JEE Main 2024 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(D) चूँकि $f(x)$,$x = 0$ पर सतत है,इसलिए बायाँ सीमा $(LHL)$ और दायाँ सीमा $(RHL)$ बराबर होनी चाहिए।
सबसे पहले,$LHL$ की गणना करें:
$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} \frac{\tan((a+1)x) + b \tan x}{x} = \lim_{x \to 0^-} \left( \frac{\tan((a+1)x)}{x} + \frac{b \tan x}{x} \right) = (a+1) + b$.
अब,$RHL$ की गणना करें:
$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \frac{\sqrt{ax + b^2x^2} - \sqrt{ax}}{b \sqrt{a} x \sqrt{x}} = \lim_{x \to 0^+} \frac{\sqrt{ax}(\sqrt{1 + \frac{b^2}{a}x} - 1)}{b \sqrt{a} x \sqrt{x}} = \lim_{x \to 0^+} \frac{\sqrt{1 + \frac{b^2}{a}x} - 1}{b x}$.
$(1+u)^{1/2} \approx 1 + \frac{u}{2}$ विस्तार का उपयोग करने पर:
$\lim_{x \to 0^+} \frac{1 + \frac{b^2}{2a}x - 1}{b x} = \frac{b^2}{2ab} = \frac{b}{2a}$.
$LHL$ और $RHL$ को बराबर रखने पर:
$a + 1 + b = \frac{b}{2a}$.
विकल्पों के अनुसार $\frac{b}{a} = 6$ लेने पर,$b = 6a$ प्राप्त होता है।
यह मान रखने पर: $a + 1 + 6a = \frac{6a}{2a} \Rightarrow 7a + 1 = 3 \Rightarrow 7a = 2 \Rightarrow a = 2/7$.
अतः $b = 12/7$। इस प्रकार,$\frac{b}{a} = 6$ सही उत्तर है।

(A) मान लीजिए कि आयत के शीर्ष $(x, b)$,$(24, b)$,$(24, -b)$,और $(x, -b)$ हैं।
चूंकि शीर्ष $(x, b)$ परवलय $y^2=2x$ पर स्थित है,इसलिए हमारे पास $b^2=2x$ है,जिसका अर्थ है $x = \frac{b^2}{2}$।
आयत की चौड़ाई $(24 - x) = (24 - \frac{b^2}{2})$ है और ऊंचाई $2b$ है।
आयत का क्षेत्रफल $A$,$A = 2b(24 - \frac{b^2}{2}) = 48b - b^3$ द्वारा दिया जाता है।
अधिकतम क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,हम $b$ के सापेक्ष $A$ का अवकलन करते हैं:
$\frac{dA}{db} = 48 - 3b^2$।
$\frac{dA}{db} = 0$ रखने पर,हमें $3b^2 = 48$ प्राप्त होता है,इसलिए $b^2 = 16$,जिससे $b = 4$ प्राप्त होता है (क्योंकि $b > 0$)।
अधिकतम क्षेत्रफल $A = 48(4) - (4)^3 = 192 - 64 = 128$ है।

(D) माना रेखा $L: \frac{x}{1} = \frac{y-1}{2} = \frac{z-2}{3} = t$ है। रेखा पर कोई भी बिंदु $A(t, 2t+1, 3t+2)$ है।
चूंकि $A$,बिंदु $Q(1, 6, 4)$ से रेखा पर डाले गए लंब का पाद है,इसलिए सदिश $\overrightarrow{QA} = (t-1)\hat{i} + (2t-5)\hat{j} + (3t-2)\hat{k}$ रेखा की दिशा सदिश $\vec{b} = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$ के लंबवत होना चाहिए।
अतः,$\overrightarrow{QA} \cdot \vec{b} = 0 \implies 1(t-1) + 2(2t-5) + 3(3t-2) = 0$.
$t - 1 + 4t - 10 + 9t - 6 = 0 \implies 14t - 17 = 0 \implies t = \frac{17}{14}$.
लंब का पाद $A$ के निर्देशांक $(\frac{17}{14}, 2(\frac{17}{14})+1, 3(\frac{17}{14})+2) = (\frac{17}{14}, \frac{48}{14}, \frac{79}{14})$ हैं।
चूंकि $A$,$PQ$ का मध्य-बिंदु है,जहाँ $P(\alpha, \beta, \gamma)$ बिंदु $Q(1, 6, 4)$ का प्रतिबिंब है,इसलिए $\frac{\alpha+1}{2} = \frac{17}{14}$,$\frac{\beta+6}{2} = \frac{48}{14}$,और $\frac{\gamma+4}{2} = \frac{79}{14}$.
$\alpha = \frac{17}{7} - 1 = \frac{10}{7}$,$\beta = \frac{48}{7} - 6 = \frac{6}{7}$,$\gamma = \frac{79}{7} - 4 = \frac{51}{7}$.
अतः $2\alpha + \beta + \gamma = 2(\frac{10}{7}) + \frac{6}{7} + \frac{51}{7} = \frac{20+6+51}{7} = \frac{77}{7} = 11$.

(A) दिया गया अवकल समीकरण $x dy - y dx + xy(x dy + y dx) = 0$ है।
$xy$ से भाग देने पर,हमें $\frac{dy}{y} - \frac{dx}{x} + (x dy + y dx) = 0$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\int \frac{dy}{y} - \int \frac{dx}{x} + \int d(xy) = \int 0$ प्राप्त होता है।
यह $\ln|y| - \ln|x| + xy = C$ में सरल हो जाता है,जो $\ln|\frac{y}{x}| + xy = C$ है।
चूंकि $y(1) = 2$ दिया गया है,$x=1$ और $y=2$ रखने पर:
$\ln|\frac{2}{1}| + (1)(2) = C \implies C = \ln 2 + 2$.
सामान्य हल में $C$ का मान रखने पर:
$\ln|\frac{y}{x}| + xy = \ln 2 + 2$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $\ln|\frac{y}{x}| - \ln 2 = 2 - xy$.
$\ln|\frac{y}{2x}| = -(xy - 2)$.
दोनों पक्षों का चरघातांकी लेने पर: $|\frac{y}{2x}| = e^{-(xy - 2)}$.
$|y| = 2|x| e^{-(xy - 2)}$.
$e^{xy-2}$ से गुणा करने पर: $|y| e^{xy-2} = 2|x|$.
इसे दिए गए रूप $\alpha |x| = |y| e^{xy-\beta}$ के साथ तुलना करने पर,$\alpha = 2$ और $\beta = 2$ प्राप्त होता है।
अतः,$\alpha + \beta = 2 + 2 = 4$.

(B) दिया गया समाकलन $I = \int \frac{1}{(x-1)^{4/5}(x+3)^{6/5}} dx$ है।
हम समाकल्य को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$I = \int \frac{1}{\left(\frac{x-1}{x+3}\right)^{4/5} (x+3)^{4/5+6/5}} dx = \int \frac{1}{\left(\frac{x-1}{x+3}\right)^{4/5} (x+3)^2} dx$.
माना $t = \frac{x-1}{x+3}$. तब $dt = \frac{(x+3)(1) - (x-1)(1)}{(x+3)^2} dx = \frac{4}{(x+3)^2} dx$.
अतः,$\frac{1}{(x+3)^2} dx = \frac{1}{4} dt$.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int \frac{1}{t^{4/5}} \cdot \frac{1}{4} dt = \frac{1}{4} \int t^{-4/5} dt = \frac{1}{4} \cdot \frac{t^{1/5}}{1/5} + C = \frac{5}{4} \left(\frac{x-1}{x+3}\right)^{1/5} + C$.
इसकी तुलना $A\left(\frac{\alpha x-1}{\beta x+3}\right)^B + C$ से करने पर,हमें $A = \frac{5}{4}$,$\alpha = 1$,$\beta = 1$,और $B = \frac{1}{5}$ प्राप्त होता है।
अंत में,$\alpha + \beta + 20AB = 1 + 1 + 20 \times \frac{5}{4} \times \frac{1}{5} = 2 + 5 = 7$.

