TS EAMCET 2018 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(D) કણોની સિસ્ટમના દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(COM)$ નો સ્થાન સદિશ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$r_{COM} = \frac{m_1 r_1 + m_2 r_2 + m_3 r_3 + m_4 r_4}{m_1 + m_2 + m_3 + m_4}$
આપેલ દળ અને સ્થાન:
$m_1 = 1 \ kg, r_1 = (a \hat{i} + a \hat{j})$
$m_2 = 2 \ kg, r_2 = (-a \hat{i} + a \hat{j})$
$m_3 = 3 \ kg, r_3 = (-a \hat{i} - a \hat{j})$
$m_4 = 4 \ kg, r_4 = (a \hat{i} - a \hat{j})$
કુલ દળ $M = 1 + 2 + 3 + 4 = 10 \ kg$
$r_{COM} = \frac{1(a \hat{i} + a \hat{j}) + 2(-a \hat{i} + a \hat{j}) + 3(-a \hat{i} - a \hat{j}) + 4(a \hat{i} - a \hat{j})}{10}$
$r_{COM} = \frac{(a - 2a - 3a + 4a) \hat{i} + (a + 2a - 3a - 4a) \hat{j}}{10}$
$r_{COM} = \frac{0 \hat{i} - 4a \hat{j}}{10} = -0.4 a \hat{j}$

(D) $1 \ kg$ દળના દડાનો પ્રારંભિક વેગ $u$ ધારો. સંઘાત પછી,પ્રથમ દડો $Y$-અક્ષ પર $v_1$ વેગથી ગતિ કરે છે અને $m$ દળનો બીજો દડો $X$-અક્ષની નીચે $30^{\circ}$ ના ખૂણે $v_2$ વેગથી ગતિ કરે છે.
$X$-અક્ષ પર રેખીય વેગમાન સંરક્ષણનો નિયમ લાગુ પાડતા:
$1 \cdot u = m v_2 \cos(30^{\circ}) \implies u = m v_2 \frac{\sqrt{3}}{2} \implies v_2 = \frac{2u}{m\sqrt{3}} \quad ... (1)$
$Y$-અક્ષ પર રેખીય વેગમાન સંરક્ષણનો નિયમ લાગુ પાડતા:
$0 = 1 \cdot v_1 - m v_2 \sin(30^{\circ}) \implies v_1 = m v_2 \sin(30^{\circ}) = m v_2 \cdot \frac{1}{2} \implies v_2 = \frac{2v_1}{m} \quad ... (2)$
$(1)$ અને $(2)$ પરથી,$\frac{2u}{m\sqrt{3}} = \frac{2v_1}{m} \implies v_1 = \frac{u}{\sqrt{3}}$.
સંઘાત સ્થિતિસ્થાપક હોવાથી,ગતિઊર્જાનું સંરક્ષણ થાય છે:
$\frac{1}{2} (1) u^2 = \frac{1}{2} (1) v_1^2 + \frac{1}{2} m v_2^2$
$u^2 = v_1^2 + m v_2^2$
$v_1 = \frac{u}{\sqrt{3}}$ અને $v_2 = \frac{2v_1}{m} = \frac{2u}{m\sqrt{3}}$ કિંમતો મૂકતા:
$u^2 = \left(\frac{u}{\sqrt{3}}\right)^2 + m \left(\frac{2u}{m\sqrt{3}}\right)^2$
$u^2 = \frac{u^2}{3} + m \cdot \frac{4u^2}{3m^2} = \frac{u^2}{3} + \frac{4u^2}{3m}$
$1 = \frac{1}{3} + \frac{4}{3m} \implies \frac{2}{3} = \frac{4}{3m} \implies m = 2 \ kg$.

(A) રિસ્ટિટ્યુશન ગુણાંક $e$ ને છૂટા પડવાના સાપેક્ષ વેગ અને નજીક આવવાના સાપેક્ષ વેગના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
$e = \frac{v_2 - v_1}{u_1 - u_2}$
આપેલ છે:
$u_1 = 3 \ m/s$,$u_2 = 1.5 \ m/s$
$v_1 = 2.5 \ m/s$,$v_2 = 3.5 \ m/s$
કિંમતો મૂકતા:
$e = \frac{3.5 - 2.5}{3 - 1.5} = \frac{1}{1.5} = \frac{10}{15} = \frac{2}{3} \approx 0.67$
આમ,રિસ્ટિટ્યુશન ગુણાંક આશરે $0.67$ છે.

(A) ધારો કે $m_1$ નો પ્રારંભિક વેગ $u$ છે અને $m_1$ તથા $m_2$ ના અંતિમ વેગ અનુક્રમે $v_1$ અને $v_2$ છે. કણ $m_1$ એ $X$-અક્ષ સાથે $90^{\circ}$ ના ખૂણે અને $m_2$ એ $X$-અક્ષ સાથે $30^{\circ}$ ના ખૂણે ગતિ કરે છે.
$X$-અક્ષ પર રેખીય વેગમાન સંરક્ષણનો નિયમ લાગુ પાડતા:
$m_1 u = m_2 v_2 \cos 30^{\circ} \quad \dots (i)$
$Y$-અક્ષ પર રેખીય વેગમાન સંરક્ષણનો નિયમ લાગુ પાડતા:
$0 = m_2 v_2 \sin 30^{\circ} - m_1 v_1 \quad \Rightarrow \quad m_1 v_1 = m_2 v_2 \sin 30^{\circ} \quad \dots (ii)$
આપેલ છે કે ગતિ ઊર્જા $50 \%$ ઘટે છે,તેથી અંતિમ ગતિ ઊર્જા એ પ્રારંભિક ગતિ ઊર્જાના અડધી છે:
$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} m_1 v_1^2 + \frac{1}{2} m_2 v_2^2) = \frac{1}{2} (\frac{1}{2} m_1 u^2) \quad \Rightarrow \quad m_1 v_1^2 + m_2 v_2^2 = \frac{1}{2} m_1 u^2 \quad \dots (iii)$
$(i)$ પરથી,$v_2 \cos 30^{\circ} = \frac{m_1 u}{m_2} \Rightarrow v_2 = \frac{2 m_1 u}{\sqrt{3} m_2}$.
$(ii)$ પરથી,$v_1 = \frac{m_2 v_2 \sin 30^{\circ}}{m_1} = \frac{m_2}{m_1} \cdot \frac{2 m_1 u}{\sqrt{3} m_2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{u}{\sqrt{3}}$.
$v_1$ અને $v_2$ ની કિંમત $(iii)$ માં મૂકતા:
$m_1 (\frac{u^2}{3}) + m_2 (\frac{4 m_1^2 u^2}{3 m_2^2}) = \frac{1}{2} m_1 u^2$
$m_1 u^2$ વડે ભાગતા:
$\frac{1}{3} + \frac{4 m_1}{3 m_2} = \frac{1}{2} \quad \Rightarrow \quad \frac{4 m_1}{3 m_2} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$
$\frac{m_1}{m_2} = \frac{3}{24} = \frac{1}{8} \quad \Rightarrow \quad \frac{m_2}{m_1} = 8$.

(D) રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,અથડામણ પહેલાનું કુલ વેગમાન એ અથડામણ પછીના કુલ વેગમાન જેટલું હોય છે.
ધારો કે $x$-દિશા ધન છે. તંત્રનું પ્રારંભિક વેગમાન:
$p_i = (4m)(v_1) + (2m)(-v_2) = 4mv_1 - 2mv_2$
અથડામણ પછી,બંને બ્લોક એકસાથે $(4m + 2m = 6m)$ દળ તરીકે $x$-દિશામાં $5v_2$ ના અંતિમ વેગ સાથે ગતિ કરે છે:
$p_f = (6m)(5v_2) = 30mv_2$
પ્રારંભિક અને અંતિમ વેગમાનને સરખાવતા:
$4mv_1 - 2mv_2 = 30mv_2$
$4mv_1 = 32mv_2$
$\frac{v_1}{v_2} = \frac{32}{4} = 8$

(A) $1$. સ્પ્રિંગની સિસ્ટમમાં એક સ્પ્રિંગ સમાંતર છે અને બે સ્પ્રિંગ શ્રેણીમાં છે. સમતુલ્ય સ્પ્રિંગ અચળાંક $k_{\text{eq}} = k + (k/2) = 3k/2$ છે. $k = 2 \text{ N/m}$ આપેલ હોવાથી,$k_{\text{eq}} = 3 \text{ N/m}$ મળે.
$2$. અથડામણ દરમિયાન વેગમાનનું સંરક્ષણ થાય છે. ધારો કે $m_1 = 10\alpha \text{ g}$ અને $m_2 = 10 \text{ g}$. અથડામણ પછી તરત જ સંયુક્ત દળ $(m_1 + m_2)$ નો વેગ $v$ છે. વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $m_1 v_1 = (m_1 + m_2)v$. કિંમતો મૂકતા: $(10\alpha \times 10^{-3}) \times 3 = (10\alpha + 10) \times 10^{-3} \times v$. તેથી,$v = \frac{3\alpha}{\alpha + 1} \text{ m/s}$ મળે.
$3$. અથડામણ પછી,સંયુક્ત સિસ્ટમની ગતિઊર્જા મહત્તમ કંપવિસ્તાર $A$ પર સ્પ્રિંગની સ્થિતિઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે. તેથી,$\frac{1}{2}(m_1 + m_2)v^2 = \frac{1}{2}k_{\text{eq}}A^2$. કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{2} \times (10\alpha + 10) \times 10^{-3} \times (\frac{3\alpha}{\alpha + 1})^2 = \frac{1}{2} \times 3 \times (\frac{1}{2\sqrt{2}})^2$.
$4$. સમીકરણનું સાદુંરૂપ આપતા: $\frac{9\alpha^2}{100(\alpha + 1)} = \frac{3}{8}$.
$5$. વધુ સાદુંરૂપ આપતા: $24\alpha^2 = 100\alpha + 100$,જેનું સાદુંરૂપ $6\alpha^2 - 25\alpha - 25 = 0$ થાય છે. આ દ્વિઘાત સમીકરણ ઉકેલતા $(6\alpha + 5)(\alpha - 5) = 0$ મળે. $\alpha$ ધન હોવાથી,$\alpha = 5$.

(C) કોઈપણ બાહ્ય આડા બળની ગેરહાજરીમાં, તંત્રના દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(COM)$ નું સ્થાન બદલાતું નથી.
ધારો કે કિનારો એ ઉગમબિંદુ $(x = 0)$ છે.
પાટિયાનું દળ $M = 10 \,kg$ છે અને તેની લંબાઈ $L = 10 \,m$ છે. તેનું $COM$ $x_p = 5 \,m$ પર છે.
છોકરાનું દળ $m = 30 \,kg$ છે. શરૂઆતમાં, તે દૂરના છેડે છે, તેથી તેનું સ્થાન $x_b = 10 \,m$ છે.
તંત્રના $COM$ નું પ્રારંભિક સ્થાન:
$X_{COM} = \frac{M x_p + m x_b}{M + m} = \frac{10 \times 5 + 30 \times 10}{10 + 30} = \frac{50 + 300}{40} = \frac{350}{40} = 8.75 \,m$.
જ્યારે છોકરો નજીકના છેડા તરફ ચાલે છે, ત્યારે પાટિયું કિનારાથી $d$ અંતર દૂર ખસે છે. પાટિયાના $COM$ નું નવું સ્થાન $x_p' = 5 + d$ છે, અને છોકરાનું નવું સ્થાન $x_b' = d$ છે.
કારણ કે $COM$ સમાન સ્થાન પર રહે છે:
$X_{COM} = \frac{M x_p' + m x_b'}{M + m}$
$8.75 = \frac{10(5 + d) + 30(d)}{40}$
$8.75 \times 40 = 50 + 10d + 30d$
$350 = 50 + 40d$
$300 = 40d$
$d = \frac{300}{40} = 7.5 \,m$.

(D) ધારો કે અવરોધ એ તાપમાનનું રેખીય વિધેય છે: $R_T = R_0 + \alpha T$.
આપેલ છે: $T_1 = 273 \ K$ પર $R_1 = 100 \ \Omega$ અને $T_2 = 873 \ K$ પર $R_2 = 300 \ \Omega$.
અવરોધ-તાપમાન આલેખનો ઢાળ $m = \frac{R_2 - R_1}{T_2 - T_1} = \frac{300 - 100}{873 - 273} = \frac{200}{600} = \frac{1}{3} \ \Omega/K$ છે.
આપણે તે તાપમાન $T$ શોધવું છે જ્યાં $R = 200 \ \Omega$ હોય.
રેખાના સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $R - R_1 = m(T - T_1)$.
$200 - 100 = \frac{1}{3}(T - 273)$.
$100 = \frac{1}{3}(T - 273)$.
$300 = T - 273$.
$T = 300 + 273 = 573 \ K$.

(B) પૃથ્વીની સપાટીથી $h$ ઊંચાઈએ ગુરુત્વાકર્ષણીય પ્રવેગ $g_h = g(1 - \frac{2h}{R})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $R$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે.
પૃથ્વીની સપાટીથી $d$ ઊંડાઈએ ગુરુત્વાકર્ષણીય પ્રવેગ $g_d = g(1 - \frac{d}{R})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે ગુરુત્વાકર્ષણીય પ્રવેગ સમાન છે,તેથી આપણે બંને સમીકરણોને સરખાવીએ:
$g(1 - \frac{2h}{R}) = g(1 - \frac{d}{R})$
બંને બાજુથી $g$ ને દૂર કરતા:
$1 - \frac{2h}{R} = 1 - \frac{d}{R}$
બંને બાજુથી $1$ બાદ કરતા:
$-\frac{2h}{R} = -\frac{d}{R}$
$-R$ વડે ગુણતા:
$2h = d$
તેથી,ઊંચાઈ અને ઊંડાઈનો ગુણોત્તર:
$\frac{h}{d} = \frac{1}{2} = 0.5$

(D) $dr$ જાડાઈ અને $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ગોળાકાર કવચનું કદ $dV = 4\pi r^2 dr$ છે.
આ કવચનું દળ $dM = \rho dV = \left( 20 \frac{r^2}{R^2} \right) \cdot 4\pi r^2 dr = \frac{80\pi r^4}{R^2} dr$ છે.
નક્કર ગોળાનું કુલ દળ $M$ મેળવવા માટે $0$ થી $R$ સુધી સંકલન કરતા:
$M = \int_0^R dM = \int_0^R \frac{80\pi r^4}{R^2} dr = \frac{80\pi}{R^2} \left[ \frac{r^5}{5} \right]_0^R = \frac{80\pi R^5}{5R^2} = 16\pi R^3$.
ગોળાની બહાર $r = 4R$ અંતરે આવેલા બિંદુ માટે,ગોળો તેના કેન્દ્ર પર રહેલા બિંદુવત દળ $M$ તરીકે વર્તે છે. ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્ર $E$ નીચે મુજબ મળે:
$E = \frac{GM}{r^2} = \frac{G(16\pi R^3)}{(4R)^2} = \frac{16\pi G R^3}{16R^2} = \pi GR$.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{E}{GR} = \pi$ થાય.

(C) $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ગોળામાં સમાયેલ દળ $M(r)$ નીચે મુજબ મળે છે:
$M(r) = \int_0^r \rho(r') \cdot 4\pi r'^2 dr' = \int_0^r \rho_0 \left(\frac{r'}{R}\right)^\beta \cdot 4\pi r'^2 dr' = \frac{4\pi \rho_0}{R^\beta} \int_0^r r'^{\beta+2} dr' = \frac{4\pi \rho_0}{R^\beta} \cdot \frac{r^{\beta+3}}{\beta+3}$.
$r = \frac{R}{2}$ માટે,સમાયેલ દળ $M_1 = \frac{4\pi \rho_0}{R^\beta} \cdot \frac{(R/2)^{\beta+3}}{\beta+3} = \frac{4\pi \rho_0 R^3}{\beta+3} \cdot \frac{1}{2^{\beta+3}}$.
$r = \frac{R}{2}$ પર ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્ર $E_1 = \frac{G M_1}{(R/2)^2} = \frac{G}{(R/2)^2} \cdot \frac{4\pi \rho_0 R^3}{(\beta+3) 2^{\beta+3}} = \frac{16 G \pi \rho_0 R}{(\beta+3) 2^{\beta+3}}$.
$r = 2R$ માટે,ગોળાનું કુલ દળ $M_2 = \frac{4\pi \rho_0}{R^\beta} \cdot \frac{R^{\beta+3}}{\beta+3} = \frac{4\pi \rho_0 R^3}{\beta+3}$.
$r = 2R$ પર ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્ર $E_2 = \frac{G M_2}{(2R)^2} = \frac{G}{4R^2} \cdot \frac{4\pi \rho_0 R^3}{\beta+3} = \frac{G \pi \rho_0 R}{\beta+3}$.
આપેલ છે કે $\frac{E_2}{E_1} = 4$:
$\frac{\frac{G \pi \rho_0 R}{\beta+3}}{\frac{16 G \pi \rho_0 R}{(\beta+3) 2^{\beta+3}}} = 4 \Rightarrow \frac{2^{\beta+3}}{16} = 4 \Rightarrow 2^{\beta+3} = 64 = 2^6$.
તેથી,$\beta + 3 = 6$,જે દર્શાવે છે કે $\beta = 3$.

