MHT CET 2021 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(D) બિંદુ $A(-2,-2,3)$ માંથી પસાર થતી અને સદિશ $\vec{v} = -2\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}$ ને સમાંતર રેખાનું સમીકરણ નીચે મુજબ છે:
$\frac{x+2}{-2} = \frac{y+2}{2} = \frac{z-3}{-1} = \lambda$
આ રેખા પરના કોઈપણ બિંદુને $(-2\lambda - 2, 2\lambda - 2, -\lambda + 3)$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે.
બિંદુ $P$ એ $YOZ-$ સમતલ પર હોવાથી,તેનો $x-$યામ $0$ હોવો જોઈએ.
$x-$યામને $0$ લેતા:
$-2\lambda - 2 = 0 \Rightarrow -2\lambda = 2 \Rightarrow \lambda = -1$.
$\lambda = -1$ ને સામાન્ય યામમાં મૂકતા:
$x = -2(-1) - 2 = 0$
$y = 2(-1) - 2 = -4$
$z = -(-1) + 3 = 4$
આમ,બિંદુ $P$ ના યામ $(0, -4, 4)$ છે.

(C) રેખા $\frac{x-2}{3}=\frac{y-1}{-5}=\frac{z+2}{2}$ એ સમતલ $x+3y-\alpha z+\beta=0$ માં આવેલી છે.
જ્યારે રેખા સમતલમાં હોય,ત્યારે સમતલનો અભિલંબ સદિશ એ રેખાના દિશા સદિશને લંબ હોય છે.
રેખાનો દિશા સદિશ $\vec{v} = (3, -5, 2)$ છે અને સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = (1, 3, -\alpha)$ છે.
તેથી,$\vec{v} \cdot \vec{n} = 0$:
$(3)(1) + (-5)(3) + (2)(-\alpha) = 0$
$3 - 15 - 2\alpha = 0$
$-12 - 2\alpha = 0 \Rightarrow \alpha = -6$.
હવે,સમતલનું સમીકરણ $x + 3y + 6z + \beta = 0$ છે.
રેખા સમતલમાં હોવાથી,રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ સમતલના સમીકરણનું સમાધાન કરે છે. બિંદુ $(2, 1, -2)$ રેખા પર છે.
સમતલના સમીકરણમાં $(2, 1, -2)$ મૂકતા:
$2 + 3(1) + 6(-2) + \beta = 0$
$2 + 3 - 12 + \beta = 0$
$-7 + \beta = 0 \Rightarrow \beta = 7$.
અંતે,$\alpha \beta = (-6)(7) = -42$.

(C) આપેલ સદિશો $\bar{a}, \bar{b},$ અને $\bar{c}$ સમતલીય હોવાથી,તેમનો અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર શૂન્ય થાય,એટલે કે $[\bar{a} \bar{b} \bar{c}] = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે તેમના ઘટકો દ્વારા બનતા નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય શૂન્ય થાય:
$\begin{vmatrix} 2 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & -3 \\ 3 & \lambda & 5 \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ હારને અનુલક્ષીને નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$2(2 \times 5 - (-3) \times \lambda) - (-1)(1 \times 5 - (-3) \times 3) + 1(1 \times \lambda - 2 \times 3) = 0$
$2(10 + 3\lambda) + 1(5 + 9) + 1(\lambda - 6) = 0$
$20 + 6\lambda + 14 + \lambda - 6 = 0$
$7\lambda + 28 = 0$
$\lambda = -4$
હવે,તપાસો કે કયા સમીકરણમાં $\lambda = -4$ એ બીજ છે:
વિકલ્પ $C$ માટે: $x^2 + 3x = 4 \Rightarrow x^2 + 3x - 4 = 0 \Rightarrow (x+4)(x-1) = 0$.
આમ,$x = -4$ એ સમીકરણ $x^2 + 3x = 4$ નું બીજ છે.

(D) આપેલ છે કે $\tan \alpha = \frac{\sqrt{1+x^2}-\sqrt{1-x^2}}{\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1-x^2}}$.
ધારો કે $x^2 = \cos \theta$. તેથી $\theta = \cos^{-1}(x^2)$.
$x^2 = \cos \theta$ ને પદાવલિમાં મૂકતા:
$\tan \alpha = \frac{\sqrt{1+\cos \theta}-\sqrt{1-\cos \theta}}{\sqrt{1+\cos \theta}+\sqrt{1-\cos \theta}}$
અડધા ખૂણાના નિત્યસમ $1+\cos \theta = 2\cos^2(\theta/2)$ અને $1-\cos \theta = 2\sin^2(\theta/2)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\tan \alpha = \frac{\sqrt{2}\cos(\theta/2) - \sqrt{2}\sin(\theta/2)}{\sqrt{2}\cos(\theta/2) + \sqrt{2}\sin(\theta/2)}$
અંશ અને છેદને $\sqrt{2}\cos(\theta/2)$ વડે ભાગતા:
$\tan \alpha = \frac{1 - \tan(\theta/2)}{1 + \tan(\theta/2)} = \tan(\frac{\pi}{4} - \frac{\theta}{2})$
આમ,$\alpha = \frac{\pi}{4} - \frac{\theta}{2}$,જેનો અર્થ છે કે $2\alpha = \frac{\pi}{2} - \theta$.
તેથી,$\sin 2\alpha = \sin(\frac{\pi}{2} - \theta) = \cos \theta$.
કારણ કે $x^2 = \cos \theta$,તેથી $\sin 2\alpha = x^2$.

(C) આપેલ સંકલન $I = \int \frac{dx}{32-2x^2} = \frac{1}{2} \int \frac{dx}{16-x^2}$.
સૂત્ર $\int \frac{dx}{a^2-x^2} = \frac{1}{2a} \log \left| \frac{a+x}{a-x} \right| + c$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $a=4$:
$I = \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{2(4)} \log \left| \frac{4+x}{4-x} \right| \right] + c$
$I = \frac{1}{16} [ \log |4+x| - \log |4-x| ] + c$
$I = -\frac{1}{16} \log |4-x| + \frac{1}{16} \log |4+x| + c$.
આને $A \log(4-x) + B \log(4+x) + c$ સાથે સરખાવતા,આપણને $A = -\frac{1}{16}$ અને $B = \frac{1}{16}$ મળે છે.

(A) ધારો કે $\overline{r} = x \overline{a} + y \overline{b}$.
આપેલ સદિશોને મૂકતા:
$-4 \hat{i} - 6 \hat{j} - 2 \hat{k} = x(-\hat{i} - 4 \hat{j} + 3 \hat{k}) + y(-8 \hat{i} - \hat{j} + 3 \hat{k})$
$= (-x - 8y) \hat{i} + (-4x - y) \hat{j} + (3x + 3y) \hat{k}$
ઘટકોની સરખામણી કરતા:
$(1)$ $-x - 8y = -4$
$(2)$ $-4x - y = -6$
$(3)$ $3x + 3y = -2$
$(3)$ પરથી,$x + y = -\frac{2}{3}$,તેથી $y = -\frac{2}{3} - x$.
$y$ ની કિંમત $(1)$ માં મૂકતા: $-x - 8(-\frac{2}{3} - x) = -4 \implies -x + \frac{16}{3} + 8x = -4 \implies 7x = -4 - \frac{16}{3} = -\frac{28}{3} \implies x = -\frac{4}{3}$.
તેથી $y = -\frac{2}{3} - (-\frac{4}{3}) = \frac{2}{3}$.
આમ,$\overline{r} = -\frac{4}{3} \overline{a} + \frac{2}{3} \overline{b}$.

(C) આપેલ છે કે $\overline{a}+\overline{b}+\overline{c}=\overline{0}$,તેથી $\overline{c}=-(\overline{a}+\overline{b})$.
ધારો કે $\overline{a}$ અને $\overline{b}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ છે.
બંને બાજુ વર્ગ લેતા: $|\overline{c}|^2 = |-(\overline{a}+\overline{b})|^2 = |\overline{a}+\overline{b}|^2$.
જમણી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા: $|\overline{c}|^2 = |\overline{a}|^2 + |\overline{b}|^2 + 2(\overline{a} \cdot \overline{b})$.
અદિશ ગુણાકારની વ્યાખ્યા મુજબ: $|\overline{c}|^2 = |\overline{a}|^2 + |\overline{b}|^2 + 2|\overline{a}||\overline{b}| \cos \theta$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $7^2 = 3^2 + 5^2 + 2(3)(5) \cos \theta$.
$49 = 9 + 25 + 30 \cos \theta$.
$49 = 34 + 30 \cos \theta$.
$15 = 30 \cos \theta$.
$\cos \theta = \frac{15}{30} = \frac{1}{2}$.
તેથી,$\theta = \frac{\pi}{3}$.

