TS EAMCET 2020 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(D) कुल व्यक्तियों की संख्या = $3 + 8 = 11$.
$11$ व्यक्तियों को एक वृत्त के चारों ओर बैठाने के तरीके = $(11 - 1)! = 10!$.
अब,मान लीजिए कि तीनों बहनें एक साथ बैठती हैं। $3$ बहनों को $1$ इकाई मानिए।
कुल इकाइयाँ = $8$ भाई + $1$ बहनों की इकाई = $9$ इकाइयाँ।
$9$ इकाइयों को एक वृत्त के चारों ओर बैठाने के तरीके = $(9 - 1)! = 8!$.
$3$ बहनें आपस में $3! = 6$ तरीकों से व्यवस्थित हो सकती हैं।
अतः,वे तरीके जिनमें तीनों बहनें एक साथ बैठती हैं = $8! \times 6$.
वे तरीके जिनमें तीनों बहनें एक साथ नहीं बैठती हैं = (कुल व्यवस्था) - (वे व्यवस्थाएँ जिनमें तीनों बहनें एक साथ बैठती हैं) = $10! - (8! \times 6)$.
$10! - 6 \times 8! = (10 \times 9 \times 8!) - (6 \times 8!) = (90 - 6) \times 8! = 84 \times 8!$.

(A) दिया गया समीकरण: $(\sqrt{3}-1) \sin \theta + (\sqrt{3}+1) \cos \theta = 2$.
दोनों पक्षों को $\sqrt{(\sqrt{3}-1)^2 + (\sqrt{3}+1)^2} = 2\sqrt{2}$ से विभाजित करने पर।
$\frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}} \sin \theta + \frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}} \cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
यहाँ $\cos \alpha = \frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}}$ और $\sin \alpha = \frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}$ लेने पर,$\tan \alpha = \tan(\frac{5\pi}{12})$ प्राप्त होता है।
अतः,$\sin(\theta + \frac{5\pi}{12}) = \sin(\frac{\pi}{4})$.
हल: $\theta = 2n\pi \pm \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{12}$.

(B) परवलय का समीकरण $y^2 = 4x$ है। इसकी तुलना $y^2 = 4ax$ से करने पर,हमें $a = 1$ प्राप्त होता है। नाभि $S$ का निर्देशांक $(a, 0) = (1, 0)$ है।
चूंकि बिंदु $P = (4, 4)$ परवलय पर स्थित है,हम $x = at_1^2$ और $y = 2at_1$ का उपयोग करके बिंदु $P$ के लिए प्राचल $t_1$ ज्ञात कर सकते हैं। अतः,$4 = 1 \cdot t_1^2 \implies t_1 = 2$.
नाभीय जीवा के लिए,सिरों $P$ और $Q$ के प्राचल $t_1$ और $t_2$ का संबंध $t_1 t_2 = -1$ होता है। इसलिए,$t_2 = -\frac{1}{t_1} = -\frac{1}{2}$.
परवलय $y^2 = 4ax$ पर प्राचल $t$ वाले बिंदु की नाभीय दूरी $a(1 + t^2)$ द्वारा दी जाती है।
बिंदु $Q$ के लिए जिसका प्राचल $t_2 = -\frac{1}{2}$ है,नाभीय दूरी $SQ = a(1 + t_2^2) = 1 \cdot (1 + (-\frac{1}{2})^2) = 1 + \frac{1}{4} = \frac{5}{4}$.

(B) दी गई श्रेणी $y = \frac{3}{4} + \frac{3 \cdot 5}{4 \cdot 8} + \frac{3 \cdot 5 \cdot 7}{4 \cdot 8 \cdot 12} + \dots \infty$ है।
दोनों पक्षों में $1$ जोड़ने पर,$1 + y = 1 + \frac{3}{4} + \frac{3 \cdot 5}{4 \cdot 8} + \frac{3 \cdot 5 \cdot 7}{4 \cdot 8 \cdot 12} + \dots \infty$ प्राप्त होता है।
यह $(1 - x)^{-n} = 1 + nx + \frac{n(n+1)}{2!}x^2 + \dots$ के रूप में है।
तुलना करने पर,$nx = \frac{3}{4}$ और $\frac{n(n+1)}{2}x^2 = \frac{15}{32}$ प्राप्त होता है।
$n = \frac{3}{2}$ और $x = \frac{1}{2}$ हल करने पर,$1 + y = (1 - 1/2)^{-3/2} = 2^{3/2} = 2\sqrt{2}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$(1 + y)^2 = 8$,अतः $y^2 + 2y - 7 = 0$।

(D) दीर्घवृत्त का समीकरण $x^2 + 2y^2 = 2$ है,जिसे $\frac{x^2}{2} + \frac{y^2}{1} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
स्पर्श बिंदु $(x_0, y_0)$ मान लीजिए। स्पर्श रेखा का समीकरण $\frac{xx_0}{2} + yy_0 = 1$ है।
अक्षों पर अंतःखंड $A = (\frac{2}{x_0}, 0)$ और $B = (0, \frac{1}{y_0})$ हैं।
मान लीजिए $(h, k)$ अंतःखंड $AB$ का मध्य बिंदु है। तब $h = \frac{1}{x_0}$ और $k = \frac{1}{2y_0}$,जिसका अर्थ है $x_0 = \frac{1}{h}$ और $y_0 = \frac{1}{2k}$।
चूंकि $(x_0, y_0)$ दीर्घवृत्त पर स्थित है,इसलिए $(\frac{1}{h})^2 + 2(\frac{1}{2k})^2 = 2$।
यह सरल होकर $\frac{1}{h^2} + \frac{1}{2k^2} = 2$ हो जाता है।
$(h, k)$ को $(x, y)$ से बदलने पर,हमें $\frac{1}{x^2} + \frac{1}{2y^2} = 2$ प्राप्त होता है।

(B) अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ के बिंदु $(a \sec \theta, b \tan \theta)$ पर अभिलंब का समीकरण $ax \cos \theta + by \cot \theta = a^2 + b^2$ है।
बिंदु $P$ के लिए,अभिलंब $ax \cos \theta + by \cot \theta = a^2 + b^2$ है।
बिंदु $Q$ के लिए,अभिलंब $ax \cos \phi + by \cot \phi = a^2 + b^2$ है।
दिया है $\phi = \frac{\pi}{2} - \theta$,इसलिए $\cos \phi = \sin \theta$ और $\cot \phi = \tan \theta$ है।
अतः,दूसरा अभिलंब $ax \sin \theta + by \tan \theta = a^2 + b^2$ है।
दोनों समीकरणों को घटाने पर: $ax(\cos \theta - \sin \theta) + by(\cot \theta - \tan \theta) = 0$.
इस समीकरण को हल करने पर,$k = -\left(\frac{a^2+b^2}{b}\right)$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया त्रिघात समीकरण $x^3+a x^2-b x+c=0$ है जिसके मूल $\alpha, \beta, \gamma$ हैं।
विएटा के सूत्रों के अनुसार:
$\alpha+\beta+\gamma = -a$
$\alpha \beta+\beta \gamma+\gamma \alpha = -b$
$\alpha \beta \gamma = -c$
हमें $\sum \beta^2(\gamma+\alpha) = \beta^2(\gamma+\alpha) + \gamma^2(\alpha+\beta) + \alpha^2(\beta+\gamma)$ का मान ज्ञात करना है।
सर्वसमिका $\sum \alpha^2(\beta+\gamma) = (\alpha+\beta+\gamma)(\alpha \beta+\beta \gamma+\gamma \alpha) - 3 \alpha \beta \gamma$ का उपयोग करने पर:
$= (-a)(-b) - 3(-c) = ab + 3c$.

(B) दिया गया समीकरण $x^3+px+q=0$ है जिसके मूल $\alpha, \beta, \gamma$ हैं,इसलिए $\alpha+\beta+\gamma=0$,$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=p$,और $\alpha\beta\gamma=-q$ है।
चूंकि $\alpha^3+p\alpha+q=0$,इसलिए $\alpha^4 = -p\alpha^2-q\alpha$ है।
सभी मूलों के लिए योग करने पर,$\sum \alpha^4 = -p\sum \alpha^2 - q\sum \alpha = -p(-2p) - 0 = 2p^2$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,$\sum \alpha^2\beta + \sum \alpha^4$ का मान $f(-1)$ के बराबर है।

(C) दिया गया है कि द्विघात समीकरण $ax^2+bx+c=0$ के मूल काल्पनिक हैं,इसलिए विविक्तकर $D = b^2 - 4ac < 0$,जिसका अर्थ है $b^2 < 4ac$.
माना $f(x) = 3a^2x^2 + 6abx + 2b^2$.
यहाँ $x^2$ का गुणांक $3a^2 > 0$ है,इसलिए इस व्यंजक का न्यूनतम मान होगा।
द्विघात समीकरण $Ax^2 + Bx + C$ का न्यूनतम मान $\frac{4AC - B^2}{4A}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$A = 3a^2$,$B = 6ab$,और $C = 2b^2$.
न्यूनतम मान $= \frac{4(3a^2)(2b^2) - (6ab)^2}{4(3a^2)} = \frac{24a^2b^2 - 36a^2b^2}{12a^2} = \frac{-12a^2b^2}{12a^2} = -b^2$.
चूंकि $b^2 < 4ac$,इसलिए $-b^2 > -4ac$.
अतः,न्यूनतम मान $-4ac$ से अधिक है।

(A) माना समीकरण $x^4+x^3-4x^2+x+1=0$ के मूलों को $h$ से कम किया गया है। $x$ को $x+h$ से प्रतिस्थापित करने पर,समीकरण $(x+h)^4+(x+h)^3-4(x+h)^2+(x+h)+1=0$ हो जाता है।
पदों का विस्तार करने पर,$x^2$ का गुणांक $6h^2+3h-4$ प्राप्त होता है।
चूंकि $x^2$ पद अनुपस्थित है,इसलिए हम $6h^2+3h-4=0$ रखते हैं।
इस द्विघात समीकरण के मूल $\alpha$ और $\beta$ हैं।
मूलों के अंतर के संबंध का उपयोग करते हुए,$(\alpha-\beta)^2 = (\alpha+\beta)^2 - 4\alpha\beta$।
द्विघात समीकरण $6h^2+3h-4=0$ से,हमारे पास $\alpha+\beta = -\frac{3}{6} = -\frac{1}{2}$ और $\alpha\beta = -\frac{4}{6} = -\frac{2}{3}$ है।
अतः,$(\alpha-\beta)^2 = (-\frac{1}{2})^2 - 4(-\frac{2}{3}) = \frac{1}{4} + \frac{8}{3} = \frac{3+32}{12} = \frac{35}{12}$।
इसलिए,$12(\alpha-\beta)^2 = 12 \times \frac{35}{12} = 35$।

(D) $x^2+9x+20=0$ के मूल $x = -5$ और $x = -4$ हैं।
$x^2+bx+c=0$ के मूल $r_3$ और $r_4$ मानिए।
दी गई शर्त $|\alpha_1-\alpha_3|=8$ और $|\alpha_2-\alpha_4|=8$ के अनुसार,मूलों के संभावित युग्मों को ज्ञात करके और $b = -(r_3+r_4)$ तथा $c = r_3r_4$ की गणना करने पर,$b$ और $c$ के सभी संभावित मानों का योग $143$ प्राप्त होता है।

(A) द्विघात समीकरण $\lambda x^2 + 13x + 7 = 0$ के मूल परिमेय होने के लिए,विविक्तकर $D$ एक पूर्ण वर्ग होना चाहिए।
$D = 169 - 28\lambda$.
$\lambda \in (-3, 7)$ के लिए संभावित पूर्णांक मान $\{-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ हैं।
जाँच करने पर:
$\lambda = -2$ के लिए,$D = 225 = (15)^2$ (पूर्ण वर्ग)।
$\lambda = 0$ के लिए,समीकरण $13x + 7 = 0$ बनता है,जिसका मूल $x = -7/13$ (परिमेय) है।
$\lambda = 6$ के लिए,$D = 1 = (1)^2$ (पूर्ण वर्ग)।
अतः,$S = \{-2, 0, 6\}$।
योग $= -2 + 0 + 6 = 4$।

(B) दिया गया है,$\frac{1}{x^4+x^2+1} = \frac{Ax+B}{x^2+x+1} + \frac{Cx+D}{x^2-x+1}$.
हम जानते हैं कि $x^4+x^2+1 = (x^2+x+1)(x^2-x+1)$.
अंशों की तुलना करने पर:
$1 = (Ax+B)(x^2-x+1) + (Cx+D)(x^2+x+1)$
गुणांकों की तुलना करने पर:
$A+C = 0, B-A+C+D = 0, A-B+C+D = 0, B+D = 1$.
हल करने पर हमें $A=\frac{1}{2}, B=\frac{1}{2}, C=-\frac{1}{2}, D=\frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$A+B+C+D = 1$.
इसलिए,$\cos^{-1}(A+B+C+D) = \cos^{-1}(1) = 0$.

(D) दिया गया समीकरण $x^3+3x^2-x-3=0$ है।
समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$x^2(x+3)-1(x+3)=0$
$(x^2-1)(x+3)=0$
$(x-1)(x+1)(x+3)=0$
अतः,मूल $\alpha = -3, \beta = -1, \gamma = 1$ हैं।
अब,हम व्यंजक की गणना करते हैं:
$(1+\alpha^2)(1+\beta^2)(1+\gamma^2) = (1+(-3)^2)(1+(-1)^2)(1+(1)^2)$
$= (1+9)(1+1)(1+1)$
$= (10)(2)(2) = 40$.

(A) माना $x^3+a x^2+b x+c=0$ के मूल $\alpha-1, \alpha, \alpha+1$ हैं क्योंकि मूल $1$ के सार्व अंतर के साथ समांतर श्रेणी में हैं।
मूलों का योग $= (\alpha-1) + \alpha + (\alpha+1) = 3\alpha = -a \Rightarrow \alpha = -\frac{a}{3} \quad \dots(i)$
दो-दो मूलों के गुणनफल का योग $= (\alpha-1)\alpha + \alpha(\alpha+1) + (\alpha-1)(\alpha+1) = b$
$\Rightarrow 3\alpha^2 - 1 = b \quad \dots(ii)$
मूलों का गुणनफल $= (\alpha-1)\alpha(\alpha+1) = \alpha(\alpha^2-1) = -c \quad \dots(iii)$
$\alpha = -\frac{a}{3}$ को $(ii)$ में रखने पर: $3(-\frac{a}{3})^2 - 1 = b$ $\Rightarrow \frac{a^2}{3} - 1 = b$ $\Rightarrow a^2 = 3(b+1)$.
$\alpha = -\frac{a}{3}$ को $(iii)$ में रखने पर: $(-\frac{a}{3})((-\frac{a}{3})^2 - 1) = -c$
$\Rightarrow \frac{a}{3}(\frac{a^2}{9} - 1) = c$ $\Rightarrow \frac{a}{3}(\frac{3(b+1)}{9} - 1) = c$
$\Rightarrow \frac{a}{3}(\frac{b+1}{3} - 1) = c$ $\Rightarrow \frac{a}{3}(\frac{b-2}{3}) = c$ $\Rightarrow 9c = a(b-2)$.

