f: R to R को f(x) = begin{cases} frac{1-cos 4 | vedclass

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Question

(A) $f(x)$ के $x = 0$ पर सतत होने के लिए,$\lim_{x 	o 0^-} f(x) = \lim_{x 	o 0^+} f(x) = f(0) = a$ होना चाहिए। सबसे पहले,बाएँ हाथ की सीमा $(LHL)$ की

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$8$

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(A) $f(x)$ के $x = 0$ पर सतत होने के लिए,$\lim_{x 	o 0^-} f(x) = \lim_{x 	o 0^+} f(x) = f(0) = a$ होना चाहिए। सबसे पहले,बाएँ हाथ की सीमा $(LHL)$ की गणना करें: $\lim_{x 	o 0^-} f(x) = \lim_{x 	o 0^-} \frac{1-\cos 4x}{x^2} = \lim_{x 	o 0^-} \frac{2 \sin^2 2x}{x^2} = \lim_{x 	o 0^-} 8 \left( \frac{\sin 2x}{2x} ight)^2 = 8(1)^2 = 8$. अब,दाएँ हाथ की सीमा $(RHL)$ की गणना करें: $\lim_{x 	o 0^+} f(x) = \lim_{x 	o 0^+} \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{16+\sqrt{x}}-4}$. अंश और हर को संयुग्मी $\sqrt{16+\sqrt{x}}+4$ से गुणा करने पर: $\lim_{x 	o 0^+} \frac{\sqrt{x}(\sqrt{16+\sqrt{x}}+4)}{(16+\sqrt{x})-16} = \lim_{x 	o 0^+} \frac{\sqrt{x}(\sqrt{16+\sqrt{x}}+4)}{\sqrt{x}} = \lim_{x 	o 0^+} (\sqrt{16+\sqrt{x}}+4) = \sqrt{16}+4 = 8$. चूँकि $\lim_{x 	o 0^-} f(x) = \lim_{x 	o 0^+} f(x) = 8$,इसलिए फलन के सतत होने के लिए $a = 8$ होना चाहिए।

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