(D) ધારો કે $P, Q, R, S, M, N$ બિંદુઓના સ્થાન સદિશો અનુક્રમે $\vec{p}, \vec{q}, \vec{r}, \vec{s}, \vec{m}, \vec{n}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\vec{PS} + \vec{QR} = (\vec{s} - \vec{p}) + (\vec{r} - \vec{q}) = (\vec{s} + \vec{r}) - (\vec{p} + \vec{q})$.
$M$ એ $PQ$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,$\vec{m} = \frac{\vec{p} + \vec{q}}{2}$,જેનો અર્થ છે કે $\vec{p} + \vec{q} = 2\vec{m}$.
$N$ એ $RS$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,$\vec{n} = \frac{\vec{r} + \vec{s}}{2}$,જેનો અર્થ છે કે $\vec{r} + \vec{s} = 2\vec{n}$.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$\vec{PS} + \vec{QR} = 2\vec{n} - 2\vec{m} = 2(\vec{n} - \vec{m}) = 2\vec{MN}$.
આમ,$\vec{PS} + \vec{QR} = t \vec{MN}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $t = 2$ મળે છે.

(B) ધારો કે $AD$ એ ખૂણા $A$ નો દ્વિભાજક છે,જે $BC$ ને $AB : AC$ ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે.
પ્રથમ,બાજુઓ $AB$ અને $AC$ ની લંબાઈ શોધો:
$AB = \sqrt{(0-3)^2 + (0-0)^2 + (4-0)^2} = \sqrt{9 + 0 + 16} = 5$.
$AC = \sqrt{(0-3)^2 + (5-0)^2 + (4-0)^2} = \sqrt{9 + 25 + 16} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$.
ગુણોત્તર $AB : AC = 5 : 5\sqrt{2} = 1 : \sqrt{2}$.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને,બિંદુ $D$ એ $BC$ ને $1 : \sqrt{2}$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે.
$D$ નો સ્થાન સદિશ = $\frac{\sqrt{2}\vec{B} + 1\vec{C}}{1 + \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}(0\hat{i} + 0\hat{j} + 4\hat{k}) + 1(0\hat{i} + 5\hat{j} + 4\hat{k})}{1 + \sqrt{2}} = \frac{5\hat{j} + (4\sqrt{2} + 4)\hat{k}}{1 + \sqrt{2}}$.
આપેલા વિકલ્પોને જોતા,મૂળ પ્રશ્નમાં ગુણોત્તર $1:2$ લેવામાં આવ્યો હોય તેમ જણાય છે,જે મુજબ વિકલ્પ $B$ સાચો જવાબ છે.

(A) ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $A(x_1, y_1, z_1)$,$B(x_2, y_2, z_2)$ અને $C(x_3, y_3, z_3)$ હોય,તો તેના મધ્યકેન્દ્ર $G$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$G = \left( \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3}, \frac{z_1 + z_2 + z_3}{3} \right)$
આપેલ શિરોબિંદુઓ $A(1, 2, 3)$,$B(1, 0, 3)$ અને $C(4, 1, -3)$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$G = \left( \frac{1 + 1 + 4}{3}, \frac{2 + 0 + 1}{3}, \frac{3 + 3 - 3}{3} \right)$
$G = \left( \frac{6}{3}, \frac{3}{3}, \frac{3}{3} \right)$
$G = (2, 1, 1)$
તેથી,મધ્યકેન્દ્રનો સ્થાન સદિશ $2 \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ છે.

(D) આપેલ કાર્તેઝિયન સમીકરણ: $3x + 1 = 6y - 2 = -z + 1$.
સૌ પ્રથમ,સમીકરણને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\frac{x - x_1}{a} = \frac{y - y_1}{b} = \frac{z - z_1}{c}$ માં લખો.
$3(x + \frac{1}{3}) = 6(y - \frac{1}{3}) = -(z - 1)$.
સહગુણકોના લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(6)$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$\frac{x + 1/3}{1/3} = \frac{y - 1/3}{1/6} = \frac{z - 1}{-1}$.
દિશા ગુણોત્તરને સરળ બનાવવા માટે,છેદને $6$ વડે ગુણો:
$\frac{x + 1/3}{2} = \frac{y - 1/3}{1} = \frac{z - 1}{-6}$.
રેખા પરનું બિંદુ $(-\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, 1)$ છે અને દિશા સદિશ $2 \hat{i} + \hat{j} - 6 \hat{k}$ છે.
આમ,સદિશ સમીકરણ $\overline{r} = (-\frac{1}{3} \hat{i} + \frac{1}{3} \hat{j} + \hat{k}) + \lambda(2 \hat{i} + \hat{j} - 6 \hat{k})$ છે.

(C) બિંદુઓ $P(4, 5, x)$,$Q(3, y, 4)$ અને $R(5, 8, 0)$ સમરેખ છે.
તેથી,સદિશ $\vec{PQ}$ એ સદિશ $\vec{PR}$ ના પ્રમાણમાં હોવો જોઈએ.
$\vec{PQ} = (3-4)\hat{i} + (y-5)\hat{j} + (4-x)\hat{k} = -\hat{i} + (y-5)\hat{j} + (4-x)\hat{k}$.
$\vec{PR} = (5-4)\hat{i} + (8-5)\hat{j} + (0-x)\hat{k} = \hat{i} + 3\hat{j} - x\hat{k}$.
બિંદુઓ સમરેખ હોવાથી,કોઈ અદિશ $k$ માટે $\vec{PQ} = k \vec{PR}$ થાય.
$-\hat{i} + (y-5)\hat{j} + (4-x)\hat{k} = k(\hat{i} + 3\hat{j} - x\hat{k})$.
ઘટકોની સરખામણી કરતા:
$1) -1 = k \Rightarrow k = -1$.
$2) y - 5 = 3k \Rightarrow y - 5 = 3(-1) \Rightarrow y - 5 = -3 \Rightarrow y = 2$.
$3) 4 - x = -kx \Rightarrow 4 - x = -(-1)x \Rightarrow 4 - x = x \Rightarrow 2x = 4 \Rightarrow x = 2$.
આમ,$x + y = 2 + 2 = 4$.

(A) ત્રણ સદિશો $\vec{a}, \vec{b}$ અને $\vec{c}$ સમતલીય હોય જો અને માત્ર જો તેમનો અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર શૂન્ય હોય,એટલે કે $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = 0$.
અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર સદિશોના ઘટકોના નિશ્ચાયક દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\begin{vmatrix} 2 & -1 & -1 \\ 1 & 2 & -3 \\ 3 & \lambda & 5 \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ હાર મુજબ નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$2(2 \times 5 - (-3) \times \lambda) - (-1)(1 \times 5 - (-3) \times 3) + (-1)(1 \times \lambda - 2 \times 3) = 0$
$2(10 + 3\lambda) + 1(5 + 9) - 1(\lambda - 6) = 0$
$20 + 6\lambda + 14 - \lambda + 6 = 0$
$5\lambda + 40 = 0$
$5\lambda = -40$
$\lambda = -8$

(D) આપેલ કાર્તેઝિયન સમીકરણો $y=2$ અને $4x-3z+5=0$ છે.
$4x-3z+5=0$ પરથી,આપણને $4x = 3z-5$ મળે છે,જેનો અર્થ છે $4x = 3(z - \frac{5}{3})$.
આને $\frac{x}{3} = \frac{z - 5/3}{4}$ તરીકે લખી શકાય છે.
$y=2$ હોવાથી,આપણે સમીકરણને $\frac{x-0}{3} = \frac{y-2}{0} = \frac{z-5/3}{4}$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
આ રેખા બિંદુ $(0, 2, 5/3)$ માંથી પસાર થાય છે અને તેની દિશાના ગુણોત્તર $(3, 0, 4)$ છે.
બિંદુ $\vec{a}$ માંથી પસાર થતી અને સદિશ $\vec{b}$ ને સમાંતર રેખાનું સદિશ સમીકરણ $\vec{r} = \vec{a} + \lambda \vec{b}$ છે.
અહીં,$\vec{a} = 0\hat{i} + 2\hat{j} + \frac{5}{3}\hat{k}$ અને $\vec{b} = 3\hat{i} + 0\hat{j} + 4\hat{k}$.
તેથી,સદિશ સમીકરણ $\vec{r} = (2\hat{j} + \frac{5}{3}\hat{k}) + \lambda(3\hat{i} + 4\hat{k})$ છે.

