TS EAMCET 2018 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(D) રેખા $Ax+By+C=0$ પર ઉગમબિંદુમાંથી દોરેલા લંબનો ઢાળ $m = \frac{B}{A}$ છે.
રેખા $x+y+\sqrt{2}=0$ માટે,લંબનું સમીકરણ $x-y=0$ છે,તેથી તેનો ઢાળ $1$ છે. આમ,$\tan \alpha = 1$,એટલે કે $\alpha = \frac{5 \pi}{4}$.
રેખા $x-\sqrt{3}y-2=0$ માટે,લંબનું સમીકરણ $\sqrt{3}x+y=0$ છે,તેથી તેનો ઢાળ $-\sqrt{3}$ છે. આમ,$\tan \beta = -\sqrt{3}$,એટલે કે $\beta = \frac{5 \pi}{3}$.
સરવાળો $\alpha + \beta = \frac{5 \pi}{4} + \frac{5 \pi}{3} = \frac{15 \pi + 20 \pi}{12} = \frac{35 \pi}{12}$.

(C) $(1, -2)$ અને $(3, 2)$ માંથી પસાર થતી રેખાનો ઢાળ $m_1 = \frac{2 - (-2)}{3 - 1} = \frac{4}{2} = 2$ છે.
રેખા $x + 2y - 7 = 0$ નો ઢાળ $m_2 = -\frac{1}{2}$ છે.
અહીં $m_1 \times m_2 = 2 \times (-\frac{1}{2}) = -1$ હોવાથી,બંને રેખાઓ પરસ્પર લંબ છે.
તેથી,રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\frac{\pi}{2}$ છે.

(C) રેખાઓ $x+2ay+a=0$,$x+3by+b=0$ અને $x+4cy+c=0$ સંગામી છે જો તેમના સહગુણકોનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોય:
$\left|\begin{array}{lll}1 & 2a & a \\ 1 & 3b & b \\ 1 & 4c & c\end{array}\right|=0$
હારની પ્રક્રિયાઓ $R_1 \rightarrow R_1-R_2$ અને $R_2 \rightarrow R_2-R_3$ લાગુ પાડતા:
$\left|\begin{array}{ccc}0 & 2a-3b & a-b \\ 0 & 3b-4c & b-c \\ 1 & 4c & c\end{array}\right|=0$
પ્રથમ સ્તંભની સાપેક્ષે વિસ્તરણ કરતા:
$(2a-3b)(b-c) - (3b-4c)(a-b) = 0$
$2ab - 2ac - 3b^2 + 3bc - (3ab - 3b^2 - 4ac + 4bc) = 0$
$-ab - bc + 2ac = 0$
$2ac = ab + bc$
બંને બાજુને $abc$ વડે ભાગતા:
$\frac{2}{b} = \frac{1}{c} + \frac{1}{a}$
આ $a, b, c$ હરાત્મક શ્રેણી ($H$.$P$.) માં હોવાની શરત છે.

(C) ધારો કે જરૂરી રેખાનો ઢાળ $m$ છે.
રેખા $x+y+1=0$ એ ખૂણાનો દ્વિભાજક હોવાથી,દ્વિભાજક અને આપેલી રેખા $2x+3y-4=0$ વચ્ચેનો ખૂણો,દ્વિભાજક અને જરૂરી રેખા વચ્ચેના ખૂણા જેટલો જ હશે.
દ્વિભાજકનો ઢાળ $m_1 = -1$ છે. આપેલી રેખાનો ઢાળ $m_2 = -2/3$ છે.
દ્વિભાજક અને આપેલી રેખા વચ્ચેના ખૂણા $\theta$ માટે $\tan \theta = \left| \frac{-2/3 - (-1)}{1 + (-2/3)(-1)} \right| = \frac{1}{5}$.
હવે,જરૂરી રેખાનો ઢાળ $m$ લેતા,$\tan \theta = \left| \frac{m+1}{1-m} \right|$.
બંનેને સરખાવતા: $\left| \frac{m+1}{1-m} \right| = \frac{1}{5}$.
ઉકેલતા $m = -3/2$ મળે છે.
$x+y+1=0$ અને $2x+3y-4=0$ નું છેદબિંદુ $(-7, 6)$ છે.
ઢાળ $m = -3/2$ અને બિંદુ $(-7, 6)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ:
$y - 6 = -\frac{3}{2}(x + 7) \implies 3x + 2y + 9 = 0$.

(A) ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $A(1, 7)$,$B(-5, -1)$ અને $C(-1, 2)$ છે.
રેખા $AB$ નું સમીકરણ જે $(1, 7)$ અને $(-5, -1)$ માંથી પસાર થાય છે:
$y - 7 = \frac{-1 - 7}{-5 - 1}(x - 1)$ $\Rightarrow y - 7 = \frac{-8}{-6}(x - 1)$ $\Rightarrow y - 7 = \frac{4}{3}(x - 1)$
$3y - 21 = 4x - 4 \Rightarrow 4x - 3y + 17 = 0$.
રેખા $BC$ નું સમીકરણ જે $(-5, -1)$ અને $(-1, 2)$ માંથી પસાર થાય છે:
$y + 1 = \frac{2 - (-1)}{-1 - (-5)}(x + 5) \Rightarrow y + 1 = \frac{3}{4}(x + 5)$
$4y + 4 = 3x + 15 \Rightarrow 3x - 4y + 11 = 0$.
$\angle ABC$ ના ખૂણાના દ્વિભાજકનું સમીકરણ:
$\frac{4x - 3y + 17}{5} = \pm \frac{3x - 4y + 11}{5}$
કિસ્સો $1$: $4x - 3y + 17 = 3x - 4y + 11 \Rightarrow x + y + 6 = 0$.
કિસ્સો $2$: $4x - 3y + 17 = -(3x - 4y + 11)$ $\Rightarrow 4x - 3y + 17 = -3x + 4y - 11$ $\Rightarrow 7x - 7y + 28 = 0$ $\Rightarrow x - y + 4 = 0$.
વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,$x - y + 4 = 0$ એ સાચું સમીકરણ છે.

(B) ધારો કે બે પરસ્પર લંબ રેખાઓ $X$-અક્ષ અને $Y$-અક્ષ છે. બિંદુ $(x, y)$ છે.
બિંદુ $(x, y)$ નું $X$-અક્ષથી અંતર $|y|$ છે અને $Y$-અક્ષથી અંતર $|x|$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$|x| + |y| = 3$.
આ સમીકરણ એક ચોરસ દર્શાવે છે જેના શિરોબિંદુઓ $(3, 0), (0, 3), (-3, 0),$ અને $(0, -3)$ છે.
આ ચોરસની બાજુની લંબાઈ $(3, 0)$ અને $(0, 3)$ વચ્ચેનું અંતર છે,જે $\sqrt{(3-0)^2 + (0-3)^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18}$ છે.
ચોરસનું ક્ષેત્રફળ $(\text{બાજુ})^2 = (\sqrt{18})^2 = 18 \text{ ચોરસ એકમ}$ છે.

(C) ધારો કે ચલ બિંદુ $P(h, k)$ છે.
આપેલ છે કે $A(1, 2)$ અને $B(2, 1)$ છે અને $|PA-PB|=3$ છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા અને સાદુંરૂપ આપતા:
$2h - 2k - 9 = 6\sqrt{(h-2)^2+(k-1)^2}$.
ફરીથી બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$(2h-2k-9)^2 = 36((h-2)^2+(k-1)^2)$.
સાદુંરૂપ આપતા આપણને મળે છે:
$32h^2+32k^2+8hk-108h-108k+99=0$.
તેથી,$P$ નો બિંદુપથ $32x^2+8xy+32y^2-108x-108y+99=0$ છે.

(D) ધારો કે બિંદુ $P$ ના યામ $(h, k)$ છે.
$P$ એ $QR$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી:
$h = \frac{x_1 + 1}{2}$ અને $k = \frac{y_1 + 0}{2}$
તેથી $x_1 = 2h - 1$ અને $y_1 = 2k$ મળે.
બિંદુ $Q(x_1, y_1)$ એ વર્તુળ $x^2 + y^2 = 1$ પર હોવાથી,$x_1$ અને $y_1$ ની કિંમતો વર્તુળના સમીકરણમાં મૂકતા:
$(2h - 1)^2 + (2k)^2 = 1$
$4h^2 - 4h + 1 + 4k^2 = 1$
$4h^2 + 4k^2 - 4h = 0$
$4$ વડે ભાગતા,$h^2 + k^2 - h = 0$ મળે.
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુ $P$ નો બિંદુપથ $x^2 + y^2 - x = 0$ છે.

(A) ધારો કે બિંદુ $P$ ના યામ $(x, y)$ છે.
આપેલ છે કે $\triangle PAB$ નું ક્ષેત્રફળ $= 1$.
ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર: $\frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)| = 1$.
બિંદુઓ $P(x, y), A(-1, 2), B(1, -2)$ મૂકતા:
$\frac{1}{2} |x(2 - (-2)) + (-1)(-2 - y) + 1(y - 2)| = 1$
$\frac{1}{2} |4x + 2 + y + y - 2| = 1$
$\frac{1}{2} |4x + 2y| = 1$
$|2x + y| = 1$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$(2x + y)^2 = 1^2$
$4x^2 + 4xy + y^2 = 1$.

(A) ધારો કે ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી રેખાઓના સમીકરણો $y = m_1x$ અને $y = m_2x$ છે. આ રેખાઓ રેખા $3x + 4y - 5 = 0$ સાથે સમબાજુ ત્રિકોણ બનાવે છે,જેનો ઢાળ $m = -\frac{3}{4}$ છે.
ત્રિકોણ સમબાજુ હોવાથી,દરેક રેખા અને આપેલી રેખા વચ્ચેનો ખૂણો $60^{\circ}$ છે.
સૂત્ર $\tan \theta = \left| \frac{m - m_i}{1 + m \cdot m_i} \right|$ નો ઉપયોગ કરતા,$\sqrt{3} = \left| \frac{-\frac{3}{4} - m_i}{1 + (-\frac{3}{4})m_i} \right| = \left| \frac{-3 - 4m_i}{4 - 3m_i} \right|$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $3 = \frac{(3 + 4m_i)^2}{(4 - 3m_i)^2} \Rightarrow 11m_i^2 - 96m_i + 39 = 0$.
આમ,રેખાઓની જોડનું સમીકરણ $11y^2 - 96xy + 39x^2 = 0$ મળે છે.

(A) આપેલ સીધી રેખાઓની જોડી બિંદુ $(1,1)$ માંથી પસાર થાય છે.
ધારો કે રેખાઓના ઢાળ $m_1 = \tan \theta$ અને $m_2 = \tan(90^\circ - \theta) = \cot \theta$ છે.
રેખાઓના સમીકરણો $(y-1) = \tan \theta(x-1)$ અને $(y-1) = \cot \theta(x-1)$ છે.
સંયુક્ત સમીકરણ $[(y-1) - \tan \theta(x-1)][(y-1) - \cot \theta(x-1)] = 0$ છે.
આનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને $(y-1)^2 - (x-1)(y-1)(\tan \theta + \cot \theta) + (x-1)^2 = 0$ મળે છે.
સરળ બનાવતા,$x^2 + y^2 - (\tan \theta + \cot \theta)xy + (\tan \theta + \cot \theta - 2)x + (\tan \theta + \cot \theta - 2)y + (2 - (\tan \theta + \cot \theta)) = 0$ મળે છે.
આને આપેલ સમીકરણ $x^2 - (a+2)xy + y^2 + a(x+y-1) = 0$ સાથે સરખાવતા,$xy$ નો સહગુણક:
$\tan \theta + \cot \theta = a+2$.
$\tan \theta + \cot \theta = \frac{2}{\sin 2\theta}$ નો ઉપયોગ કરતા,
$\frac{2}{\sin 2\theta} = a+2$,જેનો અર્થ છે કે $\sin 2\theta = \frac{2}{a+2}$.
તેથી,$\theta = \frac{1}{2} \sin^{-1}\left(\frac{2}{a+2}\right)$.

(B) આપેલ રેખા $x+y-1=0$ છે,જેને $y = -x + 1$ તરીકે લખી શકાય. આ રેખાનો ઢાળ $m_1 = -1$ છે.
ધારો કે જરૂરી રેખાઓનો ઢાળ $m$ છે. આ રેખાઓ આપેલ રેખા સાથે $45^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે,તેથી આપણે સૂત્ર $\tan \theta = |\frac{m - m_1}{1 + m m_1}|$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
$\theta = 45^{\circ}$ અને $m_1 = -1$ મૂકતા:
$1 = |\frac{m - (-1)}{1 + m(-1)}| = |\frac{m+1}{1-m}|$.
આ બે કિસ્સાઓ આપે છે:
કિસ્સો $1$: $\frac{m+1}{1-m} = 1$ $\Rightarrow m+1 = 1-m$ $\Rightarrow 2m = 0$ $\Rightarrow m = 0$.
$(1, 1)$ માંથી પસાર થતી અને $m=0$ ઢાળ ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ $y-1 = 0(x-1) \Rightarrow y-1 = 0$ છે.
કિસ્સો $2$: $\frac{m+1}{1-m} = -1$ $\Rightarrow m+1 = -1+m$ $\Rightarrow 1 = -1$,જે અશક્ય છે. આ સૂચવે છે કે બીજી રેખા શિરોલંબ છે (ઢાળ અવ્યાખ્યાયિત છે).
$(1, 1)$ માંથી પસાર થતી શિરોલંબ રેખાનું સમીકરણ $x-1 = 0$ છે.
સંયુક્ત સમીકરણ $(y-1)(x-1) = 0$ છે,જેનું સાદું રૂપ $xy - x - y + 1 = 0$ થાય છે.

(D) વક્રનું સમીકરણ $x^2+xy+y^2+x+3y+1=0$ છે અને રેખા $x+y+2=0$ છે.
છેદબિંદુઓને ઉગમબિંદુ સાથે જોડતી રેખાઓ મેળવવા માટે,આપણે રેખાના સમીકરણ $\frac{x+y}{-2}=1$ નો ઉપયોગ કરીને વક્રના સમીકરણને સમઘાત બનાવીએ છીએ.
કિંમત મૂકતા:
$x^2+xy+y^2+(x+3y)(\frac{x+y}{-2}) + 1(\frac{x+y}{-2})^2 = 0$
છેદ દૂર કરવા માટે $4$ વડે ગુણતા:
$4x^2+4xy+4y^2 - 2(x^2+4xy+3y^2) + (x^2+2xy+y^2) = 0$
$4x^2+4xy+4y^2 - 2x^2-8xy-6y^2 + x^2+2xy+y^2 = 0$
$3x^2-2xy-y^2 = 0$
આ રેખાઓની જોડ $ax^2+2hxy+by^2=0$ છે,જ્યાં $a=3, h=-1, b=-1$.
ખૂણાના દ્વિભાજકોનું સમીકરણ $\frac{x^2-y^2}{a-b} = \frac{xy}{h}$ દ્વારા મળે છે.
$\frac{x^2-y^2}{3-(-1)} = \frac{xy}{-1}$
$\frac{x^2-y^2}{4} = \frac{xy}{-1}$
$-x^2+y^2 = 4xy$
$x^2+4xy-y^2 = 0$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) નવી સ્થિતિમાં રેખાઓ વચ્ચેના ખૂણાના દ્વિભાજકો તેમની જૂની સ્થિતિ વચ્ચેના ખૂણાના દ્વિભાજકો સમાન જ રહે છે.
તેથી,જરૂરી સમીકરણ:
$\frac{x^2-y^2}{1-(-1)} = \frac{xy}{-h}$
$\Rightarrow hx^2-hy^2 = -2xy$
$\Rightarrow hx^2-hy^2+2xy = 0$

(A) આપેલ રેખાઓની જોડી $6x^2+xy-y^2=0$ છે.
સમીકરણનું અવયવીકરણ કરતા: $6x^2+3xy-2xy-y^2=0$ $\Rightarrow 3x(2x+y)-y(2x+y)=0$ $\Rightarrow (3x-y)(2x+y)=0$.
તેથી,રેખાઓ $3x-y=0$ અને $2x+y=0$ છે.
કિસ્સો $1$: જો $3x-y=0$ સામાન્ય રેખા હોય,તો $y=3x$.
$y=3x$ ને $3x^2-axy-y^2=0$ માં મૂકતા:
$3x^2-ax(3x)-(3x)^2=0$ $\Rightarrow 3x^2-3ax^2-9x^2=0$ $\Rightarrow -3ax^2=6x^2$ $\Rightarrow a=-2$.
$a>0$ હોવાથી,આ કિસ્સો અસ્વીકાર્ય છે.
કિસ્સો $2$: જો $2x+y=0$ સામાન્ય રેખા હોય,તો $y=-2x$.
$y=-2x$ ને $3x^2-axy-y^2=0$ માં મૂકતા:
$3x^2-ax(-2x)-(-2x)^2=0$ $\Rightarrow 3x^2+2ax^2-4x^2=0$ $\Rightarrow 2ax^2=x^2$ $\Rightarrow 2a=1$ $\Rightarrow a=\frac{1}{2}$.
આમ,$a=\frac{1}{2}$.

(D) આપેલ રેખાઓની જોડી $x^2+4xy+3y^2-4x-10y+3=0$ છે.
$ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0$ સાથે સરખાવતા,$a=1, h=2, b=3, g=-2, f=-5, c=3$ મળે.
છેદબિંદુ $(x_0, y_0) = \left(\frac{bg-fh}{h^2-ab}, \frac{af-gh}{h^2-ab}\right)$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $x_0 = \frac{-6+10}{4-3} = 4$ અને $y_0 = \frac{-5+4}{1} = -1$.
છેદબિંદુ $(4, -1)$ છે.
ઢાળ $m_1 = \frac{1}{2}$ અને $(4, -1)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $x-2y-6=0$ છે.
ઢાળ $m_2 = -\frac{1}{3}$ અને $(4, -1)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $x+3y-1=0$ છે.
સંયુક્ત સમીકરણ $(x-2y-6)(x+3y-1) = 0$ છે.
વિસ્તરણ કરતા: $x^2+xy-6y^2-7x-16y+6=0$ મળે છે.

