$16$ સમાન નારંગીઓને $4$ બાળકો વચ્ચે એવી રીતે વહેંચવાની રીતોની સંખ્યા શોધો કે જેથી દરેક બાળકને ઓછામાં ઓછી એક નારંગી મળે:

જો ${}^nC_4, {}^nC_5$ અને ${}^nC_6$ એ $A.P.$ માં હોય,તો $n$ ની કિંમત શોધો.

જો $^{15}C_{3r} = ^{15}C_{r+3}$ હોય,તો $r$ ની કિંમત શોધો.

$5$ અલગ-અલગ લીલા દડા,$4$ અલગ-અલગ વાદળી દડા અને $3$ અલગ-અલગ લાલ દડામાંથી કેટલા જૂથ બનાવી શકાય,જો ઓછામાં ઓછો $1$ લીલો અને $1$ વાદળી દડો સામેલ હોય?

એક વિદ્યાર્થીએ $10$ પ્રશ્નોના જવાબ આપવાના છે,જેમાં ભાગ $A$ અને $B$ દરેકમાંથી ઓછામાં ઓછા $4$ પ્રશ્નો પસંદ કરવાના છે. જો ભાગ $A$ માં $6$ પ્રશ્નો અને ભાગ $B$ માં $7$ પ્રશ્નો હોય,તો વિદ્યાર્થી $10$ પ્રશ્નો કેટલી રીતે પસંદ કરી શકે?

અંગ્રેજી મૂળાક્ષરોમાં $5$ સ્વરો અને $21$ વ્યંજનો છે. મૂળાક્ષરોમાંથી $2$ અલગ-અલગ સ્વરો અને $2$ અલગ-અલગ વ્યંજનોનો ઉપયોગ કરીને કેટલા શબ્દો બનાવી શકાય?