TS EAMCET 2018 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(C) दिया गया समीकरण $x^5-5x^3+5x^2-1=0$ है।
बहुपद का गुणनखंड करने पर,हमें $(x-1)^3(x^2+3x+1)=0$ प्राप्त होता है।
तीन समान मूल $x=1, 1, 1$ हैं।
अन्य दो मूल $\alpha$ और $\beta$ द्विघात समीकरण $x^2+3x+1=0$ के मूल हैं।
मूलों के गुणों से,मूलों का योग $\alpha+\beta = -\frac{b}{a} = -3$ है।
मूलों का गुणनफल $\alpha\beta = \frac{c}{a} = 1$ है।
अतः,$\alpha+\beta+\alpha\beta = -3 + 1 = -2$.

(B) माना $y = \sqrt{\frac{x}{1-x}}$। तब समीकरण $y + \frac{1}{y} = \frac{5}{2}$ हो जाता है।
$2y$ से गुणा करने पर,हमें $2y^2 - 5y + 2 = 0$ प्राप्त होता है,जिसका गुणनखंड $(2y-1)(y-2) = 0$ है।
अतः $y = 2$ या $y = \frac{1}{2}$।
यदि $y = 2$ है,तो $\frac{x}{1-x} = 4$ $\Rightarrow x = 4 - 4x$ $\Rightarrow 5x = 4$ $\Rightarrow x = \frac{4}{5}$।
यदि $y = \frac{1}{2}$ है,तो $\frac{x}{1-x} = \frac{1}{4}$ $\Rightarrow 4x = 1 - x$ $\Rightarrow 5x = 1$ $\Rightarrow x = \frac{1}{5}$।
चूँकि $p > q$ दिया गया है,हमारे पास $p = \frac{4}{5}$ और $q = \frac{1}{5}$ है।
तब $p+q = 1$,$pq = \frac{4}{25}$,और $\frac{p}{q} = 4$ है।
दूसरा समीकरण $1x^4 - \frac{4}{25}x^2 + 4 = 0$ है,या $25x^4 - 4x^2 + 100 = 0$ है।
बहुपद $ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0$ के लिए,मूलों का योग $\Sigma \alpha = -\frac{b}{a} = 0$ है।
दो-दो मूलों के गुणनफल का योग $\Sigma \alpha \beta = \frac{c}{a} = \frac{-4}{25}$ है।
मूलों का गुणनफल $\alpha \beta \gamma \delta = \frac{e}{a} = \frac{100}{25} = 4$ है।
अतः,$(\Sigma \alpha)^2 - \Sigma \alpha \beta + \alpha \beta \gamma \delta = (0)^2 - (-\frac{4}{25}) + 4 = \frac{4}{25} + 4 = \frac{4 + 100}{25} = \frac{104}{25}$।

(C) हमारे पास है,$x^4+x^2+1 = x^4+2x^2+1-x^2 = (x^2+1)^2 - x^2 = (x^2+x+1)(x^2-x+1)$.
मान लीजिए $F_1 = x^2+x+1$ और $F_2 = x^2-x+1$.
तब,$\frac{x^3-2x^2+3x-4}{x^4+x^2+1} = \frac{Ax+B}{x^2+x+1} + \frac{Cx+D}{x^2-x+1}$.
दोनों पक्षों को $x^4+x^2+1$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$x^3-2x^2+3x-4 = (Ax+B)(x^2-x+1) + (Cx+D)(x^2+x+1)$.
दाहिनी ओर का विस्तार करने पर:
$x^3-2x^2+3x-4 = (A+C)x^3 + (B-A+C+D)x^2 + (A-B+C+D)x + (B+D)$.
समान घात वाले पदों के गुणांकों की तुलना करने पर:
$1) A+C = 1$
$2) B-A+C+D = -2$
$3) A-B+C+D = 3$
$4) B+D = -4$
हमें $A+B+C+D$ ज्ञात करना है। समीकरण $(1)$ से,$A+C=1$. समीकरण $(4)$ से,$B+D=-4$.
अतः,$A+B+C+D = (A+C) + (B+D) = 1 + (-4) = -3$.

(A) हमारे पास है,$(x-2)(x-3) = k^2$,जहाँ $k \in R$ है।
समीकरण का विस्तार करने पर: $x^2 - 5x + 6 - k^2 = 0$।
इसे मानक द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ से तुलना करने पर,$a = 1$,$b = -5$,और $c = 6 - k^2$ प्राप्त होता है।
विविक्तकर $D = b^2 - 4ac$ है।
मान रखने पर: $D = (-5)^2 - 4(1)(6 - k^2) = 25 - 24 + 4k^2 = 1 + 4k^2$।
चूँकि सभी $k \in R$ के लिए $k^2 \ge 0$ होता है,इसलिए $1 + 4k^2 \ge 1$ होगा।
अतः,$D > 0$ है।
विविक्तकर धनात्मक होने के कारण,मूल हमेशा वास्तविक और भिन्न होते हैं।

(A) माना समीकरण $x^3-9x^2+26x-24=0$ के मूल $\alpha, \beta, \gamma$ हैं जहाँ $\alpha = 2\beta$ है।
मूलों और गुणांकों के बीच संबंध से:
$1$) $\alpha + \beta + \gamma = 9$ $\Rightarrow 3\beta + \gamma = 9$ $\Rightarrow \gamma = 9 - 3\beta$
$2$) $\alpha\beta\gamma = 24$ $\Rightarrow (2\beta)\beta\gamma = 24$ $\Rightarrow \beta^2\gamma = 12$
दूसरे समीकरण में $\gamma$ का मान रखने पर:
$\beta^2(9 - 3\beta) = 12$ $\Rightarrow 9\beta^2 - 3\beta^3 = 12$ $\Rightarrow \beta^3 - 3\beta^2 + 4 = 0$
इस त्रिघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(\beta + 1)(\beta - 2)^2 = 0$.
अतः,$\beta = -1$ या $\beta = 2$.
स्थिति $1$: यदि $\beta = -1$,तो $\alpha = 2\beta = -2$. घनों का योग $\alpha^3 + \beta^3 = (-2)^3 + (-1)^3 = -8 - 1 = -9$.
स्थिति $2$: यदि $\beta = 2$,तो $\alpha = 2\beta = 4$. घनों का योग $\alpha^3 + \beta^3 = 4^3 + 2^3 = 64 + 8 = 72$.
अतः सही उत्तर $72$ है।

(C) दिया गया आंशिक भिन्न अपघटन: $\frac{3x-2}{(x+1)^2(x+3)}=\frac{A}{x+1}+\frac{B}{(x+1)^2}+\frac{C}{x+3}$
दोनों पक्षों को $(x+1)^2(x+3)$ से गुणा करने पर: $3x-2 = A(x+1)(x+3) + B(x+3) + C(x+1)^2$
$x = -1$ रखने पर: $3(-1)-2 = B(-1+3)$ $\Rightarrow -5 = 2B$ $\Rightarrow B = -\frac{5}{2}$
$x = -3$ रखने पर: $3(-3)-2 = C(-3+1)^2$ $\Rightarrow -11 = 4C$ $\Rightarrow C = -\frac{11}{4}$
दोनों पक्षों में $x^2$ के गुणांकों की तुलना करने पर: $0 = A + C \Rightarrow A = -C = \frac{11}{4}$
अतः,$A+B+C = \frac{11}{4} - \frac{5}{2} - \frac{11}{4} = -\frac{5}{2}$

(C) चूंकि $\alpha$ और $\beta$ समीकरण $x^2+5x+2=0$ के मूल हैं,इसलिए $\alpha^2+5\alpha+2=0$ और $\beta^2+5\beta+2=0$ है।
इनसे,हमें $5\alpha+2 = -\alpha^2$ और $5\beta+2 = -\beta^2$ प्राप्त होता है।
साथ ही,मूलों के गुणों से,$\alpha+\beta = -5$ और $\alpha\beta = 2$ है।
अब,इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\left(\frac{\alpha}{2+5\alpha}\right)^2+\left(\frac{\beta}{2+5\beta}\right)^2 = \left(\frac{\alpha}{-\alpha^2}\right)^2+\left(\frac{\beta}{-\beta^2}\right)^2$
$= \frac{1}{\alpha^2} + \frac{1}{\beta^2} = \frac{\alpha^2+\beta^2}{(\alpha\beta)^2}$
$= \frac{(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta}{(\alpha\beta)^2}$
$= \frac{(-5)^2-2(2)}{(2)^2} = \frac{25-4}{4} = \frac{21}{4}$.

(D) दिया गया है $\frac{a^2}{bc}+\frac{b^2}{ca}+\frac{c^2}{ab}=3$,$abc$ से गुणा करने पर $a^3+b^3+c^3=3abc$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है कि $a+b+c=0$ या $a=b=c$ है।
यदि $a=b=c$ है,तो $E_1=E_2=E_3=a(x^2+x+1)$,जिनके मूल समान हैं।
यदि $a+b+c=0$ है,तो $x=1$ $E_1, E_2, E_3$ का एक मूल है क्योंकि $a(1)^2+b(1)+c = a+b+c=0$ है।
$E_2$ और $E_3$ के लिए,मूल $x=1$ और $x=\frac{a}{b}$ ($E_2$ से) तथा $x=\frac{a}{c}$ ($E_3$ से) हैं।
उभयनिष्ठ मूल $x=1$ है। अन्य मूल $x=\frac{a}{b}$ और $x=\frac{a}{c}$ हैं।
$x=\frac{a}{b}$ और $x=\frac{a}{c}$ मूलों वाला द्विघात व्यंजक $(x-\frac{a}{b})(x-\frac{a}{c}) = x^2 - (\frac{a}{b}+\frac{a}{c})x + \frac{a^2}{bc} = x^2 - \frac{a(b+c)}{bc}x + \frac{a^2}{bc}$ है।

(B) माना उभयनिष्ठ मूल $\alpha$ है।
तब,$\alpha^2-3a\alpha+14=0$ और $\alpha^2+2a\alpha-16=0$।
दोनों समीकरणों को घटाने पर:
$(\alpha^2-3a\alpha+14) - (\alpha^2+2a\alpha-16) = 0$
$-5a\alpha + 30 = 0
$ $\Rightarrow 5a\alpha = 30
$ $\Rightarrow \alpha = \frac{6}{a}$।
प्रथम समीकरण में $\alpha = \frac{6}{a}$ रखने पर:
$(\frac{6}{a})^2 - 3a(\frac{6}{a}) + 14 = 0$
$\frac{36}{a^2} - 18 + 14 = 0$
$\frac{36}{a^2} = 4
\Rightarrow a^2 = 9$।
अब,$a^4+a^2 = (a^2)^2 + a^2 = (9)^2 + 9 = 81 + 9 = 90$।

(D) दिया गया द्विघात व्यंजक $f(x) = x^2+2px-2p+8 > 0$ सभी वास्तविक मानों $x$ के लिए है।
किसी द्विघात समीकरण $ax^2+bx+c > 0$ के सभी $x \in R$ के लिए सत्य होने की शर्तें $a > 0$ और विविक्तकर $D < 0$ हैं।
यहाँ,$a = 1 > 0$,जो संतुष्ट है।
अब,विविक्तकर $D = b^2 - 4ac < 0$ की गणना करें:
$D = (2p)^2 - 4(1)(-2p+8) < 0$
$4p^2 + 8p - 32 < 0$
$4$ से विभाजित करने पर:
$p^2 + 2p - 8 < 0$
गुणनखंड करने पर:
$(p+4)(p-2) < 0$
साइन स्कीम विधि का उपयोग करने पर,व्यंजक $p = -4$ और $p = 2$ के बीच ऋणात्मक है।
अतः,$p$ के सभी संभावित मानों का समुच्चय $p \in (-4, 2)$ है।

(B) दिया गया है $y = \frac{11 x^2+12 x+6}{x^2+4 x+2}$.
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$y(x^2+4x+2) = 11x^2+12x+6$
$(y-11)x^2 + (4y-12)x + (2y-6) = 0$
चूंकि $x$ एक वास्तविक संख्या है,इसलिए विविक्तकर $D$ का मान $0$ से बड़ा या उसके बराबर होना चाहिए:
$D = (4y-12)^2 - 4(y-11)(2y-6) \geq 0$
$16(y-3)^2 - 8(y-11)(y-3) \geq 0$
$8(y-3) [2(y-3) - (y-11)] \geq 0$
$8(y-3)(2y-6-y+11) \geq 0$
$8(y-3)(y+5) \geq 0$
यह असमिका तब सत्य होती है जब $y \leq -5$ या $y \geq 3$ हो।
दी गई शर्त $y < a$ या $y \geq b$ के साथ तुलना करने पर,हमें $a = -5$ और $b = 3$ प्राप्त होता है।

(B) माना $f(x) = x^2+x+a$ है। मूलों के $a$ से अधिक होने के लिए,निम्नलिखित शर्तों को पूरा करना होगा:
$1$. $D \geq 0$ $\Rightarrow 1-4a \geq 0$ $\Rightarrow a \leq \frac{1}{4}$.
$2$. $f(a) > 0$ $\Rightarrow a^2+a+a > 0$ $\Rightarrow a^2+2a > 0$ $\Rightarrow a(a+2) > 0$ $\Rightarrow a \in (-\infty, -2) \cup (0, \infty)$.
$3$. $-\frac{b}{2a} > a$ $\Rightarrow -\frac{1}{2} > a$ $\Rightarrow a < -\frac{1}{2}$.
तीनों शर्तों का प्रतिच्छेदन लेने पर:
$a \in (-\infty, \frac{1}{4}] \cap ((-\infty, -2) \cup (0, \infty)) \cap (-\infty, -\frac{1}{2})$
$= (-\infty, -2)$.

(D) दिया गया द्विघात समीकरण $(p-3)x^2 + 2(p-3)x + 2p-5 = 0$ है। मूल वास्तविक और भिन्न होने के लिए विविक्तकर $D > 0$ होना चाहिए।
यहाँ $p \neq 3$ है।
$D = [2(p-3)]^2 - 4(p-3)(2p-5) > 0$
$4(p-3)^2 - 4(p-3)(2p-5) > 0$
$4(p-3)[(p-3) - (2p-5)] > 0$
$4(p-3)(-p+2) > 0$
$(p-3)(p-2) < 0$
अतः,$2 < p < 3$। इसलिए,$\alpha = 2$ और $\beta = 3$ है।
व्यंजक $f(x) = -(2+3)x^2 + (2 \times 3)x + (2-3) = -5x^2 + 6x - 1$ हो जाता है।
द्विघात व्यंजक $ax^2 + bx + c$ (जहाँ $a < 0$) का अधिकतम मान $\frac{4ac - b^2}{4a}$ होता है।
यहाँ $a = -5, b = 6, c = -1$ है।
चरम मान $= \frac{4(-5)(-1) - (6)^2}{4(-5)} = \frac{20 - 36}{-20} = \frac{-16}{-20} = \frac{4}{5}$।

(C) बहुपद का भाग करने पर: $\frac{x^4+x^3+2x^2-2x+1}{x^3+x^2} = x + \frac{2x^2-2x+1}{x^2(x+1)}$.
इसे $P(x) + \frac{A}{x} + \frac{B}{x^2} + \frac{C}{x+1}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $P(x) = x$ और $\frac{2x^2-2x+1}{x^2(x+1)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x^2} + \frac{C}{x+1}$ प्राप्त होता है।
$x^2(x+1)$ से गुणा करने पर,$2x^2-2x+1 = Ax(x+1) + B(x+1) + Cx^2$ मिलता है।
$x = 0$ रखने पर,$1 = B(1) \Rightarrow B = 1$ प्राप्त होता है।
$x = -1$ रखने पर,$2(-1)^2 - 2(-1) + 1 = C(-1)^2$ $\Rightarrow 2+2+1 = C$ $\Rightarrow C = 5$ प्राप्त होता है।
$x^2$ के गुणांकों की तुलना करने पर: $2 = A + C$ $\Rightarrow 2 = A + 5$ $\Rightarrow A = -3$ प्राप्त होता है।
अतः,$A+B+C = -3 + 1 + 5 = 3$।

(A) दिया गया त्रिघात समीकरण $x^3+p x^2+q x+r=0$ है जिसके मूल $\alpha, \beta, \gamma$ हैं।
विएटा के सूत्रों के अनुसार:
$\alpha+\beta+\gamma = -p$
$\alpha \beta+\beta \gamma+\gamma \alpha = q$
$\alpha \beta \gamma = -r$
बीजगणितीय सर्वसमिका का उपयोग करते हुए:
$\alpha^3+\beta^3+\gamma^3-3 \alpha \beta \gamma = (\alpha+\beta+\gamma)(\alpha^2+\beta^2+\gamma^2-\alpha \beta-\beta \gamma-\gamma \alpha)$
साथ ही,$\alpha^2+\beta^2+\gamma^2 = (\alpha+\beta+\gamma)^2 - 2(\alpha \beta+\beta \gamma+\gamma \alpha) = (-p)^2 - 2q = p^2-2q$.
इन मानों को सर्वसमिका में रखने पर:
$\alpha^3+\beta^3+\gamma^3 - 3(-r) = (-p)(p^2-2q-q)$
$\alpha^3+\beta^3+\gamma^3 + 3r = -p(p^2-3q)$
$\alpha^3+\beta^3+\gamma^3 = -p^3+3pq-3r$
अतः,$\alpha^3+\beta^3+\gamma^3 = 3pq-3r-p^3$.