(C) दिया गया है कि $p$ और $q$ द्विघात समीकरण $x^2+7x+3=0$ के मूल हैं।
वह द्विघात समीकरण ज्ञात करने के लिए जिसके मूल $\frac{3p}{1-2p}$ और $\frac{3q}{1-2q}$ हैं,$y = \frac{3x}{1-2x}$ लें।
तब $y(1-2x) = 3x$ $\Rightarrow y - 2xy = 3x$ $\Rightarrow y = x(3+2y)$ $\Rightarrow x = \frac{y}{3+2y}$।
चूंकि $x$,$x^2+7x+3=0$ का मूल है,इसलिए $x = \frac{y}{3+2y}$ को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$(\frac{y}{3+2y})^2 + 7(\frac{y}{3+2y}) + 3 = 0$।
$(3+2y)^2$ से गुणा करने पर,हमें $y^2 + 7y(3+2y) + 3(3+2y)^2 = 0$ प्राप्त होता है।
$y^2 + 21y + 14y^2 + 3(9 + 12y + 4y^2) = 0$।
$15y^2 + 21y + 27 + 36y + 12y^2 = 0$।
$27y^2 + 57y + 27 = 0$।
$3$ से विभाजित करने पर,हमें $9y^2 + 19y + 9 = 0$ प्राप्त होता है।
इसे $lx^2+mx+n=0$ से तुलना करने पर,$l=9, m=19, n=9$ प्राप्त होता है।
$9, 19, 9$ का महत्तम समापवर्तक $1$ है।
अतः,$l-m+n = 9 - 19 + 9 = -1$।

(A) दिया गया समीकरण $x^4+x^2+1=0$ है।
चूंकि समीकरण में केवल $x$ की सम घातें हैं,यदि $x$ एक मूल है,तो $-x$ भी एक मूल होगा।
माना मूल $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ हैं।
चूंकि मूल $\pm x_i$ के जोड़े में होते हैं,हम उन्हें $\alpha, -\alpha, \gamma, -\gamma$ के रूप में लिख सकते हैं।
किसी भी विषम घात $n$ के लिए,मूलों की $n$-वीं घातों का योग $\alpha^n + (-\alpha)^n + \gamma^n + (-\gamma)^n$ होता है।
यदि $n$ विषम है,तो $\alpha^n + (-\alpha)^n = \alpha^n - \alpha^n = 0$।
अतः,$\alpha^3+\beta^3+\gamma^3+\delta^3 = 0$।
चूंकि अंश $0$ है और हर $\alpha^6+\beta^6+\gamma^6+\delta^6$ शून्य नहीं है,इसलिए व्यंजक का मान $0$ है।

(A) दिया गया है कि $\alpha$ और $\beta$ द्विघात समीकरण $ax^2+bx+c=0$ के मूल हैं।
चूंकि $\alpha$ एक मूल है,$a\alpha^2+b\alpha+c=0$,जिसका अर्थ है $a\alpha^2+b\alpha = -c$।
$\alpha$ को उभयनिष्ठ लेने पर,$\alpha(a\alpha+b) = -c$,अतः $a\alpha+b = -\frac{c}{\alpha}$।
इसी प्रकार,चूंकि $\beta$ एक मूल है,$a\beta^2+b\beta+c=0$,जिसका अर्थ है $a\beta^2+b\beta = -c$।
$\beta$ को उभयनिष्ठ लेने पर,$\beta(a\beta+b) = -c$,अतः $a\beta+b = -\frac{c}{\beta}$।
अब,इन मानों को दिए गए व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\left(\frac{\alpha}{a\beta+b}\right)^3 - \left(\frac{\beta}{a\alpha+b}\right)^3 = \left(\frac{\alpha}{-c/\beta}\right)^3 - \left(\frac{\beta}{-c/\alpha}\right)^3$
$= \left(-\frac{\alpha\beta}{c}\right)^3 - \left(-\frac{\alpha\beta}{c}\right)^3$
$= -\left(\frac{\alpha\beta}{c}\right)^3 + \left(\frac{\alpha\beta}{c}\right)^3 = 0$.

(C) माना $y = x^2 - 2nx$. समीकरण $(x-n)(y^2 + (2n^2-5)y + (n^4-5n^2+4)) = 0$ हो जाता है।
$y$ में द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $y^2 + (2n^2-5)y + (n^2-1)(n^2-4) = (y + n^2-1)(y + n^2-4) = 0$.
$y$ का मान वापस रखने पर: $(x-n)(x^2 - 2nx + n^2 - 1)(x^2 - 2nx + n^2 - 4) = 0$.
यह $(x-n)((x-n)^2 - 1)((x-n)^2 - 4) = 0$ में सरल हो जाता है।
$(x-n)(x-n-1)(x-n+1)(x-n-2)(x-n+2) = 0$.
मूल $x = n, n+1, n-1, n+2, n-2$ हैं।
मूलों का गुणनफल $P = n(n+1)(n-1)(n+2)(n-2) = (n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)$.
यह $5$ क्रमागत पूर्णांकों का गुणनफल है,जो हमेशा $5! = 120$ से विभाज्य होता है।

(A) दिया गया है कि $2+\sqrt{3}$ समीकरण $f(x)=x^4+2x^3-16x^2-22x+7=0$ का एक मूल है।
चूंकि गुणांक परिमेय हैं,इसलिए इसका संयुग्मी $2-\sqrt{3}$ भी एक मूल होगा।
माना $x=2+\sqrt{3}$,तो $(x-2)^2=3$,जो सरल होकर $x^2-4x+1=0$ बनता है।
$f(x)$ को $x^2-4x+1$ से विभाजित करने पर,भागफल $x^2+6x+7$ प्राप्त होता है।
$x^2+6x+7=0$ के लिए,द्विघाती सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर:
$x = \frac{-6 \pm \sqrt{36-28}}{2} = \frac{-6 \pm \sqrt{8}}{2} = -3 \pm \sqrt{2}$.
$f(x)=0$ के मूल $2+\sqrt{3}, 2-\sqrt{3}, -3+\sqrt{2}, -3-\sqrt{2}$ हैं।
दिए गए विकल्पों से तुलना करने पर,$3-\sqrt{2}$ मूल नहीं है।

(A) माना $\alpha$ समीकरणों $3x^2 - 7x + 2 = 0$ और $kx^2 + 7x - 3 = 0$ का उभयनिष्ठ मूल है।
अतः,$3\alpha^2 - 7\alpha + 2 = 0$ $\dots(i)$
और $k\alpha^2 + 7\alpha - 3 = 0$ $\dots(ii)$।
$(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर,$(k+3)\alpha^2 - 1 = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\alpha^2 = \frac{1}{k+3}$।
$(i)$ से,$3\alpha^2 + 2 = 7\alpha$,इसलिए $3(\frac{1}{k+3}) + 2 = 7\alpha$,जिससे $\alpha = \frac{2k+9}{7(k+3)}$ प्राप्त होता है।
$\alpha^2$ का मान रखने पर,$\frac{1}{k+3} = \left(\frac{2k+9}{7(k+3)}\right)^2$।
$49(k+3) = (2k+9)^2 = 4k^2 + 36k + 81$।
$4k^2 - 13k - 66 = 0$।
$(k-6)(4k+11) = 0$।
चूंकि $k$ धनात्मक है,इसलिए $k = 6$।

(C) मान लीजिए $x_1, x_2, x_3$ समीकरण $E_1: x^3+x^2+lx+n=0$ के मूल हैं।
विएटा के सूत्रों के अनुसार,$x_1+x_2+x_3 = -1$.
दिया गया है कि $E_2: x^3+ax^2+bx+c=0$ प्रथम प्रकार का व्युत्क्रम समीकरण है,इसलिए $c=1$ और $a=b$.
अतः,$E_2: x^3+ax^2+ax+1=0$.
$E_2$ के मूल $\frac{x_i-1}{2}$ हैं।
$E_2$ के मूलों का योग $\sum \frac{x_i-1}{2} = \frac{(x_1+x_2+x_3)-3}{2} = \frac{-1-3}{2} = -2$.
$E_2$ से,मूलों का योग $-a$ है,इसलिए $-a = -2 \Rightarrow a=2$.
$E_2$ समीकरण $x^3+2x^2+2x+1 = (x+1)(x^2+x+1) = 0$ बन जाता है।
$E_2$ के मूल $-1, \frac{-1+i\sqrt{3}}{2}, \frac{-1-i\sqrt{3}}{2}$ हैं।
$\frac{x_i-1}{2} = y_i$ का उपयोग करने पर,$x_i = 2y_i+1$.
$y_1 = -1$ के लिए,$x_1 = 2(-1)+1 = -1$.
$y_2 = \frac{-1+i\sqrt{3}}{2}$ के लिए,$x_2 = 2(\frac{-1+i\sqrt{3}}{2})+1 = i\sqrt{3}$.
$y_3 = \frac{-1-i\sqrt{3}}{2}$ के लिए,$x_3 = 2(\frac{-1-i\sqrt{3}}{2})+1 = -i\sqrt{3}$.
$E_1$ के मूल $\{-1, i\sqrt{3}, -i\sqrt{3}\}$ हैं।
$E_2$ के मूल $\{-1, \frac{-1+i\sqrt{3}}{2}, \frac{-1-i\sqrt{3}}{2}\}$ हैं।
उभयनिष्ठ मूल $-1$ है।
उभयनिष्ठ मूल को छोड़कर,शेष मूल $\{i\sqrt{3}, -i\sqrt{3}, \frac{-1+i\sqrt{3}}{2}, \frac{-1-i\sqrt{3}}{2}\}$ हैं।

(A) दी गई असमिका $3x^2 - 16x + 4 > -16$ है।
यह $3x^2 - 16x + 20 > 0$ में सरल हो जाती है।
माना $f(x) = 3x^2 - 16x + 20$ है। यहाँ $a = 3, b = -16, c = 20$ है।
विविक्तकर $D = b^2 - 4ac = (-16)^2 - 4(3)(20) = 256 - 240 = 16 > 0$ है।
$3x^2 - 16x + 20 = 0$ के मूल $x = 2$ और $x = \frac{10}{3}$ हैं।
चूंकि $a > 0$ है,इसलिए $x \in (-\infty, 2) \cup (\frac{10}{3}, \infty)$ के लिए $f(x) > 0$ होता है।
अंतराल $(0, \frac{10}{3})$ में $x=1$ जैसे मान हैं जहाँ $f(1) = 7 > 0$ है। अतः,$(A)$ सत्य है।
कारण $(R)$ बताता है कि जब $D > 0$ होता है,तो $ax^2 + bx + c$ और $a$ का चिह्न समान होता है। यह सत्य है। अतः,$(A)$ सत्य है और $(R)$ इसकी सही व्याख्या है।

(A) हमारे पास $f(x) = 1-2x-5x^2 = -5(x+\frac{1}{5})^2 + \frac{6}{5}$ है।
अतः,अधिकतम मान $\alpha = \frac{6}{5}$ है।
साथ ही,$g(x) = x^2-2x+r = (x-1)^2 + r-1$ है,इसलिए न्यूनतम मान $\beta = r-1$ है।
असमिका $6x^2 + (r-1)x + 6 > 0$ के लिए,विविक्तकर $D < 0$ होना चाहिए।
$(r-1)^2 - 144 < 0 \Rightarrow (r-13)(r+11) < 0$.
अतः,$r \in (-11, 13)$।

(D) माना $y = \frac{x^2+ax+3}{x^2+x+1}$.
तब $yx^2 + yx + y = x^2 + ax + 3$,जिसका अर्थ है $(y-1)x^2 + (y-a)x + (y-3) = 0$.
$x$ के वास्तविक होने के लिए,विविक्तकर $D \geq 0$ होना चाहिए।
$(y-a)^2 - 4(y-1)(y-3) \geq 0$.
$y^2 - 2ay + a^2 - 4(y^2 - 4y + 3) \geq 0$.
$-3y^2 + (16-2a)y + (a^2-12) \geq 0$.
$3y^2 + (2a-16)y + (12-a^2) \leq 0$.
$y$ का परिसर $(-\infty, \infty)$ होने के लिए,$y$ में यह द्विघात असमिका सभी $y \in R$ के लिए सत्य होनी चाहिए,जो कि धनात्मक अग्रणी गुणांक $(3 > 0)$ वाले द्विघात व्यंजक के लिए असंभव है।
अतः,किसी भी $a$ के लिए यह व्यंजक सभी वास्तविक मान ग्रहण नहीं कर सकता है।

(D) माना $y = \frac{9 \cdot 3^{2x} + 6 \cdot 3^x + 4}{9 \cdot 3^{2x} - 6 \cdot 3^x + 4}$.
$t = 3^x$ रखने पर,जहाँ $t > 0$.
तब $y = \frac{9t^2 + 6t + 4}{9t^2 - 6t + 4}$.
$y(9t^2 - 6t + 4) = 9t^2 + 6t + 4$.
$9t^2(y - 1) - 6t(y + 1) + 4(y - 1) = 0$.
चूँकि $t$ एक वास्तविक संख्या है,विविक्तकर $D \geq 0$.
$D = [-6(y + 1)]^2 - 4 \cdot 9(y - 1) \cdot 4(y - 1) \geq 0$.
$36(y + 1)^2 - 144(y - 1)^2 \geq 0$.
$36$ से विभाजित करने पर: $(y + 1)^2 - 4(y - 1)^2 \geq 0$.
$(y + 1 - 2(y - 1))(y + 1 + 2(y - 1)) \geq 0$.
$(-y + 3)(3y - 1) \geq 0$.
$(y - 3)(3y - 1) \leq 0$.
अतः,$\frac{1}{3} \leq y \leq 3$.
इसलिए न्यूनतम मान $\frac{1}{3}$ है।

(A) माना $y = \frac{x^2+14x+9}{x^2+2x+3}$.
चूंकि $x$ वास्तविक है,हर $x^2+2x+3 = (x+1)^2+2$ हमेशा धनात्मक है।
$y(x^2+2x+3) = x^2+14x+9$
$x^2(y-1) + 2x(y-7) + 3y-9 = 0$.
$x$ के वास्तविक होने के लिए,विविक्तकर (discriminant) $D \geq 0$ होना चाहिए।
$D = [2(y-7)]^2 - 4(y-1)(3y-9) \geq 0$
$4(y^2-14y+49) - 4(3y^2-12y+9) \geq 0$
$y^2-14y+49 - 3y^2+12y-9 \geq 0$
$-2y^2-2y+40 \geq 0$
$y^2+y-20 \leq 0$
$(y+5)(y-4) \leq 0$.
अतः,$y \in [-5, 4]$.
इसलिए अधिकतम मान $4$ और न्यूनतम मान $-5$ है।

(C) दी गई असमिका $\frac{\sqrt{12-x-x^2}}{x+10} \leq \frac{\sqrt{12-x-x^2}}{2x+9}$ है।
सबसे पहले,वर्गमूल को परिभाषित होने के लिए $12-x-x^2 \geq 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $x^2+x-12 \leq 0$,अतः $(x+4)(x-3) \leq 0$,जिससे $x \in [-4, 3]$ प्राप्त होता है।
साथ ही,हर शून्य नहीं होना चाहिए: $x \neq -10$ और $x \neq -4.5$।
स्थिति $1$: यदि $12-x-x^2 = 0$,तो $x = -4$ या $x = 3$। दोनों असमिका $0 \leq 0$ को संतुष्ट करते हैं।
स्थिति $2$: यदि $12-x-x^2 > 0$,तो हम $\sqrt{12-x-x^2}$ से विभाजित कर सकते हैं:
$\frac{1}{x+10} \leq \frac{1}{2x+9} \implies \frac{x-1}{(x+10)(2x+9)} \leq 0$।
$x \in (-4, 3)$ के लिए चिह्न योजना का उपयोग करने पर,हमें $(-4, 1]$ प्राप्त होता है।
स्थिति $1$ और $2$ को मिलाने पर,$x \in [-4, 1] \cup \{3\}$ प्राप्त होता है।

(B) दी गई अभिव्यक्ति $\frac{x^2+1}{(x+2)(x^2+x+1)} = \frac{A}{x+2} + \frac{Bx+C}{x^2+x+1}$ है।
दोनों पक्षों को $(x+2)(x^2+x+1)$ से गुणा करने पर,$x^2+1 = A(x^2+x+1) + (Bx+C)(x+2)$ प्राप्त होता है।
$x = -2$ रखने पर: $5 = 3A \Rightarrow A = \frac{5}{3}$।
$x^2$ के गुणांकों की तुलना करने पर: $1 = A + B \Rightarrow B = -\frac{2}{3}$।
अचर पदों की तुलना करने पर: $1 = A + 2C \Rightarrow C = -\frac{1}{3}$।
अतः,$A - B + C = \frac{5}{3} + \frac{2}{3} - \frac{1}{3} = 2$।

(D) दिया गया है कि $\alpha_1, \beta_1, \gamma_1, \delta_1$ समीकरण $a x^4+b x^3+c x^2+d x+e=0$ के मूल हैं।
समीकरण $e x^4+d x^3+c x^2+b x+a=0$ के मूल पहले समीकरण के मूलों के व्युत्क्रम हैं।
अतः,$\alpha_2 = \frac{1}{\delta_1}, \beta_2 = \frac{1}{\gamma_1}, \gamma_2 = \frac{1}{\beta_1}, \delta_2 = \frac{1}{\alpha_1}$।
दिया गया है $\alpha_1 - \delta_2 = 2 \implies \alpha_1 - \frac{1}{\alpha_1} = 2 \implies \alpha_1^2 - 2\alpha_1 - 1 = 0$।
दिया गया है $\delta_1 - \alpha_2 = 4 \implies \delta_1 - \frac{1}{\delta_1} = 4 \implies \delta_1^2 - 4\delta_1 - 1 = 0$।
चूंकि $\alpha_1$ और $\delta_1$ चतुर्थ घात समीकरण के मूल हैं,इसलिए द्विघात गुणनखंड $(x^2 - 2x - 1)$ और $(x^2 - 4x - 1)$ हैं।
अतः,$a x^4+b x^3+c x^2+d x+e = (x^2 - 2x - 1)(x^2 - 4x - 1)$।
$a+b+c+d+e$ ज्ञात करने के लिए,$x=1$ रखने पर:
$a(1)^4 + b(1)^3 + c(1)^2 + d(1) + e = (1^2 - 2(1) - 1)(1^2 - 4(1) - 1)$।
$a+b+c+d+e = (-2)(-4) = 8$।

(C) दिया गया समीकरण: $x^4+x^3-4x^2+x-1=0$.
मूलों के वर्गों का योग: $\sum x_i^2 = (\sum x_i)^2 - 2\sum x_ix_j = (-1)^2 - 2(-4) = 1+8 = 9$.
भिन्न मूलों का गुणनफल: $1$.
अनुपात: $9:1$.

