ધન પૂર્ણાંક n,જેના માટે સમીકરણ x(x+2)+(x+2)(x | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) આપેલ સમીકરણ $\sum_{r=1}^{n}(x+2r-2)(x+2r) = \frac{8n}{3}$ છે.પદોનું વિસ્તરણ કરતા: $\sum_{r=1}^{n}(x^2 + 4rx - 2x + 4r^2 - 4r) = \frac{8n}{3}$.આનું

Vedclass · Accepted Answer

$3$

Vedclass · Answer

(A) આપેલ સમીકરણ $\sum_{r=1}^{n}(x+2r-2)(x+2r) = \frac{8n}{3}$ છે.પદોનું વિસ્તરણ કરતા: $\sum_{r=1}^{n}(x^2 + 4rx - 2x + 4r^2 - 4r) = \frac{8n}{3}$.આનું સાદું રૂપ $nx^2 + 2x(2\sum r - n) + 4\sum r^2 - 4\sum r = \frac{8n}{3}$ થાય છે.$\sum_{r=1}^{n} r = \frac{n(n+1)}{2}$ અને $\sum_{r=1}^{n} r^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $nx^2 + 2x(n^2) + \frac{4n(n+1)(2n+1)}{6} - 2n(n+1) = \frac{8n}{3}$ મળે છે.$n$ વડે ભાગતા: $x^2 + 2nx + \frac{2(n+1)(2n+1)}{3} - 2(n+1) = \frac{8}{3}$.$x^2 + 2nx + \frac{4n^2+6n+2-6n-6-8}{3} = 0 \Rightarrow x^2 + 2nx + \frac{4n^2-12}{3} = 0$.કારણ કે ઉકેલો $\alpha, \beta$ બે ક્રમિક બેકી પૂર્ણાંકો છે,તેથી $|\alpha - \beta| = 2$.આમ,$\frac{\sqrt{D}}{1} = 2 \Rightarrow D = 4$.$D = (2n)^2 - 4(\frac{4n^2-12}{3}) = 4$.$4n^2 - \frac{16n^2-48}{3} = 4 \Rightarrow 12n^2 - 16n^2 + 48 = 12$.$-4n^2 = -36$ $\Rightarrow n^2 = 9$ $\Rightarrow n = 3$.

ધન પૂર્ણાંક $n$,જેના માટે સમીકરણ $x(x+2)+(x+2)(x+4)+...+(x+2n-2)(x+2n) = \frac{8n}{3}$ ના ઉકેલો બે ક્રમિક બેકી પૂર્ણાંકો હોય,તે છે:

Similar Questions

સમીકરણ $|x-2|^2+|x-2|-2=0$ ના તમામ વાસ્તવિક બીજનો સરવાળો કેટલો થાય?

દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - 2\sqrt{3}x - 22 = 0$ ના બીજ કેવા છે?

જો સમીકરણ $x^2 + px + q = 0$ ના બીજ $\alpha$ અને $\beta$ હોય અને સમીકરણ $x^2 - xr + s = 0$ ના બીજ $\alpha^4$ અને $\beta^4$ હોય,તો સમીકરણ $x^2 - 4qx + 2q^2 - r = 0$ ના બીજ કેવા હશે?

જો $\alpha$ અને $\beta$ એ સમીકરણ $2^{6x} - 3(2^{3x+2}) + 32 = 0$ ના બીજ હોય અને $\beta < 1$ હોય,તો $2\alpha + 3\beta =$

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module