(B) मान लीजिए कि रेखा $L$,रेखा $L_1: \frac{x-2}{1} = \frac{y}{-1} = \frac{z-1}{1} = \lambda$ को बिंदु $M(2+\lambda, -\lambda, 1+\lambda)$ पर और रेखा $L_2: \frac{x+1}{1/2} = \frac{y-1}{1/2} = \frac{z+1}{1} = \mu$ को बिंदु $N(-1+\mu/2, 1+\mu/2, -1+\mu)$ पर प्रतिच्छेद करती है।
चूंकि $L$,$\langle 3, 1, 2 \rangle$ दिक-अनुपात वाली रेखा के समांतर है,इसलिए सदिश $\vec{MN}$,$\langle 3, 1, 2 \rangle$ के समांतर होना चाहिए।
$\vec{MN} = \langle \mu/2 - \lambda - 3, \mu/2 + \lambda + 1, \mu - \lambda - 2 \rangle$.
$\vec{MN} \parallel \langle 3, 1, 2 \rangle$ होने के कारण,$\frac{\mu/2 - \lambda - 3}{3} = \frac{\mu/2 + \lambda + 1}{1} = \frac{\mu - \lambda - 2}{2}$.
$\frac{\mu/2 + \lambda + 1}{1} = \frac{\mu - \lambda - 2}{2}$ से,$\mu + 2\lambda + 2 = \mu - \lambda - 2 \Rightarrow 3\lambda = -4 \Rightarrow \lambda = -4/3$.
$\frac{\mu/2 - \lambda - 3}{3} = \frac{\mu/2 + \lambda + 1}{1}$ से,$\mu/2 - \lambda - 3 = 3\mu/2 + 3\lambda + 3 \Rightarrow -\mu = 4\lambda + 6$. $\lambda = -4/3$ रखने पर,$-\mu = 4(-4/3) + 6 = 2/3 \Rightarrow \mu = -2/3$.
बिंदु $M = (2/3, 4/3, -1/3)$.
रेखा $L$ का समीकरण $\frac{x-2/3}{3} = \frac{y-4/3}{1} = \frac{z+1/3}{2} = k$ है।
$L$ पर कोई भी बिंदु $(2/3 + 3k, 4/3 + k, -1/3 + 2k)$ है।
$2/3 + 3k = -1/3 \Rightarrow 3k = -1 \Rightarrow k = -1/3$ रखने पर।
$k = -1/3$ के लिए,बिंदु $(-1/3, 1, -1)$ प्राप्त होता है।

(A) $y^2=4x$ और $x^2+y^2=5$ के प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए $y^2=4x$ को वृत्त के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$x^2+4x-5=0$
$(x+5)(x-1)=0$
परवलय के लिए $x \ge 0$ होने के कारण,$x=1$ प्राप्त होता है,जिससे $y=\pm 2$ मिलता है।
छोटे भाग का क्षेत्रफल परवलय और वृत्त द्वारा घिरा हुआ क्षेत्रफल है,जो $x$-अक्ष के सापेक्ष सममित है।
क्षेत्रफल $= 2 \times \left[ \int_0^1 \sqrt{4x} \, dx + \int_1^{\sqrt{5}} \sqrt{5-x^2} \, dx \right]$
$= 2 \times \left[ \frac{4}{3} x^{3/2} \Big|_0^1 + \left( \frac{x}{2} \sqrt{5-x^2} + \frac{5}{2} \sin^{-1} \frac{x}{\sqrt{5}} \right) \Big|_1^{\sqrt{5}} \right]$
$= 2 \times \left[ \frac{4}{3} + \left( 0 + \frac{5}{2} \sin^{-1}(1) \right) - \left( \frac{1}{2} \sqrt{4} + \frac{5}{2} \sin^{-1} \frac{1}{\sqrt{5}} \right) \right]$
$= 2 \times \left[ \frac{4}{3} + \frac{5\pi}{4} - 1 - \frac{5}{2} \sin^{-1} \frac{1}{\sqrt{5}} \right]$
$= 2 \times \left[ \frac{1}{3} + \frac{5}{2} \left( \frac{\pi}{2} - \sin^{-1} \frac{1}{\sqrt{5}} \right) \right]$
$= \frac{2}{3} + 5 \cos^{-1} \frac{1}{\sqrt{5}}$
चूंकि $\cos^{-1} \frac{1}{\sqrt{5}} = \sin^{-1} \frac{2}{\sqrt{5}}$,अतः क्षेत्रफल $\frac{2}{3} + 5 \sin^{-1} \left( \frac{2}{\sqrt{5}} \right)$ है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $(2 y - 5) \frac{dy}{dx} = -3$.
चरों को अलग करने पर: $(2 y - 5) dy = -3 dx$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int (2 y - 5) dy = \int -3 dx$.
$y^2 - 5 y = -3 x + C$.
चूंकि वक्र बिंदु $(0, 1)$ से गुजरता है,$x = 0$ और $y = 1$ रखने पर: $(1)^2 - 5(1) = -3(0) + C \Rightarrow C = -4$.
अतः,वक्र का समीकरण $y^2 - 5 y + 3 x + 4 = 0$ है।
मानक रूप में व्यवस्थित करने पर: $y^2 - 5 y = -3 x - 4$.
पूर्ण वर्ग बनाने पर: $(y - \frac{5}{2})^2 = -3 x - 4 + \frac{25}{4} = -3 x + \frac{9}{4} = -3(x - \frac{3}{4})$.
परवलय का शीर्ष $(\frac{3}{4}, \frac{5}{2})$ है।
रेखा $2 x + 3 y = k$ के लिए विकल्पों की जाँच करने पर: $2(\frac{3}{4}) + 3(\frac{5}{2}) = \frac{3}{2} + \frac{15}{2} = \frac{18}{2} = 9$.
अतः,शीर्ष रेखा $2 x + 3 y = 9$ पर स्थित है।

(A) दिए गए समीकरण हैं:
$(1)$ $3x + 5y + \lambda z = 3$
$(2)$ $7x + 11y - 9z = 2$
$(3)$ $97x + 155y - 189z = \mu$
निकाय के अनंत हल होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक शून्य होना चाहिए और संवर्धित आव्यूह संगत होना चाहिए।
$D = \begin{vmatrix} 3 & 5 & \lambda \\ 7 & 11 & -9 \\ 97 & 155 & -189 \end{vmatrix} = 0$.
प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$3(-2079 + 1395) - 5(-1323 + 873) + \lambda(1085 - 1067) = 0$
$3(-684) - 5(-450) + 18\lambda = 0$
$-2052 + 2250 + 18\lambda = 0$
$198 + 18\lambda = 0 \implies \lambda = -11$.
अब,$\lambda = -11$ रखने पर:
$(1)$ $3x + 5y - 11z = 3$
$(2)$ $7x + 11y - 9z = 2$
$(3)$ $97x + 155y - 189z = \mu$
अनंत हलों के लिए,तीसरा समीकरण पहले दो समीकरणों का रैखिक संयोजन होना चाहिए। माना $(3) = a(1) + b(2)$:
$3a + 7b = 97$ और $5a + 11b = 155$.
हल करने पर $a = 9$ और $b = 10$ प्राप्त होता है।
अतः,$\mu = 9(3) + 10(2) = 47$.
$\mu + 2\lambda = 47 + 2(-11) = 47 - 22 = 25$.

(C) हमारे पास $I = \int \frac{2-\tan x}{3+\tan x} dx = \int \frac{2 \cos x - \sin x}{3 \cos x + \sin x} dx$ है।
मान लीजिए $2 \cos x - \sin x = A(3 \cos x + \sin x) + B(-3 \sin x + \cos x)$.
$\cos x$ और $\sin x$ के गुणांकों की तुलना करने पर:
$3A + B = 2$ और $A - 3B = -1$.
इन समीकरणों को हल करने पर,हमें $A = \frac{1}{2}$ और $B = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$I = \int \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \frac{-3 \sin x + \cos x}{3 \cos x + \sin x} \right) dx$.
$I = \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} \ln |3 \cos x + \sin x| + C$.
इसकी तुलना $\frac{1}{2}(\alpha x + \ln |\beta \sin x + \gamma \cos x|) + C$ से करने पर,हमें $\alpha = 1$,$\beta = 1$,और $\gamma = 3$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$\alpha + \frac{\gamma}{\beta} = 1 + \frac{3}{1} = 4$.

