MHT CET 2021 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(B) આપેલ પદાવલિ: $(p \wedge q) \wedge [(p \wedge q) \vee (\sim p \wedge q)]$
ચોરસ કૌંસની અંદરના પદ પર વિભાજનનો નિયમ વાપરતા:
$(p \wedge q) \vee (\sim p \wedge q) \equiv (p \vee \sim p) \wedge q$
કારણ કે $(p \vee \sim p) \equiv T$ (નિરર્થકતા),તેથી:
$T \wedge q \equiv q$
આને મૂળ પદાવલિમાં મૂકતા:
$(p \wedge q) \wedge q$
સાહચર્ય અને સ્વયંઘાતી નિયમોનો ઉપયોગ કરતા:
$p \wedge (q \wedge q) \equiv p \wedge q$
આમ,પદાવલિ $p \wedge q$ ને સમકક્ષ છે.

(D) આપણે આપેલા વિધાનોને તાર્કિક સ્વરૂપમાં લખીએ:
$S_1 = p \rightarrow q$
$S_2 = p \rightarrow \sim q$
$S_3 = \sim p \vee q$
$S_4 = p \wedge q$
આપણે જાણીએ છીએ કે તાર્કિક સમાનતા $p \rightarrow q \equiv \sim p \vee q$ છે.
આને $S_1$ સાથે સરખાવતા,આપણને $S_1 = p \rightarrow q \equiv \sim p \vee q$ મળે છે.
કારણ કે $S_3 = \sim p \vee q$,તેથી $S_1 \equiv S_3$ થાય છે.

(C) આપેલ વિધાનો છે:
$p$: વરસાદ પડી રહ્યો છે
$q$: વાતાવરણ ખુશનુમા છે
"વરસાદ પણ નથી પડી રહ્યો અને વાતાવરણ પણ ખુશનુમા નથી" વિધાનનો અર્થ થાય છે "વરસાદ નથી પડી રહ્યો અને વાતાવરણ ખુશનુમા નથી".
આને $(\sim p) \wedge (\sim q)$ તરીકે લખી શકાય.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) $p \wedge (q \rightarrow r)$ નું નિષેધ શોધવા માટે,આપણે ડી મોર્ગનના નિયમ અને ગર્ભિતાર્થ (implication) ના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
$\sim [p \wedge (q \rightarrow r)]$
કારણ કે $q \rightarrow r \equiv \sim q \vee r$,તેથી:
$\equiv \sim [p \wedge (\sim q \vee r)]$
ડી મોર્ગનનો નિયમ $\sim (A \wedge B) \equiv \sim A \vee \sim B$ લાગુ કરતા:
$\equiv \sim p \vee \sim (\sim q \vee r)$
ફરીથી ડી મોર્ગનનો નિયમ $\sim (A \vee B) \equiv \sim A \wedge \sim B$ લાગુ કરતા:
$\equiv \sim p \vee (q \wedge \sim r)$

(C) ધારો કે $p: -7$ એક પૂર્ણાંક છે.
ધારો કે $q: \sqrt{-7}$ એક સંકર સંખ્યા છે.
$S_1$ નું તાર્કિક સ્વરૂપ $p \rightarrow q$ છે.
$S_2$ નું તાર્કિક સ્વરૂપ $\sim p \lor q$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $p \rightarrow q \equiv \sim p \lor q$ થાય છે.
તેથી,$S_1$ અને $S_2$ સમાન વિધાનો છે.

(C) ધારો કે $p: 3+6 > 8$ અને $q: 2+3 < 6$.
આપેલ વિધાનનું તાર્કિક સ્વરૂપ $p \wedge q$ છે.
નિષેધના નિયમ મુજબ,$\sim(p \wedge q) \equiv \sim p \vee \sim q$.
અહીં,$\sim p$ એ $3+6 \leq 8$ છે અને $\sim q$ એ $2+3 \geq 6$ છે.
તેથી,નિષેધ $3+6 \leq 8 \text{ અથવા } 2+3 \geq 6$ થશે.

(C) ધારો કે $p$: બે ત્રિકોણ એકરૂપ છે.
$q$: તેમના ક્ષેત્રફળ સમાન છે.
આપેલ વિધાનનું તાર્કિક સ્વરૂપ $p \rightarrow q$ છે.
આપેલ વિધાનનું પ્રતિ-વિધાન (Inverse) $\sim p \rightarrow \sim q$ છે.
પ્રતિ-વિધાનનું વિરોધી વિધાન (Contrapositive) $\sim(\sim q) \rightarrow \sim(\sim p)$ એટલે કે $q \rightarrow p$ છે.
તેથી,વિધાન છે: જો બે ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળ સમાન હોય,તો તેઓ એકરૂપ હોય છે.

(D) આપેલ વિધાન: $\sim p \rightarrow q$.
વિધાન $A \rightarrow B$ નો પ્રતિવિધિ $\sim A \rightarrow \sim B$ છે.
તેથી,$\sim p \rightarrow q$ નો પ્રતિવિધિ $\sim(\sim p) \rightarrow \sim q$ છે,જે $p \rightarrow \sim q$ તરીકે સરળ બને છે.
ગર્ભિત વિધાન $A \rightarrow B$ નું નિષેધ $A \wedge (\sim B)$ છે.
આમ,$p \rightarrow \sim q$ નું નિષેધ $p \wedge \sim(\sim q)$ છે,જે $p \wedge q$ તરીકે સરળ બને છે.

(D) આપેલ વિધાન $\forall x \in N, P(x)$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $P(x)$ એ '$x^2+x$ એ બેકી સંખ્યા છે' તેવું વિધાન છે.
સાર્વત્રિક ક્વોન્ટિફાયર વિધાન $\forall x, P(x)$ ના નિષેધ માટે,આપણે $\sim(\forall x, P(x)) \equiv \exists x, \sim P(x)$ નિયમનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
અહીં,'$x^2+x$ એ બેકી સંખ્યા છે' નો નિષેધ '$x^2+x$ એ બેકી સંખ્યા નથી' થાય છે.
તેથી,આપેલ વિધાનનો નિષેધ $\exists x \in N$ એવું મળે કે જેથી $x^2+x$ એ બેકી સંખ્યા નથી.

(D) ધારો કે $p$: વરસાદ પડી રહ્યો છે અને $q$: હવામાન ખુશનુમા છે.
આપેલ વિધાન "તે સાચું નથી કે,જો વરસાદ પડી રહ્યો હોય તો હવામાન ખુશનુમા નથી" છે.
સાંકેતિક રીતે,આ $\sim(p \rightarrow \sim q)$ તરીકે લખાય છે.
તાર્કિક સમાનતા $\sim(A \rightarrow B) \equiv A \wedge \sim B$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$\sim(p \rightarrow \sim q) \equiv p \wedge \sim(\sim q)$.
કારણ કે $\sim(\sim q) \equiv q$,તેથી પદાવલિ $p \wedge q$ માં સરળ બને છે.
આમ,વિધાન "વરસાદ પડી રહ્યો છે અને હવામાન ખુશનુમા છે" થાય છે.

(B) રેખાઓના ઢાળ $m_1 = \tan(60^{\circ}) = \sqrt{3}$ અને $m_2 = \tan(30^{\circ}) = \frac{1}{\sqrt{3}}$ છે.
રેખાઓના સમીકરણો $y = \sqrt{3}x$ અને $y = \frac{1}{\sqrt{3}}x$ છે,જેને $(\sqrt{3}x - y) = 0$ અને $(x - \sqrt{3}y) = 0$ તરીકે લખી શકાય.
તેમનું સંયુક્ત સમીકરણ $(\sqrt{3}x - y)(x - \sqrt{3}y) = 0$ છે.
વિસ્તરણ કરતા,$\sqrt{3}x^2 - 3xy - xy + \sqrt{3}y^2 = 0$.
$\sqrt{3}x^2 - 4xy + \sqrt{3}y^2 = 0$.
$\sqrt{3}(x^2 + y^2) = 4xy$.

(B) રેખાઓની જોડીનું સમીકરણ $ax^2+2hxy+by^2=0$ છે. $x^2$ વડે ભાગતા,આપણને $b(\frac{y}{x})^2+2h(\frac{y}{x})+a=0$ મળે છે.
ધારો કે $m_1 = \tan \alpha$ અને $m_2 = \tan \beta$ એ રેખાઓના ઢાળ છે.
તેથી $m_1+m_2 = -\frac{2h}{b}$ અને $m_1 m_2 = \frac{a}{b}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan(\alpha+\beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta} = \frac{m_1+m_2}{1-m_1 m_2}$.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $\tan(\alpha+\beta) = \frac{-\frac{2h}{b}}{1-\frac{a}{b}} = \frac{-\frac{2h}{b}}{\frac{b-a}{b}} = \frac{-2h}{b-a} = \frac{2h}{a-b}$ મળે છે.

(B) ધારો કે ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી બે રેખાઓ $L_1$ અને $L_2$ છે. કારણ કે તેઓ રેખા $y=3$ સાથે સમબાજુ ત્રિકોણ બનાવે છે,તેથી આ રેખાઓ દ્વારા $x$-અક્ષ સાથે બનાવેલ ખૂણો $60^{\circ}$ અને $120^{\circ}$ હોવો જોઈએ.
આ રેખાઓના ઢાળ $m_1 = \tan(60^{\circ}) = \sqrt{3}$ અને $m_2 = \tan(120^{\circ}) = -\sqrt{3}$ છે.
રેખાઓના સમીકરણો $y = \sqrt{3}x$ અને $y = -\sqrt{3}x$ છે.
તેમને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $\sqrt{3}x - y = 0$ અને $\sqrt{3}x + y = 0$ મળે છે.
સંયુક્ત સમીકરણ $(\sqrt{3}x - y)(\sqrt{3}x + y) = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને $(\sqrt{3}x)^2 - y^2 = 0$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $3x^2 - y^2 = 0$ થાય છે.

(D) રેખાઓની જોડીનું સમીકરણ $ax^2+2hxy+by^2=0$ છે.
ધારો કે રેખાઓના ઢાળ $m_1 = \tan \alpha$ અને $m_2 = \tan \beta$ છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના ગુણધર્મો પરથી:
$m_1+m_2 = \tan \alpha + \tan \beta = -\frac{2h}{b}$
$m_1m_2 = \tan \alpha \tan \beta = \frac{a}{b}$
$\tan(\alpha+\beta)$ માટેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\tan(\alpha+\beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta}$
કિંમતો મૂકતા:
$\tan(\alpha+\beta) = \frac{-\frac{2h}{b}}{1 - \frac{a}{b}} = \frac{-\frac{2h}{b}}{\frac{b-a}{b}} = \frac{-2h}{b-a} = \frac{2h}{a-b}$

(C) આપેલ સમીકરણ $2x^2 - 5xy + 2y^2 = 0$ છે.
અવયવ પાડતા: $2x^2 - 4xy - xy + 2y^2 = 0 \Rightarrow 2x(x - 2y) - y(x - 2y) = 0$.
તેથી,રેખાઓ $2x - y = 0$ અને $x - 2y = 0$ છે.
બિંદુ $(x_1, y_1)$ થી રેખા $ax + by + c = 0$ નું લંબ અંતર $d = \frac{|ax_1 + by_1 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ છે.
બિંદુ $(2, -1)$ અને રેખા $2x - y = 0$ માટે,અંતર $d_1 = \frac{|2(2) - 1(-1)|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} = \frac{5}{\sqrt{5}}$.
બિંદુ $(2, -1)$ અને રેખા $x - 2y = 0$ માટે,અંતર $d_2 = \frac{|1(2) - 2(-1)|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2}} = \frac{4}{\sqrt{5}}$.
અંતરનો ગુણાકાર $d_1 \times d_2 = \frac{5}{\sqrt{5}} \times \frac{4}{\sqrt{5}} = \frac{20}{5} = 4$ એકમ થાય.

