TS EAMCET 2018 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(C) આપેલ પરવલય $y^2=8x$ છે.
$y^2=4ax$ સાથે સરખાવતા,$4a=8 \Rightarrow a=2$ મળે.
ધારો કે $P$ અને $Q$ ના પ્રચલ યામ $(at_1^2, 2at_1)$ અને $(at_2^2, 2at_2)$ છે.
તેથી,$P$ આગળના સ્પર્શકનું સમીકરણ $yt_1=x+2t_1^2$ $(i)$ છે.
તે જ રીતે,$Q$ આગળના સ્પર્શકનું સમીકરણ $yt_2=x+2t_2^2$ $(ii)$ છે.
પરવલય $y^2=8x$ ના શિરોબિંદુ આગળનો સ્પર્શક $y$-અક્ષ છે,એટલે કે $x=0$.
$M$ શોધવા માટે,સમીકરણ $(i)$ માં $x=0$ મૂકતા,$yt_1=2t_1^2 \Rightarrow y=2t_1$ મળે. આમ,$M=(0, 2t_1)$.
$N$ શોધવા માટે,સમીકરણ $(ii)$ માં $x=0$ મૂકતા,$yt_2=2t_2^2 \Rightarrow y=2t_2$ મળે. આમ,$N=(0, 2t_2)$.
આપેલ છે કે $MN=4$,તેથી $|2t_1-2t_2|=4$ $\Rightarrow |t_1-t_2|=2$ $\Rightarrow (t_1-t_2)^2=4$ $(iii)$.
સ્પર્શકોનું છેદબિંદુ $R(h, k) = (at_1t_2, a(t_1+t_2))$ છે.
તેથી,$(h, k) = (2t_1t_2, 2(t_1+t_2))$.
આનો અર્થ એ છે કે $t_1t_2 = h/2$ અને $t_1+t_2 = k/2$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $(t_1+t_2)^2 = (t_1-t_2)^2 + 4t_1t_2$.
કિંમતો મૂકતા,$(k/2)^2 = 4 + 4(h/2)$ $\Rightarrow k^2/4 = 4+2h$ $\Rightarrow k^2 = 16+8h = 8(h+2)$.
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથ $y^2=8(x+2)$ મળે છે.

(B) ધારો કે $P = (3, 1)$ અને $Q = (x_1, y_1)$ એ પરવલય $y^2 = 8x$ પરનું બિંદુ છે.
ધારો કે $R(h, k)$ એ રેખાખંડ $PQ$ નું મધ્યબિંદુ છે.
મધ્યબિંદુના સૂત્ર મુજબ:
$h = \frac{3 + x_1}{2} \implies x_1 = 2h - 3$
$k = \frac{1 + y_1}{2} \implies y_1 = 2k - 1$
બિંદુ $Q(x_1, y_1)$ એ પરવલય $y^2 = 8x$ પર હોવાથી:
$(2k - 1)^2 = 8(2h - 3)$
$4k^2 - 4k + 1 = 16h - 24$
$4k^2 - 4k - 16h + 25 = 0$
તેથી,$R(h, k)$ નો બિંદુપથ $4y^2 - 4y - 16x + 25 = 0$ છે.

(D) ધારો કે $Q(h, k)$ એ નાભિ $F(a, 0)$ અને પરવલય $y^2=4ax$ પરના ચલ બિંદુ $P(x_0, y_0)$ ને જોડતા રેખાખંડનું મધ્યબિંદુ છે.
મધ્યબિંદુ $Q$ ના યામ નીચે મુજબ છે:
$(h, k) = \left(\frac{x_0+a}{2}, \frac{y_0+0}{2}\right) = \left(\frac{x_0+a}{2}, \frac{y_0}{2}\right)$
આના પરથી,આપણને મળે છે:
$h = \frac{x_0+a}{2} \Rightarrow x_0 = 2h - a$
$k = \frac{y_0}{2} \Rightarrow y_0 = 2k$
બિંદુ $P(x_0, y_0)$ એ પરવલય $y^2=4ax$ પર હોવાથી,આપણે $x_0$ અને $y_0$ ની કિંમતો સમીકરણમાં મૂકીએ:
$(2k)^2 = 4a(2h - a)$
$4k^2 = 8ah - 4a^2$
$k^2 = 2a(h - \frac{a}{2})$
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથ $y^2 = 2a(x - \frac{a}{2})$ મળે છે.
આ $Y^2 = 4AX$ સ્વરૂપનું પરવલય છે,જ્યાં $Y = y$,$X = x - \frac{a}{2}$,અને $4A = 2a \Rightarrow A = \frac{a}{2}$.
$Y^2 = 4AX$ માટે નિયામિકાનું સમીકરણ $X = -A$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે:
$x - \frac{a}{2} = -\frac{a}{2}$
$x = 0$

(A) આપેલ છે કે,ઉત્કેન્દ્રિતતા $e = \frac{1}{2}$,કેન્દ્ર $(0, 0)$ અને નિયામિકાનું સમીકરણ $x = \frac{a}{e} = 4$ છે.
$e = \frac{1}{2}$ હોવાથી,$\frac{a}{1/2} = 4$,જેનો અર્થ છે કે $a = 2$.
હવે,$b^2 = a^2(1 - e^2) = 2^2(1 - (\frac{1}{2})^2) = 4(1 - \frac{1}{4}) = 4(\frac{3}{4}) = 3$.
ઉગમબિંદુ પર કેન્દ્ર અને મુખ્ય અક્ષ $x$-અક્ષ પર હોય તેવા ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1$ મળે છે.
$12$ વડે ગુણતા,આપણને $3x^2 + 4y^2 = 12$ મળે છે.

(C) ઉપવલય $S$ એ $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1$ છે. તેના શિરોબિંદુઓ $(0, \pm 3)$ છે. ધારો કે $A = (0, 3)$.
ઉપવલય $S^{\prime} \equiv \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$ માટે,મુખ્ય અક્ષ $x$-અક્ષ પર છે,$a^2=9, b^2=4$. ઉત્કેન્દ્રિયતા $e = \sqrt{1-\frac{4}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}$. નાભિઓ $(\pm ae, 0) = (\pm \sqrt{5}, 0)$ છે.
ધારો કે $F = (\sqrt{5}, 0)$. બિંદુ $P$ એ $\overline{OF}$ ને $2:1$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે. તેથી,$P = \left(\frac{2(\sqrt{5})+1(0)}{2+1}, 0\right) = \left(\frac{2\sqrt{5}}{3}, 0\right)$.
$A(0, 3)$ અને $P\left(\frac{2\sqrt{5}}{3}, 0\right)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $y - 3 = \frac{0-3}{\frac{2\sqrt{5}}{3}-0}(x-0)$ છે,જેનું સાદું રૂપ $y = -\frac{9}{2\sqrt{5}}x + 3$ થાય છે.
$y = 3 - \frac{9}{2\sqrt{5}}x$ ને $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} = 1$ માં મૂકતા,આપણને $\frac{x^2}{4} + \frac{(3 - \frac{9}{2\sqrt{5}}x)^2}{9} = 1$ મળે છે.
$\frac{x^2}{4} + \frac{9(1 - \frac{3}{2\sqrt{5}}x)^2}{9} = 1$ $\Rightarrow \frac{x^2}{4} + 1 - \frac{3}{\sqrt{5}}x + \frac{9}{20}x^2 = 1$.
$\frac{5x^2 + 9x^2}{20} = \frac{3}{\sqrt{5}}x$ $\Rightarrow \frac{14x^2}{20} = \frac{3}{\sqrt{5}}x$ $\Rightarrow x = 0$ અથવા $x = \frac{3}{\sqrt{5}} \times \frac{20}{14} = \frac{30}{7\sqrt{5}}$.
$x = \frac{30}{7\sqrt{5}}$ માટે,$y = 3 - \frac{9}{2\sqrt{5}}(\frac{30}{7\sqrt{5}}) = 3 - \frac{270}{70} = 3 - \frac{27}{7} = -\frac{6}{7}$.
જીવાની લંબાઈ $\sqrt{(\frac{30}{7\sqrt{5}} - 0)^2 + (-\frac{6}{7} - 3)^2} = \sqrt{\frac{900}{49 \times 5} + (-\frac{27}{7})^2} = \sqrt{\frac{180}{49} + \frac{729}{49}} = \sqrt{\frac{909}{49}} = \frac{3\sqrt{101}}{7}$.
તેથી,$k=7$.

(A) આપેલ છે કે ઉપવલયની મુખ્ય અક્ષ $X$-અક્ષ પર છે,તેથી તેનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે,જ્યાં $a^2 > b^2$.
તે $(-3, 1)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $\frac{9}{a^2} + \frac{1}{b^2} = 1$ $(i)$.
ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{\frac{2}{5}}$ છે,તેથી $e^2 = \frac{2}{5}$.
સંબંધ $b^2 = a^2(1 - e^2)$ નો ઉપયોગ કરતા,$b^2 = a^2(1 - \frac{2}{5}) = a^2(\frac{3}{5})$,એટલે કે $b^2 = \frac{3a^2}{5}$ (ii).
(ii) ને $(i)$ માં મૂકતા: $\frac{9}{a^2} + \frac{5}{3a^2} = 1$.
$3a^2$ વડે ગુણતા: $27 + 5 = 3a^2$,તેથી $3a^2 = 32$,જે $a^2 = \frac{32}{3}$ આપે છે.
ત્યારબાદ $b^2 = \frac{3}{5} \times \frac{32}{3} = \frac{32}{5}$.
ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{32/3} + \frac{y^2}{32/5} = 1$ છે,જેનું સાદું રૂપ $3x^2 + 5y^2 = 32$ થાય છે.

(D) આપેલ સમીકરણ: $4x^2 + y^2 - 8x + 2y + 1 = 0$
પૂર્ણવર્ગ બનાવતા: $4(x-1)^2 + (y+1)^2 = 4$
પ્રમાણિત સ્વરૂપ: $\frac{(x-1)^2}{1} + \frac{(y+1)^2}{4} = 1$
અહીં $a^2 = 1$ અને $b^2 = 4$ હોવાથી,મુખ્ય અક્ષ શિરોલંબ છે.
ઉત્કેન્દ્રતા $e = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
કેન્દ્ર $(h, k) = (1, -1)$.
નાભિ $(h, k \pm be) = (1, -1 \pm \sqrt{3})$ મળે છે.
નિયામિકાનું સમીકરણ $y = k \pm \frac{b}{e} = -1 \pm \frac{4}{\sqrt{3}}$ મળે છે.
તેથી,નાભિ $(1, -1-\sqrt{3})$ માટે નિયામિકા $\sqrt{3}y + \sqrt{3} + 4 = 0$ થાય છે.

(D) ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{18} + \frac{y^2}{8} = 1$ છે.
ધારો કે સ્પર્શબિંદુ $(a, b)$ છે. ઉપવલય $\frac{x^2}{18} + \frac{y^2}{8} = 1$ માટે $(a, b)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $\frac{ax}{18} + \frac{by}{8} = 1$ થાય.
આપેલ સ્પર્શકનું સમીકરણ $8x + 3\sqrt{2}y = 36$ છે,જેને $\frac{8x}{36} + \frac{3\sqrt{2}y}{36} = 1$ એટલે કે $\frac{2x}{9} + \frac{\sqrt{2}y}{12} = 1$ તરીકે લખી શકાય.
સ્પર્શકના બંને સમીકરણોની સરખામણી કરતા:
$\frac{a}{18} = \frac{2}{9} \implies a = \frac{18 \times 2}{9} = 4$.
$\frac{b}{8} = \frac{\sqrt{2}}{12} \implies b = \frac{8\sqrt{2}}{12} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$.
હવે,$a + \sqrt{2}b = 4 + \sqrt{2} \times \frac{2\sqrt{2}}{3} = 4 + \frac{4}{3} = \frac{12 + 4}{3} = \frac{16}{3}$.

(D) ધારો કે સામાન્ય સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = mx + c$ છે.
ઉપવલય $\frac{x^2}{49} + \frac{y^2}{4} = 1$ માટે,સ્પર્શક હોવાની શરત $c^2 = a^2m^2 + b^2$ છે.
અહીં $a^2 = 49$ અને $b^2 = 4$ છે,તેથી $c^2 = 49m^2 + 4$ $(i)$.
વર્તુળ $x^2 + y^2 = 16$ માટે,સ્પર્શક હોવાની શરત $c^2 = r^2(1 + m^2)$ છે.
અહીં $r^2 = 16$ છે,તેથી $c^2 = 16(1 + m^2)$ (ii).
$(i)$ અને (ii) ને સરખાવતા:
$49m^2 + 4 = 16 + 16m^2$
$33m^2 = 12$
$m^2 = \frac{12}{33} = \frac{4}{11}$
$m = \pm \frac{2}{\sqrt{11}}$
તેથી,ઢાળ $\frac{2}{\sqrt{11}}$ છે.

(A) રેખા $y=mx+c$ એ ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ નો સ્પર્શક હોય તેની શરત $c^2=a^2m^2+b^2$ છે.
આપેલ $4x+y+p=0$ પરથી $y=-4x-p$.
ઉપવલય $x^2+3y^2=3$ એટલે કે $\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{1}=1$ માટે,$a^2=3, b^2=1, m=-4, c=-p$.
આ કિંમતો મૂકતા: $(-p)^2 = 3(-4)^2 + 1 \Rightarrow p^2 = 49$.
$p>0$ હોવાથી,$p=7$.
રેખા $y=mx+c$ એ ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ નો અભિલંબ હોય તેની શરત $c^2=\frac{m^2(a^2-b^2)^2}{a^2+b^2m^2}$ છે.
આપેલ $16x+qy+14=0$ પરથી $y=-\frac{16}{q}x-\frac{14}{q}$.
ઉપવલય $x^2+8y^2=33$ એટલે કે $\frac{x^2}{33}+\frac{y^2}{33/8}=1$ માટે,$a^2=33, b^2=\frac{33}{8}, m=-\frac{16}{q}, c=-\frac{14}{q}$.
ગણતરી કરતા $q^2=1$ મળે છે.
$q>0$ હોવાથી,$q=1$.
તેથી,$p+q = 7+1 = 8$.

(B) આપેલ ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$ છે,જ્યાં $a^2=25$ અને $b^2=16$,તેથી $a=5$ અને $b=4$.
ઉત્કેન્દ્રિયતા $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{16}{25}} = \frac{3}{5}$.
નાભિલંબના અંત્યબિંદુઓ $(\pm ae, \pm \frac{b^2}{a}) = (\pm 3, \pm \frac{16}{5})$ છે.
$(x_1, y_1)$ બિંદુએ સ્પર્શકનું સમીકરણ $\frac{xx_1}{a^2} + \frac{yy_1}{b^2} = 1$ છે.
બિંદુ $(3, \frac{16}{5})$ માટે,સ્પર્શક $\frac{3x}{25} + \frac{y}{5} = 1$ મળે છે.
આ રેખા $x$-અક્ષને $P(\frac{25}{3}, 0)$ અને $y$-અક્ષને $Q(0, 5)$ માં છેદે છે.
પ્રથમ ચરણમાં ત્રિકોણ $OPQ$ નું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \times \frac{25}{3} \times 5 = \frac{125}{6}$ છે.
સંમિતિ દ્વારા,ચારેય સ્પર્શકો દ્વારા બનતા ચતુષ્કોણનું કુલ ક્ષેત્રફળ $4 \times \frac{125}{6} = \frac{250}{3}$ ચોરસ એકમ થાય.