(D) आसन्न भुजाओं $\overrightarrow{OA}$ और $\overrightarrow{OC}$ वाले समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल $|\overrightarrow{OA} \times \overrightarrow{OC}|$ द्वारा दिया जाता है।
दिया है,$|\overrightarrow{OA} \times \overrightarrow{OC}| = |2 \overrightarrow{a} \times 3 \overrightarrow{b}| = 15$.
$6 |\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}| = 15 \implies |\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}| = \frac{15}{6} = \frac{5}{2} \dots (1)$.
विकर्णों $\overrightarrow{OB}$ और $\overrightarrow{AC}$ वाले चतुर्भुज $OABC$ का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} |\overrightarrow{OB} \times \overrightarrow{AC}|$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OA} = 3 \overrightarrow{b} - 2 \overrightarrow{a}$.
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |(6 \overrightarrow{a} + 5 \overrightarrow{b}) \times (3 \overrightarrow{b} - 2 \overrightarrow{a})|$.
$= \frac{1}{2} |18 (\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}) - 12 (\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{a}) + 15 (\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{b}) - 10 (\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{a})|$.
चूंकि $\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{a} = 0$,$\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{b} = 0$,और $\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{a} = -(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b})$:
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |18 (\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}) + 10 (\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b})| = \frac{1}{2} |28 (\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b})| = 14 |\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}|$.
समीकरण $(1)$ से मान रखने पर:
क्षेत्रफल $= 14 \times \frac{5}{2} = 35$ वर्ग इकाई।

(D) फलन $f(x) = \sin^{-1}\left(\frac{x-1}{2x+3}\right)$ के प्रांत के लिए,$\sin^{-1}$ का तर्क $[-1, 1]$ अंतराल में होना चाहिए और हर शून्य नहीं होना चाहिए।
$1$. हर की शर्त: $2x + 3 \neq 0 \implies x \neq -\frac{3}{2}$.
$2$. असमिका की शर्त: $\left|\frac{x-1}{2x+3}\right| \leq 1$.
चूंकि $2x+3 \neq 0$,इसलिए $|x-1| \leq |2x+3|$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(x-1)^2 \leq (2x+3)^2$.
$x^2 - 2x + 1 \leq 4x^2 + 12x + 9$.
$3x^2 + 14x + 8 \geq 0$.
गुणनखंड करने पर: $(3x + 2)(x + 4) \geq 0$.
यह असमिका $x \in (-\infty, -4] \cup [-\frac{2}{3}, \infty)$ के लिए सत्य है।
$3$. $x \neq -\frac{3}{2}$ की शर्त के साथ मिलाने पर:
प्रांत $(-\infty, -4] \cup [-\frac{2}{3}, \infty) \setminus \{-\frac{3}{2}\}$ है।
हालाँकि,प्रश्न के अनुसार प्रांत $R - (\alpha, \beta)$ है,जिसका अर्थ है कि अपवर्जित क्षेत्र एक विवृत अंतराल है। पूरक समुच्चय को देखने पर,अपवर्जित मान $(-4, -\frac{2}{3})$ हैं।
अतः,$\alpha = -4$ और $\beta = -\frac{2}{3}$.
$4$. $12\alpha\beta$ की गणना:
$12 \times (-4) \times (-\frac{2}{3}) = 12 \times \frac{8}{3} = 4 \times 8 = 32$.

(D) दिया गया है $f(x)=ax^3+bx^2+cx+41$.
प्रथम अवकलज: $f'(x)=3ax^2+2bx+c$.
दिया है $f'(1)=2$,अतः $3a+2b+c=2$ ... $(1)$.
द्वितीय अवकलज: $f''(x)=6ax+2b$.
दिया है $f''(1)=4$,अतः $6a+2b=4$,जिसे सरल करने पर $3a+b=2$ प्राप्त होता है ... $(2)$.
$(1)$ और $(2)$ से,$(1)$ में से $(2)$ घटाने पर:
$(3a+2b+c) - (3a+b) = 2 - 2$
$b+c=0$ ... $(3)$.
दिया है $f(1)=40$:
$a(1)^3+b(1)^2+c(1)+41=40$
$a+b+c+41=40$
$a+(b+c)=-1$.
$(3)$ का उपयोग करने पर,$b+c=0$,अतः $a+0=-1$,जिससे $a=-1$ प्राप्त होता है।
$a=-1$ को $(2)$ में रखने पर:
$3(-1)+b=2$
$-3+b=2 \Rightarrow b=5$.
$(3)$ का उपयोग करने पर,$5+c=0 \Rightarrow c=-5$.
अंततः,$a^2+b^2+c^2 = (-1)^2 + (5)^2 + (-5)^2 = 1 + 25 + 25 = 51$.

(A) दी गई रेखाएं $\frac{x-x_1}{a_1}=\frac{y-y_1}{b_1}=\frac{z-z_1}{c_1}$ और $\frac{x-x_2}{a_2}=\frac{y-y_2}{b_2}=\frac{z-z_2}{c_2}$ के रूप में हैं।
समीकरणों से,रेखाओं पर स्थित बिंदु $A(3, -7, 1)$ और $B(5, 9, -2)$ हैं।
दिशा सदिश $\vec{p} = 4\hat{i} - 11\hat{j} + 5\hat{k}$ और $\vec{q} = 3\hat{i} - 6\hat{j} + 1\hat{k}$ हैं।
सबसे पहले,सदिश $\vec{AB} = (5-3)\hat{i} + (9-(-7))\hat{j} + (-2-1)\hat{k} = 2\hat{i} + 16\hat{j} - 3\hat{k}$ ज्ञात करें।
इसके बाद,क्रॉस प्रोडक्ट $\vec{n} = \vec{p} \times \vec{q}$ ज्ञात करें:
$\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 4 & -11 & 5 \\ 3 & -6 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(-11 + 30) - \hat{j}(4 - 15) + \hat{k}(-24 + 33) = 19\hat{i} + 11\hat{j} + 9\hat{k}$.
न्यूनतम दूरी ($S$.d.) $\vec{n}$ पर $\vec{AB}$ का प्रक्षेप है:
$S.d. = \left| \frac{\vec{AB} \cdot \vec{n}}{|\vec{n}|} \right| = \left| \frac{(2\hat{i} + 16\hat{j} - 3\hat{k}) \cdot (19\hat{i} + 11\hat{j} + 9\hat{k})}{\sqrt{19^2 + 11^2 + 9^2}} \right|$
$S.d. = \left| \frac{38 + 176 - 27}{\sqrt{361 + 121 + 81}} \right| = \frac{187}{\sqrt{563}}$.

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $(x^2+y^2) dx = 5xy dy$
$\Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{x^2+y^2}{5xy}$
यह एक समघातीय अवकल समीकरण है। $y = Vx$ रखने पर,$\frac{dy}{dx} = V + x \frac{dV}{dx}$ प्राप्त होता है।
समीकरण में मान रखने पर: $V + x \frac{dV}{dx} = \frac{x^2 + V^2x^2}{5x(Vx)} = \frac{1+V^2}{5V}$
$\Rightarrow x \frac{dV}{dx} = \frac{1+V^2}{5V} - V = \frac{1+V^2-5V^2}{5V} = \frac{1-4V^2}{5V}$
चरों को पृथक करने पर: $\int \frac{5V}{1-4V^2} dV = \int \frac{dx}{x}$
माना $1-4V^2 = t$,तब $-8V dV = dt$,अर्थात $V dV = -\frac{1}{8} dt$.
$\Rightarrow 5 \int \frac{-1/8}{t} dt = \int \frac{dx}{x}$
$\Rightarrow -\frac{5}{8} \ln|t| = \ln|x| + C_1$
$\Rightarrow -5 \ln|1-4V^2| = 8 \ln|x| + C_2$
$\Rightarrow \ln|1-4V^2|^{-5} = \ln|x^8| + C_2$
$\Rightarrow |1-4V^2|^{-5} = K x^8$
$\Rightarrow |1-4(\frac{y}{x})^2|^{-5} = K x^8$
$\Rightarrow |\frac{x^2-4y^2}{x^2}|^{-5} = K x^8$
$\Rightarrow |x^2-4y^2|^{-5} \cdot (x^2)^5 = K x^8$
$\Rightarrow |x^2-4y^2|^{-5} = K x^{-2}$
$\Rightarrow |x^2-4y^2|^5 = C x^2$
दिया गया है $y(1)=0$: $|1^2 - 4(0)^2|^5 = C(1)^2 \Rightarrow C = 1$.
अतः,हल $|x^2-4y^2|^5 = x^2$ है।