(A) આપેલ રેખાઓની જોડીનું સમીકરણ $x^2-4xy+y^2=0$ છે.
$x^2$ વડે ભાગતા,આપણને $1-4(\frac{y}{x})+(\frac{y}{x})^2=0$ મળે છે.
ધારો કે $m = \tan \theta = \frac{y}{x}$,તો $m^2-4m+1=0$.
રેખાઓના ઢાળ $m_1 = \tan \alpha$ અને $m_2 = \tan \beta$ છે.
દ્વિઘાત સમીકરણ પરથી,બીજનો સરવાળો $\tan \alpha + \tan \beta = 4$ અને બીજનો ગુણાકાર $\tan \alpha \cdot \tan \beta = 1$ છે.
આપણે $\cot^2 \alpha + \cot^2 \beta = \frac{1}{\tan^2 \alpha} + \frac{1}{\tan^2 \beta} = \frac{\tan^2 \alpha + \tan^2 \beta}{(\tan \alpha \cdot \tan \beta)^2}$ શોધવાનું છે.
નિત્યસમ $\tan^2 \alpha + \tan^2 \beta = (\tan \alpha + \tan \beta)^2 - 2 \tan \alpha \tan \beta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\tan^2 \alpha + \tan^2 \beta = (4)^2 - 2(1) = 16 - 2 = 14$.
તેથી,$\cot^2 \alpha + \cot^2 \beta = \frac{14}{1^2} = 14$.

(C) $ax^2+2hxy+by^2=0$ રેખાઓની જોડી માટે,ધારો કે ઢાળ $m_1$ અને $m_2$ છે.
આપણને મળે છે $m_1+m_2 = -\frac{2h}{b}$ અને $m_1m_2 = \frac{a}{b}$.
આપેલ છે કે એક ઢાળ બીજા કરતાં બમણો છે,તેથી $m_1 = 2m_2$ લો.
ઢાળના સરવાળામાં આ કિંમત મૂકતા: $2m_2 + m_2 = -\frac{2h}{b}$ $\Rightarrow 3m_2 = -\frac{2h}{b}$ $\Rightarrow m_2 = -\frac{2h}{3b}$.
ઢાળના ગુણાકારમાં આ કિંમત મૂકતા: $m_1m_2 = (2m_2)m_2 = 2m_2^2 = \frac{a}{b}$.
તેથી,$2(-\frac{2h}{3b})^2 = \frac{a}{b} \Rightarrow 2(\frac{4h^2}{9b^2}) = \frac{a}{b}$.
$\frac{8h^2}{9b^2} = \frac{a}{b} \Rightarrow \frac{h^2}{ab} = \frac{9}{8}$.
આમ,$h^2:ab = 9:8$.

(C) બે રેખાઓના ઢાળ $m_1 = 1+\sqrt{2}$ અને $m_2 = \frac{1}{1+\sqrt{2}}$ છે.
$m_2$ નું સંમેયીકરણ કરતા: $m_2 = \frac{\sqrt{2}-1}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)} = \sqrt{2}-1$.
ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી રેખાઓના સમીકરણો $y = (1+\sqrt{2})x$ અને $y = (\sqrt{2}-1)x$ છે.
તેથી,$(1+\sqrt{2})x - y = 0$ અને $(\sqrt{2}-1)x - y = 0$.
તેમનું સંયુક્ત સમીકરણ: $[(1+\sqrt{2})x - y][(\sqrt{2}-1)x - y] = 0$.
વિસ્તરણ કરતા: $x^2 - 2\sqrt{2}xy + y^2 = 0$.

(C) $ax^2+2hxy+by^2=0$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવતી રેખાઓની જોડી વચ્ચેના લઘુકોણ $\theta$ માટેનું સૂત્ર $\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{h^2-ab}}{a+b} \right|$ છે.
આપેલ છે કે $\theta = \frac{\pi}{4}$,તેથી $\tan \frac{\pi}{4} = 1$.
તેથી,$1 = \left| \frac{2\sqrt{h^2-ab}}{a+b} \right|$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $1 = \frac{4(h^2-ab)}{(a+b)^2}$ મળે છે.
આનો અર્થ એ છે કે $(a+b)^2 = 4h^2 - 4ab$.
ડાબી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા,$a^2 + 2ab + b^2 = 4h^2 - 4ab$.
પદોને ગોઠવતા,$4h^2 = a^2 + 6ab + b^2$.

(C) રેખાઓ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થાય છે અને રેખા $x=3$ સાથે સમબાજુ ત્રિકોણ બનાવે છે.
ત્રિકોણ સમબાજુ હોવાથી,ઉગમબિંદુ $O$ આગળનો ખૂણો $60^{\circ}$ છે.
$x$-અક્ષની સાપેક્ષ સંમિતિને કારણે,રેખાઓ $x$-અક્ષ સાથે $30^{\circ}$ અને $-30^{\circ}$ ના ખૂણા બનાવે છે.
રેખાઓના ઢાળ $m_1 = \tan(30^{\circ}) = \frac{1}{\sqrt{3}}$ અને $m_2 = \tan(-30^{\circ}) = -\frac{1}{\sqrt{3}}$ છે.
રેખાઓના સમીકરણો $y = \frac{1}{\sqrt{3}}x$ અને $y = -\frac{1}{\sqrt{3}}x$ છે,જેને $x - \sqrt{3}y = 0$ અને $x + \sqrt{3}y = 0$ તરીકે લખી શકાય છે.
સંયુક્ત સમીકરણ $(x - \sqrt{3}y)(x + \sqrt{3}y) = 0$ છે,જેનું સાદું રૂપ $x^2 - 3y^2 = 0$ થાય છે.

(A) આપેલ રેખાઓનું સમીકરણ: $mx^2+2hxy+ny^2=0$.
આપેલ શરત: $(m+3n)(3m+n)=4h^2$.
શરતનું વિસ્તરણ કરતા: $3m^2+10mn+3n^2=4h^2$.
રેખાઓ $ax^2+2hxy+by^2=0$ વચ્ચેના ખૂણા $\theta$ માટેનું સૂત્ર $\tan \theta = \left|\frac{2\sqrt{h^2-ab}}{a+b}\right|$ છે.
અહીં $a=m$ અને $b=n$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\tan \theta = \left|\frac{2\sqrt{h^2-mn}}{m+n}\right|$.
આપેલ શરત પરથી,$h^2-mn = \frac{3(m+n)^2}{4}$.
તેથી,$\sqrt{h^2-mn} = \frac{\sqrt{3}|m+n|}{2}$.
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા: $\tan \theta = \sqrt{3}$.
આમ,$\theta = 60^{\circ} = \frac{\pi}{3}$.

(D) આપેલ સમીકરણ $ax^2 - bxy - y^2 = 0$ છે. $x^2$ વડે ભાગતા,આપણને $-(\frac{y}{x})^2 - b(\frac{y}{x}) + a = 0$ મળે,જે $(\frac{y}{x})^2 + b(\frac{y}{x}) - a = 0$ છે.
ધારો કે $m_1 = \tan \alpha$ અને $m_2 = \tan \beta$ એ રેખાઓના ઢાળ છે.
આ દ્વિઘાત સમીકરણ $m^2 + bm - a = 0$ ના બીજ છે.
બીજના ગુણધર્મો પરથી,$\tan \alpha + \tan \beta = -b$ અને $\tan \alpha \tan \beta = -a$ મળે.
સૂત્ર $\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta}$ નો ઉપયોગ કરતા,કિંમતો મૂકતા:
$\tan(\alpha + \beta) = \frac{-b}{1 - (-a)} = \frac{-b}{1+a}$.

(D) બે સીધી રેખાઓની જોડીનું સામાન્ય સમીકરણ $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ છે.
રેખાઓ એકબીજાને લંબ હોય તે માટેની શરત $a + b = 0$ છે.
આપેલ સમીકરણ $(k^2+2) x^2 + 3xy - 6y^2 = 0$ ને સામાન્ય સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = (k^2+2)$ અને $b = -6$ મળે છે.
આ કિંમતોને $a + b = 0$ શરતમાં મૂકતા:
$(k^2+2) + (-6) = 0$
$k^2 - 4 = 0$
$k^2 = 4$
$k = \pm 2$.

(C) આપેલ સમીકરણ $(x^2+y^2) \sin \theta + 2xy = 0$ છે,જેને $(\sin \theta)x^2 + 2xy + (\sin \theta)y^2 = 0$ તરીકે લખી શકાય.
આને વ્યાપક સ્વરૂપ $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ સાથે સરખાવતા,$a = \sin \theta$,$h = 1$,અને $b = \sin \theta$ મળે છે.
ધારો કે રેખાઓ વચ્ચેનો લઘુકોણ $\alpha$ છે. ખૂણા માટેનું સૂત્ર $\tan \alpha = \left| \frac{2\sqrt{h^2 - ab}}{a+b} \right|$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$\tan \alpha = \left| \frac{2\sqrt{1^2 - (\sin \theta)(\sin \theta)}}{\sin \theta + \sin \theta} \right|$.
$\tan \alpha = \left| \frac{2\sqrt{1 - \sin^2 \theta}}{2 \sin \theta} \right| = \left| \frac{2\cos \theta}{2 \sin \theta} \right| = |\cot \theta|$.
$\alpha$ લઘુકોણ હોવાથી,$\tan \alpha = \tan(\frac{\pi}{2} - \theta)$.
તેથી,$\alpha = \frac{\pi}{2} - \theta$.

(B) ધારો કે રેખાઓના ઢાળ $m_{1}$ અને $m_{2}$ છે.
સમીકરણ $ax^{2} + 2hxy + by^{2} = 0$ માટે,$m_{1} + m_{2} = \frac{-2h}{b}$ અને $m_{1}m_{2} = \frac{a}{b}$ થાય.
ઢાળનો ગુણોત્તર $m_{1}:m_{2} = 5:3$ આપેલ છે,તેથી $m_{1} = 5k$ અને $m_{2} = 3k$ લો.
તેથી $m_{1} + m_{2} = 8k = \frac{-2h}{b} \Rightarrow k = \frac{-h}{4b}$.
વળી $m_{1}m_{2} = 15k^{2} = \frac{a}{b}$.
બીજા સમીકરણમાં $k$ ની કિંમત મૂકતા: $15 \left( \frac{-h}{4b} \right)^{2} = \frac{a}{b}$.
$15 \left( \frac{h^{2}}{16b^{2}} \right) = \frac{a}{b}$.
$\frac{15h^{2}}{16b} = a$.
તેથી,$\frac{h^{2}}{ab} = \frac{16}{15}$.

(B) રેખાઓની જોડીનું સમીકરણ $x^2-3 x y-4 y^2=0$ છે. તેને $Ax^2+2Hxy+By^2=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $A=1, H=-\frac{3}{2}, B=-4$ મળે છે.
ખૂણાના દ્વિભાજકોનું સમીકરણ $\frac{x^2-y^2}{A-B} = \frac{xy}{H}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $\frac{x^2-y^2}{1-(-4)} = \frac{xy}{-3/2}$ મળે છે.
$\frac{x^2-y^2}{5} = -\frac{2xy}{3}$.
$3(x^2-y^2) = -10xy$.
$3x^2+10xy-3y^2=0$.
આને આપેલ સમીકરણ $3x^2-kxy-3y^2=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $-k=10$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $k=-10$.

(B) રેખાઓની જોડીનું સમીકરણ $k x^2 + x y - y^2 = 0$ છે.
રેખાઓ યામ અક્ષો વચ્ચેના ખૂણાને દુભાગે છે,તેથી તેમનો ઢાળ $m = \pm 1$ હોવો જોઈએ.
સમીકરણમાં $y = mx$ મૂકતા,આપણને $k x^2 + x(mx) - (mx)^2 = 0$ મળે છે.
$x^2$ વડે ભાગતા ($x \neq 0$ ધારીને),આપણને $k + m - m^2 = 0$ મળે છે.
$m = 1$ માટે,$k + 1 - 1^2 = 0 \Rightarrow k = 0$.
$m = -1$ માટે,$k - 1 - (-1)^2 = 0$ $\Rightarrow k - 1 - 1 = 0$ $\Rightarrow k = 2$.
આમ,$k$ ની કિંમતો $0$ અને $2$ છે.

(C) ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી રેખાઓની જોડીનું સામાન્ય સમીકરણ $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ છે.
$px^2 - qy^2 = 0$ ને સામાન્ય સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = p$,$h = 0$,અને $b = -q$ મળે છે.
રેખાઓ ભિન્ન અને વાસ્તવિક હોય તે માટેની શરત $h^2 - ab > 0$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $0^2 - (p)(-q) > 0$ મળે છે.
આથી $pq > 0$ થાય છે.

