MHT CET 2021 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(C) આપેલ છે $\frac{\sin A}{\sin C} = \frac{\sin (A-B)}{\sin (B-C)}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા: $\sin A \sin (B-C) = \sin C \sin (A-B)$.
$\sin(x-y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\sin A (\sin B \cos C - \cos B \sin C) = \sin C (\sin A \cos B - \cos A \sin B)$.
$\sin A \sin B \cos C - \sin A \cos B \sin C = \sin C \sin A \cos B - \sin C \cos A \sin B$.
પદોને ગોઠવતા: $\sin A \sin B \cos C + \sin C \cos A \sin B = 2 \sin A \cos B \sin C$.
$\sin B (\sin A \cos C + \cos A \sin C) = 2 \sin A \cos B \sin C$.
$\sin A \cos C + \cos A \sin C = \sin(A+C) = \sin(\pi - B) = \sin B$ હોવાથી:
$\sin^2 B = 2 \sin A \sin C \cos B$.
કોસાઇન નિયમ $\cos B = \frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$ અને સાઈન નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{b^2}{ac} = 2 \left( \frac{a^2+c^2-b^2}{2ac} \right) = \frac{a^2+c^2-b^2}{ac}$.
$b^2 = a^2+c^2-b^2 \Rightarrow 2b^2 = a^2+c^2$.
તેથી,$a^2, b^2, c^2$ એ $AP$ માં છે.

(A) નિત્યસમ $\cos 2\theta = 1 - 2\sin^2\theta$ નો ઉપયોગ કરતા,પદાવલિ નીચે મુજબ બને છે:
$\frac{1 - 2\sin^2 A}{a^2} - \frac{1 - 2\sin^2 B}{b^2} = \left(\frac{1}{a^2} - \frac{1}{b^2}\right) - 2\left(\frac{\sin^2 A}{a^2} - \frac{\sin^2 B}{b^2}\right)$
સાઇનના નિયમ મુજબ,$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = k$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{\sin A}{a} = \frac{\sin B}{b} = \frac{1}{k}$.
તેથી,$\frac{\sin^2 A}{a^2} = \frac{\sin^2 B}{b^2} = \frac{1}{k^2}$.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા:
$\left(\frac{1}{a^2} - \frac{1}{b^2}\right) - 2\left(\frac{1}{k^2} - \frac{1}{k^2}\right) = \frac{1}{a^2} - \frac{1}{b^2}$
$a=2$ અને $b=3$ આપેલ છે:
$\frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} = \frac{1}{4} - \frac{1}{9} = \frac{9-4}{36} = \frac{5}{36}$

(A) કોસાઇનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$\cos B = \frac{c^2 + a^2 - b^2}{2ac}$ અને $\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$c(a \cos B - b \cos A) = c \left( a \left( \frac{c^2 + a^2 - b^2}{2ac} \right) - b \left( \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} \right) \right)$
$= c \left( \frac{c^2 + a^2 - b^2}{2c} - \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2c} \right)$
$= \frac{c^2 + a^2 - b^2 - b^2 - c^2 + a^2}{2}$
$= \frac{2a^2 - 2b^2}{2} = a^2 - b^2$

(A) કોસાઇન નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\cos A = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$,$\cos B = \frac{c^2+a^2-b^2}{2ca}$,અને $\cos C = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$.
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$\frac{\cos A}{a}+\frac{\cos B}{b}+\frac{\cos C}{c} = \frac{b^2+c^2-a^2}{2abc} + \frac{c^2+a^2-b^2}{2abc} + \frac{a^2+b^2-c^2}{2abc}$
$= \frac{b^2+c^2-a^2+c^2+a^2-b^2+a^2+b^2-c^2}{2abc}$
$= \frac{a^2+b^2+c^2}{2abc}$
અહીં $a=2, b=3, c=5$ આપેલ છે,તેથી $\frac{2^2+3^2+5^2}{2(2)(3)(5)} = \frac{4+9+25}{60} = \frac{38}{60} = \frac{19}{30}$.

(D) આપેલ છે: $\text{Area} = 10\sqrt{3} \text{ cm}^2$,$\angle B = 60^{\circ}$,અને $a+b+c = 20 \text{ cm}$.
ક્ષેત્રફળના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\text{Area} = \frac{1}{2}ac \sin B$.
$10\sqrt{3} = \frac{1}{2}ac \sin 60^{\circ} \Rightarrow 10\sqrt{3} = \frac{1}{2}ac \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$.
$10\sqrt{3} = \frac{ac\sqrt{3}}{4} \Rightarrow ac = 40$.
કોસાઇનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos B$.
$b^2 = (a+c)^2 - 2ac - 2ac \cos 60^{\circ}$.
$a+c = 20-b$ હોવાથી,$b^2 = (20-b)^2 - 2(40) - 2(40)(0.5)$.
$b^2 = 400 + b^2 - 40b - 80 - 40$.
$0 = 280 - 40b$.
$40b = 280 \Rightarrow b = 7 \text{ cm}$.
આમ,$\ell(AC) = b = 7 \text{ cm}$.

(D) ગણ $A$ થી ગણ $B$ પરનો સંબંધ $f$ વિધેય ત્યારે જ કહેવાય જો $A$ ના દરેક ઘટકનું $B$ માં અનન્ય પ્રતિબિંબ હોય.
$R_1$ માટે: $A$ ના દરેક ઘટકનું $B$ માં એક જ પ્રતિબિંબ છે. તેથી,$R_1$ વિધેય છે.
$R_2$ માટે: $A$ ના દરેક ઘટકનું $B$ માં એક જ પ્રતિબિંબ છે. તેથી,$R_2$ વિધેય છે.
$R_3$ માટે: $A$ ના દરેક ઘટકનું $B$ માં એક જ પ્રતિબિંબ છે. તેથી,$R_3$ વિધેય છે.
$R_4$ માટે: ઘટક $a \in A$ બે અલગ અલગ કિંમતો $1$ અને $2$ સાથે જોડાયેલ છે (એટલે કે $(a, 1) \in R_4$ અને $(a, 2) \in R_4$).
એક ઘટકને બે અલગ પ્રતિબિંબ ન હોઈ શકે,તેથી $R_4$ વિધેય નથી.
તેથી,માત્ર $R_4$ વિધેય નથી.

(A) આપેલ સંખ્યાઓનો મધ્યક $\overline{x} = \frac{2+3+11+x}{4} = \frac{16+x}{4}$ છે.
વિચરણનું સૂત્ર $\sigma^2 = \frac{1}{n} \sum (x_i - \overline{x})^2$ છે.
$\frac{49}{4} = \frac{1}{4} [(\frac{16+x}{4} - 2)^2 + (\frac{16+x}{4} - 3)^2 + (\frac{16+x}{4} - 11)^2 + (\frac{16+x}{4} - x)^2]$.
$49 = (\frac{8+x}{4})^2 + (\frac{4+x}{4})^2 + (\frac{x-28}{4})^2 + (\frac{16-3x}{4})^2$.
$49 \times 16 = (64 + x^2 + 16x) + (16 + x^2 + 8x) + (x^2 - 56x + 784) + (256 - 96x + 9x^2)$.
$784 = 12x^2 - 128x + 1120$.
$12x^2 - 128x + 336 = 0$.
$4$ વડે ભાગતા,$3x^2 - 32x + 84 = 0$ મળે.
દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા,$x = \frac{32 \pm \sqrt{1024 - 1008}}{6} = \frac{32 \pm 4}{6}$ મળે.
તેથી,$x = \frac{36}{6} = 6$ અથવા $x = \frac{28}{6} = \frac{14}{3}$.

(C) આપેલ છે: $n_1 = 5, \sigma_1^2 = 4, \overline{x}_1 = 2$ અને $n_2 = 5, \sigma_2^2 = 5, \overline{x}_2 = 4$.
સંયુક્ત મધ્યક $\overline{x}_c = \frac{n_1\overline{x}_1 + n_2\overline{x}_2}{n_1 + n_2} = \frac{5(2) + 5(4)}{5 + 5} = \frac{30}{10} = 3$.
વિચલન ગણતરી: $d_1 = \overline{x}_1 - \overline{x}_c = 2 - 3 = -1$ અને $d_2 = \overline{x}_2 - \overline{x}_c = 4 - 3 = 1$.
સંયુક્ત વિચરણ $\sigma^2 = \frac{n_1(\sigma_1^2 + d_1^2) + n_2(\sigma_2^2 + d_2^2)}{n_1 + n_2}$.
કિંમતો મૂકતા: $\sigma^2 = \frac{5(4 + (-1)^2) + 5(5 + 1^2)}{5 + 5} = \frac{5(5) + 5(6)}{10} = \frac{25 + 30}{10} = \frac{55}{10} = \frac{11}{2}$.

(C) ધારો કે પાંચ અવલોકનો $1, 2, 6, a,$ અને $b$ છે.
આપેલ છે કે મધ્યક $\bar{x} = 4$ અને $n = 5$.
$\bar{x} = \frac{1 + 2 + 6 + a + b}{5} = 4$
$9 + a + b = 20 \implies a + b = 11 \implies b = 11 - a$ ... $(1)$
આપેલ છે કે વિચરણ $\sigma^2 = 5.2$.
$\sigma^2 = \frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n} = 5.2$
$\frac{(1-4)^2 + (2-4)^2 + (6-4)^2 + (a-4)^2 + (b-4)^2}{5} = 5.2$
$(-3)^2 + (-2)^2 + (2)^2 + (a-4)^2 + (b-4)^2 = 26$
$9 + 4 + 4 + (a-4)^2 + (b-4)^2 = 26$
$17 + (a-4)^2 + (b-4)^2 = 26$
$(a-4)^2 + (b-4)^2 = 9$ ... $(2)$
સમીકરણ $(2)$ માં $b = 11 - a$ મૂકતા:
$(a-4)^2 + (11 - a - 4)^2 = 9$
$(a-4)^2 + (7 - a)^2 = 9$
$(a^2 - 8a + 16) + (49 - 14a + a^2) = 9$
$2a^2 - 22a + 65 = 9$
$2a^2 - 22a + 56 = 0$
$a^2 - 11a + 28 = 0$
$(a-4)(a-7) = 0$
તેથી,$a = 4$ અથવા $a = 7$.
જો $a = 4$ હોય,તો $b = 11 - 4 = 7$.
જો $a = 7$ હોય,તો $b = 11 - 7 = 4$.
આમ,બાકીના બે અવલોકનો $4$ અને $7$ છે.

(A) ધારો કે મૂળ માહિતી $X = \{2, 4, 5, 6, 8, 17\}$ છે.
$X$ નું વિચરણ $Var(X) = 23.33$ આપેલ છે.
નવી માહિતી $Y = \{4, 8, 10, 12, 16, 34\}$ એ $X$ ના દરેક ઘટકને $2$ વડે ગુણીને મેળવવામાં આવે છે,એટલે કે $Y = 2X$.
આપણે જાણીએ છીએ કે જો $Y = aX$ હોય,તો $Var(Y) = a^2 \times Var(X)$ થાય.
અહીં,$a = 2$ છે.
તેથી,$Var(Y) = (2)^2 \times 23.33 = 4 \times 23.33 = 93.32$.

(B) કયા વિભાગમાં વધુ એકરૂપતા છે તે નક્કી કરવા માટે,આપણે દરેક વિભાગ માટે વિચલનાંક ($C$.$V$.) ની ગણતરી કરીએ છીએ. $C$.$V$. નું સૂત્ર $\text{C.V.} = \frac{\text{Standard Deviation}}{\text{Mean}} \times 100$ છે. ઓછો $C$.$V$. વધુ એકરૂપતા સૂચવે છે.\\
વિભાગ $A$ માટે: $\text{C.V.}_A = \frac{12}{80} = 0.15$ અથવા $15\%$.\\
વિભાગ $B$ માટે: $\text{C.V.}_B = \frac{6}{75} = 0.08$ અથવા $8\%$.\\
વિભાગ $C$ માટે: $\text{C.V.}_C = \frac{8}{70} \approx 0.114$ અથવા $11.4\%$.\\
વિભાગ $D$ માટે: $\text{C.V.}_D = \frac{10}{72} \approx 0.139$ અથવા $13.9\%$.\\
વિભાગ $B$ માટે $C$.$V$. સૌથી ઓછો હોવાથી,તેમાં સૌથી વધુ એકરૂપતા છે.