(A) माना समीकरण $x^3+3px^2+3qx+r=0$ के मूल $\alpha, \beta, \gamma$ हैं। चूँकि वे हरात्मक श्रेणी में हैं,उनके व्युत्क्रम $\frac{1}{\alpha}, \frac{1}{\beta}, \frac{1}{\gamma}$ समांतर श्रेणी में हैं।
$x = \frac{1}{y}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $ry^3 + 3qy^2 + 3py + 1 = 0$ प्राप्त होता है।
चूँकि इस समीकरण के मूल समांतर श्रेणी में हैं,मूलों का योग $3a = -\frac{3q}{r}$ है,इसलिए $a = -\frac{q}{r}$।
चूँकि $a$,$ry^3 + 3qy^2 + 3py + 1 = 0$ का एक मूल है,इसलिए $r(-\frac{q}{r})^3 + 3q(-\frac{q}{r})^2 + 3p(-\frac{q}{r}) + 1 = 0$।
इसे सरल करने पर $2q^3 = r(3pq-r)$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया समीकरण $x^5+15x^4+94x^3+305x^2+507x+353=0$ है।
यदि समीकरण के सभी मूलों को $k$ से बढ़ाया जाता है,तो रूपांतरित समीकरण $x$ को $(x-k)$ से प्रतिस्थापित करके प्राप्त किया जाता है।
रूपांतरित समीकरण $(x-k)^5+15(x-k)^4+94(x-k)^3+305(x-k)^2+507(x-k)+353=0$ है।
$x^4$ पद को हटाने के लिए,$x^4$ का गुणांक शून्य होना चाहिए।
$x^4$ का गुणांक $\binom{5}{1}(-k) + 15 = -5k + 15$ है।
$-5k + 15 = 0$ रखने पर,हमें $k = 3$ प्राप्त होता है।
अब,$k=3$ को रूपांतरित समीकरण में रखने पर: $(x-3)^5+15(x-3)^4+94(x-3)^3+305(x-3)^2+507(x-3)+353=0$।
$x$ का गुणांक इस प्रकार है:
$\binom{5}{4}(-3)^4 + 15 \times \binom{4}{3}(-3)^3 + 94 \times \binom{3}{2}(-3)^2 + 305 \times \binom{2}{1}(-3)^1 + 507$.
$= 5(81) + 15(4 \times -27) + 94(3 \times 9) + 305(2 \times -3) + 507$.
$= 405 - 1620 + 2538 - 1830 + 507 = 0$.
अतः,$x$ का गुणांक $0$ है।

(D) दिया गया बहुपद समीकरण $x^n+px+q=0$ है जिसके मूल $\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n$ हैं,तो हम इसे इस प्रकार लिख सकते हैं:
$x^n+px+q = (x-\alpha_1)(x-\alpha_2)\ldots(x-\alpha_n)$.
दोनों पक्षों को $(x-\alpha_n)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{x^n+px+q}{x-\alpha_n} = (x-\alpha_1)(x-\alpha_2)\ldots(x-\alpha_{n-1})$.
दोनों पक्षों में $x \to \alpha_n$ की सीमा लेने पर:
$\lim_{x \to \alpha_n} \frac{x^n+px+q}{x-\alpha_n} = (\alpha_n-\alpha_1)(\alpha_n-\alpha_2)\ldots(\alpha_n-\alpha_{n-1})$.
बाएँ पक्ष के लिए $L$'$H$ôpital के नियम का उपयोग करने पर:
$\lim_{x \to \alpha_n} \frac{\frac{d}{dx}(x^n+px+q)}{\frac{d}{dx}(x-\alpha_n)} = \lim_{x \to \alpha_n} (nx^{n-1}+p) = n\alpha_n^{n-1}+p$.
अतः,$(\alpha_n-\alpha_1)(\alpha_n-\alpha_2)\ldots(\alpha_n-\alpha_{n-1}) = n\alpha_n^{n-1}+p$.

(C) दिया गया समीकरण $x^3-7x^2+14x-8=0$ है। मान लीजिए कि मूलों को $k$ से कम किया गया है,इसलिए $y = x - k$,जिसका अर्थ है $x = y + k$।
$x = y + k$ को मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$(y+k)^3 - 7(y+k)^2 + 14(y+k) - 8 = 0$
पदों का विस्तार करने पर:
$(y^3 + 3y^2k + 3yk^2 + k^3) - 7(y^2 + 2yk + k^2) + 14(y + k) - 8 = 0$
$y^3 + y^2(3k - 7) + y(3k^2 - 14k + 14) + (k^3 - 7k^2 + 14k - 8) = 0$
इसकी तुलना $y^3 + py - \frac{20}{27} = 0$ से करने पर,$y^2$ का गुणांक शून्य होना चाहिए:
$3k - 7 = 0 \Rightarrow k = \frac{7}{3}$
अब,$y$ के गुणांक के रूप में $p$ ज्ञात करें:
$p = 3k^2 - 14k + 14$
$p = 3(\frac{7}{3})^2 - 14(\frac{7}{3}) + 14$
$p = 3(\frac{49}{9}) - \frac{98}{3} + 14$
$p = \frac{49}{3} - \frac{98}{3} + \frac{42}{3} = -\frac{7}{3}$

(C) माना $f(x) = \frac{1-2x}{(2x+1)(2-x)}$. आंशिक भिन्नों का उपयोग करते हुए: $\frac{1-2x}{(2x+1)(2-x)} = \frac{A}{2x+1} + \frac{B}{2-x}$.
$A$ और $B$ के लिए हल करने पर: $1-2x = A(2-x) + B(2x+1)$.
$x = 2$ के लिए,$B = -\frac{3}{5}$.
$x = -\frac{1}{2}$ के लिए,$A = \frac{4}{5}$.
अतः,$f(x) = \frac{4}{5}(1+2x)^{-1} - \frac{3}{10}(1-\frac{x}{2})^{-1}$.
द्विपद विस्तार $(1+u)^{-1} = 1-u+u^2-u^3+\dots$ का उपयोग करते हुए:
$f(x) = \frac{4}{5}(1 - 2x + 4x^2 - 8x^3) - \frac{3}{10}(1 + \frac{x}{2} + \frac{x^2}{4} + \frac{x^3}{8})$.
$x^3$ का गुणांक $\frac{4}{5}(-8) - \frac{3}{10}(\frac{1}{8}) = -\frac{32}{5} - \frac{3}{80} = -\frac{512+3}{80} = -\frac{515}{80} = -\frac{103}{16}$ है।

(B) वह बहुपद जिसके मूल $-2$ से स्थानांतरित हैं,उसे प्राप्त करने के लिए हम मूल समीकरण $x^5-2x^4+3x^3-4x^2+5x-6=0$ में $x$ को $(x+2)$ से प्रतिस्थापित करते हैं।
$x \to x+2$ रखने पर:
$(x+2)^5 - 2(x+2)^4 + 3(x+2)^3 - 4(x+2)^2 + 5(x+2) - 6 = 0$.
प्रत्येक पद का विस्तार करने पर:
$(x^5+10x^4+40x^3+80x^2+80x+32) - 2(x^4+8x^3+24x^2+32x+16) + 3(x^3+6x^2+12x+8) - 4(x^2+4x+4) + 5(x+2) - 6 = 0$.
समान पदों को जोड़ने पर:
$x^5 + 8x^4 + 27x^3 + 46x^2 + 41x + 12 = 0$.

(A) दिया गया समीकरण: $x^4-10x^3+37x^2-60x+36=0$।
चूंकि मूल $\alpha, \alpha, \beta, \beta$ हैं,विएटा के सूत्रों के अनुसार:
मूलों का योग: $2\alpha + 2\beta = 10 \Rightarrow \alpha + \beta = 5$ $(i)$।
मूलों का गुणनफल: $\alpha^2\beta^2 = 36 \Rightarrow \alpha\beta = 6$ $(ii)$।
$(i)$ से,$\beta = 5 - \alpha$। इसे $(ii)$ में प्रतिस्थापित करने पर: $\alpha(5 - \alpha) = 6 \Rightarrow \alpha^2 - 5\alpha + 6 = 0$।
$\alpha$ के लिए हल करने पर: $(\alpha - 2)(\alpha - 3) = 0$,अतः $\alpha = 2$ या $\alpha = 3$।
चूंकि $\alpha < \beta$,इसलिए $\alpha = 2$ और $\beta = 3$।
अब,$2\alpha + 3\beta - 2\alpha\beta$ की गणना करने पर:
$2(2) + 3(3) - 2(2)(3) = 4 + 9 - 12 = 1$।

(A) दिया गया है कि,$n=8$।
हमें $(\sqrt{3}+i)^8+(\sqrt{3}-i)^8$ का मान ज्ञात करना है।
सबसे पहले,सम्मिश्र संख्याओं को ध्रुवीय रूप में बदलें: $\sqrt{3}+i = 2(\cos \frac{\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6}) = 2e^{i\pi/6}$ और $\sqrt{3}-i = 2(\cos \frac{\pi}{6} - i \sin \frac{\pi}{6}) = 2e^{-i\pi/6}$।
अतः,$(\sqrt{3}+i)^8 = (2e^{i\pi/6})^8 = 2^8 e^{i8\pi/6} = 256 e^{i4\pi/3}$।
और $(\sqrt{3}-i)^8 = (2e^{-i\pi/6})^8 = 2^8 e^{-i8\pi/6} = 256 e^{-i4\pi/3}$।
दोनों का योग करने पर: $256(e^{i4\pi/3} + e^{-i4\pi/3}) = 256(2 \cos \frac{4\pi}{3})$।
चूंकि $\cos \frac{4\pi}{3} = \cos(240^\circ) = -\frac{1}{2}$,
अतः व्यंजक $256 \times 2 \times (-\frac{1}{2}) = -256$ हो जाता है।

(A) दिया गया समीकरण $x^{11}-x^7+x^4-1=0$ है।
गुणनखंड करने पर:
$x^7(x^4-1) + 1(x^4-1) = 0$
$(x^7+1)(x^4-1) = 0$
इसका अर्थ है $x^7 = -1$ या $x^4 = 1$।
$x^4 = 1$ के लिए,मूल $1, -1, i, -i$ हैं। मूल $i$ का कोणांक $\frac{\pi}{2}$ है,जो प्रथम चतुर्थांश की सीमा पर है।
$x^7 = -1$ के लिए,मूल $e^{i(\frac{(2k+1)\pi}{7})}$ हैं,जहाँ $k = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6$ है।
कोणांक $\frac{\pi}{7}, \frac{3\pi}{7}, \frac{5\pi}{7}, \pi, \frac{9\pi}{7}, \frac{11\pi}{7}, \frac{13\pi}{7}$ हैं।
प्रथम चतुर्थांश $(0 < \theta < \frac{\pi}{2})$ में स्थित कोणांक $\frac{\pi}{7}$ और $\frac{3\pi}{7}$ हैं।
अतः,ऐसे $2$ मूल हैं।

(B) दिया गया है $z+\frac{1}{z}=1$,जिसका अर्थ है $z^2-z+1=0$.
इस द्विघात समीकरण के मूल $z = \frac{1 \pm i\sqrt{3}}{2} = -\omega$ और $-\omega^2$ हैं,जहाँ $\omega$ इकाई का सम्मिश्र घनमूल है।
माना $E = \frac{(z^{20}+1)(z^{40}+1)(z^{60}+1)}{z^{60}}$.
$z = -\omega$ के लिए:
$z^{20} = \omega^2, z^{40} = \omega, z^{60} = 1$.
मान रखने पर:
$E = \frac{(\omega^2+1)(\omega+1)(1+1)}{1} = 2(\omega^3 + \omega^2 + \omega + 1) = 2(1 + 0) = 2$.

(A) माना $z = \frac{(1-i)^3(2-i)}{(2+i)(1+i)}$.
अंश का सरलीकरण: $(1-i)^2 = -2i$,अतः $(1-i)^3 = -2i(1-i) = -2-2i$.
अब,$(1-i)^3(2-i) = (-2-2i)(2-i) = -6-2i$.
हर का सरलीकरण: $(2+i)(1+i) = 1+3i$.
अतः,$z = \frac{-6-2i}{1+3i} = -1.2 + 1.6i$.
मापांक $r = \sqrt{(-1.2)^2 + (1.6)^2} = 2$.
कोणांक $\theta = \pi - \tan^{-1}\left(\frac{4}{3}\right)$ (द्वितीय चतुर्थांश में होने के कारण)।
अतः,मापांक-कोणांक रूप $2 \operatorname{cis}\left(\pi - \tan^{-1} \frac{4}{3}\right)$ है।

(C) दिया गया है $|1 + iz| = |1 - iz|$.
$z = x + iy$ प्रतिस्थापित करने पर:
$|1 + i(x + iy)| = |1 - i(x + iy)|$
$|1 + ix - y| = |1 - ix + y|$
$|(1 - y) + ix| = |(1 + y) - ix|$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(1 - y)^2 + x^2 = (1 + y)^2 + x^2$
$1 - 2y + y^2 + x^2 = 1 + 2y + y^2 + x^2$
$-2y = 2y$
$4y = 0 \Rightarrow y = 0$.
चूंकि $z = x + iy$ और $y = 0$, इसलिए $z = x$.
साथ ही, $\bar{z} = x - iy = x - i(0) = x$.
अतः, $z = \bar{z}$.