(C) રેખાઓની જોડીનું સમીકરણ $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ છે. ધારો કે $m_1$ અને $m_2$ એ રેખાઓના ઢાળ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $m_1 + m_2 = -\frac{2h}{b}$ અને $m_1m_2 = \frac{a}{b}$.
ઢાળનો તફાવત $(m_1 - m_2)^2 = (m_1 + m_2)^2 - 4m_1m_2$ દ્વારા મળે છે.
$(m_1 - m_2)^2 = \left(-\frac{2h}{b}\right)^2 - 4\left(\frac{a}{b}\right) = \frac{4h^2}{b^2} - \frac{4a}{b} = \frac{4h^2 - 4ab}{b^2}$.
આપેલ છે કે $4ab = 3h^2$,તેથી:
$(m_1 - m_2)^2 = \frac{4h^2 - 3h^2}{b^2} = \frac{h^2}{b^2}$.
તેથી,$m_1 - m_2 = \pm \frac{h}{b}$.
$m_1 - m_2 = \frac{h}{b}$ અને $m_1 + m_2 = -\frac{2h}{b}$ લેતા,$m_1$ અને $m_2$ માટે ઉકેલતા:
$2m_1 = -\frac{2h}{b} + \frac{h}{b} = -\frac{h}{b} \Rightarrow m_1 = -\frac{h}{2b}$.
$2m_2 = -\frac{2h}{b} - \frac{h}{b} = -\frac{3h}{b} \Rightarrow m_2 = -\frac{3h}{2b}$.
ગુણોત્તર $m_1 : m_2 = \left(-\frac{h}{2b}\right) : \left(-\frac{3h}{2b}\right) = 1 : 3$.

(A) આપેલ સમીકરણ $ax^2+8xy+5y^2=0$ છે.
તેને વ્યાપક સમીકરણ $Ax^2+2Hxy+By^2=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $A=a$,$2H=8$ (તેથી $H=4$),અને $B=5$ મળે છે.
ધારો કે રેખાઓના ઢાળ $m_1$ અને $m_2$ છે.
ઢાળનો સરવાળો $m_1+m_2 = -\frac{2H}{B} = -\frac{8}{5}$ છે.
ઢાળનો ગુણાકાર $m_1m_2 = \frac{A}{B} = \frac{a}{5}$ છે.
આપેલ શરત મુજબ,ઢાળનો સરવાળો તેમના ગુણાકાર કરતા બમણો છે:
$m_1+m_2 = 2(m_1m_2)$
$-\frac{8}{5} = 2\left(\frac{a}{5}\right)$
$-\frac{8}{5} = \frac{2a}{5}$
$2a = -8$
$a = -4$.

(C) આપેલ સમીકરણ $y^2 - 9xy + 18x^2 = 0$ છે.
અવયવ પાડતા,$(y - 3x)(y - 6x) = 0$ મળે.
આમ,બે રેખાઓ $y = 3x$ અને $y = 6x$ છે.
ત્રીજી રેખા $y = 9$ છે.
ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ નીચે મુજબ છે:
$1$. $y = 3x$ અને $y = 6x$ નું છેદબિંદુ $(0, 0)$ છે.
$2$. $y = 3x$ અને $y = 9$ નું છેદબિંદુ $(3, 9)$ છે.
$3$. $y = 6x$ અને $y = 9$ નું છેદબિંદુ $(\frac{3}{2}, 9)$ છે.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |0(9 - 9) + 3(9 - 0) + \frac{3}{2}(0 - 9)| = \frac{27}{4}$ ચોરસ એકમ.

(C) આપેલ ગુણોત્તર $\frac{\frac{n!}{2!(n-2)!}}{\frac{n!}{4!(n-4)!}} = \frac{2}{1}$ છે.
આનું સાદું રૂપ $\frac{n!}{2!(n-2)!} \times \frac{4!(n-4)!}{n!} = 2$ થાય.
$n!$ ને દૂર કરતા અને ફેક્ટોરિયલનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને મળે $\frac{4 \times 3 \times 2!}{2! \times (n-2)(n-3)(n-4)!} \times (n-4)! = 2$.
$\frac{12}{(n-2)(n-3)} = 2$.
$(n-2)(n-3) = 6$.
$n^2 - 5n + 6 = 6$.
$n^2 - 5n = 0$.
$n(n-5) = 0$.
પદ $\frac{n!}{4!(n-4)!}$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે $n \ge 4$ હોવું જરૂરી છે,તેથી $n = 5$.

(D) $ABRACADABRA$ શબ્દમાં $11$ અક્ષરો છે: $A$ ($5$ વખત),$B$ ($2$ વખત),$R$ ($2$ વખત),$C$ ($1$ વખત),$D$ ($1$ વખત).
અહીં $5$ સ્વરો છે,જે બધા $A$ છે. આપણે આ $5$ $A$ ને એક એકમ $(AAAAA)$ તરીકે ગણીએ છીએ.
હવે,આપણી પાસે ગોઠવવા માટે કુલ $7$ વસ્તુઓ છે: $(AAAAA), B, B, R, R, C, D$.
અહીં $B$ બે વાર અને $R$ બે વાર પુનરાવર્તિત થાય છે.
તેથી,કુલ ગોઠવણીઓની સંખ્યા $\frac{7!}{2!2!} = \frac{5040}{4} = 1260$ થાય.

(C) $n$ ભિન્ન વસ્તુઓને વર્તુળાકારમાં ગોઠવવાની રીતો $(n-1)!$ છે.
હાર માટે,ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં અને તેની વિરુદ્ધ દિશાની ગોઠવણી સમાન ગણાય છે,તેથી $n$ અલગ-અલગ મોતીઓમાંથી હાર બનાવવાની રીતો $\frac{(n-1)!}{2}$ છે.
અહીં $n = 8$ આપેલ છે,તેથી રીતોની સંખ્યા $\frac{(8-1)!}{2} = \frac{7!}{2}$ થશે.
$\frac{5040}{2} = 2520$.

(B) $5$ પ્રશ્નોમાંથી દરેકનો જવાબ $2$ રીતે આપી શકાય છે (ખરું અથવા ખોટું).
$5$ પ્રશ્નો માટે જવાબોના કુલ શક્ય ક્રમ $= 2^5 = 32$.
કોઈ પણ વિદ્યાર્થીએ બધા જ સાચા જવાબો લખ્યા ન હોવાથી,આપણે તે $1$ ક્રમને બાદ કરીએ છીએ જે બધા સાચા જવાબો દર્શાવે છે.
તેથી,વિદ્યાર્થીઓની મહત્તમ સંખ્યા $= 32 - 1 = 31$.

(A) $n$ બાજુવાળા બહુકોણના વિકર્ણોની સંખ્યા શોધવાનું સૂત્ર: $\frac{n(n-3)}{2} = 44$ છે.
આપેલ છે કે વિકર્ણોની સંખ્યા $44$ છે,તેથી:
$n(n-3) = 88$
$n^2 - 3n - 88 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$(n - 11)(n + 8) = 0$
બાજુઓની સંખ્યા $n$ ધન પૂર્ણાંક હોવી જોઈએ,તેથી $n = 11$ મળે છે.

(D) આપણે $7$ વ્યંજનોમાંથી $3$ અને $4$ સ્વરોમાંથી $2$ વ્યંજનો પસંદ કરવાના છે.
અક્ષરો પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા $= {}^{7}C_{3} \times {}^{4}C_{2}$.
$= \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} \times \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 35 \times 6 = 210$.
આ પસંદ કરેલા $5$ અક્ષરોને $5!$ રીતે ગોઠવી શકાય છે.
શબ્દોની સંખ્યા $= 210 \times 5! = 210 \times 120 = 25200$.

(B) આપેલ અંકો $1, 1, 2, 2, 3, 3, 4$ છે. જેમાં $4$ એકી અંકો $(1, 1, 3, 3)$ અને $3$ બેકી અંકો $(2, 2, 4)$ છે.
$7$ અંકની સંખ્યામાં,એકી સ્થાનો $1, 3, 5$ અને $7$ છે (કુલ $4$ સ્થાનો).
બેકી સ્થાનો $2, 4$ અને $6$ છે (કુલ $3$ સ્થાનો).
એકી અંકો હંમેશા એકી સ્થાનો પર હોવા જોઈએ,તેથી $4$ એકી અંકોને $4$ એકી સ્થાનો પર ગોઠવવાની રીતો $\frac{4!}{2!2!} = 6$ છે.
હવે,$3$ બેકી અંકોને $3$ બેકી સ્થાનો પર ગોઠવવાની રીતો $\frac{3!}{2!} = 3$ છે.
તેથી,કુલ રીતોની સંખ્યા $= 6 \times 3 = 18$ થાય.

(B) સમિતિ નીચે મુજબની રીતે બનાવી શકાય છે:
$(5 \text{ પુરુષો})$,$(4 \text{ પુરુષો}, 1 \text{ સ્ત્રી})$,$(3 \text{ પુરુષો}, 2 \text{ સ્ત્રીઓ})$
$\therefore$ રીતોની સંખ્યા $= \binom{6}{5} + (\binom{6}{4} \times \binom{4}{1}) + (\binom{6}{3} \times \binom{4}{2})$
$= 6 + (15 \times 4) + (20 \times 6)$
$= 6 + 60 + 120 = 186$

(B) બે પાસા ફેંકવામાં આવે ત્યારે કુલ પરિણામોની સંખ્યા $n(S) = 6 \times 6 = 36$ છે.
શક્ય સરવાળો $2$ થી $12$ સુધીનો છે. આ શ્રેણીમાં અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ $2, 3, 5, 7, 11$ છે.
દરેક સરવાળા માટે સાનુકૂળ પરિણામો નીચે મુજબ છે:
સરવાળો $= 2: (1, 1) \rightarrow 1 \text{ પરિણામ}$
સરવાળો $= 3: (1, 2), (2, 1) \rightarrow 2 \text{ પરિણામો}$
સરવાળો $= 5: (1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1) \rightarrow 4 \text{ પરિણામો}$
સરવાળો $= 7: (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1) \rightarrow 6 \text{ પરિણામો}$
સરવાળો $= 11: (5, 6), (6, 5) \rightarrow 2 \text{ પરિણામો}$
કુલ સાનુકૂળ પરિણામો $n(E) = 1 + 2 + 4 + 6 + 2 = 15$.
સંભાવના $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{15}{36} = \frac{5}{12}$ છે.

(D) બે પાસા ફેંકવામાં આવે ત્યારે કુલ પરિણામોની સંખ્યા $6 \times 6 = 36$ છે.
ધારો કે $A$ એ ડબલેટ મેળવવાની ઘટના છે. પરિણામો $(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)$ છે,તેથી $n(A) = 6$.
ધારો કે $B$ એ સરવાળો $10$ મેળવવાની ઘટના છે. પરિણામો $(4,6), (5,5), (6,4)$ છે,તેથી $n(B) = 3$.
છેદગણ $A \cap B$ એ પરિણામ $(5,5)$ છે,તેથી $n(A \cap B) = 1$.
ડબલેટ અથવા $10$ નો સરવાળો મળે તેવા પરિણામોની સંખ્યા $n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B) = 6 + 3 - 1 = 8$ છે.
ડબલેટ પણ ન હોય અને સરવાળો $10$ પણ ન હોય તેવા પરિણામોની સંખ્યા $36 - 8 = 28$ છે.
તેથી,જરૂરી સંભાવના $\frac{28}{36} = \frac{7}{9}$ છે.

(A) ધારો કે $H$ એ છાપ મેળવવાની ઘટના છે અને $D$ એ પાસા પર $4$ થી મોટી સંખ્યા મેળવવાની ઘટના છે.
$P(H) = \frac{1}{2}$.
પાસા પર $4$ થી મોટી સંખ્યાઓ ${5, 6}$ છે,તેથી $P(D) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
ઘટનાઓ સ્વતંત્ર હોવાથી,$P(H \cap D) = P(H) \times P(D) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$.
આપણે $H \cup D$ ની સંભાવના શોધવાની છે,જે $P(H \cup D) = P(H) + P(D) - P(H \cap D)$ દ્વારા મળે છે.
$P(H \cup D) = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{6} = \frac{3+2-1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ બે ઘટનાઓ $A$ અને $B$ માટે,તેમના યોગગણની સંભાવના નીચે મુજબ છે:
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{5}{6} = \frac{1}{6} + \frac{2}{3} - P(A \cap B)$
$\frac{5}{6} = \frac{1}{6} + \frac{4}{6} - P(A \cap B)$
$\frac{5}{6} = \frac{5}{6} - P(A \cap B)$
આનો અર્થ એ છે કે $P(A \cap B) = 0$.
જેથી ઘટનાઓ $A$ અને $B$ પરસ્પર નિવારક ઘટનાઓ છે.

