MHT CET 2021 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(A) શક્ય ઉકેલનો પ્રદેશ શરતો $x+y \leq 5$,$2x+y \geq 4$,$x \geq 0$ અને $y \geq 0$ દ્વારા નક્કી થાય છે.
આલેખ પરથી,શક્ય ઉકેલના પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ $A(0, 4)$,$B(2, 0)$,$C(5, 0)$ અને $D(0, 5)$ છે.
દરેક શિરોબિંદુ પર હેતુલક્ષી વિધેય $z = 2x + 3y$ ની કિંમત મેળવીએ:
$A(0, 4)$ પર: $z = 2(0) + 3(4) = 12$.
$B(2, 0)$ પર: $z = 2(2) + 3(0) = 4$.
$C(5, 0)$ પર: $z = 2(5) + 3(0) = 10$.
$D(0, 5)$ પર: $z = 2(0) + 3(5) = 15$.
આમ,$z$ ની મહત્તમ કિંમત $15$ છે,જે બિંદુ $D(0, 5)$ પર મળે છે.

(D) હેતુલક્ષી વિધેય $z = 4x + 6y$ ની ન્યૂનતમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે સૌ પ્રથમ શરતો $x + 2y \geq 80$,$3x + y \geq 75$ અને $x, y \geq 0$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત શક્ય ઉકેલનો પ્રદેશ નક્કી કરીએ છીએ.
$1$. શક્ય ઉકેલના પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ શોધો:
- રેખા $x + 2y = 80$ એ $x$-અક્ષને $(80, 0)$ પર અને $y$-અક્ષને $(0, 40)$ પર છેદે છે.
- રેખા $3x + y = 75$ એ $x$-અક્ષને $(25, 0)$ પર અને $y$-અક્ષને $(0, 75)$ પર છેદે છે.
- $x + 2y = 80$ અને $3x + y = 75$ નું છેદબિંદુ $B$ નીચે મુજબ મળે છે:
$x = 80 - 2y$
$3(80 - 2y) + y = 75 \implies 240 - 6y + y = 75 \implies 5y = 165 \implies y = 33$.
$x = 80 - 2(33) = 80 - 66 = 14$.
તેથી,$B = (14, 33)$.
$2$. શક્ય ઉકેલના પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ $A(80, 0)$,$B(14, 33)$ અને $C(0, 75)$ છે.
$3$. આ શિરોબિંદુઓ પર $z = 4x + 6y$ ની કિંમત તપાસો:
- $A(80, 0)$ પર: $z = 4(80) + 6(0) = 320$.
- $B(14, 33)$ પર: $z = 4(14) + 6(33) = 56 + 198 = 254$.
- $C(0, 75)$ પર: $z = 4(0) + 6(75) = 450$.
આમ,ન્યૂનતમ કિંમત $254$ છે.

(D) આપેલ શ્રેણિક સમીકરણ $AX = B$ છે:
$\begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 2 & -1 & 0 \\ 3 & 3 & -4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix}$
હારની પ્રક્રિયાઓ લાગુ કરતા:
$R_2 \rightarrow R_2 - 2R_1$ અને $R_3 \rightarrow R_3 - 3R_1$:
$\begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 6 & -7 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ -1 \end{bmatrix}$
હવે,$R_3 \rightarrow R_3 - 6R_2$:
$\begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 5 \end{bmatrix}$
પરિણામી સમીકરણોની સિસ્ટમ પરથી:
$5x_3 = 5 \implies x_3 = 1$
$x_2 - 2x_3 = -1 \implies x_2 - 2(1) = -1 \implies x_2 = 1$
$x_1 - x_2 + x_3 = 1 \implies x_1 - 1 + 1 = 1 \implies x_1 = 1$
તેથી,$x_1 + x_2 + x_3 = 1 + 1 + 1 = 3$.

(A) શોધવા માટે,આપણે $(A^{-1})^{-1} = A$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીએ છીએ. આપણે આપેલ શ્રેણિક $A^{-1}$ નો વ્યસ્ત શ્રેણિક એડજોઈન્ટ પદ્ધતિ દ્વારા શોધીએ છીએ. ધારો કે $M = A^{-1} = \left[\begin{array}{lll}3 & 2 & 6 \\ 1 & 1 & 2 \\ 2 & 5 & 5\end{array}\right]$.
પ્રથમ,નિશ્ચાયક $|M| = 3(5-10) - 2(5-4) + 6(5-2) = 3(-5) - 2(1) + 6(3) = -15 - 2 + 18 = 1$ શોધો.
ત્યારબાદ,સહઅવયવ શ્રેણિક $C_{ij}$ શોધો:
$C_{11} = +(5-10) = -5, C_{12} = -(5-4) = -1, C_{13} = +(5-2) = 3$
$C_{21} = -(10-30) = 20, C_{22} = +(15-12) = 3, C_{23} = -(15-4) = -11$
$C_{31} = +(4-6) = -2, C_{32} = -(6-6) = 0, C_{33} = +(3-2) = 1$
એડજોઈન્ટ શ્રેણિક $adj(M) = \left[\begin{array}{ccc}-5 & 20 & -2 \\ -1 & 3 & 0 \\ 3 & -11 & 1\end{array}\right]$.
કારણ કે $A = M^{-1} = \frac{1}{|M|} adj(M) = \frac{1}{1} \left[\begin{array}{ccc}-5 & 20 & -2 \\ -1 & 3 & 0 \\ 3 & -11 & 1\end{array}\right]$.
આમ,$A = \left[\begin{array}{ccc}-5 & 20 & -2 \\ -1 & 3 & 0 \\ 3 & -11 & 1\end{array}\right]$.

(A) આપેલ શ્રેણિક સમીકરણ $AX=B$ છે:
$\left[\begin{array}{ccc}1 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & -3 \\ 1 & 2 & 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}4 \\ 0 \\ 2\end{array}\right]$
હાર પ્રક્રિયાઓ $R_2 \rightarrow R_2 - 2R_1$ અને $R_3 \rightarrow R_3 - R_1$ લાગુ પાડતા:
$\left[\begin{array}{ccc}1 & -1 & 1 \\ 0 & 3 & -5 \\ 0 & 3 & 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}4 \\ -8 \\ -2\end{array}\right]$
ત્રીજી હાર પરથી,$3y = -2 \Rightarrow y = -\frac{2}{3}$.
બીજી હાર પરથી,$3y - 5z = -8 \Rightarrow 3(-\frac{2}{3}) - 5z = -8 \Rightarrow -2 - 5z = -8 \Rightarrow -5z = -6 \Rightarrow z = \frac{6}{5}$.
પ્રથમ હાર પરથી,$x - y + z = 4 \Rightarrow x - (-\frac{2}{3}) + \frac{6}{5} = 4 \Rightarrow x + \frac{2}{3} + \frac{6}{5} = 4 \Rightarrow x + \frac{10+18}{15} = 4 \Rightarrow x + \frac{28}{15} = 4 \Rightarrow x = 4 - \frac{28}{15} = \frac{60-28}{15} = \frac{32}{15}$.
$2x + y - z = 2(\frac{32}{15}) + (-\frac{2}{3}) - \frac{6}{5} = \frac{64}{15} - \frac{10}{15} - \frac{18}{15} = \frac{36}{15} = 2.4$.