(D) આપેલ રેખાઓની જોડી $S = 3x^2+8xy-3y^2 = 0$ અને $S' = 3x^2+8xy-3y^2+2x-4y-1 = 0$ છે.
છેદબિંદુઓ $P = L_1 \cap L_3$ અને $Q = L_2 \cap L_4$ છે.
બંને રેખાઓની જોડીના છેદબિંદુઓમાંથી પસાર થતી રેખા $L$ એ $S' - S = 0$ દ્વારા મળે છે.
તેથી,$(3x^2+8xy-3y^2+2x-4y-1) - (3x^2+8xy-3y^2) = 0$.
આનું સાદું રૂપ $2x - 4y - 1 = 0$ થાય છે.
આ રેખા $L$ ના યામ અક્ષો પરના અંતઃખંડો $y=0$ અને $x=0$ મૂકીને મેળવી શકાય છે.
$y=0$ માટે,$2x = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{2}$. બિંદુ $(\frac{1}{2}, 0)$ છે.
$x=0$ માટે,$-4y = 1 \Rightarrow y = -\frac{1}{4}$. બિંદુ $(0, -\frac{1}{4})$ છે.
યામ અક્ષો સાથે બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \times |\text{પાયો}| \times |\text{વેધ}|$ છે.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times |\frac{1}{2}| \times |-\frac{1}{4}| = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{16}$ ચોરસ એકમ.

(A) આપેલ રેખાઓ $x+y-1=0$,$2x-y-c=0$ અને $bx+2by-c=0$ છે. જો આ રેખાઓ એક સામાન્ય બિંદુ ધરાવતી હોય,તો તે સંગામી છે. સંગામી હોવાની શરત મુજબ નિશ્ચાયક શૂન્ય થાય:
$\left|\begin{array}{ccc} 1 & 1 & -1 \\ 2 & -1 & -c \\ b & 2b & -c \end{array}\right| = 0$
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$1(c + 2bc) - 1(-2c + bc) - 1(4b + b) = 0$
$c + 2bc + 2c - bc - 5b = 0$
$3c + bc - 5b = 0$
$c(b+3) = 5b$
$c = \frac{5b}{b+3}$
$c < 1$ માટે:
$\frac{5b}{b+3} < 1 \Rightarrow \frac{5b}{b+3} - 1 < 0$
$\frac{5b - b - 3}{b+3} < 0 \Rightarrow \frac{4b - 3}{b+3} < 0$
વેવી કર્વ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરતા,અસમતા $b \in \left(-3, \frac{3}{4}\right)$ માટે સાચી છે.

(A) વર્તુળ $x^2+y^2-4x+6y-12=0$ ના સાપેક્ષ બિંદુ $A(7, -1/2)$ ની પોલર રેખા $T=0$ દ્વારા મળે છે:
$7x - (1/2)y - 2(x+7) + 3(y - 1/2) - 12 = 0$
$7x - 0.5y - 2x - 14 + 3y - 1.5 - 12 = 0$
$5x + 2.5y - 27.5 = 0$
$2/5$ વડે ગુણતા,$2x + y - 11 = 0$,એટલે કે $2x + y = 11$.
વર્તુળના અભિલંબ હંમેશા તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થાય છે,તેથી કેન્દ્ર $(h, k)$ એ બે અભિલંબનું છેદબિંદુ છે:
$x + 2y = 7$ $(i)$
$2x + y = 11$ (ii)
$(i)$ ને $2$ વડે ગુણતા: $2x + 4y = 14$.
તેમાંથી (ii) બાદ કરતા: $3y = 3 \Rightarrow y = 1$.
$(i)$ માં $y=1$ મૂકતા: $x + 2(1) = 7 \Rightarrow x = 5$.
તેથી,કેન્દ્ર $(5, 1)$ છે.
ત્રિજ્યા $r$ એ $(5, 1)$ થી $P(1, 3)$ સુધીનું અંતર છે:
$r^2 = (5-1)^2 + (1-3)^2 = 4^2 + (-2)^2 = 16 + 4 = 20$.
વર્તુળનું સમીકરણ $(x-5)^2 + (y-1)^2 = 20$ છે.
$x^2 - 10x + 25 + y^2 - 2y + 1 = 20$
$x^2 + y^2 - 10x - 2y + 6 = 0$.

(C) આપેલ વર્તુળોના સમીકરણો:
$x^2+y^2-14 x+6 y+33=0$ $(i)$
$x^2+y^2+30 x-2 y+1=0$ $(ii)$
વર્તુળ $(i)$ માટે,કેન્દ્ર $O_1(7, -3)$ અને ત્રિજ્યા $r_1 = \sqrt{7^2 + (-3)^2 - 33} = \sqrt{49+9-33} = \sqrt{25} = 5$ છે.
વર્તુળ $(ii)$ માટે,કેન્દ્ર $O_2(-15, 1)$ અને ત્રિજ્યા $r_2 = \sqrt{(-15)^2 + 1^2 - 1} = \sqrt{225+1-1} = \sqrt{225} = 15$ છે.
સમાનતાના કેન્દ્રો $C_1$ અને $C_2$ એ કેન્દ્રો $O_1$ અને $O_2$ ને જોડતા રેખાખંડનું તેમની ત્રિજ્યાઓના ગુણોત્તર $r_1 : r_2 = 5 : 15 = 1 : 3$ માં અંતઃવિભાજન અને બહિર્વિભાજન કરે છે.
અંતઃવિભાજન બિંદુ $C_1 = \left( \frac{1(-15) + 3(7)}{1+3}, \frac{1(1) + 3(-3)}{1+3} \right) = \left( \frac{-15+21}{4}, \frac{1-9}{4} \right) = \left( \frac{6}{4}, \frac{-8}{4} \right) = \left( \frac{3}{2}, -2 \right)$.
બહિર્વિભાજન બિંદુ $C_2 = \left( \frac{1(-15) - 3(7)}{1-3}, \frac{1(1) - 3(-3)}{1-3} \right) = \left( \frac{-15-21}{-2}, \frac{1+9}{-2} \right) = \left( \frac{-36}{-2}, \frac{10}{-2} \right) = (18, -5)$.
$C_1 C_2$ ને વ્યાસ તરીકે ધરાવતા વર્તુળનું સમીકરણ $(x - x_1)(x - x_2) + (y - y_1)(y - y_2) = 0$ છે.
યામો મૂકતા,$(x - \frac{3}{2})(x - 18) + (y + 2)(y + 5) = 0$ મળે.
$2$ વડે ગુણતા,$(2x - 3)(x - 18) + 2(y^2 + 7y + 10) = 0$ મળે.
$2x^2 - 36x - 3x + 54 + 2y^2 + 14y + 20 = 0$.
$2x^2 + 2y^2 - 39x + 14y + 74 = 0$.

(A) આપેલ રેખાઓ $L_1: x+ky-4=0$ અને $L_2: x+y-5=0$ છે.
વર્તુળનું સમીકરણ $(x-1)^2+(y-1)^2=3$ છે,જેનું સાદું રૂપ $x^2+y^2-2x-2y-1=0$ થાય છે.
અહીં $g=-1, f=-1, c=-1$ છે.
સંયુગ્મી રેખાઓની શરત મુજબ,$k=1$ મળે છે.

(C) વિધાન $I$: વર્તુળ $x^2+y^2-2x-4y+1=0$ માટે,$Y$-અક્ષ પરનો અંતઃખંડ $2\sqrt{f^2-c}$ દ્વારા મળે છે,જ્યાં $f = -2$ અને $c = 1$. આમ,અંતઃખંડ $2\sqrt{(-2)^2-1} = 2\sqrt{4-1} = 2\sqrt{3}$ છે. તેથી,વિધાન $I$ સાચું છે.
વિધાન $II$: વર્તુળ $x^2+y^2-4x-2y+6=0$ માટે,$X$-અક્ષ પરનો અંતઃખંડ $2\sqrt{g^2-c}$ દ્વારા મળે છે,જ્યાં $g = -2$ અને $c = 6$. આમ,અંતઃખંડ $2\sqrt{(-2)^2-6} = 2\sqrt{4-6} = 2\sqrt{-2}$ છે. વર્ગમૂળમાં કિંમત ઋણ હોવાથી,વર્તુળ $X$-અક્ષને છેદતું નથી. તેથી,વિધાન $II$ ખોટું છે.
વિધાન $III$: રેખા $y=2x+1$ અથવા $2x-y+1=0$ એ વર્તુળ $x^2+y^2=9$ ને બે ભિન્ન બિંદુઓમાં છેદે છે જો કેન્દ્ર $(0,0)$ થી રેખાનું લંબ અંતર $p$ એ ત્રિજ્યા $r=3$ કરતા ઓછું હોય. અહીં,$p = \frac{|2(0)-(0)+1|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$. કારણ કે $p = \frac{1}{\sqrt{5}} < 3$,રેખા વર્તુળને બે ભિન્ન બિંદુઓમાં છેદે છે. તેથી,વિધાન $III$ સાચું છે.
તેથી,$I$ સાચું,$II$ ખોટું અને $III$ સાચું છે. સાચો વિકલ્પ $(c)$ છે.

(C) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2+2x+4y-20=0$ છે. $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ સાથે સરખાવતા,$g=1, f=2, c=-20$ મળે છે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $C(-g, -f) = (-1, -2)$ અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{g^2+f^2-c} = \sqrt{1^2+2^2-(-20)} = \sqrt{25} = 5$ છે.
કેન્દ્ર $(-1, -2)$ થી રેખા $3x+4y-6=0$ નું લંબ અંતર $d = \frac{|3(-1)+4(-2)-6|}{\sqrt{3^2+4^2}} = \frac{|-3-8-6|}{5} = \frac{17}{5}$ છે.
જીવાની લંબાઈ $2\sqrt{r^2-d^2} = 2\sqrt{5^2 - (\frac{17}{5})^2} = 2\sqrt{25 - \frac{289}{25}} = 2\sqrt{\frac{625-289}{25}} = 2\sqrt{\frac{336}{25}} = 2 \times \frac{\sqrt{16 \times 21}}{5} = 2 \times \frac{4\sqrt{21}}{5} = \frac{8}{5}\sqrt{21}$ થાય.

(B) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2-6x-2y+1=0$ છે.
બિંદુ $(a, 4)$ વર્તુળ પર હોવાથી,$y=4$ ને વર્તુળના સમીકરણમાં મૂકતા:
$x^2+4^2-6x-2(4)+1=0$
$x^2-6x+9=0$
$(x-3)^2=0 \Rightarrow x=3$.
આમ,સ્પર્શક બિંદુ $(3, 4)$ છે,તેથી $a=3$.
વર્તુળ $x^2+y^2+2gx+2fy+c'=0$ માટે $(x_1, y_1)$ બિંદુએ સ્પર્શકનું સમીકરણ $xx_1+yy_1+g(x+x_1)+f(y+y_1)+c'=0$ છે.
અહીં,$g=-3, f=-1, c'=1$ અને $(x_1, y_1)=(3, 4)$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$x(3)+y(4)-3(x+3)-1(y+4)+1=0$
$3x+4y-3x-9-y-4+1=0$
$3y-12=0 \Rightarrow y-4=0$.
આને $y+c=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $c=-4$ મળે છે.
તેથી,$ac = 3 \times (-4) = -12$.

(D) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2-2x-4y-20=0$ છે.
કેન્દ્ર $A(1, 2)$ અને ત્રિજ્યા $r=5$ છે.
બિંદુ $B(1, 7)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $y=7$ મળે છે.
બિંદુ $D(4, -2)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $3x-4y=20$ મળે છે.
બંને સ્પર્શકોનું છેદબિંદુ $C(16, 7)$ છે.
ચતુષ્કોણ $ABCD$ એ બે કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle ABC$ અને $\triangle ADC$ નો બનેલો છે.
$\triangle ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times AB \times BC = \frac{1}{2} \times 5 \times 15 = 37.5$.
ચતુષ્કોણ $ABCD$ નું કુલ ક્ષેત્રફળ $= 2 \times 37.5 = 75$.

(C) અભિલંબનું સમીકરણ $x^2-3xy-3x+9y=0$ છે.
તેના અવયવ પાડતા,$x(x-3y)-3(x-3y)=0$,એટલે કે $(x-3y)(x-3)=0$.
આમ,બે અભિલંબ $x-3y=0$ અને $x=3$ છે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર આ બે અભિલંબનું છેદબિંદુ છે: $x=3$ અને $x=3y$,જે $y=1$ આપે છે.
તેથી,જરૂરી વર્તુળનું કેન્દ્ર $(3,1)$ છે.
આપેલ વર્તુળ $x^2+y^2-6x+6y+17=0$ છે.
તેનું કેન્દ્ર $(3,-3)$ છે અને ત્રિજ્યા $r_1 = \sqrt{3^2+(-3)^2-17} = \sqrt{9+9-17} = \sqrt{1} = 1$ છે.
વર્તુળો બહારથી સ્પર્શતા હોવાથી,કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર ત્રિજ્યાઓના સરવાળા જેટલું થાય: $r_1+r_2 = \sqrt{(3-3)^2+(1-(-3))^2} = \sqrt{0^2+4^2} = 4$.
$r_1=1$ મૂકતા,$1+r_2=4$,તેથી $r_2=3$.
કેન્દ્ર $(3,1)$ અને ત્રિજ્યા $3$ વાળા વર્તુળનું સમીકરણ $(x-3)^2+(y-1)^2=3^2$ છે.
આનું વિસ્તરણ કરતા,$x^2-6x+9+y^2-2y+1=9$,જેનું સાદું રૂપ $x^2+y^2-6x-2y+1=0$ મળે છે.

(A) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 - 6x - 4y + 4 = 0$ છે. તેનું કેન્દ્ર $C(3, 2)$ અને ત્રિજ્યા $r = 3$ છે.
સ્પર્શકો વચ્ચેનો ખૂણો $2\alpha$ ધારો. $\tan(2\alpha) = \frac{24}{7}$ હોવાથી,$\tan\alpha = 3/4$ મળે છે.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle PAC$ માં,$\sin\alpha = \frac{r}{CP} = \frac{3}{CP} = 3/5$,તેથી $CP = 5$.
બિંદુ $P(h, k)$ માટે $(h-3)^2 + (k-2)^2 = 25$ થાય.
રેખા $4h - 3k = 6$ પરથી $h = \frac{6 + 3k}{4}$ મૂકતા,$k^2 - 4k - 12 = 0$ મળે છે,જેના ઉકેલ $k = 6$ અથવા $k = -2$ છે.
તેથી $P$ ના યામ $(6, 6)$ અથવા $(0, -2)$ મળે છે.

(B) રેખા $L \equiv -mx+y-1=0$ એ વર્તુળ $S \equiv x^2+y^2-1=0$ ની જીવા છે અને તે વર્તુળ $S_1 \equiv x^2+y^2-4x+1=0$ ને સ્પર્શે છે.
$S_1$ નું કેન્દ્ર $(2, 0)$ છે અને તેની ત્રિજ્યા $r = \sqrt{2^2+0^2-1} = \sqrt{3}$ છે.
રેખા વર્તુળને સ્પર્શતી હોવાથી,કેન્દ્ર $(2, 0)$ થી રેખા $L$ નું લંબ અંતર ત્રિજ્યા $\sqrt{3}$ જેટલું થાય.
$\frac{|-m(2) + 0 - 1|}{\sqrt{(-m)^2 + 1^2}} = \sqrt{3}$
$\frac{|-2m-1|}{\sqrt{m^2+1}} = \sqrt{3}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{(2m+1)^2}{m^2+1} = 3$
$4m^2 + 4m + 1 = 3m^2 + 3$
$m^2 + 4m - 2 = 0$
$m$ માટે ઉકેલતા: $m = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 4(1)(-2)}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{24}}{2} = -2 \pm \sqrt{6}$.
$m$ ની કિંમત $L$ માં મૂકતા: $y - (-2 \pm \sqrt{6})x - 1 = 0$,જેનું સાદું રૂપ $y + (2 \mp \sqrt{6})x - 1 = 0$ થાય.
$S \equiv x^2+y^2-1=0$ ના સાપેક્ષમાં બિંદુ $(h, k)$ ની સ્પર્શક જીવાનું સમીકરણ $hx + ky - 1 = 0$ છે.
$hx + ky - 1 = 0$ ની સરખામણી $(2 \mp \sqrt{6})x + y - 1 = 0$ સાથે કરતા,આપણને $h = 2 \mp \sqrt{6}$ અને $k = 1$ મળે છે.
આમ,બિંદુ $(2 \pm \sqrt{6}, 1)$ છે.

(A) ધારો કે વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 + 2 g x + 2 f y + c = 0$ છે.
તે આપેલા વર્તુળોને લંબચ્છેદી હોવાથી,આપણે શરત $2 g g_1 + 2 f f_1 = c + c_1$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
$S_1: x^2 + y^2 - 2 x + 6 y = 0$ માટે,$-2 g + 6 f = c$ મળે.
$S_2: x^2 + y^2 - 4 x - 2 y + 6 = 0$ માટે,$-4 g - 2 f = c + 6$ મળે.
$S_3: x^2 + y^2 - 12 x + 2 y + 3 = 0$ માટે,$-12 g + 2 f = c + 3$ મળે.
આ સમીકરણો ઉકેલતા,આપણને $g = 0$,$f = -3/4$,અને $c = -9/2$ મળે છે.
વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 - 3/2 y - 9/2 = 0$ છે.
બિંદુ $(0, 3)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $x x_1 + y y_1 + g(x + x_1) + f(y + y_1) + c = 0$ દ્વારા મળે છે.
$(x_1, y_1) = (0, 3)$,$g = 0$,$f = -3/4$,અને $c = -9/2$ મૂકતા:
$x(0) + y(3) + 0(x + 0) - 3/4(y + 3) - 9/2 = 0$.
$3 y - 3/4 y - 9/4 - 18/4 = 0$.
$9/4 y = 27/4$.
$y = 3$.

