MHT CET 2021 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(B) दिया गया है: जड़त्व आघूर्ण $I = 1.2 \; kg \cdot m^2$,प्रारंभिक कोणीय वेग $\omega_0 = 0$,घूर्णन गतिज ऊर्जा $K_r = 1500 \; J$,और कोणीय त्वरण $\alpha = 25 \; rad/s^2$.
घूर्णन गतिज ऊर्जा का सूत्र $K_r = \frac{1}{2} I \omega^2$ है।
मान रखने पर: $1500 = \frac{1}{2} \times 1.2 \times \omega^2$.
$1500 = 0.6 \times \omega^2 \Rightarrow \omega^2 = \frac{1500}{0.6} = 2500$.
अतः,अंतिम कोणीय वेग $\omega = \sqrt{2500} = 50 \; rad/s$.
घूर्णन के गतिज समीकरण का उपयोग करने पर: $\omega = \omega_0 + \alpha t$.
$50 = 0 + 25 \times t$.
$t = \frac{50}{25} = 2 \; s$.

(C) प्रत्यास्थ टक्कर में रैखिक संवेग और गतिज ऊर्जा दोनों संरक्षित रहते हैं।
मान लीजिए प्रारंभिक वेग $v_{a}$ और $-v_{b}$ हैं (क्योंकि वे विपरीत दिशाओं में गति कर रहे हैं)।
टक्कर के बाद,वेग क्रमशः $-v_{b}$ और $v_{a}$ हो जाते हैं।
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार:
$m_{a}v_{a} - m_{b}v_{b} = m_{a}(-v_{b}) + m_{b}v_{a}$
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$m_{a}v_{a} + m_{a}v_{b} = m_{b}v_{a} + m_{b}v_{b}$
$m_{a}(v_{a} + v_{b}) = m_{b}(v_{a} + v_{b})$
चूंकि $(v_{a} + v_{b}) \neq 0$,इसलिए दोनों पक्षों को $(v_{a} + v_{b})$ से विभाजित करने पर:
$m_{a} = m_{b}$
अतः,अनुपात $\frac{m_{a}}{m_{b}} = 1$ है।

(D) माना $m$ द्रव्यमान का प्रारंभिक वेग $u$ है और टक्कर के बाद $M$ द्रव्यमान का वेग $v_M$ है। $m$ द्रव्यमान का कण टक्कर के बाद रुक जाता है,इसलिए उसका अंतिम वेग $0$ है।
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार:
$mu + M(0) = m(0) + Mv_M$
$mu = Mv_M$
$v_M = \frac{m}{M}u$
प्रत्यावस्थान गुणांक $e$ को टक्कर के बाद के सापेक्ष वेग और टक्कर से पहले के सापेक्ष वेग के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है:
$e = \frac{v_M - 0}{u - 0} = \frac{v_M}{u}$
$v_M$ का मान रखने पर:
$e = \frac{(m/M)u}{u} = \frac{m}{M}$

(A) स्थिर दीवार के साथ एक प्रत्यास्थ टक्कर में,अणु समान गति $v$ के साथ विपरीत दिशा में वापस लौटता है।
एक टक्कर में अणु के संवेग में परिवर्तन = $mv - (-mv) = 2mv$ है।
संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,एक टक्कर में दीवार के संवेग में परिवर्तन,अणु के संवेग में परिवर्तन के बराबर और विपरीत होता है,जो $2mv$ है।
चूंकि प्रति सेकंड $5$ टक्करें होती हैं,इसलिए दीवार के संवेग में प्रति सेकंड कुल परिवर्तन $5 \times 2mv = 10mv$ होगा।

(B) दिया गया है: पहले गुटके का द्रव्यमान $M_1 = m$,प्रारंभिक वेग $u_1 = v$,अंतिम वेग $v_1 = 0$ है।
दूसरे गुटके का द्रव्यमान $M_2 = 4m$,प्रारंभिक वेग $u_2 = 0$,अंतिम वेग $v_2 = ?$ है।
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार:
$M_1 u_1 + M_2 u_2 = M_1 v_1 + M_2 v_2$
$m(v) + 4m(0) = m(0) + 4m(v_2)$
$mv = 4mv_2$
$v_2 = \frac{v}{4}$
प्रत्यावस्थान गुणांक $e$ को इस प्रकार परिभाषित किया जाता है:
$e = \frac{v_2 - v_1}{u_1 - u_2}$
मान रखने पर:
$e = \frac{\frac{v}{4} - 0}{v - 0} = \frac{v/4}{v} = \frac{1}{4} = 0.25$.

(B) गतिज ऊर्जा $K$ और संवेग $p$ के बीच का संबंध $K = \frac{p^2}{2m}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $m$ पिंड का द्रव्यमान है।
इस सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $p = \sqrt{2mK}$ प्राप्त होता है।
चूंकि दोनों पिंडों के लिए गतिज ऊर्जा $K$ समान है,इसलिए संवेग $p$ द्रव्यमान के वर्गमूल के सीधे आनुपातिक है,अर्थात $p \propto \sqrt{m}$।
इसलिए,जिस पिंड का द्रव्यमान अधिक होगा,उसका संवेग भी अधिक होगा।
अतः,भारी पिंड का संवेग अधिक होता है।

(A) पृथ्वी की सतह से $d$ गहराई पर गुरुत्वीय त्वरण का सूत्र इस प्रकार है:
$g^{\prime} = g \left(1 - \frac{d}{R}\right)$
दिया गया है कि $d$ गहराई पर गुरुत्वीय त्वरण $\frac{g}{n}$ है,इसलिए हम समीकरण में मान रखते हैं:
$\frac{g}{n} = g \left(1 - \frac{d}{R}\right)$
दोनों पक्षों को $g$ से विभाजित करने पर:
$\frac{1}{n} = 1 - \frac{d}{R}$
$d$ के लिए समीकरण को व्यवस्थित करने पर:
$\frac{d}{R} = 1 - \frac{1}{n}$
$\frac{d}{R} = \frac{n-1}{n}$
$d = \frac{R(n-1)}{n}$

(A) पृथ्वी की सतह के नीचे $d$ गहराई पर गुरुत्वीय त्वरण का सूत्र है: $g' = g\left(1 - \frac{d}{R}\right)$।
प्रश्न के अनुसार,$d$ गहराई पर गुरुत्वीय त्वरण का मान सतह पर मान का $\frac{1}{n}$ गुना है,इसलिए $g' = \frac{g}{n}$।
इस मान को सूत्र में रखने पर: $\frac{g}{n} = g\left(1 - \frac{d}{R}\right)$।
दोनों पक्षों को $g$ से विभाजित करने पर: $\frac{1}{n} = 1 - \frac{d}{R}$।
$d$ के लिए हल करने पर: $\frac{d}{R} = 1 - \frac{1}{n} = \frac{n-1}{n}$।
अतः,$d = R\left(\frac{n-1}{n}\right)$।

(D) पृथ्वी की सतह से '$h$' ऊँचाई पर गुरुत्वीय त्वरण का सूत्र है: $g' = g \left( \frac{R}{R+h} \right)^2$।
दिया गया है कि $g' = \frac{g}{3}$,इसलिए:
$\frac{g}{3} = g \left( \frac{R}{R+h} \right)^2$।
दोनों पक्षों को '$g$' से विभाजित करने पर:
$\frac{1}{3} = \left( \frac{R}{R+h} \right)^2$।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{R}{R+h}$।
तिर्यक गुणा (cross-multiplication) करने पर:
$R + h = \sqrt{3} R$।
'$h$' के लिए हल करने पर:
$h = \sqrt{3} R - R = (\sqrt{3} - 1) R$।

(C) पृथ्वी के केंद्र से $r$ दूरी पर गुरुत्वीय त्वरण $g' = \frac{GM}{r^2}$ द्वारा दिया जाता है।
प्रथम स्थिति में,सतह से दूरी $R$ है,इसलिए केंद्र से दूरी $r_1 = R + R = 2R$ है। दिया गया है $g_1 = \frac{g}{4}$।
द्वितीय स्थिति में,सतह से दूरी $\frac{R}{2}$ है,इसलिए केंद्र से दूरी $r_2 = R + \frac{R}{2} = \frac{3R}{2}$ है।
अनुपात का उपयोग करने पर: $\frac{g_2}{g_1} = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2 = \left(\frac{2R}{3R/2}\right)^2 = \left(\frac{4}{3}\right)^2 = \frac{16}{9}$।
अतः,$g_2 = \frac{16}{9} \times g_1 = \frac{16}{9} \times \frac{g}{4} = \frac{4g}{9}$।

(C) पृथ्वी की सतह से $h$ ऊँचाई पर गुरुत्वीय त्वरण $g'$ का सूत्र इस प्रकार है:
$g' = g \left( \frac{R}{R+h} \right)^2$
यहाँ दिया गया है कि ऊँचाई $h = R$,इसलिए इस मान को सूत्र में रखने पर:
$g' = g \left( \frac{R}{R+R} \right)^2$
$g' = g \left( \frac{R}{2R} \right)^2$
$g' = g \left( \frac{1}{2} \right)^2$
$g' = \frac{g}{4}$
अतः,पृथ्वी की सतह से $R$ ऊँचाई पर गुरुत्वीय त्वरण $\frac{g}{4}$ होगा।

(A) सेकंड लोलक का आवर्तकाल $T = 2 \,s$ होता है। आवर्तकाल का सूत्र $T = 2 \pi \sqrt{\frac{\ell}{g}}$ है。
चूंकि $T$ स्थिर $(2 \,s)$ है, इसलिए $\ell \propto g$ होगा, जिसका अर्थ है $\frac{\ell'}{\ell} = \frac{g'}{g}$。
गुरुत्वीय त्वरण का सूत्र $g = \frac{GM}{R^2}$ है。
ग्रह के लिए, $M' = 1.5M$ और $R' = 1.5R$ है。
अतः, $g' = \frac{G(1.5M)}{(1.5R)^2} = \frac{1.5}{2.25} \frac{GM}{R^2} = \frac{1}{1.5} g$。
इस मान को लंबाई के अनुपात में रखने पर: $\ell' = \ell \times \frac{g'}{g} = 1 \,m \times \frac{1}{1.5} = \frac{1}{1.5} \,m \approx 0.67 \,m$。

(B) पृथ्वी की सतह से $d$ गहराई पर गुरुत्वीय त्वरण का सूत्र इस प्रकार है:
$g' = g(1 - \frac{d}{R})$
जहाँ $g$ सतह पर गुरुत्वीय त्वरण है और $R$ पृथ्वी की त्रिज्या है।
दिया गया है कि $g' = 60\% \text{ of } g$,इसलिए:
$g' = 0.6g$
इस मान को सूत्र में रखने पर:
$0.6g = g(1 - \frac{d}{R})$
$0.6 = 1 - \frac{d}{R}$
$d$ के लिए हल करने पर:
$\frac{d}{R} = 1 - 0.6$
$\frac{d}{R} = 0.4$
$\frac{d}{R} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$
अतः,$d = \frac{2}{5}R$.

