MHT CET 2021 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(B) સંચયી સંભાવના વિતરણ વિધેય $F(x)$ ને $F(x) = P(X \leq x)$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
તેથી,$F(0) = P(X \leq 0) = P(X = -2) + P(X = -1) + P(X = 0)$.
આપેલ કોષ્ટક પરથી:
$P(X = -2) = 0.2$
$P(X = -1) = 0.3$
$P(X = 0) = 0.15$
તેથી,$F(0) = 0.2 + 0.3 + 0.15 = 0.65$.
વૈકલ્પિક રીતે,આપણે જાણીએ છીએ કે બધી સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ થાય છે.
$P(X \leq 0) + P(X > 0) = 1$
$F(0) = 1 - P(X > 0)$.
આમ,$F(0) = 1 - (P(X = 1) + P(X = 2)) = 1 - (0.25 + 0.1) = 1 - 0.35 = 0.65$.

(A) સંભાવના વિતરણમાં તમામ સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ હોવો જોઈએ.
$k + 2k + 3k + 4k + 4k + 3k + 2k + k + k = 1$
$21k = 1$
$k = \frac{1}{21}$
આપણે $P(3 < X \leq 6)$ શોધવાનું છે,જે $P(X=4) + P(X=5) + P(X=6)$ છે.
કોષ્ટક પરથી:
$P(X=4) = 4k$
$P(X=5) = 3k$
$P(X=6) = 2k$
તેથી,$P(3 < X \leq 6) = 4k + 3k + 2k = 9k$.
$k = \frac{1}{21}$ ની કિંમત મૂકતા:
$P(3 < X \leq 6) = 9 \times \frac{1}{21} = \frac{9}{21} = \frac{3}{7}$.

(C) સંભાવના વિતરણમાં સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ થાય છે.
$0.07 + 0.2 + 0.3 + k + 0.07 + 0.04 + 0.02 = 1$
$0.7 + k = 1 \implies k = 0.3$
હવે,આપણે મધ્યક $E(X) = \sum x_i p_i$ અને $E(X^2) = \sum x_i^2 p_i$ ની ગણતરી કરીએ.

$x_i$	$p_i$	$x_i p_i$	$x_i^2 p_i$
$5$	$0.07$	$0.35$	$1.75$
$6$	$0.2$	$1.2$	$7.2$
$7$	$0.3$	$2.1$	$14.7$
$8$	$0.3$	$2.4$	$19.2$
$9$	$0.07$	$0.63$	$5.67$
$10$	$0.04$	$0.4$	$4$
$11$	$0.02$	$0.22$	$2.42$
કુલ	$1$	$7.3$	$55.04$

મધ્યક $E(X) = \sum x_i p_i = 7.3$
$E(X^2) = \sum x_i^2 p_i = 55.04$
વિચરણ $\operatorname{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$
$\operatorname{Var}(X) = 55.04 - (7.3)^2 = 55.04 - 53.29 = 1.75$

(D) પાસાને $6$ બાજુઓ હોય છે. બાજુઓ પરની સંખ્યાઓ $1, 1, 1, 2, 2, 5$ છે.
$1$ મળવાની સંભાવના $P(X=1) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ છે.
$2$ મળવાની સંભાવના $P(X=2) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ છે.
$5$ મળવાની સંભાવના $P(X=5) = \frac{1}{6}$ છે.
મધ્યક (અપેક્ષિત મૂલ્ય) $E(X) = \sum p_i x_i$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
મધ્યક $= (1 \times \frac{1}{2}) + (2 \times \frac{1}{3}) + (5 \times \frac{1}{6}) = \frac{1}{2} + \frac{2}{3} + \frac{5}{6} = \frac{3+4+5}{6} = \frac{12}{6} = 2$.

$x_i$	$p_i x_i$
$1$	$1/2$
$2$	$2/3$
$5$	$5/6$
કુલ	$2$

(A) કારણ કે $f(x)$ એ યાદચ્છિક ચલ $X$ નું p.d.f. છે,તેથી વક્ર હેઠળનું કુલ ક્ષેત્રફળ $1$ હોવું જોઈએ.
$\int_{0}^{1} f(x) dx = 1 \Rightarrow \int_{0}^{1} K(x-x^2) dx = 1$
$K \left[ \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1} = 1 \Rightarrow K \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) = 1$
$K \left( \frac{1}{6} \right) = 1 \Rightarrow K = 6$
હવે,આપણે $P(X < \frac{1}{2}) = \int_{0}^{\frac{1}{2}} 6(x-x^2) dx$ ની ગણતરી કરીએ.
$= 6 \left[ \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{\frac{1}{2}} = \left[ 3x^2 - 2x^3 \right]_{0}^{\frac{1}{2}}$
$= 3 \left( \frac{1}{2} \right)^2 - 2 \left( \frac{1}{2} \right)^3 = 3 \left( \frac{1}{4} \right) - 2 \left( \frac{1}{8} \right)$
$= \frac{3}{4} - \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

(C) ધારો કે $p$ એ એક પાસા પર $6$ મેળવવાની સંભાવના છે,તેથી $p = \frac{1}{6}$.
ધારો કે $q$ એ $6$ ન મેળવવાની સંભાવના છે,તેથી $q = 1 - p = \frac{5}{6}$.
બે પાસા ફેંકવામાં આવતા હોવાથી,$X$ એ દ્વિપદી વિતરણ $B(n, p)$ ને અનુસરે છે જ્યાં $n = 2$ અને $p = \frac{1}{6}$.
દ્વિપદી વિતરણની અપેક્ષિત કિંમત $E(X)$ એ $E(X) = np$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$E(X) = 2 \times \frac{1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

(A) યાદચ્છિક ચલ $X$ નો મધ્યક $E(X) = \sum p_i x_i = \frac{1}{n} + \frac{2}{n} + \frac{3}{n} + \dots + \frac{n}{n}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$E(X) = \frac{1}{n} (1 + 2 + 3 + \dots + n) = \frac{1}{n} \cdot \frac{n(n+1)}{2} = \frac{n+1}{2}$.
$X^2$ ની અપેક્ષિત કિંમત $E(X^2) = \sum p_i x_i^2 = \frac{1^2}{n} + \frac{2^2}{n} + \frac{3^2}{n} + \dots + \frac{n^2}{n}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$E(X^2) = \frac{1}{n} (1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + n^2) = \frac{1}{n} \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} = \frac{(n+1)(2n+1)}{6}$.
$X$ નું વિચરણ $\operatorname{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\operatorname{Var}(X) = \frac{(n+1)(2n+1)}{6} - \left( \frac{n+1}{2} \right)^2$.
$\operatorname{Var}(X) = \frac{2n^2 + 3n + 1}{6} - \frac{n^2 + 2n + 1}{4}$.
લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $12$ લેતા:
$\operatorname{Var}(X) = \frac{2(2n^2 + 3n + 1) - 3(n^2 + 2n + 1)}{12} = \frac{4n^2 + 6n + 2 - 3n^2 - 6n - 3}{12} = \frac{n^2 - 1}{12}$.