(C) આપેલ છે કે $A(\alpha) = \begin{bmatrix} \cos \alpha & \sin \alpha \\ -\sin \alpha & \cos \alpha \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,$A^2(\alpha) = A(\alpha) \cdot A(\alpha)$ ની ગણતરી કરો:
$A^2(\alpha) = \begin{bmatrix} \cos \alpha & \sin \alpha \\ -\sin \alpha & \cos \alpha \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \cos \alpha & \sin \alpha \\ -\sin \alpha & \cos \alpha \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha & \cos \alpha \sin \alpha + \sin \alpha \cos \alpha \\ -\sin \alpha \cos \alpha - \cos \alpha \sin \alpha & -\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha \end{bmatrix}$
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha$ અને $\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha$ નો ઉપયોગ કરતા:
$A^2(\alpha) = \begin{bmatrix} \cos 2\alpha & \sin 2\alpha \\ -\sin 2\alpha & \cos 2\alpha \end{bmatrix} = A(2\alpha)$.
હવે,વ્યસ્ત શ્રેણિક $[A^2(\alpha)]^{-1} = [A(2\alpha)]^{-1}$ શોધો.
કારણ કે $|A(2\alpha)| = \cos^2 2\alpha + \sin^2 2\alpha = 1$,તેથી વ્યસ્ત શ્રેણિક એડજોઈન્ટ દ્વારા મળે છે:
$[A(2\alpha)]^{-1} = \begin{bmatrix} \cos 2\alpha & -\sin 2\alpha \\ \sin 2\alpha & \cos 2\alpha \end{bmatrix}$.
$\cos(-x) = \cos x$ અને $\sin(-x) = -\sin x$ નો ઉપયોગ કરતા:
$[A^2(\alpha)]^{-1} = \begin{bmatrix} \cos(-2\alpha) & \sin(-2\alpha) \\ -\sin(-2\alpha) & \cos(-2\alpha) \end{bmatrix} = A(-2\alpha)$.

(D) શ્રેણિક $A$ નો એડજોઈન્ટ (adj $A$),એ સહઅવયવ શ્રેણિક $C$ નો પરિવર્તિત શ્રેણિક છે,જ્યાં $C_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}$ છે.
આપેલ છે $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ -1 & 1 & -2 \\ 0 & 2 & 1 \end{bmatrix}$.
$x$ શોધવા માટે,જે $\text{adj } A$ ના $(1, 2)$ સ્થાન પર છે,આપણે શ્રેણિક $A$ ના $(2, 1)$ સ્થાનના ઘટકનો સહઅવયવ શોધીશું:
$x = C_{21} = (-1)^{2+1} \begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = -1(0 - 4) = 4$.
$y$ શોધવા માટે,જે $\text{adj } A$ ના $(3, 3)$ સ્થાન પર છે,આપણે શ્રેણિક $A$ ના $(3, 3)$ સ્થાનના ઘટકનો સહઅવયવ શોધીશું:
$y = C_{33} = (-1)^{3+3} \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = 1(1 - 0) = 1$.
તેથી,$x + y = 4 + 1 = 5$.

(C) આપેલ છે $A = \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta & 0 \\ \sin \theta & \cos \theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$.
શ્રેણિક $A$ નો એડજોઈન્ટ (સહઅવયવજ શ્રેણિક),જેને $\operatorname{adj} A$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે,તે સહઅવયવ શ્રેણિક $C = [C_{ij}]$ નો પરિવર્તિત શ્રેણિક છે.
સહઅવયવોની ગણતરી કરતા:
$C_{11} = (\cos \theta)(1) - 0 = \cos \theta$,$C_{12} = -(\sin \theta(1) - 0) = -\sin \theta$,$C_{13} = 0$.
$C_{21} = -(-\sin \theta(1) - 0) = \sin \theta$,$C_{22} = (\cos \theta)(1) - 0 = \cos \theta$,$C_{23} = 0$.
$C_{31} = 0$,$C_{32} = 0$,$C_{33} = \cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$.
આમ,સહઅવયવ શ્રેણિક $\begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta & 0 \\ \sin \theta & \cos \theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ છે.
તેનો પરિવર્તિત શ્રેણિક લેતા,$\operatorname{adj} A = \begin{bmatrix} \cos \theta & \sin \theta & 0 \\ -\sin \theta & \cos \theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ મળે છે.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $n$ કક્ષાના કોઈપણ ચોરસ શ્રેણિક $A$ માટે,ગુણધર્મ $A(\operatorname{adj} A) = |A| I_n$ સાચો છે,જ્યાં $I_n$ એ $n$ કક્ષાનો એકમ શ્રેણિક છે.
આપેલ છે કે $A(\operatorname{adj} A) = \left[\begin{array}{cc}20 & 0 \\ 0 & 20\end{array}\right]$.
આને $A(\operatorname{adj} A) = 20 \left[\begin{array}{cc}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right] = 20 I_2$ તરીકે લખી શકાય છે.
આને $A(\operatorname{adj} A) = |A| I_2$ ગુણધર્મ સાથે સરખાવતા,આપણને $|A| = 20$ મળે છે.