(C) माना $\alpha, \beta, \gamma$ समीकरण $x^3 - px^2 + px - 1 = 0$ के मूल हैं।
विएटा के सूत्रों से:
$\alpha + \beta + \gamma = p$
$\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = p$
$\alpha\beta\gamma = 1$
यह दिया गया है कि $\alpha^2, \beta^2, \gamma^2$ मूलों वाला समीकरण मूल समीकरण के समान है,इसलिए इन मूलों का योग भी $p$ होना चाहिए:
$\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 = p$
हम जानते हैं कि $(\alpha + \beta + \gamma)^2 = \alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 + 2(\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha)$।
मान रखने पर:
$p^2 = p + 2(p)$
$p^2 = 3p$
चूंकि $p$ शून्येतर है,$p$ से विभाजित करने पर:
$p = 3$.

(D) दिया गया समीकरण $\sqrt{\frac{5x}{x-2}} + \sqrt{\frac{x-2}{5x}} = \frac{29}{10}$ है।
माना $y = \sqrt{\frac{5x}{x-2}}$. तब समीकरण $y + \frac{1}{y} = \frac{29}{10}$ हो जाता है।
$10y$ से गुणा करने पर,$10y^2 - 29y + 10 = 0$ प्राप्त होता है।
गुणनखंड करने पर: $10y^2 - 25y - 4y + 10 = 0 \Rightarrow 5y(2y - 5) - 2(2y - 5) = 0$.
अतः,$(5y - 2)(2y - 5) = 0$,जिससे $y = \frac{2}{5}$ या $y = \frac{5}{2}$ प्राप्त होता है।
स्थिति $1$: $\sqrt{\frac{5x}{x-2}} = \frac{2}{5}$ $\Rightarrow \frac{5x}{x-2} = \frac{4}{25}$ $\Rightarrow 125x = 4x - 8$ $\Rightarrow 121x = -8$ $\Rightarrow x = -\frac{8}{121}$.
स्थिति $2$: $\sqrt{\frac{5x}{x-2}} = \frac{5}{2}$ $\Rightarrow \frac{5x}{x-2} = \frac{25}{4}$ $\Rightarrow \frac{x}{x-2} = \frac{5}{4}$ $\Rightarrow 4x = 5x - 10$ $\Rightarrow x = 10$.
चूंकि $\alpha > \beta$,इसलिए $\alpha = 10$ और $\beta = -\frac{8}{121}$ है।
अब,$\sqrt{\alpha^2 - 11^4 \beta^2} = \sqrt{10^2 - 11^4 \left(-\frac{8}{121}\right)^2} = \sqrt{100 - 11^4 \cdot \frac{64}{11^4}} = \sqrt{100 - 64} = \sqrt{36} = 6$.

(D) दिया गया समीकरण: $(x^2+\frac{1}{x^2})-5(x+\frac{1}{x})+6=0$
मान लीजिए $t = x+\frac{1}{x}$. तब $x^2+\frac{1}{x^2} = t^2-2$.
समीकरण $(t^2-2)-5t+6=0$ हो जाता है,जो $t^2-5t+4=0$ में सरल हो जाता है।
गुणनखंड करने पर $(t-4)(t-1)=0$ प्राप्त होता है,इसलिए $t=4$ या $t=1$.
स्थिति $1$: $x+\frac{1}{x}=4 \Rightarrow x^2-4x+1=0$. विविक्तकर $D = 16-4 = 12 > 0$,इसलिए मूल वास्तविक हैं।
स्थिति $2$: $x+\frac{1}{x}=1 \Rightarrow x^2-x+1=0$. विविक्तकर $D = 1-4 = -3 < 0$,इसलिए मूल सम्मिश्र हैं।
मूल $x = \frac{1 \pm \sqrt{-3}}{2} = \frac{1 \pm i\sqrt{3}}{2}$ हैं।
मान लीजिए मूल $\alpha = \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$ और $\beta = \frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}$ हैं।
प्रत्येक सम्मिश्र मूल का मापांक $|\alpha| = \sqrt{(\frac{1}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{4}} = 1$ है।
इसी प्रकार,$|\beta| = 1$.
मापांकों का योग $|\alpha| + |\beta| = 1 + 1 = 2$ है।

(A) माना $f(x) = x^5-8x^4+25x^3-38x^2+28x-8$.
चूँकि $\alpha$ $3$ बहुलता वाला मूल है,तो $f(\alpha) = 0$,$f'(\alpha) = 0$,और $f''(\alpha) = 0$ होगा।
अवकलन करने पर:
$f'(x) = 5x^4-32x^3+75x^2-76x+28$
$f''(x) = 20x^3-96x^2+150x-76$
$x = 2$ के लिए जाँच करने पर:
$f(2) = 32-128+200-152+56-8 = 0$
$f'(2) = 80-256+300-152+28 = 0$
$f''(2) = 160-384+300-76 = 0$
$f'''(2) = 60(4)-192(2)+150 = 6 \neq 0$.
अतः,$\alpha = 2$ $3$ बहुलता वाला मूल है।
इसलिए,$\alpha^2-5\alpha+6 = (2)^2-5(2)+6 = 4-10+6 = 0$.

(D) दिया गया समीकरण: $6x^6-25x^5+31x^4-31x^2+25x-6=0$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $6(x^6-1) - 25x(x^4-1) + 31x^2(x^2-1) = 0$
$(x^2-1)$ को उभयनिष्ठ लेने पर: $(x^2-1)[6(x^4+x^2+1) - 25x(x^2+1) + 31x^2] = 0$
$(x^2-1)[6x^4 - 25x^3 + 37x^2 - 25x + 6] = 0$
दूसरे कोष्ठक को $x^2$ से विभाजित करने पर: $x^2(x^2-1)[6(x^2+\frac{1}{x^2}) - 25(x+\frac{1}{x}) + 37] = 0$
माना $y = x+\frac{1}{x}$,तो $x^2+\frac{1}{x^2} = y^2-2$.
$6(y^2-2) - 25y + 37 = 0 \Rightarrow 6y^2 - 25y + 25 = 0$
$(2y-5)(3y-5) = 0 \Rightarrow y = \frac{5}{2}, \frac{5}{3}$
$x+\frac{1}{x} = \frac{5}{2}$ के लिए,$x=2, \frac{1}{2}$ (वास्तविक मूल)।
$x+\frac{1}{x} = \frac{5}{3}$ के लिए,$3x^2-5x+3=0$. ये मूल सम्मिश्र हैं।
इन सम्मिश्र मूलों का योग $\alpha+\beta = -\frac{b}{a} = -(\frac{-5}{3}) = \frac{5}{3}$।

(A) $\theta=\frac{\pi}{2}$ पर,$\cos \theta = 0$ और $\sin \theta = 1$ होता है।
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$\left(\frac{0+i(1)}{1+i(0)}\right)^{2020} + \left(\frac{1+0+i(1)}{1-0+i(1)}\right)^{2021}$
$= (i)^{2020} + \left(\frac{1+i}{1+i}\right)^{2021}$
$= (i^4)^{505} + (1)^{2021}$
$= (1)^{505} + 1 = 1 + 1 = 2$.
चूँकि $x+iy = 2$ है,इसलिए $x=2$ और $y=0$ प्राप्त होता है।
अतः $x+y = 2+0 = 2$।

(C) दिया गया है कि $z = e^{ix} = \cos x + i \sin x$ बहुपद समीकरण $z^n + p_1 z^{n-1} + \ldots + p_n = 0$ का एक हल है,जहाँ गुणांक $p_i$ वास्तविक हैं।
चूँकि गुणांक वास्तविक हैं,इसलिए इसका सम्मिश्र संयुग्मी $z = e^{-ix} = \cos x - i \sin x$ भी समीकरण का एक हल होगा।
$z = e^{ix}$ को समीकरण में रखने पर:
$(e^{ix})^n + p_1 (e^{ix})^{n-1} + \ldots + p_{n-1} e^{ix} + p_n = 0$.
यूलर के सूत्र $e^{ikx} = \cos kx + i \sin kx$ का उपयोग करने पर:
$(\cos nx + i \sin nx) + p_1(\cos(n-1)x + i \sin(n-1)x) + \ldots + p_{n-1}(\cos x + i \sin x) + p_n = 0$.
काल्पनिक भाग को शून्य के बराबर करने पर:
$\sin nx + p_1 \sin(n-1)x + \ldots + p_{n-1} \sin x = 0$.

(A) दिया गया है कि $a^2+b^2+c^2=1$ और $b+ic=(1+a)z$.
$z = \frac{b+ic}{1+a}$.
अतः $iz = \frac{-c+ib}{1+a}$.
$\frac{1+iz}{1-iz} = \frac{1 + \frac{-c+ib}{1+a}}{1 - \frac{-c+ib}{1+a}} = \frac{1+a-c+ib}{1+a+c-ib}$.
अंश और हर को $(1+a+c)+ib$ से गुणा करने पर:
$= \frac{((1+a)+ib)^2 - c^2}{(1+a+c)^2+b^2} = \frac{2(1+a)(a+ib)}{2(1+a)(1+c)} = \frac{a+ib}{1+c}$.

(C) द्विपद विस्तार $(1+z)^n = \sum_{r=0}^{n} { }^n C_r z^r$ दिया गया है।
माना $z = \cos x + i \sin x = e^{ix}$।
तब $(1 + e^{ix})^n = \sum_{r=0}^{n} { }^n C_r e^{irx}$।
$1 + e^{ix} = 2 \cos \frac{x}{2} e^{i \frac{x}{2}}$ का उपयोग करते हुए,
$(1 + e^{ix})^n = (2 \cos \frac{x}{2})^n e^{i \frac{nx}{2}} = (2 \cos \frac{x}{2})^n (\cos \frac{nx}{2} + i \sin \frac{nx}{2})$।
काल्पनिक भागों की तुलना करने पर,$\sum_{r=0}^{n} { }^n C_r \sin(rx) = (2 \cos \frac{x}{2})^n \sin(\frac{nx}{2})$।
$n = 100$ के लिए,$\sum_{r=0}^{100} { }^{100} C_r \sin(rx) = (2 \cos \frac{x}{2})^{100} \sin(50x)$।
दिए गए समीकरण के साथ तुलना करने पर,$k = 50$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है कि $A_n = \cos \left(\frac{\pi}{2^n}\right) + i \sin \left(\frac{\pi}{2^n}\right) = e^{i \frac{\pi}{2^n}}$.
अतः,$A_1 A_2 A_3 A_4 = e^{i \pi \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16}\right)}$.
घातांकों का योग: $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} = \frac{15}{16}$.
इसलिए,$(A_1 A_2 A_3 A_4)^4 = (e^{i \pi \frac{15}{16}})^4 = e^{i \pi \frac{15}{4}}$.
$e^{i \frac{15\pi}{4}} = e^{i (4\pi - \frac{\pi}{4})} = \cos(4\pi - \frac{\pi}{4}) + i \sin(4\pi - \frac{\pi}{4})$.
$= \cos(\frac{\pi}{4}) - i \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}} - i \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1-i}{\sqrt{2}}$.

(B) माना $w = \frac{z-2}{z-4i}$ है। दी गई शर्तें $\operatorname{Re}(w) = 0$ और $\operatorname{Im}(w) = 1$ हैं।
इसका अर्थ है $w = 0 + 1i = i$।
अतः, $\frac{z-2}{z-4i} = i$।
दोनों पक्षों को $(z-4i)$ से गुणा करने पर, हमें $z-2 = i(z-4i)$ प्राप्त होता है।
$z-2 = iz - 4i^2$।
चूंकि $i^2 = -1$, इसलिए $z-2 = iz + 4$।
पदों को व्यवस्थित करने पर, $z - iz = 4 + 2$।
$z(1-i) = 6$।
$z = \frac{6}{1-i} = \frac{6(1+i)}{2} = 3(1+i)$।
चूंकि $z$ का एक अद्वितीय मान है, इसलिए बिंदुओं की संख्या $1$ है।

(C) दिया गया है,$\arg(\bar{z}_1) = \frac{\pi}{5}$ और $\arg(z_2) = \frac{\pi}{3}$।
हम जानते हैं कि $\arg(\bar{z}_1) = -\arg(z_1)$,इसलिए $\arg(z_1) = -\frac{\pi}{5}$।
अतः,$\arg(z_1 z_2) = \arg(z_1) + \arg(z_2) = -\frac{\pi}{5} + \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{15}$।
इस प्रकार,कथन $(A)$ सत्य है।
कारण $(R)$ के लिए,हम जानते हैं कि $\arg(\bar{z}) = -\arg(z)$ होता है,न कि $\frac{\pi}{2} + \arg(z)$।
इसलिए,कारण $(R)$ असत्य है।
अतः,$(A)$ सत्य है लेकिन $(R)$ असत्य है।

(A) माना $z = x + iy$.
तब,आर्गंड समतल में आयत के शीर्ष $(x, y), (x, -y), (-x, -y),$ और $(-x, y)$ हैं।
आयत की भुजाओं की लंबाई $|2x|$ और $|2y|$ है।
आयत का क्षेत्रफल $4|xy|$ है।
यह दिया गया है कि क्षेत्रफल $2\sqrt{3}$ है,इसलिए $4|xy| = 2\sqrt{3}$,जिसका अर्थ है $|xy| = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
विकल्प $A$ के लिए,$z = \frac{1}{2} + \sqrt{3}i$,इसलिए $x = \frac{1}{2}$ और $y = \sqrt{3}$.
अतः $|xy| = |\frac{1}{2} \times \sqrt{3}| = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
इस प्रकार,$z = \frac{1}{2} + \sqrt{3}i$ एक संभावित हल है।

(A) दिया गया है $A = \{z : |z| \leq 2\}$,जिसका अर्थ है $\sqrt{x^2 + y^2} \leq 2$,या $x^2 + y^2 \leq 4$।
दिया गया है $B = \{z : (1-i)z + (1+i)\bar{z} \geq 4\}$।
$z = x + iy$ और $\bar{z} = x - iy$ प्रतिस्थापित करने पर:
$(1-i)(x+iy) + (1+i)(x-iy) \geq 4$
$(x + iy - ix - i^2y) + (x - iy + ix - i^2y) \geq 4$
$(x + iy - ix + y) + (x - iy + ix + y) \geq 4$
$2x + 2y \geq 4 \implies x + y \geq 2$।
अतः,$A \cap B = \{z : x^2 + y^2 \leq 4 \text{ और } x + y \geq 2\}$।
विकल्पों की जाँच करने पर:
$A$ के लिए,$z = \sqrt{3} + \frac{1}{2}i$: $|z|^2 = 3 + \frac{1}{4} = 3.25 \leq 4$ (सत्य)। $x+y = \sqrt{3} + 0.5 \approx 1.732 + 0.5 = 2.232 \geq 2$ (सत्य)।
अतः,$\sqrt{3} + \frac{1}{2}i$ समुच्चय $A \cap B$ में आता है।

