MHT CET 2021 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(D) दिए गए वक्र $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{16} = 1$ और $y^3 = 16x$ हैं।
पहले वक्र के लिए,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{2x}{a^2} + \frac{2y}{16} \frac{dy}{dx} = 0 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = -\frac{16x}{a^2y} \quad (1)$
दूसरे वक्र के लिए,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$3y^2 \frac{dy}{dx} = 16 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{16}{3y^2} \quad (2)$
चूंकि वक्र लंबकोणीय काटते हैं,इसलिए उनकी प्रवणताओं का गुणनफल $-1$ होगा:
$\left(-\frac{16x}{a^2y}\right) \left(\frac{16}{3y^2}\right) = -1$
$\frac{256x}{3a^2y^3} = 1$
$y^3 = 16x$ का मान रखने पर:
$\frac{256x}{3a^2(16x)} = 1$
$\frac{16}{3a^2} = 1 \Rightarrow a^2 = \frac{16}{3}$
प्रश्न में दिए गए समीकरण $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{4} = 4$ के अनुसार गणना करने पर $a^2 = \frac{4}{3}$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया वक्र $y^2=2(x-3)$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$2y \frac{dy}{dx} = 2$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{y}$।
किसी भी बिंदु $(x, y)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $m_t = \frac{1}{y}$ है।
अभिलंब की ढाल $m_n = -\frac{1}{m_t} = -y$ है।
दी गई रेखा $y - 2x + 1 = 0$ है,जिसे $y = 2x - 1$ के रूप में लिखा जा सकता है। इस रेखा की ढाल $2$ है।
चूंकि अभिलंब रेखा के समांतर है,इसलिए उनकी ढाल समान होनी चाहिए,अतः $-y = 2$,जिससे $y = -2$ प्राप्त होता है।
$y = -2$ को वक्र के समीकरण में रखने पर: $(-2)^2 = 2(x - 3) \Rightarrow 4 = 2(x - 3) \Rightarrow 2 = x - 3 \Rightarrow x = 5$।
अतः,अभीष्ट बिंदु $(5, -2)$ है।

(C) माना दीर्घवृत्त पर स्थित बिंदु $P$ प्रथम चतुर्थांश में $(5 \cos \theta, 4 \sin \theta)$ है।
चूंकि आयत दोनों अक्षों के सापेक्ष सममित है,इसलिए इसके शीर्ष $(\pm 5 \cos \theta, \pm 4 \sin \theta)$ हैं।
आयत की लंबाई $L = 2(5 \cos \theta) = 10 \cos \theta$ है।
आयत की चौड़ाई $B = 2(4 \sin \theta) = 8 \sin \theta$ है।
आयत का क्षेत्रफल $A = L \times B = (10 \cos \theta)(8 \sin \theta) = 80 \sin \theta \cos \theta = 40 \sin(2 \theta)$ है।
क्षेत्रफल को अधिकतम होने के लिए,$\sin(2 \theta)$ को अधिकतम होना चाहिए,अर्थात $\sin(2 \theta) = 1$।
इसका अर्थ है $2 \theta = \frac{\pi}{2}$,इसलिए $\theta = \frac{\pi}{4}$।
लंबाई और चौड़ाई के व्यंजकों में $\theta = \frac{\pi}{4}$ रखने पर:
$L = 10 \cos(\frac{\pi}{4}) = 10 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 5 \sqrt{2}$.
$B = 8 \sin(\frac{\pi}{4}) = 8 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 4 \sqrt{2}$.
अतः,आयत के आयाम $5 \sqrt{2}$ और $4 \sqrt{2}$ हैं।

(D) ${}^6C_r$ का अधिकतम मान $r = \frac{6}{2} = 3$ पर होता है।
मान ${}^6C_3 = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$ है।
दिया गया है कि ${}^6C_r$ के अधिकतम मान और ${}^nC_3$ के बीच का अंतर $16$ है,इसलिए $|20 - {}^nC_3| = 16$ है।
इसका अर्थ है ${}^nC_3 = 20 + 16 = 36$ या ${}^nC_3 = 20 - 16 = 4$।
स्थिति $1$: ${}^nC_3 = 36$ $\Rightarrow \frac{n(n-1)(n-2)}{6} = 36$ $\Rightarrow n(n-1)(n-2) = 216$। इसके लिए कोई पूर्णांक $n$ संभव नहीं है।
स्थिति $2$: ${}^nC_3 = 4$ $\Rightarrow \frac{n(n-1)(n-2)}{6} = 4$ $\Rightarrow n(n-1)(n-2) = 24$।
मानों की जाँच करने पर,$n=4$ के लिए,$4 \times 3 \times 2 = 24$।
अतः,$n = 4$।

(C) हम पास्कल के सर्वसमिका का उपयोग करते हैं: ${ }^{n} C_{r}+{ }^{n} C_{r-1}={ }^{n+1} C_{r}$।
दिया गया व्यंजक: ${ }^{11} C_4+{ }^{11} C_5+{ }^{12} C_6+{ }^{13} C_7={ }^{14} C_{r}$।
पहले दो पदों पर सर्वसमिका लागू करने पर: ${ }^{11} C_4+{ }^{11} C_5 = { }^{12} C_5$।
अब व्यंजक इस प्रकार हो जाता है: ${ }^{12} C_5+{ }^{12} C_6+{ }^{13} C_7$।
पुनः सर्वसमिका लागू करने पर: ${ }^{12} C_5+{ }^{12} C_6 = { }^{13} C_6$।
अब व्यंजक इस प्रकार हो जाता है: ${ }^{13} C_6+{ }^{13} C_7$।
अंतिम बार सर्वसमिका लागू करने पर: ${ }^{13} C_6+{ }^{13} C_7 = { }^{14} C_7$।
इसे ${ }^{14} C_{r}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $r = 7$ प्राप्त होता है।

(D) माना वृत्त का केंद्र $(h, k)$ है। चूँकि यह रेखा $x-4y=1$ पर स्थित है,इसलिए $h = 1+4k$ है। अतः,केंद्र $(4k+1, k)$ है।
वृत्त बिंदुओं $(3,7)$ और $(5,5)$ से होकर गुजरता है,इसलिए केंद्र से इन बिंदुओं की दूरी समान (त्रिज्या $r$) है:
$(4k+1-3)^2 + (k-7)^2 = (4k+1-5)^2 + (k-5)^2$
$(4k-2)^2 + (k-7)^2 = (4k-4)^2 + (k-5)^2$
$16k^2 - 16k + 4 + k^2 - 14k + 49 = 16k^2 - 32k + 16 + k^2 - 10k + 25$
$17k^2 - 30k + 53 = 17k^2 - 42k + 41$
$12k = -12 \Rightarrow k = -1$.
$k = -1$ को $h = 1+4k$ में रखने पर,$h = 1+4(-1) = -3$ प्राप्त होता है। अतः,केंद्र $(-3, -1)$ है।
त्रिज्या $r$ बिंदु $(-3, -1)$ और $(5, 5)$ के बीच की दूरी है:
$r^2 = (5 - (-3))^2 + (5 - (-1))^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100$.
वृत्त का समीकरण $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ है:
$(x + 3)^2 + (y + 1)^2 = 100$
$x^2 + 6x + 9 + y^2 + 2y + 1 = 100$
$x^2 + y^2 + 6x + 2y - 90 = 0$.

(A) दिया गया है कि वृत्त की परिधि $10 \pi$ इकाई है।
हम जानते हैं कि परिधि $C = 2 \pi r$,इसलिए $2 \pi r = 10 \pi$,जिससे $r = 5$ प्राप्त होता है।
वृत्त का केंद्र $(h, k) = (2, -3)$ है।
वृत्त का मानक समीकरण $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ है।
मान रखने पर,$(x - 2)^2 + (y - (-3))^2 = 5^2$ प्राप्त होता है।
$(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 25$।
विस्तार करने पर,$(x^2 - 4x + 4) + (y^2 + 6y + 9) = 25$।
$x^2 + y^2 - 4x + 6y + 13 = 25$।
$x^2 + y^2 - 4x + 6y - 12 = 0$।

(C) वृत्त का सामान्य समीकरण $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ है।
चूंकि वृत्त मूल बिंदु $(0,0)$ से गुजरता है,इसलिए $c=0$ है।
वृत्त $X$-अक्ष पर $-2$ का अंतःखंड काटता है,इसलिए यह $(-2,0)$ से गुजरता है। समीकरण में मान रखने पर: $(-2)^2 + 0^2 + 2g(-2) + 2f(0) + 0 = 0$ $\Rightarrow 4 - 4g = 0$ $\Rightarrow g = 1$.
वृत्त $Y$-अक्ष पर $3$ का अंतःखंड काटता है,इसलिए यह $(0,3)$ से गुजरता है। समीकरण में मान रखने पर: $0^2 + 3^2 + 2g(0) + 2f(3) + 0 = 0$ $\Rightarrow 9 + 6f = 0$ $\Rightarrow f = -\frac{3}{2}$.
$g=1$ और $f=-\frac{3}{2}$ का मान सामान्य समीकरण में रखने पर: $x^2+y^2+2(1)x+2(-\frac{3}{2})y+0=0$.
इसे सरल करने पर $x^2+y^2+2x-3y=0$ प्राप्त होता है।

(B) दी गई रेखाएँ $L_1: 3x - 4y + 4 = 0$ और $L_2: 6x - 8y - 7 = 0$ हैं।
$L_2$ को $3x - 4y - \frac{7}{2} = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
चूँकि रेखाएँ समांतर हैं और वृत्त की स्पर्श रेखाएँ हैं,इसलिए उनके बीच की दूरी वृत्त के व्यास $D$ के बराबर होगी।
$D = \frac{|4 - (-7/2)|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \frac{|4 + 3.5|}{5} = \frac{7.5}{5} = 1.5$.
चूँकि व्यास $D = 1.5$ है,इसलिए त्रिज्या $r = \frac{D}{2} = \frac{1.5}{2} = 0.75 = \frac{3}{4}$ इकाई होगी।

(D) वृत्त $x^2+y^2=(8)^2$ की त्रिज्या $r=8$ और केंद्र $(0,0)$ है।
बिंदु $P$ के निर्देशांक $\theta = \frac{2\pi}{3}$ के लिए:
$P \equiv (8 \cos \frac{2\pi}{3}, 8 \sin \frac{2\pi}{3}) = (-4, 4\sqrt{3})$ हैं।
बिंदु $(x_1, y_1)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $xx_1 + yy_1 = r^2$ होता है।
मान रखने पर: $-4x + 4\sqrt{3}y = 64$।
$-4$ से भाग देने पर: $x - \sqrt{3}y + 16 = 0$ प्राप्त होता है।

(B) वृत्त का समीकरण $x^2+y^2-4x-10y+25=0$ है।
इसे मानक समीकरण $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ से तुलना करने पर,केंद्र $C = (2, 5)$ प्राप्त होता है।
माना $M(1, 2)$ जीवा $AB$ का मध्य-बिंदु है।
जीवा,बिंदु $M$ पर त्रिज्या $CM$ के लंबवत होती है।
$CM$ की ढाल $m_{CM} = \frac{2-5}{1-2} = \frac{-3}{-1} = 3$ है।
चूँकि जीवा $AB$,$CM$ के लंबवत है,इसलिए जीवा $AB$ की ढाल $m_{AB} = -\frac{1}{m_{CM}} = -\frac{1}{3}$ होगी।
बिंदु $M(1, 2)$ से गुजरने वाली और $-\frac{1}{3}$ ढाल वाली जीवा का समीकरण:
$y - 2 = -\frac{1}{3}(x - 1)$
$3(y - 2) = -(x - 1)$
$3y - 6 = -x + 1$
$x + 3y = 7$.

(B) वृत्त $x^2+y^2-4x+10y+20=0$ के लिए,केंद्र $C_1 = (2, -5)$ और त्रिज्या $r_1 = \sqrt{2^2 + (-5)^2 - 20} = 3$ है।
वृत्त $x^2+y^2+8x-6y-24=0$ के लिए,केंद्र $C_2 = (-4, 3)$ और त्रिज्या $r_2 = \sqrt{(-4)^2 + 3^2 - (-24)} = 7$ है।
केंद्रों के बीच की दूरी $d = \sqrt{(2 - (-4))^2 + (-5 - 3)^2} = 10$ है।
चूंकि $d = r_1 + r_2$ है,इसलिए वृत्त एक-दूसरे को बाह्य रूप से स्पर्श करते हैं।
उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा का समीकरण $S_1 - S_2 = 0$ द्वारा दिया जाता है।
$(x^2+y^2-4x+10y+20) - (x^2+y^2+8x-6y-24) = 0$.
$-12x + 16y + 44 = 0$.
$-4$ से विभाजित करने पर,$3x - 4y - 11 = 0$ प्राप्त होता है।

(C) मान लीजिए कि दोनों वृत्तों की त्रिज्या $r$ है। वृत्तों के समीकरण इस प्रकार हैं:
$S_1: (x-2)^2 + (y-3)^2 = r^2$
$S_2: (x-4)^2 + (y-5)^2 = r^2$
उभयनिष्ठ जीवा का समीकरण $S_1 - S_2 = 0$ द्वारा दिया जाता है।
$(x-2)^2 + (y-3)^2 - [(x-4)^2 + (y-5)^2] = r^2 - r^2$
$(x^2 - 4x + 4 + y^2 - 6y + 9) - (x^2 - 8x + 16 + y^2 - 10y + 25) = 0$
$x^2 - 4x + y^2 - 6y + 13 - x^2 + 8x - y^2 + 10y - 41 = 0$
$4x + 4y - 28 = 0$
$4$ से विभाजित करने पर,हमें $x + y - 7 = 0$ प्राप्त होता है।

(A) दिए गए वृत्त का समीकरण $x^2+y^2-10x=0$ है।
$y=2x$ को वृत्त के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$x^2+(2x)^2-10x=0$
$x^2+4x^2-10x=0$
$5x^2-10x=0$
$5x(x-2)=0$
अतः,$x=0$ या $x=2$।
यदि $x=0$,तो $y=2(0)=0$। यदि $x=2$,तो $y=2(2)=4$।
जीवा के अंतिम बिंदु $(0,0)$ और $(2,4)$ हैं।
व्यास के अंतिम बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ वाले वृत्त का समीकरण $(x-x_1)(x-x_2)+(y-y_1)(y-y_2)=0$ होता है।
बिंदुओं $(0,0)$ और $(2,4)$ को रखने पर:
$(x-0)(x-2)+(y-0)(y-4)=0$
$x(x-2)+y(y-4)=0$
$x^2-2x+y^2-4y=0$
$x^2+y^2-2x-4y=0$.

