JEE Main 2024 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(D) हमें $64^{32^{32}}$ को $9$ से विभाजित करने पर प्राप्त शेषफल ज्ञात करना है।
सबसे पहले,ध्यान दें कि $64 = 9 \times 7 + 1$,इसलिए $64 \equiv 1 \pmod{9}$ है।
मॉड्यूलर अंकगणित के गुण का उपयोग करते हुए,यदि $a \equiv b \pmod{m}$ है,तो $a^n \equiv b^n \pmod{m}$ होता है।
इसलिए,$64^{32^{32}} \equiv 1^{32^{32}} \pmod{9}$ होगा।
चूंकि $1$ की कोई भी धनात्मक पूर्णांक घात $1$ ही होती है,इसलिए $1^{32^{32}} = 1$ है।
अतः,$64^{32^{32}} \equiv 1 \pmod{9}$ है।
शेषफल $1$ है।

(A) दिया गया समीकरण $x^2 - 2^y = 2023$ है,जहाँ $x, y \in \mathbb{N}$ है।
समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर,$x^2 - 2023 = 2^y$ प्राप्त होता है।
यदि $y = 1$ है,तो $x^2 - 2023 = 2^1 = 2$,जिसका अर्थ है कि $x^2 = 2025$,इसलिए $x = 45$ है।
अन्य मानों के लिए कोई पूर्णांक हल नहीं मिलता है।
अतः,एकमात्र हल $(45, 1)$ है।
योग $\sum_{(x, y) \in C} (x + y) = 45 + 1 = 46$ है।

(A) प्रारंभिक रेखा $A(9,0)$ से गुजरती है और $x$-अक्ष के साथ $30^{\circ}$ का कोण बनाती है।
जब रेखा को $A$ के परितः घड़ी की दिशा में $15^{\circ}$ घुमाया जाता है,तो नया कोण $\theta = 30^{\circ} - 15^{\circ} = 15^{\circ}$ हो जाता है।
नई रेखा की ढाल $m = \tan 15^{\circ} = 2-\sqrt{3}$ है।
बिंदु $(9,0)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $y - 0 = (2-\sqrt{3})(x - 9)$ है।
इसे $x + \frac{y}{\sqrt{3}-2} = 9$ के रूप में लिखा जा सकता है।

(A) समांतर श्रेणी के प्रथम $n$ पदों का योग $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]$ द्वारा दिया जाता है।
दिया है $S_{20} = \frac{20}{2}[2a + 19d] = 790$,जिससे $2a + 19d = 79$ $(1)$ प्राप्त होता है।
दिया है $S_{10} = \frac{10}{2}[2a + 9d] = 145$,जिससे $2a + 9d = 29$ $(2)$ प्राप्त होता है।
$(1)$ में से $(2)$ घटाने पर,$10d = 50$ प्राप्त होता है,अतः $d = 5$ है।
$d = 5$ का मान $(2)$ में रखने पर,$2a + 45 = 29$,जिससे $2a = -16$,अर्थात $a = -8$ प्राप्त होता है।
अब,$S_{15} - S_5 = \frac{15}{2}[2a + 14d] - \frac{5}{2}[2a + 4d]$ का मान ज्ञात करते हैं।
$a = -8$ और $d = 5$ रखने पर:
$S_{15} - S_5 = \frac{15}{2}[-16 + 70] - \frac{5}{2}[-16 + 20]$
$= \frac{15}{2}(54) - \frac{5}{2}(4) = 405 - 10 = 395$.

(B) दिए गए समीकरण $z^2 + i\bar{z} = 0$ से,$z^2 = -i\bar{z}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का मापांक लेने पर,$|z^2| = |-i\bar{z}|$।
चूंकि $|-i| = 1$ और $|\bar{z}| = |z|$,यह $|z|^2 = |z|$ में सरल हो जाता है।
अतः $|z|^2 - |z| = 0$,यानी $|z|(|z| - 1) = 0$।
चूंकि $xy \neq 0$,इसलिए $z \neq 0$,अतः $|z| \neq 0$। इस प्रकार,$|z| = 1$।
इसलिए,$|z^2| = |z|^2 = 1^2 = 1$।

(A) समुच्चय $\{0, 1, 2, \ldots, 10\}$ से प्रतिस्थापन के साथ दो पूर्णांक $x$ और $y$ चुनने के कुल तरीके $11 \times 11 = 121$ हैं।
हमें उन युग्मों $(x, y)$ की संख्या ज्ञात करनी है जिनके लिए $|x-y| > 5$ हो।
स्थिति $1$: $x - y > 5 \implies x - y \in \{6, 7, 8, 9, 10\}$.
यदि $x=6, y=0$; यदि $x=7, y=0, 1$; यदि $x=8, y=0, 1, 2$; यदि $x=9, y=0, 1, 2, 3$; यदि $x=10, y=0, 1, 2, 3, 4$.
ऐसे युग्मों की संख्या $1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15$ है।
स्थिति $2$: $y - x > 5 \implies y - x \in \{6, 7, 8, 9, 10\}$.
समरूपता से,ऐसे युग्मों की संख्या भी $15$ है।
कुल अनुकूल परिणाम $= 15 + 15 = 30$.
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $\frac{30}{121}$ है।

(C) दो वृत्तों के दो अलग-अलग बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करने के लिए,उनके केंद्रों के बीच की दूरी $C_1C_2$ को शर्त $|r_1 - r_2| < C_1C_2 < r_1 + r_2$ को पूरा करना चाहिए।
पहले वृत्त $(x+1)^2 + (y+2)^2 = r^2$ के लिए,केंद्र $C_1 = (-1, -2)$ और त्रिज्या $r_1 = r$ है।
दूसरे वृत्त $x^2 + y^2 - 4x - 4y + 4 = 0$ के लिए,केंद्र $C_2 = (2, 2)$ और त्रिज्या $r_2 = \sqrt{2^2 + 2^2 - 4} = 2$ है।
केंद्रों के बीच की दूरी $C_1C_2 = \sqrt{(2 - (-1))^2 + (2 - (-2))^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$ है।
शर्त $|r - 2| < 5 < r + 2$ लागू करने पर:
$1$) $|r - 2| < 5$ $\Rightarrow -5 < r - 2 < 5$ $\Rightarrow -3 < r < 7$।
$2$) $5 < r + 2 \Rightarrow r > 3$।
इन असमानताओं को मिलाने पर,हमें $3 < r < 7$ प्राप्त होता है।

(D) माना दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ है,जहाँ $a > b$ है।
लघु अक्ष की लंबाई $2b$ है।
नाभियों के बीच की दूरी $2ae$ है।
प्रश्न के अनुसार,$2b = \frac{1}{2} (2ae) = ae$ है।
अतः,$\frac{b}{a} = \frac{e}{2}$ है।
हम जानते हैं कि दीर्घवृत्त के लिए,$b^2 = a^2(1 - e^2)$,जिसका अर्थ है $\frac{b^2}{a^2} = 1 - e^2$ है।
$\frac{b}{a} = \frac{e}{2}$ रखने पर,हमें $(\frac{e}{2})^2 = 1 - e^2$ प्राप्त होता है।
$\frac{e^2}{4} = 1 - e^2$ है।
$e^2 + \frac{e^2}{4} = 1$ है।
$\frac{5e^2}{4} = 1$ है।
$e^2 = \frac{4}{5}$ है।
$e = \frac{2}{\sqrt{5}}$ है।

(D) कुल आवृत्ति $N = 3 + 9 + 10 + 8 + 6 = 36$ है।

वर्ग	आवृत्ति	संचयी आवृत्ति
$0-4$	$3$	$3$
$4-8$	$9$	$12$
$8-12$	$10$	$22$
$12-16$	$8$	$30$
$16-20$	$6$	$36$

चूंकि $\frac{N}{2} = \frac{36}{2} = 18$,माध्यक वर्ग $8-12$ है।
माध्यक का सूत्र $M = l + \left( \frac{\frac{N}{2} - C}{f} \right) \times h$ है,जहाँ $l = 8$,$C = 12$,$f = 10$,और $h = 4$ है।
$M = 8 + \left( \frac{18 - 12}{10} \right) \times 4 = 8 + \left( \frac{6}{10} \right) \times 4 = 8 + 2.4 = 10.4$.
अतः,$20M = 20 \times 10.4 = 208$.

(B) दिया गया समीकरण: $2 \sin^3 x + (2 \sin x \cos x) \cos x + 4 \sin x - 4 = 0$
$2 \sin^3 x + 2 \sin x \cos^2 x + 4 \sin x - 4 = 0$
$\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ प्रतिस्थापित करने पर:
$2 \sin^3 x + 2 \sin x (1 - \sin^2 x) + 4 \sin x - 4 = 0$
$2 \sin^3 x + 2 \sin x - 2 \sin^3 x + 4 \sin x - 4 = 0$
$6 \sin x = 4 \implies \sin x = \frac{2}{3}$
अंतराल $[0, \frac{n \pi}{2}]$ में $\sin x = \frac{2}{3}$ के $3$ हल होने के लिए $n = 5$ प्राप्त होता है।
द्विघात समीकरण $x^2 + 5x + 2 = 0$ है।
मूल $x = \frac{-5 \pm \sqrt{17}}{2}$ हैं।
दोनों मूल ऋणात्मक हैं,इसलिए वे $(-\infty, 0)$ में स्थित हैं।

(A) माना $n(M)=20$,$n(P)=25$,$n(C)=16$,और $n(M \cup P \cup C)=40$ है। माना $x$ उन छात्रों की संख्या है जो तीनों विषयों में उत्तीर्ण हुए हैं।
समावेशन-अपवर्जन सिद्धांत का उपयोग करते हुए:
$n(M \cup P \cup C) = n(M) + n(P) + n(C) - [n(M \cap P) + n(P \cap C) + n(M \cap C)] + n(M \cap P \cap C)$
$40 = 20 + 25 + 16 - [n(M \cap P) + n(P \cap C) + n(M \cap C)] + x$
$40 = 61 - [n(M \cap P) + n(P \cap C) + n(M \cap C)] + x$
$[n(M \cap P) + n(P \cap C) + n(M \cap C)] = 21 + x$
हमें दिया गया है कि $n(M \cap P) \leq 11$,$n(P \cap C) \leq 15$,और $n(M \cap C) \leq 15$ है।
इन असमिकाओं को जोड़ने पर: $n(M \cap P) + n(P \cap C) + n(M \cap C) \leq 11 + 15 + 15 = 41$.
समावेशन-अपवर्जन सिद्धांत से प्राप्त व्यंजक को प्रतिस्थापित करने पर:
$21 + x \leq 41 \Rightarrow x \leq 20$.
साथ ही,$x$ को किसी भी दो समुच्चयों के प्रतिच्छेदन से छोटा या उसके बराबर होना चाहिए,इसलिए $x \leq 11$। वेन आरेख तर्क के साथ शर्तों की जांच करने पर,सभी शर्तों को संतुष्ट करने वाला अधिकतम मान $x = 10$ है।

(C) अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ का नाभिलंब नाभि $(ae, 0)$ से गुजरता है। नाभिलंब के अंतिम बिंदु $(ae, \frac{b^2}{a})$ और $(ae, -\frac{b^2}{a})$ हैं।
केंद्र $(0, 0)$ पर अंतरित कोण $\frac{\pi}{3} = 60^{\circ}$ है।
समकोण त्रिभुज के लिए,केंद्र पर कोण $\frac{60^{\circ}}{2} = 30^{\circ}$ होगा।
अतः,$\tan 30^{\circ} = \frac{b^2/a}{ae} = \frac{b^2}{a^2e} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
यहाँ $a^2 = 9$ है,इसलिए $a = 3$ है। अतः,$\frac{b^2}{9e} = \frac{1}{\sqrt{3}} \Rightarrow b^2 = 3\sqrt{3}e$.
हम जानते हैं कि $e^2 = 1 + \frac{b^2}{a^2} = 1 + \frac{b^2}{9} \Rightarrow b^2 = 9(e^2 - 1)$.
दोनों समीकरणों की तुलना करने पर: $9(e^2 - 1) = 3\sqrt{3}e \Rightarrow 3e^2 - \sqrt{3}e - 3 = 0$.
$e$ के लिए हल करने पर: $e = \frac{1 + \sqrt{13}}{2\sqrt{3}}$.
अतः $b^2 = 3\sqrt{3} \left( \frac{1 + \sqrt{13}}{2\sqrt{3}} \right) = \frac{3}{2}(1 + \sqrt{13})$.
तुलना करने पर $l=3, m=2, n=13$ प्राप्त होता है।
अतः,$l^2+m^2+n^2 = 3^2 + 2^2 + 13^2 = 9 + 4 + 169 = 182$.

(B) $(7^{1/2} + 11^{1/6})^{824}$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{r+1} = {}^{824}C_r (7)^{(824-r)/2} (11)^{r/6}$ है।
पद के पूर्णांक होने के लिए,$7$ और $11$ के घातांक पूर्णांक होने चाहिए।
$1$. $7$ का घातांक $(824-r)/2 = 412 - r/2$ है। इसके पूर्णांक होने के लिए,$r$ एक सम संख्या होनी चाहिए।
$2$. $11$ का घातांक $r/6$ है। इसके पूर्णांक होने के लिए,$r$ को $6$ का गुणज होना चाहिए।
इन दोनों को मिलाने पर,$r$ को $\text{lcm}(2, 6) = 6$ का गुणज होना चाहिए।
अतः,$r$ के मान $0, 6, 12, \dots, 822$ हो सकते हैं।
यह एक समांतर श्रेणी है जहाँ $a = 0$,$d = 6$ और अंतिम पद $l = 822$ है।
सूत्र $l = a + (n-1)d$ का उपयोग करने पर,$822 = 0 + (n-1)6$ प्राप्त होता है।
$n-1 = 822/6 = 137$.
$n = 138$.
इसलिए,कुल $138$ पूर्णांक पद हैं।

(D) दिया गया द्विघात समीकरण $x^2-70x+\lambda=0$ है जिसके मूल $\alpha, \beta \in \mathbb{N}$ हैं।
विएटा के सूत्रों के अनुसार,$\alpha+\beta=70$ और $\alpha\beta=\lambda$ है।
हमें दिया गया है कि $\frac{\lambda}{2} \notin \mathbb{N}$ और $\frac{\lambda}{3} \notin \mathbb{N}$,जिसका अर्थ है कि $\lambda$ का मान $2$ या $3$ से विभाज्य नहीं है।
$\lambda = \alpha(70-\alpha)$ होने के कारण,हम $\alpha$ के उन मानों की जाँच करते हैं जिनके लिए $\lambda$ का मान $2$ या $3$ से विभाज्य न हो।
$\alpha=5$ के लिए,$\lambda=325$ प्राप्त होता है,जो $2$ या $3$ से विभाज्य नहीं है। यह न्यूनतम मान है।
$\alpha=5, \beta=65, \lambda=325$ रखने पर,व्यंजक का मान:
$\frac{(2+8)(325+35)}{60} = \frac{10 \times 360}{60} = 60$.

(B) अनुक्रम $1, 4, 8, 13, 19, 26, \ldots$ का $n$-वां पद $a_n = \frac{n^2+3n-2}{2}$ है।
अतः,$\alpha = \sum_{n=1}^{10} \left(\frac{n^2+3n-2}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} \sum_{n=1}^{10} (n^2+3n-2)^2$.
इसलिए $4\alpha = \sum_{n=1}^{10} (n^4 + 6n^3 + 5n^2 - 12n + 4)$.
दिया है $\beta = \sum_{n=1}^{10} n^4$,इसलिए $4\alpha - \beta = \sum_{n=1}^{10} (6n^3 + 5n^2 - 12n + 4)$.
मानक योग सूत्रों का उपयोग करते हुए:
$\sum_{n=1}^{10} n^3 = 3025$,$\sum_{n=1}^{10} n^2 = 385$,$\sum_{n=1}^{10} n = 55$.
$4\alpha - \beta = 6(3025) + 5(385) - 12(55) + 4(10) = 19455$.
दिया है $4\alpha - \beta = 55k + 40$,इसलिए $55k = 19415$.
$k = 353$.