(A) યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,પૃથ્વીની સપાટી પરની કુલ ઉર્જા એ મહત્તમ ઊંચાઈ $h$ પરની કુલ ઉર્જા જેટલી હોવી જોઈએ.
સપાટી પર: $E_i = K_i + U_i = \frac{1}{2} m v_0^2 - \frac{G M m}{R}$.
મહત્તમ ઊંચાઈ $h$ પર: $E_f = K_f + U_f = 0 - \frac{G M m}{R+h}$.
$E_i = E_f$ ને સરખાવતા:
$\frac{1}{2} m v_0^2 - \frac{G M m}{R} = - \frac{G M m}{R+h}$.
$m$ વડે ભાગતા અને પદો ગોઠવતા:
$\frac{v_0^2}{2} = G M \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{R+h} \right) = G M \left( \frac{h}{R(R+h)} \right)$.
કારણ કે $g = \frac{G M}{R^2}$,તેથી $G M = g R^2$.
$G M$ ની કિંમત મૂકતા:
$\frac{v_0^2}{2} = g R^2 \left( \frac{h}{R(R+h)} \right) = \frac{g R h}{R+h}$.
$v_0^2 (R+h) = 2 g R h$.
$v_0^2 R + v_0^2 h = 2 g R h$.
$v_0^2 R = h (2 g R - v_0^2)$.
$h = \frac{R v_0^2}{2 g R - v_0^2}$.

(D) વર્તુળાકાર કક્ષામાં ઉપગ્રહની ઝડપ અચળ રહે છે.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,ઉપગ્રહ પર થયેલું કુલ કાર્ય તેની ગતિ ઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે.
ઝડપ $v$ અચળ હોવાથી,ગતિ ઊર્જા $K = \frac{1}{2} m v^2$ અચળ રહે છે.
તેથી,ગતિ ઊર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta K = K_f - K_i = 0$ થાય.
કાર્ય $W = \Delta K = 0$ હોવાથી,જરૂરી પાવર,જે $P = \frac{W}{t}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે,તે પણ શૂન્ય થશે.
આમ,ઉપગ્રહને તેની કક્ષામાં અચળ ઝડપથી ગતિ કરાવવા માટે કોઈ બાહ્ય પાવરની જરૂર પડતી નથી.

(A) વાયુ મિશ્રણ માટે,અચળ કદ અને અચળ દબાણે મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા નીચે મુજબ છે:
$C_V = \frac{n_1 C_{V_1} + n_2 C_{V_2}}{n_1 + n_2}$ અને $C_p = \frac{n_1 C_{p_1} + n_2 C_{p_2}}{n_1 + n_2}$
એકપરમાણ્વિક વાયુ માટે,મુક્તિની માત્રા $f_1 = 3$,તેથી $C_{V_1} = \frac{3}{2}R$ અને $C_{p_1} = \frac{5}{2}R$.
દ્વિપરમાણ્વિક વાયુ માટે,મુક્તિની માત્રા $f_2 = 5$,તેથી $C_{V_2} = \frac{5}{2}R$ અને $C_{p_2} = \frac{7}{2}R$.
એડિબેટિક ઘાતાંક $\gamma = \frac{C_p}{C_V} = 1.5 = \frac{3}{2}$.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{C_p}{C_V} = \frac{n_1(\frac{5}{2}R) + n_2(\frac{7}{2}R)}{n_1(\frac{3}{2}R) + n_2(\frac{5}{2}R)} = \frac{5n_1 + 7n_2}{3n_1 + 5n_2} = \frac{3}{2}$
ચોકડી ગુણાકાર કરતા:
$2(5n_1 + 7n_2) = 3(3n_1 + 5n_2)$
$10n_1 + 14n_2 = 9n_1 + 15n_2$
$n_1 = n_2$
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{n_1}{n_2} = 1$.

(A) બહુપરમાણ્વીય વાયુ માટે,અચળ કદની વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_V = (3 + f)R$ છે,જ્યાં $f$ એ કંપનશીલ સ્વતંત્રતાના અંશો છે અને $R$ એ વાયુ અચળાંક છે.
હવે,
$C_p = C_V + R$
$C_p = (3 + f)R + R$
$C_p = (4 + f)R$
હવે,$C_p$ અને $C_V$ નો ગુણોત્તર:
$\frac{C_p}{C_V} = \frac{(4 + f)R}{(3 + f)R} = \frac{4 + f}{3 + f}$.

(A) આદર્શ વાયુ સમીકરણ મુજબ,$PV = nRT$. પાત્રમાં બંને વાયુઓ માટે કદ $V$ અને તાપમાન $T$ સમાન હોવાથી,મોલની સંખ્યા $n$ એ વાયુના આંશિક દબાણ $p$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે $(n \propto p)$.
શરૂઆતમાં,નાઈટ્રોજનનું દબાણ $p_{N_2} = 100 \ kPa$ છે.
ઓક્સિજન ઉમેર્યા પછી,કુલ દબાણ $300 \ kPa$ થાય છે. તેથી,ઓક્સિજનનું આંશિક દબાણ $p_{O_2} = P_{total} - p_{N_2} = 300 \ kPa - 100 \ kPa = 200 \ kPa$ થશે.
$N_2$ અણુઓની સંખ્યા અને $O_2$ અણુઓની સંખ્યાનો ગુણોત્તર તેમના મોલના ગુણોત્તર જેટલો હોય છે,જે તેમના આંશિક દબાણના ગુણોત્તર બરાબર થાય છે:
$\frac{n_{N_2}}{n_{O_2}} = \frac{p_{N_2}}{p_{O_2}} = \frac{100 \ kPa}{200 \ kPa} = 0.5$.

(C) આદર્શ વાયુનો રૂટ મીન સ્ક્વેર (rms) વેગ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$v_{\text{rms}} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$
આ સમીકરણ પરથી જોઈ શકાય છે કે rms વેગ એ નિરપેક્ષ તાપમાનના વર્ગમૂળના સમપ્રમાણમાં છે:
$v_{\text{rms}} \propto \sqrt{T}$
ધારો કે $T_1 = T$ તાપમાને $v_1 = v$ છે.
જ્યારે તાપમાન વધારીને $T_2 = 4T$ કરવામાં આવે,ત્યારે નવો rms વેગ $v_2$ ધારો.
પ્રમાણસરતા $v_{\text{rms}} \propto \sqrt{T}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$
$\frac{v_2}{v} = \sqrt{\frac{4T}{T}}$
$\frac{v_2}{v} = \sqrt{4} = 2$
$v_2 = 2v$
તેથી,નવો rms વેગ $2v$ થશે.

(A) મશીનગન દ્વારા ગોળીઓ પર લાગતું સરેરાશ બળ $F$ એ વેગમાનમાં થતા ફેરફારના દર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $F = \frac{\Delta p}{\Delta t} = n \times m \times v$,જ્યાં $n$ એ પ્રતિ સેકન્ડ છોડવામાં આવતી ગોળીઓની સંખ્યા છે,$m$ એ દરેક ગોળીનું દળ છે,અને $v$ એ ગોળીનો વેગ છે.
આપેલ છે:
પ્રતિ મિનિટ ગોળીઓની સંખ્યા $= 200$,તેથી $n = \frac{200}{60} \ s^{-1}$.
દરેક ગોળીનું દળ $m = 35 \ g = 0.035 \ kg$.
વેગ $v = 750 \ m \ s^{-1}$.
કિંમતો મૂકતા:
$F = \left(\frac{200}{60}\right) \times 0.035 \times 750$
$F = \left(\frac{20}{6}\right) \times 35 \times 0.75$
$F = \frac{10}{3} \times 35 \times 0.75 = 10 \times 35 \times 0.25 = 87.5 \ N$.

(B) જ્યારે બ્લોક પ્રવેગી વેજ પર સ્થિર રહે છે,ત્યારે વેજના ફ્રેમમાં બ્લોક પર લાગતા બળો: ગુરુત્વાકર્ષણ ($mg$ નીચેની તરફ),સ્યુડો ફોર્સ ($ma$ સમક્ષિતિજ દિશામાં બહારની તરફ),લંબબળ ($N$ સપાટીને લંબ) અને ઘર્ષણબળ ($f$ સપાટીને સમાંતર) છે.
લઘુત્તમ પ્રવેગ $(a_{\min})$ શોધવા માટે,બ્લોકને નીચે સરકતો અટકાવવા ઘર્ષણબળ ઢાળ પર ઉપરની તરફ લાગવું જોઈએ.
ઢાળને સમાંતર અને લંબ બળોના ઘટકો લેતા:
$N = mg \cos \theta + ma \sin \theta$
$f + ma \cos \theta = mg \sin \theta$
$f = \mu N$ હોવાથી,$\mu(mg \cos \theta + ma \sin \theta) = mg \sin \theta - ma \cos \theta$.
$a$ માટે સમીકરણ ગોઠવતા:
$ma(\mu \sin \theta + \cos \theta) = mg(\sin \theta - \mu \cos \theta)$
$a = g \frac{\sin \theta - \mu \cos \theta}{\cos \theta + \mu \sin \theta}$
અહીં $\theta = 45^{\circ}$ હોવાથી,$\sin 45^{\circ} = \cos 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
$a_{\min} = g \frac{1 - \mu}{1 + \mu}$
$g = 10 \ m \ s^{-2}$ અને $\mu = 0.4$ મૂકતા:
$a_{\min} = 10 \times \frac{1 - 0.4}{1 + 0.4} = 10 \times \frac{0.6}{1.4} = \frac{60}{14} = \frac{30}{7} \ m \ s^{-2}$.

(B) મધ્ય સ્ટીલ પ્લેટને ખસેડવા માટે,લાગુ કરેલા બળ $F$ એ તેની ઉપરની અને નીચેની બંને સપાટીઓ પર કાર્ય કરતા ગતિજ ઘર્ષણ બળોને દૂર કરવા આવશ્યક છે.
$1$. સપાટીઓ પર કાર્ય કરતું લંબબળ $R$ એ લાગુ કરેલા વજન જેટલું છે,$R = 100 \ N$.
$2$. ઉપરની સપાટી પરનું ઘર્ષણ બળ (સ્ટીલ અને સ્ટીલ વચ્ચે) $f_{SS} = \mu_{SS} \times R = 0.57 \times 100 = 57 \ N$ છે.
$3$. નીચેની સપાટી પરનું ઘર્ષણ બળ (સ્ટીલ અને પિત્તળ વચ્ચે) $f_{SB} = \mu_{SB} \times R = 0.44 \times 100 = 44 \ N$ છે.
$4$. પ્લેટને ખસેડવા માટે જરૂરી કુલ બળ $F$ એ આ બે ઘર્ષણ બળોનો સરવાળો છે:
$F = f_{SS} + f_{SB} = 57 \ N + 44 \ N = 101 \ N$.

(A) આપેલ છે કે,$\mu = C s^2$.
ઢળતા સમતલ પર બ્લોક પર લાગતું પરિણામી બળ:
$M g \sin \theta - f = M a$
$M g \sin \theta - \mu M g \cos \theta = M a$
$a = g \sin \theta - \mu g \cos \theta$
$\mu = C s^2$ અને $\theta = 45^{\circ}$ મૂકતા:
$a = g \sin 45^{\circ} - C s^2 g \cos 45^{\circ} = \frac{g}{\sqrt{2}} (1 - C s^2)$
$a = v \frac{dv}{ds}$ સંબંધનો ઉપયોગ કરતા:
$v \frac{dv}{ds} = \frac{g}{\sqrt{2}} (1 - C s^2)$
$v dv = \frac{g}{\sqrt{2}} (1 - C s^2) ds$
બંને બાજુ પ્રારંભિક સ્થિતિ $(s=0, v=0)$ થી અંતિમ સ્થિતિ $(s=s_{max}, v=0)$ સુધી સંકલન કરતા:
$\int_{0}^{0} v dv = \int_{0}^{s_{max}} \frac{g}{\sqrt{2}} (1 - C s^2) ds$
$0 = \frac{g}{\sqrt{2}} [s - \frac{C s^3}{3}]_{0}^{s_{max}}$
$g \neq 0$ હોવાથી:
$s_{max} - \frac{C s_{max}^3}{3} = 0$
$s_{max} (1 - \frac{C s_{max}^2}{3}) = 0$
$s_{max} \neq 0$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$1 = \frac{C s_{max}^2}{3}$
$s_{max}^2 = \frac{3}{C}$
$s_{max} = \sqrt{\frac{3}{C}}$

(C) ધારો કે $m$ દળ છે, $R$ ત્રિજ્યા છે, $\omega_0$ પ્રારંભિક કોણીય વેગ છે અને $\alpha$ કોણીય મંદન છે.
ફ્રી બોડી ડાયાગ્રામ પરથી, ઉભી દિશાના બળો સંતુલિત છે: $N_2 = mg$.
આડી દીવાલ સાથેના સંપર્ક બિંદુ પર લાગતું ઘર્ષણ બળ $f = \mu N_2 = \mu mg$ છે.
નળાકારના કેન્દ્રની આસપાસ ટોર્ક $\tau$ આ ઘર્ષણ બળ દ્વારા મળે છે: $\tau = f \cdot R = \mu mgR$.
સંબંધ $\tau = I \alpha$ નો ઉપયોગ કરતા, જ્યાં $I = \frac{1}{2} mR^2$ એ નળાકારની તેની અક્ષની આસપાસની જડત્વની આઘૂર્ણ છે:
$\mu mgR = \frac{1}{2} mR^2 \alpha \implies \alpha = \frac{2 \mu g}{R}$.
આપેલ પરિભ્રમણની સંખ્યા $n = 5$ છે, તેથી કુલ કોણીય સ્થાનાંતર $\theta = n \cdot 2\pi = 10\pi \,rad$ છે.
કોણીય ગતિના સમીકરણ $\omega^2 = \omega_0^2 - 2 \alpha \theta$ નો ઉપયોગ કરતા અને અંતિમ કોણીય વેગ $\omega = 0$ લેતા:
$0 = (20)^2 - 2 \left( \frac{2 \mu g}{R} \right) \theta$.
કિંમતો $g = 10 \,m/s^2$, $R = 1 \,m$, અને $\theta = 10\pi$ મૂકતા:
$0 = 400 - 2 \left( \frac{2 \cdot \mu \cdot 10}{1} \right) (10\pi)$.
$400 = 400 \mu \pi \implies \mu = \frac{1}{\pi}$.

(B) બ્લોક પર લાગતા બળો આ મુજબ છે: સમક્ષિતિજ સાથે $30^{\circ}$ ના ખૂણે લાગતું બળ $F$, નીચેની તરફ લાગતું વજનબળ $mg$, ઉપરની તરફ લાગતી લંબ પ્રતિક્રિયા $N$, અને ડાબી તરફ લાગતું ગતિક ઘર્ષણબળ $f_k$.
બળ $F$ ના સમક્ષિતિજ અને શિરોલંબ ઘટકો લેતા: $F_x = F \cos 30^{\circ}$ અને $F_y = F \sin 30^{\circ}$.
શિરોલંબ સંતુલન માટે: $N + F \sin 30^{\circ} = mg \Rightarrow N = mg - F \sin 30^{\circ}$.
અહીં $m = 5 \,kg$, $g = 9.8 \,m/s^2$, અને $\mu = 0.1$ આપેલ છે, તેથી $N = (5 \times 9.8) - F \sin 30^{\circ} = 49 - 0.5F$.
ગતિક ઘર્ષણબળ $f_k = \mu N = 0.1(49 - 0.5F) = 4.9 - 0.05F$.
સમક્ષિતિજ દિશામાં પરિણામી બળ $F_{\text{net}} = F \cos 30^{\circ} - f_k = ma$.
કિંમતો મૂકતા: $F(\frac{\sqrt{3}}{2}) - (4.9 - 0.05F) = 5 \times 3$.
$0.866F - 4.9 + 0.05F = 15$.
$0.916F = 19.9$.
$F = \frac{19.9}{0.916} \approx 21.73 \,N$.
આ મૂલ્ય $22 \,N$ ની સૌથી નજીક છે.