(C) ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે.
નાભિલંબનું એક અંત્યબિંદુ $(ae, \frac{b^2}{a})$ છે.
$(x_1, y_1)$ બિંદુએ અભિલંબનું સમીકરણ $\frac{a^2 x}{x_1} - \frac{b^2 y}{y_1} = a^2 - b^2$ છે.
$(ae, \frac{b^2}{a})$ બિંદુએ અભિલંબનું સમીકરણ: $\frac{ax}{e} - ay = a^2 - b^2$ મળે.
આ અભિલંબ $(0, -b)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $ab = a^2 - b^2$.
$b^2 = a^2(1 - e^2)$ હોવાથી,$a^2 - b^2 = a^2 e^2$.
તેથી $ab = a^2 e^2 \Rightarrow b = ae^2$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$b^2 = a^2 e^4$.
$a^2(1 - e^2) = a^2 e^4$ $\Rightarrow 1 - e^2 = e^4$ $\Rightarrow e^4 + e^2 = 1$.

(D) ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ છે.
સ્પર્શકનું સમીકરણ $\frac{x \cos \theta}{a}+\frac{y \sin \theta}{b}=1$ છે.
સ્પર્શક $x$-અક્ષને $A\left(\frac{a}{\cos \theta}, 0\right)$ અને $y$-અક્ષને $B\left(0, \frac{b}{\sin \theta}\right)$ માં મળે છે.
ધારો કે $(x, y)$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે. તો:
$x = \frac{a}{2 \cos \theta} \Rightarrow \cos \theta = \frac{a}{2x}$
$y = \frac{b}{2 \sin \theta} \Rightarrow \sin \theta = \frac{b}{2y}$
નિત્યસમ $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\left(\frac{b}{2y}\right)^2 + \left(\frac{a}{2x}\right)^2 = 1$
$\frac{b^2}{4y^2} + \frac{a^2}{4x^2} = 1$
$\frac{a^2}{x^2} + \frac{b^2}{y^2} = 4$.
આમ,મધ્યબિંદુનો બિંદુપથ $\frac{a^2}{x^2} + \frac{b^2}{y^2} = 4$ છે.

(D) ધારો કે $f(e) = 2e^3 + 10e - 13$.
અહીં $f(1) = 2(1)^3 + 10(1) - 13 = -1 < 0$ અને $f(2) = 2(8) + 10(2) - 13 = 23 > 0$ છે.
ઇન્ટરમીડિયેટ વેલ્યુ થિયરમ મુજબ,અંતરાલ $(1, 2)$ માં એક બીજ $e$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે.
શંકુછેદની ઉત્કેન્દ્રતા $e > 1$ હોવાથી,તે અતિવલય છે.

(A) અતિવલયનું સમીકરણ $4x^2 - y^2 = 4a^2$ છે,જેને $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{4a^2} = 1$ તરીકે લખી શકાય.
જીવા $x \cos \phi + y \sin \phi = P$ ઉગમબિંદુ $(0,0)$ આગળ કાટખૂણો આંતરે છે,તેથી રેખાના સમીકરણનો ઉપયોગ કરીને અતિવલયના સમીકરણને સમઘાત બનાવતા: $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{4a^2} = \left(\frac{x \cos \phi + y \sin \phi}{P}\right)^2$.
આનું વિસ્તરણ કરતા,$x^2 \left(\frac{1}{a^2} - \frac{\cos^2 \phi}{P^2}\right) - y^2 \left(\frac{1}{4a^2} + \frac{\sin^2 \phi}{P^2}\right) - \frac{2xy \cos \phi \sin \phi}{P^2} = 0$ મળે.
જીવા ઉગમબિંદુ આગળ કાટખૂણો આંતરે તે માટે $x^2$ અને $y^2$ ના સહગુણકોનો સરવાળો શૂન્ય થવો જોઈએ:
$\left(\frac{1}{a^2} - \frac{\cos^2 \phi}{P^2}\right) - \left(\frac{1}{4a^2} + \frac{\sin^2 \phi}{P^2}\right) = 0$.
$\frac{3}{4a^2} - \frac{1}{P^2} = 0$ $\Rightarrow P^2 = \frac{4a^2}{3}$ $\Rightarrow P = \frac{2a}{\sqrt{3}}$.
$P$ એ ઉગમબિંદુથી જીવા પરના લંબનું અંતર છે,જે વર્તુળની ત્રિજ્યા દર્શાવે છે. તેથી,ત્રિજ્યા $\frac{2a}{\sqrt{3}}$ છે.

(A) ધારો કે બિંદુ $P(h, k)$ છે. બિંદુ $(h, k)$ માંથી પસાર થતી અને $m$ ઢાળ ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ $y - k = m(x - h)$ છે.
અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ માટે સ્પર્શકની શરત $c^2 = a^2m^2 - b^2$ છે,જ્યાં $c = k - mh$.
તેથી,$(k - mh)^2 = a^2m^2 - b^2$.
આને $m$ ના દ્વિઘાત સમીકરણ તરીકે લખતા: $m^2(h^2 - a^2) - 2mhk + (k^2 + b^2) = 0$.
સ્પર્શકોના ઢાળનો ગુણાકાર $m_1m_2 = \frac{k^2 + b^2}{h^2 - a^2}$ થાય.
આપેલ છે કે $m_1m_2 = k^2$,તેથી $\frac{k^2 + b^2}{h^2 - a^2} = k^2$.
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,$P$ નો બિંદુપથ $y^2 + b^2 = k^2(x^2 - a^2)$ મળે છે.

(B) અતિવલયનું આપેલ સમીકરણ $3x^2 - y^2 = 3$ છે,જેને $\frac{x^2}{1} - \frac{y^2}{3} = 1$ તરીકે લખી શકાય.
અહીં,$a^2 = 1$ અને $b^2 = 3$ છે.
અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ માટે $m$ ઢાળવાળા સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = mx \pm \sqrt{a^2m^2 - b^2}$ છે.
આપેલ રેખા $y = 2x + 4$ છે,તેથી ઢાળ $m = 2$ છે.
$m = 2, a^2 = 1, b^2 = 3$ ને સ્પર્શકના સમીકરણમાં મૂકતા:
$y = 2x \pm \sqrt{1(2)^2 - 3} = 2x \pm \sqrt{4 - 3} = 2x \pm 1$.
બે સમાંતર સ્પર્શકો $2x - y + 1 = 0$ અને $2x - y - 1 = 0$ છે.
બે સમાંતર રેખાઓ $Ax + By + C_1 = 0$ અને $Ax + By + C_2 = 0$ વચ્ચેનું અંતર $d = \frac{|C_1 - C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ દ્વારા મળે છે.
$d = \frac{|1 - (-1)|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} = \frac{2}{\sqrt{4 + 1}} = \frac{2}{\sqrt{5}}$.

(C) ધારો કે $(h, k)$ એ વર્તુળ $x^2+y^2=16$ ની જીવાનું મધ્યબિંદુ છે. મધ્યબિંદુ $(h, k)$ વાળી જીવાનું સમીકરણ $T=S_1$ દ્વારા મળે છે,જે $hx+ky=h^2+k^2$ છે.
આને $y = -\frac{h}{k}x + \frac{h^2+k^2}{k}$ તરીકે લખી શકાય.
આ રેખા અતિવલય $9x^2-16y^2=144$ ને સ્પર્શે છે,જેને $\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1$ તરીકે લખી શકાય.
રેખા $y=mx+c$ એ અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ ને સ્પર્શવાની શરત $c^2 = a^2m^2 - b^2$ છે.
અહીં $a^2=16$,$b^2=9$,$m = -\frac{h}{k}$,અને $c = \frac{h^2+k^2}{k}$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા: $\left(\frac{h^2+k^2}{k}\right)^2 = 16\left(-\frac{h}{k}\right)^2 - 9$.
$\frac{(h^2+k^2)^2}{k^2} = \frac{16h^2}{k^2} - 9$.
$(h^2+k^2)^2 = 16h^2 - 9k^2$.
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથ $16x^2-9y^2=(x^2+y^2)^2$ મળે છે.

(A) આપેલ છે: $f(3)=16$ અને $f^{\prime}(3)=4$.
આપણે લક્ષની કિંમત શોધવાની છે: $L = \lim _{x \rightarrow 3} \frac{x f(3)-3 f(x)}{x-3}$.
$x=3$ મૂકતા,આપણને $\frac{0}{0}$ સ્વરૂપ મળે છે.
$L^{\prime}$Hospital ના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$L = \lim _{x \rightarrow 3} \frac{f(3)-3 f^{\prime}(x)}{1}$.
$x=3$ મૂકતા:
$L = f(3)-3 f^{\prime}(3) = 16 - 3(4) = 16 - 12 = 4$.

(D) લક્ષ $\lim _{x \rightarrow a} \frac{\sqrt{a+2 x}-\sqrt{3 a}}{\sqrt{x}-\sqrt{a}}$ ની કિંમત શોધવા માટે,આપણે અંશ અને છેદનું સંમેયીકરણ કરીએ:
$\lim _{x}$ ${\rightarrow a} \frac{\sqrt{a+2 x}-\sqrt{3 a}}{\sqrt{x}-\sqrt{a}} \times \frac{\sqrt{x}+\sqrt{a}}{\sqrt{x}+\sqrt{a}} \times \frac{\sqrt{a+2 x}+\sqrt{3 a}}{\sqrt{a+2 x}+\sqrt{3 a}}$
$= \lim _{x \rightarrow a} \frac{(a+2x) - 3a}{x-a} \times \frac{\sqrt{x}+\sqrt{a}}{\sqrt{a+2x}+\sqrt{3a}}$
$= \lim _{x \rightarrow a} \frac{2x - 2a}{x-a} \times \frac{\sqrt{x}+\sqrt{a}}{\sqrt{a+2x}+\sqrt{3a}}$
$= \lim _{x \rightarrow a} \frac{2(x-a)}{x-a} \times \frac{\sqrt{x}+\sqrt{a}}{\sqrt{a+2x}+\sqrt{3a}}$
$= 2 \times \frac{\sqrt{a}+\sqrt{a}}{\sqrt{a+2a}+\sqrt{3a}} = 2 \times \frac{2\sqrt{a}}{\sqrt{3a}+\sqrt{3a}} = 2 \times \frac{2\sqrt{a}}{2\sqrt{3a}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$

(A) આપેલ છે કે $f(4)=4$ અને $f^{\prime}(4)=16$.
લક્ષ $L = \lim _{x \rightarrow 4} \frac{\sqrt{f(x)}-2}{\sqrt{x}-2}$ ધ્યાનમાં લો.
આ $\left[\frac{0}{0}\right]$ અનિશ્ચિત સ્વરૂપ છે.
$L'\text{Hospital's rule}$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે અંશ અને છેદનું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ:
$L = \lim _{x \rightarrow 4} \frac{\frac{d}{dx}(\sqrt{f(x)}-2)}{\frac{d}{dx}(\sqrt{x}-2)} = \lim _{x \rightarrow 4} \frac{\frac{1}{2\sqrt{f(x)}} \cdot f^{\prime}(x)}{\frac{1}{2\sqrt{x}}}$.
પદાવલિનું સાદું રૂપ આપતા:
$L = \lim _{x \rightarrow 4} \frac{f^{\prime}(x) \cdot \sqrt{x}}{\sqrt{f(x)}} = \frac{f^{\prime}(4) \cdot \sqrt{4}}{\sqrt{f(4)}}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$L = \frac{16 \cdot 2}{\sqrt{4}} = \frac{32}{2} = 16$.

(B) $\alpha = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{x(2^x - 1)}{1 - \cos x}$ માટે. $L'\text{Hôpital's rule}$ લાગુ પાડતા:
$\alpha = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{(2^x - 1) + x \cdot 2^x \ln 2}{\sin x}$.
ફરીથી $L'\text{Hôpital's rule}$ લાગુ પાડતા:
$\alpha = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{2^x \ln 2 + 2^x \ln 2 + x \cdot 2^x (\ln 2)^2}{\cos x} = \frac{\ln 2 + \ln 2 + 0}{1} = 2 \ln 2$.
$\beta = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{x(2^x - 1)}{\sqrt{1+x^2} - \sqrt{1-x^2}}$ માટે. છેદનું સંમેયીકરણ કરતા:
$\beta = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{x(2^x - 1)(\sqrt{1+x^2} + \sqrt{1-x^2})}{(1+x^2) - (1-x^2)} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{x(2^x - 1)(\sqrt{1+x^2} + \sqrt{1-x^2})}{2x^2} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{(2^x - 1)}{x} \cdot \frac{(\sqrt{1+x^2} + \sqrt{1-x^2})}{2}$.
કારણ કે $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{2^x - 1}{x} = \ln 2$,તેથી $\beta = \ln 2 \cdot \frac{1+1}{2} = \ln 2$.
આમ,$\alpha = 2\beta$.

(B) આપેલ લક્ષ: $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos 4 x-4 \cos 2 x+3}{x^4}$ જે $\frac{0}{0}$ અનિશ્ચિત સ્વરૂપમાં છે.
$\cos \theta \approx 1 - \frac{\theta^2}{2!} + \frac{\theta^4}{4!}$ માટે ટેલર શ્રેણીનો ઉપયોગ કરતા:
$\cos 4x \approx 1 - 8x^2 + \frac{32x^4}{3}$.
$\cos 2x \approx 1 - 2x^2 + \frac{2x^4}{3}$.
અંશમાં આ કિંમતો મૂકતા:
$(1 - 8x^2 + \frac{32x^4}{3}) - 4(1 - 2x^2 + \frac{2x^4}{3}) + 3 = 8x^4$.
તેથી,$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{8x^4}{x^4} = 8$.

