TS EAMCET 2017 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(C) दिया गया है कि $\alpha$ और $\beta$,$x^2+2x+c=0$ के मूल हैं।
मूलों का योग,$\alpha+\beta = -\frac{2}{1} = -2$.
मूलों का गुणनफल,$\alpha\beta = \frac{c}{1} = c$.
हम जानते हैं कि $\alpha^3+\beta^3 = (\alpha+\beta)(\alpha^2+\beta^2-\alpha\beta)$.
इसे $\alpha^3+\beta^3 = (\alpha+\beta)[(\alpha+\beta)^2-3\alpha\beta]$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$\alpha^3+\beta^3 = 4$ दिया गया है,मान रखने पर:
$(-2)[(-2)^2 - 3c] = 4$.
$(-2)[4-3c] = 4$.
$4-3c = -2$.
$-3c = -6$.
$c = 2$.

(D) मान लीजिए $f(x) = ax^2 + bx + c$ है।
दिया है $f(0) + f(1) = 0$,अतः $c + (a + b + c) = 0$,जिसका अर्थ है $a + b + 2c = 0$ $(i)$।
दिया है $f(-2) = 0$,अतः $4a - 2b + c = 0$ (ii)।
$(i)$ से,$b = -a - 2c$। (ii) में प्रतिस्थापित करने पर:
$4a - 2(-a - 2c) + c = 0$ $\Rightarrow 4a + 2a + 4c + c = 0$ $\Rightarrow 6a + 5c = 0$।
मान लीजिए $a = 5k$,तो $c = -6k$।
$(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर: $5k + b + 2(-6k) = 0$ $\Rightarrow 5k + b - 12k = 0$ $\Rightarrow b = 7k$।
अतः,$f(x) = k(5x^2 + 7x - 6) = k(5x^2 + 10x - 3x - 6) = k(5x(x + 2) - 3(x + 2)) = k(5x - 3)(x + 2)$।
मूल $x = -2$ और $x = \frac{3}{5}$ हैं।
इसलिए,$f\left(\frac{3}{5}\right) = 0$।

(B) दिया गया समीकरण: $x^2-8x+9-\frac{8}{x}+\frac{1}{x^2}=0$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $(x^2+\frac{1}{x^2}) - 8(x+\frac{1}{x}) + 9 = 0$
माना $t = x+\frac{1}{x}$. तब $t^2 = x^2+2+\frac{1}{x^2}$,अतः $x^2+\frac{1}{x^2} = t^2-2$.
समीकरण में मान रखने पर: $(t^2-2) - 8t + 9 = 0$
$t^2 - 8t + 7 = 0$
$(t-7)(t-1) = 0$
स्थिति $1$: $t = 7$ $\Rightarrow x+\frac{1}{x} = 7$ $\Rightarrow x^2-7x+1 = 0$. विविक्तकर $D = (-7)^2 - 4(1)(1) = 45 > 0$,अतः दो वास्तविक मूल प्राप्त होते हैं। इन मूलों का गुणनफल $c/a = 1$ है।
स्थिति $2$: $t = 1$ $\Rightarrow x+\frac{1}{x} = 1$ $\Rightarrow x^2-x+1 = 0$. विविक्तकर $D = (-1)^2 - 4(1)(1) = -3 < 0$,अतः कोई वास्तविक मूल नहीं है।
अतः,सभी वास्तविक मूलों का गुणनफल $1$ है।

(B) दिया गया है कि $\alpha$ और $\beta$ समीकरण $a x^2+b x+c=0$ के मूल हैं।
$\alpha+\beta = -\frac{b}{a}$ और $\alpha \beta = \frac{c}{a}$.
माना $p x^2+q x+r=0$ के मूल $\gamma = \frac{1-\alpha}{\alpha} = \frac{1}{\alpha}-1$ और $\delta = \frac{1-\beta}{\beta} = \frac{1}{\beta}-1$ हैं।
तब $\alpha = \frac{1}{1+\gamma}$ और $\beta = \frac{1}{1+\delta}$.
चूंकि $\alpha$,$a x^2+b x+c=0$ का एक मूल है,इसलिए $a(\frac{1}{1+x})^2 + b(\frac{1}{1+x}) + c = 0$.
$a + b(1+x) + c(1+x)^2 = 0$.
$a + b + bx + c(1 + 2x + x^2) = 0$.
$c x^2 + (b+2c)x + (a+b+c) = 0$.
इसे $p x^2+q x+r=0$ के साथ तुलना करने पर,हमें $r = a+b+c$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है कि $(x+iy)(1-2i)$ का संयुग्मी $(1+i)$ है।
माना $z = (x+iy)(1-2i)$.
तब $\bar{z} = 1+i$.
चूंकि $\bar{z} = (x-iy)(1+2i)$,इसलिए $(x-iy)(1+2i) = 1+i$.
अतः,$x-iy = \frac{1+i}{1+2i}$.
दोनों पक्षों का संयुग्मी लेने पर,हमें प्राप्त होता है $\overline{x-iy} = \overline{\left(\frac{1+i}{1+2i}\right)}$.
इस प्रकार,$x+iy = \frac{1-i}{1-2i}$.

(C) दिए गए व्यंजक पर विचार करें: $\left[\frac{\left(1+\cos \frac{\pi}{12}\right)+i \sin \frac{\pi}{12}}{\left(1+\cos \frac{\pi}{12}\right)-i \sin \frac{\pi}{12}}\right]^{72}$
अर्ध-कोण सर्वसमिकाओं $1+\cos \theta = 2 \cos^2 \frac{\theta}{2}$ और $\sin \theta = 2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}$ का उपयोग करने पर:
$\left[\frac{2 \cos^2 \frac{\pi}{24} + i 2 \sin \frac{\pi}{24} \cos \frac{\pi}{24}}{2 \cos^2 \frac{\pi}{24} - i 2 \sin \frac{\pi}{24} \cos \frac{\pi}{24}}\right]^{72}$
अंश और हर से $2 \cos \frac{\pi}{24}$ को उभयनिष्ठ लेने पर:
$\left[\frac{2 \cos \frac{\pi}{24} (\cos \frac{\pi}{24} + i \sin \frac{\pi}{24})}{2 \cos \frac{\pi}{24} (\cos \frac{\pi}{24} - i \sin \frac{\pi}{24})}\right]^{72} = \left(\frac{\cos \frac{\pi}{24} + i \sin \frac{\pi}{24}}{\cos \frac{\pi}{24} - i \sin \frac{\pi}{24}}\right)^{72}$
गुणधर्म $\frac{e^{i\theta}}{e^{-i\theta}} = e^{i2\theta}$ का उपयोग करने पर:
$\left(e^{i \frac{\pi}{24}} / e^{-i \frac{\pi}{24}}\right)^{72} = (e^{i \frac{2\pi}{24}})^{72} = (e^{i \frac{\pi}{12}})^{72}$
$= e^{i \frac{72\pi}{12}} = e^{i 6\pi}$
यूलर के सूत्र के अनुसार,$e^{i 6\pi} = \cos(6\pi) + i \sin(6\pi) = 1 + i(0) = 1$.

(A) दिया गया समीकरण: $(x-1)^3+64=0$
$\Rightarrow (x-1)^3 = -64$
$\Rightarrow (x-1)^3 = (-4)^3$
माना $y = x-1$,तब $y^3 = (-4)^3$। मूल $y = -4, -4\omega, -4\omega^2$ हैं,जहाँ $\omega$ इकाई का सम्मिश्र घनमूल है।
अतः,$x-1 = -4, -4\omega, -4\omega^2$।
मूल $x_1 = -3$,$x_2 = 1-4\omega$,और $x_3 = 1-4\omega^2$ हैं।
सम्मिश्र मूल $x_2 = 1-4\omega$ और $x_3 = 1-4\omega^2$ हैं।
सम्मिश्र मूलों का योग $= (1-4\omega) + (1-4\omega^2) = 2 - 4(\omega + \omega^2)$।
चूँकि $1 + \omega + \omega^2 = 0$,इसलिए $\omega + \omega^2 = -1$।
योग $= 2 - 4(-1) = 2 + 4 = 6$।

(C) माना $z = x + iy$.
व्यंजक में $z$ का मान रखने पर:
$\frac{2z+1}{iz+1} = \frac{2(x+iy)+1}{i(x+iy)+1} = \frac{(2x+1) + i(2y)}{(1-y) + ix}$.
हर के संयुग्मी से गुणा करने पर:
$\frac{[(2x+1) + i(2y)][(1-y) - ix]}{(1-y)^2 + x^2} = \frac{(2x+1)(1-y) + 2xy + i[2y(1-y) - x(2x+1)]}{(1-y)^2 + x^2}$.
काल्पनिक भाग $-2$ दिया गया है:
$\frac{2y - 2y^2 - 2x^2 - x}{(1-y)^2 + x^2} = -2$.
$2y - 2y^2 - 2x^2 - x = -2(1 - 2y + y^2 + x^2)$.
$2y - 2y^2 - 2x^2 - x = -2 + 4y - 2y^2 - 2x^2$.
समीकरण को सरल करने पर:
$-x - 2y = -2$,या $x + 2y - 2 = 0$.
यह एक सीधी रेखा का समीकरण है।

(C) $TRICK$ शब्द में $5$ भिन्न अक्षर हैं: $T, R, I, C, K$।
हमें $5$ अक्षरों का एक शब्द बनाना है जिसमें $C$ मध्य स्थान पर निश्चित हो।
इससे शेष $4$ अक्षरों $(T, R, I, K)$ को भरने के लिए $4$ स्थान बचते हैं।
$4$ भिन्न अक्षरों को $4$ स्थानों पर व्यवस्थित करने के तरीके $4!$ हैं।
$4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$।
अतः,कुल $24$ तरीके संभव हैं।

(A) टीम चुनने के कुल तरीकों की संख्या $10$ में से $5$ खिलाड़ियों को चुनकर और फिर शेष $5$ खिलाड़ियों में से $1$ कप्तान को चुनकर निकाली जाती है।
यह इस व्यंजक द्वारा दिया गया है:
$({ }^{10} C_5) \times ({ }^5 C_1)$
$= \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} \times 5$
$= 252 \times 5 = 1260$.

(D) समुच्चय $S = \{2k \mid -9 \leq k \leq 10\}$ द्वारा दिया गया है।
चूंकि $k$ का मान $-9$ से $10$ तक है,इसलिए कुल अवयवों की संख्या $10 - (-9) + 1 = 20$ है।
अतः,समुच्चय $S$ में कुल $20$ अवयव हैं।
एक पूर्णांक $4$ और $6$ दोनों से विभाज्य है यदि वह $\text{lcm}(4, 6) = 12$ से विभाज्य हो।
$S$ में $12$ के गुणज $\{-12, 0, 12\}$ हैं।
इस प्रकार,अनुकूल परिणामों की संख्या $3$ है।
इसलिए,अभीष्ट प्रायिकता $\frac{3}{20}$ है।

(B) योग पर विचार करें: $\sum_{k=1}^n k(k+2) = \sum_{k=1}^n (k^2 + 2k)$.
मानक योग सूत्रों $\sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ और $\sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}$ का उपयोग करते हुए:
$\sum_{k=1}^n k^2 + 2 \sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + 2 \cdot \frac{n(n+1)}{2}$.
$\frac{n(n+1)}{6}$ को उभयनिष्ठ लेने पर:
$= \frac{n(n+1)}{6} [ (2n+1) + 6 ]$.
$= \frac{n(n+1)(2n+7)}{6}$.

