पद $T_{r+1}, T_{r+2}, T_{r+3}$ हैं। उनके गुणांक $^{23}C_r, ^{23}C_{r+1}, ^{23}C_{r+2}$ हैं।
चूंकि ये गुणांक समांतर श्रेणी में हैं,इसलिए $2 \cdot ^{23}C_{r+1} = ^{23}C_r + ^{23}C_{r+2}$ होगा।
हल करने पर,हमें $r=8$ या $r=13$ प्राप्त होता है।
अतः,पद $T_9, T_{10}, T_{11}$ या $T_{14}, T_{15}, T_{16}$ हैं।
दिए गए विकल्पों के अनुसार सही उत्तर $T_{14}, T_{15}, T_{16}$ है।

(A) ऋणात्मक घातांक के लिए द्विपद प्रसार: $(1-x)^{-n} = 1+nx+\frac{n(n+1)}{1 \cdot 2} x^2+\frac{n(n+1)(n+2)}{1 \cdot 2 \cdot 3} x^3+\ldots$
$n = \frac{2}{3}$ और $x = \frac{1}{2}$ रखने पर:
$(1-\frac{1}{2})^{-\frac{2}{3}} = 1 + (\frac{2}{3})(\frac{1}{2}) + \frac{(\frac{2}{3})(\frac{5}{3})}{1 \cdot 2} (\frac{1}{2})^2 + \frac{(\frac{2}{3})(\frac{5}{3})(\frac{8}{3})}{1 \cdot 2 \cdot 3} (\frac{1}{2})^3 + \ldots$
$(\frac{1}{2})^{-\frac{2}{3}} = 1 + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 6} \cdot \frac{1}{4} + \frac{2 \cdot 5 \cdot 8}{3 \cdot 6 \cdot 9} \cdot \frac{1}{8} + \ldots$
चूँकि $(\frac{1}{2})^{-\frac{2}{3}} = (2^{-1})^{-\frac{2}{3}} = 2^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{4}$,अतः कथन $(A)$ सही है और कारण $(R)$ इसकी सही व्याख्या है।

(B) हमारे पास व्यंजक $f(x) = \frac{x}{(x-2)(x-3)}$ है।
आंशिक भिन्नों का उपयोग करने पर,$\frac{x}{(x-2)(x-3)} = \frac{3}{x-3} - \frac{2}{x-2} = (1 - \frac{x}{2})^{-1} - (1 - \frac{x}{3})^{-1}$ प्राप्त होता है।
द्विपद विस्तार $(1-z)^{-1} = 1 + z + z^2 + \dots$ का उपयोग करने पर:
$(1 - \frac{x}{2})^{-1} = 1 + \frac{x}{2} + \frac{x^2}{4} + \dots$
$(1 - \frac{x}{3})^{-1} = 1 + \frac{x}{3} + \frac{x^2}{9} + \dots$
अतः,$x^2$ का गुणांक $\frac{1}{4} - \frac{1}{9} = \frac{5}{36}$ है।

(A) व्यंजक $\left(125 x^2 - \frac{27}{x}\right)^{-2/3} = \left(\frac{125 x^3 - 27}{x}\right)^{-2/3} = \frac{x^{2/3}}{(125 x^3 - 27)^{2/3}}$ है।
द्विपद विस्तार $(1+z)^n$ के मान्य होने के लिए,$|z| < 1$ होना आवश्यक है।
व्यंजक को पुनः लिखने पर: $\left(-\frac{27}{x}\right)^{-2/3} \left(1 - \frac{125 x^3}{27}\right)^{-2/3}$।
यह विस्तार तब मान्य है जब $|\frac{125 x^3}{27}| < 1$ हो।
$|x^3| < \frac{27}{125} \Rightarrow |x| < \frac{3}{5}$।
अतः,$x \in \left(-\frac{3}{5}, \frac{3}{5}\right)$ और $x \neq 0$।

(C) $\cos(3x + 4)$ का आवर्तनांक $T_1 = \frac{2\pi}{3}$ है।
$\tan(2x - 3)$ का आवर्तनांक $T_2 = \frac{\pi}{2}$ है।
$\sin(5x)$ का आवर्तनांक $T_3 = \frac{2\pi}{5}$ है।
$f(x)$ का आवर्तनांक $k$,$T_1, T_2, T_3$ का ल.स.प. है,जो $\text{L.C.M.}\left(\frac{2\pi}{3}, \frac{\pi}{2}, \frac{2\pi}{5}\right) = 2\pi$ है।
अतः,$k = 2\pi$.
विकल्प $C$ की जाँच करने पर: $\tan \frac{k}{3} = \tan \frac{2\pi}{3} = -\sqrt{3}$.

(A) दी गई अभिव्यक्ति: $K = \cos ^2 84^{\circ}+\sin ^2 126^{\circ}-\sin 84^{\circ} \cos 126^{\circ}$.
सर्वसमिका का उपयोग करने पर,$K = \frac{5}{4}$ प्राप्त होता है।
अब,$\cot A + \tan A = 2K = 2(\frac{5}{4}) = \frac{5}{2}$.
$\frac{1}{\tan A} + \tan A = \frac{5}{2} \Rightarrow 2\tan^2 A - 5\tan A + 2 = 0$.
इस समीकरण को हल करने पर,$\tan A = \frac{1}{2}$ या $\tan A = 2$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है $\tan A = \frac{-60}{11}$। चूँकि $\tan A$ ऋणात्मक है,$A$ दूसरे $(2^{\text{nd}})$ या चौथे $(4^{\text{th}})$ चतुर्थांश में स्थित है। दिया गया है कि $A$ चौथे चतुर्थांश में नहीं है,इसलिए $A$ दूसरे चतुर्थांश में स्थित है।
दूसरे चतुर्थांश में,$\operatorname{cosec} A$ धनात्मक होता है। $60, 11, 61$ भुजाओं वाले त्रिभुज का उपयोग करने पर,हमें $\operatorname{cosec} A = \frac{61}{60}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है $\sec B = \frac{41}{9}$। चूँकि $\sec B$ धनात्मक है,$B$ पहले $(1^{\text{st}})$ या चौथे $(4^{\text{th}})$ चतुर्थांश में स्थित है। दिया गया है कि $B$ पहले चतुर्थांश में नहीं है,इसलिए $B$ चौथे चतुर्थांश में स्थित है।
चौथे चतुर्थांश में,$\cot B$ ऋणात्मक होता है। $40, 9, 41$ भुजाओं वाले त्रिभुज का उपयोग करने पर,हमें $\cot B = -\frac{9}{40}$ प्राप्त होता है।
अब,$K = \operatorname{cosec} A + \cot B = \frac{61}{60} - \frac{9}{40}$।
समान हर $(120)$ लेने पर: $K = \frac{122 - 27}{120} = \frac{95}{120} = \frac{19}{24}$।
अतः,$24K = 24 \times \frac{19}{24} = 19$।

(C) दिया गया है: $\sin \theta_1+\sin \theta_2=-\frac{21}{65}$ और $\cos \theta_1+\cos \theta_2=-\frac{27}{65}$.
दोनों समीकरणों का वर्ग करके जोड़ने पर:
$(\sin \theta_1+\sin \theta_2)^2 + (\cos \theta_1+\cos \theta_2)^2 = \left(-\frac{21}{65}\right)^2 + \left(-\frac{27}{65}\right)^2$
$1 + 1 + 2 \cos(\theta_1 - \theta_2) = \frac{1170}{4225}$
$2(1 + \cos(\theta_1 - \theta_2)) = \frac{18}{65}$
$4 \cos^2 \left(\frac{\theta_1-\theta_2}{2}\right) = \frac{18}{65}$
$\cos^2 \left(\frac{\theta_1-\theta_2}{2}\right) = \frac{9}{130}$
$\cos \left(\frac{\theta_1-\theta_2}{2}\right) = -\frac{3}{\sqrt{130}}$.

(A) दिया गया व्यंजक: $\sin 20^{\circ}(4+\sec 20^{\circ})$
$= \sin 20^{\circ} \left(4 + \frac{1}{\cos 20^{\circ}}\right)$
$= \frac{4 \sin 20^{\circ} \cos 20^{\circ} + \sin 20^{\circ}}{\cos 20^{\circ}}$
$= \frac{2(2 \sin 20^{\circ} \cos 20^{\circ}) + \sin 20^{\circ}}{\cos 20^{\circ}}$
$= \frac{2 \sin 40^{\circ} + \sin 20^{\circ}}{\cos 20^{\circ}}$
$= \frac{2 \sin(60^{\circ} - 20^{\circ}) + \sin 20^{\circ}}{\cos 20^{\circ}}$
$= \frac{2(\sin 60^{\circ} \cos 20^{\circ} - \cos 60^{\circ} \sin 20^{\circ}) + \sin 20^{\circ}}{\cos 20^{\circ}}$
$= \frac{2(\frac{\sqrt{3}}{2} \cos 20^{\circ} - \frac{1}{2} \sin 20^{\circ}) + \sin 20^{\circ}}{\cos 20^{\circ}}$
$= \frac{\sqrt{3} \cos 20^{\circ} - \sin 20^{\circ} + \sin 20^{\circ}}{\cos 20^{\circ}}$
$= \frac{\sqrt{3} \cos 20^{\circ}}{\cos 20^{\circ}} = \sqrt{3}$

(C) दिया गया है $8 \cos \theta + 15 \sin \theta = 15$।
माना $x = 15 \cos \theta - 8 \sin \theta$।
सर्वसमिका $(8 \cos \theta + 15 \sin \theta)^2 + (15 \cos \theta - 8 \sin \theta)^2 = (8^2 + 15^2)(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta)$ पर विचार करें।
मान रखने पर,हमें $15^2 + x^2 = (64 + 225)(1) = 289$ प्राप्त होता है।
$225 + x^2 = 289$।
$x^2 = 289 - 225 = 64$।
$x = \pm 8$।
चूंकि $0 < \theta < \frac{\pi}{4}$,इसलिए $\cos \theta > \sin \theta$।
इस अंतराल में $\theta$ के लिए,$15 \cos \theta > 8 \sin \theta$ है,अतः $x$ धनात्मक होना चाहिए।
इसलिए,$15 \cos \theta - 8 \sin \theta = 8$।

(B) दिया गया है: $\tan A+\tan B+\cot A+\cot B=\tan A \tan B-\cot A \cot B$
सरल करने पर,$\sin(A+B) \cos(A-B) = -\cos(A+B) \cos(A-B)$ प्राप्त होता है।
अतः,$\tan(A+B) = -1$ है।
चूँकि $0^{\circ} < A+B < 270^{\circ}$ है,इसलिए $A+B = 135^{\circ}$ होगा।

(C) दी गई अभिव्यक्ति: $2 \sin ^2 \theta = \cos ^4 \frac{\pi}{8} + \sin ^4 \frac{3 \pi}{8} + \cos ^4 \frac{5 \pi}{8} + \sin ^4 \frac{7 \pi}{8}$
सर्वसमिकाओं $\sin(\pi - x) = \sin x$ और $\cos(\pi - x) = -\cos x$ का उपयोग करते हुए:
$\sin^4(\frac{7\pi}{8}) = \sin^4(\frac{\pi}{8})$
$\cos^4(\frac{5\pi}{8}) = \cos^4(\frac{3\pi}{8})$
मान प्रतिस्थापित करने पर:
$2 \sin ^2 \theta = (\cos ^4 \frac{\pi}{8} + \sin ^4 \frac{\pi}{8}) + (\sin ^4 \frac{3 \pi}{8} + \cos ^4 \frac{3 \pi}{8})$
$a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab$ का उपयोग करते हुए:
$= [1 - \frac{1}{2} \sin^2 \frac{\pi}{4}] + [1 - \frac{1}{2} \sin^2 \frac{3\pi}{4}]$
$= 2 - \frac{1}{2} [\frac{1}{2} + \frac{1}{2}] = 2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$
अतः,$2 \sin^2 \theta = \frac{3}{2} \implies \sin^2 \theta = \frac{3}{4} \implies \sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$
चूंकि $\theta$ एक न्यून कोण है,$\theta = \frac{\pi}{3}$.