(B) माना वृत्त का केंद्र $(h, k)$ है।
चूंकि वृत्त बिंदुओं $(0,0), (x,0)$ और $(0,y)$ से होकर गुजरता है,इसलिए केंद्र से प्रत्येक बिंदु की दूरी त्रिज्या $R$ के बराबर होनी चाहिए।
$h^2 + k^2 = (h-x)^2 + k^2 = h^2 + (k-y)^2$
$h^2 + k^2 = (h-x)^2 + k^2$ से,हमें $h^2 = h^2 - 2hx + x^2$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $2hx = x^2$,इसलिए $h = \frac{x}{2}$।
$h^2 + k^2 = h^2 + (k-y)^2$ से,हमें $k^2 = k^2 - 2ky + y^2$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $2ky = y^2$,इसलिए $k = \frac{y}{2}$।
अतः,केंद्र के निर्देशांक $\left(\frac{x}{2}, \frac{y}{2}\right)$ हैं।

(B) दी गई अभिव्यक्ति: $(1+i)^5(1-i)^7$
$= (1+i)^5(1-i)^5(1-i)^2$
$= [(1+i)(1-i)]^5(1-2i+i^2)$
$= (1-i^2)^5(1-2i-1)$
$= (1-(-1))^5(-2i)$
$= (2)^5(-2i)$
$= 32(-2i) = -64i$

(A) दिया गया है $z(2-i) = 3+i$.
$z = \frac{3+i}{2-i} = \frac{(3+i)(2+i)}{(2-i)(2+i)} = \frac{6+3i+2i+i^2}{4+1} = \frac{6+5i-1}{5} = \frac{5+5i}{5} = 1+i$.
अब,$z$ को ध्रुवीय रूप में व्यक्त करें: $z = 1+i = \sqrt{2} \left( \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4} \right)$.
डी मॉइवर प्रमेय का उपयोग करते हुए,$z^{38} = (\sqrt{2})^{38} \left( \cos \frac{38\pi}{4} + i \sin \frac{38\pi}{4} \right)$.
$z^{38} = 2^{19} \left( \cos \frac{19\pi}{2} + i \sin \frac{19\pi}{2} \right)$.
चूंकि $\frac{19\pi}{2} = 9\pi + \frac{\pi}{2}$,इसलिए $\cos \frac{19\pi}{2} = 0$ और $\sin \frac{19\pi}{2} = -1$.
$z^{38} = 2^{19} (0 + i(-1)) = -2^{19} i$.

(B) दिया गया है $x = 1 + 2i$,तो $x - 1 = 2i$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$(x - 1)^2 = (2i)^2$,जिसका अर्थ है $x^2 - 2x + 1 = -4$,या $x^2 - 2x + 5 = 0$।
अब,$x^3 + 7x^2 - x + 16$ को $x^2 - 2x + 5$ से विभाजित करने पर:
$x^3 + 7x^2 - x + 16 = (x^2 - 2x + 5)(x + 9) + (12x - 29)$।
चूंकि $x^2 - 2x + 5 = 0$ है,इसलिए व्यंजक $12x - 29$ में सरल हो जाता है।
$x = 1 + 2i$ प्रतिस्थापित करने पर:
$12(1 + 2i) - 29 = 12 + 24i - 29 = -17 + 24i$।

(A) माना $\sqrt{-5-12i} = a+ib$,जहाँ $a, b \in \mathbb{R}$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$(a+ib)^2 = -5-12i$ प्राप्त होता है।
$(a^2-b^2) + i(2ab) = -5-12i$।
वास्तविक और काल्पनिक भागों की तुलना करने पर: $a^2-b^2 = -5$ और $2ab = -12$,जिसका अर्थ है $ab = -6$।
$b = -6/a$ को पहले समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर,$a^2 - (-6/a)^2 = -5$ प्राप्त होता है।
$a^2 - 36/a^2 = -5 \implies a^4 + 5a^2 - 36 = 0$।
गुणनखंड करने पर: $(a^2+9)(a^2-4) = 0$।
चूँकि $a \in \mathbb{R}$,इसलिए $a^2 = 4$,अतः $a = \pm 2$।
यदि $a = 2$,तो $b = -6/2 = -3$। यदि $a = -2$,तो $b = -6/(-2) = 3$।
अतः,वर्गमूल $\pm(2-3i)$ हैं।

(C) दिया गया है: $\frac{3+2i}{1+i} = \frac{1}{2}(x+iy)$
$\therefore x+iy = \frac{2(3+2i)}{1+i} \times \frac{1-i}{1-i}$
$= \frac{2(3 - 3i + 2i - 2i^2)}{1 - i^2}$
$= \frac{2(3 - i + 2)}{1 + 1} = \frac{2(5 - i)}{2} = 5 - i$
वास्तविक और काल्पनिक भागों की तुलना करने पर,हमें $x = 5$ और $y = -1$ प्राप्त होता है।
अतः,$x - y = 5 - (-1) = 5 + 1 = 6$.

(D) माना सम्मिश्र संख्या $z = r(\cos \theta + i \sin \theta)$ है।
दिया गया है कि मूलबिंदु से दूरी $r = 2$ है और कोणांक $\theta = \frac{5 \pi}{6}$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$z = 2 \left( \cos \frac{5 \pi}{6} + i \sin \frac{5 \pi}{6} \right)$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\cos \frac{5 \pi}{6} = \cos(\pi - \frac{\pi}{6}) = -\cos \frac{\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ और $\sin \frac{5 \pi}{6} = \sin(\pi - \frac{\pi}{6}) = \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$ है।
अतः,$z = 2 \left( -\frac{\sqrt{3}}{2} + i \frac{1}{2} \right) = -\sqrt{3} + i$।

(C) हम जानते हैं कि $1+\omega+\omega^2=0$,इसलिए $1+\omega=-\omega^2$.
दिए गए व्यंजक में इसका मान रखने पर:
$(1+\omega)^7 = (-\omega^2)^7$
$= (-1)^7 \times (\omega^2)^7$
$= -1 \times \omega^{14}$
चूंकि $\omega^3=1$,इसलिए $\omega^{14} = \omega^{12} \times \omega^2 = (\omega^3)^4 \times \omega^2 = 1^4 \times \omega^2 = \omega^2$ होता है।
अतः,$(1+\omega)^7 = -\omega^2$.
$1+\omega+\omega^2=0$ का उपयोग करने पर,$-\omega^2 = 1+\omega$ प्राप्त होता है।
$1+\omega$ की तुलना $A+B\omega$ से करने पर,$A=1$ और $B=1$ प्राप्त होता है।

(D) हम जानते हैं कि $1+\omega+\omega^2 = 0$,जिसका अर्थ है $1+\omega^2 = -\omega$ और $\omega^3 = 1$।
दिया गया व्यंजक: $E = (3+5\omega+3\omega^2)^2 + (3+3\omega+5\omega^2)^2$
$3(1+\omega+\omega^2) = 0$ का उपयोग करके पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$E = (3(1+\omega+\omega^2) + 2\omega)^2 + (3(1+\omega+\omega^2) + 2\omega^2)^2$
$E = (0 + 2\omega)^2 + (0 + 2\omega^2)^2$
$E = 4\omega^2 + 4\omega^4$
चूंकि $\omega^3 = 1$,इसलिए $\omega^4 = \omega$ होगा।
$E = 4\omega^2 + 4\omega = 4(\omega^2 + \omega)$
चूंकि $1+\omega+\omega^2 = 0$,इसलिए $\omega^2 + \omega = -1$ होगा।
$E = 4(-1) = -4$।

(B) दिया गया है $z=x+iy$ और $|z+1|=1$।
$z=x+iy$ को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$|(x+1)+iy|=1$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(x+1)^2+y^2=1^2$।
यह वृत्त का मानक समीकरण $(x-h)^2+(y-k)^2=r^2$ है,जहाँ केंद्र $(h,k)=(-1,0)$ है और त्रिज्या $r=1$ है।

(B) दिया गया है कि $(z-2-3i)$ का आयाम $\frac{3\pi}{4}$ है और $z=x+iy$ है।
$z$ का मान रखने पर,$(x-2) + i(y-3)$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\text{arg}((x-2) + i(y-3)) = \frac{3\pi}{4}$,इसलिए $\tan^{-1}\left(\frac{y-3}{x-2}\right) = \frac{3\pi}{4}$ है।
दोनों पक्षों का टेंजेंट लेने पर,$\frac{y-3}{x-2} = \tan\left(\frac{3\pi}{4}\right) = -1$।
इसका अर्थ है $y-3 = -(x-2)$,जिसे सरल करने पर $y-3 = -x+2$ प्राप्त होता है।
अतः,$x+y=5$।

(A) अर्ध-आयु काल $(T_{1/2})$ $5$ वर्ष है।
प्रारंभिक मात्रा $(N_0)$ $64$ gms है।
कुल समय $(t)$ $15$ वर्ष है।
अर्ध-आयु की संख्या $(n)$ की गणना $n = \frac{t}{T_{1/2}} = \frac{15}{5} = 3$ के रूप में की जाती है।
शेष बची मात्रा $(N)$ सूत्र $N = N_0 \times (\frac{1}{2})^n$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $N = 64 \times (\frac{1}{2})^3 = 64 \times \frac{1}{8} = 8$ gms.
अतः,$15$ वर्ष बाद शेष बची मात्रा $8$ gms है।

(C) $\lim _{x \rightarrow \infty} (\sqrt{x^2+5x-7}-x)$ का मान ज्ञात करने के लिए,हम व्यंजक का परिमेयकरण करते हैं:
$= \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{(\sqrt{x^2+5x-7}-x)(\sqrt{x^2+5x-7}+x)}{\sqrt{x^2+5x-7}+x}$
$= \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x^2+5x-7-x^2}{\sqrt{x^2+5x-7}+x}$
$= \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{5x-7}{\sqrt{x^2+5x-7}+x}$
अंश और हर को $x$ से विभाजित करने पर:
$= \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{5-\frac{7}{x}}{\sqrt{1+\frac{5}{x}-\frac{7}{x^2}}+1}$
जैसे $x \rightarrow \infty$,$\frac{1}{x} \rightarrow 0$ और $\frac{1}{x^2} \rightarrow 0$:
$= \frac{5-0}{\sqrt{1+0-0}+1} = \frac{5}{1+1} = \frac{5}{2}$

(C) हम सीमा का मूल्यांकन करते हैं: $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{(2 x-3)(\sqrt{x}-1)}{2 x^2+x-3}$
सबसे पहले,हर का गुणनखंड करें: $2x^2+x-3 = (x-1)(2x+3)$
इसे सीमा में प्रतिस्थापित करें: $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{(2 x-3)(\sqrt{x}-1)}{(x-1)(2 x+3)}$
याद रखें कि $(x-1) = (\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)$,इसलिए: $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{(2 x-3)(\sqrt{x}-1)}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)(2 x+3)}$
सामान्य पद $(\sqrt{x}-1)$ को रद्द करें: $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{2 x-3}{(\sqrt{x}+1)(2 x+3)}$
अब,$x=1$ प्रतिस्थापित करें: $\frac{2(1)-3}{(\sqrt{1}+1)(2(1)+3)} = \frac{-1}{(2)(5)} = \frac{-1}{10}$

(C) हम जानते हैं कि मानक सीमा सूत्र: $\lim _{x \rightarrow a} \frac{x^n-a^n}{x-a} = n a^{n-1}$ है।
दी गई अभिव्यक्ति: $\lim _{x \rightarrow 5} \frac{x^k-5^k}{x-5} = 500$ है।
सूत्र का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है: $k(5)^{k-1} = 500$।
हम $500$ को $4 \times 125 = 4 \times 5^3$ के रूप में लिख सकते हैं।
$k(5)^{k-1}$ की तुलना $4(5)^3$ से करने पर,हम देखते हैं कि $k = 4$ और $k-1 = 3$,जो सुसंगत है।
अतः,$k$ का मान $4$ है।

(C) माना $L = \lim _{x \rightarrow 2}(x-1)^{\frac{1}{3x-6}}$.
चूंकि यह $1^{\infty}$ का रूप है,हम सूत्र $\lim _{x \rightarrow a} f(x)^{g(x)} = e^{\lim _{x \rightarrow a} g(x)(f(x)-1)}$ का उपयोग करते हैं।
यहाँ,$f(x) = x-1$ और $g(x) = \frac{1}{3x-6}$ है।
$L = e^{\lim _{x \rightarrow 2} \frac{1}{3(x-2)} (x-1-1)}$.
$L = e^{\lim _{x \rightarrow 2} \frac{x-2}{3(x-2)}}$.
$L = e^{\lim _{x \rightarrow 2} \frac{1}{3}} = e^{\frac{1}{3}}$.