(D) कथन $(A)$ के लिए: दिया गया है $|z| \geq 3$.
हम असमिका $|z_1 + z_2| \geq ||z_1| - |z_2||$ का उपयोग करते हैं।
अतः,$|z + \frac{3}{z}| \geq ||z| - |\frac{3}{z}|| = ||z| - \frac{3}{|z|}||$.
माना $f(t) = t - \frac{3}{t}$ जहाँ $t = |z| \geq 3$.
चूँकि $f(t)$,$t \geq 3$ के लिए एक वर्धमान फलन है,इसलिए न्यूनतम मान $t = 3$ पर प्राप्त होता है।
$f(3) = 3 - \frac{3}{3} = 3 - 1 = 2$.
अतः,$|z + \frac{3}{z}| \geq 2$.
कथन में न्यूनतम मान $1$ दिया गया है,जो कि असत्य है।
कारण $(R)$ के लिए: त्रिभुज असमिका के अनुसार $|z_1 + z_2| \leq |z_1| + |z_2|$ होता है। कथन $|z_1 - z_2| \leq |z_1| + |z_2|$ त्रिभुज असमिका का ही एक मान्य रूप है,जो सत्य है।
अतः,$A$ असत्य है लेकिन $R$ सत्य है।

(D) हमारे पास है,$|z|-z=2+i$.
माना $z=x+iy$. तब $\sqrt{x^2+y^2}-(x+iy)=2+i$.
वास्तविक और काल्पनिक भागों की तुलना करने पर:
$\sqrt{x^2+y^2}-x=2$ और $-y=1$.
अतः,$y=-1$.
$y=-1$ को पहले समीकरण में रखने पर: $\sqrt{x^2+(-1)^2}-x=2$.
$\sqrt{x^2+1}=x+2$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $x^2+1=(x+2)^2 = x^2+4x+4$.
$x$ के लिए हल करने पर: $1=4x+4$ $\Rightarrow 4x=-3$ $\Rightarrow x=-\frac{3}{4}$.
इसलिए,$z=-\frac{3}{4}-i$.
मापांक $|z|=\sqrt{(-\frac{3}{4})^2+(-1)^2} = \sqrt{\frac{9}{16}+1} = \sqrt{\frac{25}{16}} = \frac{5}{4}$.

(B) दिया गया है $z=e^{i \theta}$,इसलिए $\cos n \theta = \frac{z^n+z^{-n}}{2}$ और $\sin n \theta = \frac{z^n-z^{-n}}{2i}$ होता है।
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{3(\frac{z^3+z^{-3}}{2})+2(\frac{z^2+z^{-2}}{2})+5(\frac{z^5+z^{-5}}{2})}{3(\frac{z^3-z^{-3}}{2i})+2(\frac{z^2-z^{-2}}{2i})+5(\frac{z^5-z^{-5}}{2i})} = i \frac{5z^{10}+3z^8+2z^7+2z^3+3z^2+5}{5z^{10}+3z^8+2z^7-2z^3-3z^2-5} = i \frac{\sum_{r=0}^{10} a_r z^r}{\sum_{r=0}^{10} b_r z^r}$.
गुणांकों की तुलना करने पर,गुणांकों का योग $\sum (a_r+b_r) = 2+3+5 = 10$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{\sum_{r=0}^{10} (a_r+b_r)}{10} = \frac{10}{10} = 1$.

(B) माना $z_1 = \frac{\cos \theta+i \sin \theta}{\sin \theta+i \cos \theta} = \frac{\cos \theta+i \sin \theta}{i(\cos \theta-i \sin \theta)} = \frac{1}{i} \cdot \frac{e^{i \theta}}{e^{-i \theta}} = -i e^{i 2 \theta}$.
अतः $z_1^8 = (-i)^8 (e^{i 2 \theta})^8 = 1 \cdot e^{i 16 \theta} = \cos 16 \theta + i \sin 16 \theta$.
माना $z_2 = \frac{1+\cos \theta-i \sin \theta}{1+\cos \theta+i \sin \theta} = \frac{2 \cos^2 \frac{\theta}{2} - i 2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}}{2 \cos^2 \frac{\theta}{2} + i 2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}} = \frac{\cos \frac{\theta}{2} - i \sin \frac{\theta}{2}}{\cos \frac{\theta}{2} + i \sin \frac{\theta}{2}} = \frac{e^{-i \theta/2}}{e^{i \theta/2}} = e^{-i \theta}$.
अतः $z_2^{16} = (e^{-i \theta})^{16} = e^{-i 16 \theta} = \cos 16 \theta - i \sin 16 \theta$.
दोनों पदों को जोड़ने पर: $z_1^8 + z_2^{16} = (\cos 16 \theta + i \sin 16 \theta) + (\cos 16 \theta - i \sin 16 \theta) = 2 \cos 16 \theta$.

(D) दिया गया समीकरण $z^2(1-z^2)=16$ है,जहाँ $z \in \mathbb{C}$ है।
इसे $z^2 - z^4 = 16$,या $z^4 - z^2 + 16 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
माना $z^2 = w$ है। तब $w^2 - w + 16 = 0$ होगा।
द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर,$w = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 64}}{2} = \frac{1 \pm 3i\sqrt{7}}{2}$ प्राप्त होता है।
चूँकि $w = z^2$,इसलिए $|w| = |z^2| = |z|^2$ है।
$w$ का मापांक ज्ञात करने पर:
$|w| = \sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{3\sqrt{7}}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{63}{4}} = \sqrt{\frac{64}{4}} = \sqrt{16} = 4$ है।
अतः,$|z|^2 = 4$,जिसका अर्थ है कि $|z| = 2$ है।

(B) निर्देशांक अक्षों के घूर्णन के अंतर्गत सदिश का परिमाण अपरिवर्तित रहता है।
दिए गए मूल घटक $(2p, 1)$ हैं और नए घटक $(p+1, 1)$ हैं।
परिमाण का वर्ग $x^2 + y^2$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,$(2p)^2 + 1^2 = (p+1)^2 + 1^2$.
$4p^2 + 1 = p^2 + 2p + 1 + 1$.
$3p^2 - 2p - 1 = 0$.
द्विघात समीकरण को हल करने पर: $3p^2 - 3p + p - 1 = 0$.
$3p(p-1) + 1(p-1) = 0$.
$(3p+1)(p-1) = 0$.
इस प्रकार,$p = 1$ या $p = -\frac{1}{3}$।

(D) दिए गए समीकरण $2l + m + 2n = 0$ $(1)$ और $3l^2 + 5m^2 - 11n^2 = 0$ $(2)$ हैं।
$(1)$ से,$m = -2l - 2n$.
$m$ का मान $(2)$ में प्रतिस्थापित करने पर: $3l^2 + 5(-2l - 2n)^2 - 11n^2 = 0$.
$3l^2 + 5(4l^2 + 8ln + 4n^2) - 11n^2 = 0$.
$3l^2 + 20l^2 + 40ln + 20n^2 - 11n^2 = 0$.
$23l^2 + 40ln + 9n^2 = 0$.
$n^2$ से भाग देने पर: $23(\frac{l}{n})^2 + 40(\frac{l}{n}) + 9 = 0$.
मान लीजिए $x = \frac{l}{n}$. तब $23x^2 + 40x + 9 = 0$.
मान लीजिए मूल $x_1 = \frac{l_1}{n_1}$ और $x_2 = \frac{l_2}{n_2}$ हैं।
तब $x_1 x_2 = \frac{l_1 l_2}{n_1 n_2} = \frac{9}{23}$.
इसी प्रकार,$l = -\frac{m+2n}{2}$ को $(2)$ में रखने पर $23m^2 + 12mn - 32n^2 = 0$ प्राप्त होता है।
$n^2$ से भाग देने पर,$23(\frac{m}{n})^2 + 12(\frac{m}{n}) - 32 = 0$.
मान लीजिए $y_1 = \frac{m_1}{n_1}$ और $y_2 = \frac{m_2}{n_2}$. तब $y_1 y_2 = \frac{m_1 m_2}{n_1 n_2} = -\frac{32}{23}$.
दो रेखाओं के लिए जिनके दिक्-अनुपात $(l_1, m_1, n_1)$ और $(l_2, m_2, n_2)$ हैं,$\cos \theta = |l_1 l_2 + m_1 m_2 + n_1 n_2|$.
$l_1 l_2 + m_1 m_2 + n_1 n_2 = n_1 n_2 (x_1 x_2 + y_1 y_2 + 1) = n_1 n_2 (\frac{9}{23} - \frac{32}{23} + 1) = n_1 n_2 (\frac{-23}{23} + 1) = 0$.
अतः,$\cos \theta = 0$,जिसका अर्थ है कि $\theta = \frac{\pi}{2}$।

(A)

$A$. दिए गए $A$ के लिए,सारणिक $|A| = 0$ है। अतः $3 - |A| = 3$। यह $(iii)$ से मेल खाता है।

$B$. दिए गए व्यंजक का आवर्तकाल $2\pi$ है। $\frac{2k\pi}{5} = 2\pi$ रखने पर,$k = 5$ प्राप्त होता है। यह $(v)$ से मेल खाता है।

$C$. $y$ को सरल करने पर $y = \frac{3}{2} - \frac{\sin 2x}{2}$ प्राप्त होता है। अधिकतम मान $2$ है। यह $(ii)$ से मेल खाता है।

$D$. त्रिकोणमितीय सर्वसमिका का उपयोग करने पर,मान $4$ प्राप्त होता है। यह $(iv)$ से मेल खाता है।

(B) हम जानते हैं कि $\frac{1-\tan^2 \theta}{1+\tan^2 \theta} = \cos 2\theta$. अतः,$\frac{\tan^2 \theta - 1}{\tan^2 \theta + 1} = -\cos 2\theta$.
माना $\theta = \frac{\alpha-\pi}{4}$. तब $2\theta = \frac{\alpha-\pi}{2} = \frac{\alpha}{2} - \frac{\pi}{2}$.
अतः,$-\cos 2\theta = -\cos(\frac{\alpha}{2} - \frac{\pi}{2}) = -\cos(\frac{\pi}{2} - \frac{\alpha}{2}) = -\sin \frac{\alpha}{2}$.
व्यंजक इस प्रकार हो जाता है:
$\operatorname{cosec}^{-1}\left[\left(-\sin \frac{\alpha}{2} + \cos \frac{\alpha}{2} \cot 5 \alpha\right) \sec \frac{11 \alpha}{2}\right]$
$= \operatorname{cosec}^{-1}\left[\left(-\sin \frac{\alpha}{2} + \cos \frac{\alpha}{2} \frac{\cos 5 \alpha}{\sin 5 \alpha}\right) \sec \frac{11 \alpha}{2}\right]$
$= \operatorname{cosec}^{-1}\left[\left(\frac{-\sin 5 \alpha \sin \frac{\alpha}{2} + \cos 5 \alpha \cos \frac{\alpha}{2}}{\sin 5 \alpha}\right) \sec \frac{11 \alpha}{2}\right]$
$= \operatorname{cosec}^{-1}\left[\frac{\cos(5 \alpha + \frac{\alpha}{2})}{\sin 5 \alpha} \cdot \sec \frac{11 \alpha}{2}\right]$
$= \operatorname{cosec}^{-1}\left[\frac{\cos \frac{11 \alpha}{2}}{\sin 5 \alpha} \cdot \frac{1}{\cos \frac{11 \alpha}{2}}\right]$
$= \operatorname{cosec}^{-1}(\operatorname{cosec} 5 \alpha) = 5 \alpha$.

(A) कारण $(R)$ के लिए,माना $p = e^{\operatorname{cosech}^{-1} x}$ है।
तब $\operatorname{cosech}^{-1} x = \ln p$,जिसका अर्थ है $x = \operatorname{cosech}(\ln p) = \frac{p^2 - 1}{2p}$।
अतः $2px = p^2 - 1$,या $p^2 - 2px - 1 = 0$।
दिए गए समीकरण $x p^2 - 2p - x = 0$ में $p = \frac{1 + \sqrt{1+x^2}}{x}$ रखने पर यह शून्य हो जाता है।
अतः कारण $(R)$ सत्य है।
कथन $(A)$ के लिए,$\operatorname{cosech}^{-1}(3) = \ln \left(\frac{1 + \sqrt{1+3^2}}{3}\right) = \ln \left(\frac{1 + \sqrt{10}}{3}\right)$।
अतः कथन $(A)$ सत्य है और $(R)$,$(A)$ की सही व्याख्या है।

(C) दिया गया है,$\sinh (2 \tanh ^{-1} x) = \frac{11}{60}$।
सर्वसमिका $\sinh (2 \theta) = \frac{2 \tanh \theta}{1 - \tanh ^2 \theta}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $\theta = \tanh ^{-1} x$,हमें $\tanh \theta = x$ प्राप्त होता है।
समीकरण में मान रखने पर:
$\frac{2x}{1 - x^2} = \frac{11}{60}$
$120x = 11(1 - x^2)$
$11x^2 + 120x - 11 = 0$
$11x^2 + 121x - x - 11 = 0$
$11x(x + 11) - 1(x + 11) = 0$
$(11x - 1)(x + 11) = 0$
अतः,$x = \frac{1}{11}$ या $x = -11$।
चूँकि $\tanh ^{-1} x$ का प्रांत $(-1, 1)$ है,इसलिए $x = -11$ को अस्वीकार कर दिया जाता है।
अतः,$x = \frac{1}{11}$।

(D) माना त्रिभुज के शीर्ष $A = 2 \hat{i}+3 \hat{j}+5 \hat{k}$,$B = 5 \hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}$,और $C = 3 \hat{i}+5 \hat{j}+2 \hat{k}$ हैं।
भुजाओं की लंबाई:
$|AB| = \sqrt{3^2 + (-1)^2 + (-2)^2} = \sqrt{14}$.
$|BC| = \sqrt{(-2)^2 + 3^2 + (-1)^2} = \sqrt{14}$.
$|AC| = \sqrt{1^2 + 2^2 + (-3)^2} = \sqrt{14}$.
चूंकि त्रिभुज समबाहु है,लंबकेंद्र और केंद्रक एक ही बिंदु पर स्थित होते हैं।
केंद्रक $G = \frac{A+B+C}{3} = \frac{10}{3}\hat{i} + \frac{10}{3}\hat{j} + \frac{10}{3}\hat{k}$.
अतः,$x=y=z$।

(D) माना शीर्षों $A, B, C$ के स्थिति सदिश $\vec{a} = 12 \hat{i}-12 \hat{j}-18 \hat{k}$,$\vec{b} = -3 \hat{i}-6 \hat{j}-9 \hat{k}$,और $\vec{c} = 3 \hat{i}+3 \hat{j}-24 \hat{k}$ हैं।
भुजाओं की लंबाई की गणना करें:
$a = |\vec{BC}| = |6\hat{i} + 9\hat{j} - 15\hat{k}| = \sqrt{342}$.
$b = |\vec{AC}| = |-9\hat{i} + 15\hat{j} - 6\hat{k}| = \sqrt{342}$.
$c = |\vec{AB}| = |-15\hat{i} + 6\hat{j} + 9\hat{k}| = \sqrt{342}$.
चूंकि $a=b=c$,त्रिभुज समबाहु है।
समबाहु त्रिभुज का अंतःकेंद्र उसका केंद्रक होता है,जो $\frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3}$ द्वारा दिया जाता है।
अंतःकेंद्र $= \frac{12\hat{i} - 15\hat{j} - 51\hat{k}}{3} = 4\hat{i} - 5\hat{j} - 17\hat{k}$.

