MHT CET 2021 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(B) આપેલ છે: જડત્વની ચાકમાત્રા $I = 1.2 \; kg \cdot m^2$,પ્રારંભિક કોણીય વેગ $\omega_0 = 0$,ચાકગતિ ઉર્જા $K_r = 1500 \; J$,અને કોણીય પ્રવેગ $\alpha = 25 \; rad/s^2$.
ચાકગતિ ઉર્જાનું સૂત્ર $K_r = \frac{1}{2} I \omega^2$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $1500 = \frac{1}{2} \times 1.2 \times \omega^2$.
$1500 = 0.6 \times \omega^2 \Rightarrow \omega^2 = \frac{1500}{0.6} = 2500$.
તેથી,અંતિમ કોણીય વેગ $\omega = \sqrt{2500} = 50 \; rad/s$.
ચાકગતિના ગતિના સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $\omega = \omega_0 + \alpha t$.
$50 = 0 + 25 \times t$.
$t = \frac{50}{25} = 2 \; s$.

(C) સ્થિતિસ્થાપક સંઘાતમાં રેખીય વેગમાન અને ગતિઊર્જા બંનેનું સંરક્ષણ થાય છે.
ધારો કે પ્રારંભિક વેગ $v_{a}$ અને $-v_{b}$ છે (કારણ કે તેઓ વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરે છે).
સંઘાત પછી,વેગ અનુક્રમે $-v_{b}$ અને $v_{a}$ થાય છે.
રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$m_{a}v_{a} - m_{b}v_{b} = m_{a}(-v_{b}) + m_{b}v_{a}$
પદોને ગોઠવતા:
$m_{a}v_{a} + m_{a}v_{b} = m_{b}v_{a} + m_{b}v_{b}$
$m_{a}(v_{a} + v_{b}) = m_{b}(v_{a} + v_{b})$
અહીં $(v_{a} + v_{b}) \neq 0$ હોવાથી,બંને બાજુ $(v_{a} + v_{b})$ વડે ભાગતા:
$m_{a} = m_{b}$
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{m_{a}}{m_{b}} = 1$ થાય છે.

(D) ધારો કે $m$ દળના કણનો પ્રારંભિક વેગ $u$ છે અને અથડામણ પછી $M$ દળના કણનો વેગ $v_M$ છે। $m$ દળનો કણ અથડામણ પછી સ્થિર થઈ જાય છે,તેથી તેનો અંતિમ વેગ $0$ છે।
રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$mu + M(0) = m(0) + Mv_M$
$mu = Mv_M$
$v_M = \frac{m}{M}u$
પ્રત્યવસ્થાન ગુણાંક $e$ એ અથડામણ પછીના સાપેક્ષ વેગ અને અથડામણ પહેલાના સાપેક્ષ વેગનો ગુણોત્તર છે:
$e = \frac{v_M - 0}{u - 0} = \frac{v_M}{u}$
$v_M$ ની કિંમત મૂકતા:
$e = \frac{(m/M)u}{u} = \frac{m}{M}$

(A) સ્થિર દીવાલ સાથેની સ્થિતિસ્થાપક અથડામણમાં,અણુ સમાન ઝડપ $v$ થી વિરુદ્ધ દિશામાં પાછો ફરે છે.
એક અથડામણમાં અણુના વેગમાનમાં થતો ફેરફાર = $mv - (-mv) = 2mv$.
વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,એક અથડામણમાં દીવાલના વેગમાનમાં થતો ફેરફાર એ અણુના વેગમાનમાં થતા ફેરફાર જેટલો જ અને વિરુદ્ધ દિશામાં હોય છે,જે $2mv$ છે.
પ્રતિ સેકન્ડ $5$ અથડામણો થતી હોવાથી,દીવાલના વેગમાનમાં પ્રતિ સેકન્ડ થતો કુલ ફેરફાર $5 \times 2mv = 10mv$ થશે.

(B) આપેલ છે: પ્રથમ બ્લોકનું દળ $M_1 = m$,પ્રારંભિક વેગ $u_1 = v$,અંતિમ વેગ $v_1 = 0$.
બીજા બ્લોકનું દળ $M_2 = 4m$,પ્રારંભિક વેગ $u_2 = 0$,અંતિમ વેગ $v_2 = ?$.
રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$M_1 u_1 + M_2 u_2 = M_1 v_1 + M_2 v_2$
$m(v) + 4m(0) = m(0) + 4m(v_2)$
$mv = 4mv_2$
$v_2 = \frac{v}{4}$
રિસ્ટિટ્યુશનનો ગુણાંક $e$ નીચે મુજબ વ્યાખ્યાયિત થાય છે:
$e = \frac{v_2 - v_1}{u_1 - u_2}$
કિંમતો મૂકતા:
$e = \frac{\frac{v}{4} - 0}{v - 0} = \frac{v/4}{v} = \frac{1}{4} = 0.25$.

(B) ગતિઊર્જા $K$ અને વેગમાન $p$ વચ્ચેનો સંબંધ $K = \frac{p^2}{2m}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $m$ એ પદાર્થનું દળ છે.
આ સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $p = \sqrt{2mK}$ મળે છે.
કારણ કે બંને પદાર્થો માટે ગતિઊર્જા $K$ સમાન છે,તેથી વેગમાન $p$ એ દળના વર્ગમૂળના સમપ્રમાણમાં છે,એટલે કે $p \propto \sqrt{m}$.
તેથી,જે પદાર્થનું દળ વધારે હશે તેનું વેગમાન પણ વધારે હશે.
આમ,ભારે પદાર્થનું વેગમાન વધારે હોય છે.

(A) પૃથ્વીની સપાટીથી $d$ ઊંડાઈએ ગુરુત્વપ્રવેગનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$g^{\prime} = g \left(1 - \frac{d}{R}\right)$
આપેલ છે કે $d$ ઊંડાઈએ ગુરુત્વપ્રવેગ $\frac{g}{n}$ છે,તેથી આપણે સમીકરણમાં કિંમત મૂકીએ:
$\frac{g}{n} = g \left(1 - \frac{d}{R}\right)$
બંને બાજુ $g$ વડે ભાગતા:
$\frac{1}{n} = 1 - \frac{d}{R}$
$d$ માટે સમીકરણને ગોઠવતા:
$\frac{d}{R} = 1 - \frac{1}{n}$
$\frac{d}{R} = \frac{n-1}{n}$
$d = \frac{R(n-1)}{n}$

(A) પૃથ્વીની સપાટીની નીચે $d$ ઊંડાઈએ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગનું સૂત્ર: $g' = g\left(1 - \frac{d}{R}\right)$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$d$ ઊંડાઈએ પ્રવેગનું મૂલ્ય સપાટી પરના મૂલ્ય કરતાં $\frac{1}{n}$ ગણું છે,તેથી $g' = \frac{g}{n}$.
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા: $\frac{g}{n} = g\left(1 - \frac{d}{R}\right)$.
બંને બાજુ $g$ વડે ભાગતા: $\frac{1}{n} = 1 - \frac{d}{R}$.
$d$ માટે પદ ગોઠવતા: $\frac{d}{R} = 1 - \frac{1}{n} = \frac{n-1}{n}$.
તેથી,$d = R\left(\frac{n-1}{n}\right)$.

(D) પૃથ્વીની સપાટીથી '$h$' ઊંચાઈ પર ગુરુત્વપ્રવેગનું સૂત્ર: $g' = g \left( \frac{R}{R+h} \right)^2$ છે.
અહીં આપેલ છે કે $g' = \frac{g}{3}$,તેથી:
$\frac{g}{3} = g \left( \frac{R}{R+h} \right)^2$.
બંને બાજુ '$g$' વડે ભાગતા:
$\frac{1}{3} = \left( \frac{R}{R+h} \right)^2$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{R}{R+h}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા:
$R + h = \sqrt{3} R$.
'$h$' ને કર્તા બનાવતા:
$h = \sqrt{3} R - R = (\sqrt{3} - 1) R$.

(C) પૃથ્વીના કેન્દ્રથી $r$ અંતરે ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g' = \frac{GM}{r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ કિસ્સામાં,સપાટીથી અંતર $R$ છે,તેથી કેન્દ્રથી અંતર $r_1 = R + R = 2R$ થાય. આપેલ છે કે $g_1 = \frac{g}{4}$.
બીજા કિસ્સામાં,સપાટીથી અંતર $\frac{R}{2}$ છે,તેથી કેન્દ્રથી અંતર $r_2 = R + \frac{R}{2} = \frac{3R}{2}$ થાય.
ગુણોત્તરનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{g_2}{g_1} = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2 = \left(\frac{2R}{3R/2}\right)^2 = \left(\frac{4}{3}\right)^2 = \frac{16}{9}$.
તેથી,$g_2 = \frac{16}{9} \times g_1 = \frac{16}{9} \times \frac{g}{4} = \frac{4g}{9}$.

(C) પૃથ્વીની સપાટીથી $h$ ઊંચાઈએ ગુરુત્વપ્રવેગ $g'$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$g' = g \left( \frac{R}{R+h} \right)^2$
અહીં આપેલ છે કે ઊંચાઈ $h = R$,તેથી આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા:
$g' = g \left( \frac{R}{R+R} \right)^2$
$g' = g \left( \frac{R}{2R} \right)^2$
$g' = g \left( \frac{1}{2} \right)^2$
$g' = \frac{g}{4}$
આમ,પૃથ્વીની સપાટીથી $R$ ઊંચાઈએ ગુરુત્વપ્રવેગ $\frac{g}{4}$ થાય છે.

(A) સેકન્ડ લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2 \,s$ હોય છે। આવર્તકાળનું સૂત્ર $T = 2 \pi \sqrt{\frac{\ell}{g}}$ છે.
અહીં $T$ અચળ $(2 \,s)$ હોવાથી, $\ell \propto g$ થાય, જેનો અર્થ છે કે $\frac{\ell'}{\ell} = \frac{g'}{g}$.
ગુરુત્વપ્રવેગનું સૂત્ર $g = \frac{GM}{R^2}$ છે.
ગ્રહ માટે, $M' = 1.5M$ અને $R' = 1.5R$ છે.
તેથી, $g' = \frac{G(1.5M)}{(1.5R)^2} = \frac{1.5}{2.25} \frac{GM}{R^2} = \frac{1}{1.5} g$.
આ કિંમત લંબાઈના ગુણોત્તરમાં મૂકતા: $\ell' = \ell \times \frac{g'}{g} = 1 \,m \times \frac{1}{1.5} = \frac{1}{1.5} \,m \approx 0.67 \,m$.

(B) પૃથ્વીની સપાટીથી $d$ ઊંડાઈએ ગુરુત્વપ્રવેગનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$g' = g(1 - \frac{d}{R})$
જ્યાં $g$ એ સપાટી પરનો ગુરુત્વપ્રવેગ છે અને $R$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે.
આપેલ છે કે $g' = 60\% \text{ of } g$,તેથી:
$g' = 0.6g$
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા:
$0.6g = g(1 - \frac{d}{R})$
$0.6 = 1 - \frac{d}{R}$
$d$ માટે પદ ગોઠવતા:
$\frac{d}{R} = 1 - 0.6$
$\frac{d}{R} = 0.4$
$\frac{d}{R} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$
તેથી,$d = \frac{2}{5}R$.

(B) પૃથ્વીની સપાટી પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g$ નું સૂત્ર $g = \frac{GM}{R^2}$ છે.
પૃથ્વીનું દળ $M = \rho \cdot V = \rho \cdot \frac{4}{3} \pi R^3$ મૂકતા,જ્યાં $\rho$ એ સરેરાશ ઘનતા છે અને $R$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે:
$g = \frac{G}{R^2} \cdot \left( \frac{4}{3} \pi R^3 \rho \right) = \frac{4}{3} \pi G R \rho$.
અહીં $G$,$\pi$ અને $R$ પૃથ્વી માટે અચળાંક હોવાથી,$g \propto \rho$ મળે છે.
તેથી,સરેરાશ ઘનતા $\rho$ એ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g$ ના સમપ્રમાણમાં છે.