(B) माना $L = \lim _{x \rightarrow 1} \frac{a b^x - a^x b}{x^2 - 1}$ है।
चूँकि $x = 1$ पर सीमा $\frac{0}{0}$ के रूप में है,हम अंश और हर का $x$ के सापेक्ष अवकलन करके $L$' Hospital नियम का उपयोग करेंगे:
$L = \lim _{x \rightarrow 1} \frac{\frac{d}{dx}(a b^x - a^x b)}{\frac{d}{dx}(x^2 - 1)}$
$L = \lim _{x \rightarrow 1} \frac{a b^x \ln b - b a^x \ln a}{2x}$
$x = 1$ रखने पर:
$L = \frac{a b^1 \ln b - b a^1 \ln a}{2(1)}$
$L = \frac{ab \ln b - ab \ln a}{2}$
$L = \frac{ab}{2} (\ln b - \ln a)$
$L = \frac{ab}{2} \ln \left(\frac{b}{a}\right)$

(A) दी गई सीमा: $\lim _{x \rightarrow 1} \left[\frac{\sqrt{x}-1}{\log x}\right]$
चूंकि $x \rightarrow 1$ होने पर यह $\frac{0}{0}$ का रूप है,इसलिए हम अंश और हर का $x$ के सापेक्ष अवकलन करके $L'\text{Hospital's rule}$ लागू करते हैं:
$= \lim _{x \rightarrow 1} \frac{\frac{d}{dx}(\sqrt{x}-1)}{\frac{d}{dx}(\log x)}$
$= \lim _{x \rightarrow 1} \frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}}{\frac{1}{x}}$
$= \lim _{x \rightarrow 1} \frac{x}{2\sqrt{x}} = \lim _{x \rightarrow 1} \frac{\sqrt{x}}{2}$
$= \frac{\sqrt{1}}{2} = \frac{1}{2}$

(C) हम त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\cos A - \cos B = -2 \sin \frac{A+B}{2} \sin \frac{A-B}{2}$ का उपयोग करते हैं।
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos (m x)-\cos (n x)}{x^2} = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{-2 \sin \frac{(m+n) x}{2} \sin \frac{(m-n) x}{2}}{x^2}$
$= -2 \lim _{x \rightarrow 0} \left( \frac{\sin \frac{(m+n)x}{2}}{x} \right) \left( \frac{\sin \frac{(m-n)x}{2}}{x} \right)$
क्रमशः $\frac{m+n}{2}$ और $\frac{m-n}{2}$ से गुणा और भाग करने पर:
$= -2 \left( \frac{m+n}{2} \right) \left( \frac{m-n}{2} \right) \lim _{x \rightarrow 0} \left( \frac{\sin \frac{(m+n)x}{2}}{\frac{(m+n)x}{2}} \right) \left( \frac{\sin \frac{(m-n)x}{2}}{\frac{(m-n)x}{2}} \right)$
$= -2 \left( \frac{m^2-n^2}{4} \right) (1)(1) = \frac{n^2-m^2}{2}$

(A) हम जानते हैं कि $1 - \cos \theta = 2 \sin^2 \left(\frac{\theta}{2}\right)$.
अंश और हर में इसे लागू करने पर:
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{2 \sin^2(x^2/2)}}{2 \sin^2(x/2)} = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{2} |\sin(x^2/2)|}{2 \sin^2(x/2)}$.
चूंकि $x \rightarrow 0$,$\sin(x^2/2) > 0$,इसलिए हम मापांक (absolute value) को हटा सकते हैं।
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{2} \sin(x^2/2)}{2 \sin^2(x/2)} = \frac{1}{\sqrt{2}} \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin(x^2/2)}{x^2/2} \cdot \frac{x^2/2}{\sin^2(x/2)}$.
$\lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{\sin \theta}{\theta} = 1$ का उपयोग करने पर:
$= \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 1 \cdot \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^2/2}{(\sin(x/2))^2} = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{2} \cdot \lim _{x \rightarrow 0} \left( \frac{x/2}{\sin(x/2)} \right)^2 \cdot 4 = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{2} \cdot 1^2 \cdot 4 = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$.

(B) सबसे पहले,हम $a$ का मान ज्ञात करते हैं:
$a = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n(n+1)}{2n^2} = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n^2+n}{2n^2} = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1 + \frac{1}{n}}{2} = \frac{1}{2}$.
इसके बाद,हम $b$ का मान ज्ञात करते हैं:
$b = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^3} = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{2n^3 + 3n^2 + n}{6n^3} = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{2 + \frac{3}{n} + \frac{1}{n^2}}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
मानों की तुलना करने पर,$a = \frac{1}{2}$ और $b = \frac{1}{3}$.
अतः,$2a = 2(\frac{1}{2}) = 1$ और $3b = 3(\frac{1}{3}) = 1$.
इस प्रकार,$2a = 3b$.

(A) रैखिक असमिकाओं का निकाय इस प्रकार है:
$1) x+y \geq 1$
$2) 7x+9y \leq 63$
$3) y \leq 5$
$4) x \leq 6$
$5) x \geq 0, y \geq 0$
सुसंगत क्षेत्र (feasible region) ज्ञात करने के लिए,हम सीमाओं का विश्लेषण करते हैं:
- रेखा $x+y=1$,$(1,0)$ और $(0,1)$ से होकर गुजरती है। क्षेत्र $x+y \geq 1$ मूल बिंदु से दूर है।
- रेखा $7x+9y=63$,$(9,0)$ और $(0,7)$ से होकर गुजरती है। क्षेत्र $7x+9y \leq 63$ मूल बिंदु की ओर है।
- रेखाएं $x=6$ और $y=5$ क्रमशः ऊर्ध्वाधर और क्षैतिज रेखाएं हैं,जो क्षेत्र को सीमित करती हैं।
- शर्तें $x \geq 0$ और $y \geq 0$ क्षेत्र को प्रथम चतुर्थांश में सीमित करती हैं।
इन रेखाओं को आलेखित करके और असमिकाओं पर विचार करके,सुसंगत क्षेत्र प्रथम चतुर्थांश में स्थित वह परिबद्ध बहुभुज है जो सभी शर्तों को पूरा करता है। दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,समाधान छवि (जो विकल्प $A$ से मेल खाती है) इन सभी अर्ध-तलों के प्रतिच्छेदन को सही ढंग से दर्शाती है।

(C) छायांकित क्षेत्र के लिए सही रैखिक असमिकाओं को निर्धारित करने के लिए,हम सीमा रेखाओं और मूल बिंदु $(0,0)$ के सापेक्ष छायांकित क्षेत्र की दिशा का विश्लेषण करते हैं।
$1$. यह क्षेत्र प्रथम चतुर्थांश में है,इसलिए $x \geq 0$ और $y \geq 0$ है।
$2$. रेखा $3x + 4y = 18$ के लिए,मूल बिंदु $(0,0)$ असमिका $3(0) + 4(0) = 0 < 18$ को संतुष्ट करता है। चूंकि छायांकित क्षेत्र इस रेखा के मूल बिंदु वाली ओर है,इसलिए असमिका $3x + 4y \leq 18$ है।
$3$. रेखा $x - 6y = 3$ के लिए,मूल बिंदु $(0,0)$ असमिका $0 - 0 = 0 < 3$ को संतुष्ट करता है। छायांकित क्षेत्र मूल बिंदु की ओर है,इसलिए असमिका $x - 6y \leq 3$ है।
$4$. रेखा $2x + 3y = 3$ के लिए,मूल बिंदु $(0,0)$ असमिका $2(0) + 3(0) = 0 < 3$ को संतुष्ट करता है। हालांकि,छायांकित क्षेत्र मूल बिंदु के विपरीत दिशा में है,इसलिए असमिका $2x + 3y \geq 3$ है।
$5$. रेखा $-7x + 14y = 14$ के लिए,मूल बिंदु $(0,0)$ असमिका $-7(0) + 14(0) = 0 < 14$ को संतुष्ट करता है। छायांकित क्षेत्र मूल बिंदु की ओर है,इसलिए असमिका $-7x + 14y \leq 14$ है।
इन शर्तों की तुलना दिए गए विकल्पों से करने पर,विकल्प $C$ सभी शर्तों को पूरा करता है।

(D) उभयनिष्ठ क्षेत्र ज्ञात करने के लिए,हम दी गई असमिकाओं का विश्लेषण करते हैं:
$1$. $x+y \geq 5$: यह रेखा $x+y=5$ पर या उसके ऊपर के क्षेत्र को दर्शाता है। चूंकि $(0,0)$ इसे संतुष्ट नहीं करता है ($0 \geq 5$ गलत है),इसलिए क्षेत्र मूलबिंदु की विपरीत दिशा में है।
$2$. $y \leq 4$: यह रेखा $y=4$ पर या उसके नीचे के क्षेत्र को दर्शाता है।
$3$. $x \geq 2$: यह रेखा $x=2$ पर या उसके दाईं ओर के क्षेत्र को दर्शाता है।
$4$. $x, y \geq 0$: यह क्षेत्र को प्रथम चतुर्थांश तक सीमित करता है।
इन रेखाओं को आलेखित करने पर,हम आकृति में छायांकित क्षेत्र देखते हैं। यह क्षेत्र रेखाओं $x=2$,$y=4$,और $x+y=5$ द्वारा घिरा हुआ है। चूंकि क्षेत्र इन रेखाओं द्वारा परिबद्ध है,इसलिए यह एक सीमित क्षेत्र है। इसके अलावा,मूलबिंदु $(0,0)$ छायांकित क्षेत्र में स्थित नहीं है,इसलिए यह मूलबिंदु की विपरीत दिशा में है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(B) उभयनिष्ठ क्षेत्र निर्धारित करने के लिए,हम दी गई असमिकाओं का विश्लेषण करते हैं:
$1$. $x+2y \geq 4$: सीमा रेखा $x+2y=4$ है। मूलबिंदु $(0,0)$ का परीक्षण करने पर,हमें $0+0 \geq 4$ प्राप्त होता है,जो असत्य है। अतः,क्षेत्र रेखा के मूलबिंदु से विपरीत ओर है।
$2$. $2x-y \leq 6$: सीमा रेखा $2x-y=6$ है। मूलबिंदु $(0,0)$ का परीक्षण करने पर,हमें $0-0 \leq 6$ प्राप्त होता है,जो सत्य है। अतः,क्षेत्र रेखा के मूलबिंदु की ओर है।
$3$. $x, y > 0$: यह क्षेत्र को प्रथम चतुर्थांश में सीमित करता है।
इन क्षेत्रों के प्रतिच्छेदन को देखने पर,सुसंगत क्षेत्र किसी परिमित सीमा द्वारा घिरा हुआ नहीं है,जिसका अर्थ है कि यह अपरिबद्ध है। चूंकि क्षेत्र में मूलबिंदु शामिल नहीं है और यह प्रथम चतुर्थांश में इन अर्ध-तलों के प्रतिच्छेदन द्वारा परिभाषित है,यह मूलबिंदु की विपरीत ओर का एक अपरिबद्ध क्षेत्र है। इसलिए,सही विकल्प $B$ है।

(B) क्षेत्र की प्रकृति निर्धारित करने के लिए,हम दी गई असमिकाओं का विश्लेषण करते हैं:
$1$. $x \geq 6$: यह ऊर्ध्वाधर रेखा $x = 6$ के दाईं ओर का क्षेत्र दर्शाता है।
$2$. $y \geq 3$: यह क्षैतिज रेखा $y = 3$ के ऊपर का क्षेत्र दर्शाता है।
$3$. $2x + y \geq 10$: यह रेखा $2x + y = 10$ पर या उसके ऊपर का क्षेत्र दर्शाता है।
$4$. $x \geq 0, y \geq 0$: ये प्रथम चतुर्थांश को दर्शाते हैं।
इन रेखाओं को आलेखित करने पर,हम देखते हैं कि इन क्षेत्रों का प्रतिच्छेदन बिंदु $(6, 3)$ से शुरू होता है और धनात्मक $x$ और $y$ दिशाओं में अनंत तक फैला हुआ है।
चूंकि क्षेत्र का क्षेत्रफल परिमित नहीं है और यह अनंत तक फैला हुआ है,इसलिए यह एक अपरिबद्ध (unbounded) क्षेत्र है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) हम तार्किक नियमों का उपयोग करके व्यंजक को सरल बनाते हैं:
$(p \wedge \sim q) \vee q \vee (\sim p \wedge q)$
पहले दो पदों पर वितरण नियम का उपयोग करने पर:
$\equiv ((p \vee q) \wedge (\sim q \vee q)) \vee (\sim p \wedge q)$
चूंकि $(\sim q \vee q) \equiv T$ (पूरक नियम):
$\equiv ((p \vee q) \wedge T) \vee (\sim p \wedge q)$
$\equiv (p \vee q) \vee (\sim p \wedge q)$
फिर से वितरण नियम लागू करने पर:
$\equiv (p \vee q \vee \sim p) \wedge (p \vee q \vee q)$
चूंकि $(p \vee \sim p) \equiv T$ और $(q \vee q) \equiv q$ (वर्गसम नियम):
$\equiv (T \vee q) \wedge (p \vee q)$
चूंकि $(T \vee q) \equiv T$:
$\equiv T \wedge (p \vee q)$
$\equiv p \vee q$
अतः,व्यंजक $p \vee q$ के समतुल्य है।