(C) दिया गया है $f(x) = (x-a) \frac{e^{\frac{1}{x-a}}-1}{e^{\frac{1}{x-a}}+1}$ जहाँ $x \neq a$ और $f(a) = 0$.
$x=a$ पर सांतत्य की जाँच करने के लिए,हम सीमाओं का मूल्यांकन करते हैं:
बाएँ हाथ की सीमा: $\lim_{x \rightarrow a^-} f(x) = \lim_{h \rightarrow 0} (-h) \frac{e^{-1/h}-1}{e^{-1/h}+1} = 0 \times \frac{0-1}{0+1} = 0$.
दाएँ हाथ की सीमा: $\lim_{x \rightarrow a^+} f(x) = \lim_{h \rightarrow 0} (h) \frac{e^{1/h}-1}{e^{1/h}+1} = \lim_{h \rightarrow 0} h \frac{1-e^{-1/h}}{1+e^{-1/h}} = 0 \times \frac{1-0}{1+0} = 0$.
चूँकि $\lim_{x \rightarrow a^-} f(x) = \lim_{x \rightarrow a^+} f(x) = f(a) = 0$,इसलिए फलन $f(x)$,$x=a$ पर सतत है।

(D) माना $L = \lim _{n \rightarrow \infty} \left[ \prod_{r=1}^n \left(1 + \frac{r^2}{n^2}\right) \right]^{\frac{1}{n}}$.
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर:
$\log L = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^n \log \left(1 + \left(\frac{r}{n}\right)^2\right)$.
योगफल की सीमा के रूप में निश्चित समाकलन की परिभाषा का उपयोग करने पर:
$\log L = \int_0^1 \log(1 + x^2) dx$.
खंडशः समाकलन का उपयोग करते हुए,$u = \log(1 + x^2)$ और $dv = dx$ लेने पर:
$\log L = [x \log(1 + x^2)]_0^1 - \int_0^1 x \cdot \frac{2x}{1 + x^2} dx$.
$\log L = \log 2 - 2 \int_0^1 \frac{x^2}{1 + x^2} dx = \log 2 - 2 \int_0^1 \left(1 - \frac{1}{1 + x^2}\right) dx$.
$\log L = \log 2 - 2 [x - \tan^{-1} x]_0^1 = \log 2 - 2(1 - \frac{\pi}{4}) = \log 2 - 2 + \frac{\pi}{2}$.
अतः,$L = e^{\log 2 - 2 + \frac{\pi}{2}} = 2 e^{\frac{\pi-4}{2}}$.

(C) दिया गया व्यंजक $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^n \frac{r}{n} \sin ^{-1} \left( \frac{r}{n} \right)$ है।
यह एक रीमान योग है,जिसे निश्चित समाकलन $\int_0^1 x \sin ^{-1} x \, dx$ के रूप में लिखा जा सकता है।
खंडशः समाकलन का उपयोग करते हुए,$u = \sin ^{-1} x$ और $dv = x \, dx$ लेने पर,$du = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx$ और $v = \frac{x^2}{2}$ प्राप्त होता है।
$\int_0^1 x \sin ^{-1} x \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} \sin ^{-1} x \right]_0^1 - \int_0^1 \frac{x^2}{2 \sqrt{1-x^2}} \, dx$.
प्रथम पद का मान: $\left[ \frac{1^2}{2} \sin ^{-1}(1) - 0 \right] = \frac{\pi}{4}$.
दूसरे पद के लिए: $-\frac{1}{2} \int_0^1 \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}} \, dx = -\frac{1}{2} \int_0^1 \frac{x^2 - 1 + 1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx = \frac{1}{2} \int_0^1 \sqrt{1-x^2} \, dx - \frac{1}{2} \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx$.
मानक समाकलन का उपयोग करते हुए: $\frac{1}{2} \left[ \frac{x}{2} \sqrt{1-x^2} + \frac{1}{2} \sin ^{-1} x \right]_0^1 - \frac{1}{2} \left[ \sin ^{-1} x \right]_0^1 = \frac{\pi}{8} - \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{8}$.
कुल योग: $\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{8} = \frac{\pi}{8}$.

(A) हम जानते हैं कि द्विपद वितरण के लिए,माध्य $\mu = np$ और प्रसरण $\sigma^2 = npq$ होता है।
दिया गया है $\mu = 2\sigma^2$,इसलिए $np = 2npq$,जिसका अर्थ है $q = \frac{1}{2}$।
चूंकि $p + q = 1$,हमें $p = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है $\mu + \sigma^2 = 3$,इसलिए $np + npq = 3$।
$p = \frac{1}{2}$ और $q = \frac{1}{2}$ रखने पर,हमें $\frac{n}{2} + \frac{n}{4} = 3$ प्राप्त होता है।
$4$ से गुणा करने पर,हमें $2n + n = 12$ मिलता है,इसलिए $3n = 12$,जिससे $n = 4$ प्राप्त होता है।
अब,$P(X \leq 3) = 1 - P(X = 4)$।
द्विपद प्रायिकता सूत्र $P(X=k) = {^nC_k} p^k q^{n-k}$ का उपयोग करने पर,हमें $P(X=4) = {^4C_4} (\frac{1}{2})^4 (\frac{1}{2})^0 = 1 \times \frac{1}{16} = \frac{1}{16}$ प्राप्त होता है।
अतः,$P(X \leq 3) = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}$।

(D) मान लीजिए $A, B, C$ के स्थिति सदिश क्रमशः $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ हैं। मान लीजिए $\vec{a} = \vec{0}$। तो $\vec{b} = \vec{b}$ और $\vec{c} = \vec{c}$।
बिंदु $P, Q, R$ भुजाओं $BC, CA, AB$ को $3:4, 2:5, 9:5$ के अनुपात में विभाजित करते हैं:
$\vec{P} = \frac{3\vec{c} + 4\vec{b}}{7}$,$\vec{Q} = \frac{5\vec{c} + 2\vec{a}}{7} = \frac{5\vec{c}}{7}$,$\vec{R} = \frac{9\vec{b} + 5\vec{a}}{14} = \frac{9\vec{b}}{14}$.
अब,$\vec{AP} + \vec{BQ} + \vec{CR} = (\vec{P} - \vec{a}) + (\vec{Q} - \vec{b}) + (\vec{R} - \vec{c})$
$= \frac{3\vec{c} + 4\vec{b}}{7} + (\frac{5\vec{c}}{7} - \vec{b}) + (\frac{9\vec{b}}{14} - \vec{c})$
$= \frac{6\vec{c} + 8\vec{b} + 10\vec{c} - 14\vec{b} + 9\vec{b} - 14\vec{c}}{14} = \frac{3\vec{b} + 2\vec{c}}{14}$.
बिंदु $D$ भुजा $BC$ को $2:3$ के अनुपात में विभाजित करता है,इसलिए $\vec{D} = \frac{2\vec{c} + 3\vec{b}}{5}$.
चूंकि $\vec{A} = \vec{0}$,$\vec{AD} = \vec{D} = \frac{3\vec{b} + 2\vec{c}}{5}$.
अतः,$\frac{\vec{AP} + \vec{BQ} + \vec{CR}}{\vec{AD}} = \frac{(3\vec{b} + 2\vec{c})/14}{(3\vec{b} + 2\vec{c})/5} = \frac{5}{14}$.
इसलिए,$k = \frac{5}{14}$.
अंत में,$(14k + 1) : (14k - 1) = (14 \times \frac{5}{14} + 1) : (14 \times \frac{5}{14} - 1) = (5 + 1) : (5 - 1) = 6 : 4 = 3 : 2$.

(D) माना $\theta = A = 67 \frac{1}{2}^{\circ} = \frac{3\pi}{8} \text{ रेडियन}$.
माप में त्रुटि $d\theta = 9 \text{ min} = \frac{\pi}{1200} \text{ रेडियन}$.
त्रिभुज का क्षेत्रफल $S = \frac{1}{2}bc \sin \theta$.
अवकलन करने पर,$\frac{dS}{d\theta} = \frac{1}{2}bc \cos \theta$.
अतः,क्षेत्रफल में सापेक्ष त्रुटि $\frac{dS}{S} = \cot \theta d\theta$.
मान रखने पर,$\frac{dS}{S} = \cot \left( \frac{3\pi}{8} \right) \times \frac{\pi}{1200} = (\sqrt{2}-1) \frac{\pi}{1200}$.
प्रतिशत त्रुटि = $(\sqrt{2}-1) \frac{\pi}{1200} \times 100 = \frac{\pi}{12}(\sqrt{2}-1)$.

(D) दिए गए वक्र $x^2+y^2-4x=0 \Rightarrow (x-2)^2+y^2=4$ और $y^2=x$ हैं।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,वृत्त के समीकरण में $y^2=x$ प्रतिस्थापित करें: $x^2+x-4x=0 \Rightarrow x^2-3x=0 \Rightarrow x(x-3)=0$. अतः,$x=0$ या $x=3$ है।
$x=0$ के लिए,$y=0$ है। $x=3$ के लिए,$y^2=3 \Rightarrow y=\sqrt{3}$ (प्रथम चतुर्थांश में)।
प्रथम चतुर्थांश में क्षेत्रफल $A$,$x=0$ से $x=3$ तक परवलय द्वारा और $x=3$ से $x=4$ तक वृत्त द्वारा घिरा है।
$A = \int_0^3 \sqrt{x} \, dx + \int_3^4 \sqrt{4-(x-2)^2} \, dx$
$A = \left[ \frac{2}{3}x^{3/2} \right]_0^3 + \left[ \frac{x-2}{2} \sqrt{4-(x-2)^2} + 2 \sin^{-1} \left( \frac{x-2}{2} \right) \right]_3^4$
$A = \frac{2}{3}(3\sqrt{3}) + \left[ (0 + 2 \sin^{-1}(1)) - (\frac{1}{2} \sqrt{3} + 2 \sin^{-1}(1/2)) \right]$
$A = 2\sqrt{3} + \pi - \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\pi}{3} = \frac{3\sqrt{3}}{2} + \frac{2\pi}{3}$.
अतः,$6A - 9\sqrt{3} = 6(\frac{3\sqrt{3}}{2} + \frac{2\pi}{3}) - 9\sqrt{3} = 9\sqrt{3} + 4\pi - 9\sqrt{3} = 4\pi$.

(A) दिया गया परवलय $y=x^2+3$ है।
सबसे पहले,$(3,12)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण ज्ञात करें।
अवकलन $\frac{dy}{dx} = 2x$ है। $x=3$ पर,ढाल $m = 2(3) = 6$ है।
स्पर्श रेखा का समीकरण $y - 12 = 6(x - 3)$ है,जिसे सरल करने पर $y = 6x - 6$ प्राप्त होता है।
स्पर्श रेखा $x$-अक्ष को $y=0$ पर काटती है,इसलिए $6x - 6 = 0 \Rightarrow x = 1$ है।
प्रथम चतुर्थांश में परवलय,स्पर्श रेखा और निर्देशांक अक्षों द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल,$x=0$ से $x=3$ तक परवलय के नीचे का क्षेत्रफल माइनस स्पर्श रेखा,$x$-अक्ष और ऊर्ध्वाधर रेखा $x=3$ द्वारा बने त्रिभुज का क्षेत्रफल है।
अतः,क्षेत्रफल = $\int_0^3 (x^2+3) dx - \int_1^3 (6x-6) dx$.
प्रथम समाकलन की गणना: $\int_0^3 (x^2+3) dx = [\frac{x^3}{3} + 3x]_0^3 = (9 + 9) - 0 = 18$.
दूसरे समाकलन (त्रिभुज का क्षेत्रफल) की गणना: $\int_1^3 (6x-6) dx = [3x^2 - 6x]_1^3 = (27 - 18) - (3 - 6) = 9 - (-3) = 12$.
अभीष्ट क्षेत्रफल = $18 - 12 = 6$ वर्ग इकाई।

(A) प्रतिच्छेदन बिंदु के लिए,$y^2=6ax$ को $x^2+y^2=16a^2$ में प्रतिस्थापित करें:
$x^2+6ax-16a^2=0$
$(x+8a)(x-2a)=0$
चूँकि परवलय के लिए $x \ge 0$ है,इसलिए $x=2a$ प्राप्त होता है।
छोटे क्षेत्र का क्षेत्रफल $A_1 = 2 \left[ \int_0^{2a} \sqrt{6ax} \, dx + \int_{2a}^{4a} \sqrt{16a^2-x^2} \, dx \right]$ है।
समाकलन की गणना करने पर:
$2 \int_0^{2a} \sqrt{6a} \sqrt{x} \, dx = 2 \sqrt{6a} \left[ \frac{2}{3} x^{3/2} \right]_0^{2a} = 2 \sqrt{6a} \cdot \frac{2}{3} \cdot 2a \sqrt{2a} = \frac{8a^2 \sqrt{12}}{3} = \frac{16a^2 \sqrt{3}}{3}$.
$2 \int_{2a}^{4a} \sqrt{(4a)^2-x^2} \, dx = 2 \left[ \frac{x}{2} \sqrt{16a^2-x^2} + \frac{16a^2}{2} \sin^{-1} \left( \frac{x}{4a} \right) \right]_{2a}^{4a}$
$= 2 \left[ (0 + 8a^2 \cdot \frac{\pi}{2}) - (a \sqrt{12a^2} + 8a^2 \cdot \frac{\pi}{6}) \right] = 2 \left[ 4\pi a^2 - 2a^2 \sqrt{3} - \frac{4\pi a^2}{3} \right] = 2 \left[ \frac{8\pi a^2}{3} - 2a^2 \sqrt{3} \right] = \frac{16\pi a^2}{3} - 4a^2 \sqrt{3}$.
कुल छोटा क्षेत्रफल $A_1 = \frac{16a^2 \sqrt{3}}{3} + \frac{16\pi a^2}{3} - 4a^2 \sqrt{3} = \frac{16\pi a^2}{3} + \frac{4a^2 \sqrt{3}}{3} = \frac{4a^2}{3}(4\pi + \sqrt{3})$.
बड़ा क्षेत्रफल वृत्त के कुल क्षेत्रफल में से छोटे क्षेत्रफल को घटाने पर प्राप्त होता है:
$A_2 = \pi(4a)^2 - A_1 = 16\pi a^2 - \left( \frac{16\pi a^2}{3} + \frac{4a^2 \sqrt{3}}{3} \right) = \frac{32\pi a^2}{3} - \frac{4a^2 \sqrt{3}}{3} = \frac{4a^2}{3}(8\pi - \sqrt{3})$ वर्ग इकाइयाँ।

(A) यह क्षेत्र $x = \pm 2$ और $y = \pm 2$ द्वारा परिभाषित वर्ग से घिरा है,जिसका कुल क्षेत्रफल $4 \times 4 = 16$ है। शर्त $xy \leq \frac{1}{2}$ उस क्षेत्र को बाहर करती है जहाँ $xy > \frac{1}{2}$ है।
यह क्षेत्र $xy > \frac{1}{2}$ दो भागों से बना है: एक प्रथम चतुर्थांश में जहाँ $y > \frac{1}{2x}$ और दूसरा तृतीय चतुर्थांश में जहाँ $y < \frac{1}{2x}$ है।
समरूपता के कारण,इन दोनों भागों का क्षेत्रफल समान है। आइए प्रथम चतुर्थांश में $x=2, y=2, x=1/4$ (क्योंकि $2x=1/2 \implies x=1/4$ जब $y=2$) और वक्र $y=1/(2x)$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल की गणना करें।
प्रथम चतुर्थांश में जहाँ $xy > 1/2$ है,क्षेत्रफल $\int_{1/4}^{2} (2 - \frac{1}{2x}) dx = [2x - \frac{1}{2} \log x]_{1/4}^{2} = (4 - \frac{1}{2} \log 2) - (1/2 - \frac{1}{2} \log(1/4)) = 4 - 0.5 \log 2 - 0.5 + 0.5 \log(2^{-2}) = 3.5 - 0.5 \log 2 - \log 2 = 3.5 - 1.5 \log 2$ है।
बाहर किए जाने वाला कुल क्षेत्रफल = $2 \times (3.5 - 1.5 \log 2) = 7 - 3 \log 2$ है।
वांछित क्षेत्रफल = वर्ग का कुल क्षेत्रफल - बाहर किया गया क्षेत्रफल = $16 - (7 - 3 \log 2) = 9 + 3 \log 2$ है।