(D) ધારો કે જરૂરી વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ છે.
તે $(1,0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $1^2+0^2+2g(1)+2f(0)+c=0$,જે $2g+c=-1$ આપે છે (સમીકરણ $1$).
વર્તુળ $x^2+y^2-2x+4y+1=0$ ને લંબ છે. લંબચ્છેદી હોવાની શરત $2g_1g_2+2f_1f_2=c_1+c_2$ મુજબ $-2g+4f=c+1$ (સમીકરણ $2$).
વર્તુળ $x^2+y^2+6x-2y+1=0$ ને પણ લંબ છે. આથી $6g-2f=c+1$ (સમીકરણ $3$).
સમીકરણ $3$ માંથી સમીકરણ $2$ બાદ કરતા $8g-6f=0$ મળે,એટલે કે $f = \frac{4}{3}g$.
આ કિંમત સમીકરણ $1$ અને $2$ માં મૂકતા $g=0, f=0, c=-1$ મળે છે.
તેથી,વર્તુળનું કેન્દ્ર $(-g, -f) = (0,0)$ છે.

(A) આપેલ વર્તુળ $C_1: x^2+y^2=16$ ની ત્રિજ્યા $r_1=4$ અને કેન્દ્ર $O_1(0,0)$ છે.
સામાન્ય જીવાની મહત્તમ લંબાઈ નાના વર્તુળનો વ્યાસ છે,જે $2r_1 = 8$ એકમ છે. આ જીવા $C_1$ ના કેન્દ્ર $O_1(0,0)$ માંથી પસાર થવી જોઈએ.
$m = \frac{3}{4}$ ઢાળવાળી અને $(0,0)$ માંથી પસાર થતી જીવાનું સમીકરણ $y = \frac{3}{4}x$ અથવા $3x - 4y = 0$ છે.
ધારો કે વર્તુળ $C_2$ નું કેન્દ્ર $O_2(h, k)$ છે. સામાન્ય જીવા $C_1$ નો વ્યાસ હોવાથી,કેન્દ્રોને જોડતી રેખા $O_1O_2$ સામાન્ય જીવાને લંબ હોય છે.
સામાન્ય જીવાનો ઢાળ $\frac{3}{4}$ છે,તેથી $O_1O_2$ રેખાનો ઢાળ $-\frac{4}{3}$ છે.
આમ,$O_2$ ના યામ $(3a, -4a)$ તરીકે લખી શકાય.
$O_1(0,0)$ થી જીવાનું અંતર $0$ છે. $O_2(3a, -4a)$ થી જીવા $3x - 4y = 0$ નું અંતર $d = \frac{|3(3a) - 4(-4a)|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \frac{|9a + 16a|}{5} = 5|a|$ છે.
$C_2$ ની ત્રિજ્યા $(R_2=5)$,અંતર $d$,અને જીવાની અડધી લંબાઈ $(4)$ દ્વારા બનતા કાટકોણ ત્રિકોણમાં,$R_2^2 = d^2 + 4^2$,તેથી $25 = d^2 + 16$,જે $d^2 = 9$ આપે છે,એટલે કે $d = 3$.
તેથી,$5|a| = 3 \Rightarrow |a| = \frac{3}{5}$.
જો $a = \frac{3}{5}$,તો $O_2 = \left(\frac{9}{5}, -\frac{12}{5}\right)$.
જો $a = -\frac{3}{5}$,તો $O_2 = \left(-\frac{9}{5}, \frac{12}{5}\right)$.
વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,$\left(-\frac{9}{5}, \frac{12}{5}\right)$ એ વિકલ્પ $A$ છે.

(A) ધારો કે $(h, k)$ એ સ્પર્શકોનું છેદબિંદુ છે. આ સ્પર્શકોની સ્પર્શજીવા એ બંને વર્તુળોની સામાન્ય જીવા છે.
બંને વર્તુળો $x^2+y^2=12$ અને $x^2+y^2-5x+3y-2=0$ ના સમીકરણોની બાદબાકી કરતા સામાન્ય જીવાનું સમીકરણ મળે છે:
$(x^2+y^2-5x+3y-2) - (x^2+y^2-12) = 0$
$-5x+3y+10=0$,જે $5x-3y-10=0$ તરીકે લખી શકાય.
બિંદુ $(h, k)$ ના સાપેક્ષમાં વર્તુળ $x^2+y^2=12$ ની સ્પર્શજીવાનું સમીકરણ $hx+ky=12$ અથવા $hx+ky-12=0$ છે.
બંને સમીકરણો એક જ રેખા દર્શાવતા હોવાથી,તેમના સહગુણકો પ્રમાણમાં હશે:
$\frac{h}{5} = \frac{k}{-3} = \frac{-12}{-10} = \frac{6}{5}$.
$k$ માટે ગુણોત્તર સરખાવતા:
$\frac{k}{-3} = \frac{6}{5} \Rightarrow k = -\frac{18}{5}$.
આમ,છેદબિંદુનો યામ $-\frac{18}{5}$ છે.

(B) આપેલ વર્તુળો $S_1 \equiv x^2+y^2-14x+6y+33=0$ અને $S_2 \equiv x^2+y^2-a^2=0$ છે.
બે વર્તુળોને $4$ સામાન્ય સ્પર્શકો હોય તે માટે,તેઓ એકબીજાથી અલગ હોવા જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે તેમના કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $d > r_1 + r_2$.
$S_1$ નું કેન્દ્ર $C_1 = (7, -3)$ અને ત્રિજ્યા $r_1 = \sqrt{7^2 + (-3)^2 - 33} = \sqrt{49 + 9 - 33} = \sqrt{25} = 5$ છે.
$S_2$ નું કેન્દ્ર $C_2 = (0, 0)$ અને ત્રિજ્યા $r_2 = a$ છે.
કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $d = \sqrt{(7-0)^2 + (-3-0)^2} = \sqrt{49 + 9} = \sqrt{58}$ છે.
શરત: $r_1 + r_2 < d \Rightarrow 5 + a < \sqrt{58}$.
$\sqrt{58} \approx 7.61$ હોવાથી,$5 + a < 7.61$,જેનો અર્થ છે કે $a < 2.61$.
$a \in N$ (પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ) હોવાથી,$a$ માટે શક્ય કિંમતો $1$ અને $2$ છે.
આમ,$2$ શક્ય વર્તુળો છે.

(B) પ્રથમ વર્તુળ $x^2+y^2+4x=0$ માટે,કેન્દ્ર $C_1 = (-2, 0)$ અને ત્રિજ્યા $r_1 = \sqrt{(-2)^2 + 0^2 - 0} = 2$ છે.
બીજા વર્તુળ $x^2+y^2-2x=0$ માટે,કેન્દ્ર $C_2 = (1, 0)$ અને ત્રિજ્યા $r_2 = \sqrt{(1)^2 + 0^2 - 0} = 1$ છે.
કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $C_1C_2 = \sqrt{(1 - (-2))^2 + (0 - 0)^2} = \sqrt{3^2} = 3$ છે.
અહીં $r_1 + r_2 = 2 + 1 = 3$ હોવાથી,$C_1C_2 = r_1 + r_2$ થાય છે.
આ શરત સૂચવે છે કે બંને વર્તુળો એકબીજાને બહારથી સ્પર્શે છે.
જ્યારે બે વર્તુળો એકબીજાને બહારથી સ્પર્શતા હોય,ત્યારે સામાન્ય સ્પર્શકોની સંખ્યા $3$ હોય છે (બે સીધા સામાન્ય સ્પર્શકો અને એક સામાન્ય સ્પર્શક જે બંને વર્તુળોની વચ્ચેથી પસાર થાય છે).

(B) ધારો કે વર્તુળ $C_1: x^2+y^2-4x-8y+7=0$. તેનું કેન્દ્ર $O_1(2, 4)$ અને ત્રિજ્યા $r_1 = \sqrt{13}$ છે.
વર્તુળ $C_2: x^2+y^2+4x+6y=0$. તેનું કેન્દ્ર $O_2(-2, -3)$ અને ત્રિજ્યા $r_2 = \sqrt{13}$ છે.
બંને વર્તુળોની ત્રિજ્યા સમાન હોવાથી,બિંદુ $B$ એ બંને કેન્દ્રો $O_1$ અને $O_2$ ને જોડતા રેખાખંડનું મધ્યબિંદુ છે.
$B = \left(\frac{2-2}{2}, \frac{4-3}{2}\right) = \left(0, \frac{1}{2}\right)$.
હવે $A(-1, 2)$ અને $B(0, 1/2)$ ને જોડતા રેખાખંડ $AB$ ના ત્રિ-ભાગ બિંદુઓ શોધીએ.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$2:1$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરતું બિંદુ:
$x = \frac{2(0) + 1(-1)}{2+1} = -\frac{1}{3}$,$y = \frac{2(1/2) + 1(2)}{2+1} = \frac{1+2}{3} = 1$.
આમ,$\left(-\frac{1}{3}, 1\right)$ એ ત્રિ-ભાગ બિંદુ છે.

(A) સામાન્ય જીવાનું સમીકરણ $S_1 - S_2 = 0$ દ્વારા મળે છે.
$(x^2+y^2+2x+2y+1) - (x^2+y^2+\alpha x+3y+2) = 0$
$(2-\alpha)x - y - 1 = 0$.
પ્રથમ વર્તુળ $x^2+y^2+2x+2y+1=0$ માટે,કેન્દ્ર $(-1, -1)$ છે અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2 - 1} = 1$ છે.
કેન્દ્ર $(-1, -1)$ થી સામાન્ય જીવા $(2-\alpha)x - y - 1 = 0$ પરના લંબ અંતર $p$ માટે:
$p = \frac{|(2-\alpha)(-1) - (-1) - 1|}{\sqrt{(2-\alpha)^2 + (-1)^2}} = \frac{|\alpha-2+1-1|}{\sqrt{(2-\alpha)^2+1}} = \frac{|\alpha-2|}{\sqrt{\alpha^2-4\alpha+5}}$.
સામાન્ય જીવાની લંબાઈ $2\sqrt{r^2-p^2} = \frac{2}{\sqrt{5}}$ છે.
તેથી,$\sqrt{r^2-p^2} = \frac{1}{\sqrt{5}} \Rightarrow r^2-p^2 = \frac{1}{5}$.
કારણ કે $r=1$,આપણને $1 - p^2 = \frac{1}{5} \Rightarrow p^2 = \frac{4}{5}$ મળે છે.
$\frac{(\alpha-2)^2}{\alpha^2-4\alpha+5} = \frac{4}{5} \Rightarrow 5(\alpha^2-4\alpha+4) = 4(\alpha^2-4\alpha+5)$.
$5\alpha^2-20\alpha+20 = 4\alpha^2-16\alpha+20$.
$\alpha^2 - 4\alpha = 0 \Rightarrow \alpha(\alpha-4) = 0$.
$\alpha \neq 0$ હોવાથી,$\alpha = 4$ મળે છે.

(A) આપેલ વર્તુળો:
$S_1: x^2+y^2-6x-4y+13-c^2=0$
$S_2: x^2+y^2-4x-6y+13-c^2=0$
કેન્દ્રો $C_1(3,2)$ અને $C_2(2,3)$ છે અને ત્રિજ્યા $r_1=r_2=c$ છે.
સામાન્ય જીવાનું સમીકરણ $S_1-S_2=0$ દ્વારા મળે છે:
$(x^2+y^2-6x-4y+13-c^2)-(x^2+y^2-4x-6y+13-c^2)=0$
$-2x+2y=0 \Rightarrow x-y=0$.
ધારો કે $M$ એ સામાન્ય જીવા $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે. $C_1M$ એ $C_1(3,2)$ થી રેખા $x-y=0$ પરનું લંબ અંતર છે:
$C_1M = \frac{|3-2|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
$\triangle AC_1M$ માં,$AM^2 = AC_1^2 - C_1M^2 = c^2 - (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 = c^2 - \frac{1}{2}$.
$AM = \sqrt{c^2 - \frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{4c^2-2}}{2}$.
સામાન્ય જીવાની લંબાઈ $AB = 2AM = 2 \times \frac{\sqrt{4c^2-2}}{2} = \sqrt{4c^2-2}$.

(C) વર્તુળ $x^2+y^2+2kx-4y+1=0$ માટે,કેન્દ્ર $C_1 = (-k, 2)$ અને ત્રિજ્યા $r_1 = \sqrt{k^2+3}$ છે.
વર્તુળ $x^2+y^2-8x-12y+43=0$ માટે,કેન્દ્ર $C_2 = (4, 6)$ અને ત્રિજ્યા $r_2 = 3$ છે.
બે વર્તુળો એકબીજાને સ્પર્શે ત્યારે તેમના કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $d = |r_1 \pm r_2|$ થાય.
કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $d = \sqrt{(4+k)^2 + 4^2} = \sqrt{k^2+8k+32}$ છે.
$d = r_1 + r_2$ લેતા,$\sqrt{k^2+8k+32} = \sqrt{k^2+3} + 3$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$k^2+8k+32 = k^2+3 + 9 + 6\sqrt{k^2+3}$ $\Rightarrow 8k+20 = 6\sqrt{k^2+3}$ $\Rightarrow 4k+10 = 3\sqrt{k^2+3}$.
ફરીથી વર્ગ કરતા,$16k^2+80k+100 = 9k^2+27 \Rightarrow 7k^2+80k+73 = 0$.
ઉકેલતા $k = -1$ મળે છે.

(A) વર્તુળ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ ના સાપેક્ષમાં બિંદુ $(x_1, y_1)$ ના ધ્રુવીયનું સમીકરણ $T=0$ છે,જે $xx_1+yy_1+g(x+x_1)+f(y+y_1)+c=0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ વર્તુળ $x^2+y^2+4x-8y-5=0$ માટે,$g=2, f=-4, c=-5$ છે.
$(k, k+1)$ નો ધ્રુવીય:
$kx + (k+1)y + 2(x+k) - 4(y+k+1) - 5 = 0$
$kx + ky + y + 2x + 2k - 4y - 4k - 4 - 5 = 0$
$(k+2)x + (k-3)y - 2k - 9 = 0$
$k$ ના તમામ વાસ્તવિક મૂલ્યો માટે આ સમીકરણ સાચું રહે તે માટે:
$k(x+y-2) + (2x-3y-9) = 0$
આથી,$x+y-2 = 0$ અને $2x-3y-9 = 0$.
આ સમીકરણો ઉકેલતા,$x=3$ અને $y=-1$ મળે છે.
તેથી બિંદુ $(3, -1)$ છે.

(B) પ્રથમ વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2-36=0$ છે.
ધારો કે બીજા વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ છે.
બે વર્તુળો $S_1=0$ અને $S_2=0$ ની રેડિકલ ધરી $S_1-S_2=0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ રેડિકલ ધરી $x-4=0$ છે,તેથી બીજા વર્તુળને $x^2+y^2-36+k(x-4)=0$ તરીકે લખી શકાય,જેનું સાદું રૂપ $x^2+y^2+kx-4k-36=0$ થાય છે.
બે વર્તુળો $x^2+y^2+2g_1x+2f_1y+c_1=0$ અને $x^2+y^2+2g_2x+2f_2y+c_2=0$ લંબરૂપે છેદે તે માટેની શરત $2g_1g_2+2f_1f_2=c_1+c_2$ છે.
અહીં,$g_1=0, f_1=0, c_1=-36$ અને $g_2=k/2, f_2=0, c_2=-4k-36$ છે.
આ કિંમતો શરતમાં મૂકતા: $2(0)(k/2) + 2(0)(0) = -36 + (-4k-36)$.
$0 = -72 - 4k$ $\Rightarrow 4k = -72$ $\Rightarrow k = -18$.
$k=-18$ ને બીજા વર્તુળના સમીકરણમાં મૂકતા: $x^2+y^2-18x-4(-18)-36=0$.
$x^2+y^2-18x+72-36=0 \Rightarrow x^2+y^2-18x+36=0$.

(C) બે વર્તુળો $S_1 = 0$ અને $S_2 = 0$ ની રેડિકલ અક્ષ $S_1 - S_2 = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વર્તુળ $C$ નું સમીકરણ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ ધારો.
$C$ અને $x^2 + y^2 - a^2 = 0$ ની રેડિકલ અક્ષ $(x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c) - (x^2 + y^2 - a^2) = 0$ છે,જે $2gx + 2fy + c + a^2 = 0$ માં સરળ બને છે.
આપેલ રેડિકલ અક્ષ $2x = a$ અથવા $x - a/2 = 0$ છે.
સરખામણી કરતા,$f = 0$ અને વર્તુળ $C$ એ $x^2 + y^2 + 2gx + c = 0$ છે.
પરિવારની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરતા,સમીકરણ $(x^2 + y^2 - a^2) + \lambda(x - a/2) = 0$ મળે છે.
$(2a, 0)$ માંથી પસાર થતા,$\lambda = -2a$ મળે છે.
આમ,વર્તુળ $C$ નું સમીકરણ $x^2 + y^2 - 2ax = 0$ છે,જેનું કેન્દ્ર $(a, 0)$ છે અને તે $(0, 0)$ અને $(a, a)$ માંથી પસાર થાય છે.

(D) ધારો કે $R(\alpha, \beta)$ એ માંગેલ બિંદુ છે,$Q(x_0, y_0)$ એ વર્તુળ પરનું બિંદુ છે અને $P(h, k)$ એ નિશ્ચિત બિંદુ છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$R$ ના યામ:
$(\alpha, \beta) = \left(\frac{p x_0 + q h}{p+q}, \frac{p y_0 + q k}{p+q}\right)$
આના પરથી,આપણને મળે:
$x_0 = \frac{(p+q)\alpha - qh}{p}$ અને $y_0 = \frac{(p+q)\beta - qk}{p}$
કારણ કે $Q(x_0, y_0)$ એ વર્તુળ $x^2 + y^2 = a^2$ પર છે,આપણે $x_0$ અને $y_0$ ની કિંમત મૂકીએ:
$\left(\frac{(p+q)\alpha - qh}{p}\right)^2 + \left(\frac{(p+q)\beta - qk}{p}\right)^2 = a^2$
$\frac{(p+q)^2}{p^2}$ વડે ભાગતા,આપણને મળે:
$\left(\alpha - \frac{qh}{p+q}\right)^2 + \left(\beta - \frac{qk}{p+q}\right)^2 = \frac{p^2 a^2}{(p+q)^2}$
આમ,$R(x, y)$ નો બિંદુપથ એ વર્તુળ છે જેનું કેન્દ્ર $\left(\frac{qh}{p+q}, \frac{qk}{p+q}\right)$ છે.

