TS EAMCET 2018 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(D) આપેલ વિધેય $f(x) = \sin 5x \cos 3x$ છે.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $2 \sin A \cos B = \sin(A+B) + \sin(A-B)$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે વિધેયને આ રીતે લખી શકીએ:
$f(x) = \frac{1}{2} [\sin(5x+3x) + \sin(5x-3x)] = \frac{1}{2} (\sin 8x + \sin 2x)$.
$\sin 8x$ નું આવર્તમાન $T_1 = \frac{2\pi}{8} = \frac{\pi}{4}$ છે.
$\sin 2x$ નું આવર્તમાન $T_2 = \frac{2\pi}{2} = \pi$ છે.
બે આવર્તી વિધેયોના સરવાળાનું આવર્તમાન તેમના વ્યક્તિગત આવર્તમાનોનો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી ($L$.$C$.$M$.) હોય છે.
$\alpha = \text{L.C.M.}\left(\frac{\pi}{4}, \pi\right) = \frac{\text{L.C.M.}(\pi, \pi)}{\text{H.C.F.}(4, 1)} = \frac{\pi}{1} = \pi$.
આમ,$\alpha = \pi$.
છેલ્લે,$\cos \alpha = \cos \pi = -1$.

(A) આપેલ અસમતા $|x-1|+|x+1| < 4$ છે.
આપણે વિધેય $f(x) = |x-1|+|x+1|$ વ્યાખ્યાયિત કરીએ છીએ.
કિસ્સો $1$: $x < -1$. તો $f(x) = -(x-1) - (x+1) = -2x$.
$-2x < 4 \Rightarrow x > -2$. તેથી,$x \in (-2, -1)$.
કિસ્સો $2$: $-1 \leq x \leq 1$. તો $f(x) = -(x-1) + (x+1) = 2$.
$2 < 4$ એ $x \in [-1, 1]$ માટે હંમેશા સાચું છે.
કિસ્સો $3$: $x > 1$. તો $f(x) = (x-1) + (x+1) = 2x$.
$2x < 4 \Rightarrow x < 2$. તેથી,$x \in (1, 2)$.
બધા કિસ્સાઓને જોડતા,ઉકેલ ગણ $(-2, -1) \cup [-1, 1] \cup (1, 2) = (-2, 2)$ મળે છે.

(B) આપેલ વક્રો $x^2-y^2=4$ ...$(i)$ અને $x^2+y^2=4\sqrt{2}$ ...(ii) છે.
બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા,$2x^2 = 4(1+\sqrt{2})$,તેથી $x^2 = 2(1+\sqrt{2})$.
સમીકરણ (ii) માંથી $(i)$ બાદ કરતા,$2y^2 = 4(\sqrt{2}-1)$,તેથી $y^2 = 2(\sqrt{2}-1)$.
$(i)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $2x - 2y\frac{dy}{dx} = 0 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{x}{y} = m_1$.
(ii) નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $2x + 2y\frac{dy}{dx} = 0 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y} = m_2$.
વક્રો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ માટે $\tan \theta = \left|\frac{m_1-m_2}{1+m_1m_2}\right|$.
કિંમતો મૂકતા: $\tan \theta = \left|\frac{2x/y}{1 - x^2/y^2}\right| = \left|\frac{2xy}{y^2-x^2}\right|$.
અહીં $y^2-x^2 = -4$ અને $x^2y^2 = 4(2-1) = 4$,તેથી $xy = 2$.
તેથી,$\tan \theta = \left|\frac{2(2)}{-4}\right| = 1$.
આમ,$\theta = \frac{\pi}{4}$.