(B) $(1+x)^n$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{k+1} = {^nC_k} x^k$ द्वारा दिया जाता है।
$(1+x)^{42}$ के विस्तार के लिए,गुणांक इस प्रकार हैं:
$(2r+1)^{\text{th}}$ पद का गुणांक ${^{42}C_{2r}}$ है।
$(r+1)^{\text{th}}$ पद का गुणांक ${^{42}C_r}$ है।
दिया गया है कि ये गुणांक समान हैं:
${^{42}C_{2r}} = {^{42}C_r}$.
गुणधर्म ${^nC_x} = {^nC_y}$ का उपयोग करते हुए,हमारे पास दो स्थितियाँ हैं:
स्थिति $1$: $x = y$ $\Rightarrow 2r = r$ $\Rightarrow r = 0$.
स्थिति $2$: $x + y = n$ $\Rightarrow 2r + r = 42$ $\Rightarrow 3r = 42$ $\Rightarrow r = 14$.
चूंकि $r$ एक धनात्मक पूर्णांक होना चाहिए,इसलिए $r = 14$ सही उत्तर है।

(B) $(1+x)^n$ के विस्तार में $p$ वां पद $T_p = { }^n C_{p-1} x^{p-1}$ है,इसलिए इसका गुणांक $p = { }^n C_{p-1}$ है।
$(p+1)$ वां पद $T_{p+1} = { }^n C_p x^p$ है,इसलिए इसका गुणांक $q = { }^n C_p$ है।
द्विपद गुणांकों का अनुपात $\frac{q}{p} = \frac{{ }^n C_p}{{ }^n C_{p-1}} = \frac{n-p+1}{p}$ होता है।
अतः,$q = n-p+1$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$p+q = p + n - p + 1 = n+1$।

(D) हमें दिया गया है कि $\operatorname{cosec} \theta - \cot \theta = 2017$ $(i)$.
सर्वसमिका $\operatorname{cosec}^2 \theta - \cot^2 \theta = 1$ का उपयोग करते हुए,हम लिख सकते हैं $(\operatorname{cosec} \theta - \cot \theta)(\operatorname{cosec} \theta + \cot \theta) = 1$.
अतः,$\operatorname{cosec} \theta + \cot \theta = \frac{1}{2017}$ (ii).
$(i)$ और (ii) को जोड़ने पर:
$2 \operatorname{cosec} \theta = 2017 + \frac{1}{2017} > 0$,जिसका अर्थ है कि $\operatorname{cosec} \theta > 0$.
चूंकि $\operatorname{cosec} \theta > 0$,$\theta$ को $I$ या $II$ चतुर्थांश में होना चाहिए।
(ii) में से $(i)$ घटाने पर:
$2 \cot \theta = \frac{1}{2017} - 2017 < 0$,जिसका अर्थ है कि $\cot \theta < 0$.
चूंकि $\cot \theta < 0$,$\theta$ को $II$ या $IV$ चतुर्थांश में होना चाहिए।
दोनों शर्तों को संतुष्ट करने के लिए,$\theta$ द्वितीय $(II)$ चतुर्थांश में स्थित है।

(D) दिया गया है,$\tan 20^{\circ}=\lambda$।
सूत्र $\tan(A-B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B}$ का उपयोग करने पर,व्यंजक $\tan(160^{\circ}-110^{\circ}) = \tan 50^{\circ}$ हो जाता है।
पदों को सरल करने पर:
$\tan 160^{\circ} = \tan(180^{\circ}-20^{\circ}) = -\tan 20^{\circ} = -\lambda$।
$\tan 110^{\circ} = \tan(90^{\circ}+20^{\circ}) = -\cot 20^{\circ} = -\frac{1}{\lambda}$।
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$\frac{-\lambda - (-1/\lambda)}{1 + (-\lambda)(-1/\lambda)} = \frac{-\lambda + 1/\lambda}{1 + 1} = \frac{\frac{1-\lambda^2}{\lambda}}{2} = \frac{1-\lambda^2}{2\lambda}$।

(B) दिया गया है कि $\tan \theta_1 = k \cot \theta_2$ है।
चूंकि $\cot \theta_2 = \frac{1}{\tan \theta_2}$,हमारे पास $\tan \theta_1 = \frac{k}{\tan \theta_2}$ है,जिसका अर्थ है $\tan \theta_1 \tan \theta_2 = k$।
अब,व्यंजक $\frac{\cos (\theta_1 + \theta_2)}{\cos (\theta_1 - \theta_2)}$ पर विचार करें।
विस्तार सूत्रों का उपयोग करने पर,हमें $\frac{\cos \theta_1 \cos \theta_2 - \sin \theta_1 \sin \theta_2}{\cos \theta_1 \cos \theta_2 + \sin \theta_1 \sin \theta_2}$ प्राप्त होता है।
अंश और हर को $\cos \theta_1 \cos \theta_2$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{1 - \tan \theta_1 \tan \theta_2}{1 + \tan \theta_1 \tan \theta_2}$ प्राप्त होता है।
$\tan \theta_1 \tan \theta_2 = k$ प्रतिस्थापित करने पर,व्यंजक $\frac{1-k}{1+k}$ हो जाता है।

(D) हमारे पास है,$\cosh ^{-1} x = 2 \log _e(\sqrt{2}+1)$.
लघुगणक के गुणधर्म $n \log a = \log a^n$ का उपयोग करने पर:
$\cosh ^{-1} x = \log _e(\sqrt{2}+1)^2$.
हम जानते हैं कि $\cosh ^{-1} x = \log _e(x + \sqrt{x^2-1})$.
अतः,$\log _e(x + \sqrt{x^2-1}) = \log _e(2 + 1 + 2\sqrt{2}) = \log _e(3 + 2\sqrt{2})$.
दोनों पक्षों की तुलना करने पर,$x + \sqrt{x^2-1} = 3 + 2\sqrt{2}$.
यदि $x = 3$ लें,तो $\sqrt{x^2-1} = \sqrt{9-1} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.
इस प्रकार,$3 + 2\sqrt{2} = 3 + 2\sqrt{2}$,जो समीकरण को संतुष्ट करता है।
अतः,$x = 3$.

(B) दिया गया समीकरण $\cos 2 \theta = \sin \theta$ है।
सर्वसमिका $\cos 2 \theta = 1 - 2 \sin^2 \theta$ का उपयोग करने पर:
$1 - 2 \sin^2 \theta = \sin \theta$
$2 \sin^2 \theta + \sin \theta - 1 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$2 \sin^2 \theta + 2 \sin \theta - \sin \theta - 1 = 0$
$2 \sin \theta (\sin \theta + 1) - 1 (\sin \theta + 1) = 0$
$(\sin \theta + 1)(2 \sin \theta - 1) = 0$
इससे दो स्थितियाँ प्राप्त होती हैं:
$1) \sin \theta = -1 \Rightarrow \theta = \frac{3 \pi}{2}$
$2) \sin \theta = \frac{1}{2} \Rightarrow \theta = \frac{\pi}{6}, \frac{5 \pi}{6}$
चूँकि $\theta \in (0, 2 \pi)$,इसलिए तीनों मान $\frac{\pi}{6}, \frac{5 \pi}{6}, \frac{3 \pi}{2}$ मान्य हल हैं।
अतः,हलों की कुल संख्या $3$ है.

(C) दिया गया है,$ABCD$ एक समांतर चतुर्भुज है जिसके शीर्ष $A(4,4,-1)$,$B(5,6,-1)$,$C(6,5,1)$ और $D(x, y, z)$ हैं।
हम जानते हैं कि समांतर चतुर्भुज $ABCD$ के विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं।
इसलिए,$AC$ का मध्य-बिंदु = $BD$ का मध्य-बिंदु।
$\left(\frac{4+6}{2}, \frac{4+5}{2}, \frac{-1+1}{2}\right) = \left(\frac{x+5}{2}, \frac{y+6}{2}, \frac{z-1}{2}\right)$
$\left(\frac{10}{2}, \frac{9}{2}, 0\right) = \left(\frac{x+5}{2}, \frac{y+6}{2}, \frac{z-1}{2}\right)$
दोनों पक्षों की तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{x+5}{2} = \frac{10}{2}$ $\Rightarrow x+5 = 10$ $\Rightarrow x = 5$
$\frac{y+6}{2} = \frac{9}{2}$ $\Rightarrow y+6 = 9$ $\Rightarrow y = 3$
$\frac{z-1}{2} = 0$ $\Rightarrow z-1 = 0$ $\Rightarrow z = 1$
अतः,शीर्ष $D(x, y, z)$ का मान $(5, 3, 1)$ है।

(C) सबसे पहले,$5x - 6y - 1 = 0$ और $3x + 2y + 5 = 0$ रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें।
दूसरे समीकरण को $3$ से गुणा करने पर,$9x + 6y + 15 = 0$ प्राप्त होता है।
इसे पहले समीकरण में जोड़ने पर: $(5x - 6y - 1) + (9x + 6y + 15) = 0$ $\Rightarrow 14x + 14 = 0$ $\Rightarrow x = -1$.
$x = -1$ को $3x + 2y + 5 = 0$ में रखने पर: $3(-1) + 2y + 5 = 0$ $\Rightarrow -3 + 2y + 5 = 0$ $\Rightarrow 2y = -2$ $\Rightarrow y = -1$.
प्रतिच्छेदन बिंदु $(-1, -1)$ है।
रेखा $3x - 5y + 11 = 0$ की ढाल $m_1 = \frac{3}{5}$ है।
इस पर लंब रेखा की ढाल $m_2 = -\frac{1}{m_1} = -\frac{5}{3}$ होगी।
$(-1, -1)$ से गुजरने वाली और $m_2 = -\frac{5}{3}$ ढाल वाली रेखा का समीकरण:
$(y - (-1)) = -\frac{5}{3}(x - (-1))
$ $\Rightarrow 3(y + 1) = -5(x + 1)
$ $\Rightarrow 3y + 3 = -5x - 5
$ $\Rightarrow 5x + 3y + 8 = 0$.