(D) तार्किक व्यंजक $p \wedge (\sim p \vee \sim q)$ को सरल बनाने के लिए,हम तर्कशास्त्र के वितरण नियम (distributive law) का उपयोग करते हैं:
$p \wedge (\sim p \vee \sim q) \equiv (p \wedge \sim p) \vee (p \wedge \sim q)$.
चूंकि $(p \wedge \sim p)$ एक व्याघात (contradiction) है,इसलिए यह $F$ (असत्य) के बराबर है।
अतः,व्यंजक इस प्रकार हो जाता है:
$F \vee (p \wedge \sim q) \equiv p \wedge \sim q$.
इस प्रकार,सही व्यंजक $p \wedge \sim q$ है।

(B) मान लीजिए $p$ कथन '$x \in A \cap B$' है और $q$ कथन '$x \in A \text{ and } x \in B$' है।
दिया गया कथन $p \rightarrow q$ के रूप में है।
प्रतिबंधात्मक कथन $p \rightarrow q$ का निषेध $\sim(p \rightarrow q) \equiv p \wedge \sim q$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$p$ '$x \in A \cap B$' है और $\sim q$ '$x \in A \text{ and } x \in B$' का निषेध है,जो डी मॉर्गन के नियम के अनुसार '$x \notin A \text{ or } x \notin B$' है।
अतः,निषेध '$x \in A \cap B \text{ and } (x \notin A \text{ or } x \notin B)$' है।

(C) दिए गए कथन:
$p$: आज बारिश होती है
$q$: मैं स्कूल जा रहा हूँ
$r$: मैं अपने मित्र से मिलूँगा
$s$: मैं फिल्म देखने जाऊँगा
कथन है: "यदि (आज बारिश नहीं होती है या मैं स्कूल नहीं जाऊँगा),तो (मैं अपने मित्र से मिलूँगा और मैं फिल्म देखने जाऊँगा)।"
प्रतीकात्मक रूप में:
"आज बारिश नहीं होती है" का अर्थ है $\sim p$.
"मैं स्कूल नहीं जाऊँगा" का अर्थ है $\sim q$.
"मैं अपने मित्र से मिलूँगा" का अर्थ है $r$.
"मैं फिल्म देखने जाऊँगा" का अर्थ है $s$.
तार्किक संयोजकों का उपयोग करते हुए:
$(\sim p \vee \sim q) \rightarrow (r \wedge s)$
डी मॉर्गन के नियम के अनुसार,$\sim p \vee \sim q \equiv \sim(p \wedge q)$.
अतः,प्रतीकात्मक रूप $\sim(p \wedge q) \rightarrow (r \wedge s)$ है।

(D) तार्किक तुल्यता $\sim(A \rightarrow B) \equiv A \wedge \sim B$ का उपयोग करते हुए,
$(p \wedge q) \rightarrow (\sim p \vee r)$ का निषेध $(p \wedge q) \wedge \sim(\sim p \vee r)$ होगा।
डी मॉर्गन के नियम के अनुसार,$\sim(\sim p \vee r) \equiv p \wedge \sim r$।
अतः,$(p \wedge q) \wedge (p \wedge \sim r) \equiv p \wedge q \wedge (\sim r)$।

(C) दिया गया है: $p = T, q = T, r = F$.
प्रत्येक विकल्प का मूल्यांकन करने पर:
$(A)$ $(p \vee q) \vee r \equiv (T \vee T) \vee F \equiv T \vee F \equiv T$.
$(B)$ $(p \wedge q)$ $\rightarrow r \equiv (T \wedge T)$ $\rightarrow F \equiv T$ $\rightarrow F \equiv F$.
$(C)$ $(p$ $\rightarrow r)$ $\rightarrow q \equiv (T$ $\rightarrow F)$ $\rightarrow T \equiv F$ $\rightarrow T \equiv T$.
$(D)$ $(p \leftrightarrow q)$ $\rightarrow r \equiv (T \leftrightarrow T)$ $\rightarrow F \equiv T$ $\rightarrow F \equiv F$.
चूंकि प्रश्न में पूछा गया है कि कौन सा कथन सही है,और विकल्प $(C)$ का मान $T$ प्राप्त होता है,इसलिए विकल्प $(C)$ सही कथन है।

(C) एक सार्वभौमिक परिमाणक कथन $\forall x \in S, P(x)$ का निषेध $\exists x \in S$ इस प्रकार है कि $\neg P(x)$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,कथन $\forall x \in \mathbb{R}, x^2+1=0$ है।
नियम लागू करने पर,निषेध $\exists x \in \mathbb{R}$ इस प्रकार है कि $x^2+1 \neq 0$ है।

(A) दिया गया तार्किक कथन: $(p$ $\rightarrow q) \wedge (p$ $\rightarrow \sim p)$
निहितार्थ नियम $a \rightarrow b \equiv \sim a \vee b$ का उपयोग करते हुए:
$(p \rightarrow q) \equiv \sim p \vee q$
$(p \rightarrow \sim p) \equiv \sim p \vee \sim p \equiv \sim p$
अब,व्यंजक इस प्रकार है: $(\sim p \vee q) \wedge (\sim p)$
अवशोषण नियम का उपयोग करते हुए: $A \wedge (A \vee B) \equiv A$
यहाँ,$A = \sim p$ और $B = q$ लें।
अतः,$(\sim p) \wedge (\sim p \vee q) \equiv \sim p$
इसलिए,यह कथन $\sim p$ के समतुल्य है।

(B) दिया गया है: $p = T, q = T, r = F, s = F$.
प्रथम व्यंजक $\sim(p \rightarrow q) \leftrightarrow (p \wedge s)$ के लिए:
$\sim(T \rightarrow T) \leftrightarrow (T \wedge F)$
$= \sim(T) \leftrightarrow (F)$
$= F \leftrightarrow F = T$.
द्वितीय व्यंजक $(\sim p \rightarrow q) \wedge (r \leftrightarrow s)$ के लिए:
$(\sim T \rightarrow T) \wedge (F \leftrightarrow F)$
$= (F \rightarrow T) \wedge (T)$
$= T \wedge T = T$.
अतः,सत्यता मान $T, T$ हैं.

(C) दिया गया है $p = T, q = T, r = F, s = F$.
$a : \sim (p \wedge \sim r) \vee (\sim q \vee s)$ के लिए:
$a \equiv \sim (T \wedge \sim F) \vee (\sim T \vee F)$
$a \equiv \sim (T \wedge T) \vee (F \vee F)$
$a \equiv \sim T \vee F$
$a \equiv F \vee F$
$a \equiv F$.
$b : (p \vee s) \leftrightarrow (q \wedge r)$ के लिए:
$b \equiv (T \vee F) \leftrightarrow (T \wedge F)$
$b \equiv T \leftrightarrow F$
$b \equiv F$.
अतः,$a$ और $b$ के सत्य मान क्रमशः $F$ और $F$ हैं।

(D) दिया गया वक्र समीकरण $y = 4xe^{x}$ है।
स्पर्श रेखा की ढाल ज्ञात करने के लिए,हम गुणन नियम का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$\frac{dy}{dx} = 4(e^{x} + xe^{x}) = 4e^{x}(1 + x)$.
अब,बिंदु $\left(-1, -\frac{4}{e}\right)$ पर ढाल का मान ज्ञात करते हैं:
$\left(\frac{dy}{dx}\right)_{x=-1} = 4e^{-1}(1 + (-1)) = 4e^{-1}(0) = 0$.
चूंकि स्पर्श रेखा की ढाल $0$ है,इसलिए स्पर्श रेखा $X$-अक्ष के समानांतर एक क्षैतिज रेखा है।
बिंदु $\left(-1, -\frac{4}{e}\right)$ से गुजरने वाली क्षैतिज रेखा का समीकरण $y = y_{1}$ होता है,अर्थात $y = -\frac{4}{e}$।

(C) दिया गया वक्र समीकरण $y=x^3-3x^2-9x+5$ है।
स्पर्श रेखा की ढाल ज्ञात करने के लिए,हम $y$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$\frac{dy}{dx} = 3x^2-6x-9$.
चूंकि स्पर्श रेखा $X$-अक्ष के समांतर है,इसलिए इसकी ढाल शून्य होनी चाहिए:
$\frac{dy}{dx} = 0
\Rightarrow 3x^2-6x-9 = 0$.
$3$ से भाग देने पर,हमें प्राप्त होता है:
$x^2-2x-3 = 0$.
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$(x-3)(x+1) = 0$.
अतः,$x$ के मान $x=3$ और $x=-1$ हैं।

(A) दिया गया वक्र: $y = \sqrt{2} \sin \left(2x + \frac{\pi}{4}\right)$.
सबसे पहले,अवकलज $\frac{dy}{dx}$ ज्ञात करें:
$\frac{dy}{dx} = \sqrt{2} \cos \left(2x + \frac{\pi}{4}\right) \cdot 2 = 2\sqrt{2} \cos \left(2x + \frac{\pi}{4}\right)$.
$x = \frac{\pi}{4}$ पर,ढाल $m$:
$m = \left(\frac{dy}{dx}\right)_{x=\frac{\pi}{4}} = 2\sqrt{2} \cos \left(2 \cdot \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4}\right) = 2\sqrt{2} \cos \left(\frac{3\pi}{4}\right) = 2\sqrt{2} \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = -2$.
अब,$x = \frac{\pi}{4}$ पर $y$-निर्देशांक ज्ञात करें:
$y = \sqrt{2} \sin \left(2 \cdot \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2} \sin \left(\frac{3\pi}{4}\right) = \sqrt{2} \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = 1$.
स्पर्श बिंदु $\left(\frac{\pi}{4}, 1\right)$ है।
स्पर्शरेखा का समीकरण $(y - y_1) = m(x - x_1)$:
$(y - 1) = -2 \left(x - \frac{\pi}{4}\right)$
$y - 1 = -2x + \frac{\pi}{2}$
$2x + y - \frac{\pi}{2} - 1 = 0$.

(D) दिया गया वक्र $y=ax^3+bx^2+cx+5$ है। चूँकि यह $X$-अक्ष को $P(-2,0)$ पर स्पर्श करता है,बिंदु $(-2,0)$ वक्र पर स्थित है और इस बिंदु पर प्रवणता $0$ है।
$P(-2,0)$ को समीकरण में रखने पर: $0 = a(-8) + b(4) + c(-2) + 5 \Rightarrow -8a + 4b - 2c = -5 \Rightarrow 8a - 4b + 2c = 5 \quad (1)$.
अवकलन $\frac{dy}{dx} = 3ax^2 + 2bx + c$ है। $P(-2,0)$ पर,$\frac{dy}{dx} = 0$: $3a(-2)^2 + 2b(-2) + c = 0 \Rightarrow 12a - 4b + c = 0 \quad (2)$.
वक्र $Y$-अक्ष को $Q(0,k)$ पर काटता है। $Q$ पर,$x=0$ और प्रवणता $3$ है: $\frac{dy}{dx}|_{x=0} = 3(a)(0)^2 + 2(b)(0) + c = 3 \Rightarrow c = 3$.
$c=3$ को $(1)$ और $(2)$ में रखने पर:
$(1): 8a - 4b + 6 = 5 \Rightarrow 8a - 4b = -1 \quad (3)$.
$(2): 12a - 4b + 3 = 0 \Rightarrow 12a - 4b = -3 \quad (4)$.
$(4)$ में से $(3)$ घटाने पर: $(12a - 8a) = -3 - (-1) \Rightarrow 4a = -2 \Rightarrow a = -\frac{1}{2}$.
$a = -\frac{1}{2}$ को $(3)$ में रखने पर: $8(-\frac{1}{2}) - 4b = -1 \Rightarrow -4 - 4b = -1 \Rightarrow -4b = 3 \Rightarrow b = -\frac{3}{4}$.
अतः,$a = -\frac{1}{2}, b = -\frac{3}{4}, c = 3$.