(B) પ્રથમ લક્ષ ધ્યાનમાં લો: $L_1 = \lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{3|x|-x}{|x|-2 x}$.
જ્યારે $x \rightarrow-\infty$,ત્યારે $|x| = -x$ થાય.
આ કિંમત મૂકતા,$L_1 = \lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{3(-x)-x}{(-x)-2 x} = \lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{-4x}{-3x} = \frac{4}{3}$.
બીજું લક્ષ ધ્યાનમાં લો: $L_2 = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\log (1+x^3)}{\sin ^3 x}$.
પ્રમાણિત લક્ષો $\lim _{u \rightarrow 0} \frac{\log (1+u)}{u} = 1$ અને $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ નો ઉપયોગ કરતા:
$L_2 = \lim _{x \rightarrow 0} \left( \frac{\log (1+x^3)}{x^3} \cdot \frac{x^3}{\sin ^3 x} \right) = 1 \cdot 1 = 1$.
હવે,બંને પરિણામોની બાદબાકી કરતા:
$L_1 - L_2 = \frac{4}{3} - 1 = \frac{4-3}{3} = \frac{1}{3}$.

(B) આપેલ છે કે $f(x) = \lim_{n \rightarrow \infty} n(x^{1/n} - 1)$. ધારો કે $h = \frac{1}{n}$. જેમ $n \rightarrow \infty$,તેમ $h \rightarrow 0$.
$f(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{x^h - 1}{h} = \ln x$.
આપેલ સમીકરણમાં $f(x) = \ln x$ મૂકતા:
$97 \ln x + m \ln\left(\frac{1}{x}\right) = 0$
$97 \ln x - m \ln x = 0$
$(97 - m) \ln x = 0$
આ સમીકરણ તમામ $x > 0$ માટે સાચું હોવાથી,$97 - m = 0$ થાય,તેથી $m = 97$.

(D) ધારો કે મૂળ અવલોકનો $x_i$ છે અને તેનો વિચરણ $\sigma^2 = 7$ છે.
જ્યારે દરેક અવલોકન $y_i = ax + b$ માં રૂપાંતરિત થાય છે,ત્યારે નવો વિચરણ $\sigma^2(y) = a^2 \sigma^2(x)$ દ્વારા મળે છે.
અહીં,$a = 6$ અને $b = -5$ છે.
અચળાંક $b$ ની વિચરણ પર કોઈ અસર થતી નથી.
તેથી,નવો વિચરણ $\sigma^2_{new} = 6^2 \times 7 = 36 \times 7 = 252$ થશે.

(C) $(a) \sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x}) = \sum x_i - \sum \bar{x} = n\bar{x} - n\bar{x} = 0$. તેથી,$(a)-(iii)$.
$(b) \text{ વિચરણ } (\sigma^2) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2$,જે મધ્યકથી વિચલનોના વર્ગોનો મધ્યક છે. તેથી,$(b)-(v)$.
$(c) \text{ સરેરાશ વિચલન} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n |x_i - A|$,જ્યાં $A$ એ મધ્યવર્તી સ્થિતિનું માપ છે. તેથી,$(c)-(iv)$.
$(d) \text{ વિચલનનો સહગુણક} = \frac{\sigma}{\bar{x}} \times 100$,જે બે શ્રેણીઓની સમાનતાની સરખામણી કરવા માટે વપરાય છે. તેથી,$(d)-(ii)$.
આમ,સાચી જોડ $a-(iii), b-(v), c-(iv), d-(ii)$ છે.

(D) પ્રથમ $n$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો મધ્યક $\bar{x} = \frac{n+1}{2}$ છે.
પ્રથમ $n$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનું વિચરણ $\sigma^2 = \frac{n^2-1}{12}$ છે.
તેથી,પ્રમાણિત વિચલન $\sigma = \sqrt{\frac{n^2-1}{12}}$ થાય.
વિચલન ગુણાંક $(CV)$ નું સૂત્ર $CV = \frac{\sigma}{\bar{x}} \times 100$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$CV = \frac{\sqrt{\frac{n^2-1}{12}}}{\frac{n+1}{2}} \times 100 = \frac{100}{\sqrt{3}} \sqrt{\frac{n-1}{n+1}}$.

(D) ધારો કે $\bar{x}_1$ અને $\bar{x}_2$ એ બે વિતરણોના મધ્યક છે અને $\sigma_1^2$ અને $\sigma_2^2$ એ તેમના વિચરણ છે.
આપેલ છે કે $\sigma_1^2 = 144$ અને $\sigma_2^2 = 64$,તેથી $\sigma_1 = 12$ અને $\sigma_2 = 8$.
વિચલન ગુણાંક $(CV)$ નું સૂત્ર $CV = \frac{\sigma}{\bar{x}} \times 100$ છે.
પ્રથમ વિતરણ માટે: $\frac{12}{\bar{x}_1} \times 100 = 40 \Rightarrow \bar{x}_1 = \frac{1200}{40} = 30$.
બીજા વિતરણ માટે: $\frac{8}{\bar{x}_2} \times 100 = 20 \Rightarrow \bar{x}_2 = \frac{800}{20} = 40$.
સમાંતર મધ્યકોનો મધ્યક $\frac{\bar{x}_1 + \bar{x}_2}{2} = \frac{30 + 40}{2} = \frac{70}{2} = 35$ થાય.

(C) આપેલ છે,$n=20$,$\bar{x}=40$,અને $\sigma=5$.
વજનનો સરવાળો $\Sigma x = n \bar{x} = 20 \times 40 = 800$.
વિચરણ $\sigma^2 = \frac{\Sigma x^2}{n} - (\bar{x})^2 = 25$.
$\frac{\Sigma x^2}{20} - 40^2 = 25$ $\Rightarrow \frac{\Sigma x^2}{20} = 1625$ $\Rightarrow \Sigma x^2 = 32500$.
$43 \ kg$ અને $37 \ kg$ વજન ધરાવતા બે છોકરાઓને બાકાત રાખ્યા પછી:
વજનનો નવો સરવાળો $\Sigma x_{new} = 800 - 43 - 37 = 720$.
છોકરાઓની નવી સંખ્યા $n_{new} = 18$.
નવો મધ્યક $\bar{x}_{new} = \frac{720}{18} = 40$.
વર્ગોનો નવો સરવાળો $\Sigma x_{new}^2 = 32500 - (43)^2 - (37)^2 = 32500 - 1849 - 1369 = 29282$.
નવું વિચરણ $\sigma_{new}^2 = \frac{\Sigma x_{new}^2}{n_{new}} - (\bar{x}_{new})^2 = \frac{29282}{18} - (40)^2 = 1626.777... - 1600 = 26.777... \approx 26.78$.

(D) ધારો કે $\bar{x}_1$ અને $\bar{x}_2$ એ બે વિતરણોના મધ્યક છે અને $\sigma_1^2$ અને $\sigma_2^2$ એ તેમના વિચરણ છે.
આપેલ છે કે $\sigma_1^2 = 144$ અને $\sigma_2^2 = 64$.
તેથી,$\sigma_1 = \sqrt{144} = 12$ અને $\sigma_2 = \sqrt{64} = 8$.
વિચલન ગુણાંક $(CV)$ નું સૂત્ર $CV = \frac{\sigma}{\bar{x}} \times 100$ છે.
પ્રથમ વિતરણ માટે: $\frac{12}{\bar{x}_1} \times 100 = 40 \Rightarrow \bar{x}_1 = \frac{1200}{40} = 30$.
બીજા વિતરણ માટે: $\frac{8}{\bar{x}_2} \times 100 = 20 \Rightarrow \bar{x}_2 = \frac{800}{20} = 40$.
તેમના સમાંતર મધ્યકોનો મધ્યક $\frac{\bar{x}_1 + \bar{x}_2}{2} = \frac{30 + 40}{2} = \frac{70}{2} = 35$ થાય.

(D) આપણી પાસે નીચે મુજબનો ડેટા છે.
પ્રથમ,મધ્યક $\bar{x}$ ની ગણતરી કરો:
$\bar{x} = \frac{\sum x_i f_i}{\sum f_i} = \frac{(2 \times 2) + (4 \times 4) + (5 \times 10) + (7 \times 8) + (9 \times 6)}{2 + 4 + 10 + 8 + 6}$
$\bar{x} = \frac{4 + 16 + 50 + 56 + 54}{30} = \frac{180}{30} = 6$
હવે,મધ્યક સાપેક્ષ સરેરાશ વિચલન $\text{M.D.}(\bar{x}) = \frac{\sum f_i |x_i - \bar{x}|}{\sum f_i}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ગણતરી કરો:
$\text{M.D.}(\bar{x}) = \frac{2|2-6| + 4|4-6| + 10|5-6| + 8|7-6| + 6|9-6|}{30}$
$\text{M.D.}(\bar{x}) = \frac{2(4) + 4(2) + 10(1) + 8(1) + 6(3)}{30}$
$\text{M.D.}(\bar{x}) = \frac{8 + 8 + 10 + 8 + 18}{30} = \frac{52}{30} = 1.733$

(D) પ્રથમ,આપણે મધ્યક $(\bar{x})$ ની ગણતરી કરીએ:
$\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i} = \frac{(2 \times 1) + (4 \times 2) + (6 \times 3) + (8 \times 2) + (10 \times 1)}{1 + 2 + 3 + 2 + 1} = \frac{54}{9} = 6$.
હવે,મધ્યકથી સરેરાશ વિચલન $(MD_{\bar{x}})$ શોધો:
$MD_{\bar{x}} = \frac{\sum f_i |x_i - \bar{x}|}{\sum f_i} = \frac{1|2-6| + 2|4-6| + 3|6-6| + 2|8-6| + 1|10-6|}{9} = \frac{16}{9}$.
આગળ,મધ્યસ્થ $(M)$ શોધો:
કુલ આવૃત્તિ $N = 9$. મધ્યસ્થ એ $\frac{N+1}{2}$-મું અવલોકન છે,જે $5$-મું અવલોકન છે. સંચયી આવૃત્તિઓ $(1, 3, 6, 8, 9)$ જોતા,$5$-મું અવલોકન $x_i = 6$ વાળા જૂથમાં આવે છે. તેથી,$M = 6$.
મધ્યસ્થથી સરેરાશ વિચલન $(MD_M)$ શોધો:
$MD_M = \frac{\sum f_i |x_i - M|}{\sum f_i} = \frac{1|2-6| + 2|4-6| + 3|6-6| + 2|8-6| + 1|10-6|}{9} = \frac{16}{9}$.
મધ્યકથી સરેરાશ વિચલન અને મધ્યસ્થથી સરેરાશ વિચલનનો સરવાળો:
$\frac{16}{9} + \frac{16}{9} = \frac{32}{9}$.

(D) કોઈ કિંમત $B$ નો કિંમત $A$ પરનો ટકાવારી વધારો આ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{B-A}{A} \times 100$.
અહીં,આપણે $D_1$ $(\sigma_1)$ ના પ્રમાણિત વિચલન પર $D_2$ $(\sigma_2)$ ના પ્રમાણિત વિચલનમાં થતો ટકાવારી વધારો શોધવાનો છે.
તેથી,જરૂરી ટકાવારી વધારો $\frac{\sigma_2-\sigma_1}{\sigma_1} \times 100$ છે.

(A) ધારો કે બંને વિતરણોનો સમાન મધ્યક $\bar{x}$ છે.
આપેલ છે કે $A$ અને $B$ માટે વિચલન ગુણાંક $(CV)$ અનુક્રમે $6$ અને $2$ છે.
વિચલન ગુણાંકનું સૂત્ર $CV = \frac{\sigma}{\bar{x}} \times 100$ છે.
વિતરણ $A$ માટે: $\frac{\sigma_A}{\bar{x}} \times 100 = 6 \implies \bar{x} = \frac{100 \sigma_A}{6}$.
વિતરણ $B$ માટે: $\frac{\sigma_B}{\bar{x}} \times 100 = 2 \implies \bar{x} = \frac{100 \sigma_B}{2}$.
$\bar{x}$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$\frac{100 \sigma_A}{6} = \frac{100 \sigma_B}{2}$.
$\frac{\sigma_A}{6} = \frac{\sigma_B}{2}$.
$\sigma_A = \frac{6}{2} \sigma_B$.
$\sigma_A = 3 \sigma_B$.

(C) નેપિયરના સામ્યનો ઉપયોગ કરતા,આપણી પાસે $\tan \frac{A-B}{2} = \frac{a-b}{a+b} \cot \frac{C}{2}$ અને $\tan \frac{A+B}{2} = \cot \frac{C}{2}$ છે.
આપેલ છે કે $\tan \frac{A-B}{2} = \frac{1}{4} \tan \frac{A+B}{2}$,આ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{a-b}{a+b} \cot \frac{C}{2} = \frac{1}{4} \cot \frac{C}{2}$
$\Rightarrow \frac{a-b}{a+b} = \frac{1}{4}$
$\Rightarrow 4(a-b) = a+b$
$\Rightarrow 4a - 4b = a + b$
$\Rightarrow 3a = 5b$
$a=5$ આપેલ હોવાથી,$3(5) = 5b \Rightarrow b=3$.
હવે,$\sqrt{a^2-b^2} = \sqrt{5^2-3^2} = \sqrt{25-9} = \sqrt{16} = 4$.

(D) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $c^2 x^2 - c(a+b)x + ab = 0$ છે.
સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$c^2 x^2 - cax - cbx + ab = 0$
$cx(cx - a) - b(cx - a) = 0$
$(cx - a)(cx - b) = 0$
તેથી,બીજ $x = \frac{a}{c}$ અને $x = \frac{b}{c}$ મળે છે.
$\sin A$ અને $\sin B$ એ બીજ હોવાથી,$\sin A = \frac{a}{c}$ અને $\sin B = \frac{b}{c}$ થાય.
સાઇનના નિયમ મુજબ,$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$.
$\sin A = \frac{a}{c}$ અને $\sin B = \frac{b}{c}$ મૂકતા,$c = \frac{a}{\sin A}$ અને $c = \frac{b}{\sin B}$ મળે છે.
આનો અર્થ એ છે કે $\frac{a}{\sin A} = c$ અને $\frac{b}{\sin B} = c$.
સાઇનના નિયમ $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$ સાથે સરખાવતા,$\frac{c}{\sin C} = c$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $\sin C = 1$.
તેથી,$\angle C = 90^\circ$,એટલે કે ત્રિકોણ $C$ આગળ કાટકોણ છે.
$C$ આગળ કાટકોણ ધરાવતા ત્રિકોણમાં,$\sin A = \frac{a}{c}$ અને $\cos A = \sin B = \frac{b}{c}$ થાય.
આમ,$\sin A + \cos A = \frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a+b}{c}$.