(C) પૃથ્વીના ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રમાંથી બહાર નીકળવા માટે જરૂરી ઉર્જા $E_{esc} = \frac{1}{2} m V_{e}^2$ છે.
પદાર્થને આપવામાં આવેલી પ્રારંભિક ગતિ ઉર્જા $K_i = \frac{1}{2} m (3 V_{e})^2 = \frac{9}{2} m V_{e}^2$ છે.
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ, ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રમાંથી બહાર નીકળ્યા પછીની અંતિમ ગતિ ઉર્જા $K_f$ એ પ્રારંભિક ઉર્જા અને નિષ્ક્રમણ માટે જરૂરી ઉર્જાનો તફાવત છે:
$K_f = K_i - E_{esc}$
$\frac{1}{2} m V^2 = \frac{9}{2} m V_{e}^2 - \frac{1}{2} m V_{e}^2$
$\frac{1}{2} m V^2 = 4 m V_{e}^2$
$V^2 = 8 V_{e}^2$
$V = \sqrt{8} V_{e} = 2 \sqrt{2} V_{e}$.

(A) કણ પાછો ન આવે તે માટે,અનંત અંતરે તેની કુલ યાંત્રિક ઉર્જા ઓછામાં ઓછી શૂન્ય હોવી જોઈએ.
ધારો કે પૃથ્વીની સપાટીથી $h = 3R$ ઊંચાઈ પર પ્રક્ષેપણ ઝડપ $v$ છે.
પૃથ્વીના કેન્દ્રથી અંતર $r = R + 3R = 4R$ થશે.
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $K_i + U_i = K_f + U_f$.
અહીં,$K_i = \frac{1}{2}mv^2$,$U_i = -\frac{GMm}{4R}$,$K_f = 0$,અને $U_f = 0$.
$\frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{4R} = 0$.
$\frac{1}{2}v^2 = \frac{GM}{4R}$.
$v^2 = \frac{GM}{2R}$.
$v = [\frac{GM}{2R}]^{1/2}$.

(A) નિષ્ક્રમણ વેગનું સૂત્ર $V = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ છે.
પૃથ્વી માટે,નિષ્ક્રમણ વેગ $V_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ છે.
ગ્રહ માટે,દળ $M_p = 6M$ અને ત્રિજ્યા $R_p = 2R$ છે.
તેથી,ગ્રહ પરથી નિષ્ક્રમણ વેગ $V_p = \sqrt{\frac{2G(6M)}{2R}} = \sqrt{3 \times \frac{2GM}{R}}$ થશે.
સમીકરણમાં $V_e$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $V_p = \sqrt{3} V_e$ મળે છે.

(A) ગ્રહની સપાટી પરથી નિષ્ક્રમણ વેગ $v_e$ નું સૂત્ર $v_e = \sqrt{2 g R}$ છે,જ્યાં $g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે ઉદ્ભવતો પ્રવેગ છે અને $R$ એ ગ્રહની ત્રિજ્યા છે.
આપેલ છે કે ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગનો ગુણોત્તર $\frac{g_1}{g_2} = K_1$ અને ત્રિજ્યાઓનો ગુણોત્તર $\frac{R_1}{R_2} = K_2$ છે.
નિષ્ક્રમણ વેગનો ગુણોત્તર $\frac{v_{e1}}{v_{e2}} = \sqrt{\frac{2 g_1 R_1}{2 g_2 R_2}}$ થાય.
આપેલ ગુણોત્તરની કિંમતો મૂકતા,$\frac{v_{e1}}{v_{e2}} = \sqrt{\frac{g_1}{g_2} \cdot \frac{R_1}{R_2}} = \sqrt{K_1 K_2}$ મળે છે.

(A) પૃથ્વી પર ગુરુત્વપ્રવેગ $g = \frac{GM}{R^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ગ્રહ માટે, દળ $M' = 4M$ છે અને ત્રિજ્યા $R' = R$ છે.
તેથી, ગ્રહ પર ગુરુત્વપ્રવેગ $g' = \frac{GM'}{R'^2} = \frac{G(4M)}{R^2} = 4g$ થશે.
આપેલ છે કે $g = 10 \,ms^{-2}$, તેથી ગ્રહ પર ગુરુત્વપ્રવેગ $g' = 4 \times 10 = 40 \,ms^{-2}$ થશે.
$m = 5 \,kg$ દળના પદાર્થને $h = 2 \,m$ ઊંચાઈ સુધી ઊંચકવા માટે કરવામાં આવતું કાર્ય $W = m g' h$ છે.
કિંમતો મૂકતા, $W = 5 \,kg \times 40 \,ms^{-2} \times 2 \,m = 400 \,J$ મળે છે.

(C) નિષ્ક્રમણ વેગનું સૂત્ર $v = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ છે.
દળ $M = \text{કદ} \times \text{ઘનતા} = \frac{4}{3} \pi R^3 \rho$ હોવાથી,આપણે આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકીએ:
$v = \sqrt{\frac{2G}{R} \cdot \frac{4}{3} \pi R^3 \rho} = \sqrt{\frac{8}{3} \pi G \rho R^2} = R \sqrt{\frac{8 \pi G \rho}{3}}$.
આમ,$v \propto R \sqrt{\rho}$.
આપેલ છે કે સરેરાશ દળ ઘનતા $\rho$ સમાન છે,તેથી નિષ્ક્રમણ વેગ ત્રિજ્યાના સમપ્રમાણમાં છે: $v \propto R$.
તેથી,$\frac{V_P}{V_E} = \frac{R_P}{R_E}$.
અહીં $R_P = 2 R_E$ હોવાથી,$\frac{V_P}{V_E} = 2$,જેનો અર્થ છે કે $V_P = 2 V_E$.

(C) કેપ્લરના ગ્રહીય ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ, પરિભ્રમણ સમયગાળાનો વર્ગ $T^2$ એ કક્ષાની અર્ધ-મુખ્ય ધરીના ઘન $R^3$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે: $T^2 \propto R^3$.
આપેલ છે કે ગ્રહ $A$ નો સમયગાળો $(T_A)$ એ ગ્રહ $B$ ના સમયગાળા $(T_B)$ કરતા $8$ ગણો છે, તેથી $T_A = 8 T_B$.
સંબંધ $\frac{T_A}{T_B} = \left(\frac{R_A}{R_B}\right)^{3/2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\left(\frac{T_A}{T_B}\right)^2 = \left(\frac{R_A}{R_B}\right)^3$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$(8)^2 = \left(\frac{R_A}{R_B}\right)^3$
$64 = \left(\frac{R_A}{R_B}\right)^3$
બંને બાજુ ઘનમૂળ લેતા:
$\frac{R_A}{R_B} = (64)^{1/3} = 4$
આમ, ગ્રહ $A$ નું સૂર્યથી અંતર એ ગ્રહ $B$ ના સૂર્યથી અંતર કરતા $4$ ગણું છે.

(B) કેપ્લરના ગ્રહીય ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ, આવર્તકાળ $(T)$ નો વર્ગ એ કક્ષાની ત્રિજ્યા $(r)$ ના ઘનના સમપ્રમાણમાં હોય છે:
$T^2 \propto r^3$
અહીં પ્રારંભિક આવર્તકાળ $T_1 = 5 \text{ કલાક}$ અને પ્રારંભિક ત્રિજ્યા $r_1 = r$ છે।
નવી ત્રિજ્યા $r_2 = 4r$ છે।
ગુણોત્તરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{T_2^2}{T_1^2} = \left(\frac{r_2}{r_1}\right)^3$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{T_2^2}{T_1^2} = \left(\frac{4r}{r}\right)^3 = (4)^3 = 64$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$\frac{T_2}{T_1} = \sqrt{64} = 8$
તેથી, નવો આવર્તકાળ:
$T_2 = 8 \times T_1 = 8 \times 5 \text{ કલાક} = 40 \text{ કલાક}$.

(C) પૃથ્વીના કેન્દ્રથી $r$ અંતરે રહેલા ઉપગ્રહનો કક્ષીય વેગ $v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પૃથ્વીની સપાટીની નજીક રહેલા ઉપગ્રહ માટે,કક્ષીય ત્રિજ્યા $r = R$ છે,તેથી વેગ $V = \sqrt{\frac{GM}{R}}$ થાય.
$h = \frac{R}{2}$ જેટલી ઊંચાઈએ રહેલા ઉપગ્રહ માટે,કક્ષીય ત્રિજ્યા $r' = R + h = R + \frac{R}{2} = \frac{3R}{2}$ થાય.
નવો કક્ષીય વેગ $V'$ એ $V' = \sqrt{\frac{GM}{r'}} = \sqrt{\frac{GM}{3R/2}} = \sqrt{\frac{2GM}{3R}}$ દ્વારા મળે છે.
આ સમીકરણમાં $V = \sqrt{\frac{GM}{R}}$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $V' = \sqrt{\frac{2}{3}} V$ મળે છે.

(D) $m$ દળના ઉપગ્રહને પૃથ્વીની સપાટીથી '$h$' ઊંચાઈ પર લઈ જવા માટે જરૂરી ઊર્જા તેની ગુરુત્વાકર્ષણીય સ્થિતિ ઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલી હોય છે:
$W = U_f - U_i = -\frac{GMm}{R+h} - (-\frac{GMm}{R}) = GMm \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{R+h} \right) = \frac{GMmh}{R(R+h)}$.
'$h$' ઊંચાઈ પર વર્તુળાકાર કક્ષામાં ફરતા '$m$' દળના ઉપગ્રહની કુલ ઊર્જા નીચે મુજબ છે:
$E = \frac{GMm}{2(R+h)}$.
હવે,ઉપગ્રહને ઊંચાઈ પર લઈ જવા માટે જરૂરી ઊર્જા અને તેને કક્ષામાં મૂકવા માટે જરૂરી ઊર્જાનો ગુણોત્તર:
$\frac{W}{E} = \frac{\frac{GMmh}{R(R+h)}}{\frac{GMm}{2(R+h)}} = \frac{GMmh}{R(R+h)} \times \frac{2(R+h)}{GMm} = \frac{2h}{R}$.

(B) $m$ દળ ધરાવતા ઉપગ્રહની $M$ દળ ધરાવતા ગ્રહની આસપાસ $r$ અંતરે ગતિઊર્જા $(K.E.)$ નું સૂત્ર $K.E. = \frac{GMm}{2r}$ છે.
અહીં,$r$ એ પૃથ્વીના કેન્દ્રથી અંતર છે,તેથી $r = R_{earth} + h$.
પ્રથમ ઉપગ્રહ માટે $h_1 = R$ ઊંચાઈએ,કક્ષાની ત્રિજ્યા $r_1 = R + R = 2R$ થશે.
બીજા ઉપગ્રહ માટે $h_2 = 2R$ ઊંચાઈએ,કક્ષાની ત્રિજ્યા $r_2 = R + 2R = 3R$ થશે.
બંને ઉપગ્રહોનું દળ $m$ સમાન હોવાથી,ગતિઊર્જા એ કક્ષાની ત્રિજ્યાના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે: $K.E. \propto \frac{1}{r}$.
તેથી,તેમની ગતિઊર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{(K.E.)_1}{(K.E.)_2} = \frac{r_2}{r_1} = \frac{3R}{2R} = \frac{3}{2}$ થશે.