(B) दिया गया है $(x-iy)^{\frac{1}{3}} = a+ib$.
दोनों पक्षों का घन करने पर,$x-iy = (a+ib)^3$.
दाएँ पक्ष का विस्तार करने पर,$x-iy = a^3 + 3a^2(ib) + 3a(ib)^2 + (ib)^3$.
चूँकि $i^2 = -1$ और $i^3 = -i$,इसलिए $x-iy = a^3 + 3a^2bi - 3ab^2 - ib^3$.
वास्तविक और काल्पनिक भागों की तुलना करने पर,$x = a^3-3ab^2$ और $y = b^3-3a^2b$.
अब,इन मानों को $\frac{ax-by}{a-b}$ में रखने पर:
$\frac{a(a^3-3ab^2) - b(b^3-3a^2b)}{a-b} = \frac{a^4-3a^2b^2 - b^4+3a^2b^2}{a-b}$.
$= \frac{a^4-b^4}{a-b} = \frac{(a-b)(a+b)(a^2+b^2)}{a-b}$.
$= (a+b)(a^2+b^2) = a^3+a^2b+ab^2+b^3$.

(B) दिया गया है $\bar{z} - i \bar{w} = 0$,अतः $\bar{z} = i \bar{w}$.
दोनों पक्षों का संयुग्मी लेने पर,$z = -i w$,जिसका अर्थ है $w = \frac{z}{-i} = iz$.
अब,$\operatorname{Arg}(zw) = \operatorname{Arg}(z(iz)) = \operatorname{Arg}(iz^2) = \frac{3 \pi}{4}$.
गुणधर्म $\operatorname{Arg}(z_1 z_2) = \operatorname{Arg}(z_1) + \operatorname{Arg}(z_2)$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है $\operatorname{Arg}(i) + \operatorname{Arg}(z^2) = \frac{3 \pi}{4}$.
चूँकि $\operatorname{Arg}(i) = \frac{\pi}{2}$ और $\operatorname{Arg}(z^2) = 2 \operatorname{Arg}(z)$,इसलिए $\frac{\pi}{2} + 2 \operatorname{Arg}(z) = \frac{3 \pi}{4}$.
$2 \operatorname{Arg}(z) = \frac{3 \pi}{4} - \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{4}$.
अतः,$\operatorname{Arg}(z) = \frac{\pi}{8}$.

(A) व्यंजक को पूर्णतः वास्तविक बनाने के लिए,इसका काल्पनिक भाग शून्य होना चाहिए।
मान लीजिए $z = \frac{1-10 i \cos \theta}{1-10 \sqrt{3} i \sin \theta}$ है।
अंश और हर को हर के संयुग्मी (conjugate) से गुणा करने पर:
$z = \frac{(1-10 i \cos \theta)(1+10 \sqrt{3} i \sin \theta)}{(1-10 \sqrt{3} i \sin \theta)(1+10 \sqrt{3} i \sin \theta)}$
$z = \frac{1 + 10 \sqrt{3} i \sin \theta - 10 i \cos \theta + 100 \sqrt{3} \sin \theta \cos \theta}{1 + 300 \sin^2 \theta}$
काल्पनिक भाग $\frac{10 \sqrt{3} \sin \theta - 10 \cos \theta}{1 + 300 \sin^2 \theta}$ है।
काल्पनिक भाग को $0$ के बराबर रखने पर:
$10 \sqrt{3} \sin \theta - 10 \cos \theta = 0$
$10 \sqrt{3} \sin \theta = 10 \cos \theta$
$\tan \theta = \frac{10}{10 \sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$
अतः,$\theta = \frac{\pi}{6}$।

(B) दिया गया है कि $z^{\frac{1}{5}} = 2 \cos \left(\frac{7 \pi}{5}\right) + 2i \sin \left(\frac{7 \pi}{5}\right)$.
डी मोइवर प्रमेय के अनुसार,यदि $w = r(\cos \theta + i \sin \theta)$,$z^{\frac{1}{5}}$ का एक मूल है,तो $z = w^5 = r^5(\cos(5\theta) + i \sin(5\theta))$ होगा।
यहाँ,$r = 2$ और $\theta = \frac{7 \pi}{5}$ है।
अतः,$z = 2^5 \left(\cos \left(5 \times \frac{7 \pi}{5}\right) + i \sin \left(5 \times \frac{7 \pi}{5}\right)\right)$.
$z = 32(\cos(7 \pi) + i \sin(7 \pi))$.
चूंकि $\cos(7 \pi) = -1$ और $\sin(7 \pi) = 0$,इसलिए $z = 32(-1 + 0i) = -32$.

(D) दिया गया है $|a|=1$ और $\arg (a)=\theta$,अतः $a = \cos \theta + i \sin \theta = e^{i\theta}$ है।
समीकरण $\left(\frac{1+i z}{1-i z}\right)^4 = e^{i\theta}$ है।
चौथा मूल लेने पर,$\frac{1+i z}{1-i z} = e^{i\left(\frac{2k\pi+\theta}{4}\right)} = \cos \phi + i \sin \phi$,जहाँ $\phi = \frac{2k\pi+\theta}{4}$ और $k=0,1,2,3$ है।
माना $\omega = \frac{2k\pi+\theta}{8}$ है। अतः $\phi = 2\omega$ है।
$\frac{1+iz}{1-iz} = \cos 2\omega + i \sin 2\omega$ पर योगानुपात और अंतरानुपात (componendo and dividendo) का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{iz} = \frac{\cos 2\omega + i \sin 2\omega + 1}{\cos 2\omega + i \sin 2\omega - 1} = \frac{2\cos^2 \omega + 2i \sin \omega \cos \omega}{-2\sin^2 \omega + 2i \sin \omega \cos \omega} = \frac{2\cos \omega (\cos \omega + i \sin \omega)}{2i \sin \omega (\cos \omega + i \sin \omega)} = \frac{\cos \omega}{i \sin \omega} = \frac{1}{i \tan \omega}$ है।
अतः,$z = \tan \omega = \tan \left(\frac{2k\pi+\theta}{8}\right)$ जहाँ $k=0,1,2,3$ है।

(B) माना $z = \frac{1+\cos \frac{\pi}{8}-i \sin \frac{\pi}{8}}{1+\cos \frac{\pi}{8}+i \sin \frac{\pi}{8}}$.
अर्ध-कोण सूत्रों $1+\cos \theta = 2 \cos^2 \frac{\theta}{2}$ और $\sin \theta = 2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}$ का उपयोग करने पर:
$z = \frac{2 \cos^2 \frac{\pi}{16} - i (2 \sin \frac{\pi}{16} \cos \frac{\pi}{16})}{2 \cos^2 \frac{\pi}{16} + i (2 \sin \frac{\pi}{16} \cos \frac{\pi}{16})}$
$z = \frac{2 \cos \frac{\pi}{16} (\cos \frac{\pi}{16} - i \sin \frac{\pi}{16})}{2 \cos \frac{\pi}{16} (\cos \frac{\pi}{16} + i \sin \frac{\pi}{16})}$
$z = \frac{\cos \frac{\pi}{16} - i \sin \frac{\pi}{16}}{\cos \frac{\pi}{16} + i \sin \frac{\pi}{16}} = \frac{e^{-i \pi / 16}}{e^{i \pi / 16}} = e^{-i \pi / 8}$.
अब,$z^{12} = (e^{-i \pi / 8})^{12} = e^{-i 12 \pi / 8} = e^{-i 3 \pi / 2}$.
$e^{-i 3 \pi / 2} = \cos(\frac{3 \pi}{2}) + i \sin(\frac{3 \pi}{2}) = 0 + i(1) = i$.

(D) माना $z = 1 - i \sqrt{3}$.
सबसे पहले,$z$ को ध्रुवीय रूप में व्यक्त करें: $|z| = \sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2} = 2$.
कोणांक $\theta$ के लिए $\tan \theta = \frac{-\sqrt{3}}{1} = -\sqrt{3}$. चूंकि $z$ चौथे चतुर्थांश में है,$\theta = -\frac{\pi}{3}$ या $2\pi - \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{3}$.
अतः,$z = 2(\cos \frac{5\pi}{3} + i \sin \frac{5\pi}{3})$.
$z$ के घनमूल $z^{1/3} = 2^{1/3} \left[ \cos \left( \frac{5\pi/3 + 2k\pi}{3} \right) + i \sin \left( \frac{5\pi/3 + 2k\pi}{3} \right) \right]$ हैं,जहाँ $k = 0, 1, 2$.
कोणांक $\theta_k = \frac{5\pi + 6k\pi}{9}$ हैं।
$k=0$ के लिए,$\theta_0 = \frac{5\pi}{9}$.
$k=1$ के लिए,$\theta_1 = \frac{11\pi}{9}$.
$k=2$ के लिए,$\theta_2 = \frac{17\pi}{9}$.
ये सभी धनात्मक हैं और $2\pi$ से कम हैं।
योग $\frac{5\pi}{9} + \frac{11\pi}{9} + \frac{17\pi}{9} = \frac{33\pi}{9} = \frac{11\pi}{3}$ है।

(A) $z^2-z+1=0$ के मूल $z = -\omega^2, -\omega$ हैं,जहाँ $\omega$ इकाई का सम्मिश्र घनमूल है।
माना $\alpha = -\omega$. तो $\alpha^6 = 1$.
प्रत्येक पद का मान ज्ञात करने पर:
$n=2014: T_{2014} = -1$
$n=2015: T_{2015} = -1$
$n=2016: T_{2016} = 2$
$n=2017: T_{2017} = 1$
$n=2018: T_{2018} = -1$
अतः,$(-1)^1 + (-1)^2 + (2)^3 + (1)^4 + (-1)^5 = -1 + 1 + 8 + 1 - 1 = 8$.

(B) दिया गया है,$z^3+2z^2+2z+1=0$.
गुणनखंड करने पर: $(z^3+1)+2z(z+1)=0$.
$(z+1)(z^2-z+1)+2z(z+1)=0$.
$(z+1)(z^2-z+1+2z)=0$.
$(z+1)(z^2+z+1)=0$.
मूल $z=-1$ और $z^2+z+1=0$ के मूल $\omega$ और $\omega^2$ हैं।
अब,$z^{2018}+z^{2017}+1=0$ में इन मूलों की जाँच करने पर:
$z=-1$ के लिए: $(-1)^{2018}+(-1)^{2017}+1 = 1-1+1 = 1 \neq 0$.
$z=\omega$ के लिए: $\omega^{2018}+\omega^{2017}+1 = \omega^2+\omega+1 = 0$.
$z=\omega^2$ के लिए: $(\omega^2)^{2018}+(\omega^2)^{2017}+1 = \omega+\omega^2+1 = 0$.
उभयनिष्ठ मूल $\omega$ और $\omega^2$ हैं।
$z=\omega$ और $z=\omega^2$ के लिए विकल्पों की जाँच करने पर:
$z^4+z^2+1=0$ के लिए:
यदि $z=\omega$,तो $\omega^4+\omega^2+1 = \omega+\omega^2+1 = 0$.
यदि $z=\omega^2$,तो $(\omega^2)^4+(\omega^2)^2+1 = \omega^8+\omega^4+1 = \omega^2+\omega+1 = 0$.
अतः,उभयनिष्ठ मूल $z^4+z^2+1=0$ को संतुष्ट करते हैं।

(D) इकाई के $n$-वें मूल समीकरण $x^n - 1 = 0$ को संतुष्ट करते हैं।
अतः,हम लिख सकते हैं $x^n - 1 = (x - \omega_0)(x - \omega_1) \ldots (x - \omega_{n-1})$।
गुणनफल $(1+2 \omega_0)(1+2 \omega_1) \ldots (1+2 \omega_{n-1})$ ज्ञात करने के लिए,हम $2^n$ को बाहर निकालते हैं:
$2^n (\frac{1}{2} + \omega_0)(\frac{1}{2} + \omega_1) \ldots (\frac{1}{2} + \omega_{n-1})$।
माना $x = -\frac{1}{2}$। तब $x^n - 1 = (-\frac{1}{2})^n - 1 = (-\frac{1}{2} - \omega_0)(-\frac{1}{2} - \omega_1) \ldots (-\frac{1}{2} - \omega_{n-1})$।
$(-1)^n$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है: $(-1)^n (x^n - 1) = (\omega_0 + \frac{1}{2})(\omega_1 + \frac{1}{2}) \ldots (\omega_{n-1} + \frac{1}{2})$।
$x = -\frac{1}{2}$ रखने पर:
$(-1)^n ((-\frac{1}{2})^n - 1) = (\frac{1}{2} + \omega_0)(\frac{1}{2} + \omega_1) \ldots (\frac{1}{2} + \omega_{n-1})$।
दोनों पक्षों को $2^n$ से गुणा करने पर:
$2^n (\frac{1}{2} + \omega_0) \ldots (\frac{1}{2} + \omega_{n-1}) = 2^n (-1)^n ((-1)^n \frac{1}{2^n} - 1) = 1 + (-1)^{n-1} 2^n$।

(C) दिया गया समीकरण: $\left|\frac{z-2i}{z+2i}\right|=2$.
$z=x+iy$ प्रतिस्थापित करने पर: $\left|\frac{x+i(y-2)}{x+i(y+2)} \right|=2$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{x^2+(y-2)^2}{x^2+(y+2)^2}=4$.
$x^2+y^2-4y+4 = 4(x^2+y^2+4y+4)$.
$x^2+y^2-4y+4 = 4x^2+4y^2+16y+16$.
$3x^2+3y^2+20y+12=0$.
$3$ से भाग देने पर: $x^2+y^2+\frac{20}{3}y+4=0$.
$y$ के लिए पूर्ण वर्ग बनाने पर: $x^2+(y+\frac{10}{3})^2 = \frac{100}{9}-4 = \frac{100-36}{9} = \frac{64}{9}$.
अतः,$x^2+(y+\frac{10}{3})^2 = (\frac{8}{3})^2$.
वृत्त की त्रिज्या $\frac{8}{3}$ है।

(D) मान लीजिए बिंदु $A(-3, 5)$,$B(-1, 6)$,$C(-2, 8)$,और $D(-4, 7)$ हैं।
भुजाओं की लंबाई की गणना करने पर:
$AB = \sqrt{(-1 - (-3))^2 + (6 - 5)^2} = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5}$
$BC = \sqrt{(-2 - (-1))^2 + (8 - 6)^2} = \sqrt{(-1)^2 + 2^2} = \sqrt{5}$
$CD = \sqrt{(-4 - (-2))^2 + (7 - 8)^2} = \sqrt{(-2)^2 + (-1)^2} = \sqrt{5}$
$DA = \sqrt{(-3 - (-4))^2 + (5 - 7)^2} = \sqrt{1^2 + (-2)^2} = \sqrt{5}$
चूंकि सभी भुजाएं समान हैं,यह एक समचतुर्भुज या वर्ग है।
विकर्णों की लंबाई की गणना करने पर:
$AC = \sqrt{(-2 - (-3))^2 + (8 - 5)^2} = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{10}$
$BD = \sqrt{(-4 - (-1))^2 + (7 - 6)^2} = \sqrt{(-3)^2 + 1^2} = \sqrt{10}$
चूंकि विकर्ण समान हैं $(AC = BD = \sqrt{10})$ और सभी भुजाएं समान हैं,इसलिए यह आकृति एक वर्ग है।

(C) दिया गया है $|Z| \leq 2$ और $-\frac{\pi}{3} \leq \operatorname{amp} Z \leq \frac{\pi}{3}$।
यह एक वृत्त के त्रिज्यखंड को दर्शाता है जिसकी त्रिज्या $r = 2$ इकाई है और केंद्रीय कोण $\theta = \frac{\pi}{3} - (-\frac{\pi}{3}) = \frac{2 \pi}{3}$ है।
आरेख से,$Z$ का बिंदुपथ एक त्रिज्यखंड $OAB$ बनाता है।
त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल $A = \frac{1}{2} r^2 \theta$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर:
$A = \frac{1}{2} \times (2)^2 \times \frac{2 \pi}{3}$
$A = \frac{1}{2} \times 4 \times \frac{2 \pi}{3}$
$A = \frac{4 \pi}{3} \text{ वर्ग इकाई}$।