(A) $\triangle ABC$ માં,ધારો કે $BD$ એ શિરોબિંદુ $B$ માંથી બાજુ $AC$ પર દોરેલી મધ્યગા છે.
આપેલ બાજુઓ $a = BC = 5$,$b = AC = 6$,અને $c = AB = 7$ છે.
શિરોબિંદુ $B$ માંથી દોરેલી મધ્યગા $m_b$ ની લંબાઈનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$BD = \frac{1}{2} \sqrt{2a^2 + 2c^2 - b^2}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$BD = \frac{1}{2} \sqrt{2(5)^2 + 2(7)^2 - (6)^2}$
$BD = \frac{1}{2} \sqrt{2(25) + 2(49) - 36}$
$BD = \frac{1}{2} \sqrt{50 + 98 - 36}$
$BD = \frac{1}{2} \sqrt{112}$
$BD = \frac{1}{2} \sqrt{16 \times 7}$
$BD = \frac{1}{2} \times 4 \sqrt{7}$
$BD = 2 \sqrt{7}$

(B) ધારો કે ત્રિકોણના ખૂણાઓ $x, 2x$ અને $3x$ છે.
ત્રિકોણના ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ હોવાથી,$x + 2x + 3x = 180^{\circ}$ $\Rightarrow 6x = 180^{\circ}$ $\Rightarrow x = 30^{\circ}$.
આમ,ખૂણાઓ $30^{\circ}, 60^{\circ}$ અને $90^{\circ}$ છે.
સાઇનના નિયમ મુજબ,બાજુઓ $a, b, c$ તેમના સામેના ખૂણાઓના સાઇન સાથે પ્રમાણસર હોય છે: $a: b: c = \sin A: \sin B: \sin C$.
ખૂણાઓ મૂકતા: $a: b: c = \sin 30^{\circ}: \sin 60^{\circ}: \sin 90^{\circ}$.
$a: b: c = \frac{1}{2}: \frac{\sqrt{3}}{2}: 1$.
$2$ વડે ગુણતા,આપણને $1: \sqrt{3}: 2$ ગુણોત્તર મળે છે.

(D) ધારો કે બાજુઓ $a = x^2+x+1$,$b = 2x+1$,અને $c = x^2-1$ છે. $x > 1$ માટે,$x^2+x+1$ સૌથી મોટી બાજુ છે.
ધારો કે $\theta$ એ $a = x^2+x+1$ બાજુની સામેનો ખૂણો છે.
કોસાઇનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $\cos \theta = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$.
કિંમતો મૂકતા:
$\cos \theta = \frac{(2x+1)^2 + (x^2-1)^2 - (x^2+x+1)^2}{2(2x+1)(x^2-1)}$
ગણતરી કરતા:
$\cos \theta = \frac{-2x^3-x^2+2x+1}{2(2x+1)(x^2-1)}$
$= \frac{(2x+1)(1-x^2)}{2(2x+1)(x^2-1)}$
$= -\frac{1}{2}$.
તેથી,$\theta = 120^{\circ}$.

(C) સાઇનના નિયમ મુજબ: $\frac{\alpha+1}{\sin A} = \frac{\alpha-1}{\sin B} = \frac{\alpha}{\sin C}$.
આપેલ છે કે $A = 2B$,તેથી $\frac{\alpha+1}{\sin 2B} = \frac{\alpha-1}{\sin B}$.
$\sin 2B = 2 \sin B \cos B$ નો ઉપયોગ કરતા,$\frac{\alpha+1}{2 \sin B \cos B} = \frac{\alpha-1}{\sin B}$,જેનું સાદું રૂપ $\cos B = \frac{\alpha+1}{2(\alpha-1)} \dots(1)$ મળે છે.
કોસાઇનના નિયમ મુજબ: $\cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} = \frac{(\alpha+1)^2 + \alpha^2 - (\alpha-1)^2}{2(\alpha+1)(\alpha)}$.
અંશનું સાદું રૂપ: $(\alpha^2 + 2\alpha + 1) + \alpha^2 - (\alpha^2 - 2\alpha + 1) = \alpha^2 + 4\alpha$.
તેથી,$\cos B = \frac{\alpha^2 + 4\alpha}{2\alpha(\alpha+1)} = \frac{\alpha+4}{2(\alpha+1)} \dots(2)$.
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ ને સરખાવતા: $\frac{\alpha+1}{2(\alpha-1)} = \frac{\alpha+4}{2(\alpha+1)}$.
$(\alpha+1)^2 = (\alpha-1)(\alpha+4) \Rightarrow \alpha^2 + 2\alpha + 1 = \alpha^2 + 3\alpha - 4$.
$\alpha$ માટે ઉકેલતા,આપણને $\alpha = 5$ મળે છે.

(A) આપેલ છે,$a^4+b^4+c^4=2b^2c^2+2a^2b^2$.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,$a^4+b^4+c^4-2b^2c^2-2a^2b^2=0$ મળે.
બંને બાજુ $2a^2c^2$ ઉમેરતા,$a^4+c^4+b^4-2a^2b^2-2b^2c^2+2a^2c^2 = 2a^2c^2$ મળે.
આનું સાદું રૂપ $(a^2+c^2-b^2)^2 = 2a^2c^2$ થાય.
$4a^2c^2$ વડે ભાગતા,$\frac{(a^2+c^2-b^2)^2}{4a^2c^2} = \frac{2a^2c^2}{4a^2c^2} = \frac{1}{2}$ મળે.
કારણ કે $\cos B = \frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$,તેથી $\cos^2 B = \frac{1}{2}$.
આમ,$\cos B = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$.
તેથી,$B = \frac{\pi}{4}$ અથવા $B = \frac{3\pi}{4}$.

(C) $\triangle ACD$ માં,$AD \perp AC$ હોવાથી,$\angle DAC = 90^\circ$. તેથી,$\cos C = \frac{AC}{CD} = \frac{b}{a/2} = \frac{2b}{a}$.
$\triangle ABC$ માં,કોસાઇનના નિયમ મુજબ,$\cos C = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$.
$\cos C$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$\frac{2b}{a} = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$
$4b^2 = a^2+b^2-c^2$
$3b^2 = a^2-c^2 \implies b^2 = \frac{a^2-c^2}{3}$.
હવે,$\cos A = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$.
$\cos A \cos C = \left(\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\right) \left(\frac{2b}{a}\right) = \frac{b^2+c^2-a^2}{ac}$.
$b^2 = \frac{a^2-c^2}{3}$ મૂકતા:
$\cos A \cos C = \frac{\frac{a^2-c^2}{3} + c^2 - a^2}{ac} = \frac{a^2-c^2+3c^2-3a^2}{3ac} = \frac{2c^2-2a^2}{3ac} = \frac{2(c^2-a^2)}{3ac}$.

(D) આપેલ છે કે,$\cot \frac{A}{2} : \cot \frac{B}{2} : \cot \frac{C}{2} = 4 : 3 : 2$.
સૂત્ર $\cot \frac{A}{2} = \sqrt{\frac{s(s-a)}{(s-b)(s-c)}}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sqrt{\frac{s(s-a)}{(s-b)(s-c)}} : \sqrt{\frac{s(s-b)}{(s-a)(s-c)}} : \sqrt{\frac{s(s-c)}{(s-a)(s-b)}} = 4 : 3 : 2$.
દરેક પદને $\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)}$ વડે ગુણતા:
$(s-a) : (s-b) : (s-c) = 4 : 3 : 2$.
ધારો કે $s-a = 4k$,$s-b = 3k$,અને $s-c = 2k$.
આ સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $3s - (a+b+c) = 9k$.
કારણ કે $a+b+c = 2s$,તેથી $3s - 2s = s = 9k$.
હવે,$a = s - 4k = 9k - 4k = 5k$.
$b = s - 3k = 9k - 3k = 6k$.
$c = s - 2k = 9k - 2k = 7k$.
તેથી,$a : b : c = 5k : 6k : 7k = 5 : 6 : 7$.

(C) આપેલ છે કે $\angle A = 90^{\circ}$.
પરિત્રિજ્યા $R = \frac{a}{2 \sin A} = \frac{a}{2 \sin 90^{\circ}} = \frac{a}{2}$.
અંતઃત્રિજ્યા $r = (s-a) \tan \frac{A}{2} = (s-a) \tan 45^{\circ} = s-a$.
બહિરવૃતની ત્રિજ્યા $r_1 = s \tan \frac{A}{2} = s \tan 45^{\circ} = s$.
ગુણોત્તર $R:r:r_1 = \frac{a}{2} : s-a : s = 2:5:\lambda$.
$\frac{a}{2} = 2$ પરથી,$a = 4$ મળે.
$s-a = 5$ પરથી,$s-4 = 5$,તેથી $s = 9$.
આમ,$\lambda = s = 9$.
સમીકરણ $x^2 - (9-5)x + (9-6) = 0$ એટલે કે $x^2 - 4x + 3 = 0$ બને છે.
અવયવ પાડતા $(x-1)(x-3) = 0$ મળે.
તેથી,બીજ $1, 3$ છે.

(C) આપેલ છે કે $ABC$ એ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ છે જેનો પાયો $BC$ છે.
તેથી,$\angle B = \angle C$.
આપણે જાણીએ છીએ કે બહિર ત્રિજ્યા $r_1$ નીચે મુજબ મળે છે:
$r_1 = 4R \sin \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2} \cos \frac{C}{2}$
કારણ કે $\angle B = \angle C$,તેથી $\frac{B}{2} = \frac{C}{2}$,એટલે કે:
$r_1 = 4R \sin \frac{A}{2} \cos^2 \frac{B}{2}$
નિત્યસમ $\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $\cos^2 \frac{B}{2} = \frac{1 + \cos B}{2}$.
વળી,$\triangle ABC$ માં,$A + B + C = \pi$,તેથી $B = \frac{\pi - A}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{A}{2}$.
આમ,$r_1 = 4R \sin \frac{A}{2} \cos^2 \frac{B}{2}$ નું સાદું રૂપ આપતા પરિણામ $R^2 \sin^2 A$ મળે છે.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે ત્રિકોણની બહિર ત્રિજ્યાઓ $r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$,$r_2 = \frac{\Delta}{s-b}$,અને $r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેમનો સરવાળો કરતા,$r_1+r_2+r_3 = \Delta \left( \frac{1}{s-a} + \frac{1}{s-b} + \frac{1}{s-c} \right)$ મળે છે.
ગુણધર્મ $r_1+r_2+r_3 = 4R+r$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $R$ એ પરિત્રિજ્યા છે અને $r$ એ અંતઃત્રિજ્યા છે,પરિણામ $4R+r$ મળે છે.

(A) આપેલ છે $a: b: c = 4: 5: 6$. ધારો કે $a = 4x, b = 5x, c = 6x$.
અર્ધ-પરિમિતિ $s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{15x}{2}$.
પરિવૃત્તની ત્રિજ્યા $R = \frac{abc}{4\Delta}$ અને અંતઃવૃત્તની ત્રિજ્યા $r = \frac{\Delta}{s}$,જ્યાં $\Delta = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$.
ગુણોત્તર $\frac{R}{r} = \frac{abc}{4(s-a)(s-b)(s-c)}$.
કિંમતો મૂકતા:
$(s-a) = \frac{7x}{2}, (s-b) = \frac{5x}{2}, (s-c) = \frac{3x}{2}$.
$\frac{R}{r} = \frac{(4x)(5x)(6x)}{4(\frac{7x}{2})(\frac{5x}{2})(\frac{3x}{2})} = \frac{120x^3}{\frac{105x^3}{2}} = \frac{16}{7}$.
આમ,ગુણોત્તર $R: r = 16: 7$ છે.

(B) આપણે પ્રતિ હાઇપરબોલિક વિધેયોની લઘુગણકીય વ્યાખ્યાઓનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
$\operatorname{coth}^{-1} x = \frac{1}{2} \log_e \left(\frac{x+1}{x-1}\right)$,જ્યાં $|x| > 1$.
$\tanh^{-1} x = \frac{1}{2} \log_e \left(\frac{1+x}{1-x}\right)$,જ્યાં $|x| < 1$.
$\operatorname{cosech}^{-1} x = \log_e \left(\frac{1 - \sqrt{1+x^2}}{x}\right)$,જ્યાં $x < 0$.
પગલું $1$: દરેક પદની ગણતરી કરો.
$\operatorname{coth}^{-1}(3) = \frac{1}{2} \log_e \left(\frac{3+1}{3-1}\right) = \frac{1}{2} \log_e(2) = \log_e \sqrt{2}$.
$\tanh^{-1}\left(\frac{1}{3}\right) = \frac{1}{2} \log_e \left(\frac{1+1/3}{1-1/3}\right) = \frac{1}{2} \log_e \left(\frac{4/3}{2/3}\right) = \frac{1}{2} \log_e(2) = \log_e \sqrt{2}$.
$\operatorname{cosech}^{-1}(-\sqrt{3}) = \log_e \left(\frac{1 - \sqrt{1+(-\sqrt{3})^2}}{-\sqrt{3}}\right) = \log_e \left(\frac{1 - 2}{-\sqrt{3}}\right) = \log_e \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = -\log_e \sqrt{3}$.
પગલું $2$: પદોને જોડો.
$\operatorname{coth}^{-1}(3) + \tanh^{-1}\left(\frac{1}{3}\right) - \operatorname{cosech}^{-1}(-\sqrt{3}) = \log_e \sqrt{2} + \log_e \sqrt{2} - (-\log_e \sqrt{3}) = \log_e \sqrt{2} + \log_e \sqrt{2} + \log_e \sqrt{3} = \log_e (\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{3}) = \log_e (2\sqrt{3})$.

(D) અમે પ્રતિ-હાયપરબોલિક વિધેયોની લઘુગણકીય વ્યાખ્યાઓનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
$\sinh^{-1}(x) = \ln(x + \sqrt{x^2+1})$
$\cosh^{-1}(x) = \ln(x + \sqrt{x^2-1})$
$\tanh^{-1}(x) = \frac{1}{2} \ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right)$
$\coth^{-1}(x) = \frac{1}{2} \ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right)$
કિંમતો મૂકતા:
$\sinh^{-1}(2) = \ln(2 + \sqrt{5})$
$\cosh^{-1}(2) = \ln(2 + \sqrt{3})$
$\tanh^{-1}\left(\frac{2}{3}\right) = \frac{1}{2} \ln\left(\frac{1+2/3}{1-2/3}\right) = \frac{1}{2} \ln(5)$
$\coth^{-1}(-2) = \frac{1}{2} \ln\left(\frac{-2+1}{-2-1}\right) = \frac{1}{2} \ln\left(\frac{-1}{-3}\right) = \frac{1}{2} \ln\left(\frac{1}{3}\right) = -\frac{1}{2} \ln(3)$
હવે,તેમનો સરવાળો કરતા:
$\ln(2+\sqrt{5}) + \ln(2+\sqrt{3}) - \frac{1}{2} \ln(5) - \frac{1}{2} \ln(3)$
$= \ln((2+\sqrt{5})(2+\sqrt{3})) - \frac{1}{2} \ln(15)$
$= \ln((2+\sqrt{5})(2+\sqrt{3})) - \ln(\sqrt{15})$
$= \ln\left(\frac{(2+\sqrt{5})(2+\sqrt{3})}{\sqrt{15}}\right)$
$= \ln\left(\frac{(2+\sqrt{5})(2+\sqrt{3}) \sqrt{3}}{\sqrt{5}}\right)$
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણો:
$l+3m+5n=0$ --- $(i)$
$5lm-2mn+6ln=0$ --- $(ii)$
સમીકરણ $(i)$ પરથી,$l = -3m - 5n$.
આ કિંમતને $(ii)$ માં મૂકતા:
$5(-3m-5n)m - 2mn + 6(-3m-5n)n = 0$
$-15m^2 - 25mn - 2mn - 18mn - 30n^2 = 0$
$-15m^2 - 45mn - 30n^2 = 0$
$-15$ વડે ભાગતા:
$m^2 + 3mn + 2n^2 = 0$
$(m+n)(m+2n) = 0$
કિસ્સો $1$: $m = -n$. તો $l = -3(-n) - 5n = -2n$. દિકગુણોત્તર $(-2n, -n, n)$ અથવા $(2, 1, -1)$ મળે.
કિસ્સો $2$: $m = -2n$. તો $l = -3(-2n) - 5n = n$. દિકગુણોત્તર $(n, -2n, n)$ અથવા $(1, -2, 1)$ મળે.
ધારો કે દિકગુણોત્તર $\vec{a} = (2, 1, -1)$ અને $\vec{b} = (1, -2, 1)$ છે.
રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ નીચે મુજબ મળે:
$\cos \theta = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{a}| |\vec{b}|} = \frac{|(2)(1) + (1)(-2) + (-1)(1)|}{\sqrt{2^2+1^2+(-1)^2} \sqrt{1^2+(-2)^2+1^2}}$
$\cos \theta = \frac{|2 - 2 - 1|}{\sqrt{6} \sqrt{6}} = \frac{|-1|}{6} = \frac{1}{6}$
તેથી,$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{1}{6}\right)$.

