मान लीजिए कि क्षेत्र {(x, y): 0 leq x leq 3, | vedclass

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Question

(A) क्षेत्रफल $A$ ज्ञात करने के लिए,हम सबसे पहले वक्रों $y = x^2+2$ और $y = 2x+2$ के प्रतिच्छेदन बिंदुओं को निर्धारित करते हैं।$x^2+2 = 2x+2$ रखने पर,

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$164$

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(A) क्षेत्रफल $A$ ज्ञात करने के लिए,हम सबसे पहले वक्रों $y = x^2+2$ और $y = 2x+2$ के प्रतिच्छेदन बिंदुओं को निर्धारित करते हैं।$x^2+2 = 2x+2$ रखने पर,हमें $x^2 - 2x = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x(x-2) = 0$। अतः,वक्र $x=0$ और $x=2$ पर प्रतिच्छेद करते हैं।$0 \leq x \leq 2$ के लिए,$x^2+2 \leq 2x+2$ है,इसलिए $\min \{x^2+2, 2x+2\} = x^2+2$ है।$2 \leq x \leq 3$ के लिए,$2x+2 \leq x^2+2$ है,इसलिए $\min \{x^2+2, 2x+2\} = 2x+2$ है।क्षेत्रफल $A$ इस प्रकार है:$A = \int_0^2 (x^2+2) dx + \int_2^3 (2x+2) dx$समाकलन की गणना करने पर:$\int_0^2 (x^2+2) dx = [\frac{x^3}{3} + 2x]_0^2 = (\frac{8}{3} + 4) - 0 = \frac{20}{3}$$\int_2^3 (2x+2) dx = [x^2 + 2x]_2^3 = (9+6) - (4+4) = 15 - 8 = 7$अतः,$A = \frac{20}{3} + 7 = \frac{20+21}{3} = \frac{41}{3}$।अंत में,$12A = 12 	imes \frac{41}{3} = 4 	imes 41 = 164$।

मान लीजिए कि क्षेत्र $\{(x, y): 0 \leq x \leq 3, 0 \leq y \leq \min \{x^2+2, 2x+2\}\}$ का क्षेत्रफल $A$ है। तो $12A$ का मान ज्ञात कीजिए।

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