(B) दिया गया है $\cos^2 B - \sin^2 A = \frac{\sqrt{3}+1}{4\sqrt{2}}$.
सर्वसमिका $\cos^2 B - \sin^2 A = \cos(A+B) \cos(A-B)$ का उपयोग करने पर,$\cos(A+B) \cos(A-B) = \frac{\sqrt{3}+1}{4\sqrt{2}} \dots (i)$.
दिया गया है $2 \cos A \cos B = \frac{1+\sqrt{2}+\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}$.
सर्वसमिका $2 \cos A \cos B = \cos(A+B) + \cos(A-B)$ का उपयोग करने पर,$\cos(A+B) + \cos(A-B) = \frac{1+\sqrt{3}}{2\sqrt{2}} + \frac{1}{2} \dots (ii)$.
माना $x = \cos(A+B)$ और $y = \cos(A-B)$. $(i)$ और $(ii)$ से,$xy = \frac{\sqrt{3}+1}{4\sqrt{2}}$ और $x+y = \frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}} + \frac{1}{2}$.
इन्हें हल करने पर,हमें $x = \frac{1}{2} = \cos 60^{\circ}$ और $y = \frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}} = \cos 15^{\circ}$ प्राप्त होता है।
अतः,$A+B = 60^{\circ}$ और $A-B = 15^{\circ}$.
$A$ और $B$ के लिए हल करने पर,$2A = 75^{\circ} \implies A = 37.5^{\circ}$ और $2B = 45^{\circ} \implies B = 22.5^{\circ}$ प्राप्त होता है।
अब,$\cos^2 \frac{4B}{3} - \sin^2 \frac{4A}{5} = \cos^2 \frac{4(22.5^{\circ})}{3} - \sin^2 \frac{4(37.5^{\circ})}{5} = \cos^2 30^{\circ} - \sin^2 30^{\circ} = \frac{3}{4} - \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

(C) दिया है: $m \cos (\alpha+\beta)-n \cos (\alpha-\beta)=m \cos (\alpha-\beta)+n \cos (\alpha+\beta)$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$m [\cos (\alpha+\beta) - \cos (\alpha-\beta)] = n [\cos (\alpha+\beta) + \cos (\alpha-\beta)]$
सर्वसमिकाओं $\cos (A+B) - \cos (A-B) = -2 \sin A \sin B$ और $\cos (A+B) + \cos (A-B) = 2 \cos A \cos B$ का उपयोग करने पर:
$m [-2 \sin \alpha \sin \beta] = n [2 \cos \alpha \cos \beta]$
$-2m \sin \alpha \sin \beta = 2n \cos \alpha \cos \beta$
दोनों पक्षों को $2m \cos \alpha \cos \beta$ से विभाजित करने पर:
$\frac{\sin \alpha \sin \beta}{\cos \alpha \cos \beta} = -\frac{n}{m}$
$\tan \alpha \tan \beta = -\frac{n}{m}$

(B) दिया गया है $\tan 2A = \frac{2 \tan A}{1 - \tan^2 A} = -\frac{4}{3}$.
$6 \tan A = -4 + 4 \tan^2 A \Rightarrow 2 \tan^2 A - 3 \tan A - 2 = 0$.
$\tan A$ के लिए हल करने पर: $(2 \tan A + 1)(\tan A - 2) = 0$,अतः $\tan A = -\frac{1}{2}$ या $\tan A = 2$.
चूँकि $\tan A < 0$,इसलिए $\tan A = -\frac{1}{2}$ है।
अब,$\cos 2A = \frac{1 - \tan^2 A}{1 + \tan^2 A} = \frac{1 - 1/4}{1 + 1/4} = \frac{3/4}{5/4} = \frac{3}{5}$.
सर्वसमिका $\cos 6A = 4 \cos^3 2A - 3 \cos 2A$ का उपयोग करने पर:
$\cos 6A = 4 \left(\frac{3}{5}\right)^3 - 3 \left(\frac{3}{5}\right) = 4 \left(\frac{27}{125}\right) - \frac{9}{5} = \frac{108}{125} - \frac{225}{125} = -\frac{117}{125}$.

(D) दिया गया समीकरण $2 \tan^2 \theta - 4 \sec \theta + 3 = 0$ है।
सर्वसमिका $\tan^2 \theta = \sec^2 \theta - 1$ का उपयोग करने पर:
$2(\sec^2 \theta - 1) - 4 \sec \theta + 3 = 0$
$2 \sec^2 \theta - 2 - 4 \sec \theta + 3 = 0$
$2 \sec^2 \theta - 4 \sec \theta + 1 = 0$.
माना $x = \sec \theta$ है। तब $2x^2 - 4x + 1 = 0$।
द्विघात सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर:
$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 8}}{4} = \frac{4 \pm 2\sqrt{2}}{4} = 1 \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$.
अतः,$\sec \theta = 1 + \frac{\sqrt{2}}{2}$ या $\sec \theta = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2}$।
चूंकि $|\sec \theta| \ge 1$,इसलिए $\sec \theta = 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ होगा।
अतः,$2 \sec \theta = 2 + \sqrt{2}$।

(A) दिया है: $(\sin \theta - \operatorname{cosec} \theta)^2 + (\cos \theta + \sec \theta)^2 = 5$
वर्गों का विस्तार करने पर: $(\sin^2 \theta + \operatorname{cosec}^2 \theta - 2) + (\cos^2 \theta + \sec^2 \theta + 2) = 5$
$(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta) = 1$ का उपयोग करने पर: $1 + \operatorname{cosec}^2 \theta + \sec^2 \theta = 5$
$\operatorname{cosec}^2 \theta = 1 + \cot^2 \theta$ और $\sec^2 \theta = 1 + \tan^2 \theta$ प्रतिस्थापित करने पर: $1 + (1 + \cot^2 \theta) + (1 + \tan^2 \theta) = 5$
$3 + \cot^2 \theta + \tan^2 \theta = 5 \Rightarrow \tan^2 \theta + \frac{1}{\tan^2 \theta} = 2$
माना $x = \tan^2 \theta$,तब $x + \frac{1}{x} = 2$ $\Rightarrow x^2 - 2x + 1 = 0$ $\Rightarrow (x - 1)^2 = 0$ $\Rightarrow \tan^2 \theta = 1$
चूंकि $\theta$ तीसरे चतुर्थांश में है,$\tan \theta = 1$ का अर्थ है $\theta = \pi + \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{4}$
तब $\sin \theta = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ और $\cos \theta = -\frac{1}{\sqrt{2}}$
अतः,$(\sin \theta + \cos \theta)^3 = (-\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}})^3 = (-\frac{2}{\sqrt{2}})^3 = (-\sqrt{2})^3 = -2\sqrt{2}$

(D) दिया गया समीकरण: $\sin 7 \theta - \sin 3 \theta = \sin 4 \theta$
सर्वसमिका $\sin C - \sin D = 2 \cos \frac{C+D}{2} \sin \frac{C-D}{2}$ का उपयोग करने पर:
$2 \cos 5 \theta \sin 2 \theta = \sin 4 \theta$
चूंकि $\sin 4 \theta = 2 \sin 2 \theta \cos 2 \theta$,समीकरण इस प्रकार हो जाता है:
$2 \cos 5 \theta \sin 2 \theta = 2 \sin 2 \theta \cos 2 \theta$
$2 \sin 2 \theta (\cos 5 \theta - \cos 2 \theta) = 0$
स्थिति $1$: $\sin 2 \theta = 0$
$2 \theta = n \pi \Rightarrow \theta = \frac{n \pi}{2}$. अंतराल $(0, \pi)$ के लिए,$\theta = \frac{\pi}{2}$.
स्थिति $2$: $\cos 5 \theta = \cos 2 \theta$
$5 \theta = 2 n \pi \pm 2 \theta$
यदि $5 \theta = 2 n \pi + 2 \theta$ है,तो $3 \theta = 2 n \pi \Rightarrow \theta = \frac{2 n \pi}{3}$. अंतराल $(0, \pi)$ के लिए,$\theta = \frac{2 \pi}{3}$.
यदि $5 \theta = 2 n \pi - 2 \theta$ है,तो $7 \theta = 2 n \pi \Rightarrow \theta = \frac{2 n \pi}{7}$. अंतराल $(0, \pi)$ के लिए,$\theta = \frac{2 \pi}{7}, \frac{4 \pi}{7}, \frac{6 \pi}{7}$.
हल $\frac{\pi}{2}, \frac{2 \pi}{3}, \frac{2 \pi}{7}, \frac{4 \pi}{7}, \frac{6 \pi}{7}$ हैं।
कुल हलों की संख्या $5$ है।

(B) दिया गया है: $\cos x + \cos y = \frac{2}{3}$ $(i)$
$\sin x - \sin y = \frac{3}{4}$ $(ii)$
योग-से-गुणनफल सूत्रों का उपयोग करने पर:
$2 \cos \left(\frac{x+y}{2}\right) \cos \left(\frac{x-y}{2}\right) = \frac{2}{3}$ $(iii)$
$2 \cos \left(\frac{x+y}{2}\right) \sin \left(\frac{x-y}{2}\right) = \frac{3}{4}$ $(iv)$
$(iv)$ को $(iii)$ से विभाजित करने पर:
$\tan \left(\frac{x-y}{2}\right) = \frac{3/4}{2/3} = \frac{9}{8}$
माना $\theta = \frac{x-y}{2}$,अतः $\tan \theta = \frac{9}{8}$.
तब $\sin(x-y) = \sin(2\theta) = \frac{2 \tan \theta}{1 + \tan^2 \theta} = \frac{2(9/8)}{1 + (81/64)} = \frac{144}{145}$.
$\cos(x-y) = \cos(2\theta) = \frac{1 - \tan^2 \theta}{1 + \tan^2 \theta} = \frac{1 - (81/64)}{1 + (81/64)} = -\frac{17}{145}$.
अतः,$\sin(x-y) + \cos(x-y) = \frac{144}{145} - \frac{17}{145} = \frac{127}{145}$.

(D) दिया गया समीकरण: $4-3 \cos ^2 \theta=5 \sin \theta \cos \theta$
$\cos ^2 \theta$ से भाग देने पर:
$4 \sec ^2 \theta-3=5 \tan \theta$
$4(1+\tan ^2 \theta)-3=5 \tan \theta$
$4 \tan ^2 \theta-5 \tan \theta+1=0$
$(4 \tan \theta-1)(\tan \theta-1)=0$
अतः,$\tan \theta=1$ या $\tan \theta=\frac{1}{4}$।
विकल्प $D$ की जाँच करने पर: $1+\sin ^2 \theta=3 \cos ^2 \theta$
$1+\sin ^2 \theta=3(1-\sin ^2 \theta)$
$1+\sin ^2 \theta=3-3 \sin ^2 \theta$
$4 \sin ^2 \theta=2$ $\Rightarrow \sin ^2 \theta=\frac{1}{2}$ $\Rightarrow \tan ^2 \theta=1$।
चूंकि $\tan \theta=1$ मूल समीकरण का एक हल है,इसलिए विकल्प $D$ संतुष्ट होता है।

(A) हम जानते हैं कि $\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$ और $\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$ होता है।
दिया गया है $\sinh x = \frac{12}{5}$,अतः $\frac{e^x - e^{-x}}{2} = \frac{12}{5}$,जिसका अर्थ है $e^x - e^{-x} = \frac{24}{5}$।
माना $e^x = t$ है। तब $t - \frac{1}{t} = \frac{24}{5}$।
$5t$ से गुणा करने पर,हमें $5t^2 - 24t - 5 = 0$ प्राप्त होता है।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(5t + 1)(t - 5) = 0$।
चूंकि $e^x = t$ धनात्मक होना चाहिए,इसलिए $t = 5$,अर्थात $e^x = 5$।
हमें $\sinh 3x + \cosh 3x$ का मान ज्ञात करना है।
परिभाषा के अनुसार,$\sinh 3x + \cosh 3x = \frac{e^{3x} - e^{-3x}}{2} + \frac{e^{3x} + e^{-3x}}{2} = e^{3x}$।
चूंकि $e^x = 5$,इसलिए $e^{3x} = (e^x)^3 = 5^3 = 125$।

(B) समुच्चय $A$ के लिए: $\cos^2 x = \cos^2 \frac{\pi}{6} \implies \cos 2x = \cos \frac{\pi}{3} \implies x = n\pi \pm \frac{\pi}{6}$.
समुच्चय $B$ के लिए: $P^2 - 10P + 16 = 0 \implies P = 8, 2$.
$\cos^2 x = \log_{16} 8 = \frac{3}{4} \implies x = n\pi \pm \frac{\pi}{6}$.
$\cos^2 x = \log_{16} 2 = \frac{1}{4} \implies x = n\pi \pm \frac{\pi}{3}$.
$B - A = \{n\pi \pm \frac{\pi}{3} \mid n \in Z\} = \{2n\pi \pm \frac{\pi}{3}, 2n\pi \pm \frac{2\pi}{3} \mid n \in Z\}$.