(D) દિકકોસાઇન $l, m, n$ માટે આપેલ સમીકરણો:
$l+m+n=0 \implies n = -(l+m)$
$n$ ની કિંમત $l^2-5m^2+n^2=0$ માં મૂકતા:
$l^2-5m^2+(-l-m)^2=0$
$l^2-5m^2+l^2+2lm+m^2=0$
$2l^2+2lm-4m^2=0$
$l^2+lm-2m^2=0$
$(l+2m)(l-m)=0$
કિસ્સો $1$: $l=m$. તો $n = -(l+m) = -2l$. દિકગુણોત્તર $(l, l, -2l)$ એટલે કે $(1, 1, -2)$ મળે.
પ્રમાણિત દિકકોસાઇન $(l_1, m_1, n_1) = (\frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{1}{\sqrt{6}}, -\frac{2}{\sqrt{6}})$.
કિસ્સો $2$: $l=-2m$. તો $n = -(-2m+m) = m$. દિકગુણોત્તર $(-2m, m, m)$ એટલે કે $(-2, 1, 1)$ મળે.
પ્રમાણિત દિકકોસાઇન $(l_2, m_2, n_2) = (-\frac{2}{\sqrt{6}}, \frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{1}{\sqrt{6}})$.
ખૂણા $\theta$ નો કોસાઇન $\cos \theta = |l_1 l_2 + m_1 m_2 + n_1 n_2|$ દ્વારા મળે છે.
$\cos \theta = |(\frac{1}{\sqrt{6}})(-\frac{2}{\sqrt{6}}) + (\frac{1}{\sqrt{6}})(\frac{1}{\sqrt{6}}) + (-\frac{2}{\sqrt{6}})(\frac{1}{\sqrt{6}})|$
$\cos \theta = |-\frac{2}{6} + \frac{1}{6} - \frac{2}{6}| = |-\frac{3}{6}| = \frac{1}{2}$.
તેથી,$\theta = \frac{\pi}{3}$.

(C) આપેલ સમીકરણો $l+m+n=0$ અને $l^2+m^2-n^2=0$ છે.
પ્રથમ સમીકરણ પરથી,$l = -(m+n)$.
આ કિંમત બીજા સમીકરણમાં મૂકતા: $(-m-n)^2 + m^2 - n^2 = 0$.
$m^2 + 2mn + n^2 + m^2 - n^2 = 0$.
$2m^2 + 2mn = 0 \Rightarrow 2m(m+n) = 0$.
આનાથી બે કિસ્સા મળે છે:
કિસ્સો $1$: $m=0$. તો $l = -n$. દિક્ગુણોત્તર $(-1, 0, 1)$ મળે છે.
કિસ્સો $2$: $m = -n$. તો $l = 0$. દિક્ગુણોત્તર $(0, -1, 1)$ મળે છે.
ધારો કે બે રેખાઓ સદિશ $\vec{a} = -\hat{i} + \hat{k}$ અને $\vec{b} = -\hat{j} + \hat{k}$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\cos \theta = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$ દ્વારા મળે છે.
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (-1)(0) + (0)(-1) + (1)(1) = 1$.
$|\vec{a}| = \sqrt{(-1)^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.
$|\vec{b}| = \sqrt{0^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.
$\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{2}$.
તેથી,$\theta = \frac{\pi}{3}$.

(C) આપેલ રેખાઓ:
$r = (-4\hat{i} - \hat{k}) + t(3\hat{i} - 2\hat{j} - 2\hat{k})$
$r = (6\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}) + s(\hat{i} - 2\hat{j} + 2\hat{k})$
અહીં,$a_1 = -4\hat{i} - \hat{k}$,$b_1 = 3\hat{i} - 2\hat{j} - 2\hat{k}$
$a_2 = 6\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}$,$b_2 = \hat{i} - 2\hat{j} + 2\hat{k}$
હવે,$a_2 - a_1 = 10\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$
$b_1 \times b_2 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & -2 & -2 \\ 1 & -2 & 2 \end{vmatrix} = -8\hat{i} - 8\hat{j} - 4\hat{k}$
$|b_1 \times b_2| = \sqrt{(-8)^2 + (-8)^2 + (-4)^2} = \sqrt{144} = 12$
લઘુત્તમ અંતર $d = \left| \frac{(a_2 - a_1) \cdot (b_1 \times b_2)}{|b_1 \times b_2|} \right|$
$d = \left| \frac{(10\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}) \cdot (-8\hat{i} - 8\hat{j} - 4\hat{k})}{12} \right| = \left| \frac{-80 - 16 - 12}{12} \right| = \left| \frac{-108}{12} \right| = 9$

(B) સમતલનું સમીકરણ $a x + b y + c z = 1$ આપેલ છે.
આ સમતલ $(1, 2, 3)$ બિંદુમાંથી પસાર થાય છે,તેથી આપણે આ બિંદુના યામ સમતલના સમીકરણમાં મૂકીશું.
$x = 1$,$y = 2$,અને $z = 3$ ને $a x + b y + c z = 1$ માં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$a(1) + b(2) + c(3) = 1$
$a + 2 b + 3 c = 1$.
આમ,$a + 2 b + 3 c$ ની કિંમત $1$ છે.

(A) ત્રણ બિંદુઓ $A(\vec{a})$,$B(\vec{b})$,અને $C(\vec{c})$ માંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ નિશ્ચાયક સ્વરૂપમાં નીચે મુજબ છે:
$\left|\begin{array}{ccc} x-x_1 & y-y_1 & z-z_1 \\ x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ x_3-x_1 & y_3-y_1 & z_3-z_1 \end{array}\right|=0$
આપેલ બિંદુઓ $A(2, 6, -6)$,$B(-3, 10, -9)$,અને $C(-5, 0, -6)$ છે.
નિશ્ચાયકમાં કિંમતો મૂકતા:
$\left|\begin{array}{ccc} x-2 & y-6 & z+6 \\ -5 & 4 & -3 \\ -7 & -6 & 0 \end{array}\right|=0$
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$(x-2)(0-18) - (y-6)(0-21) + (z+6)(30+28) = 0$
$-18(x-2) + 21(y-6) + 58(z+6) = 0$
$-18x + 21y + 58z + 258 = 0$
આપેલ વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,વિકલ્પ $A$ સાચો જવાબ છે.

(C) ત્રણ બિંદુઓ $A(x_1, y_1, z_1)$,$B(x_2, y_2, z_2)$ અને $C(x_3, y_3, z_3)$ માંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ નિશ્ચાયક દ્વારા નીચે મુજબ મળે છે:
$\begin{vmatrix} x-x_1 & y-y_1 & z-z_1 \\ x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ x_3-x_1 & y_3-y_1 & z_3-z_1 \end{vmatrix} = 0$
આપેલ બિંદુઓ $A(1, -1, 1)$,$B(1, -2, 3)$ અને $C(1, 2, -3)$ છે.
નિશ્ચાયકમાં કિંમતો મૂકતા:
$\begin{vmatrix} x-1 & y+1 & z-1 \\ 0 & -1 & 2 \\ 0 & 3 & -4 \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ સ્તંભને અનુલક્ષીને વિસ્તરણ કરતા:
$(x-1)((-1)(-4) - (2)(3)) = 0$
$(x-1)(4-6) = 0$
$-2(x-1) = 0$
$x = 1$
હવે,વિકલ્પો તપાસતા,બિંદુ $(1, 1, -1)$ એટલે કે $\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}$ સમીકરણ $x=1$ નું સમાધાન કરે છે. તેથી,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(A) આપેલ સમતલ બિંદુ $(2, -1, 3)$ માંથી પસાર થાય છે. ધારો કે સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = (a, b, c)$ છે. સમતલનું સમીકરણ $a(x - 2) + b(y + 1) + c(z - 3) = 0$ છે.
સમતલ $3x - 2y + z = 9$ ને લંબ હોવાથી,તેમના અભિલંબ સદિશો પરસ્પર લંબ છે,તેથી $3a - 2b + c = 0$.
સમતલ $x + y + z = 9$ ને પણ લંબ હોવાથી,$a + b + c = 0$ મળે છે.
આ સમીકરણોને ઉકેલતા: $\frac{a}{(-2)(1) - (1)(1)} = \frac{b}{(1)(1) - (3)(1)} = \frac{c}{(3)(1) - (-2)(1)}$,જે $\frac{a}{-3} = \frac{b}{-2} = \frac{c}{5} = k$ આપે છે.
આમ,અભિલંબ સદિશ $(-3, -2, 5)$ ના પ્રમાણમાં છે.
સમતલના સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $-3(x - 2) - 2(y + 1) + 5(z - 3) = 0$.
વિસ્તરણ કરતા: $-3x + 6 - 2y - 2 + 5z - 15 = 0$,જેનું સાદું રૂપ $-3x - 2y + 5z - 11 = 0$ થાય છે.
$x + by + cz + d = 0$ સ્વરૂપમાં લાવવા માટે $-3$ વડે ભાગતા: $x + \frac{2}{3}y - \frac{5}{3}z + \frac{11}{3} = 0$.
સરખામણી કરતા,$d = \frac{11}{3}$ મળે છે.

(A) ધારો કે બિંદુઓ $A(2, 1, 1)$,$B(1, -1, 1)$,અને $C(-1, 1, -1)$ છે.
સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n}$ એ $\vec{AB} \times \vec{AC}$ દ્વારા મળે છે.
$\vec{AB} = (1-2)\hat{i} + (-1-1)\hat{j} + (1-1)\hat{k} = -\hat{i} - 2\hat{j}$.
$\vec{AC} = (-1-2)\hat{i} + (1-1)\hat{j} + (-1-1)\hat{k} = -3\hat{i} - 2\hat{k}$.
$\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -1 & -2 & 0 \\ -3 & 0 & -2 \end{vmatrix} = \hat{i}(4-0) - \hat{j}(2-0) + \hat{k}(0-6) = 4\hat{i} - 2\hat{j} - 6\hat{k}$.
$2$ વડે ભાગતા,આપણને અભિલંબ સદિશ $\vec{n}' = 2\hat{i} - \hat{j} - 3\hat{k}$ મળે છે.
સમતલને લંબ એકમ સદિશ $e = \pm \frac{2\hat{i} - \hat{j} - 3\hat{k}}{\sqrt{2^2 + (-1)^2 + (-3)^2}} = \pm \frac{1}{\sqrt{14}}(2\hat{i} - \hat{j} - 3\hat{k})$.
આપેલ છે કે $a = 2\hat{i} - 3\hat{j} + 6\hat{k}$,$e$ પર $a$ નો પ્રક્ષેપ સદિશ $(a \cdot e)e$ છે.
$a \cdot e = \pm \frac{1}{\sqrt{14}}(2(2) + (-3)(-1) + 6(-3)) = \pm \frac{1}{\sqrt{14}}(4 + 3 - 18) = \mp \frac{11}{\sqrt{14}}$.
પ્રક્ષેપ સદિશ $= (a \cdot e)e = \left(\mp \frac{11}{\sqrt{14}}\right) \left(\pm \frac{1}{\sqrt{14}}(2\hat{i} - \hat{j} - 3\hat{k})\right) = -\frac{11}{14}(2\hat{i} - \hat{j} - 3\hat{k}) = \frac{11}{14}(-2\hat{i} + \hat{j} + 3\hat{k})$.

(A) $a, b, c$ સ્થાન સદિશો ધરાવતા ત્રણ અસમરેખ બિંદુઓમાંથી પસાર થતા સમતલનું સદિશ સમીકરણ $r = (1 - x - y)a + xb + yc$ છે.
જો ચાર બિંદુઓ $a, b, c, d$ સમતલીય હોય,તો $d$ ને $a, b, c$ ના રેખીય સંયોજન તરીકે દર્શાવી શકાય છે જેથી સહગુણકોનો સરવાળો $1$ થાય.
આપેલ સમીકરણ $2a - 3b + 7c - 6d = 0$ ને $6d = 2a - 3b + 7c$ તરીકે લખી શકાય,જેનો અર્થ છે કે $d = \frac{2}{6}a - \frac{3}{6}b + \frac{7}{6}c = \frac{1}{3}a - \frac{1}{2}b + \frac{7}{6}c$.
સહગુણકોનો સરવાળો $\frac{1}{3} - \frac{1}{2} + \frac{7}{6} = \frac{2 - 3 + 7}{6} = \frac{6}{6} = 1$ છે.
સહગુણકોનો સરવાળો $1$ હોવાથી,બિંદુ $d$ એ $a, b, c$ દ્વારા બનતા સમતલમાં આવેલું છે.
આમ,$(A)$ સાચું છે,$(R)$ સાચું છે,અને $(R)$ એ $(A)$ ની સાચી સમજૂતી છે.