(D) આપેલ છે કે $n = 16$ અને $\Sigma x_i = 528$. \\ મધ્યક $\overline{x} = \frac{\Sigma x_i}{n} = \frac{528}{16} = 33$. \\ મધ્યક $33$ થી વિચલનોના વર્ગોનો સરવાળો $\Sigma(x_i - 33)^2 = 9158$ છે. \\ વિચરણ $\sigma^2 = \frac{1}{n} \Sigma(x_i - \overline{x})^2$. \\ તેથી,$\sigma^2 = \frac{9158}{16} = 572.375$.

(D) વિચલન ગુણાંકનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\text{વિચલન ગુણાંક} = \frac{\text{પ્રમાણિત વિચલન}}{\text{મધ્યક}} \times 100$
અહીં,$\text{પ્રમાણિત વિચલન} = 12$ અને $\text{મધ્યક} = 72$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\text{વિચલન ગુણાંક} = \frac{12}{72} \times 100 \% = \frac{1}{6} \times 100 \% = 16.67 \%$

(A) આપેલ છે: $n = 50$,$\Sigma x_i^2 = 3050$,અને $\bar{x} = 6$.
પ્રમાણિત વિચલન ($S$.$D$.) નું સૂત્ર $\sigma = \sqrt{\frac{1}{n} \Sigma x_i^2 - (\bar{x})^2}$ છે.
આપેલી કિંમતો મૂકતા:
$\sigma = \sqrt{\frac{3050}{50} - (6)^2}$
$\sigma = \sqrt{61 - 36}$
$\sigma = \sqrt{25}$
$\sigma = 5$.
આમ,પ્રમાણિત વિચલન $5$ છે.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે વિચલન ગુણાંક ($C$.$V$.) નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$C.V. = \frac{\text{પ્રમાણિત વિચલન}}{\text{મધ્યક}} \times 100$
દરેક વિષય માટે $C$.$V$. ની ગણતરી:
$1. (C.V.)_{\text{ભૌતિકવિજ્ઞાન}} = \frac{3}{20} = 0.15$
$2. (C.V.)_{\text{રસાયણવિજ્ઞાન}} = \frac{2}{25} = 0.08$
$3. (C.V.)_{\text{ગણિત}} = \frac{4}{23} \approx 0.174$
$4. (C.V.)_{\text{જીવવિજ્ઞાન}} = \frac{5}{27} \approx 0.185$
કિંમતોની સરખામણી કરતા,જીવવિજ્ઞાનમાં સૌથી વધુ પરિવર્તનશીલતા જોવા મળે છે કારણ કે તેનો વિચલન ગુણાંક સૌથી વધુ $(0.185)$ છે.

(A) પ્રથમ $10$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ $1, 2, 3, \ldots, 10$ છે.
દરેકમાં $1$ ઉમેરતા,નવી સંખ્યાઓ $2, 3, 4, \ldots, 11$ મળે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે જો દરેક પદમાં અચળ સંખ્યા ઉમેરવામાં આવે તો વિચરણ બદલાતું નથી.
પ્રથમ $n$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનું વિચરણ $\sigma^2 = \frac{n^2 - 1}{12}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં,$n = 10$ છે.
$\sigma^2 = \frac{10^2 - 1}{12} = \frac{100 - 1}{12} = \frac{99}{12} = 8.25$.

(D) ધ્રુવીય યામ $(r, \theta)$ અને કાર્તેઝિયન યામ $(x, y)$ વચ્ચેનો સંબંધ $x = r \cos \theta$ અને $y = r \sin \theta$ છે.
અહીં $r = \sqrt{2}$ અને $\theta = \frac{\pi}{4}$ આપેલ છે.
$x = \sqrt{2} \cos \left(\frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2} \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 1$.
$y = \sqrt{2} \sin \left(\frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2} \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 1$.
તેથી,કાર્તેઝિયન યામ $(1, 1)$ છે.

(D) ત્રિકોણના મધ્યકેન્દ્ર $G(x, y, z)$ નું સૂત્ર $(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}, \frac{z_1+z_2+z_3}{3})$ છે.
આપેલ છે કે $G(4, 3, 3)$,$A(a, 3, 1)$,$B(4, 5, b)$ અને $C(6, c, 5)$ છે.
$\frac{a+4+6}{3} = 4$ $\Rightarrow a+10 = 12$ $\Rightarrow a = 2$.
$\frac{3+5+c}{3} = 3$ $\Rightarrow 8+c = 9$ $\Rightarrow c = 1$.
$\frac{1+b+5}{3} = 3$ $\Rightarrow 6+b = 9$ $\Rightarrow b = 3$.
આમ,$a=2, b=3, c=1$.

(A) ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $(x_1, y_1, z_1)$,$(x_2, y_2, z_2)$,અને $(x_3, y_3, z_3)$ માટે મધ્યકેન્દ્ર $G$ એ $(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}, \frac{z_1+z_2+z_3}{3})$ દ્વારા મળે છે.
આપેલ છે કે $A(7, -8, 1)$,$B(p, q, 5)$,$C(q+1, 5p, 0)$,અને $G(3, -5, r)$.
યામોને સરખાવતા:
$3 = \frac{7 + p + q + 1}{3} \implies 9 = 8 + p + q \implies p + q = 1 \quad (1)$
$-5 = \frac{-8 + q + 5p}{3} \implies -15 = -8 + q + 5p \implies 5p + q = -7 \quad (2)$
$r = \frac{1 + 5 + 0}{3} = \frac{6}{3} = 2$
સમીકરણ $(2)$ માંથી $(1)$ બાદ કરતા:
$(5p + q) - (p + q) = -7 - 1$
$4p = -8 \implies p = -2$
$p = -2$ ને $(1)$ માં મુકતા:
$-2 + q = 1 \implies q = 3$
આમ,$p = -2, q = 3, r = 2$.

(A) ધ્રુવીય યામ $(r, \theta)$ અને કાર્તેઝિયન યામ $(x, y)$ વચ્ચેનો સંબંધ $x = r \cos \theta$ અને $y = r \sin \theta$ છે.
અહીં $r = 2$ અને $\theta = \frac{\pi}{4}$ આપેલ છે.
$x = 2 \cos \left(\frac{\pi}{4}\right) = 2 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$.
$y = 2 \sin \left(\frac{\pi}{4}\right) = 2 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$.
તેથી,કાર્તેઝિયન યામ $(\sqrt{2}, \sqrt{2})$ છે.

(B) રેખા $L$ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થાય છે અને $Y$-અક્ષની ધન દિશા સાથે ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશામાં $30^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે.
આનો અર્થ એ છે કે રેખા $X$-અક્ષની ધન દિશા સાથે $90^{\circ} + 30^{\circ} = 120^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે.
રેખાનો ઢાળ $m = \tan(\theta)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,$m = \tan(120^{\circ}) = \tan(180^{\circ} - 60^{\circ}) = -\tan(60^{\circ}) = -\sqrt{3}$.

(B) બિંદુઓ $(x_1, y_1) = \left(-\frac{1}{2}, 1\right)$ અને $(x_2, y_2) = (1, 3)$ માંથી પસાર થતી રેખાનો ઢાળ $m$ નીચે મુજબ છે:
$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{3 - 1}{1 - (-1/2)} = \frac{2}{3/2} = \frac{4}{3}$
બિંદુ $(1, 3)$ નો ઉપયોગ કરીને રેખાનું સમીકરણ $y - y_1 = m(x - x_1)$ મુજબ:
$y - 3 = \frac{4}{3}(x - 1)$
$3y - 9 = 4x - 4$
$4x - 3y + 5 = 0$
$x$-અંતઃખંડ શોધવા માટે,$y = 0$ લેતા:
$4x - 3(0) + 5 = 0$
$4x = -5$
$x = -\frac{5}{4}$
આમ,$x$-અંતઃખંડ $-\frac{5}{4}$ છે.

(C) રેખાનો ઢાળ $m = \tan(90^\circ + \alpha) = -\cot \alpha = -\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$ છે.
બિંદુ-ઢાળ સ્વરૂપ $(y - y_1) = m(x - x_1)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(y - p \sin \alpha) = -\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}(x - p \cos \alpha)$
$y \sin \alpha - p \sin^2 \alpha = -x \cos \alpha + p \cos^2 \alpha$
$x \cos \alpha + y \sin \alpha = p(\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha)$
કારણ કે $\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1$,તેથી સમીકરણ $x \cos \alpha + y \sin \alpha = p$ મળે છે.

(D) અક્ષો પર $a$ અને $b$ અંતઃખંડો ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ છે,જેને $bx + ay - ab = 0$ તરીકે લખી શકાય.
ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ થી આ રેખા પરના લંબની લંબાઈ $p$ એ સૂત્ર $p = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે $p = \frac{|b(0) + a(0) - ab|}{\sqrt{b^2 + a^2}} = \frac{|-ab|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને મળે $p^2 = \frac{a^2 b^2}{a^2 + b^2}$.
વ્યસ્ત લેતા,આપણને મળે $\frac{1}{p^2} = \frac{a^2 + b^2}{a^2 b^2} = \frac{a^2}{a^2 b^2} + \frac{b^2}{a^2 b^2} = \frac{1}{b^2} + \frac{1}{a^2}$.
આમ,$\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} = \frac{1}{p^2}$.

(D) રેખાના સમીકરણનું અભિલંબ સ્વરૂપ $x \cos \alpha + y \sin \alpha = p$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $p$ એ ઉગમબિંદુથી રેખા પરના લંબની લંબાઈ છે અને $\alpha$ એ લંબ દ્વારા $X$-અક્ષની ધન દિશા સાથે બનાવેલો ખૂણો છે.
અહીં $p = 4$ અને $\alpha = 30^{\circ}$ આપેલ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$x \cos 30^{\circ} + y \sin 30^{\circ} = 4$
$x \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + y \left(\frac{1}{2}\right) = 4$
બંને બાજુ $2$ વડે ગુણતા,આપણને મળે છે:
$\sqrt{3} x + y = 8$

(A) રેખાનો ઢાળ $m = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ છે.
રેખા $y$-અક્ષની ઋણ દિશામાં $2 \sqrt{2}$ એકમનો અંતઃખંડ બનાવે છે,તેથી $y$-અંતઃખંડ $c = -2 \sqrt{2}$ થાય.
ઢાળ-અંતઃખંડ સ્વરૂપ $y = mx + c$ નો ઉપયોગ કરતા:
$y = -\frac{1}{\sqrt{2}}x - 2 \sqrt{2}$
આખા સમીકરણને $\sqrt{2}$ વડે ગુણતા:
$\sqrt{2}y = -x - 4$
પદોને ગોઠવતા,આપણને મળે છે:
$x + \sqrt{2}y + 4 = 0$.

(D) રેખાખંડ $AB$ નો ઢાળ $m_{AB} = \frac{-5-3}{6-(-2)} = \frac{-8}{8} = -1$ છે.
લંબદ્વિભાજક $AB$ ને લંબ હોવાથી,તેનો ઢાળ $m$ એ $m \times m_{AB} = -1$ નું પાલન કરે છે,તેથી $m = 1$.
$AB$ નું મધ્યબિંદુ $M = \left( \frac{-2+6}{2}, \frac{3-5}{2} \right) = (2, -1)$ છે.
$m=1$ ઢાળ ધરાવતી અને $(2, -1)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $y - y_1 = m(x - x_1)$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $y - (-1) = 1(x - 2)$,જેનું સાદું રૂપ $y + 1 = x - 2$ એટલે કે $x - y = 3$ થાય છે.