(B) दिया गया है $3 \sin (\alpha+\beta)=2 \sin (\alpha-\beta)$।
सूत्रों का उपयोग करके विस्तार करने पर:
$3(\sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta) = 2(\sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta)$
$3 \sin \alpha \cos \beta + 3 \cos \alpha \sin \beta = 2 \sin \alpha \cos \beta - 2 \cos \alpha \sin \beta$
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$3 \sin \alpha \cos \beta - 2 \sin \alpha \cos \beta = -2 \cos \alpha \sin \beta - 3 \cos \alpha \sin \beta$
$\sin \alpha \cos \beta = -5 \cos \alpha \sin \beta$
दोनों पक्षों को $\cos \alpha \cos \beta$ से विभाजित करने पर:
$\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = -5 \frac{\sin \beta}{\cos \beta}$
$\tan \alpha = -5 \tan \beta$
$\tan \alpha = k \tan \beta$ के साथ तुलना करने पर,$k = -5$ प्राप्त होता है।

(D) रेखा $5x + 7y = 50$ है। $A(\alpha, 0)$ के लिए,$5\alpha = 50 \implies \alpha = 10$,अतः $A = (10, 0)$। $B(0, \beta)$ के लिए,$7\beta = 50 \implies \beta = \frac{50}{7}$,अतः $B = (0, \frac{50}{7})$।
बिंदु $P$ रेखाखंड $AB$ को $7:3$ के अनुपात में विभाजित करता है। विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर,$P = \left( \frac{7(0) + 3(10)}{7+3}, \frac{7(\frac{50}{7}) + 3(0)}{7+3} \right) = (3, 5)$।
नियता $x = \frac{25}{3}$ है। नाभि $S$,$x$-अक्ष पर स्थित है,अतः $S = (ae, 0)$। $S$ से $x$-अक्ष पर लंब रेखा $x = ae$ है। चूँकि यह $P(3, 5)$ से गुजरती है,इसलिए $ae = 3$।
नियता का समीकरण $x = \frac{a}{e} = \frac{25}{3}$ है।
$ae = 3$ और $\frac{a}{e} = \frac{25}{3}$ का गुणा करने पर: $a^2 = 25 \implies a = 5$।
अतः $e = \frac{3}{5}$।
$b^2 = a^2(1 - e^2)$ का उपयोग करने पर,$b^2 = 25(1 - \frac{9}{25}) = 16$।
नाभिलंब की लंबाई $\frac{2b^2}{a} = \frac{2(16)}{5} = \frac{32}{5}$ है।

(C) प्रथम $GP$ के लिए: सार्व अनुपात $r_1$ मानिए। दिया है $t_1 = a$ और $t_3 = b = a r_1^2$,अतः $r_1^2 = \frac{b}{a}$।
$11$वाँ पद $t_{11} = a r_1^{10} = a (r_1^2)^5 = a \left(\frac{b}{a}\right)^5$ है।
दूसरे $GP$ के लिए: सार्व अनुपात $r_2$ मानिए। दिया है $T_1 = a$ और $T_5 = b = a r_2^4$,अतः $r_2^4 = \frac{b}{a}$,जिसका अर्थ है $r_2 = \left(\frac{b}{a}\right)^{1/4}$।
$p$वाँ पद $T_p = a r_2^{p-1} = a \left(\frac{b}{a}\right)^{\frac{p-1}{4}}$ है।
चूँकि $t_{11} = T_p$,इसलिए $a \left(\frac{b}{a}\right)^5 = a \left(\frac{b}{a}\right)^{\frac{p-1}{4}}$।
घातांकों की तुलना करने पर,$5 = \frac{p-1}{4}$,जिससे $p-1 = 20$,अतः $p = 21$।

(A) रेखाओं $x+2y+7=0$ और $2x-y+8=0$ से समान दूरी पर स्थित बिंदु $P(x, y)$ का बिंदुपथ इन रेखाओं के कोण समद्विभाजक हैं।
दूरी को बराबर करने पर:
$\frac{|x+2y+7|}{\sqrt{1^2+2^2}} = \frac{|2x-y+8|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}}$
$|x+2y+7| = |2x-y+8|$
$(x+2y+7)^2 - (2x-y+8)^2 = 0$
$(x-3y+1)(3x+y+15) = 0$
$3x^2 - 3y^2 - 8xy + 18x - 44y + 15 = 0$
$x^2 - y^2 - \frac{8}{3}xy + 6x - \frac{44}{3}y + 5 = 0$
गुणांकों की तुलना करने पर:
$h = -\frac{4}{3}, g = 3, f = -\frac{22}{3}, c = 5$
$g+c+h-f = 3 + 5 - \frac{4}{3} + \frac{22}{3} = 8 + 6 = 14$.

(C) अतिपरवलय का समीकरण: $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=1$ है।
यहाँ,$a^2=9$ और $b^2=4$ है।
उत्केंद्रता $e$ के लिए $b^2=a^2(e^2-1)$,अतः $e^2=1+\frac{b^2}{a^2} = 1+\frac{4}{9} = \frac{13}{9}$ है।
इस प्रकार,$e=\frac{\sqrt{13}}{3}$ है।
दो नाभियों $S_1$ और $S_2$ के बीच की दूरी $2ae = 2 \times 3 \times \frac{\sqrt{13}}{3} = 2\sqrt{13}$ है।
मान लीजिए $P = (\alpha, \beta)$ है। $\Delta PS_1S_2$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times (2ae) \times \beta = 2\sqrt{13}$ है।
$2ae = 2\sqrt{13}$ रखने पर,$\frac{1}{2} \times (2\sqrt{13}) \times \beta = 2\sqrt{13}$,जिससे $\beta=2$ प्राप्त होता है।
चूंकि $P$ अतिपरवलय पर स्थित है,$\frac{\alpha^2}{9}-\frac{\beta^2}{4}=1$ है। $\beta=2$ रखने पर,$\frac{\alpha^2}{9}-\frac{4}{4}=1$ $\Rightarrow \frac{\alpha^2}{9}=2$ $\Rightarrow \alpha^2=18$ है।
मूल बिंदु से $P$ की दूरी का वर्ग $OP^2 = \alpha^2+\beta^2 = 18 + 2^2 = 18+4 = 22$ है।

(B) दिए गए समीकरण $z^{1985}+z^{100}+1=0$ और $z^3+2z^2+2z+1=0$ हैं।
सबसे पहले,$z^3+2z^2+2z+1=0$ का गुणनखंड करें:
$(z^3+1) + (2z^2+2z) = 0$
$(z+1)(z^2-z+1) + 2z(z+1) = 0$
$(z+1)(z^2+z+1) = 0$
मूल $z = -1$,$z = \omega$,और $z = \omega^2$ हैं,जहाँ $\omega$ इकाई का सम्मिश्र घनमूल है।
अब,इन मूलों की जाँच पहले समीकरण $f(z) = z^{1985}+z^{100}+1=0$ में करें:
$1$. $z = -1$ के लिए:
$(-1)^{1985} + (-1)^{100} + 1 = -1 + 1 + 1 = 1 \neq 0$.
$2$. $z = \omega$ के लिए:
$\omega^{1985} + \omega^{100} + 1 = \omega^2 + \omega + 1 = 0$.
$3$. $z = \omega^2$ के लिए:
$(\omega^2)^{1985} + (\omega^2)^{100} + 1 = \omega^{3970} + \omega^{200} + 1 = \omega + \omega^2 + 1 = 0$.
अतः,उभयनिष्ठ मूल $z = \omega$ और $z = \omega^2$ हैं।
उभयनिष्ठ मूलों की संख्या $2$ है।

(C) मान लीजिए कि चार क्रमागत द्विपद गुणांक $^nC_r, ^nC_{r+1}, ^nC_{r+2}, ^nC_{r+3}$ हैं।
दिया गया है:
$2-p = ^nC_r$
$p = ^nC_{r+1}$
$2-\alpha = ^nC_{r+2}$
$\alpha = ^nC_{r+3}$
पहले दो का योग करने पर:
$(2-p) + p = ^nC_r + ^nC_{r+1} = ^{n+1}C_{r+1} = 2$
अंतिम दो का योग करने पर:
$(2-\alpha) + \alpha = ^nC_{r+2} + ^nC_{r+3} = ^{n+1}C_{r+3} = 2$
यहाँ $p=1$ और $\alpha=1$ लेने पर,$p^2-\alpha^2+6\alpha+2p = 1^2-1^2+6(1)+2(1) = 8$ प्राप्त होता है।

(C) मान लीजिए $O(0, 0)$ वृत्त $C_1$ का केंद्र है और $A(\alpha, 0)$ वृत्त $C_2$ का केंद्र है। मान लीजिए $P$ दोनों वृत्तों का एक प्रतिच्छेदन बिंदु है। त्रिज्याएँ $OP = 5$ और $AP = 4$ हैं। केंद्रों के बीच की दूरी $OA = \alpha$ है।
$\Delta OAP$ में,भुजाएँ $5, 4$ और $\alpha$ हैं। $P$ पर कोण $\theta = \sin^{-1}\left(\frac{\sqrt{63}}{8}\right)$ है,इसलिए $\sin \theta = \frac{\sqrt{63}}{8}$ है।
$\Delta OAP$ का क्षेत्रफल दो तरह से निकाला जा सकता है:
$1$) क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times OP \times AP \times \sin \theta = \frac{1}{2} \times 5 \times 4 \times \frac{\sqrt{63}}{8} = \frac{5\sqrt{63}}{4}$.
$2$) क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} = \frac{1}{2} \times \alpha \times \left(\frac{\beta}{2}\right) = \frac{\alpha \beta}{4}$.
दोनों क्षेत्रफलों की तुलना करने पर: $\frac{\alpha \beta}{4} = \frac{5\sqrt{63}}{4} \Rightarrow \alpha \beta = 5\sqrt{63}$.
अतः,$(\alpha \beta)^2 = 25 \times 63 = 1575$.

(D) हम जानते हैं कि $\frac{{ }^n C_k}{k+1} = \frac{{ }^{n+1} C_{k+1}}{n+1}$ होता है।
अतः,$\alpha = \sum_{k=0}^n \frac{{ }^n C_k \cdot { }^{n+1} C_{k+1}}{n+1} = \frac{1}{n+1} \sum_{k=0}^n { }^n C_{n-k} \cdot { }^{n+1} C_{k+1} = \frac{1}{n+1} { }^{2n+1} C_{n+1}$।
इसी प्रकार,$\beta = \sum_{k=0}^{n-1} \frac{{ }^n C_k \cdot { }^{n+1} C_{k+2}}{n+1} = \frac{1}{n+1} \sum_{k=0}^{n-1} { }^n C_{n-k} \cdot { }^{n+1} C_{k+2} = \frac{1}{n+1} { }^{2n+1} C_{n+2}$।
दिया गया है $5 \alpha = 6 \beta$,इसलिए $\frac{\beta}{\alpha} = \frac{5}{6}$।
मान रखने पर,$\frac{\beta}{\alpha} = \frac{{ }^{2n+1} C_{n+2}}{{ }^{2n+1} C_{n+1}} = \frac{2n+1 - (n+2) + 1}{n+2} = \frac{n}{n+2}$।
$\frac{n}{n+2} = \frac{5}{6}$ को हल करने पर,$6n = 5n + 10$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $n = 10$।

(A) दी गई समांतर श्रेणी $3, 7, 11, \ldots$ है,जिसमें प्रथम पद $a = 3$ और सार्व अंतर $d = 4$ है।
प्रथम $n$ पदों का योग $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d] = \frac{n}{2}[6 + (n-1)4] = 2n^2 + n$ है।
अब,$\sum_{k=1}^{n} S_k = \sum_{k=1}^{n} (2k^2 + k) = 2 \sum_{k=1}^{n} k^2 + \sum_{k=1}^{n} k$ की गणना करते हैं।
मानक सूत्रों का उपयोग करने पर,$\sum_{k=1}^{n} S_k = 2 \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{n(n+1)}{2} = \frac{n(n+1)(4n+5)}{6}$ प्राप्त होता है।
इस मान को असमिका में रखने पर: $40 < \frac{6}{n(n+1)} \cdot \frac{n(n+1)(4n+5)}{6} < 42$.
यह $40 < 4n + 5 < 42$ में सरल हो जाता है।
सभी पक्षों से $5$ घटाने पर: $35 < 4n < 37$.
$4$ से भाग देने पर: $8.75 < n < 9.25$.
चूंकि $n$ एक पूर्णांक है,इसलिए $n = 9$ है।

(B) मान लीजिए $n_A, n_B, n_C$ क्रमशः खंड $A, B, C$ से चुने गए प्रश्नों की संख्या है। हमारे पास $n_A + n_B + n_C = 15$ है,जहाँ $n_A \ge 4, n_B \ge 4, n_C \ge 4$ और $n_A \le 8, n_B \le 6, n_C \le 6$ है।
संभावित संयोजन $(n_A, n_B, n_C)$ हैं:
$1$. $(7, 4, 4): \binom{8}{7} \binom{6}{4} \binom{6}{4} = 1800$
$2$. $(6, 5, 4): \binom{8}{6} \binom{6}{5} \binom{6}{4} = 2520$
$3$. $(6, 4, 5): \binom{8}{6} \binom{6}{4} \binom{6}{5} = 2520$
$4$. $(5, 6, 4): \binom{8}{5} \binom{6}{6} \binom{6}{4} = 840$
$5$. $(5, 4, 6): \binom{8}{5} \binom{6}{4} \binom{6}{6} = 840$
$6$. $(5, 5, 5): \binom{8}{5} \binom{6}{5} \binom{6}{5} = 2016$
$7$. $(4, 6, 5): \binom{8}{4} \binom{6}{6} \binom{6}{5} = 420$
$8$. $(4, 5, 6): \binom{8}{4} \binom{6}{5} \binom{6}{6} = 420$
कुल तरीके $= 1800 + 2520 + 2520 + 840 + 840 + 2016 + 420 + 420 = 11376$.

(D) दिया गया समीकरण $x(x^2+3|x|+5|x-1|+6|x-2|) = 0$ है।
इसका अर्थ है कि या तो $x = 0$ है या $x^2+3|x|+5|x-1|+6|x-2| = 0$ है।
दूसरे भाग के लिए,मान लीजिए $f(x) = x^2+3|x|+5|x-1|+6|x-2|$ है।
चूंकि $x^2 \ge 0$,$3|x| \ge 0$,$5|x-1| \ge 0$,और $6|x-2| \ge 0$,इसलिए योग $f(x)$ हमेशा गैर-ऋणात्मक है।
विशेष रूप से,$f(x) = 0$ केवल तभी संभव है जब सभी पद एक साथ शून्य हों,जो असंभव है क्योंकि $x^2=0 \implies x=0$,लेकिन $x=0$ पर,$f(0) = 0^2 + 3(0) + 5|0-1| + 6|0-2| = 17 \neq 0$ है।
अतः,एकमात्र वास्तविक हल $x = 0$ है।
इसलिए,वास्तविक हलों की संख्या $1$ है।

(B) सबसे पहले,माध्य $\overline{x}$ की गणना करें:
$\overline{x} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i} = \frac{176}{22} = 8$
प्रसरण $\sigma^2 = \frac{1}{N} \sum f_i x_i^2 - (\overline{x})^2$
$\sigma^2 = \frac{2048}{22} - (8)^2 = 93.09 - 64 = 29.09$
निकटतम पूर्णांक में,सही विकल्प $B$ है।

(A) मान लीजिए $f(x) = (a+b-2c)x^2 + (b+c-2a)x + (c+a-2b)$.
गुणांकों का योग: $f(1) = (a+b-2c) + (b+c-2a) + (c+a-2b) = 0$.
चूंकि $f(1) = 0$,इसलिए $x = 1$ समीकरण का एक मूल है।
मान लीजिए मूल $1$ और $\alpha$ हैं। मूलों के गुणनफल के सूत्र से,$1 \cdot \alpha = \frac{c+a-2b}{a+b-2c}$.
अतः,$\alpha = \frac{c+a-2b}{a+b-2c}$.
स्थिति $(I)$: यदि $-1 < \alpha < 0$ है,तो $-1 < \frac{c+a-2b}{a+b-2c} < 0$. $0 < c < b < a$ दिए जाने पर इस असमिका को हल करने पर $b > \frac{a+c}{2}$ प्राप्त होता है। $a$ और $c$ का गुणोत्तर माध्य $\sqrt{ac}$ है और $\sqrt{ac} < \frac{a+c}{2}$ होता है,इसलिए $b$ गुणोत्तर माध्य नहीं हो सकता है।
स्थिति $(II)$: यदि $0 < \alpha < 1$ है,तो $0 < \frac{c+a-2b}{a+b-2c} < 1$. इसे हल करने पर $b < \frac{a+c}{2}$ प्राप्त होता है। चूंकि $\sqrt{ac} < b < \frac{a+c}{2}$ संभव है,इसलिए $b$,$a$ और $c$ का गुणोत्तर माध्य हो सकता है।
अतः,दोनों कथन सत्य हैं।

(A) दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{25}=1$ के लिए,$a^2=9$ और $b^2=25$ है। चूँकि $b > a$,नाभियाँ $y$-अक्ष पर हैं।
उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \frac{4}{5}$ है।
नाभियाँ $(0, \pm 4)$ हैं।
अतिपरवलय के लिए,उत्केंद्रता $e_H = \frac{15}{8} \times \frac{4}{5} = \frac{3}{2}$ है।
अतिपरवलय का समीकरण $\frac{y^2}{B^2} - \frac{x^2}{A^2} = 1$ के रूप में है।
$Be_H = 4 \implies B = \frac{8}{3}$ है।
$A^2 = B^2(e_H^2 - 1) = \frac{64}{9} \times (\frac{5}{4}) = \frac{80}{9}$ है।
बिंदु $P$ के लिए नाभीय दूरी $e_H y \pm B = \frac{3}{2} \times \frac{14}{3} \sqrt{\frac{2}{5}} \pm \frac{8}{3} = 7 \sqrt{\frac{2}{5}} \pm \frac{8}{3}$ है।
छोटी नाभीय दूरी $7 \sqrt{\frac{2}{5}} - \frac{8}{3}$ है।

(C) दिया गया वृत्त $x^2+y^2-10x+4y+13=0$ है। इसका केंद्र $M(5, -2)$ और त्रिज्या $r = \sqrt{5^2+(-2)^2-13} = 4$ है।
वृत्त $C$ का केंद्र रेखाओं $2x+3y=12$ और $3x-2y=5$ का प्रतिच्छेदन बिंदु है,जो $O(3, 2)$ है।
केंद्रों के बीच की दूरी $d = \sqrt{(5-3)^2 + (-2-2)^2} = \sqrt{20}$ है।
वृत्त $C$ की त्रिज्या $R$ के लिए,$R^2 = d^2 + r^2 = 20 + 16 = 36$,अतः $R = 6$।

(D) माना $t = |\sin x|$ है। जैसे $x \rightarrow 0$,$t \rightarrow 0^+$।
व्यंजक $\lim _{t \rightarrow 0^+} \frac{e^{2t}-2t-1}{t^2} \times \frac{\sin^2 x}{x^2}$ बन जाता है।
चूंकि $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin^2 x}{x^2} = 1$,हम $\lim _{t \rightarrow 0^+} \frac{e^{2t}-2t-1}{t^2}$ का मूल्यांकन करते हैं।
टेलर श्रेणी विस्तार का उपयोग करते हुए $e^{2t} = 1 + 2t + \frac{(2t)^2}{2!} + \frac{(2t)^3}{3!} + \dots = 1 + 2t + 2t^2 + \frac{4t^3}{3} + \dots$।
$\lim _{t \rightarrow 0^+} \frac{(1 + 2t + 2t^2 + \dots) - 2t - 1}{t^2} = \lim _{t \rightarrow 0^+} \frac{2t^2 + \dots}{t^2} = 2$।
अतः,सीमा $2 \times 1 = 2$ है।

(D) समांतर चतुर्भुज में,विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं। इसलिए,विकर्ण $AC$ का मध्य-बिंदु,विकर्ण $BD$ के मध्य-बिंदु के समान होता है।
$BD$ का मध्य-बिंदु $\left(\frac{1+1}{2}, \frac{2+0}{2}\right) = (1, 1)$ है।
$AC$ का मध्य-बिंदु $\left(\frac{\alpha+\gamma}{2}, \frac{\beta+\delta}{2}\right)$ है।
मध्य-बिंदुओं की तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{\alpha+\gamma}{2} = 1 \implies \alpha + \gamma = 2$
$\frac{\beta+\delta}{2} = 1 \implies \beta + \delta = 2$
हमें $2(\alpha + \beta + \gamma + \delta)$ का मान ज्ञात करना है।
योग का मान रखने पर:
$2(\alpha + \gamma + \beta + \delta) = 2(2 + 2) = 2(4) = 8$.