(D) ઉપગ્રહની ગતિ તેના સમક્ષિતિજ વેગ $(v)$ પર આધાર રાખે છે,જે ક્રાંતિક વેગ $(v_c)$ અને નિષ્ક્રમણ વેગ $(v_e)$ ની સાપેક્ષ હોય છે.
જો $v < v_c$ હોય,તો ઉપગ્રહ પૃથ્વી પર પાછો પડશે.
જો $v = v_c$ હોય,તો ઉપગ્રહ વર્તુળાકાર કક્ષામાં ભ્રમણ કરશે.
જો $v_c < v < v_e$ હોય,તો ઉપગ્રહ પૃથ્વીને એક કેન્દ્ર (focus) તરીકે રાખીને લંબગોળાકાર કક્ષામાં ભ્રમણ કરશે.
જો $v = v_e$ હોય,તો ઉપગ્રહ પૃથ્વીના ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રમાંથી બહાર નીકળી જશે.
તેથી,જો સમક્ષિતિજ વેગ ક્રાંતિક વેગ કરતા વધારે અને નિષ્ક્રમણ વેગ કરતા ઓછો હોય,તો ઉપગ્રહ લંબગોળાકાર કક્ષામાં ભ્રમણ કરશે.

(A) અચળ કદ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા,$C_{V}$,નું સૂત્ર $C_{V} = f \times \frac{R}{2}$ છે,જ્યાં $f$ એ ડિગ્રી ઓફ ફ્રીડમની સંખ્યા છે.
અહીં $f = 6$ આપેલ છે,તેથી સૂત્રમાં કિંમત મૂકતા:
$C_{V} = 6 \times \frac{R}{2} = 3R$.
આ સમીકરણને $R$ માટે ગોઠવતા:
$R = \frac{C_{V}}{3}$.

(C) આદર્શ વાયુ માટે,અચળ કદ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_v = \frac{f}{2} R$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $f$ એ મુક્તિના અંશો (degree of freedom) છે.
આ સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $R = \frac{2}{f} C_v$ મળે છે.
આપેલ સમીકરણ $R = \frac{2}{3} C_v$ સાથે સરખાવતા,આપણને $f = 3$ મળે છે.
$3$ મુક્તિના અંશો ધરાવતો વાયુ એકપરમાણ્વીય હોય છે (દા.ત.,હિલિયમ અથવા નિયોન જેવા નિષ્ક્રિય વાયુઓ).

(A) આદર્શ વાયુ માટે,અચળ દબાણે મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $(C_{P})$ અને અચળ કદે મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $(C_{V})$ વચ્ચેનો સંબંધ મેયરના સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $C_{P} - C_{V} = R$.
આના પરથી,આપણે લખી શકીએ કે $C_{P} = C_{V} + R$. તેથી,વિકલ્પ $(A)$ માં આપેલ સમીકરણ $C_{V} = C_{P} + R$ ખોટું છે.
ચાલો અન્ય વિકલ્પો ચકાસીએ:
$(B)$ $R = C_{P} - C_{V}$. કારણ કે $\gamma = \frac{C_{P}}{C_{V}}$,તેથી $C_{P} = \gamma C_{V}$. આ કિંમત મૂકતા,$R = \gamma C_{V} - C_{V} = C_{V}(\gamma - 1)$. આ સાચું છે.
$(C)$ $\frac{C_{V}}{C_{P}} = \frac{1}{\gamma}$. કારણ કે $\gamma = \frac{C_{P}}{C_{V}}$,તેથી આ સાચું છે.
$(D)$ $R = C_{P} - C_{V} = C_{P} - \frac{C_{P}}{\gamma} = C_{P}(1 - \frac{1}{\gamma}) = C_{P}(\frac{\gamma - 1}{\gamma})$. આ સાચું છે.

(B) આદર્શ વાયુની પ્રતિ મોલ ગતિઊર્જાનું સૂત્ર $E = \frac{3}{2} RT$ છે,જ્યાં $R$ એ સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક છે અને $T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
$R$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા:
$R = \frac{2 E}{3 T}$

(C) આદર્શ વાયુ દ્વારા લાગતું દબાણ $P = \frac{1}{3} \rho v_{rms}^2$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\rho$ એ ઘનતા છે અને $v_{rms}$ એ રૂટ મીન સ્ક્વેર વેગ છે.
આપેલ છે કે દબાણ $P_1$ અને $P_2$ સમાન છે,તેથી $P_1 = P_2$.
આમ,$\frac{1}{3} \rho_1 v_{rms,1}^2 = \frac{1}{3} \rho_2 v_{rms,2}^2$.
આ સમીકરણ $\rho_1 v_{rms,1}^2 = \rho_2 v_{rms,2}^2$ માં પરિણમે છે.
વેગના ગુણોત્તર માટે ગોઠવતા,આપણને $\frac{v_{rms,1}^2}{v_{rms,2}^2} = \frac{\rho_2}{\rho_1}$ મળે છે.
ઘનતાનો ગુણોત્તર $\rho_1 : \rho_2 = 1 : 16$ આપેલ હોવાથી,$\frac{\rho_2}{\rho_1} = \frac{16}{1} = 16$ થાય.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,$\frac{v_{rms,1}}{v_{rms,2}} = \sqrt{16} = 4$.
તેથી,તેમના r.m.s. વેગનો ગુણોત્તર $4:1$ છે.

(B) વાયુના અણુની સ્થાનાંતરીય ગતિઊર્જાનું સૂત્ર $E = \frac{3}{2}kT$ છે,જ્યાં $k$ એ બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે અને $T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
આ સંબંધ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે ગતિઊર્જા $E$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન $T$ ના સમપ્રમાણમાં છે $(E \propto T)$.
ગતિઊર્જાને બમણી કરવા માટે $(E' = 2E)$,આપણે નિરપેક્ષ તાપમાનને પણ બમણું કરવું પડે $(T' = 2T)$.
તેથી,તાપમાનને વધારીને $2T$ કરવું જોઈએ.

(A) વાયુના અણુની સરેરાશ સ્થાનાંતરીય ગતિઊર્જા $K.E. = \frac{3}{2} kT$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $k = \frac{R}{N}$ હોવાથી,$K.E. = \frac{3}{2} \frac{RT}{N}$ થાય.
$V$ વોલ્ટના વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત દ્વારા પ્રવેગિત થયેલા ઇલેક્ટ્રોનની ગતિઊર્જા $K.E. = eV$ છે.
બંને ઊર્જાઓને સરખાવતા:
$\frac{3}{2} \frac{RT}{N} = eV$
$T$ માટે ઉકેલતા:
$T = \frac{2 eVN}{3 R}$ મળે છે.

(B) આ પ્રક્રિયા સમતાપી છે,જેનો અર્થ છે કે પ્રક્રિયા દરમિયાન વાયુનું તાપમાન $T$ અચળ રહે છે.
વાયુના અણુઓની $rms$ ઝડપનું સૂત્ર $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ છે.
અહીં $R$ (સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક),$M$ (મોલર દળ) અને $T$ (તાપમાન) અચળ હોવાથી,$rms$ ઝડપ અપરિવર્તિત રહે છે.

(B) આદર્શ વાયુના રૂટ મીન સ્ક્વેર (r.m.s.) વેગનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$V = \sqrt{\frac{3RT}{M_0}}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા, આપણને મળે છે:
$V^2 = \frac{3RT}{M_0}$
$V$ અને $T$ ચલને અલગ કરવા માટે પદોની ગોઠવણી કરતા:
$\frac{V^2}{T} = \frac{3R}{M_0}$
અહીં $R$ (સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક) અને $M_0$ (મોલર દળ) આપેલ વાયુ માટે અચળ હોવાથી, ગુણોત્તર $\frac{3R}{M_0}$ પણ અચળ રહે છે.
તેથી, $\frac{V^2}{T} = \text{અચળ}$।

(A) વાયુના અણુની સરેરાશ વર્ગિત ઝડપ $(v_{rms})$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$
જ્યાં $R$ એ સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક છે,$T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે,અને $M$ એ મોલર દળ છે.
કારણ કે $M = m \times N_A$ (જ્યાં $m$ એ એક અણુનું દળ છે અને $N_A$ એ એવોગેડ્રો આંક છે),આપણે આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકી શકીએ:
$v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{mN_A}}$
અહીં $3$,$R$,અને $N_A$ અચળાંકો હોવાથી,આપણને મળે છે:
$v_{rms} \propto \sqrt{\frac{T}{m}}$
$v_{rms} \propto m^{-\frac{1}{2}} T^{\frac{1}{2}}$

(B) આદર્શ વાયુ દ્વારા લાગતું દબાણ $P = \frac{1}{3} \rho c^2$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\rho$ એ ઘનતા છે અને $c$ એ રૂટ મીન સ્ક્વેર (rms) ઝડપ છે.
દબાણ સમાન હોવાથી,આપણી પાસે $P_1 = P_2$ છે.
તેથી,$\frac{1}{3} \rho_1 c_1^2 = \frac{1}{3} \rho_2 c_2^2$.
આ સમીકરણને સાદું રૂપ આપતા $\frac{c_1^2}{c_2^2} = \frac{\rho_2}{\rho_1}$ મળે છે.
ઘનતાનો ગુણોત્તર $\rho_1 : \rho_2 = 1 : 16$ આપેલ હોવાથી,$\frac{\rho_2}{\rho_1} = \frac{16}{1} = 16$ થાય.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $\frac{c_1^2}{c_2^2} = 16$ મળે છે.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,$\frac{c_1}{c_2} = \sqrt{16} = 4$ મળે છે.
આમ,તેમની rms ઝડપનો ગુણોત્તર $(c_1: c_2)$ એ $4: 1$ છે.

(A) વાયુના અણુની રૂટ મીન સ્ક્વેર (rms) ઝડપનું સૂત્ર $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ છે,જ્યાં $R$ એ સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક છે,$T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે અને $M$ એ વાયુનું મોલર દળ છે.
rms ઝડપ માત્ર તાપમાન $T$ અને વાયુના મોલર દળ $M$ પર આધાર રાખે છે,તેથી તે વાયુના દબાણ $P$ થી સ્વતંત્ર છે.
આપેલ છે કે તાપમાન અચળ રહે છે,તેથી દબાણ વધારવા છતાં rms ઝડપમાં કોઈ ફેરફાર થશે નહીં.
તેથી,નવી rms ઝડપ $V$ રહેશે.

(D) વાયુના અણુની રૂટ મીન સ્ક્વેર (r.m.s) ઝડપનું સૂત્ર: $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ છે.
અહીં,$R$ એ સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક છે,$T$ એ કેલ્વિનમાં નિરપેક્ષ તાપમાન છે,અને $M$ એ મોલર દળ છે.
હિલિયમ $(He)$ માટે: $M_{He} = 4$,$T_{He} = 327^{\circ} C = 327 + 273 = 600 \ K$.
ઓક્સિજન $(O_2)$ માટે: $M_{O} = 32$,$T_{O} = 27^{\circ} C = 27 + 273 = 300 \ K$.
r.m.s ઝડપનો ગુણોત્તર:
$\frac{v_{He}}{v_{O}} = \sqrt{\frac{T_{He}}{T_{O}} \times \frac{M_{O}}{M_{He}}} = \sqrt{\frac{600}{300} \times \frac{32}{4}} = \sqrt{2 \times 8} = \sqrt{16} = 4$.
આમ,ગુણોત્તર $4:1$ છે.

(D) ધારો કે માણસનું દળ $m$ છે અને ગુરુત્વપ્રવેગ $g$ છે.
જ્યારે લિફ્ટ $a$ પ્રવેગ સાથે ઉપર તરફ ગતિ કરે છે, ત્યારે આભાસી વજન $W_1 = m(g + a) = 620 \,N$ થાય --- $(i)$
જ્યારે લિફ્ટ તેટલા જ પ્રવેગ $a$ સાથે નીચે તરફ ગતિ કરે છે, ત્યારે આભાસી વજન $W_2 = m(g - a) = 340 \,N$ થાય --- (ii)
સમીકરણ $(i)$ અને (ii) નો સરવાળો કરતા:
$m(g + a) + m(g - a) = 620 + 340$
$mg + ma + mg - ma = 960$
$2mg = 960$
$mg = 480 \,N$
આમ, માણસનું સાચું વજન $480 \,N$ છે.