(B) $X$ નું સંભાવના વિતરણ નીચે મુજબ છે:
| $x_i$ | $p_i$ | $x_i p_i$ | $x_i^2 p_i$ |
|---|---|---|---|
| $0$ | $0.4$ | $0$ | $0$ |
| $1$ | $0.6$ | $0.6$ | $0.6$ |
| કુલ | | $0.6$ | $0.6$ |
આપણે જાણીએ છીએ કે $\text{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$.
કોષ્ટક પરથી,$E(X) = \sum x_i p_i = 0.6$.
$E(X^2) = \sum x_i^2 p_i = 0.6$.
તેથી,$\text{Var}(X) = 0.6 - (0.6)^2 = 0.6 - 0.36 = 0.24$.

(C) આપેલ છે કે $X \sim B(n, p)$ જ્યાં $p=0.6$ અને $E(X)=6$.
$E(X) = np$ હોવાથી,$n(0.6) = 6$,જેનો અર્થ છે કે $n = \frac{6}{0.6} = 10$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $q = 1 - p = 1 - 0.6 = 0.4$.
વિચરણ (Variance) $\operatorname{Var}(X) = npq$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$\operatorname{Var}(X) = (10)(0.6)(0.4) = 2.4$.

(A) દ્વિપદી વિતરણ $X \sim B(n, p)$ માટે,મધ્યક $E(X) = np = 18$ અને વિચરણ $Var(X) = npq = 12$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $q = 1 - p$.
વિચરણને મધ્યક વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$\frac{npq}{np} = \frac{12}{18} \implies q = \frac{2}{3}$.
$p + q = 1$ હોવાથી,$p = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$ મળે.
$p = \frac{1}{3}$ ને $np = 18$ માં મૂકતા:
$n \times \frac{1}{3} = 18 \implies n = 18 \times 3 = 54$.

(A) દ્વિપદી વિતરણ માટે,મધ્યક $\mu = np$ અને વિચરણ $\sigma^2 = npq$ છે,જ્યાં $q = 1 - p$.
આપેલ છે કે $n = 5$ અને $np + npq = 1.8$.
$n = 5$ અને $q = 1 - p$ મૂકતા:
$5p + 5p(1 - p) = 1.8$
$5p + 5p - 5p^2 = 1.8$
$10p - 5p^2 = 1.8$
$5p^2 - 10p + 1.8 = 0$
$5$ વડે ગુણતા: $25p^2 - 50p + 9 = 0$.
દ્વિઘાત સૂત્ર $p = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$p = \frac{50 \pm \sqrt{2500 - 900}}{50} = \frac{50 \pm 40}{50}$.
$p = 1.8$ (શક્ય નથી કારણ કે $p \leq 1$) અથવા $p = 0.2$.
આમ,સફળતાની સંભાવના $0.2$ છે.

(C) કોઈપણ ત્રિકોણમાં,મધ્યકેન્દ્ર $G$ એ લંબકેન્દ્ર $H$ અને પરિકેન્દ્ર $P$ ને જોડતા રેખાખંડનું $2:1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
તેથી,વિભાજન સૂત્ર મુજબ,મધ્યકેન્દ્રનો સ્થાન સદિશ $\bar{g} = \frac{1 \cdot \bar{h} + 2 \cdot \bar{p}}{1 + 2}$ દ્વારા મળે છે.
આનું સાદું રૂપ $3 \bar{g} = \bar{h} + 2 \bar{p}$ થાય છે,જેને $2 \bar{p} + 1 \bar{h} - 3 \bar{g} = \overline{0}$ તરીકે લખી શકાય.
આપેલ સમીકરણ $x \bar{p} + y \bar{h} + z \bar{g} = \overline{0}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 2$,$y = 1$ અને $z = -3$ મળે છે.

(D) આપેલ સમતલનું સમીકરણ $\bar{r} = \bar{a} + \lambda \bar{A} + \mu \bar{B}$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $\bar{a} = \hat{i} - \hat{j}$,$\bar{A} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$,અને $\bar{B} = \hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k}$ છે.
સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\bar{n}$ એ બે સદિશો $\bar{A}$ અને $\bar{B}$ ના સદિશ ગુણાકાર (cross product) દ્વારા મળે છે:
$\bar{n} = \bar{A} \times \bar{B} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 3 \end{vmatrix}$
$= \hat{i}(3 - (-2)) - \hat{j}(3 - 1) + \hat{k}(-2 - 1)$
$= 5\hat{i} - 2\hat{j} - 3\hat{k}$.
સમતલનું કાર્તેઝિયન સમીકરણ $(\bar{r} - \bar{a}) \cdot \bar{n} = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જે $\bar{r} \cdot \bar{n} = \bar{a} \cdot \bar{n}$ છે.
$\bar{a} \cdot \bar{n} = (\hat{i} - \hat{j}) \cdot (5\hat{i} - 2\hat{j} - 3\hat{k}) = (1)(5) + (-1)(-2) + (0)(-3) = 5 + 2 = 7$.
આમ,કાર્તેઝિયન સમીકરણ $5x - 2y - 3z = 7$ અથવા $5x - 2y - 3z - 7 = 0$ છે.

(B) આપેલ કાર્તેઝિયન સમીકરણો $y=2$ અને $4x-3z+5=0$ છે.
બીજા સમીકરણને $4x = 3z - 5$ તરીકે લખી શકાય,જેનો અર્થ છે કે $4x = 3(z - \frac{5}{3})$.
$12$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{4x}{12} = \frac{3(z - \frac{5}{3})}{12}$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $\frac{x}{3} = \frac{z - \frac{5}{3}}{4}$ થાય છે.
$y=2$ અચળ હોવાથી,રેખાને $\frac{x}{3} = \frac{y-2}{0} = \frac{z - \frac{5}{3}}{4}$ તરીકે દર્શાવી શકાય.
આ રેખા બિંદુ $(0, 2, \frac{5}{3})$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી તેનો સ્થાન સદિશ $\overline{a} = 0\hat{i} + 2\hat{j} + \frac{5}{3}\hat{k}$ છે.
રેખાના દિકગુણોત્તરો $(3, 0, 4)$ છે,તેથી દિશા સદિશ $\overline{b} = 3\hat{i} + 0\hat{j} + 4\hat{k}$ છે.
રેખાનું સદિશ સમીકરણ $\overline{r} = \overline{a} + \lambda\overline{b}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $\overline{r} = (2\hat{j} + \frac{5}{3}\hat{k}) + \lambda(3\hat{i} + 4\hat{k})$ મળે છે.

(A) ધારો કે $A$ એ ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ છે.
તેથી $B$ ના યામ $(3, 0, 4)$ અને $C$ ના યામ $(5, -2, 4)$ થશે.
$A$ માંથી પસાર થતી મધ્યગા બાજુ $BC$ ને તેના મધ્યબિંદુ $M$ પર મળે છે.
$BC$ ના મધ્યબિંદુ $M$ ના યામ $\left( \frac{3+5}{2}, \frac{0-2}{2}, \frac{4+4}{2} \right) = (4, -1, 4)$ છે.
મધ્યગા $AM$ ની લંબાઈ એ $A(0, 0, 0)$ થી $M(4, -1, 4)$ સુધીનું અંતર છે.
લંબાઈ $= \sqrt{(4-0)^2 + (-1-0)^2 + (4-0)^2} = \sqrt{16 + 1 + 16} = \sqrt{33} \text{ એકમ}$.