(D) श्रेणी का सामान्य पद $T_r = \frac{r}{1-3r^2+r^4}$ है।
हर को $(r^2-r-1)(r^2+r-1)$ के रूप में लिखा जा सकता है।
अतः,$T_r = \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{r^2-r-1} - \frac{1}{r^2+r-1} \right]$।
$10$ पदों का योग $\sum_{r=1}^{10} T_r = \frac{1}{2} [f(1) - f(11)] = \frac{1}{2} [-1 - \frac{1}{109}] = -\frac{55}{109}$।

(B) दी गई असमिका $\frac{ax^2+2(a+1)x+9a+4}{x^2-8x+32} < 0$ सभी $x \in R$ के लिए है।
चूंकि हर $x^2-8x+32 = (x-4)^2 + 16 > 0$ सभी $x \in R$ के लिए है,इसलिए अंश $f(x) = ax^2+2(a+1)x+9a+4 < 0$ सभी $x \in R$ के लिए होना चाहिए।
$f(x) < 0$ सभी $x \in R$ के लिए होने हेतु $a < 0$ और विविक्तकर $D < 0$ होना आवश्यक है।
हालाँकि,प्रश्न में $a$ के धनात्मक पूर्णांक मान पूछे गए हैं।
चूंकि $a$ को ऋणात्मक होना चाहिए,इसलिए कोई भी धनात्मक पूर्णांक $a$ इस शर्त को पूरा नहीं करता है।
अतः,$S$ एक रिक्त समुच्चय है और इसमें अवयवों की संख्या $0$ है।

(C) $'DISTRIBUTION'$ शब्द में $12$ अक्षर हैं: $D, I, S, T, R, I, B, U, T, I, O, N$.
प्रत्येक अक्षर की आवृत्ति: $I: 3, T: 2, D: 1, S: 1, R: 1, B: 1, U: 1, O: 1, N: 1$.
कुल $9$ भिन्न अक्षर हैं: ${D, I, S, T, R, B, U, O, N}$.
हमें $4$ लंबाई के शब्द बनाने हैं।
स्थिति $1$: सभी $4$ अक्षर भिन्न हों।
तरीकों की संख्या $= {}^{9}C_{4} \times 4! = 126 \times 24 = 3024$.
स्थिति $2$: $2$ अक्षर समान और $2$ भिन्न हों।
उप-स्थिति $2a$: $I$ पुनरावृत्त हो ($2$ $I$) और शेष $8$ में से $2$ भिन्न अक्षर।
तरीकों की संख्या $= {}^{8}C_{2} \times \frac{4!}{2!} = 28 \times 12 = 336$.
उप-स्थिति $2b$: $T$ पुनरावृत्त हो ($2$ $T$) और शेष $8$ में से $2$ भिन्न अक्षर।
तरीकों की संख्या $= {}^{8}C_{2} \times \frac{4!}{2!} = 28 \times 12 = 336$.
स्थिति $3$: $2$ समान अक्षरों के जोड़े।
केवल $I$ और $T$ जोड़े बना सकते हैं।
तरीकों की संख्या $= \frac{4!}{2!2!} = 6$.
स्थिति $4$: $3$ अक्षर समान और $1$ भिन्न हो।
केवल $I$ को $3$ बार चुना जा सकता है।
तरीकों की संख्या $= {}^{8}C_{1} \times \frac{4!}{3!} = 8 \times 4 = 32$.
शब्दों की कुल संख्या $= 3024 + 336 + 336 + 6 + 32 = 3734$.

(A) दिया गया व्यंजक: $E = (1+x)(1-x^2)(1+\frac{1}{x})^{15} = (1+x)(1-x)(1+x)(1+\frac{1}{x})^{15}$
$= \frac{(1-x^2)(1+x)^{16}}{x^{15}} = \frac{(1+x)^{16} - x^2(1+x)^{16}}{x^{15}}$
$= (1+x)^{16}x^{-15} - (1+x)^{16}x^{-13}$
$E$ में $x^3$ का गुणांक:
$= (1+x)^{16}$ में $x^{18}$ का गुणांक $- (1+x)^{16}$ में $x^{16}$ का गुणांक
$= 0 - \binom{16}{16} = -1$
$E$ में $x^{-13}$ का गुणांक:
$= (1+x)^{16}$ में $x^2$ का गुणांक $- (1+x)^{16}$ में $x^0$ का गुणांक
$= \binom{16}{2} - \binom{16}{0} = 120 - 1 = 119$
गुणांकों का योग $= 119 + (-1) = 118$.

(B) सबसे पहले,$\alpha$ ज्ञात करें: $|1-i|^x = 2^x$ $\Rightarrow (\sqrt{1^2+(-1)^2})^x = 2^x$ $\Rightarrow (\sqrt{2})^x = 2^x$ $\Rightarrow 2^{x/2} = 2^x$. इसका अर्थ है $x/2 = x$,इसलिए $x=0$. अतः,$\alpha = 1$.
आगे,$z$ को सरल करें: $(1+i)^2 = 1+2i-1 = 2i$,इसलिए $(1+i)^4 = (2i)^2 = -4$.
कोष्ठक के अंदर: $\frac{1-\sqrt{\pi}i}{\sqrt{\pi}+i} + \frac{\sqrt{\pi}-i}{1+\sqrt{\pi}i} = -1-i$.
अतः,$z = \frac{\pi}{4}(-4)(-1-i) = \pi(1+i) = \pi + \pi i$.
$|z| = \pi\sqrt{2}$ और $\arg(z) = \frac{\pi}{4}$.
$\beta = \frac{|z|}{\arg(z)} = 4\sqrt{2}$.
यदि $\beta = 4$ लिया जाए,तो $(1,4)$ से रेखा $4x-3y-7=0$ की दूरी $\frac{|4(1)-3(4)-7|}{5} = \frac{15}{5} = 3$ होगी।

(C) दीर्घवृत्त की नाभियाँ $(\pm 5, 0)$ दी गई हैं,इसलिए $ae = 5$ है।
नाभिलंब की लंबाई $\frac{2b^2}{a} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$ है।
$ae = 5$ से,हमें $a = \frac{5}{e}$ प्राप्त होता है।
नाभिलंब के सूत्र में $a$ का मान रखने पर: $\frac{2b^2}{5/e} = 5\sqrt{2} \Rightarrow b^2 = \frac{25\sqrt{2}e}{2}$।
संबंध $b^2 = a^2(1-e^2)$ का उपयोग करने पर,$\frac{25\sqrt{2}e}{2} = \frac{25}{e^2}(1-e^2)$ प्राप्त होता है।
सरल करने पर,$\frac{\sqrt{2}e}{2} = \frac{1-e^2}{e^2}$ $\Rightarrow \sqrt{2}e^3 = 2 - 2e^2$ $\Rightarrow \sqrt{2}e^3 + 2e^2 - 2 = 0$।
$e^2$ के लिए हल करने पर,हमें $a^2 = 50$ और $b^2 = 25$ प्राप्त होते हैं।
अतिपरवलय $\frac{x^2}{b^2} - \frac{y^2}{a^2b^2} = 1$ के लिए,उत्केंद्रता $e_1$ का मान $e_1^2 = 1 + \frac{a^2b^2}{b^2} = 1 + a^2$ होता है।
चूंकि $a^2 = 50$ है,इसलिए $e_1^2 = 1 + 50 = 51$।

(D) माना तीन बच्चों को दिए गए सेबों की संख्या $x_1, x_2, x_3$ है।
हमें $x_1 + x_2 + x_3 = 21$ दिया गया है,जहाँ $x_i \ge 2$ है।
माना $y_i = x_i - 2$,इसलिए $y_i \ge 0$ है।
$x_i = y_i + 2$ प्रतिस्थापित करने पर,$(y_1 + 2) + (y_2 + 2) + (y_3 + 2) = 21$ प्राप्त होता है।
$y_1 + y_2 + y_3 + 6 = 21$,जो सरल होकर $y_1 + y_2 + y_3 = 15$ हो जाता है।
गैर-ऋणात्मक पूर्णांक हलों की संख्या का सूत्र $\binom{n+r-1}{r-1}$ है,जहाँ $n = 15$ और $r = 3$ है।
तरीकों की संख्या = $\binom{15+3-1}{3-1} = \binom{17}{2}$ है।
$\binom{17}{2} = \frac{17 \times 16}{2 \times 1} = 17 \times 8 = 136$।

(C) हम जानते हैं कि केंद्रक $A$,लंबकेंद्र $C$ और परिकेंद्र $B$ को जोड़ने वाले रेखाखंड को $2:1$ के अनुपात में विभाजित करता है।
दिए गए $C(-6, -8)$ और $B(3, 4)$ के लिए,केंद्रक $A(a, b)$ विभाजन सूत्र द्वारा प्राप्त होता है:
$a = \frac{2(3) + 1(-6)}{2+1} = 0$
$b = \frac{2(4) + 1(-8)}{2+1} = 0$
अतः,$A(0, 0)$।
अब,बिंदु $P(2a+3, 7b+5)$,$P(3, 5)$ बन जाता है।
हमें $P(3, 5)$ की रेखा $2x+3y-4=0$ से रेखा $x-2y-1=0$ के समानांतर दूरी ज्ञात करनी है।
रेखा $x-2y-1=0$ की ढाल $m = \frac{1}{2}$ है। अतः,$\tan \theta = \frac{1}{2}$,जिसका अर्थ है $\sin \theta = \frac{1}{\sqrt{5}}$ और $\cos \theta = \frac{2}{\sqrt{5}}$।
$P(3, 5)$ से गुजरने वाली और $m = \frac{1}{2}$ ढाल वाली रेखा पर किसी भी बिंदु के निर्देशांक $(3+\frac{2r}{\sqrt{5}}, 5+\frac{r}{\sqrt{5}})$ हैं।
इसे रेखा $2x+3y-4=0$ में रखने पर:
$2(3+\frac{2r}{\sqrt{5}}) + 3(5+\frac{r}{\sqrt{5}}) - 4 = 0$
$17 + \frac{7r}{\sqrt{5}} = 0$
$r = -\frac{17 \sqrt{5}}{7}$
चूंकि दूरी हमेशा धनात्मक होती है,इसलिए आवश्यक दूरी $|r| = \frac{17 \sqrt{5}}{7}$ है।

(B) दिया गया है $z_1 + z_2 = 5$ और $z_1^3 + z_2^3 = 20 + 15i$।
सर्वसमिका $z_1^3 + z_2^3 = (z_1 + z_2)^3 - 3z_1z_2(z_1 + z_2)$ का उपयोग करने पर:
$20 + 15i = (5)^3 - 3z_1z_2(5)$
$20 + 15i = 125 - 15z_1z_2$
$15z_1z_2 = 105 - 15i$
$z_1z_2 = 7 - i$
अब,$z_1^2 + z_2^2 = (z_1 + z_2)^2 - 2z_1z_2 = 25 - 2(7 - i) = 11 + 2i$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(z_1^2 + z_2^2)^2 = (11 + 2i)^2 = 117 + 44i$।
$z_1^4 + z_2^4 = (z_1^2 + z_2^2)^2 - 2(z_1z_2)^2 = 117 + 44i - 2(7 - i)^2 = 117 + 44i - 2(48 - 14i) = 21 + 72i$।
मापांक $|z_1^4 + z_2^4| = \sqrt{21^2 + 72^2} = \sqrt{441 + 5184} = \sqrt{5625} = 75$।

(B) वृत्त का समीकरण $x^2+y^2-16x-4y=0$ है। वृत्त का केंद्र $(8, 2)$ है।
मान लीजिए कि $(8, 2)$ से गुजरने वाली चर रेखा की ढाल $m$ है। रेखा का समीकरण $(y-2) = m(x-8)$ है।
चूँकि रेखा धनात्मक अक्षों को काटती है,इसलिए ढाल ऋणात्मक होनी चाहिए,अतः $m = -k$ लें जहाँ $k > 0$ है।
$x$-अंतःखंड $OA$ प्राप्त करने के लिए $y=0$ रखें: $-2 = m(x-8) \Rightarrow x-8 = -2/m \Rightarrow OA = 8 - 2/m$.
चूँकि $m < 0$ है,$m = -k$ $(k > 0)$ रखने पर,$OA = 8 + 2/k$ प्राप्त होता है।
$y$-अंतःखंड $OB$ प्राप्त करने के लिए $x=0$ रखें: $(y-2) = m(-8) \Rightarrow y = 2 - 8m = 2 + 8k$.
हमें $f(k) = OA + OB = 8 + 2/k + 2 + 8k = 10 + 2/k + 8k$ को न्यूनतम करना है।
$AM$-$GM$ असमिका का उपयोग करते हुए: $\frac{2/k + 8k}{2} \geq \sqrt{(2/k)(8k)} = \sqrt{16} = 4$.
अतः,$2/k + 8k \geq 8$.
$OA+OB$ का न्यूनतम मान $10 + 8 = 18$ है।

(D) परवलय का अक्ष नियता $2x+y=6$ के लंबवत है और शीर्ष $(2,3)$ से होकर गुजरता है।
नियता की ढाल $-2$ है,इसलिए अक्ष की ढाल $\frac{1}{2}$ है।
अक्ष का समीकरण: $y-3 = \frac{1}{2}(x-2) \Rightarrow x-2y+4=0$.
अक्ष और नियता का प्रतिच्छेदन बिंदु $Z$ है। $2x+y=6$ और $x-2y=-4$ को हल करने पर,$Z = (1.6, 2.8)$ प्राप्त होता है।
मान लीजिए नाभि $S(\alpha, \beta)$ है। चूंकि शीर्ष $V(2,3)$,$SZ$ का मध्यबिंदु है,इसलिए $\frac{\alpha+1.6}{2} = 2 \Rightarrow \alpha = 2.4$ और $\frac{\beta+2.8}{2} = 3 \Rightarrow \beta = 3.2$.
अतः,नाभि $(2.4, 3.2)$ है।
दीर्घवृत्त $E: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$,$(2.4, 3.2)$ से होकर गुजरता है,इसलिए $\frac{(2.4)^2}{a^2} + \frac{(3.2)^2}{b^2} = 1$.
दिया है $e^2 = 1 - \frac{b^2}{a^2} = \frac{1}{2}$ $\Rightarrow b^2 = \frac{a^2}{2}$ $\Rightarrow a^2 = 2b^2$.
दीर्घवृत्त के समीकरण में $a^2=2b^2$ रखने पर: $\frac{5.76}{2b^2} + \frac{10.24}{b^2} = 1$ $\Rightarrow \frac{2.88+10.24}{b^2} = 1$ $\Rightarrow b^2 = 13.12 = \frac{328}{25}$.
तब $a^2 = 2 \times \frac{328}{25} = \frac{656}{25}$.
नाभिलंब की लंबाई $L = \frac{2b^2}{a}$ है। लंबाई का वर्ग $L^2 = \frac{4b^4}{a^2} = \frac{4b^4}{2b^2} = 2b^2 = 2 \times \frac{328}{25} = \frac{656}{25}$.

(D) मान लीजिए $A.P.$ का पहला पद $a = 1$ और सार्व अंतर $d$ है।
$2^{\text{nd}}$,$8^{\text{th}}$ और $44^{\text{th}}$ पद क्रमशः $1+d$,$1+7d$ और $1+43d$ हैं।
चूंकि ये पद $G.P.$ में हैं,इसलिए $(1+7d)^2 = (1+d)(1+43d)$.
दोनों पक्षों का विस्तार करने पर: $1 + 49d^2 + 14d = 1 + 44d + 43d^2$.
सरल करने पर: $6d^2 - 30d = 0$,जिससे $6d(d - 5) = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि $A.P.$ गैर-स्थिर है,$d \neq 0$,इसलिए $d = 5$.
पहले $20$ पदों का योग $S_{20} = \frac{20}{2}[2(1) + (20-1)5]$.
$S_{20} = 10[2 + 95] = 10 \times 97 = 970$.