(A) સમતલ $\pi_1$ નું સમીકરણ જે $(0,1,2), (1,0,-2), (-2,1,0)$ માંથી પસાર થાય છે તે નિશ્ચાયક દ્વારા મળે છે:
$\begin{vmatrix} x-0 & y-1 & z-2 \\ 1-0 & 0-1 & -2-2 \\ -2-0 & 1-1 & 0-2 \end{vmatrix} = 0$
$\Rightarrow \begin{vmatrix} x & y-1 & z-2 \\ 1 & -1 & -4 \\ -2 & 0 & -2 \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$x(2-0) - (y-1)(-2-8) + (z-2)(0-2) = 0$
$2x + 10(y-1) - 2(z-2) = 0$
$2x + 10y - 10 - 2z + 4 = 0$
$2x + 10y - 2z - 6 = 0 \Rightarrow x + 5y - z = 3$. અભિલંબ સદિશ $\vec{n_1} = (1, 5, -1)$ છે.
સમતલ $\pi_2$ એ $(1,2,3)$ માંથી પસાર થાય છે અને $x+y+z=1$ તથા $2x-3y+z=5$ ને લંબ છે. અભિલંબ સદિશ $\vec{n_2}$ એ $(1,1,1)$ અને $(2,-3,1)$ નો સદિશ ગુણાકાર છે:
$\vec{n_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & -3 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(1+3) - \hat{j}(1-2) + \hat{k}(-3-2) = 4\hat{i} + \hat{j} - 5\hat{k}$.
$\pi_2$ નું સમીકરણ $4(x-1) + 1(y-2) - 5(z-3) = 0 \Rightarrow 4x + y - 5z + 9 = 0$ છે.
$\pi_1$ અને $\pi_2$ વચ્ચેનો લઘુકોણ $\theta$ નીચે મુજબ મળે:
$\cos \theta = \left| \frac{\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2}|} \right| = \left| \frac{(1)(4) + (5)(1) + (-1)(-5)}{\sqrt{1^2+5^2+(-1)^2} \sqrt{4^2+1^2+(-5)^2}} \right|$
$= \left| \frac{4+5+5}{\sqrt{27} \sqrt{42}} \right| = \frac{14}{\sqrt{9 \times 3} \sqrt{6 \times 7}} = \frac{14}{3\sqrt{3} \sqrt{6} \sqrt{7}} = \frac{14}{3 \sqrt{18 \times 7}} = \frac{14}{3 \sqrt{126}} = \frac{14}{3 \times 3 \sqrt{14}} = \frac{\sqrt{14}}{9}$.

(B) રેખા $L$ નું સમીકરણ $\frac{x-1}{0} = \frac{y-0}{1} = \frac{z+3}{-2} = \lambda$ છે.
રેખા $L$ પરનું કોઈપણ બિંદુ $P(1, \lambda, -2\lambda - 3)$ સ્વરૂપનું છે.
બિંદુ $P$ નું સમતલ $2x + 3y + 5z - 1 = 0$ થી અંતર $d$ નીચે મુજબ છે:
$d = \frac{|2(1) + 3(\lambda) + 5(-2\lambda - 3) - 1|}{\sqrt{2^2 + 3^2 + 5^2}} = \frac{|2 + 3\lambda - 10\lambda - 15 - 1|}{\sqrt{38}} = \frac{|-7\lambda - 14|}{\sqrt{38}}$.
ન્યૂનતમ અંતર માટે,$-7\lambda - 14 = 0$,તેથી $\lambda = -2$.
$\lambda = -2$ મુકતા,$P$ ના યામ $(1, -2, 1)$ મળે છે.
સદિશ $\vec{AP} = P - A = (1-1, -2-0, 1-(-3)) = (0, -2, 4)$.
$P(1, -2, 1)$ માંથી પસાર થતા અને અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = (0, -2, 4)$ ધરાવતા સમતલનું સમીકરણ:
$0(x - 1) - 2(y + 2) + 4(z - 1) = 0$.
$-2y - 4 + 4z - 4 = 0 \Rightarrow -2y + 4z - 8 = 0 \Rightarrow y - 2z + 4 = 0$.

(A) ધારો કે $A$ ના યામ $(x_1, y_1, z_1)$ અને $B$ ના યામ $(x_2, y_2, z_2)$ છે. અંતર $d$ એ $d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. ધારો કે $\Delta x = x_2 - x_1$,$\Delta y = y_2 - y_1$,અને $\Delta z = z_2 - z_1$. તો $d^2 = (\Delta x)^2 + (\Delta y)^2 + (\Delta z)^2$.
$XY$-સમતલ પર $AB$ ના પ્રક્ષેપની લંબાઈ $d_1 = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}$ છે.
$YZ$-સમતલ પર $AB$ ના પ્રક્ષેપની લંબાઈ $d_2 = \sqrt{(\Delta y)^2 + (\Delta z)^2}$ છે.
$ZX$-સમતલ પર $AB$ ના પ્રક્ષેપની લંબાઈ $d_3 = \sqrt{(\Delta z)^2 + (\Delta x)^2}$ છે.
આનો વર્ગ કરતા,આપણને મળે છે $d_1^2 = (\Delta x)^2 + (\Delta y)^2$,$d_2^2 = (\Delta y)^2 + (\Delta z)^2$,અને $d_3^2 = (\Delta z)^2 + (\Delta x)^2$.
આ ત્રણેય સમીકરણોનો સરવાળો કરતા:
$d_1^2 + d_2^2 + d_3^2 = 2((\Delta x)^2 + (\Delta y)^2 + (\Delta z)^2)$.
કારણ કે $d^2 = (\Delta x)^2 + (\Delta y)^2 + (\Delta z)^2$,તેથી આપણને મળે છે:
$d_1^2 + d_2^2 + d_3^2 = 2d^2$.

(C) બિંદુ $(x_1, y_1, z_1)$ નું સમતલ $ax + by + cz + d = 0$ થી લંબ અંતર શોધવાનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$D = \left| \frac{ax_1 + by_1 + cz_1 + d}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \right|$
અહીં આપેલ બિંદુ $(1, -1, 2)$ અને સમતલ $x + 2y + z - 4 = 0$ છે,તેથી $a=1, b=2, c=1, d=-4$ મળે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$D = \left| \frac{1(1) + 2(-1) + 1(2) - 4}{\sqrt{1^2 + 2^2 + 1^2}} \right|$
$D = \left| \frac{1 - 2 + 2 - 4}{\sqrt{1 + 4 + 1}} \right|$
$D = \left| \frac{-3}{\sqrt{6}} \right| = \frac{3}{\sqrt{6}}$
પદનું સાદું રૂપ આપતા:
$D = \frac{3}{\sqrt{6}} \times \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}} = \frac{3\sqrt{6}}{6} = \frac{\sqrt{6}}{2} = \sqrt{\frac{6}{4}} = \sqrt{\frac{3}{2}}$

(A) બિંદુ $A(\hat{i}+2 \hat{j}-3 \hat{k})$ માંથી પસાર થતી અને સદિશ $\vec{b}=2 \hat{i}+\hat{j}+2 \hat{k}$ ને સમાંતર રેખા $L$ નું સદિશ સમીકરણ $\vec{r} = (1+2\lambda)\hat{i} + (2+\lambda)\hat{j} + (-3+2\lambda)\hat{k}$ છે.
સમતલ $\pi$ એ બિંદુઓ $P_1(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})$ અને $P_2(\hat{i}-\hat{j}-\hat{k})$ માંથી પસાર થાય છે અને સદિશ $\vec{v}=\hat{i}-2\hat{j}$ ને સમાંતર છે.
સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = (P_2 - P_1) \times \vec{v} = (0\hat{i}-2\hat{j}-2\hat{k}) \times (1\hat{i}-2\hat{j}+0\hat{k}) = -4\hat{i} - 2\hat{j} + 2\hat{k}$ છે.
આપણે સરળ અભિલંબ સદિશ $\vec{n}' = 2\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$ લઈ શકીએ.
સમતલનું સમીકરણ $2(x-1) + 1(y-1) - 1(z-1) = 0 \Rightarrow 2x + y - z = 2$ છે.
રેખા $L$ ના યામોને સમતલના સમીકરણમાં મૂકતા:
$2(1+2\lambda) + (2+\lambda) - (-3+2\lambda) = 2$
$2 + 4\lambda + 2 + \lambda + 3 - 2\lambda = 2$
$3\lambda + 7 = 2 \Rightarrow 3\lambda = -5 \Rightarrow \lambda = -\frac{5}{3}$.
$\lambda = -\frac{5}{3}$ ને રેખાના સમીકરણમાં મૂકતા:
$x = 1 + 2(-\frac{5}{3}) = -\frac{7}{3}$,$y = 2 - \frac{5}{3} = \frac{1}{3}$,$z = -3 + 2(-\frac{5}{3}) = -\frac{19}{3}$.
આમ,છેદબિંદુ $\frac{1}{3}(-7\hat{i} + \hat{j} - 19\hat{k})$ છે.

(D) આપેલ બિંદુઓ $A(1,0,0)$ અને $B(0,0,1)$ છે.
બિંદુઓ $A$ અને $B$ ને જોડતી રેખાના દિકગુણોત્તરો $(0-1, 0-0, 1-0)$ એટલે કે $(-1, 0, 1)$ છે.
આ રેખા સમતલ $\pi$ નો અભિલંબ હોવાથી,સમતલ $\pi$ નો અભિલંબ સદિશ $\vec{n_1} = -\hat{i} + 0\hat{j} + \hat{k}$ છે.
સમતલ $\pi$ બિંદુ $A(1,0,0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી તેનું સમીકરણ $-1(x-1) + 0(y-0) + 1(z-0) = 0$ થાય,જેનું સાદું રૂપ $-x + 1 + z = 0$ અથવા $-x + z + 1 = 0$ છે.
બીજું સમતલ $x + y + z = 6$ છે,તેથી તેનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n_2} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ છે.
બે સમતલો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\cos \theta = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2}|}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = (-1)(1) + (0)(1) + (1)(1) = -1 + 0 + 1 = 0$.
ડોટ ગુણાકાર $0$ હોવાથી,$\cos \theta = 0$,જેનો અર્થ છે કે $\theta = \frac{\pi}{2}$.

(B) સદિશો $\hat{i}$ અને $\hat{i}+\hat{j}$ ધરાવતા સમતલનું સમીકરણ અભિલંબ સદિશ $\vec{n}_1 = \hat{i} \times (\hat{i}+\hat{j}) = \hat{k}$ દ્વારા મળે છે. તેથી,સમતલનું સમીકરણ $z = 0$ છે.
સદિશો $\hat{i}-\hat{j}$ અને $\hat{i}+\hat{k}$ ધરાવતા સમતલનું સમીકરણ અભિલંબ સદિશ $\vec{n}_2 = (\hat{i}-\hat{j}) \times (\hat{i}+\hat{k}) = -\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ દ્વારા મળે છે. તેથી,સમતલનું સમીકરણ $x + y - z = 0$ છે.
કારણ કે $\vec{a}$ આ બંને સમતલોની છેદરેખાને સમાંતર છે,તેથી $\vec{a}$ એ તેમના અભિલંબના સદિશ ગુણાકારને સમાંતર હોવો જોઈએ: $\vec{v} = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = \hat{k} \times (-\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}) = \hat{i} - \hat{j}$.
ધારો કે $\vec{b} = \hat{i} - \hat{j}$. $\vec{b}$ અને $\vec{c} = \hat{i} - 2\hat{j} + 2\hat{k}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\cos \theta = \frac{|\vec{b} \cdot \vec{c}|}{|\vec{b}| |\vec{c}|}$ દ્વારા મળે છે.
$\vec{b} \cdot \vec{c} = (1)(1) + (-1)(-2) + (0)(2) = 3$.
$|\vec{b}| = \sqrt{2}$ અને $|\vec{c}| = 3$.
$\cos \theta = \frac{3}{3\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
તેથી,$\theta = \frac{\pi}{4}$.

(B) બિંદુઓ $P(x_1, y_1, z_1)$ અને $Q(x_2, y_2, z_2)$ ને જોડતા રેખાખંડનું $m:n$ ગુણોત્તરમાં બહારની તરફ વિભાજન કરતા બિંદુ $R$ ના યામ નીચે મુજબ છે: $\left(\frac{mx_2 - nx_1}{m - n}, \frac{my_2 - ny_1}{m - n}, \frac{mz_2 - nz_1}{m - n}\right)$.
અહીં $P(2, 4, 1)$,$Q(3, 8, 1)$,$m=4$,અને $n=5$ આપેલ છે,તેથી બિંદુ $R$:
$R = \left(\frac{4(3) - 5(2)}{4 - 5}, \frac{4(8) - 5(4)}{4 - 5}, \frac{4(1) - 5(1)}{4 - 5}\right)$
$R = \left(\frac{12 - 10}{-1}, \frac{32 - 20}{-1}, \frac{4 - 5}{-1}\right)$
$R = \left(\frac{2}{-1}, \frac{12}{-1}, \frac{-1}{-1}\right) = (-2, -12, 1)$.
આ બિંદુ $R(-2, -12, 1)$ સમતલ $3x - ky - 6z = 0$ પર આવેલું હોવાથી,તે સમીકરણનું સમાધાન કરશે:
$3(-2) - k(-12) - 6(1) = 0$
$-6 + 12k - 6 = 0$
$12k - 12 = 0$
$12k = 12$
$k = 1$.

(B) બિંદુઓ $(1, 2, 1)$ અને $(-2, 0, 3)$ માંથી પસાર થતી રેખા $L$ નું સમીકરણ $\frac{x-1}{-3} = \frac{y-2}{-2} = \frac{z-1}{2} = \lambda$ છે.
આ રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $A(-3\lambda + 1, -2\lambda + 2, 2\lambda + 1)$ છે.
સમતલ $P$ એ $(0, 0, 0)$,$(0, 0, 4)$ અને $(2, 1, 0)$ માંથી પસાર થાય છે. સમતલનું સમીકરણ નિશ્ચાયક $\begin{vmatrix} x & y & z \\ 0 & 0 & 4 \\ 2 & 1 & 0 \end{vmatrix} = 0$ દ્વારા મળે છે.
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને $-4(x - 2y) = 0$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $x - 2y = 0$ થાય છે.
બિંદુ $A$ સમતલ પર હોવાથી,$A$ ના યામ સમતલના સમીકરણમાં મૂકતા: $(-3\lambda + 1) - 2(-2\lambda + 2) = 0$.
$-3\lambda + 1 + 4\lambda - 4 = 0 \Rightarrow \lambda - 3 = 0 \Rightarrow \lambda = 3$.
$\lambda = 3$ ને $A$ ના યામમાં મૂકતા: $x = -3(3) + 1 = -8$,$y = -2(3) + 2 = -4$,$z = 2(3) + 1 = 7$.
આમ,બિંદુ $-8\hat{i} - 4\hat{j} + 7\hat{k}$ છે.