(C) આપેલ છે કે $P(E_1 \cup E_2) = 0.6$ અને $P(E_1 \cap E_2) = 0.2$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $P(E_1 \cup E_2) = P(E_1) + P(E_2) - P(E_1 \cap E_2)$.
કિંમતો મૂકતા: $0.6 = P(E_1) + P(E_2) - 0.2$,જેનો અર્થ છે કે $P(E_1) + P(E_2) = 0.8$.
આપણે $P(E_1') + P(E_2')$ શોધવાની જરૂર છે.
પૂરક ઘટનાના નિયમ $P(E') = 1 - P(E)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$P(E_1') + P(E_2') = (1 - P(E_1)) + (1 - P(E_2)) = 2 - (P(E_1) + P(E_2))$.
સરવાળો $P(E_1) + P(E_2) = 0.8$ મૂકતા:
$P(E_1') + P(E_2') = 2 - 0.8 = 1.2$.

(D) ધારો કે ખૂણાઓ $x, 2x, 3x$ છે.
ત્રિકોણના ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ હોવાથી,$x + 2x + 3x = 180^{\circ}$ $\Rightarrow 6x = 180^{\circ}$ $\Rightarrow x = 30^{\circ}$.
આમ,ત્રિકોણના ખૂણાઓ $A = 30^{\circ}, B = 60^{\circ}, C = 90^{\circ}$ છે.
સાઇન નિયમ મુજબ,$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$.
કિંમતો મૂકતા,$\frac{a}{\sin 30^{\circ}} = \frac{b}{\sin 60^{\circ}} = \frac{c}{\sin 90^{\circ}}$.
$\frac{a}{1/2} = \frac{b}{\sqrt{3}/2} = \frac{c}{1}$.
$1/2$ વડે ગુણતા,$a : b : c = \sin 30^{\circ} : \sin 60^{\circ} : \sin 90^{\circ} = \frac{1}{2} : \frac{\sqrt{3}}{2} : 1$.
બધી બાજુ $2$ વડે ગુણતા,$a : b : c = 1 : \sqrt{3} : 2$.

(D) ધારો કે $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = k$.
તેથી $\sin A = \frac{a}{k}$,$\sin B = \frac{b}{k}$,અને $\sin C = \frac{c}{k}$.
ત્રિકોણની પરિમિતિ $a+b+c$ છે.
ખૂણાઓના સાઈનનો સરેરાશ $\frac{\sin A + \sin B + \sin C}{3}$ છે.
આપેલ માહિતી મુજબ,$a+b+c = 6 \times \left( \frac{\sin A + \sin B + \sin C}{3} \right)$.
કિંમતો મૂકતા,$a+b+c = 2(\sin A + \sin B + \sin C) = 2 \left( \frac{a+b+c}{k} \right)$.
આમ,$1 = \frac{2}{k}$,જેનો અર્થ છે કે $k = 2$.
કારણ કે $\sin A = \frac{a}{k}$ અને $a=1$,તેથી $\sin A = \frac{1}{2}$.
તેથી,$A = \frac{\pi^c}{6}$.

(B) આપેલ છે કે $\triangle ABC$ ના ખૂણાઓ $A, B, C$ એ $A$.$P$. માં છે,તેથી $2B = A + C$.
$A + B + C = 180^{\circ}$ હોવાથી,$3B = 180^{\circ}$,એટલે કે $B = 60^{\circ}$ અને $A + C = 120^{\circ}$.
સાઇનના નિયમ મુજબ,$\frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C} = k$,તેથી $a = k \sin A$ અને $c = k \sin C$.
આ કિંમતો પદાવલિમાં મૂકતા:
$\frac{a}{c} \sin 2C + \frac{c}{a} \sin 2A = \frac{k \sin A}{k \sin C} (2 \sin C \cos C) + \frac{k \sin C}{k \sin A} (2 \sin A \cos A)$
$= 2 \sin A \cos C + 2 \sin C \cos A$
$= 2(\sin A \cos C + \cos A \sin C)$
$= 2 \sin(A + C)$
$= 2 \sin(120^{\circ}) = 2 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $\triangle ABC$ માં,$A+B+C = \pi$,તેથી $A+B = \pi-C$.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા:
$2ab \sin \frac{1}{2}(A+B-C) = 2ab \sin \frac{1}{2}((\pi-C)-C)$
$= 2ab \sin \frac{1}{2}(\pi-2C) = 2ab \sin (\frac{\pi}{2}-C)$
$= 2ab \cos C$
કોસાઇનના નિયમ મુજબ,$\cos C = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$.
તેથી,$2ab \cos C = 2ab \left(\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\right) = a^2+b^2-c^2$.

(A) આપણે સાઈનનો નિયમ જાણીએ છીએ: $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$.
આથી $a \sin B = b \sin A$ ... $(1)$.
આપણને શરત આપેલી છે: $a \cos B = b \cos A$ ... $(2)$.
સમીકરણ $(1)$ ને સમીકરણ $(2)$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$\frac{a \sin B}{a \cos B} = \frac{b \sin A}{b \cos A} \Rightarrow \tan B = \tan A$.
ત્રિકોણના ખૂણાઓ હોવાથી,$A = B$.
તેથી,ત્રિકોણ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ છે.

(C) સાઇન નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = k$.
તેથી,$b = k \sin B$ અને $c = k \sin C$.
આ કિંમતો પદાવલિમાં મૂકતા:
$\frac{b \sin B - c \sin C}{\sin (B - C)} = \frac{(k \sin B) \sin B - (k \sin C) \sin C}{\sin (B - C)}$
$= \frac{k(\sin^2 B - \sin^2 C)}{\sin (B - C)}$
નિત્યસમ $\sin^2 B - \sin^2 C = \sin(B - C) \sin(B + C)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \frac{k \sin(B - C) \sin(B + C)}{\sin (B - C)}$
$= k \sin(B + C)$
કારણ કે $A + B + C = \pi$,તેથી $\sin(B + C) = \sin(\pi - A) = \sin A$.
આમ,પદાવલિ $k \sin A = a$ બને છે.

(A) ધારો કે $I = \int_{\frac{-\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{1+e^x} dx$ ... $(1)$
ગુણધર્મ $\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{b} f(a+b-x) dx$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int_{\frac{-\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos(\frac{-\pi}{2} + \frac{\pi}{2} - x)}{1+e^{(\frac{-\pi}{2} + \frac{\pi}{2} - x)}} dx$
$I = \int_{\frac{-\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos(-x)}{1+e^{-x}} dx = \int_{\frac{-\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{1+\frac{1}{e^x}} dx$
$I = \int_{\frac{-\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{e^x \cos x}{e^x+1} dx$ ... $(2)$
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા:
$2I = \int_{\frac{-\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x + e^x \cos x}{1+e^x} dx$
$2I = \int_{\frac{-\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x(1+e^x)}{1+e^x} dx = \int_{\frac{-\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos x dx$
કારણ કે $\cos x$ એ યુગ્મ વિધેય છે,$\int_{-a}^{a} f(x) dx = 2\int_{0}^{a} f(x) dx$:
$2I = 2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos x dx$
$I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos x dx = [\sin x]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \sin(\frac{\pi}{2}) - \sin(0) = 1 - 0 = 1$.

(D) ધારો કે $I = \int_5^{10} \frac{d x}{(x-1)(x-2)}$.
આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{1}{(x-1)(x-2)} = \frac{1}{x-2} - \frac{1}{x-1}$.
$I = \int_5^{10} \left( \frac{1}{x-2} - \frac{1}{x-1} \right) d x$.
$I = [\log |x-2| - \log |x-1|]_5^{10}$.
$I = [\log |\frac{x-2}{x-1}|]_5^{10}$.
$I = \log |\frac{10-2}{10-1}| - \log |\frac{5-2}{5-1}|$.
$I = \log |\frac{8}{9}| - \log |\frac{3}{4}|$.
$I = \log |\frac{8}{9} \times \frac{4}{3}| = \log |\frac{32}{27}|$.

(A) ધારો કે $f(x) = \frac{x \sin x}{1+\cos^2 x}$.
$f(-x) = \frac{(-x) \sin(-x)}{1+\cos^2(-x)} = \frac{(-x)(-\sin x)}{1+\cos^2 x} = f(x)$ હોવાથી,વિધેય યુગ્મ (even) છે.
ગુણધર્મ $\int_{-a}^a f(x) dx = 2 \int_0^a f(x) dx$ નો ઉપયોગ કરતા,$I = 2 \int_0^\pi \frac{x \sin x}{1+\cos^2 x} dx$.
ગુણધર્મ $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ નો ઉપયોગ કરતા,$I = 2 \int_0^\pi \frac{(\pi-x) \sin(\pi-x)}{1+\cos^2(\pi-x)} dx = 2 \int_0^\pi \frac{(\pi-x) \sin x}{1+\cos^2 x} dx$.
બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા:
$2I = 2 \int_0^\pi \frac{\pi \sin x}{1+\cos^2 x} dx \Rightarrow I = \pi \int_0^\pi \frac{\sin x}{1+\cos^2 x} dx$.
ધારો કે $t = \cos x$,તેથી $dt = -\sin x dx$. સીમાઓ $0$ થી $\pi$ બદલાઈને $1$ થી $-1$ થશે.
$I = \pi \int_1^{-1} \frac{-dt}{1+t^2} = \pi \int_{-1}^1 \frac{dt}{1+t^2} = 2\pi \int_0^1 \frac{dt}{1+t^2}$.
$I = 2\pi [\tan^{-1} t]_0^1 = 2\pi (\frac{\pi}{4} - 0) = \frac{\pi^2}{2}$.

(B) ધારો કે $I = \int_0^2 |2x - 3| \, dx$.
કારણ કે $x < \frac{3}{2}$ માટે $|2x - 3| = 3 - 2x$ અને $x \ge \frac{3}{2}$ માટે $|2x - 3| = 2x - 3$ થાય છે,તેથી આપણે સંકલનને $x = \frac{3}{2}$ પર વિભાજિત કરીશું.
$I = \int_0^{3/2} (3 - 2x) \, dx + \int_{3/2}^2 (2x - 3) \, dx$.
પ્રથમ ભાગનું મૂલ્ય: $\int_0^{3/2} (3 - 2x) \, dx = [3x - x^2]_0^{3/2} = (3(\frac{3}{2}) - (\frac{3}{2})^2) - 0 = \frac{9}{2} - \frac{9}{4} = \frac{9}{4}$.
બીજા ભાગનું મૂલ્ય: $\int_{3/2}^2 (2x - 3) \, dx = [x^2 - 3x]_{3/2}^2 = (2^2 - 3(2)) - ((\frac{3}{2})^2 - 3(\frac{3}{2})) = (4 - 6) - (\frac{9}{4} - \frac{9}{2}) = -2 - (-\frac{9}{4}) = -2 + \frac{9}{4} = \frac{1}{4}$.
બંને ભાગનો સરવાળો કરતા: $I = \frac{9}{4} + \frac{1}{4} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}$.

(A) ધારો કે $I = \int_0^{\pi / 2} \log \left(\frac{4+3 \sin x}{4+3 \cos x}\right) d x$ ... $(1)$
ગુણધર્મ $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$I = \int_0^{\pi / 2} \log \left(\frac{4+3 \sin(\pi/2 - x)}{4+3 \cos(\pi/2 - x)}\right) d x$
$I = \int_0^{\pi / 2} \log \left(\frac{4+3 \cos x}{4+3 \sin x}\right) d x$ ... $(2)$
$(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા:
$2I = \int_0^{\pi / 2} \left[ \log \left(\frac{4+3 \sin x}{4+3 \cos x}\right) + \log \left(\frac{4+3 \cos x}{4+3 \sin x}\right) \right] d x$
$2I = \int_0^{\pi / 2} \log \left( \frac{4+3 \sin x}{4+3 \cos x} \times \frac{4+3 \cos x}{4+3 \sin x} \right) d x$
$2I = \int_0^{\pi / 2} \log(1) d x$
કારણ કે $\log(1) = 0$ છે,તેથી $2I = 0$,જેનો અર્થ છે કે $I = 0$.

