જો y=y(x) એ વિકલ સમીકરણ 16(sqrt{x+9sqrt{x}})( | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $16(\sqrt{x+9\sqrt{x}})(4+\sqrt{9+\sqrt{x}}) \cos y \, dy = (1+2 \sin y) \, dx$. ચલને અલગ કરતા: $\int \frac{\cos y}{1+2 \sin y}

Vedclass · Accepted Answer

$2 \sqrt{2}-1$

Vedclass · Answer

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $16(\sqrt{x+9\sqrt{x}})(4+\sqrt{9+\sqrt{x}}) \cos y \, dy = (1+2 \sin y) \, dx$. ચલને અલગ કરતા: $\int \frac{\cos y}{1+2 \sin y} \, dy = \int \frac{dx}{16(\sqrt{x+9\sqrt{x}})(4+\sqrt{9+\sqrt{x}})}$. ધારો કે $u = 1+2 \sin y$,તો $du = 2 \cos y \, dy$,તેથી $\int \frac{\cos y}{1+2 \sin y} \, dy = \frac{1}{2} \ln |1+2 \sin y|$. જમણી બાજુ માટે,ધારો કે $t = 4+\sqrt{9+\sqrt{x}}$. તેથી $t-4 = \sqrt{9+\sqrt{x}}$. બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(t-4)^2 = 9+\sqrt{x}$,તેથી $\sqrt{x} = (t-4)^2 - 9$. $t = 4+\sqrt{9+\sqrt{x}}$ નું વિકલન કરતા,$dt = \frac{1}{2\sqrt{9+\sqrt{x}}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} \, dx = \frac{dx}{4\sqrt{x(9+\sqrt{x})}} = \frac{dx}{4\sqrt{x+9\sqrt{x}}}$. તેથી,$\frac{dx}{\sqrt{x+9\sqrt{x}}} = 4 \, dt$. સંકલન આ મુજબ થશે: $\frac{1}{2} \ln |1+2 \sin y| = \int \frac{4 \, dt}{16t} = \frac{1}{4} \ln |t| + C = \frac{1}{4} \ln |4+\sqrt{9+\sqrt{x}}| + C$. $y(256) = \frac{\pi}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{2} \ln(1+2 \sin \frac{\pi}{2}) = \frac{1}{4} \ln(4+\sqrt{9+\sqrt{256}}) + C \implies \frac{1}{2} \ln 3 = \frac{1}{4} \ln(4+\sqrt{9+16}) + C = \frac{1}{4} \ln 9 + C = \frac{1}{2} \ln 3 + C$. તેથી $C = 0$. હવે,$y(49) = \alpha$ માટે: $\frac{1}{2} \ln(1+2 \sin \alpha) = \frac{1}{4} \ln(4+\sqrt{9+\sqrt{49}}) = \frac{1}{4} \ln(4+\sqrt{16}) = \frac{1}{4} \ln 8 = \frac{1}{4} \ln(2^3) = \frac{3}{4} \ln 2$. તેથી $\ln(1+2 \sin \alpha) = \frac{3}{2} \ln 2 = \ln(2^{3/2}) = \ln(2\sqrt{2})$. આમ,$1+2 \sin \alpha = 2\sqrt{2}$,જે આપણને $2 \sin \alpha = 2\sqrt{2}-1$ આપે છે.

Similar Questions

બિંદુ $\left(0, \frac{\pi}{4}\right)$ માંથી પસાર થતા અને વિકલ સમીકરણ $\left(e^x \tan y\right) dx + \left((1+e^x) \sec^2 y\right) dy = 0$ નું સમાધાન કરતા વક્રનું સમીકરણ શોધો.

વિકલ સમીકરણ $\cos (x+y) \frac{dy}{dx} = 1$ નો વ્યાપક ઉકેલ શોધો.

વિકલ સમીકરણ $y\,dx + (x + x^2y)dy = 0$ નો ઉકેલ શોધો.

જો $y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $(x+2) \frac{dy}{dx} = x^2+4x-9, x \neq -2$ નો ઉકેલ હોય અને $y(0) = 0$ હોય,તો $y(-4)$ ની કિંમત શોધો.

જો એક વક્ર $(1, 2)$ માંથી પસાર થતો હોય અને કોઈ બિંદુ $(x, y)$ આગળ તેના સ્પર્શકનો ઢાળ $1 - \frac{1}{x^2}$ હોય,તો તે વક્રનું સમીકરણ શું થાય?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module