(B) दिया गया है कि आयतन के परिवर्तन की दर $\frac{dV}{dt} = 36 \ m^3/min$ है और आधार की त्रिज्या $r = 3 \ m$ है।
बेलन का आयतन $V = \pi r^2 h$ द्वारा दिया जाता है।
समय $t$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर,हमें $\frac{dV}{dt} = \pi r^2 \frac{dh}{dt}$ प्राप्त होता है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$36 = \pi \times (3)^2 \times \frac{dh}{dt}$।
$36 = 9 \pi \times \frac{dh}{dt}$।
अतः,$\frac{dh}{dt} = \frac{36}{9 \pi} = \frac{4}{\pi} \ m/min$।

(A) दिया गया है कि त्रिज्या के परिवर्तन की दर $\frac{dr}{dt} = 2 \text{ cm/sec}$ है।
उस क्षण पर जब त्रिज्या $r = 10 \text{ cm}$ है।
वृत्त का क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ द्वारा दिया जाता है।
समय $t$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$\frac{dA}{dt} = 2 \pi r \frac{dr}{dt}$.
दिए गए मान $r = 10 \text{ cm}$ और $\frac{dr}{dt} = 2 \text{ cm/sec}$ रखने पर:
$\frac{dA}{dt} = 2 \pi \times 10 \times 2 = 40 \pi \text{ cm}^2\text{/sec}$.
अतः, क्षेत्रफल में वृद्धि की दर $40 \pi \text{ cm}^2\text{/sec}$ है।

(D) कण की स्थिति $S(t) = at^2 + bt + 6$ द्वारा दी गई है।
$t = 0$ पर,प्रारंभिक स्थिति $S(0) = 6 \text{ m}$ है।
समय $t$ पर शुरुआती बिंदु से विस्थापन $S(t) - S(0) = at^2 + bt$ है।
दिया गया है कि $t = 4 \text{ s}$ पर,विस्थापन $16 \text{ m}$ है,इसलिए $a(4)^2 + b(4) = 16 \Rightarrow 16a + 4b = 16 \Rightarrow 4a + b = 4$ (समीकरण $1$)।
वेग $v(t) = \frac{dS}{dt} = 2at + b$ है।
चूंकि कण $t = 4 \text{ s}$ पर स्थिर हो जाता है,$v(4) = 0 \Rightarrow 2a(4) + b = 0 \Rightarrow 8a + b = 0$ (समीकरण $2$)।
समीकरण $2$ से समीकरण $1$ घटाने पर: $(8a + b) - (4a + b) = 0 - 4 \Rightarrow 4a = -4 \Rightarrow a = -1$।
$a = -1$ को समीकरण $2$ में रखने पर: $8(-1) + b = 0 \Rightarrow b = 8$।
त्वरण $a_{acc} = \frac{dv}{dt} = 2a = 2(-1) = -2 \text{ m/s}^2$।
यदि प्रश्न का अर्थ $S(4) = 16$ है,तो $16a + 4b + 6 = 16 \Rightarrow 16a + 4b = 10 \Rightarrow 8a + 2b = 5$। $8a + 2b = 5$ और $8a + b = 0$ को हल करने पर $b = 5$ और $a = -5/8$ प्राप्त होता है। अतः,$a_{acc} = 2a = -5/4 \text{ m/s}^2$। यह विकल्प $D$ से मेल खाता है।

(D) दिया गया है कि पृष्ठीय क्षेत्रफल के परिवर्तन की दर $\frac{dA}{dt} = 2 \text{ cm}^2/\text{sec}$ है।
गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल $A = 4\pi r^2$ होता है।
$t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dA}{dt} = 8\pi r \frac{dr}{dt}$ प्राप्त होता है।
दिए गए मानों को रखने पर: $2 = 8\pi(6) \frac{dr}{dt} \implies 2 = 48\pi \frac{dr}{dt} \implies \frac{dr}{dt} = \frac{1}{24\pi} \text{ cm/sec}$.
गोले का आयतन $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ होता है।
$t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dV}{dt} = 4\pi r^2 \frac{dr}{dt}$ प्राप्त होता है।
$r = 6$ और $\frac{dr}{dt} = \frac{1}{24\pi}$ रखने पर:
$\frac{dV}{dt} = 4\pi(6)^2 \left(\frac{1}{24\pi}\right) = 4\pi(36) \left(\frac{1}{24\pi}\right) = \frac{144\pi}{24\pi} = 6 \text{ cm}^3/\text{sec}$.

(D) गोलाकार बर्फ के गोले का आयतन $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ द्वारा दिया जाता है।
समय $t$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर,हमें $\frac{dV}{dt} = 4 \pi r^2 \frac{dr}{dt}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि $\frac{dV}{dt} = 8 \text{ cm}^3/\text{sec}$ और $r = 2 \text{ cm}$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$8 = 4 \pi (2)^2 \frac{dr}{dt}$.
$8 = 16 \pi \frac{dr}{dt}$.
अतः,$\frac{dr}{dt} = \frac{8}{16\pi} = \frac{1}{2\pi} \text{ cm/sec}$.

(C) माना $V$ आयतन है और $S$ गोलाकार वर्षा की बूंद का पृष्ठीय क्षेत्रफल है। हमें दिया गया है कि वाष्पीकरण की दर पृष्ठीय क्षेत्रफल के समानुपाती है,इसलिए $\frac{dV}{dt} = -kS$,जहाँ $k > 0$ एक स्थिरांक है।
चूँकि $V = \frac{4}{3}\pi r^3$,हमारे पास $\frac{dV}{dt} = 4\pi r^2 \frac{dr}{dt}$ है।
पृष्ठीय क्षेत्रफल $S = 4\pi r^2$ है।
इन मानों को दर समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $4\pi r^2 \frac{dr}{dt} = -k(4\pi r^2)$।
यह सरल होकर $\frac{dr}{dt} = -k$ हो जाता है।
$t$ के सापेक्ष समाकलन करने पर,हमें $r = -kt + c$ प्राप्त होता है।
$t = 0$ पर,$r = 3$,इसलिए $3 = -k(0) + c \Rightarrow c = 3$।
अतः,$r = -kt + 3$।
$t = 1$ पर,$r = 2$,इसलिए $2 = -k(1) + 3 \Rightarrow k = 1$।
$k=1$ और $c=3$ को $r$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $r = -t + 3$ या $r = 3 - t$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है कि त्रिज्या के परिवर्तन की दर $\frac{dr}{dt} = 0.01 \text{ cm/sec}$ है।
वृत्ताकार प्लेट का क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ द्वारा दिया जाता है।
समय $t$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{dA}{dt} = \pi (2r) \frac{dr}{dt}$.
दिए गए मान $r = 12 \text{ cm}$ और $\frac{dr}{dt} = 0.01 \text{ cm/sec}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{dA}{dt} = 2 \pi (12) (0.01) = 0.24 \pi \text{ cm}^2/\text{sec}$.
अतः,क्षेत्रफल $0.24 \pi \text{ cm}^2/\text{sec}$ की दर से बढ़ रहा है।

(C) कण द्वारा तय की गई दूरी $s = 2 + 27t - t^3$ है।
यह जानने के लिए कि कण कब रुकता है,हमें वह समय $t$ ज्ञात करना होगा जब उसका वेग $v = \frac{ds}{dt}$ शून्य हो।
$\frac{ds}{dt} = \frac{d}{dt}(2 + 27t - t^3) = 27 - 3t^2$.
वेग को शून्य रखने पर: $27 - 3t^2 = 0$.
$3t^2 = 27 \Rightarrow t^2 = 9$.
चूंकि समय $t > 0$ है,इसलिए $t = 3 \text{ सेकंड}$ प्राप्त होता है।
अब,$t = 3 \text{ सेकंड}$ पर तय की गई दूरी की गणना करते हैं:
$s(3) = 2 + 27(3) - (3)^3$.
$s(3) = 2 + 81 - 27$.
$s(3) = 56 \text{ मीटर}$.
अतः,कण $56 \text{ मीटर}$ की दूरी तय करने के बाद रुक जाएगा।

(A) दिया गया फलन $f(x) = \cot^{-1} x + x$ है।
वह अंतराल ज्ञात करने के लिए जहाँ फलन वर्धमान है,हम इसका अवकलज $f'(x)$ निकालते हैं।
$f'(x) = \frac{d}{dx}(\cot^{-1} x) + \frac{d}{dx}(x) = -\frac{1}{1+x^2} + 1$.
व्यंजक को सरल करने पर: $f'(x) = \frac{-1 + (1+x^2)}{1+x^2} = \frac{x^2}{1+x^2}$.
चूँकि सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए $x^2 \geq 0$ और $1+x^2 > 0$ है,इसलिए $f'(x) \geq 0$ प्राप्त होता है।
अतः,सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए $f'(x) \geq 0$ होने के कारण,फलन $f(x)$ पूरी वास्तविक रेखा $(-\infty, \infty)$ पर वर्धमान है।

(C) दिया गया फलन $f(x) = \frac{\lambda \sin x + 6 \cos x}{2 \sin x + 3 \cos x}$ है।
फलन के वर्धमान होने के लिए,$f'(x) \geq 0$ होना चाहिए।
भागफल नियम $\left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ का उपयोग करके,हम $f'(x)$ की गणना करते हैं:
$f'(x) = \frac{(\lambda \cos x - 6 \sin x)(2 \sin x + 3 \cos x) - (\lambda \sin x + 6 \cos x)(2 \cos x - 3 \sin x)}{(2 \sin x + 3 \cos x)^2}$.
अंश का विस्तार करने पर:
अंश $= (2\lambda \sin x \cos x + 3\lambda \cos^2 x - 12 \sin^2 x - 18 \sin x \cos x) - (2\lambda \sin x \cos x - 3\lambda \sin^2 x + 12 \cos^2 x - 18 \sin x \cos x)$.
अंश को सरल करने पर:
अंश $= 3\lambda \cos^2 x - 12 \sin^2 x + 3\lambda \sin^2 x - 12 \cos^2 x$.
अंश $= 3\lambda(\sin^2 x + \cos^2 x) - 12(\sin^2 x + \cos^2 x) = 3\lambda - 12$.
चूंकि हर $(2 \sin x + 3 \cos x)^2$ हमेशा धनात्मक है,$f'(x) \geq 0$ का अर्थ है कि $3\lambda - 12 \geq 0$.
अतः,$3\lambda \geq 12$,जिससे हमें $\lambda \geq 4$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया फलन $f(x) = \log |\sin x|$ है,जहाँ $x \in (0, \pi)$ है।
चूँकि $x \in (0, \pi)$,$\sin x$ हमेशा धनात्मक है,इसलिए हम $f(x) = \log(\sin x)$ लिख सकते हैं।
यह ज्ञात करने के लिए कि फलन किस अंतराल पर निरंतर वर्धमान है,हम इसका अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं:
$f'(x) = \frac{1}{\sin x} \cdot \cos x = \cot x$.
फलन के निरंतर वर्धमान होने के लिए,$f'(x) > 0$ होना चाहिए।
अतः,$\cot x > 0$ होना चाहिए।
अंतराल $(0, \pi)$ में,$\cot x$ का मान $x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ के लिए धनात्मक होता है।
इस प्रकार,फलन $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ पर निरंतर वर्धमान है।

(D) दिया गया फलन $f(x) = e^{-1/x}$ है।
यह ज्ञात करने के लिए कि फलन कहाँ निरंतर वर्धमान है,हम इसका अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(e^{-1/x}) = e^{-1/x} \cdot \frac{d}{dx}(-x^{-1}) = e^{-1/x} \cdot (x^{-2}) = \frac{1}{x^2 e^{1/x}}$.
फलन के निरंतर वर्धमान होने के लिए,$f'(x) > 0$ होना चाहिए।
चूँकि $x^2 > 0$ सभी $x \neq 0$ के लिए सत्य है और $e^{1/x} > 0$ भी सभी $x \neq 0$ के लिए सत्य है,इसलिए अवकलज $f'(x) = \frac{1}{x^2 e^{1/x}}$ अपने प्रांत में सदैव धनात्मक है।
फलन $f(x) = e^{-1/x}$ का प्रांत $x = 0$ को छोड़कर सभी वास्तविक संख्याएँ हैं।
अतः,फलन सभी $x \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$ के लिए निरंतर वर्धमान है।

(B) माना कि दो भाग $x$ और $y$ हैं। दिया गया है कि $x + y = 20$,इसलिए $y = 20 - x$ है।
माना फलन $f(x) = x(20 - x)^3$ है।
अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए,हम $x$ के सापेक्ष $f(x)$ का अवकलन करते हैं:
$f'(x) = (20 - x)^3 + x \cdot 3(20 - x)^2(-1)$
$f'(x) = (20 - x)^2 [20 - x - 3x] = (20 - x)^2 (20 - 4x)$।
$f'(x) = 0$ रखने पर,हमें $x = 20$ या $x = 5$ प्राप्त होता है।
चूंकि $x=20$ पर $f(x)=0$ (न्यूनतम) प्राप्त होता है,इसलिए हम $x = 5$ की जाँच करते हैं।
$x = 5$ के लिए,$y = 20 - 5 = 15$ है।
अतः,दोनों भागों का गुणनफल $xy = 5 \times 15 = 75$ है।