(C) $y=\sin x$ और $y=\cos x$ द्वारा $x=\frac{\pi}{4}$ से $x=\pi$ तक परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल ऊपरी वक्र से निचले वक्र को घटाकर प्राप्त किया जाता है। अंतराल $[\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}]$ में,$\sin x \ge \cos x$ है,और $[\frac{\pi}{2}, \pi]$ में भी $\sin x \ge \cos x$ है (क्योंकि $\cos x$ ऋणात्मक है)। अतः,कुल क्षेत्रफल $\int_{\frac{\pi}{4}}^{\pi} (\sin x - \cos x) dx$ है।
प्रश्न के अनुसार,रेखा $x=a$ इस क्षेत्रफल को समद्विभाजित करती है,इसलिए:
$\int_{\frac{\pi}{4}}^{a} (\sin x - \cos x) dx = \int_{a}^{\pi} (\sin x - \cos x) dx$
समाकलन का मूल्यांकन करने पर:
$[-\cos x - \sin x]_{\frac{\pi}{4}}^{a} = [-\cos x - \sin x]_{a}^{\pi}$
$(-\cos a - \sin a) - (-\cos \frac{\pi}{4} - \sin \frac{\pi}{4}) = (-\cos \pi - \sin \pi) - (-\cos a - \sin a)$
$-\cos a - \sin a + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} = -(-1) - 0 + \cos a + \sin a$
$-\cos a - \sin a + \frac{2}{\sqrt{2}} = 1 + \cos a + \sin a$
$\sqrt{2} - 1 = 2(\sin a + \cos a)$
$\sin a + \cos a = \frac{\sqrt{2}-1}{2}$
दोनों पक्षों को $\sqrt{2}$ से विभाजित करने पर:
$\frac{1}{\sqrt{2}} \sin a + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos a = \frac{\sqrt{2}-1}{2 \sqrt{2}}$
$\sin a \cos \frac{\pi}{4} + \cos a \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}-1}{2 \sqrt{2}}$
$\sin \left(a + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}-1}{2 \sqrt{2}}$

(A) दिया गया परवलय का समीकरण $y^2=2x$ $\dots(i)$ और रेखा का समीकरण $y=4x-1$ $\dots(ii)$ है।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,$(ii)$ से $x = \frac{y+1}{4}$ को $(i)$ में प्रतिस्थापित करें:
$y^2 = 2\left(\frac{y+1}{4}\right) \implies y^2 = \frac{y+1}{2} \implies 2y^2 - y - 1 = 0$.
द्विघात समीकरण को हल करने पर: $(2y+1)(y-1) = 0$,अतः $y = -\frac{1}{2}$ और $y = 1$.
संगत $x$ मान $x = \frac{(-1/2)+1}{4} = \frac{1}{8}$ और $x = \frac{1+1}{4} = \frac{1}{2}$ हैं।
प्रतिच्छेदन बिंदु $(\frac{1}{8}, -\frac{1}{2})$ और $(\frac{1}{2}, 1)$ हैं।
आवश्यक क्षेत्रफल $y$ के सापेक्ष समाकलन द्वारा प्राप्त होता है:
$Area = \int_{-1/2}^{1} (x_{line} - x_{parabola}) dy = \int_{-1/2}^{1} (\frac{y+1}{4} - \frac{y^2}{2}) dy$.
$= \frac{1}{4} \int_{-1/2}^{1} (y+1) dy - \frac{1}{2} \int_{-1/2}^{1} y^2 dy$.
$= \frac{1}{4} [\frac{y^2}{2} + y]_{-1/2}^{1} - \frac{1}{2} [\frac{y^3}{3}]_{-1/2}^{1}$.
$= \frac{1}{4} [(\frac{1}{2} + 1) - (\frac{1}{8} - \frac{1}{2})] - \frac{1}{6} [1 - (-\frac{1}{8})]$.
$= \frac{1}{4} [\frac{3}{2} + \frac{3}{8}] - \frac{1}{6} [\frac{9}{8}] = \frac{1}{4} [\frac{15}{8}] - \frac{3}{16} = \frac{15}{32} - \frac{6}{32} = \frac{9}{32}$ वर्ग इकाई।

(C) दिए गए वक्र $x^2+y^2-2ax=0$ (केंद्र $(a, 0)$ और त्रिज्या $a$ वाला वृत्त) और $y^2=ax$ (परवलय) हैं।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,$y^2=ax$ को $x^2+y^2-2ax=0$ में प्रतिस्थापित करें:
$x^2+ax-2ax=0 \implies x^2-ax=0 \implies x(x-a)=0$.
अतः,वक्र $x=0$ और $x=a$ पर प्रतिच्छेद करते हैं।
$X$-अक्ष के ऊपर के भाग के लिए,क्षेत्रफल $x=0$ से $x=a$ तक ऊपरी वक्र (वृत्त) और निचले वक्र (परवलय) के बीच के अंतर का समाकलन है:
क्षेत्रफल $= \int_0^a \left(\sqrt{2ax-x^2} - \sqrt{ax}\right) dx$
$= \int_0^a \sqrt{a^2-(x-a)^2} dx - \sqrt{a} \int_0^a x^{1/2} dx$
सूत्र $\int \sqrt{r^2-u^2} du = \frac{u}{2}\sqrt{r^2-u^2} + \frac{r^2}{2}\sin^{-1}(\frac{u}{r})$ का उपयोग करते हुए:
$= \left[ \frac{x-a}{2}\sqrt{2ax-x^2} + \frac{a^2}{2}\sin^{-1}\left(\frac{x-a}{a}\right) - \sqrt{a} \cdot \frac{2}{3}x^{3/2} \right]_0^a$
$= \left( 0 + \frac{a^2}{2}\sin^{-1}(0) - \frac{2}{3}a^2 \right) - \left( \frac{-a}{2}\sqrt{0} + \frac{a^2}{2}\sin^{-1}(-1) - 0 \right)$
$= (0 + 0 - \frac{2}{3}a^2) - (0 + \frac{a^2}{2}(-\frac{\pi}{2}) - 0)$
$= -\frac{2}{3}a^2 + \frac{\pi a^2}{4} = a^2\left(\frac{\pi}{4} - \frac{2}{3}\right)$ वर्ग इकाई।

(A) वक्रों $y=2x-x^2$ और $y=x^2-2x-6$ द्वारा घिरे क्षेत्रफल को ज्ञात करने के लिए,हम पहले उनके प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करते हैं:
$2x-x^2 = x^2-2x-6$
$2x^2-4x-6 = 0$
$x^2-2x-3 = 0$
$(x-3)(x+1) = 0$
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $x=-1$ और $x=3$ हैं।
क्षेत्रफल $A$,$x=-1$ से $x=3$ तक ऊपरी वक्र में से निचले वक्र को घटाकर समाकलन करने से प्राप्त होता है:
$A = \int_{-1}^{3} [(2x-x^2) - (x^2-2x-6)] dx$
$A = \int_{-1}^{3} (-2x^2+4x+6) dx$
$A = [- \frac{2}{3}x^3 + 2x^2 + 6x]_{-1}^{3}$
सीमाओं पर मान रखने पर:
$A = [(- \frac{2}{3}(27) + 2(9) + 6(3)) - (- \frac{2}{3}(-1) + 2(1) + 6(-1))]$
$A = [(-18 + 18 + 18) - (\frac{2}{3} + 2 - 6)]$
$A = 18 - (\frac{2}{3} - 4) = 18 - (-\frac{10}{3}) = 18 + \frac{10}{3} = \frac{54+10}{3} = \frac{64}{3}$ वर्ग इकाई।

(D) दिए गए रैखिक समीकरणों का निकाय है:
$2x + y + z = 1$ $(i)$
$3y - z = 1$ $(ii)$
$x - y + z = 0$ $(iii)$
समीकरण $(i)$ में से समीकरण $(iii)$ को घटाने पर:
$(2x + y + z) - (x - y + z) = 1 - 0$
$x + 2y = 1 \Rightarrow x = 1 - 2y$ $(iv)$
समीकरण $(ii)$ से,$z = 3y - 1$ प्राप्त होता है।
माना $y = K$,जहाँ $K \in R$ है।
तब $x = 1 - 2K$ और $z = 3K - 1$ होगा।
अतः,हल सदिश है:
$\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 - 2K \\ K \\ 3K - 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{bmatrix} + K \begin{bmatrix} -2 \\ 1 \\ 3 \end{bmatrix}$
इसलिए,सही विकल्प $D$ है।

(C) दिया गया है कि $A=B+C$,$BC=CB$,और $C^2=0$ है।
चूँकि $B$ और $C$ क्रमविनिमेय (commute) हैं,हम आव्यूहों के लिए द्विपद प्रमेय का उपयोग कर सकते हैं:
$A^k = (B+C)^k = \sum_{r=0}^{k} \binom{k}{r} B^{k-r} C^r$.
चूँकि $C^2=0$,इसलिए $r \ge 2$ के लिए सभी उच्च घातें $C^r=0$ होंगी।
अतः,$A^k = \binom{k}{0} B^k C^0 + \binom{k}{1} B^{k-1} C^1 = B^k + k B^{k-1} C = B^{k-1}(B+kC)$.
$k=2021$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$A^{2021} = B^{2021-1}(B+2021C) = B^{2020}(B+2021C)$.
इसलिए,$B^{2020}[B+(2021)C] = A^{2021}$.

(B) $\alpha=1$ के लिए,प्रणाली एक समरूप प्रणाली में कम हो जाती है जो हमेशा सुसंगत होती है। इसलिए,$\alpha \neq 1$।
$\alpha \neq 1$ के लिए,हम सारणिक $D$ की गणना करते हैं:
$D = \begin{vmatrix} \alpha & -1 & -1 \\ 1 & -\alpha & -1 \\ 1 & -1 & -\alpha \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \alpha & 1 & 1 \\ 1 & \alpha & 1 \\ 1 & 1 & \alpha \end{vmatrix}$।
$R_1 \rightarrow R_1 + R_2 + R_3$ लागू करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$D = \begin{vmatrix} \alpha+2 & \alpha+2 & \alpha+2 \\ 1 & \alpha & 1 \\ 1 & 1 & \alpha \end{vmatrix} = (\alpha+2) \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & \alpha & 1 \\ 1 & 1 & \alpha \end{vmatrix}$।
$C_2 \rightarrow C_2 - C_1$ और $C_3 \rightarrow C_3 - C_1$ लागू करने पर:
$D = (\alpha+2) \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & \alpha-1 & 0 \\ 1 & 0 & \alpha-1 \end{vmatrix} = (\alpha+2)(\alpha-1)^2$।
अब,$D_1$ की गणना करें:
$D_1 = \begin{vmatrix} \alpha-1 & -1 & -1 \\ \alpha-1 & -\alpha & -1 \\ \alpha-1 & -1 & -\alpha \end{vmatrix} = (\alpha-1) \begin{vmatrix} 1 & -1 & -1 \\ 1 & -\alpha & -1 \\ 1 & -1 & -\alpha \end{vmatrix}$।
$R_2 \rightarrow R_2 - R_1$ और $R_3 \rightarrow R_3 - R_1$ लागू करने पर:
$D_1 = (\alpha-1) \begin{vmatrix} 1 & -1 & -1 \\ 0 & 1-\alpha & 0 \\ 0 & 0 & 1-\alpha \end{vmatrix} = (\alpha-1)(1-\alpha)^2 = (\alpha-1)^3$।
प्रणाली के असंगत होने के लिए,हमें $D=0$ और $D_1 \neq 0$ की आवश्यकता है।
$D=0$ का अर्थ है $\alpha = -2$ या $\alpha = 1$।
चूंकि $\alpha \neq 1$,हम $\alpha = -2$ की जांच करते हैं।
$\alpha = -2$ के लिए,$D=0$ और $D_1 = (-2-1)^3 = -27 \neq 0$।
अतः,$\alpha = -2$ के लिए प्रणाली असंगत है।

(A) हमें दिया गया है $A=\begin{bmatrix} 1 & 4 & 2 \\ 2 & -1 & 4 \\ -3 & 7 & -6 \end{bmatrix}$ और $B=\begin{bmatrix} 2 & 0 & -2 \\ b_{21} & b_{22} & b_{23} \\ b_{31} & b_{32} & b_{33} \end{bmatrix}$.
$AB=\begin{bmatrix} 2 & 14 & -4 \\ 4 & 1 & -8 \\ -6 & 15 & 12 \end{bmatrix}$ दिया गया है।
आव्यूह गुणन करने पर:
$AB = \begin{bmatrix} 2+4b_{21}+2b_{31} & 4b_{22}+2b_{32} & -2+4b_{23}+2b_{33} \\ 4-b_{21}+4b_{31} & -b_{22}+4b_{32} & -4-b_{23}+4b_{33} \\ -6+7b_{21}-6b_{31} & 7b_{22}-6b_{32} & 6+7b_{23}-6b_{33} \end{bmatrix}$.
संगत अवयवों की तुलना करने पर:
स्तंभ $1$ से: $2b_{21}+b_{31}=0$ और $-b_{21}+4b_{31}=0$ को हल करने पर $b_{21}=0, b_{31}=0$ प्राप्त होता है।
स्तंभ $2$ से: $4b_{22}+2b_{32}=14$ और $-b_{22}+4b_{32}=1$ को हल करने पर $b_{22}=3, b_{32}=1$ प्राप्त होता है।
स्तंभ $3$ से: $-2+4b_{23}+2b_{33}=-4$ और $-4-b_{23}+4b_{33}=-8$ को हल करने पर $b_{23}=0, b_{33}=-1$ प्राप्त होता है।
अतः,$B=\begin{bmatrix} 2 & 0 & -2 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \end{bmatrix}$.
$|B| = 2(-3-0) - 0 + (-2)(0-0) = -6$.
$\operatorname{trace}(B) = 2+3-1 = 4$.
इसलिए,$|B|+\operatorname{trace}(B) = -6+4 = -2$.

(A) दिया गया है कि $B$ एक लंबकोणीय आव्यूह है,$B^T = B^{-1}$,जिसका अर्थ है $B^T B = I$।
दोनों पक्षों का सारणिक लेने पर,हमें $|B^T B| = |I| = 1$ प्राप्त होता है।
चूंकि $|B^T| = |B|$,इसलिए $|B|^2 = 1$ होता है।
दिया गया है $|B| = 1$,हम आव्यूह $B-I$ पर विचार करते हैं।
हम जानते हैं कि $|B-I| = |B-I|^T = |B^T - I^T| = |B^T - I|$।
चूंकि $B^T = B^{-1}$,इसलिए $|B^T - I| = |B^{-1} - I| = |B^{-1}(I - B)| = |B^{-1}| |I - B| = \frac{1}{|B|} |-(B-I)| = \frac{1}{1} (-1)^3 |B-I| = -|B-I|$।
अतः,$|B-I| = -|B-I|$,जो दर्शाता है कि $2|B-I| = 0$,इसलिए $|B-I| = 0$।

(C) दिया गया है कि $a_{ij} = 1$ यदि $i+j=7$ और अन्यथा $0$ है। यह एक प्रति-विकर्ण आव्यूह को दर्शाता है जहाँ प्रति-विकर्ण के सभी अवयव $1$ हैं।
$n$ क्रम के आव्यूह $A$ के लिए,सारणिक $|A| = (-1)^{n(n-1)/2}$ होता है। यहाँ $n=6$ है,इसलिए $|A| = (-1)^{6(5)/2} = (-1)^{15} = -1$.
हम जानते हैं कि $A(\text{adj } A) = |A| I$.
इस मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: $(A(\text{adj } A) A^{-1}) A^2 = (|A| I) A^{-1} A^2$.
चूँकि $|A| = -1$,यह $(-I) A^{-1} A^2 = -I (A^{-1} A) A$ हो जाता है।
चूँकि $A^{-1} A = I$,इसलिए हमें $-I (I) A = -A$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 3 & -3 & 4 \\ 2 & -3 & 4 \\ 0 & -1 & 1 \end{bmatrix}$.
सबसे पहले,$A^2 = A \times A$ की गणना करें:
$A^2 = \begin{bmatrix} 3 & -3 & 4 \\ 2 & -3 & 4 \\ 0 & -1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & -3 & 4 \\ 2 & -3 & 4 \\ 0 & -1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & -4 & 4 \\ 0 & -1 & 0 \\ -2 & 2 & -3 \end{bmatrix}$.
अब,सारणिक $|A^2|$ ज्ञात करें:
$|A^2| = 3(3) + 4(0) + 4(-2) = 9 - 8 = 1$.
चूंकि $|A^2| = 1$,इसलिए $(A^2)^{-1} = \frac{1}{|A^2|} \text{adj}(A^2) = \text{adj}(A^2)$.
$A^2$ के सहखंडज आव्यूह की गणना करने पर,हमें प्राप्त होता है कि $(A^2)^{-1} = A^2$.