(B) ગ્રાઉન્ડ ફ્લોર સિવાયના ઉપલબ્ધ માળની સંખ્યા $6$ છે.
દરેક $5$ વ્યક્તિઓ $6$ માળમાંથી કોઈપણ એક માળ પસંદ કરી શકે છે.
તેથી,$5$ વ્યક્તિઓ બહાર નીકળવાની કુલ રીતો $6^5$ છે.
$5$ વ્યક્તિઓ $5$ અલગ-અલગ માળ પર બહાર નીકળે તેની રીતો $^6P_5$ છે.
$^6P_5 = \frac{6!}{(6-5)!} = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 = 720$.
કુલ પરિણામોની સંખ્યા $6^5 = 7776$ છે.
સંભાવના $\frac{^6P_5}{6^5} = \frac{720}{7776}$ છે.
અપૂર્ણાંકનું સાદું રૂપ આપતા: $\frac{720}{7776} = \frac{5}{54}$.

(D) ધારો કે $B$ એ વિદ્યાર્થી છોકરો હોવાની ઘટના છે અને $G$ એ વિદ્યાર્થી છોકરી હોવાની ઘટના છે. ધારો કે $T$ એ વિદ્યાર્થીની ઊંચાઈ $1.6 \ m$ કરતા વધારે હોવાની ઘટના છે.
આપેલ છે: $P(G) = 0.60$,તેથી $P(B) = 1 - 0.60 = 0.40$.
છોકરાની ઊંચાઈ $1.6 \ m$ કરતા વધારે હોવાની સંભાવના: $P(T|B) = 5 \% = 0.05 = \frac{5}{100}$.
છોકરીની ઊંચાઈ $1.6 \ m$ કરતા વધારે હોવાની સંભાવના: $P(T|G) = 2 \% = 0.02 = \frac{2}{100}$.
સંપૂર્ણ સંભાવનાના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$P(T) = P(B) \cdot P(T|B) + P(G) \cdot P(T|G)$
$P(T) = 0.40 \cdot 0.05 + 0.60 \cdot 0.02$
$P(T) = 0.020 + 0.012 = 0.032$
$P(T) = \frac{32}{1000} = \frac{4}{125}$.

(A) આપેલ છે કે,$P(A)=\frac{1}{3}$,$P(A \cap B)=\frac{1}{5}$,$P(A \cup B)=\frac{3}{5}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે,$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{3}{5} = \frac{1}{3} + P(B) - \frac{1}{5}$.
$P(B) = \frac{3}{5} + \frac{1}{5} - \frac{1}{3} = \frac{9+3-5}{15} = \frac{7}{15}$.
હવે,વસ્તુઓને જોડતા:
$A$. $P(\frac{A}{B}) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{1/5}{7/15} = \frac{3}{7}$ ($(v)$ સાથે જોડાય છે).
$B$. $P(\bar{B}) = 1 - P(B) = 1 - \frac{7}{15} = \frac{8}{15}$ ($(iii)$ સાથે જોડાય છે).
$C$. $P(A \cap \bar{B}) = P(A) - P(A \cap B) = \frac{1}{3} - \frac{1}{5} = \frac{2}{15}$ ($(i)$ સાથે જોડાય છે).
$D$. $P(B \cap \bar{A}) = P(B) - P(A \cap B) = \frac{7}{15} - \frac{1}{5} = \frac{4}{15}$ ($(ii)$ સાથે જોડાય છે).
આમ,સાચી જોડ છે: $A-(v), B-(iii), C-(i), D-(ii)$.

(A) એક પાસા પરની અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ $\{2, 3, 5\}$ છે. કુલ $6$ પરિણામોમાંથી $3$ અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ છે.
એક પાસા પર અવિભાજ્ય સંખ્યા મેળવવાની સંભાવના $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ છે.
બે પાસા સ્વતંત્ર હોવાથી,બંને પાસા પર અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ મેળવવાની સંભાવના $\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$ થાય.
બે સિક્કા ઉછાળવાના શક્ય પરિણામો $\{HH, HT, TH, TT\}$ છે.
બરાબર એક છાપ અને એક કાંટો મેળવવાના કિસ્સાઓ $\{HT, TH\}$ છે.
એક છાપ અને એક કાંટો મેળવવાની સંભાવના $\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ છે.
પાસા અને સિક્કા સ્વતંત્ર હોવાથી,જરૂરી સંભાવના $\frac{1}{4} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$ થાય.

(A) ધારો કે $G$ એ સારી વસ્તુ અને $B$ એ ખામીયુક્ત વસ્તુ દર્શાવે છે. કુલ વસ્તુઓ $= n + m$.
આપણે બદલ્યા વગર ક્રમશઃ $2$ વસ્તુઓ પસંદ કરીએ છીએ.
બીજી વસ્તુ ખામીયુક્ત હોય તે માટે બે પરસ્પર નિવારક કિસ્સાઓ છે:
$1$. પ્રથમ વસ્તુ ખામીયુક્ત અને બીજી વસ્તુ ખામીયુક્ત $(B_1 \cap B_2)$.
$2$. પ્રથમ વસ્તુ સારી અને બીજી વસ્તુ ખામીયુક્ત $(G_1 \cap B_2)$.
સંભાવના નીચે મુજબ છે:
$P(B_2) = P(B_1 \cap B_2) + P(G_1 \cap B_2)$
$P(B_2) = P(B_1) \cdot P(B_2|B_1) + P(G_1) \cdot P(B_2|G_1)$
$P(B_2) = \left( \frac{m}{n+m} \right) \cdot \left( \frac{m-1}{n+m-1} \right) + \left( \frac{n}{n+m} \right) \cdot \left( \frac{m}{n+m-1} \right)$
$P(B_2) = \frac{m(m-1) + nm}{(n+m)(n+m-1)}$
$P(B_2) = \frac{m^2 - m + nm}{(n+m)(n+m-1)}$
$P(B_2) = \frac{m(m + n - 1)}{(n+m)(n+m-1)}$
$P(B_2) = \frac{m}{n+m}$

(C) ધારો કે $M$ એ વ્યક્તિ પુરુષ હોવાની ઘટના છે અને $W$ એ વ્યક્તિ સ્ત્રી હોવાની ઘટના છે. વસ્તી પુરુષો અને સ્ત્રીઓમાં વહેંચાયેલી હોવાથી,આપણે ધારીએ છીએ કે $P(M) = \frac{1}{2}$ અને $P(W) = \frac{1}{2}$.
ધારો કે $C$ એ વ્યક્તિ રંગઅંધ હોવાની ઘટના છે.
આપેલ છે: $P(C|M) = \frac{1}{20}$ અને $P(C|W) = \frac{1}{10}$.
આપણે તે વ્યક્તિ રંગઅંધ છે તે જાણીને તે પુરુષ હોવાની સંભાવના શોધવાની છે,એટલે કે $P(M|C)$.
બેયઝના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા:
$P(M|C) = \frac{P(M) \cdot P(C|M)}{P(M) \cdot P(C|M) + P(W) \cdot P(C|W)}$
$P(M|C) = \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{20}}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{20} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{10}}$
$P(M|C) = \frac{\frac{1}{40}}{\frac{1}{40} + \frac{1}{20}} = \frac{\frac{1}{40}}{\frac{1+2}{40}} = \frac{1}{3}$.

(A) ધારો કે $E_1$ એ ઘટના છે કે વિદ્યાર્થી જવાબનું અનુમાન લગાવે છે,$E_2$ એ ઘટના છે કે વિદ્યાર્થી જવાબ જાણે છે,અને $E_3$ એ ઘટના છે કે તે જવાબની નકલ કરે છે. ધારો કે $A$ એ ઘટના છે કે જવાબ સાચો છે.
આપેલ છે કે,
$P(E_1) = \frac{1}{3}, P(E_3) = \frac{1}{12}$.
ઘટનાઓ નિઃશેષ હોવાથી,$P(E_2) = 1 - P(E_1) - P(E_3) = 1 - \frac{1}{3} - \frac{1}{12} = \frac{12-4-1}{12} = \frac{7}{12}$.
જો તે અનુમાન લગાવે તો જવાબ સાચો હોવાની સંભાવના $P(A|E_1) = \frac{1}{4}$ છે (કારણ કે $4$ વિકલ્પો છે).
જો તે જવાબ જાણે છે તો જવાબ સાચો હોવાની સંભાવના $P(A|E_2) = 1$ છે.
જો તે નકલ કરે છે તો જવાબ સાચો હોવાની સંભાવના $P(A|E_3) = \frac{1}{6}$ છે.
બેયઝના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,તેણે સાચો જવાબ આપ્યો હોય તો તેણે જવાબ જાણ્યો હતો તેની સંભાવના:
$P(E_2|A) = \frac{P(E_2)P(A|E_2)}{P(E_1)P(A|E_1) + P(E_2)P(A|E_2) + P(E_3)P(A|E_3)}$
$P(E_2|A) = \frac{\frac{7}{12} \times 1}{(\frac{1}{3} \times \frac{1}{4}) + (\frac{7}{12} \times 1) + (\frac{1}{12} \times \frac{1}{6})}$
$P(E_2|A) = \frac{\frac{7}{12}}{\frac{1}{12} + \frac{7}{12} + \frac{1}{72}} = \frac{\frac{7}{12}}{\frac{6 + 42 + 1}{72}} = \frac{7}{12} \times \frac{72}{49} = \frac{6}{7}$.

(D) ધારો કે $E_1$ એ ઘટના છે કે નબળો વિદ્યાર્થી જવાબ જાણે છે,અને $E_2$ એ ઘટના છે કે નબળો વિદ્યાર્થી જવાબનું અનુમાન લગાવે છે. ધારો કે $A$ એ ઘટના છે કે નબળો વિદ્યાર્થી સાચો જવાબ મેળવે છે.
આપણને આપેલ છે કે વિદ્યાર્થી $20 \%$ જવાબો જાણે છે,તેથી $P(E_1) = 0.20$. અનુમાન લગાવવાની સંભાવના $P(E_2) = 1 - 0.20 = 0.80$ છે.
જો વિદ્યાર્થી જવાબ જાણે છે,તો સાચો જવાબ મેળવવાની સંભાવના $P(A|E_1) = 1$ છે.
કારણ કે $4$ વિકલ્પો છે અને માત્ર એક જ સાચો છે,તેથી સાચો જવાબ અનુમાન લગાવવાની સંભાવના $P(A|E_2) = \frac{1}{4} = 0.25$ છે.
આપણે એ સંભાવના શોધવાની છે કે વિદ્યાર્થીએ અનુમાન લગાવ્યું હતું,જો તેણે સાચો જવાબ મેળવ્યો હોય,જે $P(E_2|A)$ છે.
બેયઝના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા:
$P(E_2|A) = \frac{P(E_2) \cdot P(A|E_2)}{P(E_1) \cdot P(A|E_1) + P(E_2) \cdot P(A|E_2)}$
$P(E_2|A) = \frac{0.80 \times 0.25}{(0.20 \times 1) + (0.80 \times 0.25)}$
$P(E_2|A) = \frac{0.20}{0.20 + 0.20} = \frac{0.20}{0.40} = 0.5$.

(A) ધારો કે $E_1$ એ થેલી $P$ પસંદ કરવાની ઘટના છે અને $E_2$ એ થેલી $Q$ પસંદ કરવાની ઘટના છે.
થેલીઓ યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરવામાં આવતી હોવાથી,$P(E_1) = P(E_2) = \frac{1}{2}$ છે.
ધારો કે $A$ એ લાલ દડો પસંદ કરવાની ઘટના છે.
થેલી $P$ માંથી લાલ દડો પસંદ કરવાની સંભાવના $P(A|E_1) = \frac{5}{3+5} = \frac{5}{8}$ છે.
થેલી $Q$ માંથી લાલ દડો પસંદ કરવાની સંભાવના $P(A|E_2) = \frac{6}{4+6} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$ છે.
બેયઝના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,જો દડો લાલ હોય તો તે થેલી $Q$ માંથી હોય તેની સંભાવના $P(E_2|A) = \frac{P(E_2)P(A|E_2)}{P(E_1)P(A|E_1) + P(E_2)P(A|E_2)}$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$P(E_2|A) = \frac{\frac{1}{2} \times \frac{6}{10}}{\frac{1}{2} \times \frac{5}{8} + \frac{1}{2} \times \frac{6}{10}} = \frac{\frac{6}{10}}{\frac{5}{8} + \frac{6}{10}} = \frac{\frac{3}{5}}{\frac{25+24}{40}} = \frac{3}{5} \times \frac{40}{49} = \frac{24}{49}$.

(C) આપેલ છે કે $A$ અને $B$ સ્વતંત્ર ઘટનાઓ છે,તેથી $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$.
આપણને $P(B) = \frac{2}{7}$ આપેલ છે,તેથી $P(B^c) = 1 - \frac{2}{7} = \frac{5}{7}$.
આપણને $P(A \cup B^c) = 0.8$ આપેલ છે.
સૂત્ર $P(A \cup B^c) = P(A) + P(B^c) - P(A \cap B^c) = 0.8$ નો ઉપયોગ કરતા.
$A$ અને $B$ સ્વતંત્ર હોવાથી,$A$ અને $B^c$ પણ સ્વતંત્ર છે,તેથી $P(A \cap B^c) = P(A) \cdot P(B^c)$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $P(A) + P(B^c) - P(A) \cdot P(B^c) = 0.8$.
$P(A)(1 - P(B^c)) = 0.8 - P(B^c)$.
$P(A)(1 - \frac{5}{7}) = 0.8 - \frac{5}{7}$.
$P(A)(\frac{2}{7}) = \frac{4}{5} - \frac{5}{7} = \frac{28 - 25}{35} = \frac{3}{35}$.
$P(A) = \frac{3}{35} \cdot \frac{7}{2} = \frac{3}{10} = 0.3$.
હવે,$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) = \frac{3}{10} \cdot \frac{2}{7} = \frac{6}{70} = \frac{3}{35}$.
અંતે,$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = \frac{3}{10} + \frac{2}{7} - \frac{3}{35} = \frac{21 + 20 - 6}{70} = \frac{35}{70} = \frac{1}{2}$.

(B) ધારો કે $E_1$,$E_2$,અને $E_3$ એ ઘટનાઓ છે કે બેટરી અનુક્રમે મશીન $P$,$Q$,અને $R$ દ્વારા બનાવવામાં આવે છે. ધારો કે $A$ એ ઘટના છે કે બેટરી ખામીયુક્ત છે.
આપેલ સંભાવનાઓ છે:
$P(E_1) = 0.20$,$P(E_2) = 0.30$,$P(E_3) = 0.50$.
ખામીયુક્ત બેટરીની શરતી સંભાવનાઓ છે:
$P(A|E_1) = 0.01$,$P(A|E_2) = 0.015$,$P(A|E_3) = 0.02$.
સંપૂર્ણ સંભાવનાના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$P(A) = P(E_1)P(A|E_1) + P(E_2)P(A|E_2) + P(E_3)P(A|E_3)$
$P(A) = (0.20 \times 0.01) + (0.30 \times 0.015) + (0.50 \times 0.02)$
$P(A) = 0.002 + 0.0045 + 0.010 = 0.0165$
અપૂર્ણાંકમાં ફેરવતા:
$P(A) = \frac{165}{10000} = \frac{33}{2000}$.