(B) ગતિઊર્જા $K$ અને વેગમાન $p$ વચ્ચેનો સંબંધ $K = \frac{p^2}{2m}$ છે.
વેગમાન માટે આ સૂત્રને ગોઠવતા,આપણને $p^2 = 2mK$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $p = \sqrt{2mK}$.
તમામ ત્રણ પદાર્થોની ગતિઊર્જા સમાન હોવાથી ($K$ અચળ છે),વેગમાન એ દળના વર્ગમૂળના સમપ્રમાણમાં છે: $p \propto \sqrt{m}$.
દળની સરખામણી કરતા: $m_P = m$,$m_Q = 2m$,અને $m_R = 3m$.
અહીં $m_R > m_Q > m_P$ હોવાથી,$p_R > p_Q > p_P$ થશે.
તેથી,સૌથી વધુ દળ ધરાવતો પદાર્થ $R$ સૌથી વધુ વેગમાન ધરાવશે.

(A) $F-t$ આલેખ હેઠળનું ક્ષેત્રફળ એ પદાર્થ પર લાગતા આઘાત (impulse) નું મૂલ્ય આપે છે, જે પદાર્થના વેગમાનમાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે。
પદાર્થ શરૂઆતમાં સ્થિર હોવાથી, આ આઘાત એ $1 \,s$ પછી પદાર્થના અંતિમ વેગમાન જેટલો થશે。
$\text{આઘાત} = F-t \text{ આલેખ હેઠળનું ક્ષેત્રફળ}$
$\text{આઘાત} = (10 \,N \times 0.5 \,s) + (20 \,N \times 0.5 \,s)$
$\text{આઘાત} = 5 \,N-s + 10 \,N-s = 15 \,N-s$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\text{આઘાત} = \Delta p = m \times v - m \times u$ અને $u = 0$ હોવાથી:
$15 = 2 \,kg \times v$
$v = \frac{15}{2} = 7.5 \,m/s$

(C) વર્તુળાકાર કક્ષામાં ગતિ કરતા કણ માટે,કેન્દ્રગામી બળ એ કેન્દ્રીય આકર્ષી બળ દ્વારા પૂરું પાડવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $F = \frac{k}{r}$,કેન્દ્રગામી બળનું મૂલ્ય $F_c = m r \omega^2$ છે.
બંનેને સરખાવતા: $m r \omega^2 = \frac{k}{r}$.
કોણીય વેગ $\omega$ માટે ગોઠવતા: $\omega^2 = \frac{k}{m r^2}$.
વર્ગમૂળ લેતા: $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}} \cdot \frac{1}{r}$.
આવર્તકાળ $T = \frac{2\pi}{\omega}$ હોવાથી,આપણને મળે છે $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}} \cdot r$.
તેથી,$T \propto r$.

(D) બેંકિંગનો ખૂણો $\theta$ એ $\tan \theta = \frac{h}{x}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $h$ એ બહારની રેલની ઊંચાઈ છે અને $x$ એ રેલ્વે લાઇનનો ગેજ છે.
આપેલ છે કે,ગેજ $x = 1 \text{ m}$ અને $\tan \theta = \frac{1}{20}$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{1}{20} = \frac{h}{1 \text{ m}}$
$h = \frac{1}{20} \text{ m} = 0.05 \text{ m}$.
આને સેન્ટિમીટરમાં ફેરવતા:
$h = 0.05 \times 100 \text{ cm} = 5 \text{ cm}$.
આમ,અંદરની રેલની સાપેક્ષમાં બહારની રેલની ઊંચાઈ $5 \text{ cm}$ છે.

(D) ધારો કે લોલકની લંબાઈ $r$ છે. જ્યારે ગોળાને મધ્યમાન સ્થાનથી $90^{\circ}$ ખૂણે સ્થાનાંતરિત કરવામાં આવે છે,ત્યારે તેની ઊંચાઈ સૌથી નીચલા બિંદુની સાપેક્ષમાં $r$ જેટલી હોય છે.
ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,મહત્તમ ઊંચાઈએ રહેલી સ્થિતિઊર્જા સૌથી નીચલા સ્થાને ગતિઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે:
$PE_{top} = KE_{bottom}$
$mgr = \frac{1}{2}mv^2$
$mv^2 = 2mgr$
સૌથી નીચલા સ્થાને,ગોળા પર લાગતા બળો તણાવબળ $T$ (ઉપરની તરફ) અને વજનબળ $mg$ (નીચેની તરફ) છે. પરિણામી બળ કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે:
$T - mg = \frac{mv^2}{r}$
$T = mg + \frac{mv^2}{r}$
સમીકરણમાં $mv^2 = 2mgr$ મૂકતા:
$T = mg + \frac{2mgr}{r} = mg + 2mg = 3mg$.

(B) જ્યારે લિફ્ટ સ્થિર હોય છે, ત્યારે સ્પ્રિંગ બેલેન્સનું રીડિંગ બેગના વજન જેટલું હોય છે: $W = mg = 49 \,N$.
$g = 9.8 \,m/s^2$ આપેલ હોવાથી, બેગનું દળ $m = \frac{49}{9.8} = 5 \,kg$ થાય.
જ્યારે લિફ્ટ $a = 5 \,m/s^2$ ના પ્રવેગ સાથે નીચેની તરફ ગતિ કરે છે, ત્યારે આભાસી વજન $T$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે: $T = m(g - a)$.
કિંમતો મૂકતા: $T = 5(9.8 - 5)$.
$T = 5(4.8) = 24 \,N$.
તેથી, સ્પ્રિંગ બેલેન્સનું રીડિંગ $24 \,N$ હશે.

(B) કેશનળીમાં પાણી જે ઊંચાઈ $h$ સુધી ચઢે છે તે $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જેનો અર્થ છે કે $h \propto \frac{1}{r}$.
કેશનળીમાં રહેલા પાણીનું દળ $m = \text{કદ} \times \text{ઘનતા} = (\pi r^2 h) \rho$ છે.
દળના સમીકરણમાં $h \propto \frac{1}{r}$ મૂકતા,આપણને $m \propto r^2 \times \frac{1}{r}$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $m \propto r$ થાય છે.
નવી ત્રિજ્યા $r' = \frac{r}{3}$ માટે,નવું દળ $m' = m \times \frac{r'}{r} = m \times \frac{r/3}{r} = \frac{m}{3}$ થશે.

(C) કેશનળીમાં પાણીના સ્તંભની ઊંચાઈનું સૂત્ર $h = \frac{2 T \cos \theta}{r \rho g}$ છે.
આથી,$h \propto \frac{1}{r}$ થાય.
આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ હોવાથી,$r \propto \sqrt{A}$ મળે.
તેથી,$h \propto \frac{1}{\sqrt{A}}$ થાય.
અહીં પ્રારંભિક ક્ષેત્રફળ $A_1 = A$ અને અંતિમ ક્ષેત્રફળ $A_2 = \frac{A}{9}$ છે.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{h_2}{h_1} = \sqrt{\frac{A_1}{A_2}} = \sqrt{\frac{A}{A/9}} = \sqrt{9} = 3$.
આમ,નવી ઊંચાઈ $h_2 = 3 h$ થશે.

(B) પાણીના ટીપાની અંદરનું વધારાનું દબાણ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $P = \frac{2T}{R}$,જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે અને $R$ એ ટીપાની ત્રિજ્યા છે.
આપેલ છે:
વધારાનું દબાણ $P = 72 \ Nm^{-2}$
પૃષ્ઠતાણ $T = 7.2 \times 10^{-2} \ Nm^{-1}$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$72 = \frac{2 \times 7.2 \times 10^{-2}}{R}$
$R = \frac{2 \times 7.2 \times 10^{-2}}{72}$
$R = \frac{14.4 \times 10^{-2}}{72}$
$R = 0.2 \times 10^{-2} \ m = 2 \times 10^{-3} \ m$
કારણ કે $1 \ mm = 10^{-3} \ m$,તેથી $R = 2 \ mm$.

(A) ધારો કે મોટા ટીપાની ત્રિજ્યા $R$ છે અને દરેક નાના ટીપાની ત્રિજ્યા $r$ છે.
કદ અચળ રહેતું હોવાથી,$\frac{4}{3} \pi R^3 = 512 \times \frac{4}{3} \pi r^3$.
આથી $R^3 = 512 r^3$,જેનો અર્થ છે કે $R = 8r$ અથવા $r = \frac{R}{8}$.
પ્રારંભિક પૃષ્ઠ ઉર્જા $U = 4 \pi R^2 T$ છે,જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે.
નવી પૃષ્ઠ ઉર્જા $U'$ એ $512$ ટીપાંઓની પૃષ્ઠ ઉર્જાનો સરવાળો છે: $U' = 512 \times (4 \pi r^2 T)$.
$r = \frac{R}{8}$ કિંમત મૂકતા: $U' = 512 \times 4 \pi (\frac{R}{8})^2 T$.
$U' = 512 \times 4 \pi \frac{R^2}{64} T = 8 \times (4 \pi R^2 T) = 8 U$.

(B) $RL$ સર્કિટમાં વોલ્ટેજ અને પ્રવાહ વચ્ચેનો ફેઝ તફાવત $\phi$ એ $\tan \phi = \frac{X_L}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $\phi = 45^{\circ}$,$R = 100 \ \Omega$,અને $f = 1000 \ Hz$ આપેલ છે.
કારણ કે $\tan 45^{\circ} = 1$,તેથી $X_L = R$ થાય.
$X_L = 2 \pi f L$ મૂકતા,આપણને $2 \pi f L = R$ મળે છે.
તેથી,$L = \frac{R}{2 \pi f}$.
કિંમતો મૂકતા: $L = \frac{100}{2 \pi \times 1000} = \frac{100}{2000 \pi} = \frac{1}{20 \pi} = \frac{0.05}{\pi} \ H$.

(D) જ્યારે કેપેસીટન્સ દૂર કરવામાં આવે છે,ત્યારે પરિપથ $LR$ પરિપથ બને છે. ફેઝ તફાવત $\tan \phi = \frac{X_L}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $\phi = 60^{\circ}$,તેથી $\tan 60^{\circ} = \frac{X_L}{R} = \sqrt{3}$,એટલે કે $X_L = R\sqrt{3}$.
જ્યારે ઇન્ડક્ટન્સ દૂર કરવામાં આવે છે,ત્યારે પરિપથ $RC$ પરિપથ બને છે. ફેઝ તફાવત $\tan \phi = \frac{X_C}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $\phi = 60^{\circ}$,તેથી $\tan 60^{\circ} = \frac{X_C}{R} = \sqrt{3}$,એટલે કે $X_C = R\sqrt{3}$.
અહીં $X_L = X_C$ હોવાથી,પરિપથ અનુનાદ (resonance) સ્થિતિમાં છે.
અનુનાદ સમયે,ઇમ્પિડન્સ $Z = R$ થાય છે.
$R = 500 \ \Omega$ આપેલ હોવાથી,ઇમ્પિડન્સ $Z = 500 \ \Omega$ થશે.

(D) $50 \, Hz$ પર ઇન્ડક્ટર કોઈલ માટે:
$X_L = \frac{V}{I} = \frac{100}{8} = 12.5 \, \Omega$.
અવરોધ માટે:
$R = \frac{V}{I} = \frac{100}{10} = 10 \, \Omega$.
નવી આવૃત્તિ $f' = 40 \, Hz$ પર, નવો ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L'$:
$X_L' = X_L \times \frac{f'}{f} = 12.5 \times \frac{40}{50} = 10 \, \Omega$.
જ્યારે શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે ત્યારે ઈમ્પીડન્સ $Z$:
$Z = \sqrt{R^2 + (X_L')^2} = \sqrt{10^2 + 10^2} = 10\sqrt{2} \, \Omega$.
શ્રેણી પરિપથમાં પ્રવાહ $I$:
$I = \frac{V}{Z} = \frac{100}{10\sqrt{2}} = \frac{10}{\sqrt{2}} = 5\sqrt{2} \, A$.

