alpha, beta समीकरण x^2+2x+4=0 के मूल हैं। यदि | vedclass

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Question

(C) समीकरण $x^2+2x+4=0$ को $(x+1)^2+3=0$ के रूप में लिखा जा सकता है।$x$ के लिए हल करने पर,$x = -1 \pm \sqrt{3}i$ प्राप्त होता है।चूंकि $\alpha$ दूसरे

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$-2^{2024} \sqrt{3}$

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(C) समीकरण $x^2+2x+4=0$ को $(x+1)^2+3=0$ के रूप में लिखा जा सकता है।$x$ के लिए हल करने पर,$x = -1 \pm \sqrt{3}i$ प्राप्त होता है।चूंकि $\alpha$ दूसरे चतुर्थांश में स्थित है,$\alpha = -1 + \sqrt{3}i = 2	ext{cis}(\frac{2\pi}{3})$.अतः $\beta = -1 - \sqrt{3}i = 2	ext{cis}(-\frac{2\pi}{3})$.डी मॉइवर प्रमेय का उपयोग करते हुए,$\alpha^{2024} = 2^{2024}	ext{cis}(\frac{4\pi}{3})$ और $\beta^{2024} = 2^{2024}	ext{cis}(-\frac{4\pi}{3})$.अब,$\alpha^{2024}-\beta^{2024} = 2^{2024}(	ext{cis}(\frac{4\pi}{3}) - 	ext{cis}(-\frac{4\pi}{3}))$.$= 2^{2024}(i\sin(\frac{4\pi}{3}) - i\sin(-\frac{4\pi}{3})) = 2^{2024}(-i\sqrt{3}) = -2^{2024}\sqrt{3}i$.$ik$ के साथ तुलना करने पर,$k = -2^{2024}\sqrt{3}$ प्राप्त होता है।

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