TS EAMCET 2024 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(D) परवलय $y^2=8x$ (जहाँ $4a=8$,अतः $a=2$) की स्पर्शरेखा का समीकरण $y = mx + \frac{2}{m}$ है।
यह रेखा वृत्त $x^2+y^2=2$ (त्रिज्या $r=\sqrt{2}$) की भी स्पर्शरेखा है।
केंद्र $(0,0)$ से रेखा $mx - y + \frac{2}{m} = 0$ की लंबवत दूरी त्रिज्या $\sqrt{2}$ के बराबर होनी चाहिए।
$\frac{|\frac{2}{m}|}{\sqrt{m^2+1}} = \sqrt{2}$ $\Rightarrow \frac{4}{m^2} = 2(m^2+1)$ $\Rightarrow m^4+m^2-2=0$.
माना $t = m^2$,तब $t^2+t-2=0 \Rightarrow (t+2)(t-1)=0$। चूँकि $m^2 > 0$,इसलिए $m^2=1$,अतः $m = \pm 1$।
स्पर्शरेखा का समीकरण $y = mx + \frac{2}{m}$ है। $m=1$ के लिए,$y = x + 2 \Rightarrow x - y + 2 = 0$। यहाँ $a=1, b=-1$,अतः $-\frac{a}{b} = 1 > 0$।
$m=-1$ के लिए,$y = -x - 2 \Rightarrow x + y + 2 = 0$। यहाँ $a=1, b=1$,अतः $-\frac{a}{b} = -1 < 0$।
अतः,हम $a=1$ और $b=-1$ लेते हैं।
तब $3a^2+2b+1 = 3(1)^2 + 2(-1) + 1 = 3 - 2 + 1 = 2$।

(D) परवलय का समीकरण $y^2=4ax$ है,जहाँ $a=1$ है।
परवलय $y^2=4ax$ के बिंदु $(at^2, 2at)$ पर अभिलंब का समीकरण $y = -tx + 2at + at^3$ होता है।
यदि यह अभिलंब $(9,6)$ से गुजरता है,तो $6 = -9t + 2(1)t + (1)t^3$ होगा।
$6 = -7t + t^3 \Rightarrow t^3 - 7t - 6 = 0$।
मानों की जाँच करने पर,$t=-1$ एक मूल है: $(-1)^3 - 7(-1) - 6 = -1 + 7 - 6 = 0$।
$(t+1)$ से विभाजित करने पर,हमें $(t+1)(t^2 - t - 6) = 0 \Rightarrow (t+1)(t-3)(t+2) = 0$ प्राप्त होता है।
मूल $t = -1, 3, -2$ हैं।
चूँकि $t$ के लिए $3$ भिन्न वास्तविक मान हैं,इसलिए बिंदु $(9,6)$ से परवलय पर $3$ भिन्न अभिलंब खींचे जा सकते हैं।

(D) परवलय का समीकरण $y^2 = 9x$ है। $y^2 = 4ax$ से तुलना करने पर,$4a = 9$,अतः $a = \frac{9}{4}$.
बिंदु $P(9, 9)$ पर,प्राचल $t_1$ मान लें। तब $2at_1 = 9$ $\Rightarrow 2(\frac{9}{4})t_1 = 9$ $\Rightarrow t_1 = 2$.
$t_1$ पर अभिलंब परवलय को $t_2$ पर मिलता है,जहाँ $t_2 = -t_1 - \frac{2}{t_1} = -2 - \frac{2}{2} = -3$.
$Q(a, b)$ के निर्देशांक $(at_2^2, 2at_2) = (\frac{9}{4} \times (-3)^2, 2 \times \frac{9}{4} \times (-3)) = (\frac{81}{4}, -\frac{27}{2})$ हैं।
अतः,$a = \frac{81}{4}$ और $b = -\frac{27}{2}$.
$2a + b = 2(\frac{81}{4}) + (-\frac{27}{2}) = \frac{81}{2} - \frac{27}{2} = \frac{54}{2} = 27$.

(A) दिया गया समीकरण: $9x^2 + 4y^2 - 18x - 16y - 11 = 0$
पदों को व्यवस्थित करने पर: $9(x-1)^2 + 4(y-2)^2 = 36$
मानक रूप: $\frac{(x-1)^2}{4} + \frac{(y-2)^2}{9} = 1$
यहाँ,$a^2 = 4$ और $b^2 = 9$ है। दीर्घ अक्ष ऊर्ध्वाधर है।
उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 - \frac{4}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}$
केंद्र $(h, k) = (1, 2)$ है।
नियता के समीकरण: $y - k = \pm \frac{b}{e}$
$y - 2 = \pm \frac{3}{\sqrt{5}/3} = \pm \frac{9}{\sqrt{5}}$
$y = 2 \pm \frac{9}{\sqrt{5}}$

(B) दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ है,जहाँ $a^2 = 25$,इसलिए $a = 5$.
नाभियों के बीच की दूरी $2ae = 8$ दी गई है,इसलिए $2(5)e = 8$,जिससे $e = \frac{4}{5}$ प्राप्त होता है।
ऋणात्मक $X$-अक्ष पर नाभि $S^{\prime}$ के निर्देशांक $(-ae, 0) = (-4, 0)$ हैं।
दीर्घवृत्त पर बिंदु $P$ को $(a \cos \theta, b \sin \theta) = (5 \cos \theta, b \sin \theta)$ द्वारा दर्शाया जाता है।
नाभीय दूरी $S^{\prime}P$ का मान $a + ex$ होता है।
अतः,$S^{\prime}P = 5 + 5(\frac{4}{5}) \cos \theta = 5 + 4 \cos \theta$.
चूँकि $S^{\prime}P = 7$ दिया गया है,इसलिए $5 + 4 \cos \theta = 7$.
$4 \cos \theta = 2 \Rightarrow \cos \theta = \frac{1}{2}$.
अतः,$\theta = \frac{\pi}{3}$.

(A) केंद्र से नाभि की दूरी $ae = \sqrt{5}$ है,इसलिए $a^2e^2 = 5$।
चूंकि $e^2 = 1 - \frac{b^2}{a^2}$,हमारे पास $a^2(1 - \frac{b^2}{a^2}) = 5$ है,जिसका अर्थ है $a^2 - b^2 = 5$,या $b^2 = a^2 - 5$।
नाभिलंब की लंबाई $\frac{2b^2}{a} = \frac{8}{3}$ है।
$b^2 = a^2 - 5$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{2(a^2 - 5)}{a} = \frac{8}{3}$ प्राप्त होता है।
$6(a^2 - 5) = 8a \Rightarrow 3a^2 - 4a - 15 = 0$।
द्विघात समीकरण को हल करने पर: $3a^2 - 9a + 5a - 15 = 0 \Rightarrow 3a(a - 3) + 5(a - 3) = 0$।
चूंकि $a > 0$,इसलिए $a = 3$।
तब $b^2 = 3^2 - 5 = 4$,अतः $b = 2$।
अंत में,$\sqrt{a^2 + 6ab + b^2} = \sqrt{3^2 + 6(3)(2) + 2^2} = \sqrt{9 + 36 + 4} = \sqrt{49} = 7$।

(B) दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ के नाभिलंब के सिरे $(\pm ae, \frac{b^2}{a})$ हैं।
चूंकि ये बिंदु परवलय $x^2 + 2ay - 4 = 0$ पर स्थित हैं,इसलिए $x = ae$ और $y = \frac{b^2}{a}$ को समीकरण में रखने पर:
$(ae)^2 + 2a(\frac{b^2}{a}) - 4 = 0$
$a^2e^2 + 2b^2 - 4 = 0$
संबंध $b^2 = a^2(1 - e^2)$ का उपयोग करने पर:
$a^2e^2 + 2a^2(1 - e^2) - 4 = 0$
$2a^2 - a^2e^2 = 4$
$a^2 = \frac{4}{2 - e^2}$ और $b^2 = \frac{4(1 - e^2)}{2 - e^2}$ प्राप्त होता है।
$a^2 + b^2 = \frac{4 + 4 - 4e^2}{2 - e^2} = 4$।
अतः,बिंदु $(a, b)$ समीकरण $x^2 + y^2 = 4$ को संतुष्ट करते हैं।

(A) नाभिलंब की लंबाई $\frac{2b^2}{a} = 4$ द्वारा दी जाती है,जिसका अर्थ है $b^2 = 2a$।
नाभियों के बीच की दूरी $2ae = 4\sqrt{2}$ है,इसलिए $ae = 2\sqrt{2}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $a^2e^2 = 8$ प्राप्त होता है।
चूंकि $e^2 = 1 - \frac{b^2}{a^2}$,हमारे पास $a^2(1 - \frac{b^2}{a^2}) = 8$ है,जो $a^2 - b^2 = 8$ में सरल हो जाता है।
$b^2 = 2a$ को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $a^2 - 2a - 8 = 0$ प्राप्त होता है।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर,$(a - 4)(a + 2) = 0$। चूंकि $a > 0$,इसलिए $a = 4$ है।
तब $b^2 = 2(4) = 8$।
अंत में,$a^2 + b^2 = 4^2 + 8 = 16 + 8 = 24$।

(C) नाभि $S=(-1, 1)$ है और नियता $2x-3y+1=0$ है,उत्केंद्रता $e=\frac{1}{2}$ है।
दीर्घवृत्त का केंद्र $(a, b)$ दीर्घवृत्त के अक्ष पर स्थित होता है,जो नाभि से गुजरता है और नियता के लंबवत होता है।
अक्ष का समीकरण $3x+2y+1=0$ प्राप्त होता है।
अतः,$3a+2b+1=0 \Rightarrow 3a+2b=-1$.

(A) माना नाभि $S(-1, -1)$ है और नियता $L: x + y + 1 = 0$ है। उत्केन्द्रता $e = \frac{1}{\sqrt{2}}$ है।
नाभि और नियता के बीच की दूरी $d = \frac{|-1 - 1 + 1|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ है।
दीर्घवृत्त के लिए,नाभि और नियता के बीच की दूरी $\frac{a}{e} - ae = d$ होती है।
मान रखने पर: $\frac{a}{1/\sqrt{2}} - a(\frac{1}{\sqrt{2}}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
$a\sqrt{2} - \frac{a}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
$\sqrt{2}$ से गुणा करने पर: $2a - a = 1$,जिससे $a = 1$ प्राप्त होता है।
दीर्घ अक्ष की लंबाई $2a = 2(1) = 2$ है।

(D) चूंकि बिंदु $(1,0), (0,2),$ और $(-1,-1)$ परवलय $ax^2 + bx + cy + d = 0$ पर स्थित हैं,हमारे पास है:
$a(1)^2 + b(1) + c(0) + d = 0 \Rightarrow a + b + d = 0$ ... $(i)$
$a(0)^2 + b(0) + c(2) + d = 0 \Rightarrow 2c + d = 0$ ... $(ii)$
$a(-1)^2 + b(-1) + c(-1) + d = 0 \Rightarrow a - b - c + d = 0$ ... $(iii)$
$(i)$ में से $(iii)$ को घटाने पर: $(a + b + d) - (a - b - c + d) = 0$ $\Rightarrow 2b + c = 0$ $\Rightarrow c = -2b$.
$(ii)$ से,$d = -2c = -2(-2b) = 4b$.
$(i)$ से,$a = -b - d = -b - 4b = -5b$.
अतः,$\frac{ad}{bc} = \frac{(-5b)(4b)}{b(-2b)} = \frac{-20b^2}{-2b^2} = 10$.

(D) दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ के अभिलंब का समीकरण $y = mx \pm \frac{m(a^2 - b^2)}{\sqrt{a^2 + b^2m^2}}$ है।
दिए गए अभिलंब समीकरण $6x - 5y - 20 = 0$ को $y = \frac{6}{5}x - 4$ के रूप में लिखा जा सकता है। अतः,$m = \frac{6}{5}$ और अचर पद $-4$ है।
दीर्घवृत्त $x^2 + 3y^2 = k$ के लिए,$\frac{x^2}{k} + \frac{y^2}{k/3} = 1$,इसलिए $a^2 = k$ और $b^2 = \frac{k}{3}$ है।
अभिलंब समीकरण में मान रखने पर: $\frac{m(a^2 - b^2)}{\sqrt{a^2 + b^2m^2}} = 4$.
$\frac{\frac{6}{5}(k - \frac{k}{3})}{\sqrt{k + \frac{k}{3} \cdot (\frac{6}{5})^2}} = 4$.
$\frac{\frac{4k}{5}}{\sqrt{k(1 + \frac{12}{25})}} = 4 \Rightarrow \frac{4\sqrt{k}}{\sqrt{37}} = 4$.
अतः,$\sqrt{k} = \sqrt{37} \Rightarrow k = 37$.

(B) दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{8} + \frac{y^2}{2} = 1$ है।
बिंदु $(x_1, y_1)$ पर अभिलंब का समीकरण $\frac{a^2 x}{x_1} - \frac{b^2 y}{y_1} = a^2 - b^2$ होता है।
$(x_1, y_1) = (2, -1)$,$a^2 = 8$ और $b^2 = 2$ रखने पर:
$\frac{8x}{2} - \frac{2y}{-1} = 8 - 2
$ $\Rightarrow 4x + 2y = 6
$ $\Rightarrow y = 3 - 2x$.
$y = 3 - 2x$ को दीर्घवृत्त के समीकरण $x^2 + 4y^2 = 8$ में रखने पर:
$x^2 + 4(3 - 2x)^2 = 8
\Rightarrow 17x^2 - 48x + 28 = 0$.
चूंकि $(2, -1)$ दीर्घवृत्त पर एक बिंदु है,$x = 2$ इस द्विघात समीकरण का एक मूल है।
माना दूसरा मूल $a$ है। मूलों के गुणनफल के सूत्र $x_1 x_2 = \frac{c}{A}$ का उपयोग करने पर:
$2 \times a = \frac{28}{17}
$ $\Rightarrow a = \frac{14}{17}
$ $\Rightarrow 17a = 14$.