(B) दिया गया फलन $f(x)=2x^3-15x^2-144x-7$ है।
$f(x)$ के निरंतर ह्रासमान होने के अंतराल को ज्ञात करने के लिए,हम अवकलज $f'(x)$ निकालते हैं:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(2x^3-15x^2-144x-7) = 6x^2-30x-144$.
$f(x)$ के निरंतर ह्रासमान होने के लिए,$f'(x) < 0$ होना चाहिए:
$6x^2-30x-144 < 0$.
$6$ से विभाजित करने पर,हमें $x^2-5x-24 < 0$ प्राप्त होता है।
द्विघात व्यंजक का गुणनखंड करने पर: $(x-8)(x+3) < 0$.
यहाँ मूल $x=8$ और $x=-3$ हैं।
यह असमिका $x$ के $(-3, 8)$ अंतराल में होने पर सत्य है।
अतः,$f(x)$ अंतराल $(-3, 8)$ में निरंतर ह्रासमान है।

(D) शंकु का आयतन $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ द्वारा दिया जाता है।
तिर्यक ऊँचाई $\ell = 3 \text{ cm}$ दी गई है,इसलिए $\ell^2 = r^2 + h^2$,जिसका अर्थ है $r^2 = 9 - h^2$।
$r^2$ का मान आयतन के सूत्र में रखने पर: $V = \frac{1}{3} \pi (9 - h^2) h = 3 \pi h - \frac{\pi}{3} h^3$।
अधिकतम आयतन ज्ञात करने के लिए,हम $V$ का $h$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं: $\frac{dV}{dh} = 3 \pi - \pi h^2$।
$\frac{dV}{dh} = 0$ रखने पर,हमें $3 \pi = \pi h^2$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $h^2 = 3$,इसलिए $h = \sqrt{3} \text{ cm}$ (क्योंकि ऊँचाई धनात्मक होनी चाहिए)।
द्वितीय अवकलज की जाँच करने पर: $\frac{d^2V}{dh^2} = -2 \pi h$।
$h = \sqrt{3}$ पर,$\frac{d^2V}{dh^2} = -2 \sqrt{3} \pi < 0$।
चूँकि द्वितीय अवकलज ऋणात्मक है,इसलिए आयतन $h = \sqrt{3} \text{ cm}$ पर अधिकतम होता है।

(A) दिया गया फलन $f(x) = x^2 + ax + b$ है।
क्रांतिक बिंदु ज्ञात करने के लिए,हम प्रथम अवकलज निकालते हैं: $f'(x) = 2x + a$।
$f'(x) = 0$ रखने पर,हमें $x = -a/2$ प्राप्त होता है।
चूंकि द्वितीय अवकलज $f''(x) = 2 > 0$ है,इसलिए फलन का $x = -a/2$ पर स्थानीय न्यूनतम मान है।
प्रश्न के अनुसार,न्यूनतम मान $x = 3$ पर प्राप्त होता है।
अतः,$-a/2 = 3$,जिसका अर्थ है $a = -6$।
यह दिया गया है कि $x = 3$ पर फलन का न्यूनतम मान $5$ है,इसलिए हम इन मानों को मूल फलन में प्रतिस्थापित करते हैं:
$f(3) = (3)^2 + a(3) + b = 5$।
$a = -6$ रखने पर:
$9 + (-6)(3) + b = 5$।
$9 - 18 + b = 5$।
$-9 + b = 5$।
$b = 14$।
अतः,$a = -6$ और $b = 14$ प्राप्त होते हैं।

(A) माना आयत $ABCD$ मूल बिंदु पर केंद्रित $r$ त्रिज्या वाले वृत्त में अंतर्निहित है। शीर्ष $B$ के निर्देशांक $(r \cos \theta, r \sin \theta)$ हैं।
अतः,लंबाई $AB = 2r \cos \theta$ और चौड़ाई $BC = 2r \sin \theta$ है।
आयत का क्षेत्रफल $A(\theta) = AB \times BC = (2r \cos \theta)(2r \sin \theta) = 2r^2 \sin 2\theta$ है।
अधिकतम क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,हम $A(\theta)$ का $\theta$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$A'(\theta) = 4r^2 \cos 2\theta$.
$A'(\theta) = 0$ रखने पर,हमें $\cos 2\theta = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $2\theta = \frac{\pi}{2}$,इसलिए $\theta = \frac{\pi}{4}$.
द्वितीय अवकलज की जाँच करने पर: $A''(\theta) = -8r^2 \sin 2\theta$.
$\theta = \frac{\pi}{4}$ पर,$A''(\frac{\pi}{4}) = -8r^2 \sin(\frac{\pi}{2}) = -8r^2 < 0$.
चूँकि द्वितीय अवकलज ऋणात्मक है,इसलिए $\theta = \frac{\pi}{4}$ पर क्षेत्रफल अधिकतम है।
$\theta = \frac{\pi}{4}$ को क्षेत्रफल के सूत्र में रखने पर:
अधिकतम क्षेत्रफल $= 2r^2 \sin(2 \times \frac{\pi}{4}) = 2r^2 \sin(\frac{\pi}{2}) = 2r^2(1) = 2r^2$ वर्ग इकाई।

(A) दिया गया फलन $y=x^3-\alpha x^2-\beta x+5$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = 3x^2 - 2\alpha x - \beta$.
चूंकि $x=-2$ और $x=4$ चरम बिंदु हैं,इसलिए इन मानों पर अवकलज शून्य होगा।
$x=-2$ के लिए:
$3(-2)^2 - 2\alpha(-2) - \beta = 0 \implies 12 + 4\alpha - \beta = 0 \implies 4\alpha - \beta = -12$ (समीकरण $1$)।
$x=4$ के लिए:
$3(4)^2 - 2\alpha(4) - \beta = 0 \implies 48 - 8\alpha - \beta = 0 \implies 8\alpha + \beta = 48$ (समीकरण $2$)।
समीकरण $1$ और $2$ को जोड़ने पर:
$(4\alpha - \beta) + (8\alpha + \beta) = -12 + 48 \implies 12\alpha = 36 \implies \alpha = 3$.
$\alpha = 3$ का मान समीकरण $1$ में रखने पर:
$4(3) - \beta = -12 \implies 12 - \beta = -12 \implies \beta = 24$.
अतः,$\alpha=3$ और $\beta=24$ है।

(A) माना कि $10$ के दो भाग $x$ और $(10-x)$ हैं।
फलन $f(x) = 2x + (10-x)^2$ को परिभाषित करें।
फलन का विस्तार करने पर: $f(x) = 2x + 100 - 20x + x^2 = x^2 - 18x + 100$.
न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,प्रथम अवकलज निकालें: $f'(x) = 2x - 18$.
क्रांतिक बिंदु ज्ञात करने के लिए $f'(x) = 0$ रखें: $2x - 18 = 0 \implies x = 9$.
द्वितीय अवकलज ज्ञात करें: $f''(x) = 2$.
चूँकि $f''(9) = 2 > 0$ है,इसलिए फलन $x = 9$ पर न्यूनतम है।
पहला भाग $x = 9$ है और दूसरा भाग $10 - 9 = 1$ है।
अतः,वे संख्याएँ $9$ और $1$ हैं।

(A) हमारे पास $f(x)=\frac{1-x+x^2}{1+x+x^2}$ है।
क्रांतिक बिंदु ज्ञात करने के लिए,हम भागफल नियम का उपयोग करके अवकलज $f^{\prime}(x)$ की गणना करते हैं:
$f^{\prime}(x)=\frac{(1+x+x^2)(2x-1)-(1-x+x^2)(2x+1)}{(1+x+x^2)^2}$.
अंश का विस्तार करने पर:
$f^{\prime}(x)=\frac{(2x-1+2x^2-x+2x^3-x^2)-(2x+1-2x^2-x+2x^3+x^2)}{(1+x+x^2)^2}$.
$f^{\prime}(x)=\frac{(2x^3+x^2+x-1)-(2x^3-x^2+x+1)}{(1+x+x^2)^2}$.
$f^{\prime}(x)=\frac{2x^2-2}{(1+x+x^2)^2} = \frac{2(x^2-1)}{(1+x+x^2)^2}$.
$f^{\prime}(x)=0$ रखने पर,हमें $x^2-1=0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x=1$ या $x=-1$.
इन बिंदुओं पर फलन का मान ज्ञात करने पर:
$x=1$ के लिए,$f(1)=\frac{1-1+1}{1+1+1} = \frac{1}{3}$.
$x=-1$ के लिए,$f(-1)=\frac{1-(-1)+(-1)^2}{1+(-1)+(-1)^2} = \frac{1+1+1}{1-1+1} = 3$.
मानों की तुलना करने पर,$f(x)$ का न्यूनतम मान $\frac{1}{3}$ है।

(D) दिया गया फलन $f(x) = x \log x$ है।
न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,हम पहले अवकलज $f'(x)$ निकालते हैं।
गुणन नियम का उपयोग करते हुए: $f'(x) = x \cdot \frac{d}{dx}(\log x) + \log x \cdot \frac{d}{dx}(x) = x \cdot \frac{1}{x} + \log x = 1 + \log x$.
क्रांतिक बिंदुओं के लिए,$f'(x) = 0$ रखें:
$1 + \log x = 0 \implies \log x = -1 \implies x = e^{-1} = \frac{1}{e}$.
अब,द्वितीय अवकलज $f''(x)$ ज्ञात करें:
$f''(x) = \frac{d}{dx}(1 + \log x) = \frac{1}{x}$.
$x = \frac{1}{e}$ पर $f''(x)$ का मान ज्ञात करें:
$f''(\frac{1}{e}) = \frac{1}{1/e} = e$.
चूंकि $e > 0$,फलन का $x = \frac{1}{e}$ पर स्थानीय न्यूनतम मान है।
न्यूनतम मान $f(\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \log(\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \log(e^{-1}) = \frac{1}{e} (-1) = -\frac{1}{e}$ है।

(C) अभीष्ट क्षेत्रफल उन अंतरालों पर समाकलनों के निरपेक्ष मानों का योग है जहाँ फलन ऋणात्मक और धनात्मक होता है।
$A = \int_{-1}^{0} |x| dx + \int_{0}^{2} |x| dx$
चूँकि $x \in [-1, 0]$ के लिए $x < 0$ और $x \in [0, 2]$ के लिए $x > 0$ है,इसलिए:
$A = \int_{-1}^{0} (-x) dx + \int_{0}^{2} (x) dx$
$A = \left[ -\frac{x^2}{2} \right]_{-1}^{0} + \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{2}$
$A = (0 - (-\frac{(-1)^2}{2})) + (\frac{2^2}{2} - 0)$
$A = \frac{1}{2} + 2 = \frac{5}{2} \text{ वर्ग इकाई}$

(B) वक्र $y=2x-x^2$ और $x$-अक्ष द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,हम $y=0$ रखकर $x$-अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करते हैं।
$2x-x^2=0 \Rightarrow x(2-x)=0$,जिससे $x=0$ और $x=2$ प्राप्त होता है।
क्षेत्रफल $A$ निम्नलिखित समाकलन द्वारा प्राप्त होता है:
$A = \int_0^2 (2x-x^2) dx$
$A = [x^2 - \frac{x^3}{3}]_0^2$
$A = (2^2 - \frac{2^3}{3}) - (0^2 - \frac{0^3}{3})$
$A = 4 - \frac{8}{3} = \frac{12-8}{3} = \frac{4}{3} \text{ वर्ग इकाई}$.

(D) परवलय $y=x^2$ और रेखा $y=x$ द्वारा घिरे हुए क्षेत्रफल को ज्ञात करने के लिए,हम पहले समीकरणों को बराबर रखकर प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करते हैं:
$x^2 = x$
$x^2 - x = 0$
$x(x - 1) = 0$
इससे हमें $x = 0$ और $x = 1$ प्राप्त होता है। प्रतिच्छेदन बिंदु $O(0, 0)$ और $P(1, 1)$ हैं।
अंतराल $[0, 1]$ में,रेखा $y = x$ परवलय $y = x^2$ के ऊपर स्थित है।
अभीष्ट क्षेत्रफल $A$ समाकलन द्वारा दिया जाता है:
$A = \int_0^1 (x - x^2) dx$
$A = \left[ \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_0^1$
$A = \left( \frac{1^2}{2} - \frac{1^3}{3} \right) - (0 - 0)$
$A = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{3 - 2}{6} = \frac{1}{6} \text{ वर्ग इकाई}$

(A) वक्र $y^2=4x$ और रेखा $y=x$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,हम पहले $y=x$ को परवलय के समीकरण में प्रतिस्थापित करके प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करते हैं:
$x^2 = 4x$
$x^2 - 4x = 0$
$x(x-4) = 0$
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $x=0$ और $x=4$ हैं।
$x=0$ के लिए,$y=0$,इसलिए मूल बिंदु $O(0,0)$ एक बिंदु है।
$x=4$ के लिए,$y=4$,इसलिए बिंदु $P(4,4)$ दूसरा बिंदु है।
अभीष्ट क्षेत्रफल $A$,$x=0$ से $x=4$ तक ऊपरी वक्र में से निचले वक्र को घटाकर समाकलन द्वारा प्राप्त किया जाता है:
$A = \int_0^4 (\sqrt{4x} - x) dx$
$A = 2 \int_0^4 x^{1/2} dx - \int_0^4 x dx$
$A = 2 \left[ \frac{x^{3/2}}{3/2} \right]_0^4 - \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^4$
$A = 2 \cdot \frac{2}{3} [x^{3/2}]_0^4 - \left[ \frac{16}{2} - 0 \right]$
$A = \frac{4}{3} (4^{3/2}) - 8$
$A = \frac{4}{3} (8) - 8$
$A = \frac{32}{3} - 8 = \frac{32-24}{3} = \frac{8}{3} \text{ वर्ग इकाई.}$