(B) दिया गया है कि $f: R \rightarrow (0, \infty)$ एक निरंतर वर्धमान फलन है।
हमें सीमा $\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{f(7 x)}{f(x)}=1$ दी गई है।
चूंकि $f$ एक निरंतर वर्धमान फलन है और $x > 0$ के लिए $x < 5x < 7x$ होता है,इसलिए $f(x) < f(5x) < f(7x)$ होगा।
असमिका को $f(x) > 0$ से विभाजित करने पर,हमें $1 < \frac{f(5x)}{f(x)} < \frac{f(7x)}{f(x)}$ प्राप्त होता है।
$x \rightarrow \infty$ पर सीमा लेने पर,हमें $\lim _{x \rightarrow \infty} 1 \leq \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{f(5x)}{f(x)} \leq \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{f(7x)}{f(x)}$ प्राप्त होता है।
दी गई सीमा का मान रखने पर,$1 \leq \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{f(5x)}{f(x)} \leq 1$ प्राप्त होता है।
स्क्वीज़ प्रमेय (Squeeze Theorem) के अनुसार,$\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{f(5x)}{f(x)} = 1$ होगा।
अतः,$\lim _{x \rightarrow \infty} \left[\frac{f(5x)}{f(x)} - 1\right] = 1 - 1 = 0$ होगा।

(C) दिए गए प्रेक्षण: $a, b, 68, 44, 48, 60$।
माध्य $\overline{x} = 55$,प्रसरण $\sigma^2 = 194$।
प्रेक्षणों का योग: $a + b + 68 + 44 + 48 + 60 = 6 \times 55 = 330$।
$a + b + 220 = 330 \Rightarrow a + b = 110$ (समीकरण $1$)।
प्रसरण का सूत्र: $\frac{1}{n} \sum (x_i - \overline{x})^2 = 194$।
$(a - 55)^2 + (b - 55)^2 + (68 - 55)^2 + (44 - 55)^2 + (48 - 55)^2 + (60 - 55)^2 = 194 \times 6$।
$(a - 55)^2 + (b - 55)^2 + 13^2 + (-11)^2 + (-7)^2 + 5^2 = 1164$।
$(a - 55)^2 + (b - 55)^2 + 169 + 121 + 49 + 25 = 1164$।
$(a - 55)^2 + (b - 55)^2 = 1164 - 364 = 800$।
$a^2 - 110a + 3025 + b^2 - 110b + 3025 = 800$।
$a^2 + b^2 - 110(a + b) + 6050 = 800$।
$a + b = 110$ प्रतिस्थापित करने पर: $a^2 + b^2 - 110(110) + 6050 = 800$।
$a^2 + b^2 - 12100 + 6050 = 800 \Rightarrow a^2 + b^2 = 6850$ (समीकरण $2$)।
$(a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$ से,$110^2 = 6850 + 2ab$।
$12100 - 6850 = 2ab$ $\Rightarrow 2ab = 5250$ $\Rightarrow ab = 2625$।
चूंकि $a + b = 110$ और $ab = 2625$,$a$ और $b$ समीकरण $t^2 - 110t + 2625 = 0$ के मूल हैं।
$(t - 75)(t - 35) = 0$।
चूंकि $a > b$,इसलिए $a = 75$ और $b = 35$।
अतः,$a + 3b = 75 + 3(35) = 75 + 105 = 180$।

(D) माना $e^{\sin x} = t$ है। चूँकि $\sin x \in [-1, 1]$,इसलिए $t$ का मान $[e^{-1}, e^1]$ अर्थात $[0.368, 2.718]$ के बीच होना चाहिए।
दिया गया समीकरण: $t - \frac{2}{t} = 2$ है।
$t$ से गुणा करने पर: $t^2 - 2t - 2 = 0$ प्राप्त होता है।
द्विघात सूत्र $t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर:
$t = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4(1)(-2)}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2} = 1 \pm \sqrt{3}$ प्राप्त होता है।
चूँकि $t > 0$ है,इसलिए $t = 1 + \sqrt{3} \approx 2.732$ लेते हैं।
हमें $e^{\sin x} = 1 + \sqrt{3}$ के लिए हल ज्ञात करना है।
चूँकि $1 + \sqrt{3} \approx 2.732$ और $e \approx 2.718$ है,इसलिए $1 + \sqrt{3} > e$ है।
चूँकि $e^{\sin x}$ का अधिकतम मान $e^1 = e$ है,इसलिए $e^{\sin x} = 1 + \sqrt{3}$ के लिए $x$ का कोई वास्तविक हल संभव नहीं है।
अतः,हलों की संख्या $0$ है।

(D) दी गई असमिका: ${ }^6 C_{m} + 2({ }^6 C_{m+1}) + { }^6 C_{m+2} > { }^8 C_3$।
सर्वसमिका ${ }^n C_r + { }^n C_{r+1} = { }^{n+1} C_{r+1}$ का उपयोग करने पर:
$({ }^6 C_{m} + { }^6 C_{m+1}) + ({ }^6 C_{m+1} + { }^6 C_{m+2}) > { }^8 C_3$
${ }^7 C_{m+1} + { }^7 C_{m+2} > { }^8 C_3$
${ }^8 C_{m+2} > { }^8 C_3$।
यहाँ ${ }^8 C_3 = 56$,इसलिए ${ }^8 C_{m+2} > 56$।
$m=2$ रखने पर,${ }^8 C_4 = 70 > 56$। अतः,$m=2$।
अब,अनुपात: ${ }^{n-1} P_3 : { }^n P_4 = 1 : 8$।
$\frac{(n-1)(n-2)(n-3)}{n(n-1)(n-2)(n-3)} = \frac{1}{n} = \frac{1}{8} \implies n=8$।
अंत में,${ }^n P_{m+1} + { }^{n+1} C_m = { }^8 P_3 + { }^9 C_2$ की गणना करने पर:
${ }^8 P_3 = 8 \times 7 \times 6 = 336$।
${ }^9 C_2 = \frac{9 \times 8}{2} = 36$।
योग $= 336 + 36 = 372$।

(B) दिया गया समीकरण $(a^2+b^2)x^2-2b(a+c)x+(b^2+c^2)=0$ है।
इसे $(ax-b)^2+(bx-c)^2=0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
अतः $ax-b=0$ और $bx-c=0$,जिसका अर्थ है $x = b/a = c/b$.
त्रिभुज की असमिका के अनुसार $a+b > c$,$b+c > a$ और $c+a > b$.
$b = ax$ और $c = ax^2$ रखने पर:
$x^2 - x - 1 < 0$ और $x^2 + x - 1 > 0$.
अतः $\frac{\sqrt{5}-1}{2} < x < \frac{\sqrt{5}+1}{2}$.
यहाँ $\alpha = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$ और $\beta = \frac{\sqrt{5}+1}{2}$.
इसलिए $\alpha^2 + \beta^2 = 3$.
परिणामस्वरूप $12(\alpha^2+\beta^2) = 12(3) = 36$.

(B) माना $P$ रेखा $x = y + 2 = z = t$ पर एक बिंदु है। तब $P = (t, t - 2, t)$ है।
माना $Q$ रेखा $x + 2 = 2y = 2z = 2s$ पर एक बिंदु है। तब $Q = (2s - 2, s, s)$ है।
रेखा $PQ$ के दिक-अनुपात $(2, 1, 2)$ दिए गए हैं।
अतः,सदिश $\vec{PQ}$ के दिक-अनुपात $(2s - 2 - t, s - (t - 2), s - t) = (2s - t - 2, s - t + 2, s - t)$ हैं।
चूंकि रेखा $PQ$ के दिक-अनुपात $(2, 1, 2)$ हैं,हमारे पास है:
$\frac{2s - t - 2}{2} = \frac{s - t + 2}{1} = \frac{s - t}{2} = k$ (माना)।
$\frac{s - t + 2}{1} = \frac{s - t}{2}$ से,हमें $2s - 2t + 4 = s - t$ मिलता है,अर्थात $s - t = -4$।
$s - t = -4$ को अनुपातों में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{2s - t - 2}{2} = \frac{-4 + 2}{1} = -2$,इसलिए $2s - t - 2 = -4$,जिसका अर्थ है $2s - t = -2$।
$s - t = -4$ और $2s - t = -2$ को हल करने पर,हमें $s = 2$ और $t = 6$ प्राप्त होता है।
अतः,$P = (6, 4, 6)$ और $Q = (2, 2, 2)$ है।
रेखा $PQ$ का समीकरण $\frac{x - 2}{2} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z - 2}{2} = \lambda$ है।
$PQ$ पर कोई भी बिंदु $F = (2\lambda + 2, \lambda + 2, 2\lambda + 2)$ है।
माना $A = (1, 2, 12)$ है। सदिश $\vec{AF} = (2\lambda + 1, \lambda, 2\lambda - 10)$ है।
चूंकि $AF \perp PQ$,इसलिए $\vec{AF} \cdot (2, 1, 2) = 0$ है।
$2(2\lambda + 1) + 1(\lambda) + 2(2\lambda - 10) = 0$।
$4\lambda + 2 + \lambda + 4\lambda - 20 = 0 \Rightarrow 9\lambda = 18 \Rightarrow \lambda = 2$।
अतः $F = (6, 4, 6)$ है।
लंबाई $l = AF = \sqrt{(6 - 1)^2 + (4 - 2)^2 + (6 - 12)^2} = \sqrt{5^2 + 2^2 + (-6)^2} = \sqrt{25 + 4 + 36} = \sqrt{65}$ है।
इसलिए,$l^2 = 65$।

(A) हम जानते हैं कि $|P^{-1}AP - 2I| = |P^{-1}AP - 2P^{-1}IP| = |P^{-1}(A - 2I)P|$।
सारणिक के गुणधर्म $|ABC| = |A||B||C|$ का उपयोग करने पर,हमें $|P^{-1}||A - 2I||P| = |P^{-1}||P||A - 2I| = |I||A - 2I| = |A - 2I|$ प्राप्त होता है।
अब,$A - 2I = \begin{bmatrix} 2-2 & 1 & 2 \\ 6 & 2-2 & 11 \\ 3 & 3 & 2-2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 6 & 0 & 11 \\ 3 & 3 & 0 \end{bmatrix}$।
सारणिक $|A - 2I| = 0(0 - 33) - 1(0 - 33) + 2(18 - 0) = 0 + 33 + 36 = 69$ की गणना करने पर।
$69$ के अभाज्य गुणनखंड $3$ और $23$ हैं।
अतः,अभाज्य गुणनखंडों का योग $3 + 23 = 26$ है।

(D) शीर्ष $P(3, 2, 3)$,$Q(4, 6, 2)$ और $R(7, 3, 2)$ हैं।
$\angle QPR$ ज्ञात करने के लिए,हमें सदिशों $\vec{PQ}$ और $\vec{PR}$ के दिक अनुपात की आवश्यकता है।
$\vec{PQ} = (4-3, 6-2, 2-3) = (1, 4, -1)$.
$\vec{PR} = (7-3, 3-2, 2-3) = (4, 1, -1)$.
मान लीजिए $\theta = \angle QPR$ है। दो सदिशों $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के बीच के कोण का कोसाइन $\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$ द्वारा दिया जाता है।
$\vec{PQ} \cdot \vec{PR} = (1)(4) + (4)(1) + (-1)(-1) = 4 + 4 + 1 = 9$.
$|\vec{PQ}| = \sqrt{1^2 + 4^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 16 + 1} = \sqrt{18}$.
$|\vec{PR}| = \sqrt{4^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{16 + 1 + 1} = \sqrt{18}$.
अतः,$\cos \theta = \frac{9}{\sqrt{18} \cdot \sqrt{18}} = \frac{9}{18} = \frac{1}{2}$.
चूंकि $\cos \theta = \frac{1}{2}$,इसलिए $\theta = \frac{\pi}{3}$ है।

(C) दिया गया फलन $f(x) = 2x + 3x^{\frac{2}{3}}$ है।
सबसे पहले,अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करें:
$f'(x) = 2 + 3 \cdot \frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1} = 2 + 2x^{-\frac{1}{3}} = 2 + \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} = 2 \left( \frac{x^{\frac{1}{3}} + 1}{x^{\frac{1}{3}}} \right)$.
क्रांतिक बिंदु वहाँ होते हैं जहाँ $f'(x) = 0$ हो या $f'(x)$ अपरिभाषित हो।
$f'(x) = 0 \implies x^{\frac{1}{3}} + 1 = 0 \implies x = -1$.
$x = 0$ पर $f'(x)$ अपरिभाषित है।
अब,इन बिंदुओं के आसपास $f'(x)$ का चिह्न जाँचें:
$x < -1$ के लिए,$f'(x) > 0$.
$-1 < x < 0$ के लिए,$f'(x) < 0$.
$x > 0$ के लिए,$f'(x) > 0$.
चूँकि $x = -1$ पर $f'(x)$ धनात्मक से ऋणात्मक में बदलता है,इसलिए $x = -1$ पर स्थानीय अधिकतम है।
चूँकि $x = 0$ पर $f'(x)$ ऋणात्मक से धनात्मक में बदलता है,इसलिए $x = 0$ पर स्थानीय न्यूनतम है।
अतः,फलन के पास स्थानीय अधिकतम का ठीक एक बिंदु और स्थानीय न्यूनतम का ठीक एक बिंदु है।

(D) सदिशों $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}$ और $\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{b}$ द्वारा निर्मित समांतर चतुर्भुज $S$ का क्षेत्रफल $|\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}|$ द्वारा दिया जाता है।
चतुर्भुज $OABC$ का क्षेत्रफल $\triangle OAB$ और $\triangle OBC$ के क्षेत्रफलों के योग के रूप में गणना की जा सकती है।
$\triangle OAB$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |\overrightarrow{OA} \times \overrightarrow{OB}| = \frac{1}{2} |\overrightarrow{a} \times (12 \overrightarrow{a} + 4 \overrightarrow{b})| = \frac{1}{2} |12(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{a}) + 4(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b})| = \frac{1}{2} |0 + 4(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b})| = 2 |\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}|$.
$\triangle OBC$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |\overrightarrow{OC} \times \overrightarrow{OB}| = \frac{1}{2} |\overrightarrow{b} \times (12 \overrightarrow{a} + 4 \overrightarrow{b})| = \frac{1}{2} |12(\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{a}) + 4(\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{b})| = \frac{1}{2} |12(\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{a}) + 0| = 6 |\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{a}| = 6 |\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}|$.
चतुर्भुज $OABC$ का कुल क्षेत्रफल $= 2 |\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}| + 6 |\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}| = 8 |\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}|$.
चतुर्भुज $OABC$ के क्षेत्रफल और $S$ के क्षेत्रफल का अनुपात $\frac{8 |\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}|}{|\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}|} = 8$ है।

(D) माना $I = \int \frac{\sin ^{\frac{3}{2}} x+\cos ^{\frac{3}{2}} x}{\sqrt{\sin ^3 x \cos ^3 x \sin (x-\theta)}} d x$.
$\sin(x-\theta) = \sin x \cos \theta - \cos x \sin \theta$ का विस्तार करने पर:
$I = \int \frac{\sin^{\frac{3}{2}} x}{\sin^{\frac{3}{2}} x \cos^{\frac{3}{2}} x \sqrt{\sin x \cos \theta - \cos x \sin \theta}} dx + \int \frac{\cos^{\frac{3}{2}} x}{\sin^{\frac{3}{2}} x \cos^{\frac{3}{2}} x \sqrt{\sin x \cos \theta - \cos x \sin \theta}} dx$.
अंश और हर को क्रमशः $\cos^3 x$ और $\sin^3 x$ से विभाजित करने पर:
$I = \int \frac{\sec^2 x}{\sqrt{\tan x \cos \theta - \sin \theta}} dx + \int \frac{\operatorname{cosec}^2 x}{\sqrt{\cos \theta - \cot x \sin \theta}} dx$.
प्रथम समाकलन के लिए,$t^2 = \tan x \cos \theta - \sin \theta$ लें,तो $2t dt = \cos \theta \sec^2 x dx \implies \sec^2 x dx = \frac{2t dt}{\cos \theta}$.
द्वितीय समाकलन के लिए,$z^2 = \cos \theta - \cot x \sin \theta$ लें,तो $2z dz = \operatorname{cosec}^2 x \sin \theta dx \implies \operatorname{cosec}^2 x dx = \frac{2z dz}{\sin \theta}$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int \frac{2t dt}{t \cos \theta} + \int \frac{2z dz}{z \sin \theta} = \frac{2t}{\cos \theta} + \frac{2z}{\sin \theta} + C$.
$I = 2 \sec \theta \sqrt{\tan x \cos \theta - \sin \theta} + 2 \operatorname{cosec} \theta \sqrt{\cos \theta - \cot x \sin \theta} + C$.
$A \sqrt{\cos \theta \tan x - \sin \theta} + B \sqrt{\cos \theta - \cot x \sin \theta} + C$ से तुलना करने पर,$A = 2 \sec \theta$ और $B = 2 \operatorname{cosec} \theta$ प्राप्त होता है।
अतः,$AB = (2 \sec \theta)(2 \operatorname{cosec} \theta) = 4 \frac{1}{\cos \theta \sin \theta} = 8 \frac{1}{2 \sin \theta \cos \theta} = 8 \operatorname{cosec}(2 \theta)$.