(B) माना केंद्रक $(x, y)$ है। केंद्रक के निर्देशांक इस प्रकार हैं:
$(x, y) = \left(\frac{a + a \cos t + b \sin t}{3}, \frac{0 + a \sin t - b \cos t}{3}\right)$
इसका अर्थ है:
$3x = a + a \cos t + b \sin t \Rightarrow 3x - a = a \cos t + b \sin t$
$3y = a \sin t - b \cos t$
इन दोनों समीकरणों का वर्ग करके जोड़ने पर:
$(3x - a)^2 + (3y)^2 = (a \cos t + b \sin t)^2 + (a \sin t - b \cos t)^2$
$9x^2 + a^2 - 6ax + 9y^2 = a^2(\cos^2 t + \sin^2 t) + b^2(\sin^2 t + \cos^2 t)$
$9x^2 + 9y^2 - 6ax + a^2 = a^2 + b^2$
$9x^2 + 9y^2 - 6ax = b^2$
दिए गए बिंदुपथ $9x^2 + 9y^2 - 6x = 49$ के साथ तुलना करने पर,हमें $a = 1$ और $b^2 = 49$ प्राप्त होता है,इसलिए $b = 7$।
रेखा का समीकरण $\frac{x}{1} + \frac{y}{7} = 1$ है।
अंतःखंड $x = 1$ और $y = 7$ हैं।
निर्देशांक अक्षों के साथ बने त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times 1 \times 7 = \frac{7}{2}$ है।

(B) दीर्घवृत्त का दिया गया समीकरण $3x^2 + 4y^2 = 12$ है,जिसे $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यहाँ,$a^2 = 4$ और $b^2 = 3$,इसलिए $a = 2$ और $b = \sqrt{3}$ है।
उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{3}{4}} = \frac{1}{2}$ है।
तीसरे चतुर्थांश में नाभिलंब के सिरे के निर्देशांक $(-ae, -\frac{b^2}{a}) = (-2 \times \frac{1}{2}, -\frac{3}{2}) = (-1, -\frac{3}{2})$ हैं।
दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ पर बिंदु $(x_1, y_1)$ पर अभिलंब का समीकरण $\frac{a^2x}{x_1} - \frac{b^2y}{y_1} = a^2 - b^2$ है।
$(x_1, y_1) = (-1, -\frac{3}{2})$,$a^2 = 4$,और $b^2 = 3$ रखने पर:
$\frac{4x}{-1} - \frac{3y}{-3/2} = 4 - 3$ $\Rightarrow -4x + 2y = 1$ $\Rightarrow y = 2x + \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
$y = 2x + \frac{1}{2}$ को दीर्घवृत्त के समीकरण $3x^2 + 4y^2 = 12$ में रखने पर:
$3x^2 + 4(2x + \frac{1}{2})^2 = 12$ $\Rightarrow 3x^2 + 4(4x^2 + 2x + \frac{1}{4}) = 12$ $\Rightarrow 19x^2 + 8x - 11 = 0$ प्राप्त होता है।
गुणनखंड करने पर: $(x + 1)(19x - 11) = 0$।
हल $x = -1$ (बिंदु $L_1^{\prime}$) और $x = \frac{11}{19}$ (बिंदु $P$) हैं।
अतः,$a = \frac{11}{19}$।

(C) नाभि $S$ बिंदु $(ae, 0)$ है। दिया है $Q = (0, 1)$,अतः $S Q^2 = (ae)^2 + 1^2 = 26$,जिससे $a^2 e^2 = 25$,अर्थात $ae = 5$ प्राप्त होता है।
अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{9} = 1$ के लिए,$b^2 = 9$,अतः $e^2 = 1 + \frac{9}{a^2}$ है।
$e^2 = \frac{25}{a^2}$ प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{25}{a^2} = 1 + \frac{9}{a^2}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\frac{16}{a^2} = 1$,अतः $a = 4$ है।
तब $e = \frac{5}{4}$ है। बिंदु $P$ का निर्देशांक $(4 \sec \theta, 3 \tan \theta)$ है।
दूरी $SP = 6$ है। $SP^2 = (4 \sec \theta - 5)^2 + (3 \tan \theta - 0)^2 = 36$.
$16 \sec^2 \theta - 40 \sec \theta + 25 + 9 \tan^2 \theta = 36$.
$\tan^2 \theta = \sec^2 \theta - 1$ का उपयोग करने पर,$16 \sec^2 \theta - 40 \sec \theta + 25 + 9 \sec^2 \theta - 9 = 36$.
$25 \sec^2 \theta - 40 \sec \theta - 20 = 0$,जो सरल होकर $5 \sec^2 \theta - 8 \sec \theta - 4 = 0$ बनता है।
$(5 \sec \theta + 2)(\sec \theta - 2) = 0$.
चूंकि $|\sec \theta| \geq 1$,इसलिए $\sec \theta = 2$,जिससे $\theta = \frac{\pi}{3}$ प्राप्त होता है।

(D) अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ की दो लंबवत स्पर्श रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु का बिंदुपथ उसका निर्देशक वृत्त (director circle) होता है,जिसका समीकरण $x^2 + y^2 = a^2 - b^2$ है।
दिए गए अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{4} = 1$ के लिए,$b^2 = 4$ है।
अतः निर्देशक वृत्त $x^2 + y^2 = a^2 - 4$ है।
इसे दिए गए वृत्त $x^2 + y^2 = 5$ के साथ तुलना करने पर,$a^2 - 4 = 5$ प्राप्त होता है।
$a^2 = 9 \Rightarrow a = 3$ (चूंकि अतिपरवलय के लिए $a > 0$ होता है)।

(C) अतिपरवलय का समीकरण $2x^2-y^2=4$ है,जिसे $\frac{x^2}{2}-\frac{y^2}{4}=1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यहाँ,$a^2=2$ और $b^2=4$ है।
अतिपरवलय के लिए $m$ ढाल वाली स्पर्श रेखा का समीकरण $y=mx \pm \sqrt{a^2m^2-b^2}$ है,जो $y=mx \pm \sqrt{2m^2-4}$ हो जाता है।
चूंकि स्पर्श रेखा बिंदु $(1,1)$ से गुजरती है,हम $x=1$ और $y=1$ प्रतिस्थापित करते हैं:
$1 = m(1) \pm \sqrt{2m^2-4}$
$1-m = \pm \sqrt{2m^2-4}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(1-m)^2 = 2m^2-4$
$1+m^2-2m = 2m^2-4$
$m^2+2m-5 = 0$
द्विघात सूत्र $m = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर:
$m = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2-4(1)(-5)}}{2(1)} = \frac{-2 \pm \sqrt{4+20}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{24}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{6}}{2} = -1 \pm \sqrt{6}$.

(A) अतिपरवलय $x^2-y^2=c^2$ पर बिंदु $P(c \sec \theta, c \tan \theta)$ मानिए।
$P$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $x \sec \theta - y \tan \theta = c$ है।
$X$-अंतःखंड $T = (c \cos \theta, 0)$ है।
$P$ पर अभिलंब का समीकरण $x \cos \theta + y \cot \theta = 2c \sec \theta$ है।
$Y$-अंतःखंड $N = (0, 2c \csc \theta)$ है।
$TN$ का मध्य बिंदु $(h, k) = (\frac{c}{2 \cos \theta}, c \csc \theta)$ है।
अतः $\cos \theta = \frac{c}{2h}$ और $\sin \theta = \frac{c}{k}$ है।
इस प्रकार,बिंदुपथ $\frac{c^2}{4x^2} - \frac{y^2}{c^2} = 1$ प्राप्त होता है।

(C) अतिपरवलय का दिया गया समीकरण $9x^2 - 16y^2 = 144$ है।
$144$ से विभाजित करने पर,$\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1$ प्राप्त होता है।
यहाँ,$a^2 = 16$ और $b^2 = 9$,इसलिए $a = 4$ और $b = 3$ है।
उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 + \frac{9}{16}} = \sqrt{\frac{25}{16}} = \frac{5}{4}$ है।
नाभिलंब का समीकरण $x = ae = 4 \times \frac{5}{4} = 5$ है।
अनंतस्पर्शी का समीकरण $\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 0$ है,जो $y = \pm \frac{3}{4}x$ में सरल हो जाता है।
प्रथम चतुर्थांश के लिए,हम $y = \frac{3}{4}x$ लेते हैं।
अनंतस्पर्शी के समीकरण में $x = 5$ रखने पर,$q = \frac{3}{4}(5) = \frac{15}{4}$ प्राप्त होता है।
अतः,$q = \frac{15}{4}$.

(D) माना $f(x) = \frac{|2 \cos x - 1|}{2 \cos x - 1}$ जहाँ $0 \leq x \leq \pi/2$ है।
हम जानते हैं कि जब $\cos x > 1/2$,अर्थात $0 \leq x < \pi/3$ होता है,तब $2 \cos x - 1 > 0$ होता है,और जब $\pi/3 < x \leq \pi/2$ होता है,तब $2 \cos x - 1 < 0$ होता है।
अतः,$0 \leq x < \pi/3$ के लिए $f(x) = 1$ और $\pi/3 < x \leq \pi/2$ के लिए $f(x) = -1$ है।
सीमा के अस्तित्व के लिए बाएँ पक्ष की सीमा और दाएँ पक्ष की सीमा समान होनी चाहिए।
$0 \leq a < \pi/3$ के लिए,फलन अचर $1$ है,इसलिए सीमा $1$ है।
$\pi/3 < a \leq \pi/2$ के लिए,फलन अचर $-1$ है,इसलिए सीमा $-1$ है।
$a = \pi/3$ पर,बाएँ पक्ष की सीमा $1$ है और दाएँ पक्ष की सीमा $-1$ है,इसलिए सीमा का अस्तित्व नहीं है।
अतः,सही कथन यह है कि जब $0 \leq a < \pi/3$ होता है,तो सीमा $1$ होती है।

(A) $\text{दिया गया सीमा: } L = \lim _{x \rightarrow \frac{3}{2}} \frac{2x(2x-3)(4x^2+6x+9)}{(2x)^{1/3} - 3^{1/3}}$
$\text{हर का परिमेयकरण करने पर: } a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2) \text{ जहाँ } a=(2x)^{1/3}, b=3^{1/3}:$
$L = \lim _{x \rightarrow \frac{3}{2}} \frac{2x(2x-3)(4x^2+6x+9)((2x)^{2/3} + (6x)^{1/3} + 3^{2/3})}{2x-3}$
$L = \lim _{x \rightarrow \frac{3}{2}} 2x(4x^2+6x+9)((2x)^{2/3} + (6x)^{1/3} + 3^{2/3})$
$x = \frac{3}{2} \text{ रखने पर:}$
$L = 3(27)(3^{5/3}) = 3^{17/3} = \sqrt[3]{3^{17}}$

(B) माना $x = \tan \theta$ है। जैसे $\theta \rightarrow \frac{\pi}{2}^{-}$,वैसे ही $x \rightarrow \infty$।
व्यंजक $\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{8x^4 + 4x^2 + 5}{(3-2x)^4}$ बन जाता है।
अंश और हर को $x^4$ से विभाजित करने पर:
$\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{8 + \frac{4}{x^2} + \frac{5}{x^4}}{(\frac{3}{x} - 2)^4}$।
जैसे $x \rightarrow \infty$,वैसे ही $\frac{4}{x^2} \rightarrow 0$,$\frac{5}{x^4} \rightarrow 0$,और $\frac{3}{x} \rightarrow 0$।
अतः,सीमा $\frac{8 + 0 + 0}{(0 - 2)^4} = \frac{8}{(-2)^4} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}$ है।

(D) दिया गया है $\lim _{x \rightarrow 4} \frac{2 x^2+(3+2 a) x+3 a}{x^3-2 x^2-23 x+60} = \frac{11}{9}$.
चूंकि सीमा मौजूद है,इसलिए $x=4$ पर अंश $0$ होना चाहिए: $2(16) + (3+2a)(4) + 3a = 0$.
$32 + 12 + 8a + 3a = 0 \Rightarrow 11a = -44 \Rightarrow a = -4$.
वैकल्पिक रूप से,$L$'Hospital नियम का उपयोग करते हुए: $\lim _{x \rightarrow 4} \frac{4x + 3 + 2a}{3x^2 - 4x - 23} = \frac{16 + 3 + 2a}{48 - 16 - 23} = \frac{19 + 2a}{9} = \frac{11}{9}$.
$19 + 2a = 11 \Rightarrow 2a = -8 \Rightarrow a = -4$.
अब,$\lim _{x \rightarrow -4} \frac{x^2+9x+20}{x^2-x-20} = \lim _{x \rightarrow -4} \frac{(x+4)(x+5)}{(x+4)(x-5)} = \lim _{x \rightarrow -4} \frac{x+5}{x-5}$ का मान ज्ञात करें.
$x = -4$ प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{-4+5}{-4-5} = \frac{1}{-9} = -\frac{1}{9}$.

(C) दिया गया है $f(x)=3 x^{15}-5 x^{10}+7 x^5+50 \cos (x-1)$.
हमें $L = \lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(1-h)-f(1)}{h^3+3 h}$ का मान ज्ञात करना है।
सीमा को इस प्रकार लिखें: $L = \lim _{h \rightarrow 0} \left( \frac{f(1-h)-f(1)}{-h} \cdot \frac{-h}{h(h^2+3)} \right)$.
चूंकि $\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(1-h)-f(1)}{-h} = f'(1)$,इसलिए $L = f'(1) \cdot \lim _{h \rightarrow 0} \left( \frac{-1}{h^2+3} \right)$.
अब,$f'(x) = 45 x^{14} - 50 x^9 + 35 x^4 - 50 \sin (x-1)$.
$x=1$ पर मान रखने पर,$f'(1) = 45(1)^{14} - 50(1)^9 + 35(1)^4 - 50 \sin(0) = 45 - 50 + 35 = 30$.
अतः,$L = 30 \cdot \left( \frac{-1}{0^2+3} \right) = 30 \cdot \left( -\frac{1}{3} \right) = -10$.

