मान लीजिए कि f: R rightarrow R को f(x)=a e^{2 | vedclass

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Question

(D) दिया गया है $f(x)=a e^{2 x}+b e^x+c x$.$f(0)=-1 \Rightarrow a+b=-1 \quad (1)$$f^{\prime}(x)=2 a e^{2 x}+b e^x+c$.$f^{\prime}(\ln 2)=2 a(4)+b(2)+c=

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$8$

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(D) दिया गया है $f(x)=a e^{2 x}+b e^x+c x$.$f(0)=-1 \Rightarrow a+b=-1 \quad (1)$$f^{\prime}(x)=2 a e^{2 x}+b e^x+c$.$f^{\prime}(\ln 2)=2 a(4)+b(2)+c=8 a+2 b+c=21 \quad (2)$दिया गया है $\int_0^{\ln 4}(f(x)-c x) d x=\frac{39}{2}$.$\int_0^{\ln 4}(a e^{2 x}+b e^x) d x=\left[\frac{a e^{2 x}}{2}+b e^x\right]_0^{\ln 4}=\frac{39}{2}$.$\left(\frac{a(16)}{2}+b(4)\right)-\left(\frac{a}{2}+b\right)=\frac{39}{2}$.$8 a+4 b-\frac{a}{2}-b=\frac{39}{2} \Rightarrow \frac{15 a}{2}+3 b=\frac{39}{2} \Rightarrow 15 a+6 b=39 \Rightarrow 5 a+2 b=13 \quad (3)$.समीकरण $(1)$ से,$b=-1-a$. इसे $(3)$ में प्रतिस्थापित करने पर:$5 a+2(-1-a)=13 \Rightarrow 3 a-2=13 \Rightarrow 3 a=15 \Rightarrow a=5$.अतः $b=-1-5=-6$.समीकरण $(2)$ से,$8(5)+2(-6)+c=21 \Rightarrow 40-12+c=21 \Rightarrow 28+c=21 \Rightarrow c=-7$.इस प्रकार,$a+b+c=5-6-7=-8$.इसलिए,$|a+b+c|=|-8|=8$.

सूची $I$	सूची $II$
$P.$ $\leq 2$ घात वाले गैर-ऋणात्मक पूर्णांक गुणांकों वाले बहुपदों $f(x)$ की संख्या,जो $f(0)=0$ और $\int_0^1 f(x) dx=1$ को संतुष्ट करते हैं,है	$1.$ $8$
$Q.$ अंतराल $(-\sqrt{13}, \sqrt{13})$ में उन बिंदुओं की संख्या जहाँ $f(x)=\sin(x^2)+\cos(x^2)$ अपना अधिकतम मान प्राप्त करता है,है	$2.$ $2$
$R.$ $\int_{-2}^2 \frac{3x^2}{1+e^x} dx$ बराबर है	$3.$ $4$
$S.$ $\frac{\int_{-1/2}^{1/2} \cos 2x \log(\frac{1+x}{1-x}) dx}{\int_0^{1/2} \cos 2x \log(\frac{1+x}{1-x}) dx}$ बराबर है	$4.$ $0$

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एक बहुपद फलन $f(x)$ जो शर्तों $f(x) = [f'(x)]^2$ और $\int_{0}^{1} f(x) dx = \frac{19}{12}$ को संतुष्ट करता है,हो सकता है:

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