(A) આપેલા બિંદુઓ $O \equiv(0, 0, 0)$ અને $P \equiv(1, 2, 3)$ છે.
સૌ પ્રથમ,સદિશ $\overline{OP}$ ની લંબાઈની ગણતરી કરો:
$|\overline{OP}| = \sqrt{(1-0)^2 + (2-0)^2 + (3-0)^2} = \sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 4 + 9} = \sqrt{14}$.
સદિશ $\overline{OP} = (x, y, z)$ ની દિકકોસાઇન $(l, m, n)$ એ $\frac{x}{|\overline{OP}|}, \frac{y}{|\overline{OP}|}, \frac{z}{|\overline{OP}|}$ દ્વારા મળે છે.
તેથી,દિકકોસાઇન $\frac{1}{\sqrt{14}}, \frac{2}{\sqrt{14}}, \frac{3}{\sqrt{14}}$ છે.

(C) આપેલ રેખાનું સમીકરણ $\frac{x+2}{2} = \frac{2y-4}{3}$ અને $z = -1$ છે.
આ સમીકરણને $\frac{x+2}{2} = \frac{2(y-2)}{3} = \frac{y-2}{3/2}$ અને $z = -1$ તરીકે લખી શકાય.
આ રેખાના દિકગુણોત્તર $(a, b, c) = (2, \frac{3}{2}, 0)$ છે.
દિકકોસાઇન શોધવા માટે,આપણે દિકગુણોત્તરના સદિશનું માન શોધીએ: $\sqrt{a^2 + b^2 + c^2} = \sqrt{2^2 + (\frac{3}{2})^2 + 0^2} = \sqrt{4 + \frac{9}{4}} = \sqrt{\frac{25}{4}} = \frac{5}{2}$.
દિકકોસાઇન $(\ell, m, n)$ નીચે મુજબ મળે છે: $(\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}, \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}, \frac{c}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}})$.
તેથી,$\ell = \pm \frac{2}{5/2} = \pm \frac{4}{5}$,$m = \pm \frac{3/2}{5/2} = \pm \frac{3}{5}$,અને $n = \pm \frac{0}{5/2} = 0$.
આમ,દિકકોસાઇન $\pm \frac{4}{5}, \pm \frac{3}{5}, 0$ છે.

(D) આપેલ છે કે $|\overline{u}|=2$. ધારો કે દિશાના ખૂણાઓ $\alpha, \beta, \gamma$ છે.
આપણને $\alpha = 60^{\circ}$ અને $\beta = 120^{\circ}$ આપેલ છે.
દિશા કોસાઇન માટેનું સૂત્ર $\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $(\cos 60^{\circ})^2 + (\cos 120^{\circ})^2 + \cos^2 \gamma = 1$.
$(\frac{1}{2})^2 + (-\frac{1}{2})^2 + \cos^2 \gamma = 1$.
$\frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \cos^2 \gamma = 1 \Rightarrow \frac{1}{2} + \cos^2 \gamma = 1$.
$\cos^2 \gamma = \frac{1}{2} \Rightarrow \cos \gamma = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$.
સદિશ $\overline{u} = |\overline{u}|(\cos \alpha \hat{i} + \cos \beta \hat{j} + \cos \gamma \hat{k})$.
$\overline{u} = 2(\frac{1}{2} \hat{i} - \frac{1}{2} \hat{j} \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \hat{k})$.
આથી,$\overline{u} = \hat{i} - \hat{j} \pm \sqrt{2} \hat{k}$. વિકલ્પ $D$ સાચો છે.

(A) આપેલ સમતલો $x+2y+3z-4=0$ અને $4x+3y+2z-1=0$ ની છેદરેખામાંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ નીચે મુજબ છે:
$(x+2y+3z-4) + \lambda(4x+3y+2z-1) = 0$
$(1+4\lambda)x + (2+3\lambda)y + (3+2\lambda)z + (-4-\lambda) = 0 \quad \dots (1)$
આ સમતલ ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,આપણે આ યામોને સમીકરણ $(1)$ માં મૂકીએ:
$(1+4\lambda)(0) + (2+3\lambda)(0) + (3+2\lambda)(0) + (-4-\lambda) = 0$
$-4-\lambda = 0 \implies \lambda = -4$
હવે $\lambda = -4$ ની કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$(1+4(-4))x + (2+3(-4))y + (3+2(-4))z + (-4-(-4)) = 0$
$(1-16)x + (2-12)y + (3-8)z + 0 = 0$
$-15x - 10y - 5z = 0$
$-5$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$3x + 2y + z = 0$
આ સમતલના અભિલંબના દિક્ગુણોત્તરો $x, y,$ અને $z$ ના સહગુણકો છે,જે $(3, 2, 1)$ છે.

(B) આપેલ બિંદુઓ $A=(-2,2,3), B=(3,2,2), C=(4,-3,5)$ અને $D=(7,-5,-1)$ છે.
સદિશ $\overline{AB} = (3 - (-2))\hat{i} + (2 - 2)\hat{j} + (2 - 3)\hat{k} = 5\hat{i} + 0\hat{j} - 1\hat{k} = 5\hat{i} - \hat{k}$.
સદિશ $\overline{CD} = (7 - 4)\hat{i} + (-5 - (-3))\hat{j} + (-1 - 5)\hat{k} = 3\hat{i} - 2\hat{j} - 6\hat{k}$.
સદિશ $\overline{AB}$ નો સદિશ $\overline{CD}$ પરનો પ્રક્ષેપ શોધવાનું સૂત્ર $\frac{\overline{AB} \cdot \overline{CD}}{|\overline{CD}|}$ છે.
પ્રથમ,અદિશ ગુણાકાર શોધો: $\overline{AB} \cdot \overline{CD} = (5)(3) + (0)(-2) + (-1)(-6) = 15 + 0 + 6 = 21$.
ત્યારબાદ,$\overline{CD}$ નું માન શોધો: $|\overline{CD}| = \sqrt{(3)^2 + (-2)^2 + (-6)^2} = \sqrt{9 + 4 + 36} = \sqrt{49} = 7$.
તેથી,પ્રક્ષેપ $\frac{21}{7} = 3$ થાય.