(C) બે સદિશો $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ સમરેખ હોય જો કોઈ અદિશ $x$ માટે $\vec{a} = x \vec{b}$ થાય.
આપેલ છે કે $\vec{a} = 2 \hat{i} + p \hat{j} + 4 \hat{k}$ અને $\vec{b} = 6 \hat{i} - 9 \hat{j} + q \hat{k}$.
ઘટકોને સરખાવતા:
$2 = 6x \Rightarrow x = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
$p = -9x \Rightarrow p = -9 \times \frac{1}{3} = -3$.
$4 = qx \Rightarrow 4 = q \times \frac{1}{3} \Rightarrow q = 4 \times 3 = 12$.
આમ,$p = -3$ અને $q = 12$ મળે છે.

(D) આપેલ છે કે $\vec{a}=x \vec{b}+y \vec{c}$.
સદિશોની કિંમતો મૂકતા:
$4 \hat{i}+13 \hat{j}-18 \hat{k} = x(\hat{i}-2 \hat{j}+3 \hat{k}) + y(2 \hat{i}+3 \hat{j}-4 \hat{k})$
$= (x+2y) \hat{i} + (-2x+3y) \hat{j} + (3x-4y) \hat{k}$.
બંને બાજુ $\hat{i}, \hat{j}, \text{ અને } \hat{k}$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા,આપણને સમીકરણો મળે છે:
$1) x + 2y = 4$
$2) -2x + 3y = 13$
$3) 3x - 4y = -18$
સમીકરણ $(1)$ પરથી,$x = 4 - 2y$.
આ કિંમત સમીકરણ $(2)$ માં મૂકતા:
$-2(4 - 2y) + 3y = 13$
$-8 + 4y + 3y = 13$
$7y = 21 \Rightarrow y = 3$.
હવે,$y = 3$ ની કિંમત $x = 4 - 2y$ માં મૂકતા:
$x = 4 - 2(3) = 4 - 6 = -2$.
સમીકરણ $(3)$ માં ચકાસણી કરતા:
$3(-2) - 4(3) = -6 - 12 = -18$ (ચકાસાયેલ છે).
આમ,$x = -2$ અને $y = 3$.
તેથી,$x+y = -2 + 3 = 1$.

(D) ધારો કે શિરોબિંદુઓ $A$,$B$ અને $C$ ના સ્થાન સદિશો અનુક્રમે $\vec{a} = 3 \hat{j}$,$\vec{b} = 4 \hat{k}$ અને $\vec{c} = 3 \hat{j} + 4 \hat{k}$ છે.
ખૂણા દ્વિભાજક પ્રમેય મુજબ,$\angle A$ નો દ્વિભાજક સામેની બાજુ $BC$ નું $AB : AC$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
સૌ પ્રથમ,બાજુઓ $AB$ અને $AC$ ની લંબાઈ શોધો:
$AB = |\vec{b} - \vec{a}| = |4 \hat{k} - 3 \hat{j}| = \sqrt{(-3)^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = 5$.
$AC = |\vec{c} - \vec{a}| = |(3 \hat{j} + 4 \hat{k}) - 3 \hat{j}| = |4 \hat{k}| = 4$.
આમ,$\angle A$ નો દ્વિભાજક $BC$ નું $5 : 4$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને,$BC$ પરના બિંદુ $D$ નો સ્થાન સદિશ $\vec{d}$ નીચે મુજબ મળે:
$\vec{d} = \frac{m \vec{c} + n \vec{b}}{m + n} = \frac{5(3 \hat{j} + 4 \hat{k}) + 4(4 \hat{k})}{5 + 4}$.
$\vec{d} = \frac{15 \hat{j} + 20 \hat{k} + 16 \hat{k}}{9} = \frac{15 \hat{j} + 36 \hat{k}}{9}$.
$\vec{d} = \frac{15}{9} \hat{j} + \frac{36}{9} \hat{k} = \frac{5}{3} \hat{j} + 4 \hat{k}$.

(B) આપેલ છે કે $\overline{e}_1, \overline{e}_2$ અને $\overline{e}_1+\overline{e}_2$ એકમ સદિશો છે,તેથી $|\overline{e}_1| = 1$,$|\overline{e}_2| = 1$,અને $|\overline{e}_1+\overline{e}_2| = 1$ થાય.
સદિશોના સરવાળાના માનના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા:
$|\overline{e}_1+\overline{e}_2|^2 = |\overline{e}_1|^2 + |\overline{e}_2|^2 + 2(\overline{e}_1 \cdot \overline{e}_2)$
જ્યાં $\overline{e}_1 \cdot \overline{e}_2 = |\overline{e}_1||\overline{e}_2| \cos \theta$ અને $\theta$ એ તેમની વચ્ચેનો ખૂણો છે.
$|\overline{e}_1+\overline{e}_2|^2 = |\overline{e}_1|^2 + |\overline{e}_2|^2 + 2|\overline{e}_1||\overline{e}_2| \cos \theta$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$1^2 = 1^2 + 1^2 + 2(1)(1) \cos \theta$
$1 = 1 + 1 + 2 \cos \theta$
$1 = 2 + 2 \cos \theta$
$-1 = 2 \cos \theta$
$\cos \theta = -\frac{1}{2}$
તેથી,$\theta = 120^{\circ}$ મળે છે.

(D) આપેલ છે કે $\bar{a}$ એ $\bar{b}+\bar{c}$ ને લંબ છે,$\bar{b}$ એ $\bar{c}+\bar{a}$ ને લંબ છે,અને $\bar{c}$ એ $\bar{a}+\bar{b}$ ને લંબ છે.
તેથી,આપણી પાસે છે:
$\bar{a} \cdot (\bar{b} + \bar{c}) = 0 \implies \bar{a} \cdot \bar{b} + \bar{a} \cdot \bar{c} = 0 \quad (1)$
$\bar{b} \cdot (\bar{c} + \bar{a}) = 0 \implies \bar{b} \cdot \bar{c} + \bar{b} \cdot \bar{a} = 0 \quad (2)$
$\bar{c} \cdot (\bar{a} + \bar{b}) = 0 \implies \bar{c} \cdot \bar{a} + \bar{c} \cdot \bar{b} = 0 \quad (3)$
સમીકરણો $(1), (2)$ અને $(3)$ નો સરવાળો કરતા:
$2(\bar{a} \cdot \bar{b} + \bar{b} \cdot \bar{c} + \bar{c} \cdot \bar{a}) = 0 \implies \bar{a} \cdot \bar{b} + \bar{b} \cdot \bar{c} + \bar{c} \cdot \bar{a} = 0$.
હવે,સરવાળાના માનનો વર્ગ ધ્યાનમાં લો:
$|\bar{a} + \bar{b} + \bar{c}|^2 = |\bar{a}|^2 + |\bar{b}|^2 + |\bar{c}|^2 + 2(\bar{a} \cdot \bar{b} + \bar{b} \cdot \bar{c} + \bar{c} \cdot \bar{a})$.
આપેલ કિંમતો $|\bar{a}|=2, |\bar{b}|=3, |\bar{c}|=4$ અને ડોટ પ્રોડક્ટના સરવાળા માટે $0$ મૂકતા:
$|\bar{a} + \bar{b} + \bar{c}|^2 = 2^2 + 3^2 + 4^2 + 2(0) = 4 + 9 + 16 = 29$.
આમ,$|\bar{a} + \bar{b} + \bar{c}| = \sqrt{29}$.

(C) બે સદિશોનો સદિશ ગુણાકાર શૂન્ય સદિશ હોવાથી,$\vec{a} \times \vec{b} = \vec{0}$,જે સૂચવે છે કે સદિશો સમરેખ છે.
આપણે સદિશ ગુણાકારને નિશ્ચાયક તરીકે લખી શકીએ:
$\begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 6 & 27 \\ 1 & \lambda & \mu \end{vmatrix} = \vec{0}$
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$\hat{i}(6\mu - 27\lambda) - \hat{j}(2\mu - 27) + \hat{k}(2\lambda - 6) = 0\hat{i} + 0\hat{j} + 0\hat{k}$
$\hat{i}, \hat{j}, \text{ અને } \hat{k}$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$6\mu - 27\lambda = 0 \quad \dots(1)$
$2\mu - 27 = 0 \quad \dots(2)$
$2\lambda - 6 = 0 \quad \dots(3)$
સમીકરણ $(3)$ પરથી,$2\lambda = 6 \implies \lambda = 3$.
સમીકરણ $(2)$ પરથી,$2\mu = 27 \implies \mu = \frac{27}{2}$.
આ કિંમતોને સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા: $6(\frac{27}{2}) - 27(3) = 3(27) - 81 = 81 - 81 = 0$. આ કિંમતો સમીકરણનું સમાધાન કરે છે.
આમ,$\lambda = 3$ અને $\mu = \frac{27}{2}$.