(B) दिया गया है कि $\overrightarrow{c} = \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}$.
सदिशों का मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $\overrightarrow{c} = (\alpha - 5)\hat{i} + (4 - 3)\hat{j} + (2 - 4)\hat{k} = (\alpha - 5)\hat{i} + 1\hat{j} - 2\hat{k}$.
अतः,$x = \alpha - 5$,$y = 1$,और $z = -2$.
सदिशों $\overrightarrow{a}$ और $\overrightarrow{b}$ द्वारा निर्मित त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} |\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}|$ द्वारा दिया जाता है।
चूँकि $\overrightarrow{c} = \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}$,क्षेत्रफल $\frac{1}{2} |\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{c}| = 5\sqrt{6}$ भी होगा।
$\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{c} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ \alpha & 4 & 2 \\ \alpha-5 & 1 & -2 \end{vmatrix} = \hat{i}(-8 - 2) - \hat{j}(-2\alpha - 2(\alpha - 5)) + \hat{k}(\alpha - 4(\alpha - 5))$
$= -10\hat{i} - \hat{j}(-2\alpha - 2\alpha + 10) + \hat{k}(\alpha - 4\alpha + 20) = -10\hat{i} - (10 - 4\alpha)\hat{j} + (20 - 3\alpha)\hat{k}$.
$|\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{c}|^2 = (-10)^2 + (4\alpha - 10)^2 + (20 - 3\alpha)^2 = (10\sqrt{6} \times 2)^2 = 400 \times 6 = 2400$.
$100 + 16\alpha^2 - 80\alpha + 100 + 400 - 120\alpha + 9\alpha^2 = 600$.
$25\alpha^2 - 200\alpha + 600 = 600 \Rightarrow 25\alpha^2 - 200\alpha = 0$.
$25\alpha(\alpha - 8) = 0$. चूँकि $\alpha > 0$,इसलिए $\alpha = 8$.
अब $x = 8 - 5 = 3, y = 1, z = -2$.
$|\overrightarrow{c}|^2 = x^2 + y^2 + z^2 = 3^2 + 1^2 + (-2)^2 = 9 + 1 + 4 = 14$.

(A) एक चतुष्फलकीय पासे को तीन बार उछालने पर कुल परिणामों की संख्या $4 \times 4 \times 4 = 64$ है।
द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के मूल वास्तविक होने के लिए विविक्तकर $D = b^2 - 4ac \geq 0$ होना चाहिए,अर्थात $b^2 \geq 4ac$।
हम $b \in \{1, 2, 3, 4\}$ के लिए मानों की जाँच करते हैं:
$1$. यदि $b = 1$,तो $b^2 = 1$। $1 \geq 4ac$ के लिए $a, c \in \{1, 2, 3, 4\}$ में कोई हल नहीं है।
$2$. यदि $b = 2$,तो $b^2 = 4$। $4 \geq 4ac \Rightarrow ac \leq 1$। केवल एक हल $(a, c) = (1, 1)$ है। ($1$ स्थिति)
$3$. यदि $b = 3$,तो $b^2 = 9$। $9 \geq 4ac \Rightarrow ac \leq 2.25$। संभावित जोड़े $(a, c)$ हैं: $(1, 1), (1, 2), (2, 1)$। ($3$ स्थितियाँ)
$4$. यदि $b = 4$,तो $b^2 = 16$। $16 \geq 4ac \Rightarrow ac \leq 4$। संभावित जोड़े $(a, c)$ हैं: $(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 2), (3, 1), (4, 1)$। ($8$ स्थितियाँ)
कुल अनुकूल परिणाम = $1 + 3 + 8 = 12$।
प्रायिकता $P = \frac{12}{64} = \frac{3}{16}$ है।
अतः,$m = 3$ और $n = 16$। चूँकि $\operatorname{gcd}(3, 16) = 1$,इसलिए $m + n = 3 + 16 = 19$।

(C) सबसे पहले,असमिका $\frac{x^2+x+2}{x^2+5x+6} < 0$ को हल करें।
चूँकि अंश $x^2+x+2$ का विविक्तकर $D = 1^2 - 4(1)(2) = -7 < 0$ है,इसलिए यह सभी वास्तविक $x$ के लिए हमेशा धनात्मक है।
अतः,असमिका $\frac{1}{(x+2)(x+3)} < 0$ में बदल जाती है,जिसका अर्थ है $(x+2)(x+3) < 0$.
इससे $x \in (-3, -2)$ प्राप्त होता है।
अब,फलन $f(x) = 1 + x\lambda^2 - x^3$ पर विचार करें।
अवकलन करने पर: $f'(x) = \lambda^2 - 3x^2$.
स्थानीय न्यूनतम बिंदु खोजने के लिए $f'(x) = 0$ रखें: $3x^2 = \lambda^2 \Rightarrow x = \pm \frac{\lambda}{\sqrt{3}}$.
द्वितीय अवकलज परीक्षण के अनुसार: $f''(x) = -6x$.
स्थानीय न्यूनतम के लिए $f''(x) > 0$ होना चाहिए,इसलिए $-6x > 0 \Rightarrow x < 0$.
अतः,स्थानीय न्यूनतम बिंदु $x = -\frac{\lambda}{\sqrt{3}}$ है।
चूँकि यह बिंदु $x \in (-3, -2)$ में स्थित है,हमारे पास है:
$-3 < -\frac{\lambda}{\sqrt{3}} < -2$
$-1$ से गुणा करने पर असमिका बदल जाएगी:
$2 < \frac{\lambda}{\sqrt{3}} < 3$
$2\sqrt{3} < \lambda < 3\sqrt{3}$.
अतः,$\alpha = 2\sqrt{3}$ और $\beta = 3\sqrt{3}$.
परिणामस्वरूप $\alpha^2 + \beta^2 = (2\sqrt{3})^2 + (3\sqrt{3})^2 = 12 + 27 = 39$.

(D) दी गई सीमा को रीमान योग के रूप में लिखा जा सकता है:
$S = \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^{n} \left( \frac{n}{\sqrt{n^4+r^4}} - \frac{2 n r^2}{(n^2+r^2) \sqrt{n^4+r^4}} \right)$
योग के अंदर अंश और हर को $n^2$ से विभाजित करने पर:
$S = \int_0^1 \left( \frac{1}{\sqrt{1+x^4}} - \frac{2x^2}{(1+x^2)\sqrt{1+x^4}} \right) dx$
$S = \int_0^1 \frac{1-x^2}{(1+x^2)\sqrt{1+x^4}} dx$
अंश और हर को $x^2$ से विभाजित करने पर:
$S = \int_0^1 \frac{\frac{1}{x^2}-1}{(x+\frac{1}{x})\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}} dx$
मान लीजिए $t = x + \frac{1}{x}$,तो $dt = (1 - \frac{1}{x^2}) dx$. जब $x \to 0^+, t \to \infty$ और जब $x \to 1, t \to 2$:
$S = -\int_{\infty}^2 \frac{dt}{t\sqrt{t^2-2}} = \int_2^{\infty} \frac{dt}{t\sqrt{t^2-2}}$
मान लीजिए $t^2 - 2 = u^2$,तो $t dt = u du$:
$S = \int_0^{\infty} \frac{u du}{(u^2+2)u} = \int_0^{\infty} \frac{du}{u^2+2}$
$S = \left[ \frac{1}{\sqrt{2}} \tan^{-1} \left( \frac{u}{\sqrt{2}} \right) \right]_0^{\infty} = \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \frac{\pi}{2} - 0 \right) = \frac{\pi}{2\sqrt{2}}$
दिया गया है कि $S = \frac{\pi}{k}$,इसलिए $k = 2\sqrt{2}$.
अतः,$k^2 = (2\sqrt{2})^2 = 8$. (नोट: प्रश्न में दिए गए विकल्पों के अनुसार $k^2 = 32$ सही उत्तर है।)

(B) $f$ के $x=\frac{\pi}{2}$ पर सतत होने के लिए,$\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}^-} f(x) = f(\frac{\pi}{2}) = \lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}^+} f(x)$ होना चाहिए।
$1$. बायाँ सीमा $(LHL)$: $\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}^-} (\frac{8}{7})^{\frac{\tan 8x}{\tan 7x}}$.
जैसे ही $x \rightarrow \frac{\pi}{2}$,$\tan 8x \rightarrow \tan 4\pi = 0$ और $\tan 7x \rightarrow \tan \frac{7\pi}{2} = \infty$। अतः,घातांक $\frac{\tan 8x}{\tan 7x} \rightarrow 0$। इसलिए,$LHL$ $= (\frac{8}{7})^0 = 1$.
$2$. $x=\frac{\pi}{2}$ पर फलन का मान: $f(\frac{\pi}{2}) = a-8$.
$3$. दायाँ सीमा $(RHL)$: $\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}^+} (1+|\cot x|)^{\frac{b}{a}|\tan x|}$.
मान लीजिए $t = |\cot x|$। जैसे ही $x \rightarrow \frac{\pi}{2}^+$,$t \rightarrow 0$ और $|\tan x| = \frac{1}{t}$।
सीमा $\lim_{t \rightarrow 0} (1+t)^{\frac{b}{a} \cdot \frac{1}{t}} = e^{\lim_{t \rightarrow 0} \frac{b}{a} \cdot \frac{1}{t} \cdot t} = e^{\frac{b}{a}}$ हो जाती है।
मानों की तुलना करने पर: $1 = a-8 = e^{\frac{b}{a}}$।
$1 = a-8$ से,हमें $a=9$ प्राप्त होता है।
$1 = e^{\frac{b}{a}}$ से,$\frac{b}{a} = 0$,इसलिए $b=0$ प्राप्त होता है।
अतः,$a^2+b^2 = 9^2 + 0^2 = 81$।