(D) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 5a & -b \\ 3 & 2 \end{bmatrix}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $A \operatorname{adj} A = |A| I$,જ્યાં $I$ એ એકમ શ્રેણિક છે.
આપેલ છે કે $A \operatorname{adj} A = AA^{T}$,તેથી $|A| I = AA^{T}$.
$|A| = (5a)(2) - (-b)(3) = 10a + 3b$.
આમ,$|A| I = \begin{bmatrix} 10a + 3b & 0 \\ 0 & 10a + 3b \end{bmatrix}$.
હવે,$AA^{T} = \begin{bmatrix} 5a & -b \\ 3 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 5a & 3 \\ -b & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 25a^2 + b^2 & 15a - 2b \\ 15a - 2b & 9 + 4 \end{bmatrix}$.
બંને શ્રેણિકોને સરખાવતા:
$10a + 3b = 25a^2 + b^2$ (વિકર્ણ ઘટકો માટે) અને $15a - 2b = 0$ (અન્ય ઘટકો માટે).
$15a - 2b = 0$ પરથી,આપણને $b = \frac{15a}{2}$ મળે છે.
વળી,$|A| I = AA^{T}$ સૂચવે છે કે $|A| = 13$,તેથી $10a + 3b = 13$.
$b = \frac{15a}{2}$ ને $10a + 3b = 13$ માં મૂકતા:
$10a + 3(\frac{15a}{2}) = 13 \implies 20a + 45a = 26 \implies 65a = 26 \implies a = \frac{26}{65} = \frac{2}{5}$.
તેથી $b = \frac{15}{2} \times \frac{2}{5} = 3$.
આમ,$5a + b = 5(\frac{2}{5}) + 3 = 2 + 3 = 5$.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે શ્રેણિકના ગુણધર્મ મુજબ $A(\operatorname{adj} A) = |A|I$,જ્યાં $I$ એ $A$ ની કક્ષાનો એકમ શ્રેણિક છે.
જોકે,આપેલ શ્રેણિક $M = A(\operatorname{adj} A) = \begin{bmatrix} -10 & 0 & 0 \\ 0 & -10 & 2 \\ 0 & 0 & -10 \end{bmatrix}$ એ અદિશ શ્રેણિક નથી (કારણ કે $(2,3)$ સ્થાન પરનો ઘટક $2$ છે).
બંને બાજુ નિશ્ચાયક લેતા: $|A(\operatorname{adj} A)| = |M|$.
ગુણધર્મ $|AB| = |A||B|$ નો ઉપયોગ કરતા,$|A| |\operatorname{adj} A| = |M|$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $|\operatorname{adj} A| = |A|^{n-1}$ જ્યાં $n=3$,તેથી $|A| \cdot |A|^{3-1} = |M|$,જેનું સાદું રૂપ $|A|^3 = |M|$ થાય છે.
શ્રેણિક $M$ નો નિશ્ચાયક શોધતા: $|M| = -10((-10)(-10) - (0)(2)) - 0 + 0 = -10(100) = -1000$.
તેથી,$|A|^3 = -1000$.
બંને બાજુ ઘનમૂળ લેતા,$|A| = -10$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે શ્રેણિકના ગુણધર્મ મુજબ $A(\operatorname{adj} A) = |A| I$,જ્યાં $|A|$ એ શ્રેણિક $A$ નો નિશ્ચાયક છે અને $I$ એ તે જ કક્ષાનો એકમ શ્રેણિક છે.
સૌ પ્રથમ,$A$ નો નિશ્ચાયક શોધો:
$|A| = 1(1 \times 4 - 2 \times 2) - 2(-1 \times 4 - 2 \times 1) + 3(-1 \times 2 - 1 \times 1)$
$|A| = 1(4 - 4) - 2(-4 - 2) + 3(-2 - 1)$
$|A| = 1(0) - 2(-6) + 3(-3)$
$|A| = 0 + 12 - 9 = 3$
હવે,સૂત્રમાં $|A|$ ની કિંમત મૂકો:
$A(\operatorname{adj} A) = 3 \times \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix}$.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ $n$ કક્ષાના ચોરસ શ્રેણિક $A$ માટે,$A(\operatorname{adj} A) = |A|I$ થાય છે.
સૌ પ્રથમ,નિશ્ચાયક $|A|$ ની ગણતરી કરીએ:
$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ -1 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 4 \end{vmatrix} = 1(4-4) - 2(-4-2) + 3(-2-1) = 1(0) - 2(-6) + 3(-3) = 0 + 12 - 9 = 3$.
આપેલ છે કે $A(\operatorname{adj} A) = kI$,તેને $A(\operatorname{adj} A) = |A|I$ સાથે સરખાવતા,આપણને $k = |A| = 3$ મળે છે.
હવે,$(k+1)^4$ ની કિંમત શોધીએ:
$(3+1)^4 = 4^4 = 256$.

(A) શ્રેણિક $A$ નો વ્યસ્ત અસ્તિત્વ ધરાવતો નથી જો તેનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોય,એટલે કે $|A| = 0$.
આપેલ શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & x \\ 4 & -1 & 7 \\ 2 & 4 & -6 \end{bmatrix}$.
નિશ્ચાયકને શૂન્ય લેતા:
$|A| = 1((-1)(-6) - (7)(4)) - 2((4)(-6) - (7)(2)) + x((4)(4) - (-1)(2)) = 0$
$|A| = 1(6 - 28) - 2(-24 - 14) + x(16 + 2) = 0$
$|A| = 1(-22) - 2(-38) + x(18) = 0$
$-22 + 76 + 18x = 0$
$54 + 18x = 0$
$18x = -54$
$x = -3$.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ વ્યસ્ત શ્રેણિકો $A$ અને $B$ માટે,ગુણધર્મ $(AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1}$ સાચો છે.
આપેલ છે કે $A^{-1} = \begin{bmatrix} 2 & -3 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}$ અને $B^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -3 & 1 \end{bmatrix}$.
આ કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે:
$(AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -3 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & -3 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}$
શ્રેણિક ગુણાકાર કરતા:
$= \begin{bmatrix} (1)(2) + (0)(-1) & (1)(-3) + (0)(2) \\ (-3)(2) + (1)(-1) & (-3)(-3) + (1)(2) \end{bmatrix}$
$= \begin{bmatrix} 2 + 0 & -3 + 0 \\ -6 - 1 & 9 + 2 \end{bmatrix}$
$= \begin{bmatrix} 2 & -3 \\ -7 & 11 \end{bmatrix}$

(A) આપેલ છે કે $F(\alpha) = \begin{bmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha & 0 \\ \sin \alpha & \cos \alpha & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,આપણે નિશ્ચાયક $|F(\alpha)|$ શોધીએ:
$|F(\alpha)| = \cos \alpha(\cos \alpha - 0) - (-\sin \alpha)(\sin \alpha - 0) + 0 = \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1$.
કારણ કે $|F(\alpha)| = 1 \neq 0$,તેથી વ્યસ્ત શ્રેણિક અસ્તિત્વ ધરાવે છે.
વ્યસ્ત શ્રેણિકનું સૂત્ર $[F(\alpha)]^{-1} = \frac{1}{|F(\alpha)|} \text{adj}(F(\alpha))$ છે.
સહઅવયવજ શ્રેણિક (adjoint) એ સહઅવયવ શ્રેણિકનો પરિવર્તિત શ્રેણિક છે:
$\text{adj}(F(\alpha)) = \begin{bmatrix} \cos \alpha & \sin \alpha & 0 \\ -\sin \alpha & \cos \alpha & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos(-\alpha) = \cos \alpha$ અને $\sin(-\alpha) = -\sin \alpha$.
આ કિંમતો મૂકતા,આપણને $\text{adj}(F(\alpha)) = \begin{bmatrix} \cos(-\alpha) & -\sin(-\alpha) & 0 \\ \sin(-\alpha) & \cos(-\alpha) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = F(-\alpha)$ મળે છે.
આમ,$[F(\alpha)]^{-1} = F(-\alpha)$.

(D) આપેલ છે $A^{-1} = \frac{-1}{2} \begin{bmatrix} 5 & 8 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}$.
જો આપણે $A = \begin{bmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$ લઈએ,તો $2A + I_2 = 2 \begin{bmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & 8 \\ 2 & 2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 8 \\ 2 & 3 \end{bmatrix}$.
આમ,વિકલ્પ $D$ સાચો જવાબ છે.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $AA^{-1} = I$.
આપેલ શ્રેણિકોનો ગુણાકાર કરતા:
$\begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \\ 3 & a & 1 \end{bmatrix} \times \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 \\ -8 & 6 & 2c \\ 5 & -3 & 1 \end{bmatrix} = I$
$\frac{1}{2} \begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \\ 3 & a & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 \\ -8 & 6 & 2c \\ 5 & -3 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$
પ્રથમ હાર અને ત્રીજા સ્તંભનો ગુણાકાર કરતા:
$0(1) + 1(2c) + 2(1) = 0 \implies 2c + 2 = 0 \implies 2c = -2 \implies c = -1$.
ત્રીજી હાર અને પ્રથમ સ્તંભનો ગુણાકાર કરતા:
$3(1) + a(-8) + 1(5) = 0 \implies 3 - 8a + 5 = 0 \implies 8 - 8a = 0 \implies 8a = 8 \implies a = 1$.
આમ,$a = 1$ અને $c = -1$ મળે છે.