(B) આપેલ સદિશો $\bar{a}=3 \hat{i}+\hat{j}-\hat{k}$,$\bar{b}=2 \hat{i}-\hat{j}+23 \hat{k}$,અને $\bar{c}=7 \hat{i}-\hat{j}+23 \hat{k}$ છે.
તેઓ સમતલીય છે કે નહીં તે તપાસવા માટે,આપણે અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $[\bar{a} \bar{b} \bar{c}] = \begin{vmatrix} 3 & 1 & -1 \\ 2 & -1 & 23 \\ 7 & -1 & 23 \end{vmatrix}$ ની ગણતરી કરીએ.
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા: $3((-1)(23) - (-1)(23)) - 1((2)(23) - (7)(23)) - 1((2)(-1) - (7)(-1))$.
$= 3(0) - 1(46 - 161) - 1(-2 + 7) = 0 - (-115) - 5 = 115 - 5 = 110$.
અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $110 \neq 0$ હોવાથી,સદિશો અસમતલીય છે.

(C) પ્રથમ,રેખાઓના સમીકરણોને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\frac{x-x_1}{a} = \frac{y-y_1}{b} = \frac{z-z_1}{c}$ માં લખો.
પ્રથમ રેખા માટે: $\frac{2(x-2)}{\lambda} = \frac{y-1}{2} = \frac{z-3}{1} \Rightarrow \frac{x-2}{\lambda/2} = \frac{y-1}{2} = \frac{z-3}{1}$.
દિશા ગુણોત્તર $\vec{v_1} = (\frac{\lambda}{2}, 2, 1)$ છે.
બીજી રેખા માટે: $\frac{x-1}{1} = \frac{3(y-1/3)}{\lambda} = \frac{z-2}{1} \Rightarrow \frac{x-1}{1} = \frac{y-1/3}{\lambda/3} = \frac{z-2}{1}$.
દિશા ગુણોત્તર $\vec{v_2} = (1, \frac{\lambda}{3}, 1)$ છે.
રેખાઓ લંબ હોવાથી,તેમના દિશા ગુણોત્તરનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય: $\vec{v_1} \cdot \vec{v_2} = 0$.
$(\frac{\lambda}{2})(1) + (2)(\frac{\lambda}{3}) + (1)(1) = 0$.
$\frac{\lambda}{2} + \frac{2\lambda}{3} + 1 = 0$.
$6$ વડે ગુણતા: $3\lambda + 4\lambda + 6 = 0$.
$7\lambda = -6$.
$\lambda = \frac{-6}{7}$.

(C) બે બિંદુઓ $(x_1, y_1, z_1)$ અને $(x_2, y_2, z_2)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $\frac{x-x_1}{x_2-x_1} = \frac{y-y_1}{y_2-y_1} = \frac{z-z_1}{z_2-z_1} = \lambda$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલા બિંદુઓ $A(3, 4, -7)$ અને $B(1, -1, 6)$ ની કિંમતો મૂકતા:
$\frac{x-3}{1-3} = \frac{y-4}{-1-4} = \frac{z-(-7)}{6-(-7)} = \lambda$
$\frac{x-3}{-2} = \frac{y-4}{-5} = \frac{z+7}{13} = \lambda$
આના પરથી,આપણને પ્રચલિત સમીકરણો મળે છે:
$x - 3 = -2\lambda \implies x = 3 - 2\lambda$
$y - 4 = -5\lambda \implies y = 4 - 5\lambda$
$z + 7 = 13\lambda \implies z = -7 + 13\lambda$
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) બે બિંદુઓ $(x_1, y_1, z_1)$ અને $(x_2, y_2, z_2)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું કાર્તેઝિયન સમીકરણ $\frac{x-x_1}{x_2-x_1} = \frac{y-y_1}{y_2-y_1} = \frac{z-z_1}{z_2-z_1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલા બિંદુઓ $A(2, 2, 1)$ અને $B(1, 3, 0)$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\frac{x-2}{1-2} = \frac{y-2}{3-2} = \frac{z-1}{0-1}$
$\frac{x-2}{-1} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-1}{-1}$.

(D) બે સમાંતર રેખાઓ $\vec{r} = \vec{a}_1 + \lambda\vec{b}$ અને $\vec{r} = \vec{a}_2 + \mu\vec{b}$ વચ્ચેનું અંતર $d = \frac{|(\vec{a}_2 - \vec{a}_1) \times \vec{b}|}{|\vec{b}|}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં,$\vec{a}_1 = 2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$,$\vec{a}_2 = \hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$,અને $\vec{b} = 2\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}$ છે.
પ્રથમ,$\vec{a}_2 - \vec{a}_1 = (1-2)\hat{i} + (-1 - (-1))\hat{j} + (2-1)\hat{k} = -\hat{i} + \hat{k}$ શોધો.
ત્યારબાદ,સદિશ ગુણાકાર $(\vec{a}_2 - \vec{a}_1) \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & -2 \end{vmatrix} = \hat{i}(0-1) - \hat{j}(2-2) + \hat{k}(-1-0) = -\hat{i} - \hat{k}$ શોધો.
તેનું માન $|(\vec{a}_2 - \vec{a}_1) \times \vec{b}| = \sqrt{(-1)^2 + 0^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$ થાય.
સદિશ $\vec{b}$ નું માન $|\vec{b}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{4+1+4} = \sqrt{9} = 3$ થાય.
તેથી,$d = \frac{\sqrt{2}}{3}$ એકમ.

(A) પ્રથમ,રેખાઓના સમીકરણોને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\frac{x-x_1}{a}=\frac{y-y_1}{b}=\frac{z-z_1}{c}$ માં લખો.
પ્રથમ રેખા માટે: $\frac{x-1}{-3}=\frac{y-2}{\frac{2\lambda}{7}}=\frac{z-3}{2}$. દિશા ગુણોત્તર $\vec{v_1} = (-3, \frac{2\lambda}{7}, 2)$ છે.
બીજી રેખા માટે: $\frac{x-1}{-\frac{3\lambda}{7}}=\frac{y-5}{1}=\frac{z-6}{5}$. દિશા ગુણોત્તર $\vec{v_2} = (-\frac{3\lambda}{7}, 1, 5)$ છે.
રેખાઓ પરસ્પર લંબ હોવાથી,તેમના દિશા સદિશોનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય: $\vec{v_1} \cdot \vec{v_2} = 0$.
$(-3)(-\frac{3\lambda}{7}) + (\frac{2\lambda}{7})(1) + (2)(5) = 0$.
$\frac{9\lambda}{7} + \frac{2\lambda}{7} + 10 = 0$.
$\frac{11\lambda}{7} = -10$.
$\lambda = -\frac{70}{11}$.