(A) ધારો કે $I = \int_0^4 x[x] \, dx$.
કારણ કે $[x]$ એ સ્ટેપ વિધેય છે,આપણે સંકલનને પૂર્ણાંક બિંદુઓ પર વિભાજિત કરીએ છીએ:
$I = \int_0^1 x[0] \, dx + \int_1^2 x[1] \, dx + \int_2^3 x[2] \, dx + \int_3^4 x[3] \, dx$.
$I = 0 + \int_1^2 x \, dx + \int_2^3 2x \, dx + \int_3^4 3x \, dx$.
$I = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_1^2 + 2 \left[ \frac{x^2}{2} \right]_2^3 + 3 \left[ \frac{x^2}{2} \right]_3^4$.
$I = \left( \frac{4-1}{2} \right) + (9-4) + \frac{3}{2}(16-9)$.
$I = \frac{3}{2} + 5 + \frac{21}{2}$.
$I = \frac{3+21}{2} + 5 = \frac{24}{2} + 5 = 12 + 5 = 17$.

(A) ધારો કે $I = \int_0^1 |5x - 3| dx$.
$5x - 3 = 0$ હોવાથી $x = \frac{3}{5}$ આગળ સંકલનનું વિભાજન કરીએ.
$0 \le x < \frac{3}{5}$ માટે,$|5x - 3| = -(5x - 3) = 3 - 5x$.
$\frac{3}{5} \le x \le 1$ માટે,$|5x - 3| = 5x - 3$.
તેથી,$I = \int_0^{3/5} (3 - 5x) dx + \int_{3/5}^1 (5x - 3) dx$.
$I = [3x - \frac{5x^2}{2}]_0^{3/5} + [\frac{5x^2}{2} - 3x]_{3/5}^1$.
$I = (3(\frac{3}{5}) - \frac{5}{2}(\frac{9}{25})) - (0) + ((\frac{5}{2} - 3) - (\frac{5}{2}(\frac{9}{25}) - 3(\frac{3}{5})))$.
$I = (\frac{9}{5} - \frac{9}{10}) + (-\frac{1}{2} - (\frac{9}{10} - \frac{9}{5}))$.
$I = \frac{9}{10} + (-\frac{1}{2} - (-\frac{9}{10})) = \frac{9}{10} - \frac{1}{2} + \frac{9}{10} = \frac{18}{10} - \frac{5}{10} = \frac{13}{10}$.

(C) ધારો કે $I = \int_0^\pi x \sin x \cos^4 x \, dx \quad \dots(1)$
ગુણધર્મ $\int_0^a f(x) \, dx = \int_0^a f(a-x) \, dx$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે:
$I = \int_0^\pi (\pi - x) \sin(\pi - x) \cos^4(\pi - x) \, dx$
$I = \int_0^\pi (\pi - x) \sin x (-\cos x)^4 \, dx$
$I = \int_0^\pi (\pi - x) \sin x \cos^4 x \, dx \quad \dots(2)$
$(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા:
$2I = \int_0^\pi (x + \pi - x) \sin x \cos^4 x \, dx$
$2I = \pi \int_0^\pi \sin x \cos^4 x \, dx$
ધારો કે $t = \cos x$,તો $dt = -\sin x \, dx$. જ્યારે $x=0, t=1$ અને જ્યારે $x=\pi, t=-1$.
$2I = \pi \int_1^{-1} t^4 (-dt) = \pi \int_{-1}^1 t^4 \, dt$
$t^4$ એ યુગ્મ વિધેય હોવાથી,$\int_{-1}^1 t^4 \, dt = 2 \int_0^1 t^4 \, dt$.
$2I = 2\pi \left[ \frac{t^5}{5} \right]_0^1 = 2\pi \left( \frac{1}{5} \right) = \frac{2\pi}{5}$
$I = \frac{\pi}{5}$

(C) ધારો કે $ I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x - \cos x}{1 - \sin x \cos x} dx $ $(1)$
ગુણધર્મ $ \int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx $ નો ઉપયોગ કરતા:
$ I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin(\frac{\pi}{2} - x) - \cos(\frac{\pi}{2} - x)}{1 - \sin(\frac{\pi}{2} - x) \cos(\frac{\pi}{2} - x)} dx $
$ I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x - \sin x}{1 - \cos x \sin x} dx $ $(2)$
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા:
$ 2I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \left( \frac{\sin x - \cos x}{1 - \sin x \cos x} + \frac{\cos x - \sin x}{1 - \sin x \cos x} \right) dx $
$ 2I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x - \cos x + \cos x - \sin x}{1 - \sin x \cos x} dx $
$ 2I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} 0 dx = 0 $
તેથી,$ I = 0 $.

(A) ધારો કે $I = \int \tan ^{-1}(\sec x+\tan x) d x$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sec x = \frac{1}{\cos x}$ અને $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$,તેથી $\sec x + \tan x = \frac{1+\sin x}{\cos x}$.
અડધા ખૂણાના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા,$1+\sin x = (\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2})^2$ અને $\cos x = \cos^2 \frac{x}{2} - \sin^2 \frac{x}{2} = (\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2})(\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2})$.
આમ,$\frac{1+\sin x}{\cos x} = \frac{(\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2})^2}{(\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2})(\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2})} = \frac{\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2}}$.
અંશ અને છેદને $\cos \frac{x}{2}$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{1+\tan \frac{x}{2}}{1-\tan \frac{x}{2}} = \tan(\frac{\pi}{4} + \frac{x}{2})$ મળે છે.
તેથી,$I = \int \tan^{-1}(\tan(\frac{\pi}{4} + \frac{x}{2})) d x = \int (\frac{\pi}{4} + \frac{x}{2}) d x$.
દરેક પદનું સંકલન કરતા,આપણને $I = \frac{\pi x}{4} + \frac{x^2}{4} + c$ મળે છે.

(A) આપણને સંકલન $I = \int_2^5 2[x] \, dx$ આપેલ છે.
કારણ કે $[x]$ એ મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય છે,તે $1$ લંબાઈના અંતરાલોમાં અચળ પૂર્ણાંક કિંમતો ધારણ કરે છે.
આપણે સંકલનને પૂર્ણાંકો $3$ અને $4$ પર વિભાજિત કરીએ છીએ:
$I = 2 \left( \int_2^3 [x] \, dx + \int_3^4 [x] \, dx + \int_4^5 [x] \, dx \right)$
$x \in [2, 3)$ માટે,$[x] = 2$.
$x \in [3, 4)$ માટે,$[x] = 3$.
$x \in [4, 5)$ માટે,$[x] = 4$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$I = 2 \left( \int_2^3 2 \, dx + \int_3^4 3 \, dx + \int_4^5 4 \, dx \right)$
$I = 2 \left( [2x]_2^3 + [3x]_3^4 + [4x]_4^5 \right)$
$I = 2 \left( (6 - 4) + (12 - 9) + (20 - 16) \right)$
$I = 2 \left( 2 + 3 + 4 \right) = 2 \times 9 = 18$.

(B) ધારો કે $I = \int_{0}^{1} \tan ^{-1}\left(\frac{2 x-1}{1+x-x^{2}}\right) d x$.
અમે $\tan^{-1}$ વિધેયના પદને આ રીતે ફરીથી લખી શકીએ છીએ:
$\frac{2x-1}{1+x-x^2} = \frac{x + (x-1)}{1 - x(x-1)}$.
$\tan^{-1}(A) + \tan^{-1}(B) = \tan^{-1}\left(\frac{A+B}{1-AB}\right)$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$I = \int_{0}^{1} (\tan^{-1}(x) + \tan^{-1}(x-1)) d x$.
ગુણધર્મ $\int_{0}^{a} f(x) d x = \int_{0}^{a} f(a-x) d x$ નો ઉપયોગ કરતા,ધારો કે $f(x) = \tan^{-1}(x-1)$.
તેથી $\int_{0}^{1} \tan^{-1}(x-1) d x = \int_{0}^{1} \tan^{-1}((1-x)-1) d x = \int_{0}^{1} \tan^{-1}(-x) d x = -\int_{0}^{1} \tan^{-1}(x) d x$.
આ કિંમતને સંકલનમાં પાછી મૂકતા:
$I = \int_{0}^{1} \tan^{-1}(x) d x - \int_{0}^{1} \tan^{-1}(x) d x = 0$.

(A) પદાવલિ $a_{11} A_{11} + a_{12} A_{12} + a_{13} A_{13}$ એ શ્રેણિક $A$ ના નિશ્ચાયકનું પ્રથમ હારની સાપેક્ષ વિસ્તરણ દર્શાવે છે,જે $|A|$ ની બરાબર છે.
$|A| = \begin{vmatrix} 3 & 2 & 4 \\ 1 & 2 & 1 \\ 3 & 2 & 6 \end{vmatrix}$
પ્રથમ હારની સાપેક્ષ વિસ્તરણ કરતા:
$|A| = 3(2 \times 6 - 1 \times 2) - 2(1 \times 6 - 1 \times 3) + 4(1 \times 2 - 2 \times 3)$
$|A| = 3(12 - 2) - 2(6 - 3) + 4(2 - 6)$
$|A| = 3(10) - 2(3) + 4(-4)$
$|A| = 30 - 6 - 16$
$|A| = 8$
તેથી,$a_{11} A_{11} + a_{12} A_{12} + a_{13} A_{13} = 8$.

(A) ધારો કે શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 3 & 2 & 1 \\ -1 & 3 & 4 \end{bmatrix}$ છે.
બીજા સ્તંભના ઘટકો $a_{12} = -1$,$a_{22} = 2$,અને $a_{32} = 3$ છે.
સહ-અવયવ $A_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}$ દ્વારા મળે છે,જ્યાં $M_{ij}$ એ ઘટક $a_{ij}$ નો નિશ્ચાયક (minor) છે.
$A_{12}$ માટે: $A_{12} = (-1)^{1+2} \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 4 \end{vmatrix} = -(12 - (-1)) = -(13) = -13$.
$A_{22}$ માટે: $A_{22} = (-1)^{2+2} \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 4 \end{vmatrix} = +(4 - (-2)) = +(6) = 6$.
$A_{32}$ માટે: $A_{32} = (-1)^{3+2} \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} = -(1 - 6) = -(-5) = 5$.
આમ,સહ-અવયવો $-13, 6, 5$ છે.

(B) આપેલ શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} 5 & 6 & 3 \\ -4 & 3 & 2 \\ -4 & -7 & 3 \end{bmatrix}$ છે.
બીજી હારના ઘટકો $(a_{21}, a_{22}, a_{23})$ ના સહઅવયવો શોધવા માટે,આપણે સૂત્ર $C_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ,જ્યાં $M_{ij}$ એ ઘટક $a_{ij}$ નો નિશ્ચાયક (minor) છે.
$1$. ઘટક $a_{21} = -4$ માટે:
$C_{21} = (-1)^{2+1} \begin{vmatrix} 6 & 3 \\ -7 & 3 \end{vmatrix} = -(18 - (-21)) = -(18 + 21) = -39$.
$2$. ઘટક $a_{22} = 3$ માટે:
$C_{22} = (-1)^{2+2} \begin{vmatrix} 5 & 3 \\ -4 & 3 \end{vmatrix} = +(15 - (-12)) = 15 + 12 = 27$.
$3$. ઘટક $a_{23} = 2$ માટે:
$C_{23} = (-1)^{2+3} \begin{vmatrix} 5 & 6 \\ -4 & -7 \end{vmatrix} = -(-35 - (-24)) = -(-35 + 24) = -(-11) = 11$.
આમ,સહઅવયવો $-39, 27, 11$ છે.