(D) हम मानक सीमा $\lim _{u \rightarrow 0} \frac{a^u - 1}{u} = \ln a$ का उपयोग करते हैं।
दिया गया व्यंजक $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{3^{\sin x}-2^{\tan x}}{\sin x}$ है।
अंश और हर को $x$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\frac{3^{\sin x}-1}{x} - \frac{2^{\tan x}-1}{x}}{\frac{\sin x}{x}}$.
चूँकि $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ और $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\tan x}{x} = 1$,इसलिए:
$\lim _{x}$ ${\rightarrow 0} \left( \frac{3^{\sin x}-1}{\sin x} \cdot \frac{\sin x}{x} - \frac{2^{\tan x}-1}{\tan x} \cdot \frac{\tan x}{x} \right) / \frac{\sin x}{x}$.
इसका सरल रूप $\ln 3 - \ln 2 = \ln \left( \frac{3}{2} \right)$ है।

(A) माध्य $\bar{x} = \frac{\Sigma x_i}{n} = \frac{1+2+3+5+8+13+17}{7} = \frac{49}{7} = 7$.
वर्गों का योग $\Sigma x_i^2 = 1^2 + 2^2 + 3^2 + 5^2 + 8^2 + 13^2 + 17^2 = 1 + 4 + 9 + 25 + 64 + 169 + 289 = 561$.
प्रसरण $\sigma^2 = \frac{\Sigma x_i^2}{n} - (\bar{x})^2 = \frac{561}{7} - (7)^2 = \frac{561}{7} - 49 = \frac{561 - 343}{7} = \frac{218}{7} \approx 31.14$.

(D) सबसे पहले,हम वर्ग चिह्नों $(x_i)$ और माध्य $(\bar{x})$ की गणना करते हैं:

वर्ग अंतराल	$x_i$	$f_i$	$f_i x_i$	$|x_i - \bar{x}|$	$f_i |x_i - \bar{x}|$
$0-2$	$1$	$1$	$1$	$4$	$4$
$2-4$	$3$	$3$	$9$	$2$	$6$
$4-6$	$5$	$5$	$25$	$0$	$0$
$6-8$	$7$	$3$	$21$	$2$	$6$
$8-10$	$9$	$1$	$9$	$4$	$4$
कुल		$13$	$65$		$20$

माध्य $\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i} = \frac{65}{13} = 5$ है।
माध्य के सापेक्ष माध्य विचलन $\frac{\sum f_i |x_i - \bar{x}|}{\sum f_i} = \frac{20}{13}$ है।

(D) दिए गए आंकड़े $44, 5, 27, 20, 8, 54, 9, 14, 35$ हैं। अवलोकनों की संख्या $N = 9$ है।
सबसे पहले,माध्य $\bar{x} = \frac{44+5+27+20+8+54+9+14+35}{9} = \frac{216}{9} = 24$ की गणना करें।
माध्य से माध्य विचलन $M_1 = \frac{1}{N} \sum |x_i - \bar{x}|$ है।
$|44-24| + |5-24| + |27-24| + |20-24| + |8-24| + |54-24| + |9-24| + |14-24| + |35-24| = 20 + 19 + 3 + 4 + 16 + 30 + 15 + 10 + 11 = 128$.
अतः,$M_1 = \frac{128}{9}$.
अब,आंकड़ों को आरोही क्रम में व्यवस्थित करें: $5, 8, 9, 14, 20, 27, 35, 44, 54$.
माध्यिका $M$ $\left(\frac{9+1}{2}\right)^{\text{th}} = 5^{\text{th}}$ पद है,जो $20$ है।
माध्यिका से माध्य विचलन $M_2 = \frac{1}{N} \sum |x_i - M|$ है।
$|5-20| + |8-20| + |9-20| + |14-20| + |20-20| + |27-20| + |35-20| + |44-20| + |54-20| = 15 + 12 + 11 + 6 + 0 + 7 + 15 + 24 + 34 = 124$.
अतः,$M_2 = \frac{124}{9}$.
इसलिए,$M_1 - M_2 = \frac{128}{9} - \frac{124}{9} = \frac{4}{9}$.

(D) $3$ के गुणज वाली प्रथम $10$ प्राकृतिक संख्याएँ हैं: $3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30$।
माध्य $\mu$ की गणना इस प्रकार है: $\mu = \frac{3+6+9+12+15+18+21+24+27+30}{10} = \frac{165}{10} = 16.5$।
प्रसरण $\sigma^2$ का सूत्र $\sigma^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \mu)^2$ है।
विचलन के वर्गों का योग: $\sum (x_i - 16.5)^2 = (3-16.5)^2 + (6-16.5)^2 + \dots + (30-16.5)^2 = 182.25 + 110.25 + 56.25 + 20.25 + 2.25 + 2.25 + 20.25 + 56.25 + 110.25 + 182.25 = 742.5$।
अतः,$\sigma^2 = \frac{742.5}{10} = 74.25$।

(B) सबसे पहले,प्रत्येक अंतराल के लिए वर्ग चिह्न $(x_i)$ ज्ञात करें:
$0-4: x_1 = 2$
$4-8: x_2 = 6$
$8-12: x_3 = 10$
$12-16: x_4 = 14$
गणना तालिका:
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline \text{वर्ग} & f_i & x_i & f_i x_i & f_i x_i^2 \\ \hline 0-4 & 2 & 2 & 4 & 8 \\ \hline 4-8 & 3 & 6 & 18 & 108 \\ \hline 8-12 & 2 & 10 & 20 & 200 \\ \hline 12-16 & 1 & 14 & 14 & 196 \\ \hline \text{कुल} & 8 & & 56 & 512 \\ \hline\end{array}$
माध्य $(\bar{x})$ = $\frac{\Sigma f_i x_i}{\Sigma f_i} = \frac{56}{8} = 7$
प्रसरण $(\sigma^2)$ = $\frac{\Sigma f_i x_i^2}{\Sigma f_i} - (\bar{x})^2$
$= \frac{512}{8} - (7)^2$
$= 64 - 49 = 15$

(C) दिए गए समीकरण: $r_1 r_2 + r_3 r = 35$,$r_2 r_3 + r r_1 = 63$,और $r_3 r_1 + r r_2 = 45$ हैं।
सर्वसमिकाओं $r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$,$r_2 = \frac{\Delta}{s-b}$,$r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$,और $r = \frac{\Delta}{s}$ का उपयोग करते हुए,हम जानते हैं कि $r_1 r_2 + r_3 r = ab$,$r_2 r_3 + r r_1 = bc$,और $r_3 r_1 + r r_2 = ac$ होता है।
अतः,$ab = 35$,$bc = 63$,और $ac = 45$ है।
इनका गुणा करने पर $(abc)^2 = 35 \times 63 \times 45 = 99225$,इसलिए $abc = 315$ है।
तब $c = \frac{abc}{ab} = \frac{315}{35} = 9$,$a = \frac{abc}{bc} = \frac{315}{63} = 5$,और $b = \frac{abc}{ac} = \frac{315}{45} = 7$ है।
इसलिए,$2s = a + b + c = 5 + 7 + 9 = 21$।

(A) त्रिभुज $ABC$ में,कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है। दिया है $A=45^{\circ}$ और $C=75^{\circ}$,इसलिए $B = 180^{\circ} - (45^{\circ} + 75^{\circ}) = 60^{\circ}$।
ज्या नियम (sine rule) का उपयोग करते हुए,$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R = 2\sqrt{2}$।
$a = 2R \sin A = 2\sqrt{2} \sin 45^{\circ} = 2$।
$b = 2R \sin B = 2\sqrt{2} \sin 60^{\circ} = \sqrt{6}$।
$c = 2R \sin C = 2\sqrt{2} \sin 75^{\circ} = \sqrt{3}+1$।
अर्ध-परिमाप $s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{3+\sqrt{3}+\sqrt{6}}{2}$।
अंतःत्रिज्या $r = \frac{abc}{4RS}$ सूत्र का उपयोग करने पर,$r = \frac{\sqrt{3}+1}{1+\sqrt{2}+\sqrt{3}}$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(A) कोसाइन नियम का उपयोग करते हुए:
$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{3^2 + 7^2 - 5^2}{2 \times 3 \times 7} = \frac{9 + 49 - 25}{42} = \frac{33}{42} = \frac{11}{14}$
$\cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} = \frac{5^2 + 7^2 - 3^2}{2 \times 5 \times 7} = \frac{25 + 49 - 9}{70} = \frac{65}{70} = \frac{13}{14}$
साइन नियम के अनुसार,$\frac{\sin A}{a} = \frac{\sin B}{b} = \frac{\sin C}{c} = k$,इसलिए $\sin A = ak, \sin B = bk, \sin C = ck$.
चूंकि $\sin(A+B) = \sin(180^\circ - C) = \sin C$,हमारे पास है:
$\frac{\sin(A-B)}{\sin(A+B)} = \frac{\sin A \cos B - \cos A \sin B}{\sin C} = \frac{ak \cos B - \cos A bk}{ck} = \frac{a \cos B - b \cos A}{c}$
मान रखने पर:
$= \frac{5 \times \frac{13}{14} - 3 \times \frac{11}{14}}{7} = \frac{\frac{65-33}{14}}{7} = \frac{32}{14 \times 7} = \frac{32}{98} = \frac{16}{49}$
अतः,$\sqrt{\frac{\sin(A-B)}{\sin(A+B)}} = \sqrt{\frac{16}{49}} = \frac{4}{7}$.

(C) दिया गया है: $(a-b)^2 \cos^2 \frac{C}{2} + (a+b)^2 \sin^2 \frac{C}{2} = a^2 + b^2$
$\cos^2 \frac{C}{2} = \frac{1+\cos C}{2}$ और $\sin^2 \frac{C}{2} = \frac{1-\cos C}{2}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{(a-b)^2(1+\cos C)}{2} + \frac{(a+b)^2(1-\cos C)}{2} = a^2 + b^2$
सरल करने पर,हमें प्राप्त होता है: $-4ab \cos C = 0$
अतः,$\cos C = 0$,जिसका अर्थ है $C = 90^{\circ}$।
त्रिभुज $ABC$ में,$A + B = 90^{\circ}$ है,इसलिए $A = 90^{\circ} - B$।
अतः,$\cos A = \cos(90^{\circ} - B) = \sin B$।

(C) दिया है $A+B+C=2S$,अतः $S-C = A+B-S$ और $2S-C = A+B$.
व्यंजक $E = \sin(S-A) \cos(S-B) - \sin(S-C) \cos S$ है।
$2$ से गुणा और भाग करने पर: $E = \frac{1}{2} [2 \sin(S-A) \cos(S-B) - 2 \sin(S-C) \cos S]$.
$2 \sin X \cos Y = \sin(X+Y) + \sin(X-Y)$ सूत्र का उपयोग करने पर:
$E = \frac{1}{2} [(\sin(2S-A-B) + \sin(B-A)) - (\sin(2S-C) + \sin(-C))]$.
चूंकि $2S-A-B = C$ और $2S-C = A+B$,इसलिए:
$E = \frac{1}{2} [\sin C + \sin(B-A) - \sin(A+B) + \sin C]$.
इसका सरलीकरण $\sin B \cos A$ प्राप्त होता है।

(B) सबसे पहले,$\triangle ABC$ की भुजाओं की लंबाई ज्ञात करें:
$c = AB = \sqrt{(2-1)^2 + (3-2)^2 + (-1 - (-3))^2} = \sqrt{1^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{6}$
$a = BC = \sqrt{(3-2)^2 + (1-3)^2 + (1 - (-1))^2} = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 2^2} = \sqrt{9} = 3$
$b = AC = \sqrt{(3-1)^2 + (1-2)^2 + (1 - (-3))^2} = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 4^2} = \sqrt{21}$
कोसाइन नियम का उपयोग करते हुए:
$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{21 + 6 - 9}{2 \times \sqrt{21} \times \sqrt{6}} = \frac{18}{2 \sqrt{126}} = \frac{9}{3 \sqrt{14}} = \frac{3}{\sqrt{14}}$
$\cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} = \frac{9 + 6 - 21}{2 \times 3 \times \sqrt{6}} = \frac{-6}{6 \sqrt{6}} = -\frac{1}{\sqrt{6}}$
अतः,$\left|\frac{\cos A}{\cos B}\right| = \left|\frac{3}{\sqrt{14}} \div \left(-\frac{1}{\sqrt{6}}\right)\right| = \left| -\frac{3 \sqrt{6}}{\sqrt{14}} \right| = \frac{3 \sqrt{3 \times 2}}{\sqrt{7 \times 2}} = \frac{3 \sqrt{3}}{\sqrt{7}}$.

(D) दिया गया है $a=4, b=3, c=2$ त्रिभुज $\triangle ABC$ में।
कोसाइन नियम का उपयोग करते हुए:
$\cos C = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab} = \frac{16+9-4}{2 \times 4 \times 3} = \frac{21}{24} = \frac{7}{8}$.
$\cos B = \frac{a^2+c^2-b^2}{2ac} = \frac{16+4-9}{2 \times 4 \times 2} = \frac{11}{16} \implies \sec B = \frac{16}{11}$.
अब,इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$2(a-b \cos C)(a-c \sec B) = 2(4 - 3 \times \frac{7}{8})(4 - 2 \times \frac{16}{11})$
$= 2(4 - \frac{21}{8})(4 - \frac{32}{11})$
$= 2(\frac{32-21}{8})(\frac{44-32}{11})$
$= 2(\frac{11}{8})(\frac{12}{11}) = 2 \times \frac{12}{8} = 2 \times \frac{3}{2} = 3$.