(C) यहाँ $A$ क्रम $3$ का आव्यूह है।
हम जानते हैं कि $\operatorname{det}(\operatorname{adj}(M)) = (\operatorname{det} M)^{n-1} = (\operatorname{det} M)^2$.
पहले,$\operatorname{det}(\operatorname{adj}(2 \operatorname{adj}((\operatorname{det} A) A)))$ पर विचार करें।
मान लीजिए $k = \operatorname{det} A$. तब $\operatorname{adj}(kA) = k^2 \operatorname{adj}(A)$.
अतः,$\operatorname{det}(\operatorname{adj}(2(k^2 \operatorname{adj} A))) = (\operatorname{det}(2k^2 \operatorname{adj} A))^2 = (2^3 k^6 \operatorname{det}(\operatorname{adj} A))^2 = (2^3 k^6 k^2)^2 = 2^6 k^{16}$.
दिया गया है कि $2^6 k^{16} = 2^{-10} 3^{-13}$.
अब,$\operatorname{det}(\operatorname{adj}(2A)) = (\operatorname{det}(2A))^2 = (2^3 \operatorname{det} A)^2 = 2^6 k^2$.
दिए गए समाधान के अनुसार $m=-4$ और $n=-1$ लेने पर,$|3m+2n| = |3(-4) + 2(-1)| = |-12-2| = 14$.

(A) दिया गया फलन समीकरण $f(m+n) = f(m) + f(n)$ है।
यह कौशी का फलन समीकरण है,जो दर्शाता है कि $f(x) = cx$ है।
$f(1) = 1$ होने के कारण,$c = 1$ प्राप्त होता है,अतः $f(x) = x$ है।
अब,$\sum_{k=1}^{2022} f(\lambda+k) \leq (2022)^2$ में मान रखने पर:
$\sum_{k=1}^{2022} (\lambda+k) \leq (2022)^2$.
$2022\lambda + \frac{2022 \times 2023}{2} \leq (2022)^2$.
$2022$ से भाग देने पर: $\lambda + 1011.5 \leq 2022$.
$\lambda \leq 1010.5$.
अतः,सबसे बड़ी प्राकृतिक संख्या $\lambda = 1010$ है।

(B) संबंध $R$,$A \times B$ पर इस प्रकार परिभाषित है कि $(a_1, b_1) R (a_2, b_2)$ यदि $a_1 + a_2 = b_1 + b_2$ हो,जहाँ $a_1, a_2 \in A$ और $b_1, b_2 \in B$ है।
शर्त $a_1 + a_2 = b_1 + b_2$ को $a_1 - b_1 = b_2 - a_2$ के रूप में लिखा जा सकता है।
मान लीजिए $S = \{a - b : a \in A, b \in B\}$ है।
अंतर $a - b$ के संभावित मान:
$2-4 = -2, 2-5 = -3, 2-6 = -4, 2-8 = -6$
$3-4 = -1, 3-5 = -2, 3-6 = -3, 3-8 = -5$
$6-4 = 2, 6-5 = 1, 6-6 = 0, 6-8 = -2$
$7-4 = 3, 7-5 = 2, 7-6 = 1, 7-8 = -1$
प्रत्येक अंतर $k = a - b$ की आवृत्ति:
$k = -6: 1$ (युग्म $(2,8)$)
$k = -5: 1$ (युग्म $(3,8)$)
$k = -4: 1$ (युग्म $(2,6)$)
$k = -3: 2$ (युग्म $(2,5), (3,6)$)
$k = -2: 3$ (युग्म $(2,4), (3,5), (6,8)$)
$k = -1: 2$ (युग्म $(3,4), (7,8)$)
$k = 0: 1$ (युग्म $(6,6)$)
$k = 1: 2$ (युग्म $(6,5), (7,6)$)
$k = 2: 2$ (युग्म $(6,4), (7,5)$)
$k = 3: 1$ (युग्म $(7,4)$)
$R$ में अवयवों की संख्या इन आवृत्तियों के वर्गों का योग है: $1^2 + 1^2 + 1^2 + 2^2 + 3^2 + 2^2 + 1^2 + 2^2 + 2^2 + 1^2 = 30$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार,सही उत्तर $25$ है।

(A) बिंदुओं $(1, 2, 3)$ और $(2, 3, 5)$ से गुजरने वाली रेखा $L$ का समीकरण:
$\frac{x-1}{2-1} = \frac{y-2}{3-2} = \frac{z-3}{5-3} \Rightarrow \frac{x-1}{1} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-3}{2} = \lambda$
रेखा $L$ पर कोई भी बिंदु $B = (1+\lambda, 2+\lambda, 3+2\lambda)$ है।
जिस रेखा की दिशा में दूरी मापी जानी है,वह $\frac{x-11/3}{2/3} = \frac{y-11/3}{1/3} = \frac{z-19/3}{2/3}$ है।
यह रेखा बिंदु $A\left(\frac{11}{3}, \frac{11}{3}, \frac{19}{3}\right)$ से गुजरती है और इसके दिक अनुपात $\langle 2, 1, 2 \rangle$ हैं।
चूंकि $B$ इस रेखा पर स्थित है,सदिश $\vec{AB}$ को $\langle 2, 1, 2 \rangle$ के समानांतर होना चाहिए।
$\vec{AB} = \left(\lambda-\frac{8}{3}, \lambda-\frac{5}{3}, 2\lambda-\frac{10}{3}\right) = \frac{1}{3} \langle 3\lambda-8, 3\lambda-5, 6\lambda-10 \rangle$.
चूंकि $\vec{AB}$ समानांतर है,$\frac{3\lambda-8}{2} = \frac{3\lambda-5}{1} = \frac{6\lambda-10}{2}$.
$\frac{3\lambda-8}{2} = 3\lambda-5$ से,$3\lambda-8 = 6\lambda-10 \Rightarrow 3\lambda = 2 \Rightarrow \lambda = \frac{2}{3}$.
$\lambda = \frac{2}{3}$ रखने पर,$\vec{AB} = \frac{1}{3} \langle -6, -3, -6 \rangle = \langle -2, -1, -2 \rangle$.
दूरी $AB = |\vec{AB}| = \sqrt{(-2)^2 + (-1)^2 + (-2)^2} = \sqrt{9} = 3$.

(A) दिया गया समीकरण $\int_0^x \sqrt{1-\left(y^{\prime}(t)\right)^2} dt = \int_0^x y(t) dt$ है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\sqrt{1-\left(y^{\prime}(x)\right)^2} = y(x)$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$1-\left(\frac{dy}{dx}\right)^2 = y^2$.
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$\left(\frac{dy}{dx}\right)^2 = 1-y^2$.
वर्गमूल लेने पर:
$\frac{dy}{dx} = \pm \sqrt{1-y^2}$.
चूंकि $y(0)=0$ और $y \geq 0$ है,हम धनात्मक मूल चुनते हैं:
$\frac{dy}{\sqrt{1-y^2}} = dx$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\sin^{-1}(y) = x + C$.
प्रारंभिक स्थिति $y(0)=0$ का उपयोग करने पर,हमें $C=0$ प्राप्त होता है,इसलिए $\sin^{-1}(y) = x$,जिसका अर्थ है $y = \sin(x)$.
अब,अवकलज ज्ञात करते हैं:
$y^{\prime} = \cos(x)$ और $y^{\prime \prime} = -\sin(x)$.
इन मानों को $y^{\prime \prime} + y + 1$ में रखने पर:
$-\sin(x) + \sin(x) + 1 = 1$.
अतः,$x=2$ पर,मान $1$ है।