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $x \cos \left(\frac{y}{x}\right) \frac{d y}{d x}=y \cos \left(\frac{y}{x}\right)+x$.
$x \cos \left(\frac{y}{x}\right)$ से भाग देने पर:
$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{1}{\cos \left(\frac{y}{x}\right)}$.
माना $v = \frac{y}{x}$,तब $y = vx$ और $\frac{d y}{d x} = v + x \frac{d v}{d x}$.
समीकरण में मान प्रतिस्थापित करने पर:
$v + x \frac{d v}{d x} = v + \frac{1}{\cos v}$.
$x \frac{d v}{d x} = \sec v$.
चरों को अलग करने पर:
$\cos v \, dv = \frac{1}{x} \, dx$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int \cos v \, dv = \int \frac{1}{x} \, dx$.
$\sin v = \log |x| + C$.
$v = \frac{y}{x}$ वापस रखने पर:
$\sin \left(\frac{y}{x}\right) = \log |x| + C$.
$y(1) = \frac{\pi}{3}$ दिया गया है,अतः $\sin \left(\frac{\pi/3}{1}\right) = \log |1| + C$.
$\sin \left(\frac{\pi}{3}\right) = 0 + C \implies C = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
हल $\sin \left(\frac{y}{x}\right) = \log |x| + \frac{\sqrt{3}}{2}$ है।
$\sin \left(\frac{y}{x}\right) = \log |x| + \frac{\alpha}{2}$ से तुलना करने पर,$\frac{\alpha}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} \implies \alpha = \sqrt{3}$.
अतः,$\alpha^2 = (\sqrt{3})^2 = 3$.

(D) माना $\sin^{-1} x = \theta$. तब $x = \sin \theta$.
दिया गया है $\cos(2\theta) = \frac{1}{9}$.
सर्वसमिका $\cos(2\theta) = 1 - 2\sin^2 \theta$ का उपयोग करने पर,$1 - 2x^2 = \frac{1}{9}$.
$2x^2 = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9} \implies x^2 = \frac{4}{9} \implies x = \frac{2}{3}$ (चूंकि $m, n$ प्राकृतिक संख्याएँ हैं,इसलिए $x$ धनात्मक होना चाहिए)।
अतः,$m = 2$ और $n = 3$.
द्विघात समीकरण $2x^2 - 3x - 2 + 3 = 0$ हो जाता है,जो सरल होकर $2x^2 - 3x + 1 = 0$ बनता है।
गुणनखंड करने पर: $(2x - 1)(x - 1) = 0$.
मूल $x = 1$ और $x = \frac{1}{2}$ हैं।
$\alpha > \beta$ होने के कारण,$\alpha = 1$ और $\beta = \frac{1}{2}$ है।
बिंदु $(1, \frac{1}{2})$ को विकल्पों में जाँचने पर:
$5x + 8y = 9$ के लिए: $5(1) + 8(\frac{1}{2}) = 5 + 4 = 9$.
अतः,बिंदु रेखा $5x + 8y = 9$ पर स्थित है।

(B) दिया गया है $f(x) = \frac{x}{x^2-6x-16}$.
भागफल नियम का उपयोग करने पर,$f'(x) = \frac{(x^2-6x-16)(1) - x(2x-6)}{(x^2-6x-16)^2}$.
अंश को सरल करने पर: $x^2 - 6x - 16 - 2x^2 + 6x = -x^2 - 16 = -(x^2 + 16)$.
अतः,$f'(x) = \frac{-(x^2+16)}{(x^2-6x-16)^2}$.
चूँकि सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए $x^2+16 > 0$ और सभी $x \neq -2, 8$ के लिए $(x^2-6x-16)^2 > 0$ है,इसलिए डोमेन के सभी $x$ के लिए $f'(x) < 0$ है।
अतः,फलन $f(x)$ अपने पूरे डोमेन $(-\infty, -2) \cup (-2, 8) \cup (8, \infty)$ में निरंतर घट रहा है।

(D) दिया गया है $y = \log_8 \left( \frac{1-x^2}{1+x^2} \right)$.
प्रथम अवकलज $y' = \frac{-4x}{1-x^4}$ प्राप्त होता है।
द्वितीय अवकलज $y'' = \frac{-4(1+3x^4)}{(1-x^4)^2}$ प्राप्त होता है।
अब,$y' - y'' = \frac{-4x}{1-x^4} + \frac{4(1+3x^4)}{(1-x^4)^2}$.
$x = \frac{1}{2}$ रखने पर,हमें $y' - y'' = \frac{736}{225}$ प्राप्त होता है।
अतः,$225(y' - y'') = 225 \times \frac{736}{225} = 736$.

(A) $R$ को एक तुल्यता संबंध होने के लिए,इसे स्वतुल्य,सममित और संक्रामक होना चाहिए।
$1$. स्वतुल्यता: चूंकि समुच्चय $\{1, 2, 3, 4\}$ है,$R$ में $\{(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4)\}$ होना चाहिए।
$2$. सममितता: दिया गया है कि $\{(1, 2), (1, 3)\} \subset R$,इसलिए सममितता के अनुसार,$R$ में $\{(2, 1), (3, 1)\}$ भी होना चाहिए।
$3$. संक्रामकता: चूंकि $(2, 1) \in R$ और $(1, 3) \in R$,संक्रामकता के अनुसार,$(2, 3) \in R$ होगा। सममितता के अनुसार,$(3, 2) \in R$ भी $R$ में होना चाहिए।
इन सबको मिलाने पर,समुच्चय $R = \{(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (1, 2), (2, 1), (1, 3), (3, 1), (2, 3), (3, 2)\}$ प्राप्त होता है।
अवयवों की गणना करने पर,$R$ में कुल $10$ अवयव हैं।

(B) दिया गया इकाई सदिश $\hat{u}=x \hat{i}+y \hat{j}+z \hat{k}$ है।
मान लीजिए $\overrightarrow{p}_1=\frac{1}{\sqrt{2}} \hat{i}+\frac{1}{\sqrt{2}} \hat{k}$,$\overrightarrow{p}_2=\frac{1}{\sqrt{2}} \hat{j}+\frac{1}{\sqrt{2}} \hat{k}$,और $\overrightarrow{p}_3=\frac{1}{\sqrt{2}} \hat{i}+\frac{1}{\sqrt{2}} \hat{j}$ है।
चूंकि $\hat{u} \cdot \overrightarrow{p}_1 = |\hat{u}| |\overrightarrow{p}_1| \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$,इसलिए $\frac{x}{\sqrt{2}} + \frac{z}{\sqrt{2}} = 0 \Rightarrow x+z=0$ $(i)$।
चूंकि $\hat{u} \cdot \overrightarrow{p}_2 = |\hat{u}| |\overrightarrow{p}_2| \cos(\frac{\pi}{3}) = 1 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$,इसलिए $\frac{y}{\sqrt{2}} + \frac{z}{\sqrt{2}} = \frac{1}{2} \Rightarrow y+z = \frac{1}{\sqrt{2}}$ $(ii)$।
चूंकि $\hat{u} \cdot \overrightarrow{p}_3 = |\hat{u}| |\overrightarrow{p}_3| \cos(\frac{2\pi}{3}) = 1 \cdot 1 \cdot (-\frac{1}{2}) = -\frac{1}{2}$,इसलिए $\frac{x}{\sqrt{2}} + \frac{y}{\sqrt{2}} = -\frac{1}{2} \Rightarrow x+y = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ $(iii)$।
$(i), (ii), (iii)$ को जोड़ने पर,$2(x+y+z) = 0 \Rightarrow x+y+z = 0$ प्राप्त होता है।
इसमें से $(ii)$ घटाने पर,$x = -\frac{1}{\sqrt{2}}$। इसमें से $(iii)$ घटाने पर,$z = \frac{1}{\sqrt{2}}$। इसमें से $(i)$ घटाने पर,$y = 0$ प्राप्त होता है।
अतः $\hat{u} = -\frac{1}{\sqrt{2}} \hat{i} + 0 \hat{j} + \frac{1}{\sqrt{2}} \hat{k}$ है।
तब $\hat{u}-\overrightarrow{v} = (-\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}}) \hat{i} + (0 - \frac{1}{\sqrt{2}}) \hat{j} + (\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}}) \hat{k} = -\frac{2}{\sqrt{2}} \hat{i} - \frac{1}{\sqrt{2}} \hat{j} = -\sqrt{2} \hat{i} - \frac{1}{\sqrt{2}} \hat{j}$।
$|\hat{u}-\overrightarrow{v}|^2 = (-\sqrt{2})^2 + (-\frac{1}{\sqrt{2}})^2 = 2 + \frac{1}{2} = \frac{5}{2}$।

(B) चूंकि $a, b, c$ एक $A.P.$ में हैं,हमारे पास $2b = a + c$ है,जिसका अर्थ है $a - 2b + c = 0$.
इसका मतलब है कि रेखा $ax + by + c = 0$ हमेशा निश्चित बिंदु $P(1, -2)$ से गुजरती है।
समीकरण निकाय के अनंत हल होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक $D$ शून्य होना चाहिए।
$D = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 5 & \alpha \\ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix} = 1(15 - 2\alpha) - 1(6 - \alpha) + 1(4 - 5) = 0$.
$15 - 2\alpha - 6 + \alpha - 1 = 0 \Rightarrow 8 - \alpha = 0 \Rightarrow \alpha = 8$.
अब,अनंत हलों के लिए,$D_1 = 0$ जहाँ $D_1 = \begin{vmatrix} 6 & 1 & 1 \\ \beta & 5 & 8 \\ 4 & 2 & 3 \end{vmatrix} = 0$.
$6(15 - 16) - 1(3\beta - 32) + 1(2\beta - 20) = 0$.
$-6 - 3\beta + 32 + 2\beta - 20 = 0 \Rightarrow -\beta + 6 = 0 \Rightarrow \beta = 6$.
इस प्रकार,$Q = (8, 6)$.
दूरी $PQ = \sqrt{(8 - 1)^2 + (6 - (-2))^2} = \sqrt{7^2 + 8^2} = \sqrt{49 + 64} = \sqrt{113}$.
अतः,$(PQ)^2 = 113$.

(D) हम जानते हैं कि $1 - \sin 2x = \cos^2 x + \sin^2 x - 2 \sin x \cos x = (\cos x - \sin x)^2$.
अतः,$\sqrt{1 - \sin 2x} = |\cos x - \sin x|$.
अंतराल $[\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4}]$ में,$\cos x \ge \sin x$,इसलिए $|\cos x - \sin x| = \cos x - \sin x$.
अंतराल $[\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{3}]$ में,$\sin x \ge \cos x$,इसलिए $|\cos x - \sin x| = \sin x - \cos x$.
इसलिए,समाकलन इस प्रकार होगा:
$I = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}} (\cos x - \sin x) \, dx + \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} (\sin x - \cos x) \, dx$
$I = [\sin x + \cos x]_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}} + [-\cos x - \sin x]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}}$
$I = ((\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}) - (\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2})) + ((- \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}) - (- \frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}}))$
$I = (\sqrt{2} - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}) + (\sqrt{2} - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}) = 2\sqrt{2} - 1 - \sqrt{3}$.
$\alpha + \beta \sqrt{2} + \gamma \sqrt{3}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $\alpha = -1, \beta = 2, \gamma = -1$ प्राप्त होता है।
अतः $3\alpha + 4\beta - \gamma = 3(-1) + 4(2) - (-1) = -3 + 8 + 1 = 6$.

(A) क्षेत्रफल $A$ ज्ञात करने के लिए,हम सबसे पहले वक्रों $y = x^2+2$ और $y = 2x+2$ के प्रतिच्छेदन बिंदुओं को निर्धारित करते हैं।
$x^2+2 = 2x+2$ रखने पर,हमें $x^2 - 2x = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x(x-2) = 0$। अतः,वक्र $x=0$ और $x=2$ पर प्रतिच्छेद करते हैं।
$0 \leq x \leq 2$ के लिए,$x^2+2 \leq 2x+2$ है,इसलिए $\min \{x^2+2, 2x+2\} = x^2+2$ है।
$2 \leq x \leq 3$ के लिए,$2x+2 \leq x^2+2$ है,इसलिए $\min \{x^2+2, 2x+2\} = 2x+2$ है।
क्षेत्रफल $A$ इस प्रकार है:
$A = \int_0^2 (x^2+2) dx + \int_2^3 (2x+2) dx$
समाकलन की गणना करने पर:
$\int_0^2 (x^2+2) dx = [\frac{x^3}{3} + 2x]_0^2 = (\frac{8}{3} + 4) - 0 = \frac{20}{3}$
$\int_2^3 (2x+2) dx = [x^2 + 2x]_2^3 = (9+6) - (4+4) = 15 - 8 = 7$
अतः,$A = \frac{20}{3} + 7 = \frac{20+21}{3} = \frac{41}{3}$।
अंत में,$12A = 12 \times \frac{41}{3} = 4 \times 41 = 164$।

(B) मान लीजिए रेखाएं $L_1: \frac{x-5}{4}=\frac{y-4}{1}=\frac{z-5}{3}=\lambda$ और $L_2: \frac{x+8}{12}=\frac{y+2}{5}=\frac{z+11}{9}=\mu$ हैं।
$L_1$ पर कोई बिंदु $M(4\lambda+5, \lambda+4, 3\lambda+5)$ है और $L_2$ पर कोई बिंदु $N(12\mu-8, 5\mu-2, 9\mu-11)$ है।
सदिश $\overrightarrow{MN} = (12\mu-4\lambda-13, 5\mu-\lambda-6, 9\mu-3\lambda-16)$ है।
दिशा सदिश $\vec{b}_1 = (4, 1, 3)$ और $\vec{b}_2 = (12, 5, 9)$ हैं।
न्यूनतम दूरी सदिश $\overrightarrow{MN}$,$\vec{b}_1$ और $\vec{b}_2$ दोनों के लंबवत होना चाहिए।
$\vec{b}_1 \times \vec{b}_2 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 4 & 1 & 3 \\ 12 & 5 & 9 \end{vmatrix} = -6\hat{i} + 0\hat{j} + 8\hat{k}$ है।
चूंकि $\overrightarrow{MN}$,$\vec{b}_1 \times \vec{b}_2$ के समानांतर है,इसलिए $\frac{12\mu-4\lambda-13}{-6} = \frac{5\mu-\lambda-6}{0} = \frac{9\mu-3\lambda-16}{8}$ प्राप्त होता है।
मध्य पद से,$5\mu-\lambda-6=0 \implies \lambda = 5\mu-6$ मिलता है।
इस मान को अनुपात में रखने पर: $8(12\mu-4(5\mu-6)-13) = -6(9\mu-3(5\mu-6)-16) \implies 8(-8\mu+11) = -6(-6\mu+2) \implies -64\mu+88 = 36\mu-12 \implies 100\mu = 100 \implies \mu=1$ प्राप्त होता है।
अतः $\lambda = 5(1)-6 = -1$ है।
इस प्रकार,$M = (1, 3, 2)$ और $N = (4, 3, -2)$ है।
अंत में,$\overrightarrow{OM} \cdot \overrightarrow{ON} = (1)(4) + (3)(3) + (2)(-2) = 4 + 9 - 4 = 9$ है।

(C) दिया गया है $f^2(x) = \lim_{r \rightarrow x} \left( \frac{2r^2(f^2(r) - f(x)f(r))}{r^2 - x^2} - r^3 e^{\frac{f(r)}{r}} \right)$.
सीमा लेने पर,$f^2(x) = x f(x) f'(x) - x^3 e^{\frac{f(x)}{x}}$ प्राप्त होता है।
मान लीजिए $y = f(x)$,तो $y^2 = xy \frac{dy}{dx} - x^3 e^{\frac{y}{x}}$.
$xy$ से भाग देने पर,$\frac{y}{x} = \frac{dy}{dx} - \frac{x^2}{y} e^{\frac{y}{x}}$ प्राप्त होता है।
$y = vx$ रखने पर,$\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$.
$v = v + x \frac{dv}{dx} - \frac{1}{v} e^v \implies x \frac{dv}{dx} = \frac{e^v}{v}$.
चरों को अलग करने पर: $v e^{-v} dv = \frac{dx}{x}$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int v e^{-v} dv = \int \frac{dx}{x} \implies -e^{-v}(v+1) = \ln|x| + C$.
$f(1) = 1$ का उपयोग करने पर,$x=1, y=1 \implies v=1$. अतः,$-e^{-1}(2) = 0 + C \implies C = -2/e$.
इस प्रकार,$-e^{-y/x}(\frac{y}{x} + 1) = \ln|x| - \frac{2}{e}$.
$f(a) = 0$ के लिए,$y=0, x=a$,अतः $v=0$.
$-e^0(0 + 1) = \ln|a| - \frac{2}{e} \implies -1 = \ln|a| - \frac{2}{e} \implies \ln|a| = \frac{2}{e} - 1$. हल करने पर $a = 2/e$ प्राप्त होता है,इसलिए $ea = 2$.