(D) माना $X$-अंतःखंड $a$ है और $Y$-अंतःखंड $2a$ है।
अंतःखंड रूप में रेखा का समीकरण $\frac{x}{a} + \frac{y}{2a} = 1$ है।
$2a$ से गुणा करने पर,हमें $2x + y = 2a$ प्राप्त होता है,या $2x + y - 2a = 0$।
मूल बिंदु $(0, 0)$ से रेखा की लंबवत दूरी $1$ दी गई है।
$(x_1, y_1)$ से $Ax + By + C = 0$ की दूरी का सूत्र $d = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ है।
मान रखने पर: $1 = \frac{|2(0) + 1(0) - 2a|}{\sqrt{2^2 + 1^2}}$।
$1 = \frac{|-2a|}{\sqrt{5}}$।
$|2a| = \sqrt{5}$,जिसका अर्थ है $2a = \pm \sqrt{5}$।
$2a$ का मान $2x + y = 2a$ में रखने पर,हमें $2x + y = \pm \sqrt{5}$ प्राप्त होता है।

(D) बिंदु $(x_1, y_1)$ से रेखा $ax + by + c = 0$ की लंबवत दूरी $d$ का सूत्र है: $d = \left| \frac{ax_1 + by_1 + c}{\sqrt{a^2 + b^2}} \right|$।
दिए गए बिंदु $(1, 1)$,रेखा $3x + 4y + c = 0$ और दूरी $d = 7$ के लिए:
$7 = \left| \frac{3(1) + 4(1) + c}{\sqrt{3^2 + 4^2}} \right|$
$7 = \left| \frac{7 + c}{5} \right|$
$|7 + c| = 35$
इसका अर्थ है $7 + c = 35$ या $7 + c = -35$।
यदि $7 + c = 35$,तो $c = 28$।
यदि $7 + c = -35$,तो $c = -42$।
अतः,$c$ के संभावित मान $28$ और $-42$ हैं।

(C) माना $P(x, y)$,$A=(5,3)$,$B=(3,-2)$ है।
$\triangle PAB$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |x(3 - (-2)) - y(5 - 3) + 1(5(-2) - 3(3))| = 9$.
$\frac{1}{2} |5x - 2y - 19| = 9$.
$|5x - 2y - 19| = 18$.
$5x - 2y - 19 = 18$ या $5x - 2y - 19 = -18$.
$5x - 2y = 37$ या $5x - 2y = 1$.
ये समीकरण समान ढाल $m = \frac{5}{2}$ वाली दो रेखाओं को दर्शाते हैं,जो समांतर रेखाएँ हैं।

(B) दी गई रेखाओं के युग्म $xy-x-y+1=0$ को $(x-1)(y-1)=0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यह दो रेखाओं $x=1$ और $y=1$ को दर्शाता है।
चूंकि ये रेखाएं $x+ay-3=0$ के साथ संगामी हैं,इसलिए इनका प्रतिच्छेदन बिंदु $(1,1)$ समीकरण $x+ay-3=0$ को संतुष्ट करेगा।
$(1,1)$ को $x+ay-3=0$ में रखने पर,$1+a(1)-3=0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $a=2$।
$a=2$ को रेखाओं के दूसरे युग्म में रखने पर,$2x^2-13xy-7y^2+x+23y-6=0$ प्राप्त होता है।
सामान्य समीकरण $Ax^2+2Hxy+By^2+2Gx+2Fy+C=0$ के लिए,रेखाओं के बीच का कोण $\theta$,$\tan \theta = \left|\frac{2\sqrt{H^2-AB}}{A+B}\right|$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $A=2, 2H=-13, B=-7$ है।
अतः,$\tan \theta = \left|\frac{2\sqrt{(-13/2)^2 - (2)(-7)}}{2-7}\right| = \left|\frac{2\sqrt{169/4 + 14}}{-5}\right| = \left|\frac{2\sqrt{225/4}}{-5}\right| = \left|\frac{2(15/2)}{-5}\right| = |-3| = 3$।
चूंकि $\tan \theta = 3$,इसलिए $\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{1+3^2}} = \frac{1}{\sqrt{10}}$।
अतः,$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{10}}\right)$।

(A) दिए गए समीकरण की तुलना $ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0$ से करने पर,हमें $a=4, h=4, b=10, g=-4, f=-22$ और $c=14$ प्राप्त होता है।
प्रथम घात के पदों को हटाने के लिए,मूल बिंदु $(0,0)$ को $(h_0, k_0)$ पर स्थानांतरित करना होगा,जहाँ $h_0 = \frac{bg-fh}{h^2-ab}$ और $k_0 = \frac{af-gh}{h^2-ab}$ है।
हर (denominator) की गणना: $h^2-ab = 4^2 - (4)(10) = 16 - 40 = -24$.
$h_0$ की गणना: $h_0 = \frac{(10)(-4) - (-22)(4)}{-24} = \frac{-40 + 88}{-24} = \frac{48}{-24} = -2$.
$k_0$ की गणना: $k_0 = \frac{(4)(-22) - (-4)(4)}{-24} = \frac{-88 + 16}{-24} = \frac{-72}{-24} = 3$.
अतः,मूल बिंदु को $(-2, 3)$ पर स्थानांतरित किया जाना चाहिए।

(C) दिए गए समीकरण की तुलना $a x^2+2 h x y+b y^2+2 g x+2 f y+c=0$ से करने पर,$a=2, b=2 \lambda, h=-5, g=\frac{5}{2}, f=-8, c=-3$ प्राप्त होता है।
चूंकि समीकरण रेखाओं के एक युग्म को दर्शाता है,इसलिए सारणिक शर्त:
$\left|\begin{array}{ccc} a & h & g \\ h & b & f \\ g & f & c \end{array}\right|=0$ $\Rightarrow \left|\begin{array}{ccc} 2 & -5 & 5/2 \\ -5 & 2 \lambda & -8 \\ 5/2 & -8 & -3 \end{array}\right|=0$.
सारणिक का विस्तार करने पर: $2(-6 \lambda-64)+5(15+20)+\frac{5}{2}(40-5 \lambda)=0$.
$-12 \lambda-128+175+100-12.5 \lambda=0$ $\Rightarrow -24.5 \lambda = -147$ $\Rightarrow \lambda=6$.
अब,$b=2 \lambda = 12$. प्रतिच्छेदन बिंदु $(x, y) = \left(\frac{b g-f h}{h^2-a b}, \frac{a f-g h}{h^2-a b}\right)$ सूत्र द्वारा प्राप्त होता है।
हर $h^2-a b = (-5)^2 - (2)(12) = 25-24=1$.
$x = \frac{(12)(5/2) - (-8)(-5)}{1} = 30-40 = -10$.
$y = \frac{(2)(-8) - (5/2)(-5)}{1} = -16 + 12.5 = -3.5 = \frac{-7}{2}$.
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $\left(-10, \frac{-7}{2}\right)$ है।

(B) वृत्त का दिया गया समीकरण $S \equiv x^2+y^2-13=0$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$।
बिंदु $(2,3)$ पर स्पर्शरेखा की ढाल $m = \left. \frac{dy}{dx} \right|_{(2,3)} = -\frac{2}{3}$ है।
अब,बिंदु $\left(m, -\frac{1}{m}\right)$ का मान $\left(-\frac{2}{3}, \frac{3}{2}\right)$ होगा।
वृत्त के सापेक्ष इस बिंदु की स्थिति की जाँच करने के लिए,हम इसे $S(x, y) = x^2+y^2-13$ में प्रतिस्थापित करते हैं:
$S\left(-\frac{2}{3}, \frac{3}{2}\right) = \left(-\frac{2}{3}\right)^2 + \left(\frac{3}{2}\right)^2 - 13 = \frac{4}{9} + \frac{9}{4} - 13 = \frac{16 + 81 - 468}{36} = -\frac{371}{36}$।
चूँकि $S\left(-\frac{2}{3}, \frac{3}{2}\right) < 0$ है,इसलिए यह बिंदु वृत्त के अंदर स्थित है।

(D) वृत्त का दिया गया समीकरण $x^2+y^2-6x+4y=12$ है।
पूर्ण वर्ग बनाने पर,$(x-3)^2+(y+2)^2 = 12+9+4 = 25 = 5^2$ प्राप्त होता है।
केंद्र $(3, -2)$ है और त्रिज्या $r=5$ है।
रेखा $4x+3y+5=0$ के समांतर रेखा का रूप $4x+3y+k=0$ है।
केंद्र $(3, -2)$ से स्पर्श रेखा $4x+3y+k=0$ की दूरी त्रिज्या $r=5$ के बराबर होनी चाहिए।
दूरी सूत्र का उपयोग करने पर,$\frac{|4(3)+3(-2)+k|}{\sqrt{4^2+3^2}} = 5$.
$\frac{|12-6+k|}{5} = 5
\Rightarrow |6+k| = 25$.
इससे $6+k = 25$ या $6+k = -25$ प्राप्त होता है।
अतः,$k = 19$ या $k = -31$.
स्पर्श रेखाओं के समीकरण $4x+3y+19=0$ और $4x+3y-31=0$ हैं।

(A) दिए गए वृत्त के प्राचलिक समीकरण $x = 12 \cos \theta$ और $y = 12 \sin \theta$ हैं।
बिंदु $A$ के लिए,जहाँ $\theta = \frac{\pi}{3}$:
$x_A = 12 \cos \frac{\pi}{3} = 6$
$y_A = 12 \sin \frac{\pi}{3} = 6\sqrt{3}$
अतः,$A = (6, 6\sqrt{3})$।
बिंदु $B$ के लिए,जहाँ $\theta = \frac{\pi}{6}$:
$x_B = 12 \cos \frac{\pi}{6} = 6\sqrt{3}$
$y_B = 12 \sin \frac{\pi}{6} = 6$
अतः,$B = (6\sqrt{3}, 6)$।
जीवा $AB$ की लंबाई दूरी सूत्र द्वारा:
$AB = \sqrt{(6\sqrt{3} - 6)^2 + (6 - 6\sqrt{3})^2}$
$AB = 6\sqrt{2}(\sqrt{3} - 1) = 6(\sqrt{6} - \sqrt{2})$।

(C) माना $S_1$ केंद्र $(2, 3)$ और त्रिज्या $a$ वाला वृत्त है। समीकरण $(x-2)^2 + (y-3)^2 = a^2$ है,जिसे $x^2 + y^2 - 4x - 6y + 13 - a^2 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
माना $S_2$ केंद्र $(5, 6)$ और त्रिज्या $a$ वाला वृत्त है। समीकरण $(x-5)^2 + (y-6)^2 = a^2$ है,जिसे $x^2 + y^2 - 10x - 12y + 61 - a^2 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
मूल अक्ष $S_1 - S_2 = 0$ द्वारा दी जाती है:
$(x^2 + y^2 - 4x - 6y + 13 - a^2) - (x^2 + y^2 - 10x - 12y + 61 - a^2) = 0$
$6x + 6y - 48 = 0 \Rightarrow x + y = 8$.
चूंकि वृत्त लंबकोणीय काटते हैं,इसलिए $2g_1g_2 + 2f_1f_2 = c_1 + c_2$.
यहाँ $g_1 = -2, f_1 = -3, c_1 = 13 - a^2$ और $g_2 = -5, f_2 = -6, c_2 = 61 - a^2$.
$2(-2)(-5) + 2(-3)(-6) = (13 - a^2) + (61 - a^2)$
$20 + 36 = 74 - 2a^2$ $\Rightarrow 56 = 74 - 2a^2$ $\Rightarrow 2a^2 = 18$ $\Rightarrow a^2 = 9$ $\Rightarrow a = 3$.
$a = 3$ को विकल्पों में रखने पर:
$(C)$ $(3, 5) \Rightarrow 3 + 5 = 8$. यह समीकरण को संतुष्ट करता है।
अतः,विकल्प $(C)$ सही है।

(D) वृत्तों के समीकरण इस प्रकार हैं:
$S_1: x^2+y^2-4x-6y+5=0$
$S_2: x^2+y^2-2x-4y-1=0$
$S_3: x^2+y^2-6x-2y=0$
रेडिकल केंद्र ज्ञात करने के लिए,हम समीकरणों को घटाकर रेडिकल अक्ष प्राप्त करते हैं:
$S_1 - S_2 = 0$ $\Rightarrow -2x-2y+6=0$ $\Rightarrow x+y-3=0$ (समीकरण $i$)
$S_2 - S_3 = 0 \Rightarrow 4x-2y-1=0$ (समीकरण $ii$)
समीकरणों $(i)$ और $(ii)$ को हल करने पर:
$x = \frac{7}{6}$ और $y = \frac{11}{6}$ प्राप्त होता है।
रेडिकल केंद्र $(\frac{7}{6}, \frac{11}{6})$ है।
विकल्प $D$ में मान रखने पर: $18(\frac{7}{6}) - 12(\frac{11}{6}) + 1 = 21 - 22 + 1 = 0$.
अतः,रेडिकल केंद्र रेखा $18x-12y+1=0$ पर स्थित है।

