मान लीजिए $O$ मूल बिंदु है,और $M$ तथा $N$ रेखाओं $\frac{x-5}{4}=\frac{y-4}{1}=\frac{z-5}{3}$ और $\frac{x+8}{12}=\frac{y+2}{5}=\frac{z+11}{9}$ पर स्थित बिंदु हैं,इस प्रकार कि $MN$ दी गई रेखाओं के बीच की न्यूनतम दूरी है। तो $\overrightarrow{OM} \cdot \overrightarrow{ON}$ का मान ज्ञात कीजिए।

बिंदुओं $P(1, 2, 1)$ और $Q(2, 1, -1)$ से गुजरने वाली एक रेखा $L$ पर विचार करें। यदि रेखा $L$ में बिंदु $A(2, 2, 2)$ का प्रतिबिंब $(\alpha, \beta, \gamma)$ है,तो $\alpha + \beta + 6\gamma$ का मान ज्ञात कीजिए।

रेखाओं $\bar{r}=(\hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k})+\lambda(\hat{i}+\hat{j}+2\hat{k})$ और $\bar{r}=(3\hat{i}+\hat{k})+\lambda^{\prime}(2\hat{i}+\hat{j}-\hat{k})$,जहाँ $\lambda, \lambda^{\prime} \in R$ है,के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

कथन $(A)$: रेखाओं $\overline{r}=\overline{a}+t \overline{b}$ और $\overline{r}=\overline{p}+s \overline{q}$ के लिए,यदि $(\bar{a}-\bar{p}) \cdot(\bar{b} \times \bar{q}) \neq 0$ है,तो दोनों रेखाएं समतलीय हैं।
कारण $(R)$: $|(\bar{a}-\bar{p}) \cdot(\bar{b} \times \bar{q})|$,रेखाओं $\overline{r}=\overline{a}+t\bar{b}$ और $\overline{r}=\overline{p}+s \overline{q}$ के बीच की न्यूनतम दूरी का $|\bar{b} \times \bar{q}|$ गुना है।

बिंदु $A(1, 0, 3)$ से बिंदुओं $B(4, 7, 1)$ और $C(3, 5, 3)$ को मिलाने वाली रेखा पर खींचे गए लंब के पाद के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

उन रेखाओं के बीच की न्यूनतम दूरी ज्ञात कीजिए जिनके सदिश समीकरण $\vec{r}=(\hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k})+\lambda(\hat{i}-3 \hat{j}+2 \hat{k})$ और $\vec{r}=(4 \hat{i}+5 \hat{j}+6 \hat{k})+\mu(2 \hat{i}+3 \hat{j}+\hat{k})$ हैं।