(B) मान लीजिए त्रिभुज के शीर्ष $O(0,0)$,$A(z)$,और $B(z e^{i \alpha})$ हैं।
दूरी $OA = |z - 0| = |z|$.
दूरी $OB = |z e^{i \alpha} - 0| = |z| |e^{i \alpha}| = |z| \times 1 = |z|$.
सदिशों $OA$ और $OB$ के बीच का कोण $\frac{z e^{i \alpha}}{z} = e^{i \alpha}$ का कोणांक है,जो $\alpha$ है।
दो भुजाओं $a$ और $b$ तथा उनके बीच के कोण $\theta$ वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} ab \sin \theta$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times OA \times OB \times \sin \alpha = \frac{1}{2} |z| |z| \sin \alpha = \frac{1}{2} |z|^2 \sin \alpha$ है।

(D) दिया गया है $z_1=2-3i$ और $z_2=-1+i$। शर्त $\arg \left(\frac{z-z_1}{z-z_2}\right)=\frac{\pi}{2}$ का अर्थ है कि सदिश $z-z_1$,सदिश $z-z_2$ के सापेक्ष $\frac{\pi}{2}$ कोण पर वामावर्त दिशा में है। इसका मतलब है कि $\angle z_1 z z_2 = \frac{\pi}{2}$ है।
अतः,$z$ का बिंदुपथ $z_1 z_2$ व्यास वाला एक वृत्त है,जिसमें बिंदु $z_1$ और $z_2$ शामिल नहीं हैं।
व्यास के अंत बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ वाले वृत्त का समीकरण $(x-x_1)(x-x_2) + (y-y_1)(y-y_2) = 0$ होता है।
यहाँ,$z_1 = (2, -3)$ और $z_2 = (-1, 1)$ है।
$(x-2)(x+1) + (y+3)(y-1) = 0$
$x^2 - x - 2 + y^2 + 2y - 3 = 0$
$x^2 + y^2 - x + 2y - 5 = 0$.
तर्क (argument) को ठीक $\frac{\pi}{2}$ होने के लिए,बिंदु $z, z_1, z_2$ को वामावर्त क्रम में एक त्रिभुज बनाना चाहिए। यह शर्त बिंदुपथ को $z_1$ और $z_2$ से गुजरने वाली रेखा के एक तरफ के अर्धवृत्त तक सीमित करती है।
$z_1(2, -3)$ और $z_2(-1, 1)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $4x+3y+1=0$ है।
वृत्त के अंदर का बिंदु $(0,0)$ लेने पर: $4(0)+3(0)+1 = 1 > 0$। अतः,शर्त $4x+3y+1 > 0$ है।

(B) सबसे पहले,हम $13!$ का अभाज्य गुणनखंडन ज्ञात करते हैं:
$13! = 2^{10} \times 3^5 \times 5^2 \times 7^1 \times 11^1 \times 13^1$.
$13!$ को $100$ $(2^2 \times 5^2)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{13!}{100} = \frac{2^{10} \times 3^5 \times 5^2 \times 7^1 \times 11^1 \times 13^1}{2^2 \times 5^2} = 2^8 \times 3^5 \times 7^1 \times 11^1 \times 13^1$.
कुल भाजकों की संख्या $(8+1)(5+1)(1+1)(1+1)(1+1) = 9 \times 6 \times 2 \times 2 \times 2 = 432$ है।
उचित भाजकों की संख्या कुल भाजकों में से संख्या स्वयं और $1$ को घटाकर प्राप्त होती है,इसलिए हम $2$ घटाएंगे:
$432 - 2 = 430$.

(B) प्रत्येक प्रश्न के लिए,$4$ विकल्प हैं। चूंकि एक या एक से अधिक उत्तर सही हो सकते हैं,इसलिए एक प्रश्न के लिए सही उत्तर चुनने के कुल तरीके $4$ विकल्पों के सेट के गैर-रिक्त उपसमुच्चयों की संख्या के बराबर हैं।
यह $2^4 - 1 = 16 - 1 = 15$ तरीकों से प्राप्त होता है।
चूंकि ऐसे $15$ प्रश्न हैं और प्रत्येक का उत्तर स्वतंत्र रूप से दिया जाता है,इसलिए पूरे प्रश्न पत्र का उत्तर देने के कुल तरीके $15 \times 15 \times \dots \times 15$ ($15$ बार) हैं।
अतः,कुल तरीकों की संख्या $15^{15}$ है।

(D) अंक $S = \{1, 2, 3, 5, 7\}$ हैं। कुल अंक $n = 5$ हैं। संख्याएँ अवरोही क्रम में हैं।
$1$. $5$ अंकों वाली संख्याएँ: $5! = 120$.
$2$. $4$ अंकों वाली संख्याएँ: $^5P_4 = 120$.
$3$. $7$ से शुरू होने वाली $3$ अंकों वाली संख्याएँ: $^4P_2 = 12$.
$4$. $5$ से शुरू होने वाली $3$ अंकों वाली संख्याएँ: $^4P_2 = 12$.
$5$. $37$ से शुरू होने वाली $3$ अंकों वाली संख्याएँ: $^3P_1 = 3$.
$6$. $35$ से शुरू होने वाली $3$ अंकों वाली संख्याएँ: $^3P_1 = 3$.
$7$. $32$ से शुरू होने वाली $3$ अंकों वाली संख्याएँ: शेष अंक $\{1, 5, 7\}$ हैं। अवरोही क्रम में,ये $327, 325, 321$ हैं। $327$ इस क्रम में पहली संख्या है।
रैंक $= 120 + 120 + 12 + 12 + 3 + 3 + 1 = 271$.

(D) एकांतर क्रम में बैठने के लिए दो संभावित स्थितियाँ हैं:
स्थिति $1$: व्यवस्था एक लड़के से शुरू होती है: $B G B G B G B G B G B G B G B G$.
$8$ लड़कों को $8$ स्थानों पर व्यवस्थित करने के तरीके $8!$ हैं और $8$ लड़कियों को $8$ स्थानों पर व्यवस्थित करने के तरीके $8!$ हैं। अतः,$8! \times 8!$ तरीके।
स्थिति $2$: व्यवस्था एक लड़की से शुरू होती है: $G B G B G B G B G B G B G B G B$.
$8$ लड़कियों को $8$ स्थानों पर व्यवस्थित करने के तरीके $8!$ हैं और $8$ लड़कों को $8$ स्थानों पर व्यवस्थित करने के तरीके $8!$ हैं। अतः,$8! \times 8!$ तरीके।
कुल व्यवस्थाओं की संख्या $= 8! \times 8! + 8! \times 8! = 2 \times (8!)^2 = 2!(8!)^2$.

(B) $1000$ से छोटी प्राकृतिक संख्याएँ एक-अंकीय,दो-अंकीय या तीन-अंकीय हो सकती हैं।
$1$. तीन-अंकीय संख्याएँ:
सैकड़े के स्थान को $9$ तरीकों से भरा जा सकता है (अंक $1-9$)।
दहाई के स्थान को $9$ तरीकों से भरा जा सकता है (अंक $0-9$,सैकड़े के स्थान में उपयोग किए गए अंक को छोड़कर)।
इकाई के स्थान को $8$ तरीकों से भरा जा सकता है (शेष अंक)।
कुल तीन-अंकीय संख्याएँ $= 9 \times 9 \times 8 = 648$।
$2$. दो-अंकीय संख्याएँ:
दहाई के स्थान को $9$ तरीकों से भरा जा सकता है (अंक $1-9$)।
इकाई के स्थान को $9$ तरीकों से भरा जा सकता है (अंक $0-9$,दहाई के स्थान में उपयोग किए गए अंक को छोड़कर)।
कुल दो-अंकीय संख्याएँ $= 9 \times 9 = 81$।
$3$. एक-अंकीय संख्याएँ:
कुल $9$ एक-अंकीय संख्याएँ हैं ($1$ से $9$)।
कुल प्राकृतिक संख्याएँ $= 648 + 81 + 9 = 738$।

(B) दी गई संख्या $10800$ है।
$10800$ का अभाज्य गुणनखंडन $2^4 \times 3^3 \times 5^2$ है।
कुल भाजकों की संख्या $(4+1)(3+1)(2+1) = 5 \times 4 \times 3 = 60$ है।
विषम भाजकों की संख्या केवल विषम अभाज्य गुणनखंडों पर विचार करके प्राप्त की जाती है: $(3+1)(2+1) = 4 \times 3 = 12$।
अतः,$b = 12$।
सम भाजकों की संख्या कुल भाजकों में से विषम भाजकों की संख्या घटाने पर प्राप्त होती है: $a = 60 - 12 = 48$।
इसलिए,$2a + 3b = 2(48) + 3(12) = 96 + 36 = 132$।

(A) $n!$ के अंत में शून्यों की संख्या $5$ के उस उच्चतम घात द्वारा निर्धारित होती है जो $n!$ को विभाजित करता है,क्योंकि $n!$ के अभाज्य गुणनखंडन में $5$ की तुलना में $2$ के गुणनखंड हमेशा अधिक होते हैं।
$100!$ में $5$ का घात ज्ञात करने के लिए हम लेजेंड्रे के सूत्र का उपयोग करते हैं:
$K = \lfloor \frac{100}{5} \rfloor + \lfloor \frac{100}{5^2} \rfloor$
$K = \lfloor 20 \rfloor + \lfloor 4 \rfloor$
$K = 20 + 4 = 24$.
अतः,$100!$ के अंत में $24$ लगातार शून्य हैं।

(D) यह विकृतियों (derangements) की समस्या है,जिसे $D_n$ द्वारा दर्शाया जाता है,जहाँ $n$ वस्तुओं की संख्या है।
$n=4$ के लिए,विकृतियों की संख्या का सूत्र $D_n = n! \times \left(1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!}\right)$ है।
$n=4$ रखने पर:
$D_4 = 24 \times \left(1 - 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{6} + \frac{1}{24}\right)$
$D_4 = 24 \times \left(\frac{12 - 4 + 1}{24}\right)$
$D_4 = 24 \times \frac{9}{24} = 9$.
वैकल्पिक रूप से,समावेशन-अपवर्जन सिद्धांत का उपयोग करते हुए:
कुल तरीके $= 4! = 24$.
वे तरीके जिनमें कम से कम एक पत्र सही लिफाफे में हो $= \binom{4}{1} \times 3! - \binom{4}{2} \times 2! + \binom{4}{3} \times 1! - \binom{4}{4} \times 0! = 24 - 12 + 4 - 1 = 15$.
आवश्यक तरीके $= 24 - 15 = 9$.

(C) समाकलन $\int \frac{x^8-9 x^2+18}{x^4-3 x^2+3} d x$ को हल करने के लिए,हम सबसे पहले देखते हैं कि अंश की घात $(8)$ हर की घात $(4)$ से अधिक है।
$x^8-9 x^2+18$ को $x^4-3 x^2+3$ से विभाजित करने पर:
$x^8-9 x^2+18 = (x^4-3 x^2+3)(x^4+3 x^2+6) + 0$.
अतः,समाकलन इस प्रकार हो जाता है:
$\int (x^4+3 x^2+6) d x$.
$x$ के सापेक्ष प्रत्येक पद का समाकलन करने पर:
$= \int x^4 d x + 3 \int x^2 d x + 6 \int 1 d x$.
$= \frac{x^5}{5} + 3 \left( \frac{x^3}{3} \right) + 6x + c$.
$= \frac{x^5}{5} + x^3 + 6x + c$.

(B) दिए गए समीकरण $l+m+n=0$ और $mn-2lm-2nl=0$ हैं।
पहले समीकरण से,$l = -(m+n)$।
इसे दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$mn - 2(-(m+n))m - 2(-(m+n))n = 0$
$mn + 2m^2 + 2mn + 2mn + 2n^2 = 0$
$2m^2 + 5mn + 2n^2 = 0$
$(2m+n)(m+2n) = 0$।
स्थिति $1$: $n = -2m$। $l+m+n=0$ में रखने पर,$l+m-2m=0 \Rightarrow l=m$। अतः,दिक् अनुपात $(1, 1, -2)$ हैं।
स्थिति $2$: $m = -2n$। $l+m+n=0$ में रखने पर,$l-2n+n=0 \Rightarrow l=n$। अतः,दिक् अनुपात $(1, -2, 1)$ हैं।
माना दिक् अनुपात $\vec{a} = (1, 1, -2)$ और $\vec{b} = (1, -2, 1)$ हैं।
रेखाओं के बीच का कोण $\theta$,$\cos \theta = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$ द्वारा दिया जाता है।
$\cos \theta = \frac{|(1)(1) + (1)(-2) + (-2)(1)|}{\sqrt{1^2+1^2+(-2)^2} \sqrt{1^2+(-2)^2+1^2}} = \frac{|1 - 2 - 2|}{\sqrt{6} \sqrt{6}} = \frac{|-3|}{6} = \frac{1}{2}$।
अतः,$\theta = \frac{\pi}{3}$।

(C) दिए गए समीकरण हैं:
$l+m+n=0$ ... $(i)$
$2lm+2ln-mn=0$ ... (ii)
$(i)$ से,$m+n = -l$. इसे (ii) में प्रतिस्थापित करने पर:
$2l(m+n) - mn = 0$
$2l(-l) - mn = 0 \Rightarrow mn = -2l^2$ ... (iii)
हम जानते हैं कि $l^2+m^2+n^2 = 1$. साथ ही,$(m+n)^2 = m^2+n^2+2mn = (-l)^2 = l^2$.
अतः,$m^2+n^2 = l^2 - 2mn = l^2 - 2(-2l^2) = 5l^2$.
$l^2+m^2+n^2 = 1$ में मान रखने पर:
$l^2 + 5l^2 = 1 \Rightarrow 6l^2 = 1 \Rightarrow l^2 = \frac{1}{6}$.
माना दो रेखाओं की दिक्-कोसाइन $(l_1, m_1, n_1)$ और $(l_2, m_2, n_2)$ हैं।
$mn = -2l^2$ और $m+n = -l$ से,$m$ और $n$ द्विघात समीकरण $t^2 + lt - 2l^2 = 0$ के मूल हैं।
$(t+2l)(t-l) = 0 \Rightarrow t = -2l, l$.
इस प्रकार,दिक्-अनुपात $(l, -2l, l)$ और $(l, l, -2l)$ के समानुपाती हैं।
इन्हें सामान्यीकृत करने पर,दिक्-कोसाइन $(1, -2, 1)$ और $(1, 1, -2)$ के समानुपाती हैं।
माना $\vec{a} = \hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}$ और $\vec{b} = \hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}$.
$\cos \theta = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{a}| |\vec{b}|} = \frac{|(1)(1) + (-2)(1) + (1)(-2)|}{\sqrt{1^2+(-2)^2+1^2} \sqrt{1^2+1^2+(-2)^2}} = \frac{|1-2-2|}{\sqrt{6}\sqrt{6}} = \frac{|-3|}{6} = \frac{1}{2}$.
अतः,$\theta = \frac{\pi}{3}$.