(C) दिया गया समीकरण: $\cos^2 2x + \sin^2 3x = 1$
$\Rightarrow \sin^2 3x = 1 - \cos^2 2x$
$\Rightarrow \sin^2 3x = \sin^2 2x$
$\Rightarrow \sin^2 3x - \sin^2 2x = 0$
सर्वसमिका $\sin^2 A - \sin^2 B = \sin(A+B) \sin(A-B)$ का उपयोग करने पर:
$\Rightarrow \sin(3x + 2x) \sin(3x - 2x) = 0$
$\Rightarrow \sin 5x \sin x = 0$
स्थिति $1$: $\sin 5x = 0$ $\Rightarrow 5x = n\pi$ $\Rightarrow x = \frac{n\pi}{5}, n \in \mathbb{Z}$
स्थिति $2$: $\sin x = 0 \Rightarrow x = n\pi, n \in \mathbb{Z}$
चूंकि $n\pi$,$\frac{n\pi}{5}$ का उपसमुच्चय है,इसलिए सामान्य हल $x = \frac{n\pi}{5}, n \in \mathbb{Z}$ है।

(D) दिया गया है कि मूल बिंदु को $(2, b)$ पर स्थानांतरित किया जाता है,इसलिए रूपांतरण समीकरण $x = X + 2$ और $y = Y + b$ हैं।
बिंदु $(a, 4)$ बदलकर $(6, 8)$ हो जाता है,इसलिए $a = 6 + 2 = 8$ और $4 = 8 + b$,जिससे $b = -4$ प्राप्त होता है।
अब,मूल बिंदु को $(a, b) = (8, -4)$ पर स्थानांतरित किया जाता है,इसलिए रूपांतरण समीकरण $x = X + 8$ और $y = Y - 4$ हैं।
इन मानों को $x^2 + 4xy + y^2 = 0$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$(X + 8)^2 + 4(X + 8)(Y - 4) + (Y - 4)^2 = 0$
$(X^2 + 16X + 64) + 4(XY - 4X + 8Y - 32) + (Y^2 - 8Y + 16) = 0$
$X^2 + 16X + 64 + 4XY - 16X + 32Y - 128 + Y^2 - 8Y + 16 = 0$
$X^2 + 4XY + Y^2 + 24Y - 48 = 0$
इसे $X^2 + 2HXY + Y^2 + 2GX + 2FY + C = 0$ के साथ तुलना करने पर,हमें $2H = 4 \Rightarrow H = 2$,$2G = 0 \Rightarrow G = 0$,$2F = 24 \Rightarrow F = 12$,और $C = -48$ प्राप्त होता है।
अंत में,$2H(G + F) = 2(2)(0 + 12) = 4(12) = 48$।
चूंकि $C = -48$,इसलिए $48 = -C$।

(C) माना $C$ के निर्देशांक $(h, k)$ हैं।
त्रिभुज $ABC$ का केंद्रक $G = \left( \frac{2+3+h}{3}, \frac{3+2+k}{3} \right) = \left( \frac{5+h}{3}, \frac{5+k}{3} \right)$ है।
दिया गया है कि केंद्रक की मूल बिंदु से दूरी $5$ इकाई है,इसलिए $\sqrt{\left( \frac{5+h}{3} \right)^2 + \left( \frac{5+k}{3} \right)^2} = 5$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\left( \frac{5+h}{3} \right)^2 + \left( \frac{5+k}{3} \right)^2 = 25$ प्राप्त होता है।
$9$ से गुणा करने पर,$(h+5)^2 + (k+5)^2 = 225$ प्राप्त होता है।
$(h, k)$ को $(x, y)$ से प्रतिस्थापित करने पर,$C$ का बिंदु पथ $(x+5)^2 + (y+5)^2 = 15^2$ है।
यह $15$ इकाई त्रिज्या वाला एक वृत्त है।
वृत्त का व्यास $2 \times 15 = 30$ इकाई है।

(A) रेखाओं की ढाल $m_1 = -2$,$m_2 = -\frac{a}{b}$,और $m_3 = -\frac{1}{2}$ है।
चूँकि $L_1$ और $L_2$ समान भुजाएँ हैं,$L_1$ और $L_3$ के बीच का कोण $L_2$ और $L_3$ के बीच के कोण के बराबर होना चाहिए।
सूत्र $\tan \theta = |\frac{m_1-m_2}{1+m_1m_2}|$ का उपयोग करते हुए,हमें मिलता है $|\frac{-2 - (-1/2)}{1 + (-2)(-1/2)}| = |\frac{-a/b - (-1/2)}{1 + (-a/b)(-1/2)}|$.
$|\frac{-3/2}{2}| = |\frac{-2a+b}{2b+a}| \Rightarrow \frac{3}{4} = |\frac{2a-b}{a+2b}|$.
स्थिति $1$: $\frac{3}{4} = \frac{2a-b}{a+2b}$ $\Rightarrow 3a+6b = 8a-4b$ $\Rightarrow 5a = 10b$ $\Rightarrow a=2b$.
चूँकि $(5,1)$ रेखा $L_2$ पर स्थित है,$5a+b+c=0$ $\Rightarrow 10b+b+c=0$ $\Rightarrow c=-11b$.
अतः $\frac{b^2}{|ac|} = \frac{b^2}{|(2b)(-11b)|} = \frac{b^2}{22b^2} = \frac{1}{22}$.
स्थिति $2$: $-\frac{3}{4} = \frac{2a-b}{a+2b}$ $\Rightarrow -3a-6b = 8a-4b$ $\Rightarrow 11a = -2b$ $\Rightarrow a=-\frac{2b}{11}$.
चूँकि $(5,1)$ रेखा $L_2$ पर स्थित है,$5(-\frac{2b}{11})+b+c=0 \Rightarrow c = \frac{10b}{11}-b = -\frac{b}{11}$.
अतः $\frac{b^2}{|ac|} = \frac{b^2}{|(-\frac{2b}{11})(-\frac{b}{11})|} = \frac{b^2}{2b^2/121} = \frac{121}{2}$.

(C) माना शीर्ष $A(-2, -1)$,$B(2, 5)$ और $C(m, n)$ हैं। माना $H\left(2, \frac{5}{3}\right)$ लंबकेंद्र है।
$AH$ की ढाल $= \frac{\frac{5}{3} - (-1)}{2 - (-2)} = \frac{8/3}{4} = \frac{2}{3}$.
चूंकि $AH \perp BC$,$BC$ की ढाल $= -\frac{1}{2/3} = -\frac{3}{2}$.
$BC$ का समीकरण: $y - 5 = -\frac{3}{2}(x - 2)$ $\Rightarrow 2y - 10 = -3x + 6$ $\Rightarrow 3x + 2y = 16 \quad ...(i)$
$BH$ की ढाल $= \frac{\frac{5}{3} - 5}{2 - 2} = \frac{-10/3}{0}$,जो अपरिभाषित है। इसका अर्थ है कि $BH$ एक ऊर्ध्वाधर रेखा $x = 2$ है।
चूंकि $BH \perp AC$,$AC$ एक क्षैतिज रेखा होनी चाहिए। $A(-2, -1)$ होने के कारण,$AC$ का समीकरण $y = -1$ है।
चूंकि $C(m, n)$ रेखा $AC$ पर स्थित है,$n = -1$.
समीकरण $(i)$ में $n = -1$ रखने पर: $3m + 2(-1) = 16$ $\Rightarrow 3m = 18$ $\Rightarrow m = 6$.
अतः,तीसरा शीर्ष $(6, -1)$ है।
इसलिए,$m + n = 6 + (-1) = 5$.

(C) माना नए निर्देशांक $(x', y')$ हैं। रूपांतरण समीकरण $x = x' + \frac{3}{2}$ और $y = y' - 2$ हैं।
इन मानों को दिए गए समीकरण $2x^2 + 4xy + y^2 + 2x - 2y + 1 = 0$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$2(x' + \frac{3}{2})^2 + 4(x' + \frac{3}{2})(y' - 2) + (y' - 2)^2 + 2(x' + \frac{3}{2}) - 2(y' - 2) + 1 = 0$
पदों का विस्तार करने पर:
$2(x')^2 + 4x'y' + (y')^2 + \frac{9}{2} = 0$
भिन्न को हटाने के लिए $2$ से गुणा करने पर:
$4(x')^2 + 8x'y' + 2(y')^2 + 9 = 0$.
अतः,रूपांतरित समीकरण $4x^2 + 8xy + 2y^2 + 9 = 0$ है.

(A) बिंदु $C$,रेखाखंड $AB$ को $a:b$ के अनुपात में विभाजित करता है। विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर,$C$ के निर्देशांक $\left(\frac{-2a + b}{a + b}, \frac{a + 2b}{a + b}\right)$ हैं।
चूंकि $C$,रेखा $2x + y - 3 = 0$ पर स्थित है,इसलिए:
$2\left(\frac{-2a + b}{a + b}\right) + \left(\frac{a + 2b}{a + b}\right) - 3 = 0$
$-4a + 2b + a + 2b - 3(a + b) = 0$
$-3a + 4b - 3a - 3b = 0$
$b = 6a \Rightarrow \frac{b}{a} = 6$.
अब,$\frac{b}{a} = 6$ को $P$ और $Q$ के निर्देशांकों में रखने पर:
$P = \left(\frac{6}{3}, -3\right) = (2, -3)$
$Q = \left(-3, -\frac{6}{3}\right) = (-3, -2)$
बिंदु $C$ है $\left(\frac{-2a + 6a}{a + 6a}, \frac{a + 12a}{a + 6a}\right) = \left(\frac{4a}{7a}, \frac{13a}{7a}\right) = \left(\frac{4}{7}, \frac{13}{7}\right)$।
मान लीजिए कि $C$,$PQ$ को $p:q$ के अनुपात में विभाजित करता है। $x$-निर्देशांक के लिए विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर:
$\frac{-3p + 2q}{p + q} = \frac{4}{7}$
$-21p + 14q = 4p + 4q$
$10q = 25p \Rightarrow \frac{p}{q} = \frac{10}{25} = \frac{2}{5}$.
अतः,$\frac{p}{q} + \frac{q}{p} = \frac{2}{5} + \frac{5}{2} = \frac{4 + 25}{10} = \frac{29}{10}$।

(C) दिया गया समीकरण: $ax^2-2xy+by^2-2x+4y+1=0$।
मूल बिंदु को $(0, k)$ पर स्थानांतरित करने पर,$x=X$ और $y=Y+k$।
समीकरण में मान रखने पर: $aX^2-2X(Y+k)+b(Y+k)^2-2X+4(Y+k)+1=0$।
विस्तार करने पर: $aX^2-2XY-2kX+bY^2+bk^2+2bkY-2X+4Y+4k+1=0$।
पदों को व्यवस्थित करने पर: $aX^2-2XY+bY^2-2X(k+1)+2Y(bk+2)+bk^2+4k+1=0$।
प्रथम घात के पदों को हटाने के लिए,$X$ और $Y$ के गुणांक शून्य होने चाहिए: $k+1=0 \Rightarrow k=-1$ और $bk+2=0$ $\Rightarrow -b+2=0$ $\Rightarrow b=2$।
अब,अक्षों को $\theta = \frac{1}{2} \tan^{-1}(2)$ कोण पर घुमाने पर,$\tan(2\theta) = 2$।
$xy$ पद को हटाने की शर्त: $\tan(2\theta) = \frac{2h}{a-b}$,जहाँ $h=-1$।
अतः,$\tan(2\theta) = \frac{2(-1)}{a-b} = \frac{2}{b-a} = 2 \Rightarrow b-a = 1$।
चूँकि $b=2$,$2-a=1 \Rightarrow a=1$।
इसलिए,$a+b = 1+2 = 3$।

(B) मूल बिंदु को $(h, 5)$ पर स्थानांतरित करने पर,संबंध $x = X + h$ और $y = Y + 5$ प्राप्त होते हैं।
समीकरण $y = x^3 - 9x^2 + cx - d$ में मान रखने पर:
$Y + 5 = (X + h)^3 - 9(X + h)^2 + c(X + h) - d$
$Y = X^3 + (3h - 9)X^2 + (3h^2 - 18h + c)X + (h^3 - 9h^2 + ch - d - 5)$
$Y = X^3$ से तुलना करने पर:
$1) 3h - 9 = 0 \Rightarrow h = 3$
$2) 3h^2 - 18h + c = 0 \Rightarrow c = 27$
$3) h^3 - 9h^2 + ch - d - 5 = 0 \Rightarrow d = 22$
अतः,$\left(d - \frac{c}{h}\right) = 22 - \frac{27}{3} = 13$.

(A) रेखा $L$ बिंदु $(-2, -3)$ से गुजरती है और इसकी ढाल अपरिभाषित है,इसलिए इसका समीकरण $x = -2$ (एक ऊर्ध्वाधर रेखा) है।
रेखा $x = -2$ और रेखा $ax - 2y + 3 = 0$ के बीच का कोण $45^{\circ}$ है।
रेखा $ax - 2y + 3 = 0$ की ढाल $m_1 = \frac{a}{2}$ है।
एक ऊर्ध्वाधर रेखा और $m_1$ ढाल वाली रेखा के बीच का कोण $\theta$ के लिए $|\tan(90^{\circ} - \theta)| = |\frac{1}{m_1}|$ होता है।
चूंकि कोण $45^{\circ}$ है,इसलिए $|\frac{1}{a/2}| = \tan(45^{\circ}) = 1$ है।
अतः,$\frac{2}{a} = 1$,जिससे $a = 2$ प्राप्त होता है।
अब,$a = 2$ को समीकरण $x + ay - 4 = 0$ में रखने पर $x + 2y - 4 = 0$ प्राप्त होता है।
इस रेखा की ढाल $m = -\frac{1}{2}$ है।
धनात्मक $X$-अक्ष के साथ बनाया गया कोण $\theta$ के लिए $\tan \theta = -\frac{1}{2}$ है।
चूंकि ढाल ऋणात्मक है,इसलिए कोण दूसरे चतुर्थांश में है,अतः $\theta = \pi - \tan^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)$।

(A) रेखा $L$ की ढाल $-\cot \alpha$ है।
रेखा $x + y + 1 = 0$ की ढाल $-1$ है।
चूंकि रेखाएं लंबवत हैं,उनकी ढाल का गुणनफल $-1$ होगा:
$(-\cot \alpha)(-1) = -1$ $\Rightarrow \cot \alpha = -1$ $\Rightarrow \tan \alpha = -1$.
चूंकि $\alpha$ चौथे चतुर्थांश में है,$\alpha = 2\pi - \frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{4}$.
$(\sqrt{2}, \sqrt{2})$ से $x \cos \alpha + y \sin \alpha - p = 0$ की लंबवत दूरी:
$\left| \sqrt{2} \cos \alpha + \sqrt{2} \sin \alpha - p \right| = 5$.
$\alpha = \frac{7\pi}{4}$ रखने पर:
$\cos \frac{7\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ और $\sin \frac{7\pi}{4} = -\frac{1}{\sqrt{2}}$.
$\left| \sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right) + \sqrt{2} \left( -\frac{1}{\sqrt{2}} \right) - p \right| = 5$.
$|1 - 1 - p| = 5 \Rightarrow |-p| = 5$.
चूंकि $p$ धनात्मक है,$p = 5$.

