જો વિકલ સમીકરણ $(x^{2}-4)y^{\prime}-2xy+2x(4-x^{2})^{2}=0$ માટે $x>2$ હોય અને તેનો ઉકેલ વક્ર $y=f(x)$ બિંદુ $(3, 15)$ માંથી પસાર થતો હોય,તો $f$ ની સ્થાનિક મહત્તમ કિંમત શોધો:

ધારો કે $Y=Y(X)$ પ્રથમ ચરણમાં આવેલો એક વક્ર છે,જેથી સ્પર્શક રેખા $Y-y=Y^{\prime}(x)(X-x)$ અને યામ અક્ષો દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ,જ્યાં $(x, y)$ એ વક્ર પરનું કોઈપણ બિંદુ છે,તે હંમેશા $\frac{-y^2}{2 Y^{\prime}(x)}+1$ છે,જ્યાં $Y^{\prime}(x) \neq 0$. જો $Y(1)=1$ હોય,તો $12 Y(2)$ ની કિંમત શોધો.

નીચેનામાંથી કયું સુરેખ વિકલ સમીકરણ (linear differential equation) છે?

$\frac{dx}{dy} + \frac{x}{y} = x^2$ નો ઉકેલ શોધો.

જો $y = \left(\frac{2}{\pi} x - 1\right) \operatorname{cosec} x$ એ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + p(x) y = \frac{2}{\pi} \operatorname{cosec} x$ નો ઉકેલ હોય,જ્યાં $0 < x < \frac{\pi}{2}$,તો વિધેય $p(x)$ ની કિંમત શોધો.

વિકલ સમીકરણ $x \cos x \frac{dy}{dx} + (x \sin x + \cos x) y = 1$ નો ઉકેલ શોધો.