ધારો કે PQ એ અતિવલય frac{x^2}{4} - frac{y^2}{ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) અતિવલય $\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ આપેલ છે. ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{4}} = \sqrt{3}$.બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$1 + \frac{b^2}{4

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{8\sqrt{3}}{5}$

Vedclass · Answer

(B) અતિવલય $\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ આપેલ છે. ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{4}} = \sqrt{3}$.બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$1 + \frac{b^2}{4} = 3$ $\Rightarrow \frac{b^2}{4} = 2$ $\Rightarrow b^2 = 8$.તેથી,અતિવલય $\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{8} = 1$ છે.ધારો કે $P = (x_0, y_0)$. $PQ$ એ $x$-અક્ષને લંબ હોવાથી અને $OPQ$ સમબાજુ ત્રિકોણ હોવાથી,$\angle POM = 30^{\circ}$ થાય,જ્યાં $M$ એ $P$ માંથી $x$-અક્ષ પરનો લંબપાદ છે.$	riangle OMP$ માં,$	an 30^{\circ} = \frac{PM}{OM} = \frac{y_0}{x_0} = \frac{1}{\sqrt{3}} \Rightarrow x_0 = \sqrt{3}y_0$.$P$ અતિવલય પર હોવાથી,$\frac{(\sqrt{3}y_0)^2}{4} - \frac{y_0^2}{8} = 1 \Rightarrow \frac{3y_0^2}{4} - \frac{y_0^2}{8} = 1$.$\frac{6y_0^2 - y_0^2}{8} = 1$ $\Rightarrow \frac{5y_0^2}{8} = 1$ $\Rightarrow y_0^2 = \frac{8}{5}$ $\Rightarrow y_0 = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$.ત્રિકોણ $OPQ$ ની ઊંચાઈ $OM = x_0 = \sqrt{3}y_0 = \sqrt{3} 	imes \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{6}}{\sqrt{5}}$.ત્રિકોણનો પાયો $PQ = 2y_0 = \frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$.$	riangle OPQ$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} 	imes 	ext{પાયો} 	imes 	ext{ઊંચાઈ} = \frac{1}{2} 	imes \frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{5}} 	imes \frac{2\sqrt{6}}{\sqrt{5}} = \frac{4\sqrt{12}}{5} = \frac{8\sqrt{3}}{5}$.

Similar Questions

ધારો કે $P(x_0, y_0)$ એ અતિવલય $3x^2 - 4y^2 = 36$ પરનું બિંદુ છે જે રેખા $3x + 2y = 1$ ની સૌથી નજીક છે. તો $\sqrt{2}(y_0 - x_0)$ ની કિંમત શોધો:

જો $P(\frac{\pi}{4})$ અને $Q(\frac{3 \pi}{4})$ એ અતિવલય $4 x^2-y^2-8 x-2 y-13=0$ પરના બે બિંદુઓ પ્રાચલ સ્વરૂપમાં હોય,તો $P$ અને $Q$ વચ્ચેનું અંતર શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module