(C) ધારો કે $E$ એ ઘટના છે કે પસંદ કરેલી વસ્તુ ખામીયુક્ત છે. ધારો કે $A, B, C$ એ ઘટનાઓ છે કે વસ્તુ અનુક્રમે મશીન $A, B, C$ દ્વારા ઉત્પાદિત કરવામાં આવી હતી.
આપેલ સંભાવનાઓ:
$P(A) = \frac{2500}{10000} = 0.25$
$P(B) = \frac{3500}{10000} = 0.35$
$P(C) = \frac{4000}{10000} = 0.40$
ખામીની શરતી સંભાવનાઓ:
$P(E|A) = \frac{2}{100} = 0.02$
$P(E|B) = \frac{3}{100} = 0.03$
$P(E|C) = \frac{5}{100} = 0.05$
બેયઝના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને,જો વસ્તુ ખામીયુક્ત હોય તો તે મશીન $C$ દ્વારા ઉત્પાદિત હોવાની સંભાવના:
$P(C|E) = \frac{P(E|C) \cdot P(C)}{P(E|A) \cdot P(A) + P(E|B) \cdot P(B) + P(E|C) \cdot P(C)}$
$P(C|E) = \frac{0.05 \cdot 0.40}{(0.02 \cdot 0.25) + (0.03 \cdot 0.35) + (0.05 \cdot 0.40)}$
$P(C|E) = \frac{0.0200}{0.0050 + 0.0105 + 0.0200} = \frac{0.0200}{0.0355} = \frac{200}{355} = \frac{40}{71}$

(B) ધારો કે $X$ એ દર કલાકે કરવામાં આવતા કોલની સંખ્યા છે. સરેરાશ કોલની સંખ્યા $5$ હોવાથી,$X$ એ $\lambda = 5$ પ્રાચલ સાથે પોઈસન વિતરણને અનુસરે છે.
$X$ કોલનો ખર્ચ $2X$ છે. આપણે એ સંભાવના શોધવી છે કે ખર્ચ $Rs. 4$ થી વધુ હોય,એટલે કે $P(2X > 4) = P(X > 2)$.
$P(X > 2) = 1 - P(X \leq 2) = 1 - [P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)]$.
પોઈસન સૂત્ર $P(X=k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$P(X=0) = e^{-5} \frac{5^0}{0!} = e^{-5}$.
$P(X=1) = e^{-5} \frac{5^1}{1!} = 5e^{-5}$.
$P(X=2) = e^{-5} \frac{5^2}{2!} = \frac{25}{2} e^{-5}$.
આનો સરવાળો કરતા: $P(X \leq 2) = e^{-5} (1 + 5 + 12.5) = 18.5 e^{-5} = \frac{37}{2} e^{-5}$.
તેથી,$P(X > 2) = 1 - \frac{37}{2 e^5} = \frac{2 e^5 - 37}{2 e^5}$.

(B) ધારો કે $p$ એ સફળતાની સંભાવના છે અને $q$ એ નિષ્ફળતાની સંભાવના છે. આપેલ છે કે $p = 3q$. $p + q = 1$ હોવાથી,$3q + q = 1$,જેનો અર્થ છે કે $4q = 1$,તેથી $q = \frac{1}{4}$ અને $p = \frac{3}{4}$.
$n = 5$ પ્રયત્નો સાથેના દ્વિપદી વિતરણ માટે,$x$ સફળતાની સંભાવના $P(X = x) = {}^nC_x p^x q^{n-x}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણે ઓછામાં ઓછી $4$ સફળતા મેળવવાની સંભાવના શોધવાની છે,જે $P(X \ge 4) = P(X = 4) + P(X = 5)$ છે.
$P(X = 4) = {}^5C_4 (\frac{3}{4})^4 (\frac{1}{4})^1 = 5 \cdot \frac{81}{256} \cdot \frac{1}{4} = \frac{405}{1024}$.
$P(X = 5) = {}^5C_5 (\frac{3}{4})^5 (\frac{1}{4})^0 = 1 \cdot \frac{243}{1024} \cdot 1 = \frac{243}{1024}$.
આમ,$P(X \ge 4) = \frac{405}{1024} + \frac{243}{1024} = \frac{648}{1024} = \frac{81}{128}$.

(B) ખરાબ પ્રતિક્રિયા થવાની સંભાવના $p = 0.01$ છે અને લોકોની સંખ્યા $n = 300$ છે.
અહીં $n$ મોટું હોવાથી અને $p$ નાનું હોવાથી,આપણે દ્વિપદી વિતરણના અંદાજ તરીકે પોઈસન વિતરણનો ઉપયોગ કરીશું.
મધ્યક $\mu = n \times p = 300 \times 0.01 = 3$ મળે છે.
પોઈસન વિતરણનું સૂત્ર $P(X = x) = \frac{e^{-\mu} \cdot \mu^x}{x!}$ છે.
$x = 2$ માટે,$P(X = 2) = \frac{e^{-3} \cdot 3^2}{2!} = \frac{9}{2 e^3}$ થાય છે.

(C) ધારો કે $E_n$ એ ઘટના છે કે મિકેનિક $n$મા દિવસે ભૂલ કરે છે. સંભાવના $P(E_n) = \frac{1}{2^n}$ છે.
ધારો કે $E_n^c$ એ ઘટના છે કે મિકેનિક $n$મા દિવસે ભૂલ કરતો નથી. તેથી $P(E_n^c) = 1 - \frac{1}{2^n}$.
$n = 1, 2, 3, 4$ માટે,ભૂલ કરવાની સંભાવનાઓ $P(E_1) = \frac{1}{2}, P(E_2) = \frac{1}{4}, P(E_3) = \frac{1}{8}, P(E_4) = \frac{1}{16}$ છે.
ભૂલ ન કરવાની સંભાવનાઓ $P(E_1^c) = \frac{1}{2}, P(E_2^c) = \frac{3}{4}, P(E_3^c) = \frac{7}{8}, P(E_4^c) = \frac{15}{16}$ છે.
આપણે $4$ માંથી બરાબર $3$ દિવસ ભૂલ ન કરવાની સંભાવના શોધીએ છીએ. આ $4$ પરસ્પર નિવારક રીતે થઈ શકે છે:
$1$. માત્ર $1$લા દિવસે ભૂલ: $P(E_1)P(E_2^c)P(E_3^c)P(E_4^c) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{7}{8} \cdot \frac{15}{16} = \frac{315}{1024}$
$2$. માત્ર $2$જા દિવસે ભૂલ: $P(E_1^c)P(E_2)P(E_3^c)P(E_4^c) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{7}{8} \cdot \frac{15}{16} = \frac{105}{1024}$
$3$. માત્ર $3$જા દિવસે ભૂલ: $P(E_1^c)P(E_2^c)P(E_3)P(E_4^c) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{8} \cdot \frac{15}{16} = \frac{45}{1024}$
$4$. માત્ર $4$થા દિવસે ભૂલ: $P(E_1^c)P(E_2^c)P(E_3^c)P(E_4) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{7}{8} \cdot \frac{1}{16} = \frac{21}{1024}$
આ સંભાવનાઓનો સરવાળો: $\frac{315 + 105 + 45 + 21}{1024} = \frac{486}{1024} = \frac{243}{512}$.

(C) આપેલ છે કે મધ્યક $\mu = np = \frac{5}{2}$ અને વિચરણ $\sigma^2 = npq = \frac{5}{4}$ છે.
વિચરણને મધ્યક વડે ભાગતા,આપણને $q = \frac{npq}{np} = \frac{5/4}{5/2} = \frac{1}{2}$ મળે છે.
કારણ કે $p = 1 - q$,તેથી $p = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ મળે છે.
$p = \frac{1}{2}$ ને $np = \frac{5}{2}$ માં મૂકતા,આપણને $n \times \frac{1}{2} = \frac{5}{2}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $n = 5$.
આપણે $P(X > 1) = 1 - \{P(X = 0) + P(X = 1)\}$ શોધવાનું છે.
દ્વિપદી સંભાવના સૂત્ર $P(X = k) = {}^nC_k p^k q^{n-k}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$P(X = 0) = {}^5C_0 (\frac{1}{2})^0 (\frac{1}{2})^5 = 1 \times 1 \times \frac{1}{32} = \frac{1}{32}$.
$P(X = 1) = {}^5C_1 (\frac{1}{2})^1 (\frac{1}{2})^4 = 5 \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{16} = \frac{5}{32}$.
તેથી,$P(X > 1) = 1 - (\frac{1}{32} + \frac{5}{32}) = 1 - \frac{6}{32} = 1 - \frac{3}{16} = \frac{13}{16}$.

(C) આપેલ છે કે વ્યક્તિ $9$ રમતોમાં $4$ વખત નિષ્ફળ જાય છે,તેથી સફળતાની સંખ્યા $9 - 4 = 5$ છે.
આમ,એક રમતમાં સફળતાની સંભાવના $p = \frac{5}{9}$ છે.
પરિણામે,નિષ્ફળતાની સંભાવના $q = 1 - p = 1 - \frac{5}{9} = \frac{4}{9}$ છે.
$n = 15$ પ્રયત્નો માટે,આપણે વધુમાં વધુ એક સફળતાની સંભાવના શોધીએ છીએ,એટલે કે $P(X \leq 1) = P(X = 0) + P(X = 1)$.
દ્વિપદી વિતરણના સૂત્ર $P(X = r) = {}^{n}C_{r} p^r q^{n-r}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$P(X = 0) = {}^{15}C_{0} \left(\frac{5}{9}\right)^0 \left(\frac{4}{9}\right)^{15} = \left(\frac{4}{9}\right)^{15}$.
$P(X = 1) = {}^{15}C_{1} \left(\frac{5}{9}\right)^1 \left(\frac{4}{9}\right)^{14} = 15 \times \frac{5}{9} \times \left(\frac{4}{9}\right)^{14} = \frac{75}{9} \times \left(\frac{4}{9}\right)^{14}$.
આ સંભાવનાઓનો સરવાળો કરતા:
$P(X \leq 1) = \left(\frac{4}{9}\right)^{15} + \frac{75}{9} \times \left(\frac{4}{9}\right)^{14} = \left(\frac{4}{9}\right)^{14} \left[ \frac{4}{9} + \frac{75}{9} \right] = \frac{79}{9} \left(\frac{4}{9}\right)^{14}$.

(A) જ્યારે $3$ સિક્કા ઉછાળવામાં આવે છે,ત્યારે નિદર્શાવકાશ $S$ માં $2^3 = 8$ પરિણામો હોય છે: $S = \{HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT\}$.
ધારો કે $H$ એ છાપની સંખ્યા છે અને $T$ એ કાંટાની સંખ્યા છે. ચોખ્ખો નફો $X = 10T - 5H$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. $H + T = 3$ હોવાથી,$T = 3 - H$ થાય.
તેથી,$X = 10(3 - H) - 5H = 30 - 15H$.
દરેક પરિણામ માટે $X$ ની ગણતરી:
- $HHH (H=3): X = 30 - 15(3) = -15$
- $HHT, HTH, THH (H=2): X = 30 - 15(2) = 0$
- $HTT, THT, TTH (H=1): X = 30 - 15(1) = 15$
- $TTT (H=0): X = 30 - 15(0) = 30$
સંભાવના વિતરણ નીચે મુજબ છે:

$x$	$-15$	$0$	$15$	$30$
$P(x)$	$\frac{1}{8}$	$\frac{3}{8}$	$\frac{3}{8}$	$\frac{1}{8}$

મધ્યક $E(X) = \Sigma x P(x) = (-15 \times \frac{1}{8}) + (0 \times \frac{3}{8}) + (15 \times \frac{3}{8}) + (30 \times \frac{1}{8})$
$E(X) = \frac{-15 + 0 + 45 + 30}{8} = \frac{60}{8} = \frac{15}{2}$.

(A) આપેલ છે કે $2 P(X=1) = 3 P(X=2) = P(X=3) = 5 P(X=4) = k$.
તેથી $P(X=1) = \frac{k}{2}, P(X=2) = \frac{k}{3}, P(X=3) = k, P(X=4) = \frac{k}{5}$.
કારણ કે $\sum P(X) = 1$,તેથી $\frac{k}{2} + \frac{k}{3} + k + \frac{k}{5} = 1$.
$\Rightarrow k(\frac{15+10+30+6}{30}) = 1 \Rightarrow k(\frac{61}{30}) = 1 \Rightarrow k = \frac{30}{61}$.
સંભાવના વિતરણ નીચે મુજબ છે:

$x$	$1$	$2$	$3$	$4$
$P(X=x)$	$\frac{15}{61}$	$\frac{10}{61}$	$\frac{30}{61}$	$\frac{6}{61}$

મધ્યક $\mu = E(X) = \sum x P(x) = 1(\frac{15}{61}) + 2(\frac{10}{61}) + 3(\frac{30}{61}) + 4(\frac{6}{61}) = \frac{15+20+90+24}{61} = \frac{149}{61}$.
$E(X^2) = \sum x^2 P(x) = 1^2(\frac{15}{61}) + 2^2(\frac{10}{61}) + 3^2(\frac{30}{61}) + 4^2(\frac{6}{61}) = \frac{15+40+270+96}{61} = \frac{421}{61}$.
વિચરણ $\sigma^2 = E(X^2) - \mu^2$.
આપણે $\sigma^2 + \mu^2 = E(X^2) - \mu^2 + \mu^2 = E(X^2)$ મેળવવાનું છે.
તેથી,$\sigma^2 + \mu^2 = \frac{421}{61}$.

(A) પોઈસન વિતરણ માટે,સંભાવના દળ વિધેય $P(X=r) = \frac{\lambda^r e^{-\lambda}}{r!}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\lambda$ એ વિતરણનો પ્રાચલ છે.
આપેલ છે કે $P(X=1) = 3P(X=2)$.
સૂત્રમાં કિંમત મૂકતા:
$\frac{\lambda^1 e^{-\lambda}}{1!} = 3 \times \frac{\lambda^2 e^{-\lambda}}{2!}$
$\lambda = 3 \times \frac{\lambda^2}{2}$
કારણ કે $\lambda \neq 0$,આપણે $\lambda$ વડે ભાગાકાર કરીએ:
$1 = \frac{3\lambda}{2} \implies \lambda = \frac{2}{3}$.
હવે,આપણે $P(X=3)$ ની ગણતરી કરીએ:
$P(X=3) = \frac{\lambda^3 e^{-\lambda}}{3!} = \frac{(\frac{2}{3})^3 e^{-\frac{2}{3}}}{6}$
$P(X=3) = \frac{\frac{8}{27} e^{-\frac{2}{3}}}{6} = \frac{8}{27 \times 6} e^{-\frac{2}{3}} = \frac{4}{81} e^{-\frac{2}{3}}$.