(B) $A^{-1}$ શોધવા માટે,આપણે $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A)$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
પ્રથમ,નિશ્ચાયક $|A|$ ની ગણતરી કરો:
$|A| = 0(2-3) - 1(1-9) + 2(1-6) = 0 - 1(-8) + 2(-5) = 8 - 10 = -2$.
આગળ,સહઅવયવ શ્રેણિક $C_{ij}$ શોધો:
$C_{11} = +(2-3) = -1, C_{12} = -(1-9) = 8, C_{13} = +(1-6) = -5$
$C_{21} = -(1-2) = 1, C_{22} = +(0-6) = -6, C_{23} = -(0-3) = 3$
$C_{31} = +(3-4) = -1, C_{32} = -(0-2) = 2, C_{33} = +(0-1) = -1$
આમ,$\text{adj}(A) = \begin{bmatrix} -1 & 1 & -1 \\ 8 & -6 & 2 \\ -5 & 3 & -1 \end{bmatrix}^T = \begin{bmatrix} -1 & 8 & -5 \\ 1 & -6 & 3 \\ -1 & 2 & -1 \end{bmatrix}$.
છેલ્લે,$A^{-1} = \frac{1}{-2} \begin{bmatrix} -1 & 8 & -5 \\ 1 & -6 & 3 \\ -1 & 2 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1/2 & -1/2 & 1/2 \\ -4 & 3 & -1 \\ 5/2 & -3/2 & 1/2 \end{bmatrix}$.
આ વિકલ્પ $B$ સાથે મેળ ખાય છે.

(B) શ્રેણિક $A$ નો વ્યસ્ત શ્રેણિક $A^{-1}$ ત્યારે જ અસ્તિત્વ ધરાવતો નથી જો શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોય,એટલે કે $|A| = 0$.
આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} k & 2 \\ -2 & -k \end{bmatrix}$.
નિશ્ચાયક $|A|$ ની ગણતરી નીચે મુજબ થાય છે:
$|A| = (k)(-k) - (2)(-2)$
$|A| = -k^2 + 4$
$A^{-1}$ અસ્તિત્વ ન ધરાવે તે માટે,આપણે $|A| = 0$ લઈએ:
$-k^2 + 4 = 0$
$k^2 = 4$
$k = \pm 2$
તેથી,જ્યારે $k = \pm 2$ હોય ત્યારે $A^{-1}$ અસ્તિત્વ ધરાવતું નથી.

(B) આપેલ શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 1 \end{bmatrix}$ છે.
સૌ પ્રથમ,આપણે $A$ નો નિશ્ચાયક $(|A|)$ શોધીએ:
$|A| = 1(2 - 6) - 0(0 - 3) + 1(0 - 2)$
$|A| = 1(-4) - 0 + 1(-2)$
$|A| = -4 - 2 = -6$.
આપણે જાણીએ છીએ કે નિશ્ચાયકનો ગુણધર્મ $|A^{-1}| = \frac{1}{|A|}$ છે.
તેથી,$|A^{-1}| = \frac{1}{-6} = -\frac{1}{6}$.

(C) સૌ પ્રથમ,ગુણાકાર $AB$ શોધો:
$AB = \left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & 1 \\ -1 & 1 & 3\end{array}\right] \left[\begin{array}{cc}1 & 2 \\ -3 & 1 \\ 0 & 2\end{array}\right]$
$AB = \left[\begin{array}{cc} (1)(1) + (2)(-3) + (1)(0) & (1)(2) + (2)(1) + (1)(2) \\ (-1)(1) + (1)(-3) + (3)(0) & (-1)(2) + (1)(1) + (3)(2) \end{array}\right]$
$AB = \left[\begin{array}{cc} 1 - 6 + 0 & 2 + 2 + 2 \\ -1 - 3 + 0 & -2 + 1 + 6 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc} -5 & 6 \\ -4 & 5 \end{array}\right]$
હવે,શ્રેણિક $M = \left[\begin{array}{cc} -5 & 6 \\ -4 & 5 \end{array}\right]$ નો વ્યસ્ત શ્રેણિક શોધો.
નિશ્ચાયક $|M| = (-5)(5) - (6)(-4) = -25 + 24 = -1$.
વ્યસ્ત શ્રેણિક $M^{-1} = \frac{1}{|M|} \text{adj}(M)$ દ્વારા મળે છે.
$2 \times 2$ શ્રેણિક $\left[\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array}\right]$ માટે,એડજોઈન્ટ $\left[\begin{array}{cc} d & -b \\ -c & a \end{array}\right]$ થાય છે.
તેથી,$\text{adj}(M) = \left[\begin{array}{cc} 5 & -6 \\ 4 & -5 \end{array}\right]$.
$(AB)^{-1} = \frac{1}{-1} \left[\begin{array}{cc} 5 & -6 \\ 4 & -5 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc} -5 & 6 \\ -4 & 5 \end{array}\right]$.

(D) શ્રેણિક $A$ નો નિશ્ચાયક $|A| = 1(7 - 4a) - 2(7 - 2a) + 3(4 - 2) = 7 - 4a - 14 + 4a + 6 = -1$ છે.
આપેલ છે કે $B = A^{-1}$,તેથી $B = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A)$.
$|A| = -1$ હોવાથી,ઘટક $B_{ij} = \frac{C_{ji}}{|A|} = -C_{ji}$ થાય,જ્યાં $C_{ji}$ એ $A_{ji}$ નો સહઅવયવ છે.
ઘટક $B_{13} = b$ માટે,$b = -C_{31}$ થાય.
સહઅવયવ $C_{31} = (-1)^{3+1} \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 1 & a \end{vmatrix} = 2a - 3$.
તેથી,$b = -(2a - 3) = 3 - 2a$,એટલે કે $2a + b = 3$.
ઘટક $B_{21} = -3$ માટે,$-3 = -C_{12}$ થાય.
સહઅવયવ $C_{12} = (-1)^{1+2} \begin{vmatrix} 1 & a \\ 2 & 7 \end{vmatrix} = -(7 - 2a) = 2a - 7$.
તેથી,$-3 = -(2a - 7) = 7 - 2a$,જેનો અર્થ છે કે $2a = 10$,એટલે કે $a = 5$.
$a = 5$ ને $2a + b = 3$ માં મૂકતા,$2(5) + b = 3$ મળે,તેથી $10 + b = 3$,જેનો અર્થ છે કે $b = -7$.