(B) माना रेखाएँ $L_1: 7x+y-24=0$ और $L_2: x+7y-24=0$ हैं। ढाल $m_1 = -7$ और $m_2 = -\frac{1}{7}$ हैं।
चूंकि ये समद्विबाहु त्रिभुज की समान भुजाएँ हैं,तीसरी भुजा $L_1$ और $L_2$ के साथ समान कोण बनाती है।
माना तीसरी भुजा की ढाल $m$ है। तब $\left| \frac{m - (-7)}{1 + m(-7)} \right| = \left| \frac{m - (-1/7)}{1 + m(-1/7)} \right|$.
$\left| \frac{m+7}{1-7m} \right| = \left| \frac{7m+1}{7-m} \right|$.
स्थिति $1$: $\frac{m+7}{1-7m} = \frac{7m+1}{7-m} \Rightarrow 48m^2 = -48$ (कोई वास्तविक हल नहीं)।
स्थिति $2$: $\frac{m+7}{1-7m} = -\frac{7m+1}{7-m}$ $\Rightarrow 50m^2 = 50$ $\Rightarrow m = \pm 1$.
$m = -1$ के लिए,$(-1, 1)$ से गुजरने वाली रेखा $x+y=0$ है।

(A) माना बिंदु $A(1, 2)$ और $B(-3, 5)$ हैं। बिंदु $P(x, y)$ रेखाखंड $AB$ को $4:3$ के अनुपात में बाह्यतः विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर: $x = \frac{4(-3) - 3(1)}{4 - 3} = -15$ और $y = \frac{4(5) - 3(2)}{4 - 3} = 14$.
बिंदु $(-15, 14)$ से गुजरने वाली और $\frac{-2}{3}$ ढाल वाली रेखा का समीकरण:
$y - 14 = \frac{-2}{3}(x + 15)$.
$3y - 42 = -2x - 30$.
$2x + 3y - 12 = 0$.

(D) रेखाओं के युग्म का दिया गया समीकरण $2x^2 + hxy + 6y^2 = 0$ है।
मान लीजिए कि दो रेखाओं की ढाल $m$ और $3m$ है।
रेखाओं के युग्म का समीकरण $(y - mx)(y - 3mx) = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इसका विस्तार करने पर,हमें $y^2 - 4mxy + 3m^2x^2 = 0$ या $3m^2x^2 - 4mxy + y^2 = 0$ प्राप्त होता है।
मूल समीकरण $2x^2 + hxy + 6y^2 = 0$ को $6$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{1}{3}x^2 + \frac{h}{6}xy + y^2 = 0$ प्राप्त होता है।
$3m^2x^2 - 4mxy + y^2 = 0$ के साथ गुणांकों की तुलना करने पर:
$3m^2 = \frac{1}{3}$ $\Rightarrow m^2 = \frac{1}{9}$ $\Rightarrow m = \pm \frac{1}{3}$।
साथ ही,$-4m = \frac{h}{6} \Rightarrow h = -24m$।
$m = \pm \frac{1}{3}$ का मान $h$ के व्यंजक में रखने पर:
$h = -24(\pm \frac{1}{3}) = \mp 8$।
अतः,$h = \pm 8$।

(D) दिया गया समीकरण: $y f(x+y) + \cos(mxy) = 1 + y f(x)$।
पदों को व्यवस्थित करने पर: $y(f(x+y) - f(x)) = 1 - \cos(mxy)$।
$m=2$ रखने पर,समीकरण: $y(f(x+y) - f(x)) = 1 - \cos(2xy)$।
दोनों पक्षों को $y^2$ से विभाजित करने पर $(y \neq 0)$: $\frac{f(x+y) - f(x)}{y} = \frac{1 - \cos(2xy)}{y^2}$।
सर्वसमिका $1 - \cos(2\theta) = 2 \sin^2(\theta)$ का उपयोग करने पर: $\frac{f(x+y) - f(x)}{y} = \frac{2 \sin^2(xy)}{y^2}$।
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: $\frac{f(x+y) - f(x)}{y} = 2 \left( \frac{\sin(xy)}{y} \right)^2$।
$f'(x)$ ज्ञात करने के लिए,$y \rightarrow 0$ सीमा लेने पर:
$f'(x) = \lim_{y \rightarrow 0} \frac{f(x+y) - f(x)}{y} = \lim_{y \rightarrow 0} 2 \left( \frac{\sin(xy)}{y} \right)^2$।
$x^2$ से गुणा और भाग करने पर: $f'(x) = 2x^2 \lim_{y \rightarrow 0} \left( \frac{\sin(xy)}{xy} \right)^2$।
चूँकि $\lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{\sin \theta}{\theta} = 1$,इसलिए: $f'(x) = 2x^2(1)^2 = 2x^2$।

(A) दिया गया है कि $y = 44 x^{45} + 45 x^{-44}$।
प्रथम अवकलज: $y^{\prime} = 44 \times 45 x^{44} + 45 \times (-44) x^{-45} = 1980(x^{44} - x^{-45})$।
द्वितीय अवकलज: $y^{\prime \prime} = 1980(44 x^{43} - (-45) x^{-46}) = 1980(44 x^{43} + 45 x^{-46})$।
व्यंजक से $x^{-2}$ उभयनिष्ठ लेने पर: $y^{\prime \prime} = 1980 \times x^{-2} (44 x^{45} + 45 x^{-44})$।
चूंकि $y = 44 x^{45} + 45 x^{-44}$,इसलिए $y$ का मान प्रतिस्थापित करने पर: $y^{\prime \prime} = \frac{1980 y}{x^2}$।

(C) दिया गया समीकरण: $2x^2 - 3xy + 4y^2 + 2x - 3y + 4 = 0$.
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx}(2x^2) - \frac{d}{dx}(3xy) + \frac{d}{dx}(4y^2) + \frac{d}{dx}(2x) - \frac{d}{dx}(3y) + \frac{d}{dx}(4) = 0$.
$4x - 3(y + x \frac{dy}{dx}) + 8y \frac{dy}{dx} + 2 - 3 \frac{dy}{dx} = 0$.
$4x - 3y - 3x \frac{dy}{dx} + 8y \frac{dy}{dx} + 2 - 3 \frac{dy}{dx} = 0$.
अब,बिंदु $(3, 2)$ रखने पर जहाँ $x = 3$ और $y = 2$:
$4(3) - 3(2) - 3(3) \frac{dy}{dx} + 8(2) \frac{dy}{dx} + 2 - 3 \frac{dy}{dx} = 0$.
$12 - 6 - 9 \frac{dy}{dx} + 16 \frac{dy}{dx} + 2 - 3 \frac{dy}{dx} = 0$.
$8 + 4 \frac{dy}{dx} = 0$.
$4 \frac{dy}{dx} = -8$.
$\frac{dy}{dx} = -2$.

(C) दिया गया समीकरण: $y(\cos x)^{\sin x} = (\sin x)^{\sin x}$
दोनों पक्षों को $(\cos x)^{\sin x}$ से विभाजित करने पर: $y = \frac{(\sin x)^{\sin x}}{(\cos x)^{\sin x}} = (\tan x)^{\sin x}$
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर: $\ln y = \sin x \cdot \ln(\tan x)$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \cos x \cdot \ln(\tan x) + \sin x \cdot \frac{1}{\tan x} \cdot \sec^2 x$
दूसरे पद को सरल करने पर: $\sin x \cdot \frac{\cos x}{\sin x} \cdot \frac{1}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos x} = \sec x$
अतः,$\frac{dy}{dx} = y [\cos x \cdot \ln(\tan x) + \sec x]$
$x = \frac{\pi}{4}$ पर,$\tan x = 1$,$\sin x = \frac{1}{\sqrt{2}}$,$\cos x = \frac{1}{\sqrt{2}}$,$\sec x = \sqrt{2}$,और $y = (1)^{1/\sqrt{2}} = 1$
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\left. \frac{dy}{dx} \right|_{x=\frac{\pi}{4}} = 1 \cdot [\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \ln(1) + \sqrt{2}] = 1 \cdot [0 + \sqrt{2}] = \sqrt{2}$

(D) दिया गया है $x = \frac{9t^2}{1+t^4}$ और $y = \frac{16t^2}{1-t^4}$।
सबसे पहले,भागफल नियम (quotient rule) का उपयोग करके $y$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dt} = \frac{(1-t^4)(32t) - (16t^2)(-4t^3)}{(1-t^4)^2} = \frac{32t - 32t^5 + 64t^5}{(1-t^4)^2} = \frac{32t(1+t^4)}{(1-t^4)^2}$।
इसके बाद,भागफल नियम का उपयोग करके $x$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dx}{dt} = \frac{(1+t^4)(18t) - (9t^2)(4t^3)}{(1+t^4)^2} = \frac{18t + 18t^5 - 36t^5}{(1+t^4)^2} = \frac{18t(1-t^4)}{(1+t^4)^2}$।
अब,$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt}$ ज्ञात करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{32t(1+t^4)}{(1-t^4)^2} \times \frac{(1+t^4)^2}{18t(1-t^4)} = \frac{32(1+t^4)^3}{18(1-t^4)^3} = \frac{16}{9}\left(\frac{1+t^4}{1-t^4}\right)^3$।

(B) दिया गया है $x = \cos 2t + \log(\tan t)$ और $y = 2t + \cot 2t$।
सबसे पहले,$y$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt}(2t + \cot 2t) = 2 - 2\operatorname{cosec}^2 2t = -2(\operatorname{cosec}^2 2t - 1) = -2\cot^2 2t$।
इसके बाद,$x$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(\cos 2t + \log(\tan t)) = -2\sin 2t + \frac{1}{\tan t} \cdot \sec^2 t = -2\sin 2t + \frac{\cos t}{\sin t} \cdot \frac{1}{\cos^2 t} = -2\sin 2t + \frac{1}{\sin t \cos t}$।
चूंकि $\sin 2t = 2\sin t \cos t$,इसलिए $\frac{1}{\sin t \cos t} = \frac{2}{\sin 2t} = 2\operatorname{cosec} 2t$।
अतः,$\frac{dx}{dt} = -2\sin 2t + 2\operatorname{cosec} 2t = 2(\operatorname{cosec} 2t - \sin 2t) = 2\left(\frac{1 - \sin^2 2t}{\sin 2t}\right) = 2\frac{\cos^2 2t}{\sin 2t} = 2\cot 2t \cos 2t$।
अंत में,$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{-2\cot^2 2t}{2\cot 2t \cos 2t} = -\frac{\cot 2t}{\cos 2t} = -\frac{\cos 2t}{\sin 2t} \cdot \frac{1}{\cos 2t} = -\frac{1}{\sin 2t} = -\operatorname{cosec} 2t$।

(C) दिया गया है $y=\log \left[\tan \sqrt{\frac{2^x-1}{2^x+1}}\right]$.
माना $v = \frac{2^x-1}{2^x+1}$. $x=1$ पर,$v = \frac{2-1}{2+1} = \frac{1}{3}$.
भागफल नियम का उपयोग करते हुए,$\frac{dv}{dx} = \frac{(2^x+1)(2^x \log 2) - (2^x-1)(2^x \log 2)}{(2^x+1)^2} = \frac{2^x \log 2 (2^x+1-2^x+1)}{(2^x+1)^2} = \frac{2 \cdot 2^x \log 2}{(2^x+1)^2} = \frac{2^{x+1} \log 2}{(2^x+1)^2}$.
$x=1$ पर,$\left(\frac{dv}{dx}\right)_{x=1} = \frac{2^2 \log 2}{(2+1)^2} = \frac{4 \log 2}{9}$.
अब,$y = \log(\tan \sqrt{v})$. $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\tan \sqrt{v}} \cdot \sec^2 \sqrt{v} \cdot \frac{1}{2\sqrt{v}} \cdot \frac{dv}{dx}$.
$\frac{1}{\tan \sqrt{v}} \cdot \sec^2 \sqrt{v} = \frac{\cos \sqrt{v}}{\sin \sqrt{v}} \cdot \frac{1}{\cos^2 \sqrt{v}} = \frac{1}{\sin \sqrt{v} \cos \sqrt{v}} = \frac{2}{\sin(2\sqrt{v})}$ का उपयोग करते हुए.
अतः,$\frac{dy}{dx} = \frac{2}{\sin(2\sqrt{v})} \cdot \frac{1}{2\sqrt{v}} \cdot \frac{dv}{dx} = \frac{1}{\sin(2\sqrt{v}) \cdot \sqrt{v}} \cdot \frac{dv}{dx}$.
$x=1$ पर,$v = \frac{1}{3}$,इसलिए $\sqrt{v} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
$\left(\frac{dy}{dx}\right)_{x=1} = \frac{1}{\sin(2/\sqrt{3}) \cdot (1/\sqrt{3})} \cdot \frac{4 \log 2}{9} = \frac{\sqrt{3} \cdot 4 \log 2}{9 \sin(2/\sqrt{3})} = \frac{4 \sqrt{3} \log 2}{9 \sin(2/\sqrt{3})}$.

