$ACCOMMODATION$ शब्द के अक्षरों से $4$ अक्षरों के सभी संभावित संयोजनों की संख्या क्या है?

एक सर्कस में $10$ जानवरों को रखने के लिए $10$ पिंजरे हैं। इनमें से $4$ पिंजरे इतने छोटे हैं कि $10$ में से $5$ जानवर उनमें प्रवेश नहीं कर सकते। इन $10$ जानवरों को इन $10$ पिंजरों में कितने तरीकों से रखा जा सकता है?

$4$ बक्से पर विचार करें,जहाँ प्रत्येक बक्से में $3$ लाल गेंदें और $2$ नीली गेंदें हैं। मान लें कि सभी $20$ गेंदें अलग-अलग हैं। इन $4$ बक्सों में से $10$ गेंदों को कितने अलग-अलग तरीकों से चुना जा सकता है ताकि प्रत्येक बक्से से कम से कम एक लाल गेंद और एक नीली गेंद चुनी जाए?

पूर्णांकों के उन क्रमित युग्मों $(x, y)$ की संख्या ज्ञात कीजिए जिनका गुणनफल $xy$,$100$ से कम एक धनात्मक पूर्णांक है:

विभिन्न रंगों की पाँच गेंदों को तीन अलग-अलग आकार के बक्सों में रखा जाना है। प्रत्येक बक्सा सभी पाँच गेंदों को रख सकता है। हम गेंदों को कितनी तरह से रख सकते हैं ताकि कोई भी बक्सा खाली न रहे?

$7$ बल्लेबाजों और $6$ गेंदबाजों के समूह में से,$10$ खिलाड़ियों को एक टीम के लिए चुना जाना है,जिसमें कम से कम $4$ बल्लेबाज और कम से कम $4$ गेंदबाज होने चाहिए। एक बल्लेबाज और एक गेंदबाज,जो क्रमशः टीम के कप्तान और उप-कप्तान हैं,को शामिल किया जाना है। तो इस प्रकार चयन करने के कुल तरीकों की संख्या क्या है?