(B) दिया गया समीकरण: $y^2+6y-2x=-5$
$y$ के लिए पूर्ण वर्ग बनाने पर:
$y^2+6y+9 = 2x-5+9$
$(y+3)^2 = 2x+4$
$(y+3)^2 = 2(x+2)$
इसे मानक रूप $(y-k)^2 = 4a(x-h)$ से तुलना करने पर:
शीर्ष $(h, k) = (-2, -3)$ है। अतः,कथन $I$ सही है।
यहाँ,$4a = 2$,इसलिए $a = \frac{1}{2}$ है।
परवलय $(y-k)^2 = 4a(x-h)$ की नियता $x = h-a$ द्वारा दी जाती है।
$x = -2 - \frac{1}{2} = -\frac{5}{2}$
$2x = -5 \Rightarrow 2x+5 = 0$ है।
कथन $II$ कहता है कि नियता $y+3=0$ है,जो गलत है।
अतः,$I$ सही है और $II$ गलत है।

(C) रेखा का समीकरण $y = x + 4K$ है। परवलय $y^2 = 8x$ (जहाँ $a=2$) के लिए स्पर्श रेखा की शर्त $c = a/m$ है।
यहाँ,$c = 4K$,$a = 2$,और $m = 1$ है।
अतः,$4K = 2/1 \implies 4K = 2 \implies K = 1/2$ है।
स्पर्श बिंदु $P$ का मान $(a/m^2, 2a/m) = (2/1^2, 2(2)/1) = (2, 4)$ है।
परवलय $y^2 = 4ax$ के लिए $(x_1, y_1)$ पर अभिलंब का समीकरण $y - y_1 = -\frac{y_1}{2a}(x - x_1)$ है।
$x_1 = 2, y_1 = 4, a = 2$ रखने पर: $y - 4 = -\frac{4}{2(2)}(x - 2) \implies y - 4 = -1(x - 2) \implies x + y - 6 = 0$ है।
बिंदु $(K, 2K)$ का मान $(1/2, 1)$ है।
$(1/2, 1)$ से $x + y - 6 = 0$ की लंबवत दूरी $d = \frac{|1/2 + 1 - 6|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{|3/2 - 6|}{\sqrt{2}} = \frac{|-9/2|}{\sqrt{2}} = \frac{9}{2\sqrt{2}}$ है।

(D) दिया गया समीकरण: $25x^2 + 100x + 4y^2 - 4y + 100 = 0$
पूर्ण वर्ग बनाने पर: $25(x + 2)^2 + 4(y - 1/2)^2 = 1$
मानक रूप: $\frac{(x + 2)^2}{(1/5)^2} + \frac{(y - 1/2)^2}{(1/2)^2} = 1$
यहाँ $a^2 = 1/25$ और $b^2 = 1/4$ है। चूँकि $b > a$,दीर्घ अक्ष ऊर्ध्वाधर $(x = -2)$ है।
उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 - \frac{a^2}{b^2}} = \frac{\sqrt{21}}{5}$ है।
नाभियाँ $(h, k \pm be)$ होती हैं,जहाँ $(h, k) = (-2, 1/2)$ है।
नाभियाँ $= (-2, 1/2 \pm \sqrt{21}/10) = (-2, \frac{5 \pm \sqrt{21}}{10})$।

(A) नाभियों के निर्देशांक $S(ae, 0)$ और $S^{\prime}(-ae, 0)$ हैं,और लघु अक्ष का सिरा $B(0, b)$ है।
चूंकि $\triangle SBS^{\prime}$ एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज है जिसका समकोण $B$ पर है,इसलिए $SB = S^{\prime}B$ और $SB^2 + S^{\prime}B^2 = SS^{\prime 2}$ होगा।
$SB = \sqrt{(ae-0)^2 + (0-b)^2} = \sqrt{a^2e^2 + b^2}$.
$SS^{\prime} = 2ae$.
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार: $SB^2 + S^{\prime}B^2 = SS^{\prime 2}$.
$(a^2e^2 + b^2) + (a^2e^2 + b^2) = (2ae)^2$.
$2(a^2e^2 + b^2) = 4a^2e^2$.
$b^2 = a^2e^2$.
चूंकि $b^2 = a^2(1-e^2)$,इसलिए $a^2(1-e^2) = a^2e^2$.
$1-e^2 = e^2$.
$2e^2 = 1$.
$e = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

(B) अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ के बिंदु $(x_1, y_1)$ पर अभिलंब का समीकरण $\frac{a^2 x}{x_1} + \frac{b^2 y}{y_1} = a^2 + b^2$ होता है।
अतिपरवलय $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{4} = 1$ के लिए,$a^2 = 9$ और $b^2 = 4$ है।
अभिलंब का समीकरण $\frac{9x}{x_1} + \frac{4y}{y_1} = 13$ होगा।
दी गई रेखा $x + y = -k$ के साथ तुलना करने पर:
$\frac{9/x_1}{1} = \frac{4/y_1}{1} = \frac{13}{-k}$.
इससे $x_1 = -\frac{9k}{13}$ और $y_1 = -\frac{4k}{13}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $(x_1, y_1)$ अतिपरवलय पर स्थित है:
$\frac{(-9k/13)^2}{9} - \frac{(-4k/13)^2}{4} = 1$.
$\frac{9k^2}{169} - \frac{4k^2}{169} = 1$.
$\frac{5k^2}{169} = 1$.
$k^2 = \frac{169}{5}$.
$k = \pm \frac{13}{\sqrt{5}}$.

(A) हमारे पास है,$\lim _{y \rightarrow 1}\left(\frac{1}{y^2-1}-\frac{2}{y^4-1}\right)$
$= \lim _{y \rightarrow 1}\left(\frac{y^2+1-2}{y^4-1}\right)$
$= \lim _{y \rightarrow 1}\left(\frac{y^2-1}{(y^2-1)(y^2+1)}\right)$
$= \lim _{y \rightarrow 1} \frac{1}{y^2+1}$
$= \frac{1}{1^2+1} = \frac{1}{2}$

(A) प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं का प्रसरण $\sigma^2 = \frac{n^2-1}{12}$ द्वारा दिया जाता है।
प्रथम $n$ सम संख्याओं $(2, 4, 6, \dots, 2n)$ के लिए,प्रत्येक पद प्राकृतिक संख्या का $2$ गुना है। अतः,प्रसरण $A = 2^2 \times \frac{n^2-1}{12} = \frac{4(n^2-1)}{12} = \frac{n^2-1}{3}$ है।
प्रथम $n$ विषम संख्याओं $(1, 3, 5, \dots, 2n-1)$ के लिए,ये संख्याएँ प्रथम $n$ सम संख्याओं में से $1$ घटाकर प्राप्त की जाती हैं। चूँकि प्रसरण मूल बिंदु के परिवर्तन से अपरिवर्तित रहता है,इसलिए प्रथम $n$ विषम संख्याओं का प्रसरण $B$,प्रथम $n$ सम संख्याओं के प्रसरण के समान ही होता है।
अतः,$A = B$.

(A) दिया गया है,माध्य $(\bar{x}) = 10$ और प्रेक्षणों की संख्या $n = 8$ है।
प्रेक्षणों का योग $6 + 7 + 11 + 12 + 13 + \alpha + 12 + 16 = 77 + \alpha$ है।
चूंकि $\bar{x} = \frac{\sum x_i}{n}$,इसलिए $10 = \frac{77 + \alpha}{8}$।
$80 = 77 + \alpha \Rightarrow \alpha = 3$।
डेटा सेट $6, 7, 11, 12, 13, 3, 12, 16$ है।
माध्य से माध्य विचलन $\frac{1}{n} \sum |x_i - \bar{x}|$ है।
$\text{MD}(\bar{x}) = \frac{|6-10| + |7-10| + |11-10| + |12-10| + |13-10| + |3-10| + |12-10| + |16-10|}{8}$।
$\text{MD}(\bar{x}) = \frac{4 + 3 + 1 + 2 + 3 + 7 + 2 + 6}{8} = \frac{28}{8} = 3.5$।

(A) माना त्रिभुज की भुजाएँ $a = k$,$b = \sqrt{3}k$,और $c = 2k$ हैं।
चूँकि $a^2 + b^2 = k^2 + (\sqrt{3}k)^2 = k^2 + 3k^2 = 4k^2 = c^2$,इसलिए यह एक समकोण त्रिभुज है जिसका कर्ण $c = 2k$ है।
माना भुजाओं $a, b, c$ के सम्मुख कोण क्रमशः $A, B, C$ हैं।
अतः $C = 90^{\circ}$।
त्रिकोणमितीय अनुपातों का उपयोग करने पर:
$\sin A = \frac{a}{c} = \frac{k}{2k} = \frac{1}{2} \implies A = 30^{\circ}$।
$\sin B = \frac{b}{c} = \frac{\sqrt{3}k}{2k} = \frac{\sqrt{3}}{2} \implies B = 60^{\circ}$।
इस प्रकार,कोण $30^{\circ}, 60^{\circ}, 90^{\circ}$ हैं।
कोणों का अनुपात $30^{\circ} : 60^{\circ} : 90^{\circ} = 1 : 2 : 3$ है।

(A) दिया गया है: $a=1, b=2, \angle C=60^{\circ}$।
$1$. त्रिभुज का क्षेत्रफल $\Delta$ ज्ञात करें:
$\Delta = \frac{1}{2} ab \sin C$
$\Delta = \frac{1}{2} \times 1 \times 2 \times \sin 60^{\circ}$
$\Delta = 1 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$\Delta^2 = \frac{3}{4}$
$4 \Delta^2 = 3$
$2$. कोज्या नियम (Law of Cosines) का उपयोग करके भुजा $c$ ज्ञात करें:
$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$
$c^2 = 1^2 + 2^2 - 2(1)(2) \cos 60^{\circ}$
$c^2 = 1 + 4 - 4 \times \frac{1}{2}$
$c^2 = 5 - 2 = 3$
$3$. $4 \Delta^2 + c^2$ का मान ज्ञात करें:
$4 \Delta^2 + c^2 = 3 + 3 = 6$.

(D) माना $a = 13$,$b = 14$,और $c = 15$ है।
सबसे पहले,अर्ध-परिमाप $s$ की गणना करें:
$s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{13 + 14 + 15}{2} = 21$.
अब,हेरॉन के सूत्र का उपयोग करके त्रिभुज का क्षेत्रफल $\Delta$ ज्ञात करें:
$\Delta = \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)} = \sqrt{21(21 - 13)(21 - 14)(21 - 15)} = \sqrt{21 \times 8 \times 7 \times 6} = 84$.
परिवृत्त त्रिज्या $R = \frac{abc}{4\Delta}$ की गणना करें:
$R = \frac{13 \times 14 \times 15}{4 \times 84} = \frac{65}{8}$.
अंतःत्रिज्या $r = \frac{\Delta}{s}$ की गणना करें:
$r = \frac{84}{21} = 4$.
अंत में,$8R + r$ का मान ज्ञात करें:
$8R + r = 8 \times \left(\frac{65}{8}\right) + 4 = 65 + 4 = 69$.