(A) दिया गया है $\log y = y^{\log x}$.
दोनों पक्षों का $\log$ लेने पर:
$\log(\log y) = \log(y^{\log x}) = \log x \cdot \log y$.
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{1}{\log y} \cdot \frac{1}{y} \cdot \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(\log x) \cdot \log y + \log x \cdot \frac{d}{dx}(\log y)$.
$\frac{1}{y \log y} \cdot \frac{dy}{dx} = \frac{\log y}{x} + \frac{\log x}{y} \cdot \frac{dy}{dx}$.
$\frac{dy}{dx}$ को अलग करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$\frac{dy}{dx} \left( \frac{1}{y \log y} - \frac{\log x}{y} \right) = \frac{\log y}{x}$.
$\frac{dy}{dx} \left( \frac{1 - \log x \log y}{y \log y} \right) = \frac{\log y}{x}$.
$\frac{dy}{dx} = \frac{\log y}{x} \cdot \frac{y \log y}{1 - \log x \log y}$.
$\frac{dy}{dx} = \frac{y(\log y)^2}{x(1 - \log x \log y)}$.

(A) दिया गया है $y=\log \left(x-\sqrt{x^2-1}\right)$.
दोनों पक्षों का चरघातांकी लेने पर,$e^y = x-\sqrt{x^2-1}$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$e^y y^{\prime} = 1 - \frac{1}{2\sqrt{x^2-1}} \cdot 2x = 1 - \frac{x}{\sqrt{x^2-1}} = \frac{\sqrt{x^2-1}-x}{\sqrt{x^2-1}} = -\frac{(x-\sqrt{x^2-1})}{\sqrt{x^2-1}} = -\frac{e^y}{\sqrt{x^2-1}}$.
अतः,$y^{\prime} = -\frac{1}{\sqrt{x^2-1}} = -(x^2-1)^{-1/2}$.
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$y^{\prime \prime} = -(-\frac{1}{2})(x^2-1)^{-3/2} \cdot 2x = \frac{x}{(x^2-1)^{3/2}}$.
अब,$(x^2-1)y^{\prime \prime} + x y^{\prime}$ व्यंजक में मान रखने पर:
$(x^2-1) \left( \frac{x}{(x^2-1)^{3/2}} \right) + x \left( -\frac{1}{\sqrt{x^2-1}} \right) = \frac{x}{\sqrt{x^2-1}} - \frac{x}{\sqrt{x^2-1}} = 0$.

(C) दिया गया समीकरण $y=\sqrt{\sin (\log (2 x))+\sqrt{\sin (\log (2 x))+\ldots \infty}}$ है।
चूंकि यह अनंत तक है,हम लिख सकते हैं $y=\sqrt{\sin (\log (2 x))+y}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$y^2 = \sin (\log (2 x)) + y$,अर्थात $y^2 - y = \sin (\log (2 x))$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx}(y^2 - y) = \frac{d}{dx}(\sin (\log (2 x)))$.
$(2y - 1) \frac{dy}{dx} = \cos (\log (2 x)) \cdot \frac{d}{dx}(\log (2 x))$.
$\frac{d}{dx}(\log (2 x)) = \frac{1}{2x} \cdot 2 = \frac{1}{x}$.
अतः,$(2y - 1) \frac{dy}{dx} = \frac{\cos (\log (2 x))}{x}$.
$\frac{dy}{dx} = \frac{\cos (\log (2 x))}{x(2y - 1)}$.

(A) माना $u = (\sin x)^x$ और $v = x^{\sin x}$ है।
$u$ के लिए दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर:
$\log u = x \log (\sin x)$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{1}{u} \frac{du}{dx} = \log (\sin x) + x \cdot \frac{1}{\sin x} \cdot \cos x = \log (\sin x) + x \cot x$.
$\frac{du}{dx} = (\sin x)^x [\log (\sin x) + x \cot x] = (\sin x)^{x-1} [\sin x \log (\sin x) + x \cos x]$.
$v$ के लिए दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर:
$\log v = \sin x \log x$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{1}{v} \frac{dv}{dx} = \cos x \log x + \sin x \cdot \frac{1}{x} = \frac{x \cos x \log x + \sin x}{x}$.
$\frac{dv}{dx} = x^{\sin x} \cdot \frac{x \cos x \log x + \sin x}{x} = x^{\sin x-1} [\sin x + x \cos x \log x]$.
अतः,$\frac{du}{dv} = \frac{du/dx}{dv/dx} = \frac{(\sin x)^{x-1} [\sin x \log (\sin x) + x \cos x]}{x^{\sin x-1} [\sin x + x \cos x \log x]}$.

(B) दिया गया है $y = \frac{\tan x \cos^{-1} x}{\sqrt{1-x^2}}$.
अवकलन के लिए गुणन नियम का उपयोग करते हुए: $\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} [(\tan x) \cdot (\cos^{-1} x) \cdot (1-x^2)^{-1/2}]$.
मान लीजिए $u = \tan x$,$v = \cos^{-1} x$,और $w = (1-x^2)^{-1/2}$.
तब $\frac{dy}{dx} = u'vw + uv'w + uvw'$.
$u' = \sec^2 x$,$v' = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$,$w' = -\frac{1}{2}(1-x^2)^{-3/2}(-2x) = \frac{x}{(1-x^2)^{3/2}}$.
$x = 0$ पर:
$u = \tan(0) = 0$,$u' = \sec^2(0) = 1$.
$v = \cos^{-1}(0) = \frac{\pi}{2}$,$v' = -\frac{1}{\sqrt{1-0}} = -1$.
$w = (1-0)^{-1/2} = 1$,$w' = \frac{0}{(1-0)^{3/2}} = 0$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{dy}{dx} = (1)(\frac{\pi}{2})(1) + (0)(-1)(1) + (0)(\frac{\pi}{2})(0) = \frac{\pi}{2} + 0 + 0 = \frac{\pi}{2}$.

(D) दिया गया है $y=\cos ^{-1}\left(\frac{6 x-2 x^2-4}{2 x^2-6 x+5}\right)$.
माना $v = \frac{6 x-2 x^2-4}{2 x^2-6 x+5}$.
यहाँ $v = \frac{-(2x^2-6x+5)+1}{2x^2-6x+5} = -1 + \frac{1}{2x^2-6x+5}$ है।
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करने पर,$\frac{dy}{dx} = \frac{-1}{\sqrt{1-v^2}} \cdot \frac{dv}{dx}$.
भागफल नियम (quotient rule) द्वारा $\frac{dv}{dx}$ की गणना करने पर:
$\frac{dv}{dx} = \frac{(6-4x)(2x^2-6x+5) - (6x-2x^2-4)(4x-6)}{(2x^2-6x+5)^2} = \frac{-2(2x-3)}{(2x^2-6x+5)^2}$.
अब,$1-v^2 = 1 - \left(\frac{6x-2x^2-4}{2x^2-6x+5}\right)^2 = \frac{(2x-3)^2}{(2x^2-6x+5)^2}$.
अतः,$\sqrt{1-v^2} = \frac{|2x-3|}{2x^2-6x+5}$.
मान प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{dy}{dx} = \frac{-1}{\frac{|2x-3|}{2x^2-6x+5}} \cdot \frac{-2(2x-3)}{(2x^2-6x+5)^2} = \frac{2(2x-3)}{|2x-3|(2x^2-6x+5)}$.
यदि $2x-3 > 0$ है,तो $\frac{dy}{dx} = \frac{2}{2x^2-6x+5}$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है $y=\tan ^{-1}\left[\frac{\sin ^3(2 x)-3 x^2 \sin (2 x)}{3 x \sin ^2(2 x)-x^3}\right]$.
अंश और हर को $x^3$ से विभाजित करने पर:
$y=\tan ^{-1}\left[\frac{(\frac{\sin 2x}{x})^3 - 3(\frac{\sin 2x}{x})}{3(\frac{\sin 2x}{x})^2 - 1}\right]$.
माना $\frac{\sin 2x}{x} = \tan \theta$. तब $y = \tan^{-1} \left[ \frac{\tan^3 \theta - 3 \tan \theta}{3 \tan^2 \theta - 1} \right]$.
सर्वसमिका $\tan 3\theta = \frac{3 \tan \theta - \tan^3 \theta}{1 - 3 \tan^2 \theta}$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{\tan^3 \theta - 3 \tan \theta}{3 \tan^2 \theta - 1} = -\tan 3\theta$.
अतः,$y = \tan^{-1}(-\tan 3\theta) = -3\theta = -3 \tan^{-1}(\frac{\sin 2x}{x})$.
अब,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = -3 \cdot \frac{1}{1 + (\frac{\sin 2x}{x})^2} \cdot \frac{d}{dx}(\frac{\sin 2x}{x})$.
$\frac{d}{dx}(\frac{\sin 2x}{x}) = \frac{x(2 \cos 2x) - \sin 2x}{x^2}$.
$\frac{dy}{dx} = -3 \cdot \frac{x^2}{x^2 + \sin^2 2x} \cdot \frac{2x \cos 2x - \sin 2x}{x^2} = \frac{3 \sin 2x - 6x \cos 2x}{x^2 + \sin^2 2x}$.

(B) दिया गया है $y = a \cos 3x + b e^{-x}$।
प्रथम अवकलज: $y' = -3a \sin 3x - b e^{-x}$।
द्वितीय अवकलज: $y'' = -9a \cos 3x + b e^{-x}$।
अब,$y''(3 \sin 3x - \cos 3x)$ की गणना करें:
$y''(3 \sin 3x - \cos 3x) = (-9a \cos 3x + b e^{-x})(3 \sin 3x - \cos 3x)$
$= -27a \cos 3x \sin 3x + 9a \cos^2 3x + 3b e^{-x} \sin 3x - b e^{-x} \cos 3x$।
इस व्यंजक को $10y' \cos 3x + 3y(\sin 3x + 3 \cos 3x)$ के रूप में व्यवस्थित करने पर:
$= 10(-3a \sin 3x - b e^{-x}) \cos 3x + 3a \cos 3x(\cos 3x + 3 \sin 3x) + 3b e^{-x}(\sin 3x + 3 \cos 3x)$
$= 10y' \cos 3x + 3(a \cos 3x + b e^{-x})(\sin 3x + 3 \cos 3x)$
$= 10y' \cos 3x + 3y(\sin 3x + 3 \cos 3x)$।

(B) वक्र $y=f(x)$ की स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = 6x^2+10x-9$ द्वारा दी गई है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$f(x) = \int (6x^2+10x-9) dx = 2x^3+5x^2-9x+C$.
दिया गया है कि $f(2)=0$,इसलिए हम समीकरण में $x=2$ रखते हैं:
$f(2) = 2(2)^3 + 5(2)^2 - 9(2) + C = 0$
$16 + 20 - 18 + C = 0$
$18 + C = 0 \Rightarrow C = -18$.
अतः,फलन $f(x) = 2x^3+5x^2-9x-18$ है।
अब,हम $f(-2)$ ज्ञात करते हैं:
$f(-2) = 2(-2)^3 + 5(-2)^2 - 9(-2) - 18$
$f(-2) = 2(-8) + 5(4) + 18 - 18$
$f(-2) = -16 + 20 + 0 = 4$.

(B) दिया गया वक्र $y=x^3-2x^2+3x-4$ और रेखा $y=-2$ है।
प्रतिच्छेदन बिंदु $P(h, k)$ पर,$x^3-2x^2+3x-4 = -2$.
$\Rightarrow x^3-2x^2+3x-2 = 0$.
मानों की जाँच करने पर,$x=1$ के लिए,$1-2+3-2 = 0$. अतः,बिंदु $P$ $(1, -2)$ है।
अब,$P(1, -2)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल ज्ञात करें:
$\frac{dy}{dx} = 3x^2-4x+3$.
$x=1$ पर,$\frac{dy}{dx} = 3(1)^2-4(1)+3 = 3-4+3 = 2$.
$(1, -2)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $y - (-2) = 2(x - 1)$ है।
$\Rightarrow y+2 = 2x-2
\Rightarrow y = 2x-4$.
यह स्पर्श रेखा $X$-अक्ष को वहाँ मिलती है जहाँ $y=0$ है:
$0 = 2x_1 - 4
\Rightarrow 2x_1 = 4
\Rightarrow x_1 = 2$.

