दो वृत्तों C_1: x^2+y^2=25 और C_2: (x-alpha)^ | vedclass

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Question

(C) मान लीजिए $O(0, 0)$ वृत्त $C_1$ का केंद्र है और $A(\alpha, 0)$ वृत्त $C_2$ का केंद्र है। मान लीजिए $P$ दोनों वृत्तों का एक प्रतिच्छेदन बिंदु है। त

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$1575$

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(C) मान लीजिए $O(0, 0)$ वृत्त $C_1$ का केंद्र है और $A(\alpha, 0)$ वृत्त $C_2$ का केंद्र है। मान लीजिए $P$ दोनों वृत्तों का एक प्रतिच्छेदन बिंदु है। त्रिज्याएँ $OP = 5$ और $AP = 4$ हैं। केंद्रों के बीच की दूरी $OA = \alpha$ है।$\Delta OAP$ में,भुजाएँ $5, 4$ और $\alpha$ हैं। $P$ पर कोण $	heta = \sin^{-1}\left(\frac{\sqrt{63}}{8}ight)$ है,इसलिए $\sin 	heta = \frac{\sqrt{63}}{8}$ है।$\Delta OAP$ का क्षेत्रफल दो तरह से निकाला जा सकता है:$1$) क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} 	imes OP 	imes AP 	imes \sin 	heta = \frac{1}{2} 	imes 5 	imes 4 	imes \frac{\sqrt{63}}{8} = \frac{5\sqrt{63}}{4}$.$2$) क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} 	imes 	ext{आधार} 	imes 	ext{ऊँचाई} = \frac{1}{2} 	imes \alpha 	imes \left(\frac{\beta}{2}ight) = \frac{\alpha \beta}{4}$.दोनों क्षेत्रफलों की तुलना करने पर: $\frac{\alpha \beta}{4} = \frac{5\sqrt{63}}{4} \Rightarrow \alpha \beta = 5\sqrt{63}$.अतः,$(\alpha \beta)^2 = 25 	imes 63 = 1575$.

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