(A) ધારો કે માંગેલી રેખાના દિકગુણોત્તર $a, b, c$ છે.
રેખા એ $\vec{v}_1 = 2\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}$ અને $\vec{v}_2 = \hat{i} - 2\hat{j} + 2\hat{k}$ દિશા સદિશો ધરાવતી રેખાઓને લંબ હોવાથી:
$2a - 2b + c = 0$ ... $(1)$
$a - 2b + 2c = 0$ ... $(2)$
દિકગુણોત્તર $(a, b, c) = \vec{v}_1 \times \vec{v}_2$ શોધવા માટે ક્રોસ પ્રોડક્ટનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{a}{(-2)(2) - (1)(-2)} = \frac{b}{(1)(1) - (2)(2)} = \frac{c}{(2)(-2) - (-2)(1)}$
$\frac{a}{-4 + 2} = \frac{b}{1 - 4} = \frac{c}{-4 + 2}$
$\frac{a}{-2} = \frac{b}{-3} = \frac{c}{-2}$
આમ,દિકગુણોત્તર $(2, 3, 2)$ ના પ્રમાણમાં છે.
બિંદુ $(3, -1, 2)$ માંથી પસાર થતી અને $(2, 3, 2)$ દિકગુણોત્તર ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ:
$\frac{x - 3}{2} = \frac{y - (-1)}{3} = \frac{z - 2}{2}$
$\frac{x - 3}{2} = \frac{y + 1}{3} = \frac{z - 2}{2}$

(A) ધારો કે બિંદુ $P = (2, -1, 5)$ છે. રેખાનું સમીકરણ $\vec{r} = (11, -2, -8) + \lambda(10, -4, -11)$ છે.
રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $Q = (10\lambda + 11, -4\lambda - 2, -11\lambda - 8)$ છે.
રેખા $PQ$ ના દિક્-ગુણોત્તર $(10\lambda + 11 - 2, -4\lambda - 2 + 1, -11\lambda - 8 - 5) = (10\lambda + 9, -4\lambda - 1, -11\lambda - 13)$ છે.
$PQ$ એ આપેલી રેખાને લંબ હોવાથી,તેમનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય:
$10(10\lambda + 9) - 4(-4\lambda - 1) - 11(-11\lambda - 13) = 0$.
$100\lambda + 90 + 16\lambda + 4 + 121\lambda + 143 = 0$.
$237\lambda + 237 = 0 \Rightarrow \lambda = -1$.
$\lambda = -1$ ને $Q$ માં મૂકતા,$Q = (10(-1) + 11, -4(-1) - 2, -11(-1) - 8) = (1, 2, 3)$ મળે.
લંબ $PQ$ ની લંબાઈ $\sqrt{(1 - 2)^2 + (2 - (-1))^2 + (3 - 5)^2} = \sqrt{(-1)^2 + 3^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 9 + 4} = \sqrt{14}$ એકમ છે.

(D) ધારો કે આપેલી રેખાઓ છે:
$L_1: \frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{3}=\frac{z-1}{4} = \lambda \implies x = 2\lambda+1, y = 3\lambda-1, z = 4\lambda+1$
$L_2: \frac{x-2}{1}=\frac{y+m}{2}=\frac{z-2}{1} = \mu \implies x = \mu+2, y = 2\mu-m, z = \mu+2$
રેખાઓ છેદતી હોવાથી,બંને રેખાઓ પર એક સામાન્ય બિંદુ $(x, y, z)$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે.
$x$ અને $z$ યામોને સરખાવતા:
$2\lambda+1 = \mu+2 \implies 2\lambda - \mu = 1$ $(1)$
$4\lambda+1 = \mu+2 \implies 4\lambda - \mu = 1$ $(2)$
$(2)$ માંથી $(1)$ બાદ કરતા,આપણને $2\lambda = 0 \implies \lambda = 0$ મળે છે.
$\lambda = 0$ ને $(1)$ માં મૂકતા,આપણને $-\mu = 1 \implies \mu = -1$ મળે છે.
હવે,$y$ યામોને સરખાવતા:
$3\lambda - 1 = 2\mu - m$
$\lambda = 0$ અને $\mu = -1$ મૂકતા:
$3(0) - 1 = 2(-1) - m$
$-1 = -2 - m$
$m = -2 + 1 = -1$.

(C) આપેલ રેખાઓ $L_1: \frac{x-2}{2} = \frac{y-4}{5} = \frac{z-1}{2}$ અને $L_2: \frac{x-1}{3} = \frac{y+1}{5} = \frac{z+3}{2}$ છે.
અહીં $\vec{a}_1 = 2\hat{i} + 4\hat{j} + \hat{k}$ અને $\vec{a}_2 = \hat{i} - \hat{j} - 3\hat{k}$ લો.
$\vec{a}_2 - \vec{a}_1 = -\hat{i} - 5\hat{j} - 4\hat{k}$ અને $\vec{b} = 3\hat{i} + 5\hat{j} + 2\hat{k}$ લો.
$\vec{b} \times (\vec{a}_2 - \vec{a}_1) = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 5 & 2 \\ -1 & -5 & -4 \end{vmatrix} = -10\hat{i} + 10\hat{j} - 10\hat{k}$.
તેનું માન $\sqrt{(-10)^2 + 10^2 + (-10)^2} = \sqrt{300}$ છે.
$|\vec{b}| = \sqrt{3^2 + 5^2 + 2^2} = \sqrt{38}$.
તેથી,અંતર $= \frac{|\vec{b} \times (\vec{a}_2 - \vec{a}_1)|}{|\vec{b}|} = \sqrt{\frac{300}{38}}$ એકમ.

(A) બે બિંદુઓ જેમના સ્થાન સદિશ $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ હોય તેમાંથી પસાર થતી રેખાનું સદિશ સમીકરણ $\vec{r} = \vec{a} + \lambda(\vec{b} - \vec{a})$ છે.
અહીં,બિંદુઓ $P(1, 2, 3)$ અને $Q(2, 3, 4)$ ના સ્થાન સદિશ $\vec{a} = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$ અને $\vec{b} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k}$ છે.
રેખાનો દિશા સદિશ $\vec{b} - \vec{a} = (2 - 1)\hat{i} + (3 - 2)\hat{j} + (4 - 3)\hat{k} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ છે.
તેથી,રેખાનું સદિશ સમીકરણ $\vec{r} = (\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}) + \lambda(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})$ થાય.

(D) ધારો કે આપેલ બિંદુ $P(2, -1, 5)$ છે અને રેખા $\vec{r} = (11 \hat{i} - 2 \hat{j} - 8 \hat{k}) + \lambda(10 \hat{i} - 4 \hat{j} - 11 \hat{k})$ છે.
રેખા પરના કોઈપણ બિંદુ $M$ ના યામ $(10\lambda + 11, -4\lambda - 2, -11\lambda - 8)$ તરીકે દર્શાવી શકાય.
રેખા $PM$ ના દિકગુણોત્તર $(10\lambda + 11 - 2, -4\lambda - 2 - (-1), -11\lambda - 8 - 5) = (10\lambda + 9, -4\lambda - 1, -11\lambda - 13)$ છે.
$PM$ એ આપેલ રેખાને લંબ હોવાથી,$PM$ ના દિકગુણોત્તર અને રેખાના સદિશ $(10, -4, -11)$ નો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય:
$10(10\lambda + 9) - 4(-4\lambda - 1) - 11(-11\lambda - 13) = 0$.
$100\lambda + 90 + 16\lambda + 4 + 121\lambda + 143 = 0$.
$237\lambda + 237 = 0 \Rightarrow \lambda = -1$.
$M$ ના યામમાં $\lambda = -1$ મૂકતા:
$M = (10(-1) + 11, -4(-1) - 2, -11(-1) - 8) = (1, 2, 3)$.