(D) दिया गया वक्र $y^3=4 x^5$ है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$3 y^2 \frac{d y}{d x} = 20 x^4$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{d y}{d x} = \frac{20 x^4}{3 y^2}$।
बिंदु $(4, 16)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $m_t = \frac{20(4)^4}{3(16)^2} = \frac{20 \times 256}{3 \times 256} = \frac{20}{3}$ है।
अभिलंब की ढाल $m_n = -\frac{1}{m_t} = -\frac{3}{20}$ होती है।
बिंदु $(4, 16)$ पर अभिलंब का समीकरण $y - 16 = -\frac{3}{20}(x - 4)$ है।
$20$ से गुणा करने पर,$20y - 320 = -3x + 12$ प्राप्त होता है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,$3x + 20y = 332$ प्राप्त होता है।

(C) मान लीजिए $m_1$ बिंदु $P$ पर वक्र $y=f(x)$ की स्पर्श रेखा की ढाल है। दिया गया है कि $m_1 = \frac{dy}{dx} = Q(x)$।
मान लीजिए $m_2$ बिंदु $P$ पर वक्र $x=g(y)$ की स्पर्श रेखा की ढाल है। दिया गया है कि $\frac{dx}{dy} = -Q(x)$,हम जानते हैं कि $m_2 = \frac{dy}{dx} = \frac{1}{dx/dy} = \frac{1}{-Q(x)}$।
चूंकि $m_1 \times m_2 = Q(x) \times \left(-\frac{1}{Q(x)}\right) = -1$,प्रतिच्छेदन बिंदु पर स्पर्श रेखाओं की ढाल का गुणनफल $-1$ है।
इसलिए,एक वक्र पर $P$ पर खींची गई स्पर्श रेखा दूसरे वक्र के लिए $P$ पर अभिलंब है।

(B) दिया गया वक्र: $y^3 - 3xy + 2 = 0$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $3y^2 \frac{dy}{dx} - 3y - 3x \frac{dy}{dx} = 0$.
$\frac{dy}{dx} (3y^2 - 3x) = 3y \implies \frac{dy}{dx} = \frac{y}{y^2 - x}$.
क्षैतिज स्पर्श रेखा के लिए,$\frac{dy}{dx} = 0 \implies y = 0$.
$y = 0$ को वक्र के समीकरण में रखने पर: $0^3 - 3x(0) + 2 = 0 \implies 2 = 0$,जो असंभव है। अतः,$n(A) = 0$.
ऊर्ध्वाधर स्पर्श रेखा के लिए,$\frac{dy}{dx} = \infty \implies y^2 - x = 0 \implies x = y^2$.
$x = y^2$ को वक्र के समीकरण में रखने पर: $y^3 - 3(y^2)y + 2 = 0 \implies y^3 - 3y^3 + 2 = 0 \implies -2y^3 = -2 \implies y^3 = 1 \implies y = 1$.
यदि $y = 1$ है,तो $x = 1^2 = 1$. बिंदु $(1, 1)$ प्राप्त होता है। अतः,$n(B) = 1$.
इसलिए,$n(A) + n(B) = 0 + 1 = 1$.

(D) माना $f(x) = y = x^4+5x^3+9x^2+6x+2$.
वक्र की स्पर्श रेखा की ढाल $m(x) = \frac{dy}{dx} = 4x^3+15x^2+18x+6$ द्वारा दी जाती है।
ढाल $m(x)$ के बढ़ने के लिए,इसका अवकलज शून्य या उससे अधिक होना चाहिए,अर्थात $\frac{dm}{dx} = \frac{d^2y}{dx^2} \ge 0$.
द्वितीय अवकलज की गणना करने पर: $\frac{d^2y}{dx^2} = 12x^2+30x+18$.
द्विघात व्यंजक का गुणनखंड करने पर: $12x^2+30x+18 = 6(2x^2+5x+3) = 6(2x+3)(x+1)$.
हमें $6(2x+3)(x+1) \ge 0$ की आवश्यकता है।
क्रांतिक बिंदु $x = -\frac{3}{2}$ और $x = -1$ हैं।
अंतरालों की जाँच करने पर:
$1$) $x \in (-\infty, -\frac{3}{2}]$ के लिए,$\frac{d^2y}{dx^2} \ge 0$.
$2$) $x \in [-\frac{3}{2}, -1]$ के लिए,$\frac{d^2y}{dx^2} \le 0$.
$3$) $x \in [-1, \infty)$ के लिए,$\frac{d^2y}{dx^2} \ge 0$.
अतः,ढाल $(-\infty, -\frac{3}{2}] \cup [-1, \infty)$ अंतराल में बढ़ती है,जिसे $R - (-\frac{3}{2}, -1)$ के रूप में लिखा जा सकता है।

(D) दिया गया फलन $y = 2x^3 - 8x^2 + 10x - 4$ है।
स्पर्श रेखा की ढाल ज्ञात करने के लिए,हम $y$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$\frac{dy}{dx} = 6x^2 - 16x + 10$.
चूंकि स्पर्श रेखा $X$-अक्ष के समांतर है,इसलिए इसकी ढाल शून्य होनी चाहिए:
$\frac{dy}{dx} = 0 \implies 6x^2 - 16x + 10 = 0$.
$2$ से विभाजित करने पर,हमें $3x^2 - 8x + 5 = 0$ प्राप्त होता है।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$3x^2 - 3x - 5x + 5 = 0 \implies 3x(x - 1) - 5(x - 1) = 0$.
$(3x - 5)(x - 1) = 0$.
इससे $x = 1$ या $x = \frac{5}{3}$ प्राप्त होता है।
चूंकि बिंदु $(a, b)$ के लिए $a \in (1, 2)$ है,इसलिए हम $x = 1$ को छोड़ देते हैं और $a = \frac{5}{3}$ को स्वीकार करते हैं।

(B) दिया गया वक्र $x = 2(\cos 2t + t \sin 2t)$ और $y = 4(\sin 2t - t \cos 2t)$ है।
सबसे पहले,अवकलज $\frac{dx}{dt}$ और $\frac{dy}{dt}$ ज्ञात करें:
$\frac{dx}{dt} = 2(-2 \sin 2t + \sin 2t + 2t \cos 2t) = 2(2t \cos 2t - \sin 2t)$.
$\frac{dy}{dt} = 4(2 \cos 2t - \cos 2t + 2t \sin 2t) = 4(\cos 2t + 2t \sin 2t)$.
$t = \frac{\pi}{4}$ पर:
$\frac{dx}{dt} = 2(2(\frac{\pi}{4}) \cos \frac{\pi}{2} - \sin \frac{\pi}{2}) = 2(0 - 1) = -2$.
$\frac{dy}{dt} = 4(\cos \frac{\pi}{2} + 2(\frac{\pi}{4}) \sin \frac{\pi}{2}) = 4(0 + \frac{\pi}{2}) = 2\pi$.
अतः,स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{2\pi}{-2} = -\pi$ है।
अभिलंब की ढाल $-\frac{1}{dy/dx} = \frac{1}{\pi}$ है।
$t = \frac{\pi}{4}$ पर,$y = 4(\sin \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} \cos \frac{\pi}{2}) = 4(1 - 0) = 4$.
अभिलंब की लंबाई $|y| \sqrt{1 + (\frac{dy}{dx})^2} = |4| \sqrt{1 + (-\pi)^2} = 4 \sqrt{1 + \pi^2}$ है।

(C) दूरी $S$ फलन $S(t) = t^3 - t^2 - t + 3$ द्वारा दी गई है।
कण का वेग $v$,समय के सापेक्ष दूरी के परिवर्तन की दर है,जो $v = \frac{dS}{dt}$ द्वारा दी जाती है।
$v = \frac{d}{dt}(t^3 - t^2 - t + 3) = 3t^2 - 2t - 1$.
कण तब विरामावस्था में आता है जब उसका वेग $v = 0$ हो।
$v = 0$ रखने पर,हमें $3t^2 - 2t - 1 = 0$ प्राप्त होता है।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $3t^2 - 3t + t - 1 = 0 \Rightarrow 3t(t - 1) + 1(t - 1) = 0 \Rightarrow (3t + 1)(t - 1) = 0$.
चूंकि समय $t$ ऋणात्मक नहीं हो सकता,इसलिए हम $t = 1$ सेकंड लेते हैं।
अब,$t = 1$ को दूरी के समीकरण $S(t)$ में रखने पर:
$S(1) = (1)^3 - (1)^2 - (1) + 3 = 1 - 1 - 1 + 3 = 2$ मीटर।
अतः,विरामावस्था में आने पर कण द्वारा तय की गई दूरी $2$ मीटर है।

(A) दी गई त्रिज्या $r = 7 \text{ cm}$ और पृष्ठीय क्षेत्रफल में त्रुटि $dA = 0.08 \text{ cm}^2$ है।
गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल $A = 4 \pi r^2$ होता है।
$r$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dA}{dr} = 8 \pi r$ प्राप्त होता है।
अतः,$dA = 8 \pi r \cdot dr$.
मान रखने पर,$0.08 = 8 \pi (7) \cdot dr$.
$dr = \frac{0.08}{56 \pi} = \frac{0.01}{7 \pi} \text{ cm}$.
गोले का आयतन $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ होता है।
$r$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dV}{dr} = 4 \pi r^2$ प्राप्त होता है।
आयतन में अनुमानित त्रुटि $dV = \frac{dV}{dr} \cdot dr$ है।
$dV = (4 \pi r^2) \cdot \left( \frac{0.01}{7 \pi} \right)$.
$r = 7$ रखने पर,$dV = 4 \pi (7^2) \cdot \frac{0.01}{7 \pi} = 4 \times 7 \times 0.01 = 0.28 \text{ cm}^3$.

(D) माना $R = 3$ गोले की त्रिज्या है। माना $h$ शंकु की ऊँचाई है और $r$ शंकु के आधार की त्रिज्या है।
माना $x$ गोले के केंद्र से शंकु के आधार तक की दूरी है। तब $h = R + x = 3 + x$ है।
गोले की त्रिज्या,शंकु के आधार की त्रिज्या और दूरी $x$ द्वारा निर्मित समकोण त्रिभुज में,$r^2 + x^2 = R^2 = 3^2 = 9$,इसलिए $r^2 = 9 - x^2$ है।
शंकु का आयतन $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi (9 - x^2)(3 + x)$ है।
$V = \frac{\pi}{3} (27 + 9x - 3x^2 - x^3)$ है।
$V$ को अधिकतम करने के लिए,हम $\frac{dV}{dx} = \frac{\pi}{3} (9 - 6x - 3x^2) = 0$ प्राप्त करते हैं।
$x^2 + 2x - 3 = 0 \Rightarrow (x + 3)(x - 1) = 0$ है।
चूँकि $x$ एक दूरी है,इसलिए $x = 1$ (क्योंकि $x \neq -3$)।
$x = 1$ के लिए,$r^2 = 9 - 1^2 = 8$,इसलिए $r = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ है।
ऊँचाई $h = 3 + 1 = 4$ है।
अर्ध-शीर्ष कोण $\theta$ के लिए $\tan \theta = \frac{r}{h} = \frac{2\sqrt{2}}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ होता है।
अतः,$\theta = \tan ^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$ है।

(C) माना किसी समय $t$ पर शंकु में पानी के स्तर की त्रिज्या $r$ और ऊँचाई $h$ है।
ऊर्ध्वाधर कोण $60^{\circ}$ है,इसलिए अर्ध-ऊर्ध्वाधर कोण $30^{\circ}$ होगा।
शंकु की ज्यामिति से,$\frac{r}{h} = \tan 30^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{3}}$,जिसका अर्थ है $h = \sqrt{3}r$।
शंकु में पानी का आयतन $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ द्वारा दिया जाता है।
$h = \sqrt{3}r$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $V = \frac{1}{3} \pi r^2 (\sqrt{3}r) = \frac{\sqrt{3}}{3} \pi r^3 = \frac{1}{\sqrt{3}} \pi r^3$ प्राप्त होता है।
$t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dV}{dt} = \frac{1}{\sqrt{3}} \pi (3r^2) \frac{dr}{dt} = \sqrt{3} \pi r^2 \frac{dr}{dt}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि $\frac{dV}{dt} = \frac{1}{\sqrt{3}}$,इसलिए $\sqrt{3} \pi r^2 \frac{dr}{dt} = \frac{1}{\sqrt{3}}$,अर्थात $\frac{dr}{dt} = \frac{1}{3 \pi r^2}$।
चूँकि $h = \sqrt{3}r$,जब $h = 3 \text{ m}$ है,तो $r = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3} \text{ m}$ होगा।
$\frac{dr}{dt}$ के व्यंजक में $r = \sqrt{3}$ रखने पर,हमें $\frac{dr}{dt} = \frac{1}{3 \pi (\sqrt{3})^2} = \frac{1}{3 \pi (3)} = \frac{1}{9 \pi} \text{ m/min}$ प्राप्त होता है।

(B) वक्रों $y^2 = x$ और $x^2 + y^2 = 2$ के बीच का कोण ज्ञात करने के लिए,हम पहले उनका प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करते हैं।
$y^2 = x$ को $x^2 + y^2 = 2$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $x^2 + x - 2 = 0$ प्राप्त होता है।
$(x + 2)(x - 1) = 0$,जिससे $x = 1$ प्राप्त होता है (क्योंकि $y^2 = x$ के लिए $x = -2$ संभव नहीं है)।
$x = 1$ के लिए,$y^2 = 1$,अतः $y = 1$ (प्रथम चतुर्थांश में प्रतिच्छेदन बिंदु को ध्यान में रखते हुए)।
अब,$(1, 1)$ बिंदु पर स्पर्श रेखाओं की ढाल ज्ञात करने के लिए वक्रों का अवकलन करते हैं:
$y^2 = x$ के लिए,$2y \frac{dy}{dx} = 1 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2y}$। $(1, 1)$ पर,$m_1 = \frac{1}{2}$।
$x^2 + y^2 = 2$ के लिए,$2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$। $(1, 1)$ पर,$m_2 = -1$।
वक्रों के बीच का कोण $\theta$,$\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right|$ द्वारा दिया जाता है।
$\tan \theta = \left| \frac{\frac{1}{2} - (-1)}{1 + (\frac{1}{2})(-1)} \right| = \left| \frac{\frac{3}{2}}{\frac{1}{2}} \right| = 3$।

(A) माना $f(x) = x^{1/3}$. हमें $f(730)$ का सन्निकट मान ज्ञात करना है।
हम जानते हैं कि $729 = 9^3$,इसलिए $x = 729$ और $\Delta x = 1$ लें।
अवकलज के सूत्र का उपयोग करते हुए,$f(x + \Delta x) \approx f(x) + f'(x) \Delta x$.
यहाँ,$f'(x) = \frac{1}{3} x^{-2/3} = \frac{1}{3x^{2/3}}$.
$x = 729$ पर,$f(729) = (729)^{1/3} = 9$.
$f'(729) = \frac{1}{3(729)^{2/3}} = \frac{1}{3(9^2)} = \frac{1}{3 \times 81} = \frac{1}{243}$.
अतः,$f(730) \approx 9 + \frac{1}{243} \times 1$.
$f(730) \approx 9 + 0.004115... \approx 9.0041$.