(B) पृथ्वी की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण $g$ का सूत्र $g = \frac{GM}{R^2}$ है।
पृथ्वी का द्रव्यमान $M = \rho \cdot V = \rho \cdot \frac{4}{3} \pi R^3$ प्रतिस्थापित करने पर,जहाँ $\rho$ औसत घनत्व है और $R$ पृथ्वी की त्रिज्या है:
$g = \frac{G}{R^2} \cdot \left( \frac{4}{3} \pi R^3 \rho \right) = \frac{4}{3} \pi G R \rho$.
चूँकि $G$,$\pi$ और $R$ पृथ्वी के लिए नियतांक हैं,इसलिए $g \propto \rho$ प्राप्त होता है।
अतः,औसत घनत्व $\rho$ गुरुत्वीय त्वरण $g$ के समानुपाती है।

(C) पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र से बाहर निकलने के लिए आवश्यक ऊर्जा $E_{esc} = \frac{1}{2} m V_{e}^2$ है।
पिंड को दी गई प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K_i = \frac{1}{2} m (3 V_{e})^2 = \frac{9}{2} m V_{e}^2$ है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार, गुरुत्वाकर्षण खिंचाव से बाहर निकलने के बाद अंतिम गतिज ऊर्जा $K_f$, प्रारंभिक ऊर्जा और पलायन के लिए आवश्यक ऊर्जा का अंतर है:
$K_f = K_i - E_{esc}$
$\frac{1}{2} m V^2 = \frac{9}{2} m V_{e}^2 - \frac{1}{2} m V_{e}^2$
$\frac{1}{2} m V^2 = 4 m V_{e}^2$
$V^2 = 8 V_{e}^2$
$V = \sqrt{8} V_{e} = 2 \sqrt{2} V_{e}$.

(A) यह सुनिश्चित करने के लिए कि कण वापस न आए,अनंत पर इसकी कुल यांत्रिक ऊर्जा कम से कम शून्य होनी चाहिए।
मान लीजिए कि सतह से $h = 3R$ की ऊँचाई पर प्रक्षेपण गति $v$ है।
पृथ्वी के केंद्र से दूरी $r = R + 3R = 4R$ होगी।
ऊर्जा संरक्षण के नियम का उपयोग करते हुए: $K_i + U_i = K_f + U_f$.
यहाँ,$K_i = \frac{1}{2}mv^2$,$U_i = -\frac{GMm}{4R}$,$K_f = 0$,और $U_f = 0$.
$\frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{4R} = 0$.
$\frac{1}{2}v^2 = \frac{GM}{4R}$.
$v^2 = \frac{GM}{2R}$.
$v = [\frac{GM}{2R}]^{1/2}$.

(A) पलायन वेग का सूत्र $V = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ है।
पृथ्वी के लिए,पलायन वेग $V_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ है।
ग्रह के लिए,द्रव्यमान $M_p = 6M$ और त्रिज्या $R_p = 2R$ है।
अतः,ग्रह से पलायन वेग $V_p = \sqrt{\frac{2G(6M)}{2R}} = \sqrt{3 \times \frac{2GM}{R}}$ होगा।
समीकरण में $V_e$ का मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें $V_p = \sqrt{3} V_e$ प्राप्त होता है।

(A) किसी ग्रह की सतह से पलायन वेग $v_e$ का सूत्र $v_e = \sqrt{2 g R}$ होता है,जहाँ $g$ गुरुत्वीय त्वरण है और $R$ ग्रह की त्रिज्या है।
दिया गया है कि गुरुत्वीय त्वरण का अनुपात $\frac{g_1}{g_2} = K_1$ है और त्रिज्याओं का अनुपात $\frac{R_1}{R_2} = K_2$ है।
पलायन वेगों का अनुपात $\frac{v_{e1}}{v_{e2}} = \sqrt{\frac{2 g_1 R_1}{2 g_2 R_2}}$ होगा।
दिए गए अनुपातों को प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{v_{e1}}{v_{e2}} = \sqrt{\frac{g_1}{g_2} \cdot \frac{R_1}{R_2}} = \sqrt{K_1 K_2}$ प्राप्त होता है।

(A) पृथ्वी पर गुरुत्वीय त्वरण $g = \frac{GM}{R^2}$ द्वारा दिया जाता है।
ग्रह के लिए, द्रव्यमान $M' = 4M$ है और त्रिज्या $R' = R$ है।
अतः, ग्रह पर गुरुत्वीय त्वरण $g' = \frac{GM'}{R'^2} = \frac{G(4M)}{R^2} = 4g$ होगा।
दिया गया है $g = 10 \,ms^{-2}$, इसलिए ग्रह पर गुरुत्वीय त्वरण $g' = 4 \times 10 = 40 \,ms^{-2}$ होगा।
$m = 5 \,kg$ द्रव्यमान के पिंड को $h = 2 \,m$ की ऊँचाई तक उठाने में किया गया कार्य $W = m g' h$ है।
मान रखने पर, $W = 5 \,kg \times 40 \,ms^{-2} \times 2 \,m = 400 \,J$ प्राप्त होता है।

(C) पलायन वेग का सूत्र $v = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ है।
चूंकि द्रव्यमान $M = \text{आयतन} \times \text{घनत्व} = \frac{4}{3} \pi R^3 \rho$ होता है,इसलिए हम इस मान को सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं:
$v = \sqrt{\frac{2G}{R} \cdot \frac{4}{3} \pi R^3 \rho} = \sqrt{\frac{8}{3} \pi G \rho R^2} = R \sqrt{\frac{8 \pi G \rho}{3}}$.
अतः,$v \propto R \sqrt{\rho}$.
यह दिया गया है कि औसत द्रव्यमान घनत्व $\rho$ समान है,इसलिए पलायन वेग त्रिज्या के सीधे आनुपातिक है: $v \propto R$.
इसलिए,$\frac{V_P}{V_E} = \frac{R_P}{R_E}$.
यहाँ $R_P = 2 R_E$ दिया गया है,इसलिए $\frac{V_P}{V_E} = 2$,जिसका अर्थ है कि $V_P = 2 V_E$.

(C) केप्लर के ग्रहीय गति के तीसरे नियम के अनुसार, परिक्रमण काल का वर्ग $T^2$ कक्षा की अर्ध-दीर्घ अक्ष के घन $R^3$ के समानुपाती होता है: $T^2 \propto R^3$.
दिया गया है कि ग्रह $A$ का परिक्रमण काल $(T_A)$, ग्रह $B$ के परिक्रमण काल $(T_B)$ का $8$ गुना है, अर्थात $T_A = 8 T_B$.
संबंध $\frac{T_A}{T_B} = \left(\frac{R_A}{R_B}\right)^{3/2}$ का उपयोग करने पर:
$\left(\frac{T_A}{T_B}\right)^2 = \left(\frac{R_A}{R_B}\right)^3$
मान रखने पर:
$(8)^2 = \left(\frac{R_A}{R_B}\right)^3$
$64 = \left(\frac{R_A}{R_B}\right)^3$
दोनों पक्षों का घनमूल लेने पर:
$\frac{R_A}{R_B} = (64)^{1/3} = 4$
अतः, ग्रह $A$ की सूर्य से दूरी, ग्रह $B$ की सूर्य से दूरी की $4$ गुनी है।

(B) केप्लर के ग्रहीय गति के तीसरे नियम के अनुसार, आवर्तकाल $(T)$ का वर्ग कक्षा की त्रिज्या $(r)$ के घन के समानुपाती होता है:
$T^2 \propto r^3$
यहाँ प्रारंभिक आवर्तकाल $T_1 = 5 \text{ घंटे}$ और प्रारंभिक त्रिज्या $r_1 = r$ है।
नई त्रिज्या $r_2 = 4r$ है।
अनुपात सूत्र का उपयोग करने पर:
$\frac{T_2^2}{T_1^2} = \left(\frac{r_2}{r_1}\right)^3$
मान रखने पर:
$\frac{T_2^2}{T_1^2} = \left(\frac{4r}{r}\right)^3 = (4)^3 = 64$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$\frac{T_2}{T_1} = \sqrt{64} = 8$
अतः, नया आवर्तकाल होगा:
$T_2 = 8 \times T_1 = 8 \times 5 \text{ घंटे} = 40 \text{ घंटे}$.

(C) पृथ्वी के केंद्र से $r$ दूरी पर स्थित उपग्रह का कक्षीय वेग $v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$ द्वारा दिया जाता है।
पृथ्वी की सतह के ठीक ऊपर उपग्रह के लिए,कक्षीय त्रिज्या $r = R$ है,इसलिए वेग $V = \sqrt{\frac{GM}{R}}$ है।
$h = \frac{R}{2}$ की ऊंचाई पर स्थित उपग्रह के लिए,कक्षीय त्रिज्या $r' = R + h = R + \frac{R}{2} = \frac{3R}{2}$ है।
नया कक्षीय वेग $V'$ इस प्रकार है: $V' = \sqrt{\frac{GM}{r'}} = \sqrt{\frac{GM}{3R/2}} = \sqrt{\frac{2GM}{3R}}$।
इस व्यंजक में $V = \sqrt{\frac{GM}{R}}$ का मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें $V' = \sqrt{\frac{2}{3}} V$ प्राप्त होता है।

(D) $m$ द्रव्यमान के उपग्रह को पृथ्वी की सतह से '$h$' ऊँचाई तक ले जाने के लिए आवश्यक ऊर्जा उसकी गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होती है:
$W = U_f - U_i = -\frac{GMm}{R+h} - (-\frac{GMm}{R}) = GMm \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{R+h} \right) = \frac{GMmh}{R(R+h)}$.
'$h$' ऊँचाई पर वृत्ताकार कक्षा में घूम रहे '$m$' द्रव्यमान के उपग्रह की कुल ऊर्जा इस प्रकार दी जाती है:
$E = \frac{GMm}{2(R+h)}$.
अब,उपग्रह को ऊँचाई तक ले जाने के लिए आवश्यक ऊर्जा और उसे कक्षा में स्थापित करने के लिए आवश्यक ऊर्जा का अनुपात है:
$\frac{W}{E} = \frac{\frac{GMmh}{R(R+h)}}{\frac{GMm}{2(R+h)}} = \frac{GMmh}{R(R+h)} \times \frac{2(R+h)}{GMm} = \frac{2h}{R}$.