(C) બાળક લપસી ન જાય તે માટે,જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ સ્થિત ઘર્ષણ બળ દ્વારા પૂરું પાડવું આવશ્યક છે.
લપસવાની સ્થિતિમાં,કેન્દ્રગામી બળ એ મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ બળ જેટલું હોય છે:
$m \omega^2 r = f_{s, \text{max}}$
જ્યાં $f_{s, \text{max}} = \mu N$ અને લંબબળ $N = mg$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$m \omega^2 r = \mu mg$
$
\omega^2 = \frac{\mu g}{r}
$
આપેલ કિંમતો: $\mu = 0.8$,$g = 10 \ m/s^2$,અને $r = 2 \ m$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$
\omega^2 = \frac{0.8 \times 10}{2} = \frac{8}{2} = 4
$
$
\omega = \sqrt{4} = 2 \ rad/s
$
આમ,મહત્તમ કોણીય ઝડપ $2 \ rad/s$ છે.

(A) સાચી જોડ $A-(iii), B-(iv), C-(i), D-(ii)$ છે.
$(A)$ ઇલેક્ટ્રોવીક આંતરક્રિયા એ એકીકૃત સિદ્ધાંત છે જે વિદ્યુતચુંબકીય અને નિર્બળ ન્યુક્લિયર બળોને જોડે છે,જે મૂળભૂત બળોની સંખ્યાને ચારથી ઘટાડીને ત્રણ કરે છે.
$(B)$ અણુઓ વચ્ચે તેમની ત્રિજ્યા જેટલા અંતરે લાગતું બળ મુખ્યત્વે વિદ્યુતચુંબકીય પ્રકૃતિનું હોય છે,જે તેમના ઘટક ઇલેક્ટ્રોન અને ન્યુક્લિયસની આંતરક્રિયાથી ઉદભવે છે.
$(C)$ પ્રબળ ન્યુક્લિયર બળ એ ન્યુક્લિયર બંધન બળ માટે જવાબદાર છે,જે ક્વાર્ક્સને જોડીને ન્યુક્લિયોન્સ બનાવે છે અને ન્યુક્લિયોન્સને જોડીને ન્યુક્લિયસ બનાવે છે.
$(D)$ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ એ ગ્રહો,તારાઓ અને આકાશગંગાઓ જેવા ખગોળીય પરિમાણ ધરાવતા પદાર્થો વચ્ચેની મુખ્ય આંતરક્રિયા છે.

(B) ધારો કે શિરોલંબ અંતર $l$ છે. કોઈપણ ખૂણે $\theta$ પર સ્પ્રિંગની લંબાઈ $h = l / \cos \theta$ છે. સ્પ્રિંગમાં વિસ્તરણ $x = h - l = l(1/\cos \theta - 1)$ છે.
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,સ્પ્રિંગમાં સંગ્રહિત સ્થિતિ ઉર્જા ગતિ ઉર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે. મહત્તમ વેગ $v_{max}$ ત્યારે મળે છે જ્યારે સ્પ્રિંગ તેની કુદરતી લંબાઈ પર હોય (એટલે કે $\theta = 0$,$x = 0$). પ્રારંભિક સ્થિતિ $(\theta = 60^{\circ})$ પર સ્થિતિ ઉર્જા $U_i = \frac{1}{2} k x_i^2$ છે,જ્યાં $x_i = l(1/\cos 60^{\circ} - 1) = l(2-1) = l$. તેથી $U_i = \frac{1}{2} k l^2$.
કોઈપણ ખૂણે $\theta$ પર,ઉર્જા સમીકરણ $\frac{1}{2} k l^2 = \frac{1}{2} m v^2 + \frac{1}{2} k (l/\cos \theta - 1)^2 l^2$ છે. મહત્તમ વેગ $v_{max}$ ત્યારે મળે છે જ્યારે વિસ્તરણ શૂન્ય હોય,એટલે કે $\theta = 0$ પર. આમ,$\frac{1}{2} m v_{max}^2 = \frac{1}{2} k l^2$.
આપેલ છે કે $v = \frac{1}{2} v_{max}$,તેથી $v^2 = \frac{1}{4} v_{max}^2$. આને ઉર્જા સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{1}{2} k l^2 = \frac{1}{2} m (\frac{1}{4} v_{max}^2) + \frac{1}{2} k l^2 (1/\cos \theta - 1)^2$. કારણ કે $\frac{1}{2} m v_{max}^2 = \frac{1}{2} k l^2$,આપણને મળે છે $\frac{1}{2} k l^2 = \frac{1}{8} k l^2 + \frac{1}{2} k l^2 (1/\cos \theta - 1)^2$.
$\frac{1}{2} k l^2$ વડે ભાગતા: $1 = 1/4 + (1/\cos \theta - 1)^2 \Rightarrow (1/\cos \theta - 1)^2 = 3/4 \Rightarrow 1/\cos \theta - 1 = \sqrt{3}/2 \Rightarrow 1/\cos \theta = 1 + \sqrt{3}/2 = (2+\sqrt{3})/2$.
આમ,$\cos \theta = 2 / (2+\sqrt{3})$,તેથી $\theta = \cos^{-1}(2 / (2+\sqrt{3}))$. સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

$(A) \text{ પરિણામી બળ શોધવા માટે, આપણે દરેક બળને તેના } X \text{ અને } Y \text{ ઘટકોમાં વિભાજિત કરીએ છીએ。}$
$X\text{-ઘટકો:}$
$\Sigma F_x = 19 + 15 \cos 60^{\circ} - 16 \cos 45^{\circ} - 11 \cos 30^{\circ}$
$\Sigma F_x = 19 + 15(0.5) - 16(0.707) - 11(0.866)$
$\Sigma F_x = 19 + 7.5 - 11.312 - 9.526 = 5.662 \,N$
$\text{Y-ઘટકો:}$
$\Sigma F_y = 15 \sin 60^{\circ} + 16 \sin 45^{\circ} - 11 \sin 30^{\circ} - 22$
$\Sigma F_y = 15(0.866) + 16(0.707) - 11(0.5) - 22$
$\Sigma F_y = 12.99 + 11.312 - 5.5 - 22 = -3.198 \,N$
$\text{પરિણામી બળ } R = \sqrt{(\Sigma F_x)^2 + (\Sigma F_y)^2} = \sqrt{(5.662)^2 + (-3.198)^2} \approx \sqrt{32.06 + 10.23} \approx \sqrt{42.29} \approx 6.5 \,N$.
$\text{દિશા } \theta = \tan^{-1}\left(\frac{\Sigma F_y}{\Sigma F_x}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{-3.198}{5.662}\right) \approx \tan^{-1}(-0.565) \approx -29.5^{\circ} \approx 330.5^{\circ}$.
$\text{આમ, પરિણામી બળ આશરે } 6.5 \,N \text{ અને } 330^{\circ} \text{ ના ખૂણે છે。}$

(C) ઘનતા $\rho = \frac{m}{V} = \frac{m}{l^3}$.
ઘનતામાં સાપેક્ષ ત્રુટિ $\frac{\Delta \rho}{\rho} = \frac{\Delta m}{m} + 3 \frac{\Delta l}{l}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ કિંમતો: $m = 20 \text{ kg}$,$\Delta m = 10 \text{ g} = 0.01 \text{ kg}$,$l = 100 \text{ cm}$,$\Delta l = 1 \text{ mm} = 0.1 \text{ cm}$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{\Delta \rho}{\rho} = \frac{0.01}{20} + 3 \times \frac{0.1}{100}$.
$\frac{\Delta \rho}{\rho} = 0.0005 + 3 \times 0.001 = 0.0005 + 0.003 = 0.0035$.
આમ,સાપેક્ષ ત્રુટિ $3.5 \times 10^{-3}$ છે.

(C) આપેલ છે કે,સ્થાન સદિશ $r = a \cos \omega t \hat{i} + b \sin \omega t \hat{j}$ છે.
વેગ $v$ શોધવા માટે,આપણે $r$ નું સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ:
$v = \frac{dr}{dt} = \frac{d}{dt}(a \cos \omega t \hat{i} + b \sin \omega t \hat{j}) = -a \omega \sin \omega t \hat{i} + b \omega \cos \omega t \hat{j}$.
પ્રવેગ $a$ શોધવા માટે,આપણે વેગ $v$ નું સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં ફરીથી વિકલન કરીએ છીએ:
$a = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(-a \omega \sin \omega t \hat{i} + b \omega \cos \omega t \hat{j}) = -a \omega^2 \cos \omega t \hat{i} - b \omega^2 \sin \omega t \hat{j}$.
$-\omega^2$ સામાન્ય લેતા,આપણને મળે છે:
$a = -\omega^2 (a \cos \omega t \hat{i} + b \sin \omega t \hat{j})$.
કૌંસમાં રહેલું પદ એ મૂળ સ્થાન સદિશ $r$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$a = -\omega^2 r$.
આ દર્શાવે છે કે પ્રવેગ સદિશ $-r$ ની દિશામાં છે.

(D) વેગના ઘટકો સ્થાનના યામોના સમય સાપેક્ષ વિકલન દ્વારા મળે છે:
$v_x = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(5t) = 5 \text{ m/s}$
$v_y = \frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt}(135t - 5t^3) = 135 - 15t^2 \text{ m/s}$
પ્રવેગના ઘટકો વેગના ઘટકોના સમય સાપેક્ષ વિકલન દ્વારા મળે છે:
$a_x = \frac{dv_x}{dt} = 0 \text{ m/s}^2$
$a_y = \frac{dv_y}{dt} = \frac{d}{dt}(135 - 15t^2) = -30t \text{ m/s}^2$
બે સદિશો પરસ્પર લંબ હોય જો તેમનો અદિશ ગુણાકાર શૂન્ય હોય:
$\vec{v} \cdot \vec{a} = v_x a_x + v_y a_y = 0$
$(5)(0) + (135 - 15t^2)(-30t) = 0$
$t > 0$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$135 - 15t^2 = 0$
$15t^2 = 135$
$t^2 = 9$
$t = 3 \text{ s}$

(A) ધારો કે પિસ્ટન દ્વારા લગાડવામાં આવતું દબાણ $P$ છે અને વાતાવરણીય દબાણ $P_a$ છે. વધારાનું દબાણ $\Delta P = P - P_a$ છે. છિદ્રની ઉપર પાણીના સ્તંભની ઊંચાઈ $h = 15 \ m - 12 \ m = 3 \ m$ છે. જમીનથી છિદ્રની ઊંચાઈ $H = 12 \ m$ છે.
બર્નુલીના સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા,બહાર આવતા પાણીનો વેગ $v = \sqrt{2gh + \frac{2\Delta P}{\rho}}$ છે.
પાણીને જમીન સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય $t = \sqrt{\frac{2H}{g}}$ છે.
ક્ષૈતિજ અવધિ $R = v \times t = \sqrt{2gh + \frac{2\Delta P}{\rho}} \times \sqrt{\frac{2H}{g}}$ છે.
આપેલ છે કે $R = 16 \ m$,$H = 12 \ m$,$h = 3 \ m$,$\rho = 1000 \ kg/m^3$,અને $g = 10 \ m/s^2$:
$16 = \sqrt{2(10)(3) + \frac{2\Delta P}{1000}} \times \sqrt{\frac{2(12)}{10}}$
$16 = \sqrt{60 + \frac{\Delta P}{500}} \times \sqrt{2.4}$
$256 = (60 + \frac{\Delta P}{500}) \times 2.4$
$106.67 = 60 + \frac{\Delta P}{500}$
$46.67 = \frac{\Delta P}{500} \Rightarrow \Delta P = 23333 \ Pa \approx 23.3 \ kPa$.
બળ $F = \Delta P \times A = 23333 \times 10 = 233330 \ N = 233.3 \ kN \approx 233 \ kN$.

(A) ધારો કે $A$ એ નળાકારના પાયાનું ક્ષેત્રફળ છે અને $A_0$ એ છિદ્રનું ક્ષેત્રફળ છે। છિદ્રની ઉપર પાણીની પ્રારંભિક ઊંચાઈ $x$ છે। પાણીની કુલ ઊંચાઈ $H = 1 \,m = 100 \,cm$ છે।
ટોરીસેલીના નિયમ મુજબ, બહાર નીકળતા પાણીનો વેગ $v = \sqrt{2gx}$ છે।
પાણીના સ્તરમાં થતો ફેરફાર $A \frac{dx}{dt} = -A_0 \sqrt{2gx}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
ચલને અલગ કરીને $x$ થી $0$ સુધી સંકલન કરતા:
$\int_{x}^{0} \frac{dx}{\sqrt{x}} = -\frac{A_0}{A} \sqrt{2g} \int_{0}^{t} dt$
$2\sqrt{x} = \frac{A_0}{A} \sqrt{2g} \cdot t$
આપેલ છે કે $\frac{A}{A_0} = 100$, $t = 20 \,s$, અને $g = 10 \,m/s^2$:
$2\sqrt{x} = \frac{1}{100} \sqrt{2 \times 10} \times 20$
$2\sqrt{x} = \frac{1}{100} \times \sqrt{20} \times 20 = \frac{20}{100} \times 2\sqrt{5} = 0.4\sqrt{5}$
$\sqrt{x} = 0.2\sqrt{5} \Rightarrow x = 0.04 \times 5 = 0.2 \,m = 20 \,cm$.
પાયાથી છિદ્રની ઊંચાઈ $h = H - x = 100 \,cm - 20 \,cm = 80 \,cm$ છે।

(D) બદલાતી ઘનતા ધરાવતા પ્રવાહીમાં દબાણનો ફેરફાર હાઇડ્રોસ્ટેટિક નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $dP = -\rho(z) g dz$.
તળિયેથી ($z=0$,$P=P_1$) ઉપરની સપાટી સુધી ($z=H$,$P=P_2$) સંકલન કરતા:
$\int_{P_1}^{P_2} dP = -\int_{0}^{H} \rho(z) g dz$
$P_2 - P_1 = -g \int_{0}^{H} \rho_0 \left[ 2 - \left( \frac{z}{H} \right)^2 \right] dz$
$P_1 - P_2 = g \rho_0 \int_{0}^{H} \left( 2 - \frac{z^2}{H^2} \right) dz$
$P_1 - P_2 = g \rho_0 \left[ 2z - \frac{z^3}{3H^2} \right]_{0}^{H}$
$P_1 - P_2 = g \rho_0 \left( 2H - \frac{H^3}{3H^2} \right)$
$P_1 - P_2 = g \rho_0 \left( 2H - \frac{H}{3} \right)$
$P_1 - P_2 = g \rho_0 \left( \frac{5H}{3} \right) = \frac{5}{3} \rho_0 g H$.

(B) $h$ ઊંડાઈએ હવાના પરપોટાની અંદરનું દબાણ $P_{in} = P_{atm} + \rho gh + \frac{2S}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
મુક્ત સપાટી પરનું દબાણ $P_{atm}$ છે.
તેથી,મુક્ત સપાટી પરના દબાણની સાપેક્ષમાં પરપોટાની અંદરનું દબાણ $\Delta P = P_{in} - P_{atm} = \rho gh + \frac{2S}{R}$ થાય.
આપેલ છે:
ઘનતા $\rho = 1000 \,kg/m^3$
ઊંડાઈ $h = 5 \,cm = 0.05 \,m$
ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ $g = 10 \,m/s^2$
પૃષ્ઠતાણ $S = 0.1 \,N/m$
ત્રિજ્યા $R = 2 \,mm = 0.002 \,m$
પગલું $1$: પ્રવાહીના સ્તંભને કારણે હાઇડ્રોસ્ટેટિક દબાણની ગણતરી કરો:
$P_{hydro} = \rho gh = 1000 \times 10 \times 0.05 = 500 \,Pa$.
પગલું $2$: પૃષ્ઠતાણને કારણે વધારાના દબાણની ગણતરી કરો:
$P_{excess} = \frac{2S}{R} = \frac{2 \times 0.1}{0.002} = \frac{0.2}{0.002} = 100 \,Pa$.
પગલું $3$: કુલ દબાણ તફાવતની ગણતરી કરો:
$\Delta P = 500 \,Pa + 100 \,Pa = 600 \,Pa$.