(A) ધારો કે બિંદુ $P(h, k)$,$A(1, 0)$,અને $B(x_1, y_1)$ છે. આપણી પાસે $AP=3AB$ છે.
$P$ એ $AB$ ના લંબાવેલા ભાગ પર હોવાથી,$B$ એ $A$ અને $P$ ની વચ્ચે છે.
તેથી,$AP = AB + BP = 3AB$,જેનો અર્થ છે કે $BP = 2AB$.
તેથી,$B$ એ $AP$ નું $1:2$ ગુણોત્તરમાં અંતઃવિભાજન કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને,$B(x_1, y_1)$ ના યામ:
$x_1 = \frac{h+2}{3}$
$y_1 = \frac{k}{3}$
$B(x_1, y_1)$ એ વર્તુળ $x^2+y^2-2x+2y+1=0$ પર હોવાથી,આપણે આ કિંમતો મૂકીએ:
$(\frac{h+2}{3})^2 + (\frac{k}{3})^2 - 2(\frac{h+2}{3}) + 2(\frac{k}{3}) + 1 = 0$
$9$ વડે ગુણતા:
$(h+2)^2 + k^2 - 6(h+2) + 6k + 9 = 0$
$h^2 + 4h + 4 + k^2 - 6h - 12 + 6k + 9 = 0$
$h^2 + k^2 - 2h + 6k + 1 = 0$
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,$P$ નો બિંદુપથ $x^2+y^2-2x+6y+1=0$ મળે છે.

(C) ધારો કે સમબાજુ ત્રિકોણની બાજુની લંબાઈ $l$ છે. એક શિરોબિંદુ ઉગમબિંદુ $(0,0)$ પર છે અને ત્રિકોણ $x$-અક્ષની સાપેક્ષ સંમિત છે,તેથી અન્ય બે શિરોબિંદુઓ $A\left(\frac{\sqrt{3}l}{2}, \frac{l}{2}\right)$ અને $B\left(\frac{\sqrt{3}l}{2}, -\frac{l}{2}\right)$ છે.
શિરોબિંદુ $A$ એ પરવલય $y^2=16ax$ પર હોવાથી,આપણે તેના યામ મૂકીએ:
$\left(\frac{l}{2}\right)^2 = 16a\left(\frac{\sqrt{3}l}{2}\right)$
$\frac{l^2}{4} = 8\sqrt{3}al$
$l \neq 0$ હોવાથી,$l = 32\sqrt{3}a$.
હવે,શિરોબિંદુઓના યામ $O(0,0)$,$A(48a, 16\sqrt{3}a)$ અને $B(48a, -16\sqrt{3}a)$ છે.
મધ્યકેન્દ્ર $G = \left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}\right)$:
$G = \left(\frac{0+48a+48a}{3}, \frac{0+16\sqrt{3}a-16\sqrt{3}a}{3}\right) = \left(\frac{96a}{3}, 0\right) = (32a, 0)$.

(A-(IV), B-(VI), C-(I), D-(II)) . પરવલય $y^2 = 4ax$ માટે $(x_1, y_1)$ બિંદુએ સ્પર્શકનું સમીકરણ $yy_1 = 2a(x + x_1)$ છે.
$y^2 = 4x$ માટે,$a = 1$. $(2, \sqrt{8})$ બિંદુએ,સ્પર્શક $y(\sqrt{8}) = 2(1)(x + 2) \Rightarrow \sqrt{8}y = 2x + 4 \Rightarrow 2\sqrt{2}y = 2x + 4 \Rightarrow x - \sqrt{2}y + 2 = 0$. આમ,$A \rightarrow (iv)$.
$B$. $y^2 = 4ax$ માટે $m$ ઢાળવાળા અભિલંબનું સમીકરણ $y = mx - 2am - am^3$ છે.
$y^2 = 16x$ માટે,$4a = 16 \Rightarrow a = 4$. અભિલંબ અક્ષ સાથે $45^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે,તેથી $m = \tan(135^{\circ}) = -1$ અથવા $m = \tan(45^{\circ}) = 1$.
$m = 1$ માટે,$y = 1(x) - 2(4)(1) - 4(1)^3 = x - 8 - 4 = x - 12 \Rightarrow x - y - 12 = 0$. આમ,$B \rightarrow (vi)$.
$C$. $y^2 = 12x$ માટે,$4a = 12 \Rightarrow a = 3$. પરવલય પરના બિંદુઓ $(at_1^2, 2at_1)$ અને $(at_2^2, 2at_2)$ છે.
જીવા નાભિસ્થ જીવા હોય જો $t_1 t_2 = -1$.
તેથી $y_1 y_2 = (2at_1)(2at_2) = 4a^2(t_1 t_2) = 4(3)^2(-1) = 36(-1) = -36$. આમ,$C \rightarrow (i)$.
$D$. સમીકરણ $y^2 - kx + 16 = 0$ ને $y^2 = k(x - 16/k)$ તરીકે લખી શકાય.
$Y^2 = 4AX$ સાથે સરખાવતા,$4A = k \Rightarrow A = k/4$.
નિયામિકા $X = -A \Rightarrow x - 16/k = -k/4 \Rightarrow x = 16/k - k/4$ છે.
આપેલ નિયામિકા $x = 3$ છે,તેથી $16/k - k/4 = 3 \Rightarrow 64 - k^2 = 12k \Rightarrow k^2 + 12k - 64 = 0$.
$(k + 16)(k - 4) = 0 \Rightarrow k = 4$ અથવા $k = -16$. આમ,$D \rightarrow (ii)$.

(A) નાભિ $S$ એ $(-1, -1)$ છે અને નિયામિકા $x+y+4=0$ છે.
શિરોબિંદુ એ નાભિ અને પરવલયની અક્ષ તથા નિયામિકાના છેદબિંદુનું મધ્યબિંદુ છે.
પરવલયની અક્ષ નિયામિકાને લંબ હોય છે અને નાભિમાંથી પસાર થાય છે. નિયામિકાનો ઢાળ $-1$ હોવાથી,અક્ષનો ઢાળ $1$ થશે અને તે $(-1, -1)$ માંથી પસાર થાય છે.
અક્ષનું સમીકરણ $y - (-1) = 1(x - (-1)) \Rightarrow y = x$ છે.
અક્ષ $y=x$ અને નિયામિકા $x+y+4=0$ નું છેદબિંદુ $x+x+4=0$ $\Rightarrow 2x = -4$ $\Rightarrow x = -2$ છે. તેથી,$y = -2$.
છેદબિંદુ $Z(-2, -2)$ છે.
શિરોબિંદુ એ $S(-1, -1)$ અને $Z(-2, -2)$ નું મધ્યબિંદુ છે.
શિરોબિંદુ $= \left(\frac{-1-2}{2}, \frac{-1-2}{2}\right) = \left(-\frac{3}{2}, -\frac{3}{2}\right)$.

(A) ધારો કે જીવાનું રેખા $y=ax$ સાથેનું છેદબિંદુ $M(\alpha, a\alpha)$ છે. $M$ એ જીવાનું મધ્યબિંદુ હોવાથી,એક અંત્યબિંદુ $A(4,4)$ અને બીજું અંત્યબિંદુ $Q(x_1, y_1)$ છે:
$\alpha = \frac{4+x_1}{2} \Rightarrow x_1 = 2\alpha - 4$
$a\alpha = \frac{4+y_1}{2} \Rightarrow y_1 = 2a\alpha - 4$
બિંદુ $Q(x_1, y_1)$ પરવલય $y^2=4x$ પર હોવાથી:
$(2a\alpha - 4)^2 = 4(2\alpha - 4)$
$4a^2\alpha^2 - 16a\alpha + 16 = 8\alpha - 16$
$4a^2\alpha^2 - (16a+8)\alpha + 32 = 0$
બે ભિન્ન જીવાઓ માટે,દ્વિઘાત સમીકરણના બે ભિન્ન વાસ્તવિક ઉકેલો હોવા જોઈએ,તેથી વિવેચક $D > 0$:
$D = (16a+8)^2 - 4(4a^2)(32) > 0$
$64(2a+1)^2 - 512a^2 > 0$
$64(4a^2 + 4a + 1) - 512a^2 > 0$
$-256a^2 + 256a + 64 > 0$
$4a^2 - 4a - 1 < 0$
$4a^2 - 4a - 1 = 0$ ઉકેલતા $a = \frac{1 \pm \sqrt{2}}{2}$ મળે છે.
આમ,અંતરાલ $\left(\frac{1-\sqrt{2}}{2}, \frac{1+\sqrt{2}}{2}\right)$ છે,જે $\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{2}+\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$ છે.

(D) પરવલયનું સમીકરણ $y^2=8x$ છે. $y^2=4ax$ સાથે સરખાવતા,$4a=8$,તેથી $a=2$ મળે.
બિંદુ $(x_1, y_1)$ આગળ પરવલય $y^2=4ax$ ના સ્પર્શકનું સમીકરણ $yy_1 = 2a(x+x_1)$ છે.
બિંદુ $P(2,4)$ માટે,સ્પર્શક $4y = 4(x+2) \Rightarrow y = x+2$ $(i)$ છે.
બિંદુ $Q(18,-12)$ માટે,સ્પર્શક $-12y = 4(x+18) \Rightarrow -3y = x+18$ $(ii)$ છે.
છેદબિંદુ શોધવા માટે,$(i)$ માંથી $x = y-2$ ને $(ii)$ માં મૂકતા:
$-3y = (y-2) + 18$ $\Rightarrow -3y = y + 16$ $\Rightarrow 4y = -16$ $\Rightarrow y = -4$.
$y = -4$ ને $(i)$ માં મૂકતા,$x = -4-2 = -6$ મળે.
છેદબિંદુ $(-6, -4)$ છે.
$(-6, -4)$ માંથી પસાર થતી અને $m = \frac{1}{2}$ ઢાળ ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ:
$y - (-4) = \frac{1}{2}(x - (-6))$ $\Rightarrow y+4 = \frac{1}{2}(x+6)$ $\Rightarrow 2y+8 = x+6$ $\Rightarrow x-2y = 2$.

(C) આપેલ વક્ર $y^2 = x$ છે,જે $y^2 = 4ax$ સ્વરૂપનું પરવલય છે જ્યાં $a = \frac{1}{4}$.
પરવલય $y^2 = 4ax$ માટે $m$ ઢાળવાળા અભિલંબનું સમીકરણ $y = mx - 2am - am^3$ છે.
$a = \frac{1}{4}$ મૂકતા,$y = mx - \frac{m}{2} - \frac{m^3}{4}$ મળે છે.
અભિલંબ $(c, 0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $0 = mc - \frac{m}{2} - \frac{m^3}{4}$.
આનું સાદું રૂપ $m(c - \frac{1}{2} - \frac{m^2}{4}) = 0$ થાય છે.
આમ,$m = 0$ ($X$-અક્ષ) અથવા $m^2 = 4c - 2$.
બાકીના બે અભિલંબના ઢાળ $m_1 = \sqrt{4c - 2}$ અને $m_2 = -\sqrt{4c - 2}$ છે.
આ બે અભિલંબ પરસ્પર લંબ હોવાથી,તેમનો ગુણાકાર $-1$ થાય,એટલે કે $m_1 m_2 = -1$.
તેથી,$-(\sqrt{4c - 2})^2 = -1$,જેનો અર્થ છે કે $4c - 2 = 1$.
$c$ માટે ઉકેલતા,$4c = 3$,તેથી $c = \frac{3}{4}$.

(D) પરવલય $y^2 = 4ax$ ના બિંદુ $P(at^2, 2at)$ આગળના અભિલંબનું સમીકરણ $y + tx = 2at + at^3$ છે.
ધારો કે આ અભિલંબ પરવલયને ફરીથી બિંદુ $Q$ પર મળે છે. ઉગમબિંદુ $O(0,0)$ એ પરવલયનું શિરોબિંદુ છે.
રેખાઓ $OP$ અને $OQ$ નું સંયુક્ત સમીકરણ પરવલયના સમીકરણ $y^2 = 4ax$ ને અભિલંબના સમીકરણ $\frac{y + tx}{2at + at^3} = 1$ નો ઉપયોગ કરીને સમઘાત બનાવીને મેળવવામાં આવે છે:
$y^2 = 4ax \left( \frac{y + tx}{2at + at^3} \right)$
$y^2(2at + at^3) = 4ax(y + tx)$
$4atx^2 + 4axy - (2at + at^3)y^2 = 0$
$OP$ અને $OQ$ પરસ્પર લંબ હોવાથી,$x^2$ અને $y^2$ ના સહગુણકોનો સરવાળો શૂન્ય થાય:
$4at - (2at + at^3) = 0$
$2at - at^3 = 0$
$at(2 - t^2) = 0$
અભિલંબ જીવા માટે $t \neq 0$ હોવાથી,$t^2 = 2$,એટલે કે $t = \pm \sqrt{2}$.
અભિલંબનું સમીકરણ $y = -tx + 2at + at^3$ છે. આ અભિલંબનો ઢાળ $m = -t$ છે.
તેથી,ઢાળ $m = \mp \sqrt{2}$,જે $\pm \sqrt{2}$ ને સમાન છે.

(D) ધારો કે $I = \int_0^{\pi / 2} \sqrt{\frac{1-\sin 2 x}{1+\sin 2 x}} d x$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $1-\sin 2x = (\cos x - \sin x)^2$ અને $1+\sin 2x = (\cos x + \sin x)^2$.
તેથી,$\sqrt{\frac{1-\sin 2 x}{1+\sin 2 x}} = \left| \frac{\cos x - \sin x}{\cos x + \sin x} \right| = |\tan(\frac{\pi}{4} - x)|$.
કારણ કે $x \in [0, \frac{\pi}{4}]$ માટે $\tan(\frac{\pi}{4} - x) \ge 0$ અને $x \in (\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}]$ માટે $\tan(\frac{\pi}{4} - x) < 0$ છે,તેથી આપણે સંકલનને બે ભાગમાં વહેંચીએ છીએ:
$I = \int_0^{\pi / 4} \tan(\frac{\pi}{4} - x) dx + \int_{\pi / 4}^{\pi / 2} -\tan(\frac{\pi}{4} - x) dx$.
$\int \tan(ax+b) dx = -\frac{1}{a} \log|\cos(ax+b)| + C$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$I = [\log|\cos(\frac{\pi}{4} - x)|]_0^{\pi / 4} - [\log|\cos(\frac{\pi}{4} - x)|]_{\pi / 4}^{\pi / 2}$.
$I = (\log 1 - \log \frac{1}{\sqrt{2}}) - (\log \frac{1}{\sqrt{2}} - \log 1) = \log \sqrt{2} + \log \sqrt{2} = 2 \log \sqrt{2} = \log 2$.
તેથી,મૂળ પદ $e^I = e^{\log 2} = 2$ થાય.

(C) આપેલ છે,$I=\int_0^{\pi / 2} \frac{d x}{5+3 \sin x}=\lambda \tan ^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)$.
આદેશ $\sin x = \frac{2 \tan(x/2)}{1+\tan^2(x/2)}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int_0^{\pi / 2} \frac{dx}{5 + 3 \left( \frac{2 \tan(x/2)}{1+\tan^2(x/2)} \right)} = \int_0^{\pi / 2} \frac{(1+\tan^2(x/2)) dx}{5 + 5\tan^2(x/2) + 6\tan(x/2)} = \int_0^{\pi / 2} \frac{\sec^2(x/2) dx}{5\tan^2(x/2) + 6\tan(x/2) + 5}$.
ધારો કે $t = \tan(x/2)$,તેથી $dt = \frac{1}{2} \sec^2(x/2) dx$,એટલે કે $\sec^2(x/2) dx = 2 dt$.
જ્યારે $x=0, t=0$; જ્યારે $x=\pi/2, t=1$.
$I = \int_0^1 \frac{2 dt}{5t^2 + 6t + 5} = \frac{2}{5} \int_0^1 \frac{dt}{t^2 + \frac{6}{5}t + 1} = \frac{2}{5} \int_0^1 \frac{dt}{(t + 3/5)^2 + 1 - 9/25} = \frac{2}{5} \int_0^1 \frac{dt}{(t + 3/5)^2 + (4/5)^2}$.
સૂત્ર $\int \frac{dx}{x^2+a^2} = \frac{1}{a} \tan^{-1}(\frac{x}{a})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \frac{2}{5} \cdot \frac{5}{4} \left[ \tan^{-1} \left( \frac{t + 3/5}{4/5} \right) \right]_0^1 = \frac{1}{2} \left[ \tan^{-1} \left( \frac{5t+3}{4} \right) \right]_0^1 = \frac{1}{2} \left( \tan^{-1}(2) - \tan^{-1}(3/4) \right)$.
સૂત્ર $\tan^{-1} A - \tan^{-1} B = \tan^{-1} \left( \frac{A-B}{1+AB} \right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \frac{1}{2} \tan^{-1} \left( \frac{2 - 3/4}{1 + 2(3/4)} \right) = \frac{1}{2} \tan^{-1} \left( \frac{5/4}{1 + 3/2} \right) = \frac{1}{2} \tan^{-1} \left( \frac{5/4}{5/2} \right) = \frac{1}{2} \tan^{-1} \left( \frac{1}{2} \right)$.
$\lambda \tan^{-1}(1/2)$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\lambda = 1/2$ મળે છે.