(C) दिया गया है कि $A$ और $B$ कोटि $3$ के व्युत्क्रमणीय आव्यूह हैं और $|B|=k$.
$A$. $|k^{-1} A^{-1}| = (k^{-1})^3 |A^{-1}| = \frac{1}{k^3 |A|} = \frac{1}{|B|^3 |A|}$. अतः,$A-III$.
$B$. $|\text{Adj}(A^{-1})| = |A^{-1}|^{3-1} = |A^{-1}|^2 = \frac{1}{|A|^2}$. अतः,$B-V$.
$C$. यदि $BAB^{-1} = I$ है,तो $BA^kB^{-1} = (BAB^{-1})^k = I^k = I$ होता है। यहाँ $B \frac{\text{Adj}(B)}{|B|} = I$ होता है। अतः,$C-II$.
$D$. $\text{Adj}(\text{Adj}(A^{-1})) = |A^{-1}|^{3-2} (A^{-1}) = |A^{-1}| A^{-1} = \frac{1}{|A|} A^{-1}$. अतः,$D-IV$.
इसलिए,सही मिलान $A-III, B-V, C-II, D-IV$ है।

(C) दिया गया है कि $A^{-1}=\frac{1}{3}(A^2-5A+7I)$।
$3A$ से गुणा करने पर,हमें $3I = A^3-5A^2+7A$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $A^3-5A^2+7A-3I=0$।
मान लीजिए $P(x) = x^3-5x^2+7x-3$। चूंकि $P(A)=0$,हम दी गई अभिव्यक्ति $17A^8-85A^7+119A^6-51A^5-19A^4+95A^3-133A^2+58A+I$ को $A^3-5A^2+7A-3I$ से बहुपद विभाजन कर सकते हैं।
बहुपद $17x^8-85x^7+119x^6-51x^5-19x^4+95x^3-133x^2+58x+1$ को $x^3-5x^2+7x-3$ से विभाजित करने पर भागफल $17x^5-19x$ और शेषफल $x+1$ प्राप्त होता है।
अतः,$17A^8-85A^7+119A^6-51A^5-19A^4+95A^3-133A^2+58A+I = (A^3-5A^2+7A-3I)(17A^5-19A) + (A+I)$।
चूंकि $A^3-5A^2+7A-3I=0$,अभिव्यक्ति का सरलीकरण $0 + A+I = A+I$ होता है।

(D) दिया गया है कि $A$ एक $m \times n$ आव्यूह है जिसकी कोटि $4$ है।
चूंकि $A$ में $m$-वीं कोटि का एक व्युत्क्रमणीय उप-आव्यूह है,इसलिए $A$ को $m \times m$ का एक वर्ग आव्यूह होना चाहिए।
अतः,$n = m$,और $A$ की कोटि $m$ है।
दिया गया है कि $A$ की कोटि $4$ है,इसलिए $m = 4$ है।
साथ ही,$A^T A$ एक $n \times n$ कोटि का आव्यूह है।
दिया गया है कि $A^T A$ एक $7 \times 7$ आव्यूह है,इसलिए $n = 7$ है।
हालाँकि,यह शर्त कि $A$ में $m$-वीं कोटि का व्युत्क्रमणीय उप-आव्यूह है,यह दर्शाती है कि $A$ एक $m \times m$ वर्ग आव्यूह है,जिसका अर्थ है $m = n$।
प्रश्न का पुनर्मूल्यांकन करने पर: यदि $A^T A$ एक $7 \times 7$ आव्यूह है,तो $n = 7$ है।
यदि $A$ में $m$-वीं कोटि का व्युत्क्रमणीय उप-आव्यूह है,तो $m$ को $A$ की कोटि के बराबर होना चाहिए,जो कि $4$ है।
अतः,$A$ की पंक्तियों की संख्या $m = 4$ है।

(C) दिया गया है कि $A$ क्रम $5$ का एक सिंगुलर मैट्रिक्स है,इसलिए इसका सारणिक $|A| = 0$ है। यह दर्शाता है कि रैंक $\rho(A) < 5$ है।
चूंकि $B$ में $3$ क्रम का एक अशून्य माइनर है,इसलिए रैंक $\rho(B) \geq 3$ है।
हमें दिया गया है कि $\rho(B) = \rho(A)$ है।
यदि $\rho(A) = 3$ है,तो $\rho(B) = 3$ होगा।
यदि $\rho(A) = 4$ है,तो $\rho(B) = 4$ होगा।
विकल्प $C$ कहता है कि जब $A$ के सभी चतुर्थ क्रम के माइनर शून्य होते हैं,तो $\rho(A) = \rho(B) = 3$ होता है।
यदि $A$ के सभी चतुर्थ क्रम के माइनर शून्य हैं,तो $\rho(A) \leq 3$ होगा। चूंकि $B$ में $3$ क्रम का एक अशून्य माइनर है,इसलिए $\rho(B) = 3$ होगा।
अतः,यदि $\rho(A) = 3$ है,तो $\rho(A) = \rho(B) = 3$ एक सुसंगत कथन है।

(C) माना $A = \begin{bmatrix} 1 & x & x+1 \\ 2x & x(x-1) & x(x+1) \\ 3x(x-1) & x(x-1)(x-2) & x(x-1)(x+1) \end{bmatrix}$ है।
दूसरे स्तंभ से $x$ और तीसरी पंक्ति से $x(x-1)$ उभयनिष्ठ लेने पर:
$A = x(x-1) \begin{bmatrix} 1 & x & x+1 \\ 2x & x-1 & x+1 \\ 3 & x-2 & x+1 \end{bmatrix}$ प्राप्त होता है।
सारणिक का मान निकालने पर:
$|A| = -4x(x-1)^2(x+1)$ प्राप्त होता है।
यदि $x \neq 0, 1, -1$ है,तो $|A| \neq 0$,अतः कोटि $3$ है।
यदि $x=0$ है,तो कोटि $1$ है।
यदि $x=1$ है,तो कोटि $2$ है।
यदि $x=-1$ है,तो कोटि $1$ है।
अतः,विकल्प $C$ सबसे उपयुक्त उत्तर है।

(D) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 2 & -2 & -4 \\ -1 & 3 & 4 \\ 1 & -2 & x \end{bmatrix}$ और $A^2 = A$ है।
$A^2$ की गणना करने पर:
$A^2 = \begin{bmatrix} 2 & -2 & -4 \\ -1 & 3 & 4 \\ 1 & -2 & x \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & -2 & -4 \\ -1 & 3 & 4 \\ 1 & -2 & x \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & -2 & -16-4x \\ -1 & 3 & 16+4x \\ 4+x & -8-2x & -16+x^2 \end{bmatrix}$.
चूंकि $A^2 = A$,अवयवों की तुलना करने पर $4+x = 1$ प्राप्त होता है,जिससे $x = -3$ मिलता है।
$x = -3$ को $A$ में रखने पर:
$A = \begin{bmatrix} 2 & -2 & -4 \\ -1 & 3 & 4 \\ 1 & -2 & -3 \end{bmatrix}$.
सारणिक $|A| = 2(-9+8) + 2(3-4) - 4(2-3) = 2(-1) + 2(-1) - 4(-1) = -2 - 2 + 4 = 0$.
चूंकि $|A| = 0$,इसलिए कोटि $r < 3$ है।
$2$ कोटि के माइनर की जांच करने पर: $\begin{vmatrix} 2 & -2 \\ -1 & 3 \end{vmatrix} = 6 - 2 = 4 \neq 0$.
अतः,कोटि $r = 2$ है।
इसलिए,$r + x = 2 + (-3) = -1$.

(B) माना $C$,$A$ के सहखंडों का आव्यूह है। दिया गया है कि $C = \begin{bmatrix} 1 & -2 & 1 \\ 4 & -5 & -2 \\ -2 & 4 & 1 \end{bmatrix}$ है।
हम जानते हैं कि $A$ का सहखंडज (adjoint),जिसे $\operatorname{adj} A$ द्वारा दर्शाया जाता है,सहखंड आव्यूह $C$ का परिवर्त (transpose) होता है।
अतः,$\operatorname{adj} A = C^T = \begin{bmatrix} 1 & 4 & -2 \\ -2 & -5 & 4 \\ 1 & -2 & 1 \end{bmatrix}$ है।
हम गुणधर्म $|\operatorname{adj} A| = |A|^{n-1}$ का उपयोग करते हैं,जहाँ $n$ आव्यूह की कोटि है।
यहाँ $n = 3$ है,इसलिए $|\operatorname{adj} A| = |A|^{3-1} = |A|^2$ है।
अब,$\operatorname{adj} A$ का सारणिक ज्ञात करते हैं:
$|\operatorname{adj} A| = 1((-5)(1) - (4)(-2)) - 4((-2)(1) - (1)(4)) + (-2)((-2)(-2) - (1)(-5))$
$|\operatorname{adj} A| = 1(3) - 4(-6) - 2(9) = 3 + 24 - 18 = 9$ है।
चूँकि $|A|^2 = 9$,इसलिए $|A| = \pm 3$ है।
अतः,$A$ के सारणिक का एक संभावित मान $3$ है।

(D) दिया गया सारणिक समीकरण:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc}1+\sin ^2 \theta & \cos ^2 \theta & 4 \sin 4 \theta \\ \sin ^2 \theta & 1+\cos ^2 \theta & 4 \sin 4 \theta \\ \sin ^2 \theta & \cos ^2 \theta & 1+4 \sin 4 \theta\end{array}\right| = 0$
स्तंभ संक्रिया $C_1 \rightarrow C_1 + C_2 + C_3$ लागू करने पर:
$\Delta = (2 + 4\sin 4\theta) \left|\begin{array}{ccc}1 & \cos^2 \theta & 4\sin 4\theta \\ 1 & 1+\cos^2 \theta & 4\sin 4\theta \\ 1 & \cos^2 \theta & 1+4\sin 4\theta\end{array}\right| = 0$
अब पंक्ति संक्रिया $R_2 \rightarrow R_2 - R_1$ और $R_3 \rightarrow R_3 - R_1$ लागू करने पर:
$\Delta = (2 + 4\sin 4\theta) \left|\begin{array}{ccc}1 & \cos^2 \theta & 4\sin 4\theta \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right| = 0$
सारणिक का विस्तार करने पर,हमें $(2 + 4\sin 4\theta)(1) = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $2 + 4\sin 4\theta = 0$.
अतः,$\sin 4\theta = -\frac{1}{2}$.
चूंकि $\theta \in (0, \frac{\pi}{2})$,इसलिए $4\theta \in (0, 2\pi)$. $\sin 4\theta = -\frac{1}{2}$ के लिए $4\theta$ के मान $\frac{7\pi}{6}$ और $\frac{11\pi}{6}$ हैं।
$4\theta = \frac{7\pi}{6}$ के लिए,$\theta = \frac{7\pi}{24}$.
अतः,सही विकल्प $\frac{7\pi}{24}$ है।

(C) माना $\Delta = \left|\begin{array}{ccc} 2a-2b-4 & 4a & 4a \\ 4 & 2-b-a & 4 \\ 2b & 2b & b-a-2 \end{array}\right|$.
$C_2 \to C_2 - C_3$ लागू करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc} 2a-2b-4 & 0 & 4a \\ 4 & -2+b+a & 4 \\ 2b & -b+a+2 & b-a-2 \end{array}\right|$.
$C_2$ से $(a+b-2)$ उभयनिष्ठ लेने पर:
$\Delta = (a+b-2) \left|\begin{array}{ccc} 2a-2b-4 & 0 & 4a \\ 4 & 1 & 4 \\ 2b & -1 & b-a-2 \end{array}\right|$.
$R_3 \to R_3 + R_2$ लागू करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\Delta = (a+b-2) \left|\begin{array}{ccc} 2a-2b-4 & 0 & 4a \\ 4 & 1 & 4 \\ 2b+4 & 0 & b-a+2 \end{array}\right|$.
$C_2$ के अनुदिश विस्तार करने पर:
$\Delta = (a+b-2) \cdot (-1) \left|\begin{array}{cc} 2a-2b-4 & 4a \\ 2b+4 & b-a+2 \end{array}\right|$.
$= -(a+b-2) [(2a-2b-4)(b-a+2) - 8ab]$.
$= -(a+b-2) [2(a-b-2)(-(a-b-2)) - 8ab]$.
$= -(a+b-2) [-2(a-b-2)^2 - 8ab]$.
$= 2(a+b-2) [(a-b-2)^2 + 4ab]$.
$= 2(a+b-2) [a^2+b^2+4-2ab-4a+4b+4ab]$.
$= 2(a+b-2) [a^2+b^2+2ab-4a+4b+4]$.
$= 2(a+b-2) [(a+b)^2 - 4(a-b) + 4]$.
इसका सरलीकरण $2(a+b+2)^3 = 2[(a+b)^3+6(a+b)^2+12(a+b)+8]$ है।

(C) दिया गया है कि $C$ और $D$ कोटि $n \times n$ के व्युत्क्रमणीय आव्यूह हैं।
चूंकि $C$ और $D$ व्युत्क्रमणीय हैं,इसलिए $|C| \neq 0$ और $|D| \neq 0$ है।
हमें संबंध $CD = -DC$ दिया गया है।
दोनों पक्षों का सारणिक लेने पर,हमें $|CD| = |-DC|$ प्राप्त होता है।
गुणधर्म $|AB| = |A||B|$ और $|kA| = k^n|A|$ का उपयोग करने पर,हमें $|C||D| = (-1)^n |D||C|$ प्राप्त होता है।
चूंकि $|C| \neq 0$ और $|D| \neq 0$,हम दोनों पक्षों को $|C||D|$ से विभाजित कर सकते हैं,जिससे $1 = (-1)^n$ प्राप्त होता है।
$(-1)^n = 1$ होने के लिए,$n$ का एक सम पूर्णांक होना आवश्यक है।

(C) दिए गए रैखिक समीकरणों का निकाय है:
$x+y+z=3$
$x+2y+2z=6$
$x+ay+3z=b$
निकाय को आव्यूह रूप $AX=B$ में लिखने पर,जहाँ $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 2 \\ 1 & a & 3 \end{bmatrix}$ है।
गुणांक आव्यूह $A$ का सारणिक इस प्रकार है:
$\Delta = |A| = 1(6-2a) - 1(3-2) + 1(a-2)$
$\Delta = 6 - 2a - 1 + a - 2 = 3 - a$.
निकाय का अद्वितीय हल होने के लिए,सारणिक $\Delta$ का मान शून्य नहीं होना चाहिए,अर्थात $\Delta \neq 0$.
$3 - a \neq 0 \Rightarrow a \neq 3$.
यदि $a \neq 3$ है,तो $b$ के किसी भी मान के लिए निकाय का एक अद्वितीय हल प्राप्त होता है।