(A) પ્રવાહીમાં ઉપર આવતા ગેસના પરપોટાનો ટર્મિનલ વેગ $v_t$ નીચે મુજબના અનુભવજન્ય સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$v_t = \frac{g d^2 \rho_f}{18 \eta}$
આપેલ છે:
વ્યાસ $d = 2 \,mm = 2 \times 10^{-3} \,m$
પ્રવાહીની ઘનતા $\rho_f = 13.6 \times 10^3 \,kg/m^3$
સ્નિગ્ધતા $\eta = 1.5 \,cP = 1.5 \times 10^{-3} \,Pa \cdot s$
$g = 10 \,m/s^2$
સૂત્ર $v_t = \frac{g d^2 \rho_f}{18 \eta}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$v_t = \frac{10 \times (2 \times 10^{-3})^2 \times 13.6 \times 10^3}{18 \times 1.5 \times 10^{-3}}$
$v_t = \frac{10 \times 4 \times 10^{-6} \times 13.6 \times 10^3}{27 \times 10^{-3}}$
$v_t = \frac{0.544}{0.027} \approx 20.14 \,m/s$
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,દર આશરે $20 \,m/s$ છે.

(C) ધારો કે દોરીના વિભાગો $AC$ અને $BC$ માં તણાવ $T$ છે. બિંદુ $C$ પર શિરોલંબ દિશામાં સંતુલન સ્થિતિ લાગુ પાડતા:
$F = 2T \sin \theta$
ખેંચાયેલી સ્થિતિમાં દરેક વિભાગ $AC$ અને $BC$ ની લંબાઈ $L' = \frac{L/2}{\cos \theta}$ છે.
દરેક વિભાગમાં લંબાઈમાં થતો વધારો $\Delta L = L' - \frac{L}{2} = \frac{L}{2} \left( \frac{1}{\cos \theta} - 1 \right) = \frac{L}{2} \left( \frac{1 - \cos \theta}{\cos \theta} \right)$ છે.
બળ અને લંબાઈમાં થતા વધારાનો ગુણોત્તર $K$ આપેલ હોવાથી,તણાવ $T = K \Delta L = K \frac{L}{2} \left( \frac{1 - \cos \theta}{\cos \theta} \right)$ થાય.
$T$ ની કિંમત બળના સમીકરણમાં મૂકતા:
$F = 2 \left[ K \frac{L}{2} \left( \frac{1 - \cos \theta}{\cos \theta} \right) \right] \sin \theta$
$F = K L (1 - \cos \theta) \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$
$F = K L (1 - \cos \theta) \tan \theta$.

(C) યંગ મોડ્યુલસ $Y$ નું સૂત્ર $Y = \frac{FL}{A \Delta L}$ છે.
આપેલ કિંમતો: બળ $F = 400 \ kN = 400 \times 10^3 \ N$,લંબાઈ $L = 2 \ m$,ત્રિજ્યા $r = 50 \ mm = 50 \times 10^{-3} \ m$,વિસ્તરણ $\Delta L = 0.5 \ mm = 0.5 \times 10^{-3} \ m$.
આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2 = \pi \times (50 \times 10^{-3})^2 = \pi \times 2500 \times 10^{-6} = 2.5 \pi \times 10^{-3} \ m^2 \approx 7.85 \times 10^{-3} \ m^2$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$Y = \frac{400 \times 10^3 \times 2}{(2.5 \pi \times 10^{-3}) \times (0.5 \times 10^{-3})}$
$Y = \frac{800 \times 10^3}{1.25 \pi \times 10^{-6}} = \frac{800}{1.25 \pi} \times 10^9 \approx \frac{640}{3.14} \times 10^9 \approx 203.8 \times 10^9 \approx 2 \times 10^{11} \ N/m^2$.

(D) આપેલ છે: વ્યાસ $d = 0.015 \ m$,લંબાઈ $L = 0.2 \ m$.
સંબંધ $F = 97.2 \times 10^6 (\Delta L)$ છે.
યંગ મોડ્યુલસનું સૂત્ર $Y = \frac{F L}{A \Delta L}$ છે.
આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2 = \pi (d/2)^2 = \frac{\pi d^2}{4}$.
$A$ ની કિંમત મૂકતા: $Y = \frac{4 F L}{\pi d^2 \Delta L}$.
આપેલ સંબંધ પરથી,$\frac{F}{\Delta L} = 97.2 \times 10^6 \ N/m$.
કિંમતો મૂકતા: $Y = \frac{4 \times (97.2 \times 10^6) \times 0.2}{3.14159 \times (0.015)^2}$.
$Y = \frac{77.76 \times 10^6}{0.00070685} \approx 110 \times 10^9 \ Pa = 110 \ GPa$.

(D) આપેલ છે: લંબાઈ $L = 1 \,m$,વ્યાસ $d = 8 \,mm$,ત્રિજ્યા $r = 4 \,mm = 4 \times 10^{-3} \,m$,વિસ્તરણ $\Delta l = 5 \,mm = 5 \times 10^{-3} \,m$,યંગ મોડ્યુલસ $Y = 2 \times 10^{11} \,N/m^2$,ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 10 \,m/s^2$.
યંગ મોડ્યુલસનું સૂત્ર $Y = \frac{F L}{A \Delta l} = \frac{m g L}{(\pi r^2) \Delta l}$ છે।
દળ $m$ માટે સૂત્ર બનાવતા: $m = \frac{Y \pi r^2 \Delta l}{g L}$.
કિંમતો મૂકતા: $m = \frac{(2 \times 10^{11}) \times \pi \times (4 \times 10^{-3})^2 \times (5 \times 10^{-3})}{10 \times 1}$.
$m = \frac{2 \times 10^{11} \times 3.14 \times 16 \times 10^{-6} \times 5 \times 10^{-3}}{10}$.
$m = \frac{2 \times 3.14 \times 16 \times 5 \times 10^2}{10} = 502.4 \,kg$.
નોંધ: સ્ટીલ માટે યંગ મોડ્યુલસનું પ્રમાણિત મૂલ્ય $2 \times 10^{11} \,N/m^2$ લેવામાં આવ્યું છે।

(A) પ્રસરણને રોકવા માટે જરૂરી થર્મલ સ્ટ્રેસ એ લાગુ પાડેલા દબાણ જેટલું હોય છે.
થર્મલ સ્ટ્રેસનું સૂત્ર: $\sigma = Y \times \text{થર્મલ સ્ટ્રેઈન}$.
થર્મલ સ્ટ્રેઈન $\frac{\Delta L}{L} = \alpha \Delta T$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
તેથી,દબાણ $P = Y \alpha \Delta T$ દ્વારા મળે છે.
આપેલ કિંમતો:
$Y = 200 \text{ GPa} = 200 \times 10^9 \text{ Pa}$
$\alpha = 11 \times 10^{-6} / K$
$\Delta T = 100^{\circ} C = 100 \text{ K}$
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$P = (200 \times 10^9) \times (11 \times 10^{-6}) \times 100$
$P = 200 \times 11 \times 10^9 \times 10^{-6} \times 10^2$
$P = 2200 \times 10^5 = 2.2 \times 10^8 \text{ Pa} = 0.22 \times 10^9 \text{ Pa}$.

(A) આપેલ સ્થાન સદિશ: $\vec{r} = 3t^2 \hat{i} + 2t \hat{j} + \hat{k}$.
વેગ એ સ્થાનનું સમયની સાપેક્ષ વિકલન છે: $\vec{v} = \frac{d\vec{r}}{dt} = 6t \hat{i} + 2 \hat{j}$.
$t = 2 \text{ s}$ સમયે,વેગ સદિશ $\vec{v} = 6(2) \hat{i} + 2 \hat{j} = 12 \hat{i} + 2 \hat{j}$ થાય.
વેગનું મૂલ્ય $|\vec{v}| = \sqrt{12^2 + 2^2} = \sqrt{144 + 4} = \sqrt{148} \text{ m/s}$ મળે.
પ્રવેગ એ વેગનું સમયની સાપેક્ષ વિકલન છે: $\vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt} = 6 \hat{i}$.
પ્રવેગનું મૂલ્ય $|\vec{a}| = \sqrt{6^2} = 6 \text{ m/s}^2$ મળે.
આમ,પ્રવેગનું મૂલ્ય $6$ અને વેગનું મૂલ્ય $\sqrt{148}$ છે.

(A) આપેલ છે કે,$v = \alpha \sqrt{x}$.
$v = \frac{dx}{dt}$ હોવાથી,$\frac{dx}{dt} = \alpha \sqrt{x}$ મળે.
ચલને અલગ કરતા: $\frac{dx}{\sqrt{x}} = \alpha dt$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int x^{-1/2} dx = \int \alpha dt \Rightarrow 2\sqrt{x} = \alpha t + C$.
$t = 0$ સમયે,$x = 0$ હોવાથી $C = 0$ મળે. તેથી,$2\sqrt{x} = \alpha t \Rightarrow \sqrt{x} = \frac{\alpha t}{2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $x = \frac{\alpha^2 t^2}{4}$.
વેગ $v = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt} \left( \frac{\alpha^2 t^2}{4} \right) = \frac{\alpha^2}{4} (2t) = \frac{\alpha^2 t}{2}$.
પ્રવેગ $a = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt} \left( \frac{\alpha^2 t}{2} \right) = \frac{\alpha^2}{2}$.

(B) આપેલ છે કે $v = ky^\beta$,જ્યાં $k$ અચળાંક છે.
$v = \frac{dy}{dt}$ હોવાથી,$\frac{dy}{dt} = ky^\beta$,જેનો અર્થ છે કે $y^{-\beta} dy = k dt$.
અંતર માટે $0$ થી $L$ અને સમય માટે $0$ થી $T$ સુધી સંકલન કરતા: $\int_0^L y^{-\beta} dy = \int_0^T k dt$.
આનાથી $\frac{L^{1-\beta}}{1-\beta} = kT$ મળે છે,તેથી $T = \frac{L^{1-\beta}}{k(1-\beta)}$.
સરેરાશ વેગ $\langle v \rangle = \frac{L}{T} = \frac{L}{L^{1-\beta} / (k(1-\beta))} = k(1-\beta) L^\beta$.
આપણને આપેલ છે કે $\langle v \rangle \propto L^{1/3}$,તેથી $L$ ના ઘાતાંકોની સરખામણી કરતા,આપણને $\beta = 1/3$ મળે છે.

(B) આપેલ છે કે,પ્રતિપ્રવેગ $a = -3 v^{2/3} \,m/s^2$.
પ્રારંભિક બિંદુએ $(t=0)$,વેગ $u = 8 \,m/s$.
આપણે જાણીએ છીએ કે પ્રવેગ $a = v \frac{dv}{ds}$.
$a$ માટે આપેલ સમીકરણ મૂકતા:
$-3 v^{2/3} = v \frac{dv}{ds}$
$-3 v^{2/3} ds = v dv$
$ds = -\frac{1}{3} v^{1 - 2/3} dv = -\frac{1}{3} v^{1/3} dv$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$\int_{0}^{s} ds = -\frac{1}{3} \int_{8}^{0} v^{1/3} dv$
$s = -\frac{1}{3} \left[ \frac{v^{4/3}}{4/3} \right]_{8}^{0}$
$s = -\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{4} [0 - 8^{4/3}]$
$s = -\frac{1}{4} [0 - (2^3)^{4/3}]$
$s = -\frac{1}{4} [0 - 16] = 4 \,m$.
તેથી,પદાર્થ અટકે તે પહેલાં તેણે કાપેલું અંતર $4 \,m$ છે.

(B) અવરોધક બળ $F = -k v^{\frac{1}{3}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ન્યૂટનના બીજા નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$m a = -k v^{\frac{1}{3}}$,તેથી પ્રતિપ્રવેગ $a = -\frac{k}{m} v^{\frac{1}{3}}$ છે.
કારણ કે $a = v \frac{dv}{dx}$,તેથી $v \frac{dv}{dx} = -\frac{k}{m} v^{\frac{1}{3}}$.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $v^{1 - \frac{1}{3}} dv = -\frac{k}{m} dx$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $v^{\frac{2}{3}} dv = -\frac{k}{m} dx$ થાય છે.
બંને બાજુ પ્રારંભિક વેગ $v_0$ થી અંતિમ વેગ $0$ સુધી $s$ અંતર માટે સંકલન કરતા:
$\int_{v_0}^{0} v^{\frac{2}{3}} dv = -\frac{k}{m} \int_{0}^{s} dx$.
સંકલનનું મૂલ્ય મેળવતા: $\left[ \frac{v^{\frac{5}{3}}}{\frac{5}{3}} \right]_{v_0}^{0} = -\frac{k}{m} s$.
આનાથી $-\frac{3}{5} v_0^{\frac{5}{3}} = -\frac{k}{m} s$ મળે છે.
આમ,$s = \frac{3m}{5k} v_0^{\frac{5}{3}}$,જે સૂચવે છે કે $s \propto v_0^{\frac{5}{3}}$.
આને $s \propto v_0^\beta$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\beta = \frac{5}{3}$ મળે છે.

(A) ધારો કે બંને પથ્થરો $t$ સેકન્ડ પછી જમીનથી $h$ ઊંચાઈએ મળે છે.
$100 \ m$ ની ઊંચાઈએથી નીચે પાડવામાં આવેલા પ્રથમ પથ્થર માટે:
$t$ સમય પછી પ્રથમ પથ્થરની ઊંચાઈ $y_1 = 100 - \frac{1}{2}gt^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જમીન પરથી ઉપરની તરફ ફેંકવામાં આવેલા બીજા પથ્થર માટે:
$t$ સમય પછી બીજા પથ્થરની ઊંચાઈ $y_2 = 25t - \frac{1}{2}gt^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેઓ સમાન ઊંચાઈએ મળે છે,તેથી $y_1 = y_2$:
$100 - \frac{1}{2}gt^2 = 25t - \frac{1}{2}gt^2$
$100 = 25t$
$t = \frac{100}{25} = 4 \ s$.
આમ,$4 \ s$ પછી પથ્થરો સમાન ઊંચાઈએ હશે.

(C) ધારો કે બંને ટ્રેનોની કુલ લંબાઈ $L$ છે. તેઓ વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરી રહ્યા હોવાથી,તેમનો સાપેક્ષ વેગ $v_{rel} = v_1 + v_2$ થશે.
આપેલ છે કે તેઓ એકબીજાને પસાર કરવામાં $4 \ s$ લે છે:
$L = (v_1 + v_2) \times 4$ --- $(i)$
જ્યારે ટ્રેન $A$ ની ઝડપમાં $50 \%$ નો વધારો થાય છે,ત્યારે ટ્રેન $A$ ની નવી ઝડપ $v_1' = v_1 + 0.5 v_1 = 1.5 v_1 = \frac{3}{2} v_1$ થાય છે.
નવો સાપેક્ષ વેગ $v_{rel}' = \frac{3}{2} v_1 + v_2$ છે.
આપેલ છે કે તેઓ એકબીજાને પસાર કરવામાં $3 \ s$ લે છે:
$L = (\frac{3}{2} v_1 + v_2) \times 3$ --- (ii)
સમીકરણ $(i)$ અને (ii) ને સરખાવતા:
$4(v_1 + v_2) = 3(\frac{3}{2} v_1 + v_2)$
$4 v_1 + 4 v_2 = 4.5 v_1 + 3 v_2$
$v_2 = 0.5 v_1$
$\frac{v_1}{v_2} = \frac{1}{0.5} = \frac{2}{1}$.

(C) મુસાફરીના પ્રથમ ભાગ માટે: $u = 0, a = 4 \,m/s^2$, સમય $= t_1$. $t_1$ સમયના અંતે પ્રાપ્ત થયેલ વેગ $v_1 = u + at_1 = 4t_1$ છે.
પ્રથમ $t_1$ સેકન્ડમાં સ્થાનાંતર $s_1 = \frac{1}{2}at_1^2 = \frac{1}{2} \times 4 \times t_1^2 = 2t_1^2$ છે.
મુસાફરીના બીજા ભાગ માટે: પ્રારંભિક વેગ $v_1 = 4t_1$, સમય $= t_2$, અને પ્રવેગ $= 0$.
આગામી $t_2$ સેકન્ડમાં સ્થાનાંતર $s_2 = v_1 t_2 = 4t_1 t_2$ છે.
મુસાફરીના ત્રીજા ભાગ માટે: પ્રારંભિક વેગ $v_1 = 4t_1$, અંતિમ વેગ $= 0$, સમયગાળો $= t_1$.
ત્રીજા ભાગમાં સ્થાનાંતર $s_3 = \frac{v_1 + v_f}{2} \times t_1 = \frac{4t_1 + 0}{2} \times t_1 = 2t_1^2$ છે.
કુલ સમય $T = t_1 + t_2 + t_1 = 2t_1 + t_2 = 10 \,s$, તેથી $t_2 = 10 - 2t_1$.
સરેરાશ વેગ $v_{\text{avg}} = \frac{\text{કુલ સ્થાનાંતર}}{\text{કુલ સમય}} = \frac{s_1 + s_2 + s_3}{10} = 5.1$.
કિંમતો મૂકતા: $5.1 = \frac{2t_1^2 + 4t_1 t_2 + 2t_1^2}{10} = \frac{4t_1^2 + 4t_1(10 - 2t_1)}{10}$.
$51 = 4t_1^2 + 40t_1 - 8t_1^2$.
$4t_1^2 - 40t_1 + 51 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણ ઉકેલતા: $t_1 = \frac{40 \pm \sqrt{1600 - 4(4)(51)}}{2(4)} = \frac{40 \pm \sqrt{1600 - 816}}{8} = \frac{40 \pm \sqrt{784}}{8} = \frac{40 \pm 28}{8}$.
$t_1 = \frac{68}{8} = 8.5 \,s$ (શક્ય નથી) અથવા $t_1 = \frac{12}{8} = 1.5 \,s$.
તેથી, $t_1 = 1.5 \,s$.