(D) પાસપાસેની બાજુઓ $\bar{a}$ અને $\bar{b}$ ધરાવતા સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ $|\bar{a} \times \bar{b}| = 20$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણે $(3 \bar{a} + \bar{b})$ અને $(2 \bar{a} + 3 \bar{b})$ પાસપાસેની બાજુઓ ધરાવતા સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું છે.
ક્ષેત્રફળ આ બે સદિશોના ક્રોસ પ્રોડક્ટના માન દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$|(3 \bar{a} + \bar{b}) \times (2 \bar{a} + 3 \bar{b})|$
$= |3 \bar{a} \times 2 \bar{a} + 3 \bar{a} \times 3 \bar{b} + \bar{b} \times 2 \bar{a} + \bar{b} \times 3 \bar{b}|$
કારણ કે $\bar{a} \times \bar{a} = 0$ અને $\bar{b} \times \bar{b} = 0$,અને $\bar{b} \times \bar{a} = -(\bar{a} \times \bar{b})$,તેથી:
$= |0 + 9(\bar{a} \times \bar{b}) - 2(\bar{a} \times \bar{b}) + 0|$
$= |7(\bar{a} \times \bar{b})| = 7 |\bar{a} \times \bar{b}|$
આપેલ કિંમત $|\bar{a} \times \bar{b}| = 20$ મૂકતા:
ક્ષેત્રફળ $= 7 \times 20 = 140$ ચોરસ એકમ.

(D) આપેલ છે કે $\bar{a} \cdot (\bar{b} + \bar{c}) = 0$,$\bar{b} \cdot (\bar{c} + \bar{a}) = 0$,અને $\bar{c} \cdot (\bar{a} + \bar{b}) = 0$.
આનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને મળે છે:
$\bar{a} \cdot \bar{b} + \bar{a} \cdot \bar{c} = 0$ . . . $(1)$
$\bar{b} \cdot \bar{c} + \bar{b} \cdot \bar{a} = 0$ . . . $(2)$
$\bar{c} \cdot \bar{a} + \bar{c} \cdot \bar{b} = 0$ . . . $(3)$
સમીકરણો $(1)$,$(2)$,અને $(3)$ નો સરવાળો કરતા,આપણને મળે છે:
$2(\bar{a} \cdot \bar{b} + \bar{b} \cdot \bar{c} + \bar{c} \cdot \bar{a}) = 0$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $|\bar{a} + \bar{b} + \bar{c}|^2 = |\bar{a}|^2 + |\bar{b}|^2 + |\bar{c}|^2 + 2(\bar{a} \cdot \bar{b} + \bar{b} \cdot \bar{c} + \bar{c} \cdot \bar{a})$.
આપેલ કિંમતો $|\bar{a}| = 5, |\bar{b}| = 4, |\bar{c}| = 3$ અને ડોટ ગુણાકારનો સરવાળો $0$ મૂકતા:
$|\bar{a} + \bar{b} + \bar{c}|^2 = (5)^2 + (4)^2 + (3)^2 + 0 = 25 + 16 + 9 = 50$.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે: $|\bar{a}+\bar{b}|^2 + |\bar{a}-\bar{b}|^2 = 2(|\bar{a}|^2 + |\bar{b}|^2)$.
આપેલ છે કે $|\bar{a}|=3$,$|\bar{b}|=4$,અને $|\bar{a}-\bar{b}|=5$.
આ કિંમતોને નિત્યસમમાં મૂકતા:
$|\bar{a}+\bar{b}|^2 + (5)^2 = 2((3)^2 + (4)^2)$
$|\bar{a}+\bar{b}|^2 + 25 = 2(9 + 16)$
$|\bar{a}+\bar{b}|^2 + 25 = 2(25)$
$|\bar{a}+\bar{b}|^2 + 25 = 50$
$|\bar{a}+\bar{b}|^2 = 50 - 25 = 25$
$|\bar{a}+\bar{b}| = \sqrt{25} = 5$.

(B) આપેલ સદિશો $\overline{a} = 3 \hat{i} - 5 \hat{j}$ અને $\overline{b} = 6 \hat{i} - 3 \hat{j}$ છે.
સદિશ $\overline{c}$ એ $\overline{a}$ અને $\overline{b}$ નો સદિશ ગુણાકાર છે:
$\overline{c} = \overline{a} \times \overline{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & -5 & 0 \\ 6 & -3 & 0 \end{vmatrix}$
નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય શોધતા:
$\overline{c} = \hat{i}(0 - 0) - \hat{j}(0 - 0) + \hat{k}(-9 - (-30)) = \hat{k}(-9 + 30) = 39 \hat{k}$.
હવે,સદિશોના માન શોધીએ:
$a = |\overline{a}| = \sqrt{3^2 + (-5)^2} = \sqrt{9 + 25} = \sqrt{34}$.
$b = |\overline{b}| = \sqrt{6^2 + (-3)^2} = \sqrt{36 + 9} = \sqrt{45}$.
$c = |\overline{c}| = |39 \hat{k}| = 39$.
તેથી,$a: b: c = \sqrt{34}: \sqrt{45}: 39$.

(A) આપેલ સદિશો $\bar{a}=2 \hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}$,$\bar{b}=-\hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k}$,અને $\bar{c}=-3 \hat{i}+\hat{j}+2 \hat{k}$ છે.
સૌ પ્રથમ,આપણે સદિશ $\bar{a}+\lambda \bar{b}$ શોધીએ:
$\bar{a}+\lambda \bar{b} = (2 \hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}) + \lambda(-\hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k}) = (2-\lambda) \hat{i} + (2+2\lambda) \hat{j} + (3+\lambda) \hat{k}$.
કારણ કે $\bar{a}+\lambda \bar{b}$ એ $\bar{c}$ ને લંબ છે,તેથી તેમનો અદિશ ગુણાકાર (dot product) શૂન્ય થવો જોઈએ:
$(\bar{a}+\lambda \bar{b}) \cdot \bar{c} = 0$.
ઘટકોને મૂકતા:
$((2-\lambda) \hat{i} + (2+2\lambda) \hat{j} + (3+\lambda) \hat{k}) \cdot (-3 \hat{i}+\hat{j}+2 \hat{k}) = 0$.
$(2-\lambda)(-3) + (2+2\lambda)(1) + (3+\lambda)(2) = 0$.
$-6 + 3\lambda + 2 + 2\lambda + 6 + 2\lambda = 0$.
$7\lambda + 2 = 0$.
$7\lambda = -2$.
$\lambda = -\frac{2}{7}$.

(C) આપણને નિત્યસમ $|\bar{a} \times \bar{b}|^2 + (\bar{a} \cdot \bar{b})^2 = |\bar{a}|^2 |\bar{b}|^2$ આપેલ છે.
આપેલ છે કે $|\bar{a} \times \bar{b}|^2 + (\bar{a} \cdot \bar{b})^2 = 144$,તેથી $|\bar{a}|^2 |\bar{b}|^2 = 144$ થાય.
અહીં $|\bar{a}| = 4$ હોવાથી,$|\bar{a}|^2 = 16$ થાય.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $16 |\bar{b}|^2 = 144$ મળે છે.
બંને બાજુ $16$ વડે ભાગતા,$|\bar{b}|^2 = \frac{144}{16} = 9$ મળે છે.
વર્ગમૂળ લેતા,આપણને $|\bar{b}| = 3$ મળે છે.

(C) આપેલ છે કે $|\overline{a} \times \overline{b}| = |\overline{a}| |\overline{b}| \sin \theta = 25$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા,$(5)(13) \sin \theta = 25$.
તેથી,$65 \sin \theta = 25$,જેનો અર્થ છે કે $\sin \theta = \frac{25}{65} = \frac{5}{13}$.
કારણ કે $\frac{\pi}{2} < \theta \leq \pi$,$\theta$ બીજા ચરણમાં છે જ્યાં $\cos \theta$ ઋણ હોય છે.
$\cos \theta = -\sqrt{1 - \sin^2 \theta}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\cos \theta = -\sqrt{1 - (\frac{5}{13})^2} = -\sqrt{1 - \frac{25}{169}} = -\sqrt{\frac{144}{169}} = -\frac{12}{13}$.
હવે,ડોટ પ્રોડક્ટ $\overline{a} \cdot \overline{b} = |\overline{a}| |\overline{b}| \cos \theta$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$\overline{a} \cdot \overline{b} = (5)(13) \left(-\frac{12}{13}\right) = -60$.