(A) પ્રારંભિક ઈમ્પીડન્સ $Z = \sqrt{R^2 + X_c^2}$ છે,જ્યાં $X_c = \frac{1}{\omega C}$.
પ્રારંભિક પ્રવાહ $I = \frac{V}{Z}$ છે.
જ્યારે આવૃત્તિ બદલાઈને $\omega' = \frac{\omega}{3}$ થાય છે,ત્યારે નવો કેપેસિટીવ રિએક્ટન્સ $X_c' = \frac{1}{\omega' C} = \frac{1}{(\omega/3) C} = 3X_c$ થાય છે.
નવો ઈમ્પીડન્સ $Z' = \sqrt{R^2 + (X_c')^2} = \sqrt{R^2 + (3X_c)^2}$ છે.
આપેલ છે કે નવો પ્રવાહ $I' = \frac{I}{2}$,તેથી $\frac{V}{Z'} = \frac{1}{2} \frac{V}{Z}$,જેનો અર્થ છે કે $Z' = 2Z$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$(Z')^2 = 4Z^2$,તેથી $R^2 + 9X_c^2 = 4(R^2 + X_c^2)$.
$R^2 + 9X_c^2 = 4R^2 + 4X_c^2$.
$5X_c^2 = 3R^2$.
$\frac{X_c^2}{R^2} = \frac{3}{5} = 0.6$.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{X_c}{R} = \sqrt{0.6}$ થાય.

(C) સર્કિટમાં,જ્યારે ઇલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ $(e)$ અને પ્રવાહ $(i)$ એક જ સમયે તેમના શૂન્ય,ન્યૂનતમ અને મહત્તમ મૂલ્યો પ્રાપ્ત કરે છે,ત્યારે તે દર્શાવે છે કે તેમની વચ્ચે કોઈ ફેઝ તફાવત (phase difference) નથી.
આનો અર્થ એ છે કે ફેઝ એંગલ $\phi = 0$ છે.
શુદ્ધ અવરોધક સર્કિટમાં,વોલ્ટેજ અને પ્રવાહ હંમેશા સમાન ફેઝમાં હોય છે.
તેથી,સ્ત્રોત સાથે જોડાયેલ સર્કિટ ઘટક શુદ્ધ અવરોધક (pure resistor) હોવો જોઈએ.

(D) $LCR$ શ્રેણી અનુનાદિત પરિપથમાં,ઇન્ડક્ટર $(V_L)$ પરનો વોલ્ટેજ પ્રવાહ કરતા $90^{\circ}$ આગળ હોય છે,જ્યારે કેપેસિટર $(V_C)$ પરનો વોલ્ટેજ પ્રવાહ કરતા $90^{\circ}$ પાછળ હોય છે.
તેથી,$V_L$ અને $V_C$ વચ્ચેનો કળા તફાવત $90^{\circ} - (-90^{\circ}) = 180^{\circ}$ છે.
તેઓ $180^{\circ}$ કળા તફાવતે હોવાથી,તેઓ વિરુદ્ધ દિશામાં કાર્ય કરે છે.
અનુનાદ સમયે,ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ એ કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ જેટલું હોય છે $(X_L = X_C)$,જેનો અર્થ છે કે $V_L = V_C$.
તેઓ મૂલ્યમાં સમાન અને $180^{\circ}$ કળા તફાવતે હોવાથી,તેઓ એકબીજાને નાબૂદ કરે છે.

(D) પ્રારંભિક ઈમ્પીડન્સ $Z = \sqrt{R^2 + X_c^2}$ છે,જ્યાં $X_c = \frac{1}{\omega C}$ છે. પ્રારંભિક પ્રવાહ $I = \frac{V}{Z}$ છે.
જ્યારે આવૃત્તિ બદલાઈને $\omega' = \frac{\omega}{3}$ થાય છે,ત્યારે નવો રિએક્ટન્સ $X_c' = \frac{1}{\omega' C} = \frac{1}{(\omega/3)C} = 3X_c$ થાય છે.
નવો ઈમ્પીડન્સ $Z' = \sqrt{R^2 + (3X_c)^2} = \sqrt{R^2 + 9X_c^2}$ છે.
નવો પ્રવાહ $I' = \frac{V}{Z'} = \frac{I}{2}$ છે,જેનો અર્થ છે કે $Z' = 2Z$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$Z'^2 = 4Z^2$,તેથી $R^2 + 9X_c^2 = 4(R^2 + X_c^2)$.
$R^2 + 9X_c^2 = 4R^2 + 4X_c^2$.
$5X_c^2 = 3R^2$.
$\frac{X_c^2}{R^2} = \frac{3}{5}$.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{X_c}{R} = \sqrt{\frac{3}{5}}$ છે.

(B) શ્રેણી $RL$ સર્કિટમાં,વોલ્ટેજ અને પ્રવાહ વચ્ચેનો ફેઝ એંગલ $\phi$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\tan \phi = \frac{X_L}{R}$.
અહીં ફેઝ એંગલ $\phi = 45^{\circ}$ અને અવરોધ $R = 40 \ \Omega$ આપેલ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$\tan 45^{\circ} = \frac{X_L}{40}$.
કારણ કે $\tan 45^{\circ} = 1$,તેથી:
$1 = \frac{X_L}{40}$.
આમ,ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L = 40 \ \Omega$ થાય.

(C) કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U_E = \frac{1}{2}CV^2$ છે.
જ્યારે કેપેસિટરને ઇન્ડક્ટર સાથે જોડવામાં આવે છે,ત્યારે ઉર્જા કેપેસિટરના વિદ્યુત ક્ષેત્ર અને ઇન્ડક્ટરના ચુંબકીય ક્ષેત્ર વચ્ચે દોલન કરે છે.
મહત્તમ પ્રવાહ $i_0$ ના સમયે,બધી ઉર્જા ઇન્ડક્ટરમાં ચુંબકીય ઉર્જા $U_B = \frac{1}{2}Li_0^2$ તરીકે સંગ્રહિત થાય છે.
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $\frac{1}{2}CV^2 = \frac{1}{2}Li_0^2$.
$i_0$ માટે ઉકેલતા: $i_0^2 = \frac{CV^2}{L} \implies i_0 = V \sqrt{\frac{C}{L}}$.

(D) શ્રેણી $LCR$ પરિપથમાં,ઈમ્પિડન્સ $Z$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે: $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2} = \sqrt{R^2 + (2\pi fL - \frac{1}{2\pi fC})^2}$.
$r.m.s.$ પ્રવાહ $I = \frac{V}{Z} = \frac{V}{\sqrt{R^2 + (2\pi fL - \frac{1}{2\pi fC})^2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અનુનાદ સમયે,ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L$ એ કેપેસિટીવ રિએક્ટન્સ $X_C$ જેટલું થાય છે,જે ઈમ્પિડન્સ $Z$ ને ન્યૂનતમ $(Z = R)$ બનાવે છે.
પરિણામે,અનુનાદ આવૃત્તિ $f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$ પર પ્રવાહ $I$ મહત્તમ બને છે.
જેમ જેમ આવૃત્તિ $f$ શૂન્યથી વધે છે,તેમ પ્રવાહ પહેલા વધે છે,અનુનાદ પર મહત્તમ મૂલ્ય પ્રાપ્ત કરે છે અને ત્યારબાદ ઘટે છે. આ વર્તણૂક આલેખ $S$ દ્વારા યોગ્ય રીતે દર્શાવવામાં આવી છે.

(D) ઇન્ડક્ટર $L$ અને અવરોધ $R$ શ્રેણીમાં ધરાવતા પરિપથના આપેલ ભાગ માટે,બિંદુ $A$ અને $B$ વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત નીચે મુજબના સમીકરણ દ્વારા મળે છે:
$V_A - V_B = L \frac{dI}{dt} + IR$
આપેલ કિંમતો $V_A - V_B = 0.5 \ V$,$I = 0.5 \ A$,$R = 0.2 \ \Omega$,અને $\frac{dI}{dt} = 8 \ A/s$ છે.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$0.5 = L(8) + (0.5)(0.2)$
$0.5 = 8L + 0.1$
$8L = 0.5 - 0.1$
$8L = 0.4$
$L = \frac{0.4}{8} = 0.05 \ H$
તેથી,કોઈલનું ઇન્ડક્ટન્સ $0.05 \ H$ છે.

(C) આપેલ વોલ્ટેજ $V = 20 \cos (2000 t)$,ને $V = V_0 \cos (\omega t)$ સાથે સરખાવતા,આપણને મહત્તમ વોલ્ટેજ $V_0 = 20 \text{ V}$ અને કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 2000 \text{ rad/s}$ મળે છે.
સર્કિટ પરથી,કુલ અવરોધ $R = 10 \Omega + 5 \Omega = 15 \Omega$,ઇન્ડક્ટન્સ $L = 5 \text{ mH} = 5 \times 10^{-3} \text{ H}$,અને કેપેસિટન્સ $C = 50 \mu\text{F} = 50 \times 10^{-6} \text{ F}$ છે.
ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L = \omega L = 2000 \times 5 \times 10^{-3} = 10 \Omega$.
કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{2000 \times 50 \times 10^{-6}} = \frac{1}{0.1} = 10 \Omega$.
અહીં $X_L = X_C$ હોવાથી,સર્કિટ અનુનાદ (resonance) સ્થિતિમાં છે,અને ઈમ્પીડન્સ $Z = R = 15 \Omega$ થાય.
મહત્તમ પ્રવાહ $I_0 = \frac{V_0}{Z} = \frac{20}{15} = \frac{4}{3} \text{ A}$.
r.m.s. પ્રવાહ $I_{rms} = \frac{I_0}{\sqrt{2}} = \frac{4/3}{\sqrt{2}} = \frac{2 \sqrt{2}}{3} \text{ A}$.

(C) $LCR$ શ્રેણી પરિપથમાં,ઇન્ડક્ટર પરનો વોલ્ટેજ $V_L$ અને કેપેસિટર પરનો વોલ્ટેજ $V_C$ એકબીજા સાથે $180^{\circ}$ ના કળા તફાવત (phase difference) ધરાવે છે.
આપેલ છે કે $V_L = 60 \,V$ અને $V_C = 60 \,V$.
$LC$ સંયોજન પરનો પરિણામી વોલ્ટેજ $V_{LC} = |V_L - V_C|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $V_{LC} = |60 \,V - 60 \,V| = 0 \,V$ મળે છે.
તેથી,$LC$ સંયોજન પરનો વોલ્ટેજ $0 \,V$ છે.

(A) શ્રેણી $LCR$ સર્કિટમાં,પ્રવાહ $I$ બધા ઘટકો માટે સમાન હોય છે.
$1$. અવરોધ $(V_R)$ પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત પ્રવાહ $I$ સાથે સમાન કળામાં હોય છે.
$2$. કેપેસિટર $(V_C)$ પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત પ્રવાહ $I$ કરતા $\frac{\pi}{2}$ જેટલો પાછળ હોય છે.
$3$. ઇન્ડક્ટર $(V_L)$ પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત પ્રવાહ $I$ કરતા $\frac{\pi}{2}$ જેટલો આગળ હોય છે.
વિકલ્પોનું મૂલ્યાંકન:
$(A)$ $R$ $(V_R)$ પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $I$ સાથે સમાન કળામાં છે,અને કેપેસિટર $(V_C)$ પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $I$ કરતા $\frac{\pi}{2}$ પાછળ છે. તેથી,$V_R$ અને $V_C$ વચ્ચેનો કળા તફાવત $\frac{\pi}{2}$ છે. આ સાચું છે.
$(B)$ લાગુ પાડેલ e.m.f. $(V)$ પ્રવાહ $I$ કરતા $\phi$ જેટલો આગળ અથવા પાછળ હોય છે,જ્યારે $V_R$ એ $I$ સાથે સમાન કળામાં હોય છે. તેથી,$V$ અને $V_R$ સમાન કળામાં નથી. આ ખોટું છે.
$(C)$ લાગુ પાડેલ e.m.f. $(V)$ અને $V_L$ વચ્ચેનો કળા તફાવત $(\frac{\pi}{2} - \phi)$ છે. આ ખોટું છે.
$(D)$ $V_L$ એ $I$ કરતા $\frac{\pi}{2}$ આગળ છે અને $V_C$ એ $I$ કરતા $\frac{\pi}{2}$ પાછળ છે. તેથી,$V_L$ અને $V_C$ વચ્ચેનો કળા તફાવત $\pi$ છે. આ ખોટું છે.