(C) ધારો કે ત્રણ સંખ્યાઓ $x, y,$ અને $z$ છે.
રકમ મુજબ,આપણી પાસે નીચે મુજબના સુરેખ સમીકરણો છે:
$x + y + z = 6$ $(1)$
$x + 3z = 7$ $(2)$
$3x + y + z = 12$ $(3)$
સમીકરણ $(3)$ માંથી સમીકરણ $(1)$ બાદ કરતા:
$(3x + y + z) - (x + y + z) = 12 - 6$
$2x = 6 \Rightarrow x = 3$
$x = 3$ ને સમીકરણ $(2)$ માં મૂકતા:
$3 + 3z = 7$
$3z = 4 \Rightarrow z = \frac{4}{3}$
$x = 3$ અને $z = \frac{4}{3}$ ને સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$3 + y + \frac{4}{3} = 6$
$y = 6 - 3 - \frac{4}{3} = 3 - \frac{4}{3} = \frac{9-4}{3} = \frac{5}{3}$
આમ,સંખ્યાઓનો ગુણાકાર $xyz = (3) \times (\frac{5}{3}) \times (\frac{4}{3}) = \frac{20}{3}$ થાય.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ $y = \frac{dp}{dx} + \sqrt{a^2 p^2 - b^2}$ છે,જ્યાં $p = \frac{dy}{dx}$.
$p = \frac{dy}{dx}$ મુકતા,$\frac{dp}{dx} = \frac{d}{dx}(\frac{dy}{dx}) = \frac{d^2y}{dx^2}$ મળે.
તેથી,સમીકરણ $y = \frac{d^2y}{dx^2} + \sqrt{a^2(\frac{dy}{dx})^2 - b^2}$ બને છે.
પદોને ગોઠવતા,$y - \frac{d^2y}{dx^2} = \sqrt{a^2(\frac{dy}{dx})^2 - b^2}$ મળે.
વર્ગમૂળ દૂર કરવા માટે બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$(y - \frac{d^2y}{dx^2})^2 = a^2(\frac{dy}{dx})^2 - b^2$ મળે.
ડાબી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા,$y^2 + (\frac{d^2y}{dx^2})^2 - 2y(\frac{d^2y}{dx^2}) = a^2(\frac{dy}{dx})^2 - b^2$ મળે.
અહીં સૌથી મોટું વિકલન $\frac{d^2y}{dx^2}$ છે,તેથી ક્રમ $m = 2$ છે.
સૌથી મોટા વિકલનની મહત્તમ ઘાત $2$ છે,તેથી ઘાત $n = 2$ છે.
તેથી,$m + n = 2 + 2 = 4$ થાય.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right)^5+4 \frac{\left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right)}{\left(\frac{d^3 y}{d x^3}\right)}+\left(\frac{d^3 y}{d x^3}\right)=x^2-1$.
છેદ દૂર કરવા માટે આખા સમીકરણને $\left(\frac{d^3 y}{d x^3}\right)$ વડે ગુણતા:
$\left(\frac{d^3 y}{d x^3}\right) \left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right)^5 + 4 \left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right) + \left(\frac{d^3 y}{d x^3}\right)^2 = (x^2-1) \left(\frac{d^3 y}{d x^3}\right)$.
અહીં સૌથી ઉચ્ચ કક્ષાનું વિકલન $\frac{d^3 y}{d x^3}$ છે,તેથી કક્ષા $m = 3$ છે.
સૌથી ઉચ્ચ કક્ષાના વિકલનની મહત્તમ ઘાત $2$ છે,તેથી ઘાત $n = 2$ છે.
આમ,$m=3$ અને $n=2$ મળે છે.

(A) આપેલ સમીકરણ: $y^2 = 8ax + 8a^2$ $(1)$
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$2y \frac{dy}{dx} = 8a$
$\Rightarrow a = \frac{y}{4} \frac{dy}{dx}$
$a$ ની કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મુકતા:
$y^2 = 8 \left( \frac{y}{4} \frac{dy}{dx} \right) x + 8 \left( \frac{y}{4} \frac{dy}{dx} \right)^2$
$y^2 = 2xy \frac{dy}{dx} + 8 \left( \frac{y^2}{16} \right) \left( \frac{dy}{dx} \right)^2$
$y^2 = 2xy \frac{dy}{dx} + \frac{y^2}{2} \left( \frac{dy}{dx} \right)^2$
છેદ દૂર કરવા માટે $2$ વડે ગુણતા:
$2y^2 = 4xy \frac{dy}{dx} + y^2 \left( \frac{dy}{dx} \right)^2$
આ વિકલ સમીકરણમાં,સૌથી ઉચ્ચ ક્રમનું વિકલન $\frac{dy}{dx}$ છે,જેનો ક્રમ $1$ છે. સૌથી ઉચ્ચ ક્રમના વિકલનની મહત્તમ ઘાત $2$ છે. તેથી,તેની ઘાત (degree) $2$ છે.

(A) આપેલ ઉકેલ $y=a \cos x+b \sin x+c e^{-x}$ છે.
જેમ કે ઉકેલમાં $3$ સ્વૈર અચળાંકો $(a, b, c)$ છે,તેથી વિકલ સમીકરણનો ક્રમ એ સ્વૈર અચળાંકોની સંખ્યા જેટલો હોય છે.
તેથી,વિકલ સમીકરણનો ક્રમ $3$ છે.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\frac{d^2 y}{d x^2} = \sqrt{\frac{d y}{d x}}$
પરિમાણ શોધવા માટે,આપણે બંને બાજુ વર્ગ કરીને વર્ગમૂળની નિશાની દૂર કરવી પડશે:
$\left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right)^2 = \frac{d y}{d x}$
વિકલ સમીકરણની કક્ષા એ તેમાં રહેલા સૌથી ઉચ્ચ વિકલિતની કક્ષા છે,જે $2$ છે ($\frac{d^2 y}{d x^2}$ માંથી).
વિકલ સમીકરણનું પરિમાણ એ સમીકરણને વર્ગમૂળ અને અપૂર્ણાંકથી મુક્ત કર્યા પછી સૌથી ઉચ્ચ કક્ષાના વિકલિતનો ઘાત છે. અહીં,$\frac{d^2 y}{d x^2}$ નો ઘાત $2$ છે.
તેથી,કક્ષા $2$ છે અને પરિમાણ $2$ છે.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\sqrt{\frac{dy}{dx}}-4 \frac{dy}{dx}-7x=0$ છે.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $\sqrt{\frac{dy}{dx}}=4 \frac{dy}{dx}+7x$ મળે છે.
વર્ગમૂળ દૂર કરવા માટે બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $\frac{dy}{dx} = (4 \frac{dy}{dx} + 7x)^2$ મળે છે.
જમણી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા,$\frac{dy}{dx} = 16(\frac{dy}{dx})^2 + 56x(\frac{dy}{dx}) + 49x^2$ મળે છે.
અહીં સૌથી ઉચ્ચ વિકલન $\frac{dy}{dx}$ છે,તેથી ક્રમ $1$ છે.
સૌથી ઉચ્ચ વિકલનની મહત્તમ ઘાત $2$ છે,તેથી ઘાત $2$ છે.
આમ,ક્રમ $1$ અને ઘાત $2$ છે.

(A) ધારો કે વર્તુળનું કેન્દ્ર $(0, k)$ છે. વર્તુળ ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,તેની ત્રિજ્યા $r = \sqrt{(0-0)^2 + (k-0)^2} = |k|$ થશે.
વર્તુળનું સમીકરણ $(x-0)^2 + (y-k)^2 = k^2$ છે.
આનું વિસ્તરણ કરતા,$x^2 + y^2 - 2ky + k^2 = k^2$,જેનું સાદું રૂપ $x^2 + y^2 = 2ky$ મળે છે.
સ્વેચ્છ અચળાંક $k$ ને દૂર કરવા માટે,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$2x + 2y \frac{dy}{dx} = 2k \frac{dy}{dx}$.
વર્તુળના સમીકરણ પરથી,$k = \frac{x^2+y^2}{2y}$.
$k$ ની આ કિંમત વિકલિત સમીકરણમાં મૂકતા:
$2x + 2y \frac{dy}{dx} = 2 \left( \frac{x^2+y^2}{2y} \right) \frac{dy}{dx}$.
$2x + 2y \frac{dy}{dx} = \frac{x^2+y^2}{y} \frac{dy}{dx}$.
બંને બાજુ $y$ વડે ગુણતા:
$2xy + 2y^2 \frac{dy}{dx} = (x^2+y^2) \frac{dy}{dx}$.
પદોને ગોઠવતા:
$(x^2+y^2) \frac{dy}{dx} - 2y^2 \frac{dy}{dx} = 2xy$.
$(x^2-y^2) \frac{dy}{dx} = 2xy$.
આમ,$(x^2-y^2) \frac{dy}{dx} - 2xy = 0$ મળે છે.

(A) ધારો કે ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે.
આપેલ છે કે મુખ્ય અક્ષ એ ગૌણ અક્ષ કરતા બમણો છે,તેથી $2a = 2(2b)$,જેનો અર્થ છે કે $a = 2b$.
$a = 2b$ ને સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $\frac{x^2}{(2b)^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ આપતા $\frac{x^2}{4b^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$,અથવા $x^2 + 4y^2 = 4b^2$ મળે છે.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{d}{dx}(x^2 + 4y^2) = \frac{d}{dx}(4b^2)$ મળે છે.
આથી $2x + 8y \frac{dy}{dx} = 0$ થાય છે.
$2$ વડે ભાગતા,આપણને $x + 4y \frac{dy}{dx} = 0$ મળે છે.

(B) ધારો કે $(h, 0)$ એ વર્તુળનું કેન્દ્ર છે અને $r$ એ ત્રિજ્યા છે. વર્તુળનું સમીકરણ $(x-h)^2 + y^2 = r^2$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $2(x-h) + 2y \frac{dy}{dx} = 0$,જે આપે છે $x-h = -y \frac{dy}{dx}$.
આ કિંમતને વર્તુળના સમીકરણમાં મૂકતા: $(-y \frac{dy}{dx})^2 + y^2 = r^2$,તેથી $y^2 (\frac{dy}{dx})^2 + y^2 = r^2$.
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $2y \frac{dy}{dx} (\frac{dy}{dx})^2 + y^2 (2 \frac{dy}{dx} \frac{d^2y}{dx^2}) + 2y \frac{dy}{dx} = 0$.
$2y \frac{dy}{dx}$ વડે ભાગતા: $(\frac{dy}{dx})^2 + y \frac{d^2y}{dx^2} + 1 = 0$.

(B) વર્તુળો ઉગમબિંદુ પર $y$-અક્ષને સ્પર્શતા હોવાથી,તેમના કેન્દ્રો $x$-અક્ષ પર આવેલા હોય છે. ધારો કે કેન્દ્ર $(h, 0)$ છે અને ત્રિજ્યા $h$ છે.
વર્તુળનું સમીકરણ $(x-h)^2 + y^2 = h^2$ છે,જેનું સાદું રૂપ $x^2 - 2hx + h^2 + y^2 = h^2$ એટલે કે $x^2 + y^2 - 2hx = 0$ $(1)$ થાય છે.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $2x + 2y\frac{dy}{dx} - 2h = 0$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $h = x + y\frac{dy}{dx}$ થાય છે.
આ $h$ ની કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા,આપણને $x^2 + y^2 - 2(x + y\frac{dy}{dx})x = 0$ મળે છે.
આનું વિસ્તરણ કરતા,$x^2 + y^2 - 2x^2 - 2xy\frac{dy}{dx} = 0$ મળે છે.
પદોને ગોઠવતા,આપણને $y^2 - x^2 - 2xy\frac{dy}{dx} = 0$ મળે છે,જે $x^2 - y^2 + 2xy\frac{dy}{dx} = 0$ ને સમાન છે.

(D) આપેલ રેખાઓનું કુળ: $y = mx + \frac{4}{m}$ $(1)$
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{dy}{dx} = m$
$m$ ની કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$y = \left(\frac{dy}{dx}\right)x + \frac{4}{\left(\frac{dy}{dx}\right)}$
બંને બાજુ $\frac{dy}{dx}$ વડે ગુણતા:
$y\left(\frac{dy}{dx}\right) = x\left(\frac{dy}{dx}\right)^2 + 4$
પદોને ગોઠવતા:
$x\left(\frac{dy}{dx}\right)^2 - y\left(\frac{dy}{dx}\right) + 4 = 0$

(A) ઉગમબિંદુ પર શિરોબિંદુ અને ધન $Y$-અક્ષ પર અક્ષ ધરાવતા પરવલયનું સમીકરણ $x^2 = 4ay$ છે,જ્યાં $a > 0$ એ સ્વૈર અચળાંક છે.
વિકલ સમીકરણ મેળવવા માટે,આપણે $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ:
$2x = 4a \frac{dy}{dx}$
$\Rightarrow a = \frac{2x}{4(dy/dx)} = \frac{x}{2(dy/dx)}$.
$a$ ની કિંમત મૂળ સમીકરણમાં મૂકતા:
$x^2 = 4 \left( \frac{x}{2(dy/dx)} \right) y$
$x^2 = \frac{2xy}{dy/dx}$
$x^2 \frac{dy}{dx} = 2xy$
$x$ વડે ભાગતા ($x \neq 0$ હોવાથી):
$x \frac{dy}{dx} = 2y$
$x \frac{dy}{dx} - 2y = 0$.