(A) ધારો કે આપેલી રેખા $\frac{x+2}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z+1}{-2}=\lambda$ છે.
આ રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $(\lambda-2, 2\lambda+1, -2\lambda-1)$ સ્વરૂપમાં મળે.
આ બિંદુનું $A(-2, 1, -1)$ થી અંતર $12$ છે.
અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\sqrt{(\lambda-2 - (-2))^2 + (2\lambda+1 - 1)^2 + (-2\lambda-1 - (-1))^2} = 12$.
$\sqrt{\lambda^2 + (2\lambda)^2 + (-2\lambda)^2} = 12$.
$\sqrt{\lambda^2 + 4\lambda^2 + 4\lambda^2} = 12$.
$\sqrt{9\lambda^2} = 12$.
$3|\lambda| = 12$,તેથી $\lambda = \pm 4$.
$\lambda = 4$ માટે,બિંદુ $(4-2, 2(4)+1, -2(4)-1) = (2, 9, -9)$ મળે.
$\lambda = -4$ માટે,બિંદુ $(-4-2, 2(-4)+1, -2(-4)-1) = (-6, -7, 7)$ મળે.
આમ,માંગેલ બિંદુઓ $(2, 9, -9)$ અને $(-6, -7, 7)$ છે.

(B) સમતલો $x+2y+3z-4=0$ અને $2x+y-z+5=0$ ની છેદરેખામાંથી પસાર થતા સમતલના સમૂહનું સમીકરણ $(x+2y+3z-4) + \lambda(2x+y-z+5) = 0$ છે.
પદોને ગોઠવતા,આપણને $(1+2\lambda)x + (2+\lambda)y + (3-\lambda)z + (-4+5\lambda) = 0$ મળે છે ... $(1)$.
આ સમતલ,સમતલ $5x+3y-6z+8=0$ ને લંબ હોવાથી,તેમના અભિલંબ સદિશોનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય.
તેથી,$(1+2\lambda)(5) + (2+\lambda)(3) + (3-\lambda)(-6) = 0$.
વિસ્તરણ કરતા,$5 + 10\lambda + 6 + 3\lambda - 18 + 6\lambda = 0$.
સાદુરૂપ આપતા,$19\lambda - 7 = 0$,જેનો અર્થ છે કે $\lambda = \frac{7}{19}$.
$\lambda = \frac{7}{19}$ ની કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$(1 + 2(\frac{7}{19}))x + (2 + \frac{7}{19})y + (3 - \frac{7}{19})z + (-4 + 5(\frac{7}{19})) = 0$.
$(\frac{19+14}{19})x + (\frac{38+7}{19})y + (\frac{57-7}{19})z + (\frac{-76+35}{19}) = 0$.
$\frac{33}{19}x + \frac{45}{19}y + \frac{50}{19}z - \frac{41}{19} = 0$.
$19$ વડે ગુણતા,આપણને $33x + 45y + 50z - 41 = 0$ મળે છે.

(B) $(-2, 2, 2)$ માંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ $a(x + 2) + b(y - 2) + c(z - 2) = 0$ છે.
આ સમતલ $(2, -2, -2)$ માંથી પણ પસાર થાય છે,તેથી:
$a(2 + 2) + b(-2 - 2) + c(-2 - 2) = 0 \Rightarrow 4a - 4b - 4c = 0 \Rightarrow a - b - c = 0$ (સમીકરણ $1$).
આ સમતલ $9x - 13y - 3z = 0$ ને લંબ છે,તેથી તેનો અભિલંબ $(a, b, c)$ એ આપેલ સમતલના અભિલંબ $(9, -13, -3)$ ને લંબ છે.
તેથી,$9a - 13b - 3c = 0$ (સમીકરણ $2$).
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ ને ચોકડી ગુણાકારની રીતે ઉકેલતા:
$\frac{a}{(-1)(-3) - (-1)(-13)} = \frac{-b}{(1)(-3) - (-1)(9)} = \frac{c}{(1)(-13) - (-1)(9)}$
$\frac{a}{-10} = \frac{-b}{6} = \frac{c}{-4} \Rightarrow \frac{a}{5} = \frac{b}{3} = \frac{c}{2}$.
દિશા ગુણોત્તર $(5, 3, 2)$ ને સમતલના સમીકરણમાં મૂકતા:
$5(x + 2) + 3(y - 2) + 2(z - 2) = 0$
$5x + 10 + 3y - 6 + 2z - 4 = 0$
$5x + 3y + 2z = 0$.

(D) આપેલ સમતલ બિંદુ $(7,8,6)$ માંથી પસાર થાય છે અને $XY$ સમતલને સમાંતર છે.
સમતલ $XY$ સમતલને સમાંતર હોવાથી,તેનો અભિલંબ સદિશ $z$-અક્ષને સમાંતર હોય.
$z$-અક્ષના દિકગુણોત્તર $(0,0,1)$ છે.
બિંદુ $(x_1, y_1, z_1)$ માંથી પસાર થતા અને અભિલંબ સદિશ $(a, b, c)$ ધરાવતા સમતલનું સમીકરણ $a(x-x_1) + b(y-y_1) + c(z-z_1) = 0$ છે.
બિંદુ $(7,8,6)$ અને અભિલંબ સદિશ $(0,0,1)$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$0(x-7) + 0(y-8) + 1(z-6) = 0$
$z-6 = 0$
$z=6$

(C) સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n}$ એ આપેલા સદિશો $\vec{a} = \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ અને $\vec{b} = 3\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}$ ને લંબ છે.
તેથી,$\vec{n} = \vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -1 & 1 \\ 3 & 2 & -1 \end{vmatrix} = \hat{i}(1-2) - \hat{j}(-1-3) + \hat{k}(2 - (-3)) = -1\hat{i} + 4\hat{j} + 5\hat{k}$.
હવે,$(2, 0, 5)$ બિંદુમાંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ: $-1(x - 2) + 4(y - 0) + 5(z - 5) = 0$.
$-x + 2 + 4y + 5z - 25 = 0 \Rightarrow -x + 4y + 5z - 23 = 0 \Rightarrow x - 4y - 5z + 23 = 0$.

(B) ધારો કે સમતલનું સમીકરણ $a(x-x_0) + b(y-y_0) + c(z-z_0) = 0$ છે. સમતલ બિંદુ $(-1, 3, -2)$ માંથી પસાર થાય છે (રેખાના સમીકરણ પરથી),તેથી $a(x+1) + b(y-3) + c(z+2) = 0$.
સમતલ બિંદુ $(0, 7, -7)$ માંથી પણ પસાર થાય છે,તેથી $a(0+1) + b(7-3) + c(-7+2) = 0$,જે $a + 4b - 5c = 0$ આપે છે.
વળી,રેખા સમતલમાં આવેલી હોવાથી,અભિલંબ સદિશ $(a, b, c)$ એ રેખાના દિશા સદિશ $(-3, 2, 1)$ ને લંબ છે. તેથી,$-3a + 2b + c = 0$.
સમીકરણો $a + 4b - 5c = 0$ અને $-3a + 2b + c = 0$ ને ચોકડી ગુણાકારની રીતે ઉકેલતા:
$\frac{a}{(4)(1) - (-5)(2)} = \frac{-b}{(1)(1) - (-5)(-3)} = \frac{c}{(1)(2) - (4)(-3)}$
$\frac{a}{14} = \frac{b}{14} = \frac{c}{14}$.
$a=1, b=1, c=1$ લેતા,સમીકરણ $1(x+1) + 1(y-3) + 1(z+2) = 0$ બને છે,જેનું સાદું રૂપ $x+y+z=0$ થાય છે.