(B) हम जानते हैं कि $r_1 = \frac{\Delta}{s-a} = 6 \Rightarrow s-a = \frac{\Delta}{6}$ $(i)$
$r_2 = \frac{\Delta}{s-b} = 9 \Rightarrow s-b = \frac{\Delta}{9}$ $(ii)$
$r_3 = \frac{\Delta}{s-c} = 18 \Rightarrow s-c = \frac{\Delta}{18}$ $(iii)$
$(i), (ii)$ और $(iii)$ को जोड़ने पर $3s - (a+b+c) = \Delta(\frac{1}{6} + \frac{1}{9} + \frac{1}{18}) = \frac{\Delta}{3}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $a+b+c = 2s$,इसलिए $3s - 2s = \frac{\Delta}{3} \Rightarrow s = \frac{\Delta}{3}$.
$s$ का मान $(i), (ii), (iii)$ में रखने पर:
$a = s - \frac{\Delta}{6} = \frac{3\Delta}{18}, b = s - \frac{\Delta}{9} = \frac{4\Delta}{18}, c = s - \frac{\Delta}{18} = \frac{5\Delta}{18}$.
अतः,$a:b:c = 3:4:5$. माना $a=3k, b=4k, c=5k$.
कोसाइन नियम का उपयोग करने पर,$\cos A = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} = \frac{16k^2+25k^2-9k^2}{40k^2} = \frac{32}{40} = \frac{4}{5}$.

(D) हम जानते हैं कि $r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$,$r_2 = \frac{\Delta}{s-b}$,$r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$,और $r = \frac{\Delta}{s}$ है।
हर $D = r_1 - r + r_2 + r_3$ को हल करने पर,यह $4R$ प्राप्त होता है।
अतः,व्यंजक को सरल करने पर अंतिम परिणाम $r_1 r_2 r_3$ प्राप्त होता है।

(C) $r_1+r_2=3 R$ और $r_2+r_3=2 R$ दिया गया है।
सूत्र $r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$,$r_2 = \frac{\Delta}{s-b}$,$r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$ और $R = \frac{abc}{4\Delta}$ का उपयोग करते हुए।
$r_1+r_2=3 R$ के लिए: $\frac{\Delta}{s-a} + \frac{\Delta}{s-b} = 3R \Rightarrow \frac{\Delta c}{(s-a)(s-b)} = 3R$.
चूंकि $\Delta^2 = s(s-a)(s-b)(s-c)$,हमें $\cos^2 \frac{C}{2} = \frac{3}{4} \Rightarrow \angle C = 60^{\circ}$ प्राप्त होता है।
$r_2+r_3=2 R$ के लिए: $\frac{\Delta}{s-b} + \frac{\Delta}{s-c} = 2R \Rightarrow \frac{\Delta a}{(s-b)(s-c)} = 2R$.
इससे $\cos^2 \frac{A}{2} = \frac{1}{2} \Rightarrow \angle A = 90^{\circ}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ}$,इसलिए $90^{\circ} + \angle B + 60^{\circ} = 180^{\circ} \Rightarrow \angle B = 30^{\circ}$।
अतः,$\angle A = 90^{\circ}, \angle B = 30^{\circ}, \angle C = 60^{\circ}$।
भुजाओं का अनुपात $a:b:c = \sin 90^{\circ} : \sin 30^{\circ} : \sin 60^{\circ} = 2 : 1 : \sqrt{3}$ है।

(D) दिया गया है $r = \frac{\Delta}{s}$ और $r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$.
$rr_1 = \frac{\Delta^2}{s(s-a)} = \frac{s(s-a)(s-b)(s-c)}{s(s-a)} = (s-b)(s-c)$.
चूंकि त्रिभुज आधार $BC$ के साथ समद्विबाहु है,इसलिए $b = c$ है।
अतः,$rr_1 = (s-b)^2$.
चूंकि $2s = a+b+c = a+2b$,इसलिए $s-b = \frac{a+2b-2b}{2} = \frac{a}{2}$ है।
इसलिए,$rr_1 = (\frac{a}{2})^2 = \frac{a^2}{4}$.
ज्या नियम (sine rule) का उपयोग करने पर,$a = 2R \sin A$,इसलिए $rr_1 = \frac{(2R \sin A)^2}{4} = \frac{4R^2 \sin^2 A}{4} = R^2 \sin^2 A$.

(C) भुजाओं $AB$ और $AC$ की लंबाई इस प्रकार है:
$AB = \sqrt{(4-3)^2 + (1-2)^2 + (0-(-1))^2} = \sqrt{3}$
$AC = \sqrt{(2-3)^2 + (1-2)^2 + (4-(-1))^2} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}$
कोण समद्विभाजक प्रमेय के अनुसार,$\angle BAC$ का समद्विभाजक सम्मुख भुजा $BC$ को आसन्न भुजाओं के अनुपात में विभाजित करता है:
$\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} = \frac{1}{3}$
विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए,$D(p, q, r)$ के निर्देशांक:
$D = \left( \frac{1(2) + 3(4)}{4}, \frac{1(1) + 3(1)}{4}, \frac{1(4) + 3(0)}{4} \right) = \left( \frac{7}{2}, 1, 1 \right)$
अतः,$p = \frac{7}{2}, q = 1, r = 1$.
अंत में,$\sqrt{2p + q + r} = \sqrt{2(\frac{7}{2}) + 1 + 1} = \sqrt{9} = 3$.

(D) माना $\tan \frac{A}{2} = 15k$,$\tan \frac{B}{2} = 10k$,और $\tan \frac{C}{2} = 6k$ है।
सूत्र $\tan \frac{A}{2} = \sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{s(s-a)}}$ का उपयोग करते हुए:
$\frac{\tan(A/2)}{\tan(B/2)} = \sqrt{\frac{(s-b)^2}{(s-a)^2}} = \frac{s-b}{s-a} = \frac{15}{10} = \frac{3}{2}$।
इससे $2s - 2b = 3s - 3a$ प्राप्त होता है,अर्थात $s = 3a - 2b$।
इसी प्रकार,$\frac{\tan(B/2)}{\tan(C/2)} = \sqrt{\frac{(s-c)^2}{(s-b)^2}} = \frac{s-c}{s-b} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$।
इससे $3s - 3c = 5s - 5b$ प्राप्त होता है,अर्थात $2s = 5b - 3c$।
$s = \frac{a+b+c}{2}$ रखने पर,हमें $a+b+c = 5b - 3c$ मिलता है,जो सरल होकर $a = 4b - 4c$ हो जाता है।
अतः,$\frac{a}{b-c} = 4$।

(C) $BC$ की ढाल $\frac{-3 - 3}{-1 - (-2)} = \frac{-6}{1} = -6$ है।
$A$ से $BC$ पर खींचे गए शीर्षलंब $L_1$ की ढाल $BC$ की ढाल का ऋणात्मक व्युत्क्रम है,जो $\frac{1}{6}$ है।
$A(1, -2)$ से गुजरने वाली $L_1$ का समीकरण $y - (-2) = \frac{1}{6}(x - 1) \Rightarrow y + 2 = \frac{x}{6} - \frac{1}{6} \Rightarrow y = \frac{x}{6} - \frac{13}{6}$ ... $(i)$
$AB$ का मध्य बिंदु $\left(\frac{1 - 2}{2}, \frac{-2 + 3}{2}\right) = \left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$ है।
$AB$ की ढाल $\frac{3 - (-2)}{-2 - 1} = \frac{5}{-3} = -\frac{5}{3}$ है।
अतः लंब समद्विभाजक $L_2$ की ढाल $\frac{3}{5}$ है।
$L_2$ का समीकरण $y - \frac{1}{2} = \frac{3}{5}(x + \frac{1}{2}) \Rightarrow y = \frac{3x}{5} + \frac{3}{10} + \frac{5}{10} \Rightarrow y = \frac{3x}{5} + \frac{4}{5}$ ... (ii)
प्रतिच्छेदन बिंदु $(l, m)$ ज्ञात करने के लिए $(i)$ और (ii) की तुलना करने पर:
$\frac{l}{6} - \frac{13}{6} = \frac{3l}{5} + \frac{4}{5} \Rightarrow \frac{l}{6} - \frac{3l}{5} = \frac{4}{5} + \frac{13}{6} \Rightarrow \frac{5l - 18l}{30} = \frac{24 + 65}{30} \Rightarrow -13l = 89 \Rightarrow 13l = -89$.
इस प्रकार $l = -\frac{89}{13}$ है।
$l$ का मान $(i)$ में रखने पर: $m = \frac{-89/13}{6} - \frac{13}{6} = \frac{-89}{78} - \frac{169}{78} = \frac{-258}{78} = -\frac{43}{13}$ है।
अतः $26m - 3 = 26(-\frac{43}{13}) - 3 = 2(-43) - 3 = -86 - 3 = -89$ है।
चूंकि $13l = -89$,इसलिए $26m - 3 = 13l$ है।

(D) दी गई रेखाओं का युग्म $12 x^2-20 x y+7 y^2=0$ है।
द्विघात व्यंजक का गुणनखंड करने पर: $12 x^2-14 x y-6 x y+7 y^2=0$.
यह $2 x(6 x-7 y)-y(6 x-7 y)=0$ में सरल हो जाता है,जिससे $(2 x-y)(6 x-7 y)=0$ प्राप्त होता है।
अतः,दो रेखाएँ $y=2 x$ और $y=\frac{6 x}{7}$ हैं।
तीसरी रेखा $x+y=1$ है,अर्थात $y=1-x$ है।
शीर्ष ज्ञात करने के लिए,हम समीकरणों को युग्मों में हल करते हैं:
$1$. $y=2 x$ और $y=\frac{6 x}{7}$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $(0,0)$ है।
$2$. $y=2 x$ और $x+y=1$ का प्रतिच्छेदन बिंदु: $x+2 x=1 \Rightarrow 3 x=1 \Rightarrow x=\frac{1}{3}, y=\frac{2}{3}$। शीर्ष $(\frac{1}{3}, \frac{2}{3})$ है।
$3$. $y=\frac{6 x}{7}$ और $x+y=1$ का प्रतिच्छेदन बिंदु: $x+\frac{6 x}{7}=1 \Rightarrow \frac{13 x}{7}=1 \Rightarrow x=\frac{7}{13}, y=\frac{6}{13}$। शीर्ष $(\frac{7}{13}, \frac{6}{13})$ है।
त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} |x_1(y_2-y_3)+x_2(y_3-y_1)+x_3(y_1-y_2)|$ सूत्र द्वारा प्राप्त होता है।
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |0(\frac{2}{3}-\frac{6}{13}) + \frac{1}{3}(\frac{6}{13}-0) + \frac{7}{13}(0-\frac{2}{3})|$।
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |\frac{6}{39} - \frac{14}{39}| = \frac{1}{2} |-\frac{8}{39}| = \frac{4}{39}$।

(C) हम प्रतिलोम हाइपरबोलिक फलनों के लघुगणकीय रूपों का उपयोग करते हैं: $\cosh ^{-1}(x) = \ln(x + \sqrt{x^2 - 1})$ और $\sinh ^{-1}(x) = \ln(x + \sqrt{x^2 + 1})$.
दिया गया है $\cosh ^{-1}\left(\frac{5}{3}\right) + \sinh ^{-1}\left(\frac{3}{4}\right) = k$.
लघुगणकीय रूपों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\ln\left(\frac{5}{3} + \sqrt{\left(\frac{5}{3}\right)^2 - 1}\right) + \ln\left(\frac{3}{4} + \sqrt{\left(\frac{3}{4}\right)^2 + 1}\right) = k$
$\ln\left(\frac{5}{3} + \sqrt{\frac{25}{9} - 1}\right) + \ln\left(\frac{3}{4} + \sqrt{\frac{9}{16} + 1}\right) = k$
$\ln\left(\frac{5}{3} + \sqrt{\frac{16}{9}}\right) + \ln\left(\frac{3}{4} + \sqrt{\frac{25}{16}}\right) = k$
$\ln\left(\frac{5}{3} + \frac{4}{3}\right) + \ln\left(\frac{3}{4} + \frac{5}{4}\right) = k$
$\ln\left(\frac{9}{3}\right) + \ln\left(\frac{8}{4}\right) = k$
$\ln(3) + \ln(2) = k$
$\ln(3 \times 2) = k$
$\ln(6) = k$
अतः,$e^k = 6$.

(C) हमें $\operatorname{sech}^{-1}\left(\frac{3}{5}\right)-\tanh ^{-1}\left(\frac{3}{5}\right)$ का मान ज्ञात करना है।
सबसे पहले,हम सर्वसमिका $\operatorname{sech}^{-1}(x) = \cosh^{-1}\left(\frac{1}{x}\right)$ का उपयोग करेंगे।
अतः,$\operatorname{sech}^{-1}\left(\frac{3}{5}\right) = \cosh^{-1}\left(\frac{5}{3}\right)$.
लघुगणकीय रूप $\cosh^{-1}(x) = \log_e(x + \sqrt{x^2 - 1})$ का उपयोग करते हुए:
$\cosh^{-1}\left(\frac{5}{3}\right) = \log_e\left(\frac{5}{3} + \sqrt{\frac{25}{9} - 1}\right) = \log_e\left(\frac{5}{3} + \sqrt{\frac{16}{9}}\right) = \log_e\left(\frac{5}{3} + \frac{4}{3}\right) = \log_e(3)$.
आगे,हम सर्वसमिका $\tanh^{-1}(x) = \frac{1}{2} \log_e\left(\frac{1+x}{1-x}\right)$ का उपयोग करेंगे।
अतः,$\tanh^{-1}\left(\frac{3}{5}\right) = \frac{1}{2} \log_e\left(\frac{1 + 3/5}{1 - 3/5}\right) = \frac{1}{2} \log_e\left(\frac{8/5}{2/5}\right) = \frac{1}{2} \log_e(4) = \frac{1}{2} \log_e(2^2) = \log_e(2)$.
अंत में,दोनों मानों को घटाने पर:
$\operatorname{sech}^{-1}\left(\frac{3}{5}\right) - \tanh^{-1}\left(\frac{3}{5}\right) = \log_e(3) - \log_e(2) = \log_e\left(\frac{3}{2}\right)$.