(D) શ્રેણી $RLC$ સર્કિટ માટે,અનુનાદિત આવૃત્તિ $\omega_r = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે બંને સર્કિટ સમાન અનુનાદિત આવૃત્તિ $f_r$ ધરાવે છે,તેથી:
$\omega_r = \frac{1}{\sqrt{L_1 C_1}} = \frac{1}{\sqrt{L_2 C_2}} \implies L_1 C_1 = L_2 C_2$.
જ્યારે બંને સર્કિટને શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે સમતુલ્ય ઇન્ડક્ટન્સ $L_{eq} = L_1 + L_2$ અને સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq} = \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2}$ થાય છે.
નવી અનુનાદિત આવૃત્તિ $\omega'$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\omega' = \frac{1}{\sqrt{L_{eq} C_{eq}}} = \frac{1}{\sqrt{(L_1 + L_2) \cdot \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2}}}$
$L_1 = \frac{L_2 C_2}{C_1}$ મૂકતા:
$\omega' = \frac{1}{\sqrt{(\frac{L_2 C_2}{C_1} + L_2) \cdot \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2}}} = \frac{1}{\sqrt{L_2 C_2 (\frac{C_2 + C_1}{C_1}) \cdot \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2}}} = \frac{1}{\sqrt{L_2 C_2}} = \omega_r$.
આમ,નવી અનુનાદિત આવૃત્તિ $f_r$ જ રહેશે.

(A) અનુનાદ સમયે,પરિપથનો ઇમ્પિડન્સ અવરોધ જેટલો હોય છે,$Z = R$.
શ્રેણી પરિપથ હોવાથી,પ્રવાહ $I$ બધા ઘટકોમાંથી સમાન વહે છે.
$I = \frac{V_R}{R} = \frac{60 \ V}{120 \ \Omega} = 0.5 \ A$.
અનુનાદ સમયે,ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L = \frac{V_L}{I}$ દ્વારા મળે છે.
$X_L = \frac{40 \ V}{0.5 \ A} = 80 \ \Omega$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $X_L = \omega L$,જ્યાં $\omega = 4 \times 10^5 \ rad \ s^{-1}$.
$L = \frac{X_L}{\omega} = \frac{80}{4 \times 10^5} = 20 \times 10^{-5} \ H$.
$L = 2 \times 10^{-4} \ H = 0.2 \times 10^{-3} \ H = 0.2 \ mH$.

(A) શ્રેણી $LCR$ સર્કિટમાં,ઇમ્પિડન્સ $Z$ નું સૂત્ર $Z = \sqrt{R^2 + (\omega L - 1/\omega C)^2}$ છે.
અનુનાદ સમયે,ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ અને કેપેસિટીવ રિએક્ટન્સ સમાન હોય છે,એટલે કે $\omega L = 1/\omega C$.
તેથી,ચોખ્ખો રિએક્ટન્સ $(\omega L - 1/\omega C)$ શૂન્ય થઈ જાય છે.
આ કિંમત ઇમ્પિડન્સના સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને $Z = \sqrt{R^2 + 0^2} = R$ મળે છે.
મહત્તમ પ્રવાહ $I_0$ નું સૂત્ર $I_0 = E_0 / Z$ છે.
$Z = R$ મૂકતા,આપણને $I_0 = E_0 / R$ મળે છે.

(D) જ્યારે d.c. વોલ્ટેજ લાગુ કરવામાં આવે છે, ત્યારે કોઈલ શુદ્ધ અવરોધ તરીકે વર્તે છે કારણ કે $f = 0$ માટે ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L = 2 \pi f L = 0$ થાય છે.
$R = \frac{V}{I_{dc}} = \frac{200}{1} = 200 \, \Omega$
જ્યારે a.c. વોલ્ટેજ લાગુ કરવામાં આવે છે, ત્યારે $LR$ સર્કિટનો ઈમ્પીડન્સ $Z$ નીચે મુજબ મળે છે:
$Z = \frac{V}{I_{ac}} = \frac{200}{0.5} = 400 \, \Omega$
ઈમ્પીડન્સ, અવરોધ અને ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ સાથે $Z^2 = R^2 + X_L^2$ દ્વારા સંબંધિત છે.
$(400)^2 = (200)^2 + X_L^2$
$160000 = 40000 + X_L^2$
$X_L^2 = 120000$
$X_L = \sqrt{120000} = 200 \sqrt{3} \, \Omega$
કારણ કે $X_L = 2 \pi f L$, તેથી:
$2 \pi f \left( \frac{2 \sqrt{3}}{\pi} \right) = 200 \sqrt{3}$
$4 \sqrt{3} f = 200 \sqrt{3}$
$f = \frac{200}{4} = 50 \, Hz$

(B) આપેલ સમીકરણ $V = 80 \sin(100 \pi t) \cos(100 \pi t)$ છે.
ત્રિકોણમિતિના નિત્યસમ $\sin(2\theta) = 2 \sin \theta \cos \theta$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણે સમીકરણને નીચે મુજબ લખી શકીએ:
$V = 40 \times (2 \sin(100 \pi t) \cos(100 \pi t))$
$V = 40 \sin(200 \pi t)$.
આ સમીકરણની સરખામણી અલ્ટરનેટિંગ વોલ્ટેજના પ્રમાણિત સ્વરૂપ $V = V_0 \sin(\omega t)$ સાથે કરતા,જ્યાં $V_0$ એ પીક વોલ્ટેજ છે,
આપણને $V_0 = 40 \text{ V}$ મળે છે.

(D) તત્કાલીન પ્રવાહ માટેનું આપેલ સમીકરણ $I = 50 \sin(100 \pi t)$ છે.
આપણે તે સમય $t$ શોધવો છે જ્યારે $I = 25 \ A$ હોય.
સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા:
$25 = 50 \sin(100 \pi t)$
$\frac{25}{50} = \sin(100 \pi t)$
$0.5 = \sin(100 \pi t)$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin 30^{\circ} = 0.5$ અને $30^{\circ} = \frac{\pi}{6}$ રેડિયન થાય,તેથી:
$100 \pi t = \frac{\pi}{6}$
બંને બાજુ $100 \pi$ વડે ભાગતા:
$t = \frac{\pi}{6 \times 100 \pi}$
$t = \frac{1}{600} \ s$.

(D) ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $(X_L)$ નું સૂત્ર $X_L = 2 \pi f L$ છે,જ્યાં $f$ એ આવૃત્તિ છે અને $L$ એ ઇન્ડક્ટન્સ છે.
આપેલ છે કે પ્રારંભિક ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $R = 2 \pi f L$ છે.
જો નવું ઇન્ડક્ટન્સ $L' = 2L$ અને નવી આવૃત્તિ $f' = 2f$ હોય,તો નવો ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L'$ નીચે મુજબ થશે:
$X_L' = 2 \pi f' L' = 2 \pi (2f) (2L) = 4 (2 \pi f L) = 4R$.
તેથી,નવો ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $4R$ થશે.

(A) કેપેસિટિવ સર્કિટમાં r.m.s. પ્રવાહ $I_{rms} = \frac{V_{rms}}{X_C}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $X_C = \frac{1}{\omega C}$ એ કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ છે.
$X_C$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $I_{rms} = V_{rms} \cdot \omega \cdot C$ મળે છે.
આપેલ કિંમતો $V_{rms} = 230 \text{ V}$,$\omega = 300 \text{ rad/s}$,અને $C = 100 \text{ pF} = 100 \times 10^{-12} \text{ F}$ છે.
$I_{rms} = 230 \times 300 \times 100 \times 10^{-12} \text{ A}$.
$I_{rms} = 230 \times 3 \times 10^4 \times 10^{-12} \text{ A}$.
$I_{rms} = 690 \times 10^{-8} \text{ A} = 6.9 \times 10^{-6} \text{ A}$.

(D) ઓલ્ટરનેટિંગ emf માટેનું આપેલ સમીકરણ $e = e_0 \cos \omega t$ છે.
અહીં મહત્તમ મૂલ્ય $e_0 = 10 \ V$ અને આવૃત્તિ $f = 50 \ Hz$ છે.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 2 \pi f = 2 \pi \times 50 = 100 \pi \ rad/s$ થાય.
$t = \frac{1}{600} \ s$ સમયે સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા:
$e = 10 \cos(100 \pi \times \frac{1}{600})$
$e = 10 \cos(\frac{\pi}{6})$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$,તેથી:
$e = 10 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 5 \sqrt{3} \ V$.

(B) ઇન્ડક્ટરનો ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_{L}$ એ સૂત્ર $X_{L} = 2 \pi f L$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $f$ એ $a.c.$ સપ્લાયની આવૃત્તિ છે અને $L$ એ સેલ્ફ-ઇન્ડક્ટન્સ છે.
આ સંબંધ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે $X_{L} \propto f$.
તેથી,જો આવૃત્તિ $f$ વધે,તો ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_{L}$ પણ રેખીય રીતે વધે છે.

(A) આપેલ અલ્ટરનેટિંગ e.m.f. નું સમીકરણ: $e = e_0 \sin \omega t$.
આપણે તે સમય $t$ શોધવો છે જ્યારે $e = \frac{e_0}{2}$ થાય.
સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $\frac{e_0}{2} = e_0 \sin \omega t$.
આથી: $\sin \omega t = \frac{1}{2}$.
કારણ કે $\sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$,તેથી $\omega t = 30^{\circ} = \frac{\pi}{6} \text{ રેડિયન}$.
$\omega = \frac{2\pi}{T}$ મૂકતા: $\left( \frac{2\pi}{T} \right) t = \frac{\pi}{6}$.
$t$ માટે ઉકેલતા: $t = \frac{T}{12}$.

(A) $LC$ ઓસિલેટરની આવૃત્તિ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$F = \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}}$
આ સંબંધ પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે આવૃત્તિ $F$ એ કેપેસીટન્સ $C$ ના વર્ગમૂળના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે (એટલે કે,$F \propto \frac{1}{\sqrt{C}}$).
ધારો કે $F_1 = F$ અને $C_1 = 0.1 \ \mu F$.
ધારો કે $F_2$ એ નવી આવૃત્તિ છે અને $C_2 = 0.2 \ \mu F$.
ગુણોત્તરની રીતનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{F_2}{F_1} = \sqrt{\frac{C_1}{C_2}}$
$\frac{F_2}{F} = \sqrt{\frac{0.1}{0.2}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$
તેથી,$F_2 = \frac{F}{\sqrt{2}} \ Hz$.

(A) આપેલ વોલ્ટેજ $e = e_0 \sin \omega t$ છે.
ઇન્ડક્ટરમાં,પ્રવાહ વોલ્ટેજ કરતા $\frac{\pi}{2}$ જેટલો પાછળ રહે છે. ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L = \omega L$ છે. તેથી,તત્કાલીન પ્રવાહ $i_L$ નીચે મુજબ છે:
$i_L = \frac{e_0}{\omega L} \sin \left(\omega t - \frac{\pi}{2}\right) = -\frac{e_0}{\omega L} \cos \omega t$
કેપેસિટરમાં,પ્રવાહ વોલ્ટેજ કરતા $\frac{\pi}{2}$ જેટલો આગળ રહે છે. કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $X_C = \frac{1}{\omega C}$ છે. તેથી,તત્કાલીન પ્રવાહ $i_C$ નીચે મુજબ છે:
$i_C = \frac{e_0}{X_C} \sin \left(\omega t + \frac{\pi}{2}\right) = e_0 \omega C \cos \omega t$
તેથી,પ્રવાહના મૂલ્યો $-\frac{e_0}{\omega L} \cos \omega t$ અને $e_0 \omega C \cos \omega t$ છે.