(B) रेखा का समीकरण $45 x+5 y+3=0$ है,जिसे $5 y = -45 x - 3$ या $y = -9 x - \frac{3}{5}$ के रूप में लिखा जा सकता है। अतः ढाल $-9$ है।
दिया गया है कि ढाल $27 r_1+\frac{9 r_2}{2} = -9$ है।
मान लीजिए $f(x) = \int_3^x \frac{8 t^2}{\frac{3 r_2 x}{2}-r_2 x^2-r_1 x^3-3 x} dt$ है। हमें $\lim_{x \rightarrow 3} f(x)$ ज्ञात करना है।
चूंकि यह सीमा $\frac{0}{0}$ के रूप में है,हम $L$'$H$ôpital के नियम का उपयोग करते हैं:
$\lim_{x \rightarrow 3} \frac{\frac{d}{dx} \int_3^x \frac{8 t^2}{\frac{3 r_2 x}{2}-r_2 x^2-r_1 x^3-3 x} dt}{\frac{d}{dx} (\text{हर})}$.
Leibniz के नियम के अनुसार,$x=3$ पर सीमा $\lim_{x \rightarrow 3} \frac{8 x^2}{\frac{3 r_2}{2} - 2 r_2 x - 3 r_1 x^2 - 3}$ हो जाती है।
$x=3$ रखने पर: $\frac{8(9)}{\frac{3 r_2}{2} - 6 r_2 - 27 r_1 - 3} = \frac{72}{-\frac{9 r_2}{2} - 27 r_1 - 3}$.
चूंकि $27 r_1 + \frac{9 r_2}{2} = -9$ है,इसलिए हर $-(-9) - 3 = 9 - 3 = 6$ हो जाता है।
अतः,सीमा का मान $\frac{72}{6} = 12$ है।

(C) दिया गया है $|\vec{a}|=1$,$|\vec{b}|=4$,और $\vec{a} \cdot \vec{b}=2$।
हमें $\vec{c}=2(\vec{a} \times \vec{b})-3 \vec{b}$ दिया गया है।
$\vec{b}$ और $\vec{c}$ के बीच का कोण $\theta$ ज्ञात करने के लिए,हम सूत्र $\cos \theta = \frac{\vec{b} \cdot \vec{c}}{|\vec{b}| |\vec{c}|}$ का उपयोग करेंगे।
सबसे पहले,$\vec{b} \cdot \vec{c}$ की गणना करें:
$\vec{b} \cdot \vec{c} = \vec{b} \cdot (2(\vec{a} \times \vec{b}) - 3 \vec{b}) = 2(\vec{b} \cdot (\vec{a} \times \vec{b})) - 3(\vec{b} \cdot \vec{b})$।
चूंकि $\vec{b} \cdot (\vec{a} \times \vec{b}) = 0$ (क्योंकि क्रॉस प्रोडक्ट दोनों सदिशों के लंबवत होता है),इसलिए $\vec{b} \cdot \vec{c} = 0 - 3|\vec{b}|^2 = -3(4^2) = -3(16) = -48$।
अब,$|\vec{c}|^2$ की गणना करें:
$|\vec{c}|^2 = |2(\vec{a} \times \vec{b}) - 3 \vec{b}|^2 = 4|\vec{a} \times \vec{b}|^2 + 9|\vec{b}|^2 - 12(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{b}$।
चूंकि $(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{b} = 0$,इसलिए $|\vec{c}|^2 = 4|\vec{a} \times \vec{b}|^2 + 9|\vec{b}|^2$।
$|\vec{a} \times \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2 - (\vec{a} \cdot \vec{b})^2 = (1)^2(4)^2 - (2)^2 = 16 - 4 = 12$।
अतः,$|\vec{c}|^2 = 4(12) + 9(16) = 48 + 144 = 192$।
इसलिए,$|\vec{c}| = \sqrt{192} = 8\sqrt{3}$।
अंत में,$\cos \theta = \frac{-48}{4 \times 8\sqrt{3}} = \frac{-48}{32\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$।
अतः,$\theta = \cos^{-1}\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$।

(D) त्रिभुज के शीर्ष $(0,0)$,$(x, y)$,और $(-x, y)$ हैं।
त्रिभुज का क्षेत्रफल सारणिक सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\text{Area} = \frac{1}{2} |0(y - y) + x(y - 0) + (-x)(0 - y)|$
$\text{Area} = \frac{1}{2} |xy + xy| = |xy|$
वक्र $y = -2x^2 + 54$ दिया गया है,इसलिए क्षेत्रफल के व्यंजक में $y$ का मान रखने पर:
$A(x) = |x(-2x^2 + 54)| = |-2x^3 + 54x|$
चूंकि $y > 0$,इसलिए $-2x^2 + 54 > 0$,जिसका अर्थ है $x^2 < 27$,अतः $x \in (-\sqrt{27}, \sqrt{27})$।
$x > 0$ के लिए,$A(x) = -2x^3 + 54x$।
अधिकतम क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,$A(x)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dA}{dx} = -6x^2 + 54$
$\frac{dA}{dx} = 0$ रखने पर:
$-6x^2 + 54 = 0 \Rightarrow x^2 = 9 \Rightarrow x = 3$ (चूंकि $x > 0$)।
अब,$x = 3$ पर अधिकतम क्षेत्रफल की गणना करने पर:
$A(3) = |3(-2(3)^2 + 54)| = |3(-18 + 54)| = |3(36)| = 108$।
अतः,त्रिभुज का अधिकतम क्षेत्रफल $108$ है।

(D) योग को रीमान समाकलन के रूप में व्यक्त करने पर: $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \frac{1}{(1+(k/n)^2)(1+3(k/n)^2)}$.
माना $x = k/n$,तो व्यंजक $\int_0^1 \frac{dx}{(1+x^2)(1+3x^2)}$ बन जाता है।
आंशिक भिन्न का उपयोग करने पर: $\frac{1}{(1+x^2)(1+3x^2)} = \frac{3/2}{1+3x^2} - \frac{1/2}{1+x^2}$.
समाकलन करने पर: $\int_0^1 \left( \frac{3/2}{1+3x^2} - \frac{1/2}{1+x^2} \right) dx = \frac{3}{2} \int_0^1 \frac{dx}{1+(\sqrt{3}x)^2} - \frac{1}{2} \int_0^1 \frac{dx}{1+x^2}$.
$= \frac{3}{2} \left[ \frac{1}{\sqrt{3}} \tan^{-1}(\sqrt{3}x) \right]_0^1 - \frac{1}{2} [\tan^{-1}x]_0^1$.
$= \frac{\sqrt{3}}{2} (\frac{\pi}{3}) - \frac{1}{2} (\frac{\pi}{4}) = \frac{\pi}{2\sqrt{3}} - \frac{\pi}{8} = \frac{\pi(2\sqrt{3}-3)}{24}$.
यह मान $\frac{\pi}{8(2\sqrt{3}+3)}$ के बराबर है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) दिया गया है $f(x) = \frac{1}{2}[g(x) + g(2-x)]$.
अवकलन करने पर,$f^{\prime}(x) = \frac{1}{2}[g^{\prime}(x) - g^{\prime}(2-x)]$.
हमें $g^{\prime}\left(\frac{1}{2}\right) = g^{\prime}\left(\frac{3}{2}\right)$ दिया गया है।
$x = \frac{1}{2}$ पर $f^{\prime}$ का मान: $f^{\prime}\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2}[g^{\prime}\left(\frac{1}{2}\right) - g^{\prime}\left(\frac{3}{2}\right)] = 0$.
$x = \frac{3}{2}$ पर $f^{\prime}$ का मान: $f^{\prime}\left(\frac{3}{2}\right) = \frac{1}{2}[g^{\prime}\left(\frac{3}{2}\right) - g^{\prime}\left(\frac{1}{2}\right)] = 0$.
चूँकि $f^{\prime}\left(\frac{1}{2}\right) = 0$ और $f^{\prime}\left(\frac{3}{2}\right) = 0$,अंतराल $\left[\frac{1}{2}, \frac{3}{2}\right]$ पर रोले के प्रमेय के अनुसार,कम से कम एक $c \in \left(\frac{1}{2}, \frac{3}{2}\right)$ ऐसा मौजूद है कि $f^{\prime \prime}(c) = 0$ हो।
साथ ही,ध्यान दें कि $f^{\prime}(1) = \frac{1}{2}[g^{\prime}(1) - g^{\prime}(1)] = 0$.
अतः,$f^{\prime}(x)$ का मान $x = \frac{1}{2}, 1, \frac{3}{2}$ पर शून्य है।
रोले के प्रमेय के अनुसार,$f^{\prime \prime}(x)$ का मान $\left(\frac{1}{2}, 1\right)$ में कम से कम एक बार और $\left(1, \frac{3}{2}\right)$ में कम से कम एक बार शून्य होगा।
इसलिए,$(0, 2)$ में कम से कम तीन मानों के लिए $f^{\prime}(x) = 0$ है,जो विकल्प $A$ को संतुष्ट करता है।

(B) दिए गए समीकरण $y^2=4(x-2)$ और $y=2x-8$ हैं।
रेखा के समीकरण से,$2x = y+8$,इसलिए $x = \frac{y+8}{2} = \frac{y}{2} + 4$.
परवलय के समीकरण में $x$ का मान रखने पर: $y^2 = 4(\frac{y}{2} + 4 - 2) = 4(\frac{y}{2} + 2) = 2y + 8$.
$y^2 - 2y - 8 = 0 \implies (y-4)(y+2) = 0$.
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $y=4$ और $y=-2$ हैं।
क्षेत्रफल $A = \int_{-2}^{4} (x_{line} - x_{parabola}) dy$ द्वारा दिया जाता है।
$x_{line} = \frac{y+8}{2}$ और $x_{parabola} = \frac{y^2}{4} + 2$.
$A = \int_{-2}^{4} (\frac{y+8}{2} - (\frac{y^2}{4} + 2)) dy = \int_{-2}^{4} (\frac{y}{2} + 2 - \frac{y^2}{4}) dy$.
$A = [\frac{y^2}{4} + 2y - \frac{y^3}{12}]_{-2}^{4}$.
$A = (\frac{16}{4} + 8 - \frac{64}{12}) - (\frac{4}{4} - 4 - \frac{-8}{12}) = (4 + 8 - \frac{16}{3}) - (1 - 4 + \frac{2}{3}) = (12 - \frac{16}{3}) - (-3 + \frac{2}{3}) = \frac{20}{3} - (-\frac{7}{3}) = \frac{27}{3} = 9$ वर्ग इकाई।

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\sec x \, dy = -\{2(1-x) \tan x + x(2-x)\} \, dx$ है।
$\sec x$ से भाग देने पर,हमें $\frac{dy}{dx} = -\{2(1-x) \sin x + x(2-x) \cos x\}$ प्राप्त होता है।
यह सरल होकर $\frac{dy}{dx} = 2(x-1) \sin x + (x^2-2x) \cos x$ हो जाता है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:
$y(x) = \int 2(x-1) \sin x \, dx + \int (x^2-2x) \cos x \, dx$.
दूसरे पद के लिए खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करने पर: $\int (x^2-2x) \cos x \, dx = (x^2-2x) \sin x - \int (2x-2) \sin x \, dx$.
इसे प्रतिस्थापित करने पर: $y(x) = \int 2(x-1) \sin x \, dx + (x^2-2x) \sin x - \int 2(x-1) \sin x \, dx + C$.
अतः,$y(x) = (x^2-2x) \sin x + C$.
चूँकि $y(0)=2$ दिया गया है,$2 = (0^2-2(0)) \sin(0) + C$,जिसका अर्थ है $C=2$.
इस प्रकार,$y(x) = (x^2-2x) \sin x + 2$.
$x=2$ के लिए,$y(2) = (2^2-2(2)) \sin(2) + 2 = (4-4) \sin(2) + 2 = 2$.

(B) मान लीजिए रेखा $\frac{x+3}{5} = \frac{y-1}{2} = \frac{z+4}{3} = k$ है।
रेखा पर स्थित कोई बिंदु $P(5k-3, 2k+1, 3k-4)$ है।
बिंदु $A(1, 2, 3)$ और $P$ को जोड़ने वाली रेखा $AP$ के दिक अनुपात $(5k-3-1, 2k+1-2, 3k-4-3) = (5k-4, 2k-1, 3k-7)$ हैं।
दी गई रेखा के दिक अनुपात $(5, 2, 3)$ हैं।
चूंकि $AP$ रेखा पर लंब है,इसलिए उनके दिक अनुपातों का अदिश गुणनफल शून्य होगा:
$5(5k-4) + 2(2k-1) + 3(3k-7) = 0$
$25k - 20 + 4k - 2 + 9k - 21 = 0$
$38k - 43 = 0 \implies k = \frac{43}{38}$.
पाद $P$ के निर्देशांक $(\alpha, \beta, \gamma) = (5k-3, 2k+1, 3k-4)$ हैं।
अतः $\alpha + \beta + \gamma = (5k-3) + (2k+1) + (3k-4) = 10k - 6$.
$k = \frac{43}{38}$ रखने पर:
$\alpha + \beta + \gamma = 10\left(\frac{43}{38}\right) - 6 = \frac{430 - 228}{38} = \frac{202}{38} = \frac{101}{19}$.
इसलिए,$19(\alpha + \beta + \gamma) = 19 \times \frac{101}{19} = 101$.

(C) फलन $f(x) = \cos^{-1}\left(\frac{2-|x|}{4}\right) + (\log_e(3-x))^{-1}$ के लिए,हमें दोनों भागों के लिए प्रांत की शर्तों को संतुष्ट करना होगा।
$1$. $\cos^{-1}\left(\frac{2-|x|}{4}\right)$ के लिए,तर्क $[-1, 1]$ में होना चाहिए:
$-1 \leq \frac{2-|x|}{4} \leq 1$
$-4 \leq 2-|x| \leq 4$
$-6 \leq -|x| \leq 2$
चूंकि $|x| \geq 0$,इसलिए $-|x| \leq 2$ हमेशा सत्य है। अतः,$|x| \leq 6$,जिसका अर्थ है $x \in [-6, 6]$।
$2$. $(\log_e(3-x))^{-1}$ के लिए,हमें $\log_e(3-x) \neq 0$ और $3-x > 0$ की आवश्यकता है:
$3-x > 0 \Rightarrow x < 3$.
$\log_e(3-x) \neq 0 \Rightarrow 3-x \neq 1 \Rightarrow x \neq 2$.
इन शर्तों को मिलाने पर:
$x \in [-6, 6] \cap (-\infty, 3) \setminus \{2\} = [-6, 3) \setminus \{2\}$।
इसकी तुलना $[-\alpha, \beta) \setminus \{\gamma\}$ से करने पर,हमें $\alpha = 6$,$\beta = 3$,और $\gamma = 2$ प्राप्त होता है।
अतः,$\alpha + \beta + \gamma = 6 + 3 + 2 = 11$।

(A) समीकरण निकाय इस प्रकार है:
$x+y+z=4\mu$
$x+2y+2\lambda z=10\mu$
$x+3y+4\lambda^2 z=\mu^2+15$
गुणांक आव्यूह का सारणिक $\Delta$:
$\Delta = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 2\lambda \\ 1 & 3 & 4\lambda^2 \end{vmatrix} = (2\lambda - 1)^2$.
अद्वितीय हल के लिए,$\Delta \neq 0$,जिसका अर्थ है $\lambda \neq \frac{1}{2}$।
जब $\lambda = \frac{1}{2}$,तब $\Delta = 0$। संवर्धित आव्यूह से:
$y = 6\mu$ और $2y = \mu^2 - 4\mu + 15$ प्राप्त होता है।
अतः $12\mu = \mu^2 - 4\mu + 15 \implies \mu^2 - 16\mu + 15 = 0 \implies (\mu-1)(\mu-15) = 0$।
इस प्रकार,यदि $\lambda = \frac{1}{2}$ और $\mu \in \{1, 15\}$ है तो निकाय संगत है। यदि $\mu \neq 1, 15$ है तो निकाय असंगत है। विकल्प $A$ गलत कथन है क्योंकि अद्वितीय हल के लिए $\mu$ पर कोई शर्त नहीं है।

(A) दिया गया सारणिक $f(x) = \begin{vmatrix} 2 \cos^4 x & 2 \sin^4 x & 3 + \sin^2 2x \\ 3 + 2 \cos^4 x & 2 \sin^4 x & \sin^2 2x \\ 2 \cos^4 x & 3 + 2 \sin^4 x & \sin^2 2x \end{vmatrix}$ है।
पंक्ति संक्रियाओं $R_2 \rightarrow R_2 - R_1$ और $R_3 \rightarrow R_3 - R_1$ को लागू करने पर:
$f(x) = \begin{vmatrix} 2 \cos^4 x & 2 \sin^4 x & 3 + \sin^2 2x \\ 3 & 0 & -3 \\ 0 & 3 & -3 \end{vmatrix}$.
दूसरी पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$f(x) = -3 \begin{vmatrix} 2 \sin^4 x & 3 + \sin^2 2x \\ 3 & -3 \end{vmatrix} + 0 - (-3) \begin{vmatrix} 2 \cos^4 x & 2 \sin^4 x \\ 0 & 3 \end{vmatrix}$.
$f(x) = -3(-6 \sin^4 x - 3(3 + \sin^2 2x)) + 3(6 \cos^4 x)$.
$f(x) = 18 \sin^4 x + 27 + 9 \sin^2 2x + 18 \cos^4 x$.
चूंकि $\sin^2 2x = 4 \sin^2 x \cos^2 x$,इसलिए $f(x) = 18(\sin^4 x + \cos^4 x) + 9(4 \sin^2 x \cos^2 x) + 27$.
$\sin^4 x + \cos^4 x = 1 - 2 \sin^2 x \cos^2 x$ का उपयोग करने पर:
$f(x) = 18(1 - 2 \sin^2 x \cos^2 x) + 36 \sin^2 x \cos^2 x + 27$.
$f(x) = 18 - 36 \sin^2 x \cos^2 x + 36 \sin^2 x \cos^2 x + 27 = 45$.
चूंकि $f(x) = 45$ एक अचर है,इसलिए $f'(x) = 0$ होगा।
अतः,$\frac{1}{5} f'(0) = 0$।