(B) $m$ द्रव्यमान वाले उपग्रह की $M$ द्रव्यमान वाले ग्रह के चारों ओर $r$ दूरी पर गतिज ऊर्जा $(K.E.)$ का सूत्र $K.E. = \frac{GMm}{2r}$ है।
यहाँ,$r$ पृथ्वी के केंद्र से दूरी है,इसलिए $r = R_{earth} + h$.
पहले उपग्रह के लिए $h_1 = R$ ऊँचाई पर,कक्षीय त्रिज्या $r_1 = R + R = 2R$ होगी।
दूसरे उपग्रह के लिए $h_2 = 2R$ ऊँचाई पर,कक्षीय त्रिज्या $r_2 = R + 2R = 3R$ होगी।
चूँकि दोनों उपग्रहों का द्रव्यमान $m$ समान है,गतिज ऊर्जा कक्षीय त्रिज्या के व्युत्क्रमानुपाती होती है: $K.E. \propto \frac{1}{r}$.
अतः,उनकी गतिज ऊर्जाओं का अनुपात $\frac{(K.E.)_1}{(K.E.)_2} = \frac{r_2}{r_1} = \frac{3R}{2R} = \frac{3}{2}$ होगा।

(D) उपग्रह की गति उसके क्षैतिज वेग $(v)$ पर निर्भर करती है,जो क्रांतिक वेग $(v_c)$ और पलायन वेग $(v_e)$ के सापेक्ष होता है।
यदि $v < v_c$ है,तो उपग्रह पृथ्वी पर वापस गिर जाएगा।
यदि $v = v_c$ है,तो उपग्रह एक वृत्ताकार कक्षा में परिक्रमा करेगा।
यदि $v_c < v < v_e$ है,तो उपग्रह पृथ्वी को एक फोकस के रूप में रखते हुए दीर्घवृत्ताकार कक्षा में परिक्रमा करेगा।
यदि $v = v_e$ है,तो उपग्रह पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र से बाहर निकल जाएगा।
इसलिए,यदि क्षैतिज वेग क्रांतिक वेग से अधिक लेकिन पलायन वेग से कम है,तो उपग्रह दीर्घवृत्ताकार कक्षा में परिक्रमा करेगा।

(A) नियत आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा,$C_{V}$,का सूत्र $C_{V} = f \times \frac{R}{2}$ होता है,जहाँ $f$ स्वतंत्रता की कोटि की संख्या है।
यहाँ $f = 6$ दिया गया है,इसलिए सूत्र में मान रखने पर:
$C_{V} = 6 \times \frac{R}{2} = 3R$.
इस समीकरण को $R$ के लिए व्यवस्थित करने पर:
$R = \frac{C_{V}}{3}$.

(C) एक आदर्श गैस के लिए,स्थिर आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C_v = \frac{f}{2} R$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $f$ स्वतंत्रता की कोटि (degree of freedom) है।
इस सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $R = \frac{2}{f} C_v$ प्राप्त होता है।
दिए गए समीकरण $R = \frac{2}{3} C_v$ के साथ तुलना करने पर,हम पाते हैं कि $f = 3$ है।
$3$ स्वतंत्रता की कोटि वाली गैस एकपरमाणुक होती है (उदाहरण के लिए,हीलियम या नियॉन जैसी अक्रिय गैसें)।

(A) एक आदर्श गैस के लिए,स्थिर दाब पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $(C_{P})$ और स्थिर आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $(C_{V})$ के बीच संबंध मेयर के संबंध द्वारा दिया जाता है: $C_{P} - C_{V} = R$.
इससे,हम लिख सकते हैं कि $C_{P} = C_{V} + R$. इसलिए,विकल्प $(A)$ में दिया गया व्यंजक $C_{V} = C_{P} + R$ गलत है।
आइए अन्य विकल्पों की जाँच करें:
$(B)$ $R = C_{P} - C_{V}$. चूंकि $\gamma = \frac{C_{P}}{C_{V}}$,इसलिए $C_{P} = \gamma C_{V}$. इसे प्रतिस्थापित करने पर,$R = \gamma C_{V} - C_{V} = C_{V}(\gamma - 1)$. यह सही है।
$(C)$ $\frac{C_{V}}{C_{P}} = \frac{1}{\gamma}$. चूंकि $\gamma = \frac{C_{P}}{C_{V}}$,इसलिए यह सही है।
$(D)$ $R = C_{P} - C_{V} = C_{P} - \frac{C_{P}}{\gamma} = C_{P}(1 - \frac{1}{\gamma}) = C_{P}(\frac{\gamma - 1}{\gamma})$. यह सही है।

(B) एक आदर्श गैस की प्रति मोल गतिज ऊर्जा का सूत्र $E = \frac{3}{2} RT$ होता है,जहाँ $R$ सार्वत्रिक गैस नियतांक है और $T$ परम तापमान है।
$R$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर:
$R = \frac{2 E}{3 T}$

(C) आदर्श गैस द्वारा लगाया गया दबाव $P = \frac{1}{3} \rho v_{rms}^2$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\rho$ घनत्व है और $v_{rms}$ रूट मीन स्क्वायर वेग है।
चूंकि दबाव $P_1$ और $P_2$ समान हैं,इसलिए $P_1 = P_2$ है।
अतः,$\frac{1}{3} \rho_1 v_{rms,1}^2 = \frac{1}{3} \rho_2 v_{rms,2}^2$ होगा।
यह समीकरण $\rho_1 v_{rms,1}^2 = \rho_2 v_{rms,2}^2$ में सरल हो जाता है।
वेग के अनुपात के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\frac{v_{rms,1}^2}{v_{rms,2}^2} = \frac{\rho_2}{\rho_1}$ प्राप्त होता है।
घनत्व का अनुपात $\rho_1 : \rho_2 = 1 : 16$ दिया गया है,इसलिए $\frac{\rho_2}{\rho_1} = \frac{16}{1} = 16$ होगा।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,$\frac{v_{rms,1}}{v_{rms,2}} = \sqrt{16} = 4$ प्राप्त होता है।
इसलिए,उनके r.m.s. वेग का अनुपात $4:1$ है।

(B) गैस के एक अणु की स्थानांतरीय गतिज ऊर्जा का सूत्र $E = \frac{3}{2}kT$ है,जहाँ $k$ बोल्ट्ज़मैन नियतांक है और $T$ परम ताप है।
इस संबंध से यह स्पष्ट है कि गतिज ऊर्जा $E$,परम ताप $T$ के सीधे समानुपाती होती है $(E \propto T)$।
गतिज ऊर्जा को दोगुना करने के लिए $(E' = 2E)$,हमें परम ताप को भी दोगुना करना होगा $(T' = 2T)$।
अतः,तापमान को $2T$ तक बढ़ाया जाना चाहिए।

(A) गैस के एक अणु की औसत स्थानांतरीय गतिज ऊर्जा $K.E. = \frac{3}{2} kT$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि $k = \frac{R}{N}$,इसलिए $K.E. = \frac{3}{2} \frac{RT}{N}$ होगा।
$V$ वोल्ट के विभवांतर से त्वरित इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा $K.E. = eV$ होती है।
दोनों ऊर्जाओं को बराबर करने पर:
$\frac{3}{2} \frac{RT}{N} = eV$
$T$ के लिए हल करने पर:
$T = \frac{2 eVN}{3 R}$ प्राप्त होता है।

(B) यह प्रक्रिया समतापीय है,जिसका अर्थ है कि पूरी प्रक्रिया के दौरान गैस का तापमान $T$ स्थिर रहता है।
गैस के अणुओं की $rms$ चाल का सूत्र $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ है।
चूंकि $R$ (सार्वत्रिक गैस नियतांक),$M$ (मोलर द्रव्यमान),और $T$ (तापमान) स्थिर हैं,इसलिए $rms$ चाल अपरिवर्तित रहती है।

(B) एक आदर्श गैस का रूट मीन स्क्वायर (r.m.s.) वेग निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$V = \sqrt{\frac{3RT}{M_0}}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, हमें प्राप्त होता है:
$V^2 = \frac{3RT}{M_0}$
$V$ और $T$ चरों को अलग करने के लिए पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$\frac{V^2}{T} = \frac{3R}{M_0}$
चूंकि $R$ (सार्वत्रिक गैस नियतांक) और $M_0$ (मोलर द्रव्यमान) दी गई गैस के लिए नियतांक हैं, इसलिए अनुपात $\frac{3R}{M_0}$ भी एक नियतांक है।
अतः, $\frac{V^2}{T} = \text{नियतांक}$।

(A) गैस के अणु की वर्ग माध्य मूल चाल $(v_{rms})$ का सूत्र इस प्रकार है:
$v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$
जहाँ $R$ सार्वत्रिक गैस नियतांक है,$T$ परम तापमान है,और $M$ मोलर द्रव्यमान है।
चूंकि $M = m \times N_A$ (जहाँ $m$ एक अणु का द्रव्यमान है और $N_A$ आवोगाद्रो संख्या है),हम इसे समीकरण में प्रतिस्थापित कर सकते हैं:
$v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{mN_A}}$
चूंकि $3$,$R$,और $N_A$ नियतांक हैं,इसलिए हमें प्राप्त होता है:
$v_{rms} \propto \sqrt{\frac{T}{m}}$
$v_{rms} \propto m^{-\frac{1}{2}} T^{\frac{1}{2}}$

(B) आदर्श गैस द्वारा लगाया गया दबाव $P = \frac{1}{3} \rho c^2$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\rho$ घनत्व है और $c$ रूट मीन स्क्वायर (rms) चाल है।
चूँकि दबाव समान हैं,हमारे पास $P_1 = P_2$ है।
इसलिए,$\frac{1}{3} \rho_1 c_1^2 = \frac{1}{3} \rho_2 c_2^2$ होगा।
इसे सरल करने पर $\frac{c_1^2}{c_2^2} = \frac{\rho_2}{\rho_1}$ प्राप्त होता है।
घनत्वों का अनुपात $\rho_1 : \rho_2 = 1 : 16$ दिया गया है,इसलिए $\frac{\rho_2}{\rho_1} = \frac{16}{1} = 16$ है।
इस मान को समीकरण में रखने पर,हमें $\frac{c_1^2}{c_2^2} = 16$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,$\frac{c_1}{c_2} = \sqrt{16} = 4$ प्राप्त होता है।
अतः,उनकी rms चालों का अनुपात $(c_1: c_2)$ $4: 1$ है।

(A) गैस के अणु की रूट मीन स्क्वायर (rms) चाल का सूत्र $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ है,जहाँ $R$ सार्वत्रिक गैस नियतांक है,$T$ परम तापमान है और $M$ गैस का मोलर द्रव्यमान है।
चूंकि rms चाल केवल तापमान $T$ और गैस के मोलर द्रव्यमान $M$ पर निर्भर करती है,इसलिए यह गैस के दाब $P$ से स्वतंत्र है।
यह दिया गया है कि तापमान स्थिर रहता है,इसलिए दाब बढ़ाने पर भी rms चाल में कोई परिवर्तन नहीं होगा।
अतः,नई rms चाल $V$ ही रहेगी।

(D) गैस के अणु की रूट मीन स्क्वायर (r.m.s) चाल का सूत्र: $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ है।
यहाँ,$R$ सार्वत्रिक गैस नियतांक है,$T$ केल्विन में निरपेक्ष तापमान है,और $M$ मोलर द्रव्यमान है।
हीलियम $(He)$ के लिए: $M_{He} = 4$,$T_{He} = 327^{\circ} C = 327 + 273 = 600 \ K$.
ऑक्सीजन $(O_2)$ के लिए: $M_{O} = 32$,$T_{O} = 27^{\circ} C = 27 + 273 = 300 \ K$.
r.m.s चाल का अनुपात:
$\frac{v_{He}}{v_{O}} = \sqrt{\frac{T_{He}}{T_{O}} \times \frac{M_{O}}{M_{He}}} = \sqrt{\frac{600}{300} \times \frac{32}{4}} = \sqrt{2 \times 8} = \sqrt{16} = 4$.
अतः,अनुपात $4:1$ है।