(A) આપેલ છે કે $\bar{a}=\hat{i}+2 \hat{j}-3 \hat{k}$,$\bar{b}=3 \hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k}$,અને $\bar{c}=\hat{i}+3 \hat{j}+\hat{k}$.
પ્રથમ,$\bar{a}+\lambda \bar{b}$ ની ગણતરી કરો:
$\bar{a}+\lambda \bar{b} = (\hat{i}+2 \hat{j}-3 \hat{k}) + \lambda(3 \hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k})$
$= (1+3 \lambda) \hat{i} + (2-\lambda) \hat{j} + (-3+2 \lambda) \hat{k}$.
કારણ કે $\bar{a}+\lambda \bar{b}$ એ $\bar{c}$ ને લંબ છે,તેથી તેમનો અદિશ ગુણાકાર શૂન્ય થવો જોઈએ:
$(\bar{a}+\lambda \bar{b}) \cdot \bar{c} = 0$
$((1+3 \lambda) \hat{i} + (2-\lambda) \hat{j} + (-3+2 \lambda) \hat{k}) \cdot (\hat{i}+3 \hat{j}+\hat{k}) = 0$
$(1+3 \lambda)(1) + (2-\lambda)(3) + (-3+2 \lambda)(1) = 0$
$1 + 3 \lambda + 6 - 3 \lambda - 3 + 2 \lambda = 0$
$4 + 2 \lambda = 0$
$2 \lambda = -4$
$\lambda = -2$.

(D) સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ જેની પાસપાસેની બાજુઓ સદિશો $\vec{AB}$ અને $\vec{AD}$ દ્વારા દર્શાવેલ હોય,તે $|\vec{AB} \times \vec{AD}|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ શિરોબિંદુઓ: $A(1, 2, 3)$,$B(1, 3, a)$,$C(3, 8, 6)$,$D(3, 7, 3)$.
$\vec{AB} = (1-1)\hat{i} + (3-2)\hat{j} + (a-3)\hat{k} = \hat{j} + (a-3)\hat{k}$
$\vec{AD} = (3-1)\hat{i} + (7-2)\hat{j} + (3-3)\hat{k} = 2\hat{i} + 5\hat{j} + 0\hat{k}$
$\vec{AB} \times \vec{AD} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 0 & 1 & a-3 \\ 2 & 5 & 0 \end{vmatrix} = \hat{i}(0 - 5(a-3)) - \hat{j}(0 - 2(a-3)) + \hat{k}(0 - 2)$
$= -5(a-3)\hat{i} + 2(a-3)\hat{j} - 2\hat{k} = (15-5a)\hat{i} + (2a-6)\hat{j} - 2\hat{k}$
ક્ષેત્રફળ $|\vec{AB} \times \vec{AD}| = \sqrt{(15-5a)^2 + (2a-6)^2 + (-2)^2} = \sqrt{265}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(15-5a)^2 + (2a-6)^2 + 4 = 265$
$(225 - 150a + 25a^2) + (4a^2 - 24a + 36) + 4 = 265$
$29a^2 - 174a + 265 = 265$
$29a^2 - 174a = 0$
$29a(a - 6) = 0$
આમ,$a = 0$ અથવા $a = 6$.

(A) આપેલ છે કે $\overline{a}+\overline{b}+\overline{c}=\overline{0}$.
આને આપણે $\overline{a}+\overline{b}=-\overline{c}$ તરીકે લખી શકીએ.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$|\overline{a}+\overline{b}|^2 = |-\overline{c}|^2$,જેનો અર્થ છે કે $|\overline{a}+\overline{b}|^2 = |\overline{c}|^2$.
ડાબી બાજુને ડોટ પ્રોડક્ટના ગુણધર્મ $|\overline{u}+\overline{v}|^2 = |\overline{u}|^2 + |\overline{v}|^2 + 2|\overline{u}||\overline{v}| \cos \theta$ નો ઉપયોગ કરીને વિસ્તૃત કરતા:
$|\overline{a}|^2 + |\overline{b}|^2 + 2|\overline{a}||\overline{b}| \cos \theta = |\overline{c}|^2$.
આપેલ કિંમતો $|\overline{a}|=3, |\overline{b}|=5, |\overline{c}|=7$ મૂકતા:
$3^2 + 5^2 + 2(3)(5) \cos \theta = 7^2$.
$9 + 25 + 30 \cos \theta = 49$.
$34 + 30 \cos \theta = 49$.
$30 \cos \theta = 49 - 34 = 15$.
$\cos \theta = \frac{15}{30} = \frac{1}{2}$.
તેથી,$\cos \theta = \frac{1}{2}$ હોવાથી,ખૂણો $\theta = \frac{\pi}{3}$ થાય.

(B) વિકર્ણો $\vec{d_1}$ અને $\vec{d_2}$ ધરાવતા સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર: $\text{Area} = \frac{1}{2} |\vec{d_1} \times \vec{d_2}|$ છે.
અહીં $\vec{d_1} = 3 \hat{i} - \hat{j} - 2 \hat{k}$ અને $\vec{d_2} = -\hat{i} + 3 \hat{j} - 3 \hat{k}$ આપેલ છે.
સૌ પ્રથમ,સદિશ ગુણાકાર $\vec{d_1} \times \vec{d_2}$ શોધો:
$\vec{d_1} \times \vec{d_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & -1 & -2 \\ -1 & 3 & -3 \end{vmatrix}$
$= \hat{i}(3 + 6) - \hat{j}(-9 - 2) + \hat{k}(9 - 1) = 9 \hat{i} + 11 \hat{j} + 8 \hat{k}$.
હવે,આ સદિશનું માન શોધો:
$|\vec{d_1} \times \vec{d_2}| = \sqrt{9^2 + 11^2 + 8^2} = \sqrt{81 + 121 + 64} = \sqrt{266}$.
તેથી,સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \sqrt{266}$ ચોરસ એકમ થાય.

(D) સમતલનું સમીકરણ $\frac{x}{2}+\frac{y}{3}+\frac{z}{4}=1$ છે.
અક્ષો પરના અંતઃખંડો $A(2, 0, 0)$,$B(0, 3, 0)$ અને $C(0, 0, 4)$ છે.
ત્રિકોણની બાજુઓ બનાવતા સદિશો $\vec{AB} = B - A = -2\hat{i} + 3\hat{j}$ અને $\vec{AC} = C - A = -2\hat{i} + 4\hat{k}$ છે.
સદિશ ગુણાકાર $\vec{AB} \times \vec{AC}$ નીચે મુજબ છે:
$\vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -2 & 3 & 0 \\ -2 & 0 & 4 \end{vmatrix} = \hat{i}(12 - 0) - \hat{j}(-8 - 0) + \hat{k}(0 - (-6)) = 12\hat{i} + 8\hat{j} + 6\hat{k}$.
$\triangle ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}|$.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \sqrt{12^2 + 8^2 + 6^2} = \frac{1}{2} \sqrt{144 + 64 + 36} = \frac{1}{2} \sqrt{244} = \frac{1}{2} \sqrt{4 \times 61} = \sqrt{61}$ ચોરસ એકમ.

(A) આપેલ રેખાઓ $\overline{r}=\overline{a_1}+\lambda\overline{b_1}$ અને $\overline{r}=\overline{a_2}+\mu\overline{b_2}$ છે.
અહીં,$\overline{a_1}=2\hat{i}-\hat{j}$,$\overline{b_1}=2\hat{i}+\hat{j}-3\hat{k}$ અને $\overline{a_2}=\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k}$,$\overline{b_2}=2\hat{i}+\hat{j}-5\hat{k}$ છે.
સદિશ $\overline{a_2}-\overline{a_1} = (\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k})-(2\hat{i}-\hat{j}) = -\hat{i}+2\hat{k}$ થાય.
ક્રોસ પ્રોડક્ટ $\overline{b_1} \times \overline{b_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 1 & -3 \\ 2 & 1 & -5 \end{vmatrix} = \hat{i}(-5+3) - \hat{j}(-10+6) + \hat{k}(2-2) = -2\hat{i}+4\hat{j}$ મળે.
તેનું માન $|\overline{b_1} \times \overline{b_2}| = \sqrt{(-2)^2+4^2+0^2} = \sqrt{4+16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$ થાય.
લઘુત્તમ અંતર $d = \left| \frac{(\overline{a_2}-\overline{a_1}) \cdot (\overline{b_1} \times \overline{b_2})}{|\overline{b_1} \times \overline{b_2}|} \right|$ છે.
$d = \left| \frac{(-\hat{i}+2\hat{k}) \cdot (-2\hat{i}+4\hat{j})}{2\sqrt{5}} \right| = \left| \frac{2+0+0}{2\sqrt{5}} \right| = \frac{2}{2\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$ એકમ.