(A) ઉગમબિંદુ $(0,0)$ પર નાભિ અને $X$-અક્ષ પર ધરી ધરાવતા પરવલયનું સમીકરણ $y^2 = 4a(x+a)$ છે.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$2y\frac{dy}{dx} = 4a$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $a = \frac{y}{2}\frac{dy}{dx}$.
$a$ ની કિંમતને મૂળ સમીકરણ $y^2 = 4a(x+a)$ માં મૂકતા:
$y^2 = 4\left(\frac{y}{2}\frac{dy}{dx}\right)\left(x + \frac{y}{2}\frac{dy}{dx}\right)$
$y^2 = 2y\frac{dy}{dx}\left(x + \frac{y}{2}\frac{dy}{dx}\right)$
$y$ વડે ભાગતા (ધારો કે $y \neq 0$):
$y = 2x\frac{dy}{dx} + y\left(\frac{dy}{dx}\right)^2$
પદોને ગોઠવતા,આપણને $y\left(\frac{dy}{dx}\right)^2 + 2x\frac{dy}{dx} - y = 0$ મળે છે,જે $-y\left(\frac{dy}{dx}\right)^2 = 2x\frac{dy}{dx} - y$ ને સમાન છે.

(B) આપેલ છે $y = \log_{10} x + \log_x 10 + \log_x x + \log_{10} 10$.
બેઝ બદલવાના સૂત્ર $\log_a b = \frac{\log_e b}{\log_e a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$y = \frac{\log_e x}{\log_e 10} + \frac{\log_e 10}{\log_e x} + 1 + 1$.
$y = \frac{\log_e x}{\log_e 10} + \frac{\log_e 10}{\log_e x} + 2$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\log_e 10} \cdot \frac{d}{dx}(\log_e x) + \log_e 10 \cdot \frac{d}{dx}((\log_e x)^{-1}) + 0$.
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\log_e 10} \cdot \frac{1}{x} + \log_e 10 \cdot (-1)(\log_e x)^{-2} \cdot \frac{1}{x}$.
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x \log_e 10} - \frac{\log_e 10}{x(\log_e x)^2}$.

(A) આપેલ સમીકરણ: $y = A \cos \omega t + B \sin \omega t$
$t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dt} = -A \omega \sin \omega t + B \omega \cos \omega t$
ફરીથી $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d^2y}{dt^2} = -A \omega^2 \cos \omega t - B \omega^2 \sin \omega t$
$-\omega^2$ સામાન્ય લેતા:
$\frac{d^2y}{dt^2} = -\omega^2 (A \cos \omega t + B \sin \omega t)$
કારણ કે $y = A \cos \omega t + B \sin \omega t$,તેથી આપણે સમીકરણમાં $y$ મૂકીએ:
$\frac{d^2y}{dt^2} = -\omega^2 y$
પદોને ગોઠવતા આપણને મળે છે:
$\frac{d^2y}{dt^2} + \omega^2 y = 0$

(C) $y$-અક્ષને સમાંતર અક્ષ ધરાવતા પરવલયનું સમીકરણ $(x-h)^2 = 4a(y-k)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. અક્ષ $y$-અક્ષ હોવાથી,શિરોબિંદુ $y$-અક્ષ પર છે,તેથી $h=0$. આમ,સમીકરણ $x^2 = 4a(y-k)$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$2x = 4a \frac{dy}{dx} \implies 4a = \frac{2x}{dy/dx}$.
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$2 = 4a \frac{d^2y}{dx^2}$.
પ્રથમ વિકલનમાંથી $4a$ ની કિંમત બીજા વિકલન સમીકરણમાં મૂકતા:
$2 = \left( \frac{2x}{dy/dx} \right) \frac{d^2y}{dx^2}$.
સાદું રૂપ આપતા:
$1 = \frac{x}{dy/dx} \cdot \frac{d^2y}{dx^2}$
$\implies \frac{dy}{dx} = x \frac{d^2y}{dx^2}$
$\implies x \frac{d^2y}{dx^2} - \frac{dy}{dx} = 0$.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $x+y \frac{dy}{dx}=\sec(x^2+y^2)$.
ધારો કે $u = x^2+y^2$. $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{du}{dx} = 2x + 2y \frac{dy}{dx}$ મળે.
આથી $x + y \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \frac{du}{dx}$ થાય.
મૂળ સમીકરણમાં આ કિંમત મૂકતા,$\frac{1}{2} \frac{du}{dx} = \sec(u)$ મળે.
ચલને અલગ કરતા,$\frac{du}{\sec(u)} = 2 dx$,એટલે કે $\cos(u) du = 2 dx$ મળે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,$\int \cos(u) du = \int 2 dx$.
પરિણામે $\sin(u) = 2x + c$ મળે.
$u = x^2+y^2$ પાછા મૂકતા,વ્યાપક ઉકેલ $\sin(x^2+y^2) = 2x + c$ છે.

(B) ન્યૂટનના શીતલનનો નિયમ મુજબ,પદાર્થના તાપમાનમાં થતો ફેરફારનો દર એ પદાર્થનું તાપમાન $T$ અને આસપાસના માધ્યમનું તાપમાન $T_s$ વચ્ચેના તફાવતના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
અહીં,$T_s = 32^{\circ} F$ છે.
પદાર્થ ગરમ હોવાથી,જેમ સમય $t$ વધે છે તેમ તેનું તાપમાન $T$ ઘટે છે,તેથી $\frac{dT}{dt} < 0$ થાય.
આમ,$\frac{dT}{dt} \propto -(T - 32)$.
પ્રમાણ્યતાનો ધન અચળાંક $k$ લેતા,આપણને મળે છે:
$\frac{dT}{dt} = -k(T - 32)$.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\frac{dy}{dx} = \frac{x+y+1}{x+y-1}$.
ધારો કે $u = x+y$. તેથી,$x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા,$1 + \frac{dy}{dx} = \frac{du}{dx}$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{dy}{dx} = \frac{du}{dx} - 1$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{du}{dx} - 1 = \frac{u+1}{u-1}$
$\frac{du}{dx} = \frac{u+1}{u-1} + 1 = \frac{u+1+u-1}{u-1} = \frac{2u}{u-1}$.
ચલને અલગ કરતા:
$\left(\frac{u-1}{u}\right) du = 2 dx$
$(1 - \frac{1}{u}) du = 2 dx$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$\int (1 - \frac{1}{u}) du = \int 2 dx$
$u - \log|u| = 2x + c$.
$u = x+y$ પાછા મૂકતા:
$(x+y) - \log|x+y| = 2x + c$
$y - x = \log|x+y| + c$ અથવા $y = x + \log|x+y| + c$.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $y(1+\log x)\left(\frac{dx}{dy}\right) - x \log x = 0$
પદોને ગોઠવતા: $y(1+\log x) dx = x \log x dy$
ચલને અલગ કરતા: $\frac{(1+\log x)}{x \log x} dx = \frac{dy}{y}$
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \frac{1+\log x}{x \log x} dx = \int \frac{1}{y} dy$
ડાબી બાજુના સંકલનને છૂટું પાડતા: $\int \frac{1}{x \log x} dx + \int \frac{\log x}{x \log x} dx = \int \frac{1}{y} dy$
$\int \frac{1}{x \log x} dx + \int \frac{1}{x} dx = \int \frac{1}{y} dy$
ધારો કે $u = \log x$,તેથી $du = \frac{1}{x} dx$. સંકલન થશે: $\int \frac{1}{u} du + \int \frac{1}{x} dx = \int \frac{1}{y} dy$
સંકલન કરતા: $\log|u| + \log|x| = \log|y| + \log|c|$
$\log|\log x| + \log|x| = \log|y| + \log|c|$
ગુણધર્મ $\log a + \log b = \log(ab)$ નો ઉપયોગ કરતા: $\log|x \log x| = \log|yc|$
બંને બાજુ ઘાતાંક લેતા: $x \log x = yc$

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\left(\frac{y}{x}\right) \cos \left(\frac{y}{x}\right) dx = \left[\frac{x}{y} \sin \left(\frac{y}{x}\right) + \cos \left(\frac{y}{x}\right)\right] dy$.
તેને ગોઠવતા,$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{y}{x} \cos \left(\frac{y}{x}\right)}{\frac{x}{y} \sin \left(\frac{y}{x}\right) + \cos \left(\frac{y}{x}\right)}$.
ધારો કે $v = \frac{y}{x}$,તેથી $y = vx$ અને $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા: $v + x \frac{dv}{dx} = \frac{v \cos v}{\frac{1}{v} \sin v + \cos v} = \frac{v^2 \cos v}{\sin v + v \cos v}$.
તેથી $x \frac{dv}{dx} = \frac{v^2 \cos v}{\sin v + v \cos v} - v = \frac{v^2 \cos v - v \sin v - v^2 \cos v}{\sin v + v \cos v} = \frac{-v \sin v}{\sin v + v \cos v}$.
ચલને અલગ કરતા: $\frac{\sin v + v \cos v}{v \sin v} dv = -\frac{dx}{x}$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \left( \frac{1}{v} + \cot v \right) dv = -\int \frac{dx}{x}$.
$\ln |v| + \ln |\sin v| = -\ln |x| + \ln |k|$.
$\ln |v \sin v x| = \ln |k| \Rightarrow v \sin v x = k$.
કારણ કે $v = \frac{y}{x}$,તેથી $\frac{y}{x} \sin \left(\frac{y}{x}\right) x = k$,જેનું સાદું રૂપ $y \sin \left(\frac{y}{x}\right) = k$ થાય છે.

(D) આપેલ સમીકરણ: $\sin ^{-1}\left(\frac{d y}{d x}\right)=x+y$
$\therefore \frac{d y}{d x}=\sin (x+y)$
ધારો કે $x+y=t$. $x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા,$1+\frac{d y}{d x}=\frac{d t}{d x}$,તેથી $\frac{d y}{d x}=\frac{d t}{d x}-1$.
આ કિંમત વિકલ સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{d t}{d x}-1=\sin t$
$\frac{d t}{d x}=1+\sin t$
ચલ અલગ કરતા: $\int \frac{d t}{1+\sin t}=\int d x$
અંશ અને છેદને $(1-\sin t)$ વડે ગુણતા: $\int \frac{1-\sin t}{1-\sin^2 t} d t=\int d x$
$\int \frac{1-\sin t}{\cos^2 t} d t=\int d x$
$\int (\sec^2 t - \sec t \tan t) d t = \int d x$
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\tan t - \sec t = x + c$
$t = x+y$ પાછું મૂકતા: $\tan (x+y) - \sec (x+y) = x + c$