(D) दिए गए समीकरण $2l + m + 2n = 0$ $(1)$ और $3l^2 + 5m^2 - 11n^2 = 0$ $(2)$ हैं।
$(1)$ से,$m = -2l - 2n$.
$m$ का मान $(2)$ में प्रतिस्थापित करने पर: $3l^2 + 5(-2l - 2n)^2 - 11n^2 = 0$.
$3l^2 + 5(4l^2 + 8ln + 4n^2) - 11n^2 = 0$.
$3l^2 + 20l^2 + 40ln + 20n^2 - 11n^2 = 0$.
$23l^2 + 40ln + 9n^2 = 0$.
$n^2$ से भाग देने पर: $23(\frac{l}{n})^2 + 40(\frac{l}{n}) + 9 = 0$.
मान लीजिए $x = \frac{l}{n}$. तब $23x^2 + 40x + 9 = 0$.
मान लीजिए मूल $x_1 = \frac{l_1}{n_1}$ और $x_2 = \frac{l_2}{n_2}$ हैं।
तब $x_1 x_2 = \frac{l_1 l_2}{n_1 n_2} = \frac{9}{23}$.
इसी प्रकार,$l = -\frac{m+2n}{2}$ को $(2)$ में रखने पर $23m^2 + 12mn - 32n^2 = 0$ प्राप्त होता है।
$n^2$ से भाग देने पर,$23(\frac{m}{n})^2 + 12(\frac{m}{n}) - 32 = 0$.
मान लीजिए $y_1 = \frac{m_1}{n_1}$ और $y_2 = \frac{m_2}{n_2}$. तब $y_1 y_2 = \frac{m_1 m_2}{n_1 n_2} = -\frac{32}{23}$.
दो रेखाओं के लिए जिनके दिक्-अनुपात $(l_1, m_1, n_1)$ और $(l_2, m_2, n_2)$ हैं,$\cos \theta = |l_1 l_2 + m_1 m_2 + n_1 n_2|$.
$l_1 l_2 + m_1 m_2 + n_1 n_2 = n_1 n_2 (x_1 x_2 + y_1 y_2 + 1) = n_1 n_2 (\frac{9}{23} - \frac{32}{23} + 1) = n_1 n_2 (\frac{-23}{23} + 1) = 0$.
अतः,$\cos \theta = 0$,जिसका अर्थ है कि $\theta = \frac{\pi}{2}$।

(B) मान लीजिए $y = \frac{x+3}{x^2+x-2}$ है। तब $y(x^2+x-2) = x+3$,जिसका अर्थ है $yx^2 + (y-1)x - (2y+3) = 0$।
$x$ के वास्तविक होने के लिए,विविक्तकर (discriminant) $D \geq 0$ होना चाहिए।
$D = (y-1)^2 - 4(y)(-(2y+3)) = y^2 - 2y + 1 + 8y^2 + 12y = 9y^2 + 10y + 1 \geq 0$।
गुणनखंड करने पर,हमें $(9y+1)(y+1) \geq 0$ प्राप्त होता है।
इस असमिका का हल $y \in (-\infty, -1] \cup [-\frac{1}{9}, \infty)$ है।
अतः,परिसर $R - (-1, -\frac{1}{9})$ है।
$R - (\alpha, \beta)$ के साथ तुलना करने पर,हमें $\alpha = -1$ और $\beta = -\frac{1}{9}$ प्राप्त होता है।
रेखा का समीकरण $-x - \frac{1}{9}y + 1 = 0$ है,जो $x + \frac{1}{9}y = 1$ में सरल हो जाता है।
$x$-अंतःखंड $1$ है और $y$-अंतःखंड $9$ है।
अंतःखंडों का योग $1 + 9 = 10$ है।

(B) दिया गया है $\tan \alpha = \frac{1}{7}$ और $\sin \beta = \frac{1}{\sqrt{10}}$.
चूंकि $\beta$ प्रथम चतुर्थांश में है,$\cos \beta = \sqrt{1 - \sin^2 \beta} = \sqrt{1 - \frac{1}{10}} = \frac{3}{\sqrt{10}}$.
अतः,$\tan \beta = \frac{\sin \beta}{\cos \beta} = \frac{1}{3}$.
अब,$\alpha + 2\beta = \tan^{-1}(\frac{1}{7}) + 2\tan^{-1}(\frac{1}{3})$.
सूत्र $2\tan^{-1} x = \tan^{-1}(\frac{2x}{1-x^2})$ का उपयोग करने पर:
$2\tan^{-1}(\frac{1}{3}) = \tan^{-1}(\frac{3}{4})$.
अतः,$\alpha + 2\beta = \tan^{-1}(\frac{1}{7}) + \tan^{-1}(\frac{3}{4}) = \tan^{-1}(\frac{1/7 + 3/4}{1 - 3/28}) = \tan^{-1}(1) = 45^{\circ}$.

(C) मान लीजिए बिंदु $P$ के निर्देशांक $(u, v, w)$ हैं।
चूंकि $P, O(0, 0, 0), A(3, 0, 0), B(0, 6, 0),$ और $C(0, 0, 9)$ से समान दूरी पर है,इसलिए $PO^2 = PA^2 = PB^2 = PC^2$ है।
$PO^2 = u^2 + v^2 + w^2$.
$PA^2 = (u-3)^2 + v^2 + w^2 = u^2 - 6u + 9 + v^2 + w^2$.
$PO^2 = PA^2$ को बराबर करने पर,$u^2 = u^2 - 6u + 9$ $\Rightarrow 6u = 9$ $\Rightarrow u = \frac{3}{2}$.
$PB^2 = u^2 + (v-6)^2 + w^2 = u^2 + v^2 - 12v + 36 + w^2$.
$PO^2 = PB^2$ को बराबर करने पर,$v^2 = v^2 - 12v + 36$ $\Rightarrow 12v = 36$ $\Rightarrow v = 3$.
$PC^2 = u^2 + v^2 + (w-9)^2 = u^2 + v^2 + w^2 - 18w + 81$.
$PO^2 = PC^2$ को बराबर करने पर,$w^2 = w^2 - 18w + 81$ $\Rightarrow 18w = 81$ $\Rightarrow w = \frac{81}{18} = \frac{9}{2}$.
अतः,$P = \left(\frac{3}{2}, 3, \frac{9}{2}\right)$.
$Q = (2, 5, 8)$ दिया गया है,बिंदु $R, PQ$ को $3:2$ के अनुपात में विभाजित करता है। विभाजन सूत्र $\left(\frac{mx_2 + nx_1}{m+n}, \frac{my_2 + ny_1}{m+n}, \frac{mz_2 + nz_1}{m+n}\right)$ का उपयोग करने पर:
$R = \left(\frac{3(2) + 2(\frac{3}{2})}{3+2}, \frac{3(5) + 2(3)}{3+2}, \frac{3(8) + 2(\frac{9}{2})}{3+2}\right)$
$R = \left(\frac{6+3}{5}, \frac{15+6}{5}, \frac{24+9}{5}\right) = \left(\frac{9}{5}, \frac{21}{5}, \frac{33}{5}\right)$.

(D) प्रायिकता वितरण के लिए,प्रायिकताओं का योग $1$ होना चाहिए। यहाँ,दिए गए मान $P(X=x) = \frac{2}{20}, \frac{4}{20}, \frac{6}{20}, \frac{8}{20}$ हैं।
माध्य $\mu = E(X) = \sum x \cdot P(X=x) = 1(\frac{2}{20}) + 2(\frac{4}{20}) + 3(\frac{6}{20}) + 4(\frac{8}{20}) = \frac{2+8+18+32}{20} = \frac{60}{20} = 3$.
प्रसरण $\sigma^2 = E(X^2) - [E(X)]^2$.
$E(X^2) = \sum x^2 \cdot P(X=x) = 1^2(\frac{2}{20}) + 2^2(\frac{4}{20}) + 3^2(\frac{6}{20}) + 4^2(\frac{8}{20}) = \frac{2 + 16 + 54 + 128}{20} = \frac{200}{20} = 10$.
प्रसरण $\sigma^2 = 10 - (3)^2 = 10 - 9 = 1$.
मानक विचलन $\sigma = \sqrt{1} = 1$.

(B) मान लीजिए कि शीर्षों $A, B, C$ के स्थिति सदिश क्रमशः $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ हैं।
चूंकि $P, Q, R$ भुजाओं $AB, BC, CA$ के मध्य-बिंदु हैं,इसलिए उनके स्थिति सदिश $\vec{p} = \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2}$,$\vec{q} = \frac{\vec{b} + \vec{c}}{2}$,और $\vec{r} = \frac{\vec{c} + \vec{a}}{2}$ हैं।
अब,सदिश $PC$ और $BQ$ की गणना करते हैं:
$\vec{PC} = \vec{c} - \vec{p} = \vec{c} - \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2} = \frac{2\vec{c} - \vec{a} - \vec{b}}{2}$
$\vec{BQ} = \vec{q} - \vec{b} = \frac{\vec{b} + \vec{c}}{2} - \vec{b} = \frac{\vec{c} - \vec{b}}{2}$
अतः,$\vec{PC} - \vec{BQ} = \frac{2\vec{c} - \vec{a} - \vec{b}}{2} - \frac{\vec{c} - \vec{b}}{2} = \frac{2\vec{c} - \vec{a} - \vec{b} - \vec{c} + \vec{b}}{2} = \frac{\vec{c} - \vec{a}}{2}$.
अब,विकल्पों की जांच करते हैं:
$PQ = \vec{q} - \vec{p} = \frac{\vec{b} + \vec{c}}{2} - \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2} = \frac{\vec{c} - \vec{a}}{2}$.
$AR = \vec{r} - \vec{a} = \frac{\vec{c} + \vec{a}}{2} - \vec{a} = \frac{\vec{c} - \vec{a}}{2}$.
इस प्रकार,$PC - BQ = PQ = AR$।

(D) दिया गया वक्र $y = x^4 - x^2$ है।
न्यूनतम बिंदु ज्ञात करने के लिए,हम अवकलन करते हैं:
$\frac{dy}{dx} = 4x^3 - 2x = 2x(2x^2 - 1) = 0$.
इससे $x = 0$ और $x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$ प्राप्त होता है।
द्वितीय अवकलज परीक्षण का उपयोग करते हुए,$y'' = 12x^2 - 2$.
$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$ पर,$y'' = 12(\frac{1}{2}) - 2 = 4 > 0$,इसलिए ये न्यूनतम बिंदु हैं।
क्षेत्रफल $\int_{-\frac{1}{\sqrt{2}}}^{\frac{1}{\sqrt{2}}} |x^4 - x^2| dx$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि फलन सम है,क्षेत्रफल $2 \int_{0}^{\frac{1}{\sqrt{2}}} -(x^4 - x^2) dx$ होगा (क्योंकि इस अंतराल में $x^4 - x^2 < 0$ है)।
क्षेत्रफल $= 2 \int_{0}^{\frac{1}{\sqrt{2}}} (x^2 - x^4) dx = 2 \left[ \frac{x^3}{3} - \frac{x^5}{5} \right]_{0}^{\frac{1}{\sqrt{2}}}$.
$= 2 \left( \frac{1}{3(2\sqrt{2})} - \frac{1}{5(4\sqrt{2})} \right) = 2 \left( \frac{1}{6\sqrt{2}} - \frac{1}{20\sqrt{2}} \right)$.
$= 2 \left( \frac{10 - 3}{60\sqrt{2}} \right) = 2 \left( \frac{7}{60\sqrt{2}} \right) = \frac{7}{30\sqrt{2}}$.

(A) दिया गया वक्र $y = x^3 - 3x^2 + 2x$ है।
वक्र जहाँ $X$-अक्ष को काटता है,उन बिंदुओं को ज्ञात करने के लिए,हम $y = 0$ रखते हैं:
$x(x^2 - 3x + 2) = 0$
$x(x - 1)(x - 2) = 0$
अतः,वक्र $X$-अक्ष को $x = 0, 1, 2$ पर काटता है।
क्षेत्रफल $\int_0^2 |y| dx = \int_0^1 (x^3 - 3x^2 + 2x) dx + \left| \int_1^2 (x^3 - 3x^2 + 2x) dx \right|$ द्वारा दिया जाता है।
पहला भाग: $\int_0^1 (x^3 - 3x^2 + 2x) dx = \left[ \frac{x^4}{4} - x^3 + x^2 \right]_0^1 = (\frac{1}{4} - 1 + 1) - 0 = \frac{1}{4}$.
दूसरा भाग: $\int_1^2 (x^3 - 3x^2 + 2x) dx = \left[ \frac{x^4}{4} - x^3 + x^2 \right]_1^2 = (\frac{16}{4} - 8 + 4) - (\frac{1}{4} - 1 + 1) = (4 - 8 + 4) - \frac{1}{4} = 0 - \frac{1}{4} = -\frac{1}{4}$.
इसका निरपेक्ष मान $|-\frac{1}{4}| = \frac{1}{4}$ है।
कुल क्षेत्रफल = $\frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ वर्ग इकाई।

(B) दिए गए वक्र $y=|x|$ और $y=1-|x|$ हैं।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,$|x| = 1-|x|$ रखें,जिससे $2|x| = 1$ प्राप्त होता है,अतः $|x| = \frac{1}{2}$।
इसका अर्थ है कि $x = \frac{1}{2}$ या $x = -\frac{1}{2}$।
जब $x = \frac{1}{2}$,तो $y = \frac{1}{2}$। जब $x = -\frac{1}{2}$,तो $y = \frac{1}{2}$।
प्रतिच्छेदन बिंदु $A(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ और $C(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ हैं।
वक्र $y$-अक्ष को $O(0,0)$ और $B(0,1)$ पर भी काटते हैं।
यह क्षेत्र एक वर्ग है जिसके शीर्ष $O(0,0)$,$A(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$,$B(0,1)$,और $C(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ हैं।
वर्ग की भुजा की लंबाई $OA = \sqrt{(\frac{1}{2}-0)^2 + (\frac{1}{2}-0)^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ है।
वर्ग का क्षेत्रफल $(\text{भुजा})^2 = (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 = \frac{1}{2} \text{ वर्ग इकाई}$ है।

(A) दिए गए वक्र $y=2x^2$ और $y=\max \{x-[x], x+|x|\}$ हैं।
चूंकि $x-[x] = \{x\}$,इसलिए $y=\max \{\{x\}, x+|x|\}$ है।
$x \in [0, 2]$ के लिए,$x+|x| = 2x$ और $\{x\} \in [0, 1)$ होता है।
सभी $x \in [0, 2]$ के लिए $2x \geq \{x\}$ होने के कारण,फलन $y=2x$ में सरल हो जाता है।
हमें $x=0$ और $x=2$ के बीच $y=2x^2$ और $y=2x$ द्वारा घिरा क्षेत्रफल ज्ञात करना है।
वक्र $2x^2 = 2x$ पर प्रतिच्छेद करते हैं,जिससे $x^2-x=0$ मिलता है,अतः $x=0$ और $x=1$ प्राप्त होते हैं।
$x \in [0, 1]$ के लिए,$2x \geq 2x^2$ है। $x \in [1, 2]$ के लिए,$2x^2 \geq 2x$ है।
आवश्यक क्षेत्रफल $\int_0^1 (2x - 2x^2) dx + \int_1^2 (2x^2 - 2x) dx$ है।
$= [x^2 - \frac{2x^3}{3}]_0^1 + [\frac{2x^3}{3} - x^2]_1^2$.
$= (1 - \frac{2}{3}) + [(\frac{16}{3} - 4) - (\frac{2}{3} - 1)]$.
$= \frac{1}{3} + \frac{4}{3} - (-\frac{1}{3}) = \frac{1}{3} + \frac{4}{3} + \frac{1}{3} = \frac{6}{3} = 2$.