(B) यह क्षेत्र परवलय $y^2=x$,रेखा $y=4$ और $Y$-अक्ष $(x=0)$ द्वारा घिरा हुआ है।
क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,हम $y=0$ से $y=4$ तक $y$ के सापेक्ष समाकलन करेंगे।
परवलय का समीकरण $x=y^2$ है।
क्षेत्रफल $A$ इस प्रकार है:
$A = \int_{0}^{4} x \, dy$
$A = \int_{0}^{4} y^2 \, dy$
$A = \left[ \frac{y^3}{3} \right]_{0}^{4}$
$A = \frac{4^3}{3} - \frac{0^3}{3}$
$A = \frac{64}{3} \text{ वर्ग इकाई}$

(A) वक्र $x^2=y$ और रेखा $y=4x$ के बीच घिरा हुआ क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,हम पहले उनके प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करते हैं।
$x^2 = 4x$ रखने पर,हमें $x^2 - 4x = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x(x-4) = 0$। अतः,$x=0$ और $x=4$ है।
$x=0$ के लिए $y=0$,और $x=4$ के लिए $y=16$ है। इसलिए प्रतिच्छेदन बिंदु $(0,0)$ और $(4,16)$ हैं।
अभीष्ट क्षेत्रफल $A$,$x=0$ से $x=4$ तक ऊपरी वक्र में से निचले वक्र को घटाकर समाकलन द्वारा प्राप्त किया जाता है:
$A = \int_{0}^{4} (4x - x^2) dx$
$A = \left[ \frac{4x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{4}$
$A = \left[ 2x^2 - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{4}$
$A = \left( 2(4)^2 - \frac{(4)^3}{3} \right) - (0 - 0)$
$A = \left( 32 - \frac{64}{3} \right)$
$A = \frac{96 - 64}{3} = \frac{32}{3} \text{ वर्ग इकाई}$

(A) प्रथम चतुर्थांश में परवलय $y^2=x$ और रेखा $x+y=2$ द्वारा घिरे क्षेत्रफल को ज्ञात करने के लिए,हम पहले उनके प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करते हैं।
$y = 2-x$ को $y^2=x$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $(2-x)^2 = x$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $x^2 - 4x + 4 = x$ या $x^2 - 5x + 4 = 0$ हो जाता है।
गुणनखंड करने पर $(x-4)(x-1) = 0$ प्राप्त होता है,अतः $x=1$ या $x=4$ है।
प्रथम चतुर्थांश में,प्रतिच्छेदन बिंदु $(1, 1)$ है।
रेखा $x+y=2$,$x$-अक्ष को $(2, 0)$ पर काटती है।
अभीष्ट क्षेत्रफल $x=0$ से $x=1$ तक परवलय का समाकलन और $x=1$ से $x=2$ तक रेखा का समाकलन है।
क्षेत्रफल $= \int_0^1 \sqrt{x} \, dx + \int_1^2 (2-x) \, dx$
$= \left[ \frac{2}{3} x^{3/2} \right]_0^1 + \left[ 2x - \frac{x^2}{2} \right]_1^2$
$= \left( \frac{2}{3} - 0 \right) + \left( (4 - 2) - (2 - \frac{1}{2}) \right)$
$= \frac{2}{3} + (2 - \frac{3}{2}) = \frac{2}{3} + \frac{1}{2} = \frac{4+3}{6} = \frac{7}{6} \text{ वर्ग इकाई}$.

(B) दिए गए परवलय $y^2=8x$ और $x^2=8y$ हैं।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,$y = \frac{x^2}{8}$ को $y^2=8x$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$\left(\frac{x^2}{8}\right)^2 = 8x \Rightarrow \frac{x^4}{64} = 8x \Rightarrow x^4 = 512x \Rightarrow x(x^3 - 512) = 0$.
अतः,$x=0$ या $x=8$। प्रतिच्छेदन बिंदु $O(0,0)$ और $P(8,8)$ हैं।
आवश्यक क्षेत्रफल $A$,$x=0$ से $x=8$ तक ऊपरी वक्र में से निचले वक्र को घटाकर समाकलन करने से प्राप्त होता है:
$A = \int_0^8 (\sqrt{8x} - \frac{x^2}{8}) dx = \int_0^8 (2\sqrt{2}\sqrt{x} - \frac{x^2}{8}) dx$.
$A = [2\sqrt{2} \cdot \frac{x^{3/2}}{3/2}]_0^8 - [\frac{x^3}{24}]_0^8$.
$A = [\frac{4\sqrt{2}}{3} \cdot x^{3/2}]_0^8 - \frac{512}{24}$.
$A = \frac{4\sqrt{2}}{3} \cdot (8\sqrt{8}) - \frac{64}{3} = \frac{4\sqrt{2}}{3} \cdot (16\sqrt{2}) - \frac{64}{3} = \frac{128}{3} - \frac{64}{3} = \frac{64}{3} \text{ वर्ग इकाई}$.

(A) परवलय $y^2=4ax$ है। नाभिलंब रेखा $x=a$ है।
क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,हम $x=0$ से $x=a$ तक समाकलन करेंगे।
चूंकि परवलय $x$-अक्ष के सापेक्ष सममित है,इसलिए कुल क्षेत्रफल $A$ प्रथम चतुर्थांश में प्राप्त क्षेत्रफल का दोगुना होगा।
$A = 2 \int_{0}^{a} y \, dx = 2 \int_{0}^{a} \sqrt{4ax} \, dx$
$A = 2 \int_{0}^{a} 2\sqrt{a} \sqrt{x} \, dx = 4\sqrt{a} \int_{0}^{a} x^{1/2} \, dx$
$A = 4\sqrt{a} \left[ \frac{x^{3/2}}{3/2} \right]_{0}^{a} = 4\sqrt{a} \cdot \frac{2}{3} \cdot a^{3/2}$
$A = \frac{8}{3} \sqrt{a} \cdot a \sqrt{a} = \frac{8}{3} a^2 \text{ वर्ग इकाई}$

(B) चूँकि $f(x)$,$x = \pi$ पर सतत है,इसलिए $f(\pi) = \lim_{x \rightarrow \pi} f(x)$.
माना $x - \pi = h$. जैसे $x \rightarrow \pi$,वैसे $h \rightarrow 0$.
अतः $f(\pi) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{4^h + 4^{-h} - 2}{h^2}$.
अंश को $(2^{h/2} - 2^{-h/2})^2$ के रूप में लिखा जा सकता है।
अतः $f(\pi) = \lim_{h \rightarrow 0} \left( \frac{2^{h/2} - 2^{-h/2}}{h} \right)^2$.
इस सीमा का मान $\left( \frac{1}{2} \ln 2 + \frac{1}{2} \ln 2 \right)^2 = (\ln 2)^2$ प्राप्त होता है।

(D) $f(x)$ के $x = 1$ पर सतत होने के लिए,बायां सीमा और दायां सीमा बराबर होनी चाहिए:
$\lim_{x \rightarrow 1^{-}} (1 + \sin \frac{\pi x}{2}) = 1 + \sin \frac{\pi}{2} = 1 + 1 = 2$.
$\lim_{x \rightarrow 1^{+}} (ax + b) = a(1) + b = a + b$.
अतः,$a + b = 2$ --- $(1)$
$f(x)$ के $x = 3$ पर सतत होने के लिए:
$\lim_{x \rightarrow 3^{-}} (ax + b) = 3a + b$.
$\lim_{x \rightarrow 3^{+}} (6 \tan \frac{x \pi}{12}) = 6 \tan \frac{3 \pi}{12} = 6 \tan \frac{\pi}{4} = 6(1) = 6$.
अतः,$3a + b = 6$ --- $(2)$
समीकरण $(2)$ में से समीकरण $(1)$ को घटाने पर:
$(3a + b) - (a + b) = 6 - 2$
$2a = 4 \implies a = 2$.
$a = 2$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$2 + b = 2 \implies b = 0$.
अतः,$a = 2$ और $b = 0$ प्राप्त होते हैं।

(C) $f(x)$ के $x = 0$ पर सतत होने के लिए,बायाँ सीमा और दायाँ सीमा बराबर होनी चाहिए,अर्थात $\lim_{x \rightarrow 0^-} f(x) = \lim_{x \rightarrow 0^+} f(x)$।
सबसे पहले,बायाँ सीमा की गणना करें:
$\lim_{x \rightarrow 0^-} f(x) = \lim_{x \rightarrow 0^-} \frac{\sqrt{1+px}-\sqrt{1-px}}{x}$
अंश और हर को संयुग्मी $\sqrt{1+px} + \sqrt{1-px}$ से गुणा करने पर:
$= \lim_{x \rightarrow 0^-} \frac{(\sqrt{1+px}-\sqrt{1-px})(\sqrt{1+px}+\sqrt{1-px})}{x(\sqrt{1+px}+\sqrt{1-px})}$
$= \lim_{x \rightarrow 0^-} \frac{(1+px)-(1-px)}{x(\sqrt{1+px}+\sqrt{1-px})} = \lim_{x \rightarrow 0^-} \frac{2px}{x(\sqrt{1+px}+\sqrt{1-px})}$
$= \lim_{x \rightarrow 0^-} \frac{2p}{\sqrt{1+px}+\sqrt{1-px}} = \frac{2p}{1+1} = p$।
अब,दायाँ सीमा की गणना करें:
$\lim_{x \rightarrow 0^+} f(x) = \lim_{x \rightarrow 0^+} \frac{2x+1}{x-2} = \frac{2(0)+1}{0-2} = \frac{-1}{2}$।
दोनों सीमाओं की तुलना करने पर,हमें $p = \frac{-1}{2}$ प्राप्त होता है।

(B) $x \leq -3$ के लिए,$f(x) = |x| + 3 = -x + 3$.
$x = -3$ पर:
बायां सीमा: $\lim_{x \to -3^-} f(x) = -(-3) + 3 = 6$.
दायां सीमा: $\lim_{x \to -3^+} f(x) = -2(-3) = 6$.
फलन का मान: $f(-3) = -(-3) + 3 = 6$.
चूंकि $\lim_{x \to -3^-} f(x) = \lim_{x \to -3^+} f(x) = f(-3)$,इसलिए $f(x)$,$x = -3$ पर संतत है।
$x = 3$ पर:
बायां सीमा: $\lim_{x \to 3^-} f(x) = -2(3) = -6$.
दायां सीमा: $\lim_{x \to 3^+} f(x) = 6(3) + 2 = 20$.
चूंकि $\lim_{x \to 3^-} f(x) \neq \lim_{x \to 3^+} f(x)$,इसलिए $f(x)$,$x = 3$ पर असंतत है।

(A) $f(x)$ के $x = \frac{\pi}{4}$ पर सतत होने के लिए,बाएँ हाथ की सीमा और दाएँ हाथ की सीमा बराबर होनी चाहिए:
$\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{4}^-} (x + a \sqrt{2} \sin x) = \frac{\pi}{4} + a \sqrt{2} \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = \frac{\pi}{4} + a$
$\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{4}^+} (2x \cot x + b) = 2\left(\frac{\pi}{4}\right) \cot\left(\frac{\pi}{4}\right) + b = \frac{\pi}{2} + b$
उन्हें बराबर करने पर: $\frac{\pi}{4} + a = \frac{\pi}{2} + b \implies a - b = \frac{\pi}{4} \quad \dots(1)$
$f(x)$ के $x = \frac{\pi}{2}$ पर सतत होने के लिए,बाएँ हाथ की सीमा और दाएँ हाथ की सीमा बराबर होनी चाहिए:
$\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}^-} (2x \cot x + b) = 2\left(\frac{\pi}{2}\right) \lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}^-} \cot x + b = \pi(0) + b = b$
$\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}^+} (a \cos 2x - b \sin x) = a \cos(\pi) - b \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = -a - b$
उन्हें बराबर करने पर: $b = -a - b \implies a + 2b = 0 \implies a = -2b \quad \dots(2)$
$(2)$ को $(1)$ में प्रतिस्थापित करने पर: $-2b - b = \frac{\pi}{4} \implies -3b = \frac{\pi}{4} \implies b = -\frac{\pi}{12}$
अतः $a = -2(-\frac{\pi}{12}) = \frac{\pi}{6}$।

(D) किसी फलन के $x = 1$ पर संतत होने के लिए,बायां सीमा $(LHL)$,दायां सीमा $(RHL)$ और फलन का मान $x = 1$ पर बराबर होना चाहिए।
$\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (3ax + b) = 3a + b$
$\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (5ax - 2b) = 5a - 2b$
दिया गया है कि $f(1) = 11$,इसलिए:
$3a + b = 11$ (समीकरण $1$)
$5a - 2b = 11$ (समीकरण $2$)
समीकरण $1$ से,$b = 11 - 3a$ प्राप्त होता है। इसे समीकरण $2$ में रखने पर:
$5a - 2(11 - 3a) = 11$
$5a - 22 + 6a = 11$
$11a = 33 \implies a = 3$
$a = 3$ का मान $b = 11 - 3a$ में रखने पर:
$b = 11 - 3(3) = 11 - 9 = 2$
अतः,$a = 3$ और $b = 2$ है।

(B) दिया गया है $f(x) = \frac{(1 + \cos x) - \sin x}{(1 + \cos x) + \sin x}$.
चूंकि $f(x)$,$x = \pi$ पर सतत है,इसलिए $f(\pi) = \lim_{x \rightarrow \pi} f(x)$ होगा।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं $1 + \cos x = 2 \cos^2 \frac{x}{2}$ और $\sin x = 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}$ का उपयोग करने पर:
$\lim_{x \rightarrow \pi} f(x) = \lim_{x \rightarrow \pi} \frac{2 \cos^2 \frac{x}{2} - 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}}{2 \cos^2 \frac{x}{2} + 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}}$
$= \lim_{x \rightarrow \pi} \frac{2 \cos \frac{x}{2} (\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2})}{2 \cos \frac{x}{2} (\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2})}$
$= \lim_{x \rightarrow \pi} \frac{\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2}}$
अंश और हर को $\cos \frac{x}{2}$ से विभाजित करने पर:
$= \lim_{x \rightarrow \pi} \frac{1 - \tan \frac{x}{2}}{1 + \tan \frac{x}{2}} = \lim_{x \rightarrow \pi} \tan \left( \frac{\pi}{4} - \frac{x}{2} \right)$
$= \tan \left( \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{2} \right) = \tan \left( -\frac{\pi}{4} \right) = -1$.