(A) दिया गया वक्र समीकरण: $x^3 y^4 = 2^7$.
समय $t$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$3x^2 y^4 \frac{dx}{dt} + 4x^3 y^3 \frac{dy}{dt} = 0$.
हमें दिया गया है कि $\frac{dx}{dt} = -8 \text{ units/sec}$ (क्योंकि यह घट रहा है)।
बिंदु $(2, 2)$ पर,$x = 2, y = 2$ और $\frac{dx}{dt} = -8$ रखने पर:
$3(2)^2 (2)^4 (-8) + 4(2)^3 (2)^3 \frac{dy}{dt} = 0$.
$3(4)(16)(-8) + 4(8)(8) \frac{dy}{dt} = 0$.
$-1536 + 256 \frac{dy}{dt} = 0$.
$256 \frac{dy}{dt} = 1536$.
$\frac{dy}{dt} = \frac{1536}{256} = 6$.
चूंकि $\frac{dy}{dt} > 0$,इसलिए $y$-निर्देशांक $6 \text{ units per second}$ की दर से बढ़ता है।

(C) माना कि $f(x) = \sec x$. तब $f^{\prime}(x) = \sec x \tan x$.
हम $a = 60^{\circ}$ और $h = -1^{\circ} = -0.0174$ रेडियन लेते हैं।
$a = 60^{\circ}$ पर,$f(a) = \sec 60^{\circ} = 2$.
साथ ही,$f^{\prime}(a) = \sec 60^{\circ} \tan 60^{\circ} = 2 \times \sqrt{3} = 2 \times 1.732 = 3.464$.
रैखिक सन्निकटन सूत्र $f(a+h) \approx f(a) + h \cdot f^{\prime}(a)$ का उपयोग करते हुए:
$f(59^{\circ}) \approx f(60^{\circ}) + (-0.0174) \times f^{\prime}(60^{\circ})$.
$f(59^{\circ}) \approx 2 + (-0.0174) \times (3.464)$.
$f(59^{\circ}) \approx 2 - 0.0602736$.
$f(59^{\circ}) \approx 1.9397264$.
चार दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करने पर,हमें $1.9397$ प्राप्त होता है।

(C) कोसाइन नियम का उपयोग करते हुए: $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$.
दोनों पक्षों का $A$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $2a \delta a = 2bc \sin A \delta A$.
अतः,$\delta a = \frac{bc \sin A \delta A}{a}$.
हम जानते हैं कि त्रिभुज का क्षेत्रफल $\Delta = \frac{1}{2} bc \sin A$ है,इसलिए $bc \sin A = 2\Delta$.
साइन नियम के अनुसार,$\frac{a}{\sin A} = 2R$,जिसका अर्थ है $a = 2R \sin A$.
इन मानों को $\delta a$ के समीकरण में रखने पर: $\delta a = \frac{2\Delta \delta A}{2R \sin A} = \frac{\Delta \delta A}{R \sin A}$.
प्रतिशत त्रुटि $\frac{\delta a}{a} \times 100 = \frac{\Delta \delta A}{R \sin A \cdot 2R \sin A} \times 100 = \frac{\Delta \delta A}{2R^2 \sin^2 A} \times 100$ होगी।

(C) बेलन का आयतन $V = \pi r^2 h$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $r$ त्रिज्या है और $h$ ऊँचाई (पानी का स्तर) है।
दिया गया है कि $r = 3.5 \ ft = \frac{7}{2} \ ft$ और आयतन के परिवर्तन की दर $\frac{dV}{dt} = 1 \ ft^3/min$ है।
समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $\frac{dV}{dt} = \pi r^2 \frac{dh}{dt}$ प्राप्त होता है।
मान रखने पर: $1 = \pi \times (\frac{7}{2})^2 \times \frac{dh}{dt}$.
$1 = \frac{22}{7} \times \frac{49}{4} \times \frac{dh}{dt}$.
$1 = \frac{11 \times 7}{2} \times \frac{dh}{dt} = \frac{77}{2} \times \frac{dh}{dt}$.
अतः,$\frac{dh}{dt} = \frac{2}{77} \ ft/min$.

(A) दिया गया है $y = f(x) = 2x^2 - 3x + 4$,$x = 5$,और $\delta x = 0.02$।
सबसे पहले,वास्तविक त्रुटि $\delta y = f(x + \delta x) - f(x)$ की गणना करें:
$\delta y = f(5.02) - f(5) = [2(5.02)^2 - 3(5.02) + 4] - [2(5)^2 - 3(5) + 4]$
$= [2(25.2004) - 15.06 + 4] - [50 - 15 + 4]$
$= [50.4008 - 15.06 + 4] - 39 = 39.3408 - 39 = 0.3408$।
इसके बाद,अवकलज $dy = f'(x) \cdot dx$ की गणना करें:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(2x^2 - 3x + 4) = 4x - 3$।
$x = 5$ पर,$f'(5) = 4(5) - 3 = 17$।
$dy = 17 \times 0.02 = 0.34$।
अंत में,अंतर $\delta y - dy = 0.3408 - 0.34 = 0.0008$ है।

(A) फलन $f(x) = \log \left(\frac{1+x}{1-x}\right) - 2x - \frac{x^3}{1-x^2}$ का प्रांत $\frac{1+x}{1-x} > 0$ द्वारा निर्धारित होता है,जिसका अर्थ है $x \in (-1, 1)$।
सबसे पहले,हम $f(x)$ के व्यंजक को सरल करते हैं:
$f(x) = \log(1+x) - \log(1-x) - 2x - \frac{x^3}{1-x^2}$।
अब,हम अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं:
$f'(x) = \frac{1}{1+x} + \frac{1}{1-x} - 2 - \frac{d}{dx} \left( \frac{x^3}{1-x^2} \right)$।
$f'(x) = \frac{(1-x) + (1+x)}{1-x^2} - 2 - \frac{3x^2(1-x^2) - x^3(-2x)}{(1-x^2)^2}$।
$f'(x) = \frac{2}{1-x^2} - 2 - \frac{3x^2 - 3x^4 + 2x^4}{(1-x^2)^2}$।
$f'(x) = \frac{2(1-x^2) - 2(1-x^2)^2 - (3x^2 - x^4)}{(1-x^2)^2}$।
$f'(x) = \frac{2 - 2x^2 - 2(1 - 2x^2 + x^4) - 3x^2 + x^4}{(1-x^2)^2}$।
$f'(x) = \frac{2 - 2x^2 - 2 + 4x^2 - 2x^4 - 3x^2 + x^4}{(1-x^2)^2} = \frac{-x^4 - x^2}{(1-x^2)^2} = -\frac{x^2(x^2+1)}{(1-x^2)^2}$।
चूँकि सभी $x \in (-1, 1) \setminus \{0\}$ के लिए $x^2(x^2+1) > 0$ और $(1-x^2)^2 > 0$ है,इसलिए सभी $x \in (-1, 1)$ के लिए $f'(x) < 0$ है।
अतः,फलन पूरे अंतराल $(-1, 1)$ में ह्रासमान है।
यहाँ,$a = -1$ और $b = 1$,इसलिए $\frac{a}{b} = \frac{-1}{1} = -1$।

(A) दिया गया फलन $f(x) = kx^3 - 3x^2 - 12x + 8$ है।
$f(x)$ के सभी $x \in R$ के लिए निरंतर ह्रासमान होने के लिए,$f'(x) < 0$ होना चाहिए।
अवकलन करने पर: $f'(x) = 3kx^2 - 6x - 12$.
किसी द्विघात व्यंजक $ax^2 + bx + c$ के सभी $x$ के लिए ऋणात्मक होने हेतु $a < 0$ और विविक्तकर (discriminant) $D < 0$ होना आवश्यक है।
यहाँ,$a = 3k$,$b = -6$,और $c = -12$ है।
शर्त $1$: $3k < 0 \Rightarrow k < 0$.
शर्त $2$: $D = b^2 - 4ac < 0$.
$(-6)^2 - 4(3k)(-12) < 0$.
$36 + 144k < 0$.
$144k < -36$.
$k < -\frac{36}{144} \Rightarrow k < -\frac{1}{4}$.
अतः,सही विकल्प $k < -\frac{1}{4}$ है।

(D) दिया गया है $f(x) = (2x-1)(3x+2)(4x-3)$.
सबसे पहले,रोले के प्रमेय की शर्तों की जाँच करें:
$f(\frac{1}{2}) = (2(\frac{1}{2})-1)(...) = 0 \times (...) = 0$.
$f(\frac{3}{4}) = (...)(4(\frac{3}{4})-3) = (...)(3-3) = 0$.
चूंकि $f(\frac{1}{2}) = f(\frac{3}{4}) = 0$ और $f(x)$ एक बहुपद है,यह सतत और अवकलनीय है।
$f(x)$ का विस्तार करने पर:
$f(x) = (6x^2 + x - 2)(4x-3) = 24x^3 - 14x^2 - 11x + 6$.
अब,$f'(x)$ ज्ञात करें:
$f'(x) = 72x^2 - 28x - 11$.
$f'(c) = 0$ रखने पर:
$72c^2 - 28c - 11 = 0$.
द्विघात सूत्र $c = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर:
$c = \frac{28 \pm \sqrt{784 + 3168}}{144} = \frac{28 \pm \sqrt{3952}}{144} = \frac{7 \pm \sqrt{247}}{36}$.
चूंकि $c \in [0.5, 0.75]$ है,इसलिए केवल $c = \frac{7+\sqrt{247}}{36}$ मान्य है।

(B) दिया गया है $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + 40$.
चूंकि $-5$ और $4$ समीकरण $f(x) = 0$ के मूल हैं,इसलिए $f(-5) = 0$ और $f(4) = 0$ है।
$f(-5) = (-5)^3 + a(-5)^2 + b(-5) + 40 = -125 + 25a - 5b + 40 = 25a - 5b - 85 = 0 \Rightarrow 5a - b = 17$ $(i)$.
$f(4) = (4)^3 + a(4)^2 + b(4) + 40 = 64 + 16a + 4b + 40 = 16a + 4b + 104 = 0 \Rightarrow 4a + b = -26$ $(ii)$.
$(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर,$9a = -9 \Rightarrow a = -1$ प्राप्त होता है।
$(i)$ में $a = -1$ रखने पर,$5(-1) - b = 17 \Rightarrow -5 - b = 17 \Rightarrow b = -22$ प्राप्त होता है।
अतः,$f(x) = x^3 - x^2 - 22x + 40$.
रोले के प्रमेय के अनुसार,एक ऐसा $c \in (-5, 4)$ मौजूद है जिसके लिए $f'(c) = 0$ है।
$f'(x) = 3x^2 - 2x - 22$.
$f'(c) = 0$ रखने पर,$3c^2 - 2c - 22 = 0$ प्राप्त होता है।
द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर $c = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(3)(-22)}}{2(3)} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 264}}{6} = \frac{2 \pm \sqrt{268}}{6} = \frac{2 \pm 2\sqrt{67}}{6} = \frac{1 \pm \sqrt{67}}{3}$.
चूंकि $c \in (-5, 4)$,मान $\frac{1+\sqrt{67}}{3} \approx 3.06$ अंतराल के भीतर है।
अतः,$c$ का एक मान $\frac{1+\sqrt{67}}{3}$ है।

(D) अंतराल $[0, 1]$ पर रोले का प्रमेय लागू होने के लिए,फलन $f(x)$ को $[0, 1]$ पर सतत होना चाहिए।
चूंकि $f(x)$,$x \in (0, 1]$ के लिए सतत है,हम $x = 0$ पर सांतत्य की जांच करते हैं:
$\lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0) = 0$.
$\lim_{x \to 0^+} x^p \log x = 0$.
एल-हॉस्पिटल नियम का उपयोग करने पर:
$\lim_{x \to 0^+} \frac{\log x}{x^{-p}} = \lim_{x \to 0^+} \frac{1/x}{-p x^{-p-1}} = \lim_{x \to 0^+} \frac{x^p}{-p}$.
यह सीमा $0$ केवल तभी होती है जब $p > 0$ हो।
साथ ही,रोले के प्रमेय के लिए,$f(0) = f(1)$ होना चाहिए।
$f(0) = 0$ और $f(1) = 1^p \log 1 = 0$.
अतः,$f(0) = f(1) = 0$ किसी भी $p > 0$ के लिए संतुष्ट होता है।
दिए गए विकल्पों में से,$p = 1$ ही एकमात्र मान है जो $p > 0$ की शर्त को पूरा करता है।

(B) माना $f(x) = 4+3x-7x^2$.
अवकलन करने पर,$f'(x) = 3-14x$. $f'(x) = 0$ रखने पर,हमें $x = \frac{3}{14} = \alpha$ प्राप्त होता है।
चूंकि $f''(x) = -14 < 0$,$f(x)$ अपना अधिकतम मान $x = \alpha = \frac{3}{14}$ पर प्राप्त करता है।
अधिकतम मान $M = f(\frac{3}{14}) = 4 + 3(\frac{3}{14}) - 7(\frac{3}{14})^2 = 4 + \frac{9}{14} - \frac{63}{196} = 4 + \frac{126-63}{196} = 4 + \frac{63}{196} = 4 + \frac{9}{28} = \frac{112+9}{28} = \frac{121}{28}$.
अब,माना $g(x) = 5x^2-2x+1$.
अवकलन करने पर,$g'(x) = 10x-2$. $g'(x) = 0$ रखने पर,हमें $x = \frac{1}{5} = \beta$ प्राप्त होता है।
चूंकि $g''(x) = 10 > 0$,$g(x)$ अपना न्यूनतम मान $x = \beta = \frac{1}{5}$ पर प्राप्त करता है।
न्यूनतम मान $m = g(\frac{1}{5}) = 5(\frac{1}{5})^2 - 2(\frac{1}{5}) + 1 = \frac{1}{5} - \frac{2}{5} + 1 = \frac{4}{5}$.
अंत में,$\frac{28(M-\alpha)}{5(m+\beta)} = \frac{28(\frac{121}{28} - \frac{3}{14})}{5(\frac{4}{5} + \frac{1}{5})} = \frac{28(\frac{121-6}{28})}{5(1)} = \frac{115}{5} = 23$.