(A) આપેલ છે કે $\theta = 45^{\circ}$ અને $m_1 = \frac{1}{2}$.
બે રેખાઓ વચ્ચેના ખૂણા માટેનું સૂત્ર:
$\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right|$
$\tan 45^{\circ} = \left| \frac{\frac{1}{2} - m_2}{1 + \frac{1}{2} m_2} \right|$
$1 = \left| \frac{1 - 2m_2}{2 + m_2} \right|$
આથી $\frac{1 - 2m_2}{2 + m_2} = 1$ અથવા $\frac{1 - 2m_2}{2 + m_2} = -1$.
કિસ્સો $1$: $1 - 2m_2 = 2 + m_2$ $\Rightarrow -3m_2 = 1$ $\Rightarrow m_2 = -\frac{1}{3}$.
કિસ્સો $2$: $1 - 2m_2 = -(2 + m_2)$ $\Rightarrow 1 - 2m_2 = -2 - m_2$ $\Rightarrow m_2 = 3$.
તેથી,બીજી રેખાનો ઢાળ $3$ અથવા $-\frac{1}{3}$ છે.

(B) રેખા $AB$ નો ઢાળ $m = \frac{1-0}{3-2} = 1$ છે.
$m = \tan \theta = 1$ હોવાથી,રેખાનો ખૂણો $\theta = 45^{\circ}$ છે.
જ્યારે રેખાને બિંદુ $A$ ની આસપાસ ઘડિયાળની વિરુદ્ધ દિશામાં $15^{\circ}$ ફેરવવામાં આવે,ત્યારે નવો ખૂણો $\theta' = 45^{\circ} + 15^{\circ} = 60^{\circ}$ થાય છે.
નવી રેખાનો ઢાળ $m' = \tan 60^{\circ} = \sqrt{3}$ છે.
રેખા બિંદુ $A(2,0)$ માંથી પસાર થતી હોવાથી,રેખાનું સમીકરણ $(y - 0) = \sqrt{3}(x - 2)$ થશે.
આથી,$y = \sqrt{3}x - 2\sqrt{3}$ મળે છે.

(C) બે સમાંતર રેખાઓ $ax + by + c_1 = 0$ અને $ax + by + c_2 = 0$ વચ્ચેનું અંતર શોધવા માટે, આપણે પહેલા સમીકરણોને $x$ અને $y$ ના સમાન સહગુણકો સાથે લખીએ છીએ.
પ્રથમ સમીકરણ $3x + 4y = 9$ ને $2$ વડે ગુણતા $6x + 8y = 18$ મળે છે.
હવે રેખાઓ $6x + 8y - 18 = 0$ અને $6x + 8y - 15 = 0$ છે.
અંતર $d$ નું સૂત્ર $d = \frac{|c_1 - c_2|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $d = \frac{|-18 - (-15)|}{\sqrt{6^2 + 8^2}} = \frac{|-3|}{\sqrt{36 + 64}} = \frac{3}{\sqrt{100}} = \frac{3}{10} = 0.3 \text{ એકમ}$.

(D) દડાઓની કુલ સંખ્યા = $3 + 4 + 2 = 9$.
$9$ માંથી $3$ દડા પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા $^9C_3 = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 84$ છે.
આપણે $3$ અલગ-અલગ રંગના દડા પસંદ કરવા માંગીએ છીએ,જેનો અર્થ છે કે $1$ લાલ,$1$ વાદળી અને $1$ લીલો દડો.
$1$ લાલ,$1$ વાદળી અને $1$ લીલો દડો પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા $^3C_1 \times ^4C_1 \times ^2C_1 = 3 \times 4 \times 2 = 24$ છે.
માટે,જરૂરી સંભાવના $\frac{24}{84} = \frac{2}{7}$ છે.

(D) આપેલ છે કે $2 \cos \theta = x + \frac{1}{x}$,જેનો અર્થ છે કે $\cos \theta = \frac{1}{2} \left(x + \frac{1}{x}\right)$.
ત્રિ-કોણ નિત્યસમ $\cos 3 \theta = 4 \cos^3 \theta - 3 \cos \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2 \cos 3 \theta = 2 [4 \cos^3 \theta - 3 \cos \theta] = 8 \cos^3 \theta - 6 \cos \theta$.
$\cos \theta = \frac{1}{2} \left(x + \frac{1}{x}\right)$ કિંમત મૂકતા:
$2 \cos 3 \theta = 8 \left[ \frac{1}{2} \left(x + \frac{1}{x}\right) \right]^3 - 6 \left[ \frac{1}{2} \left(x + \frac{1}{x}\right) \right]$
$= 8 \left[ \frac{1}{8} \left(x^3 + \frac{1}{x^3} + 3(x + \frac{1}{x}) \right) \right] - 3 \left(x + \frac{1}{x}\right)$
$= \left(x^3 + \frac{1}{x^3} + 3(x + \frac{1}{x}) \right) - 3 \left(x + \frac{1}{x}\right)$
$= x^3 + \frac{1}{x^3}$.

(B) આપેલ છે કે $a \sin \theta = b \cos \theta$,તેથી $\tan \theta = \frac{b}{a}$.
આપણે $a \cos 2 \theta + b \sin 2 \theta$ ની કિંમત શોધવાની છે.
$\tan \theta$ ના પદોમાં સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા:
$a \cos 2 \theta + b \sin 2 \theta = a \left( \frac{1 - \tan^2 \theta}{1 + \tan^2 \theta} \right) + b \left( \frac{2 \tan \theta}{1 + \tan^2 \theta} \right)$
$\tan \theta = \frac{b}{a}$ મૂકતા:
$= a \left( \frac{1 - \frac{b^2}{a^2}}{1 + \frac{b^2}{a^2}} \right) + b \left( \frac{2 \left( \frac{b}{a} \right)}{1 + \frac{b^2}{a^2}} \right)$
$= a \left( \frac{a^2 - b^2}{a^2 + b^2} \right) + b \left( \frac{2b}{a} \cdot \frac{a^2}{a^2 + b^2} \right)$
$= \frac{a(a^2 - b^2)}{a^2 + b^2} + \frac{2ab^2}{a^2 + b^2}$
$= \frac{a^3 - ab^2 + 2ab^2}{a^2 + b^2} = \frac{a^3 + ab^2}{a^2 + b^2}$
$= \frac{a(a^2 + b^2)}{a^2 + b^2} = a$.

(B) આપેલ છે કે $3 \sin \theta = 2 \sin 3 \theta$.
નિત્યસમ $\sin 3 \theta = 3 \sin \theta - 4 \sin^3 \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$3 \sin \theta = 2(3 \sin \theta - 4 \sin^3 \theta)$
$3 \sin \theta = 6 \sin \theta - 8 \sin^3 \theta$
$8 \sin^3 \theta - 3 \sin \theta = 0$
$\sin \theta (8 \sin^2 \theta - 3) = 0$
આથી $\sin \theta = 0$ અથવા $\sin^2 \theta = \frac{3}{8}$ મળે.
$0 < \theta < \pi$ હોવાથી,$\sin \theta$ ધન અને શૂન્યતર હોવું જોઈએ.
તેથી,$\sin \theta = \sqrt{\frac{3}{8}} = \frac{\sqrt{3}}{2 \sqrt{2}}$.

(A) આપેલ સમીકરણ $\sin x \cos x = \frac{1}{4}$ છે.
બંને બાજુ $2$ વડે ગુણતા: $2 \sin x \cos x = 2 \times \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$.
નિત્યસમ $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ નો ઉપયોગ કરતા,$\sin 2x = \frac{1}{2}$ મળે.
$\sin 2x = \sin \frac{\pi}{6}$ હોવાથી,$2x$ માટેનો વ્યાપક ઉકેલ $2x = n\pi + (-1)^n \frac{\pi}{6}$ છે.
$n=0$ માટે,$2x = \frac{\pi}{6} \implies x = \frac{\pi}{12}$.
$n=1$ માટે,$2x = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6} \implies x = \frac{5\pi}{12}$.
બંને કિંમતો $x = \frac{\pi}{12}$ અને $x = \frac{5\pi}{12}$ એ અંતરાલ $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ માં આવેલી છે.

(B) આપેલ છે કે $\sec x = \frac{25}{24}$,તેથી $\cos x = \frac{24}{25}$.
$x$ પ્રથમ ચરણમાં હોવાથી,$\sin x = \sqrt{1 - (\frac{24}{25})^2} = \frac{7}{25}$.
હવે,$(\sin \frac{x}{2} + \cos \frac{x}{2})^2 = 1 + \sin x = 1 + \frac{7}{25} = \frac{32}{25}$.
પ્રથમ ચરણમાં $\sin \frac{x}{2} + \cos \frac{x}{2}$ ધન હોવાથી,$\sin \frac{x}{2} + \cos \frac{x}{2} = \sqrt{\frac{32}{25}} = \frac{4 \sqrt{2}}{5} = \frac{8}{5 \sqrt{2}}$.

(B) આપેલ સમીકરણ: $\sqrt{3} \sec x + 2 = 0$
$\sec x = -\frac{2}{\sqrt{3}}$
$\cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\cos x$ બીજા અને ત્રીજા ચરણમાં ઋણ હોવાથી,આપણે $[0, 2\pi)$ અંતરાલમાં મુખ્ય ઉકેલો મેળવીએ છીએ.
$\cos x = -\cos(\frac{\pi}{6}) = \cos(\pi - \frac{\pi}{6}) = \cos(\frac{5\pi}{6})$
$\cos x = \cos(\pi + \frac{\pi}{6}) = \cos(\frac{7\pi}{6})$
આમ,મુખ્ય ઉકેલો $x = \frac{5\pi}{6}$ અને $x = \frac{7\pi}{6}$ છે.

(D) આપેલ છે: $\frac{\cos (A+B)}{\cos (A-B)}=\frac{\sin (C+D)}{\sin (C-D)}$
યોગ-વિયોગની રીત (Componendo and Dividendo) વાપરતા:
$\frac{\cos (A+B) + \cos (A-B)}{\cos (A+B) - \cos (A-B)} = \frac{\sin (C+D) + \sin (C-D)}{\sin (C+D) - \sin (C-D)}$
નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{2 \cos A \cos B}{-2 \sin A \sin B} = \frac{2 \sin C \cos D}{2 \cos C \sin D}$
$-\cot A \cot B = \tan C \cot D$
$-\frac{1}{\tan A \tan B} = \frac{\tan C}{\tan D}$
તેથી,$\tan A \tan B \tan C = -\tan D$

(B) આપેલ છે: $2 \sin \left(\theta+\frac{\pi}{3}\right)=\cos \left(\theta-\frac{\pi}{6}\right)$
વિસ્તરણ સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા:
$2 \left[\sin \theta \cos \frac{\pi}{3} + \cos \theta \sin \frac{\pi}{3}\right] = \cos \theta \cos \frac{\pi}{6} + \sin \theta \sin \frac{\pi}{6}$
કિંમતો મૂકતા:
$2 \left(\frac{1}{2} \sin \theta + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos \theta\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cos \theta + \frac{1}{2} \sin \theta$
$\sin \theta + \sqrt{3} \cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{2} \cos \theta + \frac{1}{2} \sin \theta$
સાદું રૂપ આપતા:
$\frac{1}{2} \sin \theta + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos \theta = 0$
$\sin \theta = -\sqrt{3} \cos \theta$
તેથી,$\tan \theta = -\sqrt{3}$.

(A) આપેલ છે કે $\cot x = \sqrt{3}$.
$\cot x = \frac{1}{\tan x}$ હોવાથી,$\tan x = \frac{1}{\sqrt{3}}$ મળે.
$\tan x = \frac{1}{\sqrt{3}}$ માટે $x$ ના મુખ્ય મૂલ્યો $(0, 2\pi)$ અંતરાલમાં હોય છે.
પ્રથમ ચરણમાં,$x = \frac{\pi}{6}$ માટે $\tan x = \frac{1}{\sqrt{3}}$ થાય છે.
$\tan x$ ત્રીજા ચરણમાં ધન હોવાથી,બીજો ઉકેલ $x = \pi + \frac{\pi}{6} = \frac{7\pi}{6}$ મળે.
આમ,મુખ્ય ઉકેલો $\frac{\pi}{6}$ અને $\frac{7\pi}{6}$ છે.