(C) दिया गया आंशिक भिन्न अपघटन: $\frac{x^2+5}{(x^2+1)(x-2)}=\frac{A}{x-2}+\frac{Bx+C}{x^2+1}$ है।
दोनों पक्षों को $(x^2+1)(x-2)$ से गुणा करने पर: $x^2+5 = A(x^2+1) + (Bx+C)(x-2)$ प्राप्त होता है।
दाहिनी ओर का विस्तार करने पर: $x^2+5 = Ax^2 + A + Bx^2 - 2Bx + Cx - 2C$ प्राप्त होता है।
$x$ की घातों के अनुसार पदों को व्यवस्थित करने पर: $x^2+5 = (A+B)x^2 + (C-2B)x + (A-2C)$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों के गुणांकों की तुलना करने पर:
$1$) $A+B = 1$
$2$) $C-2B = 0 \Rightarrow C = 2B$
$3$) $A-2C = 5$
समीकरण $(3)$ में $C=2B$ प्रतिस्थापित करने पर: $A - 2(2B) = 5 \Rightarrow A - 4B = 5$ प्राप्त होता है।
अब समीकरणों की प्रणाली को हल करने पर:
$A+B = 1$
$A-4B = 5$
पहले में से दूसरा घटाने पर: $5B = -4 \Rightarrow B = -\frac{4}{5}$ प्राप्त होता है।
तब $A = 1 - B = 1 - (-4/5) = 9/5$ है।
और $C = 2B = 2(-4/5) = -8/5$ है।
अंत में,$A+B+C = \frac{9}{5} - \frac{4}{5} - \frac{8}{5} = \frac{9-4-8}{5} = -\frac{3}{5}$ है।

(D) दिया गया है,$P(A)=0.6$,$P(B)=0.4$ और $P(A \cap B)=0$।
हमें उस प्रायिकता को ज्ञात करना है जिसमें न तो $A$ और न ही $B$ घटित हो,जो कि $P(\bar{A} \cap \bar{B})$ है।
डी मॉर्गन के नियम के अनुसार,$P(\bar{A} \cap \bar{B}) = P(\overline{A \cup B})$।
हम जानते हैं कि $P(\overline{A \cup B}) = 1 - P(A \cup B)$।
प्रायिकता के योग नियम का उपयोग करते हुए,$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $P(A \cup B) = 0.6 + 0.4 - 0 = 1.0$।
अतः,$P(\overline{A \cup B}) = 1 - 1.0 = 0$।

(D) कुल गेंदों की संख्या $= 5 + 3 + 4 = 12$ है।
$12$ गेंदों में से $3$ गेंदें चुनने के कुल तरीके ${}^{12}C_3 = 220$ हैं।
एक ही रंग की $3$ गेंदें चुनने के तरीके:
- $3$ लाल गेंदें: ${}^{5}C_3 = 10$
- $3$ काली गेंदें: ${}^{3}C_3 = 1$
- $3$ सफेद गेंदें: ${}^{4}C_3 = 4$
एक ही रंग की गेंदें होने के कुल तरीके $= 10 + 1 + 4 = 15$ हैं।
एक ही रंग की गेंदें होने की प्रायिकता $= \frac{15}{220} = \frac{3}{44}$ है।
एक ही रंग की न होने की प्रायिकता $= 1 - \frac{3}{44} = \frac{41}{44}$ है।

(D) दिया गया है कि $|\bar{a}| = 3$,$|\bar{b}| = 4$,और $|\bar{a}+\bar{b}| = 5$ है।
हम जानते हैं कि $|\bar{a}+\bar{b}|^2 = |\bar{a}|^2 + |\bar{b}|^2 + 2(\bar{a} \cdot \bar{b})$ होता है।
मान रखने पर: $5^2 = 3^2 + 4^2 + 2(\bar{a} \cdot \bar{b})$।
$25 = 9 + 16 + 2(\bar{a} \cdot \bar{b}) \implies 25 = 25 + 2(\bar{a} \cdot \bar{b}) \implies \bar{a} \cdot \bar{b} = 0$।
इसका अर्थ है कि $\bar{a}$ और $\bar{b}$ एक-दूसरे के लंबवत हैं।
अब,हमें $|\bar{a}-\bar{b}|$ ज्ञात करना है।
$|\bar{a}-\bar{b}|^2 = |\bar{a}|^2 + |\bar{b}|^2 - 2(\bar{a} \cdot \bar{b})$।
$|\bar{a}-\bar{b}|^2 = 3^2 + 4^2 - 2(0) = 9 + 16 = 25$।
अतः,$|\bar{a}-\bar{b}| = \sqrt{25} = 5$।

(C) दिए गए वक्र $x=y^2-2$ और $x=y$ हैं।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,हम $x=y$ को $x=y^2-2$ में प्रतिस्थापित करते हैं:
$y = y^2 - 2$
$y^2 - y - 2 = 0$
$(y-2)(y+1) = 0$
अतः,$y=2$ और $y=-1$ प्राप्त होते हैं।
जब $y=2$ है,तो $x=2$ और जब $y=-1$ है,तो $x=-1$ है।
प्रतिच्छेदन बिंदु $(-1, -1)$ और $(2, 2)$ हैं।
क्षेत्रफल $A$,$y=-1$ से $y=2$ तक दाईं ओर के वक्र से बाईं ओर के वक्र को घटाकर समाकलन करने से प्राप्त होता है:
$A = \int_{-1}^{2} (y - (y^2 - 2)) \, dy$
$A = \int_{-1}^{2} (y - y^2 + 2) \, dy$
$A = \left[ \frac{y^2}{2} - \frac{y^3}{3} + 2y \right]_{-1}^{2}$
$A = \left( \frac{2^2}{2} - \frac{2^3}{3} + 2(2) \right) - \left( \frac{(-1)^2}{2} - \frac{(-1)^3}{3} + 2(-1) \right)$
$A = \left( 2 - \frac{8}{3} + 4 \right) - \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - 2 \right)$
$A = \left( 6 - \frac{8}{3} \right) - \left( \frac{3+2-12}{6} \right)$
$A = \frac{10}{3} - \left( -\frac{7}{6} \right) = \frac{20}{6} + \frac{7}{6} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2}$ वर्ग इकाई।

(B) किसी भी वर्ग आव्यूह $A$ को एक सममित आव्यूह $B$ और एक विषम-सममित आव्यूह $C$ के योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है,जहाँ $B = \frac{1}{2}(A + A^T)$ और $C = \frac{1}{2}(A - A^T)$ है।
दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 1 & -1 & 4 \end{bmatrix}$.
तब $A^T = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 4 \end{bmatrix}$.
अब,$C = \frac{1}{2}(A - A^T) = \frac{1}{2} \left( \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 1 & -1 & 4 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 4 \end{bmatrix} \right)$.
$C = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0.5 \\ 0 & -0.5 & 0 \end{bmatrix}$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) माना $A = \begin{bmatrix} x & x & x \\ x & x^2 & x \\ x & x & x+1 \end{bmatrix}$.
आव्यूह $A$ की कोटि $1$ होने के लिए,$2$ क्रम के सभी उपसारणिक (minors) शून्य होने चाहिए।
प्रथम दो पंक्तियों और प्रथम दो स्तंभों द्वारा निर्मित उपसारणिक लें: $\begin{vmatrix} x & x \\ x & x^2 \end{vmatrix} = x^3 - x^2 = x^2(x-1)$.
इसे शून्य होने के लिए,$x=0$ या $x=1$ होना चाहिए।
स्थिति $1$: यदि $x=1$ है,तो $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{bmatrix}$. यहाँ उपसारणिक $\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 2-1 = 1 \neq 0$ है। अतः,कोटि कम से कम $2$ है। इसलिए $x=1$ हल नहीं है।
स्थिति $2$: यदि $x=0$ है,तो $A = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$. $2$ क्रम के सभी उपसारणिक शून्य हैं और कम से कम एक अवयव अशून्य है ($A_{33}$ पर $1$)। अतः,कोटि $1$ है।
इसलिए,केवल $x=0$ ही संभव है।

(B) दिया गया है,$\Delta = \left|\begin{array}{lll}1 & 5 & 6 \\ 0 & 1 & 7 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right|$.
चूंकि यह एक अपर ट्रायंगुलर मैट्रिक्स है,इसलिए सारणिक विकर्ण तत्वों का गुणनफल है:
$\Delta = 1 \times 1 \times 1 = 1$.
अब,$\Delta^{\prime} = \left|\begin{array}{ccc}1 & 0 & 1 \\ 3 & 0 & 3 \\ 4 & 6 & 100\end{array}\right|$.
दूसरे स्तंभ के अनुदिश विस्तार करने पर:
$\Delta^{\prime} = -0(300-12) + 0(100-4) - 6(3-3) = 0$.
अब,$(\Delta+\Delta^{\prime})^2-3(\Delta+\Delta^{\prime})+2$ में $\Delta = 1$ और $\Delta^{\prime} = 0$ रखने पर:
$= (1+0)^2 - 3(1+0) + 2$
$= 1^2 - 3 + 2$
$= 1 - 3 + 2 = 0$.
अतः,सही विकल्प $B$ है.

(B) माना कि $x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ और $y = \sqrt{\frac{2}{3}}$.
ध्यान दें कि $x^2 + y^2 = \frac{3}{4} + \frac{2}{3} = \frac{9+8}{12} = \frac{17}{12} > 1$.
चूंकि $x, y > 0$ और $x^2 + y^2 > 1$,हम सर्वसमिका $\sin^{-1} x + \sin^{-1} y = \pi - \sin^{-1} (x \sqrt{1-y^2} + y \sqrt{1-x^2})$ का उपयोग करते हैं।
मान रखने पर:
$\sin^{-1} \frac{\sqrt{3}}{2} + \sin^{-1} \sqrt{\frac{2}{3}} = \pi - \sin^{-1} \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \sqrt{1 - \frac{2}{3}} + \sqrt{\frac{2}{3}} \sqrt{1 - \frac{3}{4}} \right)$
$= \pi - \sin^{-1} \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \sqrt{\frac{1}{3}} + \sqrt{\frac{2}{3}} \sqrt{\frac{1}{4}} \right)$
$= \pi - \sin^{-1} \left( \frac{\sqrt{3}}{2 \sqrt{3}} + \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3} \cdot 2} \right)$
$= \pi - \sin^{-1} \left( \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{3}} \right)$
$= \pi - \sin^{-1} \left( \frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{2 \sqrt{3}} \right)$.