(C) फलन को $f(x) = \frac{|x-a|}{x-a}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
मापांक फलन की परिभाषा का उपयोग करते हुए,हमारे पास है:
$f(x) = \begin{cases} 1, & \text{यदि } x > a \\ -1, & \text{यदि } x < a \end{cases}$
$x = a$ पर फलन अपरिभाषित है क्योंकि हर शून्य हो जाता है।
चूंकि बायां सीमा $\lim_{x \to a^-} f(x) = -1$ और दायां सीमा $\lim_{x \to a^+} f(x) = 1$ बराबर नहीं हैं,इसलिए $x = a$ पर सीमा का अस्तित्व नहीं है।
जब $x > a$ होता है,तो $f(x) = 1$,जो एक अचर फलन है।
अतः,सही कथन यह है कि जब $x > a$ होता है तो यह एक अचर फलन है।

(A) दिया गया फलन $f(x) = 3 \sin^{12} x + 4 \cos^{16} x$ है।
चूंकि $0 \le \sin^2 x \le 1$ और $0 \le \cos^2 x \le 1$,इसलिए घात $\sin^{12} x$ और $\cos^{16} x$ भी अंतराल $[0, 1]$ में स्थित हैं।
अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए,हम त्रिकोणमितीय फलनों की सीमा शर्तों की जांच करते हैं:
स्थिति $1$: यदि $\sin^2 x = 1$ (अर्थात $\cos^2 x = 0$),तो $f(x) = 3(1)^6 + 4(0)^8 = 3$।
स्थिति $2$: यदि $\cos^2 x = 1$ (अर्थात $\sin^2 x = 0$),तो $f(x) = 3(0)^6 + 4(1)^8 = 4$।
मानों की तुलना करने पर,$f(x)$ का अधिकतम मान $4$ प्राप्त होता है।

(B) माना $P(2, 3, 4)$ रेखाखंड $AB$ को $k:1$ के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर,$P$ के निर्देशांक $\left(\frac{6k+3}{k+1}, \frac{-17k-2}{k+1}, \frac{-4k+2}{k+1}\right)$ हैं।
$x$-निर्देशांक की तुलना करने पर: $\frac{6k+3}{k+1} = 2 \Rightarrow 6k+3 = 2k+2 \Rightarrow 4k = -1 \Rightarrow k = -\frac{1}{4}$.
हार्मोनिक संयुग्मी $Q$,$AB$ को $\frac{1}{4}:1$ के अनुपात में विभाजित करता है।
$Q$ के लिए विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर $(\lambda = \frac{1}{4})$:
$Q = \left(\frac{\frac{1}{4}(6) + 1(3)}{\frac{1}{4}+1}, \frac{\frac{1}{4}(-17) + 1(-2)}{\frac{1}{4}+1}, \frac{\frac{1}{4}(-4) + 1(2)}{\frac{1}{4}+1}\right) = \left(\frac{18}{5}, -5, \frac{4}{5}\right)$.
अतः,$\alpha = \frac{18}{5}$,$\beta = -5$,और $\gamma = \frac{4}{5}$.
इसलिए,$\alpha + \beta + \gamma = \frac{18}{5} - 5 + \frac{4}{5} = -\frac{3}{5}$.

(B) दिया गया है: $l-m+n=0$ $\Rightarrow m=l+n$ $(i)$
$m=l+n$ को $2lm-3mn+nl=0$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$2l(l+n)-3(l+n)n+nl=0$
$2l^2+2ln-3ln-3n^2+nl=0$
$2l^2-3n^2=0$
$l^2 = \frac{3}{2}n^2$
माना $n=1$,तो $l^2 = \frac{3}{2} \Rightarrow l = \pm \sqrt{\frac{3}{2}}$.
$l_1 = \sqrt{\frac{3}{2}}$ के लिए,$m_1 = \sqrt{\frac{3}{2}}+1$.
$l_2 = -\sqrt{\frac{3}{2}}$ के लिए,$m_2 = -\sqrt{\frac{3}{2}}+1$.
दोनों रेखाओं के दिक्-अनुपात $\vec{a} = (\sqrt{\frac{3}{2}}, \sqrt{\frac{3}{2}}+1, 1)$ और $\vec{b} = (-\sqrt{\frac{3}{2}}, 1-\sqrt{\frac{3}{2}}, 1)$ हैं।
$\cos \theta = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{a}||\vec{b}|} = \frac{|-\frac{3}{2} + (1-\frac{3}{2}) + 1|}{\sqrt{\frac{3}{2} + (\frac{3}{2}+1+2\sqrt{\frac{3}{2}}) + 1} \cdot \sqrt{\frac{3}{2} + (1+\frac{3}{2}-2\sqrt{\frac{3}{2}}) + 1}}$
$\cos \theta = \frac{|-1|}{\sqrt{16-6}} = \frac{1}{\sqrt{10}}$.

(C) मान लीजिए कि चार बिंदुओं के स्थिति सदिश $\vec{p_1}, \vec{p_2}, \vec{p_3}, \vec{p_4}$ हैं। बिंदु समतलीय होते हैं यदि सदिश $\vec{p_2}-\vec{p_1}$,$\vec{p_3}-\vec{p_1}$,और $\vec{p_4}-\vec{p_1}$ समतलीय हों।
ये सदिश हैं:
$\vec{v_1} = \vec{p_2}-\vec{p_1} = (1-\lambda)\vec{a} - (\lambda+3)\vec{b} + 4\vec{c}$
$\vec{v_2} = \vec{p_3}-\vec{p_1} = (3-\lambda)\vec{a} + 1\vec{b} + (1-\lambda)\vec{c}$
$\vec{v_3} = \vec{p_4}-\vec{p_1} = (1-\lambda)\vec{a} - 9\vec{b} + 7\vec{c}$
इनके समतलीय होने के लिए,अदिश त्रिक गुणनफल शून्य होना चाहिए:
$\begin{vmatrix} 1-\lambda & -(\lambda+3) & 4 \\ 3-\lambda & 1 & 1-\lambda \\ 1-\lambda & -9 & 7 \end{vmatrix} = 0$
सारणिक का विस्तार करने पर,हम पाते हैं कि $\lambda = 2$ समीकरण को संतुष्ट करता है।

(B) माना दो रेखाओं के दिक-अनुपात $\vec{a} = (3, 0, 2)$ और $\vec{b} = (0, 2, k)$ हैं।
दो रेखाओं जिनके दिक-अनुपात $(a_1, b_1, c_1)$ और $(a_2, b_2, c_2)$ हैं,के बीच के कोण $\theta$ के लिए सूत्र $|\cos \theta| = \frac{|a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2|}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}}$ है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $|\cos \theta| = \frac{|(3)(0) + (0)(2) + (2)(k)|}{\sqrt{3^2 + 0^2 + 2^2} \sqrt{0^2 + 2^2 + k^2}} = \frac{|2k|}{\sqrt{13} \sqrt{4 + k^2}}$.
दिया गया है कि $|\cos \theta| = \frac{6}{13}$,इसलिए $\frac{6}{13} = \frac{|2k|}{\sqrt{13} \sqrt{4 + k^2}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{36}{169} = \frac{4k^2}{13(4 + k^2)}$.
सरल करने पर: $\frac{9}{13} = \frac{k^2}{4 + k^2}$.
$9(4 + k^2) = 13k^2 \Rightarrow 36 + 9k^2 = 13k^2 \Rightarrow 4k^2 = 36 \Rightarrow k^2 = 9$.
अतः,$k = \pm 3$.

(C) माना कि दो रेखाएँ $L_1$ और $L_2$ हैं।
$L_1$,$A(2, -1, 6)$ और $B(3, -1, -7)$ से होकर गुजरती है। दिशा सदिश $\vec{v_1} = (3-2)\hat{i} + (-1 - (-1))\hat{j} + (-7-6)\hat{k} = \hat{i} - 13\hat{k}$ है।
$L_1$ का समीकरण $\vec{r} = (2\hat{i}-\hat{j}+6\hat{k}) + \lambda(\hat{i} - 13\hat{k})$ है।
$L_2$,$C(2, 1, -6)$ और $B(3, -1, -7)$ से होकर गुजरती है। दिशा सदिश $\vec{v_2} = (3-2)\hat{i} + (-1-1)\hat{j} + (-7 - (-6))\hat{k} = \hat{i} - 2\hat{j} - \hat{k}$ है।
$L_2$ का समीकरण $\vec{r} = (2\hat{i}+\hat{j}-6\hat{k}) + \mu(\hat{i} - 2\hat{j} - \hat{k})$ है।
चूंकि दोनों रेखाएं बिंदु $B(3, -1, -7)$ से होकर गुजरती हैं,इसलिए यह बिंदु प्रतिच्छेदन बिंदु है।
अतः,स्थिति सदिश $3\hat{i} - \hat{j} - 7\hat{k}$ है।

(B) सदिश $\overrightarrow{AB}$ समतल $x+2y+2z-5=0$ के अभिलंब सदिश $\overrightarrow{N} = \hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}$ के समांतर है।
माना $\frac{\alpha-1}{1} = \frac{\beta-2}{2} = \frac{\gamma-2}{2} = \lambda$.
तब $\alpha = \lambda+1, \beta = 2\lambda+2, \gamma = 2\lambda+2$.
चूंकि $B$ समतल $x+2y+2z-5=0$ पर स्थित है,इसलिए $(\lambda+1) + 2(2\lambda+2) + 2(2\lambda+2) - 5 = 0$.
$\lambda + 1 + 4\lambda + 4 + 4\lambda + 4 - 5 = 0 \Rightarrow 9\lambda + 4 = 0 \Rightarrow \lambda = -\frac{4}{9}$.
अतः,$B = (1 - \frac{4}{9}, 2 - \frac{8}{9}, 2 - \frac{8}{9}) = (\frac{5}{9}, \frac{10}{9}, \frac{10}{9})$.
अब,$\pi(A) = 1 + 2(2) + 2(2) + 5 = 1 + 4 + 4 + 5 = 14$.
और $\pi(B) = \frac{5}{9} + 2(\frac{10}{9}) + 2(\frac{10}{9}) + 5 = \frac{5+20+20+45}{9} = \frac{90}{9} = 10$.
इसलिए,$-\pi(A) : \pi(B) = -14 : 10 = -7 : 5$.

(C) रेखाएं $\vec{r}=\vec{a}+t \vec{b}$ और $\vec{r}=\vec{c}+s \vec{d}$ समतलीय होती हैं यदि और केवल यदि $(\vec{c}-\vec{a}) \cdot (\vec{b} \times \vec{d}) = 0$ हो।
दिया गया है $\vec{a}=\hat{i}-\hat{j}+3 \hat{k}$,$\vec{b}=2 \hat{i}-\hat{j}+\lambda \hat{k}$,$\vec{c}=-\hat{k}$,और $\vec{d}=\hat{i}+2 \hat{j}-\hat{k}$।
सबसे पहले,$\vec{c}-\vec{a} = -\hat{i} + \hat{j} - 4\hat{k}$ ज्ञात करें।
इसके बाद,सदिश गुणनफल $\vec{b} \times \vec{d} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -1 & \lambda \\ 1 & 2 & -1 \end{vmatrix} = (1-2\lambda)\hat{i} + (2+\lambda)\hat{j} + 5\hat{k}$ ज्ञात करें।
अब,अदिश त्रिक गुणनफल $(\vec{c}-\vec{a}) \cdot (\vec{b} \times \vec{d}) = (-1)(1-2\lambda) + (1)(2+\lambda) + (-4)(5) = 3\lambda - 19$ की गणना करें।
रेखाओं के समतलीय होने के लिए $3\lambda - 19 = 0$ होना चाहिए,जिससे $\lambda = \frac{19}{3}$ प्राप्त होता है।
यदि $\lambda \neq \frac{19}{3}$ है,तो अदिश त्रिक गुणनफल शून्य नहीं है,जिसका अर्थ है कि रेखाएं विषमतलीय (skew) हैं।

(B) चूंकि $\vec{e}$,$\vec{u} = \hat{i} - 3 \hat{j} + 5 \hat{k}$ और $\vec{v} = 3 \hat{i} + \hat{j} - 5 \hat{k}$ के साथ समतलीय है,इसलिए उनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य होगा:
$\begin{vmatrix} a & b & c \\ 1 & -3 & 5 \\ 3 & 1 & -5 \end{vmatrix} = 0$
$a(15 - 5) - b(-5 - 15) + c(1 + 9) = 0$
$10a + 20b + 10c = 0 \Rightarrow a + 2b + c = 0$ ...$(i)$
दिया गया है कि $\vec{e} \cdot (\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) = 0$,अतः:
$a + b + c = 0$ ...$(ii)$
$(i)$ में से $(ii)$ घटाने पर: $(a + 2b + c) - (a + b + c) = 0 \Rightarrow b = 0$.
$(ii)$ में $b = 0$ रखने पर,$c = -a$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\vec{e}$ एक इकाई सदिश है,$a^2 + b^2 + c^2 = 1 \Rightarrow a^2 + 0^2 + (-a)^2 = 1 \Rightarrow 2a^2 = 1 \Rightarrow a^2 = \frac{1}{2}$ और $c^2 = \frac{1}{2}$.
अब,$2a^2 + 3b^2 + 4c^2 = 2(\frac{1}{2}) + 3(0) + 4(\frac{1}{2}) = 1 + 0 + 2 = 3$.