(C) ધારો કે સમતલના $X, Y, Z$ અક્ષો પરના અંતઃખંડો અનુક્રમે $a, b, c$ છે.
તેથી,બિંદુઓના યામ $A=(a, 0, 0)$,$B=(0, b, 0)$ અને $C=(0, 0, c)$ થશે.
$\triangle ABC$ નું મધ્યકેન્દ્ર $(\frac{a+0+0}{3}, \frac{0+b+0}{3}, \frac{0+0+c}{3}) = (1, 2, 3)$ આપેલ છે.
યામોને સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$\frac{a}{3} = 1 \Rightarrow a = 3$
$\frac{b}{3} = 2 \Rightarrow b = 6$
$\frac{c}{3} = 3 \Rightarrow c = 9$
સમતલના અંતઃખંડ સ્વરૂપનું સમીકરણ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ છે.
$a, b, c$ ની કિંમતો મૂકતા,સમતલનું સમીકરણ $\frac{x}{3} + \frac{y}{6} + \frac{z}{9} = 1$ મળે છે.

(B) સમતલ $ax + by + cz + d = 0$ ને સમાંતર સમતલનું સમીકરણ $ax + by + cz + k = 0$ સ્વરૂપમાં હોય છે.
આપેલ સમતલ $2x + 3y - 4z = 0$ ને સમાંતર સમતલનું સમીકરણ $2x + 3y - 4z + k = 0$ થશે.
આ સમતલ બિંદુ $(1, 2, 3)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી આપણે આ યામોને સમીકરણમાં મૂકીએ:
$2(1) + 3(2) - 4(3) + k = 0$
$2 + 6 - 12 + k = 0$
$8 - 12 + k = 0$
$-4 + k = 0$
$k = 4$.
$k = 4$ ની કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $2x + 3y - 4z + 4 = 0$ મળે છે.

(B) બિંદુ $Q$ એ $(a, b, c)$ છે. $Q$ માંથી $YZ$-સમતલ $(x=0)$ પરના લંબનો લંબપાદ $A(0, b, c)$ છે. $Q$ માંથી $ZX$-સમતલ $(y=0)$ પરના લંબનો લંબપાદ $B(a, 0, c)$ છે. ઉગમબિંદુ $O$ એ $(0, 0, 0)$ છે. બિંદુઓ $(0, 0, 0)$,$(0, b, c)$ અને $(a, 0, c)$ માંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ નિશ્ચાયક દ્વારા નીચે મુજબ મળે છે:
$\begin{vmatrix} x & y & z \\ 0 & b & c \\ a & 0 & c \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$x(bc - 0) - y(0 - ac) + z(0 - ab) = 0$
$bcx + acy - abz = 0$
આખા સમીકરણને $abc$ વડે ભાગતા (ધારો કે $a, b, c \neq 0$):
$\frac{bcx}{abc} + \frac{acy}{abc} - \frac{abz}{abc} = 0$
$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} - \frac{z}{c} = 0$

(B) સમતલ $x-2y+2z+4=0$ ને સમાંતર કોઈપણ સમતલનું સમીકરણ $x-2y+2z+\lambda=0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બિંદુ $(x_1, y_1, z_1)$ થી સમતલ $ax+by+cz+d=0$ સુધીનું અંતર $d = \frac{|ax_1+by_1+cz_1+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં બિંદુ $(1, 2, 3)$ થી અંતર $1$ એકમ આપેલું છે,તેથી:
$\frac{|1(1)-2(2)+2(3)+\lambda|}{\sqrt{1^2+(-2)^2+2^2}} = 1$
$\frac{|1-4+6+\lambda|}{\sqrt{1+4+4}} = 1$
$\frac{|3+\lambda|}{3} = 1$
$|3+\lambda| = 3$
આનો અર્થ એ છે કે $3+\lambda = 3$ અથવા $3+\lambda = -3$.
$3+\lambda = 3$ માટે,આપણને $\lambda = 0$ મળે છે.
$3+\lambda = -3$ માટે,આપણને $\lambda = -6$ મળે છે.
આ કિંમતોને $x-2y+2z+\lambda=0$ માં મૂકતા,આપણને માંગેલ સમતલો $x-2y+2z=0$ અને $x-2y+2z-6=0$ મળે છે.

(A) સમતલનું સમીકરણ $2x + y - 2z = 18$ છે.
સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = 2\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}$ છે.
અભિલંબ સદિશનું માન $|\vec{n}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 1 + 4} = \sqrt{9} = 3$ છે.
સમીકરણને $3$ વડે ભાગતા,આપણને અભિલંબ સ્વરૂપ $\frac{2}{3}x + \frac{1}{3}y - \frac{2}{3}z = 6$ મળે છે.
ઉગમબિંદુથી સમતલનું અંતર $d = 6$ છે.
ઉગમબિંદુમાંથી સમતલ $ax + by + cz = d$ પરના લંબપાદના યામ $(\frac{ad}{a^2+b^2+c^2}, \frac{bd}{a^2+b^2+c^2}, \frac{cd}{a^2+b^2+c^2})$ દ્વારા મળે છે.
અહીં,$a=2, b=1, c=-2$ અને $d=18$ છે.
છેદ $a^2+b^2+c^2 = 9$ છે.
આમ,યામ $(\frac{2 \times 18}{9}, \frac{1 \times 18}{9}, \frac{-2 \times 18}{9}) = (4, 2, -4)$ થાય.

(A) ધારો કે યામ અક્ષો પરના અંતઃખંડો $a, b, c$ છે. અંતઃખંડો સમાન અને શૂન્યતર હોવાથી,$a=b=c$ થાય.
સમતલના અંતઃખંડ સ્વરૂપનું સમીકરણ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ છે.
$a=b=c$ મૂકતા,આપણને $\frac{x}{a} + \frac{y}{a} + \frac{z}{a} = 1$ મળે,જેનું સાદું રૂપ $x+y+z=a$ થાય.
સમતલ બિંદુ $(2, 2, 2)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,આ યામોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$2+2+2 = a \Rightarrow a=6$.
તેથી,સમતલનું જરૂરી કાર્તેઝિયન સમીકરણ $x+y+z=6$ છે.