(D) माना व्यक्ति का द्रव्यमान $m$ है और गुरुत्वीय त्वरण $g$ है।
जब लिफ्ट $a$ त्वरण के साथ ऊपर की ओर गति करती है, तो आभासी वजन $W_1 = m(g + a) = 620 \,N$ होता है --- $(i)$
जब लिफ्ट उसी त्वरण $a$ के साथ नीचे की ओर गति करती है, तो आभासी वजन $W_2 = m(g - a) = 340 \,N$ होता है --- (ii)
समीकरण $(i)$ और (ii) को जोड़ने पर:
$m(g + a) + m(g - a) = 620 + 340$
$mg + ma + mg - ma = 960$
$2mg = 960$
$mg = 480 \,N$
अतः, व्यक्ति का वास्तविक वजन $480 \,N$ है।

(B) गतिज ऊर्जा $K$ और संवेग $p$ के बीच का संबंध $K = \frac{p^2}{2m}$ है।
संवेग के लिए इस सूत्र को व्यवस्थित करने पर,हमें $p^2 = 2mK$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $p = \sqrt{2mK}$।
चूंकि तीनों पिंडों की गतिज ऊर्जा समान है ($K$ स्थिर है),इसलिए संवेग द्रव्यमान के वर्गमूल के सीधे आनुपातिक है: $p \propto \sqrt{m}$।
द्रव्यमानों की तुलना करने पर: $m_P = m$,$m_Q = 2m$,और $m_R = 3m$।
चूंकि $m_R > m_Q > m_P$,इसलिए $p_R > p_Q > p_P$ होगा।
अतः,सबसे अधिक द्रव्यमान वाला पिंड $R$ सबसे अधिक संवेग रखेगा।

(A) $F-t$ ग्राफ के अंतर्गत आने वाला क्षेत्रफल आवेग (impulse) को दर्शाता है, जो पिंड के संवेग में परिवर्तन के बराबर होता है।
चूंकि पिंड प्रारंभ में विराम अवस्था में है, इसलिए आवेग $1 \,s$ के बाद पिंड के अंतिम संवेग के बराबर होगा।
$\text{आवेग} = F-t \text{ ग्राफ के अंतर्गत क्षेत्रफल}$
$\text{आवेग} = (10 \,N \times 0.5 \,s) + (20 \,N \times 0.5 \,s)$
$\text{आवेग} = 5 \,N-s + 10 \,N-s = 15 \,N-s$
चूंकि $\text{आवेग} = \Delta p = m \times v - m \times u$ और $u = 0$ है, इसलिए:
$15 = 2 \,kg \times v$
$v = \frac{15}{2} = 7.5 \,m/s$

(C) वृत्ताकार कक्षा में गति करने वाले कण के लिए,अभिकेंद्र बल केंद्रीय आकर्षण बल द्वारा प्रदान किया जाता है।
दिया गया है $F = \frac{k}{r}$,अभिकेंद्र बल का परिमाण $F_c = m r \omega^2$ है।
दोनों को बराबर करने पर: $m r \omega^2 = \frac{k}{r}$।
कोणीय वेग $\omega$ के लिए व्यवस्थित करने पर: $\omega^2 = \frac{k}{m r^2}$।
वर्गमूल लेने पर: $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}} \cdot \frac{1}{r}$।
चूंकि आवर्तकाल $T = \frac{2\pi}{\omega}$ होता है,इसलिए हमें प्राप्त होता है $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}} \cdot r$।
अतः,$T \propto r$।

(D) बैंकिंग का कोण $\theta$,$\tan \theta = \frac{h}{x}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $h$ बाहरी रेल की ऊँचाई है और $x$ रेलवे लाइन का गेज है।
दिया गया है,गेज $x = 1 \text{ m}$ और $\tan \theta = \frac{1}{20}$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\frac{1}{20} = \frac{h}{1 \text{ m}}$
$h = \frac{1}{20} \text{ m} = 0.05 \text{ m}$।
इसे सेंटीमीटर में बदलने पर:
$h = 0.05 \times 100 \text{ cm} = 5 \text{ cm}$।
अतः,आंतरिक रेल के ऊपर बाहरी रेल की ऊँचाई $5 \text{ cm}$ है।

(D) माना लोलक की लंबाई $r$ है। जब गोलक को माध्य स्थिति से $90^{\circ}$ पर विस्थापित किया जाता है,तो निम्नतम बिंदु के सापेक्ष इसकी ऊँचाई $r$ होती है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,उच्चतम बिंदु पर स्थितिज ऊर्जा निम्नतम बिंदु पर गतिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है:
$PE_{top} = KE_{bottom}$
$mgr = \frac{1}{2}mv^2$
$mv^2 = 2mgr$
निम्नतम स्थिति में,गोलक पर कार्य करने वाले बल तनाव $T$ (ऊपर की ओर) और भार $mg$ (नीचे की ओर) हैं। परिणामी बल अभिकेंद्र बल प्रदान करता है:
$T - mg = \frac{mv^2}{r}$
$T = mg + \frac{mv^2}{r}$
समीकरण में $mv^2 = 2mgr$ रखने पर:
$T = mg + \frac{2mgr}{r} = mg + 2mg = 3mg$.

(B) जब लिफ्ट स्थिर होती है, तो स्प्रिंग बैलेंस का पाठ्यांक बैग के भार के बराबर होता है: $W = mg = 49 \,N$.
$g = 9.8 \,m/s^2$ दिए जाने पर, बैग का द्रव्यमान $m = \frac{49}{9.8} = 5 \,kg$ है।
जब लिफ्ट $a = 5 \,m/s^2$ के त्वरण के साथ नीचे की ओर गति करती है, तो आभासी भार $T$ को इस सूत्र द्वारा ज्ञात किया जाता है: $T = m(g - a)$.
मान रखने पर: $T = 5(9.8 - 5)$.
$T = 5(4.8) = 24 \,N$.
अतः, स्प्रिंग बैलेंस का पाठ्यांक $24 \,N$ होगा।

(B) केशिका नली में पानी जिस ऊँचाई $h$ तक ऊपर चढ़ता है,वह $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ सूत्र द्वारा दी जाती है,जिसका अर्थ है कि $h \propto \frac{1}{r}$।
केशिका में पानी का द्रव्यमान $m = \text{आयतन} \times \text{घनत्व} = (\pi r^2 h) \rho$ होता है।
द्रव्यमान के समीकरण में $h \propto \frac{1}{r}$ रखने पर,हमें $m \propto r^2 \times \frac{1}{r}$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $m \propto r$ हो जाता है।
नई त्रिज्या $r' = \frac{r}{3}$ के लिए,नया द्रव्यमान $m' = m \times \frac{r'}{r} = m \times \frac{r/3}{r} = \frac{m}{3}$ होगा।

(C) केशिका नली में पानी के चढ़ने की ऊँचाई का सूत्र $h = \frac{2 T \cos \theta}{r \rho g}$ है।
इससे स्पष्ट है कि $h \propto \frac{1}{r}$ होता है।
अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ है,जिसका अर्थ है $r \propto \sqrt{A}$।
अतः,$h \propto \frac{1}{\sqrt{A}}$ होगा।
प्रारंभिक क्षेत्रफल $A_1 = A$ और अंतिम क्षेत्रफल $A_2 = \frac{A}{9}$ है।
अनुपात लेने पर: $\frac{h_2}{h_1} = \sqrt{\frac{A_1}{A_2}} = \sqrt{\frac{A}{A/9}} = \sqrt{9} = 3$।
अतः,नई ऊँचाई $h_2 = 3 h$ होगी।

(B) पानी की बूंद के अंदर अतिरिक्त दबाव का सूत्र है: $P = \frac{2T}{R}$,जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है और $R$ बूंद की त्रिज्या है।
दिया गया है:
अतिरिक्त दबाव $P = 72 \ Nm^{-2}$
पृष्ठ तनाव $T = 7.2 \times 10^{-2} \ Nm^{-1}$
सूत्र में मान रखने पर:
$72 = \frac{2 \times 7.2 \times 10^{-2}}{R}$
$R = \frac{2 \times 7.2 \times 10^{-2}}{72}$
$R = \frac{14.4 \times 10^{-2}}{72}$
$R = 0.2 \times 10^{-2} \ m = 2 \times 10^{-3} \ m$
चूँकि $1 \ mm = 10^{-3} \ m$,इसलिए $R = 2 \ mm$।

(A) माना बड़ी बूंद की त्रिज्या $R$ है और प्रत्येक छोटी बूंद की त्रिज्या $r$ है।
चूंकि आयतन स्थिर रहता है,इसलिए $\frac{4}{3} \pi R^3 = 512 \times \frac{4}{3} \pi r^3$.
यह $R^3 = 512 r^3$ में सरल होता है,जिससे $R = 8r$ या $r = \frac{R}{8}$ प्राप्त होता है।
प्रारंभिक पृष्ठीय ऊर्जा $U = 4 \pi R^2 T$ है,जहाँ $T$ पृष्ठीय तनाव है।
नई पृष्ठीय ऊर्जा $U'$ $512$ बूंदों की पृष्ठीय ऊर्जा का योग है: $U' = 512 \times (4 \pi r^2 T)$.
$r = \frac{R}{8}$ का मान रखने पर: $U' = 512 \times 4 \pi (\frac{R}{8})^2 T$.
$U' = 512 \times 4 \pi \frac{R^2}{64} T = 8 \times (4 \pi R^2 T) = 8 U$.

(B) $RL$ परिपथ में वोल्टेज और धारा के बीच कलांतर (phase difference) $\phi$ को $\tan \phi = \frac{X_L}{R}$ द्वारा दर्शाया जाता है।
यहाँ $\phi = 45^{\circ}$,$R = 100 \ \Omega$,और $f = 1000 \ Hz$ दिया गया है।
चूंकि $\tan 45^{\circ} = 1$,इसलिए $X_L = R$ होगा।
$X_L = 2 \pi f L$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $2 \pi f L = R$ प्राप्त होता है।
अतः,$L = \frac{R}{2 \pi f}$।
मान रखने पर: $L = \frac{100}{2 \pi \times 1000} = \frac{100}{2000 \pi} = \frac{1}{20 \pi} = \frac{0.05}{\pi} \ H$।

(D) जब धारिता को हटा दिया जाता है,तो परिपथ एक $LR$ परिपथ बन जाता है। कलांतर (phase difference) $\tan \phi = \frac{X_L}{R}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $\phi = 60^{\circ}$,इसलिए $\tan 60^{\circ} = \frac{X_L}{R} = \sqrt{3}$,जिससे $X_L = R\sqrt{3}$ प्राप्त होता है।
जब प्रेरकत्व को हटा दिया जाता है,तो परिपथ एक $RC$ परिपथ बन जाता है। कलांतर $\tan \phi = \frac{X_C}{R}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $\phi = 60^{\circ}$,इसलिए $\tan 60^{\circ} = \frac{X_C}{R} = \sqrt{3}$,जिससे $X_C = R\sqrt{3}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $X_L = X_C$ है,इसलिए परिपथ अनुनाद (resonance) की स्थिति में है।
अनुनाद पर,प्रतिबाधा $Z = R$ होती है।
$R = 500 \ \Omega$ दिया गया है,इसलिए प्रतिबाधा $Z = 500 \ \Omega$ होगी।

(D) $50 \, Hz$ पर इंडक्टर कॉइल के लिए:
$X_L = \frac{V}{I} = \frac{100}{8} = 12.5 \, \Omega$.
प्रतिरोधक के लिए:
$R = \frac{V}{I} = \frac{100}{10} = 10 \, \Omega$.
नई आवृत्ति $f' = 40 \, Hz$ पर, नया इंडक्टिव रिएक्टेंस $X_L'$:
$X_L' = X_L \times \frac{f'}{f} = 12.5 \times \frac{40}{50} = 10 \, \Omega$.
जब श्रेणीक्रम में जोड़ा जाता है, तो प्रतिबाधा $Z$:
$Z = \sqrt{R^2 + (X_L')^2} = \sqrt{10^2 + 10^2} = 10\sqrt{2} \, \Omega$.
श्रेणी परिपथ में धारा $I$:
$I = \frac{V}{Z} = \frac{100}{10\sqrt{2}} = \frac{10}{\sqrt{2}} = 5\sqrt{2} \, A$.