(B) $I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos ^3 x}{\sin x+\cos x} d x \quad \dots(1)$
ગુણધર્મ $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos ^3(\frac{\pi}{2}-x)}{\sin(\frac{\pi}{2}-x)+\cos(\frac{\pi}{2}-x)} dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin ^3 x}{\cos x+\sin x} dx \quad \dots(2)$
$(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા:
$2I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin ^3 x + \cos ^3 x}{\sin x+\cos x} dx$
નિત્યસમ $a^3+b^3 = (a+b)(a^2+b^2-ab)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{(\sin x+\cos x)(\sin^2 x+\cos^2 x - \sin x \cos x)}{\sin x+\cos x} dx$
$2I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} (1 - \sin x \cos x) dx$
$2I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} 1 dx - \frac{1}{2} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin(2x) dx$
$2I = [x]_0^{\frac{\pi}{2}} - \frac{1}{2} [-\frac{\cos(2x)}{2}]_0^{\frac{\pi}{2}}$
$2I = \frac{\pi}{2} + \frac{1}{4} [\cos(\pi) - \cos(0)]$
$2I = \frac{\pi}{2} + \frac{1}{4} [-1 - 1] = \frac{\pi}{2} - \frac{2}{4} = \frac{\pi-1}{2}$
$I = \frac{\pi-1}{4}$

(D) ધારો કે $I = \int_0^{\pi / 2} \frac{1}{1+(\tan x)^{\sqrt{2018}}} dx$ $(i)$
ગુણધર્મ $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int_0^{\pi / 2} \frac{1}{1+(\tan(\pi / 2 - x))^{\sqrt{2018}}} dx$
$I = \int_0^{\pi / 2} \frac{1}{1+(\cot x)^{\sqrt{2018}}} dx$
$I = \int_0^{\pi / 2} \frac{1}{1+\frac{1}{(\tan x)^{\sqrt{2018}}}} dx$
$I = \int_0^{\pi / 2} \frac{(\tan x)^{\sqrt{2018}}}{1+(\tan x)^{\sqrt{2018}}} dx$ $(ii)$
સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ નો સરવાળો કરતા:
$2I = \int_0^{\pi / 2} \left( \frac{1}{1+(\tan x)^{\sqrt{2018}}} + \frac{(\tan x)^{\sqrt{2018}}}{1+(\tan x)^{\sqrt{2018}}} \right) dx$
$2I = \int_0^{\pi / 2} \frac{1+(\tan x)^{\sqrt{2018}}}{1+(\tan x)^{\sqrt{2018}}} dx$
$2I = \int_0^{\pi / 2} 1 dx$
$2I = [x]_0^{\pi / 2} = \frac{\pi}{2}$
$I = \frac{\pi}{4}$

(D) આપણી પાસે $f(x) = \frac{|\log x|}{x^2} = \begin{cases} -\frac{\log x}{x^2}, & \frac{1}{e} \le x < 1 \\ \frac{\log x}{x^2}, & 1 \le x \le e \end{cases}$ છે.
આપણે સંકલનને $x = 1$ પર વિભાજિત કરીએ છીએ:
$\int_{1/e}^e f(x) dx = \int_{1/e}^1 -\frac{\log x}{x^2} dx + \int_1^e \frac{\log x}{x^2} dx$.
$\int \frac{\log x}{x^2} dx$ માટે ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા,$u = \log x$ અને $dv = x^{-2} dx$ લેતા,આપણને $du = \frac{1}{x} dx$ અને $v = -\frac{1}{x}$ મળે છે.
$\int \frac{\log x}{x^2} dx = -\frac{\log x}{x} - \int -\frac{1}{x^2} dx = -\frac{\log x}{x} - \frac{1}{x} + C$.
નિશ્ચિત સંકલનનું મૂલ્ય શોધતા:
$\int_{1/e}^1 -\frac{\log x}{x^2} dx = -\left[ -\frac{\log x}{x} - \frac{1}{x} \right]_{1/e}^1 = \left[ \frac{\log x + 1}{x} \right]_{1/e}^1 = (\frac{0+1}{1}) - (\frac{\log(1/e) + 1}{1/e}) = 1 - ((-1+1) \cdot e) = 1$.
$\int_1^e \frac{\log x}{x^2} dx = \left[ -\frac{\log x + 1}{x} \right]_1^e = (-\frac{\log e + 1}{e}) - (-\frac{\log 1 + 1}{1}) = -\frac{2}{e} + 1 = 1 - \frac{2}{e}$.
બંને ભાગનો સરવાળો કરતા: $1 + (1 - \frac{2}{e}) = 2 - \frac{2}{e} = 2(1 - \frac{1}{e})$.

(C) ધારો કે $I = \int_0^{1/2} |\sin(4\pi x)| \, dx$.
$|\sin(4\pi x)|$ નું આવર્તમાન $\frac{\pi}{4\pi} = \frac{1}{4}$ હોવાથી,આપણે નિશ્ચિત સંકલનના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.
$I = 2 \int_0^{1/4} |\sin(4\pi x)| \, dx$.
અંતરાલ $[0, 1/4]$ માં,$\sin(4\pi x) \ge 0$ છે,તેથી $|\sin(4\pi x)| = \sin(4\pi x)$.
$I = 2 \int_0^{1/4} \sin(4\pi x) \, dx$.
$I = 2 \left[ -\frac{\cos(4\pi x)}{4\pi} \right]_0^{1/4}$.
$I = -\frac{1}{2\pi} [\cos(\pi) - \cos(0)]$.
$I = -\frac{1}{2\pi} [-1 - 1] = -\frac{1}{2\pi} (-2) = \frac{1}{\pi}$.

(A) આપણી પાસે છે,$f(x) = \int_1^x \frac{1}{2+t^4} dt$.
તેથી,$f(2) = \int_1^2 \frac{1}{2+t^4} dt$.
અંતરાલ $t \in [1, 2]$ માટે,વિધેય $g(t) = \frac{1}{2+t^4}$ એ ઘટતું વિધેય છે.
તેથી,ન્યૂનતમ કિંમત $t = 2$ આગળ અને મહત્તમ કિંમત $t = 1$ આગળ મળે છે.
આમ,$\frac{1}{2+2^4} \leq \frac{1}{2+t^4} \leq \frac{1}{2+1^4}$.
$\frac{1}{18} \leq \frac{1}{2+t^4} \leq \frac{1}{3}$.
$1$ થી $2$ સુધી સંકલન કરતા:
$\int_1^2 \frac{1}{18} dt < \int_1^2 \frac{1}{2+t^4} dt < \int_1^2 \frac{1}{3} dt$.
$\frac{1}{18}(2-1) < f(2) < \frac{1}{3}(2-1)$.
$\frac{1}{18} < f(2) < \frac{1}{3}$.

(C) ધારો કે $f(x) = 2+x^2$.
નિશ્ચિત સંકલનની વ્યાખ્યા મુજબ,$\int_a^b f(x) dx = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^{bn} f\left(\frac{r}{n}\right)$
અહીં,$\int_0^3 (2+x^2) dx = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^{3n} \left(2 + \left(\frac{r}{n}\right)^2\right)$
$= \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \left[ \sum_{r=1}^{3n} 2 + \sum_{r=1}^{3n} \frac{r^2}{n^2} \right]$
$= \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \left[ 2(3n) + \frac{1^2+2^2+\ldots+(3n)^2}{n^2} \right]$
$= \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \left[ 6n + \frac{1^2+2^2+\ldots+(3n)^2}{n^2} \right]$.

(C) આપેલ લક્ષનું પદ: $\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^n \frac{4 r^3}{r^4+n^4}=p$.
આ સરવાળાને આ રીતે ફરીથી લખી શકાય: $\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^n \frac{4 r^3}{n^4 \left(1+\frac{r^4}{n^4}\right)} = \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^n \frac{4 (r/n)^3}{1+(r/n)^4} \cdot \frac{1}{n}$.
નિશ્ચિત સંકલનની વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરતા,ધારો કે $x = \frac{r}{n}$ અને $dx = \frac{1}{n}$. જ્યારે $n \rightarrow \infty$,ત્યારે આ સરવાળો $0$ થી $1$ સુધીના સંકલનમાં ફેરવાય છે:
$p = \int_0^1 \frac{4x^3}{1+x^4} dx$.
ધારો કે $t = 1+x^4$,તો $dt = 4x^3 dx$.
જ્યારે $x=0$,ત્યારે $t=1$. જ્યારે $x=1$,ત્યારે $t=2$.
તેથી,$p = \int_1^2 \frac{dt}{t} = [\ln t]_1^2 = \ln 2 - \ln 1 = \ln 2$.
આમ,$e^p = e^{\ln 2} = 2$.

(A) ધારો કે $A = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} [(n+1)(n+2) \ldots (2n)]^{\frac{1}{n}}$.
આને આપણે $A = \lim_{n \rightarrow \infty} \left[ \frac{1}{n^n} (n+1)(n+2) \ldots (2n) \right]^{\frac{1}{n}} = \lim_{n \rightarrow \infty} \left[ \left(1+\frac{1}{n}\right) \left(1+\frac{2}{n}\right) \ldots \left(1+\frac{n}{n}\right) \right]^{\frac{1}{n}}$ તરીકે લખી શકીએ.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા:
$\log A = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^{n} \log \left(1+\frac{r}{n}\right)$.
સરવાળાની સીમા તરીકે નિશ્ચિત સંકલનની વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરતા:
$\log A = \int_{0}^{1} \log(1+x) dx$.
ધારો કે $u = 1+x$,તો $du = dx$. જ્યારે $x=0, u=1$; જ્યારે $x=1, u=2$.
$\log A = \int_{1}^{2} \log u du = [u \log u - u]_{1}^{2} = (2 \log 2 - 2) - (1 \log 1 - 1) = 2 \log 2 - 2 + 1 = \log 4 - 1$.
કારણ કે $1 = \log e$,તેથી $\log A = \log 4 - \log e = \log \left(\frac{4}{e}\right)$.
તેથી,$A = \frac{4}{e}$.

(C) દરેક વિકલ્પ માટે વિકલ સમીકરણ શોધવા માટે,આપણે $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ અને સ્વૈચ્છિક અચળાંકને દૂર કરીએ છીએ.
$(a)$ $x^2+y^2+2gx+4y+2=0$. વિકલન કરતા,$2x+2y\frac{dy}{dx}+2g+4\frac{dy}{dx}=0$. આ પ્રથમ ક્રમ અને પ્રથમ ઘાતનું સમીકરણ આપે છે.
$(b)$ $x^2=a^2(1+y^2)$. વિકલન કરતા,$2x=a^2(2y\frac{dy}{dx})$. $a^2$ ની કિંમત પાછી મૂકતા,આપણને પ્રથમ ક્રમ અને પ્રથમ ઘાતનું સમીકરણ મળે છે.
$(c)$ $y^2=2c(x+\sqrt{c})$. વિકલન કરતા,$2y\frac{dy}{dx}=2c$,તેથી $c=y\frac{dy}{dx}$. $c$ ની કિંમત મૂળ સમીકરણમાં મૂકતા: $y^2=2(y\frac{dy}{dx})(x+\sqrt{y\frac{dy}{dx}})$. ગોઠવતા: $y^2-2xy\frac{dy}{dx}=2y\frac{dy}{dx}\sqrt{y\frac{dy}{dx}}$. બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(y^2-2xy\frac{dy}{dx})^2 = 4y^2(\frac{dy}{dx})^2(y\frac{dy}{dx}) = 4y^3(\frac{dy}{dx})^3$. આ સમીકરણનો ક્રમ $1$ અને ઘાત $3$ છે.
$(d)$ $y^2=4ax$. વિકલન કરતા,$2y\frac{dy}{dx}=4a$. $a$ ની કિંમત મૂકતા $y^2=2xy\frac{dy}{dx}$ મળે છે,જે પ્રથમ ક્રમ અને પ્રથમ ઘાતનું છે.
આમ,વિકલ્પ $(c)$ સાચો જવાબ છે.

(C) $D_1: y=4 \frac{dy}{dx}+3x \frac{dx}{dy}$ માટે. $\frac{dy}{dx}$ વડે ગુણતા,આપણને $y \frac{dy}{dx}=4(\frac{dy}{dx})^2+3x$ મળે છે. સૌથી મોટું વિકલન $\frac{dy}{dx}$ છે,તેથી કક્ષા $1$ છે. સૌથી મોટા વિકલનની ઘાત $2$ છે,તેથી પરિમાણ (degree) $2$ છે.
$D_2: \frac{d^2y}{dx^2}=(3+(\frac{dy}{dx})^2)^{\frac{4}{3}}$ માટે. બંને બાજુ ઘન કરતા,આપણને $(\frac{d^2y}{dx^2})^3=(3+(\frac{dy}{dx})^2)^4$ મળે છે. સૌથી મોટું વિકલન $\frac{d^2y}{dx^2}$ છે,તેથી કક્ષા $2$ છે. સૌથી મોટા વિકલનની ઘાત $3$ છે,તેથી પરિમાણ $3$ છે.
$D_3: [1+(\frac{dy}{dx})]^2=(\frac{dy}{dx})^2$ માટે. વિસ્તરણ કરતા,$1+(\frac{dy}{dx})^2+2\frac{dy}{dx}=(\frac{dy}{dx})^2$,જેનું સાદું રૂપ $1+2\frac{dy}{dx}=0$ થાય છે. સૌથી મોટું વિકલન $\frac{dy}{dx}$ છે,તેથી કક્ષા $1$ છે. સૌથી મોટા વિકલનની ઘાત $1$ છે,તેથી પરિમાણ $1$ છે.
કક્ષાનો સરવાળો $= 1+2+1 = 4$.
પરિમાણનો સરવાળો $= 2+3+1 = 6$.
જરૂરી ગુણોત્તર $= \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.

(A) પ્રશ્ન મુજબ,સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = x + xy$ છે.
પદોને ગોઠવતા,આપણને સુરેખ વિકલ સમીકરણ મળે છે: $\frac{dy}{dx} - xy = x$.
આ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $P(x) = -x$ અને $Q(x) = x$.
સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ $e^{\int P(x) dx} = e^{\int -x dx} = e^{-\frac{x^2}{2}}$ છે.
ઉકેલ $y \cdot IF = \int Q(x) \cdot IF dx + c$ દ્વારા મળે છે.
$y \cdot e^{-\frac{x^2}{2}} = \int x \cdot e^{-\frac{x^2}{2}} dx + c$.
ધારો કે $t = -\frac{x^2}{2}$,તો $dt = -x dx$,તેથી $x dx = -dt$.
$y \cdot e^{-\frac{x^2}{2}} = -\int e^t dt + c = -e^t + c = -e^{-\frac{x^2}{2}} + c$.
વક્ર $(0, 1)$ માંથી પસાર થતો હોવાથી,$x=0$ અને $y=1$ મૂકતા:
$1 \cdot e^0 = -e^0 + c \Rightarrow 1 = -1 + c \Rightarrow c = 2$.
આમ,$y \cdot e^{-\frac{x^2}{2}} = -e^{-\frac{x^2}{2}} + 2$.
$e^{-\frac{x^2}{2}}$ વડે ભાગતા,આપણને $y = -1 + 2e^{\frac{x^2}{2}}$ અથવા $y = 2e^{\frac{x^2}{2}} - 1$ મળે છે.

(D) $X$-અક્ષ પર $(a, 0)$ કેન્દ્ર ધરાવતા અને ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ માંથી પસાર થતા વર્તુળનું સામાન્ય સમીકરણ $(x-a)^2 + y^2 = a^2$ છે.
આનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને $x^2 - 2ax + a^2 + y^2 = a^2$ મળે,જેનું સાદું રૂપ $x^2 + y^2 - 2ax = 0$ થાય છે.
સ્વેચ્છ અચળાંક $a$ ને દૂર કરવા માટે,આપણે $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ: $2x + 2y\frac{dy}{dx} - 2a = 0$.
આના પરથી $a = x + y\frac{dy}{dx}$ મળે છે.
$a$ ની આ કિંમતને $x^2 + y^2 = 2ax$ સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $x^2 + y^2 = 2x(x + y\frac{dy}{dx})$ મળે છે.
જમણી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા,$x^2 + y^2 = 2x^2 + 2xy\frac{dy}{dx}$ મળે.
પદોને ગોઠવતા,આપણને $y^2 - x^2 - 2xy\frac{dy}{dx} = 0$ મળે છે.