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $y(1+\log x) = (\log x^x) \frac{dy}{dx}$.
$\log x^x = x \log x$ હોવાથી,સમીકરણ $y(1+\log x) = (x \log x) \frac{dy}{dx}$ બને છે.
ચલને અલગ કરતા: $\frac{1+\log x}{x \log x} dx = \frac{dy}{y}$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \frac{1+\log x}{x \log x} dx = \int \frac{dy}{y}$.
ધારો કે $u = \log x$,તો $du = \frac{1}{x} dx$. સંકલન $\int \frac{1+u}{u} du = \int (\frac{1}{u} + 1) du = \log |u| + u = \log |\log x| + \log x$ થાય છે.
તેથી,$\log |\log x| + \log x = \log |y| + C$.
શરત $y(e) = e^2$ નો ઉપયોગ કરતા: $\log |\log e| + \log e = \log |e^2| + C$.
$\log e = 1$ હોવાથી,$\log |1| + 1 = 2 + C$,જે $0 + 1 = 2 + C$ આપે છે,તેથી $C = -1$.
$C$ ની કિંમત મૂકતા: $\log |\log x| + \log x = \log |y| - 1$.
$1 = \log e$ હોવાથી,$\log |\log x| + \log x + \log e = \log |y|$.
$\log a + \log b = \log(ab)$ નો ઉપયોગ કરતા,$\log |e \cdot x \log x| = \log |y|$.
તેથી,$y = ex \log x$,અથવા $ex \log x - y = 0$.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\frac{dy}{dx} = \frac{y+1}{x(x-1)}$
ચલને અલગ કરતા: $\int \frac{dy}{y+1} = \int \frac{dx}{x(x-1)}$
આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{x(x-1)} = \frac{1}{x-1} - \frac{1}{x}$
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \frac{dy}{y+1} = \int \left( \frac{1}{x-1} - \frac{1}{x} \right) dx$
$\ln |y+1| = \ln |x-1| - \ln |x| + \ln C$
$\ln |y+1| = \ln \left| \frac{C(x-1)}{x} \right|$
$y+1 = \frac{C(x-1)}{x}$
$x=2$ અને $y=1$ મુકતા: $1+1 = \frac{C(2-1)}{2} \Rightarrow 2 = \frac{C}{2} \Rightarrow C = 4$
પરંતુ જો $C=2$ લઈએ તો $y+1 = \frac{2(x-1)}{x} \Rightarrow xy+x = 2x-2 \Rightarrow xy = x-2$ મળે છે,જે વિકલ્પ $C$ છે.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $(2 y-1) dx - (2 x+3) dy = 0$ છે.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $(2 y-1) dx = (2 x+3) dy$ મળે છે.
ચલને અલગ કરતા,આપણને $\frac{dx}{2 x+3} = \frac{dy}{2 y-1}$ મળે છે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,$\int \frac{dx}{2 x+3} = \int \frac{dy}{2 y-1}$ મળે છે.
આનું પરિણામ $\frac{1}{2} \ln|2 x+3| = \frac{1}{2} \ln|2 y-1| + C_1$ છે.
બંને બાજુ $2$ વડે ગુણતા,$\ln|2 x+3| = \ln|2 y-1| + 2C_1$ મળે છે.
ધારો કે $2C_1 = \ln|c|$,તો $\ln|2 x+3| - \ln|2 y-1| = \ln|c|$.
ગુણધર્મ $\ln(a) - \ln(b) = \ln(\frac{a}{b})$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\ln|\frac{2 x+3}{2 y-1}| = \ln|c|$ મળે છે.
બંને બાજુ ઘાતાંકીય લેતા,આપણને $\frac{2 x+3}{2 y-1} = c$ મળે છે.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $(x+y) dy + (x-y) dx = 0$.
તેને $\frac{dy}{dx} = \frac{y-x}{y+x}$ તરીકે લખી શકાય.
ધારો કે $y = vx$,તેથી $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$.
કિંમતો મૂકતા: $v + x \frac{dv}{dx} = \frac{v-1}{v+1}$.
$x \frac{dv}{dx} = \frac{v-1}{v+1} - v = -\frac{1+v^2}{1+v}$.
ચલનું પૃથક્કરણ કરતા: $\int \frac{1+v}{1+v^2} dv = -\int \frac{dx}{x}$.
$\tan^{-1}(v) + \frac{1}{2} \log(1+v^2) = -\log|x| + C$.
$v = \frac{y}{x}$ મૂકતા: $\tan^{-1}(\frac{y}{x}) + \frac{1}{2} \log(1+\frac{y^2}{x^2}) = -\log|x| + C$.
સામાન્યીકરણ કરતા: $\tan^{-1}(\frac{y}{x}) + \frac{1}{2} \log(x^2+y^2) = C$.
$x=1, y=1$ માટે: $\tan^{-1}(1) + \frac{1}{2} \log(2) = C \Rightarrow C = \frac{\pi}{4} + \frac{1}{2} \log(2)$.
તેથી,$\tan^{-1}(\frac{y}{x}) + \frac{1}{2} \log(x^2+y^2) = \frac{\pi}{4} + \frac{1}{2} \log(2)$.
$\frac{1}{2} \log(\frac{x^2+y^2}{2}) = \frac{\pi}{4} - \tan^{-1}(\frac{y}{x})$.
બંને બાજુ $2$ વડે ગુણતા: $\log(\frac{x^2+y^2}{2}) = \frac{\pi}{2} - 2 \tan^{-1}(\frac{y}{x})$.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\frac{d y}{d x}+\frac{y^2+y+1}{x^2+x+1}=0$
ચલને અલગ કરતા: $\frac{d y}{y^2+y+1} = -\frac{d x}{x^2+x+1}$
છેદમાં પૂર્ણવર્ગ બનાવતા: $\int \frac{d y}{(y+\frac{1}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2} = -\int \frac{d x}{(x+\frac{1}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2}$
સૂત્ર $\int \frac{du}{u^2+a^2} = \frac{1}{a} \tan^{-1}(\frac{u}{a}) + C$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{2}{\sqrt{3}} \tan^{-1}(\frac{2y+1}{\sqrt{3}}) = -\frac{2}{\sqrt{3}} \tan^{-1}(\frac{2x+1}{\sqrt{3}}) + C_1$
$\frac{2}{\sqrt{3}}$ વડે ભાગતા અને પદો ગોઠવતા: $\tan^{-1}(\frac{2y+1}{\sqrt{3}}) + \tan^{-1}(\frac{2x+1}{\sqrt{3}}) = C_2$
નિત્યસમ $\tan^{-1} A + \tan^{-1} B = \tan^{-1}(\frac{A+B}{1-AB})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\tan^{-1} \left[ \frac{\frac{2y+1}{\sqrt{3}} + \frac{2x+1}{\sqrt{3}}}{1 - (\frac{2y+1}{\sqrt{3}})(\frac{2x+1}{\sqrt{3}})} \right] = C_2$
અંદરના પદનું સાદું રૂપ આપતા: $\frac{\frac{2(x+y+1)}{\sqrt{3}}}{\frac{3 - (4xy+2x+2y+1)}{3}} = \tan C_2$
$\frac{2(x+y+1)}{\sqrt{3}} \cdot \frac{3}{2(1-x-y-2xy)} = \tan C_2$
$\frac{\sqrt{3}(x+y+1)}{1-x-y-2xy} = \tan C_2$
આમ,$x+y+1 = c(1-x-y-2xy)$,જ્યાં $c = \frac{\tan C_2}{\sqrt{3}}$.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\frac{dx}{dt} = \frac{x \log x}{t}$
ચલને અલગ કરતા: $\int \frac{dx}{x \log x} = \int \frac{dt}{t}$
ધારો કે $u = \log x$,તો $du = \frac{1}{x} dx$.
સંકલનમાં કિંમત મુકતા: $\int \frac{du}{u} = \int \frac{dt}{t}$
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\log |u| = \log |t| + \log |c|$
$\log |\log x| = \log |tc|$
બંને બાજુ ઘાતાંક લેતા: $\log x = tc$
તેથી,$x = e^{tc}$.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = 2^{y-x}$ છે.
ઘાતાંકના નિયમ મુજબ,આપણે લખી શકીએ કે $\frac{dy}{dx} = \frac{2^y}{2^x}$.
ચલને અલગ કરતા,આપણને $\frac{dy}{2^y} = \frac{dx}{2^x}$ મળે,જે $2^{-y} dy = 2^{-x} dx$ ને સમાન છે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,આપણને $\int 2^{-y} dy = \int 2^{-x} dx$ મળે છે.
સૂત્ર $\int a^u du = \frac{a^u}{\ln a} + C$ નો ઉપયોગ કરતા,$\frac{2^{-y}}{-\ln 2} = \frac{2^{-x}}{-\ln 2} + C_1$ મળે.
બંને બાજુ $-\ln 2$ વડે ગુણતા,$2^{-y} = 2^{-x} - C_1 \ln 2$ મળે.
પદોને ગોઠવતા,$2^{-x} - 2^{-y} = C_1 \ln 2$ મળે.
ધારો કે $c = C_1 \ln 2$,તેથી આપણને $\frac{1}{2^x} - \frac{1}{2^y} = c$ મળે છે.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $y(1+\log x) \frac{dx}{dy} = x \log x$.
ચલને અલગ કરતા: $\frac{dy}{y} = \frac{1+\log x}{x \log x} dx$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \frac{1}{y} dy = \int \frac{1+\log x}{x \log x} dx$.
ધારો કે $u = \log x$,તેથી $du = \frac{1}{x} dx$. સંકલન કરતા: $\int \frac{1+u}{u} du = \int (\frac{1}{u} + 1) du = \log |u| + u + C$.
કિંમત મુકતા: $\log |y| = \log |\log x| + \log x + C$.
$x=e, y=e^2$ લેતા: $\log |e^2| = \log |\log e| + \log e + C \Rightarrow 2 = \log(1) + 1 + C \Rightarrow 2 = 0 + 1 + C \Rightarrow C = 1$.
આમ,$\log |y| = \log |\log x| + \log x + 1$.
$1 = \log e$ હોવાથી,$\log |y| = \log |\log x| + \log x + \log e = \log |e \log x \cdot x|$.
તેથી,$y = ex \log x$.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\cos (x+y) \frac{dy}{dx} = 1$.
ધારો કે $x+y = V$. તેથી,$x$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા $1 + \frac{dy}{dx} = \frac{dV}{dx}$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{dy}{dx} = \frac{dV}{dx} - 1$.
આ કિંમતોને મૂળ સમીકરણમાં મૂકતા: $\cos V \left(\frac{dV}{dx} - 1\right) = 1$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $\cos V \frac{dV}{dx} = 1 + \cos V$ મળે છે.
સંકલન માટે પદોને ગોઠવતા: $\int \frac{\cos V}{1 + \cos V} dV = \int dx$.
આપણે સંકલ્યને આ રીતે લખી શકીએ: $\int \left[ \frac{1 + \cos V}{1 + \cos V} - \frac{1}{1 + \cos V} \right] dV = \int dx$.
આ $\int dV - \int \frac{1}{2 \cos^2 (V/2)} dV = \int dx$ બને છે,જે $\int dV - \frac{1}{2} \int \sec^2 (V/2) dV = \int dx$ છે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $V - \frac{1}{2} \cdot \frac{\tan (V/2)}{1/2} = x + c$.
તેથી,$V - \tan (V/2) = x + c$.
$V = x+y$ પાછા મૂકતા: $(x+y) - \tan \left(\frac{x+y}{2}\right) = x + c$.
આમ,$y = \tan \left(\frac{x+y}{2}\right) + c$ મળે છે.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $(1+e^{2x}) dy + e^x(1+y^2) dx = 0$ છે.
ચલને અલગ કરતા,$\frac{dy}{1+y^2} = -\frac{e^x}{1+e^{2x}} dx$ મળે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,$\int \frac{dy}{1+y^2} = -\int \frac{e^x}{1+(e^x)^2} dx$.
ધારો કે $e^x = t$,તેથી $e^x dx = dt$.
સંકલન કરતા,$\tan^{-1}(y) = -\tan^{-1}(t) + C$,એટલે કે $\tan^{-1}(y) = -\tan^{-1}(e^x) + C$.
તેથી,$\tan^{-1}(y) + \tan^{-1}(e^x) = C$.
$x=0$ અને $y=1$ મુકતા,$\tan^{-1}(1) + \tan^{-1}(e^0) = C$.
$\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = C$,તેથી $C = \frac{\pi}{2}$.
આમ,વિશિષ્ટ ઉકેલ $\tan^{-1}(y) + \tan^{-1}(e^x) = \frac{\pi}{2}$ છે.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = \tan \left(\frac{y}{x}\right) + \frac{y}{x}$ છે.
$\frac{y}{x} = v$ લેતા,તેથી $y = vx$. $x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા,$\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$ મળે.
આ કિંમતોને મૂળ સમીકરણમાં મૂકતા: $v + x \frac{dv}{dx} = \tan(v) + v$.
સાદુરૂપ આપતા,$x \frac{dv}{dx} = \tan(v)$ મળે.
ચલને અલગ કરતા,$\frac{dv}{\tan(v)} = \frac{dx}{x}$,એટલે કે $\cot(v) \, dv = \frac{dx}{x}$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \cot(v) \, dv = \int \frac{dx}{x}$.
આથી $\ln |\sin(v)| = \ln |x| + \ln |c|$ મળે.
બંને બાજુ ઘાતાંકીય લેતા,$\sin(v) = cx$ મળે.
$v = \frac{y}{x}$ પાછા મૂકતા,વ્યાપક ઉકેલ $\sin \left(\frac{y}{x}\right) = cx$ થાય.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\cos x \sin y \, dx + \sin x \cos y \, dy = 0$ છે.
પદોને ગોઠવતા,આપણને મળે $\sin x \cos y \, dy = -\cos x \sin y \, dx$.
ચલને અલગ કરતા,$\frac{\cos y}{\sin y} \, dy = -\frac{\cos x}{\sin x} \, dx$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,$\int \frac{\cos y}{\sin y} \, dy = -\int \frac{\cos x}{\sin x} \, dx$.
સૂત્ર $\int \cot \theta \, d\theta = \log |\sin \theta| + C$ નો ઉપયોગ કરતા,$\log |\sin y| = -\log |\sin x| + C_1$.
તેથી,$\log |\sin x| + \log |\sin y| = C_1$.
લઘુગણકના ગુણધર્મ $\log a + \log b = \log(ab)$ મુજબ,$\log |\sin x \sin y| = C_1$.
બંને બાજુ ઘાતાંક લેતા,$\sin x \sin y = e^{C_1} = c$.