(A) प्रारंभिक प्रतिबाधा (impedance) $Z = \sqrt{R^2 + X_c^2}$ है,जहाँ $X_c = \frac{1}{\omega C}$ है।
प्रारंभिक धारा $I = \frac{V}{Z}$ है।
जब आवृत्ति बदलकर $\omega' = \frac{\omega}{3}$ हो जाती है,तो नया धारिता प्रतिघात $X_c' = \frac{1}{\omega' C} = \frac{1}{(\omega/3) C} = 3X_c$ होता है।
नई प्रतिबाधा $Z' = \sqrt{R^2 + (X_c')^2} = \sqrt{R^2 + (3X_c)^2}$ है।
दिया गया है कि नई धारा $I' = \frac{I}{2}$ है,इसलिए $\frac{V}{Z'} = \frac{1}{2} \frac{V}{Z}$,जिसका अर्थ है $Z' = 2Z$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$(Z')^2 = 4Z^2$,इसलिए $R^2 + 9X_c^2 = 4(R^2 + X_c^2)$।
$R^2 + 9X_c^2 = 4R^2 + 4X_c^2$।
$5X_c^2 = 3R^2$।
$\frac{X_c^2}{R^2} = \frac{3}{5} = 0.6$।
अतः,अनुपात $\frac{X_c}{R} = \sqrt{0.6}$ है।

(C) एक a.c. परिपथ में,जब विद्युत वाहक बल $(e)$ और धारा $(i)$ एक ही समय पर अपने शून्य,न्यूनतम और अधिकतम मान प्राप्त करते हैं,तो यह दर्शाता है कि उनके बीच कोई कलांतर (phase difference) नहीं है।
इसका अर्थ है कि कला कोण $\phi = 0$ है।
एक शुद्ध प्रतिरोधक परिपथ में,वोल्टेज और धारा हमेशा समान कला (in phase) में होते हैं।
इसलिए,स्रोत से जुड़ा परिपथ घटक एक शुद्ध प्रतिरोधक होना चाहिए।

(D) $LCR$ श्रेणी अनुनादी परिपथ में,प्रेरक $(V_L)$ के सिरों पर विभवांतर धारा से $90^{\circ}$ आगे होता है,जबकि संधारित्र $(V_C)$ के सिरों पर विभवांतर धारा से $90^{\circ}$ पीछे होता है।
इसलिए,$V_L$ और $V_C$ के बीच का कलांतर $90^{\circ} - (-90^{\circ}) = 180^{\circ}$ है।
चूंकि वे $180^{\circ}$ के कलांतर पर हैं,वे विपरीत दिशाओं में कार्य करते हैं।
अनुनाद पर,प्रेरणिक प्रतिघात धारितीय प्रतिघात के बराबर होता है $(X_L = X_C)$,जिसका अर्थ है कि $V_L = V_C$।
क्योंकि वे परिमाण में समान हैं और $180^{\circ}$ के कलांतर पर हैं,वे एक-दूसरे को रद्द कर देते हैं।

(D) प्रारंभिक प्रतिबाधा (impedance) $Z = \sqrt{R^2 + X_c^2}$ है,जहाँ $X_c = \frac{1}{\omega C}$ है। प्रारंभिक धारा $I = \frac{V}{Z}$ है।
जब आवृत्ति बदलकर $\omega' = \frac{\omega}{3}$ हो जाती है,तो नया प्रतिघात $X_c' = \frac{1}{\omega' C} = \frac{1}{(\omega/3)C} = 3X_c$ होता है।
नई प्रतिबाधा $Z' = \sqrt{R^2 + (3X_c)^2} = \sqrt{R^2 + 9X_c^2}$ है।
नई धारा $I' = \frac{V}{Z'} = \frac{I}{2}$ है,जिसका अर्थ है कि $Z' = 2Z$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$Z'^2 = 4Z^2$,इसलिए $R^2 + 9X_c^2 = 4(R^2 + X_c^2)$ है।
$R^2 + 9X_c^2 = 4R^2 + 4X_c^2$ है।
$5X_c^2 = 3R^2$ है।
$\frac{X_c^2}{R^2} = \frac{3}{5}$ है।
अतः,अनुपात $\frac{X_c}{R} = \sqrt{\frac{3}{5}}$ है।

(B) श्रेणी $RL$ परिपथ में,वोल्टेज और धारा के बीच कला कोण $\phi$ को सूत्र $\tan \phi = \frac{X_L}{R}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ कला कोण $\phi = 45^{\circ}$ और प्रतिरोध $R = 40 \ \Omega$ दिया गया है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\tan 45^{\circ} = \frac{X_L}{40}$.
चूंकि $\tan 45^{\circ} = 1$,इसलिए:
$1 = \frac{X_L}{40}$.
अतः,प्रेरणिक प्रतिघात $X_L = 40 \ \Omega$ होगा।

(C) संधारित्र में संचित ऊर्जा $U_E = \frac{1}{2}CV^2$ है।
जब संधारित्र को प्रेरक से जोड़ा जाता है,तो ऊर्जा संधारित्र के विद्युत क्षेत्र और प्रेरक के चुंबकीय क्षेत्र के बीच दोलन करती है।
अधिकतम धारा $i_0$ के क्षण पर,पूरी ऊर्जा प्रेरक में चुंबकीय ऊर्जा $U_B = \frac{1}{2}Li_0^2$ के रूप में संचित हो जाती है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार: $\frac{1}{2}CV^2 = \frac{1}{2}Li_0^2$।
$i_0$ के लिए हल करने पर: $i_0^2 = \frac{CV^2}{L} \implies i_0 = V \sqrt{\frac{C}{L}}$।

(D) श्रेणी $LCR$ परिपथ में,प्रतिबाधा $Z$ को $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2} = \sqrt{R^2 + (2\pi fL - \frac{1}{2\pi fC})^2}$ द्वारा दिया जाता है।
$r.m.s.$ धारा $I = \frac{V}{Z} = \frac{V}{\sqrt{R^2 + (2\pi fL - \frac{1}{2\pi fC})^2}}$ है।
अनुनाद पर,प्रेरणिक प्रतिघात $X_L$ धारितीय प्रतिघात $X_C$ के बराबर होता है,जिससे प्रतिबाधा $Z$ न्यूनतम $(Z = R)$ हो जाती है।
परिणामस्वरूप,अनुनाद आवृत्ति $f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$ पर धारा $I$ अधिकतम हो जाती है।
जैसे-जैसे आवृत्ति $f$ शून्य से बढ़ती है,धारा पहले बढ़ती है,अनुनाद पर अधिकतम मान प्राप्त करती है और फिर घटती है। इस व्यवहार को ग्राफ $S$ द्वारा सही ढंग से दर्शाया गया है।

(D) श्रेणीक्रम में जुड़े एक प्रेरक $L$ और एक प्रतिरोधक $R$ वाले परिपथ के दिए गए भाग के लिए,बिंदुओं $A$ और $B$ के बीच विभवांतर निम्नलिखित समीकरण द्वारा दिया जाता है:
$V_A - V_B = L \frac{dI}{dt} + IR$
दिए गए मान $V_A - V_B = 0.5 \ V$,$I = 0.5 \ A$,$R = 0.2 \ \Omega$,और $\frac{dI}{dt} = 8 \ A/s$ हैं।
इन मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$0.5 = L(8) + (0.5)(0.2)$
$0.5 = 8L + 0.1$
$8L = 0.5 - 0.1$
$8L = 0.4$
$L = \frac{0.4}{8} = 0.05 \ H$
अतः,कुंडली का प्रेरकत्व $0.05 \ H$ है।

(C) दिया गया वोल्टेज $V = 20 \cos (2000 t)$,इसे $V = V_0 \cos (\omega t)$ से तुलना करने पर,हमें शिखर वोल्टेज $V_0 = 20 \text{ V}$ और कोणीय आवृत्ति $\omega = 2000 \text{ rad/s}$ प्राप्त होती है।
परिपथ से,कुल प्रतिरोध $R = 10 \Omega + 5 \Omega = 15 \Omega$,प्रेरकत्व $L = 5 \text{ mH} = 5 \times 10^{-3} \text{ H}$,और धारिता $C = 50 \mu\text{F} = 50 \times 10^{-6} \text{ F}$ है।
प्रेरकीय प्रतिघात $X_L = \omega L = 2000 \times 5 \times 10^{-3} = 10 \Omega$ है।
धारितीय प्रतिघात $X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{2000 \times 50 \times 10^{-6}} = \frac{1}{0.1} = 10 \Omega$ है।
चूंकि $X_L = X_C$,परिपथ अनुनाद (resonance) में है,और प्रतिबाधा $Z = R = 15 \Omega$ है।
शिखर धारा $I_0 = \frac{V_0}{Z} = \frac{20}{15} = \frac{4}{3} \text{ A}$ है।
r.m.s. धारा $I_{rms} = \frac{I_0}{\sqrt{2}} = \frac{4/3}{\sqrt{2}} = \frac{2 \sqrt{2}}{3} \text{ A}$ है।

(C) $LCR$ श्रेणी परिपथ में,प्रेरक (inductor) के सिरों पर वोल्टेज $V_L$ और संधारित्र (capacitor) के सिरों पर वोल्टेज $V_C$ एक-दूसरे के साथ $180^{\circ}$ के कलांतर (phase difference) पर होते हैं।
दिया गया है कि $V_L = 60 \,V$ और $V_C = 60 \,V$ है।
$LC$ संयोजन के सिरों पर परिणामी वोल्टेज $V_{LC} = |V_L - V_C|$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,हमें $V_{LC} = |60 \,V - 60 \,V| = 0 \,V$ प्राप्त होता है।
अतः,$LC$ संयोजन के सिरों पर वोल्टेज $0 \,V$ है।

(A) श्रेणी $LCR$ परिपथ में,धारा $I$ सभी घटकों के लिए समान होती है।
$1$. प्रतिरोधक $(V_R)$ के सिरों पर विभवांतर धारा $I$ के साथ समान कला में होता है।
$2$. संधारित्र $(V_C)$ के सिरों पर विभवांतर धारा $I$ से $\frac{\pi}{2}$ पीछे होता है।
$3$. प्रेरक $(V_L)$ के सिरों पर विभवांतर धारा $I$ से $\frac{\pi}{2}$ आगे होता है।
विकल्पों का मूल्यांकन:
$(A)$ $R$ $(V_R)$ के सिरों पर विभवांतर $I$ के साथ समान कला में है,और संधारित्र $(V_C)$ के सिरों पर विभवांतर $I$ से $\frac{\pi}{2}$ पीछे है। अतः,$V_R$ और $V_C$ के बीच कलान्तर $\frac{\pi}{2}$ है। यह सही है।
$(B)$ आरोपित e.m.f. $(V)$ धारा $I$ से $\phi$ कोण आगे या पीछे होता है,जबकि $V_R$,$I$ के साथ समान कला में होता है। अतः,$V$ और $V_R$ समान कला में नहीं हैं। यह गलत है।
$(C)$ आरोपित e.m.f. $(V)$ और $V_L$ के बीच कलान्तर $(\frac{\pi}{2} - \phi)$ होता है। यह गलत है।
$(D)$ $V_L$,$I$ से $\frac{\pi}{2}$ आगे है और $V_C$,$I$ से $\frac{\pi}{2}$ पीछे है। अतः,$V_L$ और $V_C$ के बीच कलान्तर $\pi$ है। यह गलत है।