(B) ધારો કે $A = 18^{\circ}$. તેથી $5A = 90^{\circ}$,જેનો અર્થ છે કે $2A = 90^{\circ} - 3A$.
બંને બાજુ સાઈન લેતા,$\sin 2A = \sin(90^{\circ} - 3A) = \cos 3A$.
ડબલ એંગલ અને ટ્રિપલ એંગલના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા:
$2 \sin A \cos A = 4 \cos^3 A - 3 \cos A$.
$\cos 18^{\circ} \neq 0$ હોવાથી,આપણે $\cos A$ વડે ભાગી શકીએ:
$2 \sin A = 4 \cos^2 A - 3$.
$\cos^2 A = 1 - \sin^2 A$ મૂકતા:
$2 \sin A = 4(1 - \sin^2 A) - 3$.
$2 \sin A = 4 - 4 \sin^2 A - 3$.
$4 \sin^2 A + 2 \sin A - 1 = 0$.
$\sin A$ માટે દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\sin A = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(4)(-1)}}{2(4)} = \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{8} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}}{8} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{4}$.
$18^{\circ}$ પ્રથમ ચરણમાં હોવાથી,$\sin 18^{\circ} > 0$.
તેથી,$\sin 18^{\circ} = \frac{\sqrt{5}-1}{4}$.

(A) આપેલ સમીકરણ: $\cos 2 \theta = \sin \theta$
નિત્યસમ $\cos 2 \theta = 1 - 2 \sin^2 \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$1 - 2 \sin^2 \theta = \sin \theta$
$2 \sin^2 \theta + \sin \theta - 1 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$(2 \sin \theta - 1)(\sin \theta + 1) = 0$
તેથી $\sin \theta = \frac{1}{2}$ અથવા $\sin \theta = -1$ મળે.
$(0, 2 \pi)$ માં $\sin \theta = \frac{1}{2}$ માટે,$\theta = \frac{\pi}{6}$ અને $\theta = \frac{5 \pi}{6}$ મળે.
$(0, 2 \pi)$ માં $\sin \theta = -1$ માટે,$\theta = \frac{3 \pi}{2}$ મળે.
આમ,ઉકેલો $\frac{\pi}{6}, \frac{5 \pi}{6}, \frac{3 \pi}{2}$ છે.
કુલ ઉકેલોની સંખ્યા $3$ છે.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $3A = 2A + A$.
બંને બાજુ ટેન્જન્ટ લેતા:
$\tan 3A = \tan(2A + A) = \frac{\tan 2A + \tan A}{1 - \tan 2A \tan A}$.
ગુણાકાર કરતા:
$\tan 3A(1 - \tan 2A \tan A) = \tan 2A + \tan A$.
$\tan 3A - \tan 3A \tan 2A \tan A = \tan 2A + \tan A$.
પદોને ગોઠવતા:
$\tan 3A \tan 2A \tan A = \tan 3A - \tan 2A - \tan A$.

(C) આપેલ છે કે $\tan \theta = k \tan \phi$ અને $\theta + \phi = \alpha$.
$\frac{\tan \theta}{\tan \phi} = \frac{k}{1}$
યોગ-વિયોગ (Componendo and Dividendo) નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{\tan \theta + \tan \phi}{\tan \theta - \tan \phi} = \frac{k+1}{k-1}$
sin અને cos માં રૂપાંતર કરતા:
$\frac{\frac{\sin \theta}{\cos \theta} + \frac{\sin \phi}{\cos \phi}}{\frac{\sin \theta}{\cos \theta} - \frac{\sin \phi}{\cos \phi}} = \frac{k+1}{k-1}$
$\frac{\sin \theta \cos \phi + \cos \theta \sin \phi}{\sin \theta \cos \phi - \cos \theta \sin \phi} = \frac{k+1}{k-1}$
નિત્યસમ $\sin(A \pm B) = \sin A \cos B \pm \cos A \sin B$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{\sin(\theta + \phi)}{\sin(\theta - \phi)} = \frac{k+1}{k-1}$
$\theta + \phi = \alpha$ મૂકતા:
$\frac{\sin \alpha}{\sin(\theta - \phi)} = \frac{k+1}{k-1}$
તેથી,$\sin(\theta - \phi) = \left(\frac{k-1}{k+1}\right) \sin \alpha$.

(B) આપેલ છે કે $a^2, b^2, c^2$ એ $A$.$P$. માં છે,તેથી $2b^2 = a^2 + c^2$.
નિત્યસમ $\sin 3B = 3\sin B - 4\sin^3 B$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\frac{\sin 3B}{\sin B} = 3 - 4\sin^2 B$ મળે છે.
$\sin^2 B = 1 - \cos^2 B$ મૂકતા,આપણને $3 - 4(1 - \cos^2 B) = 4\cos^2 B - 1$ મળે છે.
કોસાઇન નિયમ $\cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}$ નો ઉપયોગ કરીને,$a^2 + c^2 = 2b^2$ મૂકતા:
$\cos B = \frac{2b^2 - b^2}{2ac} = \frac{b^2}{2ac}$.
તેથી,$4\cos^2 B - 1 = 4\left(\frac{b^2}{2ac}\right)^2 - 1 = \frac{4b^4}{4a^2c^2} - 1 = \frac{b^4 - a^2c^2}{a^2c^2}$.
કારણ કે $b^2 = \frac{a^2 + c^2}{2}$,તેથી $b^4 = \frac{(a^2 + c^2)^2}{4}$.
આ કિંમત મૂકતા: $\frac{\frac{(a^2 + c^2)^2}{4} - a^2c^2}{a^2c^2} = \frac{(a^2 + c^2)^2 - 4a^2c^2}{4a^2c^2} = \frac{(a^2 - c^2)^2}{4a^2c^2} = \left(\frac{a^2 - c^2}{2ac}\right)^2$.

(C) આપેલ છે કે $\sin (y+z-x), \sin (z+x-y)$ અને $\sin (x+y-z)$ સમાંતર શ્રેણીમાં છે.
$\therefore 2 \sin (z+x-y) = \sin (y+z-x) + \sin (x+y-z)$
સૂત્ર $\sin A + \sin B = 2 \sin \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2 \sin (z+x-y) = 2 \sin y \cos (z-x)$
આ શરતને સાદું રૂપ આપતા,આપણને મળે છે કે $\tan x, \tan y, \tan z$ સમાંતર શ્રેણીમાં છે.
તેથી,$2 \tan y = \tan x + \tan z$.

(B) આપણે નિત્યસમ $\cot \theta - \tan \theta = 2 \cot 2\theta$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ,જેનો અર્થ છે કે $\cot \theta = \tan \theta + 2 \cot 2\theta$.
તેને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $2 \cot 2\theta = \cot \theta - \tan \theta$ મળે છે.
હવે,પદાવલિ $E = \tan A + 2 \tan 2A + 4 \tan 4A + 8 \cot 8A$ ધ્યાનમાં લો.
$\tan \theta = \cot \theta - 2 \cot 2\theta$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરીને:
$\tan A = \cot A - 2 \cot 2A$
આને પદાવલિમાં મૂકતા:
$E = (\cot A - 2 \cot 2A) + 2 \tan 2A + 4 \tan 4A + 8 \cot 8A$
આ પદ્ધતિ જટિલ છે,તેથી ચાલો $\tan \theta = \cot \theta - 2 \cot 2\theta$ નો વારંવાર ઉપયોગ કરીને સ્ટેપ-બાય-સ્ટેપ સાદું રૂપ આપીએ:
$8 \cot 8A = 4 \cot 4A - 4 \tan 4A$
$E = \tan A + 2 \tan 2A + 4 \tan 4A + (4 \cot 4A - 4 \tan 4A) = \tan A + 2 \tan 2A + 4 \cot 4A$
હવે,$4 \cot 4A = 2 \cot 2A - 2 \tan 2A$
$E = \tan A + 2 \tan 2A + (2 \cot 2A - 2 \tan 2A) = \tan A + 2 \cot 2A$
છેલ્લે,$2 \cot 2A = \cot A - \tan A$
$E = \tan A + (\cot A - \tan A) = \cot A$.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ $(3xy+y^2) dx + (x^2+xy) dy = 0$ છે.
તેને ફરીથી ગોઠવતા,$\frac{dy}{dx} = -\frac{3xy+y^2}{x^2+xy}$ મળે.
આ એક સુરેખ સમઘાત વિકલ સમીકરણ છે. ધારો કે $y = vx$,તો $\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}$.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા: $v + x\frac{dv}{dx} = -\frac{3v x^2 + v^2 x^2}{x^2 + vx^2} = -\frac{3v+v^2}{1+v}$.
$x\frac{dv}{dx} = -\frac{3v+v^2}{1+v} - v = -\frac{3v+v^2+v+v^2}{1+v} = -\frac{2v^2+4v}{1+v}$.
ચલનું અલગીકરણ કરતા: $\int \frac{1+v}{2v^2+4v} dv = -\int \frac{1}{x} dx$.
બંને બાજુ $2$ વડે ગુણતા: $\int \frac{1+v}{v^2+2v} dv = -2\int \frac{1}{x} dx$.
ધારો કે $u = v^2+2v$,તો $du = (2v+2) dv = 2(v+1) dv$.
તેથી,$\frac{1}{2} \int \frac{du}{u} = -2\ln|x| + C'$.
$\frac{1}{2} \ln|v^2+2v| = -2\ln|x| + C'$.
$\ln|v^2+2v| = -4\ln|x| + C''$.
$\ln|v^2+2v| + \ln|x^4| = C''$.
$\ln|x^4(v^2+2v)| = C''$.
$x^4(\frac{y^2}{x^2} + \frac{2y}{x}) = c$.
$x^2(y^2+2xy) = c$.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = \frac{x+2y-1}{x+2y+1}$ છે.
ધારો કે $t = x+2y$. તેથી $\frac{dt}{dx} = 1 + 2\frac{dy}{dx}$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2}\left(\frac{dt}{dx} - 1\right)$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{1}{2}\left(\frac{dt}{dx} - 1\right) = \frac{t-1}{t+1}$.
$\frac{dt}{dx} - 1 = \frac{2t-2}{t+1} \Rightarrow \frac{dt}{dx} = \frac{2t-2}{t+1} + 1 = \frac{2t-2+t+1}{t+1} = \frac{3t-1}{t+1}$.
ચલને અલગ કરતા: $\int \frac{t+1}{3t-1} dt = \int dx$.
$\frac{t+1}{3t-1}$ નું સંકલન કરવા માટે,આપણે તેને $\frac{1}{3} \int \frac{3t+3}{3t-1} dt = \frac{1}{3} \int \frac{3t-1+4}{3t-1} dt = \frac{1}{3} \int (1 + \frac{4}{3t-1}) dt$ તરીકે લખીએ છીએ.
આથી $\frac{1}{3} (t + \frac{4}{3} \log |3t-1|) = x + C$ મળે છે.
$9$ વડે ગુણતા: $3t + 4 \log |3t-1| = 9x + 9C$.
$t = x+2y$ મૂકતા: $3(x+2y) + 4 \log |3(x+2y)-1| = 9x + K$.
$3x + 6y + 4 \log |3x+6y-1| = 9x + K$.
$6y - 6x + 4 \log |3x+6y-1| = K$.
$6(-x+y) + 4 \log |3x+6y-1| = K$.