(A) दिया गया फलन $f(x) = -3x - 3$ है।
प्रांत ज्ञात करने के लिए,हम $f(x)$ को परिसर के प्रत्येक अवयव के बराबर रखते हैं:
$(i)$ $f(x) = 3$ के लिए: $3 = -3x - 3$ $\Rightarrow 6 = -3x$ $\Rightarrow x = -2$.
(ii) $f(x) = -6$ के लिए: $-6 = -3x - 3$ $\Rightarrow -3 = -3x$ $\Rightarrow x = 1$.
(iii) $f(x) = -9$ के लिए: $-9 = -3x - 3$ $\Rightarrow -6 = -3x$ $\Rightarrow x = 2$.
(iv) $f(x) = -18$ के लिए: $-18 = -3x - 3$ $\Rightarrow -15 = -3x$ $\Rightarrow x = 5$.
अतः,$f$ का प्रांत $\{-2, 1, 2, 5\}$ है।
इसलिए,$-1$ फलन $f$ के प्रांत में नहीं है।

(A) हमारे पास एक फलन $f: (-\infty, 0] \rightarrow [0, \infty)$ है जो $f(x) = x^2$ द्वारा परिभाषित है।
चूंकि $x$-अक्ष के समानांतर प्रत्येक रेखा वक्र को अधिकतम एक बिंदु पर काटती है,इसलिए फलन $f$ एकैकी (one-one) है।
ग्राफ से यह स्पष्ट है कि $f$ का परिसर $[0, \infty)$ है,जो इसके सह-प्रांत के बराबर है।
इसलिए,$f$ आच्छादक (onto) फलन है।
चूंकि $f$ एकैकी और आच्छादक दोनों है,इसलिए यह व्युत्क्रमणीय (invertible) है।
प्रतिलोम फलन $f^{-1}$,$f$ के सह-प्रांत को $f$ के प्रांत पर प्रतिचित्रित करता है।
अतः,$f^{-1}: [0, \infty) \rightarrow (-\infty, 0]$.
इस प्रकार,$f^{-1}$ का प्रांत $[0, \infty)$ है और $f^{-1}$ का परिसर $(-\infty, 0]$ है।

(D) $f(x)$ को $\mathbb{R}$ पर सतत होने के लिए,इसे $x=0, x=1,$ और $x=2$ पर सतत होना चाहिए।
$x=0$ पर: $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) \implies \sin(0) = 0^2 + a^2 \implies a^2 = 0 \implies a = 0$.
$x=1$ पर: $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) \implies 1^2 + a^2 = b(1) + 2 \implies 1 + 0 = b + 2 \implies b = -1$.
$x=2$ पर: $\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^+} f(x) \implies b(2) + 2 = 0 \implies 2(-1) + 2 = 0$,जो सुसंगत है।
अतः,$a = 0$ और $b = -1$.
इसलिए,$a+b+ab = 0 + (-1) + (0)(-1) = -1$.

(A) दीर्घवृत्त का समीकरण दिया गया है: $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$.
$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$\frac{2x}{a^2} + \frac{2y}{b^2} \cdot \frac{dy}{dx} = 0$
$\frac{y}{b^2} \cdot \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{a^2}$
$\frac{dy}{dx} = -\frac{b^2 x}{a^2 y}$
अब,भागफल नियम का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष पुनः अवकलन करने पर:
$\frac{d^2 y}{dx^2} = -\frac{b^2}{a^2} \cdot \frac{d}{dx} \left( \frac{x}{y} \right)$
$\frac{d^2 y}{dx^2} = -\frac{b^2}{a^2} \cdot \left( \frac{y(1) - x(\frac{dy}{dx})}{y^2} \right)$
$\frac{dy}{dx} = -\frac{b^2 x}{a^2 y}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{d^2 y}{dx^2} = -\frac{b^2}{a^2} \cdot \left( \frac{y - x(-\frac{b^2 x}{a^2 y})}{y^2} \right)$
$\frac{d^2 y}{dx^2} = -\frac{b^2}{a^2} \cdot \left( \frac{y + \frac{b^2 x^2}{a^2 y}}{y^2} \right) = -\frac{b^2}{a^2} \cdot \left( \frac{a^2 y^2 + b^2 x^2}{a^2 y^3} \right)$
चूंकि $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$,इसलिए $b^2 x^2 + a^2 y^2 = a^2 b^2$.
$\frac{d^2 y}{dx^2} = -\frac{b^2}{a^2} \cdot \left( \frac{a^2 b^2}{a^2 y^3} \right) = -\frac{b^4}{a^2 y^3}$.

(D) दिया गया फलन समीकरण $f(x+y)=f(x) f(y)$ है।
अवकलज की परिभाषा के अनुसार,$f^{\prime}(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$।
दिए गए संबंध का उपयोग करते हुए,$f(x+h) = f(x)f(h)$।
अतः,$f^{\prime}(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x)f(h)-f(x)}{h} = f(x) \lim_{h \to 0} \frac{f(h)-1}{h}$।
चूंकि $f(0+0) = f(0)f(0)$,इसलिए $f(0) = f(0)^2$,जिससे $f(0)=1$ (मानते हुए कि $f(x) \neq 0$)।
इस प्रकार,$f^{\prime}(0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h)-f(0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{f(h)-1}{h} = 11$।
इसलिए,$f^{\prime}(x) = f(x) \cdot 11$।
$x=3$ पर,$f^{\prime}(3) = f(3) \cdot 11 = 3 \cdot 11 = 33$।

(D) दिया गया है $g(x) = (f(2f(x)+2))^2$।
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हुए,हम $x$ के सापेक्ष $g(x)$ का अवकलन करते हैं:
$g^{\prime}(x) = 2(f(2f(x)+2)) \cdot \frac{d}{dx}(f(2f(x)+2))$
$g^{\prime}(x) = 2(f(2f(x)+2)) \cdot f^{\prime}(2f(x)+2) \cdot \frac{d}{dx}(2f(x)+2)$
$g^{\prime}(x) = 2(f(2f(x)+2)) \cdot f^{\prime}(2f(x)+2) \cdot 2f^{\prime}(x)$
$g^{\prime}(x) = 4 \cdot f(2f(x)+2) \cdot f^{\prime}(2f(x)+2) \cdot f^{\prime}(x)$।
अब,$x=0$ प्रतिस्थापित करने पर:
$g^{\prime}(0) = 4 \cdot f(2f(0)+2) \cdot f^{\prime}(2f(0)+2) \cdot f^{\prime}(0)$।
दिया गया है $f(0)=-1$ और $f^{\prime}(0)=1$:
$g^{\prime}(0) = 4 \cdot f(2(-1)+2) \cdot f^{\prime}(2(-1)+2) \cdot (1)$
$g^{\prime}(0) = 4 \cdot f(0) \cdot f^{\prime}(0) \cdot 1$
$g^{\prime}(0) = 4 \cdot (-1) \cdot (1) \cdot 1 = -4$।

(B) दिए गए वक्रों के समीकरण $x^2=8y$ $(i)$ और $xy=8$ $(ii)$ हैं।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,$(i)$ से $y = \frac{x^2}{8}$ का मान $(ii)$ में रखने पर:
$x\left(\frac{x^2}{8}\right) = 8 \Rightarrow x^3 = 64 \Rightarrow x = 4$.
$x=4$ को $(ii)$ में रखने पर,हमें $4y=8 \Rightarrow y=2$ प्राप्त होता है।
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $(4, 2)$ है।
वक्र $(i)$ के लिए,$x^2=8y \Rightarrow 2x = 8 \frac{dy}{dx} \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{x}{4}$.
बिंदु $(4, 2)$ पर,ढाल $m_1 = \frac{4}{4} = 1$.
वक्र $(ii)$ के लिए,$xy=8 \Rightarrow x \frac{dy}{dx} + y = 0 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x}$.
बिंदु $(4, 2)$ पर,ढाल $m_2 = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}$.
वक्रों के बीच का कोण $\theta$,$\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right|$ द्वारा दिया जाता है।
$\tan \theta = \left| \frac{1 - (-1/2)}{1 + (1)(-1/2)} \right| = \left| \frac{3/2}{1/2} \right| = 3$.
अतः,$\theta = \tan^{-1}(3)$।

(B) दिया गया वक्र समीकरण: $(\frac{x}{a})^n+(\frac{y}{b})^n=2$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{n x^{n-1}}{a^n} + \frac{n y^{n-1}}{b^n} \frac{dy}{dx} = 0$।
$\Rightarrow \frac{dy}{dx} = -\frac{b^n x^{n-1}}{a^n y^{n-1}}$।
बिंदु $(a, b)$ पर स्पर्श रेखा की प्रवणता:
$(\frac{dy}{dx})_{(a, b)} = -\frac{b^n a^{n-1}}{a^n b^{n-1}} = -\frac{b}{a}$।
बिंदु $(a, b)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $y - y_1 = m(x - x_1)$ के अनुसार:
$y - b = -\frac{b}{a}(x - a)$।
$ay - ab = -bx + ab$।
$bx + ay = 2ab$।
दोनों पक्षों को $ab$ से विभाजित करने पर:
$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 2$।

(A) वक्र $y=ax^3+bx+4$ बिंदु $(2, 14)$ से होकर गुजरता है। इन निर्देशांकों को समीकरण में रखने पर:
$14 = a(2)^3 + b(2) + 4$
$14 = 8a + 2b + 4$
$10 = 8a + 2b$
$5 = 4a + b$ --- $(i)$
वक्र की स्पर्श रेखा की ढाल अवकलज $\frac{dy}{dx}$ द्वारा दी जाती है:
$\frac{dy}{dx} = 3ax^2 + b$
बिंदु $(2, 14)$ पर ढाल $21$ है:
$21 = 3a(2)^2 + b$
$21 = 12a + b$ --- $(ii)$
समीकरण $(ii)$ में से समीकरण $(i)$ को घटाने पर:
$(12a + b) - (4a + b) = 21 - 5$
$8a = 16$
$a = 2$
$a = 2$ का मान समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$5 = 4(2) + b$
$5 = 8 + b$
$b = -3$
अतः,$a = 2$ और $b = -3$ है।

(A) दिया गया है,$y=x^3-3 x^2+5$.
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $\frac{dy}{dx} = 3x^2 - 6x$ प्राप्त होता है।
स्थानीय उच्चिष्ठ (local maxima) या स्थानीय निम्निष्ठ (local minima) के लिए,हम $\frac{dy}{dx} = 0$ रखते हैं।
$3x^2 - 6x = 0 \Rightarrow 3x(x-2) = 0 \Rightarrow x = 0$ या $x = 2$.
अब,$\frac{dy}{dx}$ का $x$ के सापेक्ष पुनः अवकलन करने पर,हमें $\frac{d^2y}{dx^2} = 6x - 6$ प्राप्त होता है।
$x = 0$ पर,$\frac{d^2y}{dx^2} = 6(0) - 6 = -6 < 0$.
चूंकि द्वितीय अवकलज $x = 0$ पर ऋणात्मक है,इसलिए $x = 0$ स्थानीय उच्चिष्ठ का बिंदु है।
$x = 2$ पर,$\frac{d^2y}{dx^2} = 6(2) - 6 = 6 > 0$.
चूंकि द्वितीय अवकलज $x = 2$ पर धनात्मक है,इसलिए $x = 2$ स्थानीय निम्निष्ठ का बिंदु है।
अतः,स्थानीय अधिकतम मान $x = 0$ पर प्राप्त होता है।

(A) दिया गया समीकरण: $\int f(x) \cos x \, dx = \frac{1}{2} [f(x)]^2 + C$.
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$f(x) \cos x = \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{2} [f(x)]^2 + C \right)$.
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करने पर:
$f(x) \cos x = \frac{1}{2} \cdot 2 f(x) \cdot f'(x)$.
व्यंजक को सरल करने पर:
$f(x) \cos x = f(x) \cdot f'(x)$.
$f(x) \neq 0$ के लिए,$f'(x) = \cos x$ प्राप्त होता है।
$x = 0$ रखने पर:
$f'(0) = \cos(0) = 1$.