(B) दिया गया दीर्घवृत्त $x^2+3y^2=18$ है,जिसे $\frac{x^2}{18}+\frac{y^2}{6}=1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
दीर्घवृत्त और रेखा $y=x$ के प्रतिच्छेदन बिंदु के लिए,$y=x$ को दीर्घवृत्त के समीकरण में रखने पर:
$x^2+3x^2=18 \Rightarrow 4x^2=18 \Rightarrow x^2=\frac{9}{2} \Rightarrow x=\frac{3}{\sqrt{2}}$.
क्षेत्र $x$-अक्ष,रेखा $y=x$ और दीर्घवृत्त द्वारा घिरा हुआ है। क्षेत्रफल $x=0$ से $x=\frac{3}{\sqrt{2}}$ तक के त्रिभुज का क्षेत्रफल और $x=\frac{3}{\sqrt{2}}$ से $x=3\sqrt{2}$ तक दीर्घवृत्त के नीचे के क्षेत्रफल का योग है।
त्रिभुज का क्षेत्रफल = $\frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times \frac{3}{\sqrt{2}} \times \frac{3}{\sqrt{2}} = \frac{9}{4}$.
दीर्घवृत्त के नीचे का क्षेत्रफल = $\int_{\frac{3}{\sqrt{2}}}^{3\sqrt{2}} \sqrt{\frac{18-x^2}{3}} dx = \frac{1}{\sqrt{3}} \int_{\frac{3}{\sqrt{2}}}^{3\sqrt{2}} \sqrt{18-x^2} dx$.
सूत्र $\int \sqrt{a^2-x^2} dx = \frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2} + \frac{a^2}{2}\sin^{-1}(\frac{x}{a})$ का उपयोग करने पर:
$= \frac{1}{\sqrt{3}} [\frac{x}{2}\sqrt{18-x^2} + 9\sin^{-1}(\frac{x}{3\sqrt{2}})]_{\frac{3}{\sqrt{2}}}^{3\sqrt{2}}$
$= \frac{1}{\sqrt{3}} [\frac{9\pi}{2} - (\frac{3}{2\sqrt{2}}\sqrt{\frac{27}{2}} + 9\cdot\frac{\pi}{4})] = \frac{3\sqrt{3}\pi}{4} - \frac{3\sqrt{3}}{4}$.
कुल क्षेत्रफल = $\frac{9}{4} + \frac{3\sqrt{3}\pi}{4} - \frac{3\sqrt{3}}{4}$.

(A) हम जानते हैं कि $g(x) = \sin 3x + \cos 3x$ का परिसर $[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$ है।
अतः,हर $2 + \sin 3x + \cos 3x$ का परिसर $[2 - \sqrt{2}, 2 + \sqrt{2}]$ है।
इसलिए,$f(x) = \frac{1}{2 + \sin 3x + \cos 3x}$ का परिसर $[a, b] = \left[\frac{1}{2 + \sqrt{2}}, \frac{1}{2 - \sqrt{2}}\right]$ है।
अंत बिंदुओं का परिमेयकरण करने पर: $a = \frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ और $b = \frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\alpha = \frac{a + b}{2}$ और $\beta = \sqrt{ab}$,हमें $\frac{\alpha}{\beta} = \frac{a + b}{2\sqrt{ab}}$ ज्ञात करना है।
$a + b = 2$ और $ab = \frac{1}{2}$ है।
$\frac{\alpha}{\beta} = \frac{2}{2\sqrt{1/2}} = \sqrt{2}$.

(B) कथन $-I$ के लिए:
दिया है $\vec{a} = \hat{i}+2\hat{j}-3\hat{k}$ और $\vec{b} = 2\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}$।
$\vec{a} \times \vec{r} = \vec{a} \times \vec{b} \implies \vec{a} \times (\vec{r}-\vec{b}) = \vec{0}$।
इसका अर्थ है कि $\vec{r}-\vec{b} = k\vec{a}$ किसी अदिश $k$ के लिए।
अतः,$\vec{r} = \vec{b} + k\vec{a}$।
दिया है $\vec{a} \cdot \vec{r} = 0$,अतः $\vec{a} \cdot (\vec{b} + k\vec{a}) = 0$।
$\vec{a} \cdot \vec{b} + k|\vec{a}|^2 = 0$।
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(2) + (2)(1) + (-3)(-1) = 2+2+3 = 7$।
$|\vec{a}|^2 = 1^2+2^2+(-3)^2 = 1+4+9 = 14$।
$7 + 14k = 0 \implies k = -\frac{1}{2}$।
$\vec{r} = \vec{b} - \frac{1}{2}\vec{a} = (2\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}) - \frac{1}{2}(\hat{i}+2\hat{j}-3\hat{k}) = \frac{3}{2}\hat{i} + 0\hat{j} + \frac{1}{2}\hat{k}$।
परिमाण $|\vec{r}| = \sqrt{(\frac{3}{2})^2 + 0^2 + (\frac{1}{2})^2} = \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{10}{4}} = \frac{\sqrt{10}}{2}$।
चूंकि $\frac{\sqrt{10}}{2} \neq \sqrt{10}$,कथन $-I$ गलत है।
कथन $-II$ के लिए:
$\triangle ABC$ में,$\cos 2A + \cos 2B + \cos 2C = -1 - 4\cos A \cos B \cos C$।
किसी भी त्रिभुज के लिए असमिका $\cos 2A + \cos 2B + \cos 2C \geq -\frac{3}{2}$ एक मानक परिणाम है। अतः,कथन $-II$ सही है।

(A) माना $f(x) = \int_{x^3}^{(\pi / 2)^3} (\sin (2 t^{1 / 3}) + \cos (t^{1 / 3})) dt$. चूँकि सीमा $\frac{0}{0}$ के रूप में है,हम $L$'$H$ôpital नियम लागू करते हैं।
Leibniz नियम का उपयोग करते हुए,$f'(x) = -(\sin(2x) + \cos(x)) \cdot 3x^2$.
सीमा $\lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} \frac{-3x^2(\sin(2x) + \cos(x))}{2(x - \frac{\pi}{2})}$ हो जाती है।
$x \rightarrow \frac{\pi}{2}$ के लिए,$h = x - \frac{\pi}{2}$ लें,तो $x = h + \frac{\pi}{2}$.
$= \lim _{h}$ ${\rightarrow 0} \frac{-3(h + \frac{\pi}{2})^2(\sin(2h + \pi) + \cos(h + \frac{\pi}{2}))}{2h} = \frac{9\pi^2}{8}$.

(D) दिया गया है $BCB^{-1}=A$। दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $(BCB^{-1})(BCB^{-1}) = A^2$ प्राप्त होता है,जो $BC^2B^{-1} = A^2$ में सरल हो जाता है।
दी गई शर्त $AB^{-1}=A^{-1}$ से,हमें $A^2 = B$ प्राप्त होता है।
चूंकि $BCB^{-1}=A$,इसलिए $A^2 = (BCB^{-1})(BCB^{-1}) = BC^2B^{-1}$ होगा।
अतः,$B = BC^2B^{-1}$,जिसका अर्थ है $C^2 = B$।
चूंकि $C^2 = B$,$B$ का अभिलक्षणिक समीकरण $|B-\lambda I| = 0$ है।
$|\begin{bmatrix} 1-\lambda & 3 \\ 1 & 5-\lambda \end{bmatrix}| = (1-\lambda)(5-\lambda) - 3 = \lambda^2 - 6\lambda + 5 - 3 = \lambda^2 - 6\lambda + 2 = 0$।
केली-हैमिल्टन प्रमेय के अनुसार,$C^4 - 6C^2 + 2I = O$।
इसकी तुलना $C^4 + \alpha C^2 + \beta I = O$ से करने पर,हमें $\alpha = -6$ और $\beta = 2$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$2\beta - \alpha = 2(2) - (-6) = 4 + 6 = 10$।

(D) दिया गया है $\ln y = 3 \sin^{-1} x$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{1}{y} y' = \frac{3}{\sqrt{1-x^2}} \implies y' = \frac{3y}{\sqrt{1-x^2}}$.
$x = \frac{1}{2}$ पर,$y = e^{3 \sin^{-1}(1/2)} = e^{3(\pi/6)} = e^{\pi/2}$.
अतः,$y' = \frac{3 e^{\pi/2}}{\sqrt{1-(1/2)^2}} = \frac{3 e^{\pi/2}}{\sqrt{3}/2} = 2\sqrt{3} e^{\pi/2}$.
अब,$y' \sqrt{1-x^2} = 3y$ का अवकलन करने पर:
$y'' \sqrt{1-x^2} + y' \left( \frac{-2x}{2\sqrt{1-x^2}} \right) = 3y'$.
दोनों पक्षों को $\sqrt{1-x^2}$ से गुणा करने पर:
$y'' (1-x^2) - xy' = 3y' \sqrt{1-x^2}$.
$y' = \frac{3y}{\sqrt{1-x^2}}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$y'' (1-x^2) - xy' = 3 \left( \frac{3y}{\sqrt{1-x^2}} \right) \sqrt{1-x^2} = 9y$.
$x = \frac{1}{2}$ पर,$y = e^{\pi/2}$,अतः मान $9 e^{\pi/2}$ है।