(D) श्रेणी $RLC$ परिपथ के लिए,अनुनादी आवृत्ति $\omega_r = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ द्वारा दी जाती है।
यह दिया गया है कि दोनों परिपथों की अनुनादी आवृत्ति $f_r$ समान है,इसलिए:
$\omega_r = \frac{1}{\sqrt{L_1 C_1}} = \frac{1}{\sqrt{L_2 C_2}} \implies L_1 C_1 = L_2 C_2$.
जब दोनों परिपथों को श्रेणीक्रम में जोड़ा जाता है,तो तुल्य प्रेरकत्व $L_{eq} = L_1 + L_2$ और तुल्य धारिता $C_{eq} = \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2}$ होती है।
नई अनुनादी आवृत्ति $\omega'$ इस प्रकार है:
$\omega' = \frac{1}{\sqrt{L_{eq} C_{eq}}} = \frac{1}{\sqrt{(L_1 + L_2) \cdot \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2}}}$
$L_1 = \frac{L_2 C_2}{C_1}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\omega' = \frac{1}{\sqrt{(\frac{L_2 C_2}{C_1} + L_2) \cdot \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2}}} = \frac{1}{\sqrt{L_2 C_2 (\frac{C_2 + C_1}{C_1}) \cdot \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2}}} = \frac{1}{\sqrt{L_2 C_2}} = \omega_r$.
अतः,नई अनुनादी आवृत्ति $f_r$ ही रहेगी।

(A) अनुनाद पर,परिपथ की प्रतिबाधा (impedance) प्रतिरोध के बराबर होती है,$Z = R$.
चूंकि परिपथ श्रेणीक्रम में है,इसलिए धारा $I$ सभी घटकों में समान रहती है।
$I = \frac{V_R}{R} = \frac{60 \ V}{120 \ \Omega} = 0.5 \ A$.
अनुनाद पर,प्रेरणिक प्रतिघात (inductive reactance) $X_L = \frac{V_L}{I}$ द्वारा दिया जाता है।
$X_L = \frac{40 \ V}{0.5 \ A} = 80 \ \Omega$.
हम जानते हैं कि $X_L = \omega L$,जहाँ $\omega = 4 \times 10^5 \ rad \ s^{-1}$ है।
$L = \frac{X_L}{\omega} = \frac{80}{4 \times 10^5} = 20 \times 10^{-5} \ H$.
$L = 2 \times 10^{-4} \ H = 0.2 \times 10^{-3} \ H = 0.2 \ mH$.

(A) श्रेणी $LCR$ परिपथ में,प्रतिबाधा $Z$ का मान $Z = \sqrt{R^2 + (\omega L - 1/\omega C)^2}$ होता है।
अनुनाद पर,प्रेरणिक प्रतिघात और धारितीय प्रतिघात बराबर होते हैं,अर्थात $\omega L = 1/\omega C$।
इसलिए,कुल प्रतिघात $(\omega L - 1/\omega C)$ शून्य हो जाता है।
इस मान को प्रतिबाधा के सूत्र में रखने पर,हमें $Z = \sqrt{R^2 + 0^2} = R$ प्राप्त होता है।
शिखर धारा $I_0$ का सूत्र $I_0 = E_0 / Z$ है।
$Z = R$ रखने पर,हमें $I_0 = E_0 / R$ प्राप्त होता है।

(D) जब d.c. वोल्टेज लगाया जाता है, तो कुंडली एक शुद्ध प्रतिरोधक के रूप में कार्य करती है क्योंकि $f = 0$ के लिए प्रेरणिक प्रतिघात $X_L = 2 \pi f L = 0$ होता है।
$R = \frac{V}{I_{dc}} = \frac{200}{1} = 200 \, \Omega$
जब a.c. वोल्टेज लगाया जाता है, तो $LR$ परिपथ की प्रतिबाधा $Z$ इस प्रकार दी जाती है:
$Z = \frac{V}{I_{ac}} = \frac{200}{0.5} = 400 \, \Omega$
प्रतिबाधा, प्रतिरोध और प्रेरणिक प्रतिघात के साथ $Z^2 = R^2 + X_L^2$ द्वारा संबंधित है।
$(400)^2 = (200)^2 + X_L^2$
$160000 = 40000 + X_L^2$
$X_L^2 = 120000$
$X_L = \sqrt{120000} = 200 \sqrt{3} \, \Omega$
चूंकि $X_L = 2 \pi f L$, इसलिए:
$2 \pi f \left( \frac{2 \sqrt{3}}{\pi} \right) = 200 \sqrt{3}$
$4 \sqrt{3} f = 200 \sqrt{3}$
$f = \frac{200}{4} = 50 \, Hz$

(B) दिया गया समीकरण $V = 80 \sin(100 \pi t) \cos(100 \pi t)$ है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin(2\theta) = 2 \sin \theta \cos \theta$ का उपयोग करते हुए,हम समीकरण को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$V = 40 \times (2 \sin(100 \pi t) \cos(100 \pi t))$
$V = 40 \sin(200 \pi t)$.
इसकी तुलना प्रत्यावर्ती वोल्टेज के मानक रूप $V = V_0 \sin(\omega t)$ से करने पर,जहाँ $V_0$ शिखर वोल्टेज है,
हमें $V_0 = 40 \text{ V}$ प्राप्त होता है।

(D) तात्कालिक धारा के लिए दिया गया समीकरण $I = 50 \sin(100 \pi t)$ है।
हमें वह समय $t$ ज्ञात करना है जब $I = 25 \ A$ हो।
समीकरण में मान रखने पर:
$25 = 50 \sin(100 \pi t)$
$\frac{25}{50} = \sin(100 \pi t)$
$0.5 = \sin(100 \pi t)$
चूंकि $\sin 30^{\circ} = 0.5$ और $30^{\circ} = \frac{\pi}{6}$ रेडियन होता है,इसलिए:
$100 \pi t = \frac{\pi}{6}$
दोनों पक्षों को $100 \pi$ से विभाजित करने पर:
$t = \frac{\pi}{6 \times 100 \pi}$
$t = \frac{1}{600} \ s$.

(D) प्रेरणिक प्रतिघात $(X_L)$ का सूत्र $X_L = 2 \pi f L$ है,जहाँ $f$ आवृत्ति है और $L$ प्रेरकत्व है।
दिया गया है कि प्रारंभिक प्रेरणिक प्रतिघात $R = 2 \pi f L$ है।
यदि नया प्रेरकत्व $L' = 2L$ और नई आवृत्ति $f' = 2f$ हो,तो नया प्रेरणिक प्रतिघात $X_L'$ होगा:
$X_L' = 2 \pi f' L' = 2 \pi (2f) (2L) = 4 (2 \pi f L) = 4R$.
अतः,नया प्रेरणिक प्रतिघात $4R$ होगा।

(A) संधारित्र परिपथ में r.m.s. धारा $I_{rms} = \frac{V_{rms}}{X_C}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $X_C = \frac{1}{\omega C}$ धारिता प्रतिघात है।
$X_C$ का मान रखने पर,हमें $I_{rms} = V_{rms} \cdot \omega \cdot C$ प्राप्त होता है।
दिए गए मान $V_{rms} = 230 \text{ V}$,$\omega = 300 \text{ rad/s}$,और $C = 100 \text{ pF} = 100 \times 10^{-12} \text{ F}$ हैं।
$I_{rms} = 230 \times 300 \times 100 \times 10^{-12} \text{ A}$.
$I_{rms} = 230 \times 3 \times 10^4 \times 10^{-12} \text{ A}$.
$I_{rms} = 690 \times 10^{-8} \text{ A} = 6.9 \times 10^{-6} \text{ A}$.

(D) प्रत्यावर्ती emf के लिए दिया गया समीकरण $e = e_0 \cos \omega t$ है।
यहाँ शिखर मान $e_0 = 10 \ V$ और आवृत्ति $f = 50 \ Hz$ है।
कोणीय आवृत्ति $\omega = 2 \pi f = 2 \pi \times 50 = 100 \pi \ rad/s$ है।
$t = \frac{1}{600} \ s$ पर समीकरण में मान रखने पर:
$e = 10 \cos(100 \pi \times \frac{1}{600})$
$e = 10 \cos(\frac{\pi}{6})$
चूँकि $\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$,इसलिए:
$e = 10 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 5 \sqrt{3} \ V$.

(B) एक प्रेरक का प्रेरणिक प्रतिघात $X_{L}$,सूत्र $X_{L} = 2 \pi f L$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $f$,$a.c.$ आपूर्ति की आवृत्ति है और $L$ स्व-प्रेरकत्व (self-inductance) है।
इस संबंध से यह स्पष्ट है कि $X_{L} \propto f$ है।
इसलिए,यदि आवृत्ति $f$ बढ़ती है,तो प्रेरणिक प्रतिघात $X_{L}$ भी रैखिक रूप से बढ़ता है।

(A) दिया गया प्रत्यावर्ती e.m.f. समीकरण: $e = e_0 \sin \omega t$.
हमें वह समय $t$ ज्ञात करना है जब $e = \frac{e_0}{2}$ हो।
समीकरण में मान रखने पर: $\frac{e_0}{2} = e_0 \sin \omega t$.
यह सरल होकर बनता है: $\sin \omega t = \frac{1}{2}$.
चूंकि $\sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$,इसलिए $\omega t = 30^{\circ} = \frac{\pi}{6} \text{ रेडियन}$.
$\omega = \frac{2\pi}{T}$ रखने पर: $\left( \frac{2\pi}{T} \right) t = \frac{\pi}{6}$.
$t$ के लिए हल करने पर: $t = \frac{T}{12}$.