(B) ધારો કે ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $A(1, 2, 0)$,$B(1, 0, a)$ અને $C(0, 3, 1)$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} |\vec{BA} \times \vec{BC}|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સૌ પ્રથમ,આપણે સદિશો $\vec{BA}$ અને $\vec{BC}$ શોધીએ:
$\vec{BA} = (1-1)\hat{i} + (2-0)\hat{j} + (0-a)\hat{k} = 2\hat{j} - a\hat{k}$
$\vec{BC} = (0-1)\hat{i} + (3-0)\hat{j} + (1-a)\hat{k} = -\hat{i} + 3\hat{j} + (1-a)\hat{k}$
હવે,સદિશ ગુણાકાર $\vec{BA} \times \vec{BC}$ ની ગણતરી કરીએ:
$\vec{BA} \times \vec{BC} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 0 & 2 & -a \\ -1 & 3 & 1-a \end{vmatrix}$
$= \hat{i}(2(1-a) - (-a)(3)) - \hat{j}(0(1-a) - (-a)(-1)) + \hat{k}(0(3) - 2(-1))$
$= \hat{i}(2 - 2a + 3a) - \hat{j}(-a) + \hat{k}(2) = (a+2)\hat{i} + a\hat{j} + 2\hat{k}$
તેનું માન $|\vec{BA} \times \vec{BC}| = \sqrt{(a+2)^2 + a^2 + 2^2} = \sqrt{a^2 + 4a + 4 + a^2 + 4} = \sqrt{2a^2 + 4a + 8}$ છે.
આપેલ છે કે ક્ષેત્રફળ $\sqrt{6}$ છે,તેથી:
$\frac{1}{2} \sqrt{2a^2 + 4a + 8} = \sqrt{6}$
$\sqrt{2a^2 + 4a + 8} = 2\sqrt{6} = \sqrt{24}$
$2a^2 + 4a + 8 = 24$
$2a^2 + 4a - 16 = 0$
$a^2 + 2a - 8 = 0$
$(a+4)(a-2) = 0$
આમ,$a = -4$ અથવા $a = 2$ મળે છે.

(A) ધારો કે $\vec{b} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}$. આપેલ છે કે $\vec{a} \cdot \vec{b} = 1$,તેથી:
$(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) \cdot (x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}) = 1 \Rightarrow x + y + z = 1$.
આપેલ છે કે $\vec{a} \times \vec{b} = \vec{c}$,તેથી:
$\begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ x & y & z \end{vmatrix} = \hat{j} - \hat{k}$.
$(z - y)\hat{i} - (z - x)\hat{j} + (y - x)\hat{k} = 0\hat{i} + 1\hat{j} - 1\hat{k}$.
સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$z - y = 0 \Rightarrow z = y$.
$x - z = 1 \Rightarrow z = x - 1$.
$y - x = -1 \Rightarrow y = x - 1$.
$x + y + z = 1$ માં $y = x - 1$ અને $z = x - 1$ મૂકતા:
$x + (x - 1) + (x - 1) = 1
\Rightarrow 3x - 2 = 1
\Rightarrow 3x = 3
\Rightarrow x = 1$.
આમ,$y = 1 - 1 = 0$ અને $z = 1 - 1 = 0$.
તેથી,$\vec{b} = 1\hat{i} + 0\hat{j} + 0\hat{k} = \hat{i}$.

(D) બે સદિશો પરસ્પર લંબ હોય તો તેમનો અદિશ ગુણાકાર શૂન્ય થાય.
આપેલ છે કે $(\vec{a}+k \vec{b}) \perp (\vec{a}-k \vec{b})$,તેથી:
$(\vec{a}+k \vec{b}) \cdot (\vec{a}-k \vec{b}) = 0$
$|\vec{a}|^2 - k^2 |\vec{b}|^2 = 0$
આપેલ કિંમતો $|\vec{a}|=4$ અને $|\vec{b}|=5$ મૂકતા:
$(4)^2 - k^2 (5)^2 = 0$
$16 - 25k^2 = 0$
$25k^2 = 16$
$k^2 = \frac{16}{25}$
$k = \pm \frac{4}{5}$

(A) આપેલ શિરોબિંદુઓ $A(3,2,-1), B(-2,2,-3)$ અને $D(-2,5,-4)$ છે.
બાજુઓ દર્શાવતા સદિશો $\vec{AB} = (-2-3)\hat{i} + (2-2)\hat{j} + (-3-(-1))\hat{k} = -5\hat{i} - 2\hat{k}$ અને $\vec{AD} = (-2-3)\hat{i} + (5-2)\hat{j} + (-4-(-1))\hat{k} = -5\hat{i} + 3\hat{j} - 3\hat{k}$ છે.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ પાસપાસેની બાજુઓના સદિશોના ક્રોસ પ્રોડક્ટના માન જેટલું હોય છે: $\text{Area} = |\vec{AB} \times \vec{AD}|$.
ક્રોસ પ્રોડક્ટની ગણતરી:
$\vec{AB} \times \vec{AD} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -5 & 0 & -2 \\ -5 & 3 & -3 \end{vmatrix} = \hat{i}(0 - (-6)) - \hat{j}(15 - 10) + \hat{k}(-15 - 0) = 6\hat{i} - 5\hat{j} - 15\hat{k}$.
તેનું માન $\sqrt{(6)^2 + (-5)^2 + (-15)^2} = \sqrt{36 + 25 + 225} = \sqrt{286}$ ચોરસ એકમ છે.

(C) આપેલ છે કે $\hat{a}$ એક એકમ સદિશ છે,તેથી $|\hat{a}| = 1$ થાય.
અદિશ ગુણાકારના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$( \bar{x} - \hat{a} ) \cdot ( \bar{x} + \hat{a} ) = |\bar{x}|^2 - |\hat{a}|^2$.
આપેલ કિંમત મૂકતા: $|\bar{x}|^2 - |\hat{a}|^2 = 8$.
કારણ કે $|\hat{a}| = 1$,તેથી $|\bar{x}|^2 - 1^2 = 8$.
$|\bar{x}|^2 - 1 = 8$.
$|\bar{x}|^2 = 9$.
સદિશનું માન હંમેશા અ-ઋણ હોવાથી,$|\bar{x}| = 3$ મળે.

(A) આપેલ છે કે $\vec{a}+\lambda\vec{b}$ એ $\vec{c}$ ને લંબ છે,તેથી તેમનો અદિશ ગુણાકાર શૂન્ય થવો જોઈએ: $(\vec{a}+\lambda\vec{b}) \cdot \vec{c} = 0$.
પ્રથમ,$\vec{a}+\lambda\vec{b}$ ની ગણતરી કરો:
$\vec{a}+\lambda\vec{b} = (\hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k}) + \lambda(-\hat{i}+2\hat{j}+\hat{k}) = (1-\lambda)\hat{i} + (2+2\lambda)\hat{j} + (3+\lambda)\hat{k}$.
હવે,$\vec{c} = 3\hat{i}+\hat{j}$ સાથે અદિશ ગુણાકાર લેતા:
$((1-\lambda)\hat{i} + (2+2\lambda)\hat{j} + (3+\lambda)\hat{k}) \cdot (3\hat{i}+\hat{j}) = 0$.
$(1-\lambda)(3) + (2+2\lambda)(1) + (3+\lambda)(0) = 0$.
$3 - 3\lambda + 2 + 2\lambda = 0$.
$5 - \lambda = 0$.
તેથી,$\lambda = 5$.

(C) પ્રથમ,સદિશ ગુણાકાર $\bar{a} \times \bar{b}$ શોધો:
$\bar{a} \times \bar{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & -1 \\ -1 & 2 & -4 \end{vmatrix} = \hat{i}(-12 - (-2)) - \hat{j}(-8 - 1) + \hat{k}(4 - (-3)) = -10\hat{i} + 9\hat{j} + 7\hat{k}$
ત્યારબાદ,સદિશ ગુણાકાર $\bar{a} \times \bar{c}$ શોધો:
$\bar{a} \times \bar{c} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & -1 \\ 1 & 1 & -2 \end{vmatrix} = \hat{i}(-6 - (-1)) - \hat{j}(-4 - (-1)) + \hat{k}(2 - 3) = -5\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k}$
અંતે,મળેલા બે સદિશોનો અદિશ ગુણાકાર કરો:
$(\bar{a} \times \bar{b}) \cdot (\bar{a} \times \bar{c}) = (-10\hat{i} + 9\hat{j} + 7\hat{k}) \cdot (-5\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k})$
$= (-10)(-5) + (9)(3) + (7)(-1) = 50 + 27 - 7 = 70$

(C) સદિશ $\bar{a}$ નો સદિશ $\bar{b}$ પરનો પ્રક્ષેપ શોધવાનું સૂત્ર $\frac{\bar{a} \cdot \bar{b}}{|\bar{b}|}$ છે.
સૌ પ્રથમ,ડોટ ગુણાકાર $\bar{a} \cdot \bar{b} = (1)(2) + (-2)(-1) + (1)(1) = 2 + 2 + 1 = 5$ ગણો.
ત્યારબાદ,સદિશ $\bar{b}$ નું માન $|\bar{b}| = \sqrt{(2)^2 + (-1)^2 + (1)^2} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6}$ ગણો.
આમ,પ્રક્ષેપ $\frac{5}{\sqrt{6}}$ થાય છે.