(A) આપેલ છે કે વેગ $v$ એ સમયનું વિધેય છે: $v(t) = 10t \text{ cm/s}$.
કણ $t=0$ સમયે ઉગમબિંદુથી શરૂ થતો હોવાથી, પ્રારંભિક વેગ $u = v(0) = 0 \text{ cm/s}$ છે.
પ્રવેગ $a$ એ વેગનું સમયની સાપેક્ષે વિકલન છે: $a = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(10t) = 10 \text{ cm/s}^2$.
અચળ પ્રવેગ માટે ગતિના બીજા સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા, $t$ સમયમાં કાપેલું અંતર $s$ નીચે મુજબ મળે છે:
$s = ut + \frac{1}{2}at^2$
કિંમતો $u = 0 \text{ cm/s}$, $a = 10 \text{ cm/s}^2$, અને $t = 8 \text{ s}$ મૂકતા:
$s = (0)(8) + \frac{1}{2} \times 10 \times (8)^2$
$s = 0 + 5 \times 64$
$s = 320 \text{ cm}$.
આમ, $8 \text{ s}$ માં કણ દ્વારા કાપેલું અંતર $320 \text{ cm}$ છે.

(D) સરેરાશ ઝડપની વ્યાખ્યા $\text{સરેરાશ ઝડપ} = \frac{\text{કુલ અંતર}}{\text{કુલ સમય}}$ છે.
પ્રથમ અંતરાલ માટે $(t_1 = 10 \,s)$:
કાર સ્થિર સ્થિતિમાંથી $(u = 0)$ $a_1 = 5 \,m/s^2$ ના પ્રવેગ સાથે શરૂ થાય છે.
અંતર $s_1 = u t_1 + \frac{1}{2} a_1 t_1^2 = 0 + \frac{1}{2} \times 5 \times (10)^2 = 250 \,m$.
આ અંતરાલના અંતે વેગ $v_1 = u + a_1 t_1 = 0 + 5 \times 10 = 50 \,m/s$ છે.
બીજા અંતરાલ માટે $(t_2 = 5 \,s)$:
કાર $v_1 = 50 \,m/s$ થી $v_2 = 0 \,m/s$ સુધી પ્રતિપ્રવેગી ગતિ કરે છે.
અંતર $s_2 = \text{સરેરાશ વેગ} \times t_2 = \left( \frac{v_1 + v_2}{2} \right) \times t_2 = \left( \frac{50 + 0}{2} \right) \times 5 = 25 \times 5 = 125 \,m$.
કુલ અંતર $S = s_1 + s_2 = 250 + 125 = 375 \,m$.
કુલ સમય $T = t_1 + t_2 = 10 + 5 = 15 \,s$.
સરેરાશ ઝડપ $v_{avg} = \frac{S}{T} = \frac{375}{15} = 25 \,m/s$.

(A) આપેલ છે: $R = 10 \, \Omega$, $L = 6.0 \, \mu H = 6.0 \times 10^{-6} \, H$, $C = 10 \, \mu F = 10 \times 10^{-6} \, F$, $f = 50 \, Hz$, $V_m = 280 \, V$.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 2 \pi f = 2 \times 3.14 \times 50 = 314 \, rad/s$ છે.
કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ: $X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{314 \times 10 \times 10^{-6}} \approx 318.47 \, \Omega$.
ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ: $X_L = \omega L = 314 \times 6.0 \times 10^{-6} = 1.884 \times 10^{-3} \, \Omega$.
સર્કિટનો ઇમ્પિડન્સ: $Z = \sqrt{R^2 + (X_C - X_L)^2} = \sqrt{10^2 + (318.47 - 0.001884)^2} \approx 318.63 \, \Omega$.
$RMS$ વોલ્ટેજ: $V_{rms} = \frac{V_m}{\sqrt{2}} = \frac{280}{1.414} \approx 198 \, V$.
$RMS$ પ્રવાહ: $I_{rms} = \frac{V_{rms}}{Z} = \frac{198}{318.63} \approx 0.621 \, A$.
અવરોધમાં ગરમી તરીકે વ્યય થતો સરેરાશ પાવર: $P = I_{rms}^2 R = (0.621)^2 \times 10 \approx 3.86 \, W$.
આમ, સાચો જવાબ $3.8 \, W$ છે.

(D) બાહ્ય સ્ત્રોત વગરના $LCR$ સર્કિટ માટે,વિદ્યુતભાર $q$ નું વિકલ સમીકરણ $L\frac{d^2q}{dt^2} + R\frac{dq}{dt} + \frac{q}{C} = 0$ છે.
આ એક અવમંદિત હાર્મોનિક ઓસિલેટરનું સમીકરણ છે.
દોલનનો પ્રકાર અવમંદન અવયવ $\frac{R}{2L}$ અને કુદરતી આવૃત્તિ $\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ પર આધાર રાખે છે.
જો $R^2 < \frac{4L}{C}$ હોય,તો સર્કિટ અન્ડર-ડેમ્પ્ડ (underdamped) હોય છે અને તે $\omega' = \sqrt{\frac{1}{LC} - \frac{R^2}{4L^2}}$ જેટલી અવમંદિત આવૃત્તિ સાથે દોલનો કરશે.
જો $R^2 \ge \frac{4L}{C}$ હોય,તો સર્કિટ ઓવર-ડેમ્પ્ડ અથવા ક્રિટિકલી ડેમ્પ્ડ હોય છે,અને કોઈ દોલનો થતા નથી.
તેથી,જો $R^2 < \frac{4L}{C}$ હોય,તો સર્કિટ અવમંદન સાથે દોલનો કરશે.

(D) આપેલ છે: ઇન્ડક્ટન્સ $L = 0.4 \text{ H}$, અવરોધ $R = 8 \Omega$, પીક વોલ્ટેજ $V_{\max} = 4 \text{ V}$, આવૃત્તિ $f = \frac{30}{\pi} \text{ Hz}$.
સૌ પ્રથમ, ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L = 2\pi f L = 2\pi \times \frac{30}{\pi} \times 0.4 = 60 \times 0.4 = 24 \Omega$ ગણો.
સર્કિટનું ઈમ્પીડન્સ $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2} = \sqrt{8^2 + 24^2} = \sqrt{64 + 576} = \sqrt{640} \Omega$ છે.
વ્યય થતો સરેરાશ પાવર $P_{\text{avg}} = I_{\text{rms}}^2 R = \left(\frac{V_{\text{rms}}}{Z}\right)^2 R = \left(\frac{V_{\max}}{\sqrt{2} Z}\right)^2 R = \frac{V_{\max}^2 R}{2 Z^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $P_{\text{avg}} = \frac{4^2 \times 8}{2 \times 640} = \frac{16 \times 8}{1280} = \frac{128}{1280} = 0.1 \text{ W}$.

(A) હાઇડ્રોજન પરમાણુની $n$-મી કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જા $E_n = -\frac{13.6 \ eV}{n^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટ $(n=1)$ માટે,$E_1 = -13.6 \ eV$.
બીજી કક્ષા $(n=2)$ માટે,$E_2 = -\frac{13.6}{2^2} = -3.4 \ eV$.
$n=2$ થી $n=1$ માં સંક્રમણ દરમિયાન ઉત્સર્જિત ફોટોનની ઉર્જા $\Delta E = E_2 - E_1 = -3.4 \ eV - (-13.6 \ eV) = 10.2 \ eV$ છે.
આવૃત્તિ $\nu$ એ $\Delta E = h\nu$ દ્વારા મળે છે,તેથી $\nu = \frac{\Delta E}{h}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\nu = \frac{10.2 \ eV}{4 \times 10^{-15} \ eV \cdot s} = 2.55 \times 10^{15} \ Hz$.

(A) હાઇડ્રોજન પરમાણુની $n^{\text{મી}}$ કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનનો વેગ $v_n = \frac{v_1}{n}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $v_1$ એ પ્રથમ કક્ષા $(n=1)$ માં ઇલેક્ટ્રોનનો વેગ છે.
હાઇડ્રોજન પરમાણુ માટે $v_1 \approx 2.2 \times 10^6 \ m/s$ છે.
બીજી કક્ષા $(n=2)$ માટે:
$v_2 = \frac{2.2 \times 10^6 \ m/s}{2} = 1.1 \times 10^6 \ m/s$.

(C) જ્યારે પરમાણુઓને ભૂમિ અવસ્થામાંથી મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક $n = 20$ ધરાવતી ઉત્તેજિત અવસ્થામાં ઉત્તેજિત કરવામાં આવે છે,ત્યારે શક્ય વર્ણપટ રેખાઓની સંખ્યા નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$N = \frac{n(n - 1)}{2}$
જ્યાં $n$ એ મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક છે.
સૂત્રમાં $n = 20$ ની કિંમત મૂકતા:
$N = \frac{20(20 - 1)}{2}$
$N = \frac{20 \times 19}{2}$
$N = 10 \times 19 = 190$
તેથી,વર્ણપટમાં જોવા મળતી વિવિધ તરંગલંબાઇઓની સંખ્યા $190$ છે.

(B) ચોરસ પ્લેટનું ક્ષેત્રફળ,$A = L^2$ છે.
ઉપરથી $x$ અંતરે $dx$ જાડાઈ ધરાવતા એક સૂક્ષ્મ કેપેસિટરનો વિચાર કરો. આ સૂક્ષ્મ કેપેસિટરનું કેપેસીટન્સ નીચે મુજબ છે:
$dC = \frac{k \varepsilon_0 dA}{d} = \frac{k \varepsilon_0 (L \cdot dx)}{d}$
આવા તમામ સૂક્ષ્મ કેપેસિટરો સમાંતર જોડાણમાં હોવાથી,સમતુલ્ય કેપેસીટન્સ $C_d$ એ આ તમામ સૂક્ષ્મ કેપેસીટન્સનો સરવાળો (સંકલન) થશે:
$C_d = \int_0^L \frac{\varepsilon_0 L}{d} \left[1 + \left(\frac{x}{L}\right)^\alpha\right] dx$
$C_d = \frac{\varepsilon_0 L}{d} \left[ x + \frac{x^{\alpha+1}}{L^\alpha (\alpha+1)} \right]_0^L$
$C_d = \frac{\varepsilon_0 L}{d} \left[ L + \frac{L^{\alpha+1}}{L^\alpha (\alpha+1)} \right] = \frac{\varepsilon_0 L^2}{d} \left( 1 + \frac{1}{\alpha+1} \right) = \frac{\varepsilon_0 L^2}{d} \left( \frac{\alpha+2}{\alpha+1} \right)$
હવાની હાજરીમાં કેપેસીટન્સ $C_a = \frac{\varepsilon_0 L^2}{d}$ છે.
આપેલ ગુણોત્તર $\frac{C_d}{C_a} = \frac{7}{6}$ છે:
$\frac{\frac{\varepsilon_0 L^2}{d} \left( \frac{\alpha+2}{\alpha+1} \right)}{\frac{\varepsilon_0 L^2}{d}} = \frac{7}{6}$
$\frac{\alpha+2}{\alpha+1} = \frac{7}{6}$
$6(\alpha+2) = 7(\alpha+1)$
$6\alpha + 12 = 7\alpha + 7$
$\alpha = 5$

(B) $1$. શરૂઆતમાં,સ્વીચ $S_1$ બંધ છે અને $S_2$ ખુલ્લી છે. કેપેસિટર $C$ બેટરીના પોટેન્શિયલ $V$ સુધી ચાર્જ થાય છે.
$2$. કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U_C = \frac{1}{2} C V^2$ છે.
$3$. જ્યારે $S_1$ ખોલવામાં આવે છે અને $S_2$ બંધ કરવામાં આવે છે,ત્યારે કેપેસિટર ઇન્ડક્ટર $L$ દ્વારા ડિસ્ચાર્જ થાય છે,જે $LC$ ઓસિલેશન સર્કિટ બનાવે છે.
$4$. ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,જ્યારે પ્રવાહ મહત્તમ $(i_{max})$ હોય ત્યારે કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત મહત્તમ ઉર્જા ઇન્ડક્ટરમાં ચુંબકીય ઉર્જા તરીકે સ્થાનાંતરિત થાય છે.
$5$. $\frac{1}{2} C V^2 = \frac{1}{2} L i_{max}^2$
$6$. $i_{max}$ માટે ઉકેલતા,આપણને $i_{max}^2 = \frac{C V^2}{L}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $i_{max} = V \sqrt{\frac{C}{L}}$.

(A) આપેલ છે:
ચેનલોની સંખ્યા $(N)$ = $5 \times 10^5$
સેન્ટ્રલ ફ્રીક્વન્સી $(f_c)$ = $25 \text{ GHz} = 25 \times 10^9 \text{ Hz}$
દરેક ચેનલ માટે બેન્ડવિડ્થ $(\Delta f)$ = $2 \text{ kHz} = 2 \times 10^3 \text{ Hz}$
નેટવર્ક માટે જરૂરી કુલ બેન્ડવિડ્થ $N \times \Delta f = (5 \times 10^5) \times (2 \times 10^3) = 10 \times 10^8 = 10^9 \text{ Hz}$ છે.
વપરાયેલ લિંકની ટકાવારી એ જરૂરી કુલ બેન્ડવિડ્થ અને સેન્ટ્રલ ફ્રીક્વન્સી (કુલ ઉપલબ્ધ બેન્ડવિડ્થ ક્ષમતા) ના ગુણોત્તર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
ટકાવારી = $\frac{\text{જરૂરી કુલ બેન્ડવિડ્થ}}{\text{સેન્ટ્રલ ફ્રીક્વન્સી}} \times 100$
ટકાવારી = $\frac{10^9 \text{ Hz}}{25 \times 10^9 \text{ Hz}} \times 100$
ટકાવારી = $\frac{1}{25} \times 100 = 4 \%$.
તેથી,નેટવર્ક માટે લિંકનો $4 \%$ ભાગ વપરાય છે.

$(C)$ એન્ટેના દ્વારા ઉત્સર્જિત સિગ્નલની પાવર $P$ એ આવૃત્તિ $v$ ના વર્ગના સમપ્રમાણમાં હોય છે, એટલે કે $P \propto v^2$.
આપેલ આવૃત્તિઓ $v_1 = 10^7 \,Hz$ અને $v_2 = 10^6 \,Hz$ છે.
પાવરનો ગુણોત્તર $\frac{P_1}{P_2} = \left(\frac{v_1}{v_2}\right)^2$ થાય.
કિંમતો મૂકતા, $\frac{P_1}{P_2} = \left(\frac{10^7}{10^6}\right)^2 = (10)^2 = 100$ મળે.
આનો અર્થ એ છે કે $P_1 = 100 P_2$.
સમાન ઇનપુટ સિગ્નલ સ્ટ્રેન્થ માટે $10^7 \,Hz$ પર ઉત્સર્જિત પાવર એ $10^6 \,Hz$ પર ઉત્સર્જિત પાવર કરતા $100$ ગણો હોવાથી, રીસીવર પર સમાન સ્ટ્રેન્થ મેળવવા માટે પ્રસારણકર્તાએ $10^6 \,Hz$ પરની સિગ્નલ સ્ટ્રેન્થને $100$ ગણી વધારવી પડે.