(C) વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = f(x, y)$ સમપરિમાણીય છે જો $f(x, y)$ એ $0$ ઘાતનું સમપરિમાણીય વિધેય હોય.
$I$ માટે: $f(x, y) = \frac{y+x}{x} = \frac{y}{x} + 1$. આ $0$ ઘાતનું સમપરિમાણીય વિધેય છે. તેથી,$I$ એ સમપરિમાણીય વિકલ સમીકરણ છે.
$II$ માટે: $f(x, y) = \frac{x^2+y}{x^3} = \frac{1}{x} + \frac{y}{x^3}$. આ સમપરિમાણીય વિધેય નથી કારણ કે પદોની ઘાત સમાન નથી. તેથી,$II$ સમપરિમાણીય નથી.
$III$ માટે: $f(x, y) = \frac{2xy}{y^2-x^2}$. અંશ અને છેદને $x^2$ વડે ભાગતા,આપણને $f(x, y) = \frac{2(y/x)}{(y/x)^2-1}$ મળે છે. આ $0$ ઘાતનું સમપરિમાણીય વિધેય છે. તેથી,$III$ એ સમપરિમાણીય વિકલ સમીકરણ છે.
આમ,$I$ અને $III$ સમપરિમાણીય હોવાથી,વિધાન $S3$ સાચું છે.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = \frac{x^2 + y^2}{xy} = \frac{x}{y} + \frac{y}{x}$ છે.
આ એક સુરેખ સમઘાત વિકલ સમીકરણ છે. ધારો કે $y = vx$,તેથી $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા: $v + x \frac{dv}{dx} = \frac{1}{v} + v$.
બંને બાજુથી $v$ બાદ કરતા: $x \frac{dv}{dx} = \frac{1}{v}$.
ચલનું અલગીકરણ કરતા: $v \, dv = \frac{1}{x} \, dx$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int v \, dv = \int \frac{1}{x} \, dx \Rightarrow \frac{v^2}{2} = \log |x| + C$.
$v = \frac{y}{x}$ મૂકતા: $\frac{y^2}{2x^2} = \log |x| + C \Rightarrow y^2 = 2x^2 \log |x| + 2x^2 C$.
કારણ કે $\log |x| = \frac{1}{2} \log x^2$,તેથી $y^2 = x^2 \log x^2 + 2x^2 C$.
શરત $y(1) = -2$ નો ઉપયોગ કરતા: $(-2)^2 = (1)^2 \log(1)^2 + 2(1)^2 C \Rightarrow 4 = 0 + 2C \Rightarrow C = 2$.
આમ,ઉકેલ $y^2 = x^2 \log x^2 + 4x^2$ મળે છે.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\frac{dy}{dx} = \frac{x+y}{x-y}$.
આ એક સમપરિમાણ વિકલ સમીકરણ છે. ધારો કે $y = vx$,તેથી $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$.
સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $v + x \frac{dv}{dx} = \frac{x+vx}{x-vx} = \frac{1+v}{1-v}$.
$x \frac{dv}{dx} = \frac{1+v}{1-v} - v = \frac{1+v-v+v^2}{1-v} = \frac{1+v^2}{1-v}$.
ચલને અલગ કરતા: $\int \frac{1-v}{1+v^2} dv = \int \frac{dx}{x}$.
$\int \frac{1}{1+v^2} dv - \frac{1}{2} \int \frac{2v}{1+v^2} dv = \int \frac{dx}{x}$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\tan^{-1}(v) - \frac{1}{2} \log |1+v^2| = \log |x| + c$.
$v = \frac{y}{x}$ મૂકતા: $\tan^{-1}(\frac{y}{x}) - \frac{1}{2} \log |1 + \frac{y^2}{x^2}| = \log |x| + c$.
$\tan^{-1}(\frac{y}{x}) - \frac{1}{2} \log |\frac{x^2+y^2}{x^2}| = \log |x| + c$.
$\tan^{-1}(\frac{y}{x}) - \frac{1}{2} (\log |x^2+y^2| - \log |x^2|) = \log |x| + c$.
$\tan^{-1}(\frac{y}{x}) - \frac{1}{2} \log |x^2+y^2| + \log |x| = \log |x| + c$.
આમ,$\tan^{-1}(\frac{y}{x}) - \frac{1}{2} \log |x^2+y^2| = c$.

(A) આપેલ સમીકરણ: $\left(x \frac{dy}{dx} - y\right) \sin \frac{y}{x} = x^3 e^x$
બંને બાજુ $x^2$ વડે ભાગતા:
$\left(\frac{x \frac{dy}{dx} - y}{x^2}\right) \sin \frac{y}{x} = x e^x$
ધારો કે $t = \frac{y}{x}$. તેથી $\frac{dt}{dx} = \frac{x \frac{dy}{dx} - y}{x^2}$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{dt}{dx} \sin t = x e^x$
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા:
$\int \sin t \, dt = \int x e^x \, dx$
જમણી બાજુ માટે ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા:
$-\cos t = x e^x - \int e^x \, dx$
$-\cos t = x e^x - e^x + c$
$-\cos t = e^x(x - 1) + c$
$t = \frac{y}{x}$ પાછા મૂકતા:
$-\cos \frac{y}{x} = e^x(x - 1) + c$
ગોઠવતા:
$e^x(x - 1) + \cos \frac{y}{x} + c = 0$

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\frac{dy}{dx} = \frac{x+y+1}{x+y-1}$.
ધારો કે $x+y = v$. તેથી $1 + \frac{dy}{dx} = \frac{dv}{dx}$,એટલે કે $\frac{dy}{dx} = \frac{dv}{dx} - 1$.
સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $\frac{dv}{dx} - 1 = \frac{v+1}{v-1}$.
$\frac{dv}{dx} = \frac{v+1}{v-1} + 1 = \frac{v+1+v-1}{v-1} = \frac{2v}{v-1}$.
ચલને અલગ કરતા: $\int \frac{v-1}{2v} dv = \int dx$.
$\frac{1}{2} \int (1 - \frac{1}{v}) dv = x + C$.
$\frac{1}{2} (v - \log |v|) = x + C$.
$v = x+y$ મૂકતા: $\frac{x+y}{2} - \frac{1}{2} \log |x+y| = x + C$.
$x = \frac{2}{3}$ અને $y = \frac{1}{3}$ આપેલ છે,તેથી $x+y = 1$.
$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \log |1| = \frac{2}{3} + C$.
$\frac{1}{2} - 0 = \frac{2}{3} + C \Rightarrow C = \frac{1}{2} - \frac{2}{3} = -\frac{1}{6}$.
$C$ ની કિંમત પાછી મૂકતા: $\frac{x+y}{2} - \frac{1}{2} \log |x+y| = x - \frac{1}{6}$.
બંને બાજુ $2$ વડે ગુણતા: $(x+y) - \log |x+y| = 2x - \frac{1}{3}$.
ગોઠવતા: $y - x + \frac{1}{3} = \log |x+y|$.

(C) ધારો કે $t$ સમયે બરફનો જથ્થો $x(t)$ છે. ઓગળવાનો દર બરફના જથ્થાના પ્રમાણમાં છે,તેથી $\frac{dx}{dt} = -kx$ (જ્યાં $k > 0$).
આનું સંકલન કરતા,આપણને $x(t) = x_0 e^{-kt}$ મળે છે.
આપેલ છે કે $20 \text{ મિનિટ}$ માં અડધો બરફ ઓગળી જાય છે,તેથી $t = 20$ સમયે,$x(20) = \frac{x_0}{2}$.
તેથી,$\frac{x_0}{2} = x_0 e^{-20k}$,જેનો અર્થ છે કે $e^{-20k} = \frac{1}{2}$.
આપણે $40 \text{ મિનિટ}$ પછી બાકી રહેલો બરફ શોધવાનો છે,જે $x(40) = x_0 e^{-40k}$ છે.
$x(40) = x_0 (e^{-20k})^2 = x_0 \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{x_0}{4}$.
બાકી રહેલો જથ્થો $Kx_0$ હોવાથી,$Kx_0 = \frac{x_0}{4}$,તેથી $K = \frac{1}{4}$.

(B) ધારો કે સમય $t$ પર વસ્તી $P$ છે. આપેલ છે કે $\frac{dP}{dt} = kP$.
સંકલન કરતા,આપણને $\ln P = kt + C$ મળે,અથવા $P(t) = P_0 e^{kt}$.
$t = 0$ સમયે,$P = 20$ લાખ,તેથી $P_0 = 20$.
$t = 30$ સમયે,$P = 40$ લાખ,તેથી $40 = 20 e^{30k} \Rightarrow e^{30k} = 2 \Rightarrow e^{15k} = \sqrt{2}$.
આપણે બીજા $15$ વર્ષ પછી,એટલે કે $t = 30 + 15 = 45$ વર્ષે વસ્તી શોધવાની છે.
$P(45) = 20 e^{45k} = 20 (e^{15k})^3 = 20 (\sqrt{2})^3 = 20 (2 \sqrt{2}) = 40 \sqrt{2}$ લાખ.

(B) ન્યૂટનના શીતળતાના નિયમ મુજબ,$\frac{dT}{dt} = -K(T - T_s)$,જ્યાં $T_s = 30^{\circ} F$ એ આસપાસનું તાપમાન છે.
$\frac{dT}{dt} = -K(T - 30) \Rightarrow \int \frac{dT}{T - 30} = \int -K dt$
$\ln |T - 30| = -Kt + C \Rightarrow T - 30 = Ae^{-Kt}$,જ્યાં $A = e^C$.
$t = 10$ માટે: $0 - 30 = Ae^{-10K} \Rightarrow -30 = Ae^{-10K} \quad (1)$
$t = 20$ માટે: $15 - 30 = Ae^{-20K} \Rightarrow -15 = Ae^{-20K} \quad (2)$
$(2)$ ને $(1)$ વડે ભાગતા: $\frac{-15}{-30} = \frac{Ae^{-20K}}{Ae^{-10K}} \Rightarrow \frac{1}{2} = e^{-10K} \Rightarrow e^{-10K} = 0.5$.
આમ,$K = 0.0693$ અને $A = -60$.
તેથી,$T = 30 - 60e^{-0.0693t}$. આપેલા વિકલ્પો મુજબ,$T = -60e^{-0.03010t} + 30$ સાચો જવાબ છે.

(D) બિસ્મથનો અર્ધ-આયુષ્ય સમય $(T_{1/2})$ $= 5 \text{ દિવસ}$ છે.
શરૂઆતનું દળ $(N_0)$ $= 1000 \text{ mg}$.
કુલ સમય $(t)$ $= 30 \text{ દિવસ}$.
અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા $(n)$ $= \frac{t}{T_{1/2}} = \frac{30}{5} = 6$.
બાકી રહેલું દળ $(N)$ શોધવા માટેનું સૂત્ર $N = N_0 \times (\frac{1}{2})^n$ છે.
$N = 1000 \times (\frac{1}{2})^6$.
$N = 1000 \times \frac{1}{64}$.
$N = 15.625 \text{ mg}$.

(A) આપેલ વેગ $v = 6t - \frac{t^2}{6}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $v = \frac{ds}{dt}$,તેથી $ds = v \, dt$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int ds = \int (6t - \frac{t^2}{6}) dt$.
$s = 6 \frac{t^2}{2} - \frac{1}{6} \frac{t^3}{3} + C = 3t^2 - \frac{t^3}{18} + C$.
આપેલ છે કે $t = 0$ સમયે $s = 0$,આ કિંમતો મૂકતા $0 = 3(0)^2 - \frac{(0)^3}{18} + C$,તેથી $C = 0$.
આમ,સ્થાનાંતરનું સમીકરણ $s = 3t^2 - \frac{t^3}{18}$ છે.
$3 \text{ s}$ માં કાપેલું અંતર શોધવા માટે,આપણે $t = 3$ સમયે $s$ ની ગણતરી કરીએ:
$s(3) = 3(3)^2 - \frac{(3)^3}{18} = 3(9) - \frac{27}{18} = 27 - \frac{3}{2} = \frac{54 - 3}{2} = \frac{51}{2} \text{ એકમો}$.

(D) ન્યૂટનના શીતલનનો નિયમ મુજબ,તાપમાનમાં થતો ફેરફાર એ પદાર્થ અને આસપાસના તાપમાનના તફાવતને સમપ્રમાણમાં હોય છે:
$\frac{d\theta}{dt} = -k(\theta - \theta_0)$
સંકલન કરતા,$\ln(\theta - \theta_0) = -kt + C$ મળે છે.
અહીં $\theta_0 = 25^{\circ} C$ છે. $t = 0$ સમયે,$\theta = 80^{\circ} C$,તેથી $C = \ln(55)$.
$t = 30$ સમયે,$\theta = 50^{\circ} C$,તેથી $\ln(25) = -30k + \ln(55)$,જેનો અર્થ છે કે $-30k = \ln(\frac{25}{55}) = \ln(\frac{5}{11})$.
$t = 60$ મિનિટ માટે,$\ln(\theta - 25) = -k(60) + \ln(55) = 2 \ln(\frac{5}{11}) + \ln(55) = \ln(\frac{25}{121} \times 55) = \ln(\frac{125}{11})$.
$\theta - 25 = \frac{125}{11} \approx 11.36$.
તેથી,$\theta = 25 + 11.36 = 36.36^{\circ} C$.