(A) રિજેક્ટર સર્કિટ,જેને સમાંતર રેઝોનન્ટ સર્કિટ તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે,તે એક એવી સર્કિટ છે જેમાં ઇન્ડક્ટર $(L)$ અને કેપેસિટર $(C)$ સમાંતરમાં જોડાયેલા હોય છે. રેઝોનન્ટ ફ્રીક્વન્સી પર,આ સમાંતર જોડાણનો ઇમ્પિડન્સ મહત્તમ બને છે,જે તે ચોક્કસ ફ્રીક્વન્સી પર કરંટને અસરકારક રીતે રિજેક્ટ કરે છે અથવા બ્લોક કરે છે. તેથી,રિજેક્ટર સર્કિટ બનાવવા માટે $L-C-R$ ઘટકો સમાંતરમાં જોડાયેલા હોય છે.

(C) આદર્શ ટ્રાન્સફોર્મર માટે, ઇનપુટ પાવર એ આઉટપુટ પાવર જેટલો હોય છે, એટલે કે $P_{in} = P_{out}$.
$P = V \times I$ હોવાથી, આપણી પાસે $V_{p}I_{p} = V_{s}I_{s}$ છે, જે સૂચવે છે કે $\frac{V_{s}}{V_{p}} = \frac{I_{p}}{I_{s}}$.
સ્ટેપ-ડાઉન ટ્રાન્સફોર્મરમાં, ગૌણ વોલ્ટેજ $V_{s}$ એ પ્રાથમિક વોલ્ટેજ $V_{p}$ કરતા ઓછો હોય છે $(V_{s} < V_{p})$.
સંબંધ $\frac{V_{s}}{V_{p}} = \frac{I_{p}}{I_{s}}$ મુજબ, જો $V_{s} < V_{p}$ હોય, તો $I_{s} > I_{p}$ થાય.
તેથી, ગૌણ ગૂંચળામાં પ્રવાહ વધે છે.

(C) સ્ટેપ-અપ ટ્રાન્સફોર્મર વોલ્ટેજમાં વધારો કરે છે,એટલે કે $V_s > V_p$.
આદર્શ ટ્રાન્સફોર્મરમાં પાવરનું સંરક્ષણ થતું હોવાથી $(P_p = P_s)$,આપણને $V_p I_p = V_s I_s$ મળે છે.
કારણ કે $V_s > V_p$ છે,તેથી $I_p > I_s$ થાય.
આથી,પ્રાથમિક ગૂંચળામાં વહેતો પ્રવાહ ગૌણ ગૂંચળામાં વહેતા પ્રવાહ કરતા વધારે હોય છે.

(B) ટ્રાન્સફોર્મર માટે ઇનપુટ પાવર $P_{\text{in}} = V_1 I_1$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ટ્રાન્સફોર્મર માટે આઉટપુટ પાવર $P_{\text{out}} = V_2 I_2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઇનપુટ પાવર અને આઉટપુટ પાવરનો ગુણોત્તર $\frac{P_{\text{in}}}{P_{\text{out}}} = \frac{V_1 I_1}{V_2 I_2}$ છે.
આદર્શ ટ્રાન્સફોર્મર માટે,ઇનપુટ પાવર અને આઉટપુટ પાવર સમાન હોય છે,તેથી ગુણોત્તર $1:1$ થાય. આપેલા વિકલ્પોને ધ્યાનમાં લેતા,વિકલ્પ $B$ એ ઇનપુટ પાવર અને આઉટપુટ પાવરનો ગુણોત્તર દર્શાવે છે.

(B) આપેલ છે, ટર્ન્સ રેશિયો $\frac{N_p}{N_s} = \frac{20}{1}$.
સેકન્ડરી વોલ્ટેજ $V_s = 8 \, V$ અને સેકન્ડરી અવરોધ $R_s = 0.4 \, \Omega$.
ઓહ્મના નિયમનો ઉપયોગ કરીને સેકન્ડરી કરંટ $I_s$ ની ગણતરી: $I_s = \frac{V_s}{R_s} = \frac{8}{0.4} = 20 \, A$.
આદર્શ ટ્રાન્સફોર્મર માટે, કરંટ અને ટર્ન્સ રેશિયો વચ્ચેનો સંબંધ $\frac{I_p}{I_s} = \frac{N_s}{N_p}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{I_p}{20} = \frac{1}{20}$.
તેથી, પ્રાઈમરી કરંટ $I_p = 1 \, A$ થશે.

(C) આદર્શ ટ્રાન્સફોર્મર માટે, ઇનપુટ પાવર એ આઉટપુટ પાવર જેટલો હોય છે, જેનો અર્થ છે $V_p I_p = V_s I_s$.
વધુમાં, ટ્રાન્સફોર્મેશન ગુણોત્તર $\frac{N_s}{N_p} = \frac{V_s}{V_p} = \frac{I_p}{I_s}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રાથમિક અને ગૌણ ગૂંચળાનો ગુણોત્તર $\frac{N_p}{N_s} = 1:20$ આપેલ છે, તેથી $\frac{N_s}{N_p} = 20$ થાય.
સંબંધ $\frac{I_p}{I_s} = \frac{N_s}{N_p}$ નો ઉપયોગ કરતા, આપણને $I_p = I_s \times \left(\frac{N_s}{N_p}\right)$ મળે છે.
અહીં $I_s = 2 \,A$ અને $\frac{N_s}{N_p} = 20$ આપેલ હોવાથી, $I_p = 2 \,A \times 20 = 40 \,A$ થાય.

(D) ઇલેક્ટ્રોન શરૂઆતમાં ત્રીજી ઉત્તેજિત અવસ્થામાં છે,જે મુખ્ય ક્વોન્ટમ નંબર $n = 4$ ને અનુરૂપ છે (કારણ કે ભૂમિ અવસ્થા $n = 1$ છે,પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થા $n = 2$ છે,બીજી ઉત્તેજિત અવસ્થા $n = 3$ છે,અને ત્રીજી ઉત્તેજિત અવસ્થા $n = 4$ છે).
જ્યારે ઇલેક્ટ્રોન ઉત્તેજિત અવસ્થા $n$ થી ભૂમિ અવસ્થામાં સંક્રમણ કરે છે,ત્યારે ઉત્સર્જિત થતી વર્ણપટ રેખાઓની મહત્તમ સંખ્યા નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$N = \frac{n(n - 1)}{2}$
સૂત્રમાં $n = 4$ મૂકતા:
$N = \frac{4(4 - 1)}{2} = \frac{4 \times 3}{2} = 6$
તેથી,ઉત્સર્જિત થતી વર્ણપટ રેખાઓની મહત્તમ સંખ્યા $6$ છે.

(A) લાયમન શ્રેણીની શ્રેણી મર્યાદા $n = \infty$ થી $n = 1$ ના સંક્રમણને અનુરૂપ છે. રિડબર્ગ સૂત્ર $\frac{1}{\lambda} = R(\frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{\lambda_1} = R(\frac{1}{1^2} - \frac{1}{\infty^2}) = R$
બામર શ્રેણીની શ્રેણી મર્યાદા $n = \infty$ થી $n = 2$ ના સંક્રમણને અનુરૂપ છે:
$\frac{1}{\lambda_3} = R(\frac{1}{2^2} - \frac{1}{\infty^2}) = \frac{R}{4}$
લાયમન શ્રેણીની પ્રથમ રેખા $n = 2$ થી $n = 1$ ના સંક્રમણને અનુરૂપ છે:
$\frac{1}{\lambda_2} = R(\frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2}) = R(1 - \frac{1}{4}) = R - \frac{R}{4}$
અગાઉના સમીકરણોમાંથી $R$ અને $\frac{R}{4}$ ની કિંમતો મૂકતા:
$\frac{1}{\lambda_2} = \frac{1}{\lambda_1} - \frac{1}{\lambda_3}$
પદોને ગોઠવતા,આપણને મળે છે:
$\frac{1}{\lambda_1} - \frac{1}{\lambda_2} = \frac{1}{\lambda_3}$

(D) વર્ણપટ રેખા માટે તરંગ આંક $\bar{\nu}$ રિડબર્ગ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\bar{\nu} = R \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$.
બામર શ્રેણી માટે,$n_1 = 2$ છે.
બામર શ્રેણીની છેલ્લી રેખા $n_2 = \infty$ થી $n_1 = 2$ સુધીના સંક્રમણને અનુરૂપ છે.
આ કિંમતો મૂકતા: $\bar{\nu} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{\infty^2} \right) = R \left( \frac{1}{4} - 0 \right) = \frac{R}{4}$.
આપેલ છે કે $R = 10^7 \ m^{-1}$,તેથી $\bar{\nu} = \frac{10^7}{4} = 0.25 \times 10^7 \ m^{-1} = 25 \times 10^5 \ m^{-1}$.

(C) વર્ણપટ રેખાની તરંગલંબાઇ $\lambda$ માટે રીડબર્ગ સૂત્ર $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$ છે.
બામર શ્રેણી માટે,$n_1 = 2$ અને $n_2 = 3, 4, 5, \dots$ છે.
મહત્તમ તરંગલંબાઇ $(\lambda_{max})$ સંક્રમણ $n_2 = 3$ થી $n_1 = 2$ માટે મળે છે:
$\frac{1}{\lambda_{max}} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right) = R \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right) = R \left( \frac{5}{36} \right) \implies \lambda_{max} = \frac{36}{5R}$.
ન્યૂનતમ તરંગલંબાઇ $(\lambda_{min})$ સંક્રમણ $n_2 = \infty$ થી $n_1 = 2$ માટે મળે છે:
$\frac{1}{\lambda_{min}} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{\infty^2} \right) = R \left( \frac{1}{4} - 0 \right) = \frac{R}{4} \implies \lambda_{min} = \frac{4}{R}$.
મહત્તમ અને ન્યૂનતમ તરંગલંબાઇનો ગુણોત્તર:
$\frac{\lambda_{max}}{\lambda_{min}} = \frac{36/5R}{4/R} = \frac{36}{5R} \times \frac{R}{4} = \frac{9}{5}$.

(C) હાઇડ્રોજન જેવા પરમાણુ માટે,ઉર્જાઓ નીચે મુજબ છે:
સ્થિતિ ઉર્જા $(P.E.)$ = $-\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{Ze^2}{r}$
ગતિ ઉર્જા $(K.E.)$ = $-\frac{1}{2} (P.E.) = \frac{1}{8 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{Ze^2}{r}$
કુલ ઉર્જા $(T.E.)$ = $\frac{1}{2} (P.E.) = -\frac{1}{8 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{Ze^2}{r}$
જ્યારે ઇલેક્ટ્રોન ઉત્તેજિત અવસ્થામાંથી ધરાવસ્થામાં સંક્રમણ કરે છે,ત્યારે કક્ષાની ત્રિજ્યા $(r)$ ઘટે છે.
કારણ કે $K.E. = \frac{k}{r}$,જેમ $r$ ઘટે છે તેમ $K.E.$ વધે છે.
કારણ કે $P.E. = -\frac{k'}{r}$,જેમ $r$ ઘટે છે તેમ $P.E.$ વધુ ઋણ બને છે,એટલે કે તે ઘટે છે.
કારણ કે $T.E. = -\frac{k''}{r}$,જેમ $r$ ઘટે છે તેમ $T.E.$ વધુ ઋણ બને છે,એટલે કે તે ઘટે છે.
તેથી,$K.E.$ વધે છે,જ્યારે $P.E.$ અને $T.E.$ ઘટે છે.