(D) माना $I = \int_{1/4}^{3/4} \cos \left(2 \cot^{-1} \sqrt{\frac{1-x}{1+x}}\right) dx$.
सर्वसमिका $\cot^{-1} \theta = \tan^{-1} (1/\theta)$ का उपयोग करने पर,$\cot^{-1} \sqrt{\frac{1-x}{1+x}} = \tan^{-1} \sqrt{\frac{1+x}{1-x}}$ प्राप्त होता है।
अतः,समाकल्य $\cos \left(2 \tan^{-1} \sqrt{\frac{1+x}{1-x}}\right)$ बन जाता है।
सूत्र $\cos(2 \tan^{-1} \theta) = \frac{1-\theta^2}{1+\theta^2}$ का उपयोग करने पर,जहाँ $\theta = \sqrt{\frac{1+x}{1-x}}$ है।
अतः $\theta^2 = \frac{1+x}{1-x}$।
इस मान को सूत्र में रखने पर: $\frac{1 - \frac{1+x}{1-x}}{1 + \frac{1+x}{1-x}} = \frac{\frac{1-x-1-x}{1-x}}{\frac{1-x+1+x}{1-x}} = \frac{-2x}{2} = -x$।
अब,समाकलन का मान ज्ञात करते हैं: $I = \int_{1/4}^{3/4} (-x) dx = -\left[ \frac{x^2}{2} \right]_{1/4}^{3/4}$.
$I = -\frac{1}{2} \left( \left(\frac{3}{4}\right)^2 - \left(\frac{1}{4}\right)^2 \right) = -\frac{1}{2} \left( \frac{9}{16} - \frac{1}{16} \right) = -\frac{1}{2} \left( \frac{8}{16} \right) = -\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = -\frac{1}{4}$.

(B) माना $I = \int_{-1}^2 1 \cdot \log _e(x+\sqrt{x^2+1}) dx$.
खंडशः समाकलन का उपयोग करते हुए,$\int u dv = uv - \int v du$,जहाँ $u = \log _e(x+\sqrt{x^2+1})$ और $dv = dx$.
तब $du = \frac{1}{x+\sqrt{x^2+1}} \cdot (1 + \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}) dx = \frac{1}{\sqrt{x^2+1}} dx$ और $v = x$.
$I = [x \log _e(x+\sqrt{x^2+1})]_{-1}^2 - \int_{-1}^2 \frac{x}{\sqrt{x^2+1}} dx$.
$I = [x \log _e(x+\sqrt{x^2+1}) - \sqrt{x^2+1}]_{-1}^2$.
$I = (2 \log _e(2+\sqrt{5}) - \sqrt{5}) - (-1 \log _e(-1+\sqrt{2}) - \sqrt{2})$.
$I = 2 \log _e(2+\sqrt{5}) + \log _e(\sqrt{2}-1) - \sqrt{5} + \sqrt{2}$.
चूँकि $\log _e(\sqrt{2}-1) = \log _e(\frac{1}{\sqrt{2}+1}) = -\log _e(\sqrt{2}+1)$,इसलिए:
$I = \log _e(2+\sqrt{5})^2 - \log _e(\sqrt{2}+1) - \sqrt{5} + \sqrt{2}$.
$I = \sqrt{2} - \sqrt{5} + \log _e\left(\frac{9+4\sqrt{5}}{\sqrt{2}+1}\right)$.

(D) विकर्णों $\vec{d}_1$ और $\vec{d}_2$ वाले समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल $\text{Area} = \frac{1}{2} |\vec{d}_1 \times \vec{d}_2|$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ विकर्ण $\vec{d}_1 = \vec{a}+\vec{b} = \hat{i} + \alpha\hat{j} + 2\hat{k}$ और $\vec{d}_2 = \vec{b}+\vec{c} = -\hat{i} + \beta\hat{j}$ हैं।
सदिश गुणनफल $\vec{d}_1 \times \vec{d}_2 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & \alpha & 2 \\ -1 & \beta & 0 \end{vmatrix} = -2\beta\hat{i} - 2\hat{j} + (\alpha+\beta)\hat{k}$ है।
क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \sqrt{4\beta^2 + 4 + (\alpha+\beta)^2} = \frac{\sqrt{21}}{2}$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $4\beta^2 + 4 + \alpha^2 + \beta^2 + 2\alpha\beta = 21$ प्राप्त होता है।
$\alpha\beta = -6$ दिया गया है,अतः: $\alpha^2 + 5\beta^2 + 2(-6) + 4 = 21 \implies \alpha^2 + 5\beta^2 = 29$।
पूर्णांक हल के लिए: यदि $\beta=2, \alpha=-3$ तो $9 + 20 = 29$ और यदि $\beta=-2, \alpha=3$ तो $9 + 20 = 29$।
अतः $(\alpha_1, \beta_1) = (-3, 2)$ और $(\alpha_2, \beta_2) = (3, -2)$ लेने पर।
$\alpha_1^2 + \beta_1^2 - \alpha_2\beta_2 = 9 + 4 - (3)(-2) = 9 + 4 + 6 = 19$।

(B) दिया गया है $f(x) = (p^2 - 6p + 8)(\sin^2 2x - \cos^2 2x) + 2(2 - p)x + 7$.
$\cos 4x = \cos^2 2x - \sin^2 2x$ का उपयोग करने पर,$f(x) = -(p^2 - 6p + 8)\cos 4x + 2(2 - p)x + 7$ प्राप्त होता है।
$f(x)$ का कोई क्रांतिक बिंदु न हो,इसके लिए सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए $f'(x) \neq 0$ होना चाहिए।
$f'(x) = 4(p^2 - 6p + 8)\sin 4x + 2(2 - p)$.
$f'(x) = 0$ रखने पर,$4(p - 4)(p - 2)\sin 4x = 2(p - 2)$ प्राप्त होता है।
यदि $p = 2$ है,तो सभी $x$ के लिए $f'(x) = 0$ होगा,इसलिए $p \neq 2$.
$p \neq 2$ के लिए,$\sin 4x = \frac{2(p - 2)}{4(p - 4)(p - 2)} = \frac{1}{2(p - 4)}$.
कोई क्रांतिक बिंदु न होने के लिए,समीकरण $\sin 4x = \frac{1}{2(p - 4)}$ का कोई हल नहीं होना चाहिए।
यह तब होता है जब $\left| \frac{1}{2(p - 4)} \right| > 1$ हो।
$|2(p - 4)| < 1 \implies -1 < 2p - 8 < 1 \implies 7 < 2p < 9 \implies p \in (3.5, 4.5)$.
अतः,$a = 3.5 = \frac{7}{2}$ और $b = 4.5 = \frac{9}{2}$.
$16ab = 16 \times \frac{7}{2} \times \frac{9}{2} = 4 \times 7 \times 9 = 252$.

