ધારો કે $A, B, C$ એ $3 \times 3$ અસામાન્ય શ્રેણિકો છે અને $I$ એ ત્રણ કક્ષાનો એકમ શ્રેણિક છે. જો $A B A = B A^2 B$ અને $A^3 = I$ હોય,તો $A B^4 - B^4 A = $

જો $\frac{x^2+7}{(x^2+1)(x-2)}=\frac{A}{x-2}+\frac{Bx+C}{x^2+1}$ હોય,તો શ્રેણિક $\begin{bmatrix} A & B \\ C & \frac{2}{5} \end{bmatrix}$ નો નિશ્ચાયક શોધો.

ધારો કે $A = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 2 & \alpha \end{bmatrix}$ અને $B = \begin{bmatrix} \beta & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$,જ્યાં $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$. ધારો કે $\alpha_{1}$ એ $\alpha$ ની એવી કિંમત છે જે $(A + B)^{2} = A^{2} + \begin{bmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 2 \end{bmatrix}$ નું સમાધાન કરે છે અને $\alpha_{2}$ એ $\alpha$ ની એવી કિંમત છે જે $(A + B)^{2} = B^{2}$ નું સમાધાન કરે છે. તો $|\alpha_{1} - \alpha_{2}|$ ની કિંમત શોધો.

કોઈપણ $3 \times 3$ શ્રેણિક $M$ માટે,$| M |$ એ $M$ નો નિશ્ચાયક દર્શાવે છે. ધારો કે $E=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 4 \\ 8 & 13 & 18 \end{bmatrix}$,$P=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}$ અને $F=\begin{bmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 8 & 18 & 13 \\ 2 & 4 & 3 \end{bmatrix}$. જો $Q$ એ $3 \times 3$ ક્રમનો બિન-શૂન્ય શ્રેણિક હોય,તો નીચેનામાંથી કયા વિધાનો $TRUE$ છે?
$(A)$ $F = PEP$ અને $P^2 = I$
$(B)$ $| EQ + PFQ^{-1} | = | EQ | + | PFQ^{-1} |$
$(C)$ $|(EF)^3| > |EF|^2$
$(D)$ $P^{-1}EP + F$ ના વિકર્ણ ઘટકોનો સરવાળો એ $E + P^{-1}FP$ ના વિકર્ણ ઘટકોના સરવાળા જેટલો છે.

જો $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & -2 & 1 \\ 4 & 2 & 1 \end{bmatrix}$ હોય,તો સાબિત કરો કે $A^{3} - 23A - 40I = 0$.

$\left|\begin{array}{ll}2 & 1 \\ 3 & 1\end{array}\right|+\left|\begin{array}{cc}1 & 1/3 \\ 3 & 1\end{array}\right|+\left|\begin{array}{cc}1/2 & 1/9 \\ 3 & 1\end{array}\right|+\left|\begin{array}{cc}1/4 & 1/27 \\ 3 & 1\end{array}\right|+\ldots \infty=$