(A) $LC$ ऑसिलेटर की आवृत्ति निम्नलिखित सूत्र द्वारा दी जाती है:
$F = \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}}$
इस संबंध से,हम देख सकते हैं कि आवृत्ति $F$,धारिता $C$ के वर्गमूल के व्युत्क्रमानुपाती होती है (अर्थात,$F \propto \frac{1}{\sqrt{C}}$)।
मान लीजिए $F_1 = F$ और $C_1 = 0.1 \ \mu F$ है।
मान लीजिए $F_2$ नई आवृत्ति है और $C_2 = 0.2 \ \mu F$ है।
अनुपात विधि का उपयोग करते हुए:
$\frac{F_2}{F_1} = \sqrt{\frac{C_1}{C_2}}$
$\frac{F_2}{F} = \sqrt{\frac{0.1}{0.2}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$
अतः,$F_2 = \frac{F}{\sqrt{2}} \ Hz$।

(A) प्रयुक्त वोल्टेज $e = e_0 \sin \omega t$ है।
एक प्रेरक (inductor) में,धारा वोल्टेज से $\frac{\pi}{2}$ पीछे रहती है। प्रेरक प्रतिघात $X_L = \omega L$ है। अतः,तात्क्षणिक धारा $i_L$ है:
$i_L = \frac{e_0}{\omega L} \sin \left(\omega t - \frac{\pi}{2}\right) = -\frac{e_0}{\omega L} \cos \omega t$
एक संधारित्र (capacitor) में,धारा वोल्टेज से $\frac{\pi}{2}$ आगे रहती है। धारितीय प्रतिघात $X_C = \frac{1}{\omega C}$ है। अतः,तात्क्षणिक धारा $i_C$ है:
$i_C = \frac{e_0}{X_C} \sin \left(\omega t + \frac{\pi}{2}\right) = e_0 \omega C \cos \omega t$
अतः,धाराएँ $-\frac{e_0}{\omega L} \cos \omega t$ और $e_0 \omega C \cos \omega t$ हैं।

(A) रिजेक्टर सर्किट,जिसे समानांतर अनुनादी परिपथ के रूप में भी जाना जाता है,एक ऐसा परिपथ है जिसमें एक प्रेरक $(L)$ और एक संधारित्र $(C)$ समानांतर में जुड़े होते हैं। अनुनादी आवृत्ति पर,इस समानांतर संयोजन का प्रतिबाधा (impedance) अधिकतम हो जाता है,जो उस विशिष्ट आवृत्ति पर धारा को प्रभावी ढंग से अस्वीकार या अवरुद्ध करता है। इसलिए,रिजेक्टर सर्किट बनाने के लिए $L-C-R$ घटकों को समानांतर में जोड़ा जाता है।

(C) एक आदर्श ट्रांसफार्मर के लिए, इनपुट शक्ति आउटपुट शक्ति के बराबर होती है, अर्थात $P_{in} = P_{out}$.
चूंकि $P = V \times I$, हमारे पास $V_{p}I_{p} = V_{s}I_{s}$ है, जिसका अर्थ है $\frac{V_{s}}{V_{p}} = \frac{I_{p}}{I_{s}}$.
एक स्टेप-डाउन ट्रांसफार्मर में, द्वितीयक वोल्टेज $V_{s}$ प्राथमिक वोल्टेज $V_{p}$ से कम होता है $(V_{s} < V_{p})$।
संबंध $\frac{V_{s}}{V_{p}} = \frac{I_{p}}{I_{s}}$ के अनुसार, यदि $V_{s} < V_{p}$ है, तो $I_{s} > I_{p}$ होगा।
इसलिए, द्वितीयक कुंडली में धारा बढ़ती है।

(C) एक स्टेप-अप ट्रांसफार्मर वोल्टेज को बढ़ाता है,जिसका अर्थ है $V_s > V_p$।
चूंकि एक आदर्श ट्रांसफार्मर में शक्ति संरक्षित रहती है $(P_p = P_s)$,इसलिए हमारे पास $V_p I_p = V_s I_s$ होता है।
चूंकि $V_s > V_p$ है,इसलिए यह निष्कर्ष निकलता है कि $I_p > I_s$।
अतः,प्राथमिक कुंडली में धारा का मान द्वितीयक कुंडली की धारा से अधिक होता है।

(B) ट्रांसफार्मर के लिए इनपुट पावर $P_{\text{in}} = V_1 I_1$ द्वारा दी जाती है।
ट्रांसफार्मर के लिए आउटपुट पावर $P_{\text{out}} = V_2 I_2$ द्वारा दी जाती है।
इनपुट पावर और आउटपुट पावर का अनुपात $\frac{P_{\text{in}}}{P_{\text{out}}} = \frac{V_1 I_1}{V_2 I_2}$ है।
एक आदर्श ट्रांसफार्मर के लिए,इनपुट पावर और आउटपुट पावर बराबर होती है,इसलिए अनुपात $1:1$ होता है। दिए गए विकल्पों को देखते हुए,विकल्प $B$ इनपुट पावर और आउटपुट पावर का अनुपात दर्शाता है।

(B) दिया गया है, टर्न अनुपात $\frac{N_p}{N_s} = \frac{20}{1}$ है।
सेकेंडरी वोल्टेज $V_s = 8 \, V$ और सेकेंडरी प्रतिरोध $R_s = 0.4 \, \Omega$ है।
ओम के नियम का उपयोग करके सेकेंडरी करंट $I_s$ की गणना: $I_s = \frac{V_s}{R_s} = \frac{8}{0.4} = 20 \, A$ है।
एक आदर्श ट्रांसफार्मर के लिए, करंट और टर्न अनुपात के बीच संबंध $\frac{I_p}{I_s} = \frac{N_s}{N_p}$ होता है।
मान रखने पर: $\frac{I_p}{20} = \frac{1}{20}$ प्राप्त होता है।
अतः, प्राइमरी करंट $I_p = 1 \, A$ होगा।

(C) एक आदर्श ट्रांसफार्मर के लिए, इनपुट शक्ति आउटपुट शक्ति के बराबर होती है, जिसका अर्थ है $V_p I_p = V_s I_s$.
साथ ही, ट्रांसफॉर्मेशन अनुपात $\frac{N_s}{N_p} = \frac{V_s}{V_p} = \frac{I_p}{I_s}$ द्वारा दिया जाता है।
प्राथमिक और द्वितीयक वाइंडिंग का अनुपात $\frac{N_p}{N_s} = 1:20$ दिया गया है, इसलिए $\frac{N_s}{N_p} = 20$ है।
संबंध $\frac{I_p}{I_s} = \frac{N_s}{N_p}$ का उपयोग करते हुए, हमें $I_p = I_s \times \left(\frac{N_s}{N_p}\right)$ प्राप्त होता है।
यहाँ $I_s = 2 \,A$ और $\frac{N_s}{N_p} = 20$ दिया गया है, इसलिए $I_p = 2 \,A \times 20 = 40 \,A$ होगा।

(D) इलेक्ट्रॉन प्रारंभ में तीसरी उत्तेजित अवस्था में है,जो मुख्य क्वांटम संख्या $n = 4$ के अनुरूप है (क्योंकि मूल अवस्था $n = 1$ है,पहली उत्तेजित अवस्था $n = 2$ है,दूसरी उत्तेजित अवस्था $n = 3$ है,और तीसरी उत्तेजित अवस्था $n = 4$ है)।
जब इलेक्ट्रॉन एक उत्तेजित अवस्था $n$ से मूल अवस्था में संक्रमण करता है,तो उत्सर्जित स्पेक्ट्रमी रेखाओं की अधिकतम संख्या निम्नलिखित सूत्र द्वारा दी जाती है:
$N = \frac{n(n - 1)}{2}$
सूत्र में $n = 4$ रखने पर:
$N = \frac{4(4 - 1)}{2} = \frac{4 \times 3}{2} = 6$
अतः,उत्सर्जित स्पेक्ट्रमी रेखाओं की अधिकतम संख्या $6$ है।

(A) लाइमन श्रेणी की श्रेणी सीमा $n = \infty$ से $n = 1$ तक के संक्रमण के अनुरूप है। रिडबर्ग सूत्र $\frac{1}{\lambda} = R(\frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2})$ का उपयोग करते हुए:
$\frac{1}{\lambda_1} = R(\frac{1}{1^2} - \frac{1}{\infty^2}) = R$
बामर श्रेणी की श्रेणी सीमा $n = \infty$ से $n = 2$ तक के संक्रमण के अनुरूप है:
$\frac{1}{\lambda_3} = R(\frac{1}{2^2} - \frac{1}{\infty^2}) = \frac{R}{4}$
लाइमन श्रेणी की पहली रेखा $n = 2$ से $n = 1$ तक के संक्रमण के अनुरूप है:
$\frac{1}{\lambda_2} = R(\frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2}) = R(1 - \frac{1}{4}) = R - \frac{R}{4}$
पिछले समीकरणों से $R$ और $\frac{R}{4}$ के मान रखने पर:
$\frac{1}{\lambda_2} = \frac{1}{\lambda_1} - \frac{1}{\lambda_3}$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{1}{\lambda_1} - \frac{1}{\lambda_2} = \frac{1}{\lambda_3}$

(D) स्पेक्ट्रल रेखा के लिए तरंग संख्या $\bar{\nu}$ रिडबर्ग सूत्र द्वारा दी जाती है: $\bar{\nu} = R \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$.
बामर श्रेणी के लिए,$n_1 = 2$ है।
बामर श्रेणी की अंतिम रेखा $n_2 = \infty$ से $n_1 = 2$ तक के संक्रमण के अनुरूप है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\bar{\nu} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{\infty^2} \right) = R \left( \frac{1}{4} - 0 \right) = \frac{R}{4}$.
दिया गया है कि $R = 10^7 \ m^{-1}$,अतः $\bar{\nu} = \frac{10^7}{4} = 0.25 \times 10^7 \ m^{-1} = 25 \times 10^5 \ m^{-1}$.

(C) स्पेक्ट्रल रेखा की तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के लिए रिडबर्ग सूत्र $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$ है।
बामर श्रेणी के लिए,$n_1 = 2$ और $n_2 = 3, 4, 5, \dots$ है।
अधिकतम तरंगदैर्ध्य $(\lambda_{max})$ संक्रमण $n_2 = 3$ से $n_1 = 2$ के लिए प्राप्त होती है:
$\frac{1}{\lambda_{max}} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right) = R \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right) = R \left( \frac{5}{36} \right) \implies \lambda_{max} = \frac{36}{5R}$.
न्यूनतम तरंगदैर्ध्य $(\lambda_{min})$ संक्रमण $n_2 = \infty$ से $n_1 = 2$ के लिए प्राप्त होती है:
$\frac{1}{\lambda_{min}} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{\infty^2} \right) = R \left( \frac{1}{4} - 0 \right) = \frac{R}{4} \implies \lambda_{min} = \frac{4}{R}$.
अधिकतम और न्यूनतम तरंगदैर्ध्य का अनुपात है:
$\frac{\lambda_{max}}{\lambda_{min}} = \frac{36/5R}{4/R} = \frac{36}{5R} \times \frac{R}{4} = \frac{9}{5}$.