(A) दिए गए वक्रों के समीकरण हैं:
$y = 8x - x^2$ $(i)$
$8x - 4y + 11 = 0$ (ii)
(ii) से,$4y = 8x + 11 \Rightarrow y = \frac{8x+11}{4} = 2x + \frac{11}{4}$.
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,(ii) से $y$ का मान $(i)$ में प्रतिस्थापित करें:
$2x + \frac{11}{4} = 8x - x^2$
$x^2 - 6x + \frac{11}{4} = 0$
$4x^2 - 24x + 11 = 0$
$4x^2 - 22x - 2x + 11 = 0$
$2x(2x - 11) - 1(2x - 11) = 0$
$(2x - 1)(2x - 11) = 0$
अतः,$x = \frac{1}{2}$ और $x = \frac{11}{2}$.
क्षेत्रफल इस प्रकार दिया गया है:
$A = \int_{1/2}^{11/2} [y_{\text{parabola}} - y_{\text{line}}] dx$
$A = \int_{1/2}^{11/2} [(8x - x^2) - (2x + \frac{11}{4})] dx$
$A = \int_{1/2}^{11/2} (-x^2 + 6x - \frac{11}{4}) dx$
$A = [-\frac{x^3}{3} + 3x^2 - \frac{11}{4}x]_{1/2}^{11/2}$
निश्चित समाकलन का मान ज्ञात करने पर:
$A = [-\frac{1}{3}(\frac{1331}{8} - \frac{1}{8}) + 3(\frac{121}{4} - \frac{1}{4}) - \frac{11}{4}(\frac{11}{2} - \frac{1}{2})]$
$A = [-\frac{1}{3}(\frac{1330}{8}) + 3(\frac{120}{4}) - \frac{11}{4}(5)]$
$A = [-\frac{665}{12} + 90 - \frac{55}{4}] = [-\frac{665}{12} + \frac{1080}{12} - \frac{165}{12}] = \frac{250}{12} = \frac{125}{6} \text{ वर्ग इकाई}$.

(A) दिया गया है $A=\left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 0 & 1\end{array}\right]$ और $I=\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right]$।
हम $A$ की घातों की गणना करते हैं:
$A^2 = A \cdot A = \left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 0 & 1\end{array}\right] \left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 0 & 1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 0 & 1\end{array}\right] = 2A - I = 2A - (2-1)I$.
$A^3 = A^2 \cdot A = \left[\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 0 & 1\end{array}\right] \left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 0 & 1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ll}1 & 3 \\ 0 & 1\end{array}\right] = 3A - 2I = 3A - (3-1)I$.
गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा,हम किसी भी $n \in N$ के लिए इस पैटर्न को सामान्यीकृत कर सकते हैं:
$A^n = nA - (n-1)I$.

(A) दिया गया है,$A B A = B A^2 B$ और $A^3 = I$।
$A B A = B A^2 B$ के दोनों पक्षों में दाईं ओर $A^2$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$A B A \cdot A^2 = B A^2 B \cdot A^2$
$A B A^3 = B A^2 B A^2$
चूंकि $A^3 = I$,हमारे पास है:
$A B = B A^2 B A^2$
अब,दाईं ओर $B$ से गुणा करने पर:
$A B^2 = B A^2 B A^2 B$
दिए गए समीकरण से $A^2 B = A B A$ प्रतिस्थापित करने पर:
$A B^2 = B A^2 B (A B A)$
$A B^2 = B A^2 B A B A$
$A^3 = I$ का उपयोग करके,हम इसे और सरल कर सकते हैं।
वैकल्पिक रूप से,ध्यान दें कि $A B A = B A^2 B \implies A B = B A^2 B A^{-1}$।
चूंकि $A^3 = I$,$A^{-1} = A^2$।
अतः $A B = B A^2 B A^2$।
पुनरावृत्त प्रतिस्थापन द्वारा,$A B^4 = B^4 A$।
इसलिए,$A B^4 - B^4 A = O_{3 \times 3}$।

(D) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix}$.
सबसे पहले,पंक्तियों और स्तंभों को आपस में बदलकर परिवर्त आव्यूह $A'$ ज्ञात करें:
$A' = \begin{bmatrix} 1 & 4 & 7 \\ 2 & 5 & 8 \\ 3 & 6 & 9 \end{bmatrix}$.
अब,गुणनफल $AA'$ की गणना करें:
$AA' = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 4 & 7 \\ 2 & 5 & 8 \\ 3 & 6 & 9 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (1+4+9) & (4+10+18) & (7+16+27) \\ (4+10+18) & (16+25+36) & (28+40+54) \\ (7+16+27) & (28+40+54) & (49+64+81) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 14 & 32 & 50 \\ 32 & 77 & 122 \\ 50 & 122 & 194 \end{bmatrix}$.
हम जानते हैं कि किसी भी आव्यूह $B$ के लिए,$(B')' = B$ होता है। चूंकि $AA'$ एक सममित आव्यूह है (क्योंकि $(AA')' = (A')'A' = AA'$),इसलिए $(AA')' = AA'$.
अतः,$(AA')' = \begin{bmatrix} 14 & 32 & 50 \\ 32 & 77 & 122 \\ 50 & 122 & 194 \end{bmatrix}$.

(B) दिया गया है $a_{i j} = xi + yj$. आव्यूह $A$ को $A = [a_{i j}]_{n \times n}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
हम $A$ को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$A = \begin{bmatrix} x+y & 2x+y & \dots & nx+y \\ x+2y & 2x+2y & \dots & nx+2y \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ x+ny & 2x+ny & \dots & nx+ny \end{bmatrix}$
इसे इस प्रकार विभाजित किया जा सकता है:
$A = x \begin{bmatrix} 1 & 2 & \dots & n \\ 1 & 2 & \dots & n \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & 2 & \dots & n \end{bmatrix} + y \begin{bmatrix} 1 & 1 & \dots & 1 \\ 2 & 2 & \dots & 2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ n & n & \dots & n \end{bmatrix}$
माना $P = \begin{bmatrix} 1 & 2 & \dots & n \\ 1 & 2 & \dots & n \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & 2 & \dots & n \end{bmatrix}$ और $Q = \begin{bmatrix} 1 & 1 & \dots & 1 \\ 2 & 2 & \dots & 2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ n & n & \dots & n \end{bmatrix}$.
$P+Q = [i+j]_{n \times n}$, जो एक सममित आव्यूह है क्योंकि $(P+Q)^T = [j+i]^T = [i+j] = P+Q$.
$P-Q = [i-j]_{n \times n}$, जो एक विषम-सममित आव्यूह है क्योंकि $(P-Q)^T = [j-i]^T = [-(i-j)] = -(P-Q)$.

(B) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} \frac{1}{6} & -\frac{1}{3} & -\frac{1}{6} \\ -\frac{1}{3} & \frac{2}{3} & \frac{1}{3} \\ -\frac{1}{6} & \frac{1}{3} & \frac{1}{6} \end{bmatrix}$।
सबसे पहले,हम $A^2 = A \times A$ की गणना करते हैं।
$A^2 = \begin{bmatrix} \frac{1}{6} & -\frac{1}{3} & -\frac{1}{6} \\ -\frac{1}{3} & \frac{2}{3} & \frac{1}{3} \\ -\frac{1}{6} & \frac{1}{3} & \frac{1}{6} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \frac{1}{6} & -\frac{1}{3} & -\frac{1}{6} \\ -\frac{1}{3} & \frac{2}{3} & \frac{1}{3} \\ -\frac{1}{6} & \frac{1}{3} & \frac{1}{6} \end{bmatrix} = \frac{1}{36} \begin{bmatrix} 6 & -12 & -6 \\ -12 & 24 & 12 \\ -6 & 12 & 6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{6} & -\frac{1}{3} & -\frac{1}{6} \\ -\frac{1}{3} & \frac{2}{3} & \frac{1}{3} \\ -\frac{1}{6} & \frac{1}{3} & \frac{1}{6} \end{bmatrix} = A$।
चूंकि $A^2 = A$,इसलिए सभी $k \in N$ के लिए $A^k = A$ होता है।
अतः,$A^{2016l} = A$,$A^{2017m} = A$,और $A^{2018n} = A$।
दिया गया समीकरण $A + A + A = \frac{1}{\alpha} A$ हो जाता है,जो सरल होकर $3A = \frac{1}{\alpha} A$ बन जाता है।
दोनों पक्षों की तुलना करने पर,हमें $\frac{1}{\alpha} = 3$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $\alpha = \frac{1}{3}$।

(C) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{bmatrix}$.
सबसे पहले,हम सारणिक $|A|$ की गणना करते हैं:
$|A| = 1(1 - 4) - 2(2 - 4) + 2(4 - 2) = -3 + 4 + 4 = 5$.
इसके बाद,हम $A$ का सहखंडज $(\text{Adj } A)$ ज्ञात करते हैं:
सहखंड आव्यूह इस प्रकार है:
$C_{11} = -3, C_{12} = 2, C_{13} = 2$
$C_{21} = 2, C_{22} = -3, C_{23} = 2$
$C_{31} = 2, C_{32} = 2, C_{33} = -3$
अतः,$\text{Adj } A = \begin{bmatrix} -3 & 2 & 2 \\ 2 & -3 & 2 \\ 2 & 2 & -3 \end{bmatrix}$.
इस प्रकार,$A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{Adj } A = \frac{1}{5} \begin{bmatrix} -3 & 2 & 2 \\ 2 & -3 & 2 \\ 2 & 2 & -3 \end{bmatrix}$.
हम इसे इस प्रकार लिख सकते हैं:
$A^{-1} = \frac{1}{5} \left( \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{bmatrix} \right) = \frac{1}{5}(A - 4I)$.

(C) मैट्रिक्स $A$ की कोटि (rank) $3$ है यदि और केवल यदि कम से कम एक $3 \times 3$ माइनर मौजूद हो जिसका सारणिक (determinant) शून्य न हो।
पहले तीन स्तंभों द्वारा गठित सबमैट्रिक्स $M$ पर विचार करें:
$M = \begin{bmatrix} 1 & r & r^2 \\ r & r^2 & 1 \\ r^2 & 1 & r \end{bmatrix}$।
$M$ का सारणिक $|M| = 1(r^3 - 1) - r(r^2 - r^2) + r^2(r - r^4) = r^3 - 1 + r^3 - r^6 = -(r^6 - 2r^3 + 1) = -(r^3 - 1)^2$ है।
कोटि $3$ होने के लिए,हमें $|M| \neq 0$ की आवश्यकता है।
$-(r^3 - 1)^2 \neq 0 \Rightarrow r^3 - 1 \neq 0 \Rightarrow r^3 \neq 1 \Rightarrow r \neq 1$।
अतः,$A$ की कोटि $r \in R - \{1\}$ के लिए $3$ है।

(B) माना $A = \left[\begin{array}{cccc}3 & 2 & 1 & -4 \\ 2 & 3 & 0 & -1 \\ 1 & -6 & 3 & -8\end{array}\right]$ है।
आव्यूह को पंक्ति-सोपान रूप (row-echelon form) में बदलने के लिए पंक्ति संक्रियाएँ लागू करते हैं:
$R_2 \rightarrow R_2 - \frac{2}{3}R_1$ और $R_3 \rightarrow R_3 - \frac{1}{3}R_1$ लागू करने पर:
$A \sim \left[\begin{array}{cccc}3 & 2 & 1 & -4 \\ 0 & 5/3 & -2/3 & 5/3 \\ 0 & -20/3 & 8/3 & -20/3\end{array}\right]$
अब,$R_3 \rightarrow R_3 + 4R_2$ लागू करने पर:
$A \sim \left[\begin{array}{cccc}3 & 2 & 1 & -4 \\ 0 & 5/3 & -2/3 & 5/3 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right]$
पंक्ति-सोपान रूप में अशून्य पंक्तियों की संख्या $2$ है।
अतः,आव्यूह $A$ की कोटि (rank) $2$ है।

(C) माना कि दिया गया सारणिक $\Delta = \left|\begin{array}{ccc}1 & bc+ad & b^2c^2+a^2d^2 \\ 1 & ca+bd & c^2a^2+b^2d^2 \\ 1 & ab+cd & a^2b^2+c^2d^2\end{array}\right|$ है।
$R_1 \rightarrow R_1 - R_2$ और $R_2 \rightarrow R_2 - R_3$ लागू करने पर:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc}0 & c(b-a)+d(a-b) & c^2(b^2-a^2)+d^2(a^2-b^2) \\ 0 & c(a-b)+d(b-a) & c^2(a^2-b^2)+d^2(b^2-a^2) \\ 1 & ab+cd & a^2b^2+c^2d^2\end{array}\right|$.
$R_1$ और $R_2$ से $(a-b)$ कॉमन लेने पर:
$\Delta = (a-b)^2 \left|\begin{array}{ccc}0 & -(c-d) & -(c^2-d^2) \\ 0 & (c-d) & (c^2-d^2) \\ 1 & ab+cd & a^2b^2+c^2d^2\end{array}\right|$.
इस सारणिक का विस्तार करने पर हमें $(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)$ प्राप्त होता है।

(A) सबसे पहले,हम $\Delta_1 = \left|\begin{array}{lll}1 & a^2 & a^3 \\ 1 & b^2 & b^3 \\ 1 & c^2 & c^3\end{array}\right|$ का मूल्यांकन करते हैं।
$R_2 \rightarrow R_2-R_1$ और $R_3 \rightarrow R_3-R_1$ लागू करने पर:
$\Delta_1 = \left|\begin{array}{ccc}1 & a^2 & a^3 \\ 0 & b^2-a^2 & b^3-a^3 \\ 0 & c^2-a^2 & c^3-a^3\end{array}\right| = (b-a)(c-a) \left|\begin{array}{ccc}1 & a^2 & a^3 \\ 0 & b+a & b^2+a^2+ab \\ 0 & c+a & c^2+a^2+ac\end{array}\right|$.
प्रथम स्तंभ के सापेक्ष विस्तार करने पर:
$\Delta_1 = (b-a)(c-a) [(b+a)(c^2+a^2+ac) - (c+a)(b^2+a^2+ab)]$
$= -(a-b)(b-c)(c-a) (ab+bc+ca)$.
अब,हम $\Delta_2 = \left|\begin{array}{lll}bc & b+c & 1 \\ ca & c+a & 1 \\ ab & a+b & 1\end{array}\right|$ का मूल्यांकन करते हैं।
$R_2 \rightarrow R_2-R_1$ और $R_3 \rightarrow R_3-R_1$ लागू करने पर:
$\Delta_2 = \left|\begin{array}{ccc}bc & b+c & 1 \\ ca-bc & a-b & 0 \\ ab-bc & a-c & 0\end{array}\right| = -(a-b)(b-c)(c-a)$.
अंत में,$\frac{\Delta_1}{\Delta_2} = \frac{-(a-b)(b-c)(c-a)(ab+bc+ca)}{-(a-b)(b-c)(c-a)} = ab+bc+ca$.