(C) $f(x)$ को $[-\pi, \pi]$ में सतत होने के लिए,इसे $x = -\pi/2$ और $x = \pi/2$ पर सतत होना चाहिए।
$x = -\pi/2$ पर:
$\lim_{x \to -\pi/2^-} f(x) = -2 \sin(-\pi/2) = -2(-1) = 2$.
$\lim_{x \to -\pi/2^+} f(x) = a \sin(-\pi/2) + b = -a + b$.
चूंकि यह सतत है,$-a + b = 2$ (समीकरण $1$)।
$x = \pi/2$ पर:
$\lim_{x \to \pi/2^-} f(x) = a \sin(\pi/2) + b = a + b$.
$\lim_{x \to \pi/2^+} f(x) = \cos(\pi/2) = 0$.
चूंकि यह सतत है,$a + b = 0$ (समीकरण $2$)।
समीकरण $1$ और समीकरण $2$ को जोड़ने पर: $(-a + b) + (a + b) = 2 + 0 \implies 2b = 2 \implies b = 1$.
समीकरण $2$ में $b = 1$ रखने पर: $a + 1 = 0 \implies a = -1$.
अब,$(3a + 2b)^3$ का मान ज्ञात करते हैं:
$(3(-1) + 2(1))^3 = (-3 + 2)^3 = (-1)^3 = -1$.

(C) दिया गया है $f(x) = \begin{cases} x, & x \le 0 \\ 0, & x > 0 \end{cases}$.
$x = 0$ पर सांतत्य के लिए:
बायां सीमा $(LHL)$ = $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} x = 0$.
दायां सीमा $(RHL)$ = $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} 0 = 0$.
फलन का मान $f(0) = 0$.
चूंकि $LHL$ = $RHL$ = $f(0)$,इसलिए फलन $x = 0$ पर सतत है।
$x = 0$ पर अवकलनीयता के लिए:
बायां अवकलज $(LHD)$ = $\lim_{h \to 0^+} \frac{f(0-h) - f(0)}{-h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{(0-h) - 0}{-h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{-h}{-h} = 1$.
दायां अवकलज $(RHD)$ = $\lim_{h \to 0^+} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{0 - 0}{h} = 0$.
चूंकि $LHD$ $\neq$ $RHD$,इसलिए फलन $x = 0$ पर अवकलनीय नहीं है।

(B) माना $I=\int_0^{\pi / 2} \frac{d x}{5+4 \sin x}$ है।
$\tan \frac{x}{2}=t$ प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{1}{2} \sec^2 \frac{x}{2} dx = dt$,अतः $dx = \frac{2 dt}{1+t^2}$ और $\sin x = \frac{2t}{1+t^2}$ प्राप्त होता है।
जब $x=0, t=0$ और जब $x=\frac{\pi}{2}, t=1$ है।
$I = \int_0^1 \frac{1}{5+4(\frac{2t}{1+t^2})} \cdot \frac{2 dt}{1+t^2} = 2 \int_0^1 \frac{dt}{5+5t^2+8t} = \frac{2}{5} \int_0^1 \frac{dt}{t^2+\frac{8}{5}t+1}$।
पूर्ण वर्ग बनाने पर: $t^2+\frac{8}{5}t+1 = (t+\frac{4}{5})^2 + (1-\frac{16}{25}) = (t+\frac{4}{5})^2 + (\frac{3}{5})^2$।
$I = \frac{2}{5} \int_0^1 \frac{dt}{(t+\frac{4}{5})^2 + (\frac{3}{5})^2} = \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{3/5} [\tan^{-1}(\frac{t+4/5}{3/5})]_0^1 = \frac{2}{3} [\tan^{-1}(\frac{5t+4}{3})]_0^1$।
$I = \frac{2}{3} [\tan^{-1}(3) - \tan^{-1}(\frac{4}{3})] = \frac{2}{3} \tan^{-1}(\frac{3-4/3}{1+3(4/3)}) = \frac{2}{3} \tan^{-1}(\frac{5/3}{5}) = \frac{2}{3} \tan^{-1}(\frac{1}{3})$।
$A \tan^{-1} B$ के साथ तुलना करने पर,$A=\frac{2}{3}$ और $B=\frac{1}{3}$ प्राप्त होता है।
अतः,$A+B = \frac{2}{3} + \frac{1}{3} = 1$।

(B) दिया गया समाकलन $I = \int_2^{e}\left[\frac{1}{\log x}-\frac{1}{(\log x)^2}\right] dx$ है।
माना $\log x = t$,तो $x = e^t$ और $dx = e^t dt$ होगा।
जब $x = 2$,तब $t = \log 2$ और जब $x = e$,तब $t = 1$ होगा।
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \int_{\log 2}^{1} \left(\frac{1}{t} - \frac{1}{t^2}\right) e^t dt$।
हम जानते हैं कि $\int e^t [f(t) + f'(t)] dt = e^t f(t) + C$ होता है।
यहाँ,$f(t) = \frac{1}{t}$ और $f'(t) = -\frac{1}{t^2}$ है।
अतः,$I = \left[ e^t \cdot \frac{1}{t} \right]_{\log 2}^{1}$ होगा।
$I = \left( e^1 \cdot \frac{1}{1} \right) - \left( e^{\log 2} \cdot \frac{1}{\log 2} \right)$।
$I = e - \frac{2}{\log 2}$।
इसकी तुलना $a + \frac{b}{\log 2}$ से करने पर,हमें $a = e$ और $b = -2$ प्राप्त होता है।

(A) माना $I = \int_0^a \sqrt{\frac{a-x}{x}} dx$ है।
$x = a \sin^2 \theta$ प्रतिस्थापित करने पर,$dx = 2a \sin \theta \cos \theta d\theta$ प्राप्त होता है।
जब $x = 0$,तब $\theta = 0$ और जब $x = a$,तब $\theta = \frac{\pi}{2}$।
$I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{\frac{a - a \sin^2 \theta}{a \sin^2 \theta}} (2a \sin \theta \cos \theta) d\theta$
$I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos \theta}{\sin \theta} (2a \sin \theta \cos \theta) d\theta$
$I = 2a \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 \theta d\theta$
सर्वसमिका $\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$ का उपयोग करने पर:
$I = 2a \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 + \cos 2\theta}{2} d\theta = a \int_0^{\frac{\pi}{2}} (1 + \cos 2\theta) d\theta$
$I = a \left[ \theta + \frac{\sin 2\theta}{2} \right]_0^{\frac{\pi}{2}} = a \left( \frac{\pi}{2} + 0 - 0 - 0 \right) = \frac{a\pi}{2}$।
दिया गया है कि $\int_0^a \sqrt{\frac{a-x}{x}} dx = \frac{k}{2}$,अतः $\frac{a\pi}{2} = \frac{k}{2}$।
अतः,$k = \pi a$।

(D) एक सिक्के को $4$ बार उछाला जाता है। कुल परिणामों की संख्या $n(S) = 2^4 = 16$ है।
मान लीजिए $X$ चितों की संख्या है। $X$ के संभावित मान $0, 1, 2, 3, 4$ हैं।
हमें $P[X < 3] = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)$ ज्ञात करना है।
$n$ उछालों में $r$ चित प्राप्त करने के तरीकों की संख्या $\binom{n}{r}$ द्वारा दी जाती है।
$X=0$ के लिए: $\binom{4}{0} = 1$ तरीका।
$X=1$ के लिए: $\binom{4}{1} = 4$ तरीके।
$X=2$ के लिए: $\binom{4}{2} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$ तरीके।
कुल अनुकूल परिणाम = $1 + 4 + 6 = 11$।
अतः,$P[X < 3] = \frac{11}{16}$।

(B) माना $I = \int_0^\pi \frac{1}{4+3 \cos x} dx$ है।
प्रतिस्थापन $t = \tan(\frac{x}{2})$ का उपयोग करने पर,हमें $\cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$ और $dx = \frac{2}{1+t^2} dt$ प्राप्त होता है।
जब $x=0$,तब $t=0$,और जब $x=\pi$,तब $t \to \infty$।
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \int_0^{\infty} \frac{1}{4+3(\frac{1-t^2}{1+t^2})} \cdot \frac{2}{1+t^2} dt$
$I = \int_0^{\infty} \frac{2}{4(1+t^2) + 3(1-t^2)} dt$
$I = \int_0^{\infty} \frac{2}{4+4t^2+3-3t^2} dt = \int_0^{\infty} \frac{2}{7+t^2} dt$
$I = 2 \int_0^{\infty} \frac{1}{(\sqrt{7})^2 + t^2} dt$
सूत्र $\int \frac{1}{a^2+x^2} dx = \frac{1}{a} \tan^{-1}(\frac{x}{a}) + C$ का उपयोग करने पर:
$I = 2 \left[ \frac{1}{\sqrt{7}} \tan^{-1}(\frac{t}{\sqrt{7}}) \right]_0^{\infty}$
$I = \frac{2}{\sqrt{7}} [\tan^{-1}(\infty) - \tan^{-1}(0)] = \frac{2}{\sqrt{7}} [\frac{\pi}{2} - 0] = \frac{\pi}{\sqrt{7}}$।

(C) माना $I = \int_0^{\pi / 4} \log (1+\tan x) d x$.
गुणधर्म $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ का उपयोग करने पर:
$I = \int_0^{\pi / 4} \log \left[1+\tan \left(\frac{\pi}{4}-x\right)\right] d x$.
चूंकि $\tan(\frac{\pi}{4}-x) = \frac{1-\tan x}{1+\tan x}$,समाकलन इस प्रकार होगा:
$I = \int_0^{\pi / 4} \log \left[1+\frac{1-\tan x}{1+\tan x}\right] d x = \int_0^{\pi / 4} \log \left(\frac{1+\tan x + 1 - \tan x}{1+\tan x}\right) d x$.
$I = \int_0^{\pi / 4} \log \left(\frac{2}{1+\tan x}\right) d x$.
गुणधर्म $\log(\frac{a}{b}) = \log a - \log b$ का उपयोग करने पर:
$I = \int_0^{\pi / 4} \log 2 d x - \int_0^{\pi / 4} \log (1+\tan x) d x$.
$I = \int_0^{\pi / 4} \log 2 d x - I$.
$2I = \log 2 \int_0^{\pi / 4} d x = \log 2 [x]_0^{\pi / 4} = \frac{\pi}{4} \log 2$.
अतः,$I = \frac{\pi}{8} \log 2$.

(D) हमें समाकलन $I = \int_1^4 (|x-1|+|x-2|+|x-3|) dx$ का मान ज्ञात करना है।
चूंकि मापांक फलन $x=1, 2, 3$ पर अपना व्यवहार बदलते हैं,इसलिए हम समाकलन को तीन अंतरालों में विभाजित करते हैं:
$I = \int_1^2 ((x-1) + (2-x) + (3-x)) dx + \int_2^3 ((x-1) + (x-2) + (3-x)) dx + \int_3^4 ((x-1) + (x-2) + (x-3)) dx$
समाकल्यों को सरल करने पर:
$I = \int_1^2 (4-x) dx + \int_2^3 x dx + \int_3^4 (3x-6) dx$
अब,प्रत्येक भाग का समाकलन करने पर:
$\int_1^2 (4-x) dx = [4x - \frac{x^2}{2}]_1^2 = (8-2) - (4-0.5) = 6 - 3.5 = 2.5$
$\int_2^3 x dx = [\frac{x^2}{2}]_2^3 = \frac{9}{2} - \frac{4}{2} = 4.5 - 2 = 2.5$
$\int_3^4 (3x-6) dx = [\frac{3x^2}{2} - 6x]_3^4 = (24-24) - (13.5-18) = 0 - (-4.5) = 4.5$
इन मानों को जोड़ने पर: $I = 2.5 + 2.5 + 4.5 = 9.5 = \frac{19}{2}$.