(C) આપેલ વક્રના પ્રચલ સમીકરણો $x = a(1 + \cos \theta)$ અને $y = a \sin \theta$ છે.
પ્રથમ,આપણે વિકલન $\frac{dy}{dx}$ શોધીએ:
$\frac{dy}{d\theta} = a \cos \theta$ અને $\frac{dx}{d\theta} = -a \sin \theta$.
તેથી,$\frac{dy}{dx} = \frac{a \cos \theta}{-a \sin \theta} = -\cot \theta$.
બિંદુ $\theta$ આગળ અભિલંબનો ઢાળ $m_n = -\frac{1}{dy/dx} = \frac{1}{\cot \theta} = \tan \theta$ છે.
બિંદુ $(x_1, y_1) = (a(1 + \cos \theta), a \sin \theta)$ આગળ અભિલંબનું સમીકરણ નીચે મુજબ છે:
$y - a \sin \theta = \tan \theta (x - a(1 + \cos \theta))$.
$y - a \sin \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} (x - a - a \cos \theta)$.
$y \cos \theta - a \sin \theta \cos \theta = x \sin \theta - a \sin \theta - a \sin \theta \cos \theta$.
$y \cos \theta = x \sin \theta - a \sin \theta$.
$y \cos \theta = (x - a) \sin \theta$.
જો આપણે બિંદુ $(a, 0)$ ચકાસીએ,તો સમીકરણમાં $x = a$ અને $y = 0$ મૂકતા:
$0 \cdot \cos \theta = (a - a) \sin \theta \Rightarrow 0 = 0$.
આ સમીકરણ તમામ $\theta$ માટે સાચું હોવાથી,અભિલંબ હંમેશા નિશ્ચિત બિંદુ $(a, 0)$ માંથી પસાર થાય છે.

(D) આપેલ વક્રો $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1$ $(i)$ અને $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{k}=1$ (ii) છે.
વક્ર $(i)$ માટે,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{2x}{4} + \frac{2yy'}{9} = 0 \Rightarrow y'_1 = -\frac{9x}{4y}$.
વક્ર (ii) માટે,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{2x}{16} - \frac{2yy'}{k} = 0 \Rightarrow y'_2 = \frac{kx}{16y}$.
વક્રો લંબરૂપે હોવાથી,$y'_1 \times y'_2 = -1$.
વિકલિતોની કિંમત મૂકતા: $(-\frac{9x}{4y}) \times (\frac{kx}{16y}) = -1 \Rightarrow \frac{9kx^2}{64y^2} = 1 \Rightarrow 9kx^2 = 64y^2$.
$(i)$ પરથી,$y^2 = 9(1 - \frac{x^2}{4}) = \frac{9(4-x^2)}{4}$.
$y^2$ ની કિંમત લંબરૂપતાની શરતમાં મૂકતા: $9kx^2 = 64 \times \frac{9(4-x^2)}{4} = 16 \times 9(4-x^2) = 144(4-x^2)$.
$kx^2 = 16(4-x^2) = 64 - 16x^2 \Rightarrow x^2(k+16) = 64 \Rightarrow x^2 = \frac{64}{k+16}$.
$x^2$ ની કિંમત $(i)$ માં મૂકતા: $\frac{64}{4(k+16)} + \frac{y^2}{9} = 1 \Rightarrow \frac{16}{k+16} + \frac{y^2}{9} = 1 \Rightarrow \frac{y^2}{9} = 1 - \frac{16}{k+16} = \frac{k}{k+16} \Rightarrow y^2 = \frac{9k}{k+16}$.
$x^2$ અને $y^2$ ની કિંમત $9kx^2 = 64y^2$ માં મૂકતા: $9k(\frac{64}{k+16}) = 64(\frac{9k}{k+16})$.
આ સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $(\frac{1}{4} - \frac{1}{16})x^2 + (\frac{1}{9} + \frac{1}{k})y^2 = 0 \Rightarrow \frac{3}{16}x^2 + \frac{k+9}{9k}y^2 = 0$.
$9kx^2 = 64y^2 \Rightarrow x^2 = \frac{64y^2}{9k}$ નો ઉપયોગ કરતા: $\frac{3}{16}(\frac{64y^2}{9k}) + \frac{k+9}{9k}y^2 = 0 \Rightarrow \frac{4y^2}{3k} + \frac{(k+9)y^2}{9k} = 0$.
$y^2/9k$ વડે ભાગતા: $12 + k + 9 = 0 \Rightarrow k = -21$.