(C) माना बिंदु $A(5,1,2)$,$B(3,-4,6)$ और $C(7,0,-1)$ हैं।
इन बिंदुओं से गुजरने वाले समतल का समीकरण $\begin{vmatrix} x-5 & y-1 & z-2 \\ 3-5 & -4-1 & 6-2 \\ 7-5 & 0-1 & -1-2 \end{vmatrix} = 0$ द्वारा दिया जाता है।
$\begin{vmatrix} x-5 & y-1 & z-2 \\ -2 & -5 & 4 \\ 2 & -1 & -3 \end{vmatrix} = 0$.
$(x-5)(15+4) - (y-1)(6-8) + (z-2)(2+10) = 0$.
$19(x-5) + 2(y-1) + 12(z-2) = 0$.
$19x - 95 + 2y - 2 + 12z - 24 = 0$.
$19x + 2y + 12z - 121 = 0$.
अभिलंब सदिश $\vec{n} = 19\hat{i} + 2\hat{j} + 12\hat{k}$ है।
इसका परिमाण $|\vec{n}| = \sqrt{19^2 + 2^2 + 12^2} = \sqrt{361 + 4 + 144} = \sqrt{509}$ है।
दिक्-कोसाइन $l = \frac{19}{\sqrt{509}}$,$m = \frac{2}{\sqrt{509}}$,$n = \frac{12}{\sqrt{509}}$ हैं।
मूल बिंदु $(0,0,0)$ से समतल $19x + 2y + 12z - 121 = 0$ की लंबवत दूरी $p = \frac{|-121|}{\sqrt{509}} = \frac{121}{\sqrt{509}}$ है।
अब,$|3l + 2m + 5n| = |3(\frac{19}{\sqrt{509}}) + 2(\frac{2}{\sqrt{509}}) + 5(\frac{12}{\sqrt{509}})| = |\frac{57 + 4 + 60}{\sqrt{509}}| = \frac{121}{\sqrt{509}} = p$.

(A) बिंदु $P(x, y, z)$ की $X$-अक्ष से लंबवत दूरी $d_1 = \sqrt{y^2 + z^2}$ है।
बिंदु $P(x, y, z)$ की $YZ$-समतल से लंबवत दूरी $d_2 = |x|$ है।
प्रश्न के अनुसार,इन दूरियों का अनुपात $d_1 : d_2 = 2 : 3$ है।
अतः,$\frac{\sqrt{y^2 + z^2}}{|x|} = \frac{2}{3}$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $\frac{y^2 + z^2}{x^2} = \frac{4}{9}$ प्राप्त होता है।
तिर्यक गुणा करने पर,$9(y^2 + z^2) = 4x^2$ प्राप्त होता है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,$4x^2 - 9y^2 - 9z^2 = 0$ प्राप्त होता है।

(C) माना समतल का समीकरण $\pi: ax + by + cz + 1 = 0$ है।
चूंकि यह $(1, 2, -3)$ से गुजरता है,हमारे पास $a(1) + b(2) + c(-3) + 1 = 0$ है,जिसका अर्थ है $a + 2b - 3c = -1$ (समीकरण $i$)।
चूंकि समतल $x + y - z + 4 = 0$ और $2x - y + z + 1 = 0$ के लंबवत है,इसका अभिलंब सदिश $\vec{n} = (a, b, c)$ इन समतलों के अभिलंब सदिशों $\vec{n_1} = (1, 1, -1)$ और $\vec{n_2} = (2, -1, 1)$ के लंबवत है।
अतः,$a + b - c = 0$ (समीकरण $ii$) और $2a - b + c = 0$ (समीकरण $iii$)।
समीकरण $(ii)$ और $(iii)$ को जोड़ने पर,हमें $3a = 0$ प्राप्त होता है,इसलिए $a = 0$।
$a = 0$ को $(ii)$ में रखने पर,हमें $b - c = 0$ प्राप्त होता है,इसलिए $b = c$।
$a = 0$ और $b = c$ को $(i)$ में रखने पर,हमें $0 + 2c - 3c = -1$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $-c = -1$,इसलिए $c = 1$।
इस प्रकार,$b = 1$।
मान $a = 0, b = 1, c = 1$ हैं।
इसलिए,$a^2 + b^2 + c^2 = 0^2 + 1^2 + 1^2 = 2$।

(C) तीन बिंदुओं $(x_1, y_1, z_1), (x_2, y_2, z_2)$ और $(x_3, y_3, z_3)$ से गुजरने वाले समतल का समीकरण सारणिक द्वारा इस प्रकार दिया जाता है:
$\begin{vmatrix} x-x_1 & y-y_1 & z-z_1 \\ x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ x_3-x_1 & y_3-y_1 & z_3-z_1 \end{vmatrix} = 0$
दिए गए बिंदुओं $(1, 0, -2), (3, -1, 2)$ और $(0, -3, 4)$ को प्रतिस्थापित करने पर:
$\begin{vmatrix} x-1 & y & z+2 \\ 2 & -1 & 4 \\ -1 & -3 & 6 \end{vmatrix} = 0$
सारणिक का विस्तार करने पर:
$(x-1)(-6 + 12) - y(12 + 4) + (z+2)(-6 - 1) = 0$
$6(x-1) - 16y - 7(z+2) = 0$
$6x - 6 - 16y - 7z - 14 = 0 \Rightarrow 6x - 16y - 7z = 20$
अंतःखंड रूप $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ प्राप्त करने के लिए $20$ से विभाजित करने पर:
$\frac{x}{10/3} + \frac{y}{-5/4} + \frac{z}{-20/7} = 1$
अतः,$a = \frac{10}{3}, b = -\frac{5}{4}, c = -\frac{20}{7}$
$3a + 4b + 7c$ का मान ज्ञात करने पर:
$3(\frac{10}{3}) + 4(-\frac{5}{4}) + 7(-\frac{20}{7}) = 10 - 5 - 20 = -15$.

(C) बिंदु $\vec{a}$ से गुजरने वाले और अभिलंब सदिश $\vec{n}$ वाले समतल का सदिश समीकरण $(\vec{r}-\vec{a}) \cdot \vec{n} = 0$ है,जिसे $\vec{r} \cdot \vec{n} = \vec{a} \cdot \vec{n}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
समतल $\pi_1$ के लिए,$\vec{a}_1 = 3 \hat{i}-7 \hat{j}+5 \hat{k}$ और $\vec{n}_1 = \hat{i}+2 \hat{j}-2 \hat{k}$ है।
$\vec{r} \cdot (\hat{i}+2 \hat{j}-2 \hat{k}) = (3 \hat{i}-7 \hat{j}+5 \hat{k}) \cdot (\hat{i}+2 \hat{j}-2 \hat{k}) = 3 - 14 - 10 = -21$.
अभिलंब रूप $\vec{r} \cdot \hat{n} = p$ है। यहाँ,$|\vec{n}_1| = \sqrt{1^2+2^2+(-2)^2} = 3$ है।
$3$ से भाग देने पर,$\vec{r} \cdot \frac{\hat{i}+2 \hat{j}-2 \hat{k}}{3} = \frac{-21}{3} = -7$ प्राप्त होता है। अतः,$p_1 = |-7| = 7$ है।
समतल $\pi_2$ के लिए,$\vec{a}_2 = 2 \hat{i}+7 \hat{j}-8 \hat{k}$ और $\vec{n}_2 = 3 \hat{i}+2 \hat{j}+6 \hat{k}$ है।
$\vec{r} \cdot (3 \hat{i}+2 \hat{j}+6 \hat{k}) = (2 \hat{i}+7 \hat{j}-8 \hat{k}) \cdot (3 \hat{i}+2 \hat{j}+6 \hat{k}) = 6 + 14 - 48 = -28$ है।
यहाँ,$|\vec{n}_2| = \sqrt{3^2+2^2+6^2} = \sqrt{9+4+36} = 7$ है।
$7$ से भाग देने पर,$\vec{r} \cdot \frac{3 \hat{i}+2 \hat{j}+6 \hat{k}}{7} = \frac{-28}{7} = -4$ प्राप्त होता है। अतः,$p_2 = |-4| = 4$ है।
इसलिए,$p_1 - p_2 = 7 - 4 = 3$ है।

(D) दो समतलों $n_1 \cdot x + n_2 \cdot y + n_3 \cdot z = d_1$ और $m_1 \cdot x + m_2 \cdot y + m_3 \cdot z = d_2$ की प्रतिच्छेदन रेखा के दिक्-अनुपात उनके अभिलंब सदिशों $\vec{n_1} = (1, 2, 2)$ और $\vec{n_2} = (1, -1, 1)$ के सदिश गुणनफल (cross product) द्वारा प्राप्त होते हैं।
दिशा सदिश $\vec{v} = (a, b, c)$,$\vec{n_1} \times \vec{n_2}$ द्वारा दिया जाता है:
$\vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & 2 \\ 1 & -1 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(2 - (-2)) - \hat{j}(1 - 2) + \hat{k}(-1 - 2) = 4\hat{i} + 1\hat{j} - 3\hat{k}$.
अतः,दिक्-अनुपात $(a, b, c) = (4, 1, -3)$ हैं।
हमें $\frac{a^2+b^2+c^2}{b^2}$ की गणना करनी है:
$a^2+b^2+c^2 = 4^2 + 1^2 + (-3)^2 = 16 + 1 + 9 = 26$.
$b^2 = 1^2 = 1$.
इसलिए,$\frac{a^2+b^2+c^2}{b^2} = \frac{26}{1} = 26$.

(B) दो सदिशों $\vec{\alpha}$ और $\vec{\beta}$ को समाहित करने वाले और बिंदु $\vec{a}$ से गुजरने वाले समतल $\pi$ का समीकरण $(\vec{r}-\vec{a}) \cdot (\vec{\alpha} \times \vec{\beta}) = 0$ द्वारा दिया जाता है।
सबसे पहले,लंबवत सदिश $\vec{n}' = \vec{\alpha} \times \vec{\beta}$ की गणना करें:
$\vec{n}' = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 0 & 3 \\ 2 & 1 & -1 \end{vmatrix} = \hat{i}(0-3) - \hat{j}(-1-6) + \hat{k}(1-0) = -3\hat{i} + 7\hat{j} + \hat{k}$.
समतल का समीकरण $-3(x+3) + 7(y-7) + 1(z-1) = 0$ है।
इसे सरल करने पर,हमें $-3x - 9 + 7y - 49 + z - 1 = 0$ प्राप्त होता है,जो $-3x + 7y + z - 59 = 0$ है।
मूल बिंदु $(0,0,0)$ से समतल $Ax+By+Cz+D=0$ तक की लंबवत दूरी $p = \frac{|D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$ है।
$p = \frac{|-59|}{\sqrt{(-3)^2 + 7^2 + 1^2}} = \frac{59}{\sqrt{9+49+1}} = \frac{59}{\sqrt{59}} = \sqrt{59}$.
इसलिए,$\sqrt{p^2+5} = \sqrt{(\sqrt{59})^2 + 5} = \sqrt{59+5} = \sqrt{64} = 8$.

(D) दिए गए समतलों के समीकरण $x-y+z=5$ और $2x+y-z=3$ हैं।
इन दो समतलों के प्रतिच्छेदन रेखा से होकर जाने वाले किसी भी समतल का समीकरण $(x-y+z-5) + \lambda(2x+y-z-3) = 0$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि यह समतल बिंदु $(0, 1, 2)$ से होकर गुजरता है,हम समीकरण में $x=0, y=1, z=2$ प्रतिस्थापित करते हैं:
$(0-1+2-5) + \lambda(2(0)+1-2-3) = 0$.
$-4 + \lambda(-4) = 0 \Rightarrow -4\lambda = 4 \Rightarrow \lambda = -1$.
$\lambda = -1$ को समतल के समीकरण में रखने पर:
$(x-y+z-5) - 1(2x+y-z-3) = 0$.
$x-y+z-5-2x-y+z+3 = 0$.
$-x-2y+2z-2 = 0 \Rightarrow -x-2y+2z = 2$.
इसे $\vec{r} \cdot(a\hat{i}+b\hat{j}+c\hat{k}) = m$ के साथ तुलना करने पर,हमें $a=-1, b=-2, c=2$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{bc}{a^2} = \frac{(-2)(2)}{(-1)^2} = \frac{-4}{1} = -4$.