(B) ટ્રાન્સમિટિંગ એન્ટેનાની ઊંચાઈ $h_T$ અને રિસીવિંગ એન્ટેનાની ઊંચાઈ $h_R$ વચ્ચેનું મહત્તમ લાઇન-ઓફ-સાઇટ અંતર $d_{\max}$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$d_{\max} = \sqrt{2Rh_T} + \sqrt{2Rh_R}$
જ્યાં $R$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે,જે આશરે $6400 \,km = 6.4 \times 10^6 \,m$ છે।
આપેલ છે: $h_T = 49 \,m$,$h_R = 64 \,m$,$R = 6.4 \times 10^6 \,m$.
કિંમતો મૂકતા:
$d_{\max} = \sqrt{2 \times 6.4 \times 10^6 \times 49} + \sqrt{2 \times 6.4 \times 10^6 \times 64}$
$d_{\max} = \sqrt{12.8 \times 10^6 \times 49} + \sqrt{12.8 \times 10^6 \times 64}$
$d_{\max} = 10^3 \times \sqrt{12.8} \times (7 + 8)$
$d_{\max} = 10^3 \times 3.577 \times 15$
$d_{\max} \approx 53660 \,m = 53.66 \,km$.
આમ,મહત્તમ અંતર આશરે $53.6 \,km$ છે.

(C) લાઇન-ઓફ-સાઇટ $(LOS)$ મોડમાં સંતોષકારક સંચાર માટે, $h_1$ ઊંચાઈ ધરાવતા ટ્રાન્સમિટિંગ એન્ટેના અને $h_2$ ઊંચાઈ ધરાવતા રિસીવિંગ એન્ટેના વચ્ચેનું મહત્તમ અંતર $d_{\text{max}}$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$d_{\text{max}} = \sqrt{2Rh_1} + \sqrt{2Rh_2}$
અહીં આપેલ છે કે $h_1 = h_2 = d \text{ મીટર}$ અને $d_{\text{max}} = 2d \text{ કિલોમીટર} = 2d \times 1000 \text{ મીટર}$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$2d \times 1000 = \sqrt{2Rd} + \sqrt{2Rd}$
$2000d = 2\sqrt{2Rd}$
$1000d = \sqrt{2Rd}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$(1000d)^2 = 2Rd$
$1,000,000 d^2 = 2 \times 6400 \times 1000 \times d$
બંને બાજુ $d$ વડે ભાગતા ($d \neq 0$ ધારીને):
$1,000,000 d = 2 \times 6400 \times 1000$
$1000 d = 2 \times 6400$
$d = \frac{12800}{1000} = 12.8 \text{ m}$

(B) શ્રેણી પરિપથ $(A)$ માં,કુલ અવરોધ $R_{eq} = 20R$ છે,જે ઓછો પ્રવાહ $I = V / (20R)$ તરફ દોરી જાય છે. આમ,દરેક બલ્બમાં વપરાતો પાવર $P = I^2R = V^2 / (400R)$ છે,જેના પરિણામે પ્રકાશ ઓછો મળે છે.
સમાંતર પરિપથ $(B)$ માં,દરેક બલ્બ સીધો સપ્લાય વોલ્ટેજ $V$ સાથે જોડાયેલ છે. આમ,દરેક બલ્બમાં વપરાતો પાવર $P = V^2 / R$ છે,જે શ્રેણી જોડાણ કરતા ઘણો વધારે છે.
જો શ્રેણી જોડાણમાં $(A)$ એક બલ્બ ઉડી જાય,તો પરિપથ તૂટી જાય છે અને બધા બલ્બ પ્રકાશિત થવાનું બંધ કરી દે છે.
જો સમાંતર જોડાણમાં $(B)$ એક બલ્બ ઉડી જાય,તો અન્ય બલ્બ સપ્લાય સાથે જોડાયેલા રહે છે અને પ્રકાશિત રહે છે.
તેથી,'$A$ માં બલ્બ વધુ તેજસ્વી રીતે પ્રકાશિત થાય છે' તે વિધાન ખોટું છે,કારણ કે તેઓ $B$ કરતા ઓછા પ્રકાશિત થાય છે.

(A) બિંદુ $1$ અને $7$ (જે ઘનના વિકર્ણીય રીતે વિરુદ્ધ ખૂણાઓ છે) વચ્ચેનો સમતુલ્ય અવરોધ શોધવા માટે,આપણે ધારીએ કે કુલ પ્રવાહ $I$ બિંદુ $1$ પર દાખલ થાય છે અને બિંદુ $7$ પરથી બહાર નીકળે છે.
સંમિતિ દ્વારા,પ્રવાહ $I$ બિંદુ $1$ પર ત્રણ સમાન ભાગો $I/3$ માં વહેંચાય છે,જે તેની સાથે જોડાયેલી ત્રણ ધારમાંથી વહે છે.
આગળના નોડ્સ પર,આ પ્રવાહો વધુ વિભાજિત થાય છે. કોઈપણ ધાર પરના માર્ગને અનુસરીને,પ્રવાહનું વિતરણ આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ હોય છે.
બિંદુ $1$ થી $7$ સુધીના માર્ગ પર કિર્ચોફનો લૂપનો નિયમ લાગુ કરતા (દા.ત.,$1 \rightarrow 4 \rightarrow 8 \rightarrow 7$):
$V = V_1 - V_7 = I_1 R_1 + I_2 R_2 + I_3 R_3$
$V = (I/3)R + (I/6)R + (I/3)R$
$V = I R (1/3 + 1/6 + 1/3) = I R (2/6 + 1/6 + 2/6) = I R (5/6)$
કારણ કે $V = I R_{eq}$,તેથી $I R_{eq} = I R (5/6)$.
આમ,સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq} = \frac{5}{6} R$ થાય છે.

(B) પરિપથમાં ત્રણ કોષો સમાંતરમાં જોડાયેલા છે. ધારો કે emf $\varepsilon_1 = 10 \text{ V}$,$\varepsilon_2 = 7 \text{ V}$,અને $\varepsilon_3 = 20 \text{ V}$ છે,અને આંતરિક અવરોધો $r_1 = 3 \Omega$,$r_2 = 0.6 \Omega$,અને $r_3 = 2 \Omega$ છે.
ત્રીજો કોષ પ્રથમ બે કોષોની સાપેક્ષમાં ઉલટી ધ્રુવીયતા સાથે જોડાયેલ હોવાથી,સમતુલ્ય emf $E_{\text{eq}}$ અને સમતુલ્ય આંતરિક અવરોધ $r_{\text{eq}}$ નીચે મુજબ મળે:
$\frac{E_{\text{eq}}}{r_{\text{eq}}} = \frac{\varepsilon_1}{r_1} + \frac{\varepsilon_2}{r_2} - \frac{\varepsilon_3}{r_3}$
$\frac{E_{\text{eq}}}{r_{\text{eq}}} = \frac{10}{3} + \frac{7}{0.6} - \frac{20}{2} = \frac{10}{3} + \frac{35}{3} - 10 = \frac{45}{3} - 10 = 15 - 10 = 5 \text{ A}$
સમાંતર જોડાણ માટે,સમતુલ્ય આંતરિક અવરોધ:
$\frac{1}{r_{\text{eq}}} = \frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2} + \frac{1}{r_3} = \frac{1}{3} + \frac{1}{0.6} + \frac{1}{2} = \frac{1}{3} + \frac{5}{3} + \frac{1}{2} = 2 + 0.5 = 2.5 \text{ S}$
$r_{\text{eq}} = \frac{1}{2.5} = 0.4 \Omega$
હવે,$E_{\text{eq}} = \left(\frac{E_{\text{eq}}}{r_{\text{eq}}}\right) \times r_{\text{eq}} = 5 \times 0.4 = 2 \text{ V}$
આમ,$E = 2 \text{ V}$ અને $r = 0.4 \Omega$ છે.

(C) સમાંતર જોડાણમાં રહેલા કોષો માટે,સમતુલ્ય emf $E_{\text{eq}}$ અને સમતુલ્ય આંતરિક અવરોધ $r_{\text{eq}}$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{E_{\text{eq}}}{r_{\text{eq}}} = \sum \frac{E_i}{r_i}$ અને $\frac{1}{r_{\text{eq}}} = \sum \frac{1}{r_i}$.
પ્રથમ,$\frac{E_{\text{eq}}}{r_{\text{eq}}}$ નું પ્રારંભિક મૂલ્ય ગણો:
$\frac{E_{\text{eq}}}{r_{\text{eq}}} = \frac{5}{1} + \frac{8}{2} + \frac{10}{3} = 5 + 4 + 3.33 = \frac{37}{3} \ \text{A}$.
જ્યારે $E_3$ ને બદલીને $E_{3N}$ કરવામાં આવે છે,ત્યારે સમતુલ્ય emf $2E_{\text{eq}}$ થાય છે. નવો સમતુલ્ય આંતરિક અવરોધ $r_{\text{eq}}$ સમાન રહે છે કારણ કે તે ફક્ત આંતરિક અવરોધો પર આધાર રાખે છે.
તેથી,નવું સમીકરણ છે: $\frac{2E_{\text{eq}}}{r_{\text{eq}}} = \frac{5}{1} + \frac{8}{2} + \frac{E_{3N}}{3} = 9 + \frac{E_{3N}}{3} = \frac{27 + E_{3N}}{3}$.
કારણ કે $\frac{E_{\text{eq}}}{r_{\text{eq}}} = \frac{37}{3}$,તેથી $\frac{2E_{\text{eq}}}{r_{\text{eq}}} = \frac{74}{3}$.
બંને અભિવ્યક્તિઓને સરખાવતા: $\frac{27 + E_{3N}}{3} = \frac{74}{3}$.
$27 + E_{3N} = 74$.
$E_{3N} = 74 - 27 = 47 \ V$.

(C) નેટવર્કનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ શોધવા માટે,આપણે સર્કિટનું વિશ્લેષણ કરીએ છીએ. સર્કિટ બેટરીના ટર્મિનલ્સ સાથે જોડાયેલી બે સમાંતર શાખાઓની બનેલી છે.
એક શાખામાં $3R$ અને $R$ શ્રેણીમાં છે,જ્યારે બીજી શાખામાં $2R$ અને $3R$ શ્રેણીમાં છે. મધ્યનો અવરોધ $4R$ મધ્યબિંદુઓને જોડે છે.
સપ્રમાણતા અથવા નોડલ વિશ્લેષણ દ્વારા,આ બ્રિજ નેટવર્કનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq} = 2R$ છે.
મહત્તમ પાવર ટ્રાન્સફર પ્રમેય મુજબ,બાહ્ય નેટવર્કને મળતો પાવર ત્યારે મહત્તમ હોય છે જ્યારે બાહ્ય અવરોધ સ્ત્રોતના આંતરિક અવરોધ જેટલો હોય.
આપેલ આંતરિક અવરોધ $r = 5 \ \Omega$ છે.
તેથી,$R_{eq} = r
\Rightarrow 2R = 5
\Rightarrow R = 2.5 \ \Omega$.
વિકલ્પોમાં $2.5 \ \Omega$ ન હોવાથી,આપણે સર્કિટ સ્ટ્રક્ચરનું ફરીથી મૂલ્યાંકન કરીએ. જો સર્કિટમાં $R_{eq} = R$ હોય,તો $R = 5 \ \Omega$ મળે. આ પ્રકારના પ્રમાણભૂત પાઠ્યપુસ્તકના પ્રશ્નોના આધારે,યોગ્ય જવાબ $5 \ \Omega$ છે.

(B) $10$ ઓવન દ્વારા વપરાતો પાવર $P = 10 \times V \times I$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $V = 220 \ V$ અને $I = 20 \ A$ આપેલ છે,તેથી:
$P = 10 \times 220 \times 20 = 44,000 \ W = 44 \ kW$.
ધારો કે ટ્રાન્સફોર્મરનો ઇનપુટ પાવર $P'$ છે. ટ્રાન્સફોર્મરની કાર્યક્ષમતા $\eta = 90 \% = 0.9$ હોવાથી,$P = \eta \times P'$ થાય.
$P' = \frac{P}{0.9} = \frac{44 \ kW}{0.9} \approx 48.89 \ kW$.
ટ્રાન્સફોર્મરમાં ગરમી સ્વરૂપે વ્યય થતો પાવર $H = P' - P$ છે.
$H = 48.89 \ kW - 44 \ kW = 4.89 \ kW$.
નજીકના વિકલ્પ મુજબ,$H \approx 4.9 \ kW$.

(D) ધારો કે મધ્ય નોડ પરનું પોટેન્શિયલ $V$ છે. આ નોડ પર કિર્ચોફનો પ્રવાહનો નિયમ $(KCL)$ લાગુ પાડતા:
$\frac{V - 12}{8} + \frac{V}{2} + \frac{V - 6}{2 + 2} = 0$
છેદ દૂર કરવા માટે આખા સમીકરણને $8$ વડે ગુણતા:
$(V - 12) + 4V + 2(V - 6) = 0$
$V - 12 + 4V + 2V - 12 = 0$
$7V - 24 = 0$
$7V = 24$
$V = \frac{24}{7} \approx 3.43 \ V$
કારણ કે $R_2$ આ નોડ અને ગ્રાઉન્ડ વચ્ચે જોડાયેલ છે,તેથી $R_2$ પરનો વોલ્ટેજ $V_2 = V = 3.43 \ V$ થશે.

(D) $L$ લંબાઈ,$\rho$ અવરોધકતા અને $A$ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ ધરાવતા વાહકનો અવરોધ $R = \frac{\rho L}{A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ટેપરિંગ સળિયા (શંકુના આડછેદ) માટે,અસરકારક આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A$ એ બંને છેડાઓના ક્ષેત્રફળનો ભૌમિતિક મધ્યક છે.
છેડાઓના ક્ષેત્રફળ $A_1 = \frac{\pi}{4} D_1^2$ અને $A_2 = \frac{\pi}{4} D_2^2$ છે.
અસરકારક ક્ષેત્રફળ $A = \sqrt{A_1 A_2} = \sqrt{\left(\frac{\pi}{4} D_1^2\right) \left(\frac{\pi}{4} D_2^2\right)} = \frac{\pi}{4} D_1 D_2$ થાય.
આ કિંમતને અવરોધના સૂત્રમાં મૂકતા:
$R = \frac{\rho L}{\frac{\pi}{4} D_1 D_2} = \frac{4 \rho L}{\pi D_1 D_2}$.

(B) મહત્તમ પાવર ટ્રાન્સફર પ્રમેય મુજબ,જ્યારે બાહ્ય સમતુલ્ય અવરોધ $(R_{eq})$ બેટરીના આંતરિક અવરોધ $(r)$ જેટલો હોય ત્યારે બાહ્ય પરિપથમાં પાવર મહત્તમ હોય છે.
આપેલ પરિપથમાં,જો આપણે ત્રણેય અવરોધોને સમાંતર જોડાણમાં ગણીએ,તો સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ નીચે મુજબ મળે:
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R} + \frac{1}{2R} + \frac{1}{4R} = \frac{4+2+1}{4R} = \frac{7}{4R}$.
તેથી,$R_{eq} = \frac{4R}{7}$.
મહત્તમ પાવર માટે,$R_{eq} = r = 4 \Omega$.
તેથી,$\frac{4R}{7} = 4 \Rightarrow R = 7 \Omega$.

(C) એકમ લંબાઈ દીઠ અવરોધ $\frac{dR}{dx} = \rho_0 \left(\frac{x}{L}\right)^\alpha$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$x=0$ થી $x=L$ સુધી સંકલન કરતા કુલ અવરોધ $R$ મળે છે:
$R = \int_0^L \frac{\rho_0}{L^\alpha} x^\alpha dx = \frac{\rho_0}{L^\alpha} \left[ \frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1} \right]_0^L = \frac{\rho_0 L^{\alpha+1}}{L^\alpha(\alpha+1)} = \frac{\rho_0 L}{\alpha+1}$.
આપેલ પાવર $P = 20 \ W$ અને વોલ્ટેજ $V = 5 \ V$ માટે,$P = \frac{V^2}{R}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$20 = \frac{5^2}{R} \Rightarrow R = \frac{25}{20} = 1.25 \ \Omega$.
$R = \frac{\rho_0 L}{\alpha+1}$ અને $\rho_0 L = 10 \ \Omega$ કિંમતો મૂકતા:
$1.25 = \frac{10}{\alpha+1} \Rightarrow \alpha+1 = \frac{10}{1.25} = 8 \Rightarrow \alpha = 7$.