(B) ધારો કે પરવલય $y^2=4x$ પર બિંદુ $Q$ ના યામ $(x, y)$ છે.
અંતર $PQ$ એ $PQ = \sqrt{(x-2)^2 + (y-0)^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$y^2 = 4x$ મૂકતા,આપણને $PQ = \sqrt{(x-2)^2 + 4x} = \sqrt{x^2 - 4x + 4 + 4x} = \sqrt{x^2 + 4}$ મળે છે.
ન્યૂનતમ અંતર શોધવા માટે,ધારો કે $f(x) = x^2 + 4$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$f'(x) = 2x$.
$f'(x) = 0$ લેતા,આપણને $x = 0$ મળે છે.
કારણ કે $f''(x) = 2 > 0$,તેથી વિધેય $x = 0$ આગળ ન્યૂનતમ છે.
ન્યૂનતમ અંતર $PQ = \sqrt{0^2 + 4} = \sqrt{4} = 2$ છે.

(A) ધારો કે શરૂઆતનું બિંદુ $O$ છે. $2 \text{ કલાક}$ પછી,પ્રથમ જહાજ દ્વારા કાપેલું અંતર $OA = 3 \text{ km/h} \times 2 \text{ h} = 6 \text{ km}$ છે.
બીજા જહાજ દ્વારા કાપેલું અંતર $OB = 4 \text{ km/h} \times 2 \text{ h} = 8 \text{ km}$ છે.
બંને માર્ગો વચ્ચેનો ખૂણો $\angle AOB = 45^{\circ} + 15^{\circ} = 60^{\circ}$ છે.
$\triangle AOB$ માં કોસાઇનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$AB^2 = OA^2 + OB^2 - 2(OA)(OB) \cos(60^{\circ})$
$AB^2 = 6^2 + 8^2 - 2(6)(8) \times \frac{1}{2}$
$AB^2 = 36 + 64 - 48$
$AB^2 = 100 - 48 = 52$
$AB = \sqrt{52} = \sqrt{4 \times 13} = 2 \sqrt{13} \text{ km}$.

(B) ધારો કે $f(n) = n(n^2-1) = (n-1)n(n+1)$. આ ત્રણ ક્રમિક પૂર્ણાંકોનો ગુણાકાર છે,તેથી તે હંમેશા $3! = 6$ વડે વિભાજ્ય છે. આમ,$\alpha = 6$.
ધારો કે $g(n) = 2n(n^2+2) = 2n^3 + 4n$.
$n=1$ માટે,$g(1) = 2(1)(1+2) = 6$.
$n=2$ માટે,$g(2) = 2(2)(4+2) = 24$.
$n=3$ માટે,$g(3) = 2(3)(9+2) = 66$.
આ કિંમતોનો સૌથી મોટો સામાન્ય ભાજક $\beta = 6$ છે.
તેથી,$\alpha \beta = 6 \times 6 = 36$.

(C) પદાવલિ $x^n + y^n$ એ $(x + y)$ વડે વિભાજ્ય છે જો અને માત્ર જો $n$ એ એકી ધન પૂર્ણાંક હોય.
$n = 1$ માટે,$x^1 + y^1 = x + y$,જે $(x + y)$ વડે વિભાજ્ય છે.
$n = 2$ માટે,$x^2 + y^2$ એ $(x + y)$ વડે વિભાજ્ય નથી.
$n = 3$ માટે,$x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$,જે $(x + y)$ વડે વિભાજ્ય છે.
સામાન્ય રીતે,કોઈપણ એકી પૂર્ણાંક $n = 2m - 1$ જ્યાં $m \in N$ માટે,$x^n + y^n$ એ $(x + y)$ વડે વિભાજ્ય છે.

(D) ધારો કે $f(k) = 25^k + 12k - 1$.
$k=1$ માટે,$f(1) = 25^1 + 12(1) - 1 = 36$.
$k=2$ માટે,$f(2) = 25^2 + 12(2) - 1 = 625 + 24 - 1 = 648$.
$f(1)$ અને $f(2)$ નો ગુરુત્તમ સામાન્ય ભાજક $d$ એ $\text{gcd}(36, 648) = 36$ છે.
આમ,$d = 36$.
તેથી,$4\sqrt{d} = 4\sqrt{36} = 4 \times 6 = 24$.