(C) ધારો કે રેડિયમનો પ્રારંભિક જથ્થો $x_0$ છે.
વિઘટનનો દર હાજર જથ્થાના પ્રમાણમાં હોવાથી,બાકી રહેલ જથ્થો ઘાતાંકીય ક્ષય મોડેલને અનુસરે છે.
$1$ વર્ષ પછી,$P \%$ જથ્થો અદ્રશ્ય થઈ જાય છે,તેથી બાકી રહેલ જથ્થો $x_1 = x_0 - \frac{P}{100}x_0 = x_0\left(1-\frac{P}{100}\right)$ છે.
ધારો કે $k = \left(1-\frac{P}{100}\right)$ એ દરેક વર્ષ પછી બાકી રહેલ અપૂર્ણાંક છે.
$2$ વર્ષ પછી,બાકી રહેલ જથ્થો $x_2 = x_1 \times k = x_0\left(1-\frac{P}{100}\right) \times \left(1-\frac{P}{100}\right) = x_0\left(1-\frac{P}{100}\right)^2$ છે.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\frac{dP}{dt} = 0.05 P$.
ચલને અલગ કરતા: $\frac{dP}{P} = 0.05 dt$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \frac{dP}{P} = \int 0.05 dt$.
આથી: $\ln P = 0.05 t + C$.
જ્યારે $t = 0$ હોય,ત્યારે પ્રારંભિક વસ્તી $P_0$ ધારો,તેથી $\ln P_0 = C$.
$C$ ની કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $\ln P = 0.05 t + \ln P_0$,જે $\ln(\frac{P}{P_0}) = 0.05 t$ માં પરિણમે છે.
આપણે $t$ શોધવા માંગીએ છીએ જ્યારે વસ્તી બમણી થાય,એટલે કે $P = 2P_0$.
આ કિંમત મૂકતા: $\ln(\frac{2P_0}{P_0}) = 0.05 t$.
$\ln 2 = 0.05 t$.
કારણ કે $0.05 = \frac{1}{20}$,તેથી $\ln 2 = \frac{t}{20}$.
તેથી,$t = 20 \ln 2$ વર્ષ.

(A) ધારો કે $P_{0}$ એ પ્રારંભિક વસ્તી છે અને $t$ વર્ષ પછી વસ્તી $P$ છે. વૃદ્ધિનો દર $\frac{dP}{dt} = \frac{8}{100} P = 0.08 P$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ચલને અલગ કરતા,આપણને $\frac{dP}{P} = 0.08 dt$ મળે છે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,આપણને $\ln P = 0.08 t + C$ મળે છે.
$t = 0$ સમયે,$P = P_{0}$,તેથી $C = \ln P_{0}$.
આમ,$\ln P = 0.08 t + \ln P_{0}$,જેનું સાદું રૂપ $\ln \left( \frac{P}{P_{0}} \right) = 0.08 t$ થાય છે.
વસ્તી બમણી થવા માટે,$P = 2 P_{0}$,તેથી $\ln 2 = 0.08 t$.
આપેલ છે કે $\log 2 = 0.6912$,તેથી $t = \frac{0.6912}{0.08} = 8.64$ વર્ષ.

(B) આપેલ છે કે $h(x) = \sqrt{4f(x) + 3g(x)}$.
$x = 1$ આગળ,$h(1) = \sqrt{4f(1) + 3g(1)} = \sqrt{4(4) + 3(3)} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$.
હવે,$x$ ની સાપેક્ષે $h(x)$ નું વિકલન કરતા:
$h'(x) = \frac{1}{2\sqrt{4f(x) + 3g(x)}} \cdot \frac{d}{dx}(4f(x) + 3g(x))$
$h'(x) = \frac{4f'(x) + 3g'(x)}{2\sqrt{4f(x) + 3g(x)}}$
વિકલનમાં $x = 1$ મૂકતા:
$h'(1) = \frac{4f'(1) + 3g'(1)}{2\sqrt{4f(1) + 3g(1)}}$
આપેલ છે કે $f'(1) = 4$ અને $g'(1) = 3$:
$h'(1) = \frac{4(4) + 3(3)}{2(5)} = \frac{16 + 9}{10} = \frac{25}{10} = \frac{5}{2}$.

(D) $y = \log \tan \left(\frac{x}{2}\right) + \sin^{-1}(\cos x)$
કારણ કે $\cos x = \sin \left(\frac{\pi}{2} - x\right)$,તેથી:
$y = \log \tan \left(\frac{x}{2}\right) + \sin^{-1} \left[ \sin \left(\frac{\pi}{2} - x\right) \right] = \log \tan \left(\frac{x}{2}\right) + \frac{\pi}{2} - x$
હવે,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\tan \left(\frac{x}{2}\right)} \cdot \sec^2 \left(\frac{x}{2}\right) \cdot \frac{1}{2} + 0 - 1$
$\frac{dy}{dx} = \frac{\cos \left(\frac{x}{2}\right)}{\sin \left(\frac{x}{2}\right)} \cdot \frac{1}{\cos^2 \left(\frac{x}{2}\right)} \cdot \frac{1}{2} - 1$
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2 \sin \left(\frac{x}{2}\right) \cos \left(\frac{x}{2}\right)} - 1$
નિત્યસમ $\sin x = 2 \sin \left(\frac{x}{2}\right) \cos \left(\frac{x}{2}\right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sin x} - 1 = \operatorname{cosec} x - 1$

(D) આપેલ છે $y = \sqrt{e^{\sqrt{x}}}$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક (natural logarithm) લેતા:
$\ln y = \ln(e^{\sqrt{x}})^{1/2} = \frac{1}{2} \sqrt{x} \ln e = \frac{\sqrt{x}}{2}$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{4\sqrt{x}}$.
તેથી,$\frac{dy}{dx} = \frac{y}{4\sqrt{x}}$.
$y = \sqrt{e^{\sqrt{x}}}$ ની કિંમત મૂકતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{\sqrt{e^{\sqrt{x}}}}{4\sqrt{x}}$.

(A) આપેલ છે કે $f(x)=\operatorname{cosec}^{-1}\left[\frac{10}{6 \sin \left(2^x\right)-8 \cos \left(2^x\right)}\right]$.
ગુણધર્મ $\operatorname{cosec}^{-1}(u) = \sin^{-1}(1/u)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$f(x)=\sin ^{-1}\left[\frac{6 \sin \left(2^x\right)-8 \cos \left(2^x\right)}{10}\right]$.
આને $f(x)=\sin ^{-1}\left[\frac{6}{10} \sin \left(2^x\right)-\frac{8}{10} \cos \left(2^x\right)\right]$ તરીકે લખી શકાય.
ધારો કે $\cos \alpha = \frac{6}{10}$ અને $\sin \alpha = \frac{8}{10}$.
તેથી $f(x)=\sin ^{-1}\left[\sin \left(2^x\right) \cos \alpha - \cos \left(2^x\right) \sin \alpha\right]$.
સૂત્ર $\sin(A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$ નો ઉપયોગ કરતા:
$f(x)=\sin ^{-1}\left[\sin \left(2^x-\alpha\right)\right] = 2^x - \alpha$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$f^{\prime}(x) = \frac{d}{dx}(2^x - \alpha) = 2^x \log 2 - 0 = 2^x \log 2$.

(A) આપેલ છે કે $y = \log \sqrt{\tan x} = \frac{1}{2} \log(\tan x)$.
સાંકળના નિયમનો ઉપયોગ કરીને,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \times \frac{1}{\tan x} \times \sec^2 x$.
નિત્યસમ $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ અને $\sec^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \times \frac{\cos x}{\sin x} \times \frac{1}{\cos^2 x} = \frac{1}{2 \sin x \cos x} = \frac{1}{\sin(2x)}$.
હવે,$x = \frac{\pi}{4}$ મુકતા:
$\left(\frac{dy}{dx}\right)_{x=\frac{\pi}{4}} = \frac{1}{\sin(2 \times \frac{\pi}{4})} = \frac{1}{\sin(\frac{\pi}{2})} = \frac{1}{1} = 1$.

(D) આપેલ સમીકરણ $e^{-y} \cdot y = x$ છે.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dx}(y e^{-y}) = \frac{d}{dx}(x)$
ગુણાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$y \cdot \frac{d}{dx}(e^{-y}) + e^{-y} \cdot \frac{dy}{dx} = 1$
$y \cdot (-e^{-y}) \frac{dy}{dx} + e^{-y} \frac{dy}{dx} = 1$
$\frac{dy}{dx}$ સામાન્ય લેતા:
$\frac{dy}{dx} (e^{-y} - y e^{-y}) = 1$
$\frac{dy}{dx} e^{-y} (1 - y) = 1$
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{e^{-y}(1 - y)}$
કારણ કે $e^{-y} = \frac{x}{y}$,આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{(\frac{x}{y})(1 - y)} = \frac{y}{x(1 - y)}$.

(B) આપેલ સમીકરણ: $y = x \tan y$
$x$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા:
$\frac{d y}{d x} = x \sec^2 y \frac{d y}{d x} + \tan y$
$\frac{d y}{d x}$ ને કર્તા બનાવતા:
$\frac{d y}{d x} - x \sec^2 y \frac{d y}{d x} = \tan y$
$\frac{d y}{d x} (1 - x \sec^2 y) = \tan y$
$\frac{d y}{d x} = \frac{\tan y}{1 - x \sec^2 y}$
અંશ અને છેદને $x$ વડે ગુણતા:
$\frac{d y}{d x} = \frac{x \tan y}{x - x^2 \sec^2 y}$
$y = x \tan y$ હોવાથી,$\tan y = \frac{y}{x}$ મળે:
$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x - x^2 (1 + \tan^2 y)} = \frac{y}{x - x^2 - x^2 \tan^2 y}$
$x^2 \tan^2 y = y^2$ મૂકતા:
$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x - x^2 - y^2}$

(A) આપેલ સમીકરણ: $y = 1 + xe^y$
$x$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા (ગુણાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને):
$\frac{dy}{dx} = 0 + \left( x \cdot e^y \frac{dy}{dx} + e^y \cdot 1 \right)$
$\frac{dy}{dx} = xe^y \frac{dy}{dx} + e^y$
$\frac{dy}{dx}$ ને અલગ કરવા માટે પદોની ગોઠવણી કરતા:
$\frac{dy}{dx} - xe^y \frac{dy}{dx} = e^y$
$\frac{dy}{dx} (1 - xe^y) = e^y$
$\frac{dy}{dx} = \frac{e^y}{1 - xe^y}$
મૂળ સમીકરણ પરથી,આપણે જાણીએ છીએ કે $xe^y = y - 1$. આ કિંમત પદમાં મૂકતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{e^y}{1 - (y - 1)}$
$\frac{dy}{dx} = \frac{e^y}{1 - y + 1}$
$\frac{dy}{dx} = \frac{e^y}{2 - y}$

(C) આપેલ સમીકરણ: $\sin ^2 x + \cos ^2 y = 1$
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dx}(\sin ^2 x) + \frac{d}{dx}(\cos ^2 y) = \frac{d}{dx}(1)$
$2 \sin x \cos x + 2 \cos y (-\sin y) \frac{dy}{dx} = 0$
$\sin 2x - \sin 2y \frac{dy}{dx} = 0$
$\sin 2y \frac{dy}{dx} = \sin 2x$
$\frac{dy}{dx} = \frac{\sin 2x}{\sin 2y}$

(C) આપેલ છે કે $x = a \cos \theta$ અને $y = b \sin \theta$.
પ્રથમ,$\theta$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dx}{d \theta} = -a \sin \theta$ અને $\frac{dy}{d \theta} = b \cos \theta$.
તેથી,$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d \theta}{dx/d \theta} = \frac{b \cos \theta}{-a \sin \theta} = -\frac{b}{a} \cot \theta$.
હવે,$\frac{dy}{dx}$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{d}{d \theta} \left( -\frac{b}{a} \cot \theta \right) \cdot \frac{d \theta}{dx} = \left( -\frac{b}{a} \right) (-\csc^2 \theta) \cdot \frac{1}{-a \sin \theta} = -\frac{b}{a^2} \cdot \frac{1}{\sin^3 \theta}$.
જ્યારે $\theta = \frac{\pi}{4}$ હોય,ત્યારે $\sin \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$,તેથી $\sin^3 \theta = \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)^3 = \frac{1}{2 \sqrt{2}}$.
તેથી,$\left[\frac{d^2 y}{dx^2}\right]_{\theta = \frac{\pi}{4}} = -\frac{b}{a^2} \cdot (2 \sqrt{2}) = -2 \sqrt{2} \left( \frac{b}{a^2} \right)$.