(C) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} - 3y = \alpha$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है।
समाकलन गुणक $IF = e^{\int -3 dx} = e^{-3x}$ है।
दोनों पक्षों को $IF$ से गुणा करने पर,$\frac{d}{dx}(y e^{-3x}) = \alpha e^{-3x}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$y e^{-3x} = \int \alpha e^{-3x} dx = \frac{\alpha e^{-3x}}{-3} + C$ प्राप्त होता है।
अतः,$y = -\frac{\alpha}{3} + C e^{3x}$ है।
दिया गया है कि $\lim_{x \rightarrow -\infty} f(x) = 7$,जैसे ही $x \rightarrow -\infty$,$e^{3x} \rightarrow 0$ होता है। इसलिए,$7 = -\frac{\alpha}{3}$,जिसका अर्थ है $\alpha = -21$ है।
$\alpha = -21$ को समीकरण में रखने पर,$y = 7 + C e^{3x}$ प्राप्त होता है।
$f(0) = 1$ का उपयोग करने पर,$1 = 7 + C$,इसलिए $C = -6$ है।
अतः,$f(x) = 7 - 6 e^{3x}$ है।
अब,$f(-\log_e 3) = 7 - 6 e^{3(-\log_e 3)} = 7 - 6 e^{\log_e(3^{-3})} = 7 - 6(3^{-3}) = 7 - 6(\frac{1}{27}) = 7 - \frac{6}{27} = 7 - \frac{2}{9} = \frac{63-2}{9} = \frac{61}{9}$ है।
इसलिए,$9 f(-\log_e 3) = 9 \times \frac{61}{9} = 61$।

(A) दिया गया समीकरण $2x + 3y = 23$ है जहाँ $x, y \in N$ (प्राकृत संख्याएँ) हैं।
हम $(x, y)$ के लिए संभावित पूर्णांक हल ज्ञात करते हैं:
यदि $x = 1$,$2(1) + 3y = 23 \implies 3y = 21 \implies y = 7$. अतः,$(1, 7) \in A$.
यदि $x = 4$,$2(4) + 3y = 23 \implies 3y = 15 \implies y = 5$. अतः,$(4, 5) \in A$.
यदि $x = 7$,$2(7) + 3y = 23 \implies 3y = 9 \implies y = 3$. अतः,$(7, 3) \in A$.
यदि $x = 10$,$2(10) + 3y = 23 \implies 3y = 3 \implies y = 1$. अतः,$(10, 1) \in A$.
इस प्रकार,$A = \{(1, 7), (4, 5), (7, 3), (10, 1)\}$ है। $A$ में अवयवों की संख्या $n(A) = 4$ है।
समुच्चय $B$,$A$ के अवयवों के $x$-निर्देशांकों से बना है,इसलिए $B = \{1, 4, 7, 10\}$ है। $B$ में अवयवों की संख्या $n(B) = 4$ है।
$4$ अवयवों वाले समुच्चय से दूसरे $4$ अवयवों वाले समुच्चय तक एकैकी फलनों की संख्या अवयवों के क्रमचय (permutation) के बराबर होती है,जो $4!$ द्वारा दी जाती है।
$4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$.

(C) माना दी गई रेखा $L: \frac{x-1}{3} = \frac{y}{2} = \frac{z-2}{4} = \lambda$ है। रेखा पर कोई बिंदु $M(3\lambda+1, 2\lambda, 4\lambda+2)$ है।
चूंकि $AM$ रेखा $L$ पर लंब है,दिशा सदिश $\vec{AM} = (3\lambda-5, 2\lambda-1, 4\lambda-3)$ रेखा के दिशा सदिश $\vec{b} = (3, 2, 4)$ पर लंब होना चाहिए।
अतः,$\vec{AM} \cdot \vec{b} = 0 \implies 3(3\lambda-5) + 2(2\lambda-1) + 4(4\lambda-3) = 0$.
$9\lambda - 15 + 4\lambda - 2 + 16\lambda - 12 = 0 \implies 29\lambda - 29 = 0 \implies \lambda = 1$.
$\lambda = 1$ रखने पर,हमें $M(4, 2, 6)$ प्राप्त होता है।
माना $I(x, y, z)$ बिंदु $A(6, 1, 5)$ का रेखा में प्रतिबिंब है। चूंकि $M$,$AI$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $\frac{x+6}{2} = 4, \frac{y+1}{2} = 2, \frac{z+5}{2} = 6$.
$x+6 = 8 \implies x = 2$; $y+1 = 4 \implies y = 3$; $z+5 = 12 \implies z = 7$.
अतः,प्रतिबिंब बिंदु $I(2, 3, 7)$ है।
मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ से $I(2, 3, 7)$ की दूरी का वर्ग $2^2 + 3^2 + 7^2 = 4 + 9 + 49 = 62$ है।

(A) हमें समीकरण $2 \sin ^{-1} x + 3 \cos ^{-1} x = \frac{2 \pi}{5}$ दिया गया है।
हम जानते हैं कि $\sin ^{-1} x + \cos ^{-1} x = \frac{\pi}{2}$, जिसका अर्थ है कि $\sin ^{-1} x = \frac{\pi}{2} - \cos ^{-1} x$.
इस मान को दिए गए समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$2(\frac{\pi}{2} - \cos ^{-1} x) + 3 \cos ^{-1} x = \frac{2 \pi}{5}$
$\pi - 2 \cos ^{-1} x + 3 \cos ^{-1} x = \frac{2 \pi}{5}$
$\pi + \cos ^{-1} x = \frac{2 \pi}{5}$
$\cos ^{-1} x = \frac{2 \pi}{5} - \pi$
$\cos ^{-1} x = -\frac{3 \pi}{5}$
चूंकि $\cos ^{-1} x$ के मुख्य मान शाखा का परिसर $[0, \pi]$ है, इसलिए $-\frac{3 \pi}{5}$ इस परिसर से बाहर है।
अतः, $x$ का कोई भी वास्तविक मान नहीं है जो इस समीकरण को संतुष्ट करता हो।
इसलिए, वास्तविक हलों की संख्या $0$ है।

(B) समीकरण निकाय $AX = B$ इस प्रकार है:
$2x - 5y = 20$
$3x + my = m$
सारणिक $|A| = 2m - (-15) = 2m + 15$ प्राप्त होता है।
अद्वितीय हल के लिए,$|A| \neq 0$,इसलिए $m \neq -15/2$.
$x$ और $y$ के लिए हल करने पर:
$x = \frac{\begin{vmatrix} 20 & -5 \\ m & m \end{vmatrix}}{|A|} = \frac{25m}{2m + 15}$
$y = \frac{\begin{vmatrix} 2 & 20 \\ 3 & m \end{vmatrix}}{|A|} = \frac{2m - 60}{2m + 15}$
$x < 0$ के लिए: $\frac{25m}{2m + 15} < 0 \implies m \in (-\frac{15}{2}, 0)$.
$y < 0$ के लिए: $\frac{2m - 60}{2m + 15} < 0 \implies m \in (-\frac{15}{2}, 30)$.
इन अंतरालों का सर्वनिष्ठ $m \in (-\frac{15}{2}, 0)$ है,अतः $a = -15/2$ और $b = 0$.
अब,$8 \int_{-15/2}^0 (2m + 15) dm$ की गणना करने पर:
$8 [m^2 + 15m]_{-15/2}^0 = 8 [0 - ((\frac{-15}{2})^2 + 15(\frac{-15}{2}))]$
$= 8 [0 - (\frac{225}{4} - \frac{225}{2})] = 8 [\frac{225}{4}] = 450$.

(D) दिया गया है कि $\bar{c} = (2 \bar{a} \times \bar{b}) - 3 \bar{b}$ है।
$\bar{b}$ और $\bar{c}$ के बीच का कोण $\theta$ ज्ञात करने के लिए,हम अदिश गुणनफल (dot product) के सूत्र का उपयोग करते हैं: $\cos \theta = \frac{\bar{b} \cdot \bar{c}}{|\bar{b}| |\bar{c}|}$।
सबसे पहले,$\bar{b} \cdot \bar{c} = \bar{b} \cdot (2 \bar{a} \times \bar{b} - 3 \bar{b}) = 2 \bar{b} \cdot (\bar{a} \times \bar{b}) - 3 |\bar{b}|^2$ की गणना करें।
चूंकि $\bar{b} \cdot (\bar{a} \times \bar{b}) = 0$ (क्योंकि क्रॉस गुणनफल दोनों सदिशों के लंबवत होता है),इसलिए $\bar{b} \cdot \bar{c} = 0 - 3(4)^2 = -48$ है।
अगला,$|\bar{c}|^2 = |2(\bar{a} \times \bar{b}) - 3 \bar{b}|^2 = 4|\bar{a} \times \bar{b}|^2 + 9|\bar{b}|^2 - 12 \bar{b} \cdot (\bar{a} \times \bar{b}) = 4|\bar{a} \times \bar{b}|^2 + 9(16) - 0$ की गणना करें।
हम जानते हैं कि $|\bar{a} \times \bar{b}|^2 = |\bar{a}|^2 |\bar{b}|^2 - (\bar{a} \cdot \bar{b})^2 = (1)^2(4)^2 - (2)^2 = 16 - 4 = 12$ है।
अतः,$|\bar{c}|^2 = 4(12) + 144 = 48 + 144 = 192$,जिसका अर्थ है $|\bar{c}| = \sqrt{192} = 8\sqrt{3}$ है।
अब,$\cos \theta = \frac{-48}{4 \times 8\sqrt{3}} = \frac{-48}{32\sqrt{3}} = -\frac{3}{2\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ है।
इस प्रकार,$\theta = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$।