(A) ધારો કે વર્તુળની ત્રિજ્યા $a$ છે. તો વર્તુળનું કેન્દ્ર $(a, a)$ છે. તેથી,વર્તુળનું સમીકરણ:
$(x-a)^2 + (y-a)^2 = a^2$
$x^2 - 2ax + a^2 + y^2 - 2ay + a^2 = a^2$
$x^2 + y^2 - 2ax - 2ay + a^2 = 0$ --- $(i)$
સમીકરણ $(i)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$2x + 2y \frac{dy}{dx} - 2a - 2a \frac{dy}{dx} = 0$
$x + y \frac{dy}{dx} - a(1 + \frac{dy}{dx}) = 0$
$a = \frac{x + y \frac{dy}{dx}}{1 + \frac{dy}{dx}}$
$a$ ની કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$(x-a)^2 + (y-a)^2 = a^2$
$(x-a)^2 + (y-a)^2 = (\frac{x + y \frac{dy}{dx}}{1 + \frac{dy}{dx}})^2$
અહીં $(x-a) = x - \frac{x + y \frac{dy}{dx}}{1 + \frac{dy}{dx}} = \frac{(x-y) \frac{dy}{dx}}{1 + \frac{dy}{dx}}$
અને $(y-a) = y - \frac{x + y \frac{dy}{dx}}{1 + \frac{dy}{dx}} = \frac{y-x}{1 + \frac{dy}{dx}}$
આ કિંમતો $(x-a)^2 + (y-a)^2 = a^2$ માં મૂકતા:
$(\frac{(x-y) \frac{dy}{dx}}{1 + \frac{dy}{dx}})^2 + (\frac{y-x}{1 + \frac{dy}{dx}})^2 = (\frac{x + y \frac{dy}{dx}}{1 + \frac{dy}{dx}})^2$
$(x-y)^2 (\frac{dy}{dx})^2 + (x-y)^2 = (x + y \frac{dy}{dx})^2$
$(x-y)^2 [1 + (\frac{dy}{dx})^2] = (x + y \frac{dy}{dx})^2$

(A) આપેલ વક્રનું કુળ: $y = a + b e^{2x} + c e^{-3x}$ $(i)$
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$y_1 = 2b e^{2x} - 3c e^{-3x}$ (ii)
ફરીથી વિકલન કરતા:
$y_2 = 4b e^{2x} + 9c e^{-3x}$ (iii)
ત્રીજી વાર વિકલન કરતા:
$y_3 = 8b e^{2x} - 27c e^{-3x}$ (iv)
અચળાંકો $a, b, c$ ને દૂર કરવા માટે,આપણે $y_3 + k_1 y_2 + k_2 y_1 = 0$ સ્વરૂપ વિચારીએ.
$e^{2x}$ અને $e^{-3x}$ પદો માટે લાક્ષણિક સમીકરણ $(m-2)(m+3)m = 0$ છે,જે $m^3 + m^2 - 6m = 0$ થાય છે.
આથી,અનુરૂપ વિકલ સમીકરણ $y_3 + y_2 - 6y_1 = 0$ છે.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x+y+1}$.
ધારો કે $v = x+y+1$. તેથી $\frac{dv}{dx} = 1 + \frac{dy}{dx}$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{dy}{dx} = \frac{dv}{dx} - 1$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{dv}{dx} - 1 = \frac{1}{v}$.
$\frac{dv}{dx} = \frac{1}{v} + 1 = \frac{1+v}{v}$.
ચલને અલગ કરતા: $\frac{v}{1+v} dv = dx$.
$\left(\frac{1+v-1}{1+v}\right) dv = dx \Rightarrow \left(1 - \frac{1}{1+v}\right) dv = dx$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int (1 - \frac{1}{1+v}) dv = \int dx$.
$v - \log|1+v| = x + c$.
$v = x+y+1$ મૂકતા: $(x+y+1) - \log|x+y+2| = x + c$.
$y + 1 - \log|x+y+2| = c$.
$y = \log|x+y+2| + c - 1$.
ધારો કે $c - 1 = \log k$,તો $y = \log|x+y+2| - \log k = \log\left(\frac{x+y+2}{k}\right)$.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\frac{dy}{dx} = 1 + x + y + xy$
જમણી બાજુના પદોનું અવયવીકરણ કરતા: $\frac{dy}{dx} = (1 + x)(1 + y)$
ચલને અલગ કરતા: $\frac{dy}{1 + y} = (1 + x) dx$
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \frac{dy}{1 + y} = \int (1 + x) dx$
આથી મળે છે: $\log(1 + y) = x + \frac{x^2}{2} + c$
બંને બાજુ ઘાતાંકીય સ્વરૂપ લેતા: $1 + y = e^{x + \frac{x^2}{2} + c}$
$1 + y = e^c \cdot e^{x + \frac{x^2}{2}}$
ધારો કે $k = e^c$,તેથી $1 + y = k e^{x + \frac{x^2}{2}}$
આમ,વ્યાપક ઉકેલ છે: $y = k e^{x + \frac{x^2}{2}} - 1$

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $(x^2+xy)y'=y^2$.
$(x^2+xy)$ વડે ભાગતા,આપણને મળે: $\frac{dy}{dx} = \frac{y^2}{x^2+xy} = \frac{y^2}{x(x+y)}$.
આ એક સુરેખ સમપરિમાણ વિકલ સમીકરણ છે. ધારો કે $y=vx$,તો $\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}$.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા: $v + x\frac{dv}{dx} = \frac{(vx)^2}{x^2+x(vx)} = \frac{v^2x^2}{x^2(1+v)} = \frac{v^2}{1+v}$.
પદોને ગોઠવતા: $x\frac{dv}{dx} = \frac{v^2}{1+v} - v = \frac{v^2 - v - v^2}{1+v} = \frac{-v}{1+v}$.
ચલને અલગ કરતા: $\frac{1+v}{v} dv = -\frac{1}{x} dx$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int (\frac{1}{v} + 1) dv = -\int \frac{1}{x} dx$.
$\ln|v| + v = -\ln|x| + C$.
$v = \frac{y}{x}$ મૂકતા: $\ln|\frac{y}{x}| + \frac{y}{x} = -\ln|x| + C$.
$\ln|y| - \ln|x| + \frac{y}{x} = -\ln|x| + C$.
$\ln|y| + \frac{y}{x} = C$.
બંને બાજુ ઘાતાંકીય લેતા: $e^{\ln|y| + \frac{y}{x}} = e^C$.
$y \cdot e^{\frac{y}{x}} = K$ (જ્યાં $K = e^C$).
ગોઠવતા $e^{-\frac{y}{x}} = cy$ મળે (જ્યાં $c = 1/K$).

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $(x^3-3xy^2)dx = (y^3-3x^2y)dy$
$\Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{x^3-3xy^2}{y^3-3x^2y}$
આ એક સુરેખ સમઘાત વિકલ સમીકરણ છે. ધારો કે $y = vx$,તેથી $\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}$.
સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા:
$v + x\frac{dv}{dx} = \frac{x^3-3x(vx)^2}{(vx)^3-3x^2(vx)} = \frac{x^3(1-3v^2)}{x^3(v^3-3v)} = \frac{1-3v^2}{v^3-3v}$
$x\frac{dv}{dx} = \frac{1-3v^2}{v^3-3v} - v = \frac{1-3v^2-v^4+3v^2}{v^3-3v} = \frac{1-v^4}{v^3-3v}$
ચલનું અલગીકરણ કરતા:
$\int \frac{v^3-3v}{1-v^4} dv = \int \frac{dx}{x}$
$\int \frac{v^3}{1-v^4} dv - 3\int \frac{v}{1-v^4} dv = \ln|x| + C$
ધારો કે $1-v^4 = t \Rightarrow -4v^3 dv = dt \Rightarrow v^3 dv = -\frac{dt}{4}$.
ધારો કે $v^2 = m \Rightarrow 2v dv = dm \Rightarrow v dv = \frac{dm}{2}$.
$-\frac{1}{4}\ln|1-v^4| - \frac{3}{2}\int \frac{dm}{1-m^2} = \ln|x| + C$
$-\frac{1}{4}\ln|1-v^4| - \frac{3}{4}\ln|\frac{1+v^2}{1-v^2}| = \ln|x| + C$
$v = \frac{y}{x}$ મૂકતા:
$-\frac{1}{4}\ln|1-\frac{y^4}{x^4}| - \frac{3}{4}\ln|\frac{1+y^2/x^2}{1-y^2/x^2}| = \ln|x| + C$
સાદું રૂપ આપતા ઉકેલ મળે છે: $c^2(x^2+y^2)^2 = (y^2-x^2)$.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\cos (x+y) dy = dx$
તેને ફરીથી ગોઠવતા: $\frac{dx}{dy} = \cos (x+y)$
ધારો કે $x+y = v$. તેથી,$y$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{dx}{dy} + 1 = \frac{dv}{dy} \implies \frac{dx}{dy} = \frac{dv}{dy} - 1$
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{dv}{dy} - 1 = \cos v$
$\frac{dv}{dy} = 1 + \cos v$
ચલનું અલગીકરણ કરતા: $\int \frac{dv}{1 + \cos v} = \int dy$
નિત્યસમ $1 + \cos v = 2 \cos^2 \frac{v}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\int \frac{dv}{2 \cos^2 \frac{v}{2}} = \int dy$
$\frac{1}{2} \int \sec^2 \frac{v}{2} dv = \int dy$
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\tan \frac{v}{2} = y + c$
$v = x+y$ પાછા મૂકતા: $\tan \frac{x+y}{2} = y + c$
આમ,$y = \tan \frac{x+y}{2} + c$.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ $x^2 y dx - (x^3 + y^3) dy = 0$ છે.
પદોને ગોઠવતા,$\frac{dy}{dx} = \frac{x^2 y}{x^3 + y^3}$ મળે.
આ એક સુરેખ સમઘાત વિકલ સમીકરણ છે. ધારો કે $y = vx$,તેથી $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા: $v + x \frac{dv}{dx} = \frac{x^2(vx)}{x^3 + (vx)^3} = \frac{vx^3}{x^3(1 + v^3)} = \frac{v}{1 + v^3}$.
તેથી,$x \frac{dv}{dx} = \frac{v}{1 + v^3} - v = \frac{v - v - v^4}{1 + v^3} = \frac{-v^4}{1 + v^3}$.
ચલને અલગ કરતા: $\frac{1 + v^3}{v^4} dv = -\frac{dx}{x}$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int (v^{-4} + v^{-1}) dv = -\int \frac{1}{x} dx$.
આથી,$-\frac{1}{3v^3} + \log |v| = -\log |x| + c$ મળે.
$v = \frac{y}{x}$ મૂકતા: $-\frac{1}{3(y/x)^3} + \log |\frac{y}{x}| = -\log |x| + c$.
$-\frac{x^3}{3y^3} + \log |y| - \log |x| = -\log |x| + c$.
આમ,$\log |y| - \frac{x^3}{3y^3} = c$ મળે.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $(1+y^2) dx = ( an^{-1} y - x) dy$
પદોને ગોઠવતા,આપણને મળે છે: $\frac{dx}{dy} = \frac{\tan^{-1} y - x}{1+y^2}$
$\frac{dx}{dy} + \frac{x}{1+y^2} = \frac{\tan^{-1} y}{1+y^2}$
આ $\frac{dx}{dy} + Px = Q$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = \frac{1}{1+y^2}$ અને $Q = \frac{\tan^{-1} y}{1+y^2}$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ $IF = e^{\int P dy} = e^{\int \frac{1}{1+y^2} dy} = e^{\tan^{-1} y}$ છે.
વ્યાપક ઉકેલ $x \cdot IF = \int (Q \cdot IF) dy + c$ છે.
$x e^{\tan^{-1} y} = \int \frac{\tan^{-1} y}{1+y^2} e^{\tan^{-1} y} dy + c$.
ધારો કે $t = \tan^{-1} y$,તો $dt = \frac{1}{1+y^2} dy$.
$x e^{\tan^{-1} y} = \int t e^t dt + c$.
ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા: $\int t e^t dt = t e^t - \int e^t dt = t e^t - e^t = e^t(t-1)$.
$t = \tan^{-1} y$ પાછું મૂકતા,આપણને મળે છે: $x e^{\tan^{-1} y} = e^{\tan^{-1} y} (\tan^{-1} y - 1) + c$.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\left(\frac{1}{x^2}+x\right) \frac{d y}{d x}+3 y=1$
$\left(\frac{1+x^3}{x^2}\right) \frac{d y}{d x}+3 y=1$ વડે ભાગતા,આપણને મળે: $\frac{d y}{d x}+\frac{3 x^2}{1+x^3} y=\frac{x^2}{1+x^3}$
આ $\frac{d y}{d x}+P y=Q$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P=\frac{3 x^2}{1+x^3}$ અને $Q=\frac{x^2}{1+x^3}$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ નીચે મુજબ છે: $IF = e^{\int P d x} = e^{\int \frac{3 x^2}{1+x^3} d x} = e^{\log(1+x^3)} = 1+x^3$.
વ્યાપક ઉકેલ $y \cdot IF = \int (Q \cdot IF) d x + c$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $y(1+x^3) = \int \left(\frac{x^2}{1+x^3}\right)(1+x^3) d x + c$.
$y(1+x^3) = \int x^2 d x + c$.
$y(1+x^3) = \frac{x^3}{3} + c$.
$3$ વડે ગુણતા: $3y(1+x^3) = x^3 + 3c$.
$3y + 3yx^3 - x^3 = 3c$.
$(3y-1)x^3 + 3y = C$ (જ્યાં $C = 3c$).

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ:
$(1+y^2) dx = (\tan^{-1} y - x) dy$
પદોને $\frac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y)$ સ્વરૂપમાં ગોઠવતા:
$\frac{dx}{dy} = \frac{\tan^{-1} y - x}{1+y^2}$
$\frac{dx}{dy} + \frac{1}{1+y^2} x = \frac{\tan^{-1} y}{1+y^2}$
આ $x$ માં સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(y) = \frac{1}{1+y^2}$ અને $Q(y) = \frac{\tan^{-1} y}{1+y^2}$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$:
$IF = e^{\int P(y) dy} = e^{\int \frac{1}{1+y^2} dy} = e^{\tan^{-1} y}$
વ્યાપક ઉકેલ નીચે મુજબ છે:
$x \cdot IF = \int Q(y) \cdot IF dy + k$
$x e^{\tan^{-1} y} = \int \frac{\tan^{-1} y}{1+y^2} e^{\tan^{-1} y} dy + k$
ધારો કે $t = \tan^{-1} y$,તેથી $dt = \frac{1}{1+y^2} dy$:
$x e^{\tan^{-1} y} = \int t e^t dt + k$
ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા ($\int u dv = uv - \int v du$ જ્યાં $u=t, dv=e^t dt$):
$x e^{\tan^{-1} y} = t e^t - e^t + k$
$x e^{\tan^{-1} y} = e^{\tan^{-1} y} (\tan^{-1} y - 1) + k$
$e^{\tan^{-1} y}$ વડે ભાગતા:
$x = (\tan^{-1} y - 1) + k e^{-\tan^{-1} y}$

(C) ધારો કે માંગેલ સદિશ $\vec{v} = a \hat{i} + b \hat{j} + c \hat{k}$ છે.
સદિશ $\vec{v}$ એ $\vec{u_1} = \hat{i} + \hat{j}$ અને $\vec{u_2} = \hat{j} + \hat{k}$ સાથે એક જ સમતલમાં હોવાથી,તે $\vec{u_1}$ અને $\vec{u_2}$ નું રેખીય સંયોજન હોવું જોઈએ.
તેથી,$a \hat{i} + b \hat{j} + c \hat{k} = \lambda(\hat{i} + \hat{j}) + \mu(\hat{j} + \hat{k}) = \lambda \hat{i} + (\lambda + \mu) \hat{j} + \mu \hat{k}$.
સહગુણકોની સરખામણી કરતા,$a = \lambda$,$c = \mu$ અને $b = \lambda + \mu$ મળે છે. $\lambda$ અને $\mu$ ની કિંમત મૂકતા,$b = a + c$ મળે છે.
સદિશ $\vec{v}$ એ $2 \hat{i} - 2 \hat{j} - 4 \hat{k}$ ને સમાંતર છે,તેથી $\vec{v} = k(2 \hat{i} - 2 \hat{j} - 4 \hat{k})$.
વિકલ્પ $C$ માટે,$\vec{v} = \hat{i} - \hat{j} - 2 \hat{k}$ માં $a = 1, b = -1, c = -2$ છે.
શરત $b = a + c$ ચકાસતા: $1 + (-2) = -1$,જે $b$ સાથે મેળ ખાય છે.
તેથી,સદિશ $\hat{i} - \hat{j} - 2 \hat{k}$ એ સાચો જવાબ છે.

(B) ધારો કે સ્થાન સદિશો $\vec{a} = 2 \hat{i}-\hat{j}+3 \hat{k}$,$\vec{b} = -12 \hat{i}-\hat{j}-3 \hat{k}$,$\vec{c} = -\hat{i}+2 \hat{j}-4 \hat{k}$,અને $\vec{d} = \lambda \hat{i}+2 \hat{j}-\hat{k}$ છે.
ચાર બિંદુઓ સમતલીય હોવા માટે,સદિશો $(\vec{b}-\vec{a})$,$(\vec{c}-\vec{a})$,અને $(\vec{d}-\vec{a})$ નો અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર શૂન્ય હોવો જોઈએ.
$\vec{b}-\vec{a} = -14\hat{i} + 0\hat{j} - 6\hat{k}$
$\vec{c}-\vec{a} = -3\hat{i} + 3\hat{j} - 7\hat{k}$
$\vec{d}-\vec{a} = (\lambda-2)\hat{i} + 3\hat{j} - 4\hat{k}$
શરત મુજબ $\begin{vmatrix} -14 & 0 & -6 \\ -3 & 3 & -7 \\ \lambda-2 & 3 & -4 \end{vmatrix} = 0$.
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$-14(-12 + 21) - 6(-9 - 3\lambda + 6) = 0$
$-14(9) - 6(-3 - 3\lambda) = 0$
$-126 + 18 + 18\lambda = 0$
$18\lambda = 108$
$\lambda = 6$.

(A-(IV), B-(III), C-(II), D-(I)) આપેલ છે: $a=2 \hat{i}+3 \hat{j}+\hat{k}$,$b=\hat{i}-3 \hat{j}-5 \hat{k}$,$c=3 \hat{i}-4 \hat{k}$.
$A$. $a-b = (2-1)\hat{i} + (3-(-3))\hat{j} + (1-(-5))\hat{k} = \hat{i} + 6\hat{j} + 6\hat{k}$.
$a-b$ ની વિરુદ્ધ દિશાનો સદિશ $-(a-b) = -\hat{i} - 6\hat{j} - 6\hat{k}$ છે.
માન $\sqrt{(-1)^2 + (-6)^2 + (-6)^2} = \sqrt{1+36+36} = \sqrt{73}$.
એકમ સદિશ $\frac{-\hat{i}-6\hat{j}-6\hat{k}}{\sqrt{73}} = -\frac{\hat{i}}{\sqrt{73}} - \frac{6\hat{j}}{\sqrt{73}} - \frac{6\hat{k}}{\sqrt{73}}$. જે $(iv)$ સાથે બંધ બેસે છે.
$B$. $\triangle ABC$ માં,$\vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CA} = 0$.
તેથી,$\vec{CA} = -(\vec{AB} + \vec{BC}) = -(a+b) = -(2\hat{i}+3\hat{j}+\hat{k} + \hat{i}-3\hat{j}-5\hat{k}) = -(3\hat{i}-4\hat{k}) = -3\hat{i}+4\hat{k}$. જે $(iii)$ સાથે બંધ બેસે છે.
$C$. મધ્યકેન્દ્ર $G = \frac{a+b+c}{3} = \frac{(2\hat{i}+3\hat{j}+\hat{k}) + (\hat{i}-3\hat{j}-5\hat{k}) + (3\hat{i}-4\hat{k})}{3} = \frac{6\hat{i} + 0\hat{j} - 8\hat{k}}{3} = 2\hat{i} - \frac{8}{3}\hat{k}$. જે $(ii)$ સાથે બંધ બેસે છે.
$D$. $d$ એ $a$ ને સમાંતર છે,તેથી $d = k a = k(2\hat{i}+3\hat{j}+\hat{k})$.
માન $|d| = |k|\sqrt{2^2+3^2+1^2} = |k|\sqrt{14}$.
આપેલ છે $|d| = 2\sqrt{14}$,તેથી $|k|=2$. $k=2$ લેતા,$d = 4\hat{i}+6\hat{j}+2\hat{k}$.
તેથી $b+d = (\hat{i}-3\hat{j}-5\hat{k}) + (4\hat{i}+6\hat{j}+2\hat{k}) = 5\hat{i}+3\hat{j}-3\hat{k}$. જે $(i)$ સાથે બંધ બેસે છે.