(A) આપેલ છે કે $x=a(t+\sin t)$ અને $y=a(1-\cos t)$.
$x$ નું $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{dx}{dt} = a(1+\cos t)$ મળે છે.
$y$ નું $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{dy}{dt} = a(\sin t)$ મળે છે.
હવે,$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{a \sin t}{a(1+\cos t)}$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin t = 2 \sin \frac{t}{2} \cos \frac{t}{2}$ અને $1+\cos t = 2 \cos^2 \frac{t}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{2 \sin \frac{t}{2} \cos \frac{t}{2}}{2 \cos^2 \frac{t}{2}} = \tan \frac{t}{2}$.

(D) આપેલ છે કે $x=\frac{1-t^2}{1+t^2}$ અને $y=\frac{2at}{1+t^2}$.
$t=\tan \theta$ લેતા,$x=\cos 2\theta$ અને $y=a \sin 2\theta$ મળે.
$\theta$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dx}{d\theta} = -2 \sin 2\theta$ અને $\frac{dy}{d\theta} = 2a \cos 2\theta$.
ચેઈન રૂલનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{2a \cos 2\theta}{-2 \sin 2\theta} = -a \cot 2\theta$.
કારણ કે $\cot 2\theta = \frac{1}{\tan 2\theta} = \frac{1-\tan^2 \theta}{2 \tan \theta} = \frac{1-t^2}{2t}$,
તેથી $\frac{dy}{dx} = -a \left( \frac{1-t^2}{2t} \right) = \frac{a(t^2-1)}{2t}$.

(D) આપેલ છે કે $u = \cos^3 x$ અને $v = \sin^3 x$.
પ્રથમ,આપણે $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન મેળવીએ:
$\frac{du}{dx} = 3 \cos^2 x \cdot (-\sin x) = -3 \cos^2 x \sin x$
$\frac{dv}{dx} = 3 \sin^2 x \cdot (\cos x) = 3 \sin^2 x \cos x$
હવે,પેરામેટ્રિક વિકલન માટે ચેઈન રૂલનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{dv}{du} = \frac{dv/dx}{du/dx} = \frac{3 \sin^2 x \cos x}{-3 \cos^2 x \sin x} = -\frac{\sin x}{\cos x} = -\tan x$
$x = \frac{\pi}{4}$ આગળ કિંમત મુકતા:
$\left(\frac{dv}{du}\right)_{x=\frac{\pi}{4}} = -\tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = -1$

(D) આપેલ છે કે $x=a\left(t-\frac{1}{t}\right)$ અને $y=b\left(t+\frac{1}{t}\right)$.
$t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dx}{dt}=a\left(1+\frac{1}{t^2}\right) = a\left(\frac{t^2+1}{t^2}\right)$
$\frac{dy}{dt}=b\left(1-\frac{1}{t^2}\right) = b\left(\frac{t^2-1}{t^2}\right)$
ચેઈન રૂલનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{b\left(\frac{t^2-1}{t^2}\right)}{a\left(\frac{t^2+1}{t^2}\right)} = \frac{b(t^2-1)}{a(t^2+1)}$.
આપેલ સમીકરણો પરથી:
$\frac{x}{a} = t-\frac{1}{t} = \frac{t^2-1}{t}$
$\frac{y}{b} = t+\frac{1}{t} = \frac{t^2+1}{t}$
આ બંને પદોનો ભાગાકાર કરતા:
$\frac{x/a}{y/b} = \frac{(t^2-1)/t}{(t^2+1)/t} = \frac{t^2-1}{t^2+1}$
આ કિંમત $\frac{dy}{dx}$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{b}{a} \times \left(\frac{x/a}{y/b}\right) = \frac{b}{a} \times \frac{xb}{ya} = \frac{b^2 x}{a^2 y}$.

(B) આપેલ છે કે $x=a(\theta+\sin \theta)$ અને $y=a(1-\cos \theta)$.
પ્રથમ,$\theta$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dx}{d\theta} = a(1+\cos \theta)$ અને $\frac{dy}{d\theta} = a\sin \theta$.
હવે,શૃંખલાના નિયમનો ઉપયોગ કરીને $\frac{dy}{dx}$ શોધો:
$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{a\sin \theta}{a(1+\cos \theta)} = \frac{\sin \theta}{1+\cos \theta}$.
નિત્યસમ $\sin \theta = 2\sin(\theta/2)\cos(\theta/2)$ અને $1+\cos \theta = 2\cos^2(\theta/2)$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\frac{dy}{dx} = \tan(\theta/2)$ મળે છે.
હવે,$\frac{dy}{dx}$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{d\theta}\left(\tan\frac{\theta}{2}\right) \cdot \frac{d\theta}{dx} = \frac{1}{2}\sec^2\frac{\theta}{2} \cdot \frac{1}{a(1+\cos \theta)}$.
કારણ કે $1+\cos \theta = 2\cos^2(\theta/2)$,તેથી:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{1}{2}\sec^2\frac{\theta}{2} \cdot \frac{1}{2a\cos^2(\theta/2)} = \frac{1}{4a\cos^4(\theta/2)}$.
$\theta = \pi/2$ માટે,$\theta/2 = \pi/4$ અને $\cos(\pi/4) = 1/\sqrt{2}$.
$\left(\frac{d^2y}{dx^2}\right)_{\theta=\pi/2} = \frac{1}{4a(1/\sqrt{2})^4} = \frac{1}{4a(1/4)} = \frac{1}{a}$.

(B) આપેલ છે કે $x=e^t(\sin t-\cos t)$ અને $y=e^t(\sin t+\cos t)$.
$t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા (ગુણાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને):
$\frac{dx}{dt} = e^t(\sin t-\cos t) + e^t(\cos t+\sin t) = e^t(\sin t - \cos t + \cos t + \sin t) = 2e^t \sin t$.
$\frac{dy}{dt} = e^t(\sin t+\cos t) + e^t(\cos t-\sin t) = e^t(\sin t + \cos t + \cos t - \sin t) = 2e^t \cos t$.
હવે,$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{2e^t \cos t}{2e^t \sin t} = \cot t$.
$t = \frac{\pi}{3}$ આગળ,$\frac{dy}{dx} = \cot(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

(A) આપેલ સમીકરણ $x^y \cdot y^x = 16$ છે.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક (log) લેતા:
$y \ln x + x \ln y = \ln 16$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dx}(y \ln x) + \frac{d}{dx}(x \ln y) = \frac{d}{dx}(\ln 16)$.
$\left( \frac{dy}{dx} \ln x + y \cdot \frac{1}{x} \right) + \left( 1 \cdot \ln y + x \cdot \frac{1}{y} \cdot \frac{dy}{dx} \right) = 0$.
$\frac{dy}{dx}$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા:
$\frac{dy}{dx} (\ln x + \frac{x}{y}) = -(\frac{y}{x} + \ln y)$.
$\frac{dy}{dx} = -\frac{\frac{y}{x} + \ln y}{\ln x + \frac{x}{y}}$.
હવે,$(2, 2)$ બિંદુ મૂકતા:
$\left( \frac{dy}{dx} \right)_{(2, 2)} = -\frac{\frac{2}{2} + \ln 2}{\ln 2 + \frac{2}{2}} = -\frac{1 + \ln 2}{1 + \ln 2} = -1$.

(B) ધારો કે $u = (\log x)^x$. બંને બાજુ લઘુગણક લેતા,$\log u = x \log(\log x)$ મળે.
હવે,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{1}{u} \frac{du}{dx} = x \cdot \frac{1}{\log x} \cdot \frac{1}{x} + \log(\log x) \cdot 1 = \frac{1}{\log x} + \log(\log x)$ મળે.
તેથી,$\frac{du}{dx} = (\log x)^x \left[ \frac{1}{\log x} + \log(\log x) \right]$.
ધારો કે $v = \log x$. તો $\frac{dv}{dx} = \frac{1}{x}$ થાય.
આપણે $\frac{du}{dv} = \frac{du/dx}{dv/dx} = \frac{(\log x)^x [\frac{1}{\log x} + \log(\log x)]}{1/x} = x(\log x)^x \left[ \frac{1}{\log x} + \log(\log x) \right]$ શોધવાનું છે.

(C) આપેલ છે $y = \sin^{-1}\left[\cos \sqrt{\frac{1+x}{2}}\right] + x^x$.
$\cos \theta = \sin\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$y = \sin^{-1}\left[\sin\left(\frac{\pi}{2} - \sqrt{\frac{1+x}{2}}\right)\right] + x^x = \frac{\pi}{2} - \sqrt{\frac{1+x}{2}} + x^x$.
$x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = 0 - \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{d}{dx}((1+x)^{1/2}) + \frac{d}{dx}(x^x)$.
$x^x$ માટે,ધારો કે $u = x^x$,તો $\ln u = x \ln x$.
$\frac{1}{u} \frac{du}{dx} = 1 \cdot \ln x + x \cdot \frac{1}{x} = \ln x + 1$,તેથી $\frac{du}{dx} = x^x(1 + \ln x)$.
આમ,$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{1+x}} + x^x(1 + \ln x)$.
$x = 1$ આગળ:
$\left[\frac{dy}{dx}\right]_{x=1} = -\frac{1}{2\sqrt{2}\sqrt{2}} + 1^1(1 + \ln 1) = -\frac{1}{4} + 1(1 + 0) = -\frac{1}{4} + 1 = \frac{3}{4}$.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $|z| \geq 1$ માટે $\operatorname{cosec}^{-1}(z) = \sin^{-1}(\frac{1}{z})$ થાય છે.
આપેલ છે કે $y = \operatorname{cosec}^{-1}\left(\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}\right) + \cos^{-1}\left(\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}\right)$.
આ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરીને,આપણે પ્રથમ પદને $\sin^{-1}\left(\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}\right)$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
તેથી,$y = \sin^{-1}\left(\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}\right) + \cos^{-1}\left(\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}\right)$.
પ્રતિ-ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin^{-1}(\theta) + \cos^{-1}(\theta) = \frac{\pi}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $y = \frac{\pi}{2}$ મળે છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(\frac{\pi}{2}) = 0$ મળે છે.

(B) આપણને આપેલ છે $y=\tan ^{-1}\left[\frac{1}{1+x(1+x)}\right]+\tan ^{-1}\left[\frac{1}{1+(x+2)(x+1)}\right]$.
સૂત્ર $\tan ^{-1} A - \tan ^{-1} B = \tan ^{-1}\left(\frac{A-B}{1+AB}\right)$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે પદોને ફરીથી લખી શકીએ છીએ:
$y = \tan ^{-1}\left(\frac{(x+1)-x}{1+(x+1)x}\right) + \tan ^{-1}\left(\frac{(x+2)-(x+1)}{1+(x+2)(x+1)}\right)$.
આનું સાદું રૂપ નીચે મુજબ છે:
$y = (\tan ^{-1}(x+1) - \tan ^{-1} x) + (\tan ^{-1}(x+2) - \tan ^{-1}(x+1))$.
સામાન્ય પદો દૂર કરતા,આપણને મળે છે:
$y = \tan ^{-1}(x+2) - \tan ^{-1} x$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(\tan ^{-1}(x+2)) - \frac{d}{dx}(\tan ^{-1} x)$.
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1+(x+2)^2} - \frac{1}{1+x^2}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) આપેલ છે કે $y=\tan ^{-1}\left\{\frac{a \cos x-b \sin x}{b \cos x+a \sin x}\right\}$.
અંશ અને છેદને $b \cos x$ વડે ભાગતા:
$y=\tan ^{-1}\left\{\frac{\frac{a}{b}-\tan x}{1+\frac{a}{b}\tan x}\right\}$.
ધારો કે $\frac{a}{b}=\tan \alpha$,તો:
$y=\tan ^{-1}\left\{\frac{\tan \alpha-\tan x}{1+\tan \alpha \tan x}\right\}$.
સૂત્ર $\tan(A-B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$y=\tan ^{-1}[\tan(\alpha-x)] = \alpha-x$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d y}{d x} = \frac{d}{d x}(\alpha-x) = 0-1 = -1$.

