ગણ S = {x : x in [0, 100] text{ અને } int_{0} | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) ધારો કે $I = \int_{0}^{x} t^{2} \sin(x-t) dt$. ગુણધર્મ $\int_{0}^{x} f(t) dt = \int_{0}^{x} f(x-t) dt$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે $I = \int_{0}^{x} (

Vedclass · Accepted Answer

$16$

Vedclass · Answer

(B) ધારો કે $I = \int_{0}^{x} t^{2} \sin(x-t) dt$. ગુણધર્મ $\int_{0}^{x} f(t) dt = \int_{0}^{x} f(x-t) dt$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે $I = \int_{0}^{x} (x-t)^{2} \sin(t) dt$. આનું વિસ્તરણ કરતા,$I = \int_{0}^{x} (x^{2} - 2xt + t^{2}) \sin(t) dt = x^{2} \int_{0}^{x} \sin(t) dt - 2x \int_{0}^{x} t \sin(t) dt + \int_{0}^{x} t^{2} \sin(t) dt$. સંકલનનું મૂલ્યાંકન કરતા: $1. \int_{0}^{x} \sin(t) dt = [-\cos(t)]_{0}^{x} = 1 - \cos(x)$. $2. \int_{0}^{x} t \sin(t) dt = [-t \cos(t)]_{0}^{x} + \int_{0}^{x} \cos(t) dt = -x \cos(x) + \sin(x)$. $3. \int_{0}^{x} t^{2} \sin(t) dt = [-t^{2} \cos(t)]_{0}^{x} + 2 \int_{0}^{x} t \cos(t) dt = -x^{2} \cos(x) + 2(t \sin(t) + \cos(t))_{0}^{x} = -x^{2} \cos(x) + 2x \sin(x) + 2 \cos(x) - 2$. આ કિંમતો મૂકતા: $I = x^{2}(1 - \cos(x)) - 2x(-x \cos(x) + \sin(x)) + (-x^{2} \cos(x) + 2x \sin(x) + 2 \cos(x) - 2) = x^{2} + 2 \cos(x) - 2$. આપેલ છે કે $I = x^{2}$,તેથી $x^{2} + 2 \cos(x) - 2 = x^{2}$,જેનું સાદું રૂપ $2 \cos(x) = 2$ અથવા $\cos(x) = 1$ થાય છે. $x \in [0, 100]$ માટે,$\cos(x) = 1$ નો અર્થ છે $x = 2n\pi$,જ્યાં $n = 0, 1, 2, \dots$. $2n\pi \le 100$ હોવાથી,$n \le \frac{100}{2\pi} \approx 15.92$. આમ,$n$ ની કિંમતો $0, 1, 2, \dots, 15$ હોઈ શકે,જે કુલ $16$ મૂલ્યો આપે છે.

ગણ $S = \{x : x \in [0, 100] \text{ અને } \int_{0}^{x} t^{2} \sin(x-t) dt = x^{2}\}$ માં ઘટકોની સંખ્યા કેટલી છે?

Similar Questions

જો $\int\limits_0^1 \frac{\ln x}{\sqrt{1 - x^2}} dx = k \int\limits_0^\pi \ln(1 + \cos x) dx$ હોય,તો $k$ ની કિંમત શોધો:

$\int_{-1}^1 \sin^5 x \cos^4 x \, dx$ ની કિંમત શું છે?

$\int_{-\pi}^\pi \frac{2 y(1+\sin y)}{1+\cos ^2 y} d y$ નું મૂલ્ય શોધો:

$\int_{-1}^1 \frac{\sqrt{1+x+x^2}-\sqrt{1-x+x^2}}{\sqrt{1+x+x^2}+\sqrt{1-x+x^2}} dx$ ની કિંમત શોધો.

$\int_{-1}^1 \left(\sqrt{1+x+x^2}-\sqrt{1-x+x^2}\right) dx =$

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module