(D) दिया गया समीकरण निकाय है:
$x+y+z=9$
$2x+5y+7z=52$
$x+7y+11z=77$
हम इस निकाय को संवर्धित आव्यूह (augmented matrix) $[A|B]$ के रूप में निरूपित करते हैं:
$[A|B] = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 9 \\ 2 & 5 & 7 & 52 \\ 1 & 7 & 11 & 77 \end{bmatrix}$
पंक्ति संक्रियाओं $R_2 \rightarrow R_2-2R_1$ और $R_3 \rightarrow R_3-R_1$ को लागू करने पर:
$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 9 \\ 0 & 3 & 5 & 34 \\ 0 & 6 & 10 & 68 \end{bmatrix}$
पंक्ति संक्रिया $R_3 \rightarrow R_3-2R_2$ को लागू करने पर:
$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 9 \\ 0 & 3 & 5 & 34 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$
यहाँ,गुणांक आव्यूह की कोटि $\rho(A) = 2$ है और संवर्धित आव्यूह की कोटि $\rho(A|B) = 2$ है। चूँकि $\rho(A) = \rho(A|B) < 3$ (जहाँ $3$ चरों की संख्या है),इसलिए इस निकाय के अनंत हल हैं।

(C) रैखिक समीकरणों की प्रणाली का गैर-तुच्छ हल होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक शून्य होना चाहिए।
$\Delta = \begin{vmatrix} 1 & \sin \alpha & \cos \alpha \\ 1 & \cos \alpha & \sin \alpha \\ -1 & \sin \alpha & -\cos \alpha \end{vmatrix} = 0$
पहली पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$1(-\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha) - \sin \alpha(-\cos \alpha + \sin \alpha) + \cos \alpha(\sin \alpha + \cos \alpha) = 0$
$-1 - \sin \alpha(-\cos \alpha + \sin \alpha) + \cos \alpha(\sin \alpha + \cos \alpha) = 0$
$-1 + \sin \alpha \cos \alpha - \sin^2 \alpha + \sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha = 0$
$-1 + 2\sin \alpha \cos \alpha + (\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha) = 0$
$-1 + \sin 2\alpha + \cos 2\alpha = 0$
$\sin 2\alpha + \cos 2\alpha = 1$
$\sqrt{2}$ से विभाजित करने पर:
$\frac{1}{\sqrt{2}} \sin 2\alpha + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos 2\alpha = \frac{1}{\sqrt{2}}$
$\sin(2\alpha + \frac{\pi}{4}) = \sin \frac{\pi}{4}$
$\sin \theta = \sin \beta$ के लिए सामान्य हल $\theta = n\pi + (-1)^n \beta$ है।
$2\alpha + \frac{\pi}{4} = n\pi + (-1)^n \frac{\pi}{4}$
$2\alpha = n\pi + (-1)^n \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4}$
$\alpha = \frac{n\pi}{2} + (-1)^n \frac{\pi}{8} - \frac{\pi}{8}$

(B) दिए गए समीकरणों का निकाय:
$x+y+z=4$ $(1)$
$x-y+z=2$ $(2)$
$x+2y+2z=1$ $(3)$
समीकरण $(1)$ में से $(2)$ घटाने पर: $(x+y+z) - (x-y+z) = 4-2 \implies 2y = 2 \implies y = 1$.
$y=1$ का मान $(1)$ और $(3)$ में रखने पर:
$x+1+z=4 \implies x+z=3$ $(4)$
$x+2(1)+2z=1 \implies x+2z=-1$ $(5)$
समीकरण $(5)$ में से $(4)$ घटाने पर: $(x+2z) - (x+z) = -1 - 3 \implies z = -4$.
$z=-4$ का मान $(4)$ में रखने पर: $x-4=3 \implies x=7$.
अतः,$a=7, b=1, c=-4$.
अब,$ab+bc+ca$ ज्ञात करते हैं:
$ab+bc+ca = (7)(1) + (1)(-4) + (-4)(7) = 7 - 4 - 28 = -25$.

(B) दिया गया निकाय $\begin{bmatrix} 2 & 8 \\ 3 & 7 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix} = k \begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix}$ है।
इसे $\begin{bmatrix} 2-k & 8 \\ 3 & 7-k \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
अतुच्छ हल के लिए,सारणिक का मान शून्य होना चाहिए:
$\begin{vmatrix} 2-k & 8 \\ 3 & 7-k \end{vmatrix} = 0$.
$(2-k)(7-k) - 24 = 0$.
$k^2 - 9k + 14 - 24 = 0$.
$k^2 - 9k - 10 = 0$.
$(k-10)(k+1) = 0$.
अतः,$k = 10$ या $k = -1$. धनात्मक मान लेने पर,$k = 10$.
$k = 10$ रखने पर,हमें $-8a + 8b = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $a = b$.

(A) दिया गया समीकरण निकाय है:
$x+y+2z=3$
$x+2y+3z=4$
$x+y+cz=5$
निकाय के असंगत होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक $D = 0$ होना चाहिए।
$D = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & c \end{vmatrix} = 0$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$1(2c - 3) - 1(c - 3) + 2(1 - 2) = 0$
$2c - 3 - c + 3 - 2 = 0$
$c - 2 = 0 \Rightarrow c = 2$
यदि $c=2$ है,तो समीकरण $x+y+2z=3$ और $x+y+2z=5$ प्राप्त होते हैं,जो परस्पर विरोधी हैं।
अतः,$c=2$ के लिए निकाय असंगत है।
नोट: यदि तीसरा समीकरण $x+y+2cz=5$ है,तो $c=1$ प्राप्त होता है।

(B) हम जानते हैं कि दो आसन्न पंक्तियों (या स्तंभों) के परस्पर विनिमय से सारणिक का मान केवल चिह्न में बदलता है,परिमाण में नहीं।
अतः,$B$ के प्रत्येक अवयव $\Delta$ के संगत,$C$ में एक अवयव $\Delta^{\prime}$ होता है जिसे $\Delta$ में दो आसन्न पंक्तियों (या स्तंभों) को आपस में बदलकर प्राप्त किया जाता है।
इसका तात्पर्य यह है कि $n(B) \leq n(C)$,अर्थात $B$ में अवयवों की संख्या $C$ में अवयवों की संख्या से कम या उसके बराबर है।
इसी प्रकार,$C$ के किसी भी सारणिक में दो पंक्तियों को आपस में बदलकर,हमें $B$ में एक सारणिक प्राप्त होता है,इसलिए $n(C) \leq n(B)$।
अतः,$n(B) = n(C)$,जिसका अर्थ है कि $B$ में $C$ के बराबर ही अवयव हैं।

(B) दिया गया है,$2 \tan ^{-1} \frac{1}{5}+\sec ^{-1} \frac{5 \sqrt{2}}{7}+2 \tan ^{-1} \frac{1}{8}$
$=2 \left(\tan ^{-1} \frac{1}{5}+\tan ^{-1} \frac{1}{8}\right)+\sec ^{-1} \frac{5 \sqrt{2}}{7}$
सूत्र $\tan ^{-1} A+\tan ^{-1} B=\tan ^{-1}\left(\frac{A+B}{1-A B}\right)$ का उपयोग करने पर:
$=2 \tan ^{-1}\left(\frac{\frac{1}{5}+\frac{1}{8}}{1-\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{8}}\right)+\sec ^{-1} \frac{5 \sqrt{2}}{7}$
$=2 \tan ^{-1}\left(\frac{13}{39}\right)+\sec ^{-1} \frac{5 \sqrt{2}}{7} = 2 \tan ^{-1}\left(\frac{1}{3}\right)+\sec ^{-1} \frac{5 \sqrt{2}}{7}$
$2 \tan ^{-1} A=\tan ^{-1}\left(\frac{2 A}{1-A^2}\right)$ का उपयोग करने पर:
$=\tan ^{-1}\left(\frac{2 \times \frac{1}{3}}{1-\frac{1}{9}}\right)+\sec ^{-1} \frac{5 \sqrt{2}}{7} = \tan ^{-1}\left(\frac{2/3}{8/9}\right)+\sec ^{-1} \frac{5 \sqrt{2}}{7} = \tan ^{-1}\left(\frac{3}{4}\right)+\sec ^{-1} \frac{5 \sqrt{2}}{7}$
अब,$\sec ^{-1} \frac{5 \sqrt{2}}{7}$ को $\tan ^{-1}$ में बदलें। मान लीजिए $\theta = \sec ^{-1} \frac{5 \sqrt{2}}{7}$,तो $\sec \theta = \frac{5 \sqrt{2}}{7}$.
सम्मुख भुजा $\sqrt{(5 \sqrt{2})^2 - 7^2} = \sqrt{50 - 49} = 1$ है। अतः,$\tan \theta = \frac{1}{7}$,इसलिए $\sec ^{-1} \frac{5 \sqrt{2}}{7} = \tan ^{-1} \frac{1}{7}$.
व्यंजक $\tan ^{-1}\left(\frac{3}{4}\right)+\tan ^{-1}\left(\frac{1}{7}\right)$ बन जाता है।
$= \tan ^{-1}\left(\frac{\frac{3}{4}+\frac{1}{7}}{1-\frac{3}{4} \cdot \frac{1}{7}}\right) = \tan ^{-1}\left(\frac{21+4}{28-3}\right) = \tan ^{-1}\left(\frac{25}{25}\right) = \tan ^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}$

(A) दिया गया है $\cos ^{-1} 2x + \cos ^{-1} 3x = \frac{\pi}{3}$.
सूत्र $\cos ^{-1} A + \cos ^{-1} B = \cos ^{-1} (AB - \sqrt{1-A^2}\sqrt{1-B^2})$ का उपयोग करने पर:
$\cos ^{-1} (2x \cdot 3x - \sqrt{1-(2x)^2}\sqrt{1-(3x)^2}) = \frac{\pi}{3}$
$6x^2 - \sqrt{1-4x^2}\sqrt{1-9x^2} = \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$
$6x^2 - \frac{1}{2} = \sqrt{(1-4x^2)(1-9x^2)}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(6x^2 - \frac{1}{2})^2 = (1-4x^2)(1-9x^2)$
$36x^4 - 6x^2 + \frac{1}{4} = 1 - 13x^2 + 36x^4$
$-6x^2 + 13x^2 = 1 - \frac{1}{4}$
$7x^2 = \frac{3}{4}$
$x^2 = \frac{3}{28}$
$x = \sqrt{\frac{3}{28}} = \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{7}}$

(B) माना कि $\theta = \sin ^{-1}\left(\frac{12}{13}\right)$। तब $\sin \theta = \frac{12}{13}$। पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करते हुए,आधार $\sqrt{13^2 - 12^2} = \sqrt{169 - 144} = \sqrt{25} = 5$ है। अतः,$\tan \theta = \frac{12}{5}$,इसलिए $\theta = \tan ^{-1}\left(\frac{12}{5}\right)$।
माना कि $\phi = \cos ^{-1}\left(\frac{4}{5}\right)$। तब $\cos \phi = \frac{4}{5}$। लंब $\sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{25 - 16} = \sqrt{9} = 3$ है। अतः,$\tan \phi = \frac{3}{4}$,इसलिए $\phi = \tan ^{-1}\left(\frac{3}{4}\right)$।
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$\tan ^{-1}\left(\frac{12}{5}\right) + \tan ^{-1}\left(\frac{3}{4}\right) + \tan ^{-1}\left(\frac{63}{16}\right)$
जब $AB > 1$ हो,तब सूत्र $\tan ^{-1} A + \tan ^{-1} B = \pi + \tan ^{-1}\left(\frac{A+B}{1-AB}\right)$ का उपयोग करते हुए:
$A = \frac{12}{5}, B = \frac{3}{4} \Rightarrow AB = \frac{36}{20} = 1.8 > 1$।
अतः,$\tan ^{-1}\left(\frac{12}{5}\right) + \tan ^{-1}\left(\frac{3}{4}\right) = \pi + \tan ^{-1}\left(\frac{\frac{12}{5} + \frac{3}{4}}{1 - \frac{12}{5} \times \frac{3}{4}}\right) = \pi + \tan ^{-1}\left(\frac{\frac{48+15}{20}}{1 - \frac{36}{20}}\right) = \pi + \tan ^{-1}\left(\frac{\frac{63}{20}}{-\frac{16}{20}}\right) = \pi + \tan ^{-1}\left(-\frac{63}{16}\right) = \pi - \tan ^{-1}\left(\frac{63}{16}\right)$।
अंतिम पद जोड़ने पर:
$\pi - \tan ^{-1}\left(\frac{63}{16}\right) + \tan ^{-1}\left(\frac{63}{16}\right) = \pi$।

(A) दिया गया है: $\tan ^{-1}\left(\frac{1}{2 \sqrt{2}}\right)+\sin ^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=\cos ^{-1} x$.
माना $\theta_1 = \tan ^{-1} \left(\frac{1}{2 \sqrt{2}}\right)$ और $\theta_2 = \sin ^{-1} \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)$.
प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों की परिभाषा के अनुसार:
$\tan \theta_1 = \frac{1}{2 \sqrt{2}} \implies \cos \theta_1 = \frac{2 \sqrt{2}}{3}$ और $\sin \theta_1 = \frac{1}{3}$.
$\sin \theta_2 = \frac{1}{\sqrt{3}} \implies \cos \theta_2 = \sqrt{1 - \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{3}} = \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$.
अब,$\theta_1 + \theta_2 = \cos ^{-1} x \implies x = \cos(\theta_1 + \theta_2)$.
सूत्र $\cos(A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$ का उपयोग करने पर:
$x = \cos \theta_1 \cos \theta_2 - \sin \theta_1 \sin \theta_2$
$x = \left(\frac{2 \sqrt{2}}{3}\right) \left(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\right) - \left(\frac{1}{3}\right) \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)$
$x = \frac{2 \times 2}{3 \sqrt{3}} - \frac{1}{3 \sqrt{3}} = \frac{4}{3 \sqrt{3}} - \frac{1}{3 \sqrt{3}} = \frac{3}{3 \sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
अतः,$x = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

(A) फलन $f(x) = \sqrt{\log_a(x - [x])}$ के परिभाषित होने के लिए,वर्गमूल के अंदर का व्यंजक गैर-ऋणात्मक होना चाहिए और लघुगणक परिभाषित होना चाहिए।
$1$. पद $(x - [x])$ $x$ का भिन्नात्मक भाग दर्शाता है,जिसे $\{x\}$ कहा जाता है। चूंकि $0 \leq \{x\} < 1$,और $\log_a(\{x\})$ के परिभाषित होने के लिए,हमारे पास $\{x\} > 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $x \notin Z$।
$2$. वर्गमूल के परिभाषित होने के लिए,$\log_a(\{x\}) \geq 0$ होना चाहिए।
$3$. यदि $a > 1$ है,तो $\{x\} \geq a^0 = 1$। चूंकि $\{x\} < 1$ है,इसलिए यह संभव नहीं है।
$4$. यदि $0 < a < 1$ है,तो $\log_a(\{x\}) \geq 0 \implies \{x\} \leq a^0 = 1$। जो $x \notin Z$ के लिए हमेशा सत्य है।
$5$. अतः,$x \in R - Z$ और $a \in (0, 1)$।

(B) फलन $f(x) = \log \left[(2.5)^{3-x^2} - (0.4)^{x+9}\right]$ तब परिभाषित होता है जब लघुगणक का मान धनात्मक हो:
$(2.5)^{3-x^2} - (0.4)^{x+9} > 0$
$\Rightarrow (2.5)^{3-x^2} > (0.4)^{x+9}$
चूंकि $0.4 = (2.5)^{-1}$,हम लिख सकते हैं:
$(2.5)^{3-x^2} > (2.5)^{-(x+9)}$
आधार $2.5 > 1$ होने के कारण,घातांकों के लिए:
$3 - x^2 > -x - 9$
$x^2 - x - 12 < 0$
$(x - 4)(x + 3) < 0$
अतः $x \in (-3, 4)$।

(A) दिया गया समीकरण $2 \tan^{-1} 2x = \sin^{-1} \left( \frac{4x}{1+4x^2} \right)$ है।
हम जानते हैं कि सर्वसमिका $\sin^{-1} \left( \frac{2\theta}{1+\theta^2} \right) = 2 \tan^{-1} \theta$,जो $-1 \leq \theta \leq 1$ के लिए सत्य है।
यहाँ,$\theta = 2x$ लेने पर,समीकरण $2 \tan^{-1} 2x = \sin^{-1} \left( \frac{2(2x)}{1+(2x)^2} \right)$ हो जाता है।
यह सर्वसमिका तभी मान्य है जब $-1 \leq 2x \leq 1$ हो।
$2$ से विभाजित करने पर,हमें $-\frac{1}{2} \leq x \leq \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$x$ के मान $[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$ अंतराल में स्थित हैं।