(A) माना $I = \int x^4 e^{2 x} d x$.
खंडशः समाकलन (Integration by parts) का उपयोग करते हुए,$\int u v d x = u \int v d x - \int (u' \int v d x) d x$.
$u = x^4$ और $v = e^{2 x}$ लेने पर:
$I = x^4 \frac{e^{2 x}}{2} - \int 4 x^3 \frac{e^{2 x}}{2} d x = \frac{x^4 e^{2 x}}{2} - 2 \int x^3 e^{2 x} d x$.
पुनः खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर:
$\int x^3 e^{2 x} d x = x^3 \frac{e^{2 x}}{2} - \int 3 x^2 \frac{e^{2 x}}{2} d x = \frac{x^3 e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} \int x^2 e^{2 x} d x$.
इस प्रक्रिया को जारी रखने पर:
$\int x^2 e^{2 x} d x = \frac{x^2 e^{2 x}}{2} - \int x e^{2 x} d x = \frac{x^2 e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{2 x}}{4})$.
$I$ के व्यंजक में मान रखने पर:
$I = \frac{x^4 e^{2 x}}{2} - 2 [\frac{x^3 e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^2 e^{2 x}}{2} - \frac{x e^{2 x}}{2} + \frac{e^{2 x}}{4})] + C$.
$I = \frac{x^4 e^{2 x}}{2} - x^3 e^{2 x} + \frac{3}{2} x^2 e^{2 x} - \frac{3}{2} x e^{2 x} + \frac{3}{4} e^{2 x} + C$.
$I = \frac{e^{2 x}}{4} (2 x^4 - 4 x^3 + 6 x^2 - 6 x + 3) + C$.

(B) हमें दिया गया है कि $\int e^{2x} f^{\prime}(x) dx = g(x)$.
माना $I = \int (e^{2x} f(x) + e^{2x} f^{\prime}(x)) dx$.
इसे दो समाकलों में विभाजित किया जा सकता है: $I = \int e^{2x} f(x) dx + \int e^{2x} f^{\prime}(x) dx$.
प्रथम समाकल $\int e^{2x} f(x) dx$ के लिए खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करने पर ($f(x)$ को प्रथम फलन और $e^{2x}$ को द्वितीय फलन लेने पर):
$\int e^{2x} f(x) dx = f(x) \int e^{2x} dx - \int (f^{\prime}(x) \int e^{2x} dx) dx = \frac{1}{2} f(x) e^{2x} - \frac{1}{2} \int e^{2x} f^{\prime}(x) dx$.
इस मान को $I$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = [\frac{1}{2} f(x) e^{2x} - \frac{1}{2} \int e^{2x} f^{\prime}(x) dx] + \int e^{2x} f^{\prime}(x) dx$.
$I = \frac{1}{2} e^{2x} f(x) + \frac{1}{2} \int e^{2x} f^{\prime}(x) dx$.
चूंकि $\int e^{2x} f^{\prime}(x) dx = g(x)$,इसलिए:
$I = \frac{1}{2} e^{2x} f(x) + \frac{1}{2} g(x) + C = \frac{1}{2} [e^{2x} f(x) + g(x)] + C$.

(B) $\int \frac{d x}{x\left(x^4+1\right)} = \int \frac{x^3 d x}{x^4\left(x^4+1\right)}$
माना $x^4 = t$,तब $4x^3 dx = dt$,अर्थात $x^3 dx = \frac{dt}{4}$.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$\int \frac{dt/4}{t(t+1)} = \frac{1}{4} \int \frac{dt}{t(t+1)}$
आंशिक भिन्न का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{t(t+1)} = \frac{1}{t} - \frac{1}{t+1}$
अतः:
$\frac{1}{4} \int \left( \frac{1}{t} - \frac{1}{t+1} \right) dt = \frac{1}{4} (\log |t| - \log |t+1|) + C$
$= \frac{1}{4} \log \left| \frac{t}{t+1} \right| + C$
$t = x^4$ वापस रखने पर:
$= \frac{1}{4} \log \left( \frac{x^4}{x^4+1} \right) + C$

(A) माना $I = \int_0^\pi \frac{x \, dx}{4 \cos^2 x + 9 \sin^2 x}$ है।
गुणधर्म $\int_0^a f(x) \, dx = \int_0^a f(a-x) \, dx$ का उपयोग करने पर:
$I = \int_0^\pi \frac{(\pi - x) \, dx}{4 \cos^2(\pi - x) + 9 \sin^2(\pi - x)} = \int_0^\pi \frac{(\pi - x) \, dx}{4 \cos^2 x + 9 \sin^2 x}$ प्राप्त होता है।
$I$ के दोनों व्यंजकों को जोड़ने पर:
$2I = \int_0^\pi \frac{\pi \, dx}{4 \cos^2 x + 9 \sin^2 x} = \pi \int_0^\pi \frac{\sec^2 x \, dx}{4 + 9 \tan^2 x}$ प्राप्त होता है।
गुणधर्म $\int_0^{2a} f(x) \, dx = 2 \int_0^a f(x) \, dx$ का उपयोग करने पर (जहाँ $f(2a-x) = f(x)$):
$2I = 2\pi \int_0^{\pi/2} \frac{\sec^2 x \, dx}{4 + 9 \tan^2 x} \Rightarrow I = \pi \int_0^{\pi/2} \frac{\sec^2 x \, dx}{4 + 9 \tan^2 x}$ प्राप्त होता है।
माना $t = \tan x$,तब $dt = \sec^2 x \, dx$ होगा। सीमाएँ $[0, \pi/2]$ से बदलकर $[0, \infty]$ हो जाएँगी।
$I = \pi \int_0^\infty \frac{dt}{4 + 9t^2} = \frac{\pi}{9} \int_0^\infty \frac{dt}{(2/3)^2 + t^2}$ होगा।
सूत्र $\int \frac{dx}{a^2 + x^2} = \frac{1}{a} \tan^{-1}(\frac{x}{a})$ का उपयोग करने पर:
$I = \frac{\pi}{9} \cdot \frac{3}{2} \left[ \tan^{-1}(\frac{3t}{2}) \right]_0^\infty = \frac{\pi}{6} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi^2}{12}$ प्राप्त होता है।

(I-D, II-A, III-E, IV-C) सही मिलान इस प्रकार हैं:
$I. \int_{-1}^1 x|x| dx = 0$ (क्योंकि $f(x) = x|x|$ एक विषम फलन है,अर्थात $f(-x) = -x|-x| = -x|x| = -f(x)$)। अतः,$I \rightarrow (d)$।
$II. \text{माना } I = \int_0^{\pi/2} \left(1 + \log \frac{4+3\sin x}{4+3\cos x}\right) dx$।
गुणधर्म $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \int_0^{\pi/2} \left(1 + \log \frac{4+3\cos x}{4+3\sin x}\right) dx$।
$I$ के दोनों व्यंजकों को जोड़ने पर:
$2I = \int_0^{\pi/2} \left(2 + \log \left(\frac{4+3\sin x}{4+3\cos x} \cdot \frac{4+3\cos x}{4+3\sin x}\right)\right) dx = \int_0^{\pi/2} (2 + \log 1) dx = \int_0^{\pi/2} 2 dx = \pi$।
इसलिए,$I = \frac{\pi}{2}$। अतः,$II \rightarrow (a)$।
$III. \int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ निश्चित समाकलनों का एक मानक गुणधर्म है। अतः,$III \rightarrow (e)$।
$IV. \int_{-a}^a f(x) dx = \int_{-a}^0 f(x) dx + \int_0^a f(x) dx$। पहले समाकलन में $x = -t$ रखने पर,$dx = -dt$।
$\int_{-a}^0 f(x) dx = \int_a^0 f(-t) (-dt) = \int_0^a f(-t) dt = \int_0^a f(-x) dx$।
अतः,$\int_{-a}^a f(x) dx = \int_0^a f(-x) dx + \int_0^a f(x) dx = \int_0^a [f(x) + f(-x)] dx$। अतः,$IV \rightarrow (c)$।

(B) सरल आवर्त गति का दिया गया समीकरण: $x = A \cos (nt + \alpha)$ ... $(i)$
$t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dx}{dt} = -A n \sin (nt + \alpha)$ ... (ii)
पुनः $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d^2x}{dt^2} = -An \frac{d}{dt} \sin (nt + \alpha)$
$\frac{d^2x}{dt^2} = -An^2 \cos (nt + \alpha)$
समीकरण $(i)$ से $x = A \cos (nt + \alpha)$ का मान रखने पर:
$\frac{d^2x}{dt^2} = -n^2 x$
अतः,अवकल समीकरण है:
$\frac{d^2x}{dt^2} + n^2 x = 0$

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = \frac{x+y}{x-y}$.
यह एक समघातीय अवकल समीकरण है। माना $y = vx$,तब $\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}$.
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$v + x\frac{dv}{dx} = \frac{x + vx}{x - vx} = \frac{1+v}{1-v}$.
$x\frac{dv}{dx} = \frac{1+v}{1-v} - v = \frac{1+v - v + v^2}{1-v} = \frac{1+v^2}{1-v}$.
चरों को पृथक करने पर:
$\frac{1-v}{1+v^2} dv = \frac{dx}{x}$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int \frac{1}{1+v^2} dv - \int \frac{v}{1+v^2} dv = \int \frac{dx}{x}$.
$\tan^{-1}(v) - \frac{1}{2} \log(1+v^2) = \log|x| + C$.
$v = \frac{y}{x}$ रखने पर:
$\tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right) = \log|x| + \frac{1}{2} \log\left(1 + \frac{y^2}{x^2}\right) + C$.
$\tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right) = \log|x| + \frac{1}{2} \log\left(\frac{x^2+y^2}{x^2}\right) + C$.
$\tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right) = \log|x| + \frac{1}{2} [\log(x^2+y^2) - \log(x^2)] + C$.
$\tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right) = \log|x| + \frac{1}{2} \log(x^2+y^2) - \log|x| + C$.
$\tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right) = \log\sqrt{x^2+y^2} + C$.

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $(y-3 x^2) d x+x d y=0$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $y d x-3 x^2 d x+x d y=0$.
$y d x$ और $x d y$ पदों को एक साथ लेने पर: $y d x+x d y=3 x^2 d x$.
अवकलन के गुणन नियम के अनुसार,$d(x y) = y d x + x d y$,अतः समीकरण इस प्रकार हो जाता है: $d(x y) = 3 x^2 d x$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int d(x y) = \int 3 x^2 d x$.
इससे हमें प्राप्त होता है: $x y = x^3 + C$.
$x$ से विभाजित करने पर ($x \neq 0$ मानते हुए),हमें हल प्राप्त होता है: $y = x^2 + \frac{C}{x}$.

(A) दिया गया है कि $|a|=1$ और $|b|=1$,और $\alpha$ सदिश $a$ और $b$ के बीच का कोण है।
हम जानते हैं कि $a \cdot b = |a||b| \cos \alpha = (1)(1) \cos \alpha = \cos \alpha$.
चूंकि $a+b$ एक इकाई सदिश है,इसलिए $|a+b|=1$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$|a+b|^2 = 1^2 = 1$.
डॉट प्रोडक्ट का विस्तार करने पर,$(a+b) \cdot (a+b) = 1$.
$a \cdot a + a \cdot b + b \cdot a + b \cdot b = 1$.
चूंकि $a \cdot a = |a|^2 = 1$ और $b \cdot b = |b|^2 = 1$,और $a \cdot b = b \cdot a = \cos \alpha$,हम इन मानों को प्रतिस्थापित करते हैं:
$1 + \cos \alpha + \cos \alpha + 1 = 1$.
$2 + 2 \cos \alpha = 1$.
$2 \cos \alpha = 1 - 2$.
$2 \cos \alpha = -1$.
$\cos \alpha = -\frac{1}{2}$.