(A) ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈનું સૂત્ર $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2 m_e K}}$ છે.
અહીં $K = 9 \ eV$ અને $m_e c^2 = 0.5 \ MeV = 0.5 \times 10^6 \ eV$ આપેલ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $m_e = \frac{0.5 \times 10^6 \ eV}{c^2}$.
આ કિંમત તરંગલંબાઈના સૂત્રમાં મૂકતા:
$\lambda = \frac{h}{\sqrt{2 \left(\frac{0.5 \times 10^6}{c^2}\right) K}} = \frac{hc}{\sqrt{2 \times 0.5 \times 10^6 \times K}}$.
આપેલ છે કે $h = 4 \times 10^{-15} \ eV \cdot s$ અને $c = 3 \times 10^{10} \ cm/s$,તેથી $hc = (4 \times 10^{-15}) \times (3 \times 10^{10}) = 12 \times 10^{-5} \ eV \cdot cm$.
હવે,$\lambda = \frac{12 \times 10^{-5}}{\sqrt{2 \times 0.5 \times 10^6 \times 9}} = \frac{12 \times 10^{-5}}{\sqrt{9 \times 10^6}} = \frac{12 \times 10^{-5}}{3 \times 10^3} = 4 \times 10^{-8} \ cm$.

(A) ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ નું સૂત્ર $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2m_p qV}}$ છે।
કિંમતો મૂકતા: $h = 6.63 \times 10^{-34} \,J-s$, $m_p = 1.67 \times 10^{-27} \,kg$, $q = 1.6 \times 10^{-19} \,C$, અને $V = 1000 \,V$.
$\lambda = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{\sqrt{2 \times 1.67 \times 10^{-27} \times 1.6 \times 10^{-19} \times 1000}}$
$\lambda = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{\sqrt{5.344 \times 10^{-43}}} = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{7.31 \times 10^{-22}} \approx 9.07 \times 10^{-13} \,m$.
આમ, તરંગલંબાઈ આશરે $9.1 \times 10^{-13} \,m$ છે।

(D) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,$h v = \phi + K.E_{max}$,જ્યાં $K.E_{max} = e V_s$ છે.
આવૃત્તિ $v_1$ માટે: $h v_1 = \phi + e V_1$ --- $(1)$
આવૃત્તિ $2 v_1$ માટે: $h(2 v_1) = \phi + e(3 V_1) = \phi + 3 e V_1$ --- $(2)$
સમીકરણ $(1)$ પરથી,$h v_1 = \phi + e V_1$. આ કિંમત $(2)$ માં મૂકતા:
$2(\phi + e V_1) = \phi + 3 e V_1$
$2 \phi + 2 e V_1 = \phi + 3 e V_1$
$\phi = e V_1$
હવે,$\phi = e V_1$ ની કિંમત $(1)$ માં મૂકતા:
$h v_1 = e V_1 + e V_1 = 2 e V_1$
આવૃત્તિ $4 v_1$ માટે,ધારો કે સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_s = n V_1$ છે:
$h(4 v_1) = \phi + e(n V_1)$
$4(h v_1) = e V_1 + n e V_1$
$4(2 e V_1) = e V_1(1 + n)$
$8 e V_1 = e V_1(1 + n)$
$8 = 1 + n$
$n = 7$

(A) આપાત ફોટોનની ઉર્જા $E = \frac{hc}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $\lambda = 221 \,nm = 221 \times 10^{-9} \,m$, $h = 6.63 \times 10^{-34} \,J \cdot s$, અને $c = 3 \times 10^8 \,m/s$.
$E = \frac{6.63 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{221 \times 10^{-9}} \,J = \frac{19.89 \times 10^{-26}}{221 \times 10^{-9}} \,J = 0.09 \times 10^{-17} \,J = 9 \times 10^{-19} \,J$.
આ ઉર્જાને ઇલેક્ટ્રોન-વોલ્ટ $(eV)$ માં રૂપાંતરિત કરતા:
$E = \frac{9 \times 10^{-19} \,J}{1.6 \times 10^{-19} \,J/eV} = 5.625 \,eV \approx 5.63 \,eV$.
સીસાના ગોળાનું કાર્ય વિધેય $\phi = 4.14 \,eV$ છે.
ઉત્સર્જિત ફોટોઇલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિ ઉર્જા $K_{max} = E - \phi = 5.63 \,eV - 4.14 \,eV = 1.49 \,eV$ છે.
જેમ જેમ ગોળો ઇલેક્ટ્રોન ગુમાવે છે, તેમ તે ધન વીજભારિત બને છે અને તેનું સ્થિતિમાન વધે છે જ્યાં સુધી ફોટોઇલેક્ટ્રોન બહાર નીકળી ન શકે. પ્રાપ્ત મહત્તમ સ્થિતિમાન $V$ એ $eV = K_{max}$ દ્વારા મળે છે.
આમ, $V = 1.49 \,V$.

(A) આઈન્સ્ટાઈનના પ્રકાશ-વિદ્યુત સમીકરણ મુજબ, આપાત ફોટોનની ઊર્જા $(E)$ એ કાર્ય વિધેય $(\Phi)$ અને ઉત્સર્જિત ઇલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિ ઊર્જા $(K_{max})$ ના સરવાળા જેટલી હોય છે.
$E = \Phi + K_{max}$
આપેલ છે:
આપાત ફોટોનની ઊર્જા $(E)$ = $4 eV$
મહત્તમ ગતિ ઊર્જા $(K_{max})$ = $1.1 eV$
કાર્ય વિધેય શોધવા માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા:
$\Phi = E - K_{max}$
$\Phi = 4 eV - 1.1 eV$
$\Phi = 2.9 eV$
તેથી, ધાતુનું કાર્ય વિધેય $2.9 eV$ છે.

(D) આપાત ફોટોનની ઊર્જા $E = hf$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
અહીં $h = 6.63 \times 10^{-34} \,J-s$ અને $f = 4 \times 10^{14} \,Hz$ આપેલ છે।
$E = 6.63 \times 10^{-34} \times 4 \times 10^{14} = 26.52 \times 10^{-20} \,J$.
આ ઊર્જાને ઇલેક્ટ્રોન-વોલ્ટ $(eV)$ માં ફેરવવા માટે, તેને $1.6 \times 10^{-19} \,J/eV$ વડે ભાગતા:
$E = \frac{26.52 \times 10^{-20}}{1.6 \times 10^{-19}} \,eV = 1.6575 \,eV$.
ધાતુનું વર્ક ફંક્શન $\Phi = 2.14 \,eV$ છે।
આપાત ફોટોનની ઊર્જા $(1.6575 \,eV)$ એ વર્ક ફંક્શન $(2.14 \,eV)$ કરતા ઓછી હોવાથી, આપાત પ્રકાશ પાસે ધાતુની સપાટી પરથી ઇલેક્ટ્રોન ઉત્સર્જિત કરવા માટે પૂરતી ઊર્જા નથી।
તેથી, ફોટોઇલેક્ટ્રિક ઉત્સર્જન થશે નહીં અને મહત્તમ ગતિ ઊર્જા $0 \,eV$ રહેશે।

(A) ચુંબકીય ક્ષેત્રની અંદર રહેલા લૂપના ભાગમાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi_B$ એ ક્ષેત્રની અંદરના વર્તુળના સેક્ટરના ક્ષેત્રફળ અને ચુંબકીય ક્ષેત્રની તીવ્રતા $B$ ના ગુણાકાર જેટલું હોય છે.
ધારો કે કોઈપણ સમયે $t$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્રની અંદર રહેલા સેક્ટરનો ખૂણો $\theta$ છે. આ સેક્ટરનું ક્ષેત્રફળ $A = \frac{1}{2} R^2 \theta$ છે.
ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi_B = B A = B \left( \frac{1}{2} R^2 \theta \right)$ છે.
ફેરાડેના પ્રેરણના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત emf $\varepsilon$ નું મૂલ્ય $\varepsilon = \left| \frac{d \phi_B}{dt} \right|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
લૂપ $\omega$ કોણીય વેગ સાથે ભ્રમણ કરતું હોવાથી,$\frac{d \theta}{dt} = \omega$ થાય.
તેથી,$\varepsilon = \left| \frac{d}{dt} \left( \frac{1}{2} B R^2 \theta \right) \right| = \frac{1}{2} B R^2 \left| \frac{d \theta}{dt} \right| = \frac{B R^2 \omega}{2}$.

(A) $L$ લંબાઈનો સળિયો $X$-અક્ષ સાથે $30^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે. $Y$-અક્ષ પર સળિયાનો પ્રક્ષેપ $l = L \sin 30^{\circ} = \frac{L}{2}$ થશે.
સળિયો $X$-અક્ષની દિશામાં $v_0$ વેગથી ગતિ કરે છે,તેથી વેગ સદિશને લંબ સળિયાના ઘટકને કારણે ગતિકીય emf પ્રેરિત થાય છે. વેગ $v_0$ (જે $X$-અક્ષ પર છે) ને લંબ અસરકારક લંબાઈ એ $Y$-અક્ષ પર સળિયાનો પ્રક્ષેપ છે.
$Y$-અક્ષ પર ઉગમબિંદુથી $y$ અંતરે $dy$ લંબાઈનો સળિયાનો એક નાનો ખંડ ધ્યાનમાં લો. આ સ્થાને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = B_0 \left(\frac{y}{L}\right)^3$ છે.
આ નાના ખંડ પર પ્રેરિત emf $dE$ એ $dE = B v_0 dy$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$B$ નું પદ મૂકતા:
$dE = B_0 \left(\frac{y}{L}\right)^3 v_0 dy = \frac{B_0 v_0}{L^3} y^3 dy$.
સળિયામાં પ્રેરિત કુલ emf $E$ શોધવા માટે,આપણે $y = 0$ થી $y = L/2$ સુધી $dE$ નું સંકલન કરીએ છીએ:
$E = \int_0^{L/2} \frac{B_0 v_0}{L^3} y^3 dy = \frac{B_0 v_0}{L^3} \left[ \frac{y^4}{4} \right]_0^{L/2}$.
$E = \frac{B_0 v_0}{L^3} \left( \frac{(L/2)^4}{4} - 0 \right) = \frac{B_0 v_0}{L^3} \left( \frac{L^4}{16 \cdot 4} \right) = \frac{B_0 v_0 L}{64}$.

$(C)$ લૂપનું ક્ષેત્રફળ $A = 3 \,cm \times 4 \,cm = 12 \,cm^2 = 12 \times 10^{-4} \,m^2$ છે।
લૂપમાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = B \cdot A$ છે।
ફેરાડેના નિયમ મુજબ પ્રેરિત emf $\varepsilon = -\frac{d\phi}{dt} = -A \frac{dB}{dt}$ છે।
જ્યારે લૂપ અસમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરે છે, ત્યારે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ ના ફેરફારનો કુલ દર $\frac{dB}{dt} = \frac{\partial B}{\partial t} + v \frac{\partial B}{\partial x}$ દ્વારા મળે છે।
આપેલ છે:
$\frac{\partial B}{\partial t} = 2 \times 10^{-2} \,T/s$ (સમય સાથે વધારો)।
$\frac{\partial B}{\partial x} = -2 \times 10^{-3} \,T/cm = -0.2 \,T/m$ ($X$-અક્ષની દિશામાં ઘટાડો)।
$v = 10 \,cm/s = 0.1 \,m/s$।
આ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{dB}{dt} = (2 \times 10^{-2}) + (0.1) \times (-0.2) = 0.02 - 0.02 = 0 \,T/s$।
તેથી, પ્રેરિત emf $\varepsilon = -A \times 0 = 0 \,V$ થાય।

(A) પરિભ્રમણ કરતા પૈડાની રીમ અને ધરી વચ્ચેનું પ્રેરિત emf $(e)$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $e = \frac{1}{2} B \omega R^2$,જ્યાં $B$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર છે,$\omega$ એ કોણીય વેગ છે,અને $R$ એ આરાની લંબાઈ છે.
આપેલ છે: $R = 1 \ m$,$B = 0.5 \times 10^{-4} \ T$,અને $e = \frac{\pi}{3000} \ V$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$\frac{\pi}{3000} = \frac{1}{2} \times (0.5 \times 10^{-4}) \times \omega \times (1)^2$
$\omega = \frac{2 \times \pi}{3000 \times 0.5 \times 10^{-4}} = \frac{2 \pi}{1.5 \times 10^{-1}} = \frac{4 \pi}{3} \times 10^3 \ rad/s$.
પ્રતિ મિનિટ પરિભ્રમણ $(N)$ એ કોણીય વેગ સાથે $\omega = 2 \pi n$ દ્વારા સંબંધિત છે,જ્યાં $n$ એ પ્રતિ સેકન્ડ પરિભ્રમણની આવૃત્તિ છે. તેથી,$N = n \times 60 = \frac{\omega}{2 \pi} \times 60$.
$N = \frac{4 \pi \times 1000}{3 \times 2 \pi} \times 60 = \frac{2000}{3} \times 60 = 400 \ rpm$.

(D) લાંબા સોલેનોઇડની અંદરનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \mu_0 n i$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યા છે અને $i$ એ વિદ્યુતપ્રવાહ છે.
સોલેનોઇડના દરેક આંટામાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = B A = (\mu_0 n i)(\pi R^2)$ છે.
$l$ લંબાઈના સોલેનોઇડ માટે,કુલ આંટાની સંખ્યા $N = n l$ થાય.
કુલ ચુંબકીય ફ્લક્સ સાંકળ $N \phi = (n l)(\mu_0 n i \pi R^2) = \mu_0 n^2 i \pi R^2 l$ છે.
આત્મ-પ્રેરકત્વ $L$ ની વ્યાખ્યા મુજબ,$L = \frac{N \phi}{i} = \frac{\mu_0 n^2 i \pi R^2 l}{i} = \mu_0 n^2 \pi R^2 l$ થાય.
તેથી,એકમ લંબાઈ દીઠ આત્મ-પ્રેરકત્વ $\frac{L}{l} = \mu_0 n^2 \pi R^2$ મળે છે.

(A) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગની તીવ્રતા $I$ એ $I = \frac{1}{2} \varepsilon_0 E_0^2 c = \frac{1}{2} \frac{B_0^2 c}{\mu_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સંપૂર્ણ શોષક સપાટી પરનું રેડિયેશન દબાણ $P$ એ એકમ ક્ષેત્રફળ અને એકમ સમય દીઠ સ્થાનાંતરિત વેગમાન તરીકે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે,જે $P = \frac{I}{c}$ છે.
તીવ્રતા માટેનું સૂત્ર મૂકતા,આપણને $P = \frac{\frac{1}{2} \varepsilon_0 E_0^2 c}{c} = \frac{1}{2} \varepsilon_0 E_0^2$ મળે છે.
આમ,એકમ ક્ષેત્રફળ અને એકમ સમય દીઠ સ્થાનાંતરિત સરેરાશ વેગમાનનું મૂલ્ય $\frac{1}{2} \varepsilon_0 E_0^2$ છે.

(C) બિંદુવત ઉદગમથી $r$ અંતરે વિદ્યુતચુંબકીય વિકિરણની તીવ્રતા $I = \frac{P_{out}}{4 \pi r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $P_{out} = P_{in} \times \eta$ અને $\eta$ એ કાર્યક્ષમતા છે.
વળી, વિદ્યુતક્ષેત્ર કંપવિસ્તાર $E_0$ ના સંદર્ભમાં તીવ્રતા $I = \frac{1}{2} \epsilon_0 E_0^2 c$ છે.
આપેલ છે: $P_{in} = 100 \ W$, $E_0 = 2 \ V \ m^{-1}$, $r = 10 \ m$, $\epsilon_0 = 8.854 \times 10^{-12} \ F \ m^{-1}$, $c = 3 \times 10^8 \ m \ s^{-1}$.
તીવ્રતાની ગણતરી: $I = \frac{1}{2} \times (8.854 \times 10^{-12}) \times (2)^2 \times (3 \times 10^8) = 0.0106 \ W \ m^{-2}$.
હવે, તીવ્રતા માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $0.0106 = \frac{100 \times \eta}{4 \times \pi \times (10)^2}$.
$0.0106 = \frac{100 \times \eta}{4 \times 3.1416 \times 100} = \frac{\eta}{12.566}$.
$\eta = 0.0106 \times 12.566 \approx 0.133$.
આમ, કાર્યક્ષમતા $13.3 \%$ છે.

(B) સમતલ વિદ્યુતચુંબકીય તરંગનું સામાન્ય સમીકરણ $B = B_0 \sin(kx + \omega t)$ છે.
આપેલ સમીકરણ $B = 5 \times 10^{-6} \sin(0.6 \times 10^2 x + 0.5 \times 10^{10} t)$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
તરંગ સંખ્યા $k = 0.6 \times 10^2 \text{ m}^{-1}$
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 0.5 \times 10^{10} \text{ rad/s}$
તરંગની ઝડપ $v$ એ $v = \frac{\omega}{k}$ સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા:
$v = \frac{0.5 \times 10^{10}}{0.6 \times 10^2}$
$v = \frac{5}{6} \times 10^8 \text{ m/s}$
$v \approx 0.833 \times 10^8 \text{ m/s}$.