(D) ધારો કે $P, Q, R, S, A, B$ ના સ્થાન સદિશો અનુક્રમે $\vec{p}, \vec{q}, \vec{r}, \vec{s}, \vec{a}, \vec{b}$ છે.
આપેલ છે કે $A$ એ $SR$ ને $1:3$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે,તેથી $\vec{a} = \frac{3\vec{s} + 1\vec{r}}{1+3} = \frac{3\vec{s} + \vec{r}}{4}$.
કારણ કે $B$ એ $PR$ નું મધ્યબિંદુ છે,તેથી $\vec{b} = \frac{\vec{p} + \vec{r}}{2}$.
આપેલ સમીકરણ $3\vec{SR} - \vec{QR} - 3\vec{PS} - \vec{PQ} = k\vec{AB}$ છે.
સદિશોની કિંમત મૂકતા:
$3(\vec{r} - \vec{s}) - (\vec{r} - \vec{q}) - 3(\vec{s} - \vec{p}) - (\vec{q} - \vec{p}) = k(\vec{b} - \vec{a})$
$3\vec{r} - 3\vec{s} - \vec{r} + \vec{q} - 3\vec{s} + 3\vec{p} - \vec{q} + \vec{p} = k\left(\frac{\vec{p} + \vec{r}}{2} - \frac{3\vec{s} + \vec{r}}{4}\right)$
ડાબી બાજુના સમાન પદોને ભેગા કરતા:
$(3\vec{r} - \vec{r}) + (-3\vec{s} - 3\vec{s}) + (3\vec{p} + \vec{p}) + (\vec{q} - \vec{q}) = k\left(\frac{2\vec{p} + 2\vec{r} - 3\vec{s} - \vec{r}}{4}\right)$
$2\vec{r} - 6\vec{s} + 4\vec{p} = k\left(\frac{2\vec{p} + \vec{r} - 3\vec{s}}{4}\right)$
બંને બાજુ $4$ વડે ગુણતા:
$8\vec{r} - 24\vec{s} + 16\vec{p} = k(2\vec{p} + \vec{r} - 3\vec{s})$
$8\vec{r} - 24\vec{s} + 16\vec{p} = k\vec{r} - 3k\vec{s} + 2k\vec{p}$
બંને બાજુ $\vec{p}, \vec{q}, \vec{r}, \vec{s}$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા,આપણને $k = 8$ મળે છે.

(C) આપેલ બિંદુઓ $A(1, 3, x)$,$B(3, 5, 8)$,અને $C(y, -1, -6)$ છે.
સદિશો $\vec{AB}$ અને $\vec{AC}$ નીચે મુજબ છે:
$\vec{AB} = (3-1)\hat{i} + (5-3)\hat{j} + (8-x)\hat{k} = 2\hat{i} + 2\hat{j} + (8-x)\hat{k}$
$\vec{AC} = (y-1)\hat{i} + (-1-3)\hat{j} + (-6-x)\hat{k} = (y-1)\hat{i} - 4\hat{j} - (6+x)\hat{k}$
કારણ કે $A, B, C$ સમરેખ છે,તેથી કોઈ અદિશ $\lambda$ માટે $\vec{AB} = \lambda \vec{AC}$ થાય.
ઘટકોની સરખામણી કરતા:
$\frac{2}{y-1} = \frac{2}{-4} = \frac{8-x}{-(6+x)}$
$\frac{2}{y-1} = \frac{2}{-4}$ પરથી,$y-1 = -4$,તેથી $y = -3$.
$\frac{2}{-4} = \frac{8-x}{-(6+x)}$ પરથી,$-\frac{1}{2} = \frac{8-x}{-6-x}$.
$6+x = 2(8-x) \Rightarrow 6+x = 16-2x \Rightarrow 3x = 10 \Rightarrow x = \frac{10}{3}$.
આમ,$(x, y) = \left(\frac{10}{3}, -3\right)$.

(D) આપેલ છે: $|\vec{a}|=4, |\vec{b}|=5, |\vec{a}-\vec{b}|=3$.
માનક સમીકરણનો વર્ગ કરતા: $|\vec{a}-\vec{b}|^2 = 3^2 = 9$.
ગુણધર્મ $|\vec{a}-\vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2|\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta = 9$ નો ઉપયોગ કરતા.
કિંમતો મૂકતા: $16 + 25 - 2(4)(5) \cos \theta = 9$.
$41 - 40 \cos \theta = 9$.
$40 \cos \theta = 32$.
$\cos \theta = \frac{32}{40} = \frac{4}{5}$.
$\cos \theta = \frac{4}{5}$ હોવાથી,$\sin \theta = \sqrt{1 - \cos^2 \theta} = \sqrt{1 - \frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$ મળે.
તેથી,$\cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta} = \frac{4/5}{3/5} = \frac{4}{3}$.
આમ,$\cot^2 \theta = (\frac{4}{3})^2 = \frac{16}{9}$.

(D) આપેલ છે કે $|a| = 1, |b| = 1, |c| = 2$.
સમીકરણ $a \times (a \times c) = -b$ છે.
સદિશ ત્રિગુણન સૂત્ર $a \times (a \times c) = (a \cdot c)a - (a \cdot a)c$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(a \cdot c)a - |a|^2 c = -b$.
$|a| = 1$ હોવાથી,$(a \cdot c)a - c = -b$ મળે.
બંને બાજુ $a$ સાથે ડોટ ગુણાકાર કરતા:
$(a \cdot c)(a \cdot a) - (a \cdot c) = - (b \cdot a) \Rightarrow (a \cdot c) - (a \cdot c) = - (b \cdot a) \Rightarrow b \cdot a = 0$.
હવે,$(a \cdot c)a - c = -b$ નું વર્ગ કરતા:
$|(a \cdot c)a - c|^2 = |-b|^2$.
$(a \cdot c)^2 |a|^2 + |c|^2 - 2(a \cdot c)(a \cdot c) = |b|^2$.
$(a \cdot c)^2 - 2(a \cdot c)^2 + |c|^2 = |b|^2$.
$- (a \cdot c)^2 + 4 = 1 \Rightarrow (a \cdot c)^2 = 3$.
$a \cdot c = |a||c| \cos \theta = 2 \cos \theta$ હોવાથી,$(2 \cos \theta)^2 = 3$.
$4 \cos^2 \theta = 3 \Rightarrow \cos^2 \theta = \frac{3}{4} \Rightarrow \cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
આમ,$\theta = \frac{\pi}{6}$.

(B) સૌ પ્રથમ,સદિશ ગુણાકાર $a \times b$ શોધો:
$a \times b = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 1 & -3 \\ 1 & -2 & 3 \end{vmatrix} = \hat{i}(3-6) - \hat{j}(6+3) + \hat{k}(-4-1) = -3 \hat{i} - 9 \hat{j} - 5 \hat{k}$.
ત્યારબાદ,સદિશ ગુણાકાર $c \times d$ શોધો:
$c \times d = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -1 & 1 & -4 \\ 1 & 1 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(2+4) - \hat{j}(-2+4) + \hat{k}(-1-1) = 6 \hat{i} - 2 \hat{j} - 2 \hat{k}$.
અંતે,મળેલા બે સદિશોનો સદિશ ગુણાકાર કરો:
$(a \times b) \times (c \times d) = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -3 & -9 & -5 \\ 6 & -2 & -2 \end{vmatrix} = \hat{i}(18-10) - \hat{j}(6+30) + \hat{k}(6+54) = 8 \hat{i} - 36 \hat{j} + 60 \hat{k}$.

(B) આપેલ છે કે $a = \sin^2 x \hat{i} + \cos^2 x \hat{j} + \hat{k}$.
પાસપાસેની બાજુઓ $u$ અને $v$ ધરાવતા સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ $|u \times v|$ છે.
$1$. પ્રથમ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ: $|a \times \hat{i}| = |(\sin^2 x \hat{i} + \cos^2 x \hat{j} + \hat{k}) \times \hat{i}| = |-\cos^2 x \hat{k} + \hat{j}| = \sqrt{\cos^4 x + 1}$.
તેથી,$|a \times \hat{i}|^2 = \cos^4 x + 1$.
$2$. બીજા સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ: $|a \times \hat{j}| = |(\sin^2 x \hat{i} + \cos^2 x \hat{j} + \hat{k}) \times \hat{j}| = |\sin^2 x \hat{k} - \hat{i}| = \sqrt{\sin^4 x + 1}$.
તેથી,$|a \times \hat{j}|^2 = \sin^4 x + 1$.
$3$. ત્રીજા સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ: $|a \times \hat{k}| = |(\sin^2 x \hat{i} + \cos^2 x \hat{j} + \hat{k}) \times \hat{k}| = |-\sin^2 x \hat{j} + \cos^2 x \hat{i}| = \sqrt{\sin^4 x + \cos^4 x}$.
તેથી,$|a \times \hat{k}|^2 = \sin^4 x + \cos^4 x$.
ક્ષેત્રફળના વર્ગોનો સરવાળો $A = |a \times \hat{i}|^2 + |a \times \hat{j}|^2 + |a \times \hat{k}|^2 = (\cos^4 x + 1) + (\sin^4 x + 1) + (\sin^4 x + \cos^4 x) = 2 + 2(\sin^4 x + \cos^4 x)$.
$\sin^4 x + \cos^4 x = (\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 2\sin^2 x \cos^2 x = 1 - \frac{1}{2}\sin^2(2x)$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$A = 2 + 2(1 - \frac{1}{2}\sin^2(2x)) = 4 - \sin^2(2x)$.
કારણ કે $0 \leq \sin^2(2x) \leq 1$,તેથી $3 \leq 4 - \sin^2(2x) \leq 4$.
આમ,$A \in [3, 4]$.

(C) બિંદુઓ $P, Q, R$ ના સ્થાન સદિશો નીચે મુજબ છે:
$\vec{p} = a \hat{i} + b \hat{j} + c \hat{k}$
$\vec{q} = b \hat{i} + c \hat{j} + a \hat{k}$
$\vec{r} = c \hat{i} + a \hat{j} + b \hat{k}$
આપણે $\angle QPR$ શોધવાની જરૂર છે,જે સદિશો $\vec{PQ}$ અને $\vec{PR}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
$\vec{PQ} = \vec{q} - \vec{p} = (b-a) \hat{i} + (c-b) \hat{j} + (a-c) \hat{k}$
$\vec{PR} = \vec{r} - \vec{p} = (c-a) \hat{i} + (a-b) \hat{j} + (b-c) \hat{k}$
ડોટ ગુણાકાર $\vec{PQ} \cdot \vec{PR} = (b-a)(c-a) + (c-b)(a-b) + (a-c)(b-c)$
$= (bc - ab - ac + a^2) + (ac - bc - ab + b^2) + (ab - ac - bc + c^2)$
$= a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca$
તેમના માન (magnitudes) નીચે મુજબ છે:
$|\vec{PQ}|^2 = (b-a)^2 + (c-b)^2 + (a-c)^2 = 2(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)$
$|\vec{PR}|^2 = (c-a)^2 + (a-b)^2 + (b-c)^2 = 2(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)$
આમ,$\cos \theta = \frac{\vec{PQ} \cdot \vec{PR}}{|\vec{PQ}| |\vec{PR}|} = \frac{a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca}{2(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)} = \frac{1}{2}$
તેથી,$\theta = \cos^{-1}(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{3}$.

(D) આપેલ છે: $|a|=6, |b|=8, |c|=10$.
વળી, $a \cdot (b+c) = 0$, $b \cdot (c+a) = 0$, અને $c \cdot (a+b) = 0$.
આનું વિસ્તરણ કરતા:
$a \cdot b + a \cdot c = 0$ $(i)$
$b \cdot c + b \cdot a = 0$ (ii)
$c \cdot a + c \cdot b = 0$ (iii)
$(i)$, (ii), અને (iii) નો સરવાળો કરતા:
$2(a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a) = 0 \implies a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a = 0$.
હવે, $|a+b+c|^2 = |a|^2 + |b|^2 + |c|^2 + 2(a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a)$.
કિંમતો મૂકતા:
$|a+b+c|^2 = 6^2 + 8^2 + 10^2 + 2(0) = 36 + 64 + 100 = 200$.
તેથી, $|a+b+c| = \sqrt{200} = 10 \sqrt{2}$.

(D) આપેલ સમીકરણો $r \times a = b \times a$ અને $r \times b = a \times b$ છે.
પ્રથમ સમીકરણ પરથી,$r \times a - b \times a = 0$,જેનો અર્થ છે કે $(r - b) \times a = 0$.
બીજા સમીકરણ પરથી,$r \times b - a \times b = 0$,જેનો અર્થ છે કે $(r - a) \times b = 0$.
બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $r \times a + r \times b = b \times a + a \times b$.
કારણ કે $b \times a = -(a \times b)$,તેથી $r \times (a + b) = 0$.
આ સૂચવે છે કે $r$ એ $(a + b)$ ને સમાંતર છે.
તેથી,$r = k(a + b)$ કોઈ અદિશ $k$ માટે.
$r = a + b$ ને મૂળ સમીકરણોમાં મૂકતા:
$(a + b) \times a = a \times a + b \times a = 0 + b \times a = b \times a$ (સમાધાન થાય છે).
$(a + b) \times b = a \times b + b \times b = a \times b + 0 = a \times b$ (સમાધાન થાય છે).
તેથી,$r = a + b = (\hat{i} + \hat{j}) + (3 \hat{i} - 2 \hat{j}) = 4 \hat{i} - \hat{j}$.

(B) ધારો કે $d = d_1 \hat{i} + d_2 \hat{j} + d_3 \hat{k}$.
$d$ એક એકમ સદિશ હોવાથી,$d_1^2 + d_2^2 + d_3^2 = 1$ $(i)$.
આપેલ છે કે $a \cdot d = 0$,જ્યાં $a = \hat{i} + \hat{j}$,તેથી $(\hat{i} + \hat{j}) \cdot (d_1 \hat{i} + d_2 \hat{j} + d_3 \hat{k}) = 0$,જેનો અર્થ છે કે $d_1 + d_2 = 0$,એટલે કે $d_2 = -d_1$ (ii).
આપેલ છે કે $b \cdot (c \times d) = 0$,જે અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $[b, c, d] = 0$ છે.
નિશ્ચાયક ગણતા:
$[b, c, d] = \begin{vmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ d_1 & d_2 & d_3 \end{vmatrix} = 0$.
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$0(0 - d_2) - 1(d_3 - d_1) + 1(d_2 - 0) = 0$.
$-d_3 + d_1 + d_2 = 0$.
આ સમીકરણમાં $d_2 = -d_1$ મૂકતા,આપણને $-d_3 + d_1 - d_1 = 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $d_3 = 0$ (iii).
સમીકરણ (ii) અને (iii) ને $(i)$ માં મૂકતા:
$d_1^2 + (-d_1)^2 + 0^2 = 1 \Rightarrow 2d_1^2 = 1 \Rightarrow d_1 = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$.
આમ,$d_1 = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$ અને $d_2 = \mp \frac{1}{\sqrt{2}}$.
તેથી,$d = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}(\hat{i} - \hat{j})$.

(B) ધારો કે આપેલા શિરોબિંદુઓ $P(4, 5, 1)$,$Q(0, -1, 1)$,$R(3, 9, 4)$,અને $S(-2, 4, 4)$ છે.
શિરોબિંદુ $P$ માંથી નીકળતી ધાર દર્શાવતા સદિશો:
$\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{OQ} - \overrightarrow{OP} = -4\hat{i} - 6\hat{j}$
$\overrightarrow{PR} = \overrightarrow{OR} - \overrightarrow{OP} = -\hat{i} + 4\hat{j} + 3\hat{k}$
$\overrightarrow{PS} = \overrightarrow{OS} - \overrightarrow{OP} = -6\hat{i} - \hat{j} + 3\hat{k}$
ચતુષ્ફલકનું ઘનફળ $V = \frac{1}{6} |[\overrightarrow{PQ}, \overrightarrow{PR}, \overrightarrow{PS}]|$ દ્વારા મળે છે.
અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર:
$[\overrightarrow{PQ}, \overrightarrow{PR}, \overrightarrow{PS}] = \begin{vmatrix} -4 & -6 & 0 \\ -1 & 4 & 3 \\ -6 & -1 & 3 \end{vmatrix}$
$= -4(12 + 3) + 6(-3 + 18) = -4(15) + 6(15) = -60 + 90 = 30$.
તેથી,ચતુષ્ફલકનું ઘનફળ $\frac{1}{6} \times 30 = 5$ ઘન એકમ થાય.