(B) विकर्णों $\overrightarrow{d_1}$ और $\overrightarrow{d_2}$ वाले समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल $\text{Area} = \frac{1}{2} |\overrightarrow{d_1} \times \overrightarrow{d_2}|$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$\overrightarrow{d_1} = \overrightarrow{AC} = \vec{C} - \vec{A} = (-3-2)\hat{i} + (4-3)\hat{j} + (-2-5)\hat{k} = -5\hat{i} + \hat{j} - 7\hat{k}$ है।
दूसरा विकर्ण $\overrightarrow{d_2} = \overrightarrow{BD} = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$ है।
अब,सदिश गुणनफल $\overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{BD}$ की गणना करें:
$\overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{BD} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -5 & 1 & -7 \\ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix} = \hat{i}(3 - (-14)) - \hat{j}(-15 - (-7)) + \hat{k}(-10 - 1) = 17\hat{i} + 8\hat{j} - 11\hat{k}$ है।
इसका परिमाण $|17\hat{i} + 8\hat{j} - 11\hat{k}| = \sqrt{17^2 + 8^2 + (-11)^2} = \sqrt{289 + 64 + 121} = \sqrt{474}$ है।
अतः,क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \sqrt{474}$ है।

(B) हमें सीमा $\alpha = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x \int_0^x f(t) dt}{e^{x^2}-1}$ दी गई है।
हम इस व्यंजक को $\alpha = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_0^x f(t) dt}{x} \cdot \frac{x^2}{e^{x^2}-1}$ के रूप में लिख सकते हैं।
चूँकि $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{x^2}-1}{x^2} = 1$,इसलिए $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^2}{e^{x^2}-1} = 1$ होगा।
अब,पहले भाग $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_0^x f(t) dt}{x}$ (जो $\frac{0}{0}$ रूप में है) पर एल-हॉस्पिटल नियम लागू करने पर:
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\frac{d}{dx} \int_0^x f(t) dt}{\frac{d}{dx} x} = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{1} = f(0)$.
चूँकि $f(0) = \frac{1}{2}$ दिया गया है,हमें $\alpha = \frac{1}{2} \times 1 = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
अंत में,$8 \alpha^2 = 8 \times \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 8 \times \frac{1}{4} = 2$ होगा।

(B) रेखाओं के पहले युग्म के लिए:
$L_1: \frac{x+1}{1} = \frac{y}{1/2} = \frac{z}{-1/12} \implies \vec{a}_1 = (-1, 0, 0), \vec{b}_1 = (1, 1/2, -1/12)$
$L_2: \frac{x}{1} = \frac{y+2}{1} = \frac{z-1}{1/6} \implies \vec{a}_2 = (0, -2, 1), \vec{b}_2 = (1, 1, 1/6)$
न्यूनतम दूरी $d_1 = \frac{|(\vec{a}_2 - \vec{a}_1) \cdot (\vec{b}_1 \times \vec{b}_2)|}{|\vec{b}_1 \times \vec{b}_2|} = 2$.
रेखाओं के दूसरे युग्म के लिए:
$L_3: \frac{x-1}{2} = \frac{y+8}{-7} = \frac{z-4}{5}, \vec{a}_3 = (1, -8, 4), \vec{b}_3 = (2, -7, 5)$
$L_4: \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-6}{-3}, \vec{a}_4 = (1, 2, 6), \vec{b}_4 = (2, 1, -3)$
न्यूनतम दूरी $d_2 = \frac{|(\vec{a}_4 - \vec{a}_3) \cdot (\vec{b}_3 \times \vec{b}_4)|}{|\vec{b}_3 \times \vec{b}_4|} = \frac{12}{\sqrt{3}}$.
अंतिम मान की गणना:
$\frac{32 \sqrt{3} d_1}{d_2} = \frac{32 \sqrt{3} \times 2}{12/\sqrt{3}} = \frac{64 \sqrt{3} \times \sqrt{3}}{12} = \frac{64 \times 3}{12} = \frac{192}{12} = 16$.

(D) समुच्चय $A$ में $7$ अवयव हैं,इसलिए घात समुच्चय $P(A)$ में $2^7 = 128$ अवयव हैं।
प्रत्येक अवयव $a \in A$ के लिए,हमें एक उपसमुच्चय $f(a) \subseteq A$ चुनना होगा ताकि $a \in f(a)$ हो।
$A$ के उन उपसमुच्चयों की संख्या जिनमें एक विशिष्ट अवयव $a$ शामिल हो,$2^{7-1} = 2^6 = 64$ है।
चूँकि $A$ में $7$ अवयव हैं,और प्रत्येक अवयव $a$ के लिए $f(a)$ चुनने के $2^6$ विकल्प हैं,इसलिए ऐसे कुल फलनों की संख्या $(2^6)^7 = 2^{42}$ है।
हमें दिया गया है कि फलनों की संख्या $m^n$ है जहाँ $m$ न्यूनतम है।
अतः,न्यूनतम आधार $m = 2$ और $n = 42$ है।
इसलिए,$m + n = 2 + 42 = 44$.

(A) माना $f(x) = \sqrt{\frac{10x}{x+1}} = \sqrt{10 - \frac{10}{x+1}}$.
जैसे-जैसे $x$,$0$ से $9$ तक बढ़ता है,$f(x)$,$0$ से $3$ तक बढ़ता है।
$[f(x)]$ का मान उन बिंदुओं पर बदलता है जहाँ $f(x) = k$ हो,जहाँ $k \in \{1, 2, 3\}$.
$f(x) = 1$ के लिए: $\frac{10x}{x+1} = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{9}$.
$f(x) = 2$ के लिए: $\frac{10x}{x+1} = 4 \Rightarrow x = \frac{2}{3}$.
$f(x) = 3$ के लिए: $\frac{10x}{x+1} = 9 \Rightarrow x = 9$.
अतः,समाकलन $I = 9 \int_0^9 [f(x)] dx$ इस प्रकार होगा:
$I = 9 \left( \int_0^{1/9} 0 dx + \int_{1/9}^{2/3} 1 dx + \int_{2/3}^9 2 dx \right)$.
$I = 9 \left( 0 + (\frac{2}{3} - \frac{1}{9}) + 2(9 - \frac{2}{3}) \right)$.
$I = 9 \left( \frac{5}{9} + 2(\frac{25}{3}) \right) = 9 \left( \frac{5}{9} + \frac{50}{3} \right) = 5 + 150 = 155$.

(C) दिया गया अवकल समीकरण $(1-x^2) dy = [xy + (x^3+2) \sqrt{3(1-x^2)}] dx$ है।
$(1-x^2) dx$ से भाग देने पर,$\frac{dy}{dx} - \frac{x}{1-x^2} y = \frac{(x^3+2) \sqrt{3(1-x^2)}}{1-x^2}$ प्राप्त होता है।
यह $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = -\frac{x}{1-x^2}$ और $Q(x) = \frac{(x^3+2) \sqrt{3}}{\sqrt{1-x^2}}$ है।
समाकलन गुणक $IF = e^{\int P(x) dx} = e^{-\int \frac{x}{1-x^2} dx} = e^{\frac{1}{2} \ln(1-x^2)} = \sqrt{1-x^2}$ है।
सामान्य हल $y \cdot IF = \int Q(x) \cdot IF dx + C$ है।
$y \sqrt{1-x^2} = \int \frac{(x^3+2) \sqrt{3}}{\sqrt{1-x^2}} \cdot \sqrt{1-x^2} dx + C = \sqrt{3} \int (x^3+2) dx + C$.
$y \sqrt{1-x^2} = \sqrt{3} (\frac{x^4}{4} + 2x) + C$.
चूँकि $y(0)=0$ दिया गया है,इसलिए $0 = \sqrt{3}(0) + C$,जिससे $C=0$ प्राप्त होता है।
अतः,$y \sqrt{1-x^2} = \sqrt{3} (\frac{x^4}{4} + 2x)$ है।
$x = 1/2$ के लिए,$y \sqrt{1 - 1/4} = \sqrt{3} (\frac{(1/2)^4}{4} + 2(1/2)) = \sqrt{3} (\frac{1}{64} + 1) = \sqrt{3} (\frac{65}{64})$ है।
$y \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \frac{65}{64}$ है।
$y = \frac{65}{32}$ है।
चूँकि $m=65$ और $n=32$ सह-अभाज्य हैं,इसलिए $m+n = 65+32 = 97$ है।

(A) दिया गया है $f(x) = \begin{cases} \frac{1}{x} & , x \geq 2 \\ ax^2 + 2b & , -2 < x < 2 \\ -\frac{1}{x} & , x \leq -2 \end{cases}$।
$f(x)$ के $\mathbb{R}$ पर अवकलनीय होने के लिए,इसे $x = 2$ और $x = -2$ पर सतत और अवकलनीय होना चाहिए।
$x = 2$ पर सांतत्य के लिए,$\lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^-} f(x) = f(2)$।
$\frac{1}{2} = a(2)^2 + 2b \Rightarrow 4a + 2b = \frac{1}{2} \Rightarrow 8a + 4b = 1$।
$x = 2$ पर अवकलनीयता के लिए,$f'(2^+) = f'(2^-)$।
$x > 2$ के लिए $f'(x) = -\frac{1}{x^2}$ और $-2 < x < 2$ के लिए $f'(x) = 2ax$।
$-\frac{1}{2^2} = 2a(2) \Rightarrow -\frac{1}{4} = 4a \Rightarrow a = -\frac{1}{16}$।
$a = -\frac{1}{16}$ को $8a + 4b = 1$ में रखने पर:
$8(-\frac{1}{16}) + 4b = 1 \Rightarrow -\frac{1}{2} + 4b = 1 \Rightarrow 4b = \frac{3}{2} \Rightarrow b = \frac{3}{8}$।
अब,$48(a+b)$ की गणना करने पर:
$48(-\frac{1}{16} + \frac{3}{8}) = 48(\frac{-1+6}{16}) = 48(\frac{5}{16}) = 3 \times 5 = 15$।

(D) गुणांक आव्यूह $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & \lambda^2 \\ 1 & 3 & \lambda \end{bmatrix}$ है।
निकाय का अद्वितीय हल होने के लिए $\det(A) \neq 0$ होना चाहिए।
$\det(A) = 1(2\lambda - 3\lambda^2) - 1(\lambda - \lambda^2) + 1(3 - 2) = -2\lambda^2 + \lambda + 1 = -(2\lambda+1)(\lambda-1)$.
अतः,$\det(A) = 0$ तब होता है जब $\lambda = 1$ या $\lambda = -1/2$ हो।
यदि $\lambda \neq 1$ और $\lambda \neq -1/2$ है,तो किसी भी $\mu$ के लिए निकाय का अद्वितीय हल होता है।
यदि $\lambda = 1$ है,तो समीकरण $x+y+z=5$,$x+2y+z=9$,और $x+3y+z=\mu$ हो जाते हैं। पहले समीकरण को दूसरे से घटाने पर $y=4$ प्राप्त होता है। दूसरे को तीसरे से घटाने पर $y=\mu-9$ प्राप्त होता है। अतः,$4 = \mu-9 \Rightarrow \mu=13$। यदि $\mu=13$ है,तो अनंत हल होते हैं। यदि $\mu \neq 13$ है,तो कोई हल नहीं होता है।
विकल्प $D$ कहता है कि यदि $\lambda \neq 1$ और $\mu \neq 13$ है तो अद्वितीय हल होता है। यह गलत है क्योंकि यदि $\lambda = -1/2$ है,तो $\mu$ के किसी भी मान के लिए अद्वितीय हल नहीं होता है।

(A) दिया गया है $\vec{a} = \hat{i} + \alpha \hat{j} + \beta \hat{k}$,इसलिए $|\vec{a}|^2 = 1 + \alpha^2 + \beta^2$ है।
दिया गया है $|\vec{b}|^2 = 6$,इसलिए $|\vec{b}| = \sqrt{6}$ है।
$\vec{a}$ और $\vec{b}$ के बीच का कोण $\theta = \frac{\pi}{4}$ है।
अदिश गुणनफल के सूत्र का उपयोग करने पर: $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta = 3\sqrt{2}$।
मान रखने पर: $|\vec{a}| \cdot \sqrt{6} \cdot \cos(\frac{\pi}{4}) = 3\sqrt{2}$।
$|\vec{a}| \cdot \sqrt{6} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2} \implies |\vec{a}| \cdot \sqrt{3} = 3\sqrt{2} \implies |\vec{a}| = \sqrt{6}$।
अतः,$|\vec{a}|^2 = 6$,जिसका अर्थ है $1 + \alpha^2 + \beta^2 = 6$,इसलिए $\alpha^2 + \beta^2 = 5$ है।
अब,$|\vec{a} \times \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2 \sin^2 \theta$ की गणना करें।
$|\vec{a} \times \vec{b}|^2 = (6)(6) \sin^2(\frac{\pi}{4}) = 36 \cdot (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 = 36 \cdot \frac{1}{2} = 18$।
अंत में,$(\alpha^2 + \beta^2) |\vec{a} \times \vec{b}|^2 = (5)(18) = 90$।

(C) दिया गया है $f(x)=(x+3)^2(x-2)^3$.
क्रांतिक बिंदुओं (critical points) को खोजने के लिए,हम $x$ के सापेक्ष $f(x)$ का अवकलन करते हैं:
$f^{\prime}(x) = \frac{d}{dx}[(x+3)^2(x-2)^3]$
$f^{\prime}(x) = 2(x+3)(x-2)^3 + 3(x-2)^2(x+3)^2$
$f^{\prime}(x) = (x+3)(x-2)^2 [2(x-2) + 3(x+3)]$
$f^{\prime}(x) = (x+3)(x-2)^2 [2x - 4 + 3x + 9]$
$f^{\prime}(x) = (x+3)(x-2)^2 (5x + 5)$
$f^{\prime}(x) = 5(x+3)(x-2)^2 (x+1)$
$f^{\prime}(x) = 0$ रखने पर,हमें क्रांतिक बिंदु $x = -3, -1, 2$ प्राप्त होते हैं।
अब,हम अंतराल $[-4, 4]$ के क्रांतिक बिंदुओं और अंतिम बिंदुओं पर $f(x)$ का मान ज्ञात करते हैं:
$f(-4) = (-4+3)^2(-4-2)^3 = (-1)^2(-6)^3 = 1 \times (-216) = -216$
$f(-3) = (-3+3)^2(-3-2)^3 = 0$
$f(-1) = (-1+3)^2(-1-2)^3 = (2)^2(-3)^3 = 4 \times (-27) = -108$
$f(2) = (2+3)^2(2-2)^3 = 0$
$f(4) = (4+3)^2(4-2)^3 = (7)^2(2)^3 = 49 \times 8 = 392$
इन मानों की तुलना करने पर,अधिकतम मान $M = 392$ और न्यूनतम मान $m = -216$ प्राप्त होता है।
अतः,$M - m = 392 - (-216) = 392 + 216 = 608$.

(B) दिया गया है कि $|\vec{b}|=1$ और $|\vec{b} \times \vec{a}|=2$ है।
हम जानते हैं कि सदिश गुणनफल $\vec{b} \times \vec{a}$ एक ऐसा सदिश है जो $\vec{b}$ और $\vec{a}$ दोनों के लंबवत है।
इसलिए,$(\vec{b} \times \vec{a}) \cdot \vec{b} = 0$ है।
हमें $|(\vec{b} \times \vec{a}) - \vec{b}|^2$ का मान ज्ञात करना है।
गुणधर्म $|\vec{u} - \vec{v}|^2 = |\vec{u}|^2 + |\vec{v}|^2 - 2(\vec{u} \cdot \vec{v})$ का उपयोग करने पर:
$|(\vec{b} \times \vec{a}) - \vec{b}|^2 = |\vec{b} \times \vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2((\vec{b} \times \vec{a}) \cdot \vec{b})$।
चूंकि $(\vec{b} \times \vec{a}) \cdot \vec{b} = 0$ है,इसलिए व्यंजक सरल होकर निम्न हो जाता है:
$|(\vec{b} \times \vec{a}) - \vec{b}|^2 = |\vec{b} \times \vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2$।
दिए गए मानों को रखने पर:
$|(\vec{b} \times \vec{a}) - \vec{b}|^2 = (2)^2 + (1)^2 = 4 + 1 = 5$।

(B) दिया गया है $y=f(x)$,स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = f'(x)$ है।
$x=1$ पर,$f'(1) = \tan(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
$x=3$ पर,$f'(3) = \tan(\frac{\pi}{4}) = 1$.
समाकलन $I = \int_1^3 ((f'(t))^2 + 1) f''(t) dt$ पर विचार करें।
मान लीजिए $z = f'(t)$,तो $dz = f''(t) dt$.
जब $t=1$,$z = f'(1) = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
जब $t=3$,$z = f'(3) = 1$.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int_{1/\sqrt{3}}^1 (z^2 + 1) dz = \left[ \frac{z^3}{3} + z \right]_{1/\sqrt{3}}^1$
$I = (\frac{1}{3} + 1) - (\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3}})$
$I = \frac{4}{3} - (\frac{1}{9\sqrt{3}} + \frac{3}{3\sqrt{3}}) = \frac{4}{3} - \frac{10}{9\sqrt{3}} = \frac{4}{3} - \frac{10\sqrt{3}}{27}$.
अब,$27I = 27(\frac{4}{3} - \frac{10\sqrt{3}}{27}) = 36 - 10\sqrt{3}$.
$\alpha + \beta\sqrt{3}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $\alpha = 36$ और $\beta = -10$ प्राप्त होता है।
अतः,$\alpha + \beta = 36 - 10 = 26$.