(A) આપણે શ્રેણિકના વ્યસ્તનો ગુણધર્મ જાણીએ છીએ: $(XY)^{-1} = Y^{-1} X^{-1}$.
આ ગુણધર્મને આપેલ પદાવલિ પર લાગુ કરતા:
$(B^{-1} A^{-1})^{-1} = (A^{-1})^{-1} (B^{-1})^{-1} = AB$.
હવે,આપણે $AB$ નો ગુણાકાર શોધીએ:
$AB = \left[\begin{array}{ll}2 & -2 \\ 2 & -3\end{array}\right] \left[\begin{array}{cc}0 & -1 \\ 1 & 0\end{array}\right]$
$AB = \left[\begin{array}{ll} (2)(0) + (-2)(1) & (2)(-1) + (-2)(0) \\ (2)(0) + (-3)(1) & (2)(-1) + (-3)(0) \end{array}\right]$
$AB = \left[\begin{array}{ll} 0 - 2 & -2 + 0 \\ 0 - 3 & -2 + 0 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{ll} -2 & -2 \\ -3 & -2 \end{array}\right]$.

(D) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 5 & -2 \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,$A$ નો નિશ્ચાયક શોધો:
$|A| = (2)(-2) - (3)(5) = -4 - 15 = -19$.
ત્યારબાદ,$A$ નો સહઅવયજ શ્રેણિક (adjoint) શોધો:
$\text{adj}(A) = \begin{bmatrix} -2 & -3 \\ -5 & 2 \end{bmatrix}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A)$:
$A^{-1} = \frac{1}{-19} \begin{bmatrix} -2 & -3 \\ -5 & 2 \end{bmatrix} = \frac{1}{19} \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 5 & -2 \end{bmatrix}$.
કારણ કે $A^{-1} = KA$ અને $A = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 5 & -2 \end{bmatrix}$,તેથી:
$KA = \frac{1}{19} A$.
આમ,$K = \frac{1}{19}$.

(D) શ્રેણિક ત્યારે જ વ્યસ્ત કરી શકાય જો તેનો નિશ્ચાયક શૂન્ય ન હોય $(|M| \neq 0)$.
શ્રેણિક $A$ માટે: $|A| = (2 \times 15) - (3 \times 10) = 30 - 30 = 0$. તેથી,$A$ વ્યસ્ત કરી શકાય તેવો નથી.
શ્રેણિક $B$ માટે: હાર $R_1$ અને હાર $R_3$ સમાન હોવાથી,$|B| = 0$. તેથી,$B$ વ્યસ્ત કરી શકાય તેવો નથી.
શ્રેણિક $C$ માટે: $|C| = 1(4 \times 8 - 5 \times 6) - 2(3 \times 8 - 5 \times 4) + 3(3 \times 6 - 4 \times 4) = 1(32 - 30) - 2(24 - 20) + 3(18 - 16) = 1(2) - 2(4) + 3(2) = 2 - 8 + 6 = 0$. તેથી,$C$ વ્યસ્ત કરી શકાય તેવો નથી.
શ્રેણિક $D$ માટે: $|D| = 2(1 \times 5 - 0 \times 4) - 4(1 \times 5 - 0 \times 1) + 2(1 \times 4 - 1 \times 1) = 2(5) - 4(5) + 2(3) = 10 - 20 + 6 = -4$. કારણ કે $|D| \neq 0$,તેથી $D$ વ્યસ્ત કરી શકાય તેવો છે.

(B) આપેલ શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} \lambda & i \\ i & -\lambda \end{bmatrix}$ છે.
વ્યસ્ત શ્રેણિક $A^{-1}$ અસ્તિત્વ ધરાવતું ન હોય તે માટે,નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય શૂન્ય હોવું જોઈએ,એટલે કે $|A| = 0$.
નિશ્ચાયકની ગણતરી કરતા:
$|A| = (\lambda)(-\lambda) - (i)(i) = -\lambda^2 - i^2$.
અહીં $i = \sqrt{-1}$ હોવાથી,$i^2 = -1$ થાય.
આ કિંમત નિશ્ચાયકના સમીકરણમાં મૂકતા:
$|A| = -\lambda^2 - (-1) = -\lambda^2 + 1$.
નિશ્ચાયકને શૂન્ય સાથે સરખાવતા:
$-\lambda^2 + 1 = 0 \Rightarrow \lambda^2 = 1$.
તેથી,$\lambda = \pm 1$.

(B) ધારો કે ખામીયુક્ત બલ્બ પસંદ કરવાની સંભાવના $p$ છે. આપેલ છે $p = \frac{10}{100} = 0.1$ અને $q = 1 - p = 0.9$.
આપણે $n = 5$ બલ્બ પસંદ કરીએ છીએ. ધારો કે $X$ એ ખામીયુક્ત બલ્બની સંખ્યા છે.
આપણે $P(X \le 1) = P(X = 0) + P(X = 1)$ શોધવાની જરૂર છે.
દ્વિપદી વિતરણ સૂત્ર $P(X = k) = {}^nC_k p^k q^{n-k}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$P(X = 0) = {}^5C_0 (0.1)^0 (0.9)^5 = 1 \times 1 \times (0.9)^5 = 0.59049$.
$P(X = 1) = {}^5C_1 (0.1)^1 (0.9)^4 = 5 \times 0.1 \times 0.6561 = 0.5 \times 0.6561 = 0.32805$.
તેથી,$P(X \le 1) = 0.59049 + 0.32805 = 0.91854$.

(D) જ્યારે સિક્કાને $3$ વાર ઉછાળવામાં આવે,ત્યારે નિદર્શાવકાશ $S$ માં $2^3 = 8$ પરિણામો મળે છે: $\{HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT\}$.
ધારો કે $H$ એ છાપની સંખ્યા છે અને $T$ એ કાંટાની સંખ્યા છે. $H+T=3$ હોવાથી,$T=3-H$ મળે.
તફાવત $X = |H-T| = |H-(3-H)| = |2H-3|$.
$H \in \{0, 1, 2, 3\}$ માટે:
જો $H=0, T=3, X=|0-3|=3$.
જો $H=1, T=2, X=|1-2|=1$.
જો $H=2, T=1, X=|2-1|=1$.
જો $H=3, T=0, X=|3-0|=3$.
આપણે $P(X=1)$ શોધવું છે,જે $H=1$ અથવા $H=2$ હોય ત્યારે મળે છે.
$H=1$ માટેના પરિણામો $\{HTT, THT, TTH\}$ ($3$ પરિણામો) છે.
$H=2$ માટેના પરિણામો $\{HHT, HTH, THH\}$ ($3$ પરિણામો) છે.
કુલ સાનુકૂળ પરિણામો $= 3 + 3 = 6$.
તેથી,$P(X=1) = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$.

(D) $1$ થી $19$ વચ્ચેની અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ $2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19$ છે. આવી કુલ $8$ સંખ્યાઓ છે.
પ્રથમ મહેમાનને અવિભાજ્ય સંખ્યાવાળો રૂમ આપવામાં આવ્યો હોવાથી,હવે $8 - 1 = 7$ અવિભાજ્ય રૂમ બાકી રહે છે.
બીજા મહેમાન માટે કુલ બાકી રહેલા રૂમની સંખ્યા $19 - 1 = 18$ છે.
તેથી,બીજા મહેમાનને અવિભાજ્ય સંખ્યાવાળો રૂમ મળે તેની સંભાવના $\frac{7}{18}$ છે.