(A) माना बिंदु $P_1(2, -3, 0)$ और $P_2(3, 0, 4)$ हैं। सदिश $\vec{v_1} = P_2 - P_1 = \hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k}$ है।
दिया गया है कि समतल सदिश $\vec{v_2} = 2\hat{i} + 3\hat{j} - 4\hat{k}$ के समानांतर है।
समतल का अभिलंब $\vec{n} = \vec{v_1} \times \vec{v_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & -4 \end{vmatrix} = -24\hat{i} + 12\hat{j} - 3\hat{k}$ है।
$-3$ से विभाजित करने पर,अभिलंब सदिश $\vec{n} = 8\hat{i} - 4\hat{j} + \hat{k}$ प्राप्त होता है।
समतल का समीकरण $8(x-2) - 4(y+3) + 1(z-0) = 0 \Rightarrow 8x - 4y + z = 28$ है।
बिंदुओं $A(1, 2, 0)$ और $B(0, 1, -2)$ को जोड़ने वाली रेखा का दिशा सदिश $\vec{d} = B - A = -\hat{i} - \hat{j} - 2\hat{k}$ है।
रेखा का समीकरण $\frac{x-1}{-1} = \frac{y-2}{-1} = \frac{z-0}{-2} = k \Rightarrow x = 1-k, y = 2-k, z = -2k$ है।
समतल के समीकरण में मान रखने पर: $8(1-k) - 4(2-k) + (-2k) = 28 \Rightarrow 8 - 8k - 8 + 4k - 2k = 28 \Rightarrow -6k = 28 \Rightarrow k = -\frac{14}{3}$ है।
अतः $a = 17/3, b = 20/3, c = 28/3$ है।
इस प्रकार,$a+b+2c = \frac{17+20+56}{3} = \frac{93}{3} = 31$।

(C) माना बिंदु $P = (-2, -1, 3)$ और लंब का पाद $F = (1, 0, -2)$ है।
समतल $\pi$ का अभिलंब सदिश $\vec{n}$,सदिश $\vec{PF} = (1 - (-2), 0 - (-1), -2 - 3) = (3, 1, -5)$ के समांतर है।
अतः,$F(1, 0, -2)$ से गुजरने वाले और अभिलंब सदिश $\vec{n} = (3, 1, -5)$ वाले समतल का समीकरण है:
$3(x - 1) + 1(y - 0) - 5(z + 2) = 0$
$3x - 3 + y - 5z - 10 = 0$
$3x + y - 5z = 13$
$13$ से भाग देने पर,हमें अंतःखंड रूप प्राप्त होता है:
$\frac{x}{13/3} + \frac{y}{13} + \frac{z}{-13/5} = 1$
$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ से तुलना करने पर,$a = \frac{13}{3}$,$b = 13$,और $c = -\frac{13}{5}$ प्राप्त होता है।
अब,$3a + b + 5c$ की गणना करें:
$3(\frac{13}{3}) + 13 + 5(-\frac{13}{5}) = 13 + 13 - 13 = 13$.

(D) माना $p$ छात्र के गणित में अच्छा होने की प्रायिकता है,इसलिए $p = 0.6 = \frac{3}{5}$।
माना $q$ छात्र के गणित में अच्छा न होने की प्रायिकता है,इसलिए $q = 1 - 0.6 = 0.4 = \frac{2}{5}$।
$n = 8$ छात्रों के समूह के लिए,गणित में अच्छे होने वाले ठीक $X = 2$ छात्रों के होने की प्रायिकता द्विपद वितरण सूत्र $P(X=k) = { }^n C_k \times p^k \times q^{n-k}$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $P(X=2) = { }^8 C_2 \times (0.6)^2 \times (0.4)^6$।
$P(X=2) = \frac{8 \times 7}{2} \times \left(\frac{3}{5}\right)^2 \times \left(\frac{2}{5}\right)^6$।
$P(X=2) = 28 \times \frac{3^2}{5^2} \times \frac{2^6}{5^6} = (2^2 \times 7) \times \frac{3^2 \times 2^6}{5^8} = \frac{2^8 \times 3^2 \times 7}{5^8}$।

(A) दो पासों का योग जो अभाज्य संख्या है,वे $2, 3, 5, 7, 11$ हैं।
प्रतिदर्श समष्टि $S$ में ऐसे जोड़े $(x, y)$ हैं जहाँ $x+y$ अभाज्य है:
योग $= 2: (1, 1)$
योग $= 3: (1, 2), (2, 1)$
योग $= 5: (1, 4), (4, 1), (2, 3), (3, 2)$
योग $= 7: (1, 6), (6, 1), (2, 5), (5, 2), (3, 4), (4, 3)$
योग $= 11: (5, 6), (6, 5)$
कुल परिणामों की संख्या $n(S) = 1 + 2 + 4 + 6 + 2 = 15$.
हमें वह प्रायिकता चाहिए जिसमें कम से कम एक संख्या $3$ का गुणज (अर्थात $3$ या $6$) हो।
अनुकूल परिणाम हैं: $(2, 3), (3, 2), (1, 6), (6, 1), (3, 4), (4, 3), (5, 6), (6, 5)$।
अनुकूल परिणामों की संख्या $n(E) = 8$.
अभीष्ट प्रायिकता $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{8}{15}$.

(B) $50$ में से तीन संख्याएँ चुनने के कुल तरीके $^{50}C_3 = 19,600$ हैं।
तीन संख्याओं $a, b, c$ के समांतर श्रेणी में होने के लिए $2b = a + c$ होना चाहिए।
इसका अर्थ है कि $a + c$ एक सम संख्या होनी चाहिए,जो तभी संभव है जब $a$ और $c$ दोनों विषम हों या दोनों सम हों।
समुच्चय में $25$ विषम और $25$ सम संख्याएँ हैं।
दो विषम संख्याएँ चुनने के तरीके $^{25}C_2 = 300$ हैं।
दो सम संख्याएँ चुनने के तरीके $^{25}C_2 = 300$ हैं।
कुल अनुकूल परिणाम = $300 + 300 = 600$।
प्रायिकता = $\frac{600}{19600} = \frac{3}{98}$।

(A) मान लीजिए $E_1, E_2, E_3$ क्रमशः पात्रों $A, B, C$ को चुनने की घटनाएं हैं। चूंकि पात्र समान हैं,$P(E_1) = P(E_2) = P(E_3) = \frac{1}{3}$।
मान लीजिए $F$ लाल गेंद निकालने की घटना है।
प्रत्येक पात्र से लाल गेंद निकालने की प्रायिकताएं हैं:
$P(F|E_1) = \frac{2}{5}$
$P(F|E_2) = \frac{3}{5}$
$P(F|E_3) = \frac{1}{5}$
बेयस प्रमेय का उपयोग करते हुए,यदि निकाली गई गेंद लाल है तो उसके पात्र $C$ से होने की प्रायिकता:
$P(E_3|F) = \frac{P(F|E_3) \cdot P(E_3)}{P(F|E_1) \cdot P(E_1) + P(F|E_2) \cdot P(E_2) + P(F|E_3) \cdot P(E_3)}$
$P(E_3|F) = \frac{\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{3}}{\frac{2}{5} \cdot \frac{1}{3} + \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{3} + \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{3}}$
$P(E_3|F) = \frac{\frac{1}{15}}{\frac{2}{15} + \frac{3}{15} + \frac{1}{15}} = \frac{\frac{1}{15}}{\frac{6}{15}} = \frac{1}{6}$।

(C) मान लीजिए $W_P, R_P, B_P$ थैली $P$ से क्रमशः सफेद,लाल या नीली गेंद निकालने की घटनाएँ हैं।
थैली $P$ में $3+2+5 = 10$ गेंदें हैं। अतः,$P(W_P) = \frac{3}{10}, P(R_P) = \frac{2}{10}, P(B_P) = \frac{5}{10}$.
एक गेंद को थैली $Q$ में स्थानांतरित करने के बाद,थैली $Q$ में $10+1 = 11$ गेंदें होंगी।
यदि एक सफेद गेंद स्थानांतरित की जाती है,तो थैली $Q$ में $3$ सफेद,$3$ लाल,$5$ नीली गेंदें होंगी। $P(R|W_P) = \frac{3}{11}$.
यदि एक लाल गेंद स्थानांतरित की जाती है,तो थैली $Q$ में $2$ सफेद,$4$ लाल,$5$ नीली गेंदें होंगी। $P(R|R_P) = \frac{4}{11}$.
यदि एक नीली गेंद स्थानांतरित की जाती है,तो थैली $Q$ में $2$ सफेद,$3$ लाल,$6$ नीली गेंदें होंगी। $P(R|B_P) = \frac{3}{11}$.
कुल प्रायिकता के नियम का उपयोग करते हुए:
$P(R) = P(W_P) \times P(R|W_P) + P(R_P) \times P(R|R_P) + P(B_P) \times P(R|B_P)$
$P(R) = \frac{3}{10} \times \frac{3}{11} + \frac{2}{10} \times \frac{4}{11} + \frac{5}{10} \times \frac{3}{11}$
$P(R) = \frac{9}{110} + \frac{8}{110} + \frac{15}{110} = \frac{32}{110} = \frac{16}{55}$.

(C) मान लीजिए $A$ वह घटना है कि योग $3$ का गुणज है,अतः $A = \{3, 6, 9, 12\}$।
मान लीजिए $B$ वह घटना है कि योग एक विषम संख्या है,अतः $B = \{3, 5, 7, 9, 11\}$।
हमें सप्रतिबंध प्रायिकता $P(A|B) = \frac{n(A \cap B)}{n(B)}$ ज्ञात करनी है।
योग के $3$ का गुणज और विषम दोनों होने के लिए,योग $3$ या $9$ होना चाहिए।
$(x, y)$ के ऐसे जोड़े जिनका योग $x+y = 3$ है,वे $(1, 2)$ और $(2, 1)$ हैं।
$(x, y)$ के ऐसे जोड़े जिनका योग $x+y = 9$ है,वे $(3, 6), (6, 3), (4, 5), (5, 4)$ हैं।
अतः,$A \cap B = \{(1, 2), (2, 1), (3, 6), (6, 3), (4, 5), (5, 4)\}$ और $n(A \cap B) = 6$।
कुल परिणामों की संख्या जहाँ योग विषम है $(B)$ वह $18$ है (क्योंकि $36$ परिणामों में से ठीक आधे परिणामों का योग विषम होता है)।
इसलिए,$P(A|B) = \frac{6}{18} = \frac{1}{3}$।

(B) एक ही सूट से $2$ पत्ते चुनने के कुल तरीके $4$ सूट में से एक सूट चुनकर और उस सूट के $13$ पत्तों में से $2$ पत्ते चुनकर प्राप्त होते हैं। कुल तरीके $= 4 \times \binom{13}{2} = 4 \times \frac{13 \times 12}{2} = 312$.
वैकल्पिक रूप से,चूंकि शर्त यह है कि पत्ते एक ही सूट के हैं,हम उस प्रतिदर्श समष्टि (sample space) पर विचार करते हैं जहाँ दोनों पत्ते एक ही सूट के हों। $4$ सूट हैं,और प्रत्येक सूट के लिए $2$ पत्ते चुनने के $\binom{13}{2} = 78$ तरीके हैं। कुल परिणाम $= 4 \times 78 = 312$.
प्रत्येक सूट में,अभाज्य संख्या वाले कार्ड ${2, 3, 5, 7}$ (कुल $4$ कार्ड) हैं और फेस कार्ड ${J, Q, K}$ (कुल $3$ कार्ड) हैं।
हमें एक ही सूट से एक फेस कार्ड और एक अभाज्य संख्या वाला कार्ड चाहिए।
एक विशिष्ट सूट के लिए,एक फेस कार्ड और एक अभाज्य कार्ड चुनने के तरीके $3 \times 4 = 12$ हैं।
चूंकि $4$ सूट हैं,अनुकूल परिणामों की कुल संख्या $4 \times (3 \times 4) = 48$ है।
हालाँकि,प्रश्न यह दर्शाता है कि प्रायिकता उस स्थिति में निकालनी है जब वे एक ही सूट के हों।
यह देखते हुए कि पत्ते एक ही सूट के हैं,$2$ पत्ते चुनने के कुल तरीके $\binom{13}{2} = 78$ हैं।
एक फेस कार्ड ($3$ विकल्प) और एक अभाज्य कार्ड ($4$ विकल्प) चुनने के तरीके $3 \times 4 = 12$ हैं।
चूंकि क्रम मायने नहीं रखता,हमारे पास $12$ तरीके हैं।
प्रायिकता $= \frac{12}{78} = \frac{2}{13}$.

(C) माना कि सिक्का $n$ बार उछाला जाता है। एक निष्पक्ष सिक्के के लिए,चित आने की प्रायिकता $p = \frac{1}{2}$ और पट आने की प्रायिकता $q = \frac{1}{2}$ है।
द्विपद वितरण सूत्र $P(X=k) = {}^nC_k p^k q^{n-k}$ का उपयोग करते हुए:
$P(X=5) = P(X=4)$
${}^nC_5 (\frac{1}{2})^5 (\frac{1}{2})^{n-5} = {}^nC_4 (\frac{1}{2})^4 (\frac{1}{2})^{n-4}$
${}^nC_5 (\frac{1}{2})^n = {}^nC_4 (\frac{1}{2})^n$
${}^nC_5 = {}^nC_4$
गुणधर्म ${}^nC_r = {}^nC_{n-r}$ का उपयोग करने पर,हमें $n = 5 + 4 = 9$ प्राप्त होता है।
अब,हमें $6$ चित प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात करनी है:
$P(X=6) = {}^9C_6 (\frac{1}{2})^6 (\frac{1}{2})^3 = {}^9C_3 (\frac{1}{2})^9$
$P(X=6) = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} \times \frac{1}{512} = 84 \times \frac{1}{512} = \frac{21}{128}$.