(B) माना $g(x) = -x^2-6x-5$। यह नीचे की ओर खुलने वाला एक परवलय है।
$g(x)$ का अधिकतम मान $-\frac{D}{4a}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $D = b^2-4ac = (-6)^2 - 4(-1)(-5) = 36 - 20 = 16$ है।
अधिकतम मान $-\frac{16}{4(-1)} = 4$ है।
अतः,$g(x)$ का परिसर $(-\infty, 4]$ है।
चूँकि फलन $f(x) = -\sqrt{g(x)}$ है,वर्गमूल के अंदर का मान गैर-ऋणात्मक होना चाहिए,इसलिए $g(x) \in [0, 4]$।
वर्गमूल लेने पर,$\sqrt{g(x)} \in [0, 2]$।
$-1$ से गुणा करने पर,हमें $f(x) \in [-2, 0]$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है कि $f(x)$ एक विषम फलन है,इसलिए इसे डोमेन के सभी $x$ के लिए $f(-x) = -f(x)$ की शर्त को पूरा करना चाहिए।
$x < 0$ के लिए,हमारे पास $-x > 0$ है।
चूंकि $x > 0$ के लिए $f(x) = x^2 + 3x - 7$ है,हम इस व्यंजक में $-x$ प्रतिस्थापित करके $f(-x)$ ज्ञात कर सकते हैं:
$f(-x) = (-x)^2 + 3(-x) - 7 = x^2 - 3x - 7$.
विषम फलन के गुण का उपयोग करते हुए,$x < 0$ के लिए $f(x) = -f(-x)$:
$h(x) = -(x^2 - 3x - 7) = -x^2 + 3x + 7$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) दिया गया है $(f \circ g)(x) = x$,अतः $g(x)$,$f(x)$ का प्रतिलोम फलन है।
मान लीजिए $g(1 + (2n - 1) \pi) = x_n$ है। तो $f(x_n) = 1 + (2n - 1) \pi$ होगा।
$f(x) = 2x + \cos x + \sin^2 x$ प्रतिस्थापित करने पर:
$2x_n + \cos x_n + \sin^2 x_n = 1 + (2n - 1) \pi$
$2x_n + \cos x_n + 1 - \cos^2 x_n = 1 + (2n - 1) \pi$
$2x_n + \cos x_n - \cos^2 x_n = (2n - 1) \pi$.
यदि $x_n = (2n - 1) \frac{\pi}{2}$ हो,तो $\cos x_n = 0$ होता है।
इस मान को समीकरण में रखने पर: $2((2n - 1) \frac{\pi}{2}) + 0 - 0 = (2n - 1) \pi$,जो सत्य है।
अतः,$g(1 + (2n - 1) \pi) = (2n - 1) \frac{\pi}{2}$ है।
अब,$\sum_{n=1}^{99} g(1 + (2n - 1) \pi) = \sum_{n=1}^{99} (2n - 1) \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2} \sum_{n=1}^{99} (2n - 1)$.
प्रथम $99$ विषम संख्याओं का योग $99^2$ होता है।
इसलिए,योग $(99)^2 \frac{\pi}{2}$ होगा।

(B) यहाँ $X = \left\{\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} : a, b, c, d \in \mathbb{R} \right\}$ और $f(A) = \operatorname{det}(A) = ad - bc$ है।
फलन के आच्छादक होने के लिए,प्रत्येक $y \in \mathbb{R}$ के लिए,एक ऐसा आव्यूह $A \in X$ होना चाहिए कि $f(A) = y$ हो।
आव्यूह $A = \begin{bmatrix} y & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ पर विचार करें। तब $\operatorname{det}(A) = y(1) - 0(0) = y$। चूँकि किसी भी $y \in \mathbb{R}$ के लिए ऐसा आव्यूह मौजूद है,इसलिए फलन आच्छादक है।
फलन के एकैकी होने के लिए,$f(A_1) = f(A_2)$ का अर्थ $A_1 = A_2$ होना चाहिए।
$A_1 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ और $A_2 = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$ पर विचार करें।
$f(A_1) = (1)(1) - (0)(0) = 1$ और $f(A_2) = (2)(1) - (1)(1) = 1$।
चूँकि $f(A_1) = f(A_2)$ है लेकिन $A_1 \neq A_2$ है,इसलिए फलन एकैकी नहीं है।
अतः,$f$ आच्छादक है लेकिन एकैकी नहीं है।

(B) हमें दिया गया है $f(x) = \frac{x}{1+x}$ जहाँ $f: [0, \infty) \rightarrow [0, \infty)$ है।
एकैकी (one-one) के लिए:
मान लीजिए $f(x_1) = f(x_2)$ है।
$\frac{x_1}{1+x_1} = \frac{x_2}{1+x_2}$
$x_1(1+x_2) = x_2(1+x_1)$
$x_1 + x_1x_2 = x_2 + x_1x_2$
$x_1 = x_2$ प्राप्त होता है।
चूँकि $f(x_1) = f(x_2) \implies x_1 = x_2$,इसलिए फलन एकैकी है।
आच्छादक (onto) के लिए:
मान लीजिए $y = f(x) = \frac{x}{1+x}$ है।
$y(1+x) = x \implies y + xy = x \implies y = x(1-y) \implies x = \frac{y}{1-y}$।
चूँकि $x \in [0, \infty)$,इसलिए $\frac{y}{1-y} \geq 0$ होना चाहिए।
इसका अर्थ है कि $y \in [0, 1)$ है।
सह-प्रांत $[0, \infty)$ है,लेकिन परिसर $[0, 1)$ है।
परिसर $\neq$ सह-प्रांत होने के कारण,फलन आच्छादक नहीं है।
अतः,$f$ एकैकी है लेकिन आच्छादक नहीं है।

(C) दिया गया है $f(x) = \frac{1+\sqrt{1+4 \log_2 x}}{2}$.
$f^{-1}(3)$ ज्ञात करने के लिए,हम $f(x) = y$ मानते हैं,जिसका अर्थ है $x = f^{-1}(y)$.
$\frac{1+\sqrt{1+4 \log_2 x}}{2} = y$
$\sqrt{1+4 \log_2 x} = 2y - 1$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$1 + 4 \log_2 x = (2y - 1)^2$
$1 + 4 \log_2 x = 4y^2 - 4y + 1$
$4 \log_2 x = 4y^2 - 4y$
$\log_2 x = y^2 - y$
$x = 2^{y^2 - y}$
अतः,$f^{-1}(y) = 2^{y^2 - y}$.
अब,$y = 3$ रखने पर:
$f^{-1}(3) = 2^{3^2 - 3}$
$f^{-1}(3) = 2^{9 - 3}$
$f^{-1}(3) = 2^6 = 64$.

(A) दिया गया फलन $f(x) = 1 + 2x + 4x^2 + 8x^3 + \ldots$ है,जहाँ $|x| < \frac{1}{2}$ है।
यह एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a = 1$ और सार्व अनुपात $r = 2x$ है।
अनंत गुणोत्तर श्रेणी का योग $S_{\infty} = \frac{a}{1-r}$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,$f(x) = \frac{1}{1-2x}$ है।
मान लीजिए $y = f(x) = \frac{1}{1-2x}$ है।
$f^{-1}(x)$ ज्ञात करने के लिए,हम $y$ के पदों में $x$ का मान निकालते हैं:
$y(1-2x) = 1$
$y - 2xy = 1$
$2xy = y - 1$
$x = \frac{y-1}{2y}$ है।
$y$ को $x$ से प्रतिस्थापित करने पर,हमें $f^{-1}(x) = \frac{x-1}{2x}$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है $f(x) = 3x + \frac{2}{x}$. मान लीजिए $y = 3x + \frac{2}{x}$.
$x$ से गुणा करने पर,हमें $3x^2 - yx + 2 = 0$ प्राप्त होता है।
द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर,$x = \frac{y \pm \sqrt{y^2 - 4(3)(2)}}{2(3)} = \frac{y \pm \sqrt{y^2 - 24}}{6}$.
चूंकि प्रांत $x \in [1, \infty)$ है,हमें वह मूल चुनना होगा जो इस शर्त को पूरा करता हो।
$y \geq 5$ के लिए,$y^2 \geq 25$,इसलिए $\sqrt{y^2 - 24} \geq 1$.
यदि हम $x = \frac{y - \sqrt{y^2 - 24}}{6}$ लेते हैं,तो $y=5$ के लिए,$x = \frac{5 - 1}{6} = \frac{2}{3} < 1$,जो प्रांत के बाहर है।
यदि हम $x = \frac{y + \sqrt{y^2 - 24}}{6}$ लेते हैं,तो $y=5$ के लिए,$x = \frac{5 + 1}{6} = 1$,जो प्रांत के अंदर है।
अतः,$f^{-1}(x) = \frac{x + \sqrt{x^2 - 24}}{6}$.

(C) सबसे पहले,हम $x=0$ पर सांतत्य की जाँच करते हैं: $\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} \frac{x^2 \ln \cos x}{\ln (1+x^2)}$.
मानक सीमा $\lim_{u \to 0} \frac{\ln(1+u)}{u} = 1$ का उपयोग करते हुए,हमारे पास $\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x^2)}{x^2} = 1$ है।
अतः,$\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} \left( \frac{x^2}{\ln(1+x^2)} \right) \cdot \ln \cos x = 1 \cdot \ln(1) = 0$.
चूँकि $\lim_{x \to 0} f(x) = f(0) = 0$,फलन $x=0$ पर संतत है।
अब,$x=0$ पर अवकलनीयता की जाँच करने के लिए परिभाषा $f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{h^2 \ln \cos h}{h \ln(1+h^2)} = \lim_{h \to 0} \frac{h \ln \cos h}{\ln(1+h^2)}$ का उपयोग करते हैं।
अंश और हर को $h^2$ से विभाजित करने पर: $\lim_{h \to 0} \frac{\frac{\ln \cos h}{h}}{\frac{\ln(1+h^2)}{h^2}} = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{\ln \cos h}{h}}{1}$.
$\frac{\ln \cos h}{h}$ पर एल'हॉस्पिटल नियम का उपयोग करने पर: $\lim_{h \to 0} \frac{-\tan h}{1} = 0$.
चूँकि सीमा का अस्तित्व है और यह $0$ है,इसलिए $f(x)$ बिंदु $x=0$ पर अवकलनीय है।

(C) यदि $f(x)$ बिंदु $x=2$ पर सतत है,तो बाएँ पक्ष की सीमा $(LHL)$,दाएँ पक्ष की सीमा $(RHL)$ और $x=2$ पर फलन का मान समान होना चाहिए।
$1$. $LHL$ की गणना: $\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} (\frac{x-2}{|x-2|} + a)$। चूँकि $x < 2$,$|x-2| = -(x-2)$,इसलिए $\frac{x-2}{-(x-2)} + a = -1 + a$।
$2$. $RHL$ की गणना: $\lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} (\frac{x-2}{|x-2|} + b)$। चूँकि $x > 2$,$|x-2| = (x-2)$,इसलिए $\frac{x-2}{x-2} + b = 1 + b$।
$3$. $x=2$ पर मान: $f(2) = a + b$।
इन सबको बराबर करने पर: $-1 + a = 1 + b = a + b$।
$-1 + a = a + b$ से,हमें $b = -1$ प्राप्त होता है।
$1 + b = a + b$ से,हमें $a = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,$a + b = 1 + (-1) = 0$।

(A) फलन $f(x)$ के $[-1, 1]$ में सतत होने के लिए,इसे $x = 0$ पर भी सतत होना चाहिए।
इसका अर्थ है कि $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0)$।
सबसे पहले,दाईं ओर की सीमा और $x = 0$ पर फलन का मान ज्ञात करें:
$f(0) = \frac{2(0) + 1}{0 - 2} = -\frac{1}{2}$।
अब,बाईं ओर की सीमा ज्ञात करें:
$\lim_{x \to 0^-} \frac{\sqrt{1+px} - \sqrt{1-px}}{x} = \lim_{x \to 0^-} \frac{(\sqrt{1+px} - \sqrt{1-px})(\sqrt{1+px} + \sqrt{1-px})}{x(\sqrt{1+px} + \sqrt{1-px})}$
$= \lim_{x \to 0^-} \frac{(1+px) - (1-px)}{x(\sqrt{1+px} + \sqrt{1-px})} = \lim_{x \to 0^-} \frac{2px}{x(\sqrt{1+px} + \sqrt{1-px})} = \lim_{x \to 0^-} \frac{2p}{\sqrt{1+px} + \sqrt{1-px}}$
$= \frac{2p}{\sqrt{1} + \sqrt{1}} = \frac{2p}{2} = p$।
सीमाओं की तुलना करने पर: $p = -\frac{1}{2}$।

(C) माना $u = \sqrt{2+|x|}$ है। चूँकि $|x| \ge 0$,इसलिए $u \ge \sqrt{2}$ है।
तब $|x| = u^2 - 2$ होगा।
अंश $\sqrt{11 + (u^2 - 2) - 6u} = \sqrt{u^2 - 6u + 9} = \sqrt{(u-3)^2} = |u-3|$ हो जाता है।
हर $6 - 2u = 2(3-u)$ है।
अतः,$f(x) = \frac{|u-3|}{2(3-u)}$ है।
यदि $u < 3$ है,तो $f(x) = \frac{3-u}{2(3-u)} = \frac{1}{2}$ है।
यदि $u > 3$ है,तो $f(x) = \frac{u-3}{2(3-u)} = -\frac{1}{2}$ है।
फलन वहाँ असंतत है जहाँ हर शून्य है,अर्थात $6 - 2u = 0 \Rightarrow u = 3$ है।
मान प्रतिस्थापित करने पर,$\sqrt{2+|x|} = 3 \Rightarrow 2+|x| = 9 \Rightarrow |x| = 7$ प्राप्त होता है।
इससे $x = 7$ और $x = -7$ प्राप्त होते हैं।
इन दो बिंदुओं पर,बायाँ सीमा $\frac{1}{2}$ और दायाँ सीमा $-\frac{1}{2}$ है,इसलिए फलन असंतत है।
अतः,असंततता के $2$ बिंदु हैं।

(A) दिया गया है कि $f(x)$ पर $\mathbb{R}$ सतत है,इसलिए यह $x = -1$ और $x = 1$ पर भी सतत होगा।
$x = -1$ पर:
$\lim_{x \to -1^-} f(x) = \lim_{x \to -1^+} f(x)$
$a(-1) + b = 2(-1)^2 + 2b(-1) - \frac{a}{2}$
$-a + b = 2 - 2b - \frac{a}{2}$
$-\frac{a}{2} + 3b = 2 \quad \dots (i)$
$x = 1$ पर:
$\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x)$
$2(1)^2 + 2b(1) - \frac{a}{2} = 7$
$2 + 2b - \frac{a}{2} = 7$
$-\frac{a}{2} + 2b = 5 \quad \dots (ii)$
समीकरण $(i)$ से समीकरण $(ii)$ को घटाने पर:
$(-\frac{a}{2} + 3b) - (-\frac{a}{2} + 2b) = 2 - 5$
$b = -3$
$b = -3$ का मान समीकरण $(ii)$ में रखने पर:
$-\frac{a}{2} + 2(-3) = 5$
$-\frac{a}{2} - 6 = 5$
$-\frac{a}{2} = 11$
$a = -22$
अतः,$(a, b) = (-22, -3)$।