(C) યાદચ્છિક ચલ $X$ એ મળેલા એક્કાની સંખ્યા દર્શાવે છે,જે $0, 1, 2$ કિંમતો લઈ શકે છે.
$52$ માંથી $2$ પત્તા ખેંચવાની કુલ રીતો $^{52}C_2 = \frac{52 \times 51}{2} = 1326$ છે.
$0$ એક્કા મેળવવાની સંભાવના: $P(X=0) = \frac{^{48}C_2}{^{52}C_2} = \frac{1128}{1326} = \frac{188}{221}$.
$1$ એક્કો મેળવવાની સંભાવના: $P(X=1) = \frac{^{4}C_1 \times ^{48}C_1}{^{52}C_2} = \frac{4 \times 48}{1326} = \frac{192}{1326} = \frac{32}{221}$.
$2$ એક્કા મેળવવાની સંભાવના: $P(X=2) = \frac{^{4}C_2}{^{52}C_2} = \frac{6}{1326} = \frac{1}{221}$.
અપેક્ષિત મૂલ્ય $E(X) = \sum x_i P(x_i) = (0 \times \frac{188}{221}) + (1 \times \frac{32}{221}) + (2 \times \frac{1}{221}) = \frac{32+2}{221} = \frac{34}{221} = \frac{2}{13}$.

(B) આપણને $P(A) = \frac{3}{10}$,$P(B) = \frac{3}{5}$,અને $P(A \cup B) = \frac{3}{5}$ આપેલ છે.
સંભાવનાના સરવાળાના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{3}{5} = \frac{3}{10} + \frac{3}{5} - P(A \cap B)$.
આથી $P(A \cap B) = \frac{3}{10}$ મળે છે.
હવે,આપણે $P(A|B) \times P(B|A)$ ની ગણતરી કરવાની છે.
વ્યાખ્યા મુજબ,$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ અને $P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$.
તેથી,$P(A|B) \times P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \times \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = \frac{(\frac{3}{10})}{(\frac{3}{5})} \times \frac{(\frac{3}{10})}{(\frac{3}{10})} = \frac{1}{2} \times 1 = \frac{1}{2}$.

(B) ધારો કે $R_1$ અને $B_1$ એ પ્રથમ થેલીમાંથી લાલ અને કાળો દડો કાઢવાની ઘટનાઓ છે. $P(R_1) = \frac{3}{8}$,$P(B_1) = \frac{5}{8}$.
ધારો કે $R_2$ અને $B_2$ એ બીજી થેલીમાંથી લાલ અને કાળો દડો કાઢવાની ઘટનાઓ છે. $P(R_2) = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$,$P(B_2) = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$.
એક દડો લાલ અને બીજો કાળો હોય તે ઘટના બે રીતે બની શકે છે: (પ્રથમમાંથી લાલ અને બીજામાંથી કાળો) અથવા (પ્રથમમાંથી કાળો અને બીજામાંથી લાલ).
જરૂરી સંભાવના $= P(R_1) \times P(B_2) + P(B_1) \times P(R_2)$.
$= (\frac{3}{8} \times \frac{4}{10}) + (\frac{5}{8} \times \frac{6}{10})$.
$= \frac{12}{80} + \frac{30}{80} = \frac{42}{80} = \frac{21}{40}$.

(C) પાસા પરના શક્ય પરિણામો ${1, 2, 3, 4, 5, 6}$ છે.
તેમાં પૂર્ણ વર્ગ સંખ્યાઓ ${1, 4}$ છે.
તેથી,એક ફેંકમાં પૂર્ણ વર્ગ સંખ્યા મળવાની સંભાવના $p = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ છે.
એક ફેંકમાં પૂર્ણ વર્ગ સંખ્યા ન મળવાની સંભાવના $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ છે.
$n = 4$ સ્વતંત્ર ફેંક માટે,ચારમાંથી એક પણ ફેંકમાં પૂર્ણ વર્ગ સંખ્યા ન મળવાની સંભાવના $q^4 = (\frac{2}{3})^4 = \frac{16}{81}$ છે.
ઓછામાં ઓછા એક ફેંકમાં પૂર્ણ વર્ગ સંખ્યા મળવાની સંભાવના $1 - P(\text{પૂર્ણ વર્ગ ન મળે}) = 1 - \frac{16}{81} = \frac{65}{81}$ છે.

(C) ધારો કે $E$ એ ઘટના છે કે પાસા પર $6$ આવે છે,અને $R$ એ ઘટના છે કે માણસ $6$ હોવાનું જણાવે છે.
$P(E) = \frac{1}{6}$ ($6$ આવવાની સંભાવના)
$P(\text{not } E) = \frac{5}{6}$ ($6$ ન આવવાની સંભાવના)
$P(R|E) = \frac{3}{4}$ ($6$ હોય ત્યારે $6$ હોવાનું જણાવવાની સંભાવના)
$P(R|\text{not } E) = \frac{1}{4}$ ($6$ ન હોય ત્યારે $6$ હોવાનું જણાવવાની સંભાવના)
બેયઝના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,તે ખરેખર $6$ હોવાની સંભાવના જ્યારે તે $6$ હોવાનું જણાવે છે:
$P(E|R) = \frac{P(E) \times P(R|E)}{P(E) \times P(R|E) + P(\text{not } E) \times P(R|\text{not } E)}$
$P(E|R) = \frac{\frac{1}{6} \times \frac{3}{4}}{\frac{1}{6} \times \frac{3}{4} + \frac{5}{6} \times \frac{1}{4}}$
$P(E|R) = \frac{\frac{3}{24}}{\frac{3}{24} + \frac{5}{24}} = \frac{3}{8}$

(B) કેસ ઉકેલાવાની સંભાવના $p = 25 \% = \frac{1}{4}$ છે.
તેથી,કેસ ન ઉકેલાવાની સંભાવના $q = 1 - p = \frac{3}{4}$ છે.
અહીં $n = 6$ પ્રયત્નો આપેલા છે,આપણે ઓછામાં ઓછા $5$ કેસ ઉકેલાવાની સંભાવના શોધવાની છે,જે $P(X \ge 5) = P(X = 5) + P(X = 6)$ છે.
દ્વિપદી વિતરણના સૂત્ર $P(X = x) = {}^nC_x p^x q^{n-x}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$P(X = 5) = {}^6C_5 \left(\frac{1}{4}\right)^5 \left(\frac{3}{4}\right)^1 = 6 \times \frac{1}{4^5} \times \frac{3}{4} = \frac{18}{4^6}$.
$P(X = 6) = {}^6C_6 \left(\frac{1}{4}\right)^6 \left(\frac{3}{4}\right)^0 = 1 \times \frac{1}{4^6} \times 1 = \frac{1}{4^6}$.
તેથી,$P(X \ge 5) = \frac{18}{4^6} + \frac{1}{4^6} = \frac{19}{4^6} = \frac{19}{4096}$.