(C) Lyman શ્રેણીમાં સૌથી ટૂંકી તરંગલંબાઇ $n = \infty$ થી $n = 1$ ના સંક્રમણ માટે મળે છે:
$\frac{1}{\lambda_{L}} = R \left[ \frac{1}{1^2} - \frac{1}{\infty^2} \right] = R$
$\therefore \lambda_{L} = \frac{1}{R} = 912 \ \text{Å}$
Paschen શ્રેણીમાં સૌથી લાંબી તરંગલંબાઇ $n = 4$ થી $n = 3$ ના સંક્રમણ માટે મળે છે:
$\frac{1}{\lambda_{P}} = R \left[ \frac{1}{3^2} - \frac{1}{4^2} \right] = R \left[ \frac{1}{9} - \frac{1}{16} \right] = R \left[ \frac{16 - 9}{144} \right] = \frac{7R}{144}$
$\therefore \lambda_{P} = \frac{144}{7R}$
$\frac{1}{R} = 912 \ \text{Å}$ મૂકતા:
$\lambda_{P} = \frac{144}{7} \times 912 \ \text{Å} \approx 18760 \ \text{Å}$

(B) ગાયરોમેગ્નેટિક ગુણોત્તર એ ઇલેક્ટ્રોનની ચુંબકીય મોમેન્ટ $\mu$ અને કોણીય વેગમાન $L$ નો ગુણોત્તર છે.
$\text{ગાયરોમેગ્નેટિક ગુણોત્તર} = \frac{\mu}{L} = \frac{iA}{mvr}$
બોહર મોડેલનો ઉપયોગ કરતા,પ્રવાહ $i = \frac{e}{T} = \frac{e \omega}{2 \pi}$ અને ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ છે.
કોણીય વેગમાન $L = mvr = mr(r \omega) = mr^2 \omega$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{\mu}{L} = \frac{(\frac{e \omega}{2 \pi})(\pi r^2)}{mr^2 \omega} = \frac{e}{2m}$
અહીં $e$ અને $m$ અચળ હોવાથી,ગાયરોમેગ્નેટિક ગુણોત્તર ઇલેક્ટ્રોનની કક્ષા $n$ થી સ્વતંત્ર છે.

(A) હાઇડ્રોજન પરમાણુમાં ન્યુક્લિયસથી $r$ અંતરે રહેલા ઇલેક્ટ્રોનની સ્થિતિ ઊર્જા $U$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$U = -\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{e^2}{r}$
જેમ ઇલેક્ટ્રોન ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટ $(n=1)$ થી $5^{\text{મી}}$ કક્ષા $(n=5)$ માં જાય છે,તેમ કક્ષાની ત્રિજ્યા $r$ વધે છે $(r \propto n^2)$.
સ્થિતિ ઊર્જા $U$ એ $r$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે અને ઋણ નિશાની ધરાવે છે,તેથી જેમ $r$ વધે છે તેમ $U$ નું મૂલ્ય ઓછું ઋણ બને છે,જેનો અર્થ છે કે તે વધે છે.
તેથી,ઇલેક્ટ્રોનની સ્થિતિ ઊર્જામાં વધારો થાય છે.

(B) કેન્દ્રગામી પ્રવેગ $a = \frac{v^2}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
હાઇડ્રોજન પરમાણુ માટે,$n^{\text{th}}$ કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનનો વેગ $v \propto \frac{1}{n}$ અને ત્રિજ્યા $r \propto n^2$ છે.
આ કિંમતોને પ્રવેગના સમીકરણમાં મૂકતા:
$a \propto \frac{(1/n)^2}{n^2} = \frac{1}{n^4}$.
તેથી,$3^{\text{rd}}$ અને $5^{\text{th}}$ કક્ષા માટે કેન્દ્રગામી પ્રવેગનો ગુણોત્તર:
$\frac{a_3}{a_5} = \left(\frac{5}{3}\right)^4 = \frac{625}{81}$ થાય છે.

(B) પરમાણુના બોહર મોડેલ મુજબ,$n^{\text{th}}$ કક્ષામાં રહેલા ઇલેક્ટ્રોનની ગતિઊર્જા $(K)$ નું સૂત્ર $K = \frac{kZe^2}{2r_n}$ છે.
$n^{\text{th}}$ કક્ષામાં રહેલા ઇલેક્ટ્રોનની કુલ ઊર્જા $(E)$ નું સૂત્ર $E = -\frac{kZe^2}{2r_n}$ છે.
આ બંને સમીકરણોની સરખામણી કરતા,આપણને મળે છે કે $K = -E$.
તેથી,ગતિઊર્જા અને કુલ ઊર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{K}{E} = \frac{-E}{E} = -1$ થાય.
આને $1:-1$ ના ગુણોત્તર તરીકે દર્શાવી શકાય છે.

(C) હાઇડ્રોજન પરમાણુના બોહર મોડેલમાં,$n^{\text{th}}$ કક્ષામાં રહેલા ઇલેક્ટ્રોનની કુલ ઉર્જા $E$ એ $E \propto \frac{1}{n^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બોહરના ક્વોન્ટાઇઝેશનના સિદ્ધાંત મુજબ,$n^{\text{th}}$ કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનનું કોણીય વેગમાન $L = \frac{nh}{2\pi}$ છે,જેનો અર્થ છે કે $L \propto n$.
ઉર્જાના સમીકરણમાં $n \propto L$ મૂકતા,આપણને $E \propto \frac{1}{L^2}$ મળે છે.
તેથી,$E \propto L^{-2}$.

(C) હાઇડ્રોજન જેવા પરમાણુમાં ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જાનું સૂત્ર: $E_n = -13.6 \frac{Z^2}{n^2} \text{ eV}$ છે.
હાઇડ્રોજન પરમાણુની બીજી કક્ષા માટે $(Z=1, n=2)$: $E = -13.6 \frac{1^2}{2^2} = -\frac{13.6}{4} \text{ eV}$.
તેથી,$13.6 \text{ eV} = 4E$.
હિલિયમ આયનની ત્રીજી કક્ષા માટે $(Z=2, n=3)$: $E_3 = -13.6 \frac{2^2}{3^2} = -13.6 \frac{4}{9} \text{ eV}$.
$13.6 = -4E$ કિંમત મૂકતા: $E_3 = -(-4E) \frac{4}{9} = \frac{16E}{9}$.

(B) હાઇડ્રોજન પરમાણુની $n$ મી કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જા $E_n = -\frac{13.6 \ eV}{n^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ સંક્રમણ માટે (ii થી i): $n_i = 2$ થી $n_f = 1$.
ઉત્સર્જિત ફોટોનની ઉર્જા $\Delta E_1 = E_2 - E_1 = -\frac{13.6}{2^2} - (-\frac{13.6}{1^2}) = 13.6(1 - \frac{1}{4}) = 13.6 \times \frac{3}{4} \ eV$ છે.
બીજા સંક્રમણ માટે (સૌથી ઉચ્ચ થી ii): $n_i = \infty$ થી $n_f = 2$.
ઉત્સર્જિત ફોટોનની ઉર્જા $\Delta E_2 = E_{\infty} - E_2 = 0 - (-\frac{13.6}{2^2}) = \frac{13.6}{4} \ eV$ છે.
ઉર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{\Delta E_1}{\Delta E_2} = \frac{13.6 \times \frac{3}{4}}{\frac{13.6}{4}} = \frac{3}{1} = 3:1$ થાય છે.

(C) સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C = \frac{k A \varepsilon_0}{d}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $k$ એ ડાયલેક્ટ્રિક અચળાંક છે, $A$ એ પ્લેટોનું ક્ષેત્રફળ છે, $\varepsilon_0$ એ શૂન્યાવકાશની પરમિટિવિટી છે અને $d$ એ પ્લેટો વચ્ચેનું અંતર છે。
શરૂઆતમાં, કેપેસિટન્સ $C_1 = \frac{k A \varepsilon_0}{d}$ છે。
જ્યારે પ્લેટોને નજીક લાવવામાં આવે છે જેથી નવું અંતર $d' = \frac{d}{2}$ થાય, ત્યારે નવું કેપેસિટન્સ $C_2$ નીચે મુજબ મળે:
$C_2 = \frac{k A \varepsilon_0}{d'} = \frac{k A \varepsilon_0}{d/2} = 2 \left( \frac{k A \varepsilon_0}{d} \right)$.
આ સમીકરણમાં $C_1$ ની કિંમત મૂકતા, આપણને $C_2 = 2C_1$ મળે છે。

(B) ધારો કે પ્લેટો વચ્ચેનું પ્રારંભિક અંતર $d$ છે. પ્રારંભિક કેપેસિટન્સ $C = \frac{A \epsilon_0}{d}$ છે.
જ્યારે $t = 2 \,mm$ જાડાઈની ડાયલેક્ટ્રિક પ્લેટ દાખલ કરવામાં આવે છે, ત્યારે નવું કેપેસિટન્સ $C_1 = \frac{A \epsilon_0}{d - t + \frac{t}{k}}$ થાય છે.
જ્યારે સમાન વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત (જેનો અર્થ છે કે કેપેસિટન્સ $C_2 = C$ રહે છે) જાળવવા માટે પ્લેટો વચ્ચેનું અંતર $x = 1.6 \,mm$ વધારવામાં આવે છે, ત્યારે નવું અંતર $d' = d + x$ થાય છે.
નવું કેપેસિટન્સ $C_2 = \frac{A \epsilon_0}{d + x - t + \frac{t}{k}}$ છે.
$C_2 = C$ હોવાથી, $d + x - t + \frac{t}{k} = d$ મળે.
આને સાદું રૂપ આપતા, $x - t + \frac{t}{k} = 0$ અથવા $t - x = \frac{t}{k}$ મળે.
$t = 2 \,mm$ અને $x = 1.6 \,mm$ કિંમતો મૂકતા:
$2 - 1.6 = \frac{2}{k}$
$0.4 = \frac{2}{k}$
$k = \frac{2}{0.4} = 5$.

(D) ડાયલેક્ટ્રિક માધ્યમ ધરાવતા સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C = \frac{K \varepsilon_0 A}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં ડાયલેક્ટ્રિક અચળાંક $K = 3$ આપેલ છે,તેથી પ્રારંભિક કેપેસિટન્સ $C = \frac{3 \varepsilon_0 A}{d}$ થાય.
જ્યારે ઓઈલ (ડાયલેક્ટ્રિક) દૂર કરવામાં આવે છે,ત્યારે પ્લેટો વચ્ચેનું માધ્યમ હવા (અથવા શૂન્યાવકાશ) બની જાય છે,જેના માટે ડાયલેક્ટ્રિક અચળાંક $K' = 1$ હોય છે.
નવું કેપેસિટન્સ $C'$ એ $C' = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$ દ્વારા મળે છે.
આ બંને સમીકરણોની સરખામણી કરતા,આપણને $C' = \frac{C}{3}$ મળે છે.

(B) સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C = \frac{k A \varepsilon_0}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
શરૂઆતમાં,હવા ભરેલા કેપેસિટર માટે,$C_1 = \frac{A \varepsilon_0}{d_1} = 2 \ pF$,જ્યાં $k_1 = 1$ છે.
અંતે,પ્લેટો વચ્ચેનું અંતર બમણું કરવામાં આવે છે $(d_2 = 2d_1)$ અને જગ્યામાં $k_2 = k$ ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક વાળો પદાર્થ ભરવામાં આવે છે. નવું કેપેસિટન્સ $C_2 = \frac{k A \varepsilon_0}{d_2} = 6 \ pF$ છે.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{C_2}{C_1} = \frac{k \cdot A \varepsilon_0 / (2d_1)}{A \varepsilon_0 / d_1} = \frac{k}{2}$.
આપેલ છે કે $\frac{C_2}{C_1} = \frac{6}{2} = 3$.
તેથી,$\frac{k}{2} = 3$,જેનો અર્થ છે કે $k = 6$.