(C) हाइड्रोजन जैसे परमाणु के लिए,ऊर्जाएं इस प्रकार हैं:
स्थितिज ऊर्जा $(P.E.)$ = $-\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{Ze^2}{r}$
गतिज ऊर्जा $(K.E.)$ = $-\frac{1}{2} (P.E.) = \frac{1}{8 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{Ze^2}{r}$
कुल ऊर्जा $(T.E.)$ = $\frac{1}{2} (P.E.) = -\frac{1}{8 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{Ze^2}{r}$
जब इलेक्ट्रॉन उत्तेजित अवस्था से मूल अवस्था में संक्रमण करता है,तो कक्षा की त्रिज्या $(r)$ घट जाती है।
चूंकि $K.E. = \frac{k}{r}$,जैसे-जैसे $r$ घटता है,$K.E.$ बढ़ती है।
चूंकि $P.E. = -\frac{k'}{r}$,जैसे-जैसे $r$ घटता है,$P.E.$ अधिक ऋणात्मक हो जाती है,जिसका अर्थ है कि यह घटती है।
चूंकि $T.E. = -\frac{k''}{r}$,जैसे-जैसे $r$ घटता है,$T.E.$ अधिक ऋणात्मक हो जाती है,जिसका अर्थ है कि यह घटती है।
इसलिए,$K.E.$ बढ़ती है,जबकि $P.E.$ और $T.E.$ घटती हैं।

(C) Lyman श्रेणी में सबसे छोटी तरंगदैर्ध्य $n = \infty$ से $n = 1$ के संक्रमण के लिए होती है:
$\frac{1}{\lambda_{L}} = R \left[ \frac{1}{1^2} - \frac{1}{\infty^2} \right] = R$
$\therefore \lambda_{L} = \frac{1}{R} = 912 \ \text{Å}$
Paschen श्रेणी में सबसे लंबी तरंगदैर्ध्य $n = 4$ से $n = 3$ के संक्रमण के लिए होती है:
$\frac{1}{\lambda_{P}} = R \left[ \frac{1}{3^2} - \frac{1}{4^2} \right] = R \left[ \frac{1}{9} - \frac{1}{16} \right] = R \left[ \frac{16 - 9}{144} \right] = \frac{7R}{144}$
$\therefore \lambda_{P} = \frac{144}{7R}$
$\frac{1}{R} = 912 \ \text{Å}$ रखने पर:
$\lambda_{P} = \frac{144}{7} \times 912 \ \text{Å} \approx 18760 \ \text{Å}$

(B) जाइरोमैग्नेटिक अनुपात को इलेक्ट्रॉन के चुंबकीय आघूर्ण $\mu$ और कोणीय संवेग $L$ के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
$\text{जाइरोमैग्नेटिक अनुपात} = \frac{\mu}{L} = \frac{iA}{mvr}$
बोहर मॉडल का उपयोग करते हुए,धारा $i = \frac{e}{T} = \frac{e \omega}{2 \pi}$ और क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ है।
कोणीय संवेग $L = mvr = mr(r \omega) = mr^2 \omega$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{\mu}{L} = \frac{(\frac{e \omega}{2 \pi})(\pi r^2)}{mr^2 \omega} = \frac{e}{2m}$
चूंकि $e$ और $m$ स्थिरांक हैं,इसलिए जाइरोमैग्नेटिक अनुपात इलेक्ट्रॉन की कक्षा $n$ से स्वतंत्र है।

(A) हाइड्रोजन परमाणु में नाभिक से $r$ दूरी पर स्थित इलेक्ट्रॉन की स्थितिज ऊर्जा $U$ को निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$U = -\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{e^2}{r}$
जैसे-जैसे इलेक्ट्रॉन ग्राउंड स्टेट $(n=1)$ से $5^{\text{वीं}}$ कक्षा $(n=5)$ में जाता है,कक्षा की त्रिज्या $r$ बढ़ती है $(r \propto n^2)$।
चूंकि $U$,$r$ के व्युत्क्रमानुपाती है और इसमें ऋणात्मक चिह्न है,इसलिए जैसे-जैसे $r$ बढ़ता है,$U$ का मान कम ऋणात्मक होता जाता है,जिसका अर्थ है कि यह बढ़ता है।
अतः,इलेक्ट्रॉन की स्थितिज ऊर्जा में वृद्धि होती है।

(B) अभिकेंद्र त्वरण $a = \frac{v^2}{r}$ द्वारा दिया जाता है।
हाइड्रोजन परमाणु के लिए,$n^{\text{th}}$ कक्षा में इलेक्ट्रॉन का वेग $v \propto \frac{1}{n}$ और त्रिज्या $r \propto n^2$ होती है।
इन मानों को त्वरण के समीकरण में रखने पर:
$a \propto \frac{(1/n)^2}{n^2} = \frac{1}{n^4}$.
अतः,$3^{\text{rd}}$ और $5^{\text{th}}$ कक्षा के लिए अभिकेंद्र त्वरण का अनुपात:
$\frac{a_3}{a_5} = \left(\frac{5}{3}\right)^4 = \frac{625}{81}$ होगा।

(B) परमाणु के बोहर मॉडल के अनुसार,$n^{\text{th}}$ कक्षा में एक इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा $(K)$ का सूत्र $K = \frac{kZe^2}{2r_n}$ है।
$n^{\text{th}}$ कक्षा में इलेक्ट्रॉन की कुल ऊर्जा $(E)$ का सूत्र $E = -\frac{kZe^2}{2r_n}$ है।
इन दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर,हम पाते हैं कि $K = -E$।
अतः,गतिज ऊर्जा और कुल ऊर्जा का अनुपात $\frac{K}{E} = \frac{-E}{E} = -1$ है।
इसे $1:-1$ के अनुपात के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

(C) हाइड्रोजन परमाणु के बोहर मॉडल में,$n^{\text{th}}$ कक्षा में एक इलेक्ट्रॉन की कुल ऊर्जा $E$ को $E \propto \frac{1}{n^2}$ द्वारा दर्शाया जाता है।
बोहर के क्वांटाइजेशन सिद्धांत के अनुसार,$n^{\text{th}}$ कक्षा में इलेक्ट्रॉन का कोणीय संवेग $L = \frac{nh}{2\pi}$ होता है,जिसका अर्थ है कि $L \propto n$।
ऊर्जा के व्यंजक में $n \propto L$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $E \propto \frac{1}{L^2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$E \propto L^{-2}$।

(C) हाइड्रोजन जैसे परमाणु में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा का सूत्र: $E_n = -13.6 \frac{Z^2}{n^2} \text{ eV}$ है।
हाइड्रोजन परमाणु की दूसरी कक्षा के लिए $(Z=1, n=2)$: $E = -13.6 \frac{1^2}{2^2} = -\frac{13.6}{4} \text{ eV}$।
अतः,$13.6 \text{ eV} = 4E$।
हीलियम आयन की तीसरी कक्षा के लिए $(Z=2, n=3)$: $E_3 = -13.6 \frac{2^2}{3^2} = -13.6 \frac{4}{9} \text{ eV}$।
$13.6 = -4E$ का मान रखने पर: $E_3 = -(-4E) \frac{4}{9} = \frac{16E}{9}$।

(B) हाइड्रोजन परमाणु की $n$ वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $E_n = -\frac{13.6 \ eV}{n^2}$ द्वारा दी जाती है।
पहले संक्रमण के लिए (ii से i): $n_i = 2$ से $n_f = 1$ तक।
उत्सर्जित फोटॉन की ऊर्जा $\Delta E_1 = E_2 - E_1 = -\frac{13.6}{2^2} - (-\frac{13.6}{1^2}) = 13.6(1 - \frac{1}{4}) = 13.6 \times \frac{3}{4} \ eV$ है।
दूसरे संक्रमण के लिए (उच्चतम से ii): $n_i = \infty$ से $n_f = 2$ तक।
उत्सर्जित फोटॉन की ऊर्जा $\Delta E_2 = E_{\infty} - E_2 = 0 - (-\frac{13.6}{2^2}) = \frac{13.6}{4} \ eV$ है।
ऊर्जाओं का अनुपात $\frac{\Delta E_1}{\Delta E_2} = \frac{13.6 \times \frac{3}{4}}{\frac{13.6}{4}} = \frac{3}{1} = 3:1$ है।

(C) समांतर प्लेट संधारित्र की धारिता का सूत्र $C = \frac{k A \varepsilon_0}{d}$ है, जहाँ $k$ परावैद्युतांक है, $A$ प्लेटों का क्षेत्रफल है, $\varepsilon_0$ निर्वात की विद्युतशीलता है, और $d$ प्लेटों के बीच की दूरी है。
प्रारंभ में, धारिता $C_1 = \frac{k A \varepsilon_0}{d}$ है。
जब प्लेटों को इस प्रकार करीब लाया जाता है कि नई दूरी $d' = \frac{d}{2}$ हो जाए, तो नई धारिता $C_2$ होगी:
$C_2 = \frac{k A \varepsilon_0}{d'} = \frac{k A \varepsilon_0}{d/2} = 2 \left( \frac{k A \varepsilon_0}{d} \right)$.
इस समीकरण में $C_1$ का मान रखने पर, हमें $C_2 = 2C_1$ प्राप्त होता है।

(B) माना प्लेटों के बीच प्रारंभिक दूरी $d$ है। प्रारंभिक धारिता $C = \frac{A \epsilon_0}{d}$ है।
जब $t = 2 \,mm$ मोटाई की एक परावैद्युत प्लेट डाली जाती है, तो नई धारिता $C_1 = \frac{A \epsilon_0}{d - t + \frac{t}{k}}$ होती है।
जब समान विभवांतर (जिसका अर्थ है कि धारिता $C_2 = C$ रहती है) बनाए रखने के लिए प्लेटों के बीच की दूरी $x = 1.6 \,mm$ बढ़ाई जाती है, तो नई दूरी $d' = d + x$ हो जाती है।
नई धारिता $C_2 = \frac{A \epsilon_0}{d + x - t + \frac{t}{k}}$ है।
चूंकि $C_2 = C$, इसलिए $d + x - t + \frac{t}{k} = d$ होगा।
इसे सरल करने पर, $x - t + \frac{t}{k} = 0$ या $t - x = \frac{t}{k}$ प्राप्त होता है।
$t = 2 \,mm$ और $x = 1.6 \,mm$ का मान रखने पर:
$2 - 1.6 = \frac{2}{k}$
$0.4 = \frac{2}{k}$
$k = \frac{2}{0.4} = 5$.

(D) परावैद्युत माध्यम से भरे समांतर प्लेट संधारित्र की धारिता $C = \frac{K \varepsilon_0 A}{d}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ परावैद्युतांक $K = 3$ दिया गया है,इसलिए प्रारंभिक धारिता $C = \frac{3 \varepsilon_0 A}{d}$ है।
जब तेल (परावैद्युत) को हटा दिया जाता है,तो प्लेटों के बीच का माध्यम हवा (या निर्वात) हो जाता है,जिसके लिए परावैद्युतांक $K' = 1$ होता है।
नई धारिता $C'$ का मान $C' = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$ होता है।
दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर,हम पाते हैं कि $C' = \frac{C}{3}$।

(B) समांतर प्लेट संधारित्र की धारिता $C = \frac{k A \varepsilon_0}{d}$ द्वारा दी जाती है।
प्रारंभ में,वायु-भरे संधारित्र के लिए,$C_1 = \frac{A \varepsilon_0}{d_1} = 2 \ pF$,जहाँ $k_1 = 1$ है।
अंत में,प्लेटों के बीच की दूरी दोगुनी कर दी जाती है $(d_2 = 2d_1)$ और स्थान को $k_2 = k$ परावैद्युतांक वाले पदार्थ से भर दिया जाता है। नई धारिता $C_2 = \frac{k A \varepsilon_0}{d_2} = 6 \ pF$ है।
अनुपात लेने पर: $\frac{C_2}{C_1} = \frac{k \cdot A \varepsilon_0 / (2d_1)}{A \varepsilon_0 / d_1} = \frac{k}{2}$।
दिया गया है कि $\frac{C_2}{C_1} = \frac{6}{2} = 3$।
अतः,$\frac{k}{2} = 3$,जिससे $k = 6$ प्राप्त होता है।