(A) દ્વિપદી વિતરણ માટે,મધ્યક $\mu = np = 4$ અને વિચરણ $\sigma^2 = npq = 2$ છે.
વિચરણને મધ્યક વડે ભાગતા,આપણને $q = \frac{npq}{np} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ મળે છે.
$p + q = 1$ હોવાથી,$p = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ મળે.
$p = \frac{1}{2}$ ને $np = 4$ માં મૂકતા,$n \times \frac{1}{2} = 4$,જેનો અર્થ છે કે $n = 8$.
$x$ સફળતા મેળવવાની સંભાવના $P(X=x) = { }^n C_x p^x q^{n-x}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$x = 2$ માટે,$P(X=2) = { }^8 C_2 \left(\frac{1}{2}\right)^2 \left(\frac{1}{2}\right)^6 = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} \times \left(\frac{1}{2}\right)^8$.
$P(X=2) = 28 \times \frac{1}{256} = \frac{28}{256}$.

(D) ધારો કે પાસાની એક જોડીને ફેંકતા ડબલેટ મળવાની સંભાવના $p$ છે. પાસાની એક જોડીમાં કુલ $36$ પરિણામો છે અને $6$ શક્ય ડબલેટ્સ છે: $(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)$.
તેથી,$p = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$ અને $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$.
પાસાને $n = 4$ વાર ફેંકવામાં આવે છે. ધારો કે $X$ એ ડબલેટ્સની સંખ્યા દર્શાવતો યાદચ્છિક ચલ છે. આ દ્વિપદી વિતરણ $B(n, p) = B(4, \frac{1}{6})$ ને અનુસરે છે.
સંભાવના $P(X=k)$ એ $\binom{n}{k} p^k q^{n-k}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$X=0$ માટે: $P(0) = \binom{4}{0} (\frac{1}{6})^0 (\frac{5}{6})^4 = 1 \times 1 \times \frac{625}{1296} = \frac{625}{1296}$.
$X=1$ માટે: $P(1) = \binom{4}{1} (\frac{1}{6})^1 (\frac{5}{6})^3 = 4 \times \frac{1}{6} \times \frac{125}{216} = \frac{500}{1296} = \frac{125}{324}$.
$X=2$ માટે: $P(2) = \binom{4}{2} (\frac{1}{6})^2 (\frac{5}{6})^2 = 6 \times \frac{1}{36} \times \frac{25}{36} = \frac{150}{1296} = \frac{25}{216}$.
$X=3$ માટે: $P(3) = \binom{4}{3} (\frac{1}{6})^3 (\frac{5}{6})^1 = 4 \times \frac{1}{216} \times \frac{5}{6} = \frac{20}{1296} = \frac{5}{324}$.
$X=4$ માટે: $P(4) = \binom{4}{4} (\frac{1}{6})^4 (\frac{5}{6})^0 = 1 \times \frac{1}{1296} \times 1 = \frac{1}{1296}$.

(A) ધારો કે $n=100$ પ્રયત્નોમાં છાપની સંખ્યા $X$ છે. સિક્કો નિષ્પક્ષ હોવાથી,છાપ મળવાની સંભાવના $p = \frac{1}{2}$ અને કાંટો મળવાની સંભાવના $q = \frac{1}{2}$ છે.
$X$ એ દ્વિપદી વિતરણ $B(100, \frac{1}{2})$ ને અનુસરે છે.
બેકી સંખ્યામાં છાપ મળે તેની સંભાવના $P(X \in \{0, 2, 4, \dots, 100\}) = \sum_{k \in \{0, 2, \dots, 100\}} \binom{100}{k} p^k q^{100-k}$ છે.
$p=q=\frac{1}{2}$ હોવાથી,આ પદ $\left(\frac{1}{2}\right)^{100} \sum_{k \in \{0, 2, \dots, 100\}} \binom{100}{k}$ બને છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે બેકી દ્વિપદી સહગુણકોનો સરવાળો $\sum_{k \text{ even}} \binom{n}{k} = 2^{n-1}$ થાય છે.
તેથી,સંભાવના $\left(\frac{1}{2}\right)^{100} \times 2^{100-1} = \frac{2^{99}}{2^{100}} = \frac{1}{2}$ મળે છે.

(B) ધારો કે $p$ એ છાપ મેળવવાની સંભાવના છે,તેથી $p = \frac{1}{2}$.
ધારો કે $q$ એ છાપ ન મેળવવાની સંભાવના છે,તેથી $q = 1 - p = \frac{1}{2}$.
$n$ વખત સિક્કો ઉછાળતા $x$ છાપ મેળવવાની સંભાવના દ્વિપદી વિતરણના સૂત્ર દ્વારા મળે છે: $P(X=x) = {}^{n}C_{x} p^x q^{n-x} = {}^{n}C_{x} (\frac{1}{2})^n$.
આપેલ છે કે $P(X=7) = P(X=9)$,તેથી:
${}^{n}C_{7} (\frac{1}{2})^n = {}^{n}C_{9} (\frac{1}{2})^n$.
આનો અર્થ એ છે કે ${}^{n}C_{7} = {}^{n}C_{9}$.
ગુણધર્મ ${}^{n}C_{r} = {}^{n}C_{n-r}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $n = 7 + 9 = 16$ મળે છે.
હવે,આપણે $2$ છાપ મેળવવાની સંભાવના શોધવાની છે,જે $P(X=2)$ છે:
$P(X=2) = {}^{16}C_{2} (\frac{1}{2})^{16} = \frac{16 \times 15}{2} \times \frac{1}{2^{16}} = 120 \times \frac{1}{2^{16}} = \frac{15 \times 8}{2^{16}} = \frac{15}{2^{13}}$.

(A) આપેલ છે કે $X \sim B(n, p)$ જ્યાં $n=4$. સંભાવના વિતરણનું સૂત્ર $P(X=k) = {}^nC_k p^k q^{n-k}$ છે,જ્યાં $q = 1-p$.
આપેલ છે કે $P(X=0) = \frac{16}{81}$.
સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$P(X=0) = {}^4C_0 p^0 q^4 = q^4$.
તેથી,$q^4 = \frac{16}{81} = \left(\frac{2}{3}\right)^4$.
આમ,$q = \frac{2}{3}$,જેનો અર્થ છે કે $p = 1 - q = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$.
હવે,આપણે $P(X=4)$ શોધવાનું છે: $P(X=4) = {}^4C_4 p^4 q^0 = (1) \left(\frac{1}{3}\right)^4 (1) = \frac{1}{81}$.

(B) યાદચ્છિક ચલ $X$ નું અપેક્ષિત મૂલ્ય $E(X)$ સૂત્ર $E(X) = \sum p_i x_i$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ કોષ્ટકનો ઉપયોગ કરીને:
$E(X) = (0 \times 0.35) + (500 \times 0.25) + (1000 \times 0.15) + (1500 \times 0.10) + (2000 \times 0.08) + (2500 \times 0.05) + (3000 \times 0.02)$
દરેક પદની ગણતરી કરતા:
$E(X) = 0 + 125 + 150 + 150 + 160 + 125 + 60$
કિંમતોનો સરવાળો કરતા:
$E(X) = 770$
આમ,જાળવણી ખર્ચનું અપેક્ષિત મૂલ્ય રૂ. $770$ છે.