(D) આપેલ છે $y = \tan^{-1} \left( \sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}} \right)$.
નિત્યસમ $1+\sin x = (\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2})^2$ અને $1-\sin x = (\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2})^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$y = \tan^{-1} \left( \sqrt{\frac{(\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2})^2}{(\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2})^2}} \right) = \tan^{-1} \left( \frac{\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2}} \right)$.
અંશ અને છેદને $\cos \frac{x}{2}$ વડે ભાગતા:
$y = \tan^{-1} \left( \frac{1 + \tan \frac{x}{2}}{1 - \tan \frac{x}{2}} \right) = \tan^{-1} \left( \tan(\frac{\pi}{4} + \frac{x}{2}) \right)$.
$0 \leq x < \frac{\pi}{2}$ હોવાથી,$\frac{\pi}{4} \leq \frac{\pi}{4} + \frac{x}{2} < \frac{\pi}{2}$ મળે,તેથી $y = \frac{\pi}{4} + \frac{x}{2}$.
$x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(\frac{\pi}{4} + \frac{x}{2}) = 0 + \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
આમ,$x = \frac{\pi}{6}$ આગળ,$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2}$.

(D) આપેલ છે કે $y=\tan ^{-1} \sqrt{\frac{1+\cos x}{1-\cos x}}$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $1+\cos x = 2 \cos^2 \frac{x}{2}$ અને $1-\cos x = 2 \sin^2 \frac{x}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$y=\tan ^{-1} \sqrt{\frac{2 \cos ^2 \frac{x}{2}}{2 \sin ^2 \frac{x}{2}}}$
$y=\tan ^{-1} \sqrt{\cot^2 \frac{x}{2}} = \tan ^{-1} \left(\cot \frac{x}{2}\right)$
કારણ કે $\cot \theta = \tan \left(\frac{\pi}{2} - \theta\right)$,તેથી:
$y=\tan ^{-1} \left[\tan \left(\frac{\pi}{2}-\frac{x}{2}\right)\right] = \frac{\pi}{2}-\frac{x}{2}$
$x$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા:
$\frac{d y}{d x} = \frac{d}{d x} \left(\frac{\pi}{2} - \frac{x}{2}\right) = 0 - \frac{1}{2} = -\frac{1}{2}$

(D) આપેલ છે કે $y=\tan ^{-1}\left[\frac{\log \left(\frac{e}{x^2}\right)}{\log \left(ex^2\right)}\right]+\tan ^{-1}\left[\frac{3+2 \log x}{1-6 \log x}\right]$.
લઘુગણકના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરતા,$\log(e/x^2) = \log e - \log x^2 = 1 - 2\log x$ અને $\log(ex^2) = \log e + \log x^2 = 1 + 2\log x$.
ધારો કે $u = 2\log x$. તો પ્રથમ પદ $\tan^{-1}\left(\frac{1-u}{1+u}\right) = \tan^{-1}(1) - \tan^{-1}(u) = \frac{\pi}{4} - \tan^{-1}(2\log x)$ થશે.
બીજા પદ માટે,$\tan^{-1}\left[\frac{3+2 \log x}{1-6 \log x}\right] = \tan^{-1}(3) + \tan^{-1}(2\log x)$.
આ બંનેનો સરવાળો કરતા,$y = \frac{\pi}{4} - \tan^{-1}(2\log x) + \tan^{-1}(3) + \tan^{-1}(2\log x) = \frac{\pi}{4} + \tan^{-1}(3)$.
અહીં $y$ એક અચળ પદ હોવાથી,$\frac{dy}{dx} = 0$ અને $\frac{d^2 y}{dx^2} = 0$ થાય.

(B) ધારો કે $f(x) = \cot^{-1}(\sqrt{\cos 2x})$.
સાંકળના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,વિકલિત $f'(x) = \frac{-1}{1 + (\sqrt{\cos 2x})^2} \times \frac{d}{dx}(\sqrt{\cos 2x})$ થાય.
$f'(x) = \frac{-1}{1 + \cos 2x} \times \frac{1}{2\sqrt{\cos 2x}} \times (-\sin 2x \times 2)$.
$f'(x) = \frac{\sin 2x}{(1 + \cos 2x)\sqrt{\cos 2x}}$.
$x = \frac{\pi}{6}$ માટે,$2x = \frac{\pi}{3}$ થાય.
$f'\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sin(\pi/3)}{(1 + \cos(\pi/3))\sqrt{\cos(\pi/3)}}$.
$f'\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}/2}{(1 + 1/2)\sqrt{1/2}} = \frac{\sqrt{3}/2}{(3/2)(1/\sqrt{2})} = \frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{2}{3} \times \sqrt{2} = \frac{\sqrt{6}}{3} = \sqrt{\frac{6}{9}} = \sqrt{\frac{2}{3}} = \left(\frac{2}{3}\right)^{1/2}$.

(D) આપેલ છે કે $y = 2 \sin x + 3 \cos x$.
પ્રથમ,પ્રથમ વિકલન મેળવો: $\frac{dy}{dx} = 2 \cos x - 3 \sin x$.
ત્યારબાદ,દ્વિતીય વિકલન મેળવો: $\frac{d^2y}{dx^2} = -2 \sin x - 3 \cos x$.
આને આપણે $\frac{d^2y}{dx^2} = -(2 \sin x + 3 \cos x) = -y$ તરીકે લખી શકીએ.
સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $y + \frac{d^2y}{dx^2} = 0$ મળે છે.
આને આપેલ સમીકરણ $y + A \frac{d^2y}{dx^2} = B$ સાથે સરખાવતા,આપણને $A = 1$ અને $B = 0$ મળે છે.

(C) આપેલ છે $y^2 = ax^2 + bx + c$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$2y \frac{dy}{dx} = 2ax + b$
$\frac{dy}{dx} = \frac{2ax + b}{2y}$
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx} \left( \frac{2ax + b}{2y} \right) = \frac{2a(2y) - (2ax + b)(2 \frac{dy}{dx})}{4y^2}$
$\frac{dy}{dx} = \frac{2ax + b}{2y}$ મૂકતા:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{4ay - (2ax + b) \frac{2ax + b}{y}}{4y^2} = \frac{4ay^2 - (2ax + b)^2}{4y^3}$
હવે,$y^3$ વડે ગુણતા:
$y^3 \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{4ay^2 - (2ax + b)^2}{4} = \frac{4a(ax^2 + bx + c) - (4a^2x^2 + 4abx + b^2)}{4}$
$y^3 \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{4a^2x^2 + 4abx + 4ac - 4a^2x^2 - 4abx - b^2}{4} = \frac{4ac - b^2}{4}$
$a, b, c$ અચળાંકો હોવાથી,$\frac{4ac - b^2}{4}$ એ અચળ છે.

(C) વિધેય $f(x) = [x]$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે.
કોઈપણ પૂર્ણાંક $n$ માટે,ફ્લોર વિધેય $[x]$ એ $x = n$ આગળ અસતત છે કારણ કે ડાબી બાજુની લક્ષ $n-1$ છે અને જમણી બાજુની લક્ષ $n$ છે.
આપેલ પ્રદેશ $x \in (-1, 2)$ માટે,આ અંતરાલમાં આવતા પૂર્ણાંકો $0$ અને $1$ છે.
તેથી,વિધેય $f(x) = [x]$ એ $x = 0$ અને $x = 1$ આગળ અસતત છે.

(C) વિધેય $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x+|x|}}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે.
વિધેય વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,વર્ગમૂળની અંદરની અભિવ્યક્તિ શૂન્ય કરતા મોટી હોવી જોઈએ:
$x + |x| > 0$.
કિસ્સો $1$: જો $x > 0$ હોય,તો $|x| = x$. આ કિંમત મૂકતા,$x + x = 2x > 0$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $x > 0$.
કિસ્સો $2$: જો $x < 0$ હોય,તો $|x| = -x$. આ કિંમત મૂકતા,$x + (-x) = 0$ મળે. $0$ એ $0$ કરતા મોટું નથી,તેથી આ કિસ્સામાં કોઈ ઉકેલ મળતો નથી.
કિસ્સો $3$: જો $x = 0$ હોય,તો $x + |x| = 0 + 0 = 0$. છેદ શૂન્ય ન હોઈ શકે,તેથી $x = 0$ પ્રદેશમાં નથી.
તેથી,વિધેયનો પ્રદેશ $(0, \infty)$ છે.

(B) વિધેય $f(x) = \sqrt{x-1} + \sqrt{6-x}$ ત્યારે જ વ્યાખ્યાયિત થાય જો વર્ગમૂળની અંદરની કિંમતો અઋણ હોય.
$\sqrt{x-1}$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,$x - 1 \geq 0$,એટલે કે $x \geq 1$.
$\sqrt{6-x}$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,$6 - x \geq 0$,એટલે કે $x \leq 6$.
આ બંને શરતોને જોડતા,આપણને $1 \leq x \leq 6$ મળે છે.
તેથી,$f(x)$ નો પ્રદેશ $[1, 6]$ છે.

(B) વિધેય $f(x) = \log _{10}(x^2-5x+6)$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,લઘુગણકનો આર્ગ્યુમેન્ટ ધન હોવો જોઈએ.
$x^2-5x+6 > 0$
દ્વિઘાત પદાવલિના અવયવ પાડતા:
$(x-2)(x-3) > 0$
વેવી કર્વ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરતા,પદાવલિ $2$ અને $3$ ની બહાર ધન મળે છે.
આમ,$x < 2$ અથવા $x > 3$.
તેથી,પ્રદેશ $x \in (-\infty, 2) \cup (3, \infty)$ છે.

(C) આપેલ ગણ $A = \{10, 11, 12, 14, 26\}$ છે.
દરેક ઘટક માટે અવિભાજ્ય અવયવો શોધીએ:
$10 = 2 \times 5$,તેથી સૌથી મોટો અવિભાજ્ય અવયવ $5$ છે.
$11 = 11$,તેથી સૌથી મોટો અવિભાજ્ય અવયવ $11$ છે.
$12 = 2^2 \times 3$,તેથી સૌથી મોટો અવિભાજ્ય અવયવ $3$ છે.
$14 = 2 \times 7$,તેથી સૌથી મોટો અવિભાજ્ય અવયવ $7$ છે.
$26 = 2 \times 13$,તેથી સૌથી મોટો અવિભાજ્ય અવયવ $13$ છે.
આમ,$f$ નો વિસ્તાર $\{3, 5, 7, 11, 13\}$ છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) આપેલ વિધેય $f(x) = 3 + 2^x + 4^x$ છે.
બધા $x \in \mathbb{R}$ માટે $2^x > 0$ હોવાથી,$4^x = (2^x)^2 > 0$ થાય.
ધારો કે $t = 2^x$,જ્યાં $t \in (0, \infty)$.
તેથી વિધેય $g(t) = 3 + t + t^2$ બને છે.
$t > 0$ હોવાથી,જેમ $t \to 0^+$ તેમ $t + t^2$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $0$ ની નજીક જાય છે.
જેમ $t \to \infty$ તેમ $t + t^2 \to \infty$ થાય છે.
તેથી,$t > 0$ માટે $t + t^2$ નો વિસ્તાર $(0, \infty)$ છે.
આ વિસ્તારમાં $3$ ઉમેરતા,$f(x)$ નો વિસ્તાર $(3 + 0, 3 + \infty) = (3, \infty)$ મળે છે.