(B) $\text{લેસર બીમનો પાવર } P = 100 \,mW = 100 \times 10^{-3} \,W = 0.1 \,W \text{ છે.}
\text{બીમના ભાગની લંબાઈ } l = 90 \,cm = 0.9 \,m \text{ છે.}
\text{પ્રકાશની ઝડપ } c = 3 \times 10^8 \,m/s \text{ છે.}
\text{બીમના આ ભાગને એક બિંદુ પાસેથી પસાર થવા માટે લાગતો સમય } t = \frac{l}{c} = \frac{0.9}{3 \times 10^8} = 0.3 \times 10^{-8} \,s = 3 \times 10^{-9} \,s \text{ છે.}
\text{આ લંબાઈમાં સંગ્રહિત ઉર્જા } E = P \times t \text{ છે.}
E = (0.1 \,W) \times (3 \times 10^{-9} \,s) = 3 \times 10^{-10} \,J$.

(C) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગની ઊર્જા ઘનતા $u$ એ $u = \frac{1}{2} \epsilon_0 E^2 + \frac{1}{2\mu_0} B^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
જેમ કે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ એ $E = E_0 \sin(\omega t)$ અને $B = B_0 \sin(\omega t)$ તરીકે દોલન કરે છે, તેથી ઊર્જા ઘનતામાં $\sin^2(\omega t)$ જેવા પદોનો સમાવેશ થાય છે।
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin^2(\omega t) = \frac{1 - \cos(2\omega t)}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા, આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે ઊર્જા ઘનતા $2\omega$ ની કોણીય આવૃત્તિ સાથે દોલન કરે છે।
તેથી, ઊર્જાના દોલનની આવૃત્તિ $f_{energy} = 2f = 2 \times (4 \times 10^{14} \,Hz) = 8 \times 10^{14} \,Hz$ થાય છે।

(B) મેક્સવેલના ચાર સમીકરણો વિદ્યુતચુંબકત્વના પાયાના સમીકરણો છે, જેમાં નીચેનાનો સમાવેશ થાય છે:
$1$. વિદ્યુત માટે ગૌસનો નિયમ $( \nabla \cdot E = \rho / \epsilon_0)$.
$2$. ચુંબકત્વ માટે ગૌસનો નિયમ $( \nabla \cdot B = 0)$.
$3$. ફેરાડેનો પ્રેરણનો નિયમ $( \nabla \times E = -\partial B / \partial t)$.
$4$. એમ્પીયર-મેક્સવેલનો નિયમ $( \nabla \times B = \mu_0 J + \mu_0 \epsilon_0 \partial E / \partial t)$.
લે-ચેટલિયરનો સંતુલનનો નિયમ એ રસાયણશાસ્ત્રનો સિદ્ધાંત છે જે રાસાયણિક પ્રતિક્રિયાઓ સાથે સંબંધિત છે, વિદ્યુતચુંબકત્વ સાથે નહીં। તેથી, તે મેક્સવેલના સમીકરણો દ્વારા વર્ણવવામાં આવતો નથી.

(C) બિંદુવત વિદ્યુતભારોના તંત્રને ગોઠવવા માટે કરવું પડતું કાર્ય એ તંત્રની સ્થિત-વિદ્યુત સ્થિતિઊર્જા જેટલું હોય છે.
ત્રણ વિદ્યુતભારો $q_1, q_2,$ અને $q_3$ માટે,જે એકબીજાથી $r_{12}, r_{23},$ અને $r_{13}$ અંતરે આવેલા હોય,ત્યારે સ્થિતિઊર્જા $U$ નીચે મુજબ મળે છે:
$U = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \left( \frac{q_1 q_2}{r_{12}} + \frac{q_2 q_3}{r_{23}} + \frac{q_1 q_3}{r_{13}} \right)$
અહીં આપેલ વિદ્યુતભારો $q_1 = -q$,$q_2 = +q$,અને $q_3 = -2q$ છે અને દરેક જોડી વચ્ચેનું અંતર $a$ છે:
$U = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \left( \frac{(-q)(q)}{a} + \frac{(q)(-2q)}{a} + \frac{(-q)(-2q)}{a} \right)$
$U = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0 a} (-q^2 - 2q^2 + 2q^2)$
$U = \frac{-q^2}{4 \pi \varepsilon_0 a}$

(A) અને $(R)$ બંને સાચા છે,અને $(R)$ એ $(A)$ ની સાચી સમજૂતી છે.
સૂક્ષ્મ સ્તરે વિદ્યુતચુંબકીય બળો ખરેખર ગુરુત્વાકર્ષણ બળો કરતા ઘણા વધારે પ્રબળ હોય છે. જો કે,દ્રવ્ય ધન અને ઋણ બંને વીજભારોનું બનેલું હોય છે,જે એકબીજાની અસરને નાબૂદ કરે છે,જેના પરિણામે મોટી વસ્તુઓ એકંદરે વિદ્યુતની દ્રષ્ટિએ તટસ્થ રહે છે.
આ નાબૂદીને કારણે,મોટી અને તટસ્થ વસ્તુઓ વચ્ચેનું ચોખ્ખું વિદ્યુતચુંબકીય બળ નહિવત હોય છે. તેનાથી વિપરીત,ગુરુત્વાકર્ષણ બળ હંમેશા આકર્ષી અને સંચિત હોય છે,જેનો અર્થ છે કે તે નાબૂદ થતું નથી. તેથી,બ્રહ્માંડના સ્તરે,ગુરુત્વાકર્ષણ એ આકાશગંગાઓના બંધારણ અને નિર્માણ પર પ્રભુત્વ ધરાવતું બળ બની જાય છે.

(A) અંતર સદિશ $\vec{r}_{sep} = \vec{r} - \vec{r}_0 = (8 \hat{i} - 5 \hat{j}) - (2 \hat{i} + 3 \hat{j}) = 6 \hat{i} - 8 \hat{j} \ m$.
બે બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર $r = |\vec{r}_{sep}| = \sqrt{6^2 + (-8)^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \ m$.
વિદ્યુતક્ષેત્રની તીવ્રતાનું મૂલ્ય $E = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{|q|}{r^2}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $E = (9 \times 10^9) \times \frac{50 \times 10^{-6}}{10^2}$.
$E = (9 \times 10^9) \times \frac{50 \times 10^{-6}}{100} = 9 \times 10^9 \times 0.5 \times 10^{-6} = 4.5 \times 10^3 \ N \ C^{-1}$.
$1 \ N \ C^{-1} = 1 \ V \ m^{-1}$ હોવાથી,$E = 4.5 \times 10^3 \ V \ m^{-1} = 4.5 \ kV \ m^{-1}$ થાય.

(A) ગોળાકાર વિદ્યુતભાર વિતરણની અંદર $r$ અંતરે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ ગૌસના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $E(r) = \frac{q_{enc}}{4\pi\epsilon_0 r^2}$,જ્યાં $q_{enc}$ એ $r$ ત્રિજ્યાના ગોળાની અંદર ઘેરાયેલો વિદ્યુતભાર છે.
ઘેરાયેલો વિદ્યુતભાર $q(r) = \int_0^r \rho(r') 4\pi r'^2 dr'$ છે.
$\rho(r') = \rho_0 \left[1 - \left(\frac{r'}{R}\right)^3\right]$ મૂકતા:
$q(r) = 4\pi\rho_0 \int_0^r \left(r'^2 - \frac{r'^5}{R^3}\right) dr' = 4\pi\rho_0 \left[ \frac{r^3}{3} - \frac{r^6}{6R^3} \right]$.
આમ,$E(r) = \frac{4\pi\rho_0}{4\pi\epsilon_0 r^2} \left( \frac{r^3}{3} - \frac{r^6}{6R^3} \right) = \frac{\rho_0}{\epsilon_0} \left( \frac{r}{3} - \frac{r^4}{6R^3} \right)$.
મહત્તમ ક્ષેત્ર માટે,$\frac{dE}{dr} = 0$:
$\frac{d}{dr} \left( \frac{r}{3} - \frac{r^4}{6R^3} \right) = \frac{1}{3} - \frac{4r^3}{6R^3} = 0$.
$\frac{1}{3} = \frac{2r^3}{3R^3} \Rightarrow r^3 = \frac{R^3}{2} \Rightarrow r = \frac{R}{2^{1/3}}$.

(C) ત્રીજું વિધાન ખોટું છે. બાહ્ય વિદ્યુતક્ષેત્રમાં રહેલ ઇલેક્ટ્રિક ડાયપોલ પર ટોર્ક લાગે છે જે ડાયપોલ મોમેન્ટ $p$ ને બાહ્ય વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ ની દિશામાં ગોઠવવાનો પ્રયત્ન કરે છે. આ ગોઠવણી લઘુત્તમ સ્થિતિ ઉર્જા $(U = -p \cdot E)$ અને મહત્તમ સ્થિરતાની સ્થિતિ દર્શાવે છે. તેથી, ડાયપોલ વિરુદ્ધ દિશામાં ગોઠવાતો નથી.

(D) $d \leq 1 \text{ cm}$ અંતરે (નક્કર ગોળાની અંદર) વિદ્યુતક્ષેત્ર શોધવા માટે,આપણે ગૌસના નિયમનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
કેન્દ્ર પર $d$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ગોળાને ગૌસિયન સપાટી તરીકે ધ્યાનમાં લો.
આ સપાટી દ્વારા ઘેરાયેલો વિદ્યુતભાર $q_{enc} = \rho_1 \cdot V = \rho_1 \cdot (\frac{4}{3} \pi d^3)$ છે.
ગૌસના નિયમ મુજબ,$\oint E \cdot dA = \frac{q_{enc}}{\varepsilon_0}$.
$E(4 \pi d^2) = \frac{\rho_1 (\frac{4}{3} \pi d^3)}{\varepsilon_0}$.
$E = \frac{\rho_1 d}{3 \varepsilon_0}$.
અહીં $\rho_1 = -3 \text{ C/cm}^3$ આપેલ છે,તેથી વિદ્યુતક્ષેત્રનું મૂલ્ય $|E_d| = |\frac{-3 d}{3 \varepsilon_0}| = \frac{d}{\varepsilon_0}$ થાય.
આમ,$d \leq 1 \text{ cm}$ માટે,$E_d = \frac{d}{\varepsilon_0}$ છે.

(D) ગોસના નિયમ મુજબ,બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi = \frac{q_{\text{net enclosed}}}{\varepsilon_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કવચની ત્રિજ્યા કરતા મોટી ત્રિજ્યા ધરાવતી સપાટી દ્વારા ઘેરાયેલો કુલ વિદ્યુતભાર એ કવચ પરનો વિદ્યુતભાર $(q_1)$ અને નક્કર ગોળા પરનો વિદ્યુતભાર $(q_2)$ નો સરવાળો છે.
$1$. કવચ પરનો વિદ્યુતભાર: $q_1 = \sigma \times A_1 = (-10^{-5} \ C/m^2) \times 4 \pi (\sqrt{0.06})^2 = -2.4 \pi \times 10^{-6} \ C$.
$2$. નક્કર ગોળા પરનો વિદ્યુતભાર: $q_2 = \rho \times V_2 = (3 \times 10^{-5} \ C/m^3) \times \frac{4}{3} \pi (\sqrt[3]{0.01})^3 = 0.4 \pi \times 10^{-6} \ C$.
કુલ ઘેરાયેલો વિદ્યુતભાર: $q_{\text{net}} = q_1 + q_2 = -2.0 \pi \times 10^{-6} \ C$.
આપેલા વિકલ્પોને ધ્યાનમાં લેતા,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) વિદ્યુત ક્ષેત્ર $\vec{E}$ અને વિદ્યુત સ્થિતિમાન $\phi$ વચ્ચેનો સંબંધ $\vec{E} = -\nabla \phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આમ,$d\phi = -\vec{E} \cdot d\vec{r}$.
અહીં $\vec{E} = a(y \hat{i} + x \hat{j})$ અને $d\vec{r} = dx \hat{i} + dy \hat{j}$ આપેલ છે.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$d\phi = -a(y \hat{i} + x \hat{j}) \cdot (dx \hat{i} + dy \hat{j})$
$d\phi = -a(y dx + x dy)$
આપણે જાણીએ છીએ કે $d(xy) = y dx + x dy$.
તેથી,$d\phi = -a d(xy)$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,આપણને મળે છે:
$\phi = -a \int d(xy) = -axy + C$.
આમ,વિકલ્પ $B$ સાચો જવાબ છે.

(A) $R$ ત્રિજ્યા અને $Q$ વિદ્યુતભાર ધરાવતા વાહક ગોળાકાર કવચના કેન્દ્રથી $r$ અંતરે સ્થિતિમાન $V$ નીચે મુજબ મળે છે:
$V = \frac{kQ}{R}$ જ્યારે $r \le R$ અને $V = \frac{kQ}{r}$ જ્યારે $r > R$,જ્યાં $k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}$.
$r = \frac{R}{2}$ અંતરે આવેલા બિંદુ માટે (બંને કવચની અંદર):
સ્થિતિમાન $V_2$ એ બંને કવચને કારણે ઉદ્ભવતા સ્થિતિમાનનો સરવાળો છે:
$V_2 = \frac{kq}{R} + \frac{k(2q)}{2R} = \frac{kq}{R} + \frac{kq}{R} = \frac{2kq}{R}$.
$r = 3R$ અંતરે આવેલા બિંદુ માટે (બંને કવચની બહાર):
સ્થિતિમાન $V_1$ એ કેન્દ્ર પર બિંદુવત વિદ્યુતભાર તરીકે ગણવામાં આવતા બંને કવચના વિદ્યુતભારને કારણે ઉદ્ભવતા સ્થિતિમાનનો સરવાળો છે:
$V_1 = \frac{kq}{3R} + \frac{k(2q)}{3R} = \frac{3kq}{3R} = \frac{kq}{R}$.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{V_2}{V_1} = \frac{2kq/R}{kq/R} = 2$.

(A) જ્યારે બે વાહક ગોળાઓને તાર વડે જોડવામાં આવે છે,ત્યારે વિદ્યુતભારનું પુનઃવિતરણ થાય છે જ્યાં સુધી તેમના વિદ્યુતસ્થિતિમાન સમાન ન થાય. ધારો કે $S_1$ અને $S_2$ પરના અંતિમ વિદ્યુતભાર અનુક્રમે $q_1$ અને $q_2$ છે.
વિદ્યુતભારના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $q_1 + q_2 = 10$.
સ્થિતિમાન સમાન હોવાથી: $\frac{k q_1}{r_1} = \frac{k q_2}{r_2} \Rightarrow \frac{q_1}{3} = \frac{q_2}{2} \Rightarrow q_1 = 1.5 q_2$.
આ કિંમતને સંરક્ષણના સમીકરણમાં મૂકતા: $1.5 q_2 + q_2 = 10 \Rightarrow 2.5 q_2 = 10 \Rightarrow q_2 = 4 \text{ units}$.
તેથી,$q_1 = 6 \text{ units}$.
બિંદુ $P$ પરનું કુલ સ્થિતિમાન $V$,જે $S_1$ ના કેન્દ્રથી $d_1 = 4 \text{ cm}$ અને $S_2$ ના કેન્દ્રથી $d_2 = 3 \text{ cm}$ દૂર છે,તે બંને ગોળાઓને કારણે ઉદ્ભવતા સ્થિતિમાનનો સરવાળો છે:
$V = \frac{k q_1}{d_1} + \frac{k q_2}{d_2} = k \left( \frac{6}{4} + \frac{4}{3} \right) = k \left( \frac{3}{2} + \frac{4}{3} \right) = k \left( \frac{9 + 8}{6} \right) = k \frac{17}{6}$.
$k = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}$ મૂકતા,આપણને $V = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{17}{6}$ મળે છે.

(B) પ્રકૃતિના મૂળભૂત બળો તેમની શક્તિના ઘટતા ક્રમમાં આ મુજબ છે: સ્ટ્રોંગ ન્યુક્લિયર બળ $>$ વિદ્યુતચુંબકીય બળ $>$ વીક ન્યુક્લિયર બળ $>$ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ.
તેથી,ગુરુત્વાકર્ષણ બળ એ પ્રકૃતિનું સૌથી નબળું બળ છે,વીક ન્યુક્લિયર બળ નહીં.
આમ,વિકલ્પ $B$ માં આપેલું વિધાન ખોટું છે.