(C) मान लीजिए $E_1$ थैली $A$ को चुनने की घटना है और $E_2$ थैली $B$ को चुनने की घटना है।
मान लीजिए $E$ सफेद गेंद निकालने की घटना है।
चूंकि थैलियों को यादृच्छिक रूप से चुना जाता है,इसलिए $P(E_1) = P(E_2) = \frac{1}{2}$ है।
थैली $A$ से सफेद गेंद निकालने की प्रायिकता $P(E|E_1) = \frac{3}{3+7} = \frac{3}{10}$ है।
थैली $B$ से सफेद गेंद निकालने की प्रायिकता $P(E|E_2) = \frac{3}{3+2} = \frac{3}{5}$ है।
बेयस प्रमेय का उपयोग करते हुए,यदि निकाली गई गेंद सफेद है तो उसके थैली $A$ से होने की प्रायिकता:
$P(E_1|E) = \frac{P(E_1) \cdot P(E|E_1)}{P(E_1) \cdot P(E|E_1) + P(E_2) \cdot P(E|E_2)}$
$P(E_1|E) = \frac{\frac{1}{2} \times \frac{3}{10}}{\frac{1}{2} \times \frac{3}{10} + \frac{1}{2} \times \frac{3}{5}}$
$P(E_1|E) = \frac{\frac{3}{20}}{\frac{3}{20} + \frac{3}{10}} = \frac{\frac{3}{20}}{\frac{3+6}{20}} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$.

(D) दिया गया है $f(x)=a e^{2 x}+b e^x+c x$.
$f(0)=-1 \Rightarrow a+b=-1 \quad (1)$
$f^{\prime}(x)=2 a e^{2 x}+b e^x+c$.
$f^{\prime}(\ln 2)=2 a(4)+b(2)+c=8 a+2 b+c=21 \quad (2)$
दिया गया है $\int_0^{\ln 4}(f(x)-c x) d x=\frac{39}{2}$.
$\int_0^{\ln 4}(a e^{2 x}+b e^x) d x=\left[\frac{a e^{2 x}}{2}+b e^x\right]_0^{\ln 4}=\frac{39}{2}$.
$\left(\frac{a(16)}{2}+b(4)\right)-\left(\frac{a}{2}+b\right)=\frac{39}{2}$.
$8 a+4 b-\frac{a}{2}-b=\frac{39}{2} \Rightarrow \frac{15 a}{2}+3 b=\frac{39}{2} \Rightarrow 15 a+6 b=39 \Rightarrow 5 a+2 b=13 \quad (3)$.
समीकरण $(1)$ से,$b=-1-a$. इसे $(3)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$5 a+2(-1-a)=13 \Rightarrow 3 a-2=13 \Rightarrow 3 a=15 \Rightarrow a=5$.
अतः $b=-1-5=-6$.
समीकरण $(2)$ से,$8(5)+2(-6)+c=21 \Rightarrow 40-12+c=21 \Rightarrow 28+c=21 \Rightarrow c=-7$.
इस प्रकार,$a+b+c=5-6-7=-8$.
इसलिए,$|a+b+c|=|-8|=8$.

(A) दिया गया है कि $L_1, L_2$ के लंबवत है। दिशा सदिश $\vec{v_1} = \hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$ और $\vec{v_2} = 3\hat{i} + \hat{j} + p\hat{k}$ हैं।
चूंकि $L_1 \perp L_2$,उनका अदिश गुणनफल शून्य है: $(1)(3) + (-1)(1) + (2)(p) = 0$.
$3 - 1 + 2p = 0 \implies 2p = -2 \implies p = -1$.
रेखा $L_3, L_1$ और $L_2$ दोनों के लंबवत है,इसलिए इसका दिशा सदिश $\vec{v_3}, \vec{v_1} \times \vec{v_2}$ के समानांतर है।
$\vec{v_3} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -1 & 2 \\ 3 & 1 & -1 \end{vmatrix} = \hat{i}(1 - 2) - \hat{j}(-1 - 6) + \hat{k}(1 + 3) = -\hat{i} + 7\hat{j} + 4\hat{k}$.
अतः,$L_3$ का समीकरण $\overrightarrow{r} = \delta(-\hat{i} + 7\hat{j} + 4\hat{k})$ है।
$L_3$ पर कोई भी बिंदु $(-\delta, 7\delta, 4\delta)$ के रूप का होता है।
$\delta = 1$ के लिए,बिंदु $(-1, 7, 4)$ प्राप्त होता है।

(D) $f(x)$ के $\mathbb{R}$ पर अवकलनीय होने के लिए,इसे $x = 1$ पर सतत होना चाहिए।
अतः,$\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) \implies 1^2 + 3(1) + a = b(1) + 2 \implies 4 + a = b + 2 \implies a = b - 2$.
साथ ही,$x = 1$ पर अवकलज का अस्तित्व होना चाहिए।
$x < 1$ के लिए $f'(x) = 2x + 3$ और $x > 1$ के लिए $f'(x) = b$ है।
$x = 1$ पर अवकलनीयता के लिए,$\lim_{x \to 1^-} f'(x) = \lim_{x \to 1^+} f'(x) \implies 2(1) + 3 = b \implies b = 5$.
$a = b - 2$ में $b = 5$ रखने पर,हमें $a = 3$ प्राप्त होता है।
अब,समाकलन की गणना करते हैं:
$\int_{-2}^2 f(x) dx = \int_{-2}^1 (x^2 + 3x + 3) dx + \int_1^2 (5x + 2) dx$.
$= \left[ \frac{x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} + 3x \right]_{-2}^1 + \left[ \frac{5x^2}{2} + 2x \right]_1^2$.
$= \left( \frac{1}{3} + \frac{3}{2} + 3 \right) - \left( \frac{-8}{3} + 6 - 6 \right) + \left( (10 + 4) - (\frac{5}{2} + 2) \right)$.
$= (\frac{2 + 9 + 18}{6}) - (-\frac{8}{3}) + (14 - \frac{9}{2}) = \frac{29}{6} + \frac{16}{6} + \frac{19}{2} = \frac{45}{6} + \frac{57}{6} = \frac{102}{6} = 17$.

(A) दिया गया फलन समीकरण $f\left(\frac{x}{y}\right)=\frac{f(x)}{f(y)}$ है।
$x=y=1$ रखने पर,हमें $f(1) = \frac{f(1)}{f(1)} = 1$ प्राप्त होता है।
अब,दिए गए समीकरण का $x$ के सापेक्ष आंशिक अवकलन करने पर:
$f^{\prime}\left(\frac{x}{y}\right) \cdot \frac{1}{y} = \frac{f^{\prime}(x)}{f(y)}$.
समीकरण में $y=x$ रखने पर:
$f^{\prime}(1) \cdot \frac{1}{x} = \frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}$.
चूँकि $f^{\prime}(1) = 2024$ है,हमें प्राप्त होता है:
$2024 \cdot \frac{1}{x} = \frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}$.
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें मिलता है:
$x f^{\prime}(x) = 2024 f(x)$,
जिसका अर्थ है कि $x f^{\prime}(x) - 2024 f(x) = 0$.

(B) फलन को परिभाषित होने के लिए,हमें निम्नलिखित शर्तों का पालन करना होगा:
$1$) $\frac{2x+3}{4x^2+x-3} > 0$
$2$) $-1 \leq \frac{2x-1}{x+2} \leq 1$
चरण $1$: $\frac{2x+3}{(4x-3)(x+1)} > 0$ को हल करें।
क्रांतिक बिंदु $x = -3/2, -1, 3/4$ हैं। वेवी कर्व विधि का उपयोग करने पर,हल $x \in (-3/2, -1) \cup (3/4, \infty)$ प्राप्त होता है।
चरण $2$: $-1 \leq \frac{2x-1}{x+2} \leq 1$ को हल करें।
भाग $A$: $\frac{2x-1}{x+2} + 1 \geq 0 \implies \frac{3x+1}{x+2} \geq 0$. हल: $x \in (-\infty, -2) \cup [-1/3, \infty)$.
भाग $B$: $\frac{2x-1}{x+2} - 1 \leq 0 \implies \frac{x-3}{x+2} \leq 0$. हल: $x \in (-2, 3]$.
भाग $A$ और भाग $B$ का प्रतिच्छेदन: $x \in [-1/3, 3]$.
चरण $3$: चरण $1$ और चरण $2$ का प्रतिच्छेदन ज्ञात करें।
$((-3/2, -1) \cup (3/4, \infty)) \cap [-1/3, 3] = (3/4, 3]$.
अतः,$\alpha = 3/4$ और $\beta = 3$.
चरण $4$: $5\beta - 4\alpha$ की गणना करें।
$5(3) - 4(3/4) = 15 - 3 = 12$.

(D) दिया गया है $f(x)=\frac{x}{(1+x^4)^{1/4}}$.
सबसे पहले,$f(f(x)) = \frac{f(x)}{(1+f(x)^4)^{1/4}} = \frac{\frac{x}{(1+x^4)^{1/4}}}{(1+\frac{x^4}{1+x^4})^{1/4}} = \frac{x}{(1+2x^4)^{1/4}}$ की गणना करें।
गणितीय आगमन द्वारा,$g(x) = f(f(f(f(x)))) = \frac{x}{(1+4x^4)^{1/4}}$.
हमें $I = 18 \int_0^{\sqrt{2\sqrt{5}}} \frac{x^4}{(1+4x^4)^{1/4}} dx$ का मूल्यांकन करना है।
मान लीजिए $1+4x^4 = t^4$,तो $16x^3 dx = 4t^3 dt$,जिसका अर्थ है $x^3 dx = \frac{1}{4} t^3 dt$.
जब $x=0$,तो $t=1$. जब $x=\sqrt{2\sqrt{5}}$,तो $x^4 = 4(5) = 20$,इसलिए $t^4 = 1+4(20) = 81$,अर्थात $t=3$.
$I = 18 \int_1^3 \frac{1}{t} \cdot \frac{1}{4} t^3 dt = \frac{18}{4} \int_1^3 t^2 dt = \frac{9}{2} [\frac{t^3}{3}]_1^3 = \frac{9}{2} \cdot \frac{1}{3} (27-1) = \frac{3}{2} (26) = 39$.

(C) दिया गया है $x \sin \theta = y \sin \left(\theta + \frac{2 \pi}{3}\right) = z \sin \left(\theta + \frac{4 \pi}{3}\right) = \lambda \neq 0$.
चूँकि $\sin \theta + \sin \left(\theta + \frac{2 \pi}{3}\right) + \sin \left(\theta + \frac{4 \pi}{3}\right) = 0$,इसलिए $x = \frac{\lambda}{\sin \theta}$,$y = \frac{\lambda}{\sin(\theta + 2\pi/3)}$,$z = \frac{\lambda}{\sin(\theta + 4\pi/3)}$.
$\text{Trace}(R) = x + y + z = \lambda \left( \frac{1}{\sin \theta} + \frac{1}{\sin(\theta + 2\pi/3)} + \frac{1}{\sin(\theta + 4\pi/3)} \right) = \frac{3\lambda}{\sin(3\theta)} \neq 0$.
अतः,कथन $(I)$ असत्य है।
कथन $(II)$ के लिए,$\text{adj}(\text{adj}(R)) = |R| R = (xyz) R = \begin{bmatrix} x^2yz & 0 & 0 \\ 0 & xy^2z & 0 \\ 0 & 0 & xyz^2 \end{bmatrix}$.
$\text{Trace}(\text{adj}(\text{adj}(R))) = xyz(x+y+z)$. चूँकि $x, y, z \neq 0$ और $x+y+z \neq 0$,इसलिए ट्रेस शून्य नहीं है।
एक सशर्त कथन "यदि $P$,तो $Q$" सत्य होता है यदि $P$ असत्य हो। चूँकि परिकल्पना "trace$(\text{adj}(\text{adj}(R))) = 0$" असत्य है,इसलिए कथन $(II)$ रिक्त रूप से (vacuously) सत्य है।

(A) $(x, y)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $Y-y=Y^{\prime}(x)(X-x)$ है।
$X=0$ के लिए,$Y=y-x Y^{\prime}(x)$.
$Y=0$ के लिए,$X=x-\frac{y}{Y^{\prime}(x)}$.
स्पर्श रेखा और निर्देशांक अक्षों द्वारा निर्मित त्रिभुज का क्षेत्रफल $A = \frac{1}{2} \left| x - \frac{y}{Y^{\prime}(x)} \right| \left| y - x Y^{\prime}(x) \right|$ है।
चूंकि वक्र प्रथम चतुर्थांश में है और क्षेत्रफल $\frac{-y^2}{2 Y^{\prime}(x)}+1$ दिया गया है:
$A = \frac{1}{2} \left( \frac{x Y^{\prime}(x) - y}{Y^{\prime}(x)} \right) (y - x Y^{\prime}(x)) = \frac{-y^2}{2 Y^{\prime}(x)} + 1$.
$2 Y^{\prime}(x)$ से गुणा करने पर:
$-(y - x Y^{\prime}(x))^2 = -y^2 + 2 Y^{\prime}(x)$.
$-y^2 + 2xy Y^{\prime}(x) - x^2 (Y^{\prime}(x))^2 = -y^2 + 2 Y^{\prime}(x)$.
$2xy Y^{\prime}(x) - x^2 (Y^{\prime}(x))^2 = 2 Y^{\prime}(x)$.
चूंकि $Y^{\prime}(x) \neq 0$,$Y^{\prime}(x)$ से भाग देने पर:
$2xy - x^2 Y^{\prime}(x) = 2$.
$Y^{\prime}(x) = \frac{2xy - 2}{x^2} = \frac{2y}{x} - \frac{2}{x^2}$.
यह एक रैखिक अवकल समीकरण है: $\frac{dy}{dx} - \frac{2}{x} y = -\frac{2}{x^2}$.
समाकलन गुणक $I.F. = e^{\int -\frac{2}{x} dx} = e^{-2 \ln x} = \frac{1}{x^2}$.
हल $y \cdot \frac{1}{x^2} = \int \left( -\frac{2}{x^2} \cdot \frac{1}{x^2} \right) dx = \int -2 x^{-4} dx = \frac{2}{3} x^{-3} + C$.
$y = \frac{2}{3x} + C x^2$.
$Y(1)=1$ दिया गया है,इसलिए $1 = \frac{2}{3} + C \Rightarrow C = \frac{1}{3}$.
अतः,$Y(x) = \frac{2}{3x} + \frac{x^2}{3}$.
$Y(2) = \frac{2}{3(2)} + \frac{4}{3} = \frac{1}{3} + \frac{4}{3} = \frac{5}{3}$.
$12 Y(2) = 12 \times \frac{5}{3} = 20$.

(B) मान लीजिए $L_1$ पर बिंदु $M$ $(3\lambda+1, 2\lambda+2, -2\lambda-1)$ है।
अतः $\alpha+\beta+\gamma = (3\lambda+1) + (2\lambda+2) + (-2\lambda-1) = 3\lambda+2$.
मान लीजिए $L_2$ पर बिंदु $N$ $(-3\mu-2, -2\mu+2, 4\mu+1)$ है।
अतः $a+b+c = (-3\mu-2) + (-2\mu+2) + (4\mu+1) = -\mu+1$.
यह रेखा बिंदु $P(-1, 2, 3)$,$M$ और $N$ से गुजरती है। अतः,सदिश $\vec{PM}$ और $\vec{PN}$ संरेख हैं।
$\vec{PM} = (3\lambda+2, 2\lambda, -2\lambda-4)$ और $\vec{PN} = (-3\mu-1, -2\mu, 4\mu-2)$.
चूंकि वे संरेख हैं,$\frac{3\lambda+2}{-3\mu-1} = \frac{2\lambda}{-2\mu} = \frac{-2\lambda-4}{4\mu-2}$.
$\frac{2\lambda}{-2\mu} = \frac{3\lambda+2}{-3\mu-1}$ से,हमें मिलता है $\lambda(-3\mu-1) = -\mu(3\lambda+2) \Rightarrow -3\lambda\mu - \lambda = -3\lambda\mu - 2\mu \Rightarrow \lambda = 2\mu$.
$\frac{2\lambda}{-2\mu} = \frac{-2\lambda-4}{4\mu-2}$ से,हमें मिलता है $\frac{\lambda}{-\mu} = \frac{-\lambda-2}{2\mu-1} \Rightarrow 2\lambda\mu - \lambda = \lambda\mu + 2\mu \Rightarrow \lambda\mu = \lambda + 2\mu$.
$\lambda = 2\mu$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें मिलता है $(2\mu)\mu = 2\mu + 2\mu \Rightarrow 2\mu^2 = 4\mu \Rightarrow \mu = 2$ (क्योंकि $\mu \neq 0$).
अतः $\lambda = 4$.
इस प्रकार,$\alpha+\beta+\gamma = 3(4)+2 = 14$ और $a+b+c = -(2)+1 = -1$.
इसलिए,$\frac{(\alpha+\beta+\gamma)^2}{(a+b+c)^2} = \frac{14^2}{(-1)^2} = 196$.