(A) दुकान पर आने वाले ग्राहकों की संख्या पॉइसन वितरण (Poisson distribution) का पालन करती है,जहाँ पैरामीटर $\lambda = 4$ है।
प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X=x) = \frac{\lambda^x e^{-\lambda}}{x!}$ द्वारा दिया जाता है।
हमें $2$ से अधिक ग्राहकों के आने की प्रायिकता ज्ञात करनी है,जो कि $P(X > 2)$ है।
$P(X > 2) = 1 - P(X \leq 2) = 1 - [P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)]$.
मान रखने पर:
$P(X=0) = \frac{4^0 e^{-4}}{0!} = e^{-4}$.
$P(X=1) = \frac{4^1 e^{-4}}{1!} = 4e^{-4}$.
$P(X=2) = \frac{4^2 e^{-4}}{2!} = \frac{16e^{-4}}{2} = 8e^{-4}$.
अतः,$P(X > 2) = 1 - [e^{-4} + 4e^{-4} + 8e^{-4}] = 1 - 13e^{-4}$.
इसे $1 - \frac{13}{e^4} = \frac{e^4 - 13}{e^4}$ के रूप में लिखा जा सकता है।

(C) मान लीजिए $E_1, E_2, E_3$ वे घटनाएँ हैं कि रेफ्रिजरेटर क्रमशः कंपनियों $C_1, C_2, C_3$ से है। मान लीजिए $D$ वह घटना है कि रेफ्रिजरेटर खराब है।
दी गई प्रायिकताएँ हैं:
$P(E_1) = 0.25, P(E_2) = 0.35, P(E_3) = 0.40$
$P(D|E_1) = 0.03, P(D|E_2) = 0.02, P(D|E_3) = 0.01$
बेयस प्रमेय का उपयोग करते हुए,खराब रेफ्रिजरेटर के $C_2$ से होने की प्रायिकता है:
$P(E_2|D) = \frac{P(E_2) \cdot P(D|E_2)}{P(E_1) \cdot P(D|E_1) + P(E_2) \cdot P(D|E_2) + P(E_3) \cdot P(D|E_3)}$
$P(E_2|D) = \frac{0.35 \times 0.02}{(0.25 \times 0.03) + (0.35 \times 0.02) + (0.40 \times 0.01)}$
$P(E_2|D) = \frac{0.0070}{0.0075 + 0.0070 + 0.0040} = \frac{0.0070}{0.0185}$
$P(E_2|D) = \frac{70}{185} = \frac{14}{37}$

(B) माना $E_1$ पहले तीन उछालों में $2$ या अधिक चित प्राप्त करने की घटना है।
$E_1 = \{HHH, HTH, HHT, THH\}$.
$P(E_1) = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$.
माना $E_2$ $6$ उछालों में ठीक $3$ चित प्राप्त करने की घटना है।
हमें $P(E_2 | E_1) = \frac{P(E_2 \cap E_1)}{P(E_1)}$ ज्ञात करना है।
$E_2 \cap E_1$ वह घटना है जहाँ पहले तीन उछालों में $2$ या अधिक चित हैं और कुल $6$ उछालों में ठीक $3$ चित हैं।
स्थिति $1$: पहले $3$ उछालों में $2$ चित हों (जैसे $HHT, HTH, THH$)।
यदि पहले $3$ उछालों में $2$ चित हैं,तो शेष $3$ उछालों में ठीक $1$ चित होना चाहिए ताकि कुल $3$ चित हो सकें।
पहले $3$ उछालों में $2$ चित प्राप्त करने के तरीके $= \binom{3}{2} = 3$.
अंतिम $3$ उछालों में $1$ चित प्राप्त करने के तरीके $= \binom{3}{1} = 3$.
कुल तरीके $= 3 \times 3 = 9$.
स्थिति $2$: पहले $3$ उछालों में $3$ चित हों $(HHH)$।
यदि पहले $3$ उछालों में $3$ चित हैं,तो शेष $3$ उछालों में $0$ चित होने चाहिए ताकि कुल $3$ चित हो सकें।
पहले $3$ उछालों में $3$ चित प्राप्त करने के तरीके $= \binom{3}{3} = 1$.
अंतिम $3$ उछालों में $0$ चित प्राप्त करने के तरीके $= \binom{3}{0} = 1$.
कुल तरीके $= 1 \times 1 = 1$.
कुल अनुकूल परिणाम $n(E_2 \cap E_1) = 9 + 1 = 10$.
$P(E_2 \cap E_1) = \frac{10}{2^6} = \frac{10}{64} = \frac{5}{32}$.
$P(E_2 | E_1) = \frac{5/32}{1/2} = \frac{5}{16}$.

(A) मान लीजिए $E_1, E_2, E_3, E_4$ वे घटनाएँ हैं कि लड़के ने क्रमशः $ABILITY$,$PROBABILITY$,$FACILITY$ और $MOBILITY$ शब्द लिखे।
चूंकि वह चार में से एक शब्द चुनता है,इसलिए $P(E_1) = P(E_2) = P(E_3) = P(E_4) = \frac{1}{4}$.
मान लीजिए $A$ वह घटना है कि मिटाने के बाद '$LI$' शेष रहता है।
- $ABILITY$ ($7$ अक्षर) के लिए,$7-1 = 6$ लगातार अक्षरों के जोड़े हैं। केवल एक जोड़ा '$LI$' है। इसलिए,$P(A|E_1) = \frac{1}{6}$.
- $PROBABILITY$ ($11$ अक्षर) के लिए,$11-1 = 10$ लगातार अक्षरों के जोड़े हैं। केवल एक जोड़ा '$LI$' है। इसलिए,$P(A|E_2) = \frac{1}{10}$.
- $FACILITY$ ($8$ अक्षर) के लिए,$8-1 = 7$ लगातार अक्षरों के जोड़े हैं। केवल एक जोड़ा '$LI$' है। इसलिए,$P(A|E_3) = \frac{1}{7}$.
- $MOBILITY$ ($8$ अक्षर) के लिए,$8-1 = 7$ लगातार अक्षरों के जोड़े हैं। केवल एक जोड़ा '$LI$' है। इसलिए,$P(A|E_4) = \frac{1}{7}$.
बेयस प्रमेय का उपयोग करते हुए:
$P(E_2|A) = \frac{P(E_2)P(A|E_2)}{\sum_{i=1}^{4} P(E_i)P(A|E_i)} = \frac{\frac{1}{4} \times \frac{1}{10}}{\frac{1}{4}(\frac{1}{6} + \frac{1}{10} + \frac{1}{7} + \frac{1}{7})} = \frac{21}{116}$.

(A) द्विपद वितरण $X \sim B(n, p)$ के लिए,माध्य $E(X) = np = 1$ है।
अतः,$p = \frac{1}{n}$ और $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{n} = \frac{n-1}{n}$ है।
प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X=k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}$ है।
दिया गया है $P(X=2) = \binom{n}{2} p^2 q^{n-2} = \frac{27}{128}$।
$p$ और $q$ का मान रखने पर:
$\frac{n(n-1)}{2} \times (\frac{1}{n})^2 \times (\frac{n-1}{n})^{n-2} = \frac{27}{128}$
$\frac{n-1}{2n} \times \frac{(n-1)^{n-2}}{n^{n-2}} = \frac{27}{128}$
$\frac{(n-1)^{n-1}}{2n^{n-1}} = \frac{27}{128}$
यदि $n=4$ हो:
$\frac{(4-1)^{4-1}}{2(4)^{4-1}} = \frac{3^3}{2(4^3)} = \frac{27}{2(64)} = \frac{27}{128}$।
यह दी गई शर्त को संतुष्ट करता है।
प्रसरण $Var(X) = npq = 1 \times q = q$ है।
चूंकि $p = \frac{1}{4}$,इसलिए $q = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$।
अतः,प्रसरण $\frac{3}{4}$ है।

(D) दिया गया है कि $X \sim B(6, p)$ एक द्विपद चर है जहाँ $n=6$ और सफलता की प्रायिकता $p$ है। प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X=x) = {}^{6}C_{x} p^{x} q^{6-x}$ है,जहाँ $q = 1-p$ है।
दिया गया है $\frac{P(X=4)}{P(X=2)} = \frac{1}{9}$।
सूत्र प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{{}^{6}C_{4} p^{4} q^{2}}{{}^{6}C_{2} p^{2} q^{4}} = \frac{1}{9}$।
चूँकि ${}^{6}C_{4} = {}^{6}C_{2} = 15$,व्यंजक सरल होकर हो जाता है: $\frac{p^{2}}{q^{2}} = \frac{1}{9}$।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: $\frac{p}{q} = \frac{1}{3}$ (चूँकि $p, q > 0$)।
$q = 1-p$ प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{p}{1-p} = \frac{1}{3}$।
$3p = 1-p \Rightarrow 4p = 1 \Rightarrow p = \frac{1}{4}$।

(B) हम जानते हैं कि वितरण में सभी प्रायिकताओं का योग $1$ होता है,अर्थात $\Sigma P(X = x_i) = 1$.
$\therefore 2k^2 + k + k + k^2 = 1$
$\Rightarrow 3k^2 + 2k - 1 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(3k - 1)(k + 1) = 0$.
इससे $k = \frac{1}{3}$ या $k = -1$ प्राप्त होता है।
चूंकि प्रायिकता $P(X = x_i)$ हमेशा गैर-ऋणात्मक होनी चाहिए,इसलिए $k = \frac{1}{3}$ ही एकमात्र सही समाधान है।
$X$ का माध्य $E(X) = \Sigma x_i P(X = x_i)$ द्वारा दिया जाता है।
$E(X) = (1 \times 2k^2) + (2 \times k) + (3 \times k) + (5 \times k^2)$
$E(X) = 2k^2 + 2k + 3k + 5k^2 = 7k^2 + 5k$
$k = \frac{1}{3}$ रखने पर:
$E(X) = 7(\frac{1}{3})^2 + 5(\frac{1}{3}) = 7(\frac{1}{9}) + \frac{5}{3} = \frac{7}{9} + \frac{15}{9} = \frac{22}{9}$.

(D) हम जानते हैं कि वितरण में प्रायिकताओं का योग $1$ होता है।
$\Sigma P(X=x) = K + 2K + 3K^2 + K^2 = 1$
$4K^2 + 3K - 1 = 0$
$(4K - 1)(K + 1) = 0$
चूंकि $P(X=x) \geq 0$,इसलिए हम $K = -1$ को अस्वीकार करते हैं। अतः,$K = \frac{1}{4}$ है।
वितरण इस प्रकार है:
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline X=x & 2 & 3 & 5 & 9 \\\hline P(X=x) & \frac{1}{4} & \frac{1}{2} & \frac{3}{16} & \frac{1}{16} \\\hline\end{array}$
$E(X) = \Sigma x P(x) = (2 \times \frac{1}{4}) + (3 \times \frac{1}{2}) + (5 \times \frac{3}{16}) + (9 \times \frac{1}{16}) = \frac{8}{16} + \frac{24}{16} + \frac{15}{16} + \frac{9}{16} = \frac{56}{16} = \frac{7}{2}$
$E(X^2) = \Sigma x^2 P(x) = (4 \times \frac{1}{4}) + (9 \times \frac{1}{2}) + (25 \times \frac{3}{16}) + (81 \times \frac{1}{16}) = 1 + \frac{9}{2} + \frac{75}{16} + \frac{81}{16} = \frac{16 + 72 + 75 + 81}{16} = \frac{244}{16} = \frac{61}{4}$
$\text{प्रसरण} = E(X^2) - [E(X)]^2 = \frac{61}{4} - (\frac{7}{2})^2 = \frac{61}{4} - \frac{49}{4} = \frac{12}{4} = 3$.

(B) कुल पत्तों की संख्या $52$ है। इक्कों की संख्या $4$ है। चूंकि पत्ते प्रतिस्थापन के साथ निकाले जाते हैं,इसलिए एक प्रयास में इक्का निकलने की प्रायिकता $p = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}$ है। इक्का न निकलने की प्रायिकता $q = 1 - p = \frac{12}{13}$ है।
यह एक द्विपद वितरण $B(n, p)$ है जहाँ $n = 2$ और $p = \frac{1}{13}$ है।
द्विपद वितरण का माध्य $E(X) = np$ द्वारा दिया जाता है।
माध्य $= 2 \times \frac{1}{13} = \frac{2}{13}$.

(A) द्विपद वितरण के लिए,माध्य $np = 16/5$ और प्रसरण $npq = 48/25$ है।
प्रसरण को माध्य से विभाजित करने पर,हमें $q = (48/25) / (16/5) = (48/25) \times (5/16) = 3/5$ प्राप्त होता है।
चूंकि $p + q = 1$,इसलिए $p = 1 - 3/5 = 2/5$ है।
माध्य के समीकरण में $p$ का मान रखने पर: $n(2/5) = 16/5 \Rightarrow n = 8$।
हमें $P(X > 1) = 1 - P(X = 0) - P(X = 1)$ ज्ञात करना है।
$P(X = 0) = ^8C_0 (2/5)^0 (3/5)^8 = (3/5)^8$।
$P(X = 1) = ^8C_1 (2/5)^1 (3/5)^7 = 8 \times (2/5) \times (3/5)^7 = (16/5) \times (3/5)^7$।
अतः,$P(X > 1) = 1 - (3/5)(3/5)^7 - (16/5)(3/5)^7 = 1 - (3/5 + 16/5)(3/5)^7 = 1 - (19/5)(3/5)^7$।
इसकी तुलना $1 - K(3/5)^7$ से करने पर,हमें $K = 19/5$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$5K = 5 \times (19/5) = 19$।

(D) प्रायिकता वितरण में प्रायिकताओं का योग $1$ होता है।
$3K^2 + K + K^2 + 2K = 1$
$4K^2 + 3K - 1 = 0$
$(4K - 1)(K + 1) = 0$
चूँकि $P(X=x) \geq 0$,$K$ धनात्मक होना चाहिए,इसलिए $K = \frac{1}{4}$।
वितरण इस प्रकार है:

$X=x$	$1$	$3$	$5$	$2$
$P(X=x)$	$\frac{3}{16}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{16}$	$\frac{1}{2}$

माध्य $\mu = E(X) = \sum x_i P(x_i) = 1(\frac{3}{16}) + 3(\frac{1}{4}) + 5(\frac{1}{16}) + 2(\frac{1}{2}) = \frac{3}{16} + \frac{12}{16} + \frac{5}{16} + \frac{16}{16} = \frac{36}{16} = \frac{9}{4}$।
$E(X^2) = \sum x_i^2 P(x_i) = 1^2(\frac{3}{16}) + 3^2(\frac{1}{4}) + 5^2(\frac{1}{16}) + 2^2(\frac{1}{2}) = \frac{3}{16} + \frac{36}{16} + \frac{25}{16} + \frac{32}{16} = \frac{96}{16} = 6$।
प्रसरण $\sigma^2 = E(X^2) - [E(X)]^2 = 6 - (\frac{9}{4})^2 = 6 - \frac{81}{16} = \frac{96 - 81}{16} = \frac{15}{16}$।