(A) પ્રથમ,સદિશ ગુણાકાર $\bar{a} \times \bar{b}$ શોધો:
$\bar{a} \times \bar{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 1 & -2 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = \hat{i}(0 - (-2)) - \hat{j}(0 - (-2)) + \hat{k}(2 - 1) = 2\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}$.
તેનું માન $|\bar{a} \times \bar{b}| = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = 3$ છે.
વળી,$|\bar{a}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + (-2)^2} = 3$.
આપેલ છે કે $|\bar{c}-\bar{a}| = 2\sqrt{2}$,બંને બાજુ વર્ગ કરતા $|\bar{c}|^2 + |\bar{a}|^2 - 2(\bar{c} \cdot \bar{a}) = 8$ મળે.
$|\bar{a}|^2 = 9$ અને $\bar{c} \cdot \bar{a} = |\bar{c}|$ મૂકતા,$|\bar{c}|^2 + 9 - 2|\bar{c}| = 8$ મળે.
આ સમીકરણ $|\bar{c}|^2 - 2|\bar{c}| + 1 = 0$ એટલે કે $(|\bar{c}| - 1)^2 = 0$ થાય,તેથી $|\bar{c}| = 1$.
સદિશ ગુણાકારનું માન $|(\bar{a} \times \bar{b}) \times \bar{c}| = |\bar{a} \times \bar{b}| |\bar{c}| \sin(60^{\circ})$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $(3)(1)(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{3\sqrt{3}}{2}$.

(B) આપેલ સદિશો $\bar{a}=2 \lambda^2 \hat{i}+4 \lambda \hat{j}+\hat{k}$ અને $\bar{b}=7 \hat{i}-2 \hat{j}+\lambda \hat{k}$ છે.
સદિશો $\bar{a}$ અને $\bar{b}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ ગુરુકોણ હોવાથી,$\cos \theta < 0$ થાય.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos \theta = \frac{\bar{a} \cdot \bar{b}}{|\bar{a}| |\bar{b}|}$.
અહીં $|\bar{a}| > 0$ અને $|\bar{b}| > 0$ હોવાથી,$\cos \theta < 0$ માટે $\bar{a} \cdot \bar{b} < 0$ થવું જોઈએ.
અદિશ ગુણાકાર કરતા: $\bar{a} \cdot \bar{b} = (2 \lambda^2)(7) + (4 \lambda)(-2) + (1)(\lambda) = 14 \lambda^2 - 8 \lambda + \lambda = 14 \lambda^2 - 7 \lambda$.
હવે,$14 \lambda^2 - 7 \lambda < 0$.
$7 \lambda (2 \lambda - 1) < 0$.
આ અસમતા ત્યારે જ સાચી ઠરે જ્યારે $\lambda$ એ $0$ અને $\frac{1}{2}$ ની વચ્ચે હોય.
તેથી,$\lambda \in \left(0, \frac{1}{2}\right)$.

(C) આપેલ છે કે $\overline{a}, \overline{b}, \overline{c}$ પરસ્પર લંબ સદિશો છે,તેથી $\overline{a} \cdot \overline{b} = 0, \overline{b} \cdot \overline{c} = 0, \overline{c} \cdot \overline{a} = 0$ અને તેમના માન $|\overline{a}|=1, |\overline{b}|=2, |\overline{c}|=3$ છે.
અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારની વ્યાખ્યા મુજબ,$[\overline{a}+\overline{b}+\overline{c} \quad \overline{b}-\overline{a} \quad \overline{c}] = (\overline{a}+\overline{b}+\overline{c}) \cdot ((\overline{b}-\overline{a}) \times \overline{c})$.
ક્રોસ પ્રોડક્ટનું વિસ્તરણ કરતા: $(\overline{b}-\overline{a}) \times \overline{c} = \overline{b} \times \overline{c} - \overline{a} \times \overline{c}$.
હવે,આ કિંમત મૂકતા: $(\overline{a}+\overline{b}+\overline{c}) \cdot (\overline{b} \times \overline{c} - \overline{a} \times \overline{c})$.
કારણ કે $\overline{a}, \overline{b}, \overline{c}$ પરસ્પર લંબ છે,$\overline{a} \cdot (\overline{b} \times \overline{c}) = |\overline{a}| |\overline{b}| |\overline{c}| = 1 \times 2 \times 3 = 6$.
તેમજ,$\overline{b} \cdot (\overline{b} \times \overline{c}) = 0$ અને $\overline{c} \cdot (\overline{b} \times \overline{c}) = 0$.
તેવી જ રીતે,$\overline{a} \cdot (\overline{a} \times \overline{c}) = 0, \overline{b} \cdot (\overline{a} \times \overline{c}) = 0, \overline{c} \cdot (\overline{a} \times \overline{c}) = 0$.
પદાવલિનું સાદું રૂપ આપતા: $\overline{a} \cdot (\overline{b} \times \overline{c}) - \overline{a} \cdot (\overline{a} \times \overline{c}) + \overline{b} \cdot (\overline{b} \times \overline{c}) - \overline{b} \cdot (\overline{a} \times \overline{c}) + \overline{c} \cdot (\overline{b} \times \overline{c}) - \overline{c} \cdot (\overline{a} \times \overline{c})$.
આ પદાવલિ $\overline{a} \cdot (\overline{b} \times \overline{c}) - (-\overline{b} \cdot (\overline{a} \times \overline{c})) = [\overline{a} \overline{b} \overline{c}] + [\overline{b} \overline{a} \overline{c}] = [\overline{a} \overline{b} \overline{c}] + [\overline{a} \overline{b} \overline{c}] = 2[\overline{a} \overline{b} \overline{c}]$ માં પરિણમે છે.
કારણ કે $[\overline{a} \overline{b} \overline{c}] = 1 \times 2 \times 3 = 6$,અંતિમ મૂલ્ય $2 \times 6 = 12$ મળે છે.

(C) ધાર $\overline{u}, \overline{v}, \overline{w}$ ધરાવતા ચતુષ્ફલકનું ઘનફળ $V = \frac{1}{6} |[\overline{u} \overline{v} \overline{w}]|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ ધાર $\overline{a}+\overline{b}, \overline{b}+\overline{c}, \overline{c}+\overline{a}$ છે.
તેથી,$24 = \frac{1}{6} |(\overline{a}+\overline{b}) \cdot ((\overline{b}+\overline{c}) \times (\overline{c}+\overline{a}))|$.
$144 = |(\overline{a}+\overline{b}) \cdot (\overline{b} \times \overline{c} + \overline{b} \times \overline{a} + \overline{c} \times \overline{c} + \overline{c} \times \overline{a})|$.
$\overline{c} \times \overline{c} = 0$ હોવાથી,$144 = |(\overline{a}+\overline{b}) \cdot (\overline{b} \times \overline{c} + \overline{b} \times \overline{a} + \overline{c} \times \overline{a})|$.
અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારનું વિસ્તરણ કરતા: $144 = |[\overline{a} \overline{b} \overline{c}] + [\overline{a} \overline{b} \overline{a}] + [\overline{a} \overline{c} \overline{a}] + [\overline{b} \overline{b} \overline{c}] + [\overline{b} \overline{b} \overline{a}] + [\overline{b} \overline{c} \overline{a}]|$.
$[\overline{a} \overline{b} \overline{a}]$ જેવા પદો $0$ થાય છે કારણ કે બે સદિશો સમાન છે.
તેથી,$144 = |[\overline{a} \overline{b} \overline{c}] + [\overline{b} \overline{c} \overline{a}]|$.
$[\overline{a} \overline{b} \overline{c}] = [\overline{b} \overline{c} \overline{a}]$ હોવાથી,$144 = 2 |[\overline{a} \overline{b} \overline{c}]|$.
તેથી,$|[\overline{a} \overline{b} \overline{c}]| = 72$,જે સમાંતરબાજુ ફલકનું ઘનફળ છે.