(D) સંભાવના વિતરણમાં તમામ સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ થવો જોઈએ.
$\sum P(X = x) = 0 + k + 2k + 2k + 3k + k^2 + 2k^2 + (7k^2 + k) = 1$
$10k^2 + 9k - 1 = 0$
$(10k - 1)(k + 1) = 0$
અહીં $k \geq 0$ હોવાથી,$k = \frac{1}{10}$ મળે.
સંચયી સંભાવના વિતરણ વિધેય $F(4)$ એ $P(X \leq 4)$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે.
$F(4) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4)$
$F(4) = 0 + k + 2k + 2k + 3k = 8k$
$k = \frac{1}{10}$ મૂકતા:
$F(4) = 8 \times \frac{1}{10} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$.

(D) આપેલ p.m.f $P(X=x) = \frac{1}{32} \binom{5}{x}$ છે,જ્યાં $x \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$.
$P(X \leq 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)$
$= \frac{1}{32} \left[ \binom{5}{0} + \binom{5}{1} + \binom{5}{2} \right] = \frac{1}{32} (1 + 5 + 10) = \frac{16}{32} = \frac{1}{2}$.
$P(X \geq 3) = P(X=3) + P(X=4) + P(X=5)$
$= \frac{1}{32} \left[ \binom{5}{3} + \binom{5}{4} + \binom{5}{5} \right] = \frac{1}{32} (10 + 5 + 1) = \frac{16}{32} = \frac{1}{2}$.
આમ,$P(X \leq 2) = \frac{1}{2}$ અને $P(X \geq 3) = \frac{1}{2}$ હોવાથી,$P(X \leq 2) = P(X \geq 3)$ થાય છે.

(D) સંભાવના વિતરણનું વિચરણ શોધવા માટે,આપણે સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $\text{વિચરણ} = E(X^2) - [E(X)]^2$,જ્યાં $E(X) = \sum p_i x_i$ અને $E(X^2) = \sum p_i x_i^2$.
પ્રથમ,$E(X)$ ની ગણતરી કરો:
$E(X) = (0 \times \frac{9}{16}) + (1 \times \frac{3}{8}) + (2 \times \frac{1}{16}) = 0 + \frac{3}{8} + \frac{2}{16} = \frac{6}{16} + \frac{2}{16} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}$.
ત્યારબાદ,$E(X^2)$ ની ગણતરી કરો:
$E(X^2) = (0^2 \times \frac{9}{16}) + (1^2 \times \frac{3}{8}) + (2^2 \times \frac{1}{16}) = 0 + \frac{3}{8} + \frac{4}{16} = \frac{6}{16} + \frac{4}{16} = \frac{10}{16} = \frac{5}{8}$.
હવે,વિચરણની ગણતરી કરો:
$\text{વિચરણ} = E(X^2) - [E(X)]^2 = \frac{5}{8} - (\frac{1}{2})^2 = \frac{5}{8} - \frac{1}{4} = \frac{5}{8} - \frac{2}{8} = \frac{3}{8}$.

(B) સંભાવના વિતરણમાં સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ હોવો જોઈએ,એટલે કે $\sum P(X = x_i) = 1$.
આપેલ છે કે $P(X=0) = \frac{5}{16}$,$P(X=1) = \frac{5}{16}$,$P(X=2) = \frac{2k}{48}$,અને $P(X=3) = \frac{1}{4} = \frac{12}{48}$.
તેમનો સરવાળો કરતા: $\frac{5}{16} + \frac{5}{16} + \frac{2k}{48} + \frac{12}{48} = 1$.
બધાને છેદ $48$ માં ફેરવતા: $\frac{15}{48} + \frac{15}{48} + \frac{2k}{48} + \frac{12}{48} = 1$.
$\frac{42 + 2k}{48} = 1 \Rightarrow 42 + 2k = 48 \Rightarrow 2k = 6 \Rightarrow k = 3$.
હવે,સંભાવના વિતરણ આ મુજબ છે:
$P(X=0) = \frac{15}{48}$,$P(X=1) = \frac{15}{48}$,$P(X=2) = \frac{6}{48} = \frac{1}{8}$,$P(X=3) = \frac{12}{48}$.
અપેક્ષિત મૂલ્ય $E(X) = \sum x_i P(x_i) = (0 \times \frac{15}{48}) + (1 \times \frac{15}{48}) + (2 \times \frac{6}{48}) + (3 \times \frac{12}{48})$.
$E(X) = 0 + \frac{15}{48} + \frac{12}{48} + \frac{36}{48} = \frac{63}{48} = \frac{21}{16} = 1.3125$.

(A) પ્રતિ કેક અપેક્ષિત નફો અપેક્ષિત મૂલ્યના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ગણવામાં આવે છે: $E(X) = \sum p_i x_i$.
અહીં,$x_i$ એ દરેક પ્રકારની કેક માટેનો નફો દર્શાવે છે અને $p_i$ એ દરેક પ્રકારની સંભાવના (માંગ) દર્શાવે છે.
આપેલ કિંમતો:
$x_1 = 2, p_1 = 0.20$
$x_2 = 2.5, p_2 = 0.05$
$x_3 = 3, p_3 = 0.10$
$x_4 = 1.5, p_4 = 0.50$
$x_5 = 1, p_5 = 0.15$
અપેક્ષિત નફો $= (2 \times 0.20) + (2.5 \times 0.05) + (3 \times 0.10) + (1.5 \times 0.50) + (1 \times 0.15)$
$= 0.4 + 0.125 + 0.3 + 0.75 + 0.15$
$= 1.725$
તેથી,પ્રતિ કેક અપેક્ષિત નફો $Rs \ 1.725$ છે.

(B) સંભાવના વિતરણ માટે,બધી સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ થવો જોઈએ.
$\sum P(X = x) = k + 3k + 5k + 7k + 8k + k = 1$
$25k = 1 \Rightarrow k = \frac{1}{25}$
આપણે $P(2 \leq X < 5)$ શોધવાનું છે,જે $P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4)$ છે.
$P(2 \leq X < 5) = 3k + 5k + 7k = 15k$
$k = \frac{1}{25}$ મૂકતા:
$P(2 \leq X < 5) = 15 \times \frac{1}{25} = \frac{15}{25} = \frac{3}{5}$

(C) સંચયી વિતરણ વિધેય $F(x)$ ને $F(x) = P(X \le x)$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
સંભાવના દળ વિધેય $P(X=x)$ શોધવા માટે,આપણે $P(X=x) = F(x) - F(x-1)$ સંબંધનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
$x=4$ માટે,$P(X=4) = F(4) - F(3) = 0.62 - 0.48 = 0.14$.
$x=5$ માટે,$P(X=5) = F(5) - F(4) = 0.85 - 0.62 = 0.23$.
તેથી,$P(X=4) + P(X=5) = 0.14 + 0.23 = 0.37$.

(D) સંભાવના વિતરણ માટે,બધી સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ હોવો જોઈએ.
$\sum P(X) = K + 2K + 3K + 4K + 5K + 6K = 1$
$21K = 1 \Rightarrow K = \frac{1}{21}$
આપણે $P(2 < X < 6)$ શોધવાની જરૂર છે,જે $P(X=3) + P(X=4) + P(X=5)$ ને અનુરૂપ છે.
$P(2 < X < 6) = 3K + 4K + 5K = 12K$
$K = \frac{1}{21}$ ની કિંમત મૂકતા:
$P(2 < X < 6) = 12 \times \frac{1}{21} = \frac{12}{21} = \frac{4}{7}$