(C) दिया गया है $x+y=24$,इसलिए $y=24-x$.
मान लीजिए $P = x^3 y^5 = x^3(24-x)^5$.
अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए,हम $P$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$\frac{dP}{dx} = 3x^2(24-x)^5 + x^3 \cdot 5(24-x)^4(-1) = 0$.
$x^2(24-x)^4 [3(24-x) - 5x] = 0$.
$x^2(24-x)^4 [72 - 3x - 5x] = 0$.
$x^2(24-x)^4 (72 - 8x) = 0$.
चूंकि $x$ और $y$ धनात्मक पूर्णांक हैं,इसलिए $x \neq 0$ और $x \neq 24$.
अतः,$72 - 8x = 0 \Rightarrow x = 9$.
तब $y = 24 - 9 = 15$.
अंत में,$x^2 + y^2 = 9^2 + 15^2 = 81 + 225 = 306$.

(C) माना $y = \frac{x^2-x+1}{x^2+x+1}$.
तब $y(x^2+x+1) = x^2-x+1$,जिसका अर्थ है $(y-1)x^2 + (y+1)x + (y-1) = 0$.
$x$ के वास्तविक होने के लिए,विविक्तकर $D \ge 0$ होना चाहिए।
$D = (y+1)^2 - 4(y-1)^2 \ge 0$.
$(y+1-2(y-1))(y+1+2(y-1)) \ge 0$.
$(-y+3)(3y-1) \ge 0$.
$(y-3)(3y-1) \le 0$.
अतः,$\frac{1}{3} \le y \le 3$.
अधिकतम मान $3$ है और न्यूनतम मान $\frac{1}{3}$ है।
अधिकतम और न्यूनतम मानों का योग $3 + \frac{1}{3} = \frac{10}{3}$ है।

(A) अंतराल $[-3,0]$ पर दिया गया फलन $f(x)=2x^3+9x^2+12x+1$ है।
सबसे पहले,अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करें:
$f'(x)=6x^2+18x+12=6(x^2+3x+2)=6(x+1)(x+2)$.
$f'(x)=0$ रखने पर,हमें क्रांतिक बिंदु $x=-1$ और $x=-2$ प्राप्त होते हैं।
अब,क्रांतिक बिंदुओं और अंतराल $[-3,0]$ के अंत बिंदुओं पर $f(x)$ का मान ज्ञात करें:
$f(-3)=2(-27)+9(9)+12(-3)+1 = -54+81-36+1 = -8$.
$f(-2)=2(-8)+9(4)+12(-2)+1 = -16+36-24+1 = -3$.
$f(-1)=2(-1)+9(1)+12(-1)+1 = -2+9-12+1 = -4$.
$f(0)=2(0)+9(0)+12(0)+1 = 1$.
इन मानों की तुलना करने पर,निरपेक्ष न्यूनतम $m = -8$ और निरपेक्ष अधिकतम $M = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,$m+M = -8+1 = -7$.

(B) माना $I = \int (1+x-x^{-1}) e^{x+x^{-1}} dx$.
हम समाकलन को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$I = \int e^{x+x^{-1}} dx + \int x(1-x^{-2}) e^{x+x^{-1}} dx$.
ध्यान दें कि $e^{x+x^{-1}}$ का अवकलन $(1-x^{-2}) e^{x+x^{-1}}$ है।
खंडशः समाकलन (integration by parts) के सूत्र $\int u dv = uv - \int v du$ का उपयोग करते हुए,$u = x$ और $dv = (1-x^{-2}) e^{x+x^{-1}} dx$ लें।
तब $du = dx$ और $v = e^{x+x^{-1}}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\int x(1-x^{-2}) e^{x+x^{-1}} dx = x e^{x+x^{-1}} - \int e^{x+x^{-1}} dx$.
इस मान को $I$ के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int e^{x+x^{-1}} dx + x e^{x+x^{-1}} - \int e^{x+x^{-1}} dx + c = x e^{x+x^{-1}} + c$.
इसलिए,$f(x) = x e^{x+x^{-1}}$.
अब,$f(1) - f(-1)$ की गणना करें:
$f(1) = 1 \cdot e^{1+1} = e^2$.
$f(-1) = -1 \cdot e^{-1-1} = -e^{-2}$.
$f(1) - f(-1) = e^2 - (-e^{-2}) = e^2 + e^{-2}$.

(A) माना $I = \int \frac{2 \cos 3 x-3 \sin 3 x}{\cos 3 x+2 \sin 3 x} d x$.
अंश को $A(\text{हर}) + B(\frac{d}{dx}(\text{हर}))$ के रूप में व्यक्त करते हैं।
माना $2 \cos 3 x-3 \sin 3 x = A(\cos 3 x+2 \sin 3 x) + B(-3 \sin 3 x + 6 \cos 3 x)$.
$\cos 3 x$ और $\sin 3 x$ के गुणांकों की तुलना करने पर:
$A + 6B = 2$ और $2A - 3B = -3$.
दूसरे समीकरण को $2$ से गुणा करने पर: $4A - 6B = -6$.
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $5A = -4 \Rightarrow A = -\frac{4}{5}$.
$A$ का मान $A + 6B = 2$ में रखने पर: $-\frac{4}{5} + 6B = 2 \Rightarrow 6B = \frac{14}{5} \Rightarrow B = \frac{7}{15}$.
अतः,$I = \int \left( A + B \frac{-3 \sin 3 x + 6 \cos 3 x}{\cos 3 x+2 \sin 3 x} \right) d x$.
$I = A \int 1 dx + B \int \frac{d(\cos 3 x+2 \sin 3 x)}{\cos 3 x+2 \sin 3 x}$.
$I = -\frac{4}{5} x + \frac{7}{15} \log |\cos 3 x+2 \sin 3 x| + c$.

(D) माना $I = \int \frac{dx}{9 \cos^2 2x + 16 \sin^2 2x}$ है।
अंश और हर को $\cos^2 2x$ से विभाजित करने पर:
$I = \int \frac{\sec^2 2x dx}{9 + 16 \tan^2 2x}$.
माना $u = \tan 2x$,तब $du = 2 \sec^2 2x dx$,जिसका अर्थ है कि $\sec^2 2x dx = \frac{du}{2}$ है।
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int \frac{du/2}{9 + 16u^2} = \frac{1}{2} \int \frac{du}{9 + 16u^2}$.
हर से $16$ बाहर निकालने पर:
$I = \frac{1}{2 \times 16} \int \frac{du}{\frac{9}{16} + u^2} = \frac{1}{32} \int \frac{du}{(\frac{3}{4})^2 + u^2}$.
सूत्र $\int \frac{dx}{a^2 + x^2} = \frac{1}{a} \tan^{-1}(\frac{x}{a}) + C$ का उपयोग करने पर:
$I = \frac{1}{32} \times \frac{1}{3/4} \tan^{-1}(\frac{u}{3/4}) + C = \frac{1}{32} \times \frac{4}{3} \tan^{-1}(\frac{4u}{3}) + C$.
$I = \frac{1}{24} \tan^{-1}(\frac{4}{3} \tan 2x) + C$.

(B) माना $I = \int (\log x)^3 dx$ है।
$\log x = t$ प्रतिस्थापित करने पर,$x = e^t$ और $dx = e^t dt$ प्राप्त होता है।
अतः,$I = \int t^3 e^t dt$।
खंडशः समाकलन के सूत्र $\int e^t f(t) dt = e^t [f(t) - f'(t) + f''(t) - f'''(t) + \dots]$ का उपयोग करने पर,जहाँ $f(t) = t^3$:
$f'(t) = 3t^2$,$f''(t) = 6t$,और $f'''(t) = 6$।
इसलिए,$I = e^t [t^3 - 3t^2 + 6t - 6] + C$।
$t = \log x$ और $e^t = x$ का मान वापस रखने पर:
$I = x [(\log x)^3 - 3(\log x)^2 + 6 \log x - 6] + C$।

(D) माना $I = \int \frac{(\sin^4 x + 2 \cos^2 x - 1) \cos x}{(1 + \sin x)^6} dx$.
$\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ का उपयोग करने पर,अंश $\sin^4 x + 2(1 - \sin^2 x) - 1 = \sin^4 x - 2 \sin^2 x + 1 = (1 - \sin^2 x)^2 = \cos^4 x$ हो जाता है।
अतः,$I = \int \frac{\cos^4 x \cdot \cos x}{(1 + \sin x)^6} dx = \int \frac{\cos^5 x}{(1 + \sin x)^6} dx$.
माना $u = 1 + \sin x$,तब $du = \cos x dx$.
प्रतिस्थापन करने पर,$I = \int \frac{(1 - \sin x)^2}{(1 + \sin x)^4} \cos x dx = \int \frac{(1 - t)^2}{(1 + t)^4} dt$ जहाँ $t = \sin x$.
$z = \frac{1 - t}{1 + t}$ लेने पर,$dz = \frac{-2}{(1 + t)^2} dt$.
अतः $I = \int z^2 (-\frac{1}{2} dz) = -\frac{z^3}{6} + C = -\frac{1}{6} \left( \frac{1 - \sin x}{1 + \sin x} \right)^3 + C$.
इसे सरल करने पर,$I = -\frac{1}{6} \frac{(1 - \sin x)^3}{(1 + \sin x)^3} \cdot \frac{(1 + \sin x)^3}{(1 + \sin x)^3} = -\frac{1}{6} \frac{(1 - \sin^2 x)^3}{(1 + \sin x)^6} = -\frac{\cos^6 x}{6(1 + \sin x)^6} + C$.

(C) माना $I = \int \frac{4 \tan^4 x + 3 \tan^2 x - 1}{\tan^2 x + 4} dx$.
सबसे पहले,अंश का गुणनखंड करने पर: $4 \tan^4 x + 3 \tan^2 x - 1 = (4 \tan^2 x - 1)(\tan^2 x + 1)$.
चूंकि $1 + \tan^2 x = \sec^2 x$,इसलिए $I = \int \frac{(4 \tan^2 x - 1) \sec^2 x}{\tan^2 x + 4} dx$.
माना $u = \tan x$,तो $du = \sec^2 x dx$.
समाकलन $I = \int \frac{4u^2 - 1}{u^2 + 4} du$ हो जाता है।
अंश को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $I = \int \frac{4(u^2 + 4) - 17}{u^2 + 4} du$.
$I = \int \left( 4 - \frac{17}{u^2 + 2^2} \right) du$.
समाकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है $I = 4u - 17 \cdot \frac{1}{2} \tan^{-1} \left( \frac{u}{2} \right) + C$.
$u = \tan x$ प्रतिस्थापित करने पर,$I = 4 \tan x - \frac{17}{2} \tan^{-1} \left( \frac{\tan x}{2} \right) + C$.

(D) माना $I = \int \sqrt{4 \cos ^2 x - 5 \sin ^2 x} \cos x \, dx$.
सर्वसमिका $\cos ^2 x = 1 - \sin ^2 x$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \int \sqrt{4(1 - \sin ^2 x) - 5 \sin ^2 x} \cos x \, dx = \int \sqrt{4 - 9 \sin ^2 x} \cos x \, dx$.
माना $\sin x = t$,तब $\cos x \, dx = dt$.
$I = \int \sqrt{4 - 9t^2} \, dt = \int \sqrt{2^2 - (3t)^2} \, dt$.
सूत्र $\int \sqrt{a^2 - u^2} \, du = \frac{u}{2} \sqrt{a^2 - u^2} + \frac{a^2}{2} \sin ^{-1}\left(\frac{u}{a}\right) + C$ का उपयोग करने पर,जहाँ $u = 3t$ और $du = 3 \, dt$ (अतः $dt = \frac{du}{3}$):
$I = \frac{1}{3} \int \sqrt{2^2 - u^2} \, du = \frac{1}{3} \left[ \frac{u}{2} \sqrt{4 - u^2} + \frac{4}{2} \sin ^{-1}\left(\frac{u}{2}\right) \right] + C$.
$u = 3 \sin x$ प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \frac{1}{3} \left[ \frac{3 \sin x}{2} \sqrt{4 - 9 \sin ^2 x} + 2 \sin ^{-1}\left(\frac{3 \sin x}{2}\right) \right] + C$.
$I = \frac{1}{2} \sin x \sqrt{4 - 9 \sin ^2 x} + \frac{2}{3} \sin ^{-1}\left(\frac{3 \sin x}{2}\right) + C$.