(A) $(3, 4, -1)$ અને $(2, -1, 5)$ બિંદુઓને જોડતી રેખાના દિકગુણોત્તર $(2 - 3, -1 - 4, 5 - (-1)) = (-1, -5, 6)$ છે.
સમતલ આ રેખાને લંબ હોવાથી,સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = -\hat{i} - 5\hat{j} + 6\hat{k}$ થશે.
આપણે અભિલંબ સદિશને $\vec{n} = \hat{i} + 5\hat{j} - 6\hat{k}$ તરીકે પણ લઈ શકીએ.
$(x_0, y_0, z_0)$ માંથી પસાર થતા અને $(a, b, c)$ અભિલંબ ધરાવતા સમતલનું સમીકરણ $a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0$ છે.
બિંદુ $(2, -3, 1)$ અને અભિલંબ $(1, 5, -6)$ મૂકતા:
$1(x - 2) + 5(y - (-3)) - 6(z - 1) = 0$
$x - 2 + 5y + 15 - 6z + 6 = 0$
$x + 5y - 6z + 19 = 0$.

(A) સમતલનું આપેલ સમીકરણ $\bar{r} = \bar{a} + \lambda \bar{b} + \mu \bar{c}$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $\bar{a} = 2 \hat{i} + \hat{k}$,$\bar{b} = \hat{i}$,અને $\bar{c} = \hat{i} + 2 \hat{j} - 3 \hat{k}$ છે.
સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\bar{n}$ એ $\bar{b} \times \bar{c}$ દ્વારા મળે છે:
$\bar{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & -3 \end{vmatrix} = \hat{i}(0 - 0) - \hat{j}(-3 - 0) + \hat{k}(2 - 0) = 3 \hat{j} + 2 \hat{k}$.
સમતલના અદિશ ગુણાકારનું સ્વરૂપ $\bar{r} \cdot \bar{n} = \bar{a} \cdot \bar{n}$ છે.
$\bar{a} \cdot \bar{n}$ ની ગણતરી કરતા:
$\bar{a} \cdot \bar{n} = (2 \hat{i} + \hat{k}) \cdot (3 \hat{j} + 2 \hat{k}) = (2)(0) + (0)(3) + (1)(2) = 2$.
આને $\bar{r} \cdot (3 \hat{j} + 2 \hat{k}) = \alpha$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\alpha = 2$ મળે છે.

(B) સમતલ બિંદુ $A(0, 7, -7)$ માંથી પસાર થાય છે અને રેખાને સમાવે છે જે બિંદુ $B(-1, 3, -2)$ માંથી પસાર થાય છે અને જેની દિશા સદિશ $\vec{v} = -3\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}$ છે.
સદિશ $\vec{AB} = (-1-0)\hat{i} + (3-7)\hat{j} + (-2+7)\hat{k} = -\hat{i} - 4\hat{j} + 5\hat{k}$.
સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n}$ એ $\vec{AB}$ અને $\vec{v}$ નો ક્રોસ ગુણાકાર છે:
$\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{v} = \left|\begin{array}{ccc} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -1 & -4 & 5 \\ -3 & 2 & 1 \end{array}\right| = \hat{i}(-4-10) - \hat{j}(-1+15) + \hat{k}(-2-12) = -14\hat{i} - 14\hat{j} - 14\hat{k}$.
$-14$ વડે ભાગતા,આપણને અભિલંબ સદિશ $\vec{n}' = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ મળે છે.
બિંદુ $(0, 7, -7)$ માંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ $1(x-0) + 1(y-7) + 1(z+7) = 0$ છે,જેનું સાદું રૂપ $x + y + z = 0$ થાય છે.

(C) પ્રથમ રેખાના દિશા ગુણોત્તર $(a_1, b_1, c_1) = (2, 2, 1)$ છે.
$(3, 1, 4)$ અને $(7, 2, 12)$ ને જોડતી રેખાના દિશા ગુણોત્તર $(a_2, b_2, c_2) = (7-3, 2-1, 12-4) = (4, 1, 8)$ છે.
બે રેખાઓ જેના દિશા ગુણોત્તર $(a_1, b_1, c_1)$ અને $(a_2, b_2, c_2)$ હોય તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ માટેનું સૂત્ર $\cos \theta = \frac{|a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2|}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$\cos \theta = \frac{|(2)(4) + (2)(1) + (1)(8)|}{\sqrt{2^2 + 2^2 + 1^2} \sqrt{4^2 + 1^2 + 8^2}}$.
$\cos \theta = \frac{|8 + 2 + 8|}{\sqrt{4 + 4 + 1} \sqrt{16 + 1 + 64}} = \frac{18}{\sqrt{9} \sqrt{81}}$.
$\cos \theta = \frac{18}{3 \times 9} = \frac{18}{27} = \frac{2}{3}$.
તેથી,$\theta = \cos ^{-1}\left(\frac{2}{3}\right)$.

(C) આપેલ છે કે રેખા $\frac{x+1}{2}=\frac{y-m}{3}=\frac{z-4}{6}$ એ સમતલ $3x-14y+6z+49=0$ માં આવેલી છે.
જ્યારે રેખા સમતલમાં હોય,ત્યારે રેખા પરનું દરેક બિંદુ સમતલના સમીકરણનું સમાધાન કરે છે.
બિંદુ $(-1, m, 4)$ એ આપેલ રેખા પર આવેલું છે.
આ બિંદુને સમતલના સમીકરણમાં મૂકતા:
$3(-1) - 14(m) + 6(4) + 49 = 0$
$-3 - 14m + 24 + 49 = 0$
$-14m + 70 = 0$
$14m = 70$
$m = 5$
આમ,$m$ ની કિંમત $5$ છે.

(D) ધારો કે આપેલી રેખાઓ $\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{3}=\frac{z-1}{4}=\lambda$ અને $\frac{x-3}{1}=\frac{y-k}{2}=\frac{z}{1}=\mu$ છે.
પ્રથમ રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $(2\lambda+1, 3\lambda-1, 4\lambda+1)$ છે અને બીજી રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $(\mu+3, 2\mu+k, \mu)$ છે.
રેખાઓ છેદતી હોવાથી,એવા $\lambda$ અને $\mu$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી યામ સમાન થાય:
$2\lambda+1 = \mu+3 \implies 2\lambda - \mu = 2$ .... $(1)$
$3\lambda-1 = 2\mu+k \implies 3\lambda - 2\mu = k+1$ .... $(2)$
$4\lambda+1 = \mu \implies 4\lambda - \mu = -1$ .... $(3)$
સમીકરણ $(3)$ માંથી $(1)$ બાદ કરતાં,$(4\lambda - \mu) - (2\lambda - \mu) = -1 - 2$,જે આપણને $2\lambda = -3$ આપે છે,તેથી $\lambda = \frac{-3}{2}$.
$\lambda = \frac{-3}{2}$ ને $(3)$ માં મૂકતા,$\mu = 4(\frac{-3}{2}) + 1 = -6 + 1 = -5$ મળે.
હવે,$\lambda = \frac{-3}{2}$ અને $\mu = -5$ ને $(2)$ માં મૂકતા:
$3(\frac{-3}{2}) - 2(-5) = k+1$
$\frac{-9}{2} + 10 = k+1$
$\frac{-9+20}{2} = k+1$
$\frac{11}{2} = k+1$
$k = \frac{11}{2} - 1 = \frac{9}{2}$.