(C) दिया गया है कि $a, b, c$ इकाई सदिश हैं,इसलिए $|a|=|b|=|c|=1$.
दिया गया है $a+b+c=0$.
$a$ और $b$ के बीच का कोण $\frac{\pi}{3}$ है।
$a+b+c=0$ का $a$ के साथ सदिश गुणन (cross product) लेने पर:
$a \times (a+b+c) = a \times 0$
$a \times a + a \times b + a \times c = 0$
चूंकि $a \times a = 0$,हमें प्राप्त होता है $a \times b = c \times a$.
परिमाण लेने पर,$|a \times b| = |c \times a|$.
इसी प्रकार,$b$ के साथ सदिश गुणन लेने पर,हमें प्राप्त होता है $|a \times b| = |b \times c|$.
अतः,$|a \times b| = |b \times c| = |c \times a|$.
इसलिए,$|a \times b| + |b \times c| + |c \times a| = 3|a \times b|$.
सूत्र $|a \times b| = |a||b| \sin(\theta)$ का उपयोग करने पर,जहाँ $\theta = \frac{\pi}{3}$:
$|a \times b| = 1 \times 1 \times \sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
अतः,$3|a \times b| = 3 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$.

(B) दिया गया है $a = x \hat{i} + y \hat{j} + z \hat{k}$.
हमें व्यंजक $E = (a \times \hat{i}) \cdot (\hat{i} + \hat{j}) + (a \times \hat{j}) \cdot (\hat{j} + \hat{k}) + (a \times \hat{k}) \cdot (\hat{k} + \hat{i})$ का मान ज्ञात करना है।
अदिश त्रिक गुणन के गुण $[a, b, c] = (a \times b) \cdot c$ का उपयोग करते हुए,हम व्यंजक को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$E = [a, \hat{i}, \hat{i}] + [a, \hat{i}, \hat{j}] + [a, \hat{j}, \hat{j}] + [a, \hat{j}, \hat{k}] + [a, \hat{k}, \hat{k}] + [a, \hat{k}, \hat{i}]$.
चूंकि अदिश त्रिक गुणन शून्य होता है यदि कोई भी दो सदिश समान हों,इसलिए $[a, \hat{i}, \hat{i}] = [a, \hat{j}, \hat{j}] = [a, \hat{k}, \hat{k}] = 0$.
अतः,$E = [a, \hat{i}, \hat{j}] + [a, \hat{j}, \hat{k}] + [a, \hat{k}, \hat{i}]$.
चक्रीय गुण $[a, b, c] = a \cdot (b \times c)$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$E = a \cdot (\hat{i} \times \hat{j}) + a \cdot (\hat{j} \times \hat{k}) + a \cdot (\hat{k} \times \hat{i})$.
चूंकि $\hat{i} \times \hat{j} = \hat{k}$,$\hat{j} \times \hat{k} = \hat{i}$,और $\hat{k} \times \hat{i} = \hat{j}$,इसलिए:
$E = a \cdot \hat{k} + a \cdot \hat{i} + a \cdot \hat{j} = a \cdot (\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})$.
$a = x \hat{i} + y \hat{j} + z \hat{k}$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$E = (x \hat{i} + y \hat{j} + z \hat{k}) \cdot (\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) = x + y + z$.

(A) हमें दिया गया है,$a=2 \hat{i}+\hat{j}-3 \hat{k}$ और $b=\hat{i}+3 \hat{j}+2 \hat{k}$।
चूंकि $c$,$a$ और $b$ के समतल के लंबवत है,इसलिए $c$,$a \times b$ के समांतर है।
सबसे पहले,$a \times b$ की गणना करें:
$a \times b = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 1 & -3 \\ 1 & 3 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(2 - (-9)) - \hat{j}(4 - (-3)) + \hat{k}(6 - 1) = 11 \hat{i} - 7 \hat{j} + 5 \hat{k}$।
इसका परिमाण $|a \times b| = \sqrt{11^2 + (-7)^2 + 5^2} = \sqrt{121 + 49 + 25} = \sqrt{195}$ है।
चूंकि $c$,$a \times b$ के समांतर है और $|c|=2$,इसलिए $c = \pm 2 \frac{a \times b}{|a \times b|} = \pm \frac{2}{\sqrt{195}} (11 \hat{i} - 7 \hat{j} + 5 \hat{k})$।
समांतर षट्फलक का आयतन अदिश त्रिक गुणनफल $|[a, b, c]| = |(a \times b) \cdot c|$ द्वारा दिया जाता है।
$|[a, b, c]| = |(a \times b) \cdot (\pm 2 \frac{a \times b}{|a \times b|})| = |\pm 2 \frac{|a \times b|^2}{|a \times b|}| = 2 |a \times b|$।
$|a \times b| = \sqrt{195}$ रखने पर,आयतन $2 \sqrt{195}$ प्राप्त होता है।

(A) माना $a = a_1 \hat{i} + a_2 \hat{j} + a_3 \hat{k}$ है। चूँकि $a$ एक इकाई सदिश है,$|a|^2 = a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 = 1$ है।
अब,$a \times \hat{i} = (a_1 \hat{i} + a_2 \hat{j} + a_3 \hat{k}) \times \hat{i} = -a_2 \hat{k} + a_3 \hat{j}$ है।
अतः,$|a \times \hat{i}|^2 = a_2^2 + a_3^2$ है।
इसी प्रकार,$|a \times \hat{j}|^2 = a_1^2 + a_3^2$ और $|a \times \hat{k}|^2 = a_1^2 + a_2^2$ है।
इनका योग करने पर,$|a \times \hat{i}|^2 + |a \times \hat{j}|^2 + |a \times \hat{k}|^2 = (a_2^2 + a_3^2) + (a_1^2 + a_3^2) + (a_1^2 + a_2^2) = 2(a_1^2 + a_2^2 + a_3^2)$ प्राप्त होता है।
चूँकि $a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 = 1$ है,इसलिए योग $2(1) = 2$ है।

(B) दो बिंदुओं $(x_1, y_1, z_1)$ और $(x_2, y_2, z_2)$ से गुजरने वाले और दिए गए समतल $ax + by + cz = d$ के लंबवत समतल का समीकरण सारणिक रूप का उपयोग करके ज्ञात किया जा सकता है। आवश्यक समतल का अभिलंब सदिश,दो बिंदुओं को जोड़ने वाले सदिश और दिए गए समतल के अभिलंब सदिश का क्रॉस गुणनफल होता है।
मान लीजिए बिंदु $A(1, -1, 6)$ और $B(0, 0, 7)$ हैं। सदिश $\vec{AB} = (0-1, 0-(-1), 7-6) = (-1, 1, 1)$ है।
समतल $x - 2y + z = 6$ का अभिलंब सदिश $\vec{n_1} = (1, -2, 1)$ है।
आवश्यक समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{n_1} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -1 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(1+2) - \hat{j}(-1-1) + \hat{k}(2-1) = 3\hat{i} + 2\hat{j} + 1\hat{k}$ है।
$(0, 0, 7)$ से गुजरने वाले और $(3, 2, 1)$ अभिलंब सदिश वाले समतल का समीकरण $3(x-0) + 2(y-0) + 1(z-7) = 0$ है,जो सरल करने पर $3x + 2y + z = 7$ हो जाता है।
अब,समीकरण $3x + 2y + z = 7$ में विकल्पों के निर्देशांक रखकर जाँच करें:
$(1, 1, 2)$ के लिए: $3(1) + 2(1) + 2 = 3 + 2 + 2 = 7$। यह समीकरण को संतुष्ट करता है।

(D) दिए गए सदिश $\vec{a}=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$,$\vec{b}=\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k}$ और $\vec{c}=x\hat{i}+(x-2)\hat{j}-\hat{k}$ हैं।
चूँकि सदिश समतलीय हैं,उनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य होना चाहिए,अर्थात $[\vec{a} \ \vec{b} \ \vec{c}] = 0$।
इसका अर्थ है कि घटकों का सारणिक शून्य है:
$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 2 \\ x & x-2 & -1 \end{vmatrix} = 0$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश सारणिक का विस्तार करने पर:
$1((-1)(-1) - (2)(x-2)) - 1((1)(-1) - (2)(x)) + 1((1)(x-2) - (-1)(x)) = 0$
$1(1 - 2x + 4) - 1(-1 - 2x) + 1(x - 2 + x) = 0$
$(5 - 2x) + (1 + 2x) + (2x - 2) = 0$
$2x + 4 = 0$
$2x = -4$
$x = -2$

(C) प्रायिकता वितरण के लिए,सभी प्रायिकताओं का योग $1$ होना चाहिए:
$\sum P(X=x) = a + a + a + b + b + 0.3 = 1$
$3a + 2b + 0.3 = 1$
$3a + 2b = 0.7$ --- $(i)$
एक यादृच्छिक चर $X$ का माध्य $E(X) = \sum x_i P(x_i) = 4.2$ द्वारा दिया जाता है:
$1(a) + 2(a) + 3(a) + 4(b) + 5(b) + 6(0.3) = 4.2$
$a + 2a + 3a + 4b + 5b + 1.8 = 4.2$
$6a + 9b = 4.2 - 1.8$
$6a + 9b = 2.4$
$3$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$2a + 3b = 0.8$ --- $(ii)$
अब,रैखिक समीकरणों $(i)$ और $(ii)$ के निकाय को हल करें:
समीकरण $(i)$ को $3$ से और $(ii)$ को $2$ से गुणा करने पर:
$9a + 6b = 2.1$ --- $(iii)$
$4a + 6b = 1.6$ --- $(iv)$
समीकरण $(iii)$ में से $(iv)$ को घटाने पर:
$5a = 0.5 \Rightarrow a = 0.1$
$a = 0.1$ को समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$3(0.1) + 2b = 0.7$
$0.3 + 2b = 0.7$
$2b = 0.4 \Rightarrow b = 0.2$
अतः,$a = 0.1$ और $b = 0.2$ है।

(C) यादृच्छिक चर $X$ का प्रसरण ज्ञात करने के लिए,हम सूत्र का उपयोग करते हैं: $\text{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$.
सबसे पहले,हम माध्य $E(X) = \sum P_i X_i$ की गणना करते हैं:
$E(X) = (0 \times 0.1) + (1 \times 0.4) + (2 \times 0.3) + (3 \times 0.2) + (4 \times 0) = 0 + 0.4 + 0.6 + 0.6 + 0 = 1.6$.
इसके बाद,हम $E(X^2) = \sum P_i X_i^2$ की गणना करते हैं:
$E(X^2) = (0^2 \times 0.1) + (1^2 \times 0.4) + (2^2 \times 0.3) + (3^2 \times 0.2) + (4^2 \times 0) = 0 + 0.4 + 1.2 + 1.8 + 0 = 3.4$.
अब,प्रसरण की गणना करते हैं:
$\text{Var}(X) = 3.4 - (1.6)^2 = 3.4 - 2.56 = 0.84$.