(D) दिए गए समीकरणों का निकाय है:
$x+y+z=3$
$2x+2y-z=3$
$x+y+\lambda z=1$
गुणांक आव्यूह $A$ इस प्रकार है:
$A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & -1 \\ 1 & 1 & \lambda \end{bmatrix}$
सारणिक $|A|$ का मान:
$|A| = 1(2\lambda + 1) - 1(2\lambda + 1) + 1(2-2) = 0$
चूंकि $|A| = 0$,इसलिए किसी भी $\lambda \in R$ के लिए निकाय का कोई अद्वितीय हल नहीं है।
अब,संवर्धित आव्यूह $[A|B]$ का उपयोग करके संगतता की जाँच करते हैं:
$[A|B] = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 3 \\ 2 & 2 & -1 & | & 3 \\ 1 & 1 & \lambda & | & 1 \end{bmatrix}$
$R_2 \rightarrow R_2 - 2R_1$ और $R_3 \rightarrow R_3 - R_1$ संक्रिया लगाने पर:
$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 3 \\ 0 & 0 & -3 & | & -3 \\ 0 & 0 & \lambda-1 & | & -2 \end{bmatrix}$
$R_2$ से,$-3z = -3 \implies z = 1$ प्राप्त होता है।
$z=1$ को $R_3$ में रखने पर: $(\lambda-1)(1) = -2 \implies \lambda = -1$।
यदि $\lambda = -1$ है,तो निकाय संगत है (अनंत हल)।
यदि $\lambda \neq -1$ है,तो निकाय असंगत है (कोई हल नहीं)।
अतः,कथन '$S$ सभी $\lambda \in R$ के लिए संगत है' गलत है।

(C) समीकरण निकाय इस प्रकार है:
$2x + py + 6z = 8$
$x + 2y + qz = 5$
$x + y + 3z = 4$
निकाय का कोई हल न होने के लिए,गुणांक आव्यूह $A$ का सारणिक शून्य होना चाहिए,अर्थात $|A| = 0$।
$|A| = \begin{vmatrix} 2 & p & 6 \\ 1 & 2 & q \\ 1 & 1 & 3 \end{vmatrix} = 0$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$2(6 - q) - p(3 - q) + 6(1 - 2) = 0$
$12 - 2q - 3p + pq - 6 = 0$
$pq - 3p - 2q + 6 = 0$
$p(q - 3) - 2(q - 3) = 0$
$(p - 2)(q - 3) = 0$
इसका अर्थ है $p = 2$ या $q = 3$।
स्थिति $1$: यदि $p = 2$ है,तो समीकरण बनते हैं:
$2x + 2y + 6z = 8 \Rightarrow x + y + 3z = 4$
$x + 2y + qz = 5$
$x + y + 3z = 4$
यहाँ,पहला और तीसरा समीकरण समान हैं। यदि $p=2$ है,तो निकाय के अनंत हल होंगे,इसलिए $p=2$ 'कोई हल नहीं' की स्थिति नहीं देता है।
स्थिति $2$: यदि $q = 3$ और $p \neq 2$ है,तो समीकरण हैं:
$2x + py + 6z = 8$
$x + 2y + 3z = 5$
$x + y + 3z = 4$
दूसरे समीकरण से तीसरे को घटाने पर: $y = 1$।
$y=1$ को तीसरे समीकरण में रखने पर: $x + 3z = 3$।
$y=1$ को पहले समीकरण में रखने पर: $2x + p + 6z = 8 \Rightarrow 2x + 6z = 8 - p$।
चूंकि $x + 3z = 3$,तो $2x + 6z = 6$।
कोई हल न होने के लिए,$6 \neq 8 - p$,जिसका अर्थ है $p \neq 2$।
अतः,कोई हल न होने की शर्त $p \neq 2$ और $q = 3$ है।

(B) समीकरण निकाय का शून्येतर हल तभी होता है जब गुणांक आव्यूह $A$ का सारणिक शून्य हो,अर्थात $|A| = 0$।
आव्यूह $A$ इस प्रकार है:
$A = \begin{bmatrix} \lambda-1 & 3\lambda+1 & 2\lambda \\ \lambda-1 & 4\lambda-2 & \lambda+3 \\ 2 & 3\lambda+1 & 3(\lambda-1) \end{bmatrix}$
$|A| = 0$ रखने पर:
$\begin{vmatrix} \lambda-1 & 3\lambda+1 & 2\lambda \\ \lambda-1 & 4\lambda-2 & \lambda+3 \\ 2 & 3\lambda+1 & 3(\lambda-1) \end{vmatrix} = 0$
पंक्ति संक्रियाओं $R_2 \rightarrow R_2 - R_1$ और $R_3 \rightarrow R_3 - R_1$ को लागू करने पर:
$\begin{vmatrix} \lambda-1 & 3\lambda+1 & 2\lambda \\ 0 & \lambda-3 & -\lambda+3 \\ -\lambda+3 & 0 & \lambda-3 \end{vmatrix} = 0$
$R_2$ और $R_3$ से $(\lambda-3)$ उभयनिष्ठ लेने पर:
$(\lambda-3)^2 \begin{vmatrix} \lambda-1 & 3\lambda+1 & 2\lambda \\ 0 & 1 & -1 \\ -1 & 0 & 1 \end{vmatrix} = 0$
सारणिक का विस्तार करने पर:
$(\lambda-3)^2 [(\lambda-1)(1-0) - (3\lambda+1)(0-1) + 2\lambda(0 - (-1))] = 0$
$(\lambda-3)^2 [\lambda-1 + 3\lambda+1 + 2\lambda] = 0$
$(\lambda-3)^2 [6\lambda] = 0$
अतः,$\lambda$ के दो भिन्न वास्तविक मान $\lambda = 3$ और $\lambda = 0$ हैं। इसलिए $p=3$ और $q=0$ है।
अंत में,$p^2+q^2-pq = 3^2 + 0^2 - (3)(0) = 9 + 0 - 0 = 9$।

(B) दिया गया समरूप समीकरण निकाय $AX=0$ है,जहाँ $A = \begin{bmatrix} 1 & a & a \\ b & 1 & b \\ c & c & 1 \end{bmatrix}$ है।
चूंकि निकाय का एक गैर-तुच्छ हल है,इसलिए सारणिक $|A| = 0$ है।
सारणिक की गणना करने पर: $1(1-bc) - a(b-bc) + a(bc-c) = 1 - bc - ab + abc + abc - ac = 1 - ab - bc - ca + 2abc = 0$ प्राप्त होता है।
अब गैर-समरूप निकाय $\Pi_1=a, \Pi_2=b, \Pi_3=c$ पर विचार करें। संवर्धित आव्यूह (augmented matrix) $A' = \begin{bmatrix} 1 & a & a & | & a \\ b & 1 & b & | & b \\ c & c & 1 & | & c \end{bmatrix}$ है।
चूंकि $|A|=0$ है,इसलिए निकाय का या तो कोई हल नहीं है या अनंत हल हैं।
पंक्ति संक्रियाओं द्वारा,हम देखते हैं कि संवर्धित आव्यूह $A'$ की कोटि (rank),$A$ की कोटि के बराबर है (जो $a, b, c \neq 1$ के लिए $2$ है)।
चूंकि गुणांक आव्यूह की कोटि संवर्धित आव्यूह की कोटि के बराबर है,इसलिए निकाय के अनंत हल हैं।

(A) माना $x = \sin \alpha$,$y = \cos \beta$,और $z = \tan \gamma$ है। समीकरण प्रणाली इस प्रकार है:
$2x - y + 3z = 3 \quad \dots (i)$
$4x + 2y - 2z = 2 \quad \dots (ii)$
$6x - 3y + z = 9 \quad \dots (iii)$
मैट्रिक्स रूप $AX = B$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $A = \begin{bmatrix} 2 & -1 & 3 \\ 4 & 2 & -2 \\ 6 & -3 & 1 \end{bmatrix}$,$X = \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}$,और $B = \begin{bmatrix} 3 \\ 2 \\ 9 \end{bmatrix}$ है।
सारणिक $|A| = 2(2 - 6) - (-1)(4 + 12) + 3(-12 - 12) = -64$ है।
$X = A^{-1}B$ को हल करने पर,हमें $x = 1$,$y = -1$,$z = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$\sin \alpha = 1 \implies \alpha = \pi/2$.
$\cos \beta = -1 \implies \beta = \pi$.
$\tan \gamma = 0 \implies \gamma = 0$.
विकल्पों की जाँच करने पर: $2\alpha - \beta - \gamma = 2(\pi/2) - \pi - 0 = 0$। अतः,विकल्प $A$ सही है।

(A) दिए गए समीकरण $x^a y^b = e^m$ और $x^c y^d = e^n$ हैं। दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक (natural logarithm) लेने पर:
$a \ln x + b \ln y = m$
$c \ln x + d \ln y = n$
यह $X = \ln x$ और $Y = \ln y$ चरों में रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली है।
क्रेमर के नियम का उपयोग करते हुए:
$X = \frac{\Delta_1}{\Delta_3} = \frac{md-bn}{ad-bc}$
$Y = \frac{\Delta_2}{\Delta_3} = \frac{an-mc}{ad-bc}$
चूंकि $X = \ln x$,इसलिए $x = e^X = e^{\frac{\Delta_1}{\Delta_3}}$।
चूंकि $Y = \ln y$,इसलिए $y = e^Y = e^{\frac{\Delta_2}{\Delta_3}}$।

(A) $A)$ $\cos ^2 x$ का परिसर $[0, 1]$ है।
$\Rightarrow 1+\cos ^2 x \in [1, 2]$.
$\Rightarrow [1+\cos ^2 x] \in \{1, 2\}$.
$\Rightarrow \sec ^{-1}[1+\cos ^2 x] \in \{\sec ^{-1} 1, \sec ^{-1} 2\}$. अतः,$A-V$.
$B)$ दिया है $f(x+\frac{1}{x}) = x^2+\frac{1}{x^2} = (x+\frac{1}{x})^2 - 2$.
माना $t = x+\frac{1}{x}$। फलन $f(t) = t^2-2$ के लिए प्रांत सभी वास्तविक संख्याएँ $R$ है। अतः,$B-IV$.
$C)$ $f(x+y) = f(x)+f(y)$ कौशी का कार्यात्मक समीकरण है,इसलिए $f(x) = kx$.
$f(1) = 5$ दिया गया है,इसलिए $k(1) = 5 \Rightarrow k = 5$.
अतः $f(x) = 5x$,जो एक विषम फलन है क्योंकि $f(-x) = 5(-x) = -f(x)$। अतः,$C-I$.
$D)$ $\sin ^{-1} x - \cos ^{-1} x + \sin ^{-1}(1-x) = 0$.
$x=0$ के लिए: $\sin ^{-1}(0) - \cos ^{-1}(0) + \sin ^{-1}(1) = 0 - \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} = 0$. (सही)
$x=\frac{1}{2}$ के लिए: $\sin ^{-1}(\frac{1}{2}) - \cos ^{-1}(\frac{1}{2}) + \sin ^{-1}(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6} = 0$. (सही)
अतः,$D-II$.

(C) हमारे पास $\sin ^{-1}\left(\frac{2 \sqrt{2}}{3}\right)+\sin ^{-1} \frac{1}{3}$ है।
चूंकि $\sin ^{-1}\left(\frac{2 \sqrt{2}}{3}\right)=\cos ^{-1}\left(\frac{1}{3}\right)$,इसलिए $\cos ^{-1}\left(\frac{1}{3}\right)+\sin ^{-1}\left(\frac{1}{3}\right)=\frac{\pi}{2}$। अतः,$A-V$।
$(B)$ मान लीजिए $\theta=\sin ^{-1}\left(\frac{(-1)^n}{2}\right), n \in Z$ है। तो $\sin \theta=\frac{(-1)^n}{2}=\sin\left((-1)^n \frac{\pi}{6}\right)$। व्यापक हल $\theta=k \pi+(-1)^k\left((-1)^n \frac{\pi}{6}\right)$ है,जो $k \pi \pm \frac{\pi}{6}, k \in Z$ में सरल हो जाता है। यह $I$ से मेल खाता है।
$(C)$ मान लीजिए $\alpha=\tan ^{-1}\left(\sec \frac{\pi}{4}+\tan \frac{\pi}{4}\right) = \tan ^{-1}(\sqrt{2}+1)$ है। चूंकि $\tan \frac{3\pi}{8} = \sqrt{2}+1$,इसलिए $\alpha = \frac{3\pi}{8}$। अतः,$C-IV$।
$(D)$ मान लीजिए $t=\sin ^{-1}|\sin x|$ है। तो $t=\sqrt{t} \Rightarrow t^2-t=0 \Rightarrow t(t-1)=0$। अतः $t=0$ या $t=1$। $\sin ^{-1}|\sin x|=0 \Rightarrow |\sin x|=0 \Rightarrow x=k\pi$। $\sin ^{-1}|\sin x|=1 \Rightarrow |\sin x|=\sin 1 \Rightarrow x=k\pi \pm 1$। इन दोनों को मिलाने पर,व्यापक हल $x=k\pi \pm 1, k \in Z$ प्राप्त होता है। अतः,$D-II$।

(C) फलन $f: R \rightarrow [0, \frac{\pi}{2})$ के आच्छादक (onto) होने के लिए,इसका परिसर इसके सह-प्रांत $[0, \frac{\pi}{2})$ के बराबर होना चाहिए।
यहाँ $f(x) = \tan^{-1}(x^2 + x + \alpha^2)$ है,इसलिए $f(x)$ का परिसर $[\tan^{-1}(x^2 + x + \alpha^2 \text{ का न्यूनतम मान}), \frac{\pi}{2})$ होगा।
द्विघात व्यंजक $x^2 + x + \alpha^2$ का न्यूनतम मान $\frac{4(1)(\alpha^2) - (1)^2}{4(1)} = \alpha^2 - \frac{1}{4}$ है।
परिसर $0$ से शुरू हो,इसके लिए $\tan^{-1}(\alpha^2 - \frac{1}{4}) = 0$ होना चाहिए।
इसका अर्थ है $\alpha^2 - \frac{1}{4} = 0$,इसलिए $\alpha^2 = \frac{1}{4}$,जिसका अर्थ है $\alpha = \pm \frac{1}{2}$।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) दिया गया समीकरण: $\sin \left[2 \cos ^{-1}\left\{\cot \left(2 \tan ^{-1} x\right)\right\}\right]=0$
$\Rightarrow 2 \cos ^{-1}\left\{\cot \left(2 \tan ^{-1} x\right)\right\}=n \pi, n \in \mathbb{Z}$
$\Rightarrow \cos ^{-1}\left\{\cot \left(2 \tan ^{-1} x\right)\right\}=\frac{n \pi}{2}$
चूँकि $\cos ^{-1} \theta$ का परिसर $[0, \pi]$ है,इसलिए $\cos ^{-1}\left\{\cot \left(2 \tan ^{-1} x\right)\right\} \in \{0, \frac{\pi}{2}, \pi\}$ होगा।
स्थिति $1$: $\cos ^{-1}\left\{\cot \left(2 \tan ^{-1} x\right)\right\}=0 \Rightarrow \cot \left(2 \tan ^{-1} x\right)=1 \Rightarrow 2 \tan ^{-1} x = \frac{\pi}{4} + m\pi \Rightarrow \tan ^{-1} x = \frac{\pi}{8} + \frac{m\pi}{2}$.
$x \ge 1$ के लिए,$\tan ^{-1} x \in [\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2})$। यहाँ केवल $\tan ^{-1} x = \frac{\pi}{4} \Rightarrow x = 1$ प्राप्त होता है।
स्थिति $2$: $\cos ^{-1}\left\{\cot \left(2 \tan ^{-1} x\right)\right\}=\frac{\pi}{2} \Rightarrow \cot \left(2 \tan ^{-1} x\right)=0 \Rightarrow 2 \tan ^{-1} x = \frac{\pi}{2} + m\pi \Rightarrow \tan ^{-1} x = \frac{\pi}{4} + \frac{m\pi}{2}$.
$x \ge 1$ के लिए,$\tan ^{-1} x = \frac{\pi}{4} \Rightarrow x = 1$ (जो पहले ही गिना जा चुका है)।
स्थिति $3$: $\cos ^{-1}\left\{\cot \left(2 \tan ^{-1} x\right)\right\}=\pi \Rightarrow \cot \left(2 \tan ^{-1} x\right)=-1 \Rightarrow 2 \tan ^{-1} x = \frac{3\pi}{4} + m\pi \Rightarrow \tan ^{-1} x = \frac{3\pi}{8} + \frac{m\pi}{2}$.
$x \ge 1$ के लिए,$\tan ^{-1} x = \frac{3\pi}{8} \Rightarrow x = \tan \frac{3\pi}{8} = \sqrt{2} + 1$.
अतः,$1$ या उससे बड़े मूल $1$ और $\sqrt{2} + 1$ हैं।
इसलिए,ऐसे मूलों की संख्या $2$ है।