(D) દરેક વિકલ્પ માટે $n \in \mathbb{N}$ ચકાસીએ.
$(a)$ $n=1$ માટે,$47^1+16(1)-1 = 62$,જે $4$ વડે વિભાજ્ય નથી.
$(b)$ $n=1$ માટે,$2(4^3)-3^4 = 128-81 = 47$,જે $9$ વડે વિભાજ્ય નથી.
$(c)$ $n=2$ માટે,$4^2-3(2)-1 = 9$,જે $11$ વડે વિભાજ્ય નથી.
$(d)$ $f(n) = 3 \cdot 5^{2n+1} + 2^{3n+1} = 15 \cdot 25^n + 2 \cdot 8^n$ લો.
$25^n = (17+8)^n = 17k + 8^n$ લખી શકાય.
તેથી,$f(n) = 15(17k + 8^n) + 2 \cdot 8^n = 15 \cdot 17k + 17 \cdot 8^n = 17(15k + 8^n)$.
આમ,$3(5^{2n+1}) + 2^{3n+1}$ એ તમામ $n \in \mathbb{N}$ માટે $17$ વડે વિભાજ્ય છે.

(B) $AB$ નું $1:2$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરતા $P_1$ ના યામ વિભાજન સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$P_1 = \left( \frac{1(9) + 2(3)}{1+2}, \frac{1(8) + 2(2)}{1+2}, \frac{1(-10) + 2(-4)}{1+2} \right) = \left( \frac{15}{3}, \frac{12}{3}, \frac{-18}{3} \right) = (5, 4, -6)$.
$AB$ નું $2:1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરતા $P_2$ ના યામ:
$P_2 = \left( \frac{2(9) + 1(3)}{2+1}, \frac{2(8) + 1(2)}{2+1}, \frac{2(-10) + 1(-4)}{2+1} \right) = \left( \frac{21}{3}, \frac{18}{3}, \frac{-24}{3} \right) = (7, 6, -8)$.
કારણ કે $P(\alpha, \beta, \gamma)$ એ $P_1 P_2$ નું મધ્યબિંદુ છે ($1:1$ ગુણોત્તર):
$P = \left( \frac{5+7}{2}, \frac{4+6}{2}, \frac{-6-8}{2} \right) = (6, 5, -7)$.
આમ,$\alpha = 6$,$\beta = 5$,અને $\gamma = -7$.
પદાવલિની ગણતરી કરતા:
$\alpha + 2\beta + 2\gamma = 6 + 2(5) + 2(-7) = 6 + 10 - 14 = 2$.

(A) ધારો કે બિંદુ $A(2, 4)$ નું રેખા $DE$ માં પ્રતિબિંબ $C(\alpha, \beta)$ છે. તો,$AC$ એ $DE$ ને લંબ છે.
$AC$ નું મધ્યબિંદુ $B$ એ $\left(\frac{\alpha + 2}{2}, \frac{\beta + 4}{2}\right)$ છે.
બિંદુ $B$ એ રેખા $2x + 3y - 6 = 0$ પર આવેલું હોવાથી:
$2\left(\frac{\alpha + 2}{2}\right) + 3\left(\frac{\beta + 4}{2}\right) - 6 = 0$
$\Rightarrow 2\alpha + 4 + 3\beta + 12 - 12 = 0$
$\Rightarrow 2\alpha + 3\beta + 4 = 0$ --- $(i)$
$AC \perp DE$ હોવાથી,તેમના ઢાળનો ગુણાકાર $-1$ થાય. $DE$ નો ઢાળ $-\frac{2}{3}$ છે,તેથી $AC$ નો ઢાળ $\frac{3}{2}$ થાય.
$\frac{\beta - 4}{\alpha - 2} = \frac{3}{2}$
$\Rightarrow 2\beta - 8 = 3\alpha - 6$
$\Rightarrow 3\alpha - 2\beta + 2 = 0$ --- $(ii)$
સમીકરણો $(i)$ અને $(ii)$ ઉકેલતા:
સમીકરણ $(i)$ ને $2$ વડે અને $(ii)$ ને $3$ વડે ગુણતા:
$4\alpha + 6\beta + 8 = 0$
$9\alpha - 6\beta + 6 = 0$
બંનેનો સરવાળો કરતા,$13\alpha + 14 = 0 \Rightarrow \alpha = -\frac{14}{13}$.
$\alpha$ ની કિંમત $(i)$ માં મૂકતા:
$2(-\frac{14}{13}) + 3\beta + 4 = 0$
$-\frac{28}{13} + 3\beta + \frac{52}{13} = 0$
$3\beta = -\frac{24}{13} \Rightarrow \beta = -\frac{8}{13}$.
આમ,બિંદુ $(2, 4)$ નું પ્રતિબિંબ $\left(-\frac{14}{13}, -\frac{8}{13}\right)$ છે.