(D) રેખાનું સમીકરણ $r = a + t b$ છે,જેનો અર્થ છે કે રેખા સદિશ $b$ ને સમાંતર છે.
સમતલનું સમીકરણ $r = c + l d + m e$ છે,જેનો અર્થ છે કે સમતલ સદિશો $d$ અને $e$ ને સમાંતર છે.
સમતલનો અભિલંબ સદિશ $n = d \times e$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જો રેખા સમતલને સમાંતર હોય,તો રેખાનો દિશા સદિશ $b$ એ સમતલના અભિલંબ સદિશ $n$ ને લંબ હોવો જોઈએ.
તેથી,$b \cdot n = 0$,જેનો અર્થ છે કે $b \cdot (d \times e) = 0$.
આ અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $[b d e] = 0$ ને સમાન છે.

(D) આપણને ચાર સદિશો $a, b, c$ અને $d$ આપેલા છે કે જેથી $a \cdot b = 0$,$|a \times c| = |a||c|$,અને $|a \times d| = |a||d|$ છે.
શરતો $|a \times c| = |a||c|$ અને $|a \times d| = |a||d|$ પરથી,આપણે જાણીએ છીએ કે $a, c$ અને $a, d$ વચ્ચેના ખૂણાઓ માટે $\sin \theta = 1$ થાય છે.
આનો અર્થ એ છે કે $a \perp c$ અને $a \perp d$.
કારણ કે $c$ અને $d$ બંને $a$ ને લંબ છે,તેથી સદિશ $(c \times d)$ એ $a$ ને સમાંતર હોવો જોઈએ.
તેથી,આપણે $c \times d = \lambda a$ લખી શકીએ,જ્યાં $\lambda$ એ કોઈ અચળાંક છે.
હવે,આપણે અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $[b c d] = b \cdot (c \times d)$ ની ગણતરી કરીએ.
$c \times d = \lambda a$ મૂકતા,આપણને $[b c d] = b \cdot (\lambda a) = \lambda (b \cdot a)$ મળે છે.
કારણ કે $a \cdot b = 0$,તેથી $b \cdot a = 0$ થાય.
આમ,$[b c d] = \lambda \times 0 = 0$.

(A) ધારો કે $\vec{x} = (\vec{a} \times \vec{b}) \times(\vec{c} \times \vec{d}) + (\vec{a} \times \vec{c}) \times(\vec{d} \times \vec{b}) + (\vec{a} \times \vec{d}) \times(\vec{b} \times \vec{c})$.
સદિશ નિત્યસમ $(\vec{p} \times \vec{q}) \times \vec{r} = (\vec{p} \cdot \vec{r})\vec{q} - (\vec{q} \cdot \vec{r})\vec{p}$ નો ઉપયોગ કરીને,દરેક પદનું વિસ્તરણ કરીએ:
$1$. $(\vec{a} \times \vec{b}) \times(\vec{c} \times \vec{d}) = [\vec{a} \vec{c} \vec{d}]\vec{b} - [\vec{b} \vec{c} \vec{d}]\vec{a}$
$2$. $(\vec{a} \times \vec{c}) \times(\vec{d} \times \vec{b}) = [\vec{a} \vec{d} \vec{b}]\vec{c} - [\vec{c} \vec{d} \vec{b}]\vec{a}$
$3$. $(\vec{a} \times \vec{d}) \times(\vec{b} \times \vec{c}) = [\vec{a} \vec{b} \vec{c}]\vec{d} - [\vec{d} \vec{b} \vec{c}]\vec{a}$
આ બધાનો સરવાળો કરતા:
$\vec{x} = ([\vec{a} \vec{c} \vec{d}]\vec{b} + [\vec{a} \vec{d} \vec{b}]\vec{c} + [\vec{a} \vec{b} \vec{c}]\vec{d}) - ([\vec{b} \vec{c} \vec{d}] + [\vec{c} \vec{d} \vec{b}] + [\vec{d} \vec{b} \vec{c}])\vec{a}$
અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર ચક્રીય હોવાથી,$[\vec{b} \vec{c} \vec{d}] = [\vec{c} \vec{d} \vec{b}] = [\vec{d} \vec{b} \vec{c}]$.
આમ,$\vec{a}$ નો સહગુણક $-3[\vec{b} \vec{c} \vec{d}]$ છે.
અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારના ગુણધર્મ મુજબ,$[\vec{a} \vec{c} \vec{d}]\vec{b} + [\vec{a} \vec{d} \vec{b}]\vec{c} + [\vec{a} \vec{b} \vec{c}]\vec{d} = [\vec{b} \vec{c} \vec{d}]\vec{a}$.
આ કિંમત મૂકતા,$\vec{x} = [\vec{b} \vec{c} \vec{d}]\vec{a} - 3[\vec{b} \vec{c} \vec{d}]\vec{a} = -2[\vec{b} \vec{c} \vec{d}]\vec{a}$.
તેથી,$\vec{x}$ એ $\vec{a}$ નો અદિશ ગુણિત હોવાથી,તે $\vec{a}$ ને સમાંતર છે.

(C) કારણ કે $a, b, c$ અસમતલીય છે,તેથી અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $[a b c] \neq 0$ થાય.
ધારો કે $V = [a b c]$. સદિશો $b \times c, c \times a, a \times b$ એ અવકાશ માટે આધાર (basis) બનાવે છે.
કોઈપણ સદિશ $d$ ને $d = x(b \times c) + y(c \times a) + z(a \times b)$ તરીકે દર્શાવી શકાય.
$a$ સાથે ડોટ ગુણાકાર લેતા: $a \cdot d = x(a \cdot (b \times c)) = x[a b c] \Rightarrow x = \frac{a \cdot d}{[a b c]}$.
તે જ રીતે,$y = \frac{b \cdot d}{[a b c]}$ અને $z = \frac{c \cdot d}{[a b c]}$.
આ કિંમતો $d$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$d = \frac{(a \cdot d)(b \times c) + (b \cdot d)(c \times a) + (c \cdot d)(a \times b)}{[a b c]}$.
તેથી,$(a \cdot d)(b \times c) + (b \cdot d)(c \times a) + (c \cdot d)(a \times b) = d [a b c]$.
બંને બાજુ માન (magnitude) લેતા:
$|(a \cdot d)(b \times c) + (b \cdot d)(c \times a) + (c \cdot d)(a \times b)| = |d| |[a b c]|$.
$d$ એકમ સદિશ હોવાથી,$|d| = 1$.
તેથી,આ પદાવલિનું મૂલ્ય $|[a b c]|$ થાય.

(C) કોઈપણ ત્રિકોણમાં,મધ્યકેન્દ્ર એ લંબકેન્દ્ર અને પરિકેન્દ્રને જોડતા રેખાખંડનું $2: 1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
ધારો કે લંબકેન્દ્ર $O(-1, 3, 2)$ છે અને પરિકેન્દ્ર $C(5, 3, 2)$ છે.
મધ્યકેન્દ્ર $G$ એ રેખાખંડ $OC$ નું $2: 1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$G$ ના યામ:
$G = \left( \frac{2(5) + 1(-1)}{2+1}, \frac{2(3) + 1(3)}{2+1}, \frac{2(2) + 1(2)}{2+1} \right)$
$G = \left( \frac{10-1}{3}, \frac{6+3}{3}, \frac{4+2}{3} \right)$
$G = \left( \frac{9}{3}, \frac{9}{3}, \frac{6}{3} \right) = (3, 3, 2)$.
આમ,વિધાન $(A)$ સાચું છે.
કારણ $(R)$ જણાવે છે કે ગુણોત્તર $1: 2$ છે,જે ખોટું છે કારણ કે સાચો ગુણોત્તર $2: 1$ છે.
તેથી,$(A)$ સાચું છે અને $(R)$ ખોટું છે.

(B) દિશા ગુણોત્તરો $(l, m, n)$ માટે આપેલા સમીકરણો $l+m+n=0$ અને $l^2=m^2+n^2$ છે.
$l+m+n=0$ પરથી,આપણને $l=-(m+n)$ મળે છે.
આ કિંમતને $l^2=m^2+n^2$ માં મૂકતા,$(-(m+n))^2 = m^2+n^2$ મળે છે.
$m^2+n^2+2mn = m^2+n^2$,જેનો અર્થ છે કે $2mn=0$,તેથી $mn=0$.
આનાથી બે કિસ્સાઓ મળે છે:
કિસ્સો $I$: $m=0$. તો $l=-n$. ધારો કે દિશા ગુણોત્તરો $(k, 0, -k)$ છે. એકમ સદિશ $(\frac{1}{\sqrt{2}}, 0, -\frac{1}{\sqrt{2}})$ છે.
કિસ્સો $II$: $n=0$. તો $l=-m$. ધારો કે દિશા ગુણોત્તરો $(k, -k, 0)$ છે. એકમ સદિશ $(\frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}}, 0)$ છે.
ધારો કે $\vec{a} = (\frac{1}{\sqrt{2}}, 0, -\frac{1}{\sqrt{2}})$ અને $\vec{b} = (\frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}}, 0)$.
તેમની વચ્ચેના ખૂણા $\theta$ નો કોસાઇન $\cos \theta = |\vec{a} \cdot \vec{b}|$ દ્વારા મળે છે.
$\cos \theta = |(\frac{1}{\sqrt{2}})(\frac{1}{\sqrt{2}}) + (0)(-\frac{1}{\sqrt{2}}) + (-\frac{1}{\sqrt{2}})(0)| = |\frac{1}{2} + 0 + 0| = \frac{1}{2}$.
તેથી $\cos \theta = \frac{1}{2}$,એટલે કે $\theta = \frac{\pi}{3}$.

(A) દિક્કોસાઈન માટે આપેલા સમીકરણો $a l + b m + c n = 0$ $(1)$ અને $m n + n l + l m = 0$ $(2)$ છે.
$(1)$ પરથી,$n = -\frac{a l + b m}{c}$.
આ કિંમત $(2)$ માં મૂકતા:
$m \left( -\frac{a l + b m}{c} \right) + l \left( -\frac{a l + b m}{c} \right) + l m = 0$.
$-c$ વડે ગુણતા:
$m(a l + b m) + l(a l + b m) - c l m = 0$.
$a l^2 + b m^2 + a l m + b l m - c l m = 0$.
$a l^2 + (a + b - c) l m + b m^2 = 0$.
$m^2$ વડે ભાગતા,આપણને મળે $a \left( \frac{l}{m} \right)^2 + (a + b - c) \left( \frac{l}{m} \right) + b = 0$.
ધારો કે બે રેખાઓના દિક્કોસાઈન $(l_1, m_1, n_1)$ અને $(l_2, m_2, n_2)$ છે. દ્વિઘાત સમીકરણના બીજ $\frac{l_1}{m_1}$ અને $\frac{l_2}{m_2}$ છે.
તેથી,$\frac{l_1 l_2}{m_1 m_2} = \frac{b}{a}$,જે સૂચવે છે કે $\frac{l_1 l_2}{b} = \frac{m_1 m_2}{a}$.
સમાનતા દ્વારા,$\frac{l_1 l_2}{1/a} = \frac{m_1 m_2}{1/b} = \frac{n_1 n_2}{1/c} = k$.
રેખાઓ લંબ હોય જો $l_1 l_2 + m_1 m_2 + n_1 n_2 = 0$.
કિંમતો મૂકતા: $k \left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \right) = 0$.
$k \neq 0$ હોવાથી,શરત $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 0$ છે.

(C) આપેલ સ્થાન સદિશો:
$A = \hat{i}+2\hat{j}+\hat{k}$
$B = 2\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k}$
$C = \hat{i}+\hat{j}+2\hat{k}$
સૌ પ્રથમ,સદિશો $\overrightarrow{AC}$ અને $\overrightarrow{AB}$ શોધો:
$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{C} - \overrightarrow{A} = (\hat{i}+\hat{j}+2\hat{k}) - (\hat{i}+2\hat{j}+\hat{k}) = 0\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$
$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{B} - \overrightarrow{A} = (2\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k}) - (\hat{i}+2\hat{j}+\hat{k}) = \hat{i} - 3\hat{j} + \hat{k}$
હવે,ક્રોસ પ્રોડક્ટ $\overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{AB}$ ની ગણતરી કરો:
$\overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{AB} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 0 & -1 & 1 \\ 1 & -3 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(-1+3) - \hat{j}(0-1) + \hat{k}(0+1) = 2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$
ક્રોસ પ્રોડક્ટનું માન $|\overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{AB}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{6}$ છે.
$\overrightarrow{AB}$ નું માન $|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{1^2 + (-3)^2 + 1^2} = \sqrt{1+9+1} = \sqrt{11}$ છે.
રેખા $AB$ થી બિંદુ $C$ નું લંબ અંતર $d = \frac{|\overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{AB}|}{|\overrightarrow{AB}|}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$d = \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{11}} = \sqrt{\frac{6}{11}}$.

(A) બિંદુ $B$ નો સ્થાન સદિશ $\vec{b} = 3 \hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$ છે.
બિંદુ $A$ એ $B$ માંથી પસાર થતી અને $\vec{v} = 2 \hat{i} - \hat{j} + 2 \hat{k}$ ને સમાંતર રેખા પર હોવાથી,સદિશ $\overrightarrow{B A}$ ને $\overrightarrow{B A} = t \vec{v} = t(2 \hat{i} - \hat{j} + 2 \hat{k})$ તરીકે લખી શકાય,જ્યાં $t$ કોઈ અદિશ છે.
આપેલ છે કે $|\overrightarrow{B A}| = 18$,તેથી $|t| \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2} = 18$.
$|t| \sqrt{4 + 1 + 4} = 18 \Rightarrow |t| \sqrt{9} = 18 \Rightarrow 3|t| = 18 \Rightarrow |t| = 6$.
આમ,$t = 6$ અથવા $t = -6$.
$A$ નો સ્થાન સદિશ $\vec{a} = \vec{b} + \overrightarrow{B A} = (3 \hat{i} + \hat{j} - \hat{k}) + t(2 \hat{i} - \hat{j} + 2 \hat{k})$ છે.
$t = 6$ માટે: $\vec{a} = (3 + 12) \hat{i} + (1 - 6) \hat{j} + (-1 + 12) \hat{k} = 15 \hat{i} - 5 \hat{j} + 11 \hat{k}$.
$t = -6$ માટે: $\vec{a} = (3 - 12) \hat{i} + (1 + 6) \hat{j} + (-1 - 12) \hat{k} = -9 \hat{i} + 7 \hat{j} - 13 \hat{k}$.
આપેલ વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,સાચો સ્થાન સદિશ $-9 \hat{i} + 7 \hat{j} - 13 \hat{k}$ છે.

(C) દિકકોસાઇન $(l, m, n)$ માટે આપેલા સમીકરણો:
$l+m+n=0$ --- $(i)$
$l^2+m^2-n^2=0$ --- $(ii)$
$(i)$ પરથી,$n = -(l+m)$.
આ કિંમત $(ii)$ માં મૂકતા:
$l^2 + m^2 - (-(l+m))^2 = 0$
$l^2 + m^2 - (l^2 + m^2 + 2lm) = 0$
$-2lm = 0 \Rightarrow lm = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે કાં તો $l=0$ અથવા $m=0$.
કિસ્સો $1$: જો $l=0$ હોય,તો $(i)$ પરથી,$m+n=0 \Rightarrow m=-n$. ધારો કે $m=1$,તો $n=-1$. દિકગુણોત્તર $(0, 1, -1)$ મળે છે.
કિસ્સો $2$: જો $m=0$ હોય,તો $(i)$ પરથી,$l+n=0 \Rightarrow l=-n$. ધારો કે $l=1$,તો $n=-1$. દિકગુણોત્તર $(1, 0, -1)$ મળે છે.
ધારો કે બે સદિશો $\vec{a} = 0\hat{i} + 1\hat{j} - 1\hat{k}$ અને $\vec{b} = 1\hat{i} + 0\hat{j} - 1\hat{k}$ છે.
તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ માટે $\cos \theta = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$.
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (0)(1) + (1)(0) + (-1)(-1) = 1$.
$|\vec{a}| = \sqrt{0^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$.
$|\vec{b}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$.
$\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{2}$.
તેથી,$\theta = \frac{\pi}{3}$.

(D) દિક્કોસાઈન $(l, m, n)$ માટે આપેલ સમીકરણો:
$l+m+n=0 \Rightarrow m=-(l+n) \quad (i)$
$2lm+2ln-mn=0 \quad (ii)$
$m=-(l+n)$ ને $(ii)$ માં મૂકતા:
$2l(-(l+n)) + 2ln - (-(l+n))n = 0$
$-2l^2 - 2ln + 2ln + ln + n^2 = 0$
$-2l^2 + ln + n^2 = 0$
$2l^2 - ln - n^2 = 0$
$(2l+n)(l-n) = 0$
આના બે કિસ્સા મળે છે:
કિસ્સો $1$: $l=n$. $(i)$ પરથી,$m=-(n+n)=-2n$. તેથી,$(l, m, n) = (n, -2n, n)$,જે દિક્ગુણોત્તર $(1, -2, 1)$ આપે છે.
કિસ્સો $2$: $2l=-n \Rightarrow l=-\frac{n}{2}$. $(i)$ પરથી,$m=-(-\frac{n}{2}+n) = -\frac{n}{2}$. તેથી,$(l, m, n) = (-\frac{n}{2}, -\frac{n}{2}, n)$,જે દિક્ગુણોત્તર $(1, 1, -2)$ આપે છે.
ધારો કે દિક્ગુણોત્તર $\vec{a} = (1, -2, 1)$ અને $\vec{b} = (1, 1, -2)$ છે.
રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ નીચે મુજબ મળે:
$\cos \theta = \left| \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|} \right| = \left| \frac{(1)(1) + (-2)(1) + (1)(-2)}{\sqrt{1^2+(-2)^2+1^2} \sqrt{1^2+1^2+(-2)^2}} \right|$
$\cos \theta = \left| \frac{1 - 2 - 2}{\sqrt{6} \sqrt{6}} \right| = \left| \frac{-3}{6} \right| = \frac{1}{2}$
$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) = 60^{\circ}$.