(D) અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $[\vec{u} \vec{v} \vec{w}] = \vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w})$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
પ્રથમ,સદિશ ગુણાકાર $\vec{v} \times \vec{w}$ ની ગણતરી કરો:
$\vec{v} \times \vec{w} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 3 \end{vmatrix} = \hat{i}(6 - 0) - \hat{j}(6 - (-1)) + \hat{k}(0 - 2) = 6\hat{i} - 7\hat{j} - 2\hat{k}$.
આ સદિશનું માન $|\vec{v} \times \vec{w}| = \sqrt{6^2 + (-7)^2 + (-2)^2} = \sqrt{36 + 49 + 4} = \sqrt{89}$ છે.
કારણ કે $\vec{u}$ એક એકમ સદિશ છે $(|\vec{u}| = 1)$,તેથી અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $\vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w}) = |\vec{u}| |\vec{v} \times \vec{w}| \cos \theta$ થાય,જ્યાં $\theta$ એ $\vec{u}$ અને $(\vec{v} \times \vec{w})$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
મહત્તમ મૂલ્ય ત્યારે મળે જ્યારે $\cos \theta = 1$ હોય,તેથી મહત્તમ મૂલ્ય $|\vec{v} \times \vec{w}| = \sqrt{89}$ છે.

(D) આપણને પદ $\bar{a} \cdot [(\bar{b} \times \bar{c}) \times (\bar{a} + \bar{b} + \bar{c})]$ આપેલ છે.
ક્રોસ પ્રોડક્ટના વિભાજનના નિયમનો ઉપયોગ કરીને,કૌંસની અંદરના પદનું વિસ્તરણ કરીએ:
$(\bar{b} \times \bar{c}) \times (\bar{a} + \bar{b} + \bar{c}) = (\bar{b} \times \bar{c}) \times \bar{a} + (\bar{b} \times \bar{c}) \times \bar{b} + (\bar{b} \times \bar{c}) \times \bar{c}$.
હવે,$\bar{a}$ સાથે ડોટ પ્રોડક્ટ લેતા:
$\bar{a} \cdot [(\bar{b} \times \bar{c}) \times \bar{a} + (\bar{b} \times \bar{c}) \times \bar{b} + (\bar{b} \times \bar{c}) \times \bar{c}]$
$= \bar{a} \cdot ((\bar{b} \times \bar{c}) \times \bar{a}) + \bar{a} \cdot ((\bar{b} \times \bar{c}) \times \bar{b}) + \bar{a} \cdot ((\bar{b} \times \bar{c}) \times \bar{c})$.
સ્કેલર ટ્રિપલ પ્રોડક્ટના ગુણધર્મ $\bar{x} \cdot (\bar{y} \times \bar{z}) = [\bar{x} \bar{y} \bar{z}]$ નો ઉપયોગ કરતા,જો કોઈ પણ બે સદિશો સમાન હોય તો તેની કિંમત $0$ થાય છે.
$1$. $\bar{a} \cdot ((\bar{b} \times \bar{c}) \times \bar{a}) = [\bar{a} (\bar{b} \times \bar{c}) \bar{a}] = 0$ (કારણ કે $\bar{a}$ પુનરાવર્તિત થાય છે).
$2$. $\bar{a} \cdot ((\bar{b} \times \bar{c}) \times \bar{b}) = [\bar{a} (\bar{b} \times \bar{c}) \bar{b}] = 0$ (કારણ કે $\bar{b}$ પુનરાવર્તિત થાય છે).
$3$. $\bar{a} \cdot ((\bar{b} \times \bar{c}) \times \bar{c}) = [\bar{a} (\bar{b} \times \bar{c}) \bar{c}] = 0$ (કારણ કે $\bar{c}$ પુનરાવર્તિત થાય છે).
આમ,સમગ્ર પદની કિંમત $0+0+0 = 0$ થાય છે.

(D) સમાંતરફલકનું ઘનફળ જેની ધાર $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$ હોય,તે અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $[\vec{u} \vec{v} \vec{w}] = \vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w})$ દ્વારા મળે છે.
અહીં,$\vec{u} = \bar{a}+\bar{b}$,$\vec{v} = \bar{b}+\bar{c}$,અને $\vec{w} = \bar{c}+\bar{a}$ છે.
ઘનફળ $= (\bar{a}+\bar{b}) \cdot [(\bar{b}+\bar{c}) \times (\bar{c}+\bar{a})]$
$= (\bar{a}+\bar{b}) \cdot [(\bar{b} \times \bar{c}) + (\bar{b} \times \bar{a}) + (\bar{c} \times \bar{c}) + (\bar{c} \times \bar{a})]$
કારણ કે $\bar{c} \times \bar{c} = 0$,તેથી:
$= (\bar{a}+\bar{b}) \cdot [(\bar{b} \times \bar{c}) + (\bar{b} \times \bar{a}) + (\bar{c} \times \bar{a})]$
$= \bar{a} \cdot (\bar{b} \times \bar{c}) + \bar{a} \cdot (\bar{b} \times \bar{a}) + \bar{a} \cdot (\bar{c} \times \bar{a}) + \bar{b} \cdot (\bar{b} \times \bar{c}) + \bar{b} \cdot (\bar{b} \times \bar{a}) + \bar{b} \cdot (\bar{c} \times \bar{a})$
અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારના ગુણધર્મ મુજબ જો બે સદિશો સમાન હોય તો તેનું મૂલ્ય શૂન્ય થાય છે:
$= [\bar{a} \bar{b} \bar{c}] + 0 + 0 + 0 + 0 + [\bar{b} \bar{c} \bar{a}]$
કારણ કે $[\bar{b} \bar{c} \bar{a}] = [\bar{a} \bar{b} \bar{c}]$,તેથી ઘનફળ $= [\bar{a} \bar{b} \bar{c}] + [\bar{a} \bar{b} \bar{c}] = 2[\bar{a} \bar{b} \bar{c}]$.

(D) સમાંતરબાજુ ફલકનું ઘનફળ જેની ધાર $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$ હોય તે અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $[\vec{u} \vec{v} \vec{w}] = \vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w})$ દ્વારા મળે છે.
આપેલ છે કે $[\bar{a} \bar{b} \bar{c}] = \bar{a} \cdot (\bar{b} \times \bar{c}) = 4$.
આપણે $\vec{u} = \bar{a} + 2 \bar{b}$,$\vec{v} = \bar{b} + 2 \bar{c}$,અને $\vec{w} = \bar{c} + 2 \bar{a}$ ધારવાળા સમાંતરબાજુ ફલકનું ઘનફળ શોધવાનું છે.
ઘનફળ $= [(\bar{a} + 2 \bar{b}) (\bar{b} + 2 \bar{c}) (\bar{c} + 2 \bar{a})]$.
અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$[\bar{a} + 2 \bar{b}, \bar{b} + 2 \bar{c}, \bar{c} + 2 \bar{a}] = [\bar{a} \bar{b} \bar{c}] + 8 [\bar{b} \bar{c} \bar{a}] = [\bar{a} \bar{b} \bar{c}] + 8 [\bar{a} \bar{b} \bar{c}] = 9 [\bar{a} \bar{b} \bar{c}]$.
આપેલ કિંમત મૂકતા: $9 \times 4 = 36$ ઘન એકમ.

(C) આપેલ છે,$f(x)=\log (1+x)-\frac{2 x}{2+x}$.
વિધેય વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,$1+x > 0$ હોવું જોઈએ,એટલે કે $x > -1$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$f^{\prime}(x) = \frac{1}{1+x} - 2 \left[ \frac{(2+x)(1) - x(1)}{(2+x)^2} \right]$
$f^{\prime}(x) = \frac{1}{1+x} - 2 \left[ \frac{2+x-x}{(2+x)^2} \right] = \frac{1}{1+x} - \frac{4}{(2+x)^2}$
$f^{\prime}(x) = \frac{(2+x)^2 - 4(1+x)}{(1+x)(2+x)^2} = \frac{4+x^2+4x-4-4x}{(1+x)(2+x)^2}$
$f^{\prime}(x) = \frac{x^2}{(1+x)(2+x)^2}$.
અહીં $x^2 \ge 0$ અને $(2+x)^2 > 0$ હોવાથી,$f^{\prime}(x)$ ની નિશાની $\frac{1}{1+x}$ પર આધાર રાખે છે.
વિધેય વધતું હોવા માટે $f^{\prime}(x) > 0$ હોવું જોઈએ.
$x > -1$ માટે $1+x > 0$ થાય છે,તેથી $x \in (-1, \infty)$ માટે $f^{\prime}(x) > 0$ મળે છે.
આમ,વિધેય $(-1, \infty)$ પર વધતું વિધેય છે.