(D) $2$ થી $1001$ સુધીની કુલ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ $1001 - 2 + 1 = 1000$ છે.
આપણે એવી સંખ્યાઓ $n$ શોધી રહ્યા છીએ કે જેના માટે $n \equiv 1 \pmod{7}$ થાય.
$2$ થી શરૂ થતી આવી સંખ્યાઓની શ્રેણી $8, 15, 22, \dots, 995$ છે.
આ એક સમાંતર શ્રેણી છે જ્યાં પ્રથમ પદ $a = 8$,સામાન્ય તફાવત $d = 7$,અને અંતિમ પદ $l = 995$ છે.
સૂત્ર $l = a + (m - 1)d$ નો ઉપયોગ કરતા:
$995 = 8 + (m - 1)7$
$987 = (m - 1)7$
$m - 1 = 141$
$m = 142$.
જરૂરી સંભાવના $\frac{m}{\text{કુલ સંખ્યાઓ}} = \frac{142}{1000} = \frac{71}{500}$ છે.

(A) દડાઓની કુલ સંખ્યા = $4 + 3 + 5 = 12$.
$3$ દડા પસંદ કરવાની કુલ રીતો = $^{12}C_3 = \frac{12 \times 11 \times 10}{3 \times 2 \times 1} = 220$.
$(A)$ $1$ લાલ,$1$ સફેદ અને $1$ વાદળી દડો મેળવવાની સંભાવના:
રીતો = $^4C_1 \times ^3C_1 \times ^5C_1 = 4 \times 3 \times 5 = 60$.
સંભાવના = $\frac{60}{220} = \frac{3}{11}$ ($(iv)$ સાથે મેળ ખાય છે).
$(B)$ $2$ સફેદ અને $1$ વાદળી દડો મેળવવાની સંભાવના:
રીતો = $^3C_2 \times ^5C_1 = 3 \times 5 = 15$.
સંભાવના = $\frac{15}{220} = \frac{3}{44}$ ($(i)$ સાથે મેળ ખાય છે).
$(C)$ $2$ લાલ અને $1$ સફેદ દડો મેળવવાની સંભાવના:
રીતો = $^4C_2 \times ^3C_1 = 6 \times 3 = 18$.
સંભાવના = $\frac{18}{220} = \frac{9}{110}$ ($(v)$ સાથે મેળ ખાય છે).
$(D)$ એક પણ દડો સફેદ ન હોય તેની સંભાવના (એટલે કે,ત્રણેય દડા લાલ અને વાદળી દડામાંથી હોય,કુલ $4+5=9$):
રીતો = $^9C_3 = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 84$.
સંભાવના = $\frac{84}{220} = \frac{21}{55}$ ($(ii)$ સાથે મેળ ખાય છે).
તેથી,સાચી જોડ છે: $A \rightarrow (iv), B \rightarrow (i), C \rightarrow (v), D \rightarrow (ii)$.

(C) $10$ વ્યક્તિઓમાંથી $3$ વ્યક્તિઓને પસંદ કરવાની કુલ રીતો $n(S) = {}^{10}C_3 = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120$ છે.
જો પસંદ કરેલી ત્રણ વ્યક્તિઓમાં સૌથી નાનો બેજ નંબર $5$ હોય,તો $5$ નંબરની વ્યક્તિ પસંદ થવી જ જોઈએ.
બાકીની બે વ્યક્તિઓ $5$ થી મોટી સંખ્યાઓ $\{6, 7, 8, 9, 10\}$ માંથી પસંદ કરવી પડે.
આવી $5$ સંખ્યાઓ છે.
તેથી,બાકીની બે વ્યક્તિઓને પસંદ કરવાની રીતો $n(A) = {}^{5}C_2 = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$ છે.
માગેલ સંભાવના $P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{10}{120} = \frac{1}{12}$ છે.